Penyelesaian Persamaan Linier Simultan

Persamaan Linier Simultan Persamaan linier simultan adalah suatu bentuk persamaan-persamaan

yang secara bersama-sama menyajikan banyak variabel bebas Bentuk persamaan linier simultan dengan m persamaan dan n variabel

bebas

aij untuk i=1 s/d m dan j=1 s/d n adalah koefisien atau persamaan simultan

xi untuk i=1 s/d n adalah variabel bebas pada persamaan simultan

Persamaan Linier Simultan Penyelesaian persamaan linier simultan adalah

penentuan nilai xi untuk semua i=1 s/d n yang memenuhi semua persamaan yang diberikan.

AX = B Matrik A = Matrik Koefisien/ Jacobian. Vektor x = vektor variabel vektor B = vektor konstanta.

nnmnmm

n

n

b

b

b

x

x

x

aaa

aaa

aaa

......

...

............

...

...

2

1

2

1

21

22221

11211

Persamaan Linier Simultan

Persamaan Linier Simultan atau Sistem Persamaan Linier mempunyai kemungkinan solusi : Tidak mempunyai solusi Tepat satu solusi Banyak solusi

Augmented Matrix matrik yang merupakan perluasan matrik A

dengan menambahkan vector B pada kolom terakhirnya, dan dituliskan:

Augmented (A) = [A B]

mmnmmm

n

n

baaaa

baaaa

baaaa

...

..................

...

...

321

22232221

11131211

Contoh 1 : Seorang pembuat boneka ingin membuat dua

macam boneka yaitu boneka A dan boneka B. Kedua boneka tersebut dibuat dengan menggunakan dua macam bahan yaitu potongan kain dan kancing. Boneka A membutuhkan 10 potongan kain dan 6 kancing, sedangkan boneka B membutuhkan 8 potongan kain dan 8 kancing.

Permasalahannya adalah berapa buah boneka A dan boneka B yang dapat dibuat dari 82 potongan kain dan 62 kancing ?

Contoh 1 Permasalahan ini dapat dimodelkan dengan menyatakan :

x = jumlah boneka A y = jumlah boneka B

Untuk setiap bahan dapat dinyatakan bahwa: Potongan kain

10 untuk boneka A + 8 untuk boneka B = 82 Kancing

6 untuk boneka A + 8 untuk boneka B = 62

Atau dapat dituliskan dengan :10 x + 8 y = 826 x + 8 y = 62

Penyelesaian dari permasalahan di atas adalah penentuan nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan di atas.

Contoh 2 : Perhatikan potongan peta yang sudah diperbesar (zoom) sebagai

berikut :

Perhatikan bahwa pada ke-4 titik tersebut dihubungkan dengan garis lurus, sehingga tampak kasar.

Untuk menghaluskannya dilakukan pendekatan garis dengan kurva yang dibentuk dengan fungsi pendekatan polinomial.

Dari fungsi polinomial yang dihasilkan kurva dapat digambarkan dengan lebih halus.

1

2

3

4

Contoh 2 : 4 titik yang ditunjuk adalah (2,3), (7,6), (8,14) dan (12,10). 4

titik ini dapat didekati dengan fungsi polinom pangkat 3 yaitu :

Bila nilai x dan y dari 4 titik dimasukkan ke dalam persamaan di atas akan diperoleh model persamaan simultan sebagai berikut :Titik 1 3 = 8 a + 4 b + 2 c + dTitik 2 6 = 343 a + 49 b + 7 c + dTitik 3 14 = 512 a + 64 b + 8 c + dTitik 4 10 = 1728 a + 144 b + 12 c + d

Nilai a, b, c dan d adalah penyelesaian dari permasalahan di atas.

dcxbxaxy 23

Contoh 2 : Setelah nilai a, b, c dan d diperoleh maka persamaan

polinomialnya didapatkan dan dengan menggunakan step x yang lebih kecil dapat digambarkan grafiknya dengan lebih halus.

Theorema 4.1. Suatu persamaan linier simultan

mempunyai penyelesaian tunggal bila memenuhi syarat-syarat sebagai berikut. Ukuran persamaan linier simultan

bujursangkar, dimana jumlah persamaan sama dengan jumlah variable bebas.

