BAGIAN BAljabar Linear.Kalkulus vector

BAB 7 Aljabar Linear: Matriks, Vektor, Penentu. Sistem linearBAB 8 Aljabar Linear: Matrix eigenvalue MasalahBAB 9 Kalkulus Diferensial vektor. Grad, Div, CurlBAB 10 Kalkulus Integral vektor. Teorema Integral

Aljabar linear pada Bab. 7 dan 8 terdiri dari teori dan aplikasi vektor dan matriks, terutama terkait dengan sistem linear persamaan, masalah nilai eigen, dan liniertransformasi.

Aljabar linear semakin penting dalam penelitian rekayasa dan pengajaran karena membentuk dasar dari metode numerik (lihat Chaps. 20-22), dan instrumen utama, matriks, dapat menyimpan sejumlah besar data-memikirkan bersih jutaan telepon koneksi-dalam bentuk mudah diakses oleh komputer.

analisis Linear pada Bab. 9 dan 10. biasanya disebut vektor, diferensiasi fungsi dari satu variabel untuk fungsi dari beberapa variabel-ini termasuk vektor operasi diferensial lulusan, div, dan meringkuk. Dan generalizes integrasi untuk integral dari kurva, permukaan, dan padat, dengan transformasi tersebut integral ke dalam satu sama lain, dengan dasar teorema Gauss, Green, dan Stokes (Bab 10).

Perangkat lunak yang cocok untuk aljabar linear (Lapack, Maple, Mathematica, Matlab) dapat ditemukan dalam daftar pada pembukaan Bagian dari buku jika diperlukan.

Numeric linear aljabar (Bab 20) dapat dipelajari secara langsung setelah Chap. 7 atau 8 karenaChap. 20 adalah independen dari bab-bab lain dalam Bagian tentang numeric.

BAB 7Aljabar Linear, Matriks,

Vektor, Determinan.Sistem linear

Ini adalah yang pertama dari dua bab pada aljabar linear, terutama yang menyangkut sistem linear persamaan dan transformasi linier (akan dibahas dalam bab ini) dan nilai eigen masalah (untuk mengikuti dalam Bab 8.).

Sistem persamaan linear, disebut sistem linear, muncul dalam jaringan listrik, kerangka kerja mekanis. ekonomi optimasi masalah models, numeric untuk persamaan diferensial, seperti akan kita lihat pada Bab. 21-23, dan seterusnya.

Sebagai alat utama. aljabar linear matriks menggunakan (array persegi panjang angka atau fungsi) dan vektor. Perhitungan dengan matriks menangani matriks sebagai objek tunggal, menunjukkan mereka dengan huruf tunggal, dan menghitung dengan mereka dalam bentuk yang sangat kompak, hampir sama dengan angka, sehingga perhitungan matriks merupakan "singkatan matematika" kuat.

Perhitungan dengan matriks dan vektor didefinisikan dan dijelaskan dalam Sec. 7,1-7,2. Bagian 7,3-7,8 pusat sekitar sistem linier, dengan diskusi mendalam tentang Gauss eliminasi, peran peringkat.

keberadaan dan keunikan masalah untuk solusi (Bag. 7,5), dan matriks inversi. Hal ini juga mencakup determinan (aturan Cramer) di Sec. 7.6 (untuk cepat referensi) dan Sec. 7.7. Aplikasi dianggap sepanjang bab ini. Para Bagian terakhir (Bagian 7.9) pada ruang vektor, ruang hasil kali dalam, dan transformasi linear lebih abstrak. Masalah nilai eigen dalam Bab ikuti. 8.

KOMENTAR. Aljabar linear numerik (Sees. 20,1-20,5) panggilan dipelajari segera setelah bab ini.Prasyarat: Tidak ada.Bagian thatma) "dihilangkan dalam kursus singkat: 7.5, 7.9.Referensi Lind Jawaban Masalah: App. Aku Bagian B, dan App. 2.

7.1 Matriks, Vektor: 272Penjumlahan dan perkalian skalar

Dalam ection dan yang berikutnya kami memperkenalkan konsep dasar dan aturan matriks dan vektor aljabar. Aplikasi utama untuk sistem linear (sistem persamaan linear) dimulai di Sec. 7.3.

Matriks A adalah array persegi nomor (atau fungsi) tertutup dalam tanda kurung. Ini nomor (atau fungsi) disebut entri (atau kadang-kadang elemen) dari matriks. Sebagai contoh,

Matriks adalah. Matriks pertama memiliki dua baris (baris horisontal entri) dan tiga kolom (garis vertikal). Matriks kedua dan ketiga adalah matriks persegi, yaitu, masing-masing memiliki sebagai banyak baris sebagai kolom (3 dan 2, masing-masing). Entri-entri dari matriks kedua memiliki dua indeks memberikan lokasi entri. Indeks pertama adalah jumlah baris dan kedua adalah jumlah kolom yang entri berdiri. Jadi, a23 (membaca 111'0 tiga) di Row 2 dan Kolom 3, dll notasi ini adalah standar, terlepas dari apakah matriks persegi atau tidak.

Matriks yang baru saja satu baris atau kolom yang disebut vektor. Jadi matriks keempat dalam (l) hanya memiliki satu baris dan disebut vektor baris. Matriks terakhir di (1) hanya memiliki satu kolom dan disebut vektor kolom. Kita akan melihat bahwa matriks yang praktis dalam berbagai aplikasi untuk menyimpan dan pengolahan data. Sebagai ilustrasi pertama mari kita pertimbangkan dua contoh sederhana tapi khas.

CONTOH 1 Linear Systems, Mayor Aplikasi Matriks

Dalam sistem persamaan linear, disebut sistem linear, seperti

koefisien yang tidak diketahui Xl, X2, X3 adalah entri dari matriks koefisien, sebut saja A,

diperoleh dengan menambah A dengan sisi kanan dari sistem linear dan disebut matriks yang diperbesar dari sistem. Dalam Sebuah koefisien dari sistem ditampilkan dalam pola persamaan. Artinya, posisi mereka dalam A sesuai dengan yang di sistem ketika ditulis seperti yang ditunjukkan. Hal yang sama berlaku untuk A. Kita akan melihat bahwa matriks yang diperbesar berisi semua informasi tentang solusi dari suatu sistem, sehingga kita dapat memecahkan sistem hanya dengan perhitungan pada matriks yang diperbesar tersebut. Kita akan membahas hal ini secara besar detail, mulai tahun Sec. 7.3. Sementara itu Anda dapat melakukan verifikasi dengan substitusi bahwa solusinya adalah x = 3, x2 =!,X3 = -1. Para Xl notasi, X2, X3 untuk diketahui praktis tetapi tidak penting, kita bisa memilih x, y, Z atau beberapa lainnya huruf.

