finite elemen untuk elemen segi tiga

8/3/2019 Finite Elemen Untuk Elemen Segi Tiga

1/23

II. TEORI PLANE STRESS

2.1 Fungsi Aproksimasi

Suatu model matematik dari suatu phisik mencakup beberapa fungsi eksak,

)( xuex misalnya fungsi peralihan, kecepatan, temperatur dll. Terhadap fungsi eksak yang

tidak dikenal ini kemudian dilakukan suatu aproksimasi, sehingga fungsi tersebut

dinamakan fungsi aproksimasi : )( xuex . Dimana perbedaannya :

)()()( xu xu xe ex!

Fungsi aproksimasi u merupakan kombinasi linier terhadap ia :

nn a x P a x P a x P xu )(.......)()()( 2211! (1)

)()( 1 x P xu !

n

n

a

a

a

x P x P .

)().....( 2

1

2 = _ ana P (2)

dimana n P P P ,....,, 21 : adalah fungsi yang diketahui dan independen linier

Kemudian kita tentukan bahwa fungsi aproksimasi u bertemu dengan fungsi

eksak exu pada titik-titik tersebut :

222

111

)()(

)()(

u xu xu

u xu xu

ex

ex

!!

!!

..............................

nnexn u xu xu !! )()( (3)

dengan demikian fungsi aproksimasi dapat ditulis :

nn u x N u x N u x N xu )(.......)()()( 2211!

)()( 1 x N xu ! )(2 x N .. )(3 x N

nu

u

u

/

2

1

= _ anu N (4)

catatan :

- fungsi P(x) adalah fungsi basis aproksimasi

- fungsi N(x) adalah fungsi interpolasi

8/3/2019 Finite Elemen Untuk Elemen Segi Tiga

2/23

2.2 Pemilihan Basis Polinomial

Misal ),( L\u pada elemen referensi dalam bentuk suatu kombinasi linier fungsi

independen yang dikenal ),(1

L\ P , ),(2

L\ P ,, yang saling independen. Pemilihan

fungsi ),(1 L\ P adalah suatu operassi dasar dari metode elemen hingga.

_ an

n

a P

a

a

a

P P u ),(...),(),(),( 2

1

21 L\L\L\L\ !

!/

(4)

Basis polynomial untuk 1D :n P \\\\\ ...1)( 32! (5)

Basis polynomial untuk 2D :

Kita gunakan segitiga pascal sbb :

Untuk quadratik lengakap : 221),( L\L\L\L\ ! P

2.3 Relasi Antara Variabel Non-nodal dan Variabel Nodal

Bila kita berikan niali-nilai variabel nodal pada persamaan (4) yaitu dengan

memasukkan koordinat nodal, maka fungsi ) ,( L\u adalah variabel nodal ),( L\exi uu ! :

1

\ L

2\ \L 2L

3\ L\ 2 2\L 3L

4\ L\ 3 22L\ 3\L 4L

- k n tan

- linier

- quadratik

- kubik

- quartik

8/3/2019 Finite Elemen Untuk Elemen Segi Tiga

3/23

-

!

nnnnnnnn

n

n

n a

a

a

P P P

P P P

P P P

u

u

u

/////

2

1

21

22222221

11112111

2

1

),(...),(),(

...

),(...),(),(

),(...),(),(

L\L\L\

L\L\L\

L\L\L\

(6)

atau _ a ? A _ ann a P u ! (7)

Bila kita lakukan invers maka diperoleh : _ a ? A_ ann u P a 1! (8)

2.4 Ekspresi Fungsi Geometri ( N dan N )

A pabila kita antar persamaan (8) ke dalam persamaan (4) persamaan menjadi :

? A _ a _ ann u N u A P u ),(),(),(1 L\L\L\ !! (9)

Dimana : ? A1),(),( ! A P N L\L\

Kita peroleh dengan cara yang sama untuk fungsi N :

_ an x N x ),(),( L\L\ ! ; _ an y N y ),(),( L\L\ ! (10)

Elemen segitiga dan segi emapat :

a) Elemen Segitiga tiga nodal

8/3/2019 Finite Elemen Untuk Elemen Segi Tiga

4/23

LI1! P

? A

-

!

-

!

101

011

001

),(

),(

),(

22

22

11

LI

LI

LI

P

P

P

A ; ? A

-

!

101

011

0011 A

? A1321

!

!

A P N

N N N N ; LI! 11 N ; I!2 N ; L!3 N

b) Elemen segi empat

ILLI1! P

? A

-

!

1111

11111111

1111

A ; ? A ? A

-

!!

1111

11111111

1111

41

411 T A A

? A14321 !! A P N N N N N

)1)(1(41

)1)(1(41

2

1

LI

LI

!

!

N

N

)1)(1(41

)1)(1(41

4

3

LI

LI

!

!

N

N

2.5 Menentukan Matrik Jacobian ? A J Setelah persamaan (10) terbentuk kita dapat menghitung matrik Jacobian ? A J

Dari geometri fungsi : _ an x N x ),(),( L\L\ ! ; _ an y N y ),(),( L\L\ !

matrik Jacobian: ? A

-

!

