Download - Fungsi bessel

Transcript
Page 1: Fungsi bessel

FUNGSI BESSEL

DISUSUN OLEH KELOMPOK III

Nama Anggota : Desrianah 2007.121.246 Titin Yuniarti 2007.121.254 Okta Herlaiza 2007.121.2 Septia Julita 2007.121.278 Dessy Adetia 2007.121.440 Esca Oktarina 2007.121.459 Semester : 6L Program Studi : Pendidikan Matematika Mata Kuliah : Matematika Lanjutan

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS PGRI PALEMBANG

2009/2010

Page 2: Fungsi bessel

FUNGSI BESSEL

PERSAMAAN DIFERENSIAL BESSEL

Fungsi Bessel dibangun sebagai penyelesaian persamaan diferensial.

( ) 0''' 222 =−++ ynxxyyx , 0≥n (1)

yang dinamakan persamaan diferensial Bessel. Penyelesaian umum (1) diberikan

oleh

)()( 21 xYcxJcy nn += (2)

Penyelesaian )(xJ n , yang mempunyai limit berhingga untuk x mendekati nol

dinamakan fungsi Bessel jenis pertama dan berorde n. penyelesaian )(xYn

yang tak mempunyai limit berhingga [yaitu tak terbatas] untuk x mendekati

nol dinamakan fungsi Bessel jenis keduan dan berorde-n atau fungsi

Neumann.

Jika peubah bebas x pada (1) diganti xλ di mana λ suatu konstanta,

persamaan yang dihasilkan adalah

( ) 0''' 2222 =−++ ynxxyyx λ (3)

Yang mempunyai penyelesaian umum )()( 21 xYcxJcy nn λλ += (4)

FUNGSI BESSEL JENIS PERTAMA

Didefinisikan fungsi Bessel jenis pertama berorde n sebagai

( ) ( ) ( )( )

−++⋅

++

−+Γ

= ...422242222

112

)(42

nn

x

n

x

n

xxJ

n

n

n (5)

Atau ( )

( )∑∞

=

+

++Γ

−=

0

2

1!2

1)(

r

rnr

n rnr

x

xJ (6)

Di mana ( )1+Γ n adalah fungsi gamma [Bab 9]. Jika n bilanngan bulat positif,

( ) !1 nn =+Γ , ( ) 11 =Γ . Untuk n = 0, (6) maka

Page 3: Fungsi bessel

...642422

1)(222

6

22

4

2

2

0 +−+−= xxxxJ (7)

Deret (6) konvergen untuk setiap x. Grafik )(0 xJ dan )(1 xJ ditunjukkan pada

Gambar 10-1.

Jika n setengah atau bilangan ganjil positif, )(xJ n dapat dinyatakan dalam

suku-suku sinus dan cosinus. Lihat Soal 10.4 dan 10.7.

Sebuah fungsi )(xJ n− , n > 0 dapat didefinisikan dengan mengganti n oleh –n

pada (5) atau (6). Jika n suatu bilangan bulat, maka kita dapat menunjukkan

bahwa [lihat Soal 10.3]

( ) )(1)( xJxJ nn

n −=− (8)

Jika n bukan suatu bilangan bulat, maka )(xJ n dan )(xJ n− bebas linear, dan

untuk kasus ini penyelesaian umum (1) adalah

)()( xJBxAJy nn

n −+= , ,...3,2,1,0≠n (9)

FUNGSI BESSEL JENIS KEDUA

Kita akan mendefinisikan fungsi Bessel jenis kedua berorde n sebagai

( )

( ) ( )

( ) ( )

=−

→ ππ

ππ

p

xJpxJn

xJnxJ

xYpp

nn

n

np sin

cossin

cos

lim

,...3,2,1,0

,...3,2,1,0

=

n

n

(10)

Untuk kasus di mana n =0,1,2,3,… diperoleh uraian deret berikut untuk ( )xYn .

( ) ( ) ( )nkn

knn

xknxJ

xxY

−−

=

−−−

+

= ∑21

0 2!1

12

ln2

πγ

π

( ) ( ) ( ){ } ( )!!211

1

2

1

0 knk

x

kk

nk

n

k

k

+

+Φ+Φ−−

+

=∑π

(11)

Di mana ...5772156,0=γ adalah konstanta Euler dan

( )p

p1

...3

1

2

11 ++++=Φ , ( ) 00 =Φ (12)

Page 4: Fungsi bessel

FUNGSI PEMBANGKIT UNTUK ( )xJn

(GENERATING FUNCTION)

Fungsi ( )∑∞

−∞=

−=

n

nn

tt

x

txJe1

2 (13)

dinamakan fungsi pembangkit untuk fungsi Bessel jenis pertama berorde

bulat, yang sangat banyak gunanya dalam memperoleh sifat-sifat fungsi ini

untuk nilai n bulat dan kemudian seringkali dapat dibuktikan berlaku untuk

semua n.

RUMUS-RUMUS PENGULANGAN (RECURRENCE FORMULA)

Hasil berikut ini berlaku untuk setiap nilai n.

1. ( ) ( ) ( )xJxJx

nxJ nnn 11

2−+ −=

2. ( ) ( ) ( )[ ]xJxJxJ nnn 112

1' +− −=

3. ( ) ( ) ( )xxJxnJxxJ nnn 1' +−=

4. ( ) ( ) ( )xnJxxJxxJ nnn −= −1'

5. ( )[ ] ( )xJxxJxdx

dn

nn

n1−=

6. ( )[ ] ( )xJxxJxdx

dn

nn

n1+

−− −=

Jika n adalah suatu bilangan bulat rumus tersebut dapat dibuktikan dengan

fungsi pembangkit. Perhatikan bahwa hasil 3 dan 4 berturut-turut setara

dengan 5 dan 6.

Fungsi ( )xYn memenuhi hasil yang sama seperti di atas, di mana ( )xYn

menggantikan ( )xJ n .

