fajar arif setyawan, arif budi setyawan, wegig satyawada, rahman setiawan

Upload: khoiruz-zahra

Post on 07-Jul-2018

241 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

  • 8/18/2019 Fajar Arif Setyawan, Arif Budi Setyawan, Wegig Satyawada, Rahman Setiawan

    1/22

    GEOMETRI TRANSFORMASI

    HASIL KALI TRANSFORMASI

    Disusun oleh :

    Fajar Arif Setyaan !"#$#"$%$&'(

    Arif )u*i Setyaan !"#$#"$%$&+(

    ,e-i- Satyaa*a !"#$#"$%$&.(

    Rah/an Setiaan !"#$#"$%$&0(

    12R2SAN MATEMATIKA

    FAK2LTAS MATEMATIKA DAN ILM2 3ENGETAH2AN ALAM

    2NI4ERSITAS NEGERI SEMARANG

    &$$0

  • 8/18/2019 Fajar Arif Setyawan, Arif Budi Setyawan, Wegig Satyawada, Rahman Setiawan

    2/22

    HASIL KALI TRANSFORMASIDefinisi :

    Andaikan F dan G dua transformasi, dengan

    F : V V

    G : V V

    Maka komposisi dari F dan G yang ditulis sebagai G F didefinisikan sebagai:

    (GF) (P) = G[F(P), ∀ P∈V

    Teore/a :

    !ika F : V V dan G : V V masing"masing suatu transformasi maka #asil kali $ =

    GF : V V adala# %uga suatu transformasi&

    )u5ti :

    Akan dibuktikan $ = GF suatu transformasi&

    'ntuk ini #arus dibuktikan dua #al yaitu $ sur%ektif dan $ in%ektif&

    1) Akan dibuktikan $ sur%ektif&

    arena F transformasi maka daera# nilai F adala# seluru# bidang V, dan

    daera# asal G %uga seluru# V sebab G suatu transformasi&

    Ambil ∈ y  V, apaka# ada x se#ingga $( x) =  y Akan dibuktikan  y = $( x)&

    arena G transformasi maka ∈∀ y V   ∈∃  z  V   y∋ = G( z )&

    arena F suatu transformasi maka pada ∈∃ x z  V   z ∋ = F( x)&

    Maka  y = G[F( x) atau  y = GF ( x)&

    !adi  y = $( x)&

    1a*i H surje5tif6

    2) Akan dibuktikan $ in%ektif&

    Artinya, !ika P * maka $(P) $(*) ∀ P,* + V&

    Ambil P,* + V dan P *& arena F in%ektif maka F(P)  F(*)&

    !elas G(F(P)) G(F(*)) karena G in%ektif&

    -iperole#, !ika P * maka G(F(P)) G(F(*)) ∀P,* + V&

    1a*i H inje5tif6

    arena $ sur%ektif dan $ in%ektif maka H suatu transfor/asi6

    1a*i H 7 GF suatu transfor/asi6

  • 8/18/2019 Fajar Arif Setyawan, Arif Budi Setyawan, Wegig Satyawada, Rahman Setiawan

    3/22

    .atatan : -engan %alan yang serupa dapat pula dibuktikan ba#/a #asil kali F G

     %uga suatu transformasi&

    Soal8soal

    1). -iketa#ui : garis"garis g  dan h dan titik"titik P,* dan &

    0ukisla# :

    a). A = Mg[M#(P)

    b). 1 = M#[Mg(P)

    c). . = M#[M#(P)

    d). - = Mg[M#()

    e). 2 se#ingga M#[Mg(2) = *

    f). Apaka# MgM# = M#Mg

    !a/ab:

    a)&

     b)&

    3)&

    M#(P)

    A

     g 

    h

    P

    *

    1

     g 

    h

    Mg(P)

    P

  • 8/18/2019 Fajar Arif Setyawan, Arif Budi Setyawan, Wegig Satyawada, Rahman Setiawan

    4/22

    d)&

    e)&

    f)& 4idak, sebab terli#at pada nomor (a) dan (b), diperole# Mg[M#(P)≠

    M#[Mg(P)&

    2). -iketa#ui : 4 dan 5 isometri

    5elidiki :

    a). 45 sebua# isometri

     g 

    h

    M#(P)