CONTOH 2 Penjualan Angka dalam MatrixAngka penjualan selama tiga produk I. II. II di toko pada Senin (M).! Selasa (T). ... mungkin untuk setiap minggu akan diatur dalam matriks

Jika perusahaan memiliki sepuluh stoTes. kita dapat mengatur sepuluh matriks seperti, satu untuk setiap toko. Kemudian dengan menambahkan sesuai entri ini kita bisa mendapatkan sebuah mmrix, howing yang ~ total penjualan produk masing-masing pada setiap hari. Dapatkah Anda memikirkan data lainnya yang matriks yang layak? FOT misalnya. Dalam masalah transportasi atau penyimpanan? Atau di recoTding panggilan telepon. atau di li, ting jarak dalam jaringan jalan? •

Konsep Umum dan Notasi

Kita akan menunjukkan matriks dengan huruf kapital tebal A, B, C. ... , atau dengan menulis umum entri dalam kurung, dengan demikian A = [AJK], dan sebagainya. Oleh m x 11 matriks (dibaca 171 oleh n matriks) kita berarti matriks dengan m baris dan n kolom-baris selalu datang pertama! m X 11 disebut ukuran matriks. Jadi X 17l 11 matriks adalah dalam bentuk

Matriks dalam (I) ukuran 2X3,3X3,2X2, 3IX. dan 2Xl. masing-masing. Setiap entri dalam (2) memiliki dua subscript. Yang pertama adalah jumlah baris dan yang kedua adalah kolom nomor. Jadi (/ 21 adalah entri di Row 2 dan I. Kolom Jika m = n, kita sebut Sebuah matriks X n n persegi. Kemudian mengandung diagonal yang emries A11, a22, ... , Ann disebut diagonal utama dari A. Jadi diagonal utama dari dua matriks persegi (1) adalah, (/ 22 'A33 dan e-x, 4x, masing-masing. Matriks persegi sangat penting. sebagaimana akan kita lihat. Sebuah matriks yang bukan persegidisebut matriks persegi.

Vektor

Vektor A adalah matriks dengan hanya satu baris atau kolom. Entrynya disebut komponen vektor. Kita akan menunjukkan veCIOrs dengan huruf tebal huruf kecil a, b, ... atau dengan yang komponen umum dalam kurung, a = [OJ], dan sebagainya. Vektor khusus kami di (saya) menyarankan bahwa vektor baris (umum) adalah dalam bentuk

SEC. 7.1 Matriks, Vektor: penjumlahan dan perkalian skalarSebuah vektor kolom adalah dalam bentuk

Apa yang membuat matriks dan vektor sangat berguna dan sangat cocok untuk komputer adalah fakta bahwa kita dapat menghitung dengan hampir semudah dengan angka. Memang, kita sekarang memperkenalkan aturan untuk penambahan dan perkalian skalar (perkalian dengan angka) yang disarankan oleh aplikasi praktis. (Perkalian matriks dengan matriks berikut di bagian berikutnya) Pertama kita perlu konsep kesetaraan.

DEFINISI

Kesetaraan MatriksDua matriks A = [AJK] dan B = [bjk] adalah sama, ditulis A = B, jika dan hanya jika mereka memiliki ukuran yang sama dan entri yang sesuai adalah sama, yaitu. A11 = B11, a12 = b12, dan sebagainya. Matriks yang tidak sama disebut berbeda.Jadi, matriks dengan ukuran yang berbeda selalu berbeda.

Penambahan Matriks

Jumlah dari dua matriks A = [AJK] dan B = [bjkJ dengan ukuran yang sama ditulis A + B dan memiliki entri AJK + bjk diperoleh dengan menambahkan entri yang sesuai Matriks A dan B. ukuran yang berbeda tidak dapat ditambahkan.

CONTOH 3 Kesetaraan Matriks

Matriks berikut semua makan berbeda. Jelaskan!

DEFINISI

Penambahan MatriksJumlah dari dua matriks A = [AJK] dan B = [bjkJ dengan ukuran yang sama ditulis A + B dan memiliki entri AJK + bjk diperoleh dengan menambahkan entri yang sesuai Matriks A dan B. ukuran yang berbeda tidak dapat ditambahkan.

Sebagai kasus khusus, jumlah a + b dari dua vektor baris atau vektor kolom dua, yang harus memiliki jumlah yang sama komponen, diperoleh dengan menambahkan yang sesuai komponen.

CONTOH 4 Penambahan Matriks dan Vektor

A pada Contoh 3 dan kita sekarang tidak dapat ditambahkan. Jika a = [5 7 21 dan b = [-6 2 OJ. kemudiana + b = [-aku 9 21. Sebuah aplikasi penambahan matriks disarankan pada Contoh 2. Banyak orang lain akan mengikuti.

DEFINISI

Perkalian skalar (Perkalian dengan Nomor) Produk dari setiap / 1l 1l X matriks A = [AJK] dan setiap skalar c (nomor c) ditulis CA dan adalah I1l X 11 matriks CA = [cajk] diperoleh dengan mengalikan setiap entri dari A oleh c.

Di sini (-I) adalah hanya ditulis-A dan disebut negatif dari A. Demikian pula, (-k) adalah ditulis - kA. Juga, A + (-B) ditulis A - B dan disebut perbedaan A dan B (yang harus memiliki ukuran yang sama!).

Perkalian Skalar CONTOH 5

Jika matriks B menunjukkan jarak antara beberapa kota di mil. 1,60,) B memberikan jarak dalam kilometer ini.