FUNGSI-FUNGSI YANG BERHUBUNGAN DENGAN FUNGSI BESSEL

1.Fungsi Hankel Jenis Pertama dan Kedua, yang berturut-turut

didefinisikan oleh

Page 5: Fungsi bessel

( )( ) ( ) ( )xiYxJxH nnn +=1 , ( ) ( ) ( ) ( )xiYxJxH nnn +=2

2.Fungsi Bessel yang Dimodifikasi. Fungsi Bessel yang dimodifikasi jenis

pertama berorde n didiefinisikan oleh

( ) ( ) ( )ixJixJixI nnn

n

in

e 2π

== − (14)

Jika n bilangan bulat, ( ) ( )xIxI nn =− (15)

Tetapi jika n bukan bilangan bulat, ( )xIn dan ( )xI n− bebas linear.

Fungsi Bessel yang dimodifikasi jenis kedua berorde n didefinisikan oleh

( )

( ) ( )

( ) ( )

=−

→ ππ

ππ

p

xIxI

n

xIxI

xKpp

nn

n

np sin2

sin2

lim

,...3,2,1,0

,...3,2,1,0

=

n

n

(16)

Fungsi ini memenuhi persamaan diferensial

( ) 0'" 222 =+−+ ynxxyyx (17)

dan penyelesaian umum persamaan ini adalah

( ) ( )xKcxIcy nn 21 += (18)

atau jika ,...3,2,1,0≠n ( ) ( )xBIxAIy nn −+= (19)

3.Fungsi Ber, Bei, Ker, Kei. Fungsi ( )xBern dan ( )xBein adalah bagian riil

dan imajiner dari

xiJ n

23

di mana ( )ieii

== 1

2

24

3

2

3 π

, yaitu

( ) ( )xiBeixBerxiJ nnn +=

23

(20)

Fungsi ( )xKern dan ( )xKein adalah bagian riil dan imajiner dari

xiKe n

in

21

di mana ( )ieii

+

== 1

2

2421 π

, yaitu

Page 6: Fungsi bessel

( ) ( )xnxnn

in

iKeiKerxiKe +=

−2

1

2

π

(21)

Fungsi-fungsi ini berguna sehubungan dengan persamaan

( ) 0'" 222 =+−+ ynixxyyx (22)

yang membangun teknik kelistrikan dan lapangan lainnya. Penyelesaian

umum dari persamaan ini adalah

+

= xiKcxiJcy nn

21

223

1 (23)

PERSAMAAN-PERSAMAAN YANG DITRANSFORMASIKAN KE DALAM

PERSAMAAN BESSEL

Persamaan

( ) ( ) 0'12" 2222 =+−++ yxxykyx r βα (24)

di mana k, α , r, β konstanta mempunyai penyelesaian umum

+

= −

r

r

k

r

r

kk

r

xYc

r

xJcxy

αα21 (25)

di mana 22 β−= kK . Jika 0=α , persamaannya dapat diselesaikan

sebagai persamaan Euler atau Cauchy [lihat halaman 83]

RUMUS ASIMTOTIK UNTUK FUNGSI BESSEL

Untuk nilai x besar kita mempunyai rumus asimtotik berikut ini

( )xJ n ~

−−24

cos2 ππ

πn

xx

, ( )xYn ~

−−24

sin2 ππ

πn

xx

(26)

NILAI NOL FUNGSI BESSEL

Kita dapat menunjukkan bahwa jika n suatu bilangan riil, ( ) 0=xJ n

mempunyai tak berhingga banyaknya akar yang semuanya riil. Perbedaan di

antara akar-akar yang berurutan mendekati π jika nilai akarnya membesar.

Page 7: Fungsi bessel

Ini dapat dilihat dari (26). Kita dapat juga menunjukkan bahwa akar-akar

( ) 0=xJ n terletak di antara ( ) 01 =− xJ n dan ( ) 01 =+ xJ n . Catatan serupa dapat

juga dibuat untuk ( )xYn .

KETEGAK-LURUSAN (ORTHOGONALITY) FUNGSI BESSEL

Jika λ dan µ dua konstanta berbeda, kita dapat menunjukkan [lihat Soal

10.21] bahwa

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22

1

0

''

µλλµλµλµµλ

−−=∫ nnnn

nn

JJJJdxxJxxJ (27)

sedangkan [lihat Soal 10.22]

( ) ( ) ( )

−+=∫ λ

λλλ 2

2

221

0

2 1'2

1nnn

Jn

JdxxxJ (28)

Dari (27) kita lihat bahwa λ dan µ adalah dua akar berbeda dari persamaan

( ) ( ) 0' =+ xSxJxRJ nn (29)

di mana R dan S konstanta, maka

( ) ( ) 01

0=∫ dxxJxxJ nn µλ (30)

yang menyatakan bahwa fungsi ( )xJx n λ dan ( )xJx n µ tegaklurus pada

(0,1). Perhatikanlah bahwa sebagai kasus khusus (29) kita melihat bahwa λ

dan µ dapat merupakan dua akar berbeda dari ( ) 0=xJ n atau ( ) 0' =xJ n .

Kita dapat juga mengatakan bahwa fungsi-fungsi ( )xJ n λ , ( )xJ n µ tegaklurus

terhadap fungsi kepadatan x.

DERET FUNGSI-FUNGSI BESSEL

Seperti pada kasus Deret Fourier, kita dapat menunjukkan bahwa jika f(x)

memenuhi syarat Dirichlet [di halaman 197] maka di setiap titik kekontinuan

f(x) pada selang 0 < x < 1 terdapat suatu uraian deret Bessel yang berbentuk

Page 8: Fungsi bessel

( ) ( ) ( ) ( )∑∞

=

=++=1

2211 ...p

pnpnn xJAxJAxJAxf λλλ (31)

di mana ,..., 21 λλ adalah akar-akar positif (29) dengan 0≥S

R, 0≠S dan

( )( ) ( )dxxfxJx

JS

Rn

A pn

pnp

pp λ

λλ

λ∫

+−

=1

02

2

222

22 (32)

Di titik ketak-kontinuan deret di ruas kanan (31) konvergen ke

( ) ( )[ ]002

1 −++ xfxf yang dapat digunakan untuk menggantikan ruas kiri

(31).

