Download - fungsi pembangkit
BAB IIFUNGSI PEMBANGKIT
A. Deret Kuasa
Deret tak hingga yang berbentuk ∑n=0
∞
an xn
disebut deret kuasa. Bila terdapat bilangan
positif R sedemikian sehingga deret kuasa ini konvergenuntuk setiap x dengan |x|<R , maka
R disebut radius kekonvergenan. Ada kalanya suatu deret kuasa tidak konvergen untuk
semua nilai x( x≠0 )dan dikatakan deret tersebut divergen. Dalam tulisan ini, pembahasan
tidak difokuskan pada kekonvergenan deret kuasa tersebut, melainkan lebih pada koefisien-
koefisien dari xn
. Dalam hal ini, bentuk ∑n=0
∞
an xn
dipandang sebagai ekspresi formal saja.
Deret kuasa yang demikian disebut sebagai deret kuasa formal.
Dalam Kalkulus, telah dikenalbahwa deret Taylor fungsif ( x )di sekitar x = 0
mempunyai bentuk sebagai berikut.
f ( x )= ∑n=0
∞ 1n !
f (n)(0 )xn
= f (0)+ f ' (0 )x+ 1
2!f \( 0 \) x rSup { size 8{2} } + { {1} over {3!} } f ' ' ' \( 0 \) x rSup { size 8{3} } + . . . . } {¿
Dengan formula tersebut, diperoleh hasil-hasil sebagai berikut.
1. e x= ∑n=0
∞ 1n !
xn
= 1+x+ 1
2 !x2
+
13!
x3
+ ………...untuk |x| < 1
2.
11−x =
∑n=0
∞
xn
= 1+x+x2+x3+. .. .…………..untuk |x| < 1
3.
1
(1−x )2 =
∑n=1
∞
nxn−1
= 1+2 x+3 x2+4 x3+. . ..… untuk |x| < 1
4.
1
1−x2=1+x2+x4+x6+x8+.. . .
5. Teorema Binomial
Untuk setiap bilangan real u, bilangan bulat nonnegatif k, dan |x| < 1, berlaku:
17
(1+x )u=
∑k=0
∞(u ¿ )¿¿
¿¿¿, dengan
(u ¿ ) ¿¿
¿¿ =
{u(u−1 )(u−2 ). . .(u−k+1)k !
, jika k>0¿ ¿¿¿
B. Definisi Fungsi Pembangkit
Misal (an )=(a0 , a1 , a2 ,. .. . )adalah suatu barisan (fungsi numerik diskret). Fungsi
Pembangkit Biasa (FPB) dari barisan (an )didefinisikan sebagai berikut.
∑n=0
∞
an xn
= a0+a1 x+a2 x2+a3 x3+. .. . ..….……………………………...….....(2.1)
Fungsi Pembangkit Eksponensial (FPE) dari an didefinisikan sebagai berikut.
∑n=0
∞an
xn
n! = a0+a1 x+a2
x2
2!+a3
x3
3!+. ..
…………………………………….…(2.2)
Perhatikan bahwa ex= 1+x +
x2
2! +
x3
3! + …. adalah Fungsi Pembangkit Biasa (FPB)
dari barisan (1, 1,
12! ,
13! , ….) atau Fungsi Pembangkit Eksponensial (FPE) dari barisan (1, 1,
1, 1, ….)
Jika diketahui suatu barisan, maka dapat ditentukan fungsi pembangkit dari barisan
tersebut dalam bentuk sesederhana mungkin.Perhatikan contoh berikut.
Contoh 2.1
Tentukan bentuk sederhana fungsi pembangkit biasa (FPB) dari barisan-barisan berikut.
a. (0, 0,
12! ,
13! , ….)
b. (0, 2, 4, 6, …., 2n, ….)
Jawab
a. Fungsi pembangkit biasa (FPB) dari barisan yang dimaksud adalah
A(x) =
12!
x2
+
13!
x3
+ ….
= (1 + x +
12!
x2
+
13!
x3
+ ….) – x – 1
= ex−x−1
b. Fungsi pembangkit biasa (FPB) yang dimaksud adalah
18
A(x) = 2 x+4 x2+6 x3+ .. .+2 nxn+. .. .
