Transcript
Page 1: Sesi 3 Persamaan Linier Simultan

Penyelesaian Persamaan Linier Simultan

Oleh:I Made Wirawan

Page 2: Sesi 3 Persamaan Linier Simultan

Persamaan Linier Simultan Persamaan linier simultan adalah suatu bentuk persamaan-

persamaan yang secara bersama-sama menyajikan banyak variabel bebas

Bentuk persamaan linier simultan dengan m persamaan dan n variabel bebas

aij untuk i=1 s/d m dan j=1 s/d n adalah koefisien atau persamaan simultan

xi untuk i=1 s/d n adalah variabel bebas pada persamaan simultan

Page 3: Sesi 3 Persamaan Linier Simultan

Persamaan Linier Simultan Penyelesaian persamaan linier simultan adalah

penentuan nilai xi untuk semua i=1 s/d n yang memenuhi semua persamaan yang diberikan.

AX = B Matrik A = Matrik Koefisien/ Jacobian. Vektor x = vektor variabel vektor B = vektor konstanta.

nnmnmm

n

n

b

bb

x

xx

aaa

aaaaaa

.........

..................

2

1

2

1

21

22221

11211

Page 4: Sesi 3 Persamaan Linier Simultan

Persamaan Linier Simultan

Persamaan Linier Simultan atau Sistem Persamaan Linier mempunyai kemungkinan solusi : Tidak mempunyai solusi Tepat satu solusi Banyak solusi

Page 5: Sesi 3 Persamaan Linier Simultan

Augmented Matrix matrik yang merupakan perluasan matrik A

dengan menambahkan vector B pada kolom terakhirnya, dan dituliskan:

Augmented (A) = [A B]

mmnmmm

n

n

baaaa

baaaabaaaa

.....................

...

...

321

22232221

11131211

Page 6: Sesi 3 Persamaan Linier Simultan

Contoh 1 : Seorang pembuat boneka ingin membuat dua

macam boneka yaitu boneka A dan boneka B. Kedua boneka tersebut dibuat dengan menggunakan dua macam bahan yaitu potongan kain dan kancing. Boneka A membutuhkan 10 potongan kain dan 6 kancing, sedangkan boneka B membutuhkan 8 potongan kain dan 8 kancing.

Permasalahannya adalah berapa buah boneka A dan boneka B yang dapat dibuat dari 82 potongan kain dan 62 kancing ?

Page 7: Sesi 3 Persamaan Linier Simultan

Contoh 1 Permasalahan ini dapat dimodelkan dengan

menyatakan : x = jumlah boneka A y = jumlah boneka B

Untuk setiap bahan dapat dinyatakan bahwa: Potongan kain

10 untuk boneka A + 8 untuk boneka B = 82 Kancing

6 untuk boneka A + 8 untuk boneka B = 62 Atau dapat dituliskan dengan :

10 x + 8 y = 826 x + 8 y = 62

Penyelesaian dari permasalahan di atas adalah penentuan nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan di atas.

Page 8: Sesi 3 Persamaan Linier Simultan

Contoh 2 : Perhatikan potongan peta yang sudah diperbesar

(zoom) sebagai berikut :

Perhatikan bahwa pada ke-4 titik tersebut dihubungkan dengan garis lurus, sehingga tampak kasar.

Untuk menghaluskannya dilakukan pendekatan garis dengan kurva yang dibentuk dengan fungsi pendekatan polinomial.

Dari fungsi polinomial yang dihasilkan kurva dapat digambarkan dengan lebih halus.

1

2

3

4

Page 9: Sesi 3 Persamaan Linier Simultan

Contoh 2 : 4 titik yang ditunjuk adalah (2,3), (7,6), (8,14) dan (12,10). 4

titik ini dapat didekati dengan fungsi polinom pangkat 3 yaitu :

Bila nilai x dan y dari 4 titik dimasukkan ke dalam persamaan di atas akan diperoleh model persamaan simultan sebagai berikut :Titik 1 3 = 8 a + 4 b + 2 c + dTitik 2 6 = 343 a + 49 b + 7 c + dTitik 3 14 = 512 a + 64 b + 8 c + dTitik 4 10 = 1728 a + 144 b + 12 c + d

Nilai a, b, c dan d adalah penyelesaian dari permasalahan di atas.

dcxbxaxy 23

Page 10: Sesi 3 Persamaan Linier Simultan

Contoh 2 : Setelah nilai a, b, c dan d diperoleh maka persamaan

polinomialnya didapatkan dan dengan menggunakan step x yang lebih kecil dapat digambarkan grafiknya dengan lebih halus.