    P = M#[M

    #(P)

    = -

     g 

    h

    P

    *

     g 

    h

    P

    *

    M#(*)

  • 8/18/2019 Fajar Arif Setyawan, Arif Budi Setyawan, Wegig Satyawada, Rahman Setiawan

    5/22

    b). 45 = 54

    c). !ika g  sebua# garis maka g 6 = (45)( g ) %uga sebua# garis&

    d). !ika g  77 h dan g 6 = (45)( g ), h6 = (45)(h) maka g 6 77 h6

    !a/ab :

    a). 4 dan 5 adala# isometri"isometri se#ingga 4 dan 5 adala# suatu

    transformasi

    1erdasarkan teorema 8!ika F : V V dan G : V V masing"masing suatu

    transformasi, maka #asil kali $ = G F : V V adala# %uga suatu

    transformasi9, maka 45 %uga transformasi&

    Adb apaka# 45 isometri

    Ambil sebarang titik A, 1∈V

    5(A) = A6, 5(1) = 16

    arena 5 isometri se#ingga A1 = A616

    4(A6) = A9, 4(16) = 19

    arena 4 suatu isometri se#ingga A616 = A919

    -engan demikian A1 = A616 = A919

    45(A) = 4[5(A) 45(A) = 4[5(A)

    = 4(A6) = 4(16)

    = A9 = 19

    arena A1 = A919 se#ingga 45 sebua# isometri&

    !adi 45 adala# suatu isometri&

    b). Adb 45 = 54

    c). Apabila g  sebua# garis maka g 6 = 45( g ) %uga sebua# garis

    4ela# diketa#ui ba#/a 45 sebua# isometri

    1erdasarkan teorema 8sebua# isometri memetakan garis men%adi garis9

    Maka g 6 = 45( g ) adala# sebua# garis

    !adi pernyataan 8%ika g  sebua# garis maka g 6 = 45( g ) %uga sebua# garis9

     benar&

    d). Apabila g  77 h dan g 6 = 45( g ), h6 = 45(h) maka g 677 h6

    arena 45 sebua# isometri, berdasarkan teorema 8sebua# isometri

    menga/etkan kese%a%aran dua garis9

  • 8/18/2019 Fajar Arif Setyawan, Arif Budi Setyawan, Wegig Satyawada, Rahman Setiawan

    6/22

    5e#ingga diperole# g 677 h6 dengan g 6 = 45( g ), h6 = 45(h), g  77 h

    !adi pernyataan 8Apabila g  77 h dan g 6 = 45( g ), h6 = 45(h) maka g 677 h69

     benar&

    3). -iketa#ui : garis"garis g  dan h, A∈   g , 1∈  h, . ∈  h

    0ukisla# :

    a). Mg[M#(∆A1.)

    b). M#[Mg(∆A1.)

    c). se#ingga Mg[M#() =  

    d). 2 se#ingga M#[Mg(2) = -

    !a/ab:

    a).

    M#(A) = A6

    M#(1) = 16 (karena 1   h∈  maka M#(1) = 16)

    M#(.) = .6

    Mg(A6) = A9

    Mg(16) = 19

    Mg(.6) = .9

    !adi, Mg[M#(A1.) = A919.9

    19

    A9

    .9

    .6

    A6

    1.

    A

    h

     g 

  • 8/18/2019 Fajar Arif Setyawan, Arif Budi Setyawan, Wegig Satyawada, Rahman Setiawan

    7/22

    b).

    Mg(A) = A6 = A (karena A  g ∈ )

    Mg(1) = 16

    Mg(.) = .6

    M#(A6) = A9

    M#(16) = 19

    M#(.6) = .9

    !adi, M#[Mg(A1.) = A919.9

    c). Akan dilukis se#ingga Mg[M#() =  

    Mg[M#() = ⇔  (MgM#)() =  

    $asil kali persamaan (MgM#)() = #anya akan ter%adi pada titik potong

    antara garis g  dan garis h& le# karena itu adala# titik potong garis g 

    dan garis h&

    d). Akan dilukiskan titik 2 se#ingga M#[Mg(2) = -

    arena -   h∈  maka -6 = M#(-) = -

    5e#ingga diperole# Mg(2) = -

    16

    19

    .6

    .9

    A9

    1.

