fem report

1

Universitas Indonesia

BAB 1

PERANCANGAN ELEMEN BALOK

1.1 Teori Balok Bernoulli – Euler - Navier

Pada dasarnya, terdapat dua macam teori balok yang sering digunakan

dalam praktek, yaitu teori balok Euler-Bernoulli dan teori balok Thimosenko.

Dalam teori balok Euler-Bernoulli, ketika balok mengalami lendutan ke bawah

akibat gaya ataupun beratnya sendiri, bidang datar pada balok tersebut yang

bearah normal terhadap garis netral tetaplah merupakan suatu bidang datar dan

berarah normal terhadap garis netralnya sebelum dan sesudah pembebanan.

Asumsi ini memberikan suatu keadaan di mana regangan geser balok Bernoulli-

Euler dapat diabaikan dan dianggap bernilai 0.

Elemen balok Bernoulli-Euler-Navier mempunyai dua derajat kebebasan

pada setiap nodalnya, yaitu peralihan vertikal arah y yaitu v dan rotasi sudut arah

sumbu z yaitu . Pada setiap derajat kebebasan nodal yaitu vi dan i bekerja gaya

geser fyi dan gaya momen fmi dimana keduanya dinamakan gaya nodal. Pemilihan

elemen ini berdasarkan syarat balok Bernoulli apabila L/h>20. Gambar 1.1

menunjukan elemen balok lurus dengan penampang simetris.

Gambar 1.1 Elemen Balok Bernoulli – Euler – Navier

Hubungan regangan dan pepindahan pada elemen lentur, adalah :

2

2x

vy

y

(

(1.1)

2


Asumsi fungsi peralihan kuadrat, dari fungsi peralihan tersebut dapat

dibentuk fungsi bentuk dengan gambar sebagai berikut :

Gambar 1.2 Fungsi Bentuk Elemen Balok

Fungsi peralihan tersebut diperoleh dari fungsi bentuk sebagai berikut,

1

1

2

2

2 3

2 3

2 3

2

2 3

2 3

2 3

2

1 3 2

2

3 2

v

v

x x

L LN x

x xxN x L L

N yN x x x

L LN x

x x

L L

(1.2)

Dan hubungan perpindahan pada elemen yang dimaksud adalah,

1 1 2 2

1

1

1,4 2

2

iu i v v

i

v

v x N u N N N Nv

(1.3)

Matriks B diferensial dari fungsi bentuk dinyatakan sebagai:

3


1

1

1

1

2 3

,

2,

,

2 3

,

2

612

46

612

26

v xx

xx

v xx

xx

x

L LN x

xN x L L

B yxN x

L LN xx

L L

(1.4)

Persamaan kekakuan elemen balok dapat dihasilkan dengan

menggunakan teorema Castigliano, yaitu:

0e

nu

(1.5)

Dimana:

2

0

1 1

2 2

e e e

int ext

e

ext n n

L

e

int n n

u f

EI dx u k u

(1.6)

Selanjutnya, matriks kekakuan elemen dinyatakan sebagai:

2 2

3

0

2 2

12 6 12 6

6 4 6 2

12 6 12 6

6 2 6 4

L

b b

L L

L L L LEIk EI B B dx

L LL

L L L L

(1.7)

n nf k u

1 1

2 2

1 1

3

2 2

2 2

2 2

12 6 12 6

6 4 6 2

12 6 12 6

6 2 6 4

y

m

y

m

f vL L

f L L L LEI

f vL LL

f L L L L

(1.8)

1.2 Teori Balok Timoshenko

Dalam teori balok Thimosenko, nilai regangan geser diperhitungkan di

mana asumsi dasar untuk teori balok Thimosenko adalah bahwa bidang datar tetap

datar setelah mengalami lendutan tetapi tidak selalu berarah normal terhadap garis

netralnya. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat dalam gambar dibawah ini.

4


Gambar 1.3 Elemen Balok Timoshenko

Dalam hal ini, nilai regangan geser transversalnya adalah γxz tidaklah

bernilai nol, sehingga rotasi dari garis melintang bidang normal disekitar sumbu z

tidaklah sama dengan dv

/dx (yang digunakan oleh asumsi teori balok Euler-

Bernoulli), melainkan ada pertambahan regangan gesernya sebesar -γxz dalam

rotasinya. Teori balok Thimosenko ini juga dikenal sebagai teori balok deformasi

geser. Disamping memperhitungkan deformasi geser, teori balok Thimosenko

juga memperhitungkan inersia rotasi. Untuk perbandingan lebih jelas antara teori

balok Euler-Bernoulli dengan teori balok Thimosenko, dapat dilihat pada tabel

berikut:

Gambar 1.4 Perbedaan Elemen Balok Bernoulli dan Timoshenko

Pada teori balok Thimosenko, parameter penting yang digunakan adalah

shape function atau shear correction factor (Han et al. 1999). Parameter shape

function timbul karena geser (shear) bernilai tidak konstan di sepanjang

penampang balok. Parameter shape function merupakan suatu fungsi poisson’s

ratio dan frekuensi getaran pada sepanjang balok. Dengan menggunakan metode

selectictive reduce integration dimana integrasi numeric Gauss Quadrature tidak

dilakukan secara penuh sehingga menghasilkan matriks kekakuan geser.

5


Matriks kekakuan elemen balok Timoshenko diperoleh dengan cara yang

sama pada elemen Bernoulli, hasilnya yakni :

2 2

3

2 2

12 6 12 6

6 4 6 2

12 6 12 6

6 2 6 4

b s

L L

L L L LEIk k k

L LL

L L L L

(1.9)

Dimana ϕ = 12 EI / k G A, dan L = panjang elemen. Dapat dilihat bahwa

semakin tipis balok, makan nilai ϕ akan semakin kecil. Nilai kekakuan geser akan

menjadi dominan dan menciptakan kekakuan parasit geser atas lentur yang

bernama shear locking.

1.3 Elemen Discrete Shear Beam

Dalam matriks kekakuan elemen balok Timoshenko, dapat dilihat bahwa

semakin kecil nilai ϕ yang mana terjadi pada balok tipis, matriks kekakuan akan

mengarah menjadi tak terhingga. Masalah inilah yang dinamakan kekakuan

parasit atau shear locking, mengakibatkan jika balok tipis dianalisa dengan

elemen balok Timoshenko, hasil analisa menjadi sangat tidak akurat. Pada kasus

ini, kita perlu memecah elemen balok yang dianalisa menjadi elemen-elemen yang

sangat pendek sehingga akan tercipta balok tinggi dan hasil yang diberikan

menjadi akurat.