Page 11: Sesi 3 Persamaan Linier Simultan

Theorema Penyelesaian Persamaan Linier Suatu persamaan linier simultan

mempunyai penyelesaian tunggal bila memenuhi syarat-syarat sebagai berikut. Ukuran persamaan linier simultan

bujursangkar, dimana jumlah persamaan sama dengan jumlah variable bebas.

Persamaan linier simultan non-homogen dimana minimal ada satu nilai vector konstanta B tidak nol atau ada bn 0.

Determinan dari matrik koefisien persamaan linier simultan tidak sama dengan nol.

Page 12: Sesi 3 Persamaan Linier Simultan

Metode Numerik Metode Eliminasi Gauss Metode Eliminasi Gauss-Jordan Metode Iterasi Gauss-Seidel

Page 13: Sesi 3 Persamaan Linier Simultan

Metode Eliminasi Gauss Metode Eliminasi Gauss merupakan metode

yang dikembangkan dari metode eliminasi, yaitu menghilangkan atau mengurangi jumlah variable sehingga dapat diperoleh nilai dari suatu variable bebas

matrik diubah menjadi augmented matrik :

nnnn

n

n

b

bb

aaa

aaaaaa

...

...............

...

...

2

1

2n1

22221

11211

Page 14: Sesi 3 Persamaan Linier Simultan

Metode Eliminasi Gauss ubah matrik menjadi matrik segitiga atas atau

segitiga bawah dengan menggunakan OBE (Operasi Baris Elementer).

nnnnnn

n

n

n

baaaa

baaaabaaaabaaaa

.....................

...

...

...

321

33333231

22232221

11131211

nnn

n

n

n

dc

dccdcccdcccc

...000..................

...00

...0

...

3333

222322

11131211

Page 15: Sesi 3 Persamaan Linier Simultan

Operasi Baris Elementer Metode dasar untuk menyelesaikan Sistem

Persamaan Linier adalah mengganti sistem yang ada dengan sistem yang baru yang mempunyai himpunan solusi yang sama dan lebih mudah untuk diselesaikan

Sistem yang baru diperoleh dengan serangkaian langkah yang menerapkan 3 tipe operasi. Operasi ini disebut Operasi Baris Elementer

1. Multiply an equation through by an nonzero constant.

2. Interchange two equation. 3. Add a multiple of one equation to another.

Page 16: Sesi 3 Persamaan Linier Simultan

Metode Eliminasi Gauss Sehingga penyelesaian dapat

diperoleh dengan:

nn

nn

nnnnnn

n

nn

nn

xcxcxcdc

x

xcxcxcdc

x

dxcc

x

cd

x

113212111

1

2424323222

2

1,11,1

1

...31

...1.....................................

1

Page 17: Sesi 3 Persamaan Linier Simultan

Contoh : Selesaikan sistem persamaan berikut:

Augmented matrik dari persamaan linier simultan tersebut :

102222

6

321

321

321

xxxxxxxxx

1021221216111

Page 18: Sesi 3 Persamaan Linier Simultan

Contoh : Lakukan operasi baris elementer

13

12

2BBBB

20104210

6111

23 BB

62004210

6111

Page 19: Sesi 3 Persamaan Linier Simultan

Contoh : Penyelesaian :

132611

23)2(411

326

1

2

3

x

x

x

Page 20: Sesi 3 Persamaan Linier Simultan

Echelon Forms This matrix which have following properties is in reduced

row-echelon form (Example 1, 2). 1. If a row does not consist entirely of zeros, then the first

nonzero number in the row is a 1. We call this a leader 1. 2. If there are any rows that consist entirely of zeros, then

they are grouped together at the bottom of the matrix. 3. In any two successive rows that do not consist entirely

of zeros, the leader 1 in the lower row occurs farther to the right than the leader 1 in the higher row.