Persamaan linier simultan non-homogen dimana minimal ada satu nilai vector konstanta B tidak nol atau ada bn 0.

Determinan dari matrik koefisien persamaan linier simultan tidak sama dengan nol.

Metode Analitik

metode grafis aturan Crammer invers matrik

Metode Numerik

Metode Eliminasi Gauss Metode Eliminasi Gauss-Jordan Metode Iterasi Gauss-Seidel

Metode Eliminasi Gauss Metode Eliminasi Gauss merupakan metode

yang dikembangkan dari metode eliminasi, yaitu menghilangkan atau mengurangi jumlah variable sehingga dapat diperoleh nilai dari suatu variable bebas

matrik diubah menjadi augmented matrik :

nnnn

n

n

b

b

b

aaa

aaa

aaa

...

...

............

...

...

2

1

2n1

22221

11211

Metode Eliminasi Gauss ubah matrik menjadi matrik segitiga atas atau

segitiga bawah dengan menggunakan OBE (Operasi Baris Elementer).

nnnnnn

n

n

n

baaaa

baaaa

baaaa

baaaa

...

..................

...

...

...

321

33333231

22232221

11131211

nnn

n

n

n

dc

dcc

dccc

dcccc

...000

..................

...00

...0

...

3333

222322

11131211

Operasi Baris Elementer Metode dasar untuk menyelesaikan Sistem

Persamaan Linier adalah mengganti sistem yang ada dengan sistem yang baru yang mempunyai himp solusi yang sama dan lebih mudah untuk diselesaikan

Sistem yang baru diperoleh dengan serangkaian step yang menerapkan 3 tipe operasi. Operasi ini disebut Operasi Baris Elementer

1. Multiply an equation through by an nonzero constant.

2. Interchange two equation. 3. Add a multiple of one equation to another.

Metode Eliminasi Gauss

Sehingga penyelesaian dapat diperoleh dengan:

nn

nn

nnnnnn

n

nn

nn

xcxcxcdc

x

xcxcxcdc

x

dxcc

x

c

dx

113212111

1

2424323222

2

1,11,1

1

...31

...1

.....................................

1

Contoh : Selesaikan sistem persamaan berikut:

Augmented matrik dari persamaan linier simultan tersebut :

1022

22

6

321

321

321

xxx

xxx

xxx

10212

2121

6111

Contoh :

Lakukan operasi baris elementer

13

12

2BB

BB

2010

4210

6111

23 BB

6200

4210

6111

Contoh :

Penyelesaian :

13261

1

23)2(41

1

32

6

1

2

3

x

x

x

Echelon Forms This matrix which have following properties is in reduced

row-echelon form (Example 1, 2). 1. If a row does not consist entirely of zeros, then the first

nonzero number in the row is a 1. We call this a leader 1. 2. If there are any rows that consist entirely of zeros, then

they are grouped together at the bottom of the matrix. 3. In any two successive rows that do not consist entirely

of zeros, the leader 1 in the lower row occurs farther to the right than the leader 1 in the higher row.

4. Each column that contains a leader 1 has zeros everywhere else.

A matrix that has the first three properties is said to be in row-echelon form (Example 1, 2).

A matrix in reduced row-echelon form is of necessity in row-echelon form, but not conversely.

Example 1Row-Echelon & Reduced Row-Echelon form

reduced row-echelon form:

00

00,

00000

00000

31000

10210

,

100

010

001

,

1100

7010

4001

row-echelon form:

10000

01100

06210

,

000

010

011

,

5100

2610

7341

Example 2More on Row-Echelon and Reduced Row-Echelon form All matrices of the following types are in row-echelon

form ( any real numbers substituted for the *’s. ) :

*100000000

*0**100000

*0**010000

*0**001000

*0**000*10

,

0000

0000

**10

**01

,

0000

*100

*010

*001

,

1000

0100

0010

0001

*100000000

****100000

*****10000

******1000

********10

,

0000

0000

**10

***1

,

0000

*100

**10

***1

,

1000

*100

**10

***1

All matrices of the following types are in reduced row-echelon form ( any real numbers substituted for the *’s. ) :

ContohSolusi dari Sistem Pers Linier

4100

2010

5001

(a)

4

2-

5

z

y

x

Solution (a)

Anggaplah ini adalah matrik dari Sistem Persamaan Linier yang telah direduksi dengan bentuk row echelon.

