Download - Sistem persamaan-linier

MGMP MatematikaSMA/SMK Bontang-Kaltim

Tim MGMP Matematika SMA/SMKBontang-Kalimantan Timuremail: [email protected]

oleh:Islamuddin

exit

Sistem Persamaan Linier dan kuadrat

Sistem Persamaan Linear dan Linear dgn Dua Peubah

Sistem Persamaan Linear dan Linear dgn Tiga Peubah

Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat

Sistem Kuadrat dan kuadrat

Pokok Bahasan



oleh:Islamuddin

exit


Sistem Persamaan Linear dan Linear dengan Dua Peubah

Bentuk Umum

ax + by = cpx + qy = r

ataua1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2

Dengan a,b,c,p,q, dan r atau a1,b1,c1,a2,b2,c2 merupakan bilangan –bilangan real. Jika c1 = c2 = 0 maka sistem persamaan linear dikatakan homogen sedangkan jika c1 ≠ 0 atau c2 ≠ 0 maka sistem persamaan linear dikatakan tidak homogenMenentukan Himpunan Penyelesaian dari persamaan Linear Dua Peubah dapat ditentukan dengan cara sbb :

1. Metode Grafik

2. Metode Subtitusi

3. Metode Eliminasi

4. Metode determinan



oleh:Islamuddin

exit


Metode GrafikLangkah – langkah untuk menetukan himpunan penyelesaian sistem persamaan dua peubah dengan memakai metode grafik

adalah sebagai berikut Langkah IGambarkan grafik masing – masing persamaan pada bidang Cartesius.

Langkah 2a. Jika kedua garis berpotongan pada satu titik maka himpunan

penyelesaiannya tepat memiliki satu anggotab. Jika kedua garis sejajar, maka himpunan penyelesaiaannya

tidak memilki anggota. Dikatakan himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong

c. Jika kedua garis berimpit maka himpunan penyelesaiaannya memiliki anggota yang tak hingga banyaknya



oleh:Islamuddin

exit


Contoh

x + y = 1x – y = 3

1

0 1 3

– 1

– 3

P (2, -1)

x – y = 3

x + y = 1

x + y = 1x 0

y 1

x – y = 3

x 0

y 3

y 0

x 1

y 0

x 3



oleh:Islamuddin

exit


Metode Subtitusi

Langkah – langkah untuk meneyelesaikan sistem persamaan linear dua peubah dengan menggunakan metode Subtitusi

Langkah 1Pilihlah salah satu persamaan (jika ada pilih yang sederhana), kemudian nyatakan x sebagai fungsi y atau y sebagai fungsi x

Langkah 2Subtitusikan x atau y pada langkah 1 ke persamaan yang lain



oleh:Islamuddin

exit


Contohx + y = 44x + 3y = 13

Dari persamaan x + y = 4 y = 4 - xy = 4 – x Disubstitusikan ke persamaan 4x + 3y = 13 Diperoleh :

4x + 3 (4 – x) = 13

4x + 12 – 3x = 13

x + 12 = 13

x = 1

Nilai x = 1 disubstitusikan ke persamaan y = 4 – x, diperoleh y = 4 - 1y = 3

Jadi, Himpunan penyelesaian sistem persamaan linear itu adalah {(1,3)}



oleh:Islamuddin

exit


Metode Eliminasi

Langkah yang ditempuh adalah sbb :

Nilai x dicari dengan cara mengeliminasi peubah y sedangkan nilai y di cari dengan cara mengeliminasi peubah x



oleh:Islamuddin

exit


Contoh : Carilah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut :

2x + 3y = 133x + 4y = 19

Untuk mencari nilai x kita mengeliminasi peubah y

2x + 3y = 13 X 4 8x + 12y = 529x + 12y = 57

– x = – 5 x = 5

3x + 4y = 19 X 3

2x + 3y = 133x + 4y = 19

X 3X 2

6x + 9y = 396x + 8y = 38

y =1

Jadi, Himpunan penyelesaiannya adalah {( 5,1)}



oleh:Islamuddin

exit


Penyelesaian sistem persamaan linear dapat juga menggunakan metode subtitusi dan metode eliminasi secara bersamaan. Perhatikan contoh berikut :