Aturan untuk Penambahan Matrix dan Perkalian Skalar. Dari hukum akrab untuk Selain nomor kita memperoleh hukum yang serupa untuk penambahan matriks dengan ukuran yang sama 111 X 11, yaitu,

Berikut 0 menunjukkan matriks nol (ukuran 111 X 11), yang. III X 11 matriks dengan semua entri nol. (Matriks terakhir dalam Contoh 5 adalah matriks nol.) Oleh karena matriks Selain komutatif dan asosiatif [oleh (3a) dan (3b)]. Demikian pula, untuk perkalian skalar kita mendapatkan aturan

7.2 Perkalian Matriks

Perkalian matriks berarti perkalian matriks dengan matriks. Ini adalah yang terakhir operasi aljabar untuk didefinisikan (kecuali untuk transposisi, yang kurang penting). Sekarang matriks yang ditambahkan dengan menambahkan entri yang sesuai. Dalam perkalian, kita kalikan entri yang sesuai? Jawabannya adalah tidak. Mengapa tidak? Operasi semacam itu tidak akan ada banyak digunakan dalam aplikasi. Definisi standar dari perkalian terlihat buatan, namun akan sepenuhnya termotivasi kemudian dalam bagian ini dengan menggunakan matriks dalam "linier transformasi, "dengan mana perkalian ini adalah disarankan.

DEFINISI

Perkalian Matrix dengan Matriks

Produk C = AB (dalam urutan ini) dari 111 X 11 matriks A = [Gjk] kali sebuah r X p matriks B = [bjk] didefinisikan jika dan hanya jika r = 11 dan kemudian dengan 111 XP matriks C = [CJK] dengan entri

Kondisi r = n berarti bahwa faktor kedua, B, harus memiliki baris sebanyak yang pertama faktor memiliki kolom, yaitu n. Sebagai diagram ukuran (dilambangkan seperti yang ditunjukkan):

CJK dalam (1) diperoleh dengan mengalikan setiap entri dalam baris thejth dari A dengan yang sesuai entri dalam kolom ke-k dari B dan kemudian menambahkan ini 11 produk. Sebagai contoh, C21 = G21bl1 + G22b21 + ... + G2nbnl, dan sebagainya. Satu panggilan ini secara singkat "penjumlahan baris ke columlls." Lihat ilustrasi pada Gambar. 155, dimana 11 = 3.

Berikut ell = 3. 2 + 5. 5 + (- I). 9 = 22, dan '0 pada. Entri dalam kotak ("23 = 4 '3 + O • 7 + 2. 1 = 14. BA produk tidak didefinisikan.

CONTOH 4 PERHATIAN! Perkalian matriks Tidak komutatif, AB ≠ BA 'di Umum

Hal ini diilustrasikan dengan Contoh I dan 2. di mana salah satu dari dua produk bahkan tidak didefinisikan. dan dengan Contoh 3. di mana kedua produk memiliki ukuran yang berbeda. Tapi itu juga berlaku untuk matriks persegi. Sebagai contoh.

Sangat menarik bahwa ini juga menunjukkan bahwa AB = 0 tidak selalu berarti BA = 0 atau A = 0 atau B = O. Kami akan membahas ini lebih lanjut dalam Sec. 7.8. bersama dengan alasan saat ini terjadi.

Contoh kami menunjukkan bahwa urutan offactors dalam produk matriks harus selalu obse ", edvel) 'hati-hati. Perkalian matriks Jika tidak memenuhi aturan serupa dengan yang untuk nomor,yaitu.

menyediakan A, B, dan C adalah sedemikian rupa sehingga ekspresi di sebelah kiri didefinisikan, di sini, k adalah setiap skalar. (2b) disebut hukum asosiatif. l2c) dan (2d) disebut hukum distributif. Karena perkalian matriks adalah perkalian dari baris ke kolom. kita dapat menulis mendefinisikan rumus (1) lebih kompak sebagai

Dimana aj adalah vektor baris n dari A dan bkadalah kolom jj vektor dari B, sehingga dalamperjanjian dengan (1),

CONTOH 5 Produk dalam Ketentuan Row Dan Vektor Kolom

Pengolahan paralel produk di komputer ini difasilitasi oleh varian dari (3) untuk komputasi C = AB, yang digunakan oleh algoritma standar (seperti di Lapack). dalam hal ini metode, Sebuah digunakan sebagai diberikan. B diambil dalam hal vektor kolom, dan produk compUled columnwise: dengan demikian,

Kolom B kemudian ditugaskan untuk prosesor yang berbeda (individual atau beberapa IO setiap prosesor), yang sekaligus menghitung kolom dari produk matriks ABL,, AB2 dll

CONTOH 6 Komputasi Bijaksana Produk Kolom dengan (5)

dari AB dan kemudian menulis mereka sebagai matriks tunggal, seperti yang ditunjukkan pada rumus pertama ou kanan.

Motivasi Perkalian oleh Transformasi Linear

Mari kita sekarang memotivasi "tidak wajar" perkalian matriks dengan penggunaannya dalam linier transformasi. Untuk II = 2 variabel ini adalah transformasi dari bentuk

dan cukup untuk menjelaskan ide. (Untuk umum n mereka akan dibahas dalam Bagian 7.9..) Untuk Misalnya, (6 *) mungkin berhubungan sistem xlx2-koordinat ke sistem koordinat YIY2 dalam pesawat. Dalam bentuk vectorial kita dapat menulis (6 *) sebagai

Sekarang anggaplah lebih lanjut bahwa xlx2-sistem terkait dengan sistem wlw2-oleh yang lain linier transformasi, katakanlah,

Kemudian) 'IY2-sistem terkait dengan sistem 1'lw2-~ secara tidak langsung melalui sistem x1x2-, dan kami ingin mengungkapkan hubungan ini secara langsung. Pergantian akan menunjukkan bahwa ini adalah hubungan langsung transformasi linier, juga, mengatakan,

Memang, mengganti (7) ke (6), kita memperoleh

Bandingkan ini dengan (8), kita melihat bahwa

Ini membuktikan bahwa C = AB dengan produk didefinisikan sebagai dalam (I). Untuk ukuran matriks yang lebih besar ide dan hasil yang persis sama. Hanya jumlah perubahan variabel. Kita kemudian memiliki III variabel y dan n variabel x dan p variabel w. Matriks A, B, dan C = AB kemudian memiliki

ukuran III X Il, 11 X h. dan m X h. masing-masing. Dan persyaratan bahwa C adalah AB produk mengarah ke rumus (1) dalam bentuk umum. Hal ini memotivasi perkalian matriks sepenuhnya.

Transposition / pengangkutan

pengangkutan menyediakan transisi dari vektor baris untuk vektor kolom dan sebaliknya. Lebih umum, memberikan kita pilihan untuk bekerja baik dengan matriks atau dengan transposnya. apapun akan lebih praktis dalam situasi tertentu.