Example 3Solutions of Four Linear Systems (b1)

23100

62010

14001

(b)

Solution (b)

2 3

6 2

1- 4

43

42

41

xx

xx

xx

leading variables

free variables

Example 3Solutions of Four Linear Systems (b2)

43

42

41

3-2

2- 6

4 - 1-

xx

xx

xx

tx

tx

tx

tx

,32

,26

,41

4

3

2

1

Free variabel kita misalkan dengan t. Sehingga selanjutnya dapat kita tentukan leading variabelnya.

Sistem Persamaan Linier menghasilkan banyak solusi

Example 3Solutions of Four Linear Systems (c1)

000000

251000

130100

240061

(c)

2 5

1 3

2- 4 6

54

53

521

xx

xx

xxx

Solution (c)

1. Pada baris ke-4 semuanya nol sehingga persamaan ini dapat diabaikan

Example 3Solutions of Four Linear Systems (c2)

Solution (c)

2. Selesaikan leading variabel dengan free variabel

3. Free variabel kita misalkan dengan t (sembarang value). Sehingga Sistem Persamaan Linier menghasilkan banyak solusi

54

53

521

5-2

3- 1

4-6- 2-

xx

xx

xxx

tx

tx

tx

sx

tsx

4

4

3

2

1

,5-2

3- 1

, 4-6- 2-

Example 3Solutions of Four Linear Systems (d)

1000

0210

0001

(d)

Solution (d):

Persamaan terakhir pada Sistem Persamaan Linier

Karena persamaan ini tidak konsisten, maka Sistem ini tidak mempunyai solusi

1000 321 xxx

Example 3Solutions of Four Linear Systems (d)

1000

0210

0001

(d)

Solution (d):

the last equation in the corresponding system of equation is

Since this equation cannot be satisfied, there is no solution to the system.

1000 321 xxx

Elimination Methods (1/7) We shall give a step-by-step elimination

procedure that can be used to reduce any matrix to reduced row-echelon form.

156542

281261042

1270200

Elimination Methods (2/7) Step1. Locate the leftmost column that does not

consist entirely of zeros.

Step2. Interchange the top row with another row, to bring a nonzero entry to top of the column found in Step1.

156542

281261042

1270200

Leftmost nonzero column

156542

1270200

281261042The 1th and 2th rows in the preceding matrix were interchanged.

Elimination Methods (3/7) Step3. If the entry that is now at the top of the

column found in Step1 is a, multiply the first row by 1/a in order to introduce a leading 1.

Step4. Add suitable multiples of the top row to the rows below so that all entires below the leading 1 become zeros.

156542

1270200

1463521

The 1st row of the preceding matrix was multiplied by 1/2.

29170500

1270200

1463521-2 times the 1st row of the preceding matrix was added to the 3rd row.

Elimination Methods (4/7) Step5. Now cover the top row in the matrix and

begin again with Step1 applied to the submatrix that remains. Continue in this way until the entire matrix is in row-echelon form.

29170500

1270200

1463521

The 1st row in the submatrix was multiplied by -1/2 to introduce a leading 1.

29170500

60100

1463521

27

Leftmost nonzero column in the submatrix

Elimination Methods (5/7) Step5 (cont.)

210000

60100

1463521

27

-5 times the 1st row of the submatrix was added to the 2nd row of the submatrix to introduce a zero below the leading 1.

10000

60100

1463521

21

27

10000

60100

1463521

21

27

The top row in the submatrix was covered, and we returned again Step1.

The first (and only) row in the new submetrix was multiplied by 2 to introduce a leading 1.

Leftmost nonzero column in the new submatrix

The entire matrix is now in row-echelon form.

Elimination Methods (6/7) Step6. Beginning with las nonzero row and working

upward, add suitable multiples of each row to the rows above to introduce zeros above the leading 1’s.

210000

100100

703021

7/2 times the 3rd row of the preceding matrix was added to the 2nd row.

210000

100100

1463521

210000

100100

203521-6 times the 3rd row was added to the 1st row.

The last matrix is in reduced row-echelon form.

