Math Essential

Chapter 2

2nd week

Pada bab ini kalian akan belajar:

• Bilangan prima

• Mencari KPK (Kelipatan Persekutuan terKecil) dan FPB (Faktor Persekutuan terBesar)

• Pangkat 2 (kuadrat dan akarnya) & pangkat 3 (kubik dan akarnya)

Faktor dan Kelipatan

18 = 1 x 18= 2 x 9= 3 x 6= 6 x 3= 9 x 2= 18 x 1

Dalam contoh di atas, kita menyebut :• 1, 2, 3, 6, 9, dan 18 adalah faktor dari 18

• 18 adalah kelipatan dari setiap angka 1, 2, 3, 6, 9, dan 18.

• Oleh karena itu, 18 dapat membagi tiap-tiap faktornya dengan sisa=0, atau dengan kata lain 18 habis dibagi faktor-faktornya.

Contoh:

1. Daftarkan faktor dari 30 !

30 = 1x30 = 2x15 = 3x10 = 5x6

jadi, faktor dari 30 adalah 1,2,3,5,6,10,15,30

2. Daftarkan kelipatan dari 5 !

kelipatan 5 kita dapatkan dengan mengalikannya dengan 1,2,3,4,…

5x1=5 , 5x2=10, 5x3=15, 5x4=20,…

maka, kelipatan dari 5 adalah 5,10,15,20,…

Bilangan Prima

• Bilangan asli yang hanya memiliki 2 faktor, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri.

Contoh :

2 = 1 x 2

3 = 1 x 3

5 = 1 x 5

Composite Number

• Bilangan asli yang memiliki lebih dari 2 faktor.

Contoh :

4 = 1 x 4 ; 2 x 2

6 = 1 x 6 ; 2 x 3

8 = 1 x 8 ; 2 x 4

12 = 1 x 12 ; 2 x 6 ; 3 x 4

Test of Divisibility

• Apakah 50 346 habis dibagi 2?

Jawab : Ya

Setiap bilangan genap habis dibagi 2

• Apakah 17 325 habis dibagi 5?

Jawab : Ya

Setiap bilangan dengan digit terakhirnya adalah 0 atau 5 habis dibagi 5

• Apakah 1 776 habis dibagi 3?

Jawab : Ya

perhatikan langkah berikut!

1 + 7 + 7+ 6 = 21

21 habis dibagi 3, maka 1 776 habis dibagi 3.

• Apakah 738 habis dibagi 9?

Jawab : Ya

perhatikan langkah berikut!

7 + 3 + 8 = 18

18 habis dibagi 9, maka 738 habis dibagi 9.

• Apakah 6 721 dan 8 162 habis dibagi 11?

Jawab : Ya

setiap bilangan habis dibagi 11 apabila selisih antara penjumlahan digit di urutan ganjil dan penjumlahan digit di urutan genap = 0 atau kelipatan dari 11

6 721 (6 + 2) – (7 +1) = 0

8 162 (8 +6) – (1+2) = 11

Maka 6 721 dan 8 162 habis dibagi 11

Atau kalian dapat menempatkan tanda minus dan plus pada sela bilangan:

6 7 2 1 6 – 7 + 2 – 1 = 0

8 1 6 2 8 – 1 + 6 – 2 = 11

Faktorisasi Prima

• Setiap bilangan asli (kecuali 1) termasuk bilangan prima atau komposit.

• Sebuah bilangan komposit dapat kita ekspresikan ke dalam bentuk faktor-faktor prima, yang kita sebut dengan faktorisasi prima.

2 cara faktorisasi bilangan prima:

Metode 1 / Pohon Faktor

Faktorisasi prima dari 60!