= 2 x (1+2 x+3 x2+.. .+nxn−1+.. . . )
=
2x
(1−x )2
C. Operasi Fungsi Pembangkit
Penjumlahan, pengurangan, maupun perkalian dua fungsi pembangkit atau lebih, dapat
dilakukan dengan cara yang sama seperti halnya menjumlah, mengurangkan, ataupun
mengalikan dua polinomial atau lebih.
Misal diketahui A(x) = ∑n=0
∞
an xn
dan B(x) = ∑n=0
∞
bn xn
.
A(x) ± B(x) = ∑n=0
∞
(an±bn )xn
dan
A(x) B(x) = ∑n=0
∞(∑
k=0
n
an bn−k )xn
Apabila(an) ,(bn) ,dan(cn )adalah barisan yangmemenuhicn = ∑k=0
∞
ak bn−k, maka (cn )
disebut konvolusi dari(an)dan (bn) , yang ditulis(cn )= (an)* (bn)
Contoh 2.2Tentukan barisan(fungsi numerik) yang bersesuaian dengan fungsi pembangkit biasaberikut.
P( x )= x5+x6
1−x
Jawab
Misal P( x )= x5+x6
1−x = ( x5+x6 ) (1+x+ x2+x3+. .. )
= x5+x6+2 x7+.2 x8+. . ..
Jadi, barisan yang bersesuaian adalah (0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, ….).
Dapat juga diselesaikan dengan cara sebagai berikut.
P( x )= x5+x6
1−x = ( x5+x6 )(1−x )−1
= ∑n=0
∞
cn xn
.
19
Perhatikan bahwax5+x6adalah fungsi pembangkit biasa dari barisan (an)= (0, 0, 0, 0,
0, 1, 1, 0, 0, ….). Sedangkan (1−x )−1adalah fungsi pembangkit biasa dari barisan (bn) = (1,
1, 1, …, 1, …). Karena b i =1,untuk setiap i, maka cn = ∑k=0
n
ak bn−k=∑k=0
∞
ak. Jadi, barisan yang
bersesuaian adalah (cn ) = (0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 2, …, 2, ….).
D. Fungsi Pembangkit untuk Kombinasi
Misal terdapat tiga macam objek: a, b, dan c. Diperbolehkan memilih
sebanyak 0, 1, atau 2 objek a
sebanyak 0 atau 1 objek b, dan
sebanyak 0 atau 1 objek c.
Berapakahbanyaknya cara memilih k objek?Untuk menjawab pertanyaan ini akan
diterapkan fungsi pembangkit. Misal ak adalah banyaknya cara memilih k objek. Akan
dicoba menghitung fungsi pembangkit biasa A(x) = ∑k=0
∞
ak xk
. Karena objek a dapat dipilih 0,
1, atau 2 kali; dan objek b dapat dipilih 0 atau 1 kali; dan objek c dapat dipilih 0 atau 1 kali,
maka ekspresi yang digunakan adalah:
[ (ax )0+(ax )1+( ax )2 ][ (bx )0+(bx )1 ][ (cx )0+(cx )1 ]……….……..…………... (2.3)
Perhatikan bahwa(ax )1mengindikasikan objek a terpilih satu kali; (ax )2
mengindikasikan objek a terpilih dua kali; demikian pula (bx )0mengindikasikan objek b
tidak terpilih, dan seterusnya. Selanjutnya, ekspresi (2.3) dapat disederhanakan menjadi
sebagai berikut.
(1+ax+a2 x2 )(1+bx )(1+cx )atau
1+( a+b+c )x+(ab+bc+ac+a2) x2+(abc+a2b+a2 c )x3+a2bcx 4
……...…. (2.4)
Perhatikan bahwa koefisien x3
dalam (2.4) memberikan semua kemungkinan memilih
3 objek (dengan syarat yang diperbolehkan), yaitu: a, b, dan c; atau a, a, dan b; atau a, a,
dan c. Demikian pula koefisien dari x2
memberikan semua kemungkinan memilih dua objek
yaitu: a dan b; atau b dan c; atau a dan c; atau a dan a. Hal yang sama berlaku untuk
koefisien-koefisien lainnya. Jika a, b, dan c (dalam (2.4) masing-masing disubtitusi dengan 1,
diperoleh ekspresi 1+3 x+4 x2+3 x3+x 4. Jelaslah bahwa koefisien x
k dalam ekspresi ini
20
menyatakan banyaknya cara memilih k objek )( ka dengan syarat yang diperbolehkan.