DEFINITION

Transpose dari sebuah X III / I matriks A = [AJK] adalah matriks m X 11 AT (baca A transpos) yang memiliki karat baris dari A sebagai kolom pertama, baris kedua dari A sebagai kedua kolom. dan sebagainya. Jadi transpos A dalam (2) adalah AT = [a / <J], ditulis

Sebagai kasus khusus, transposisi mengkonversi vektor baris ke vektor kolom dan sebaliknya.

CONTOH 7 Transposisi Matriks dan Vektor

Sedikit lebih kompak, kita dapat menulis

Perhatikan bahwa untuk matriks kuadrat. transpos diperoleh oleh entri interchanging yang diposisikan simetris sehubungan dengan diagonal utama, misalnya, a12 a21 dan. dan sebagainya.

Aturan untuk transposisi yang

PERHATIAN! Perhatikan bahwa dalam (Lod) matriks transpos sakit terbalik urutan. kami meninggalkan bukti kepada siswa. (Lihat Prob 22..)

khusus Matriks

Beberapa jenis matriks akan terjadi cukup sering dalam pekerjaan kami, dan kami sekarang daftar yang paling penting dari mereka.

Matriks simetris dan miring-Symmetric. pengangkutan menimbulkan dua berguna kelas matriks, sebagai berikut. Matriks simetris dan matriks simetris-miring yang matriks bujursangkar yang sama transpos matriks itu sendiri atau minus matriks, masing-masing:

CONTOH 8 Matriks Symmetric dan Skew-Simetris

Sebagai contoh, jika sebuah perusahaan memiliki tiga gedung pusat pasokan C1, C2, C3, maka A dapat menunjukkan biaya, mengatakan, ajj untuk 1000 penanganan kantong semen pada ceoter Cj , Dan AJL, (j"* k) biaya pengiriman 1000 tas dari Cj ke Ck. Jelas. AJK = LI ~ j karena pengiriman dalam arah yang berlawanan biasanya akan biaya yang sama.

Matriks simetrik memiliki sifat umum beberapa yang membuat mereka penting. Ini akan terlihat seperti yang kita melanjutkan.

Matriks segitiga. Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang dapat memiliki entri nol hanya pada dan di atas diagonal utama, sedangkan entri di bawah diagonal harus nol. Demikian pula, matriks segitiga bawah dapat memiliki entri tidak nol hanya pada dan di bawah entri diagonal utama Setiap pada diagonal utama matriks segitiga dapat nol atau tidak.

CONTOH 9 Matriks Segitiga Atas dan Bawah

Matriks diagonal. Ini adalah matriks persegi yang dapat memiliki entri nol hanya pada diagonal utama. Setiap entri di atas atau di bawah diagonal utama harus nol.

Jika semua entri diagonal dari matriks diagonal S adalah sama. mengatakan, c, kita sebut S skalar matriks karena perkalian dari setiap matriks bujursangkar A dari ukuran yang sama oleh S memiliki yang sama efek sebagai perkalian oleh sebuah skalar, yaitu,

Secara khusus, matriks skalar yang entri pada diagonal utama adalah semua 1 disebut Unit matriks (atau matriks identitas) dan dilambangkan oleh In atau hanya dengan I. Karena aku, rumus (12) menjadi

CONTOH 1 0 Matriks Diagonal Matriks Skalar D. Matriks Satuan S. Saya

Perkalian matriks akan memainkan peran penting dalam kaitannya dengan sistem linear persamaan, dimulai pada bagian berikutnya. Untuk saat ini kami menyebutkan beberapa sederhana lainnya aplikasi yang tidak perlu penjelasan panjang lebar.

CONTOH 11 Komputer Produksi. Matrix Matrix Waktu

Supercomp Ltd memproduksi dua model komputer PC saya 086 dan PC 1186. Matriks A menunjukkan biaya per komputer (dalam thollsands dolar) dan B angka produksi untuk tahun 2005 (dalam kelipatan 10000 unit.) Cari mutrix C yang menunjukkan pemegang saham biaya per kuartal (dalam jutaan dolar) untuk muterial mentah. tenaga kerja. Dan lain-lain.

Solusi.

Karena b biaya tertentu kelipatan io sebesar $ 1000 produksi AOD dalam kelipatan 10.000 unit yang eotries Care kelipatan dari millioos $ 10, dengan demikian ell = 13,2 berarti miUion $ 132. dll

CONTOH 12 Menonton Berat. Matrix Waktu Vecto

Misalkan bahwa dalam program penurunan berat menonton. orang dari 350 1851b callhr luka bakar dalam berjalan (3 mph). 500 di bycycling (13 mph) dan 950 dalam joging (5,5 mph). Bill. v.eighing rencana £ 185 untuk latihan sesuai dengan LHE matriks ditampilkan. Verifikasi calculmions (W = Berjalan B = Bersepeda J = Jogging..).

CONTOH 13 Markov Process. Kekuasaan Matriks. Stochastic Matrix

misalkan tahun 2004 negara penggunaan lahan di kota dari 60 mi2 area

C: 25% Digunakan komersial I: Dalam industri Digunakan R 20%: 55% Residentially Digunakan.

Cari stales pada tahun 2009, 2014. dan 2019, dengan asumsi bahwa transisi probabilitie ~ selama 5-tahun interval diberikan oleh matriks A dan tetap praktis sama atas waktu dianggap.

A adalah matriks stokastik, yaitu matriks persegi dengan semua entri taknegatif dan kolom semua jumlah sama dengan I. Contoh kami menyangkut proses Markov1, Yaitu. proses yang THC kemungkinan memasuki negara tertentutergantung hanya 00 negara terakhir ditempati (dan A matriks), tidak pada setiap keadaan sebelumnya. Solutioll. Dari matriks A dan negara 2004 kita dapat menghitung negara 2009.