60

2 30

2 15

3 5

60 = 2 x 2 x 3 x 5

Metode 2

6 0223

3 0

51 5

51

(Mulai dengan membagi angka dari faktor prima terkecil dan teruskan sampai didapatkan 1)

60 = 2 x 2 x 3 x 5

Menggunakan Index Notation• Untuk lebih singkat, 5 x 5 dapat kita tulis 52,

kita baca pangkat 2 dari 5 atau 5 kuadrat.• 5 x 5 x 5 = 53, 5 pangkat 3 atau 5 kubik.• 5 x 5 x 5 x 5 = 54, 5 pangkat 4.

• Dalam penulisan faktor prima dari suatu bilangan kita juga dapat menggunakan index notation ini untuk lebih mempersingkat.

Contoh : 12 = 2 x 2 x 3 = 22 x 340 = 2 x 2 x 2 x 5 = 23 x 572 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 23 x 32

FPB ( Faktor Persekutuan terBesar)

• Mary adalah seorang siswi pilihan yang sedang mengerjakan suatu tugas. Ia berencana untuk membuat persegi dari sebuah kertas berukuran 30 cm x 36 cm. Bantulah Mary untuk menentukan ukuran persegi terbesar yang dapat dibuat dari kertas tersebut!

• Pertama, kita harus mencari suatu angka yang dapat membagi kedua ukuran tersebut ( 30 cm dan 36 cm)

• Hal tersebut sama halnya jika kita mencari faktor dari 30 dan 36. Untuk memudahkan, kita urutkan dari yang terkecil hingga yang terbesar.

Faktor 30 = 1 2 3 5 6 10 15 30Faktor 36 = 1 2 3 4 6 9 12 18 36

• 1,2,3, dan 6 adalah faktor persekutuan dari 30 dan 36; dan yang terbesar kita sebut sebagai Faktor Persekutuan terBesar (FPB).

• Kembali kepada penyelesaian soal, maka panjang sisi persegi terbesar yang mungkin adalah 6 cm.

36 cm

30 cm

6 cm

6 cm

Cara Lain Mencari FPB

Metode 1

Faktorisasi prima dari

30 dan 36 adalah

30 = 2 x 3 x 5

36 = 22 x 32 x 1

2 x 3

(Gunakan

Index

Notation)

(Pilih faktor yang

sama dengan

pangkat terkecil)

Jadi, FPB dari 30 dan

36 adalah 2 x 3 = 6

Metode 2

Step 1 2 30 36

Step 2 3 15 18

Step 3 5 6

FPB = 2 x 3 = 6

Jadi, FPB dari 30

dan 36 adalah 2 x 3= 6

KPK (Kelipatan Persekutuan terKecil)

• Mary melaksanakan tugas keduanya. Pertama-tama ia membuat segi empat dengan ukuran 9 cm x 12 cm.

Ia ingin mengcopy dan menyusun segi empat tersebut menjadi sebuah persegi (persegi terkecil yang mungkin). Berapakah panjang sisi dari persegi tersebut?

• Kita harus mencari kelipatan dari 9 dan 12.

Kelipatan 9 9 18 27 36 45 54 63 72 …

Kelipatan 12 12 24 36 48 60 72 …

• 2 persekutuan pertama dari 9 dan 12 adalah 36 dan 72. Faktor persekutuan yang terkecil (36) merupakan KPK dari 9 dan 12.

• Kembali kepada penyelesaian soal, maka panjang sisi persegi terkecil yang mungkin adalah 36 cm.

36 cm

36 cm

12 cm

9 cm

Cara Lain Mencari KPK

Metode 1

Faktorisasi prima dari

30 dan 36 adalah

30 = 2 x 3 x 5

36 = 22 x 32

22 x 32 x 5

(Gunakan

Index

Notation)

(masukkan semua

faktor terbesar,

walaupun tidak sama)

Jadi, KPK dari 30 dan 36 adalah

22 x 32 x 5 = 180

Metode 2

Step 1 2 30 36

Step 2 3 15 18

Step 3 5 6

KPK = 2 x 3 x 5 x 6 = 180

Bagaimana jika tersedia 3 bilangan??????

