Modul VI Penggunaan Turunan 1

MODUL 4 : PENGGUNAAN TURUNAN

Kalkulus Prayudi

Modul VI Penggunaan Turunan 2Kalkulus Prayudi

PENGGUNAAN TURUNAN, GRAFIK FUNGSI

Perhatikanlah sketsa grafik berikut ini

Dari grafik terlihat bahwa : Grafik fungsi naik pada interval -3<x<-2, 1<x<2, x>4 Grafik fungsi turun pada interval x<-3, -2<x<1, x<x<4

Maksimum

Minimumstasioner

Dari sketsa terlihat pula : Fungsi mencapai

maksimum di titik x=-2 dan x=2

Fungsi mencapai minimum relatif di titik x=-3,x=1 dan x=4

Titik-titik x=-2,x=2 dan x=4 disebut titik stasioner

Ttitik x=-3,x=1 disebut titik singular

cekung kebawah cekung

keatas

f′(x)=0

f′(x)<0, f(x) turun

f′′(x)<0

f′′(x)>0

f′(x)>0, f(x) naik

singular

stasioner

stasioner

Kalkulus Prayudi

Titik Kritis

Penggunaan Turunan Pertama

Fungsi Naik/Turun Uji Nilai Ekstrim

Titik stasionerf′(c) = 0

Titik singularf′(c) tidak ada

Titik ujung interval

Batas interval(titik kritis)

Fungsi Turunf′(x) < 0 f(x) turun

Fungsi naikf′(x) > 0 f(x) naik

x=c adalahtitik kritis

f(c) nilai maksimumx<c, f′(x)>0,x>c, f′(x)<0

f(c) nilai minimumx<c, f′(x)<0,x>c, f′(x)>0

f(c) bukan ekstrimx<c, f′(x)>0,x>c, f′(x)>0x<c,f′(x)<0, x>c, f′(x)<0

Bab 4.1 Bab 4.2 Bab 4.3

Kalkulus Prayudi

Contoh 1 Buatlah sketsa grafik f(x) =(x–2)2/3(x-6)2

Jawab Turunan pertama

)x(Q)x(P

)2x(3

)6x)(3x(8)x(f 3/1

Titik kritis (1) stasioner, f′(x) = 0, P(x)=0 adalah x1=3 dan x2=6 (2) singular, f′(x) tidak ada, Q(x)=0 adalah x3=2

Interval fungsi naik turun - - - + + +0- - - - - - 0 + + f′(x) ───┼───┼─────┼─── 2 3 6 turun naik turun naikf(x) ───┼───┼─────┼─── 2 3 6

Sketsa grafik

Uji nilai ektrim Dari interval fungsi naik turun diperoleh (1) f(3)= nilai maksimum (2) f(2) = 0, dan f(6) = 0 nilai minimum

minimum, singular minimum, stasioner

maksimum stasioner

turun

turun

naik

naik

Kalkulus Prayudi

-6 -4 -2 0 2 4 6 80

20

40

60

80

100

120CONTOH : f(x) = (x2 – 2x – 24)2/3(x-2)2

Kalkulus Prayudi

Contoh 2Buat sketsa grafik : f(x) = (x-2)3(x2-4x–11)Jawab Turunan pertama f′(x)=5(x-2)2(x2-4x-5) Titik kritis f′(x)=5(x-2)2(x2-4x-5) = 0 (x-2)2(x+1)(x-5) = 0 x1=-1, x2=x3=2, x4=5 Interval fungsi naik/turun ++++0 - - - - -0- - - - - 0 + + f′(x) ───┼────┼────┼─── –1 2 5 naik turun turun naik f(x) ───┼────┼────┼─── –1 2 5

Sketsa Grafik

Uji nilai ektrim Dari interval fungsi naik turun diperoleh (1) f(–1)= 162 nilai maksimum (2) f(5)= -162 nilai minimum (3) f(2)=0 adalah titik belok

minimum

maksimum

naik

turun

turun

titik belok

turun naik

Kalkulus Prayudi

3223 322 /))(())(()( )( abxbaxbaxxf

(3) f(x) = (a – x)3(x2 – (2a – b)x – 2ab)(4) f(x) = (x – b)2(x2 – (2b – a)x – 2ab)