Berangkat dari masalah tersebut, para peneliti ingin menciptakan sebuah

elemen balok yang dapat digunakan baik untuk balok tipis maupun balok tinggi,

tanpa menghasilkan masalah shear locking di dalamnya. Fungsi peralihan verikal

v dapat diaproksimasi dengan dengan menggunakan fungsi peralihan linier,

kuadratik, dan kubik, sedangkan fungsi rotasi θ diaproksimasi secara kuadratik

dimana rotasi θ diaproksimasi menggunakan interpolasi linier terhadap rotasi pada

nodal 1 dan 2 ditambah interpolasi kuadratik pada rotasi nodal tengah elemen

(nodal 3). Hal ini dilakukan dengan harapan perilaku elemen terhadap efek rotasi

dapat termodelisasi dengan lebih baik.

Ternyata bila v didefinisikan baik secara linier, kuadratik, maupun kubik,

kita akan memperoleh nilai Δθ3 yang sama yakni

Δθ

( ϕ) (v -v ) -

⁄ (θ θ ) (1.10)

6


Nilai bending strain dan shear strain yakni :

* +

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

* + ϕ

ϕ

-

-

-

(1.11)

Berdasarkan hukum energi potensial internal akibat curvature, matriks

kekakuan bending [kb] dan matriks kekakuan geser [ks] dapat dihitung dengan

formula sebagai berikut :

, - ∫

n , - ∫

Matriks kekakuan elemen balok Discrete Shear Beam menjadi :

, - , - , -

ϕ

[ -

ϕ - -ϕ

- - -

-ϕ - ϕ ]

(1.12)

1.4 Perhitungan Elemen Balok Discrete Shear dengan Program MATLAB

Berikut dapat dilihat algoritma pemrograman analisa balok discrete shear

dengan bantuan program MATLAB.

7


Displacement Solution Un=Ks(activeDof,activeDof)\Fn(activeDo

f)

Modal Input Data (Pre-processor)

Node coordinates (xn, yn)

Element conectivities and material

material properties (No, near node,

far node, E, I, A, v, G, k)

BNE (element, fy, fm1, fy2, fm2)

GIE (element, fy, fm1,fy2, fm2)

Boundary conditions (No, nodes, fx, θ

Data Inisiasi

Jumlah DOF (GDof)

Jumlah perletakan (nR)

Jumlah BNE (nF)

Jumlah nodal (nN)

Jumlah beban terpusat (nP)

Jumlah GIE (nG)

Jumlah Jumlah elemen (nE)

Computation of stiffness matrix

Kekakuan total-> Reduksi

berdasarkan DOF aktif

Boundary Condition

Menentukan DOF aktif

(active DOF) berdasarkan

perletakan (restraint)

Computation of load and

BNE structure

Menggabungkan BNE dan

gaya luar pada element

menjadi BNE dan gata total

pada struktur.

Force Reaction

ForceReaction=Ks(prescribedDof,activ

eDof)*Un-Fn(1,prescribedDof)'

Computation of Internal Forces

FINISH

8


Berikut ini penjelasan dari algoritma Balok:

a. Model Input Data

Pada fase ini, memasukkan secara manual data – data struktur kedalam

MATLAB. Data yang dimasukkan antara lain sebagai berikut :

1. Koordinat nodal ( xn, yn).

2. Konektivitas dan properti material (No, near node, far node, E, I,

A, v, G, k ).

3. BNE (element, fy, fm1,fy2,fm2).

4. GIE (element, fy, fm1,fy2, fm2).

5. Kondisi batas No, no e , f , θ)

b. Data Inisiasi

Fase berikutnya mengidentifikasi jumlah DOF, perletakan, BNE, nodal,

beban terpusat, GIE dan jumlah elemen. Data tersebut sebagai data awal

yang dipersiapkan untuk perhitungan matriks kekakuan, matriks gaya, dan

matriks peralihan global.

c. Gaya Struktur , BNE, dan GIE

Gaya – gaya yang bekerja pada struktur, BNE serta GIE pada awalnya

diidentifikasi bekerja pada elemen, lalu dilakukan penyusunan sehingga

dapat terbentuk gaya struktur global.

d. Identifikasi Derajat Kebebasan (d.k.)

Derajat kebebasan struktur telah ditentukan dengan mencari nodal yang

terkekang dan tidak terkekang. Hal ini membantu dalam mereduksi matriks

kekakuan struktur global melalui aplikasi kondisi batas untuk mendapatkan

peralihan dan reaksi perletakan.

e. Kekakuan Struktur

Kekakuan struktur diidentifikasi terlebih dahulu dalam matriks kekakuan

elemen lalu ditrasnformasikan dalam matriks kekakuan global dan

digabungkan dalam matriks kekakuan global struktur.

f. Peralihan ≠ 0

Kemudian gaya struktur, kekakuan global struktur direduksi dengan d.k.

tidak sama dengan nol maka akan didapatkan displacement.

g. Reaksi Perletakan dan Gaya Dalam

9


Dari data displacement yang didapatkan, maka akan bisa didapatkan reaksi

perletakan dan gaya dalam pada masing – masing elemen.

1.5 Contoh Soal

Berikut akan dilakukan analisa terhadap sebuah balok discrete shear

dengan menggunakan program MATLAB dan SAP 2000 untuk validasi. Problem

balok yang ada adalah sebagai berikut :

Gambar 1.5 Masalah Balok Discrete Shear

Gaya dalam dan peralihan yang terjadi pada struktur balok diatas yakni :

Gambar 1.6 Peralihan dan Gaya Nodal Elemen Balok Discrete Shear

Diketahui sebuah balok dengan 3 bentangan (plus kantilever) memiliki

modulus elastisitas (E) sebesar 27000 kN/m2, v sebesar 0,25, k = 5/6. Penampang

balok berbentuk persegi panjang berukuran (300 x 600) mm2 dengan pembebanan

seperti yang ditunjukkan pada gambar diatas. Selanjutnya displacement, reaksi

perletakan dan gaya dalam dari setiap elemen tersebut dapat dicari.

Dengan melakukan input properti material elemen dan pembebanan yang

terjadi dalam perhitungan fungsi dalam program MATLAB, maka diperoleh hasil

output sebagai berikut:

Peralihan ≠ 0 (θ2, θ3, v4, θ4) dan reaksi perletakkan (fy1, fm1, fy2, fy3)

menurut program MATLAB :

10


Dan gaya dalam tiap elemen (Tn, Mn, Tn+1, Mn+1) (n = nomor nodal)

menurut program MATLAB adalah :

Selain dengan program MATLAB, kita juga memodelkan balok pada

program SAP 2000 untuk kemudian dilihat perbandingan hasilnya. Permodelan

SAP dapat dilihat pada gambar-gambar dibawah :

11


Hasil perhitungan dengan program SAP yakni :

Peralihan nodal :

E = 27000 Kpa

dan v = 0,25

b = 300 mm

dan h = 600

mm

Karakteristik yang harus

digunakan untuk Discrete

Shear Beam

12


Reaksi perletakkan :

Gaya-gaya dalam :