Dalam kasus S = 0 sehingga ,..., 21 λλ adalah akar-akar dari ( ) 0=xJ n ,

( ) ( ) ( )dxxfxJxJ

A pnpn

p λλ ∫

+

=1

021

2 (33)

Jika R = 0 dan n = 0, maka deret (31) dimulasi dengan suku tetap

( )dxxfxAp ∫=1

02 (34)

SOAL-SOAL DAN PENYELESAIANNYA

PERSAMAAN DIFERENSIAL BESSEL

10.1 Gunakan metode Frobenius untuk menentukan deret penyelesaian persamaan

diferensial Bessel ( ) 0'" 222 =+++ ynxxyyx .

Andaikan suatu jawaban berbentuk ∑ += βkk xcy di mana k bergerak

dari ∞− sampai ∞ dan 0=kc untuk k < 0, maka

( ) ∑∑∑∑ ++−

+++ −=−=+ ββββ kk

kk

kk

kk xcnxcxcnxcynx 2

22222

( )∑ ++= ββ kk xckxy'

( )( )∑ +−++= βββ kk xckkyx 1"2

Kemudian, dengan menjumlahkannya diperoleh

Page 9: Fungsi bessel

( )( ) ( )[ ]∑ =−+++−++= +− 01" 2

22 ββββ k

kkkk xcncckckkyx

dan karena koefisien β+kx harus nol, diperoleh

( )[ ] 0222 =+−+ −kk ccnk β (1)

Andaikan k = 0 pada (1); karena 02 =−c maka diperoleh persamaan awal

( ) 0022 =− cnβ ; atau andaikan 00 ≠c , 22 n=β . Kemudian, tinjaulah dua

kasus, n−=β dan n=β . Pertama akan dipandang kasus pertama n=β , dan

kasus kedua diperoleh dengan menggantikan n oleh –n.

Kasus 1, n=β .

Dalam kasus ini (1) menjadi

( ) 02 2 =++ −kk ccknk (2)

Ambillah ,...4,3,2,1=k secara berurutan pada (2), kita mempunyai

01 =c , ( )2220

2 +−=n

cc , 03 =c , ( ) ( )( )422242424

024 ++⋅

=+

−=nn

c

n

cc , …

Jadi deret yang diinginkan adalah

( ) ( )( )

++⋅+

+−=+++= ++ ...

4222422221...

42

04

42

20 nn

x

n

xxcxcxcxcy nnnn (3)

Kasus 2, n−=β .

Gantilah n oleh –n pada Kasus 1, diperoleh

( ) ( )( )

−−⋅+

−−= − ...

4222422221

42

0 nn

x

n

xxcy n (4)

Sekarang, jika n = 0 kedua deret sama. Jika ,...2,1=n deret kedua tidak

mungkin ada. Tetapi bila ,...2,1,0≠n kedua deret tersebut dapat ditunjukkan

bebas linear sehingga untuk kasus ini penyelesaian umumnya adalah

( ) ( )( )

++⋅+

+−= ...

4222422221

42

nn

x

n

xCxy n

( ) ( )( )

−−⋅+

−−+ − ...

4222422221

42

nn

x

n

xDx n (5)

Page 10: Fungsi bessel

Kasus untuk ,...3,2,1,0=n akan dibicarakan kemudian [lihat Soal 10.15 dan

10.16].

FUNGSI BESSEL JENIS PERTAMA

Gunakan definisi (5) dari )(xJ n yang diberikan pada halaman 240 untuk

menunjukkan bahwa jika ,...3,2,1,0≠n maka penyelesaian umum pada

persamaan bassel adalah )()( xBJxAJy nn −+= untuk kasus ,...3,2,1,0≠n

1.Buktikanlah (a) ,sin2

)(21 xx

xJπ

= (b) ,cos2

)(21 xx

xJπ

=−

(a) )(21 xJ

( )

( )

xxx

xxxxx

xxx

r

x

r

x

r

x

rrr

x

r

rr

sin2sin

)2/1(

)2(...

!5!31

)2/1(

)2(

...)2/1)(2/3(2/5!2

)2(

)2/1)(2/3(!1

)2(

)2/1(

)2(

...)2/7(!2

)2(

2/5!1

)2(

)23(

)2(

)23(!

)2()1(

214221

272521

292521

0

221

πππ

πππ

==

−+−=

−+−=

−+−=+

−=∑∞

=

+

(b) ( ) ( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( )( ) ...

2/5!2

2/

2/3!1

2/

2/1

2

21!

21 2/7

0

2/32/1221

21 −+−=+

−=∑∞

=

−+−

− r

x

r

x

r

x

rrr

xxJ

r

rr

=( )

xx

xxxcos

2...

!4!21

2 4221

ππ=

−+−−

2.Hitunglah (a) ( )dxxJx∫ 14 , (b) ( )dxxJx∫ 3

3

(a) Metode 1.Metode pengintralan parsial memberikan

( ) ( ) ( )[ ]∫∫ = dxxJxxdxxJx 122

14

= ( )[ ] ( )[ ][ ]∫− xdxxJxxJxx 222

222

( ) ( )( ) ( ) cxJxxJx

dxxJxxJx

+−=

−= ∫2

32

4

23

24

2

2

(b) Metode 2. Gunakanlah ),()( 01 xJxJ −= diketahui

{ }[ ] [ ] [ ][ ]

{ }∫∫∫

∫∫∫

∫∫∫

−−=−=

−==

−−=−=

dxxxJxJxdxxJxdxxJx

xdxxxJxxJxdxxxJxdxxJx

dxxJxxJxdxxJxdxxJx

)(2)()()(

2)()()()(

)(4)()()(

0021

02

12

112

02

02

03

041

04

14

)(2)( 102 xxJxJx +=

Page 11: Fungsi bessel

Maka { }[ ] cxxJxJxxJxxJxdxxJx ++−−+−=∫ )(2)(2)(4)()( 102

13

04

14

)()164()()8( 12

042 xJxxxJxx −+−=

[ ]dxxJxxdxxJx )()( 325

33 −

∫∫ =

[ ] [ ]

