Sistem Persamaan linier

Persamaan linierDefinisiN buah variable x1, x2, , xn yang dinyatakan dalam bentuk : a1x1 + a2x2++ an xn=bdisebut persamaan linier, dengan a1, a2, ,an dan b adalah konstanta-konstanta riil.Sekumpulan nilai/ harga sebanyak n yang disubtitusikan ke n variable : a1=k1, x2=k2 xn=kn sedemikian sehingga persamaan tersebut terpenuhi, maka himpunan nilai tersebut (k1, k2, kn) disebut himpunan penyelesaian (solusi set).Contoh 2x1 + x2 + 3x3=5 x1=1; x2=0; x3=1 (1,0,1) solusi x1=0; x2=5; x3=0 (0,5,0) solusi x1=2; x =1; x3=0 (2,1,0) solusisuatu persamaan linier bisa mempunyai solusi >1.

Definisi

Sebuah himpunan berhingga dari persamaan-persamaan linier didalam n variable: x1, x2, , xn disebut sistem persamaan linier. Sistem persamaan linier yang tidak mempunyai solusi disebut inconsisten. Sedangkan sistem persamaan linier yang mempunyai paling sedikit sebuah solusi disebut consisten. Misal ada 2 persamaan dengan 2 variabel. P1: a1x1+ a2x2=b1 (a1, a20) P2: a1x1+ a2x2=b2 (c1, c20)

Jika kedua persamaan tersebut dinyatakan dalam grafik, maka:InconsistenKonsisten

Penyajian SPL dengan persamaan matriks

a11x1 + a12x2 + a13x3 ++a1nxn= b1a21x1 + a22x2 + a23x3 ++a2nxn = b2

:am1x1 + an2x2 + an3x3 + +annxn = bmx =b =matriks koefisienSPL umum:A =Ax = b

Penyajian SPL sebagai matriks augmenteda11x1 + a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + a23x3 + + a2nxn = b2

:am1x1 + am2x2 + am3x3 + + amnxn = bmmatriks augmented

SUSUNAN PERSAMAAN LINIERNON HOMOGENAX=B, B0

SELALU ADA JAWAB

TAK PUNYA JAWABR(a)r(A,B)

MEMPUNYAI JAWAB

JAWAB HANYA JAWAB TRIVIAL(NOL);R=N

SELAIN JAWAB TRIVIAL, ADA JUGA JAWAB NONTRIVIAL R

Bentuk umum: Ax = B, dimana B0Sistem Persamaan linier non homogen akan mempunyai jawab bila : Rank(A) = Rank(A|B)Contoh ;1. carilah titik persekutuan garis. -3x+6y = -9 dengan garis. x-2y = 3Jawab: -3x+6y=-9 x-2y=3 Dalam bentuk matriks=

R(a)=r(A|B)=1 r

Contoh2. Selesaikan sistem persamaan linier non homogen Di bawah ini :

Jawab :

Rank (A) = R (A|B) = 3 =banyaknya variabelJadi jawabnya tunggalMatriks lengkap di atas menyatakan:

Sehingga sebagai penyelesaiannya :

Sistem Persamaan Linier HomogenBentuk umum: Ax = 0, yaitu: a11 x1 + a12 x2 + ... a1n xn = 0 a21 x2 + a22 x2 + ... a2n xn = 0 am1 xm+am2 xm + ... amn xn = 0Atau=

Matriks A berukuran (m x n)Matriks x berukuran (n x 1)Matriks o berukuran (m x 1)Karena matriks lengkapnya (A|) maka akan selalu berlaku rank (A)=rank (A|). Sehingga sistem persamaan linier homogen selalu mempunyai jawab (konsisten).

Contoh1. Selesaikan sistem persamaan linier dibawah ini :

Jawab :

Sehingga solusinya : Yaitu solusi trivial atau

2. Selesaikan sistem persamaan linier di bawah ini :

Jawab :

Rank (A) = (A|0) = 2< n = 4 jadi solusinya tidak tunggal (banyak)

Dimana : x3 dan x4 bebas.

Sehingga :

Berlaku untuk setiap bilangan riil a & b

*