32323 231 /)()( )( aaxxxf

TUGAS KHUSUS :Untuk soal-soal berikut ini, hitunglah :(a)Turunan Pertama(b)Titik kritisnya(c) Interval fungsi naik/turun(d)Nilai ekstrim dan jenis ekstrimnya(e)Sketsa grafiknya

Kalkulus Prayudi

Titik Belok/Balik

Penggunaan Turunan Kedua

Kecekungan Grafik Uji Nilai Ekstrim

Titik belokf′′(c) = 0

Titik balikf′′(c) tidak ada

Batas kecekungan(titik belok)

Fungsi cekung keatasf′′(x)>0 f(x) ck keatas

Fungsi cekung kebawahf′′(x)<0f(x) ck kebawah

x=c adalahtitik stasioner

f(c) nilai maksimumf′(c)=0 dan f′′(x)<0

f(c) nilai minimumf′(c)=0, dan f′′(x) >0

uji gagalf(c) bukan ekstrim

f′(x)=0,f′′(x)=0

Gunakan Uji turunan pertama

Kalkulus Prayudi

Contoh 3Buat sketsa grafik : f(x) = 0,25(x-1)2(x2-2x–17)Jawab Turunan pertama dan kedua f′(x)=(x–1)(x2-2x-8) f′′(x)=3(x2–2x–2) Titik kritis f′(x)=(x-1)2(x2-2x-8) = 0 (x-1)(x+2)(x-4) = 0 x=-2, x=1, x=4 Interval fungsi naik/turun - - - - 0 + + + 0- - - - - 0 + + f′(x) ───┼────┼────┼─── -2 1 4 turun naik turun naik f(x) ───┼────┼────┼─── –2 1 4

Titik belok f′′(x)=3(x2–2x–2) = 0 x1=1–3 = -0,732; x2=1+3 = 2,732 Kecekungan grafik + + + + +0 - - - - - - - - 0 + + + + + f′′(x) ─────┼───────┼────── -0.732 2,732 ck-keatas ck-kebawah ck keatas f(x) ──────┼───────┼────── -0,7321 2,732 Uji Nilai ekstrim x f′(x) f′′(x) Kesimpulan --------------------------------------------------- –2 0 ( + ) f(-2) =-20,25 minimum --------------------------------------------------- 1 0 ( - ) f(1) = 0 maksimum --------------------------------------------------- 4 0 ( + ) f(4) = -20,25 minimum -----------------------------------------------------

Kalkulus Prayudi

Sketsa Grafik contoh 3

maksimum

minimumminimum

Titik belok

Titik belok

cekung keatas

cekung kebawah

turun

y

x

)17x2x()1x(41)x(f 22

x=-2x=1

x=4

naik naikturun

cekung keatas

x=-0,732 x=2,732

cekung keatas

naikcekung kebawah

turun

cekung keatas

Kalkulus Prayudi

Contoh 4Buat sketsa grafik : f(x) = (x-2)3(x2-4x–11)Jawab Turunan pertama f′(x)=5(x-2)2(x2-4x-5) f′′(x)=10(x-2)(2x2-8x-1) Titik kritis f′(x)=5(x-2)2(x2-4x-5) = 0 (x-2)2(x+1)(x-5) = 0 x=-1, x=2, x=5 Interval fungsi naik/turun ++++0 - - - - -0- - - - - 0 + + f′(x) ───┼────┼────┼─── –1 2 5 naik turun turun naik f(x) ───┼────┼────┼─── –1 2 5

Titik belok f′′(x)=10(x-2)(2x2–8x–1) = 0 x1=–0.121; x2=2; x3 = 4.121 Kecekungan grafik - - - -0 + + + +0 - - - - - - 0 + + + f′′(x) ───┼─────┼─────┼──── -0.121 2 4,121 k-bawah ck-atas ck-bawah ck-atas f(x) ────┼─────┼─────┼──── -0,121 2 4,121 Uji Nilai ekstrim x f′(x) f′′(x) Kesimpulan --------------------------------------------------- –1 0 ( + ) f(-1)=162 maksimum relatif --------------------------------------------------- 2 0 ( 0 ) f(2)=0 uji gagal, titik belok --------------------------------------------------- 5 0 ( + ) f(4)= -162 minimum relatif ----------------------------------------------------