    A = A6

    h

     g 

     

    h

     g 

  • 8/18/2019 Fajar Arif Setyawan, Arif Budi Setyawan, Wegig Satyawada, Rahman Setiawan

    8/22

    !adi, 2 adala# prapeta - ole# Mg

    4). -iketa#ui : garis"garis g , h, k  dengan g  77 k 

    0ukisla# :

    a).   g 6 = M#[Mg( g )

    b).   g 6 = Mg[M#( g )

    c).   k 6 = Mg[M#(k )

    !a/ab:

    a).   g 6 = M#[Mg( g )

    b).   g 6 = Mg[M#( g )

    -

    h

     g 

     g ;

    h g 

     g ;

    M#( g )

    h  g 

  • 8/18/2019 Fajar Arif Setyawan, Arif Budi Setyawan, Wegig Satyawada, Rahman Setiawan

    9/22

    c). k6 = Mg[M#(k )

     

    5). -iketa#ui : dua garis g  dan h yang berpotongan

    0ukisla# :

    a).   k  se#ingga Mg[M#(k ) = g 

    b).   m se#ingga M#[Mg(m) = g 

    c).   n se#ingga M#[Mg(n) membagi sama besar sudut lan3ip antara g  dan h

    !a/ab:

    6). -iketa#ui : padanan 5 dan 4 sebagai berikut

    -aera# asal 5 adala# g , 5(

  • 8/18/2019 Fajar Arif Setyawan, Arif Budi Setyawan, Wegig Satyawada, Rahman Setiawan

    10/22

    b). arena 45(

  • 8/18/2019 Fajar Arif Setyawan, Arif Budi Setyawan, Wegig Satyawada, Rahman Setiawan

    11/22

    = ( ){ } R y y   ∈,,=

    !adi, diperole# M#[Mg( g ) adala# sumbu"@ sebua# sistem sumbu

    ortogonal& Persamaan garis M#[Mg( g ) adala# x = &

    b). Akan ditentukan P9 = M#[Mg(P) dengan P = (,>)

    M#[Mg(P) = M#[Mg(,>)

    = M#[(,">)

    = (">,)

    !adi P9 = (">,)&

    c). Akan ditentukan *9 = Mg[M#(*) dengan * = (>,"?)M#(*) = M#(>,"?)

    = ("?,>)

    !adi, *9 = Mg[M#(*)

    = Mg("?,>)

    = ("?,">)

    d). Akan ditentukan 29 = Mg[M#(2) dengan 2 = ( x, y)

    29 = Mg[M#(2)

    = Mg[M#( x, y)

    = Mg( y, x)

    = ( y," x)

    e). m(∠229) = &&&

    Misalkan m(∠229) =

    29( y," x)

    2( x, y)

    (,)

  • 8/18/2019 Fajar Arif Setyawan, Arif Budi Setyawan, Wegig Satyawada, Rahman Setiawan

    12/22

    ( ) ( ) ( )   ( )   ( )( )( )

    ( )

    °=°=⇔

    =⇔

    =+−⇔

    +−+++=++++−⇔

    −++−−+++=++−⇔

    −+=

    BC=atauD=

    =3os

    =3osB

    3osBBB

    3osB

    3os2E2 B2E2 22E

    BB

    BBBBBBBBBB

    BBBBBBBBBB

    BBB

     y x

     y x x y y x x xy y y xy x

     x y y x x y y x x y y x

    !adi, m(∠229) = D

    8). -iketa#ui : dua garis g  dan h yang berbeda berpotongan di P

    1uktikan : Mg[M#(A) = P %ika dan #anya %ika A = P

    1ukti :

    Garis g  dan h berpotongan di titik P, maka P   g ∈  dan P   h∈

    (1)   ( )⇒  -iketa#ui Mg[M#(A) = P &&&&&&&&&&(i)

    Akan dibuktikan %ika Mg[M#(A) = P maka A = P

    arena P , g ∈  menurut definisi pen3erminan,

    Mg(P) = P &&&&&&&&&&(ii)

    -ari (i) dan (ii) diperole#

    Mg[M#(A) = P = Mg(P)⇔ M#(A) = P &&&&&&&&&&(iii)

    arena P ,h∈ menurut definisi pen3erminan,

    M#(P) = P &&&&&&&&&&(i)

