espa4122 matematika ekonomi modul 5.ppt

Upload: api-262769720

Post on 10-Oct-2015

236 views

Category:

Documents


33 download

TRANSCRIPT

  • MATEMATIKA EKONOMIPertemuan 4Fungsi Non-LinearUT Korea Spring 2014Wahyono

  • Grafik Kurva Non-LinearPolinom (suku banyak) dalam x dan y dilambangkan dengan f(x), adalah ungkapan yang mengandung suku-suku kxrys, dimana k adalah konstan, r dan s adalah bilangan bulat.Nilai tertinggi (r + s) pada suku f(x,y) dinamakan pangkat polinomJika polinom f(x,y) berpangkat n dan disamakan dengan nol, maka diperoleh persamaan pangkat n dalam x dan y yaitu f(x,y) = 0 persamaan aljabar.

  • Grafik Kurva Non-LinearPersamaan dalam x dan y yang bukan persamaan aljabar disebut persamaan transcendental.Contoh: fungsi trigonometri, fungsi logaritma, dan fungsi berpangkat.Acara menggambar grafik fungsi non-linear, dilakukan dengan menentukan titik-titik yang memenuhi persamaan dalam jumlah yang cukup banyak.

  • Kaidah-Kadiah Pembuatan Grafik Fungsi Non-LinearTitik Penggaladalah titik perpotongan antara kurva dan garis sumbu. Titik penggal sumbu x diperoleh dengan memasukkan y = 0 kemudian mencari persamaan x nya. Titik penggal y diperoleh dengan memasukkan x = 0 kemudian mencari persamaan y nya.

  • Kaidah-Kadiah Pembuatan Grafik Fungsi Non-LinearB. SimetrisDua titik dikatakan simetris terhadap suatu garis bila garis tersebut terletak di antara dua titik dan jarak masing-masing titik ke garis tersebut sama.

  • Kaidah-Kadiah Pembuatan Grafik Fungsi Non-LinearContoh:

  • Kaidah-Kadiah Pembuatan Grafik Fungsi Non-LinearDari contoh-contoh tersebut dapat dilihat bahwa grafik persamaan f(x,y) = 0 simetris terhadap:Sumbu x jika f(x,y) = f(x,-y) = 0Sumbu y jika f(x,y) = f(-x,y) = 0Titik origin jika f(x,y) = f(-x,-y) = 0

    Fungsi yang simetris terhadap sumbu x dan/atau sumbu y pasti simetris terhadap titik origin, namun fungsi yang simetris terhadap titik origin, belum tentu simetris terhadap sumbu x dan y.

  • Kaidah-Kadiah Pembuatan Grafik Fungsi Non-LinearC. Batas NilaiPada sistem sumbu koordinat, titik (x,y) mempunyai koordinat bilangan riil.

    Contoh:Tentukan apakah kurva yang ditunjukkan oleh persamaan x2 + y2 = 25 mempunyai batas?x2 = 25 y2x = (25 y2)Nilai (25 y2) akan bernilai negatif apabila (25 y2) < 0 sehingga25 y2 < 0-y2 < -25y2 > 25 y > 5 batas untuk nilai y adalah -5 < y < 5

    y = (25 x2)Nilai (25 x2) akan bernilai negatif apabila (25 x2) < 0 sehingga25 x2 < 0-x2 < -25x2 > 25 x > 5 batas untuk nilai x adalah -5 < x < 5

  • Kaidah-Kadiah Pembuatan Grafik Fungsi Non-LinearD. AsimtotisAsimtot suatu kurva adalah suatu garis lurus yang didekati oleh kurva dengan jarak yang semakin dekat dengan nol bila kurva tersebut semakin jauh dari origin.Garis y = mx + b merupakan asimtot kurva y = f(x), jika f(x) semakin dekat mx + b maka x dan y nilainya bertambah tanpa batas. Jadi, f(x) mx + b jika x dan y - .Garis y = k adalah asimtot kurva y = f(x) bila y k untuk x Garis x = h adalah asimtot vertikal kurva y = f(x) bila xh untuk y

  • Kaidah-Kadiah Pembuatan Grafik Fungsi Non-LinearE. FaktorisasiPersamaan kurva f(x,y) = 0 mungkin dapat terjadi sebagai hasil perkalian antara dua faktor atau lebih, seperti f(x,y) = g(x,y).h(x,y) = 0. Dengan demikian maka f(x,y) = 0 terdiri dari dua grafik yaitu g(x,y) dan h(x,y).

  • Kaidah-Kadiah Pembuatan Grafik Fungsi Non-LinearContoh:Buatlah grafik persamaan 2x2 + 3xy 2y2 = 0.Faktorisasi:2x2 + 3xy 2y2 = 02x2 - xy + 4xy 2y2 = 0.x(2x y) + 2y(2x y) = 0(x + 2y) (2x y) = 0Jadi, grafik persamaan 2x2 + 3xy 2y2 = 0 terdiri dari grafik dua garis lurus yaitu x + 2y dan 2x y.