∫+−=

−−−= −−

dxxJxxJx

dxxxJxxJxx

)(5)(

5)()(

22

23

42

22

25

[ ]dxxJxxdxxJx )()( 213

22 −

∫∫ =

[ ] [ ]

∫+−=

−−−= −−

dxxxJxJx

dxxxJxxJxx

)(3)(

3)()(

112

21

11

13

[ ]∫∫∫ −−=−= dxxJxxJdxxxJdxxxJ )()()()( 00101

∫+−= dxxJxxJ )()( 00

Maka [ ]{ }dxxJxxJxJxxJxdxxJx )()(3)(5)()( 0012

23

23 +−+−+−=∫

∫+−−−= dxxJxxJxJxxJx )(15)(15)(5)( 0012

23

Integral ∫ dxxJ )(0 tidak dapat diperoleh dalam bentuk tertutup.secara umum ,

∫ dxxJx )(02 dapat diperoleh dalam bentuk tertutup jika 0≥+ qp dan qp +

genap hasilnya dapat diperoleh dalam suku-suku ∫ dxxJ )(0 .

a) Buktikanlah ( ) ( ) ( )x

nxJxJxJxJ nnnn π

πsin2)('' =− −−

b) Bahaslah arti hasil (a) dipandang dari kebergantungan linear )(xJ n dan )(xJ n−

c) Karena )(,),( xJdanxJ nn − ,berturut-turut disingkat ),(xdanJJ nn − memenuhi

persamaan bassel,maka

( ) ( ) 0,0 22'"222'"2 =−++=−++ −−− nnnnnn JnxxJJxJnxxJJx katakanlah

persamaan pertama dengan nJ− dan kedua dengan nJ dan kurangkanlah.

Maka yang dapat ditulis

[ ] [ ][ ] [ ] 0

0

''''

''""2

=−+−

=−+−

−−−−

−−−−

nnnnnnnn

nnnnnnnn

JJJJJJJJdx

dx

JJJJxJJJJx

Page 12: Fungsi bessel

Atau [ ]{ } 0'' =− −− nnnn JJJJxdx

d

Integralkanlah ,kita memperoleh x

cJJJJ nnnn =− −−

''

Untuk menentukan c gunakanlah uraian deret nJ dan nJ− ,diperoleh

( ) ( ) ( ) ( ) ...2

...,12

...,2

...,12

1'

1' −

−=−

+−=−=−

+= −

−−

−−

+

nr

xJ

nr

xJ

nr

xJ

nr

xJ

n

n

nn

n

nn

n

nn

n

n

Dan kemudian subsitusikan pada (1), kita memperoleh

ππn

nrnrnrnrnrnrc

sin2

)1()(

2

)()1(

1

)1()(

1 =−

=−+

−−

=

Dengan menggunakan hasil 1,dihalaman 227. Ini memberikan hasil yang diinginkan.

a) Bentuk nnnn JJJJ ''−− − pada (a) adalah determinan Wronski dari nJ dan nJ− . Jika n

bilangan bulat kita lihat dari (a) bahwa determinan wronski ini nol;sehingga nJ dan

nJ− bergantungan linear dan dan juga jelas dari soal 10.3(a). dalam hal lain,jika n

bukan bilangan bulat , nJ dan nJ− keduanya bebas linear karena pada kasus ini

determinan wronskinya tak nol.

FUNGSI PEMBANGKIT DAN HASIL-HASIL LAINNYA

1)Buktikanlah ( )( ) n

nn

ttxtxJe ∑

−∞=

− = )(1

2

Kita mempunyai

( )( ) ( ) ( ) ( )

∑∑∑∑∞

=

=

−+∞

=

=

−− −=

==0 000

2212

!!

2)1(

!

2

!

2

r k

krkrk

k

k

r

rxxxtttx

kr

tx

k

tx

r

xteee

Andaikan nkr =− sehingga n bergerak dari ∞− sampai ∞+ , maka jumlahnya

menjadi

( ) ( ) n

nn

n

n k

knk

n k

nknk

txJtknk

x

kkn

tx)(

)!(!

2)1(

!)!(

2)1(

0

2

0

2

∑∑ ∑∑∑∞

−∞=

−∞=

=

+∞

−∞=

=

+

=

+−=

+−

2)Buktikanlah (a) ...4cos)(22cos)(2)()sincos( 420 +++= θθθ xJxJxJx

(b) ...5sin)(23sin)(2sin)(2)sinsin( 531 +++= θθθθ xJxJxJx

Andaikan θiet = pada soal 1,maka

Page 13: Fungsi bessel

[ ]θθθθθθ

ninxJexJee nin

nixeex ii

sincos)()(sin)(21

+=== ∑∑∞

∞−

∞−

− −

[ ] [ ]{ }

[ ] [ ]{ }...2sin)()(sin)()(

...2cos)()(cos)()()(

2211

22110

++++++++++=

−−

−−

θθθθ

xJxJxJxJi

xJxJxJxJxJ

{ } { }...3sin)(2sin)(2...2cos)(2)( 3120 +++++= θθθ xJxJixJxJ

Dimana kita telah menggunakan soal 10.3(a). samakan bagian riil dan imajinernya

untuk peroleh hasil yang diinginkan.