Kalkulus Prayudi

Grafik contoh 4

cekung kebawah

cekung kebawah

cekung keatas

cekung keatas

titik belok

titik belok

titik belok

maksimum

minimum

naik

naikturun

y

x

Kalkulus Prayudi

Tugas Khusus : Penggunaan Turunan pertama dan keduaUntuk fungsi berikut ini, tentukanlah :(1) Turunan pertama dan turunan kedua(2) Titik kritis(3) Interval fungsi naik/turun(4) Titik belok(5) Kecekungan grafik(6) Uji Nilai Ekstrim (7) Sketsa grafik

(a) f(x) = (x2 – 5x – 6)(x – a)3 (b) f(x) = (x – a)4(x2 –4x – 12)

Kalkulus Prayudi

Model Matematika

Langkah-langkah yang digunakan untuk menyelesaian masalah nyata dengan pemodelan matematika adalah sebagai berikut:

1) Langkah 1 : Buatlah sebuah gambar untuk menjelaskan permasalahan, dan berikan variabel-variabel atau konstanta yang diperlukan.

2) Langkah 2 : Tentukan rumus untuk sebuah besaran yang akan dicari nilai ekstrimnya dengan variabel-variabel dan konstanta pada langkah 1. Jika perlu gunakan kondisi-kondisi permasalahan untuk menentukan rumus besaran yang merupakan fungsi satu variabel.

3). Langkah 3 : Gunakan turunan pertama untuk menentukan titik kritis, dan gunakan uji turunan pertama atau uji turunan kedua untuk menentukan jenis nilai ekstrimnya.

4). Langkah 4 : Tariklah kesimpulkan dari langkah 3, untuk menyelesaikan permasalahan.

Kalkulus Prayudi

Contoh soal

1) Sebuah pabrik pengalengan ingin membuat kaleng berbentuk silinder lingkaran tegak yang mempunyai volume tetap. Tentukanlah perbandingan ukuran tinggi dan jari-jari alas agar material yang digunakan pabrik sehemat mungkin.

2) Sebuah pembangkit tenaga listrik, P, terletak di tepi sungai lurus lebarnya 400 m. Sebuah pabrik kimia, K, terletak diseberang sungai berjarak 1 km ke arah hilir dari titik A yang berseberangan langsung dengan pabrik. Pabrik kimia ingin membangun suatu jaringan listrik yang menghubungkan pabrik dengan pembangkit tenaga listrik. Apabila biaya pemasangan kabel listrik per seratus meter, di bawah permukaan air lebih mahal 25 persen dari pada biaya pemasangan di darat. Tentukanlah jalur pemasangan kabel yang paling hemat.

3) Sebuah balok kayu persegi panjang dipotong dari sebuah gelondong kayu dengan penampang berbentuk lingkaran. Jika kekuatan balok sebanding dengan hasil kali lebar dan pangkat tiga tebalnya, tentukanlah ukuran balok yang memberikan kekuatan paling kuat.

Modul VI Penggunaan Turunan 16Kalkulus Prayudi

4. Asumsikan, x : menyatakan rata-rata jumlah listrik yang bisa dihemat per hari dan, f(x) : biaya yang harus dibayarkan. Jika fungsi biayanya adalah

Dengan uji turunan kedua berapakah rata-rata listrik yang harus dihemat per harinya, agar supaya biayanya minimum. Catatan : soal ini hanya ditanya nilai ekstrimnya saja.

5. Diberikan fungsi biaya total, TC = Q3 – 3(a+b)Q2 + 3a(a+2b)Q + 4(a+b)3. Dengan uji turunan pertama dan turunan kedua, tentukanlah :

a. Output Q yang meminimalkan biaya total, dan berapakan biaya minimal tersebut.

b. Output Q yang meminimalkan biaya total rata-rata (AC = TC/Q), dan berapakah biayaminimal tersebut.