4. Each column that contains a leader 1 has zeros everywhere else.

A matrix that has the first three properties is said to be in row-echelon form (Example 1, 2).

A matrix in reduced row-echelon form is of necessity in row-echelon form, but not conversely.

Page 21: Sesi 3 Persamaan Linier Simultan

Example 1Row-Echelon & Reduced Row-Echelon form reduced row-echelon form:

0000

,

00000000003100010210

,100010001

,1100

70104001

row-echelon form:

100000110006210

,000010011

,510026107341

Page 22: Sesi 3 Persamaan Linier Simultan

Example 2More on Row-Echelon and Reduced Row-Echelon form All matrices of the following types are in row-

echelon form ( any real numbers substituted for the *’s. ) :

*100000000*0**100000*0**010000*0**001000*0**000*10

,

00000000**10**01

,

0000*100*010*001

,

1000010000100001

*100000000****100000*****10000******1000********10

,

00000000**10***1

,

0000*100**10***1

,

1000*100**10***1

All matrices of the following types are in reduced row-echelon form ( any real numbers substituted for the *’s. ) :

Page 23: Sesi 3 Persamaan Linier Simultan

ContohSolusi dari Sistem Pers Linier

41002010

5001 (a)

4 2-

5

zy

xSolution (a)

Anggaplah ini adalah matrik dari Sistem Persamaan Linier yang telah direduksi dengan bentuk row echelon.

Page 24: Sesi 3 Persamaan Linier Simultan

Example 3Solutions of Four Linear Systems (b1)

231006201014001

(b)

Solution (b)

2 3 6 2 1- 4

43

42

41

xxxxxx

leading variables

free variables

Page 25: Sesi 3 Persamaan Linier Simultan

Example 3Solutions of Four Linear Systems (b2)

43

42

41

3-2 2- 6 4 - 1-

xxxxxx

txtxtxtx

,32 ,26 ,41

4

3

2

1

Free variabel kita misalkan dengan t. Sehingga selanjutnya dapat kita tentukan leading variabelnya.

Sistem Persamaan Linier menghasilkan banyak solusi

Page 26: Sesi 3 Persamaan Linier Simultan

Example 3Solutions of Four Linear Systems (c1)

000000251000130100240061

(c)

2 5 1 3

2- 4 6

54

53

521

xxxxxxx

Solution (c)

1. Pada baris ke-4 semuanya nol sehingga persamaan ini dapat diabaikan

Page 27: Sesi 3 Persamaan Linier Simultan

Example 3Solutions of Four Linear Systems (c2)

Solution (c)

2. Selesaikan leading variabel dengan free variabel

3. Free variabel kita misalkan dengan t (sembarang value). Sehingga Sistem Persamaan Linier menghasilkan banyak solusi

54

53

521

5-2 3- 1

4-6- 2-

xxxx

xxx

txtxtx

sxtsx

4

4

3

2

1

,5-2 3- 1

, 4-6- 2-

Page 28: Sesi 3 Persamaan Linier Simultan

Example 3Solutions of Four Linear Systems (d)

100002100001

(d)

Solution (d): Persamaan terakhir pada Sistem Persamaan Linier

Karena persamaan ini tidak konsisten, maka Sistem ini tidak mempunyai solusi

1000 321 xxx

Page 29: Sesi 3 Persamaan Linier Simultan

Example 3Solutions of Four Linear Systems (d)

100002100001

(d)

Solution (d): the last equation in the corresponding system of equation is

Since this equation cannot be satisfied, there is no solution to the system.

1000 321 xxx

Page 30: Sesi 3 Persamaan Linier Simultan

Elimination Methods (1/7) We shall give a step-by-step elimination

procedure that can be used to reduce any matrix to reduced row-echelon form.

1565422812610421270200

Page 31: Sesi 3 Persamaan Linier Simultan

Elimination Methods (2/7) Step1. Locate the leftmost column that does not

consist entirely of zeros.

