MATEMATIKA

GEODESI

TRANSFORMASI LINIER

ANGGOTA KELOMPOK

Muhammad Irsyadi Firdaus (352100015)

Ghulam Arfi Ghifari (352100016)

Dedy Kurniawan (352100017)

Fristama Abrianto (352100018)

ANGGOTAKELOMPOK

• Pengertian1

• Contoh Pengaplikasian2

• Sifat - Sifat3

• Matrik Transformasi L.4

BATASAN MATERI

APLIKASI

• Transformasi linier banyak dipakai dalam bidang-bidang keilmuan seperti:ekonomi, fisika, keteknikan,.

• Khusus untuk GEOMATIKA banyak dipakai dalambidang INTERPRETASI citra (image).

PEMETAAN

Pemetaaan F dari ruang vektor V ke ruang vektor W, berarti setiap anggota V dikaitkandengan tepat satu anggota di W.• V = Domain• W = Kodomain• Himpunan hasil pemetaan

F: V W = Range

V W

F: V W

PENGERTIAN

pemetaan dari satu ruang vektor ke ruang vektor yang lain yang memenuhi syarat kelinierana. F(u + v)=F(u) + F(v), untuk

setiap u dan v anggota V.b. F(ku)=kF(u), untuk setiap u

anggota V dan setiap k skalar

TRANSFORMASI LINIER

Contoh soal 1

Misalkan F pemetaan dari R3 Ke R2 , biasanya ditulis F : R3 R2 dengan rumus:F(x, y, z)=(x + 2y, 2x - 3z).Apakah fungsi tersebut merupakan transformasi linier?• Lakukan tes 2 syarat

transformasi linier

F(u + v)=F(u) + F(v)

.F(ku)=kF(u)

1

2

Penyelesaian soal 1

misalkan u=(x1, y1, z1) dan v=( x2, y2, z2)Aturan penjumlahan vektor u+v=( x1+ x2, y1 + y2, z1 + z2)maka nilai fungsi u+v adalah:F(u + v) = (( x1+ x2) + 2(y1 + y2), 2(x1+ x2) – 3(z1 + z2)) {definisi fungsi}F(u + v) = (x1+ x2 + 2y1 + 2y2, 2x1+ 2x2 – 3z1 – 3z2) {sifat distributif bilangan riil}F(u + v) = ((x1 + 2y1) + (x2 + 2y2), (2x1 – 3z1) + (2x2 – 3z2)) {sifat asosiatif bilangan riil}F(u + v) = (x1 + 2y1, 2x1 – 3z1) + (x2 + 2y2, 2x2 – 3z2) {aturan penjumlahan vektor}F(u + v) = F(u) + F(v) {definisi fungsi} Terpenuhi1

Penyelesaian soal 1

Asumsikan k skalar, maka dengan mengingat perkalian vektor dengan skalar, ku=( kx1, ky1, kz1), maka nilai fungsi ku adalah:F(ku) = (kx1 + 2ky1, 2kx1 - 3kz1) {definisi fungsi}F(ku) = (k(x1 + 2y1), k(2x1 - 3z1)) {sifat distributif bilangan riil}F(ku) = k(x1 + 2y1, 2x1 - 3z1) {aturan perkalian vektor dengan skalar}F(ku) = kF(u) {definisi fungsi} Terpenuhi

• Jadi F(x, y, z)=(x + 2y, 2x - 3z) merupakan transformasi linier

2

Contoh soal 2

Tinjaulah basis S = {v1, v2, v3} untuk R3 dimana V1 = (1, 1, 1);V2 =(1, 1, 0); V3 =(1, 0, 0), adalah transformasi linier T: R3R2 sehingga T(v1) = (1, 0); T(v2) = (2,-1); T(v3) = (4,3). Carilah T(2, -3, 5)

Penyelesaian soal 2

Nyatakan v = (2, -3, 5)sebagai kombinasi linier dari v1, v2, dan v3:

v = k1v1 + k2v2 + k3v3

Didapat k1=5; k2=-8; dan k3=5Sehingga:

(2,-3,5) = 5v1 – 8v2 + 5v3

T(2,-3,5) = 5T(v1) – 8T(v2) + 5T(v3)=5(1,0) – 8(2,-1) + 5(4,3)=(9,23)