2)(

34)(

51000.30)(

223

245 xbaaxaxbaxxf

234521)(

31)1(

41

51100)( abxxabbaxbaxxf

Limit Bentuk Tak Tentu

Fungsi f(x)/g(x) dikatakan mempunyai bentuk tak tentu di x=a, jika f(a)=0/ dan g(a)=0/, yakni :

)()(

xgxf

or 00

)()(agaf

Bentuk tak tentu di x=a

Misalkan,

428

)()(

33

xxx

xgxf

00

)2()2(

gf

adalah bentuk tak tentu di x=2

Rumus 1. Jika,0)(lim dan ,0)(lim

xgxf

cxcx

Lxgxf

cx

)()(lim L

xgxf

cx

)()(lim

Contoh :

00

)2()2(

gf

1012

2)4(3)4(3

233lim

428lim

22

2

33

2

xxxx

x

x

x

ContohHitunglah,Jawab, xx

xxxx ln)1(

lnlim 22

1

43

)1(2)1(2)0(41)1(4

2)/1(2ln414lim1ln2

21lim

)1)(1(ln2

12)1(lim

ln)1(lnlim

21

222

1

21

22

1

xxxxxxxxxxx

xxxx

xx

xxxxx

x

x

x

x 00

)1()1(

gf

00

)1()1(

gf

L’H

LH

43

ln)1(lnlimJadi, 2

2

1

xx

xxxx

ContohHitunglah,Jawab, 2

3

0

22sinlimx

xxe x

x

62

)120(2

)2cos122sin5(lim

22)2cos22sin3(lim

222cos22sin3lim

22sinlim

0

3

0

3

0

33

0

23

0

e

xxex

xxex

xexex

xxe

x

x

x

x

xx

x

x

xL’H

L’H

622sinlim Jadi, 2

3

0

x

xxe x

x

)(lim dan ,)(lim xgxfcxcx

Rumus 2. Jika,

Lxgxf

cx

)()(lim L

xgxf

cx

)()(lim

Contoh,

1218

1218lim

21218lim

2649lim

2543lim

22

233

x

x

x

x

xx

xxx

xxxx

L’H

L’H

L’H

Contoh :

32781

2781lim

2927lim

2329lim

323lim

1)23(

31

lim

)3ln(lim

33

33

33

233

323

23

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

xx

x

x

x

eeee

xee

xexe

xexe

xxe

L’H

L’H

L’H

L’H

Bentuk Tak Tentu Lainnya

Rumus 3. Jika,

LxgxfLxg

xfxg

xfxgxf

xgxf

cxcx

cxcx

)()(lim)(/1)(lim

,)(/1)()()( dan,

)(lim dan ,0)(lim

Contoh :Hitunglah,Jawab :Tulislah,

xex x

x

2lnlim /3

x

xe

xex

xx

1

2ln2ln/3

/3

Mengingat :

50

23

21

231

lim

1)/2(

23

lim

)/1(

2lnlim

0

0

/32

)/3(2

2

)/3(

22)/3(

/3

e

e

xe

x

ex

x

xexx

e

xx

e

x

x

x

x

x

x

x

x

52lnlim Jadi, /3

xex x

x

00

)(/1)(

cg

cf

(0.)

00

L’H

Lxgxf

L

xgxf

xfxg

xgxf

xfxgxgxf

xgxf

cx

cx

cxcx

)}()({lim)()(

1)(

1)(

1lim

,)()(

1)(

1)(

1)()( dan,

)(lim dan ,)(limRumus 4. Jika,

Contoh :Hitunglah,Jawab :Tulislah,

xxx 220 sin11lim

xxxx

xx 2222

22 sinsin

sin11

Mengingat,

31

248

2cos82sin322cos242cos8lim

2sin42cos122sin62sin4lim

2cos22sin4sin222cos2lim

2sinsin222sinlim

cossin2sin22cossin2lim

sinsinlim

20

20

220

220

220

2222

0

xxxxxx

xxxxxx

xxxxxxxxxx

xxxxxxx

xxxxxxx

x

x

x

x

x

x

31

sin11lim Jadi, 220

xxx

00

L’H

L’H

L’H

L’H

Contoh :