Step2. Interchange the top row with another row, to bring a nonzero entry to top of the column found in Step1.

1565422812610421270200

Leftmost nonzero column

1565421270200281261042

The 1th and 2th rows in the preceding matrix were interchanged.

Page 32: Sesi 3 Persamaan Linier Simultan

Elimination Methods (3/7) Step3. If the entry that is now at the top of the

column found in Step1 is a, multiply the first row by 1/a in order to introduce a leading 1.

Step4. Add suitable multiples of the top row to the rows below so that all entires below the leading 1 become zeros.

15654212702001463521

The 1st row of the preceding matrix was multiplied by 1/2.

2917050012702001463521 -2 times the 1st row of the

preceding matrix was added to the 3rd row.

Page 33: Sesi 3 Persamaan Linier Simultan

Elimination Methods (4/7) Step5. Now cover the top row in the matrix and

begin again with Step1 applied to the submatrix that remains. Continue in this way until the entire matrix is in row-echelon form.

2917050012702001463521

The 1st row in the submatrix was multiplied by -1/2 to introduce a leading 1.

2917050060100

1463521

27

Leftmost nonzero column in the submatrix

Page 34: Sesi 3 Persamaan Linier Simultan

Elimination Methods (5/7) Step5 (cont.)

21000060100

1463521

27

-5 times the 1st row of the submatrix was added to the 2nd row of the submatrix to introduce a zero below the leading 1.

1000060100

1463521

21

27

1000060100

1463521

21

27

The top row in the submatrix was covered, and we returned again Step1.

The first (and only) row in the new submetrix was multiplied by 2 to introduce a leading 1.

Leftmost nonzero column in the new submatrix

The entire matrix is now in row-echelon form.

Page 35: Sesi 3 Persamaan Linier Simultan

Elimination Methods (6/7) Step6. Beginning with las nonzero row and working

upward, add suitable multiples of each row to the rows above to introduce zeros above the leading 1’s.

210000100100703021

7/2 times the 3rd row of the preceding matrix was added to the 2nd row.

210000100100

1463521

210000100100203521

-6 times the 3rd row was added to the 1st row.

The last matrix is in reduced row-echelon form.

5 times the 2nd row was added to the 1st row.

Page 36: Sesi 3 Persamaan Linier Simultan

Elimination Methods (7/7) Step1~Step5: the above procedure produces

a row-echelon form and is called Gaussian elimination.

Step1~Step6: the above procedure produces a reduced row-echelon form and is called Gaussian-Jordan elimination.

Every matrix has a unique reduced row-echelon form but a row-echelon form of a given matrix is not unique.

Page 37: Sesi 3 Persamaan Linier Simultan

Algoritma Metode Eliminasi Gauss

Page 38: Sesi 3 Persamaan Linier Simultan

Metode Eliminasi Gauss Jordan

Metode ini merupakan pengembangan metode eliminasi Gauss, hanya saja augmented matrik, pada sebelah kiri diubah menjadi matrik diagonal

Penyelesaian dari persamaan linier simultan diatas adalah nilai d1,d2,d3,…,dn dan atau:

nnnnnn

n

n

n

baaaa

baaaabaaaabaaaa

.....................

...

...

...

321

33333231

22232221

11131211

nd

ddd

1...000..................

0...1000...0100...001

3

2

1

nn dxdxdxdx ,....,,, 332211

Page 39: Sesi 3 Persamaan Linier Simultan

Contoh : Selesaikan

persamaan linier simultan:

Augmented matrik dari persamaan linier simultan

Lakukan operasi baris elementer

8423

21

21

xx

xx

842311

110201

110311

2/2

220311

2

21

12

BB

B

bB

Penyelesaian persamaan linier simultan :x1 = 2 dan x2 = 1

Page 40: Sesi 3 Persamaan Linier Simultan

Contoh :

0 563 7 172

9 2

zyxzyzyx

0563 134292

zyxzyxzyx

056313429211

0563177209211

B2-2B1

B2-2B1

B3-3B1

B3-3B1

Page 41: Sesi 3 Persamaan Linier Simultan

Example 3Using Elementary row Operations(2/4)