Misalnya terdapat 4 cara memilih 2 objek; terdapat 3 cara memilih 1 objek; dan hanya satu
cara memilih 4 objek. Perhatikan bahwa ka = 0, untuk k > 4. Selanjutnya ekspresi
A(x) = 1+3 x+4 x2+3 x3+x 4
= (1+x+ x2)(1+x )(1+x )
disebut fungsi pembangkit dari permasalahan menentukan banyaknya cara memilih k objek
dari 3 macam objek, dengan syarat objek pertama (objek a) paling banyak dapat dipilih 2
kali; objek kedua (objek b) paling banyak dapat dipilih 1 kali; dan objek ketiga (objek c)
paling banyak dapat dipilih 1 kali.
Secara umum diperoleh teorema sebagai berikut.
Contoh2.3
Tentukan fungsi pembangkit untuk banyaknya cara memilih r objek dari n objek jika tidak
diperbolehkan terdapat pengulangan.
Jawab
Terdapat n objek. Karena tidak boleh terdapat pengulangan, maka tiap objek hanya dapat
dipilih 0 atau 1 kali. Sehingga fungsi pembangkit yang dimaksud adalah sebagai berikut.
A(x) = (1 + x)(1 + x) (1 + x) ..... (1 + x) …….(sebanyak n faktor)
= (1+x )n=
∑r=0
n(n¿ )¿¿
¿¿¿ …………………....(Teorema binomial)
Perhatikan bahwa koefisien xrdalam A(x), yaitu
(n ¿ ) ¿¿
¿¿, menyatakan banyaknya cara
memilih r objek dari n objek yang ada jika tidak diperbolehkan terdapat pengulangan.
Misal terdapat p tipe objek; dan terdapat n1 objek tipe 1, n2 objek tipe 2, …, n p objek
tipe p. Misalak menyatakan banyaknya cara mengambil k objek dengan syarat
diperbolehkan mengambil sembarang banyak objek tiap tipe. Fungsi pembangkit
untuk ak adalah A(x) = ∑k=0
∞
ak xk
,dengan
A(x) = (1+x+ x2+.. .+xn1)(1+x+x2+. ..+x
n2). . .(1+x+x2+. . .+ xnp)
Bilangan ak diberikan oleh koefisien xk
dalam A(x).
21
Contoh2.4
Tentukan banyaknya cara memilih r objek dari n objek yang diketahui jikaboleh terdapat
pengulangan
Jawab
Misal t r menyatakan banyak cara memilih r objek. Karena ada n macam objek dan tiap objek
dapat dipilih berulang (tanpa batas), maka fungsi pembangkit untuk t r adalah:
A(x) = (1+x+ x2+.. . .)(1+x+ x2+.. . .)(1+x+ x2+.. .) ……………… (n faktor)
= (1+x+ x2+.. .)n
Karena untuk |x|<1 ,
11−x = 1+x+x2+. .. . , maka
A(x) = ( 11−x )
n
= (1−x )−n
= ∑r=0
∞(−n ¿ ) ¿¿
¿¿¿
Untuk r > 0, koefisien xr
dalam A(x) adalah
(−n ¿ ) ¿¿
¿¿=
(−n )(−n−1) .. .(−n−r+1)r !
(−1 )r
=
(−1)r [n(n+1 )(n+2) .. .(n+r−1) ]r !
(−1 )r
=
n(n+1 ). ..( n+r−1 )r !
=
(n+r−1)(n+r−2 ). ..( n+1)nr !
=
(n+r−1)(n+r−2 ). ..( n+1)n(n−1) !r !( n−1 )!
=
(n+r−1)!r !(n−1)!
=
(n+r−1 ¿ )¿¿
¿¿
22
Untuk r = 0, koefisien dari xrdalam A(x) adalah
(−n ¿ ) ¿¿
¿¿(−1 )0 =
(n+0−1 ¿ ) ¿¿
¿¿. Sehingga, untuk r
≥ 0, berlaku
(−n ¿ ) ¿¿
¿¿(−1)r
=
(n+r−1 ¿ )¿¿
¿¿. Dengan demikian, jelaslah bahwa
Jadi, banyaknya cara memilih r objek dari n objek jika pengulangan diperbolehkan
samadengan koefisien xrdalam A(x), yaitu
(n+r−1 ¿ )¿¿
¿¿.