    -ari (iii) dan (i) diperole#

    M#(A) = P = M#(P)⇔ A = P

    !adi, %ika Mg[M#(A) = P maka A = P (terbukti)

    (2)   ( )⇐  -iketa#ui A = P

    Akan dibuktikan %ika A = P maka Mg[M#(A) = P

    arena A = P dan P ,h∈  menurut definisi pen3erminan,

    M#(A) = M#(P) = P

    arena P , g ∈  menurut definisi pen3erminan,

    Mg(P) = P = Mg[M#(A) se#ingga Mg[M#(A) = P

  • 8/18/2019 Fajar Arif Setyawan, Arif Budi Setyawan, Wegig Satyawada, Rahman Setiawan

    13/22

    !adi, %ika A = P maka Mg[M#(A) = P (terbukti)

    -ari (?) dan (B) diperole# :

    !ika dua garis g  dan h yang berbeda berpotongan di P, maka

    Mg[M#(A) = P %ika dan #anya %ika A = P (terbukti)

    D)& -iketa#ui : andaikan g  sumbu < dan h =( ){ } x y y x   =,

    5 adala# padanan yang didefinisikan sebagai berikut :

    !ika P   g ∈  maka 5(P) = P, %ika P   g ∉  maka 5(P) adala# titik tenga# ruas garis

    tegak lurus dari P pada g 

    -itanyakan :

    a). 1uktikan 5 suatu transformasi

    b). !ika P = (H,y) sebua# titik sembarang, tentukan koordinat"koordinat titik 

    5[Mg(P)

    c). 5elidiki apaka# 5 Mg = Mg 5

    d). 5elidiki apaka# 5 M# = M# 5

    !a/ab:

    a). 5 : V VAkan dibuktikan 5 bi%ektif 

    (i). Akan dibuktikan 5 sur%ektif 

    (?)& 'ntuk P   g ∈

    Ambil sebarang P∈V

    !elas prapeta P = P sebab 5(P) = P

    (B)& 'ntuk P   g ∉

    le# karena V bidang eu3lide maka terdapat dengan tunggal P

    dengan P P4∈  dimana 4   g ∈  dan P4  g

    5e#ingga P< =

  • 8/18/2019 Fajar Arif Setyawan, Arif Budi Setyawan, Wegig Satyawada, Rahman Setiawan

    14/22

    Ambil sebarang P, *∈V dengan P≠ *

    (?)& 'ntuk P, *

      g ∈

    !elas 5(P) = P dan 5(*) = *

    arena P≠ * maka 5(P)≠ 5(*)

    (B)& 'ntuk P   g ∈  dan *   g ∉

    !elas 5(P) = P dan 5(*) = )& 'ntuk P, *   g ∉

    !elas 5(P) = @, dimana @ titik tenga# ruas garis tegak lurus dari

    P pada g  dan 5(*) = < titik tenga# ruas garis tegak lurus dari *

     pada g &

    Andaikan 5(P) = 5(*) atau @ = <

    arena @ titik tenga# ruas garis tegak lurus dari P pada  g ,

    misalkan ruas garis tersebut dinamakan P4  dimana 4   g ∈ &

    Maka @ P4∈  dan P@ = @4

    arena < = @ maka < P4∈  dan P< =

  • 8/18/2019 Fajar Arif Setyawan, Arif Budi Setyawan, Wegig Satyawada, Rahman Setiawan

    15/22

    5[Mg(P) =)

    B

    ?,(   y x −

    c). Ambil sebarang P = ( x, y)

    (i)& 'ntuk P   g ∈

    [5(P)M(P)[M5 P(P)M[5(P)M maka P5(P)

    P5(P)(P)[M5 maka P(P)M

    gg

    gg

    gg=

    ===

    ===

    (ii)& 'ntuk P   g ∉

    [5(P)M(P)[M5 )

    B

    ?,(M[5(P)M maka )

    B

    ?,(5(P)

    )B

    ?,(5(P)(P)[M5 maka ),((P)M

    gg

    gg

    gg

    =

    −=−=

    −==−=

     y x y x

     y x y x

    !adi,[5(P)M(P)[M5 gg   =

    d). Ambil sebarang P = ( x, y)

