kecerunan negatif dy/dx

= -ve

kecerunan positif

dy/dx = +ve

kecerunan sifar

dy/dx = 0P

Q Kecerunan sifar dy/dx= 0

kecerunan positif dy/dx=+ve kecerunan negatif dy/dx = -ve

NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM

Nilai maksimum atau minimum bagi sesuatu fungsi itu juga dikenali sebagai nilai

ekstrem. Nilai maksimum dan minimum ini juga dikenali sebagai nilai maksimum mutlak dan

nilai minimum mutlak. Nilai maksimum mutlak bagi sesuatu fungsi ialah titik di mana nilai

terbesar bagi fungsi dicapai utnuk seluruh domain fungsi tersebut. manakala, nilai minimum

mutlak bagi sesuatu fungsi adalah titik di mana nilai terkecil bagi fungsinya seluruh domain

tersebut. Terdapat dua syarat yang perlu dipenuhi bagi mencari nilai titik maksimum dan

minimum ini. Syarat wajib bagi mencari titik maksimum dan minimum adalah hasil pembezaan

pertama perlu dicari terlebih dahulu. Kemudian, hasil pembezaan tersebut akan disamakan

dengan sifar bagi mencari punca bagi nilai hasil pembezaan ini.

f’ (x) = 0

Syarat kedua iaitu syarat cukup pula menyatakan bahawa punca (katakana x0) bagi f’(x)

akan digunakan dalam hasil pembezaan kedua jika memenuhi krtieria yang berikut :

f’’ (x0) > 0, maka f(x) mencecah titik minimum pada titik x0

f’’ (x0) < 0, maka f(x) mencecah titik maksimum pada titik x0

Nilai minimum

Nilai maksimum

Terdapat dua teorem yang dapat dikaitkan apabila mencari nilai titik maksimum dan

minimum bagi sesuatu fungsi. Teorem yang pertama adalah teorem titik genting. Teorem ini

menerangkan bahawa titik [ c,f(c) ] pada suatu fungsi f(x) dikatakan titik genting jika berlaku f’(c)

bersamaan dengan sifar atau f’(c) tidak wujud. Perlu diingatkan bahawa jika f’(x) ialah fungsi

kuadratik atau fungsi yang lebih tinggi, maka akan ada kemungkinan bahawa akan wujud lebih

daripada satu nilai genting. Bagi mendapatkan nilai tersebut, ujian terbitan pertama dilakukan.

Andaikan y=f(x) merupakan fungsi lengkung yang diberi. Laksanakan ujian terbitan pertama

dan didapati bahawa f’(x)=0. Maka, dapat dikatakan bahawa x adalah titik genting. Titik genting

ialah titik maksimum jika f’(x) berubah dari tanda positif ke negatif ketika x meokok melalui titik

genting. Bentuk lengkung yang dihasilkan adalah berbentuk cmebung. Manakala, jika titik

genting adalah titik minimum jika f’(x) berubah tanda daripada negatif kepada positif ketika x

menyusut melalui titik genitng. Bentuk lengkung yang dihasilkan adalah berbentuk cengkung.

Teorem Eksistensi Maksimum-Minimum dapat digunakan bagi mengetahui eksistensi dari

nilai minimum dan maksimum suatu fungsi. Teorem ini menyatakan bahawa jika f(x) kontinu

pada selang tertutup [ a,b ], maka f(x) mencapai nilai maksimum dan minimum. Berdasarkan

teorem tersebut, dapat dikatakan bahawa bagi memastikan f(x) memiliki nilai maksimum atau

minimum, f(x) haris kontinu dan berada pada selang tertutup [ a,b ].

