Download - Integral Matrikulasi s2

MATRIKULASIMATEMATIKA

DASARS2 TEKNIK EELEKTRO UNSYIAH

Muhammad Irhamsyah

TURUNAN & INTEGRAL

INTEGRAL DIFERENSIAL

INTEGRALIntegral = Anti Turunan Integral Tak Tentu Integral Tertentu

RUMUS INTEGRAL DASARIntegral dasar

TEKNIK PENGINTEGRALAN

Integral Pergantian Integral Parsial Integral Trigonometri Integral Subtitusi Integral Bentuk Rasional

ATURAN PANGKAT Jika r adalah sebarang bilangan rasional kecuali (-1),

maka :

Dalam notasi disebut tanda integral, sedangkan f(x) disebut integran

Cxdxx rr

r

11

1

,)( dxxf

KELINEARAN INTEGRAL TAK TENTU Andaikan f dan g mempunyai anti

turunan (integral tak tentu) dan k adalah konstanta, maka

1. k f(x) dx = k f(x) dx2. [ f(x) + g(x) ] dx = f(x) dx + g(x)

dx3. [ f(x) - g(x) ] dx = f(x) dx - g(x) dx

INTEGRAL PERGANTIAN Andaikan g suatu fungsi yang dapat

didiferensialkan dan r suatu bil rasional bukan (-1), maka :

Contoh : Carilah integral dari f(x) sbb.

Cxgdxxgxg rr

r

11

1 )]([)(')]([

dxxxx )34()3( 3304

INTEGRAL PARSIAL

Jika f dan g fungsi differensiabel, maka

Dengan mengintegralkan kedua ruas, menjadi

)(')()(')()()( xfxgxgxfxgxfdx

d

dxxfxgdxxgxfdxxgxfdx

d )(')()(')()()(

)(')()(')()()( dxxfxgdxxgxfCxgxf

INTEGRAL PARSIAL

Saat integral di ruas kanan menghasilkan konstanta lain, maka dapat dinyatakan

Rumus ini merupakan Integral Parsial.Misalkan: u = f(x) du = f (x) dx

v = g(x) dv = g(x) dx

Cdxxfxgxgxfdxxgxf )(')()()()(')(

dxxfxgxgxfdxxgxf )(')()()()(')(

INTEGRAL PARSIAL

Sehingga bentuk tersebut menjadi

Contoh: Selesaikan integral

duvuvdvu

dxex x2

INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI

a. Bentuk Untuk n dan m ganjil

Uraikan

Gunakan hubungan Substitusi u = sin x atau u = cos x

Bmndxxdxx mn ,,cosdansin

dxxxdxx

dxxxdxx

mm

nn

coscoscos

sinsinsin

1

1

1cossin 22 xx

Contoh: Selesaikan integral a. b.

Untuk n dan m genap Gunakan rumus setengah sudut, yakni

Contoh : Selesaikan

dxx5sin dxx2cos3

2

2cos1cosatau

2

2cos1sin 22 x

xx

x

dxx4cos


b. Bentuk m ganjil

uraikan Gunakan hubungan Substitusi u = sin x

n ganjil Uraikan Gunakan hubungan Substitusi u = cos x

Bmndxxx mn ,,cossin

dxxxxdxxx genapmnmn coscossincossin )1(

xx 22 sin1cos

dxxxxdxxx mgenapnmn cossinsincossin )1(

xx 22 cos1sin

BENTUK-BENTUK INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI

n dan m genap

Gunakan rumus setengah sudut

Contoh:

Selesaikan integral

2

2cos1cosatau

2

2cos1sin 22 x

xx

x

dxxx 23 cossin


Integral tertentu biasa digunakan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi kurva y=f(x) dan sumbu x, dengan batas tertentu

Sifat – sifat integral tertentu1.

2.

( ) ( )b b

aa

f x dx Fb FaF x

( ) ( )b b

a a

kf x dx k f x dx

( ) ( ) ( ) ( )b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

INTEGRAL TERTENTU

3.

4.

5.

6.