    (i)& 'ntuk P   g ∈

    (P)[M5[5(P)M 

    ),=([5(P)M maka )=,(5(P)

    )B

    ?,=((P)[M5 maka ),=((P)M

    ##

    #

    ## ≠

    ==

    ==

     x x

     x x

    (ii)& 'ntuk P   g ∉

    (P)[M5[5(P)M 

    ),B

    ?([5(P)M maka )

    B

    ?,(5(P)

    )B

    ?,((P)[M5 maka ),((P)M

    ##

    #

    ##

    ==

    ==

     x y y x

     x y x y

    !adi, (P)[M5[5(P)M ##   ≠

    ?)& -iketa#ui : g  =( ){ }=,   = y y x

     dan h =( ){ } x y y x   =,

    5 transfomasi (yang didefinisikan seperti nomor D)

    A = (B,"J) dan P = ( x, y)

    4entukan koordinat"koordinat titik"titik berikut :

    a). M# Mg 5(A) d)& M# 5 Mg(A)

    b). Mg 5 M#(A) e)& 5B M#(A)

    c). 5 M# 5(A) f)& 5 MB

    g(A)

  • 8/18/2019 Fajar Arif Setyawan, Arif Budi Setyawan, Wegig Satyawada, Rahman Setiawan

    16/22

    !a/ab:

    a). A = (B, "J)

    A6 = 5(A)

    5esuai definisi 5 (%ika P   g ∈  maka 5(P) adala# titik tenga# ruas garis

    tegak lurus dari P pada g ) maka A6 adala# titik tenga# garis yang melalui

    A dan  g &

    A6 =)K,B()

    B

    )J(=,

    B

    BB(   −=

    −++

    !adi, 5(A) = (B,"K)

    A9 = Mg5(A) = Mg(B,"K)

    5esuai definisi pen3erminan, maka garis g  adala# garis sumbu titik (B, "K)

    dan A9& Misal:

    A9 = (a, b), maka:

    K,B)BB,

    B?()=,B()

    B

    K,

    B

    B()=,B(   ==⇔−+=⇔

    +−+=   ba

    baba

    !adi, A9 = Mg5(A) = Mg(B,K)

    A96 = M#(A9) = M#Mg5(A) = M#(B,K)

    5esuai definisi pen3erminan, maka garis h adala# garis sumbu titik (B,K)

    dan A96& Misal A96 = (a6, b6), maka:

    'ntuk men3ari titik tenga# A9 dan A96

    Misal titik tenga# A9 dan A96 adala# L, maka L   h∈

    arena h  adala# garis  y  =  x, maka nilai absis sama dengan ordinat,

    gradien h = ?

    Misal L = (m,m)

    Persamaan garis melalui A9 dan L:

    )K(?B   +−=⇔−−=−   x y x y (dengan gradien(m) = ?)

    5ubtitusikan L(m,m) pada +−=   x y  maka >B   =⇔=⇔+−=   mmmm

    !adi, L(>,>)&

    11). -iketa#ui : andaikan g  dan h dua garis yang tegak lurus

  • 8/18/2019 Fajar Arif Setyawan, Arif Budi Setyawan, Wegig Satyawada, Rahman Setiawan

    17/22

    A, 1, . adala# tiga bua# titik, se#ingga Mg(A) = 1 dan M#(A) = .

    -itanyakan : tentukan titik"titik 

    a). M>g(A) 3)& M#MgM#M#Mg(A)

    b). M#MgM#(A) d)& MB

    gM>#(A)

    !a/ab:

    Misalkan seperti gambar berikut:

    a). M>g(A) = (MgMgMg)(A) 3)& M#MgM#M#Mg(A)

    = (MgMg)[Mg(A) = (M#MgMB#)[Mg(A)

    = (MgMg)(1) = (M#MgMB#)(1)

    = Mg[Mg(A) = (M#Mg)[MB

    #(1)

    = Mg(A) = (M#Mg)(1)

    = 1 = M#[Mg(1)

    = M#(A)

    = .

    b). (M#MgM#)(A)= (M#Mg)[M#(A) d)& MBgM

    >#(A) = (M

    BgM#)[M

    B# (A)

    = (M#Mg)(.) = (MBgM#)(A)

    = M#[Mg(.) = MBg[M#(A)

    = M#(-) = MBg(.)