Sebelum membicarakan contoh selanjutnya, perlu diingat bahwa untuk x 1 dan n
bilangan cacah berlaku identitas sebagai berikut.
Contoh 2.5
Tentukan banyaknya caramemilih k huruf dari huruf-huruf pembentuk kata SURABAYA
sedemikian sehingga setiap konsonan terpilih paling sedikit satu dan setiap vokal terpilih
paling banyak 10.
Jawab
Perhatikan bahwa kata SURABAYA terdapat 6 huruf yang berbeda: yaitu:
Konsonan: S, R, B, Y
Vokal : U dan A.
Karena setiap konsonan terpilih paling sedikit satu, maka setiap konsonan tersebut
berasosiasi dengan faktor ( x+ x2+x3+x4+x5+. .. )dalam fungsi pembangkit. Selanjutnya,
karena setiap vokal dapat dipilih sebanyak-banyaknya 10, maka setiap vokal tersebut
berasosiasi dengan sebuah faktor (1+x+ x2+.. .+x10) . Dengan demikian, fungsi pembangkit
dari permasalahan di atas adalah:
A(x) =( x+ x2+x3+x4+x5+. .. )4 (1+x+x2+.. .+x10)2
= ( 1
1−x−1)
4 ( 1−x11
1−x )2
= x4 (1−x11 )2 (1−x )−6
= ( x4−2 x15+x26 )(1−x )−6
(1−x )−n =
∑r=0
∞(n+r−1¿ ) ¿¿
¿¿¿
1−xn+1
1−x = 1+x+x2+x3 .. . .+ xn
23
= ( x4−2 x15+x26 )∑r=0
∞(6+r−1¿ )¿¿
¿¿¿
= ∑r=0
∞(6+r−1¿ )¿¿
¿¿¿
Banyaknya cara yang dimaksud samadengan koefisien xk
dalam A(x) , yaitu
=
{0 ; jika k<4 ¿¿¿
¿¿Dari contoh-contoh di atas, kita lihat bahwa fungsi pembangkit tidak tergantung dari
banyaknya objek yang diambil. Fungsi pembangkit biasa dapat digunakan untuk
memecahkan masalah pendistribusian (penempatan) objek-objek yang identik ke dalam sel-
sel (kotak-kotak) yang berbeda.
Contoh2.6
Tentukan banyaknya cara menempatkan 60 objek yang identik ke dalam 4 sel (kotak) yang
berbeda sedemikian sehingga setiap kotak mendapat paling sedikit 1 objek.
Jawab
Karena terdapat 4 kotak dan tiap kotak terdapat paling sedikit satu objek, maka fungsi
pembangkit untuk permasalahan ini adalah:
A(x)=( x+ x2+x3+. .. )4
= x4 (1+x+ x2+.. .)4
= x4 ( 1
1−x )4
= x4∑r=0
∞(4+r−1 ¿ ) ¿¿
¿¿¿= ∑r=0
∞(3+r ¿ ) ¿¿
¿¿¿ =
∑r=4
∞(r−1¿ )¿¿
¿¿¿
Jadi, banyaknya cara menempatkan 60 objek yang identik ke dalam 4 kotak yang
berbeda sedemikian hingga tiap kotak mendapat paling sedikit satu objek samadengan
koefisien x60
dalam A(x), yaitu
(56+3 ¿ ) ¿¿
¿¿ =
(59 ¿ ) ¿¿
¿¿ = 32.509.
24
Fungsi Pembangkit Biasa (FPB) juga dapat digunakan untuk menentukan banyaknya
penyelesaian (solusi) bulat dari suatu persamaan linier dengan beberapa peubah.