Untuk menjelaskan: Angka 2009 untuk C sama dengan 25o / c 0,7 kali kemungkinan bahwa C masuk ke dalam C, ditambah 20'7 <~ waktu itu 0,1 probabilitas bahwa saya masuk ke dalam C, ditambah kali 55% probabilitas bahwa U R masuk ke dalam C Bersama,

Demikian. R baru 46,5%. Kita melihat bahwa negara vektor 200!) Adalah vektor kolom

mana kolom ~ Ector X = [25 20 55] T adalah vektor 2004 negara diberikan. Perhatikan bahwa ~ um entrientri dari y 100 ['7 <]. Demikian. Anda dapat melakukan verifikasi bahwa untuk tahun 2014 dan 20 [9 kita mendapatkan vektor negara

CHAP. 7 Linear Aljabar: Matriks, Vektor, Determinan. Sistem linearJawaban. Pada tahun 2009 daerah komersial akan 19,5% (11,7 mil). yang 34% industri (20,4 mil) danperumahan 46,5% (27.9 mil2). Untuk 2014 angka 17,05% conesponding yang .43.80%. 39.15o / r. Untuk 2019 mereka adalah 16,315%. 50,660%. 33,0: 5o / c. (Dalam Sec 8.2 kita akan melihat apa yang terjadi pada limit.. Dengan asumsi bahwa mereka probabilitas tetap sama. Sementara itu. Anda bisa bereksperimen atau menebak?)

7.3 Sistem Persamaan Linear.Gauss EliminasiPenggunaan paling penting dari matriks terjadi dalam solusi sistem persamaan linear, singkat disebut sistem linear. Model seperti masalah berbagai sistem, misalnya, dalam kerangka, jaringan listrik, arus lalu lintas, ekonomi, statistik, dan banyak lainnya. Dalam bagian ini kita menunjukkan metode solusi yang penting, penghapusan Gauss. Umum sifat solusi akan discllssed pada bagian selanjutnya.

Sistem Linear, Koefisien Matrix, Augmented Matrix Suatu sistem linear dari m persamaan 11 tidak diketahui "\ b ... 'Xn adalah satu set persamaan dalam bentuk

Sistem ini disebut linear karena masing-masing variabel Xj muncul dalam kekuasaan pertama saja, hanya seperti dalam persamaan garis lurus. alba "', AMN diberi nomor, disebut koefisien dari sistem. BI, ... , bm di sebelah kanan juga diberi nomor. [f semua bj ini adalah nol, maka (1) disebut sistem homogen. Jika setidaknya satu bj tidak nol, maka (1) disebut sistem nonhomogen.

Suatu solusi larutan (1) adalah satu set nomor Xl '• • • Xn yang memenuhi semua persamaan m.. Sebuah vektor solusi dari (1) adalah komponen vektor x yang membentuk larutan (1). Jika sistem (1) adalah homogen. memiliki setidaknya memiliki solusi trivial XL = 0, .... Xn = O.

Bentuk matriks Sistem Linear (1). Dari definisi perkalian matriks kita melihat bahwa persamaan m (1) dapat ditulis sebagai persamaan vektor tunggal

di mana matriks koefisien A = [AJK] adalah matriks Dalam xn

adalah vektor kolom. Kami berasumsi bahwa koefisien (/ jk tidak semuanya nol, sehingga A tidak matriks nol. Perhatikan bahwa x memiliki 11 komponen, sedangkan b memiliki komponen III. Matriks

disebut matriks yang diperbesar dari sistem (1). Garis vertikal putus-putus dapat dihilangkan (seperti yang akan kita lakukan nanti), itu hanyalah pengingat bahwa kolom terakhir dari A tidak milik A.

Matriks meleleh A menentukan sistem (1) sepenuhnya menjadi, e mengandung semua yang diberikan nomor yang muncul dalam (1).

CONTOH 1 Interpretasi geometrik. Keunikan keberadaan dan Solusi Jika m = n = 2. kita memiliki dua persamaan dalam dua variabel Xl, X2

Jika kita menginterpretasikan Xl, X2 sebagai koordinat pada bidang xlx2-. maka setiap dari dua persamaan garis slraight represems. dan (Xl. - '"2) adalah solusi jika dan hanya jika titik P dengan koordinat Xl' X2 terletak pada kedua saluran Oleh karena itu ada.tiga kemungkinan kasus:

(a) Tepatnya satu solusi jika garis berpotongan.(b) solusi Jauh banyak jika garis bertepatan.(c) Tidak ada solusi jika garis sejajar

Sebagai contoh,

Jika sistem homogen, Kasus (c) tidak dapat terjadi. karena kemudian dua garis lurus melewati asal. yang koordinat O. 0 merupakan solusi trivial. Jika Anda ingin, mempertimbangkan tiga persamaan dalam tiga diketahui sebagai representasi dari tiga pesawat dalam ruang dan mendiskusikan berbagai kemungkinan kasus dengan cara yang sama.Lihat Gambar. 156.

Contoh sederhana kami menunjukkan bahwa sistem (saya) mungkin mungkin memiliki solusi. Hal ini menimbulkan masalah berikut. Apakah sistem yang diberikan (1) yang punya solusi? Dalam kondisi apakah itu memiliki tepat satu solusi? Jika memiliki lebih dari satu solusi, bagaimana kita bisa mencirikan himpunan semua solusi? Bagaimana kita bisa benar-benar mendapatkan solusi? Mungkin pertanyaan terakhir adalah yang paling langsung dari sudut pandang praktis. Kami akan menjawab pertama dan membahas pertanyaan-pertanyaan lain di Sec. 7.5.

Gauss Eliminasi dan Substitusi KembaliIni adalah metode eliminasi standar untuk menyelesaikan sistem linear bahwa hasil sistematis terlepas dari fitur tertentu dari koefisien. Ini adalah metode yang bagus kepentingan praktis dan wajar terhadap waktu komputasi dan permintaan penyimpanan (dua aspek akan kita pertimbangkan dalam Sec 20.1 dalam bab tentang aljabar linear numerik.). kami mulai dengan metode memotivasi. Jika sistem berada dalam "bentuk segitiga," katakan,

kita dapat memecahkannya dengan "substitusi balik," yaitu, memecahkan persamaan terakhir untuk variabel. X2 = -26113 = -2, dan kemudian bekerja mundur, menggantikan X2 = -2 ke dalam persamaan pertama dan memecahkan untuk mendapatkan XL '= Xl ~ (2 - 5x2) - ide 5 · (-2 »= 6 ini memberikan kita = ~ (2. Pertama mengurangi sistem umum untuk bentuk segitiga. Sebagai contoh, biarkan sistem yang diberikan akan

Kami meninggalkan persamaan fust seperti itu. Kami menghilangkan Xl dari persamaan kedua. Untuk mendapatkan segitiga sistem. Untuk ini kita menambahkan dua kali persamaan pertama untuk yang kedua, dan kami melakukan operasi yang sama pada baris dari matriks yang diperbesar. Hal ini memberikan-4XL + 4XL + 3x2 + 10x2 = -30 + 2 · 2, yaitu,

mana Row: 2 +: 2 Row I berarti "Tambah dua kali Row 1 Row T dalam matriks asli. Ini adalah eliminasi Gauss (untuk 2 persamaan dalam 2 diketahui) memberikan bentuk segitiga, dari mana substitusi kembali sekarang menghasilkan X2 = - 2 dan XL = 6, seperti sebelumnya.

