Transformasi LinierMatematika Lanjut 1
Dr. Ahmad Sabri
Universitas Gunadarma
Definisi dan teorema
Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 2
Definisi [Transformasi Linier]. Diberikan ruang vektor 𝑉 dan 𝑊. Fungsi𝐹: 𝑉 → 𝑊 disebut transformasi linier jika:
i. 𝐹 𝐮 + 𝐯 = 𝐹 𝐮 + 𝐹(𝐯)
ii. 𝐹 𝑘𝐮 = 𝑘𝐹(𝐮)
untuk semua vektor u, v pada V dan semua skalar k.
Contoh: 𝐹: 𝑅2 → 𝑅3 adalah sebuah transformasi linier.
Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 3
Buktikan 𝐹 (𝑥, 𝑦) = (𝑥, 𝑥 + 𝑦, 𝑥 − 𝑦) adalah transformasi linier.
Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 4
Sifat-sifat
Teorema. Jika 𝑇: 𝑉 → 𝑊 adalah transformasi linier, maka:
a) 𝑇 𝟎 = 𝟎
b) 𝑇 −𝐯 = −𝑇(𝐯) untuk semua v di V
c) 𝑇 𝐯 − 𝐰 = 𝑇 𝐯 − 𝑇(𝐰) untuk semua v,w di V
Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 5
Definisi. Untuk 𝑇: 𝑉 → 𝑊 transformasi linier,
• Himpunan semua 𝐯 ∈ 𝑉 sehingga 𝑇 𝐯 = 𝟎 disebut kernel (ruang nol) dari T, dan dinotasikan sebagai ker(𝑇).
• Himpunan semua 𝐰 ∈ 𝑊 yang merupakan peta dari T disebutjangkauan dari T, dan dinotasikan sebagai 𝑅(𝑇).
Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 6
• tinjau kembali slide no. 11 materi “06 Solusi SPL”
• Dengan eliminasi Gauss-Jordan, diperoleh matriks eselon baris :
1 1 0 0 1 00 0 1 0 1 00 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0
• basis dari ruang pemecahan adalah
vektor 𝑣1 =
−11000
dan 𝑣2 =
−10−101
Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 7
Masalah tersebut dapat dipandang sebagai mencari kernel dari sebuahtransformasi linier, dengan matriks transformasi
𝐴 =
2 2 −1 0 1−1 −1 2 −3 11 1 −2 0 −10 0 1 1 1
Menemukan solusi 𝐴𝐱 = 0 ekivalen dengan menemukan kernel daritransformasi linier 𝑇 𝐱 = 𝐴𝐱, yang diberikan oleh:
ker 𝑇 = 𝑠 −1,1,0,0,0 + 𝑡 −1,0, −1,0,1 𝑠, 𝑡 ∈ 𝑅
dalam hal ini dimensi dari ker(𝑇) adalah 2Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 8
Teorema. Jika 𝑇: 𝑉 → 𝑊 adalah transformasi linier, maka:
a) ker(𝑇) adalah subruang dari V
b) 𝑅(𝑇) adalah subruang dari W.
Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 9
Diberikan basis-basis 𝑆 = 𝐯𝟏, 𝐯𝟐, 𝐯𝟑 untuk 𝑅3, di mana 𝐯𝟏 =1,1,1 , 𝐯𝟐 = 1,1,0 , 𝐯𝟑 = (1,0,0). Sebuah transformasi linier 𝑇: 𝑅3 →𝑅2 pada vektor-vektor basis memberikan:
𝑇 𝐯𝟏 = 1,0 ; 𝑇 𝐯𝟐 = 2,−1 ; 𝑇 𝐯𝟑 = (4,3)
a) Temukanlah formula untuk T
b) Tentukan 𝑇(2, −3,5)
Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 10
Definisi. Diberikan transformasi linier 𝑇: 𝑉 → 𝑊.
• Dimensi dari ker(𝑇) disebut nulitas T,
• Dimensi jangkauan dari T disebut rank T.
Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 11
Teorema. Jika 𝑇: 𝑉 → 𝑊 adalah transformasi linier dan V berdimensi n, maka: rank T + nulitas T = n.
Teorema. Jika A matriks 𝑚 × 𝑛, maka dimensi ruang pemecahan untuk𝐴𝐱 = 𝟎 adalah 𝑛 − 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐴).
Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 12
(lihat slide no. 11 materi “06 Solusi SPL”)
𝐴 =
2 2 −1 0 1−1 −1 2 −3 11 1 −2 0 −10 0 1 1 1
, ekivalen dengan matriks eselon baris
1 1 0 0 10 0 1 0 10 0 0 1 00 0 0 0 0
, sehingga rank(A) = 3
maka dimensi dari ruang pemecahan untuk 𝐴𝐱 = 𝟎 adalah 𝑛 − 𝑟𝑎𝑛𝑘 𝐴 =5 − 3 = 2.
Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 13
Transformasi Linier 𝑅𝑛ke 𝑅𝑚
Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 14
• Misalkan A matriks berukuran 𝑚 × 𝑛, dan v vektor di 𝑅𝑚.
• 𝑇 𝐱 = 𝐴𝐱 merupakan transformasi linier yang memetakan vektor di 𝑅𝑛 ke vektor di 𝑅𝑚.
• Transformasi linier 𝑇: 𝑅𝑛 → 𝑅𝑚 disebut juga transformasi matriks.
Bukti:𝑇 𝐮 + 𝐯 = 𝐴 𝐮 + 𝐯 = 𝐴𝐮 + 𝐴𝐯 = 𝑇 𝐮 + 𝑇(𝐯)𝑇 𝑘𝐮 = 𝐴 𝑘𝐮 = 𝑘𝐴 𝐮 = 𝑘𝑇(𝐮)
Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 15
Teorema. Jika
• 𝑇: 𝑅𝑛 → 𝑅𝑚 adalah transformasi linier, dan
• 𝑒1, 𝑒2, ⋯ , 𝑒𝑛 adalah basis baku untuk 𝑅𝑛,
maka 𝑇 𝐯 = 𝐴𝐮, di mana 𝐴 = 𝑇(𝑒1) 𝑇(𝑒2) ⋯ 𝑇(𝑒𝑛)
Matriks A disebut matriks baku untuk T.
Dengan kata lain, setiap transformasi linier dapat dinyatakan sebagaitransformasi matriks.
Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 16
Temukanlah matriks baku untuk 𝑇: 𝑅3 → 𝑅4 yang didefinisikan oleh:
𝑇
𝑥1𝑥2𝑥3
=
𝑥1 + 𝑥2𝑥1 − 𝑥2𝑥3𝑥1
Jawab:
𝑇 𝑒1 = 𝑇100
=
1101
, 𝑇 𝑒2 = 𝑇010
=
1−100
, 𝑇 𝑒3 = 𝑇001
=
0010
𝐴 = 𝑇 𝑒1 𝑇 𝑒2 𝑇 𝑒3 =
1 1 01 −1 00 0 11 0 0
. Cek: 𝐴
𝑥1𝑥2𝑥3
=
1 1 01 −1 00 0 11 0 0
𝑥1𝑥2𝑥3
=
𝑥1 + 𝑥2𝑥1 − 𝑥2𝑥3𝑥1Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 17
Transformasi linier bidang
• Transformasi linier bidang adalah 𝑇: 𝑅2 → 𝑅2.
