estimasi parameter batas pengendali...

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

i

ESTIMASI PARAMETER BATAS PENGENDALI EWMA RX -

Oleh :

ERNITA DWI HASTUTI

M0106040

SKRIPSI

Ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar

Sarjana Sains Matematika

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA

2011


commit to user

ii


commit to user

iii

MOTO

“Tuhan pasti kan menunjukkan kebesaran dan kuasaNya

bagi hambaNya yang sabar dan tak kenal putus asa”

(D’Masiv)


commit to user

iv

PERSEMBAHAN

Karya ini saya persembahkan untuk

Orang tuaku tercinta atas doa, kasih sayang, kesabaran, semangat dan

pengorbanan yang diberikan.

Saudara-saudara atas doa dan pengorbanan yang diberikan.


commit to user

v

ABSTRAK

Ernita Dwi Hastuti, 2011. ESTIMASI PARAMETER BATAS PENGENDALI EWMA &呻− 观. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret.

Grafik pengendali Exponentially Weighted Moving Average (EWMA) ialah sebuah grafik yang digunakan untuk mengendalikan proses secara statistik dan sebagai alat untuk mempertimbangkan apakah proses terkendali secara statistik atau tidak. Grafik pengendali EWMA sangat efektif untuk pergeseran proses yang kecil karena grafik EWMA menggunakan informasi dari sampel sebelumnya. Dalam suatu proses produksi tidak ada dua unit produk yang identik, sehingga adanya variansi tidak dapat dihindarkan. Oleh karena itu dibutuhkan dua grafik pengendali EWMA, yaitu grafik pengendali EWMA untuk mendeteksi pergeseran proses mean dan grafik pengendali EWMA untuk mendeteksi pergeseran proses variansi.

Dalam penelitian ini dikaji grafik pengendali EWMA untuk mean dan variansi secara terpisah dan grafik pengendali EWMA &呻− 观 untuk memonitor proses mean dan variansi secara bersama-sama. Grafik pengendali EWMA untuk mean dan variansi secara terpisah dapat dibuat dengan mencari statistik yang digambarkan pada grafik pengendali. Sedangkan statistik yang digambarkan pada grafik pengendali EWMA &呻− 观 merupakan maksimum nilai mutlak dari statistik untuk mean dan variansi. Untuk memperjelas kajian teori digunakan contoh kasus data netto kemasan air minum Makhoa 240 ml. Hasil penelitian menunjukkan bahwa grafik pengendali EWMA untuk memonitor proses mean dan variansi secara bersama-sama dan secara terpisah memberikan hasil yang sama yaitu prosesnya terkendali namun batas pengendalinya yang berbeda. Namun grafik pengendali EWMA &呻− 观 akan lebih efisien bila dibandingkan dengan grafik pengendali EWMA secara terpisah, karena grafik pengendali EWMA &呻− 观 memiliki lebar batas pengendali yang lebih sempit. Kata kunci: Mean, variansi, EWMA, EWMA &呻− 观


commit to user

vi

ABSTRACT

Ernita Dwi Hastuti, 2011. ESTIMATION OF PARAMETER EWMA &呻− 观 CONTROL LIMITS. Mathematics and Natural Sciences Faculty, Sebelas Maret University.

Exponentially Weighted Moving Average (EWMA) control chart is a chart which is used for statistical processing control and as a tool to consider whether the process is controlled statistically or not. EWMA control chart is very effective for a small shift because EWMA chart using information from previous samples. There is no identical of two units product in the production process, so the variance is inevitable. So that we need two EWMA control chart, i.e. EWMA control chart to detect the shift of mean process and EWMA control chart to detect the shift of variance process.

In this study we assessed EWMA control charts for mean and variance separately and EWMA &呻− 观 control charts to monitor the process mean and variance simultaneously. We can made EWMA control chart for mean and variance separately by finding the statistics that plotted on control chart. Otherwise, the statistics that plotted on EWMA &呻− 观 is the maximum absolute value of the statistics for the mean and variance. To clarify the theoretical studies we used the example of the net data packaging of 240 ml Makhoa drinking water. The result shows that the EWMA control chart for monitoring process of mean and variance jointly and separately gave similar results that the process is in control but the control limits are different. However, EWMA &呻− 观 control chart would be more efficient than EWMA control chart separately, because the EWMA&呻− 观 control chart has a widercontrol limits. Key words: mean, variance, EWMA, EWMA &呻− 观


commit to user

vii

KATA PENGANTAR

Puji syukur senantiasa penulis panjatkan ke hadirat Alláh SWT. atas

segala limpahan rahmat dan karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan

skripsi ini. Penulis mengucapkan terima kasih kepada:

1. Dra. Sri Sulistijowati H, M.Si dan Drs. Muslich, M.Si selaku Pembimbing I

dan Pembimbing II atas kesediaan dan kesabarannya dalam membimbing dan

memotivasi penulis dalam penyusunan skripsi ini.

2. Ibu Wiwik selaku manajer Makhoa yang telah memberikan ijin kepada penulis

untuk melakukan penelitian dan pengambilan data.

3. Semua pihak yang telah membantu menyelesaikan skripsi ini.

Semoga skripsi ini dapat memberikan manfaat bagi pembaca pada

umumnya, dan bagi penulis pada khususnya.

Surakarta, April 2011

Penulis


commit to user

viii

DAFTAR ISI

JUDUL ........................................................................................................... i

PENGESAHAN ............................................................................................. ii

MOTO ............................................................................................................ iii

PERSEMBAHAN ........................................................................................... iv

ABSTRAK ..................................................................................................... v

ABSTRACT ................................................................................................... vi

KATA PENGANTAR ................................................................................... vii

DAFTAR ISI .................................................................................................. viii

DAFTAR TABEL .......................................................................................... x

DAFTAR GAMBAR ..................................................................................... xi

DAFTAR NOTASI ........................................................................................ xii

BAB I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang ........................................................................................ 1

1.2 Perumusan Masalah ................................................................................ 3

1.3 Batasan Masalah ..................................................................................... 3

1.4 Tujuan Penelitian .................................................................................... 3

1.5 Manfaat Penelitian ................................................................................... 3

BAB II. LANDASAN TEORI

2.1 Tinjauan Pustaka .................................................................................... 4

2.1.1 Variabel random .............................................................................. 5

2.1.2 Interval kepercayaan ....................................................................... 5

2.1.3 Interval kepercayaan untuk mean ................................................... 6

2.1.4 Interval kepercayaan untuk variansi .............................................. 6

2.1.5 Pengendalian kualitas statistik ....................................................... 7

2.1.6 Pengendalian proses statistik ......................................................... 7

2.1.7 Grafik pengendali .......................................................................... 8

2.1.8 Grafik pengendali variabel ............................................................ 8


commit to user

ix

2.1.9 Grafik pengendali Shewhart .......................................................... 9

2.1.10 Grafik pengendali RX - .............................................................. 9

2.1.11 Distribusi normal ......................................................................... 12

2.1.12 Distribusi uniform ....................................................................... 12

2.1.13 Uji kenormalan ............................................................................. 12

2.1.14 Uji independensi ........................................................................... 13

2.2 Kerangka Pemikiran ................................................................................ 14

BAB III. METODE PENELITIAN

BAB IV. PEMBAHASAN

4.1 Grafik pengendali EWMA ....................................................................... 17

4.1.1 Grafik pengendali EWMA untuk proses mean ................................. 17

4.1.2 Grafik pengendali EWMA untuk proses variansi ............................. 19

4.2 Grafik pengendali EWMA RX - ............................................................ 20

4.2.1 ARL (Average Run Length) ........................................................... 24

4.2.2 Merancang grafik pengendali EWMA RX - ................................ 25

4.3 Contoh kasus ........................................................................................... 26

4.3.1 Grafik pengendali EWMA untuk proses mean ................................. 28

4.3.2 Grafik pengendali EWMA untuk proses variansi ............................ 29

4.3.2 Grafik pengendali EWMA RX - .................................................... 29

BAB V. PENUTUP

5.1 Kesimpulan ............................................................................................. 33

5.2 Saran ....................................................................................................... 34

DAFTAR PUSTAKA .................................................................................... 35

LAMPIRAN ................................................................................................... 37


commit to user

x

DAFTAR TABEL Tabel 1

Tabel 2

Tabel 3

Data sampel netto kemasan air minum Makhoa 240 ml dengan

ukuran sampel (n = 5) ………………………………………......

Nilai CDF tiap sampel ……………………………………….....

Nilai iii ZBA ,, dan iW ……………………………………….....

27

30

31


commit to user

xi

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1

Gambar 2

Gambar 3

Gambar 4

Gambar 5

Gambar 6

Grafik pengendali …………………………………………...

Plot probabilitas normal data netto air minum ………………

Plot independensi data netto air minum ……………………..

Grafik pengendali EWMA untuk proses mean ……………….

Grafik pengendali EWMA untuk proses variansi …………….