Contoh2.7
Tentukan banyaknya solusi bulat dari persamaan berikut.
x1+x2+x3+ x4+x5=100 , x i≥0 , i {1, 2, 3, 4, 5}
Jawab
Perhatikan bahwa (0, 0, 0, 25, 75), (0, 5, 20, 5, 70), dan (2, 3, 7, 28, 60) masing-masing
adalah solusi bulat dari persamaan tersebut.Karena dalam persamaan itu terdapat 5 peubah,
maka fungsi pembangkit dari permasalahan itu memuat 5 faktor. Selanjutnya, karena setiap
peubahx i 0, maka setiap faktor dari kelima faktor dalam fungsi pembangkit tersebut adalah
(1+x+ x2+x3+. .. .) . Sehingga fungsi pembangkit dari permasalahan di atas adalah
A(x) = (1+x+ x2+x3+. .. .)5
= ( 1
1−x )5
= ∑r=0
∞(5+r−1 ¿ ) ¿¿
¿¿¿
Banyaknya solusi bulat yang dimaksud samadengan koefisien x100
dalam A(x), yaitu
(5+100−1¿ )¿¿
¿¿
E. Fungsi Pembangkit untuk Permutasi
Fungsi pembangkit biasa memberikan pendekatan yang mudah dan sistematis untuk
memecahkan masalah-masalah umum yang melibatkan “pengambilan” atau pendistribusian
objek-objek yang identik ke dalam sel-sel (tempat-tempat) yang berbeda. Pada bagian ini
akan diterapkan teknik serupa untuk memecahkan masalah-masalah umum yang melibatkan
“penjajaran” (arrangement) atau pendistribusian objek-objek berbeda ke dalam sel-sel
(tempat-tempat) yang berbeda. Untuk maksud tersebut, diperlukan teoremaberikut ini.
Teorema 1
Jika terdapat k 1objek tipe satu,k 2objek tipe dua, … dan k nobjek tipe n, maka banyaknya
cara “menjajar” objek-objek ini adalah
25
(∑i=1
n
k i)!k1 !k 2 ! .. .kn !
Bukti
Jika semua objek berbeda, maka akan terdapat (∑
i=1
n
k i)! jajaran. Tetapi objek-objek ini tidak
semuanya berbeda, sehingga bilangan ini terlalu besar. Pikirkan sebuah jajaran dari ∑i=1
n
k i
objek yang berbeda. Jika digantik iobjek tipe i yang berbeda dengan k i objek yang identik,
maka k i ! jajaran akan sama. Karena 1≤i≤n , bilangan total penjajaran harus dibagi dengan
k 1! k2 ! . .. k n ! .Misalnya, banyaknya cara “menjajar” (banyaknya permutasi) dari unsur-unsur
{a, a, a, b, b} adalah
5!3! 2! = 10; yaitu: aaabb, aabab, abaab, baaab, babaa, bbaaa, aabba,
abbaa, ababa, baaba.
Selanjutnya akan ditinjau permasalahan berikut.Sebuah kata sandi dibentuk dari tiga
huruf yang berbeda, yaitu a, b, dan c. Barisan yang terdiri dari lima atau kurang huruf-huruf
membentuk sebuah “kata sandi”. Kata sandi yang dibentuk terdiri dari paling banyak satu b,
paling banyak satu c, dan sampai tiga a. Ada berapa kata sandi dengan panjang k yang dapat
dibentuk?
Dalam hal ini yang dimaksud dengan panjang suatu kata sandi adalah banyaknya huruf
dalam kata sandi tersebut. Perhatikan bahwa “urutan” huruf-huruf dalam kata sandi
diperhatikan.Sehingga kita lebih tertarik dengan perhitungan permutasi daripada kombinasi,
banyaknya cara untuk mendapatkan k huruf bila diperkenankan mengambil paling banyak
satu b, paling banyak satu c, dan paling banyak tiga a. Untuk itu, fungsi pembangkit dari
permasalahan menentukan banyak cara memilih k huruf (dengan syarat yang ditentukan)
adalah:
(1+ax+a2 x2+a3 x3 )(1+bx )(1+cx ) atau
1+( a+b+c )x+(a2+ab+ac+bc ) x2+(a3+abc+a2b+a2 c )x3
+
(a2 bc+a3b+a3 c )x4+a3bcx5
……………………………………....….. (2.5)
Koefisienxkdalam persamaan (2.5) menginformasikan semua cara yang mungkin untuk
mendapatkan k huruf. Misalnya 4 huruf dapat diperoleh sebagai berikut.
26
a, a, b, dan c
a, a, a, dan b;
atau
a, a, a, dan c.