3)Buktikanlah ,...2,1,0,)sincos(1

)(0

=−= ∫ ndxnxJ n θθθπ

π

Kalikan hasil pertama dan kedua soal 2.berturut-turut dengan cara θncos dan

θnsin dan integralkan dari 0 sampai π dengan menggunakan

=∫0

20

coscos π

π

θθθ dnm nm

nm

=≠

=∫0

20

sinsin π

π

θθθ dnm 0≠=

≠nm

nm

Kemudian jika n genap atau nol diperoleh :

θθθπ

π

dnxxJ n cos)sincos(1

)(0∫= , θθθ

π

π

dnx sin)sinsin(1

00∫=

Dan dengan menjumlahkannya diperoleh :

[ ] ∫∫ −=+=ππ

θθθπ

θθθθθπ 00

)sincos(1

sin)sinsin(cos)sincos(1

)( dxndnxnxxJ n

Dengan cara serupa ,jika n ganjil ,maka

θθθπ

π

dnxxJ n sin)sinsin(1

)(0∫= , θθθ

π

π

dnx sin)sincos(1

00∫=

Dan dengan menjumlahkannya diperoleh

θθθπ

π

dxnxJ n ∫ −=0

)sincos(1

)(

Jadi kita memperoleh hasil yang berlaku untuk n genap atua ganjil ,yaitu n=0,1,2,…

4)Buktikanlah hasil soal 10.6(b) untuk nilai bulat n dengan menggunakan fungsi

pembangkit.

Diferensialkan kedua ruas fungsi pembangkit terhadap t tanpa menuliskan limit

∞− sampai ∞+ untuk indeks n.

Page 14: Fungsi bessel

( )( ) ∑ −− =

+ 12

12 )(1

12

nn

ttx txnJt

xe

Atau ∑∑ −=

+ 12

)()(1

12

nn

nn txnJtxJ

t

x

Yaitu ∑∑ −=

+ 12

)()(1

12

nn

nn txnJtxJ

t

π

Ini dapat ditulis sebagai

∑∑∑ −− =+ 12 )()(2

)(2

nn

nn

nn txnJtxJtxJ

ππ

Atau n

nnn

n txJnttxJ )()1(2

)(2 1∑∑∑ ++=+ ππ

Yaitu n

nn

nn txJntxJxJ )()1()(2

)(2 12 ∑∑ ++ +=

+ ππ

Karena koefisien nt harus sama ,maka

)()1()(2

)(2 2 xJnxJxJ nnn +=+ +

ππ

Dan dari sini hasil yang diinginkan diperoleh dengan mengganti n oleh n-1.

FUNGSI BESSEL JENIS KEDUA

1 (a)Tunjukkan bahwa jika n bilangan bulat,penyelesaian umum persamaan Bessel adalah

y = EJn ( ) ( ) ( )

−+ −

ππn

xJnxJFx nn

sin

cos

(b)Jelaskanlah bagaimana anda dapat menggunakan bagian (a) untuk

memperoleh penyelesaian umum persamaan bessel dalam kasus n bulat.

FUNGSI BESSEL

(a) Karena nJ− dan nJ bebas linear,Penyelesaian umum persamaan bessel

dapat ditulis : y = ( ) ( )xJcxJc nn −+ 21

Page 15: Fungsi bessel

dan hasil yang diinginkan diperoleh dengan mengganti konstanta sebarang

21 cc ⋅ oleh E dimana

πππ

n

Fc

n

nFEc

sin,

sin

cos21

−=−+=

Perhatikanlah bahwa kita mendefinisikan fungsi bessel jenis kedua bila n bukan suatu bilangan bulat dengan

Y ( ) ( ) ( )π

πn

xJnxJx nn

n sin

cos −−=

(b) Bentuklah ( ) ( )

ππn

xJnxJ nn

sin

cos −−

Menjadi suatu “tak tentu / indeterminate” yang berbentuk 0/0 untuk kasus n suatu bilangan bulat.Hal ini disebabkan untuk suatu bilangan n,diketahui

( ) ( ) ( ) ( )xJxdanJn nn

nn 11cos −=−= −π lihat soal 10.3. “ bentuk tak tentu”

ini dapat dihitung dengan rumus L’Hospital,yaitu

( ) ( )

− −

→ ππp

xJpxJ np

np sin

coslim

Gunakanlah soal 1 untuk memperoleh penyelesaian umum persamaan untuk n=0 Dalam kasus ini harus dihitung

( ) ( )

− −

→ ππp

xJpxJ pp

p sin

coslim

0

Gunakanlah rumus L’Hospital (turunkan pembilang dan penyebut terhadap p)pada limit (1),diperoleh

00

1

cos

/(cos)/(lim

=

−−

∂∂−

∂∂=

∂∂−∂∂

p

PPPp

p p

J

p

J

p

JpJppJ

ππππ

Page 16: Fungsi bessel

Dimana lambang yang digunakan menyatakan bahwa kita mengambil turunan parsial dari ( ) ( )xdanJxJ pP − terhadap p dan kemudian mengambil p=0.Karena

( ) .// pJpJ pP ∂−∂=−∂∂ −− limit yang diinginkan juga sama dengan 0

2=∂

∂p

p

p

J

π

Untuk memperoleh pJ p ∂∂ / diturunkan deret

( ) ( ) ( )( )∑

=

+

++−=

0

2

1!

2/1

r

rpr

p rprr

xxJ

Terhadap p dan diperoleh

( ) ( )( )

++∂∂−=

∂∂ +∞

=∑ 1

2/

!

1 2

0 rpr

x

prp

J rp

r

rP

Sekarang jika seandainya ( )( ) G

rpr

x rp

=++

+

1

2/ 2

, maka

Ln ( ) ( ) ( )1ln2/ln2 ++−+= rprxrpG

Sehingga turunanya terhadap p memberikan

( ) ( )( )1

112/ln

1

++++−=

∂∂

rpr

rpx

p

G

G

Maka untuk p=0 diperoleh

( )( ) ( ) ( )

( )

++−

+=

∂∂

= 1

1'2/ln

1

2/ 2

0rr

rrx

rr

x

p

G r

p

Gunakan (2) dan (3) , diperoleh

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

++−

+−=

∂∂

∑∞

== 1

1'2/ln

1!