• Transformasi utama pada bidang:1. Rotasi
2. Refleksi
3. Ekspansi/kompresi
4. Shearing
Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 18
• Refleksi • Ekspansi/kompresi
• Shear
Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 19
Transformasi Fungsi Transformasi Matriks Transformasi
Rotasi terhadaptitik pusat
𝑇𝑥𝑦 =
𝑥 cos 𝜃 − 𝑦 sin 𝜃𝑥 sin 𝜃 + 𝑦 cos 𝜃
cos 𝜃 − sin 𝜃sin 𝜃 cos 𝜃
Refleksi terhadapsumbu Y
𝑇𝑥𝑦 =
−𝑥𝑦
−1 00 1
Refleksi terhadapsumbu X
𝑇𝑥𝑦 =
𝑥−𝑦
1 00 −1
Refleksi terhadapgaris 𝑦 = 𝑥
𝑇𝑥𝑦 =
𝑦𝑥
0 11 0
Ekspansi/kompresiarah x dengan faktor k
𝑇𝑥𝑦 =
𝑘𝑥𝑦
𝑘 00 1
Ekspansi/kompresiarah y dengan faktor k
𝑇𝑥𝑦 =
𝑥𝑘𝑦
1 00 𝑘
Shearing arah xdengan faktor k
𝑇𝑥𝑦 =
𝑥 + 𝑘𝑦𝑦
1 𝑘0 1
Shearing arah ydengan faktor k
𝑇𝑥𝑦 =
𝑥𝑘𝑥 + 𝑦
1 0𝑘 1
Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 20
Jika 𝑇: 𝑅2 → 𝑅2 adalah perkalian oleh sebuah matriks elementer, maka efekgeometris dari transformasi tersebut adalah salah satu dari yang berikut:
1. Shearing sepanjang sumbu koordinat: 1 0𝑘 1
,1 𝑘0 1
2. Refleksi terhadap 𝑦 = 𝑥: 0 11 0
3. Kompresi/ekspansi sepanjang sumbu koordinat: 𝑘 00 1
,1 00 𝑘
4. Refleksi terhadap sumbu koordinat: −1 00 1
,1 00 −1
5. Kompresi/ekspansi sepanjang sumbu koordinat diikuti oleh refleksiterhadap sumbu koordinat
Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 21
• Jika 𝑇: 𝑅2 → 𝑅2 adalah perkalian dengan sebuah matriks A yang non-singular, maka T memetakan (𝑥, 𝑦) ke 𝑥′, 𝑦′ sebagaimana berikut:
𝑥′𝑦′
= 𝐴𝑥𝑦
• oleh karena A non-singular, maka:𝑥𝑦 = 𝐴−1
𝑥′𝑦′
• transformasi dengan matriks 𝐴 dan 𝐴−1 disebut transformasi-transformasi invers
Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 22
Teorema. Jika 𝑇: 𝑅2 → 𝑅2 adalah perkalian oleh matriks A yang non-singular, maka efek geometrik dari T sama dengan shearing, kompresi, ekspansi, dan refleksi yang dilakukan berdasarkan urutan perkalianmatriks-matriks elementer pembentuk A.
Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 23
Contoh: Nyatakanlah 𝐴 =1 23 4
sebagai hasil kali matriks elementer, dan jelaskan
efek geometrik perkalian oleh A.
Jawab:
1 23 4
𝑏2−3𝑏1 1 20 −2
−12𝑏2 1 2
0 1
𝑏1−2𝑏2 1 00 1
𝐸1 =1 0−3 1
, 𝐸2 =1 00 −
12, 𝐸3 =
1 −20 1
𝐴 = 𝐸1−1𝐸2
−1𝐸3−1 =
1 03 1
1 00 −2
1 20 1
Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 24
Efek geometris:
1.1 20 1
shearing arah x dengan
faktor 2
2.1 00 −2
ekspansi arah y
dengan faktor -2
3.1 03 1
shearing arah y dengan
faktor 2
Sebuah persegi memiliki titik sudut 𝑃1 0,0 , 𝑃2 1,0 , 𝑃3 0,1 , 𝑃4(1,1). Gambarlah urutan efek geometrik dari peta persegi tersebut berdasarkan
transformasi matriks 𝐴 =−1 22 −1
.
−1 22 −1
𝑏2+2𝑏1 −1 20 3
13𝑏2 −1 2
0 1
−𝑏1 1 −20 1
𝑏1+2𝑏2 1 00 1
𝐸1 =1 02 1
, 𝐸2 =1 00 1
3, 𝐸3 =
−1 00 1
, 𝐸4 =1 20 1
𝐸1−1 =
1 0−2 1
, 𝐸2−1 =
1 00 3
, 𝐸3−1 =
−1 00 1
, 𝐸4−1 =
1 −20 1
Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 25
𝐴𝑃 = 𝐸1−1𝐸2
−1𝐸3−1𝐸4
−1𝑃
• 𝐸4−1 0 1 1 0
0 0 1 1=
0 1 −1 −20 0 1 1
• 𝐸3−1 0 1 −1 −2
0 0 1 1=
0 −1 1 20 0 1 1
• 𝐸2−1 0 −1 1 2
0 0 1 1=
0 −1 1 20 0 3 3
• 𝐸1−1 0 −1 1 2
0 0 3 3=
0 −1 1 20 2 1 −1
Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 26
Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 27