Menurut Teorema 1, bila dipilih a, a, b, dan c, maka akan terdapat
4 !2! 1 ! 1 ! = 12 permutasi
yang bersesuaian, yaitu:
aabc, aacb, abac, abca, acba, bcaa, baac, baca, cbaa, caab, caba. …….
Bila dipilih a, a, a, dan b; maka terdapat
4 !3! 1! = 4 permutasi yang bersesuaian, yaitu
aaab, aaba, abaa, dan baaa
Perhatikan bahwa untuk a, a, a, dan c; terdapat
4 !3! 1! = 4 permutasi yang bersesuaian, yaitu:
aaac, aaca, acaa, dan caaa
Dengan demikian banyak cara untuk mendapatkan kata sandi dengan panjang 4 diberikan
oleh:
4 !2! 1 ! 1 ! a2bc +
4 !3! 1! a3b +
4 !3! 1! a3c ……………….………………….(2.6)
Untuk a = b = c = 1, akan memberikan perhitungan yang tepat untuk menentukan
banyak kata sandi dengan panjang 4.
Sebenarnya untuk mendapatkan (2.6) dan koefisien-koefisien yang lain,
dapatdigunakan
(ak )k
k ! sebagai ganti dari (ak )kuntuk memperoleh fungsi pembangkit dari
permasalahan menentukan banyaknya kata sandi dengan panjang k yang dapat dibentuk.
Dengan demikian fungsi pembangkitnya menjadi
[1+ ax1!
+ a2 x2
2 !+ a3 x3
3 ! ][1+ bx1 ! ] [1+ ax
1 ! ],yang sama dengan
1 +( a
1!+ b
1 !+ c
1 ! ) x +
( a2
2!+ ab
1 ! 1!+ ac
1 ! 1!+ bc
1 ! 1! ) x2
+ ( a3
3 !+ abc
1 ! 1 ! 1!+ a2b
2 ! 1!+ a2 c
2 ! 1 ! ) x3
+
( a2 bc2! 1! 1 !
+ a3 b3! 1!
+ a3 c3 ! 1! ) x4
+
a3 bc3! 1! 1 !
x 5
…………………………………….….... (2.7)
Ternyata skema ini belum merupakan skema yang memuaskan, karena koefisien x4
dalam (2.7) belum identik dengan koefisien x4
dalam (2.6). Akan tetapi skema ini sesuai,
27
bila hal ini dipikirkan sebagai Fungsi Pembangkit Eksponensial (FPE) dengan
memperhatikan koefisien dari
xk
k ! . Perhatikan bahwa ekspresi (2.7) sama dengan
1+1 !( a
1!+ b
1 !+ c
1 ! ) x1! +
2 !( a2
2 !+ ab
1 ! 1 !+ ac
1 ! 1 !+ bc
1 ! 1 ! ) x2
2 ! +3!( a3
3 !+ abc
1 ! 1 ! 1!+ a2b
2 ! 1!+ a2 c
2 ! 1 ! ) x3
3 ! +4!
( a2 bc2! 1! 1 !
+ a3 b3! 1!
+ a3 c3 ! 1! ) x4
4 ! + 5 !( a3 bc
3 ! 1 ! 1! ) x5
5 ! ………..………………………...… (2.8)
Terlihat bahwa koefisien x4
dalam (2.6) samadengan koefisien
x4
4 ! dalam (2.8). Jika a,
b, dan c dalam (2.8) masing-masing disubtitusikan dengan 1 diperoleh fungsi pembangkit
dari permasalahan di atas, sebagai berikut.
1+1 !( 1
1!+ 1
1 !+ 1
1 !) x1! +
( 2!2!
+ 2 !1 ! 1!
+ 2 !1 ! 1!
+ 2 !1 ! 1! ) x2
2 ! +( 3 !
3 !+ 3 !
1 ! 1 ! 1!+ 3 !
2 ! 1!+ 3 !
2 ! 1 !) x3
3 ! +
( 4 !2! 1! 1 !
+ 4 !3! 1!
+ 4 !3 ! 1! ) x4
4 ! + ( 5!
3 ! 1! 1! ) x5
5 ! ………..………..…………………...… (2.9)
= (1 +
x1!
+ x2
2!+ x3
3 !)(1+ x
1!)(1+ x
1 !)