  • LatihanTunjukkan titik penggal dari persamaan (x 5)(x + 3)2.x2 + x2y y + 5 = 0 simetris terhadapGambarkan grafik dari 12x2 5xy 2y2 = 0.Titik penggal dari grafik persamaan y = x2 x 12 adalah?

  • Jawaban LatihanNomor 1Mencari titing penggal nilai fungsi sama dengan nol(X-5)(X+3)2 =0SehinggaX= 5 dan X=-3 (titik penggal sumbu X)Titik penggal sumbu Y maka X=0Y=(x-5)(X2+6X+9)Y= (X3 +X2-21X-45)Y=-45

  • Jawaban LatihanNomor 2x2 + x2y y + 5 = 0 simetri terhadap?grafik persamaan f(x,y) = 0 simetris terhadap:Sumbu x jika f(x,y) = f(x,-y) = 0Sumbu y jika f(x,y) = f(-x,y) = 0Titik origin jika f(x,y) = f(-x,-y) = 0Maka, kita masukan ke syarat ketiga point tersebut:Periksa, apakah simetri terhadap sumbu x?f(x,-y)=x2 -x2y+y+5 0 karena f(x,y) = 0 = x3 + x2y y + 5 . Maka bukan simetri terhadap sumbu xPeriksa, apakah simetri terhadap sumbu y?f(-x,y)= x2 +x2y-y+5 = 0 karena f(x,y) = 0 = x2 + x2y y + 5. Maka simetri terhadap sumbu yPeriksa, apakah simetri terhadap titik origin? f(-x,-y)=x2 -x2y+y+5 0 karena f(x,y) = 0 = x3 + x2y y + 5 . Maka bukan simetri terhadap titik origin

  • Jawaban LatihanNomor 3Gambarkan grafik dari 12x2 5xy 2y2 = 0.Hal pertama dilakukan, faktorisasi persamaan di atas.Trik faktorisasi untuk persamaan: ax2+bxy+cy2=0 ubah jadi x2+bxy+acy2=0Selanjutnya cari nilai konstanta faktornya:Bentuk faktor persamaan di atas : (ax+jy)(ax+ky)=0Cari j dan k dengan cara memenuhi ketentuan berikut:j.k=ac dan j+k=bKembali ke soal12x2 5xy 2y2 = 0 ubah x2 5xy 24y2 = 0ac= -24 dan b= -5 maka akan diperoleh j= -8 dan k=3Maka bentuk faktor persamaannya (12x-8y)(12x+3y)=0Atau (3x-2y)(4x+y)=0 . Grafik pada slide selanjutnya

  • Jawaban LatihanYX3x-2y=04x+y=0

  • Jawaban LatihanNomor 4y = x2 x 12, cari titik penggalnya.Titik penggal terhadap sumbu y berarti masukan x=0, sehingga dari persamaan di atas diperoleh y= -12. Titik penggal pertama (0,-12)Titik penggal terhadap sumbu x berarti masukan y=0 sehingga diperoleh persamaan 0 = x2 x 12 difaktorkan menjadi:(x-4)(x+3)=0, sehingga x=4 dan x=-3. Titik penggal kedua dan ketiga adalah (4,0) dan (-3,0)

  • Fungsi KuadratikSuatu persamaan kuadrat mungkin dapat berbentuk suatu lingkaran elips, parabola, hiperbola, atau bentuk yang lain.Bentuk umum persamaan kuadratik:Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0Dimana A, B, C, D, E, dan F adalah konstan dan paling tidak salah satu dari A, B, dan C tidak bernilai sama dengan 0.

  • Fungsi KuadratikKaidah umum:Jika B = 0 dan A = C lingkaranJika B2 4AC < 0 elipsJika B2 4AC = 0 parabolaJika B2 4AC > 0 hiperbolaKaidah khusus:Jika B = 0, dan paling tidak salah satu dari A dan C tidak bernilai nol, maka:Jika A = C lingkaranJika A C tetapi bertanda sama elipsJika A = 0 atau C = 0 tetapi tidak sama dengan 0 bersama-sama parabolaJika A dan C tandanya tidak sama hiperbola

  • LingkaranAx2 + Ay2 + Dx + Ey + F = 0

    Persamaan tersebut dapat dibawa ke bentuk:(x h)2 + (y k)2 = r2Dimana (h,k) merupakan pusat lingkaran dan r adalah jari-jari.

  • LingkaranContoh: Tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran persamaan x2 + y2 6x 8y +16 = 0Bentuk umum: (x h)2 + (y k)2 = r2x2 + y2 6x 8y + 16 = 0x2 6x + y2 8y + 16 = 0y2 8y + 16 = (y 4)2 k = 4x2 - 6x + h2 = (x h)2x2 6x + h2 = x2 -2xh + h2-6x = -2xhh = 3Sehingga titik pusat adalah (h,k) (3,4)Jika dimasukkan lagi dalam persamaan:x2 6x + 9 + y2 8y + 16 = 9(x 3)2 + (y 4)2 = 9r2 = 9r = 3Sehingga jari-jari = 3.