Carilah himpunan penyelesaiaan dari sistem persamaan berikut

2x – 5y = 15

3x + 4y = 11

Untuk mencari nilai x kita mengeliminasi peubah y

2x – 5y = 15

3x + 4y = 11

X 4

X 5

8x – 20y = 6015x + 20y = 55

23x = 115x = 5

x disubtitusikan ke dalam salah satu persamaan semula2x – 5y = 15

2(5) – 5y = 15– 5y = 15 – 10

– 5y = 5y = – 1

Jadi Himpunan Penyelesaiannya adalah {(5,-1)}



oleh:Islamuddin

exit


Beberapa persoalan sehari –hari seringkali dapat diselesaikan dengan memakai model matematika yang berbentuk sistem persamaan dua peubah. Perhatikan contoh berikut :

Disebuah toko Komar membeli 3 barang A dan 4 barang B dan dia harus membayar Rp2.700,00. Sedangkan Yayuk harus membayar Rp3.600,00 untuk pembelian 6 barang A dan 2 barang B. Jika Ratna membeli 1 barang A dan 1 barang B, maka ia harus membayar ….

Misalkan : x = barang A dan y = barang BKomarYayuk

3x + 4y = 2.7006x + 2y = 3.600

(1)(2)

3x + 4y = 2.7006x + 2y = 3.600

X 2X 1

6x + 8y = 5.4006x + 2y = 3.600

6y = 1.800y = 300



oleh:Islamuddin

exit


y = 300, disubtitusikan ke persamaan (2)3x + 4y = 2.700 3x + 4(300) = 2.700

3x + 1.200 = 2.7003x = 2.700 – 1.2003x = 1.500x = 500

Jadi harga sebuang barang A adalah Rp500,00 dan harga sebuang barang B adalah Rp300,00 Ratna harus membayar Rp500,00 + Rp300,00 = Rp800,00 untuk membeli 1 barang A dan 1 barang B



oleh:Islamuddin

exit


Sistem persamaan Linear dan Linear dengan Tiga PeubahBentuk umum sistem persamaan linear dengan tiga peubah x,y, dan z dapat dituliskan sebagai berikut :

ax + by + cz = dex + fy + gz = hix + jy + kz = l

ataua1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

dengan a, b, c, e, f, g, h, I, j, k, dan l atau a1, b1, c1, d1, a2, b2, c2, d2, a3, b3, c3, dan d3 merupakan bilangan real .Himpunan penyelesaian sistem linear tiga peubah dapat ditentukan dengan beberapa cara sebagai berikut :

1. Metode Substitusi

2. Metode Eliminasi atau

3. Metede Determinan



oleh:Islamuddin

exit


Metode SubstitusiLangkah – langkah penyelesaian sistem persamaan linear tiga peubah dgn menggunakan metode substitusi adalah sebagai berikut :

Langkah 1 :Pilihlah salah satu persamaan yang sederhana, kemudian nyatakan x sebagai fungsi y dan z atau y sebagai fungsi x dan z, atau z sebagai fungsi x dan y

Langkah 2 :Substitusikan x atau y atau z yang diperoleh pada langkah 1 ke dalam dua persamaan yang lainnya sehingga didapat sistem persamaan linear dua peubah

Langkah 3 :Selesaikan sistem persamaan linear dua peubah yang diperoleh pada langkah 2



oleh:Islamuddin

exit


Contoh : Carilah himpunan penyelesaian dari persamaan linear berikut

x – 2y + z = 63x + y + 2z = 47x – 6y – z = 10

Dari persamaan x – 2y + z = 6 x = 2y – z + 6.Peubah x ini disubstitusikan ke persamaan 3x + y -2z = 4 dan 7x – 6y – z = 10 diperoleh :

3(2y – z + 6) + y – 2z = 46y – 3z + 18 + y – 2z = 4

7y – 5z = –14 (3)