2221

1211

J J

J J J ; (11)

dimana :\x

x! x J 11 ; \xx! y J 12 ; Lx

x! x J 21 ; Lxx! y J 22

2.6 Matrik Peralihan ? Am B

8/3/2019 Finite Elemen Untuk Elemen Segi Tiga

5/23

? A

-

!!

//

//

//

x N y N

ni y N

x N B

ii

i

i

m

,,

,1......,0........

0,

(12)

dimana : L\ ,,, 1211 iii N j N j x N !

L\ ,,, 2221 iii N j N j y N !

2.7 Matrik Kekakuan

Formulasi matrik kekakuan adalah sebagai berikut :

? A ? A ? A? A ? AL\W d d J B H Bh K mT

m det1

1

1

1 ! (13)dimana : h = ketebalan elemen

? AW H = matrik bahan (Hook)

-

!

21

00

011

01

1 2 v

v

v

E

? Am B = matrik regangan peralihan? A! J det determinan matrik Jacobian

Deformasi _ a _ aKP d an didefinisikan sebagai variable nodal :

_ a ? A _ anb u B!P

n adalah jumlah nodal pada elemen

dengan : ? A

-

!! xiiy

yi

xi

b

N N ni N

N

B

,

.

,

0,1...00...

00

_ a ? A _ an s u B!K

8/3/2019 Finite Elemen Untuk Elemen Segi Tiga

6/23

dengan : ? A

-

!!

i yi

i xi

s

N N

ni

N N B

0

,1......

0

,

,

LI

LI

,22,21,

,12,11,

ii yi

ii xi

N j N j N

N j N j N

!

!

eint ditulis dalam bentuk matriks :

? A _ anne uk u21

int !

dan

? A ? A ? A? A ? A ? A? A

? A ? A ? A? Ad A B H Bk

d A B H Bk

k k k

bb

T

A bb

s s

T

A s s

sb

e

e

!

!

!

dalam kasus homogen isotrop :

? A

-

!

21

00

01

01

)1(12 23

YY

Y

Y

E h H

b ; ? A

-

!

10

01kGh H s

k = koefisien koreksi geser, nilainya 5/6

)1(2 Y!

E G

matrik kekakuan ? Ak diperoleh dengan intregrasi eksplisit atau, secara umum , denganintegrasi numeric tipe Gauss untuk kuadrilateral dan tipe Hammer untuk triangular.

8/3/2019 Finite Elemen Untuk Elemen Segi Tiga

7/23

Koordinat titik Gauss dan factor berat untuk integrasi Numeric Gauss untuk 1D

8/3/2019 Finite Elemen Untuk Elemen Segi Tiga

8/23

8/3/2019 Finite Elemen Untuk Elemen Segi Tiga

9/23

8/3/2019 Finite Elemen Untuk Elemen Segi Tiga

10/23

CARA LAIN

UNTUK ELEMEN SEGI TIGA

8/3/2019 Finite Elemen Untuk Elemen Segi Tiga

11/23

TRANSFORMASI KOORDINAT

Jadi bisa ditentukan, bahwa :

1321 !III , pada titik pusatnya : 41

321 !!! III

Padahal hubungan antara koordinat kartesian dan alami dapat ditulis :

8/3/2019 Finite Elemen Untuk Elemen Segi Tiga

12/23

332211

332211

..

..

III

III

y y y y

x x x x

!

!

dari ke tiga persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks :

-

!

3

2

1

321

321

1111

I

I

I

y y y

x x x

y

x

Misalkan elemen balok :

? A

!

3

2

11

I

I

I

A

y

x atau : ? A

!

y

x A

11

3

2

1

I

I

I

Dimana ? A A adalah :

? A

-

!

321

321

111

y y y

x x x A atau : ? A

-

!

21121221

13313113

322323321

21

x y y x y x

x y y x y x

x y y x y x

A A

Dimana A :

jiij

jiij

y y y

x x x

!

!

)()()111

det2 122131132332

321

321 y x y x y x y x y x y x

y y y

x x x A !

-

!

? A 21313121det2 y x y x A A !!

Turunan parsial :

8/3/2019 Finite Elemen Untuk Elemen Segi Tiga

13/23

ii

ii

y y

x x

!x

x

!xx

I

I

ik

i

ik i

x y

A

y x

A

!x

x

!xx

I

I

2

2

turunan parsial dari fungsi 321 ,, III f terhadap x dan y dapat ditulis :

8/3/2019 Finite Elemen Untuk Elemen Segi Tiga

14/23

x

x

x

x

x

x!

x

x

xx

xx

xx

!

xx

21

3

13

2

32

1

123

312

231

2

1

21

x f

x f

x f

A y

f

y f

y f

y f

A x f

III

III

atau dalam bentuk matriks :

-

xx

xxxx

-

!

-

xxxx

3

2

1

211332

123123

21

I

I

I

f

f