TABLE: Element Forces - Frames

Frame Station OutputCase CaseType P V2 V3 T M2 M3

Text m Text Text KN KN KN KN-m KN-m KN-m

1 0 DEAD LinStatic 0 -0.559 0 0 0 -1.4792

1 8 DEAD LinStatic 0 -0.559 0 0 0 2.9961

2 0 DEAD LinStatic 0 11.498 0 0 0 2.9961

2 2 DEAD LinStatic 0 31.498 0 0 0 -40

3 0 DEAD LinStatic 0 -20 0 0 0 -40

3 2 DEAD LinStatic 0 -20 0 0 0 7.105E-15

1.6 Perbedaan hasil program MATLAB dan SAP 2000 :

Peralihan nodal :

Nodal MATLAB SAP % diff

u v θ u v θ u v θ

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

2 0 0 0.042 0 0 -0.042 0 0 0.041

3 0 0 -0.167 0 0 0.166 0 0 0.026

4 0 -0.723 -0.441 0 -0.723 0.441 0 0.001 0.001

Reaksi perletakkan :

Nodal MATLAB SAP % diff

Fy Fm Fy Fm Fy Fm

1 0.5594 1.4792 0.559 -1.4792 0.071505 0

2 -12.0575 0 -12.057 0 0.004147 0

3 51.4981 0 51.498 0 0.000194 0

Gaya-gaya dalam :

Elemen Nodal MATLAB SAP % diff

T M T M T M

1 1 -0.5594 1.4792 -0.559 -1.4792 0.071505 0

2 -0.5594 -2.9961 -0.559 2.9961 0.071505 0

2 2 11.4981 -2.9961 11.498 2.9961 0.00087 0

3 31.4981 40 31.498 -40 0.000317 0

3 3 -20 40 -20 -40 0 0

13


4 -20 0 -20 0 0 0

Proses perhitungan yang diterapkan dalam perhitungan struktur balok

dengan menggunakan metode elemen hingga secara manual dengan menggunakan

alat bantu program MATLAB serta validasi dengan program SAP2000 telah

tercapai dengan baik. Dari hasil ini dapat disimpulkan bahwa balok discrete shear

dapat dimodelkan secara baik di program SAP 2000 dan mencapai akurasi yang

hampir sempurna jika dibandingkan dengan penghitungan manual.

14


BAB 2

PERANCANGAN ELEMEN RANGKA

Elemen berikut yang akan dianalisa ialah elemen rangka. Karakteristik

dari elemen ini ialah hanya mengalami gaya dalam aksial tarik atau tekan dan

tidak memiliki gaya dalam momen dan geser. Teori elemen rangka ditinjau dari

segi metode elemen hingga dapat dilihat sebagai berikut :

2.1 Teori Rangka Bidang

Struktur rangka bidang adalah gabungan dari elemen rangka yang dapat

berkoloborasi pada kedua ujungnya dan hanya mentransmisikan gaya-gaya

translasi (aksial) pada nodal-nodal gabungannya. Elemen dengan dua nodal di sini

didefinisikan dalam koordinat lokal (x-y) untuk selanjutnya didefinisikan dalam

koordinat global (X-Y). Walaupun tidak digambarkan sumbu Z selalu tegak lurus

bidang struktur, sehingga membentuk sistem koordinat kaidah tangan kanan.

Sedangkan sumbu x-x adalah sistem koordinat lokal elemen, yang hanya berlaku

untuk elemen tersebut saja, yang orientasinya disesuaikan dengan arah elemen

yang bersangkutan.

Setiap elemen rangka atau dapat disebut sebagai truss akan selalu

memiliki 2 titik nodal ujung. Orientasi elemen secara global dapat diketahui

dengan sudut α, yang dibuat oleh sumbu x lokal dari elemen yang ditinjau dengan

sumbu X global dari struktur. Sudut α bertanda positif berdasarkan kaidah tangan

kanan yaitu diukur dari sumbu X global berputar menuju sumbu x elemen dengan

poros sumbu-Z positif.

Sebuah elemen rangka dengan panjang L, modulus elastisitas E dan luas

penampang A, diletakkan sejajar dengan sumbu lokal. Kedua ujung atau buhul

dianggap sebagai nodal, masing-masing diberi nomer 1 dan 2. Gaya fx1 dan fx2

bekerja dalam arah x lokal masing-masing pada nodal 1 dan 2. Searah dengan dua

gaya nodal tersebut, terdapat masing-masing peralihan u1 dan u2 yang sering

disebut sebagai derajat kebebasan (degree of freedom). Sehingga terdapat 2 (dua)

derajat kebebasan untuk elemen rangka ini.

15


Gambar 2.1 Elemen Rangka dengan Dua Derajat Kebebasan

Pada gambar 2.1 terdapat gaya fx1 dan fx2 dengan peralihan u1 dan u2 yang

diekspresikan dalam bentuk matriks untuk digabungkan. Penurunan tersebut dapat

dilakukan dengan suatu pendekatan energi atau pendekatan keseimbangan

tegangan-regangan. Pendekatan energi lebih umum dan lebih tepat, khususnya

untuk tipe-tipe elemen hingga yang rumit. Pendekatan keseimbangan tegangan-

regangan adalah sederhana dan jelas secara fisik, namun ini dapat diterapkan

hanya pada elemen hingga sederhana. Untuk menggunakan pendekatan energi,

pertama-tama kita harus mendefinisikan sebuah fungsi peralihan untuk elemen.

2.2 Formulasi Matriks Kekakuan

2.2.1 Fungsi Peralihan dan Fungsi Bentuk

Untuk sebuah elemen dengan tegangan atau regangan aksial konstan,

peralihan aksial u(x) pada sebuah jarak x dari nodal 1 dapat dinyatakan dalam

bentuk persamaan polinominal dan diasumsikan bervariasi secara linier terhadap

x, yaitu:

1

1 2

2

1 n

au x a a x x P a

a

(2.1)

dimana a1 dan a2 adalah dua konstanta yang tergantung pada kondisi dua

nodal tersebut.

0 0 1 0

1

n

n

x u x u a

x L u x u L L a

(2.2)

Dan dapat disusun menjadi bentuk matriks:

1 1

2 2

1 0

1n n

u au P a

u aL

(2.3)

Relasi invers memberikan:

1

n na P u

(2.4)

16


Dengan mensubstitusikan hasil-hasil untuk a1 dan a2 dalam persamaan

(2.1) dan menyusun kembali persamaan tersebut maka memberikan bentuk akhir

dari fungsi peralihan:

1 2 1 2

1

1 2

1,2 2iu i u u u u

i

uu x N u N N N x u N x u

u

(2.5)

Dengan:

1 2

1 & u u

x xN x N x

L L (2.6)

1uN x dan

2uN x menggambarkan distribusi atau bentuk dari

peralihan dihubungkan dengan masing-masing derajat kebebasan u1 dan u2

disebut juga sebagai fungsi bentuk (shape functions).