2/122

0

2

0rr

rrx

rrr

x

p

J

r

rr

p

p

ππ

= ( ){ } ( )

+

+−++ ...2

11

422

22/ln

222

4

2

3

0

xxxJx

πγ

π

Page 17: Fungsi bessel

Dimana deret terakhir diperoleh dengan menggunakan hasil (6)dihalaman 240.deret terakhir ini adalah deret untuk Y)(0 x .Dengan cara yang sama kita

dapat memperoleh deret (11) dihalaman 241 untuk Y)(xn dimana n sebuah

bilangan bulat.Jika n sebuah bilangan bulat,maka penyelesaian umumnya diberikan oleh ( ) ( )xYcxJcy nn 21 +=

FUNGSI-FUNGSI YANG BERHUBUNGAN DENGAN FUNGSI BESSEL

2. Buktikanlah rumus pengulangan untuk fungsi bessel jenis pertama

yangtelah dimodifikasi ln (x)yang diberikan oleh

I ( ) ( ) ( )xIx

nxIx nnn

211 −= −+

Dari soal 10.6(b)kita memperoleh

)()(2

)( 11 xJxJx

nxJ nnn −+ −=

Gantilah x dengan ix untuk memperoleh

)()(2

)( 11 ixJixJx

inixJ nnn −+ −−=

Sekarang menurut definisinya )()( ixnJixI nn −= atau )(xIi n

n sehingga

(2)menjadi )()(2

)( 11

1 xIixIix

inxIi n

nn

nn

n −+

+ −−=

Bagilah dengan 1+ni ,maka hasil yang diinginkan tercapai.

3. Jika n bukan suatu bilangan bulat,tunjukkanlah bahwa

(a) πni

xJexJxH n

inxn

n sin

)()()()1(

−− −=

Menurut definisi makaxdanYxH nn ),()()1(

−+=+= −

ππn

xJnxJixJxiYxJxH nn

nnnn sin

)(cos)()()()()()1(

ππn

xiJnxiJnxJ nnn

sin

)(cos)(sin)( −−+

=

−− −

πππ

n

xJninxJi nn

sin

)()sin)(cos(

Page 18: Fungsi bessel

=

− −−

πn

xJexJi n

inxn

sin

)()(

=πni

xJexJ ninx

n

sin

)()( −− −

(b) πni

xJxJexH nn

inx

n sin

)()()()2( −−=

Karena ),()()()2( xiYxJxH nnn −= denhan mengganti i oleh –i pada hasil (a)

maka diperoleh

πni

xJexJxH n

inxn

n sin

)()()()2(

−−= −

=πni

xJxJe nninx

sin

)()( −−

4. Tunjukkanlah (a) Ber ...864242

1)(2222

8

22

4

0 −+−= xxx

Bei ...1086426422

)(22222

10

222

6

2

2

0 −+−= xxxx

FUNGSI BESEEL

Diketahui:

+−+

−+−=

−+−−+=

−+−+−=

+

+

−=

...6422

...864242

1

...8642642422

1

...8642642422

1

...8642642422

1

222

8

2

2

2222

8

22

4

2222

8

222

6

22

4

2

2

2222

812

222

69

22

46

2

23

2222

82

3

222

62

3

22

42

3

2

22

3

23

0

zzi

zz

zizziz

zizizizi

zizizizizir

Dan hasil yang diinginkan tercapai dengan mengingat bahwa

( ) ( )daniBeiBerJ zzzi

+=

00 2

33menyamakan bagian riil dan imajinernya.perlu

Page 19: Fungsi bessel

dicat bahwa kadang-kadang menghilangkan indeks nol dalam ( ) ( ).00 zdanBeizBer

PERSAMAAN-PERSAMAAN YANG DITRANSFORMASIKAN NKE DALAM PERSAMAAN BESSEL

1.. tentukan penyelesaian umum persamaan .0''' =++ ayyxy

Pesamaan tersebut dapat ditulis sebagai 0''' =++ axyxyyx z dan merupakan suatu ------khusus dari persamaan (24) di halaman 242dimana

,,0 aak == r = 0,21

=β maka penyelesaian seperti diberikan 242

adalah

( ) ( )axycaxJcy 22 0201 +=

KETEGAK LURUSAN FUNGSI BESEEL

2.Buktikanlah ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22

''1

0 µλλµλµλµµλ

−−

=∫ nnnnn

n

JJJJdxxJxxJ jika .µλ ≠

Dari (3) dan (4) dihalaman 240,kelihatan bahwa ( )xJy n λ=1 dan

( )xJy n µ=2

Adalah penyelesaian persamaan

( ) ( ) 0,0 2222'

2''

22

1222'

1''

12 =−++=−++ ynxxyyxynxxyyx µλ

Dengan pengalikan persamaan dengan 2y dan 2 dengan 1y dan kemudian kurangkan, kita memperoleh

[ ] [ ] ( ) 21222'

21'

12''

21''

122 yyxyyyyxyyyyx λµ −=−+−

Setelah dibagi dengan x dapat ditulis sebagai berikut

[ ] [ ] ( ) 2122'

21'

12'

21'

12 yxyyyyyyyyydx

dx λµ −=−+−

Atau

[ ]{ } ( ) 2122'

21''

12 yxyyyyyxdx

d λµ −=−

Kemudian integralkan dan hilangkan konstanta pengintegralannya,

Page 20: Fungsi bessel

( ) [ ]∫ −=− '21

'1221

22 yyyyxdxyxyλµ

Lalu gunakan ( ) ( )xJyxJy nn µλ == 21 , dan bagikan dengan ,022 ≠− λµ

maka

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫ −

−=

22

''

λµµλµλµλµλ xJxJxJxJx

dxxJxxJ nnnnnn

Jadi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22

''1

0 λµµλµλµλµλ

−−

=∫ nnnnnn

JJJJdxxJxxJ

Yang ekivalen dengan hasil yang diinginkan.