Grafik pengendali EWMA RX - …………………………...

9

26

28

28

29

32


commit to user

xii

DAFTAR NOTASI

X : Rata- rata populasi

R : Range/ rentang sampel

R : Rentang rata-rata

S : Ruang sampel

x : Observasi

m : Mean

2s : Variansi

s : Standar deviasi

s : Taksiran untuk standar deviasi

W : Rentang relatif

2d : Mean dari W

3d : standar deviasi dari W

n : Ukuran sampel

m : Banyaknya sampel

l : Konstanta smoothing

v : Derajad bebas distribusi Chi-kuadrat

d : Pergeseran proses mean

b : Pergeseran proses variansi

iZ : Statistik EWMA untuk proses mean

'iR : Range/ rentang dari distribusi normal

2iS : Statistik EWMA untuk proses variansi

iM : Statistik EWMA RX -


commit to user

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Kualitas suatu produk mempunyai hubungan yang sangat erat dengan

kepuasan pelanggan. Untuk mempertahankan kualitas, secara kontinu proses

produksi harus dimonitor dan dikendalikan. Kualitas suatu produk dapat diamati

dari beberapa karakteristik dengan suatu alat yang wajib dimiliki oleh suatu

perusahaan untuk meningkatkan kualitas produksinya. Salah satu alat yang

digunakan untuk meningkatkan kualitas produksi adalah grafik pengendali.

Grafik pengendali merupakan metode statistika yang digunakan untuk

mengontrol agar produk yang dihasilkan sesuai dengan target dan memiliki

variabilitas tidak terlalu besar.

Menurut Ariani (2005) statistik merupakan metode pengambilan keputusan

tentang suatu proses dalam populasi berdasarkan pada analisis informasi yang

terkandung di dalam sampel dari populasi tersebut. Metode statistika mempunyai

peranan yang sangat penting dalam pengendalian kualitas. Metode statistika

digunakan untuk menentukan cara-cara pengambilan sampel produk, menguji

serta mengevaluasi informasi di dalam data untuk mengendalikan dan

meningkatkan kualitas produksi.

Karakteristik kualitas yang berupa variabel, biasanya digunakan dua grafik

pengendali, yaitu grafik Ú呻, untuk memonitor proses mean dan grafik pengendali

R atau grafik pengendali S, untuk memonitor proses variansi. Pada awalnya

banyak dikembangkan grafik pengendali untuk memonitor proses mean dan

proses variansi secara terpisah, yaitu grafik pengendali Shewart, Cumulative Sum

(CUSUM), dan Exponentially Weighted Moving Average (EWMA), akan tetapi

menurut Costa dan Rahim (2006) jika menggunakan dua grafik pengendali

secara terpisah kurang efisien dalam memonitor proses, sehingga dikembangkan

pula grafik pengendali tunggal untuk memonitor proses mean dan proses variansi

1


commit to user

2

secara bersama-sama. Menurut Montgomery (2005) grafik pengendali tersebut

diklasifikasikan sebagai grafik pengendali tipe Shewart, tipe CUSUM dan tipe

EWMA. Grafik pengendali tipe Shewart hanya menggunakan informasi sampel

yang terakhir sehingga kurang sensitif terhadap pergeseran proses yang kecil,

sedangkan grafik pengendali tipe CUSUM dan tipe EWMA lebih sensitif terhadap

pergeseran proses yang kecil, karena menggunakan informasi dari beberapa

sampel.

Grafik pengendali tunggal dibuat dengan menggabungkan grafik

pengendali Ú呻 dan grafik pengendali R. Dalam membentuk grafik pengendali Ú呻

dan grafik pengendali R, nilai mean dan nilai variansi diestimasi dengan mean

sampel dan variansi sampel. Menurut Montgomery (2005) untuk ukuran sampel

kecil, misal 柜≤ 10 menghitung nilai variansi dengan range sampel akan lebih

efisien dibandingkan dengan standar deviasi, sehingga nilai variansi diestimasi

dengan range sampel.

Dalam skripsi ini penulis tertarik untuk mengkaji grafik pengendali EWMA

untuk mean dan variansi secara terpisah dan mengkaji ulang penelitian yang telah

dilakukan oleh Khoo et al. (2009) khususnya merancang grafik pengendali

EWMA Ú呻− 观 untuk mendeteksi pergeseran proses mean dan variansi secara

bersama-sama dengan menggunakan mean dan range sampel. Dalam merancang

grafik pengendali EWMA Ú呻− 观 dilakukan dengan menyusun grafik pengendali

untuk mean dan variansi secara terpisah terlebih dahulu kemudian menyusun

grafik pengendali dengan menggabungkan dua grafik pengendali sekaligus.

Selanjutnya untuk memperjelas kajian akan diterapkan pada data kemasan air

minum Makhoa 240 ml karakteristik kualitas netto.


commit to user

3

1.2 Perumusan Masalah

Perumusan masalah dalam penelitian ini adalah bagaimana merancang

grafik pengendali EWMA dengan mengestimasi parameter batas pengendali Ú呻− 观 secara terpisah dan bersama-sama untuk mendeteksi pergeseran proses

mean dan variansi.

1.3 Batasan Masalah

Pada penelitian ini, batasan masalah yang digunakan adalah penggunaaan

tabel nilai 晃扑,晃莆 dan 拐 hasil penelitian Khoo et al. (2009).

1.4 Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah mengkaji ulang estimasi parameter batas

pengendali Ú呻− 观 secara terpisah dan bersama-sama dalam pembuatan grafik

pengendali EWMA untuk mendeteksi pergeseran mean dan variansi.

1.5 Manfaat

Manfaat yang diharapkan dari penelitian ini adalah memberikan informasi

ilmiah tentang penerapan grafik pengendali EWMA untuk mendeteksi pergeseran

proses mean dan variansi baik secara terpisah maupun bersama-sama.


commit to user

4

BAB II

LANDASAN TEORI

Pada landasan teori ini akan dibahas dua subbab, yaitu tinjauan pustaka dan

kerangka pemikiran. Tinjauan pustaka berupa hasil-hasil penelitian yang telah

dilakukan peneliti terdahulu dan ada hubungannya dengan penelitian yang akan

dilakukan, selain itu juga diberikan teori-teori yang melandasi dalam kajian di

pembahasan.

2.1 Tinjauan Pustaka

Grafik pengendali adalah alat yang digunakan untuk mengendalikan proses

secara statistik dan untuk mempertimbangkan apakah proses terkendali statistik atau

tidak. Grafik pengendali Shewhart merupakan grafik pengendali yang pertama kali

dikembangkan, grafik ini diperkenalkan oleh W. A Shewhart (1931). Grafik

pengendali Shewhart kurang sensitif terhadap pergeseran proses yang kecil. Hastuti

(2002) dalam skripsinya yang berjudul “ Grafik pengendali Shewhart dan EWMA

terhadap data berkorelasi “ membahas bahwa grafik pengendali EWMA lebih sensitif

terhadap pergeseran proses yang kecil bila dibandingkan dengan grafik pengendali

Shewhart.

Karakteristik kualitas yang berupa variabel biasanya digunakan dua grafik

pengendali EWMA, yaitu untuk memonitor proses mean dan variansi. Menurut

Reynold dan Staumbos (2004) serta Costa dan Rahim (2006) grafik pengendali untuk

mean dan variansi secara terpisah kurang efisien dalam memonitor pergeseran proses,

karena harus membuat dua grafik pengendali untuk memonitor proses mean dan

variansi, sehingga dikembangkan grafik pengendali tunggal untuk memonitor proses

mean dan variansi secara bersama-sama. Chen et al. (2001) mengembangkan grafik

pengendali MaxEWMA yang merupakan grafik pengendali tunggal untuk memonitor

proses mean dan variansi dalam satu grafik pengendali. Grafik pengendali

MaxEWMA sangat efektif untuk mendeteksi pergeseran proses mean dan variansi.

Khoo et al. (2009) merancang grafik pengendali «Ǵan ö呻− 观 untuk memonitor

4


commit to user

5

proses mean dan variansi secara bersama-sama. Grafik pengendali «Ǵan ö呻− 观

merupakan pengembangan dari grafik pengendali MaxEWMA, tetapi grafik

pengendali «Ǵan ö呻− 观 menggunakan range sampel sedangkan grafik pengendali

MaxEWMA menggunakan variansi sampel.

Untuk mengkaji grafik pengendali «Ǵan ö呻− 观 diperlukan teori-teori yang

mendukung sebagai berikut.

2.1.1 Variabel Random

Menurut Bain dan Engelhardt (1995), suatu variabel random, dinotasikan X,

jika X merupakan fungsi yang didefinisikan dari seluruh ruang sampel S, yang

menghubungkan suatu bilangan asli ö纵硅邹= 果 dengan setiap hasil 硅 yang mungkin di

S. Variabel random dibedakan menjadi dua, yaitu variabel random diskrit dan

variabel random kontinu.