Karena sistem linear sepenuhnya ditentukan oleh matriks yang diperbesar, Gauss panggilan eliminasi akan Dolle hanya dengan mempertimbangkan matriks, seperti yang kita baru saja ditunjukkan. Kami melakukan ini lagi di contoh berikut. menekankan matriks dengan menulis mereka terlebih dahulu dan persamaan di belakang mereka. hanya sebagai bantuan agar tidak kehilangan jejak.

Eliminasi Gauss solusi dengan. Sistem ini dapat diselesaikan lebih cepat dengan memperhatikan tertentu yang bentuk. Tapi ini bukan titik. Intinya adalah bahwa penghapusan Gauss yang sistematis dan akan bekerja pada umumnya, juga untuk sistem yang besar. Kita menerapkannya pada sistem kami dan kemudian melakukan substitusi

balik. Seperti yang ditunjukkan mari kita menulis matriks dari sistem pertama dan kemudian sistem itu sendiri:

Langkah 1. Penghapusan XlPanggil baris pertama dari A baris poros dan persamaan pertama persamaan pivot. Panggil koefisien I dari nya xrterm poros dalam langkah ini. Gunakan persamaan ini untuk menghilangkan Xl (menyingkirkan ot xl) dalam persamaan yang lain. Untuk ini, lakukan:

Tambahkan Aku kali persamaan pivot untuk persamaan kedua.Tambahkan -20 kali persamaan pivot untuk persamaan keempat.

Hal ini sesuai dengan baris operasi pada matriks yang diperbesar seperti yang ditunjukkan dalam BLUI belakang matriks baru di(3). Jadi operasi yang dilakukan pada matriks sebelumnya. Hasilnya adalah

Langkah 2. Penghapusan X2Persamaan pertama tetap seperti itu. Kami ingin persamaan kedua baru untuk melayani sebagai persamaan poros berikutnya. Tapi karena tidak memiliki jangka x2 (pada kenyataannya, itu adalah 0 = 0), kita mllst pertama mengubah urutan persamaan dan sesuai baris dari mauix baru. Kami menempatkan 0 = 0 di akhir dan memindahkan persamaan ketiga dan keempat persamaan RHE satu tempat up. Ini disebut parsial berputar (sebagai lawan total jarang digunakan berputar, di mana juga urutan tidak diketahui berubah). Ini memberi

Untuk menghilangkan 'X2 lakukan:Tambahkan -3 kali persamaan poros ke persamaan ketiga.Hasilnya adalah

Kembali Pergantian. Penentuan ofx3 'x2' XL (dalam urutan ini) Bekerja mundur dari terakhir ke persamaan pertama dari sistem "segitiga" (4), kita sekarang dapat dengan mudah menemukan . x3, maka \ '2, dan kemudian xl:

dimana A singkatan dari "ampere." Ini adalah jawaban untuk masalah kita. Solusinya adalah unik.Dasar Row Operasi. Baris-Setara Sistem Contoh 2 mengilustrasikan operasi eliminasi Gauss. Ini adalah dua pertama tiga operasi. yang disebut Dasar Row Operasi untuk Matriks: Interchange (~ f dua baris Penambahan kelipatan konstan dari satu baris ke baris lain Perkalian suatu baris dengan sebuah konstanta c. taknol

PERHATIAN! Operasi ini untuk baris, tidak untuk kolom! Mereka sesuai dengan berikutDasar Operasi untuk Persamaan:Pertukaran dari dua persamaanPenambahan kelipatan konstan satu persamaan dengan persamaan lainPerkalian dari persamaan dengan sebuah konstanta c. TaknolJelas, pertukaran dua persamaan tidak mengubah himpunan solusi. Baik apakah itu Selain itu karena kita dapat membatalkannya dengan pengurangan yang sesuai. Demikian pula untuk itu perkalian, yang kita dapat membatalkan dengan mengalikan persamaan baru dengan lic (karena c = 1 = 0), menghasilkan persamaan asli.

Sekarang kita sebut sistem SI linier baris-setara dengan sistem linear S2 jika SI dapat diperoleh dari dengan S2 (finitely banyak!) operasi baris. Jadi kita telah membuktikan berikut Hasilnya, yang juga membenarkan penghapusan Gauss.

TEOREMA 1 Row-Setara SistemRow-setara sistem linear memiliki solusi yang sama.

Karena teorema ini, sistem yang memiliki set solusi yang sama sering disebut sistem setara. Tetapi perhatikan dengan baik bahwa kita berhadapan dengan operasi baris. kolom tidak operasi pada matriks yang diperbesar yang pennitted dalam konteks ini karena mereka akan umumnya mengubah himpunan solusi.

Suatu sistem linear (1) disebut overdetermined jika memiliki persamaan lebih dari diketahui. seperti pada Contoh 2. ditentukan jika m = n. seperti di I. Contoh dan underdetermined jika memiliki sedikit persamaan daripada tidak diketahui.

Selain itu, sistem (1) disebut konsisten jika memiliki setidaknya satu solusi (dengan demikian, satu solusi atau tak terhingga banyaknya solusi), tetapi tidak konsisten jika tidak memiliki solusi sama sekali, karena Xl + X2 = Saya, Xl + X2 = 0 pada Contoh l.

Eliminasi Gauss: Para Kasus Tiga Kemungkinan Sistem

Penghapusan Gauss bisa mengurus sistem linear dengan solusi yang unik (lihat Contoh 2), dengan takterhingga banyaknya solusi (Contoh 3, bawah), dan tanpa solusi (konsisten sistem; lihat Contoh 4).