23

3309

3)/1(3ln99lim

1ln333lim

)1)(1(ln3

33lim

ln)1()1(ln3lim

ln1

13lim

2322

1

333

1

32

2

1

33

1

31

xxxxxx

xxxx

xxxx

xx

xxxx

xx

x

x

x

x

x

Contoh :

21

02

)(lim

)1(1lim

)1(1lim

111lim

00

0

0

0

0

ee

xeeee

xeee

exxe

ex

xxx

x

x

xx

x

x

x

x

x

xx( – )

00

00

( – )

00

00L’H

L’H

L’H

L’H

Rumus 5 : Jika :

Lxgcxcx

xfxgxgcx

cxcx

cxcx

cxcx

exfLxfxg

exf

xgxf

xgxf

xgxf

cx

)(

)(ln)(lim)(

)]([lim )](ln[)(limJika,

)]([lim

dan,

0)(lim dan ,)(lim)3(

0)(lim dan ,0)(lim)2(

)(lim dan ,1)(lim(1)

000

1

(0.)

61

061

sin2cos6coslim

cos2sin4sinlim

cos2sin4cossincoslim

sin2sincoslim2

1sincos

lim

lnsinlnlimsinln1 lim

0

020

200

2020

xxxx

xxxx

xxxxxxxx

xxxxx

xxx

xx

xxxx

x

x

xx

xx

xx

x

xx

x

xxe

xx

sinln1lim/1

020

2sin lim

Contoh :Hitunglah, Jawab

Jadi, 6/1/1

0

2sin lim

e

xx x

x

L’H

L’H

L’H

1

2ln1lim/1

20

20

1

2 limxx ex

xx

xxe

e

xContoh :Hitunglah, Mengingat,

1)02(2

04

)42(2

84lim

2)1(

4lim2)1(

)42(2lim

)1(

2)1(lim1

1

21

lim

)1ln(2lnlim1

2 ln1 lim

222

22

0

22

2

022

222

0

2

22

0

2

2

0

2

020

xxx

xx

x

xx

x

xxx

xxx

x

x

xx

x

x

x

x

x

xxx

xeee

xee

xee

xe

xee

xeee

ex

xeee

ex

xex

e

xx

Jadi, 1/1

20 1

2 lim

e

e

x x

xx

L’H

L’H

L’H

Contoh :Hitunglah, Mengingat,

9/21

ln2ln1

1lim)1/(1

21

231

3

1

ln2 lim

ee

x

x xx

xx

xx

92

184

)3(3)3(3040

)14(3)/1)(25(3ln)220(3

)/1(4ln4lim

)(3ln)25(3

ln4lim

)/1)((3ln)25(3

)]/1(2ln4[2lim

ln)(3

ln2)1(lim3

1

2)/2(ln21

lim

1

)1ln()ln2ln(lim1

ln2ln1

1 lim

3431

441

254

2

1

25

22

122

1

3

2

1231

xxxxxx

xxxxxxxx

xxxxxxxx

xxxxx

xxx

xxx

xx

xxx

x

xx

x

x

x

x

x

x

xx

xx

L’H

L’H

L’H

Soal-soal latihan)1/(1

1 ln1 lim)1(

bxa

x xax

x

bxx ea

axb/1

0 )1(

sin lim)2(

xax

x bxaeb

/1

0 sin)1( lim)3(

x

axx bxe

ax /1

0 cos lim)4(

xax

x axe

/1

0

1 lim)6(

x

x xx /1

0 )1ln( lim)7(

xx

xbaba

ba

x ln1

1

)( lim)5( )(

1)(

1

1

1 lim)8( )(0 xbax e

bax

1

1)1sin(

1 lim)9( )1(0 xbx exb

xb

b

xx )1cos(1)1(2 lim)10(2

20