1) Variabel Random Diskrit

Variabel random ö disebut variabel random diskrit jika himpunan semua nilai

yang mungkin dari variabel tersebut adalah himpunan yang terhitung yaitu

nXXX ,...,, 21 . Fungsi ( ) ( )xXPxf == dengan nXXX ,...,, 21 disebut fungsi

kepadatan peluang (Bain dan Engelhardt, 1995).

2) Variabel Random Kontinu

Menurut Bain dan Engelhardt (1995), suatu variabel random X dikatakan variabel

random kontinu jika terdapat fungsi 归(果) sebagai fungsi kepadatan peluang dari X

dan disajikan sebagai 瓜纵果邹= 董归纵棍邹 é棍∞能∞ .

2.1.2 Interval Kepercayaan

Menurut Montgomery (2005) estimasi interval untuk parameter adalah

interval antara dua statistik yang dengan probabilitas tertentu memuat nilai yang

sebenarnya. Misalkan, untuk mengestimasi interval nilai mean, maka harus dicari

statistik 拐 dan 罐 sebagai berikut


commit to user

6

官走拐≤ ¶ ≤ 罐奏= 1 − 荒.

Interval 拐≤ ¶ ≤ 罐 disebut interval kepercayaan 100纵1 − 荒邹%, 拐 dan 罐 adalah limit

kepercayaan bawah dan atas, dan 1 − 荒 adalah peluang yang sebenarnya. Interpretasi

dari interval konfidensi adalah apabila banyak kali interval semacam itu dibentuk

masing-masing hasil dari suatu sampel random, maka 100纵1 − 荒邹% dari interval-

interval ini akan memuat nilai sebenarnya dari ¶.

2.1.3 Interval Kepercayaan untuk Mean

Menurut Montgomery (2005) misal ö sampel random dengan 柜 observasi.

Untuk 柜 besar, mean sampel ö呻 mendekati distribusi normal dengan mean ¶ dan

standar deviasi √柜世 . Namun nilai √柜世 ditaksir dengan 滚√柜世 . Sehingga diperoleh

interval kepercayaan 100纵1 − 荒邹% untuk mean adalah ö呻− 广崎挠世魄√坡≤ ¶ ≤ ö呻+ 广崎挠世魄√坡 (2.1)

2.1.4 Interval Kepercayaan untuk Variansi

Menurut Montgomery (2005) Misalkan ö adalah variabel random berdistribusi

normal dengan mean ¶ dan variansi 挠 yang nilainya tidak diketahui dan variansi

sampel 管挠 dihitung dengan rumus 管挠= ∑ 纵ö平− ö呻邹挠坡平能囊柜− 1 , 管挠 digunakan sebagai penaksir untuk 挠, dan akar positif 滚 sebagai penaksir untuk .

Untuk menaksir interval kepercayaan untuk digunakan distribusi 悔挠. Misalkan ö囊,ö挠, … ,ö坡 adalah sampel random dari populasi normal maka variabel 悔挠=∑ 纵撇腮能撇呻邹潜叁腮呛前弃潜 = 纵坡能囊邹骗潜弃潜 dinamakan distribusi 悔挠 dengan derajad bebas 纵柜− 1邹. Sehingga diperoleh interval kepercayaan 100纵1 − 荒邹% untuk variansi adalah 纵坡能囊邹骗潜恰潜汕潜,(叁呛前) ≤ 挠≤ 纵坡能囊邹骗潜恰潜前呛汕潜 ,(叁呛前) (2.2)


commit to user

7

2.1.5 Pengendalian Kualitas Statistik

Menurut Montgomery (2005), ada dua segi umum tentang kualitas yaitu

kualitas rancangan dan kualitas kecocokan. Kualitas rancangan adalah istilah teknik

yang digunakan untuk variasi yang memang disengaja, sedangkan kualitas kecocokan

adalah seberapa baik produk itu sesuai dengan spesifikasi dan kelonggaran yang

disyaratkan oleh rancangan itu.

Pengendalian kualitas adalah aktivitas keteknikan dan managemen dan

dengan aktivitas itu dapat diukur ciri-ciri produk, membandingkannya dengan

spesifikasi atau persyaratan dan mengambil tindakan penyehatan yang sesuai apabila

ada perbedaan antara penampilan sebenarnya dan yang standar.

2.1.6 Pengendalian Proses Statistik

Menurut Ariani (2005), pengendalian proses statistik merupakan teknik

penyelesaian masalah yang digunakan sebagai pemonitor, pengendali, penganalisis,

pengelola dan memperbaiki proses menggunakan metode-metode statistik. Selain

karakteristik kualitas, terdapat beberapa sumber yang berpengaruh terhadap hasil

produksi, yaitu

1. Bahan baku (raw material)

2. Operator (men)

3. Mesin (machine)

4. Lingkungan (measurement)

5. Metode (method)

Sasaran pengendalian proses statistik adalah mengadakan pengukuran

terhadap variasi-variasi atau kesalahan-kesalahan proses. Variasi proses terdiri dari

dua penyebab, yaitu penyebab tidak terduga (common cause) dan penyebab terduga

(assignable cause). Penyebab tidak terduga merupakan pengaruh kumulatif dari

banyak sebab-sebab kecil, seperti kondisi emosional karyawan, penurunan suhu udara

dan lain sebagainya. Sedangkan penyebab terduga adalah kesalahan yang berlebihan,


commit to user

8

seperti kesalahan operator, penyimpangan dalam penggunaan mesin, bahan baku

yang cacat, kesalahan perhitungan dan lain sebagainya.

Menurut Montgomery (2005) untuk memeriksa grafik pengendali dan

menyimpulkan bahwa prosesnya tak terkendali apabila dipenuhi satu atau beberapa

kriteria berikut

1. Satu atau beberapa titik di luar batas pengendali.

2. Suatu giliran dengan paling sedikit tujuh atau delapan titik, dengan macam

dapat dibentuk giliran naik atau turun, giliran di atas atau di bawah garis

tengah, atau giliran di atas atau di bawah median.

3. Dua atau tiga titik yang berurutan di luar batas peringatan 2-sigma tetapi

masih dalam batas pengendali.

4. Empat atau lima titik yang berurutan di luar batas 1-sigma

5. Pola tak biasa atau tak random dalam data.

6. Satu atau dua titik dekat satu batas peringatan atau pengendali.

2.1.7 Grafik Pengendali

Grafik pengendali adalah metode statistik yang membedakan adanya variasi-

variasi penyimpangan yang dipengaruhi oleh sebab tak terduga dan sebab terduga.

Penyimpangan yang dipengaruhi sebab terduga biasanya berada di luar batas

pengendali, sedangkan penyimpangan yang dipengaruhi oleh sebab tak terduga

berada di dalam batas pengendali (Ariani, 2005).

2.1.8 Grafik Pengendali Variabel

Menurut Montgomery (2005), untuk karakteristik kualitas yang dapat

dinyatakan dengan angka, misal diameter sekrup dapat diukur dengan mikro meter

dan juga berat bubuk coklat dapat ditimbang dengan timbangan mikro. Suatu

karakteristik yang mempunyai variasi nilai seperti dimensi, berat atau volume

dinamakan variabel. Apabila bekerja dengan karakteristik kualitas variabel sudah

merupakan praktek standar untuk mengendalikan nilai mean dan variabilitasnya.


commit to user

Menurut Montgomery (2005), bentuk dasar grafik pengendali terdiri dari

garis tengah yang merupakan nilai rata

keadaan terkendali. Dua garis mendatar yang lain disebut batas pengendali atas

(BPA) dan batas pengendali bawah (BPB).

Secara umum model grafik pengendali adalah

dengan wm adalah mean w

2.1.10

Menurut Montgomery (2005),

normal dengan mean m dan deviasi standar

diketahui. Jika XXX ,...,, 21

dan diketahui bahwa X berdistribusi normal dengan

nXss = .

2.1.9 Grafik Pengendali Shewart


ngah yang merupakan nilai rata-rata karakteristik kualitas tertentu dalam


li bawah (BPB). Seperti ditunjukkan pada Gambar 1.

Gambar 1. Grafik pengendali

Secara umum model grafik pengendali adalah

ww kBPA sm +=

wGT m=

ww kBPB sm -=

w , ws adalah deviasi standar dan k adalah konstanta.