N adalah matriks fungsi bentuk peralihan yaitu:

1 2

1-u u

x xN N N

L L

(2.7)

Fungsi peralihan tersebut dapat dibentuk dengan gambar sebagai berikut :

L

xNu 1

1

L

xNu

2

dari persamaan :

iix uBux

N

x

u

dimana matriks B adalah matriks diferensial dari fungsi bentuk adalah:

11:

1

Lx

NB

(2.8)

2.2.2 Persamaan Kekakuan

Deformasi aksial pada rangka didefinisikan sebagai :

2x

ue a

x

(2.9)

Untuk elemen rangka, deformasi aksial dapat diperoleh dengan cara

mensubstitusikan dua persamaan berikut :

1 2

1

1 2

1

17


2xe a (2.9a)

atau :

1 2

1 2

u u

x a n

N Nue u u B u

x x x

(2.9b)

dimana:

1 2, ,

1 1a u x u xB N N

L L

(2.10)

Persamaan (2.9a) menyatakan bahwa regangan tersebut merupakan suatu

konstanta.

Berdasarkan hukum Hooke untuk material linier, elastis, isotrop, dan

homogen, tegangan dapat dinyatakan sebagai:

x x

uEe E

x

Gaya internal yang bekerja secara aksial pada sumbu batang adalah:

1 2 1, 1 2, 2x u x u x a nN A EA N u N u EA B u

Secara teoritis N adalah gaya internal yang berpasangan dan bekerja pada

suatu elemen diferensial dx. Nilai positif berarti N adalah gaya internal mengalami

tarik dan nilai negatif berati nilai N adalah gaya internal menerima tekan.

Gambar 2.2 Gaya Internal Aksial Batang N dan Gaya Nodal Elemen

Persamaan energi internal pada setiap elemen balok rangka dengan

mengabaikan tegangan inisial:

int

0

1 1

2 2

L

e

n a a n n nEA u B B u dx u k u (2.11)

Dengan

0

1 11

1 12

L

a a

EAk EA B B dx

L

(2.12)

Persamaan energi eksternal pada setiap elemen balok rangka:

18


1

2

1 2

xe

ext n n

x

fu f u u

f

(2.13)

Dengan demikian, persamaan energi elemen dapat dinyatakan sebagai:

int

1

2

e e e

a ext n n n nu k u u f (2.14)

Dengan menerapkan teori Castigliano, yaitu:

int0

e eeexta

n nu u

(2.15)

Maka diperoleh:

n nf k u

Atau dalam bentuk matriks persamaan elemen dapat dinyatakan:

1

2

11 12 1

21 22 2

x

x

f k k u

k k uf

(2.16)

Dimana , - disebut matriks kekakuan elemen, dan koefisien kekakuan

didefinisikan sebagai:

, ,0 i j

L

ij u x u xk EA N N dx

Dengan i=1 sampai 2 dan j=1 sampai 2.

Dengan mensubsitusikan fungsi bentuk diperoleh persamaan

kekakuan elemen dari Persamaan 2.12c, sebagai berikut:

1

2

1

2

1 1

1 1

x

x

f uEA

uf L

EA/L adalah kekakuan aksial dari elemen. Elemen tersebut berperilaku

seperti pegas, dengan konstanta pegas s=EA/L dalam satuan kN/m

Gaya fx1 dan fx2 akan dihubungkan oleh suatu matriks dengan peralihan u1

dan u2. Dengan menggunakan fungsi peralihan u(x) dan fungsi bentuk seperti

ditunjukan pada gambar berikutnya, kita dapat menghitung besarnya matriks yang

menghubungkan dua gaya dan dua peralihan di atas.

19


Gambar 2.3 Fungsi Peralihan dan Fungsi Bentuk Elemen Rangka

Dengan menggunakan metode pendekatan dapat diperoleh besarnya

matriks kekakuan dari persamaan

1 1

2 2

1 1

1 1

x

x

f k x

f uEA

f uL

Dapat dikatakan bahwa adalah kekakuan aksial dari elemen.

Elemen berperilaku seperti pegas dengan konstanta pegas dalam satuan

N/m.

Rangka yang telah disebutkan sebelumnya adalah elemen rangka dalam

sistem koordinat lokal yaitu sumbu xy dan koordinat global adalah XY. Sumbu x

meng r h p u ut φ n ernil i po itif ila dihitung berlawanan arah jarum

jam dari sumbu X menuju sumbu x. Dalam sistem koordinat global, setiap nodal i

memiliki gaya horizontal fXi , gaya vertikal fYi, peralihan horizontal Ui dan

peralihan vertikal Vi, Jadi setiap elemen memiliki empat derajat kebebasan, U1,

V1, U2 dan V2. Dari gambar 2.5. Kita memahami transformasi dk dari sistem lokal

ke sistem global pada nodal 1 dan nodal 2, sebagai berikut:

1 1 1 2 2 2cos sin ; cos sinu U V u U V

(2.17)

20


Gambar 2.4 Sistem Koordinat Lokal dan Global untuk Elemen Rangka

Jika kita ,menggunakan simbol-simbol : ϕ dan ϕ

Persamaan (2.17) dapat ditulis sebagai:

1

1 1

2 2

2

0 0

0 0lokal

global

U

u VC S

u UC S

V

(

secara simbolis :

n nlokal globalu T u

(

Kekakuan elemennya diperoleh :

2 21 1

2 21 1

2 22 2

2 22 2

X

Y

X

Y

f UC CS C CS

f VCS S CS SEA

f UL C CS C CS

f VCS S CS S

(

(2.18)

2.2.3 Karakteristik Persamaan Kekakuan Elemen

Keseimbangan. Elemen rangka bidang dianggap sebagai benda bebas

(free body). Persamaan kekakuan untuk elemen ini terdapat pada Persamaan

(2.17). Dalam matriks kekakuan bahwa koefisien-koefisien dalam baris pertama

sama namun berlawanan tanda dengan koefisien-koefisien dalam baris ketiga.

Hubungan yang sama terjadi antara baris kedua dan keempat. Jika kita

mengalikan persamaan matriks, maka ditemukan:

21


fx1 = fx2 dan fy1 = fy2

Jadi keseimbangan dalam arah x dan y untuk benda bebas (free body)

terpenuhi. Berdasarkan kondisi tersebut maka momen pada nodal 1 sebesar :

1 2 2

2 2 2 2 2 2

1 1 2 0

X YM f LS f LC

EA C S C S U CS CS V C S C S V

Yang juga memenuhi keseimbangan momen.

Singularitas. Dalam matriks kekakuan k , baris pertama dan ketiga

adalah sama, tetapi berlawanan tanda, demikian juga dengan baris kedua dan

keempat. Karena itu k adalah matriks singular. Secara matematis, matriks yang

singular tidak dapat diinvers sehingga tidak mungkin mencari pemecahan

persamaan 2.17. Matriks kekakuan singular berarti bahwa elemen tersebut, tidak

terdapat perletakan, adalah free body yang tidak stabil. Elemen tersebut dapat

menjadi stabil dan matriks kekakuan tersebut dapat menjadi tidak singular jika

elemen tersebut diberikan kondisi batas yang cukup.