  • ElipsAx2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

    Persamaan elips dapat ditulis sebagai:(x h)2 + (y k)2 = 1 a2b2Pusat elips adalah (h,k) dan bila a > b, maka sumbu panjang sejajar dengan sumbu x, akan tetapi bila a < b, maka sumbu panjang akan sejajar dengan sumbu y.

    Sumbu panjang = 2a dan sumbu pendek = 2b.Sumbu panjang = jari-jari panjangSumbu pendek = jari-jari pendek

  • ElipsContoh: Tentukan pusat elips, jari-jari panjang dan pendek dari elips yang ditunjukkan oleh persamaan 4x2 + 9y2 + 16x 18y 11 = 04x2 + 9y2 + 16x 18y 11 = 0

    (x h)2 + (y k)2 = 1 a2b2

    b2(x h)2 + a2(y k)2 = 1 a2b2

    b2(x h)2 + a2(y k)2 = a2b2

    4x2 + 9y2 + 16x 18y 11 = 04x2 + 16x + 9y2 18y = 114(x2 + 4x) + 9(y2 2y) = 11b2 = 4 dan a2 = 9(x2 + 4x + h2) = x2 2xh + h24x = -2xhh = -2(y2 2y + k2 )= y2 2yk + k2-2y = -2ykk = 1

    Jika dimasukkan ke dalam persamaan:4(x2 + 4x + 4) + 9(y2 2y + 1) = 114x2 + 16x + 16 + 9y2 18y + 9 = 11 + 16 + 94x2 + 16x + 16 + 9y2 18y + 9 = 364(x + 2)2 + 9(y 1)2 = 3636 36(x + 2)2 + (y 1)2 = 1 9 4

  • ParabolaParabola didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik pada suatu bidang datar yang jaraknya ke suatu titik dan ke suatu garis tertentu sama. Titik tersebut dinamakan fokus, dan garisnya disebut directrix. Perpotongan sumbu parabola dengan parabola disebut dengan vertex.

  • ParabolaJika sumbunya sejajar dengan sumbu y:Ax2 + Dx + Ey + F = 0Jika sumbunya sejajar dengan sumbu x:Cy2 + Dx + Ey + F = 0

    Bentuk persamaan standar dari parabola:(x h)2 = 4p (y k)Dimana (h,k) adalah vertex dan sumbunya sejajar dengan sumbu y.

    (y k) 2 = 4p (x h)Apabila sumbunya sejajar dengan sumbu x.

    P adalah parameter yang tanda serta besarnya menentukan keadaan bentuk parabola.

  • ParabolaUntuk parabola yang sumbunya sejajar dengan sumbu y:Jika p < 0, maka parabola terbuka ke bawahJika p > 0, maka parabola terbuka ke atas

    Untuk parabola yang sumbunya sejajar dengan sumbu x:Jika p < 0, maka parabola terbuka ke sebelah kiriJika p > 0, maka parabola terbuka ke sebelah kanan

  • ParabolaContoh: Jadikan bentuk standar persamaan parabola: x2 4x + 4y + 16 = 0, dan tentukan vertexnya.(x h)2 = 4p (y k)x2 4x + 4y + 16 = 0 x2 4x + 4 = -4y 16 + 4(x 2)2 = -4(y + 3)Vertex = (2,-3) dan p = -1.Sumbu sejajar dengan sumbu y dan parabola terbuka ke bawah.

  • HiperbolaHiperbola didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik pada bidang datar yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu besarnya tetap.

    Hiperbola mempunyai dua sumbu yang membagi dua hiperbola secara simetris dan yang memotong hiperbola disebut sumbu transverse

  • HiperbolaAx2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0Persamaan ini dapat dijadikan bentuk standar hiperbola yaitu:

    (x h)2 (y k)2 = 1 a2 b2atau(y k)2 (x h)2 = 1 b2 a2

    Dimana (h,k) adalah pusat hiperbola dan sumbu transverse sejajar dengan sumbu x.

    Asimtot ditunjukkan oleh persamaan:x h = y k a b

    Bila a = b, maka kedua asimtot berpotongan tegak lurus. Maka persamaan hiperbola bisa menjadi:(Xh)(Yk)=c

  • ParabolaContoh: Tentukan pusat hiperbola dan persamaan asimtotnya bila diketahui persamaan hiperbola adalah 9x2 4y2 18x 16y 43 = 09x2 4y2 18x 16y 43 = 09(x2 2x + 1) 4(y2 + 4y + 4) = 43 + 9 -169(x 1)2 4(y + 2)2 = 36(x 1)2 (y + 2)2 = 1 4 9Jadi, titik pusat hiperbola (1,-2), a = 2, b = 3.

    Persamaan asimtot:x h = y k a bx 1 = y + 2 2 33x 3 = (2y + 4)Asimtot 1: 3x 3 = 2y + 4 3x 2y 7 = 0Asimtot 2: 3x 3 = -2y 4 3x + 2y + 1 = 0