2.1.10 Grafik Pengendali X dan R

Menurut Montgomery (2005), misalkan karakteristik kualitas berdistribusi

dan deviasi standar s , dengan m dans keduanya tidak

nX sampel berukuran n , maka rata-rata sampel ini adalah

nXXX

X n+++=

...21

berdistribusi normal dengan mean m dan deviasi standar

9


rata karakteristik kualitas tertentu dalam


Seperti ditunjukkan pada Gambar 1.

adalah deviasi standar dan k adalah konstanta.

isalkan karakteristik kualitas berdistribusi

keduanya tidak

rata sampel ini adalah

dan deviasi standar


commit to user

10

Karena nilai ¶ dan biasanya tidak diketahui, maka nilai-nilai itu harus

ditaksir dari sampel-sampel pendahuluan yang diambil ketika proses itu diduga

terkendali. Misalkan tersedia Ư sampel, masing-masing memuat 柜 observasi pada

karakteristik kualitas itu. Jika ö囊呻呻呻,ö挠呻呻呻, … ,ö�呻呻呻呻 adalah rata-rata tiap sampel, maka

penaksir terbaik untuk rata-rata proses ¶ adalah mean keseluruhan, yaitu ö深= ö囊呻呻呻+ ö挠呻呻呻+ ⋯ + ö�呻呻呻呻Ư

dan ö深 akan dijadikan garis tengah grafik ö itu.

Untuk ukuran sampel kecil, misal 柜≤ 10 estimasi nilai standar deviasi

biasanya menggunakan metode range. Misal ö囊,ö挠,….,ö坡 adalah sampel random dari n

observasi yang berdistribusi normal dangan mean ¶ dan variansi 挠, range sampel

didefinisikan sebagai berikut 观= max纵果平邹− min纵果平邹 = ö�i铺− ö�平坡 dengan ö�i铺 : nilai sampel terbesar

ö�平坡 : nilai sampel terkecil.

Terdapat hubungan antara rentang suatu sampel dari distribusi normal dan deviasi

standar distribusi itu. Misal didefinisikan variabel random Ǵ = 观世 yang dinamakan

rentang relatif. Parameter distribusi Ǵ adalah fungsi ukuran sampel 柜. Menurut

Tippett (1925) mean Ǵ bernilai é挠 dari 柜 variabel random berdistribusi normal,

sehingga penaksir untuk adalah 绥= 观é挠世 . Nilai é挠 untuk berbagai ukuran sampel

diberikan dalam lampiran.

Misalkan 观囊,观挠, … ,观� adalah rentang Ư sampel itu. Rentang rata-ratanya

adalah 观呻= 观囊+ 观挠+ ⋯ + 观�Ư

dan taksiran untuk dihitung dengan


commit to user

11

绥= 观呻é挠世

Jika digunakan ö深 sebagai penaksir untuk ¶ dan 观呻é挠世 sebagai penaksir untuk , maka

batas pengendali grafik ö呻 dengan batas 3-sigma adalah

4官n= ö深− 脑聘潜√坡观呻.

ð2 = ö深 4官4= ö深− 脑聘潜√坡观呻.

Diketahui bahwa rentang sampel berhubungan dengan deviasi standar

proses. Oleh karena itu, variabilitas proses dapat dikendalikan dengan

menggambarkan nilai-nilai 观 dari sampel-sampel yang berurutan pada grafik

pengendali. Grafik pengendali ini dinamakan grafik 观. Batas pengendali grafik 观 dapat ditentukan dengan mencari garis tengahnya 观呻 dan standar deviasi 片. Dengan

menganggap bahwa karakteristik kualitas berdistribusi normal, estimasi untuk 片碎

dapat diperoleh dari distribusi rentang relatif Ǵ = 观世. Menurut Tippett (1925)

deviasi standar Ǵ bernilai é脑 yang merupakan fungsi 柜 yang diketahui. Nilai é脑

berbagai ukuran sampel diberikan dalam lampiran.

Jadi karena 观= Ǵ

maka deviasi standar 观 adalah 片= é脑 .

Karena tidak diketahui, maka dapat ditaksir 片 dengan 片碎 = é脑片呻聘潜. Dengan demikian parameter grafik 观 dengan batas pengendali 3-sigma adalah


commit to user

12

4官n= 观呻+ 3 片碎 = 观呻+ 3é脑观呻é挠 ð2 = 观呻 4官4= 观呻− 3 片碎 = 观呻− 3é脑片呻聘潜. 2.1.11 Distribusi Normal

Distribusi normal atau disebut juga distribusi Gaussian, adalah salah satu

distribusi penting dalam aplikasi statistik. Variabel random ö berdistribusi normal

dengan mean ¶ dan variansi 挠 dapat dituliskan ö~棺(¶, 挠) dengan fungsi densitas

probabilitas ( Montgomery, 2005). 归纵果邹= 1 √2挥硅能囊挠足撇能启弃卒潜, dengan 0 ≤ ö ≤ 1

0 ≤ ¶ ≤ 1 挠≥ 0

2.1.12 Distribusi Uniform

Bain dan Engelhardt (1995) memberikan definisi bahwa variabel random X

dikatakan mempunyai distribusi Uniform pada interval 纵逛,瑰邹 jika mempunyai fungsi

densitas probabilitas 归纵ö;逛,瑰邹= 1瑰− 逛

untuk 逛< ö < 瑰 dan 0 untuk nilai ö yang lain. Variabel random yang berdistribusi

Uniform dinotasikan ö~罐(逛,瑰).

2.1.13 Uji Kenormalan

Menurut Montgomery (1992) untuk memeriksa kenormalan data dapat

dilakukan dengan melihat plot antara data dengan nilai probabilitas kumulatifnya.

Untuk membentuk plot normal dapat dilakukan dengan menggambarkan kenaikan

orde data dengan nilai probabilitas kumulatif 辉瓶= 足诡− 囊挠卒棺, dengan 诡= 1,2, …


commit to user

13

dan 棺 adalah banyaknya observasi. Jika plot yang dihasilkan terletak pada pita

kenormalan atau mendekati garis lurus maka dapat dikatakan asumsi kenormalan

sudah dipenuhi. Uji kenormalan dapat juga dilakukan melalui uji Kolmogorof-

Smirnov yang dapat dilihat dari nilai p-value dengan langkah-langkah sebagai berikut

a) Membuat hipotesis 寡难: data berdistribusi normal 寡囊: data tidak berdistribusi normal

b) Menentukan tingkat signifikasi 荒%

c) Menentukan statistik uji 雇= Ư逛诡滚藤瓜纵ö平邹− 轨− 1柜 , 轨柜− 瓜纵ö平邹藤 dengan 瓜纵果邹 adalah fungsi distribusi kumulatif observasi.

d) Membuat daerah kritis yaitu menolak 寡难 jika p-value lebih kecil dari

tingkat signifikansi 荒.

e) Mengambil kesimpulan

2.1.14 Uji Independensi

Menurut Montgomery (1992) data dapat dikatakan independen apabila nilai

data suatu pengamatan tidak dipengaruhi data dari pengamatan lain. Untuk menguji

keindependenan suatu data dapat dilihat dari plot antara data dan order observasi. Bila

data berpola acak maka data tersebut bersifat independen.

2.2 Kerangka Pemikiran

Untuk karakteristik kualitas produk yang berupa variabel biasanya

digunakan dua grafik pengendali EWMA, satu grafik pengendali EWMA untuk

memonitor proses mean dan yang lain grafik pengendali EWMA untuk memonitor

variansi. Grafik pengendali EWMA memerlukan asumsi bahwa pengukuran

karakteristik kualitas harus memiliki distribusi normal dan independen. Dalam

membentuk grafik pengendali EWMA secara terpisah maupun secara bersama-sama,

pertama-tama mengestimasi parameter ¶ dan , kemudian dalam membentuk grafik


commit to user

14

pengendali EWMA untuk proses mean dilakukan dengan menentukan statistik EWMA

untuk proses mean dengan terlebih dahulu menentukan nilai 晃 lalu menggambarkan

statistik tersebut pada grafik pengendali. Untuk membentuk grafik pengendali EWMA

untuk proses variansi dilakukan dengan menentukan statistik EWMA untuk variansi

dengan terlebih dahulu menentukan nilai 晃 lalu menggambarkan statistik tersebut

pada grafik pengendali. Untuk menggabungkan dua grafik pengendali untuk proses

mean dan variansi secara bersama-sama diperlukan transformasi untuk setiap sampel.

Transformasi setiap sampel digunakan untuk menentukan statistik EWMA untuk

mean dan variansi. Kemudian menentukan statistik untuk EWMA ö呻− 观 yang

merupakan maksimum nilai mutlak dari statistik EWMA untuk mean dan variansi,

kemudian menggambarkan statistik tersebut dalam batas pengendali.


commit to user

15

BAB III

METODE PENELITIAN

Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur, yaitu dengan

mempelajari berbagai referensi dari buku dan jurnal-jurnal yang bersesuaian dengan

tujuan penelitian.

Adapun langkah- langkah yang ditempuh dalam penelitian ini adalah

1. Mengkaji penaksiran parameter ¾ dan 徽

2. Mengkaji pembuatan grafik pengendali EWMA untuk proses mean

dengan langkah sebagai berikut

a. Menentukan nilai 晃.

b. Menentukan statistik EWMA untuk proses mean.

c. Menentukan batas pengendali.

d. Menggambarkan statistik EWMA pada batas pengendali

3. Mengkaji pembuatan grafik pengendali EWMA untuk proses variansi

dengan langkah sebagai berikut

a. Menentukan nilai 晃.

b. Menentukan statistik EWMA untuk proses variansi.

c. Menentukan batas pengendali.

d. Menggambarkan statistik EWMA pada batas pengendali.