    = 1 = .

    ?B)& -iketa#ui : dua garis, g  77 h, titik"titik P dan *, P   g ∉  dan P   h∉

    -itanyakan :

    a). 0ukisla# P9 = MgM#(P) dan *9 = MgM#(*)

    h

     g 

    -( x," y).(" x," y)

    A(" x, y) 1( x, y)

  • 8/18/2019 Fajar Arif Setyawan, Arif Budi Setyawan, Wegig Satyawada, Rahman Setiawan

    18/22

    b). 1erbentuk apaka# segiempat PP9**9

    c). 1uktikan pendapat anda

    !a/ab:

    a).

    b). 5egiempat PP9*9* berbentuk %a%argen%ang

    c).  g  77 h, P9 = MgM#(P), dan *9 = MgM#(*)

    !adi, *EPE = MgM#(P* )

    arena pen3erminan suatu isometri, maka *EPE 77 P*  dan*EPE

    =P*

    ,

    dengan demikian segiempat PP9*9* suatu %a%argen%ang (berdasarkan

    teorema 8segiempat yang memiliki sepasang sisi yang se%a%ar dan sama

     pan%ang adala# %a%argen%ang9)&

    13). -iketa#ui :  g   =( ){ },>,   = y y x

      h  =( ){ },?,   −= y y x

      dan k  sebua# garis yang

    melalui A = (?,K) dan 1 = ("?,"B)

    4entukanla# :

    a). Persamaan k 6 = MgM#(k )

    b). 0uas segiempat AA9119 apabila A9 = MgM#(A) dan 19 = MgM#(1)

    c). oordinat P9 = MgM#(P), P9 = MgM#(P) apabila P = ( x, y)

    MgM

    #(*) = *9

    MgM

    #(P) = P9

    *6 = M#(*)

    P6 = M#(P) P

    *

    h g 

  • 8/18/2019 Fajar Arif Setyawan, Arif Budi Setyawan, Wegig Satyawada, Rahman Setiawan

    19/22

    d).  Nilai dalam persamaan garis( ){ },   ==   y y xh

      apabila

    ( ){ },B,   ==   x y x g  A = (O,?), dan A9 = M#Mg(A) = (">,?)

    !a/ab:

    a).   k 6 = MgM#(k )

    arena A   k ∈   dan 1   k ∈ , se#ingga A9=MgM#(A)   k ∈ dan 19=MgM#(1)

    k ∈ &

    A9 = (?,?B), 19 = ("?,)& Misal A9 = ),( ??   y x dan 19 = ),( BB   y x &

    Persamaan garis k 6:

    ??

    ?

    ?B

    ?B

    ?B

    ?

    ?B

    ?

    −−

    −=

    −⇔

    −=

    −   x y

     x x

     x x

     y y

     y y

    D>

    >>?B

    )?(>?B

    B

    ?

    ?B

    +=⇔

    −=−⇔

    −=−⇔−

    −=

    −⇔

     x y

     x y

     x y

     x y

    !adi, persamaan garis D>:;   +=   x yk 

    b). AA9191 membentuk bangun %a%argen%ang dengan alas(a) = B d an

    tinggi(t ) = J& 0uas = a H t  = B H J = ?

    !adi, luas AA9191 = ? satuan luas&

    3)& P ),(   y x & Pen3erminan titik P ter#adap garis h  M#(P) = P6);,;(   y x

    arena garis h  merupakan sumbu PP6, se#ingga "? merupakan titik 

    tenga# dari  y dan  y6:

    B;B;?B

    ;−−=⇔−=−⇔−=

    − y y y y

     y y

     dan  x x =;

    !adi, koordinat titik P6( x, " y  B)

    Pen3erminan titik P6 ter#adap garis g   Mg[M#(P) = P9)E,E(   y x

    arena garis  g   merupakan sumbu P6P9, se#ingga > merupakan titik 

    tenga# dari  y6 dan  y9:

  • 8/18/2019 Fajar Arif Setyawan, Arif Budi Setyawan, Wegig Satyawada, Rahman Setiawan

