finite elemen untuk elemen segi tiga

Download Finite Elemen Untuk Elemen Segi Tiga

Post on 06-Apr-2018

221 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • 8/3/2019 Finite Elemen Untuk Elemen Segi Tiga

    1/23

    II. TEORI PLANE STRESS

    2.1 Fungsi Aproksimasi

    Suatu model matematik dari suatu phisik mencakup beberapa fungsi eksak,

    )( xuex misalnya fungsi peralihan, kecepatan, temperatur dll. Terhadap fungsi eksak yang

    tidak dikenal ini kemudian dilakukan suatu aproksimasi, sehingga fungsi tersebut

    dinamakan fungsi aproksimasi : )( xuex . Dimana perbedaannya :

    )()()( xu xu xe ex!

    Fungsi aproksimasi u merupakan kombinasi linier terhadap ia :

    nn a x P a x P a x P xu )(.......)()()( 2211! (1)

    )()( 1 x P xu !

    n

    n

    a

    a

    a

    x P x P .

    )().....( 2

    1

    2 = _ ana P (2)

    dimana n P P P ,....,, 21 : adalah fungsi yang diketahui dan independen linier

    Kemudian kita tentukan bahwa fungsi aproksimasi u bertemu dengan fungsi

    eksak exu pada titik-titik tersebut :

    222

    111

    )()(

    )()(

    u xu xu

    u xu xu

    ex

    ex

    !!

    !!

    ..............................

    nnexn u xu xu !! )()( (3)

    dengan demikian fungsi aproksimasi dapat ditulis :

    nn u x N u x N u x N xu )(.......)()()( 2211!

    )()( 1 x N xu ! )(2 x N .. )(3 x N

    nu

    u

    u

    /

    2

    1

    = _ anu N (4)

    catatan :

    - fungsi P(x) adalah fungsi basis aproksimasi

    - fungsi N(x) adalah fungsi interpolasi

  • 8/3/2019 Finite Elemen Untuk Elemen Segi Tiga

    2/23

    2.2 Pemilihan Basis Polinomial

    Misal ),( L\u pada elemen referensi dalam bentuk suatu kombinasi linier fungsi

    independen yang dikenal ),(1

    L\ P , ),(2

    L\ P ,, yang saling independen. Pemilihan

    fungsi ),(1 L\ P adalah suatu operassi dasar dari metode elemen hingga.

    _ an

    n

    a P

    a

    a

    a

    P P u ),(...),(),(),( 2

    1

    21 L\L\L\L\ !

    !/

    (4)

    Basis polynomial untuk 1D :n P \\\\\ ...1)( 32! (5)

    Basis polynomial untuk 2D :

    Kita gunakan segitiga pascal sbb :

    Untuk quadratik lengakap : 221),( L\L\L\L\ ! P

    2.3 Relasi Antara Variabel Non-nodal dan Variabel Nodal

    Bila kita berikan niali-nilai variabel nodal pada persamaan (4) yaitu dengan

    memasukkan koordinat nodal, maka fungsi ) ,( L\u adalah variabel nodal ),( L\exi uu ! :

    1

    \ L

    2\ \L 2L

    3\ L\ 2 2\L 3L

    4\ L\ 3 22L\ 3\L 4L

    - k n tan

    - linier

    - quadratik

    - kubik

    - quartik

  • 8/3/2019 Finite Elemen Untuk Elemen Segi Tiga

    3/23

    -

    !

    nnnnnnnn

    n

    n

    n a

    a

    a

    P P P

    P P P

    P P P

    u

    u

    u

    /////

    2

    1

    21

    22222221

    11112111

    2

    1

    ),(...),(),(

    ...