3. buktikan ( ) ( ) ( ) .12

1 2

2

221

0

2

−+=∫ λ

λλλ nnn J

nJdxxxJ

misalkan λµ → pada hasil soal no 2.dengan mengunakan rumus L hospital diperoleh

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

µµλµµλλµλλµ

λµ 2

'''1

0

2

lim nnnnnnn

JJJJJJdxxJ

−−=

→∫

( ) ( ) ( ) ( )

λλλλλλλλ

2

'''2'nnnnn JJJJJ −−

=

Tetapi karena ( ) ( ) ( ) ( ) ,022'''2 =−++ λλλλλλ nnn JnJJ dengan menyelesaikan

untuk ( )λ''nJ dan mensubstusikannya diperoleh

( ) ( ) ( )

−+=∫ xJ

nJdxxxJ nnn

22

22'1

0

2 12

1

λλλ

4.buktikan bahwa jika µλdan adalah dua akar berbeda dari prsamaan

N ( ) ( ) 0' =+ xSxJxRJ nn dimana R dan S kostanta, maka

( ) ( )∫ =1

00dxxJxxJ nn µλ

Yaitu ( )xJx n λ dan ( )xJx n µ saling tegak lurus pada (0,1).

Karena λ dan µ akar dari ( ) ( ) ,0' =+ xSxJxRJ nn kita mempunyai

Page 21: Fungsi bessel

( ) ( ) ,0' =+ xSxJRJ Nn λ ( ) ( ) 0' =+ µµ µ nn JSRJ

Kemudian, jika 0,0 ≠≠ SR dari (1) kita memperoleh

( ) ( ) ( ) ( ) 0'' =− λµµµλµ nnnn JJJJ

Sehingga dari soal 2.kita mendapatkan hasil yang diinginkan

( ) ( )∫ =1

00dxxJxxJ nn λλ

Dalam kasus 0,0 ≠≠ SR atau ,0,0 =≠ SR hasil tersebut juga dapat dibuktikan dengan mudah.

DERET FUNGSI BESSEL

1.Jika ( ) ( )∑= 0,xJAxf pnp λ < x >1, dimana ,...,3,2,1, =ppλ akar positif dari

( ) ,0=xJ n ditunjukkan bahwa

( ) ( ) ( )∫+

=1

021

2dxxfxxJ

JA pn

pnP λ

λ

Kalikan deret untuk f(x) dengan ( )xxJ kn λ dan integralkan suku demi suku

dari 0 sampai 1.maka

( ) ( ) ( ) ( )∫ ∑ ∫≈

=

=1

01p

pnknpkn dxxJxxJAdxxfxxJ λλλ

= ( )∫1

0

2 dxxxJA knk λ

= ( )kNK JA λ2'

2

1

Dimana kita telah menggunakn soal 10.22.dan 10.23 bersama-sama dengan kenyataan bahwa

( ) ( ) ( )∫=1

02'

2dxxfxxJ

JA kn

kn

K λλ

Untuk memperoleh hasil yang diinginkan dari sini,digunakan rumus pengulangan 3 dihalaman 240 yang ekivalen denga rumus 6 dihalaman itu, kita memperoleh

( ) ( ) ( )knknknk JnJJ λλλλλ 1

'+−=

Page 22: Fungsi bessel

Atau karena ( ) 0=knJ λ

( ) ( )knkn JJ λλ 1'

+−=

2.uraikan f(x)=1 dalam suatu deret yang berbentuk

( )∑∞

=10

ppp xJA λ

Untuk 0<x<1,jika pλ ,p=1,2,3,…, adlah akar positif dari ( ) ,00 =XJ

( ) ( ) ( ) ( )∫∫ == p

dvvvJJ

dxxxJJ

App

pp

p

λ

λλλ

λ 0 021

2

1

0 021

22

= ( ) ( ) ( )pppip JvvJ

Jp

λλλλλ

10122

22 =

Dimana kita telah menggunakan penggantian xv pλ= dalam intergralnya

dan hasil soal 10.8 dengan n=1 Jadi kita memperoleh deret yangdiinginkan

( ) ( ) ( )∑∞

=

==1

01

21

pp

pk

xJJ

xf λλλ

Yang dapat ditulis sebagai ( )

( )( )

( ) 2

1...

222

20

111

10 =++λλ

λλλ

λJ

xJ

J

xJ

SOAL-SOAL TAMBAHAN PERSAMAAN DEFERENSIAL BESSEL 10.26. Tunjukanlah bahwa jika x diganti oleh xλ dimana λ kostanta, maka persamaan Bessel ( ) 022'''2 =−++ ynxxyyx ditransformasikan menjadi

( ) 0222'''2 =−++ ynxxyyx λ FUNGSI BESSEL JENIS PERTAMA

Page 23: Fungsi bessel

10.27.(a) tunjukan ( ) ...8642642422 222

7

22

5

2

5

1 +−+−= xxxxxJ dan periksalah bahwa

selang kekonvergenan adalah ∞− <x<∞ 10.28.tunjukan ( ) ( ).1

10 xJXJ −=

10.29. tunjukanlah ( )[ ] ( )xxJxxJdx

d01 =

10.30.Hitunglah (a) ( )xJ

25 dan (b) ( )xJ

25− dalam suku-suku sinus dan cosinus.

10.31.tentukanlah ( )33J dalam suku-suku ( ) ( ).10 xdanJxJ

10.32. buktikanlah bahwa ( )a ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]xJxJxJxJxJ

xJxJxJxJ

nnnnn

nnnn

3113'''

22''

334

1

22

1

++−−

+−

−+−=

+−=

Dan buatlah perumusan hasil ini.

10.33 hitunglah (a) ( )∫ ,23 dxxJx (b). ( )∫

1

0 03 dxxJx (c). ( )∫ dxxJx 0

2

10.34 hitunglah (a) ( )∫ dxxJ 31 (b).

( )∫ dx

x

xJ2

2

10.35.hitunglah ( )∫ .sin0 xdxxJ

FUNGSI PEMBANGKIT DAN HASIL-HASIL TAMBAHAN 10.36 gunakanlah fungsi pembangkit untuk membuktikan bahwa

( ) ( ) ( )[ ]xJxJxJ nnn 11'

2

1+− += untuk kasus dimana n bulat.