4. Mengkaji pembuatan grafik pengendali EWMA º呻− 观 untuk memonitor

proses mean dan variansi secara bersama-sama, dengan langkah sebagai

berikut

a. Memilih nilai 晃扑,晃莆 dan L yang dapat ditentukan berdasar

penelitian Khoo et al, (2009).

b. Melakukan transformasi untuk tiap sampel.

c. Menentukan statistik EWMA untuk mean dan variansi.

15


commit to user

16

d. Menentukan statistik EWMA º呻− 观 yang merupakan maksimum

nilai mutlak dari statistik EWMA untuk mean dan variansi.

e. Menggambarkan statistik EWMA º呻− 观 pada batas pengendali.

5. Menerapkan pada data kemasan air minum “Makhoa” 240 ml

karakteristik kualitas netto di mana data merupakan data primer yang

diambil dari PDAM Tirta Gemilang Kabupaten Magelang pada hari

Rabu sampai Sabtu, tanggal 20-24 Desember 2010. Data yang diambil

sebanyak 30 sampel dengan ukuran sampel yang diambil adalah 5 untuk

setiap sampel. Pengambilan sampel dilakukan setiap 20 menit. Analisis

data dilakukan dengan bantuan software Minitab 16 for Windows dan

Microsoft Office Excel 2007.


commit to user

17

BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Grafik Pengendali EWMA

Grafik pengendali EWMA sangat efektif untuk pergeseran proses yang kecil,

karena grafik pengendali EWMA menggunakan informasi dari sampel sebelumnya.

Untuk karakteristik kualitas yang berupa variabel, biasanya menggunakan dua grafik

pengendali ĆĖōB, yaitu grafik EWMA untuk memonitor proses mean dan grafik

EWMA memonitor proses variansi.

4.1.1 Grafik Pengendali EWMA untuk Memonitor Proses Mean

Menurut Montgomery (2005) statistik EWMA dari *> didefinisikan sebagai

berikut â> = 晃*> + 纵1 − 晃邹â>能囊,轨= 1,2, … (4.1)

dengan â难= 幌

*>: observasi pada waktu ke- i

晃: konstanta smoothing, 0 < 晃≤ 1.

Untuk menunjukkan bahwa â> adalah rata-rata tertimbang dari semua rata-rata

sampel sebelumnya, dilakukan dengan mengganti â> dengan â>能囊 pada persamaan

(4.1), sehingga didapat â>能囊= 晃*>能囊+ (1 − 晃)â>能挠.

Persamaan (4.1) dapat ditulis kembali sebagai berikut â> = 晃*> + 晃纵1 − 晃邹*>能囊+ 纵1 − 晃邹挠â>能挠. Secara umum, dengan mengganti berulang-ulang â> dengan orde sebelumnya

diperoleh

â> = 晃素纵1 − 晃邹凭>能囊凭妮难 *>能凭+ 纵1 − 晃邹>â难.

Jika *> adalah variabel independen dengan variansi Ƽ挠, maka variansi â> adalah

17


commit to user

18

�逛r纵â>邹= 晃挠∑ 纵1 − 晃邹挠凭>能囊凭妮难 �逛r 试*>能凭守+ 纵1 − 晃邹挠>�逛r(â难). (4.2)

Karena nilai tertimbang 晃纵1 − 晃邹凭 menurun secara geometri dengan umur rata-rata

sampel, maka

晃挠素纵1 − λ邹挠凭>能囊凭妮难 = 晃挠纂1 − 纵1 − 晃邹挠>能挠1 − 纵1 − 晃邹嘴

= 企挠能企侍1 − 纵1 − 晃邹挠>市 dan �逛r 纵â难邹= 0, maka persamaan (4.2) menjadi

�逛r纵â>邹= 晃挠素纵1 − 晃邹挠凭>能囊凭妮难 Ƽ挠撇t呛鳃+ 0

= Ƽ挠族企挠能企祖侍1 − 纵1 − 晃邹挠>市, dan diperoleh deviasi standar dari â> adalah Ƽ拼t = Ƽ瞬企挠能企揍1 − 纵1 − 晃邹挠>租. (4.3)

Dari persamaan (2.1) dan (4.3) interval konfidensi untuk grafik pengendali EWMA

幌难− ±Ƽ顺晃(2 − 晃) 揍1 − (1 − 晃)挠>租≤ 幌难≤ 幌难+ ±Ƽ顺晃(2 − 晃) 揍1 − (1 − 晃)挠>租, sehingga diperoleh batas pengendali grafik EWMA untuk proses mean

7.B = 幌难+ ±Ƽ顺晃(2 − 晃) 揍1 − (1 − 晃)挠>租剐馆= 幌难

7.7 = 幌难− ±Ƽ顺晃(2 − 晃) 揍1 − (1 − 晃)挠>租 dengan 幌难 adalah rata-rata dari variabel random yang berdistribusi normal, dan L

adalah lebar batas pengendali.

Jika 轨 naik, Ƽ挠拼t naik menuju nilai limit


commit to user

19

lim>→捧Ƽ挠拼t = lim>→捧Ƽ挠释晃2 − 晃恃侍1 − 纵1 − 晃邹挠>市 = Ƽ挠足企挠能企卒.

Sehingga diperoleh batas pengendali sebagai berikut

7.B = 幌难+ ±Ƽ顺晃(2 − 晃)

剐馆= 幌难

7.7 = 幌难− ±Ƽ顺晃(2 − 晃)

4.1.2 Grafik Pengendali EWMA untuk Memonitor Proses Variansi

Mac. Gregor dan Haris (1993) mendiskusikan dasar statistik grafik

pengendali EWMA untuk memonitor proses variansi. Misal *> berdistribusi normal

dengan mean 幌 dan variansi Ƽ挠, exponentially weighted mean square error (EWMS), 管>挠 didefinisikan sebagai berikut 管>挠= 晃纵*> − 幌邹挠+ 纵1 − 晃邹管>能囊挠,轨= 1,2, …

dengan 管难挠= 0

*>: observasi ke i

晃: konstanta smoothing (0 ≤ 晃≤ 1). Untuk nilai 轨 yang besar maka Ć(管>挠) = Ƽ挠, hal ini dapat ditunjukkan dengan

mensubtitusi 轨− 1 untuk i pada persamaan (2.1) 管>能囊挠= 晃纵*>能囊− 幌邹挠+ 纵1 − 晃邹管>能挠挠, sehingga persamaan (2.1) dapat ditulis kembali sebagai berikut 管>挠= 晃纵*> − 幌邹挠+ 纵1 − 晃邹晃纵*>能囊− 幌邹挠+ 纵1 − 晃邹挠管>能挠挠.

Selanjutnya dengan mengganti 鬼= 2,3, … diperoleh 管>挠= ∑ 晃>嫩囊凭妮难纵1 − 晃邹凭能>纵*> − 幌邹挠+ 纵1 − 晃邹凭管难挠.


commit to user

20

Karena nilai ∑ 晃>嫩囊凭妮难纵1 − 晃邹凭能> + 纵1 − 晃邹凭= 1, maka Ć试管>挠守= ∑ 纵*> − 幌邹挠>嫩囊凭妮难 = Ƽ挠. (4.4)

Bila observasi berdistribusi normal dan independen maka 骗t潜弃潜 akan mendekati

distribusi Chi- kuadrat dengan derajad bebas 郭= 纵2 − 晃邹/晃. Jika Ƽ难 adalah nilai

target dari proses variansi, 管> dapat digambarkan pada grafik pengendali. Menurut

Eyvazian et al. (2008) percentil ke 100(1 − 荒) dari distribusi Chi- kuadrat dengan

derajad bebas 郭 dapat digunakan untuk membentuk batas pengendali. Dari persamaan

(2.2) dan (4.4) maka diperoleh interval kepercayaan 100纵1 − 荒邹% untuk grafik

EWMA adalah

Ƽ难顺悔挠剖,囊能(崎挠世)郭 ≤ Ƽ ≤ Ƽ难顺悔挠剖,崎挠世郭 . Sehingga diperoleh batas pengendali untuk grafik EWMA untuk proses variansi

7.B = Ƽ难瞬恰潜扫,汕潜世剖

7.7 = Ƽ难瞬恰潜扫,前呛(汕潜世)剖 .

4.2 Grafik pengendali ¸WMA 匠伸− 江

Khoo et al. (2009) menggabungkan dua grafik pengendali EWMA menjadi

satu grafik pengendali yang disebut grafik pengendali EWMA *呻− R yang lebih

efektif dalam mendeteksi pergeseran mean dan variansi secara bersama-sama.