    ),(...),(),(

    ),(...),(),(

    L\L\L\

    L\L\L\

    L\L\L\

    (6)

    atau _ a ? A _ ann a P u ! (7)

    Bila kita lakukan invers maka diperoleh : _ a ? A_ ann u P a 1! (8)

    2.4 Ekspresi Fungsi Geometri ( N dan N )

    A pabila kita antar persamaan (8) ke dalam persamaan (4) persamaan menjadi :

    ? A _ a _ ann u N u A P u ),(),(),(1 L\L\L\ !! (9)

    Dimana : ? A1),(),( ! A P N L\L\

    Kita peroleh dengan cara yang sama untuk fungsi N :

    _ an x N x ),(),( L\L\ ! ; _ an y N y ),(),( L\L\ ! (10)

    Elemen segitiga dan segi emapat :

    a) Elemen Segitiga tiga nodal

  • 8/3/2019 Finite Elemen Untuk Elemen Segi Tiga

    4/23

    LI1! P

    ? A

    -

    !

    -

    !

    101

    011

    001

    ),(

    ),(

    ),(

    22

    22

    11

    LI

    LI

    LI

    P

    P

    P

    A ; ? A

    -

    !

    101

    011

    0011 A

    ? A1321

    !

    !

    A P N

    N N N N ; LI! 11 N ; I!2 N ; L!3 N

    b) Elemen segi empat

    ILLI1! P

    ? A

    -

    !

    1111

    11111111

    1111

    A ; ? A ? A

    -

    !!

    1111

    11111111

    1111

    41

    411 T A A

    ? A14321 !! A P N N N N N

    )1)(1(41

    )1)(1(41

    2

    1

    LI

    LI

    !

    !

    N

    N

    )1)(1(41

    )1)(1(41

    4

    3

    LI

    LI

    !

    !

    N

    N

    2.5 Menentukan Matrik Jacobian ? A J Setelah persamaan (10) terbentuk kita dapat menghitung matrik Jacobian ? A J

    Dari geometri fungsi : _ an x N x ),(),( L\L\ ! ; _ an y N y ),(),( L\L\ !

    matrik Jacobian: ? A

    -

    !

    2221

    1211

    J J

    J J J ; (11)

    dimana :\x

    x! x J 11 ; \xx! y J 12 ; Lx

    x! x J 21 ; Lxx! y J 22

    2.6 Matrik Peralihan ? Am B

  • 8/3/2019 Finite Elemen Untuk Elemen Segi Tiga

    5/23

    ? A

    -

    !!

    //

    //

    //

    x N y N

    ni y N

    x N B

    ii

    i

    i

    m

    ,,

    ,1......,0........

    0,

    (12)

    dimana : L\ ,,, 1211 iii N j N j x N !

    L\ ,,, 2221 iii N j N j y N !

    2.7 Matrik Kekakuan

    Formulasi matrik kekakuan adalah sebagai berikut :

    ? A ? A ? A? A ? AL\W d d J B H Bh K mT

    m det1

    1

    1

    1 ! (13)dimana : h = ketebalan elemen

    ? AW H = matrik bahan (Hook)

    -

    !

    21

    00

    011

    01

    1 2 v

    v

    v

    E

    ? Am B = matrik regangan peralihan? A! J det determinan matrik Jacobian

    Deformasi _ a _ aKP d an didefinisikan sebagai variable nodal :

    _ a ? A _ anb u B!P

    n adalah jumlah nodal pada elemen

    dengan : ? A

    -

    !! xiiy

    yi

    xi

    b

    N N ni N

    N

    B

    ,

    .

    ,

    0,1...00...

    00

    _ a ? A _ an s u B!K

  • 8/3/2019 Finite Elemen Untuk Elemen Segi Tiga

    6/23

    dengan : ? A

    -

    !!

    i yi

    i xi

    s

    N N

    ni

    N N B

    0

    ,1......

    0

    ,

    ,

    LI

    LI

    ,22,21,

    ,12,11,

    ii yi

    ii xi

    N j N j N

    N j N j N

    !