2.2.4 Persamaan Perpindahan

Elemen rangka dua dimensi tersebut memiliki empat buah derajat

kebebasan. Apabila ditambahkan gaya fy semu dan sebuah peralihan v dalam arah

y pada tiap nodal, dapat menghubungkan keempat derajat kebebasan dalam arah

koordinat lokal tersebut dengan derajat kebebasan yang berada pada arah

koordinat global, sebagai berikut:

1 1

1 1

2 2

2 2

0 0

0 0

0 0

0 0

u UC S

v VS C

u UC S

v VS C

(2.19)

Atau secara simbolik :

n nlokal globalu T u

22


2.2.5 Persamaan Gaya Dalam

Dalam peralihan nodal untuk elemen rangka, gaya aksial dapat diperoleh

dari persamaan (2.18).

2

2

2 1 2 1X

EAf C U U CS V V

L

2

2

2 1 2 1Y

EAf CS U U S V V

L

Jika menggunakan N untuk menunjukkan gaya aksial tarik, maka:

2 2

2 2

2 1 2 1

2 1 2 1

X YN f C f S

EAC S C U U S V V

L

EAC U U S V V

L

Dalam bentuk matriks, gaya aksial tarik ditulis sebagai:

1

1

2

2

U

VEAN C S C S

UL

V

(2.20)

Jika nilai N yang diperoleh negatif, berarti gaya aksial tersebut adalah

tekan. Perhitungan gaya internal elemen bersdasarkan prinsip keseimbangan

antara gaya nodal dan gaya internal. Gaya internal elemen dapat diturunkan secara

teoritis sebagai berikut:

1 1

1 1

a n lokal

n lokal

n global

N EA B u

EA uL L

EA T uL L

23


Gambar 2.5 Gaya Internal Elemen N dan Gaya Nodal fXi dan fYi dalam

Koordinat Global (i=1,2)

2.3 Aplikasi Program MATLAB Untuk Problem Rangka 2D dan Verifikasi

dengan Program SAP 2000

Gambar 2.6 Problem Rangka Bidang

Input pada program MATLAB dapat dilihat pada gambar berikut :

24


Hasil dari program MATLAB :

25


Verifikasi dengan program SAP :

26


Hasil dari program SAP :

Displacement :

E = 1,99x108

b = 0,06 m dan h = 0,06

m. A = b x h =

0,0036m2

Release M22 dan M33 agar

yang tertransmisi hanyalah

gaya aksial saja.

27


Reaksi Perletakkan :

Gaya-gaya Dalam :


Frame Station OutputCase CaseType P

Text m Text Text KN

1 0 DEAD LinStatic 66.667




3 0 DEAD LinStatic -16.667













10 1.5 DEAD LinStatic -12.5

11 0 DEAD LinStatic -100

11 1.5 DEAD LinStatic -100






14 2.5 DEAD LinStatic 20.833


28







2.4 Hasil perbandingan antara MATLAB dan SAP 2000

Displacement :

Joint MATLAB SAP % diff

u v u v u v

1 0 0 0 0 0 0

2 0.000186 -0.002388 0.000185 -0.002377 0.591 0.461

3 0.000419 -0.003660 0.000417 -0.003643 0.430 0.464

4 0.000372 -0.002016 0.000370 -0.002007 0.591 0.446

5 0 0 0 0 0 0

6 -0.000366 -0.000183 -0.000365 -0.000182 0.382 0.655

7 -0.000041 -0.002199 -0.000041 -0.002189 -0.712 0.455

8 0.000611 -0.003870 0.000608 -0.003851 0.442 0.491

9 0.001262 -0.002415 0.001256 -0.002403 0.475 0.497

10 0.001867 -0.000026 0.001858 -0.000026 0.482 0.650


Joint MATLAB SAP % diff

Rx Ry Rx Ry Rx Ry

1 -66.67 12.50 -66.67 12.50 0 0

5 -133.33 87.50 -133.33 87.50 0 0

Gaya-gaya Dalam :

Elemen MATLAB SAP % diff

P P P

1 66.667 66.667 0

2 83.333 83.333 0

3 -16.67 -16.67 0

4 -133.33 -133.33 0

5 -116.67 -116.67 0

6 -233.33 -233.33 0

7 -233.33 -233.33 0

8 -216.67 -216.67 0

9 -12.5 -12.5 0

29


10 -12.5 -12.5 0

11 -100 -100 0

12 -87.5 -87.5 0

13 -87.5 -87.5 0

14 20.833 20.833 0

15 20.833 20.833 0

16 145.83 145.83 0

17 145.83 145.83 0

2.5 Kesimpulan

Berdasarkan hasil penghitungan elemen rangka dengan menggunakan

program MATLAB dan SAP 2000, didapatkan hasil yang hampir sama 100% baik

untuk displacement, reaksi perletakkan, dan gaya-gaya dalam aksial batang. Hal

ini menunjukkan bahwa analisa menggunakan metode elemen hingga dengan

bantuan program MATLAB cukup akurat dan program SAP telah memfasilitasi

analisa sejenis untuk elemen rangka.

30


BAB 3

PERANCANGAN ELEMEN PORTAL BIDANG

Struktur portal didefinisikan secara fisik sebagai penyusunan pada bidang

dua dimensi (X-Y) dari elemen lurus yang saling berhubungan pada simpul kaku.

Oleh karena itu, simpul ini dapat mentransmisikan semua gaya yakni aksial, geser,

dan momen. Dengan mudah kita dapat mengetahui bahwa pada tiap nodal elemen

portal terdapat 3 DOF yakni u, v, dan θ. Semua elemen struktur terletak pada

sebuah bidang dan gaya juga bekerja pada bidang itu. Elemen pada portal bidang

terdiri dari dua jenis elemen yang saling independen yaitu elemen aksial dan

elemen lentur. Elemen aksial analog dengan elemen rangka sedangkan elemen

lentur analog dengan elemen balok.


Dapat kita ingat kembali bahwa matriks kekakuan untuk elemen rangka

ialah

2 21 1

2 21 1

2 22 2

2 22 2

X

Y

X

Y

f UC CS C CS

f VCS S CS SEA

f UL C CS C CS

f VCS S CS S

Dimana matriks kekakuan diatas sudah berada di dalam koordinat X dan

Y global. Kita juga sudah mengetahui matriks kekakuan elemen balok (Bernoulli)

yakni :

2 2

3

0

2 2

12 6 12 6

6 4 6 2

12 6 12 6

6 2 6 4

L

b b

L L

L L L LEIk EI B B dx

L LL

L L L L

Elemen portal bidang merupakan gabungan antara elemen aksial dan

elemen lentur, matrik kekakuan dapat diekspresikan sebagai berikut :

31


(3.1)

Untuk dapat menjumlahkan gaya-gaya pada nodal pada elemen-elemen

yang berhubungan diperlukan suatu transformasi dari bentuk sumbu lokal ke

sumbu global.