0 113

9 2

217

27

zyzyzyx

27113 177 2

9 2

zyzyzyx

271130177209211

27113010

9211

217

27

½ B2

½ B2 B3-3B2

B3-3B2

Page 42: Sesi 3 Persamaan Linier Simultan

Example 3Using Elementary row Operations(3/4)

3

9 2

217

27

zzyzyx

23

21

217

27

9 2

zzyzyx

23

21

217

27

0010

9211

3100

109211

217

27

-2 B3

-2 B3

B1- B2

B1- B2

Page 43: Sesi 3 Persamaan Linier Simultan

Example 3Using Elementary row Operations(4/4)

3 2

1

zy

x

3

217

27

235

211

zzyzx

3100

1001

217

27

235

211

310020101001

Solusi x = 1, y=2 dan z=3

B2 + 7/2 B3

B1 - 11/2 B3

B2 + 7/2 B3

B1 - 11/2 B3

Page 44: Sesi 3 Persamaan Linier Simultan

Algoritma Metode Eliminasi Gauss-Jordan

Page 45: Sesi 3 Persamaan Linier Simultan
Page 46: Sesi 3 Persamaan Linier Simultan

Metode Iterasi Gauss-Seidel Metode interasi Gauss-Seidel adalah metode yang

menggunakan proses iterasi hingga diperoleh nilai-nilai yang berubah.

Bila diketahui persamaan linier simultan

nnnnnnn

nn

nn

nn

bxaxaxaxa

bxaxaxaxabxaxaxaxabxaxaxaxa

................................................

...

...

...

332211

33333232131

22323222121

11313212111

Page 47: Sesi 3 Persamaan Linier Simultan

Metode Iterasi Gauss-Seidel Berikan nilai awal dari setiap xi (i=1 s/d

n) kemudian persamaan linier simultan diatas dituliskan menjadi:

112211

232312122

2

1313212111

1

....1...............................................................

....1

....1

2

nnnnnnnn

n

nn

nn

xaxaxaba

x

xaxaxaba

x

xaxaxaba

x

Page 48: Sesi 3 Persamaan Linier Simultan

Metode Iterasi Gauss-Seidel

Dengan menghitung nilai-nilai xi (i=1 s/d n) menggunakan persamaan-persamaan di atas secara terus-menerus hingga nilai untuk setiap xi (i=1 s/d n) sudah sama dengan nilai xi pada iterasi sebelumnya maka diperoleh penyelesaian dari persamaan linier simultan tersebut.

Atau dengan kata lain proses iterasi dihentikan bila selisih nilai xi (i=1 s/d n) dengan nilai xi pada iterasi sebelumnya kurang dari nilai tolerasi error yang ditentukan.

Untuk mengecek kekonvergenan

Page 49: Sesi 3 Persamaan Linier Simultan

Catatan Hati-hati dalam menyusun sistem persamaan

linier ketika menggunakan metode iterasi Gauss-Seidel ini.

Perhatikan setiap koefisien dari masing-masing xi pada semua persamaan di diagonal utama (aii).

Letakkan nilai-nilai terbesar dari koefisien untuk setiap xi pada diagonal utama.

Masalah ini adalah ‘masalah pivoting’ yang harus benar-benar diperhatikan, karena penyusun yang salah akan menyebabkan iterasi menjadi divergen dan tidak diperoleh hasil yang benar.

Page 50: Sesi 3 Persamaan Linier Simultan
Page 51: Sesi 3 Persamaan Linier Simultan

Contoh

Berikan nilai awal : x1 = 0 dan x2 = 0 Susun persamaan menjadi:

14425

21

21

xx

xx

12

21

21441

5

xx

xx

(5,1)

(4,3/2)

(7/2,7/4)

Page 52: Sesi 3 Persamaan Linier Simultan

Contoh(13/4 , 15/8)

(25/8 , 31/16)

(49/16 , 63/32 )

(97/32 , 127/64)

Page 53: Sesi 3 Persamaan Linier Simultan

Contoh : Selesaikan sistem persamaan berikut:

Augmented matrik dari persamaan linier simultan tersebut :

102222

6

321

321

321

xxxxxxxxx

1021221216111

Page 54: Sesi 3 Persamaan Linier Simultan

Hasil Divergen

Page 55: Sesi 3 Persamaan Linier Simultan

Hasil Konvergen 6221022

321

321

321

xxxxxxxxx

Page 56: Sesi 3 Persamaan Linier Simultan

Algoritma Metode Iterasi Gauss-Seidel

Page 57: Sesi 3 Persamaan Linier Simultan

Soal Selesaikan dg Eliminasi Gauss-Jordan

x1 + x2 + 2x3 = 8-x1 – 2x1 + 3x3 = 13x1 – 7x2 + 4x3 = 10

x – y + 2z – w = -12x + y - 2z -2w = -2-x + 2y – 4z + w = 1

3x - 3w = -3 0563 134292

zyxzyxzyx

Page 58: Sesi 3 Persamaan Linier Simultan

Selesaikan dg Gauss Seidel 5x1 + 2x2 + 6x3 = 0

-2x1 + x2 + 3x3 = 0

X1 – 2x2 + x3 – 4x4 = 1X1 + 3x2 + 7x3 + 2x4 = 2X1 – 12x2 – 11x3 – 16x4 = 5

Page 59: Sesi 3 Persamaan Linier Simultan

Contoh Penyelesaian Permasalahan Persamaan Linier Simultan

Mr.X membuat 2 macam boneka A dan B. Boneka A memerlukan bahan 10 blok B1 dan 2 blok B2, sedangkan boneka B memerlukan bahan 5 blok B1 dan 6 blok B2. Berapa jumlah boneka yang dapat dihasilkan bila tersedia 80 blok bahan B1 dan 36 blok bahan B2.

Model Sistem Persamaan Linier : Variabel yang dicari adalah jumlah boneka, anggap:

x1 adalah jumlah boneka Ax2 adalah jumlah boneka B

Perhatikan dari pemakaian bahan :B1: 10 bahan untuk boneka A + 5 bahan untuk boneka B = 80B2: 2 bahan untuk boneka A + 6 bahan untuk boneka B = 36

Diperoleh model sistem persamaan linier 10 x1 + 5 x2 = 802 x1 + 6 x2 = 36

Page 60: Sesi 3 Persamaan Linier Simultan

Contoh 1 : metode eliminasi Gauss-Jordan

Diperoleh x1 = 6 dan x2 = 4, artinya bahan yang tersedia dapat dibuat 6 boneka A dan 4 boneka B.

Page 61: Sesi 3 Persamaan Linier Simultan

Contoh 2 :Penghalusan Kurva Dengan Fungsi Pendekatan Polinomial

Perhatikan bahwa pada ke-4 titik tersebut dihubungkan dengan garis lurus, sehingga tampak kasar. Untuk menghaluskannya dilakukan pendekatan garis dengan kurva yang dibentuk dengan fungsi pendekatan polinomial. Dari fungsi polinomial yang dihasilkan kurva dapat digambarkan dengan lebih halus.

1

2

3

4

Page 62: Sesi 3 Persamaan Linier Simultan

Contoh 2 : Misalkan pada contoh diatas, 4 titik yang

ditunjuk adalah (2,3), (7,6), (8,14) dan (12,10). 4 titik ini dapat didekati dengan fungsi polinom pangkat 3 yaitu :

Bila nilai x dan y dari 4 titik dimasukkan ke dalam persamaan di atas akan diperoleh model persamaan simultan sebagai berikut :

Titik 1 3 = 8 a + 4 b + 2 c + d Titik 2 6 = 343 a + 49 b + 7 c + d Titik 3 14 = 512 a + 64 b + 8 c + d Titik 4 10 = 1728 a + 144 b + 12 c + d

Page 63: Sesi 3 Persamaan Linier Simultan

Dengan menggunakan Metode Eliminasi Gauss-Jordan

a = -0,303b = 6,39c = -36,59d = 53,04

y = -0,303 x3 + 6,39 x2 – 36,59 x + 53,04


Top Related