7(2y – z + 6) – 6y – z = 1014y – 7z + 42 – 6y – z = 10

8y – 8z = – 32 y – z = – 4 (4)



oleh:Islamuddin

exit


Persamaan 3 dan 4 membentuk sistem persamaan linear dua peubah y dan z:7y – 5z = –14

y – z = –4dari persamaan y – z = – 4 y = z – 4

Peubah y disubstitusikan ke persamaan 7y -5z = –14, diperoleh :

7 (z – 4) – 5z = –147z – 28 – 5z = – 14

2z = 14z = 7

Substitusikan nilai z = 7 ke persamaan y = z – 4, diperolehy = 7 – 4 = 3

Substitusikan nilai y = 3 dan z = 7 ke persamaan x = 2y – z + 6, diperoleh

x = 2(3) – 7 + 6x = 6 – 7 + 6x = 5

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(5, 3, 7)}



oleh:Islamuddin

exit


Metode EliminasiLangkah – langkah penyelesaian sistem persamaan linear tiga peubah dengan menggunakan metode eliminasi adalah :

Langkah 1:Eliminasi salah satu peubah x atau y atau z sehingga diperoleh sistem persamaan linear dua peubah

Langkah 2:Selesaikan sistem persamaan linear dua peubah yang didapat pada langkah 1

Langkah 3:Substitusikan nilai – nilai dua peubah yang diperoleh pada langkah 2 ke dalam salah satu persamaan semula untuk mendapatkan nilai peubah yang lainnya.



oleh:Islamuddin

exit


Contoh : Carilah himpunan penyelesaian sistem persamaan linear :2x – y + z = 6x – 3y + z = –2x + 2y – z = 3

Eliminasi peubah z:Dari persamaan pertama dan kedua:

2x – y + z = 6x – 3y + z = –2

x + 2y = 8

Dari persamaan kedua dan ketiga:x – 3y + z = –2x + 2y – z = 3

2x – y = 1(4) (5)

Persamaan 4 dan 5 membentuk sistem persamaan linear dua peubah x dan yx + 2y = 82x – y = 1

Eliminasi peubah y:x + 2y = 82x – y = 1

X 1X 2

x + 2y = 84x – 2y = 2

5x = 10x = 2



oleh:Islamuddin

exit


Eliminasi peubah x:x + 2y = 82x – y = 1

X 2X 1

2x + 4y = 162x – y = 1

5y = 15y = 3

Nilai z dicari dengan mensubstitusikan x = 2 dan y = 3 ke salah satu persamaan semula misal x + 2y – z = 3

x + 2y – z = 3

2 + 2(3) – z = 38 – z = 3

x = 5

Jadi, Himpunan penyelesaian sistem persamaan linear adalah {(2, 3, 5)}



oleh:Islamuddin

exit


Contoh penerapan persoalan sehari – hari dalam sistem persamaan tiga peubah:

Ali, Boneng, dan Cecep berbelanja di sebuah toko buku. Ali membeli dua buah buku tulis, sebuah pensil dan sebuah penghapus dengan membayar Rp4.700,00 Boneng membeli sebuah buku tulis , dua buah pensil dan sebuah penghapus dengan membayar Rp4.300,00 Cecep membeli tiga buah buku tulis, dua buah pensil dan sebuah penghapus dengan membayar Rp7.100,00. Berapakah harga untuk sebuah buku tulis, harga sebuah pensil dan harga sebuah penghapus ?