3.1.1 Transformasi Koordinat Matriks Kekakuan

Untuk mentransformasi diperlukan matriks yang dapat mentransformasi

kondisi lokal ke koordinat global. Matriks transformasinya adalah :

1 1

1 1

1 1

2 2

2 2

2 2

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0 1

n nlokal global

x X

y Y

m m

x X

y Y

m m

f T f

f fC S

f fS C

f f

f C S f

S Cf f

f f

Dengan : cosC dan sinS

Hubungan persamaan gaya nodal elemen pada sumbu lokal kepada

sumbu global:

globalilokali fTf

(

Transformasi perpindahan keenam derajat kebebasan dari sumbu lokal ke

sumbu global :

globalilokali uTu

(

32


Matriks transformasi ini merupakan matriks orthogonal, yang dapat

diekspresikan:

TTT 1

Persaman dalam system koordinat lokal, dapat dibentuk:

globalnglobaln uTkfT

dengan menggunakan sifat orthogonal matriks [T], dihasilkan:

globalnglobalglobaln ukf

(

dimana :

TkTkT

global

(

Dengan metode energi dapat diperoleh :

BNE

n n nlokal lokal lokallokalf k u f

(

1

1

1

2

2

2

3 2 3 2 1

1

2 21

2

3 2 3 2

2 2

0 0 0 0

12 6 12 60 0

6 4 6 20 0

0 0 0 0

12 6 12 60 0

6 2 6 40 0

x

y

m

x

y

m

EA EA

L L

EI EI EI EIfu

L L L Lf vEI EI EI EIf L L L L

uf EA EA

L LfEI EI EI EI

fL L L L

EI EI EI EI

L L L L

1

1

1

2

2

2

2

2

BNE

x

y

m

x

y

m

f

f

f

f

v f

f

(

Sehingga matriks kekakuan dalam koordinat globalnya adalah :

T

global lokalk T k T

33


3.2 Persamaan Gaya Internal N, T, dan M

Perhitungan gaya internal pada nodal dapat dilakukan bila d.k elemen

sudah diketahui, yaitu :

3 3 2 3 3 21

1

2 2 2 21

2

2

23 3 2 3 3 2

2

0 0

12 12 6 12 12 6

6 6 4 6 6 2

0 0

12 12 6 12 12 6

6 6

EA EA EA EAC S C S

L L L L

EI EI EI EI EI EIS C S CN

L L L L L LT EI EI EI EI EI EI

S C S CM L L L L L L

N EA EA EA EAC S C S

L L L LT

EI EI EI EI EI EIM S C S CL L L L L L

EIS

L

1 1

1 1

1 1

2 2

2 2

2 2

2 2 22 6 6 4

GIEU N

V T

M

U N

V T

M

EI EI EI EI EIC S C

L L L L L

Sebagai contoh, untuk beban merata –f0 dalam arah y lokal :

Pada nodal i gaya internal N, T, dan M untuk setiap nilai positif atau

negatif dan pengaruhnya terhadap elemen diferensial dx adalah sebagai berikut :

34


Gambar 3.1 Arah Positif untuk Gaya-Gaya Dalam pada Elemen Portal

3.3 Aplikasi program MATLAB Struktur Rangka 2D dibandingkan dengan

program SAP2000

Berikut adalah problem portal bidang yang kemudian dihitung dengan

program MATLAB dan SAP 2000.

Gambar 3.2 Problem Portal Bidang

Input program MATLAB dapat dilihat pada gambar berikut :

35


Hasil dari program MATLAB :

36


Displacement :

Gaya-gaya Dalam :

Berurutan dari elemen 1 sampai 10 : (Nn, Tn, Mn, Nn+1, Tn+1, Mn+1)

dimana n = nomor nodal.

Elemen 1 Elemen 3 Elemen 2 Elemen 4

37


Reaksi Perletakkan : (horizontal – vertikal tiap perletakkan)

3.3.1 Verifikasi dengan SAP 2000

Elemen 5 Elemen 8 Elemen 7

Elemen 9 Elemen 10

Elemen 6

Modulus Elastisitas Material

38


Hasil program SAP 2000

Displacement :

Penampang 1 dan penampang 2

Permodelan balok Bernoulli

39


Gaya-gaya Dalam :


Frame Station OutputCase P V2 M3

Text m Text KN KN KN-m

1 0 DEAD 27.998 21.636 0

1 4 DEAD 27.998 21.636 -86.5439

2 0 DEAD -28.364 27.998 86.5439

2 6 DEAD -28.364 27.998 -81.4432

3 0 DEAD -84.052 -28.381 -113.524

3 4 DEAD -84.052 -28.381 0

4 0 DEAD -24.933 25.529 76.6568

4 6 DEAD -24.933 25.529 -76.5147

5 0 DEAD -115.889 -28.348 -113.391

5 4 DEAD -115.889 -28.348 0

6 0 DEAD -21.635 28.056 81.7971

6 6 DEAD -21.635 28.056 -86.5409

7 0 DEAD -28.056 -21.635 -86.5409

7 4 DEAD -28.056 -21.635 -2.8E-14

8 0 DEAD -81.583 24.95 44.5762

8 4 DEAD -81.583 24.95 -55.2255

9 0 DEAD -25.05 18.417 55.2255

9 6 DEAD -25.05 18.417 -55.2779

10 0 DEAD -118.417 -25.05 -55.2779

10 4 DEAD -118.417 -25.05 44.9204


3.4 Perbandingan Hasil MATLAB dengan SAP 2000

Displacement :

Joint MATLAB SAP % Diff

U1 U2 θ U1 U2 θ U1 U2 θ

1 0 0.00E+00 -0.00306 0 0 0.00306 0 0 0

2 0.01047 1.79E-05 -0.00173 0.010466 0.000018 0.00173 0.038204 -0.44643 0

3 0.01042 -5.38E-05 -0.001443 0.010423 -5.4E-05 0.001443 -0.02879 -0.39041 0

4 0 0.00E+00 -0.003187 0 0 0.003187 0 0 0

5 0.01039 -7.42E-05 -0.001435 0.010386 -7.4E-05 0.001435 0.038499 0.229203 0

40


6 0.01035 -1.80E-05 -0.001702 0.010354 -1.8E-05 0.001702 -0.03865 -0.22272 0

7 0 0.00E+00 -0.003177 0 0 0.003177 0 0 0

8 0 0.00E+00 -0.003031 0 0 0.003031 0 0 0

9 0.01789 -1.35E-04 -0.001044 0.017893 -0.00014 0.001044 -0.01677 0.295421 0

10 0.01786 -1.93E-04 -0.001047 0.017856 -0.00019 0.001047 0.022396 -0.20768 0

Gaya-gaya Dalam :