Misalkan *>凭, dengan 轨= 1,2, … dan 鬼= 1,2, … ,柜> adalah hasil pengukuran

dari karakteristik kualitas yang memiliki distribusi normal dengan 幌= 幌难+ 磺Ƽ难 dan

standar deviasi Ƽ = 慌Ƽ难, dengan i dan j adalah sampel dan urutan pengamatan.

Menurut Khoo et al. (2009) proses dalam keadaan terkendali jika 磺= 0 dan 慌= 1

sehingga 幌= 幌难+ 磺Ƽ难 = 幌难+ 0


commit to user

21

= 幌难

dan Ƽ = 慌Ƽ难 = Ƽ难.

Misalkan *黔伸= (*>囊+ *>挠+ ⋯+ *>et)/柜> adalah rata-rata sampel ke- i dan R> = *>et − *>囊 adalah range sampel ke- i, dimana *>囊 adalah data terkecil dan *>et data terbesar dalam sampel ke- i .

Diasumsikan 瓜(. ) adalah fungsi distribusi normal, 棺(幌难, Ƽ难挠) dari variabel

random. Jika 磺= 0 dan 慌= 1 maka 光>凭= 瓜(*>凭) untuk j = 1,2,. .. . , 柜> adalah

pengamatan random dari sampel i yang memiliki distribusi Uniform 罐(0,1). Misal R> ′ = 光>(e>) − 光>(囊) = 瓜(*>et) − 瓜(*>囊)

adalah range sampel ke i untuk pengamatan 光>囊,光>挠, … . ,光>e dimana 光>囊 adalah sampel

terkecil dan 光>e adalah sampel terbesar. Sampel ini didefinisikan B> = 纵撇砷呻呻呻能启钳邹弃钳税et柿 ,轨= 1,2, … (4.6)

dan 7> = 会能囊走寡纵r ′>邹奏,轨= 1,2, … (4.7)

dengan r> ′ = 裹>纵et邹− 裹>纵囊邹 , 会纵â邹= .纵â ≤ 过邹 dengan â ∼ 棺纵0,1邹, 会能囊 : invers dari fungsi 会纵.邹寡纵r ′>邹 adalah cumulative distribution function (cdf) dari R> ′, yang diperoleh

dari cdf range sampel sebagai berikut 寡纵r′>邹= 寡纵裹>囊,裹>e邹= 揍瓜纵果>e邹租e − 1 − 揍1 − 瓜纵果>囊邹租e. Diketahui bahwa B>~ 棺(0,1), ketika 磺= 0 dan 慌= 1 rata-rata dari n pengukuran

independen dari distribusi normal adalah independen (Daly, 1946), sehingga *黔伸 dan R> untuk 轨= 1,2, … independen maka *黔伸 dan R> ′ untuk 轨= 1,2, … juga independen.


commit to user

22

Untuk membentuk grafik pengendali tunggal yang dapat mendeteksi

pergeseran mean dan variansi secara bersama-sama, statistik EWMA di definisikan, Ė> = 晃扑B> + (1 − 晃扑)Ė>能囊 (4.8)

dan â> = 晃莆7> + (1 − 晃莆)â>能囊 (4.9)

dengan Ė难= â难= 0 adalah nilai awal, 晃扑 dan 晃莆 adalah konstanta smoothing.

Kemudian kedua statistik tersebut didefinisikan dengan ō> diberikan oleh ō> = max走|Ė>|, |â>|奏,轨= 1,2, … (4.10)

Jika ō> positif, grafik EWMA *呻− R dapat dibentuk dengan menggambarkan statistik ō> pada batas pengendali 7.B = Ć纵ō>邹+ ±税�逛r纵ō>邹 . (4.11)

Karena nilai ō> semua positif maka 7.7 = 0.

Dari persamaan (5) cdf dari ō> adalah

瓜纵桂邹= .r纵ō> ≤ 桂邹 = .r纵|Ė>| ≤ 桂 , |â>| ≤ 桂邹 = .r纵|Ė>| ≤ 桂邹..r纵|â>| ≤ 桂邹 = .r纵−桂≤ Ė> ≤ 桂). Pr ( −桂≤ â> ≤ 桂邹 = 揍.r纵Ė> ≤ 桂邹− .r纵Ė> ≤ −桂邹租揍.r纵â> ≤ 桂邹− .r纵â> ≤ −桂邹租 = 纂∅足屏弃嫂t卒− 组1 − ∅足屏弃嫂t卒钻嘴纂∅足屏弃涩t卒− 组1 − ∅足屏弃涩t卒钻嘴 = 族2∅足屏弃嫂t卒− 1祖族2∅足屏弃涩t卒− 1祖,

sehingga fungsi kepadatan peluang dari ō> adalah

归纵桂邹= 瓜′纵桂邹 = 族挠弃嫂t∅足屏弃嫂t卒祖族2∅足屏弃涩t卒− 1祖+ 族挠弃涩t∅足屏弃涩t卒祖族2∅足屏弃嫂t卒− 1祖. Misalkan Ƽ扑> = r dan Ƽ莆>= 滚 maka

归纵桂邹= 族挠破∅足屏破卒祖族2∅足屏魄卒− 1祖+ 族挠魄∅足屏魄卒祖族2∅足屏破卒− 1祖.


commit to user

23

Nilai ekspektasi dari ō> adalah

Ć纵ō>邹= 董桂归纵桂邹圭桂∞难

= 董族挠屏破∅足屏破卒祖族2∅足屏魄卒− 1祖∞难圭桂+ 族挠屏魄∅足屏魄卒祖族2∅足屏破卒− 1祖圭桂. Misalkan 棍= 屏破 maka

Ć纵ō>邹= 2董揍2棍∅纵棍邹租族2∅足破迫魄卒− 1祖∞难圭棍+ 族破潜迫魄∅足破迫魄卒祖揍2∅纵棍邹− 1租圭棍. Dengan menggunakan software Matematica 5.0 diperoleh

Ć纵ō>邹= 瞬挠纵破潜嫩魄潜邹气 .

Dengan mensubtitusikan Ƽ扑> = r dan Ƽ莆>= 滚 maka

Ć纵ō>邹= 瞬挠纵弃嫂t潜嫩弃涩t潜邹气 . (4.12)

Diperoleh nilai Ć试ō>挠守 sebagai berikut

Ć试ō>挠守= 董桂挠归纵桂邹圭桂∞难

= 董族挠屏潜破 ∅足屏破卒祖族2∅足屏魄卒− 1祖∞难圭桂+ 族挠屏潜魄 ∅足屏魄卒祖族2∅足屏破卒− 1祖圭桂. Misalkan 棍= 屏破 maka

Ć试ō>挠守= 董揍2r挠棍挠∅纵棍邹租族2∅足破迫魄卒− 1祖∞难圭棍+ 族挠破遣迫潜魄 ∅足破迫魄卒祖揍2∅纵棍邹− 1租圭棍. Dengan menggunakan software Matematica 5.0 diperoleh

Ć试ō>挠守= 挠气族r挠棍逛柜能囊足破魄卒+ 诅r + 滚棍逛柜能囊足魄破卒阻祖. Dengan mensubtitusikan Ƽ扑> = r dan Ƽ莆>= 滚 maka

Ć试ō>挠守= 挠气族Ƽ扑>挠棍逛柜能囊足弃嫂t弃涩t卒+ 诅Ƽ扑>+ Ƽ莆> 棍逛柜能囊足弃涩t弃嫂t卒阻祖, sehingga

�逛r 纵ō>邹= 挠气族Ƽ挠扑>诅棍逛柜能囊足弃潜嫂t弃潜涩t卒− 1阻+ Ƽ挠莆>诅棍逛柜能囊足弃潜涩t弃潜嫂t卒− 1阻+ Ƽ国>Ƽ过>祖 (4.13)

dengan nilai


commit to user

24

Ƽ挠扑> = 企嫂挠能企嫂侍1 − 纵1 − 晃扑邹挠>市 dan Ƽ过> = 企涩挠能企涩侍1 − 纵1 − 晃莆邹挠>市 dengan 晃扑, 晃莆 adalah konstanta smoothing.

Dari persamaan (4.12) dan (4.13) diperoleh batas pengendali

7.B = 瞬挠纵弃嫂t潜嫩弃涩t潜邹气 + ±瞬挠气族Ƽ挠扑>诅棍逛柜能囊足弃潜嫂t弃潜涩t卒− 1阻+ Ƽ挠莆>诅棍逛柜能囊足弃潜涩t弃潜嫂t卒− 1阻+ Ƽ国>Ƽ过>祖 7.7 = 0.

Diketahui bahwa ō> pada persamaan (4.10) akan semakin besar ketika

proses mean mengalami pergeseran ke atas maupun ke bawah dan atau proses

variansi meningkat atau menurun. ō> akan mengecil ketika proses mean dan proses

variansi jauh dari nilai target yang diharapkan.