Jika dimisalkan bahwa :

Harga untuk sebuah buku tulis adalah x rupiahHarga untuk sebuah pensil adalah y rupiah danHarga untuk sebuah penghapus adalah z rupiah

Dengan demikian model matematika yang sesuai dengan data tersebut adalah :



oleh:Islamuddin

exit


2x + y + z = 4.700x + 2y + z = 4.3003x + 2y + z = 7.100

Eliminasi peubah z

2x + y + z = 4.700x + 2y + z = 4.300

x – y = 400

x + 2y + z = 4.3003x + 2y + z = 7.100

-2x = -2.800x = 1.400

Substitusikan nilai x = 1.400 ke persamaan x – y = 1.400, diperoleh :1.400 – y = 400 y = 1.000

Substitusikan nilai x = 1.400 dan y = 1.000 ke persamaan 2x + y + z = 4.700 diperoleh: 2(1.400) + 1.000 + z = 4.700

3.800 + z = 4.700z = 900

Jadi harga sebuah buku tulis adalah Rp1.400,00 harga sebuah pensil adalah Rp1.000,00 dan harga sebuah penghapus adalah Rp900,00



oleh:Islamuddin

exit


Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat

Sistem persamaan linear dan kuadrat dibagi menjadi dua bagian sebagai berikut :

1. Sistem persamaan linear dan kuadrat, bagian kuadrat berbentuk Eksplisit

2. Sistem persamaan Linear dan kuadrat, bagian kuadrat berbentuk Implisit



oleh:Islamuddin

exit


1. Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat, bagian kuadrat berbentuk Eksplisit

Suatu persamaan dua peubah x dan y dinyatakan berbentuk eksplisit jika persamaan itu dapat dinyatakan dalam bentuk y = f(x) atau x = f(y)

y = ax + b

y = px2 + qx + r

Bagian linearBagian kuadrat

Dengan a, b, p, q, dan r merupakan bilangan – bilangan real.

Secara umum, penyelesaian atau himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dan kuadrat dapat ditentukan melalui langkah – langkah sebagai berikut :

Langkah 1 :Substitusikan bagian linear ke bagian kuadrat Langkah 2:Nilai – nilai x pada Langkah 1 (jika ada) disubstitusikan ke persamaan linear



oleh:Islamuddin

exit


Contoh : Carilah himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dan kuadrat berikut ini :

y = x – 1

y = x2 – 3x + 2

Substitusikan bagian linear y = x – 1 ke bagian kuadrat y = x2 – 3x + 2, diperoleh x – 1 = x2 – 3x + 2

x2 – 4x + 3 = 0(x – 1)(x – 3) = 0

x = 1 atau x = 3Nilai x = 1 atau x = 3 disubtitusikan ke persamaan y = x – 1Untuk x = 3 diperoleh y = 3 – 1 = 2 jadi (3, 2)

Untuk x = 1 diperoleh y = 1 – 1 = 0 jadi (1, 0)

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(1, 0), (3, 2)}



oleh:Islamuddin

exit


2. Sistem persamaan linear dan kuadrat, bagian kuadrat berbentuk implisit

Persamaan dua peubah x dan y dikatakan berbentuk implisit jika persamaan itu tidak dapat dinyatakan dalam bentuk y = f(x) atau x = f(y). Persamaan implisit dinyatakan dalam bentuk f(x, y) = 0.

px + qy + r = 0

ax2 + by2 +cxy + dx + ey + f = 0

Bagian linearBagian kuadrat

Dengan a, b, c, d, e, f, p, q dan r merupakan bilangan – bilangan real.Bilangan kuadrat yang berbentuk implisit ada dua kemungkinan, yaitu :

A. Bentuk implisit yang tidak dapat difaktorkan

B. Bentuk implisit yang dapat difaktorkan



oleh:Islamuddin

exit


A. Sistem persamaan linear dan kuadrat, bagian kuadrat berbentuk implisit yang tak dapat difaktorkan

Langkah – langkah penyelesaiannya adalah :

Langkah 1:Pada bagian linear, nyatakan x dalam y atau y dalam x

Langkah 2:Substitusikan x dan y pada langkah 1 ke bagian bentuk kuadrat, sehingga diperoleh persamaan kuadrat dalam x dan y