Frame Station SAP MATLAB % Diff

P V2 M3 P V2 M3 P V2 M3

Text m KN KN KN-m KN KN KN-m KN KN KN-m

1 0 27.998 21.636 0 27.9979 21.636 0 0.000357 0 0

1 4 27.998 21.636 -86.5439 27.9979 21.636 -86.5439 0.000357 0 0

2 0 -28.364 27.998 86.5439 -28.364 27.9979 86.5439 0 0.000357 0

2 6 -28.364 27.998 -81.4432 -28.364 27.9979 -81.4432 0 0.000357 0

3 0 -84.052 -28.381 -113.524 -84.052 -28.381 -113.5238 0 0 0

3 4 -84.052 -28.381 0 -84.052 -28.381 0 0 0 0

4 0 -24.933 25.529 76.6568 -24.933 25.529 76.6568 0 0 0

4 6 -24.933 25.529 -76.5147 -24.933 25.529 -76.5147 0 0 0

5 0 -115.889 -28.348 -113.391 -115.89 -28.348 -113.3914 -0.00043 0 0

5 4 -115.889 -28.348 0 -115.89 -28.348 0 -0.00043 0 0

6 0 -21.635 28.056 81.7971 -21.635 28.056 81.7971 0 0 0

6 6 -21.635 28.056 -86.5409 -21.635 28.056 -86.5409 0 0 0

7 0 -28.056 -21.635 -86.5409 -28.056 -21.635 -86.5409 0 0 0

7 4 -28.056 -21.635 -2.8E-14 -28.056 -21.635 0 0 0 0

8 0 -81.583 24.95 44.5762 -81.583 24.9504 44.5762 0 -0.0016 0

8 4 -81.583 24.95 -55.2255 -81.583 24.9504 -55.2255 0 -0.0016 0

9 0 -25.05 18.417 55.2255 -25.05 18.4172 55.2255 0 -0.00109 0

9 6 -25.05 18.417 -55.2779 -25.05 18.4172 -55.2779 0 -0.00109 0

10 0 -118.417 -25.05 -55.2779 -118.417 -25.0496 -55.2779 0 0.001597 0

10 4 -118.417 -25.05 44.9204 -118.417 -25.0496 44.9204 0 0.001597 0


41


Dapat dilihat dari kedua gambar diatas bahwa nilai reaksi perletakkan

yang ada bisa dikatakan sama 100%. Sedikit perbedaan terjadi karena MATLAB

mengambil 4 angka di belakang koma sedangkan SAP pada umumnya hanya 3

angka di belakang koma.

3.5 Kesimpulan

Dari hasil perhitungan elemen portal dengan bantuan program MATLAB

dan verifikasi dengan program SAP 2000, dapat diambil kesimpulan bahwa

program SAP telah memfasilitasi analisa struktur dengan metode elemen hingga

dengan sangat baik. Program MATLAB juga merupakan program yang powerful

dalam permodelan analisa struktur dengan metode elemen hingga. Kedua program

ini memberikan hasil yang satisfied dan akurat.

42


BAB 4

PERANCANGAN ELEMEN GRID

4.1 Teori Sederhana

Grid adalah struktur satu dimensi yang merupakan bentukan dari

gabungan balok-balok yang terhubung menyilang dan secara kaku pada nodal, di

mana seluruh balok dan nodal tersebut berada pada bidang X-Y yang sama. Arah

beban bekerja tegak lurus pada bidang. Parameter inilah yang membedakanya

dengan portal bidang. Peralihan yang terjadi pun tegak lurus pada bidangnya.

Pada elemen grid, terdapat efek lentur terhadap sumbu horizontal penampang dan

juga terdapat efek puntir terhadap sumbu batang, yang berarti menahan momen

torsi. Dengan demikian, terdapat 3 derajat kebebasan dalam tiap nodal untuk

struktur grid yakni displacement transversal arah vertikal z dan dua rotasi: iw , ix

dan iy .


Sebelum mendapatkan matriks kekakuan, kita perlu mencari matriks

transformasi dari elemen grid. Fungsinya untuk mentransformasikan matriks

kekakuan elemen yang mengacu pada koordinat lokal ke dalam sistem koordinat

global.

Gambar 4.1 Koordinat Global (X-Y) dan Koordinat Lokal (x-y)

Matriks transformasi :

43


Kekakuan Elemen

Matriks kekakuan elemen dalam sumbu lokal :

2 2

2 2

3 2 2

2 2

0 0 0 0

0 4 6 0 2 6

0 6 12 0 6 121

0 0 0 0

0 2 6 0 4 6

0 6 12 0 6 12

GJL GJL

EIL EIL EIL EIL

EIL EI EIL EIk

L GJL GJL

EIL EIL EIL EIL

EIL EI EIL EI

(

Matriks kekakuakan elemen dalam sumbu global :

T

global lokalk T k T

(

Sehingga matriks kekakuan dalam sumbu global :

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

3 2 2 2 2 2

4 4 6 2 2 6

4 4 6 2 2 6

6 6 12 6 6 121

2 2

GJL C EIL S GJL SC EIL SC EILS GJL C EIL S GJL SC EIL SC EILS

GJL SC EIL SC GJL S EIL C EILC GJL SC EIL SC GJL S EIL C EILC

EILS EILS EI EILS EILS EIk

L GJL C EIL S GJL SC EI

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

6 4 4 6

2 2 6 4 4 6

6 6 12 6 6 12

L SC EILS GJL C EIL S GJL SC EIL SC EILS

GJL SC EIL SC GJL S EIL C EILC GJL SC EIL SC GJL S EIL C EILC

EILS EILS EI EILS EILS EI

Pada kondisi ini besarnya displacement elemennya [u] adalah

1 1 2 21 2

T

x y x yu w w

(

Gaya Internal T dan M

Perhitungan gaya internal elemen pada nodal 1 dan 2 dapat diperoleh

dengan memasukkan nilai x = 0 untuk Mx1, My1, T1 dan x = L untuk Mx2, My2, T2.

44


2 21

1

2 2 3 2 2 31

3

2

2

22 2

2 2

0 0

4 4 6 2 2 6

6 6 12 6 6 12

1

0 0

2 2 6 4 4 6

6 6 1

x

y

x

y

GJ GJ GJ GJC S C S

L L L L

EI EI EI EI EI EIS C S CM

L L L L L LM EI EI EI EI EI EI

S C S CT L L L L L L

M GJ GJ GJ GJLC S C S

L L L LM

EI EI EI EI EI EIT S C S CL L L L L L

EI EIS C

L L

1 1

1 1

1 1

2 2

2 2

2 2

3 2 2 3

2 6 6 12

GIE

X x

Y y

X x

Y y

M

M

w T

M

M

w T

EI EI EI EIS C

L L L L

4.3 Aplikasi program MATLAB Struktur Grid dibandingkan dengan

program SAP2000

4.3.1 Input Program MATLAB

3 m

4 m

3 m

3 m

3 m

45


4.3.2 Hasil program MATLAB

Displacement :

46


Gaya-gaya Dalam :


47


48


4.3.3 Input Program SAP

E = 2.7 E6 Kpa ; v =

0,15 ; G = 1.174 E7

Kpa

I = 1.067E-3 m4 ; J =

7,324E-4 m3

49


4.3.4 Hasil Program SAP

Displacement :