5 times the 2nd row was added to the 1st row.

Elimination Methods (7/7) Step1~Step5: the above procedure produces

a row-echelon form and is called Gaussian elimination.

Step1~Step6: the above procedure produces a reduced row-echelon form and is called Gaussian-Jordan elimination.

Every matrix has a unique reduced row-echelon form but a row-echelon form of a given matrix is not unique.

Algoritma Metode Eliminasi Gauss

Metode Eliminasi Gauss Jordan

Metode ini merupakan pengembangan metode eliminasi Gauss, hanya saja augmented matrik, pada sebelah kiri diubah menjadi matrik diagonal

Penyelesaian dari persamaan linier simultan diatas adalah nilai d1,d2,d3,…,dn dan atau:

nnnnnn

n

n

n

baaaa

baaaa

baaaa

baaaa

...

..................

...

...

...

321

33333231

22232221

11131211

nd

d

d

d

1...000

..................

0...100

0...010

0...001

3

2

1

nn dxdxdxdx ,....,,, 332211

Contoh : Selesaikan

persamaan linier simultan:

Augmented matrik dari persamaan linier simultan

Lakukan operasi baris elementer

842

3

21

21

xx

xx

842

311

110

201

110

3112/2

220

3112

21

12

BB

B

bB

Penyelesaian persamaan linier simultan :x1 = 2 dan x2 = 1

Contoh :

0 563

7 172

9 2

zyx

zy

zyx

0563

1342

92

zyx

zyx

zyx

0563

1342

9211

0563

17720

9211

B2-2B1

B2-2B1

B3-3B1

B3-3B1

Example 3Using Elementary row Operations(2/4)

0 113

9 2

217

27

zy

zy

zyx

27113

177 2

9 2

zy

zy

zyx

271130

17720

9211

271130

10

9211

217

27

½ B2

½ B2 B3-3B2

B3-3B2

Example 3Using Elementary row Operations(3/4)

3

9 2

217

27

z

zy

zyx

23

21

217

27

9 2

z

zy

zyx

23

21

217

27

00

10

9211

3100

10

9211

217

27

-2 B3

-2 B3

B1- B2

B1- B2

Example 3Using Elementary row Operations(4/4)

3

2

1

z

y

x

3

217

27

235

211

z

zy

zx

3100

10

01

217

27

235

211

3100

2010

1001

Solusi x = 1, y=2 dan z=3

B2 + 7/2 B3

B1 - 11/2 B3

B2 + 7/2 B3

B1 - 11/2 B3

Algoritma Metode Eliminasi Gauss-Jordan

Metode Iterasi Gauss-Seidel Metode interasi Gauss-Seidel adalah metode yang

menggunakan proses iterasi hingga diperoleh nilai-nilai yang berubah.

Bila diketahui persamaan linier simultan

nnnnnnn

nn

nn

nn

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

...

.............................................

...

...

...

332211

33333232131

22323222121

11313212111

Metode Iterasi Gauss-Seidel

Berikan nilai awal dari setiap xi (i=1 s/d n) kemudian persamaan linier simultan diatas dituliskan menjadi:

112211

23231212

2

2

1313212111

1

....1

...............................................................

....1

....1

2

nnnnnnnn

n

nn

nn

xaxaxaba

x

xaxaxaba

x

xaxaxaba

x

Metode Iterasi Gauss-Seidel

Dengan menghitung nilai-nilai xi (i=1 s/d n) menggunakan persamaan-persamaan di atas secara terus-menerus hingga nilai untuk setiap xi (i=1 s/d n) sudah sama dengan nilai xi pada iterasi sebelumnya maka diperoleh penyelesaian dari persamaan linier simultan tersebut.

Atau dengan kata lain proses iterasi dihentikan bila selisih nilai xi (i=1 s/d n) dengan nilai xi pada iterasi sebelumnya kurang dari nilai tolerasi error yang ditentukan.

Untuk mengecek kekonvergenan

Catatan Hati-hati dalam menyusun sistem persamaan

linier ketika menggunakan metode iterasi Gauss-Seidel ini.

Perhatikan setiap koefisien dari masing-masing xi pada semua persamaan di diagonal utama (aii).