    20/22

    JE)B(E;EE;>B

    E;+=⇔−−−=⇔−=⇔=−⇔=

    − y y y y y y y y

     y y

    -an  x x x   == ;E

    !adi, koordinat titik P9( x, y Q J)

    d).  ( ){ },   ==   y y xh

    ,( ){ },B,   ==   x y x g 

     A = (O,?), dan A9 = M#Mg(A) = ("

    >,?), berapa

    Pen3erminan titik A ter#adap garis( ){ }B,   ==   x y x g 

    : Mg(A) = A6);,;(   y x

    arena garis  g   merupakan sumbu AA6 (dari definisi pen3erminan),

    se#ingga x = B merupakan titik tenga# O dan x6 sedangkan  y6 = ? (tetap)&

    ?;K;OBB

    ;O−=⇔=+⇔=

    + x x

     x

    !adi, A6 = Mg(O,?) = ("?,?)

    Pen3erminan titik A6 ter#adap garis( ){ },   ==   y y xh

    : A9 = M#(A6) =

    M#("?,?) = (">,?)

    arena garis h  merupakan sumbu A6A9 (dari definisi pen3erminan),

    se#ingga x = merupakan titik tenga# "? dan "> sedangkan  y9 = y = ?&

    BB

    )>(?−=⇔=

    −+−

    !adi, persamaan garis( ){ }B,   ==   y y xh

    ?K)& -iketa#ui : dua garis, g   h, * ,h g  ∩=  dan sebua# titik P , g ∉ dan P   h∉

    -itanyakan :e). 0ukisla# A = MgM#(P)

    f)& 5elidiki apaka# * titik tenga# AP

    g). 0ukisla# 1 = M#Mg(P)

    !a/ab:

    a). A = MgM#(P)

    5

    2 h

     g 

    *

    P

    M#(P) A

  • 8/18/2019 Fajar Arif Setyawan, Arif Budi Setyawan, Wegig Satyawada, Rahman Setiawan

    21/22

    b). Misalkan M#(P) = P6

    Maka PP;  memotong h di titik 2 dan AP;  memotong g  di titik 5

    arena P6 adala# pen3erminan dari P maka P2 = 2P6 dan PP;  h

    arena A adala# pen3erminan dari P6 maka P65 = 5A dan AP;   g 

    arena PP;  h dan g   h maka PP; 77 g  se#ingga 2P6 = *5

    arena AP;   g  dan g h maka AP; 77 h se#ingga P65 = 2*

    Per#atikan P2* dan *5A

    P2 = 2P6 dan 2P6 = *5 maka P2 = *5

    m(P2*) = m(*5A) = D

    2* = P65 dan P65 = 5A maka 2* = 5A

    1erdasarkan sistem aksioma kekongruenan

    Maka P2* ≅  *5A dengan aturan 5 5d 5

    5e#ingga P* = *A

    arena P* = *A dan P*∈ PA  dan *A∈ PA  maka * tenga#"tenga#PA

    !adi, titik * pada pertenga#an PA

    c). A = MgM#(P)

       h

       g   1

         M   g  (   P  )   P

  • 8/18/2019 Fajar Arif Setyawan, Arif Budi Setyawan, Wegig Satyawada, Rahman Setiawan

    22/22

    15). -iketa#ui : h  adala# sumbu"< dan  g   sumbu"@ sebua# sistem sumbu

    ortogonal

    A = (K,">) dan P = ( x, y)

    4entukanla# :

    a). oordinat"koordinat M#Mg(A) dan MgM#(A)

    b). oordinat"koordinat M#Mg(P)

    c). Apaka# M#Mg dan MgM#

    !a/ab:

    a). M#Mg(A) = M#[Mg(A)

    = M#[Mg(K,">)

    = M#("K,">)

    = ("K,>)

    MgM#(A) = Mg[M#(A)

    = Mg[M#(K,">)

    = M#(K,>)

    = ("K,>)

    b). M#Mg(P) = M#[Mg( x, y)

    = M#(" x, y)

    = (" x," y)

    c). MgM#(P) = Mg[M#( x, y)

    = Mg( x," y)

    = (" x, " y)

    4ernyata M#Mg(P) = (" x," y) = MgM#(P)

    !adi, M#Mg(P) = MgM#(P)