CONTOH 3 Gauss Eliminasi jika Banyak Solusi Jauh Exist

Selesaikan sistem linear berikut dari tiga persamaan dalam empat tidak diketahui yang merupakan matriks yang diperbesar

Solusi. Seperti dalam contoh sebelumnya. kami lingkaran kotak pivot dan istilah persamaan dan masukan yang sesuai untuk dihilangkan. Kami menunjukkan operasi dalam hal persamaan dan beroperasi pada kedua persamaan dan matriks.

Langkah 1. Elimillation O / Xl dari persamaan kedua dan ketiga dengan menambahkan- 0.6/3.0 = -0,2 kali persamaan pertama untuk persamaan kedua,- 1.2/3.0 = -0,4 kali persamaan pertama dengan persamaan ketiga.

Hal ini memberikan berikut, di mana poros langkah berikutnya adalah dilingkari.

Langkah 2. Penghapusan 0x2 dari persamaan ketiga (6) dengan menambahkan 1.1/1.1 Saya kali persamaan kedua persamaan ketiga.

Hal ini memberikan

Kembali Pergantian. Dari persamaan kedua. X2 = 1 - X3 + '4x4 Dari ini dan persamaan pertama. Xl = 2 - 'X4 Sejak x3 dan x4 tetap sewenang-wenang. kami memiliki takhingga banyaknya. Jika kita memilih nilai x3 dan nilai X4. maka nilai yang sesuai XL dan x2 adalah unik ditentukan.

Minyak Notasi. Jika diketahui tetap sewenang-wenang. itu adalah Al ~ o adat untuk menunjukkan mereka dengan surat-surat, lain 11 12 • .... Dalam contoh ini kita dengan demikian dapat menulis XL = 2 - X4 = 2 - 12. x2 = I - x3 + 4X4 = I - '1 + 412. x3 = 11 (PERTAMA sewenang-wenang tidak diketahui), X4 = 12 (tidak diketahui sewenang-wenang kedua). CONTOH 4 Gauss Eliminasi jika ada Solusi ExistsApa yang akan terjadi jika kita menerapkan eliminasi Gauss ke sistem linier yang memiliki solusi? Jawabannya adalah bahwa dalam hal ini metode yang akan menampilkan fakta ini dengan memproduksi sebuah kontradiksi. Sebagai contoh. Pertimbangkan

Langkah 1. Eliminatioll o / x] dari persamaan kedua dan ketiga dengan menambahkan-1 / 2 waktu, persamaan pertama dengan persamaan kedua.-6 / 3 = -2 kali persamaan pertama dengan persamaan ketiga

Ini memberi,

Step 2. Elimillatioll of X2 from the third equation givesLangkah 2. Penghapusan X 2 dari persamaan ketiga memberikan

Pernyataan palsu 0 = 12 menunjukkan bahwa sistem tersebut tidak memiliki solus Row Eselon Formulir dan Informasi Dari Ini Pada akhir eliminasi Gauss bentuk matriks koefisien, yang diperbesar matriks, dan sistem itu sendiri disebut bentuk eselon baris. Di dalamnya. baris nol. Jika hadir. adalah la "t baris. dan dalam setiap baris nol entri taknol paling kiri adalah jauh ke kanan daripada di baris sebelumnya. Sebagai contoh. dalam Contoh 4 matriks koefisien dan yang ditambah di eselon baris fonn yang

Perhatikan bahwa kita tidak memerlukan bahwa entri nol paling kiri menjadi saya karena ini akan ada keuntungan teori atau numerik. (Bentuk eselon disebut berkurang, di mana mereka entri saya, akan dibahas dalam Sec. 7.8.)Pada akhir eliminasi Gauss (sebelum substitusi balik) bentuk eselon barisdari matriks yang diperbesar akan

Di sini, r ≤ m dan a11 ≠ 0, C22 ≠ 0, ... , KRR ≠ 0, dan semua entri dalam segitiga biru serta dalam persegi panjang biru adalah nol. Dari ini kita melihat bahwa sehubungan dengan solusi dari sistem dengan matriks yang diperbesar (8) (dan dengan demikian sehubungan dengan awalnya diberikan sistem) ada tiga kasus yang mungkin:(a) Tepat satu solusi jika r = n dan br 1 .. .... bm "jika ada. adalah nol. Untuk mendapatkan

solusi. memecahkan persamaan n sesuai dengan (8) (yang knnxn = milyar) untuk 'Xn kemudian (n - l) st persamaan untuk Xn-l, dan seterusnya sampai baris. Lihat Contoh 2, di mana r = n =: 3 dan I7l = 4.

(b) solusi Jauh banyak jika r <11 dan,.+!, b .... 'bm jika ada, adalah nol. untuk mendapatkan y dari solusi, memilih nilai dari Xr + l, • • • 'Xl1 sewenang-wenang. Kemudian memecahkan persamaan 7 rx,, maka (1 '- l) st persamaan untuk,._!, X dan seterusnya sampai baris.. Lihat Contoh 3.

(c) Tidak ada solusi jika r <111 dan salah satu entri br + I '• .. , bm tidak nol. lihat Contoh 4, di mana r = 2 <m = 3 dan br + 1 = b3 = 12

7.4 Linear Kemerdekaan. Matriks peringkat.Ruang vektor

Pada bagian terakhir kita menjelaskan eliminasi Gauss dengan substitusi balik, yang paling metode solusi numerik yang penting untuk sistem linear persamaan. Ternyata seperti sistem mungkin memiliki solusi unik atau tak terhingga banyaknya solusi. atau mungkin tidak konsisten, yaitu, memiliki solusi sama sekali Oleh karena itu kita dihadapkan dengan pertanyaan-pertanyaan tentang keberadaan dan keunikan dari solusi. Kita akan menjawab pertanyaan-pertanyaan pada bagian berikutnya. Sebagai konsep kunci untuk ini (dan pertanyaan lainnya) kami memperkenalkan rallk dari

sebuah matriks. Untuk menentukan peringkat, pertama kita perlu konsep-konsep berikut, yang penting umum.