Gaya-gaya Dalam :


Frame Station OutputCase CaseType P V2 V3 T M2 M3

Text m Text Text KN KN KN KN-m KN-m KN-m

1 0 DEAD LinStatic 0 -104.455 0 6.521 0 -215.964

1 3 DEAD LinStatic 0 -104.455 0 6.521 0 97.4023

2 0 DEAD LinStatic 0 -2.8E-14 0 1.78E-15 0 88.9214

2 4 DEAD LinStatic 0 -2.8E-14 0 1.78E-15 0 88.9214

3 0 DEAD LinStatic 0 104.455 0 -6.521 0 97.4023

3 3 DEAD LinStatic 0 104.455 0 -6.521 0 -215.964

4 0 DEAD LinStatic 0 -51.946 0 10.463 0 -108.793

4 3 DEAD LinStatic 0 -51.946 0 10.463 0 47.046

5 0 DEAD LinStatic 0 1.42E-14 0 -5.3E-15 0 46.3099

5 4 DEAD LinStatic 0 1.42E-14 0 -5.3E-15 0 46.3099

6 0 DEAD LinStatic 0 51.946 0 -10.463 0 47.046

6 3 DEAD LinStatic 0 51.946 0 -10.463 0 -108.793

50


7 0 DEAD LinStatic 0 -43.598 0 -9.2169 0 -100.445

7 3 DEAD LinStatic 0 -43.598 0 -9.2169 0 30.3504

8 0 DEAD LinStatic 0 -43.598 0 9.2169 0 -100.445

8 3 DEAD LinStatic 0 -43.598 0 9.2169 0 30.3504

9 0 DEAD LinStatic 0 4.455 0 8.4808 0 19.8874

9 3 DEAD LinStatic 0 4.455 0 8.4808 0 6.521

10 0 DEAD LinStatic 0 4.455 0 -8.4808 0 19.8874

10 3 DEAD LinStatic 0 4.455 0 -8.4808 0 6.521


4.3.5 Perbandingan Antara Hasil MATLAB dan SAP

Displacement :

Joint

SAP MATLAB % Diff

m rad rad m rad rad m rad rad

v θx θy v θx θy v θx θy

1 -0.01742 0.002275 0.006175 -0.01742 0.002275 0.006173 0 0 -0.0324

2 -0.01742 0.002275 -0.00618 -0.01742 0.002275 -0.006173 0 0 -0.0324

3 -0.00888 0.003651 -0.00322 -0.00888 0.00365 -0.003215 0 -0.0274 -0.0311

4 -0.00888 0.003651 0.003216 -0.00888 0.00365 0.003215 0 -0.0274 -0.0311

5 0 0 0 0 0 0 0 0 0

6 0 0 0 0 0 0 0 0 0

7 0 0 0 0 0 0 0 0 0

8 0 0 0 0 0 0 0 0 0

9 0 0 0 0 0 0 0 0 0

10 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Gaya-gaya Dalam :

Nodal

SAP MATLAB % Diff

T M3 V2 T M3 V2 T M3 V2

KN-m KN-m KN KN-m KN-m KN KN-m KN-m KN

1 1.78E-15 88.9214 -2.8E-14 0 88.9232 0 0 -0.00202 0

1 1.78E-15 88.9214 -2.8E-14 0 88.9232 0 0 -0.00202 0

2 8.4808 19.8874 4.455 8.4789 19.8881 4.4562 0.022409 -0.00352 -0.02693

2 8.4808 6.521 4.455 8.4789 6.5196 4.4562 0.022409 0.021474 -0.02693

51


3 -5.3E-15 46.3099 1.42E-14 0 46.3102 0 0 -0.00065 0

3 -5.3E-15 46.3099 1.42E-14 0 46.3102 0 0 -0.00065 0

4 -8.4808 19.8874 4.455 -8.4789 19.8881 4.4562 0.022409 -0.00352 -0.02693

4 -8.4808 6.521 4.455 -8.4789 6.5196 4.4562 0.022409 0.021474 -0.02693

5 6.521 -215.964 -104.455 6.5196 -215.9644 -104.456 0.021474 -9.3E-05 -0.00115

5 6.521 97.4023 -104.455 6.5196 97.4021 -104.456 0.021474 0.000205 -0.00115

6 -6.521 97.4023 104.455 -6.5196 97.4021 104.4562 0.021474 0.000205 -0.00115

6 -6.521 -215.964 104.455 -6.5196 -215.9664 104.4562 0.021474 -0.00102 -0.00115

7 -10.463 47.046 51.946 -10.4604 47.0459 51.9462 0.024856 0.000213 -0.00039

7 -10.463 -108.793 51.946 -10.4604 -108.7928 51.9462 0.024856 -0.00028 -0.00039

8 10.463 -108.793 -51.946 10.463 -108.7928 -51.9462 0 -0.00028 -0.00039

8 10.463 47.046 -51.946 10.463 47.0459 -51.9462 0 0.000213 -0.00039

9 -9.2169 -100.445 -43.598 -9.2145 -100.4442 -43.5976 0.026046 0.000498 0.000917

9 -9.2169 30.3504 -43.598 -9.2145 30.3486 -43.5976 0.026046 0.005931 0.000917

10 9.2169 -100.445 -43.598 9.2145 -100.4442 -43.5976 0.026046 0.000498 0.000917

10 9.2169 30.3504 -43.598 9.2145 30.3486 -43.5976 0.026046 0.005931 0.000917


Joint

SAP MATLAB % Diff

Fz Mx Mz Fz Mx Mz Fz Mx Mz

KN KN-m KN-m KN KN-m KN-m KN KN-m KN-m

5 104.455 -6.521 -215.964 104.4562 -6.5196 -215.9664 -0.00115 0.021474 -0.00102

6 104.455 -6.521 215.9642 104.4562 -6.5196 215.9664 -0.00115 0.021474 -0.00102

7 51.946 -10.463 108.7925 51.9462 -10.4604 108.7928 -0.00039 0.024856 -0.00028

8 51.946 -10.463 -108.793 51.9462 -10.4604 -108.7928 -0.00039 0.024856 -0.00028

9 43.598 -100.445 -9.2169 43.5976 -100.4442 -9.2145 0.000917 0.000498 0.026046

10 43.598 -100.445 9.2169 43.5976 -100.4442 9.2145 0.000917 0.000498 0.026046

4.4 Kesimpulan

Dari hasil perhitungan elemen grid dengan bantuan program MATLAB

dan verifikasi dengan program SAP 2000, dapat diambil kesimpulan bahwa

program SAP telah memfasilitasi analisa struktur dengan metode elemen hingga

dengan sangat baik. Program MATLAB juga merupakan program yang powerful

dalam permodelan analisa struktur dengan metode elemen hingga. Kedua program

ini memberikan hasil yang satisfied dan akurat.

fem report

Documents