TRANSFORMASI MATRIK

Misalkan A matrik berordo m x n yang tetap. Maka fungsi T(x)=Ax , dimana x Rn,∈merupakan transformasi linier.Karena misalkan x1, x2 Rn, maka∈T(x1 + x2) = A(x1 + x2) = Ax1 + Ax2 = T(x1) + T(x2).Dan yang kedua, misalkan x1 Rn, ∈dan k skalar, makaT(kx1) = A(kx1) = k(Ax1) = kT(x1). Syarat Transformasi linier

• Lakukan tes 2 syarat transformasi

TRANSFORMASI MATRIK (Soal)

Lakukan tes 2 syarat transformasi linier

TRANSFORMASI MATRIK (Penyelesaian)

TRANSFORMASI MATRIK (Penyelesaian)

T(m1+m2)=T(m1)+T(m2)Jadi syarat 1 terpenuhi.

TRANSFORMASI MATRIK (Penyelesaian)

, Jadi syarat 2 terpenuhi.

Jadi T, termasuk transformasi linier

TRANSFORMASI FUNGSI NOL

Fungsi yang memetakan setiap vektor di V ke vektor nol, disebut fungsi nol, yangsecara lambang ditulis: T(v) = 0Apakah fungsi nol termasuk transformasi linier ?Tes dengan 2 syarat TL.

TRANSFORMASI Fungsi Nol (Penyelesaian)

Syarat 1 dan 2 terpenuhi,berarti fungsi nol merupakan transformasi linier

TRANSFORMASI FUNGSI IDENTITAS

Fungsi yang memetakan setiap vektor di V ke dirinya sendiri, disebut fungsi identitas,yang secara lambang ditulis: T(v) = v

Apakah fungsi Identitastermasuk transformasi linier ?Tes dengan 2 syarat TL.

TRANSFORMASI Fungsi Identitas (Penyelesaian)

Syarat 1 dan 2 terpenuhi,berarti fungsi identitasmerupakan transformasi linier

SIFAT TRANSFORMASILINIER

Jika T transformasi linier dari vektor V ke ruang vektor W,T : V Wmaka dipenuhi sifat-sifat berikut:

a. T(oV) = oW

b. T(-u) = -T(u)

c. T(u - v) = T(u) - T(v)

JENIS TRANSFORMASILINIER

• Refleksi / Pencerminan1. Terhadap sumbu y

2. Terhadap sumbu x

3. Terhadap garis y = x

JENIS TRANSFORMASILINIER

• Perbesaran

• Pengecilan

• Pergeseran1. Arah y, dg faktor k

2. Arah x, dg faktor k

JENIS TRANSFORMASILINIER

• Ekspansi, Kompresi1. Pada arah x k 0 0 1

2. Pada arah y 1 0 0 k

• Rotasi / Perputaran

Nilai tergantung besar sudut Yang digunakan untuk melakukanRotasi / perputaran

KERNEL

Misalkan V dan W ruang vektor, misalkan T: V W transformasi linier.Kernel transformasi linier T adalah himpunan semua anggota V yangdipetakan T ke dalam 0. Dinyatakan oleh ker(T) X1 0 X2 = 0 X3 0 ...... ..... Xn 0

A Ket : A = Sistem matriks ordo m x n x1, x2, x3 = ker(T) 0 = Hasil Pemetaan

JANGKAUAN

misalkan T: V WJangkauan transformasi linier T atau Range T adalah himpunan semua anggota W dengan syarat ada anggota V sehingga anggota V tersebut adalah prapeta dari anggotaW yang bersesuaian. Dinyatakan oleh R(T)

Contoh Soal

ker(T) = 1 1 0 didapat x1 = 0, dan x2 = 0 -2 1 0 -1 2 0

Dari sebuah transformasi linier berikut.

Contoh Soal

Contoh Soal

Rank dan Nutilitas

Jika T:VW adalah transformasi linier, maka dimensi jangkauan dari T dinamakan rank T, dan dimensi kernel dinamakan nulitas TJika T:VW adalah trasnformasi linier, maka

Kernel dari T adalah sub-ruang dari VJangkauan dari T adalah subruang dari W