• Coba kita cari KPK dari 18, 24, dan 36

Metode 1

Faktorisasi prima dari 18, 24, dan 36 adalah

18 = 2 x 32

24 = 23 x 3

36 = 22 x 32

Pilih pangkat terbesar23 32

Jadi, KPK dari 18, 24, dan 36 adalah

23 x 32 = 72

Metode 2

Step 1 2 18 24 36

Step 2 3 9 12 18

Step 3 2 3 4 6

Step 4 2 3 2 3

Step 5 1 2 1

(4 dan 6 dapat dibagi 2)

(3 diturunkan ke bawah)(bagi 3 dengan 3)

(2 diturunkan ke bawah)

(Stop karena karena 2 angka lainnya

tidak dapa dibagi lagi kecuali

dengan angka 1)

Jadi KPK-nya adalah 2 x 3 x 2 x 2 x 1 x 2 x 1 = 72

Pangkat Persegi (kuadrat) dan Akar Kuadrat

• Luas dari suatu persegi dengan panjang sisi 6 cm adalah

6 x 6 = 36 cm2

• Oleh karena itu, kita dapat menyebutkan bahwa 36 adalah kuadrat dari 6. Dengan singkat dapat kita tulis 62 = 36. Dan kita baca “ 6 pangkat 2 = 36 atau 6 kuadrat = 36.

cm 636

cm 636 36 cm2

• Dengan demikian, untuk mencari sisi dari persegi dengan luas = 36 cm2, kita cari nilai positif dari x, di mana 36 = x x x atau x2.

• Maka, kita sebut 6 adalah akar kuadrat dari 36. Kita tulis

2 x 2 = 22 = 4 dan = 23 x 3 = 32 = 9 dan = 34 x 4 = 42 = 16 dan = 45 x 5 = 52 = 25 dan = 56 x 6 = 62 = 36 dan = 6

4,9,16,25,36 adalah kuadrat dari whole number yang disebut perfect squares.

cm 636

36

25

16

9

4

Kubik dan akar kubik

• Volum dari suatu kubus dengan sisi 6 cm adalah 6 x 6 x 6 = 216 cm3

• Oleh karena itu, kita dapat menyebutkan bahwa 216 adalah pangkat kubik dari 6. Dengan singkat dapat kita tulis 63 = 216. Dan kita baca “ 6 pangkat 3 = 216 atau 6 kubik = 216.

cm 62163 216 cm3

cm 62163

cm 62163

• Dengan demikian, untuk mencari sisi dari persegi dengan volum = 216 cm2, kita cari nilai positif dari x, di mana 216 = x x x x x atau x3.

• Maka, kita sebut 6 adalah akar kubik dari 36. Kita tulis

2 x 2 x 2 = 23 = 8 dan = 23 x 3 x 3 = 33 = 27 dan = 34 x 4 x 4 = 43 = 64 dan = 45 x 5 x 5 = 53 = 125 dan = 56 x 6 x 6 = 63 = 216 dan = 6

8, 27, 64, 125, dan 216 adalah kuadrat dari whole number yang disebut perfect kubik.

62163

3

3

3

3

125

64

27

8

Perkiraan

• Berapakah akar kuadrat dari 48?

angka ini tidak dapat ditulis dalam bentuk a2, karena bukanlah perfect squares. Hasil dari bukan berupa whole number, tetapi desimal.

48 = 4 x 4 x 3

Maka

48

74948 ( lebih dari atau kurang dari 7?)48

48

Perkiraan

• Berapakah akar kubik dari 65?

angka ini tidak dapat ditulis dalam bentuk a3, karena bukanlah perfect kubik. Hasil dari bukan berupa whole number, tetapi desimal.

48 = 4 x 4 x 3

Maka 46465 33

( lebih dari atau kurang dari 4?)3 65

3 65