Koefisien
xk
k ! dalam fungsi pembangkit ini menyatakan banyaknya kata sandi dengan
panjang k yang dapat dibentuk dengan aturan yang telah ditetapkan. Misalnya, terdapat
( 4 !2! 1! 1 !
+ 4 !3! 1!
+ 4 !3 ! 1! ) = 20 kata sandi dengan panjang 4, terdapat
( 3 !3 !
+ 3 !1 ! 1 ! 1!
+ 3 !2 ! 1!
+ 3 !2 ! 1 !) =
13 kata sandi dengan panjang 3, dan seterusnya.
Sebagai perluasan dari uraian di atas, diperoleh teorema berikut ini.
Teorema 2
Misal terdapat p macam (tipe) objek dengan ni objek tipe i untuk 1 i p. Banyaknya
permutasi dengan panjang k dengan paling banyak ni objek tipe i samadengan koefisien
xk
k ! dalam fungsi pembangkit eksponensial berikut.
P(x) = (1+x+ x2
2!+. ..+ xn
n1 ! )(1+x+ x2
2!+. ..+ xn
n2 ! )…
(1+x+ x2
2!+. ..+ xn
np ! )28
Proporsi berikut, penting dalam pemecahan permasalahan yang melibatkan fungsi
pembangkit eksponensial
Teorema3
1.(1+x+ x2
2!+ x3
3 !+ .. ..)n
= 1 + nx +
n2 x2
2 ! +
n3 x 33 ! + ….
2.
ex+e−x
2 = 1 +
x2
2! +
x4
4 ! +
x6
6 ! +….
3.
ex−e−x
2 = x +
x3
3! +
x5
5! +
x7
7 ! +….
Definisi
Barisan kuartener adalah barisan yang suku-sukunya hanya menggunakan angka-angka 0, 1,
2, 3. Barisan kuartener r-angka adalah barisan kuartener dengan panjang r. Misalnya 1200323
atau 3101121 adalah barisan kuartener 7-angka. Barisan binair adalah barisan yang suku-
sukunya hanya menggunakan angka 0 atau 1. Barisan binair r-angka adalah barisan binair
dengan panjang r. Misalnya, 101001 atau 100111 adalah barisan binair 6-angka.
Contoh2.8
a. Berapakah banyaknya barisan kuartener r-angka yang memuat paling sedikit: satu 1, satu
2, dan satu 3?
b. Berapakah banyaknya barisan binair r-angka yang memuat 0 sebanyak banyak bilangan
genap dan 1 sebanyak genap.
Jawab
a. Terdapat 4 angka yang berbeda, yaitu 0, 1, 2, dan 3. Angka 0 bisa muncul 0 kali, 1 kali, 2
kali, dan seterusnya; sedangkan untuk setiap angka 1, 2, atau 3 dapat muncul paling
sedikit sekali dan urutan angka dalam suatu barisan diperhatikan, maka untuk menjawab
permasalahan di atas kita gunakan fungsi pembangkit eksponensial (FPE) sebagai
berikut.
P(x) = (1+x+ x2
2!+ x3
3 !+ .. ..)(x+ x2
2+ x3
3 !+.. . .)3
= ex ( ex−1 )3 = e
x ( e3 x−3 e2 x+3 e x−1 )
= e4 x−3e3 x+3 e2 x−ex
29
= ∑r=0
∞ (4 x )r
r !−3∑
r=0
∞ (3 x )r
r !+3∑
r=0
∞(2x )r−∑
r=0
∞ xr
r !
Banyaknya barisan yang dimaksud samadengan koefisien dari
xr
r ! dalam P(x), yaitu
4r−3 . 3r+3 .2r−1 atau 4r−3r+1+3 . 2r−1 .
b. Dalam hal ini ada dua angka yang berbeda yaitu 0 dan 1. Karena 0 dan 1 muncul
sebanyak bilangan genap untuk setiap barisan, maka fungsi pembangkit dari persoalan
tersebut adalah;
P(x) = (1+ x2
2+ x4
4 !+ x6
6 !+. . ..)2
= ( ex+e−x
2 )2
=
e2 x+e−2 x+24
=
12 ( e2 x+e−2 x
2 )+12
=
12 (1 +
(2 x )2
2 ! +
(2 x )4
4 ! +
(2 x )6
6 ! +….)+
12
= 1+2
x2
2 !+23 x4
4 !+25 x6
6 !+. .. .