Letakkan nilai-nilai terbesar dari koefisien untuk setiap xi pada diagonal utama.

Masalah ini adalah ‘masalah pivoting’ yang harus benar-benar diperhatikan, karena penyusun yang salah akan menyebabkan iterasi menjadi divergen dan tidak diperoleh hasil yang benar.

Contoh

Berikan nilai awal : x1 = 0 dan x2 = 0 Susun persamaan menjadi:

1442

5

21

21

xx

xx

12

21

2144

1

5

xx

xx

(5,1)

(4,3/2)

(7/2,7/4)

Contoh

(13/4 , 15/8)

(25/8 , 31/16)

(49/16 , 63/32 )

(97/32 , 127/64)

Contoh : Selesaikan sistem persamaan berikut:

Augmented matrik dari persamaan linier simultan tersebut :

1022

22

6

321

321

321

xxx

xxx

xxx

10212

2121

6111

Hasil Divergen

Hasil Konvergen 6

22

1022

321

321

321

xxx

xxx

xxx

Algoritma Metode Iterasi Gauss-Seidel

Soal Selesaikan dg Eliminasi Gauss-Jordan x1 + x2 + 2x3 =

8-x1 – 2x1 + 3x3 = 13x1 – 7x2 + 4x3 = 10

x – y + 2z – w = -12x + y - 2z -2w = -2-x + 2y – 4z + w = 1

3x - 3w = -3

0563

1342

92

zyx

zyx

zyx

Selesaikan dg Gauss Seidel 5x1 + 2x2 + 6x3 = 0

-2x1 + x2 + 3x3 = 0 X1 – 2x2 + x3 – 4x4 = 1

X1 + 3x2 + 7x3 + 2x4 = 2X1 – 12x2 – 11x3 – 16x4 = 5

Contoh Penyelesaian Permasalahan Persamaan Linier Simultan

Mr.X membuat 2 macam boneka A dan B. Boneka A memerlukan bahan 10 blok B1 dan 2 blok B2, sedangkan boneka B memerlukan bahan 5 blok B1 dan 6 blok B2. Berapa jumlah boneka yang dapat dihasilkan bila tersedia 80 blok bahan B1 dan 36 blok bahan B2.

Model Sistem Persamaan Linier : Variabel yang dicari adalah jumlah boneka, anggap:

x1 adalah jumlah boneka Ax2 adalah jumlah boneka B

Perhatikan dari pemakaian bahan :B1: 10 bahan untuk boneka A + 5 bahan untuk boneka B = 80B2: 2 bahan untuk boneka A + 6 bahan untuk boneka B = 36

Diperoleh model sistem persamaan linier 10 x1 + 5 x2 = 802 x1 + 6 x2 = 36

Contoh 1 : metode eliminasi Gauss-Jordan

Diperoleh x1 = 6 dan x2 = 4, artinya bahan yang tersedia dapat dibuat 6 boneka A dan 4 boneka B.

Contoh 2 :Penghalusan Kurva Dengan Fungsi Pendekatan Polinomial

Perhatikan bahwa pada ke-4 titik tersebut dihubungkan dengan garis lurus, sehingga tampak kasar. Untuk menghaluskannya dilakukan pendekatan garis dengan kurva yang dibentuk dengan fungsi pendekatan polinomial. Dari fungsi polinomial yang dihasilkan kurva dapat digambarkan dengan lebih halus.

1

2

3

4

Contoh 2 : Misalkan pada contoh diatas, 4 titik yang

ditunjuk adalah (2,3), (7,6), (8,14) dan (12,10). 4 titik ini dapat didekati dengan fungsi polinom pangkat 3 yaitu :

Bila nilai x dan y dari 4 titik dimasukkan ke dalam persamaan di atas akan diperoleh model persamaan simultan sebagai berikut :

Titik 1 3 = 8 a + 4 b + 2 c + d Titik 2 6 = 343 a + 49 b + 7 c + d Titik 3 14 = 512 a + 64 b + 8 c + d Titik 4 10 = 1728 a + 144 b + 12 c + d

Dengan menggunakan Metode Eliminasi Gauss-Jordan

a = -0,303b = 6,39c = -36,59d = 53,04

y = -0,303 x3 + 6,39 x2 – 36,59 x + 53,04