Sesuatu fungsi tersebut dikatakan boleh mempunyai lebih daripada satu nilai maksimum

atau nilai minimum. Ada juga fungsi yang hanya mempunyai nilai maksimum sahaja atau nilai

minimum sahaja dalam sesuatu selang. Adanya nilai maksimum dan nilai minimum ini pada

suatu fungsi adalah bergantung kepada keselanjaran fungsi dan juga jenis selang yang

digunakan sama ada selang terbuka, tertutup, separuh-tertutup dan sebagainya.

y

0

dy/dx > 0

dy/dx > 0M

y

0

dy/dx < 0

dy/dx < 0

TITIK LENGKOK BALAS

Titik lengkok balas biasanya wujud bagi fungsi yang x-nya memunyai kuasa sama atau

lebih besar daripada 3. Fungsi trigonometri juga terlibat dalam titik lengkok balas ini. titik

lengkuk balas ini daapt ditakrifkan sebagai titik yang memisahkan bahagian cembung dengan

bahagian cekung bagi suatu lengkung selanjar. Untuk mendapatkan titik lengkok balas ini,

terdapat dua syarat yang perlu dipatuhi terlebih dahulu. Syarat tersebut merangkumi syarat

wajib dan juga syarat cukup.

Syarat wajib menyatakan bahawa hasil pembezaan kedua perlu dicari terlebih dahulu.

Kemudian, hasil pembezaan tersebut perlu disamakan dengan kosong untuk mencari punca

bagi nilai hasil pembezaan ini.

f’’ (x) = 0

Syarat cukup pula menyatakan bahawa punca (andaikan x1) bagi f’’(x) digunakan dalam

hasil pembezaan ketiga f’’(x1). Jika :

f’’’(x1) ≠0, maka f(x) mencecah titik lengkok balas pada titik x1

f’’’(x1) = 0, maka f(x) mungkin mencecah titik lengkok balas melintang pada titik x1

Didapati bahawa titik M dan N berdasarkan graf tersebut adalah titik lengkok

balas. Hal ini kerana d2y/dy2 = 0

ASIMPTOT

Asimptot dapat ditakrifkan sebagai satu keluk iaitu garis bahawa jarak di antara

lengkung dan garis yang menghampiri sifar. Hal ini kerana garis asimptot ini cenderung untuk

infiniti. Dalam konteks yang berlainan pula seperti geometri algebra, asimptot didefinisikan

sebagai garis yang merupakan tangen kepada lengkung pada infiniti. Suatu garisan itu dikenlai

sebagai garisan asimptot apabila wujud salah satu atau lebih garis lurus di dalam graf garis

tersebut menghampiri salah satu paksi x atau y.

Contoh Garisan Asimptot

Asimptot yang paling biasa yang dihadapi dalam kajian kalkulus adalah lengkung

daripada bentuk y = ƒ (x). Had boleh dikira dan dikelaskan kepada tiga jenis asimptot iaitu

mendatar, menegak dan serong. Jenis-jenis asimptot ini bergantung kepada orientasi. Asimptot

mengufuk ialah garis mendatar di mana graf fungsi yang digunakan menghampiri paksi x yang

cenderung pada dua bahagian iaitu bahagian (+ ∞) atau (- ∞). Asimptot mendatar ini

menunjukkan mereka adalah selari dengan paksi-x. Asimptot menegak ialah garis menegak

iaitu yang bersudut tepat dengan paksi-x. Asimptot serong pula ditakrifkan sebagai garis

pepenjuru supaya perbezaan di antara lengkung dan garis menghampiri sifar. Garis x akan

cenderung (+ ∞) atau (- ∞).

Fungsi yang mempunyai asimptot adalah fungsi rasional. Maknanya, fungsi yang

mempunyai asimptot adalah fungsi rasional pecahan. Fungsi rasional pecahan terbahagi

kepada beberapa bahagian. Contohnya, pembilang dan penyebut keduanya adalah fungsi

linear. Ada juga yang pembilang dan penyebutnya merupakan fungsi kuadrat. Ada yang

berbeza antara pembilang dan penyebut. Pembilang fungsi linear dan penyebut fungsi kuadrat

atau sebaliknya.

GARIS ASIMPTOT MENEGAK

GARIS ASIMPTOT SERONG