Banyaknya barisan yang dimaksud samadengan koefisien
xr
r ! dalam P(x), yaitu
{0 , bila r ganjil ¿ {1 , bila r=0 ¿ ¿¿¿Fungsi Pembangkit Eksponensial ((FPE) dapat digunakan untuk memecahkan masalah
pendistribusian objek-objek yang berbeda ke dalam sel-sel (tempat-tempat) yang berbeda.
Contoh2.9
Tentukan banyaknya cara menempatkan n orang ke dalam 100 kamar sedemikian sehingga
setiap kamar berisi paling sedikit satu dan paling banyak dua orang .
30
Jawab
Masalah ini akan diselesaikan dengan menggunakan Fungsi Pembangkit Eksponensial.
Fungsi pembangkit yang bersesuaian dengan masalah di atas adalah sebagai berikut.
Misal P(x) = (x+ x2
2! )100
= x100(1+ x
2 )100
= x100
∑t=0
100(100¿ )¿¿
¿¿¿
= ∑t=0
100(100¿ )¿¿
¿¿¿
= ∑t=0
100(100¿ )¿¿
¿¿¿
= ∑
n=100
200( 100 ¿ )¿¿
¿¿¿
Banyaknya cara yang dimaksud adalah koefisien
xn
n ! , yaitu
( 100 ¿ )¿¿
¿¿atau
( 100 ¿ )¿¿
¿¿
Latihan Soal
31
1. TentukanFungsi Pembangkit Biasa (FPB) dalam bentuk paling sederhana dari masing-
masing fungsi numerik berikut ini.
a. (1 , −2 , 3 , −4 , 5 , −6 , .. .. ) e. (0 x 50 , 1 x51 , 2 x52 , . . ., rx 5r , .. . . )
b.(1 ,
23
,39
,4
27, .. . ,
(r+1 )3r
, .. ..)f.
(0 , 0 , 0 , 0 ,12
, 1 ,32
, 2 ,52
, 3 , . . ..)c. (1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, ….) g. (0, 1, 0, 1, 0, 1, ….)
d. (0 x1 , 1 x 2 , 2 x 3 , 3x 4 ,. .. .) h. (0, 1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, ….)
2. Tentukan Fungsi Pembangkit Biasa dari fungsi numerik (ar ) dengan ar didefinisikan
sebagai berikut.
a. ar=¿ {2r ; jika r genap ¿ ¿¿¿
b.ar=3 r−4
3. Tentukan Fungsi Pembangkit Eksponensial dari fungsi numerik berikut ini.
a. (3, 3, 3, 3, ….)d. an=3n
b. (0, 1, 0, 1, 0, 1, ….)
e. an=
n+1n !
4. Tentukan barisan (fungsi numerik) yang bersesuaian dengan Fungsi Pembangkit
Eksponensial berikut.
a. A( x )=5+5 x+5 x2+5 x3+ .. ..
b.A( x )= 1
1−4 x
c. A( x )=ex+e4 x
5. Tentukan barisan (fungsi numerik) yang bersesuaian dengan fungsi-fungsi pembangkit
biasa berikut ini.
a. A(x) =
1
1−x3A(x) = 1 +
11−x
b. A(x) =
1
x2−6 x+5 A(x) =
c. A(x) =
7 x2
(1−2 x )(1+3 x ) A(x) =
11−3 x
+ 4 x3
1−x
d. A(x) =
1+x2
4−4 x−x2P(x) =
1+ x+x2−x3
1−x
32
6. Tentukan banyaknya cara mengambil 100 huruf dari huruf-huruf pembentuk kata
KOMBINATORIK sedemikian hingga setiap konsonan terpilih paling banyak 20.
7. Tentukan banyaknya solusi bulat dari persamaan berikut.
x1+x 2+x3+x4=80 , 1≤x i≤30 , ∀ i ∈ {1,2,3,4}
8. Tentukan banyaknya barisan ternair n-angka yang memuat angka “0” sebanyak ganjil dan
angka “1” sebanyak genap.
9. Tentukan banyaknya barisan biner n-angka yang memuat angka “1” paling sedikit dua.
10. Tentukan banyaknya barisan ternair n-angka yang memuat angka “0”, “1”, dan “2”
masing-masing sebanyak ganjil
33