Grafik pengendali ĆĖōB *呻− R memiliki keuntungan dengan transformasi

yang dilakukan pada persamaan (4.6) dan (4.7) yaitu:

i. Masalah ukuran sampel variabel dapat dihandel dengan mudah karena

distribusi dari B> dan 7> adalah independen untuk ukuran sampel n, ketika 磺= 0 dan 慌= 1.

ii. Grafik pengendali tunggal dibentuk untuk memonitor baik proses mean dan

proses variansi karena B> dan 7> memiliki distribusi yang sama, ketika 磺= 0 dan 慌= 1.

4.2.1 ARL (Average Run Length)

Menurut Montgomery (2005), karakteristik dari grafik pengendali pada

umumnya dilihat dari nilai Run Length (RL) yang menunjukkan nilai dari sampel

yang harus digambarkan dalam grafik sampai ditemukan nilai yang jatuh diluar

kontrol. Nilai RL dapat dihitung dengan .纵R± = 诡邹= 纵1 − 国邹瓶能囊国 ,诡= 1,2, …

dengan 国 adalah probabilitas bahwa sampel berada di luar batas pengendali. Average

Run Length (ARL) adalah banyaknya titik sampel rata-rata yang digambarkan

sebelum suatu titik menunjukkan keadaan tidak terkendali. ARL didefinisikan

sebagai


commit to user

25

BR± = Ć(R±)

= ∑ 诡..(R± = 诡)捧瓶妮囊

= 国+ 2国纵1 − 国邹+ 3国纵1 − 国邹挠+ 4国(1 − 国)3 + ⋯

= 国[1 + 2纵1 − 国邹+ 3纵1 − 国邹挠+ 4纵1 − 国邹3 + ⋯ ] = 国∑ 纵柜+ 1邹捧e妮难纵1 − 国邹e.

Menurut Martono (1999) jika jari-jari kekonvergenan deret pangkat ∑ 逛e*e捧e妮难

adalah r > 0 maka fungsi 归纵果邹= ∑ 逛e*e捧e妮难 terdeferensiabel pada 试– r, r守 dengan 归′纵果邹= ∑ 柜逛e*e能囊捧e妮囊 . Sehingga akan diperoleh,

BR± = 扑揍囊能纵囊能扑邹租潜= 囊扑. 4.2.2 Merancang Grafik Pengendali ¸WMA 匠伸− 江

Grafik pengendali ĆĖōB *呻− R dapat dibentuk dari langkah-langkah

berikut: i. Jika nilai tujuan dari parameter proses tidak diketahui, maka harus diestimasi

dari data sampel yang berada dalam batas pengendali dengan 幌难 diestimasi

dengan rumus *深= ∑ 撇砷呻呻呻屏屏>妮囊 dan standar deviasi Ƽ难 diestimasi dengan rumus 片呻聘潜= ∑ 片t纵屏聘潜邹屏>妮囊 dimana 圭挠= 圭挠纵柜呻邹柜呻= 族纵e前嫩⋯嫩e三邹屏祖

dengan m adalah jumlah sampel yang digunakan untuk mengestimasi.

ii. Memilih nilai 晃扑, 晃莆, ± berdasarkan nilai ARL dan nilai n. Dihitung nilai B> ,7> ,Ė>,â> dan ō> menggunakan persamaan (4.6)-(4.10) untuk masing-

masing sampel dengan Ė难= â难= 0 untuk nilai awal.

iii. Menghitung nilai 7.B dengan persamaan (4.11).

iv. Menggambarkan sampel i ketika ō> ≤ 7.B untuk mengindikasikan proses

berada dalam batas pengendali. Ketika ō> ≥ 7.B dicek apakah |Ė>| =|晃扑B> + 纵1 − 晃扑邹Ė>能囊| dan |â>| = |晃莆7> + 纵1 − 晃莆邹â>能囊|. Jika |Ė>| > 7.B


commit to user

26

dan B> > 0 maka proses mean meningkat namun bila B> < 0 berarti proses

mean menurun. Jika |â>| > 7.B dan 7> > 0 berarti proses variansi meningkat

namun bila 7> < 0 maka proses variansi menurun.

v. Mencari penyebab dari setiap sampel yang di luar batas pengendali dan dicari

penanganannya.

4.3 CONTOH KASUS

PDAM Kabupaten Magelang memproduksi Air Minum dalam kemasan

(AMDK) dengan merk “Makhoa”, salah satu kemasan Makhoa adalah cup 240 ml.

data netto air minum Makhoa dapat diterapkan pada grafik pengendali EWMA. Data

berupa data primer yang diambil dari PDAM Kabupaten Magelang dengan data

seperti pada Tabel 1. Sebelum dibuat grafik pengendali EWMA terlebih dahulu data

harus diuji asumsinya, meliputi uji kenormalan dan uji independensi.

1. Uji kenormalan

Dari data sampel tersebut diuji kenormalan, dengan software Minitab 16 for

windows diperoleh

da ta

Pe

rce

nt

240235230225

99,9

99

9590

80706050403020

10

5

1

0,1

M ean

>0,150

232,3S tD ev 3,004N 150KS 0,047P -Valu e

P robabil ity P lot of dataNormal

Gambar 2. Plot probabilitas normal data netto air minum

Karena diperoleh nilai p-value = 0.15 dan 荒= 0.05 sehingga data netto air

minum berdistribusi normal.


commit to user

27

Tabel 1. Data sampel netto kemasan air minum Makhoa 240 ml dengan ukuran sampel (n = 5)

no sampel *>囊 *>挠 *>3 *>恼 *>闹 *呻 R>

1 230 228 234 234 236 232.4 8 2 228 236 236 230 232 232.4 8 3 232 236 234 234 230 233.2 6 4 236 230 228 234 236 232.8 8 5 228 234 230 230 232 230.8 6 6 238 238 232 230 234 234.4 8 7 230 230 234 230 236 232 6 8 236 230 232 230 236 232.8 6 9 236 234 234 236 230 234 6

10 228 230 236 234 238 233.2 10 11 230 232 232 234 230 231.6 4 12 238 236 230 230 232 233.2 8 13 234 232 230 236 236 233.6 6 14 232 230 230 234 230 231.2 4 15 236 232 234 238 232 234.4 6 16 232 228 234 230 228 230.4 6 17 230 234 228 238 240 234 12 18 228 236 232 234 232 232.4 8 19 234 236 234 230 230 232.8 6 20 232 234 234 230 232 232.4 4 21 226 234 234 230 234 231.6 8 22 228 232 232 232 232 231.2 4 23 232 234 236 236 230 233.6 6 24 230 232 230 232 236 232 6 25 236 230 234 232 230 232.4 6 26 230 228 232 226 228 228.8 6 27 234 232 230 236 238 234 8 28 234 234 228 238 228 232.4 10 29 228 228 228 228 230 228 2 30 230 234 230 230 232 231.2 4

*深= 232.3067 R呻= 6.4


commit to user

28

2. Uji independensi

Suatu data dikatakan independen jika plot menyebar secara acak dan tidak

membentuk pola tertentu. Dari data diperoleh

o b s e r v a s i

da

ta

3 02 52 01 51 050

2 3 5

2 3 4

2 3 3

2 3 2

2 3 1

2 3 0

2 2 9

2 2 8

p l o t i n d e p e n d e n s i

Gambar 3. Plot independensi data netto air minum

Karena data berpola acak maka data netto air minum dikatakan independen.

4.3.1 Grafik Pengendali EWMA untuk Proses Mean

Dari software Minitab 16 for windows diperoleh grafik pengendali untuk proses

mean sebagai berikut

2 82 52 21 91 61 31 0741

2 3 4 .0

2 3 3 .5

2 3 3 .0

2 3 2 .5

2 3 2 .0

2 3 1 .5

2 3 1 .0

S a m p le

EWM

A __X = 2 3 2 .3 0 7

U C L= 2 3 3 .8 5 7

LC L= 2 3 0 .7 5 6

G r a f i k p e n g e n d a l i E W M A X

Gambar 4. Grafik pengendali EWMA untuk proses mean

Dari Gambar 4 tampak bahwa semua sampel berada dalam batas pengendali, pada

batas pengendali s3 tidak ada pola tren sedangkan untuk BPA 4.2332 =s tidak

ada titik yang di luar batas, untuk BPB 12.2312 =s terdapat 1 titik yang barada di

luar batas s2 yaitu data ke 29, untuk BPA 87.2321 =s terdapat 4 titik berada di

luar batas 1Ƽ tetapi tidak berurutan yaitu data ke 9,10,13,15, dan untuk BPB

8.2311 =s ada 3 titik yang berada di luar batas s1 yaitu data ke 28, 29, 30,

maka dapat disimpulkan bahwa prosesnya masih terkendali.


commit to user

29

4.3.2 Grafik Pengendali EWMA untuk Proses Variansi

Dari software Minitab 16 for windows diperoleh grafik pengendali untuk

proses variansi sebagai berikut

BPA = 8.632

BPB = 0

Gambar 5. Grafik pengendali EWMA untuk proses variansi

Dari Gambar 5 terlihat bahwa semua sampel terletak dalam batas pengendali

dan tidak ada pola tren maka dapat disimpulkan bahwa prosesnya masih

terkendali.