    !

    eint ditulis dalam bentuk matriks :

    ? A _ anne uk u21

    int !

    dan

    ? A ? A ? A? A ? A ? A? A

    ? A ? A ? A? Ad A B H Bk

    d A B H Bk

    k k k

    bb

    T

    A bb

    s s

    T

    A s s

    sb

    e

    e

    !

    !

    !

    dalam kasus homogen isotrop :

    ? A

    -

    !

    21

    00

    01

    01

    )1(12 23

    YY

    Y

    Y

    E h H

    b ; ? A

    -

    !

    10

    01kGh H s

    k = koefisien koreksi geser, nilainya 5/6

    )1(2 Y!

    E G

    matrik kekakuan ? Ak diperoleh dengan intregrasi eksplisit atau, secara umum , denganintegrasi numeric tipe Gauss untuk kuadrilateral dan tipe Hammer untuk triangular.

  • 8/3/2019 Finite Elemen Untuk Elemen Segi Tiga

    7/23

    Koordinat titik Gauss dan factor berat untuk integrasi Numeric Gauss untuk 1D

  • 8/3/2019 Finite Elemen Untuk Elemen Segi Tiga

    8/23

  • 8/3/2019 Finite Elemen Untuk Elemen Segi Tiga

    9/23

  • 8/3/2019 Finite Elemen Untuk Elemen Segi Tiga

    10/23

    CARA LAIN

    UNTUK ELEMEN SEGI TIGA

  • 8/3/2019 Finite Elemen Untuk Elemen Segi Tiga

    11/23

    TRANSFORMASI KOORDINAT

    Jadi bisa ditentukan, bahwa :

    1321 !III , pada titik pusatnya : 41

    321 !!! III

    Padahal hubungan antara koordinat kartesian dan alami dapat ditulis :

  • 8/3/2019 Finite Elemen Untuk Elemen Segi Tiga

    12/23

    332211

    332211

    ..

    ..

    III

    III

    y y y y

    x x x x

    !

    !

    dari ke tiga persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks :

    -

    !

    3

    2

    1

    321

    321

    1111

    I

    I

    I

    y y y

    x x x

    y

    x

    Misalkan elemen balok :

    ? A

    !

    3

    2

    11

    I

    I

    I

    A

    y

    x atau : ? A

    !

    y

    x A

    11

    3

    2

    1

    I

    I

    I

    Dimana ? A A adalah :

    ? A

    -

    !

    321

    321

    111

    y y y

    x x x A atau : ? A

    -

    !

    21121221

    13313113

    322323321

    21

    x y y x y x

    x y y x y x

    x y y x y x

    A A

    Dimana A :

    jiij

    jiij

    y y y

    x x x

    !

    !

    )()()111

    det2 122131132332

    321

    321 y x y x y x y x y x y x

    y y y

    x x x A !

    -

    !

    ? A 21313121det2 y x y x A A !!

    Turunan parsial :

  • 8/3/2019 Finite Elemen Untuk Elemen Segi Tiga

    13/23

    ii

    ii

    y y

    x x

    !x

    x

    !xx

    I

    I

    ik

    i

    ik i

    x y

    A

    y x

    A

    !x

    x

    !xx

    I

    I

    2

    2

    turunan parsial dari fungsi 321 ,, III f terhadap x dan y dapat ditulis :

  • 8/3/2019 Finite Elemen Untuk Elemen Segi Tiga

    14/23

    x

    x

    x

    x

    x

    x!

    x

    x

    xx

    xx

    xx

    !

    xx

    21

    3

    13

    2

    32

    1

    123

    312

    231

    2

    1

    21

    x f

    x f

    x f

    A y

    f

    y f

    y f

    y f

    A x f

    III

    III

    atau dalam bentuk matriks :

    -

    xx

    xxxx

    -

    !

    -

    xxxx

    3

    2

    1

    211332

    123123

    21

    I

    I

    I

    f

    f