Kemerdekaan dan Ketergantungan linear Vektor Mengingat setiap himpunan vektor m a (1) • •., (M) (dengan jumlah yang sama komponen), linear kombinasi dari vektor-vektor ini adalah sebuah ekspresi dalam bentuk

mana 'Cl C2, • • •, mereka adalah setiap skalar. Sekarang perhatikan persamaan

Jelas, ini persamaan vektor (I) berlaku jika kita memilih semua c / s nol, karena kemudian menjadi o = O. [f ini adalah tupel-m hanya skalar yang (1) benar, maka kami vektor a (1), ... , Seorang ('m) dikatakan fOlm suatu himpunan bebas linear atau, lebih singkat, kami menyebutnya linear independen. Jika tidak, jika (1) juga memegang dengan skalar tidak semua nol, kita sebut ini vektor bebas linear, karena dengan begitu kita dapat mengekspresikan (setidaknya) salah satu dari mereka sebagai kombinasi linear dari yang lain. Misalnya, jika (l) berlaku dengan, katakanlah, Cl = 1 = 0, kita dapat memecahkan (saya) untuk (1):

Mengapa ini penting? Nah, dalam kasus linear kita dapat menyingkirkan beberapa dari vektor sampai kita anive di sebuah himpunan bebas linear yang optimal untuk bekerja dengan karena terkecil mungkin dalam arti bahwa hal itu hanya terdiri dari "benar-benar penting" vektor, yang tidak lagi dapat dinyatakan dalam bentuk linear satu sama lain. Hal ini memotivasi gagasan "dasar" yang digunakan dalam berbagai konteks, terutama kemudian dalam bagian kita sekarang.

CONTOH 1 Linear Kemerdekaan dan KetergantunganTiga vektor

bergantung linear karena

Meskipun hal ini mudah diperiksa (melakukannya!), Itu tidak begitu ea ~ y untuk menemukan. Namun. metode sistematis untuk menemukan tahu tentang kemandirian dan ketergantungan linier berikut di bawah ini. Dua yang pertama dari tiga vektor adalah bebas linear karena c13m + c23c2) = 0 berarti c2 = 0 (dari komponen kedua) dan kemudian C1 = 0 (dari komponen lain ot 3 (U)

Matriks peringkat

DEFINISI Rank dari matriks A adalah jumlah maksimum vektor baris linearA. Hal ini dilambangkan dengan peringkat A.

Diskusi lebih lanjut kami akan menunjukkan bahwa rank dari matriks merupakan konsep kunci penting untuk memahami sifat umum dari matriks dan sistem persamaan linear.

CONTOH 2 Peringkatmatriks

memiliki peringkat 2. Contoh 1 menunjukkan karena bahwa dua pertama TO '"vektor adalah bebas linear. sedangkan semua tiga vektor baris yang bebas linear. Perhatikan lebih lanjut bahwa rank A = 0 jika dan hanya jika A - O. berikut ini langsung dari definisi.

Kita sebut matriks baris Al-setara dengan matriks A2 jika Al dapat diperoleh dari A2 dengan (finitely banyak!) operasi baris elementer. Sekarang jumlah maksimum linear vektor-vektor baris matriks independen tidak berubah jika kita mengubah urutan baris atau kalikan baris oleh seorang c nol atau mengambil linear kombinasi dengan menambahkan beberapa baris ke baris lain. Ini membuktikan peringkat yang invarian dalam operasi baris elementer:

TEOREMA 1 Row-Setara MatriksMatriks setara baris memiliki pangkat lendir.Oleh karena itu kita dapat menentukan rank matriks dengan pengurangan bentuk eselon baris (Bag. 7.3) dan kemudian melihat peringkat langsung.

CONTOH 3 Penentuan PeringkatUntuk matriks pada Contoh 2 kita memperoleh berturut-turut

Karena pangkat didefinisikan dalam istilah dari dua vektor, kita segera memiliki bergunaTEOREMA 2 Kemerdekaan Linear dan Ketergantungan Vektor

vektor p dengan 11 komponen masing-masing i1ldependent linear jika matriks dengan vektor sebagai vektor baris memiliki p pangkat, tetapi mereka bebas linear jika peringkat yang kurang dari p.

TEOREMA 3 Peringkat dalam Ketentuan Vektor KolomR rank dari matriks A sama dengan jumlah maksimum linear vektor kolom dari A. Oleh karena itu Sebuah transpos alld nya AT memiliki rallk yang sama.

BUKTIDalam bukti ini kita tulis hanya "baris" dan "kolom" untuk baris dan vektor-vektor kolom. Mari A adalah 171 X n malIu peringkat A = r. Maka menurut definisi pangkat, A memiliki r linear independen baris yang dinotasikan oleh v (1), ... , V (T) (terlepas dari posisi mereka di A),dan semua baris yang (l), • •,. (m) dari A adalah kombinasi linear dari, katakanlah,

Ini adalah persamaan untuk vektor baris. Untuk beralih ke kolom, kita menulis (3) dalam hal n komponen sebagai sistem seperti ini, dengan k =], ... , N,

dan mengumpulkan komponen dalam kolom. Memang. kita dapat menulis (4) sebagai

dimana k = I, · .. , N. Sekarang vektor di sebelah kiri adalah kolom jj vektor dari A. Kita melihat bahwa masing-masing kolom n adalah kombinasi linear dari kolom r yang sama di sebelah kanan. Oleh karena itu tidak dapat memiliki kolom lebih linear independen dari baris, yang jumlahnya pangkat A = r. Sekarang baris dari A adalah kolom dari transpos AT. Untuk AT kesimpulan kami adalah bahwa AT kolom tidak dapat memiliki lebih dari baris yang bebas linear, sehingga A tidak dapat memiliki

lebih linear baris dari kolom. Bersama-sama, jumlah linear kolom independen dari A harus r, pangkat A. Ini melengkapi bukti

CONTOH 4 Ilustrasi Teorema 3

Matriks dalam (2) memiliki peringkat 2. Dari Contoh 3 kita melihat bahwa dua yang pertama vektor baris bebas linear dan dengan "bekerja mundur" kita bisa memverifikasi bahwa Row 3 = 6 Row Row i I-2. Demikian pula, yang pertama dua kolom yang linear independem. dan dengan mengurangi matnx terakhir dalam Contoh 3 dengan kolom kita menemukan bahwa Kolom 3 = ~ Kolom I + ~ Kolom 2 dan Kolom 4 = ~ Kolom I + ~ Kolom 2. Menggabungkan Teorema 2 dan 3 kita mendapatkan.

TEOREMA 4 Ketergantungan Linear Vektorvektor p dengan n komponen p <selalu linear.BUKTI Matriks A dengan vektor-vektor sebagai vektor baris p memiliki baris dan 11 p <P kolom; maka dengan Teorema 3 memiliki peringkat A ~ II <p, yang berarti ketergantungan linier menurut Teorema 2.