Langkah ketiga:Selesaikan persamaan kuadrat yang diperoleh pada langkah 2, kemudian nilai – nilai yang didapat disubstitusikan ke persamaan linear



oleh:Islamuddin

exit


Carilah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dan kuadrat berikut ini : x + y – 1 = 0

x2 + y2 – 25 = 0Dari persamaan x + y – 1 = 0 menjadi y = 1 – xSubstitusi y ke persamaan x2 + y2 – 25 = 0, diperoleh :

x2 + ( 1 – x)2 – 25 = 0x2 + 1 – 2x + x2 – 25 = 0

2x2 – 2x – 24 = 0x2 – x – 12 = 0

(x + 3)(x – 4) = 0x = -3 atau x = 4

Substitusi nilai – nilai x = -3 aatau x = 4 ke persamaan y = 1 – x

Untuk x = -3 diperoleh y = 1 – (-3) = 4 jadi (-3, 4)Untuk x = 4 diperoleh y = 1 – 4 = -3 jadi (4, -3)

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(-3, 4)(4, -3)}



oleh:Islamuddin

exit


A. Sistem persamaan linear dan kuadrat, bagian kuadrat berbentuk implisit yang dapat difaktorkan

Langkah – langkah penyelesaiannya adalah :

Langkah 1:Nyatakan bagian bentuk kuadratnya ke dalam faktor –faktor dengan ruas kanan sama dengan nol, sehingga diperoleh L1.L2 = 0.L1.L2 = 0. jadi L1 = 0 atau L2 = 0, dengan L1 dan L2 masing – masing berbentuk linier

Langkah 2:Bentuk – bentuk linear yang diperoleh pada langkah 1 digabungkan dengan persamaan linear semula, sehingga diperoleh sistem – sistem persamaan linear dengan dua peubah. Kemudian selesaikan tiap sistem persamaan linier itu



oleh:Islamuddin

exit


Carilah himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dan kuadrat berikut: 2x + 3y = 8

4x2 – 12xy + 9y2 = 16

Bagian bentuk kuadrat dapat difaktorkan sebagai berikut:4x2 – 12xy + 9y2 = 16

(2x – 3y)2 – 16 = 0

(2x – 3y + 4)(2x – 3y – 4) = 0

2x – 3y + 4 = 0 atau 2x – 3y – 4 = 0

Penggabungan dengan persamaan linear semula diperoleh:

2x + 3y = 82x – 3y + 4 = 0

Dari sistem persamaan ini diperoleh penyelesaian (1, 2)

2x + 3y = 82x – 3y – 4 = 0

Dari sistem persamaan ini diperoleh penyelesaian ( 3, 2/3)

Jadi, himpunan penyelesaian sistem persamaan itu adalah {(1,2), (2, 2/3)}



oleh:Islamuddin

exit


Sistem persamaan kuadrat dan kuadrat

Sistem persamaan kuadrat dan kuadrat dalam bentuk yang sederhana dapat dituliskan sebagai berikut :

y = ax2 + bx + c

y = px2 + qx + r

Bagian kuadrat pertama

Bagian kuadrat kedua

Langkah – langkah untuk menentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan kuadrat dan kuadrat

Langkah 1 :Substitusikan bagian kuadrat yang pertama kebagian kuadrat yang kedua

Langkah 2 :Nilai – nilai x yang diperoleh dari langkah 1 (jika ada) disubstitusikan ke bagian kuadrat yang pertama atau bagian kuadrat yang kedua ( pilihlah bentuk yang sederhana).



oleh:Islamuddin

exit


Carilah himpunan penyelesaian dari tiap sistem persamaan kuadrat dan kuadrat berikut ini: y = x2 – 1

y = 1 – x2

Substitusi y = x2 – 1 ke persamaan y = 1 – x2, diperoleh :

x2 – 1 = 1 – x2

2x2 – 2 = 0x2 – 1 = 0

(x + 1)(x – 1) = 0x = -1 atau x = 1

Substitusikan x = -1 atau x = 1 ke persamaan y = x2 - 1

Untuk x = -1 diperoleh y = (-1)2 – 1 = 0 jadi (-1, 0)

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(-1, 0),(1, 0)}

Untuk x = 1 diperoleh y = (1)2 – 1 = 0 jadi (1, 0)



oleh:Islamuddin

exit


Download - Sistem persamaan-linier

Top Related