( ) ( ) ( ) ,b c c

a b a

f x dx f x dx f x dx a b c

( ) ( )b a

a b

f x dx f x dx

( ) 0a

a

f x dx

( ) ( )b b

a a

f x dx f t dt

SIFAT-SIFAT INTEGRAL TERTENTU

( )b

a

L f x dx

( )b

a

L f x dx

SIFAT-SIFAT INTEGRAL TERTENTU Luas daerah yang dibatasi kurva y=f(x) dan sumbu xDengan batas x1=a dan x2=b

SIFAT-SIFAT INTEGRAL TERTENTU

Luas Daerah Antara Dua Kurva Untuk interval [a,b] dengan f(x)>=g(x),

maka:

( ) ( )b

a

L f x g x dx

27

MENGHITUNG LUAS DAERAH a). Misalkan daerah

D

Contoh : Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva sumbu x,garis x = 0, dan x = 2.

Jawab :

)(0,|),( xfybxayxD

L f x dxa

b

( )

)(xf

a

b

,2xy

3

8

3

12

0

32

0

2 xdxxDLuas

28

b) Misalkan daerah

Contoh : Hitung luas daerah yang dibatasi oleh garis

y = x+4 dan parabola Jawab:

)()(,|),( xhyxgbxayxD

b

a

dxxgxhL ))()((

y=g(x)

y=h(x)

a b

22 xy

3

2

3

2

22 )6())2()4(( dxxxdxxxL

6

1256

2

1

3

13

2

23

xxx

D

29

c). Misalkan daerah

Contoh : Hitung luas daerah yang dibatasi oleh garis y = x–1

dan parabola

Jawab : Titik potong kurva diperoleh dari

maka

sehingga titik potong garis dan kurva itu diperoleh (-1,-2) dan

(2,1)

Gambar daerah D adalah sebagai berikut :

231 yy

)()(,|),( yhxygdycyxD

d

c

dyygyhL ))()((

h(y) g(y)

c

dD

23 yx

022 yy

.2

92

2

1

3

1

)2())1()3((

1

2

23

1

2

21

2

2

yyy

dyyydyyyL

31

MENGHITUNG VOLUME BENDA PUTAR Metoda Cakram

Jika D diputar mengelilingi sumbu x, maka

sehingga,

Contoh : Hitung volume benda putar yang terjadi , jika D

dibatasi oleh kurva

sumbu x dan garis x = 1, diputar mengelilingi sumbu x.

)(0,|),( xfybxayxD

xxfV 2))((

V f x dxa

b

( )2

xy

32

xxv 2)( .22

1

0

21

0

xdxxV

Jika diputar terhadap

sumbu y, maka

Metoda Cincin

Jika D diputar terhadap sumbu x, maka

( perhatikan gambar berikut )

)(0,|),( ypxdycyxD

dyypVd

c 2)(


b

a

dxxgxhV 22 )()(Sehingga

xxgxxhv )()( 22

34

Contoh : D daerah yang dibatasi oleh dan

volume benda putar, jika D diputar mengelilingi sumbu x.

Jawab : Daerah D digambarkan sebagai berikut :

2xy xy 82

35

Partisi D yang tegak lurus sumbu x akan berbentuk cincin, dan volumenya,

xxxV ))()8(( 222

.5

48

0

2

54)8(,Sehingga

52

2

0

4

xxdxxxV

Metoda Kulit Tabung

Jika D diputar terhadap sumbu y, maka

Sehingga,

Jika D diputar terhadap sumbu y, maka

)(0,|),( xfybxayxD

xxfxxfxxV )(2)(21

22

V x f x dxa

b

2 ( )


b

a

dxxgxhxV )()(2

Contoh : Diketahui

Jika D diputar mengelilingi garis x = 4, hitung volume benda putar yang terjadi.

Jawab :

Buat partisi sejajar sumbu putar ( garis x = 4 ), partisi tersebut

jika diputar terhadap garis x = 4 akan berbentuk kulit tabung

dengan jarak partisi ke sumbu putar (jari-jari) r= (4-x), maka

sehingga volume benda putar yg terjadi

4,20|),( 2 yxxyxD

xxxv )4)(4(2 2

.3

104)

4

12

3

416(2

)4416(2

2

0

423

2

0

32

xxxx

dxxxxV

x=4

Download - Integral Matrikulasi s2

Top Related