4.3.3 Grafik pengendali EWMA RX -

Berikut langkah-langkah untuk membuat grafik EWMA RX -

a. Estimasi nilai mean adalah 幌难碎 = *呻呻= 232.3067,

estimasi nilai standar deviasi adalah Ƽ难碎 = 片呻聘潜= 2.恼挠.挠32= 2.7515.

b. Dengan menggunakan tabel nilai ARL hasil penelitian Khoo et al untuk

kombinasi pergeseran proses mean dan variansi maka dipilih menurut Khoo et

al. (2009) untuk grafik pengendali EWMA *呻− R biasanya dipilih nilai ARL

pada kondisi terkendali BR±难= 250 dan 纵磺,慌邹= 纵0.25, 1.5邹. kemudian

dipilih konstanta smoothing 纵晃扑,晃莆邹= 纵0.3,0.3邹 dan nilai ± = 3.13.

c. Dengan menggunakan teorema limit pusat, jika diasumsikan *>凭 mengikuti

distribusi normal, 棺纵232.3067 ,2.7515邹 untuk 轨= 1,2, … ,15 dan 鬼=1, 2, . . ,5. Diasumsikan 瓜纵.邹 adalah fungsi distribusi dari *>凭 dan 光>凭= 瓜试*>凭守 maka dengan software Minitab 16 for windows diperoleh seperti pada Tabel

2.


commit to user

30

Tabel 2. Nilai CDF tiap sampel *>囊 *>闹光>囊光>闹 226 230 0.010607 0.199683 226 232 0.010607 0.455391 228 232 0.057807 0.455391 228 234 0.057807 0.731926 228 234 0.057807 0.731926 228 234 0.057807 0.731926 228 234 0.057807 0.731926 228 234 0.057807 0.731926 228 234 0.057807 0.731926 228 234 0.057807 0.731926 228 234 0.057807 0.731926 228 336 0.057807 0.911387 228 336 0.057807 0.911387 230 236 0.199683 0.911387 230 336 0.199683 0.911387 230 336 0.199683 0.911387 230 336 0.199683 0.911387 230 336 0.199683 0.911387 230 236 0.199683 0.911387 230 236 0.199683 0.911387 230 336 0.199683 0.911387 230 336 0.199683 0.911387 230 336 0.199683 0.911387 230 236 0.199683 0.911387 230 238 0.199683 0.981239 230 238 0.199683 0.981239 230 238 0.199683 0.981239 230 238 0.199683 0.981239 230 238 0.199683 0.981239 232 240 0.455391 0.997529

dengan *>囊 : data terkecil pada sampel ke i

*>闹 : data terbesar pada sampel ke i


commit to user

31

光>囊 : nilai CDF data terkecil sampel ke i 光>闹 : nilai CDF data terbesar sampel ke i

Dari persamaan (4.6)-(4.10) maka dapat dihitung nilai B> ,7> ,Ė>,â> dan ō> diperoleh hasil sebagai berikut

Tabel 3. Nilai B> ,7> ,Ė>,â> dan ō> No sampel B> 7> Ė> â> ō>

1 0.075822 1.00175 0.022747 0.300525 0.300525 2 0.075822 1.00175 0.038669 0.510893 0.510893 3 0.72596 0.13181 0.244857 0.397168 0.397168 4 0.400891 1.00175 0.291667 0.578542 0.578542 5 -1.22445 -0.06093 -0.16317 0.386701 0.386701 6 1.701167 0.5219 0.396132 0.42726 0.42726 7 -0.24925 0.13181 0.202518 0.338625 0.338625 8 0.400891 0.13181 0.26203 0.276581 0.276581 9 1.376098 0.13181 0.596251 0.23315 0.596251

10 0.72596 1.64336 0.635163 0.656213 0.656213 11 -0.57432 -0.73754 0.27232 0.238087 0.27232 12 0.72596 0.5219 0.408412 0.323231 0.408412 13 1.051029 0.013181 0.601197 0.230216 0.601197 14 -0.89938 -0.73754 0.151023 -0.06011 0.151023 15 1.701167 -0.76721 0.616066 -0.27224 0.616066 16 -1.54952 -0.06093 -0.03361 -0.20885 0.20885 17 1.376098 1.85011 0.389302 0.40884 0.40884 18 0.075822 1.00175 0.295258 0.586713 0.586713 19 0.400891 0.13181 0.326948 0.450242 0.450242 20 0.075822 -0.73754 0.25161 0.093907 0.25161 21 -0.57432 0.1827 0.003833 0.120545 0.120545 22 -0.89938 -1.37094 -0.26713 -0.3269 0.3269 23 1.051029 0.13181 0.128316 -0.18929 0.18929 24 -0.24925 0.13181 0.015047 -0.09296 0.09296 25 0.075822 0.13181 0.03328 -0.02553 0.03328 26 -2.8498 -1.14523 -0.83164 -0.36144 0.83164 27 1.376098 0.5219 -0.16932 -0.09644 0.16932 28 0.075822 -0.06093 -0.09578 -0.08578 0.09578 29 -3.49994 -2.91195 -1.11703 -0.93363 1.11703 30 -0.89938 -0.73754 -1.05173 -0.87481 1.05173


commit to user

32

Dari persamaan (4.11) diperoleh nilai 1708.1=BPA dan 0=BPB sehingga

dapat digambarkan dalam grafik pengendali tampak pada Gambar 5.

Gambar 6. Grafik Pengendali EWMA RX - untuk data netto air minum

Dari Gambar 6, terlihat bahwa semua sampel jatuh di dalam batas pengendali 7.B = 1.1708, tidak ada pola tren dan untuk 7.B 2Ƽ = 1.08 ada 1 titik di

luar batas 2Ƽ yaitu pada data 29, untuk 7.B 1Ƽ = 0.82 ada 3 titik yang berada

di luar batas 1Ƽ yaitu pada data 26, 29, 30, maka dapat disimpulkan bahwa

prosesnya masih terkendali.

Dari Gambar (4), (5) dan (6) terlihat bahwa prosesnya terkendali tetapi

mempunyai batas pengendali yang berbeda yaitu untuk grafik pengendali

EWMA untuk proses mean diperoleh 7.B = 233.857 dan 7.7 = 230.756,

untuk grafik pengendali EWMA proses variansi diperoleh 7.B = 8.632 dan 7.7 = 0, sedangkan untuk grafik pengendali EWMA RX - diperoleh 7.B = 1.1708 dan 7.7 = 0. Grafik pengendali EWMA RX - memiliki

lebar batas pengendali yang lebih sempit, hal ini berarti grafik pengendali

EWMA RX - lebih sensitif bila dibandingkan dengan grafik pengendali

EWMA untuk mean dan variansi secara terpisah.

BPB = 0

BPA = 1.1708


commit to user

BAB V

5.1 Kesimpulan

Berdasarkan hasil penelitian yang telah dilaksanakan, kesimpulan yang dapat

diambil adalah sebagai berikut

1. Batas pengendali grafik EWMA untuk proses mean

a) Untuk > kecil

ò. = 幌难+ y)顺晃(2 − 晃)

剐馆= 幌难

ò.ò = 幌难− y)顺晃(2 − 晃)

b) Untuk > besar ò. = 幌难+ y)顺晃(2 − 晃)揍1 − (1 − 晃)挠平租剐馆= 幌难 ò.ò = 幌难− y)顺晃(2 − 晃)揍1 − (1 − 晃)挠平租

2. Batas pengendali untuk grafik pengendali EWMA untuk proses variansi adalah ò. = )难瞬举潜扫,汕潜世剖

ò.ò = )难顺举挠剖,囊能(崎挠世)郭

3. Batas pengendali untuk grafik pengendali em v呻− 观 adalah

ò. = 顺2纵)扑平挠+ )莆平挠邹挥+ y顺2挥纂)挠扑平醉棍逛柜能囊组)挠扑平)挠莆平钻− 1最+ )挠莆平醉棍逛柜能囊组)挠莆平)挠扑平钻− 1最+ )国平)过平嘴 ò.ò = 0.

33


commit to user

4. Pada contoh kasus dengan mengunakan nilai ARL yang sama, grafik

pengendali em untuk memonitor proses mean dan variansi secara

bersama-sama dan secara terpisah memberikan hasil yang sama yaitu

prosesnya terkendali tetapi batas pengendalinya berbeda. Grafik pengendali em v呻− 观 untuk memonitor proses mean dan variansi secara besama-

sama lebih efisien dibandingkan dengan grafik pengendali EWMA secara

terpisah.

5.2 Saran Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan, saran yang ingin disampaikan

peneliti yaitu penelitian dapat dilanjutkan hingga perhitungan kapabilitas dari proses

yang telah terkendali.

34

estimasi parameter batas pengendali...

Documents