10.37 gunakanlah fungsi pembangkit untuk mengerjakan soal 10.30 dalam kasus n bulat.

10.38 tunjukanlah ( ) ( )∫= 2

00 sincos2 π

θθπ

dxxJ

10.39 tunjukanlah ( ) ( )∫ ∑∞

=+=

x

kk xJdttJ

00

120 2

FUNGSI BESSEL JENIS KEDUA 10.40. Buktikanlah ( ) ( )xYxY 1

'0 −=

Page 24: Fungsi bessel

10.41. hitunglah (a). ( ),21 xY (b). ( ).21 xY−

10.42.buktikanlah ( ) ( ) ( ) ( ) xxYxJxYxJ nnnn π2'' =−

10.54. Tunjukanlah ( ) ( ) θθπ

πdxxI ∫=

2

00 sincosh2

.

10.55. Tunjukanlah (a) ( ) ( )[ ]...2sinh 31 ++= xIxIx

(b) ( ) ( ) ( )[ ]...2cosh 420 +++= xIxIxIx

10.56. Tunjukanlah (a) ( )

−=

x

xx

xxI

sinhcosh

223 π

(b) ( )

−=− x

xx

xxI

coshsinh

223 π

.

10.57. (a) Tunjukanlah ( ) ( ) ( )xKx

nxKxK nnn

211 += −+

(b) Jelaskanlah mengapa fungsi ( )xKn memenuhi rumus pengulangan yang

sama seperti untuk ( )xIn dengan ( )xIn diganti dengan ( )xKn .

10.58. Berikan rumus asimtotik untuk (a) ( ) ( )xIn1 , (b) ( ) ( )xHn

2 .

10.59. Tunjukanlah

( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )...

4

1

3

1

2

11

!4

2

2

11

!2

21

42ln 2

8

2000 −

++++

+−+++−=

xxxBeixBerxxKer

πγ

PERSAMAAN-PERSAMAAN YANG DUTRANSFORMASIKAN KEDALAM PERSAMAAN BESSEL

10.60. Selesaikan 4xy”+4y’+y = 0. 10.61. Selesaikan (a) xy”+2y’+xy = 0, (b) y”+x2y = 0. 10.62. Selesaikanlah y”+e2xy = 0. (misalkan ex = u).

10.63. Tunjukanlah dengan pergantian langsung bahwa ( )xJy 20= adalah suatu

penyelesaian dari 0" =+xyy dan (b) tuliskanlah penyelesaian umumnya.

Page 25: Fungsi bessel

10.64. (a) Tunjukan dengan pergantian langsung bahwa

= 23

31 3

2xJxy adalah

suatu jawaban dari y”+xy = 0 dan (b) tuliskan penyelesaian umumnya.

10.65. (a) Tunjukanlah bahwa persamaan Bessel ( ) 022,,,2 =−++ ynxxyyx dapat

ditransformasikan kedalam 041

1 2

2

2

2

=

−−+ u

x

n

dx

ud dimana xuy = .

(b) Bahaslah kasus dimana x besar dan jelaskan hubungannya dengan rumus asimtotik dihalaman 243.

DERET TEGAK LURUS FUNGSI-FUNGSI BESSEL 10.66. Lengkapilah soal 10.23 dihalaman 253 untuk kasus (a) 0,0 =≠ SR ,

(b) 0,0 ≠= SR

10.67. Tunjukanlah ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) cxJxJnx

xJxJx

dxxxJ nnnnn +−+= ++∫ λλαλ

λλλ 12

12

22

2

10.68. Buktikanlah hasil

10.69. Tunjukanlah ( )

( ) 10.......8

1

1 13

02

<<=−

∑∞

=x

J

xJx

p pp

p

λλλ

dimana pλ adalah akar positif

dari ( ) 00 =λJ .

10.70. Tunjukanlah ( )( ) 11.......2

1 2

1 <<−= ∑∞

=x

J

xJx

p p

p

λλλ

dimana pλ adalah akar positif

dari ( ) 01 =λJ .

10.71. Tunjukanlah ( ) ( )

( ) 10.......82

1 13

12

2 <≤−

= ∑∞

=x

J

xJx

p pp

pp

λλλλ

dimana pλ adalah akar

positif dari ( ) 01 =λJ .

10.72. Gunakanlah soal 10.73 dan 10.75 untuk menunjukan 4

112 =∑pλ

dimana pλ

adalah akar positif dari ( ) 00 =λJ .

Page 26: Fungsi bessel

JAWABAN SOAL-SOAL TAMBAHAN

10.28. (a) ( )

−−2

2 cos3sin32

x

xxxx

xπ (b)

( )

−−2

2 cos3sin32

x

xxxx

10.29. ( ) ( )xJx

xJx

x012

2 48−

10.31. (a) ( ) cxJx +33 (b) ( ) ( )1312 10 JJ − (c) ( ) ( ) ( )dxxJxxJxJx ∫−+ 001

2

10.32. (a) ( ) ( ) cxJxxJx +− 30

3 231

3 36

(b) ( ) ( )

( )dxxJxj

x

xJ∫+−− 0

12

3

1

33

10.33. ( ) ( ) cxxxJxxxJ +− cossin 10

10.42. (a) 22

1

ba + (b)

22

22

bab

aba

+−+

(c) ( )

22

22

bab

aban

n

+−+

10.48. (a) xx

cos2

π− (b) x

xsin

2

π

10.50. (a) ( ) cxYx +3

3 (b) ( ) ( ) cxxYxY +−− /2 12

(c) ( ) ( ) ( ) ( )dxxYxYx

xYx

xY ∫+−−− 03221 15

1

5

1

15

1

15

1

10.63. ( ) ( )xBYxAJy 00 +=

10.64. (a) x

xBxAy

cossin += (b)

+

= −

241

24/1 2

1

2

1xBJxAJxy

10.65. ( ) ( )xx eBYeAJy 00 +=


Top Related