Download - DISTRIBUSI PELUANG
NOTASI PENTINGJumlah (sum)
Rata-rata (average)
Hasil kali (product)
11
...n
n n ii
D X X X X
1
1 1
... 1n nn n i
ii i
X X X XX X
n n n
11
...n
n n ii
P X X X X
SIFAT-SIFAT NOTASI SIGMA
1 1
n n
i ii i
kX k X
1
n
i
k nk
1 2 1 21 1 1
n n n
i i i ii i i
k X k Y k X k Y
1 1 1 1 1
1n n n n n
i i i i i i i ii i i i i
X X Y Y X Y nXY X Y X Yn
PELUANG DAN FREKUENSI RELATIFP(A)= #(A)/#(S) dari teoritis
Fr(A)= n(A)/n(S) dari kejadian riil
Untuk n-> P(A)=Fr(A)
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
Peluang dan Frekwensi Relatif
N-Sampel
P d
an F
r
JENIS DARI CARA PEGAMBILAN
Hasil pengukuran, bersifat kontinu. Data metrik
Hasil pencacahan, bersifat diskrit: banyaknya orang yang antri, data enumeratif, banyaknya kecelakaan
JENIS DATA DARI SKALANYANominal: Penggunaan angka hanya sebagai label,
sama sekali bukan menunjukkan bilangan (misalnya 1: untuk Laki-laki, 0: untuk perempuan). Tidak bisa dibandingkan , tidak ada urutan superioritas. Contoh: faktor (jenis kelamin, asal daerah)
Ordinal: Angka menunjukkan urutan (nilai 0-4), dapat diurut, tidak dapat dibandingkan (rasio), jarak tidak sama, belum ada skala 0.
Interval: Angka menunjukkan pengukuran dengan jarak yang relatif sama, sudah ada nilai 0 (tetapi tidak mutlak), belum bisa dibandingkan (rasio)
Rasio: Angka memiliki sifat bilangan secara sempurna. Dapat dirasiokan 60=2x30. Sudah ada 0 mutlak. Contoh berat badan, tingi badan
JENIS DATADiskrit: Pencacahan (jumlah orang yang
antri, jumlah kecelakaan pada suatu titik/waktu & tempat)Percobaan BernoulliAntrian
Kontinu:Pengukuran (waktu dibutuhkan seseorang dalam antrian)Nilai ujian, tinggi badanProduksi (nonnegatif)
DISTRIBUSI PELUANG
DISTRIBUSI PELUANGDistribusi Peluang Diskret: sebuah tabel atau
rumus yg memcantumkan semua kemungkinan nilai suatu peubah acak diskret berikut peluangnya
Distribusi Peluang Kontinu: Peubah acak kontinu berpeluang nol untuk mengambil salah satu nilainya sehingga distribusi peluangnya tidak dpt diberikan dalam bentuk tabel, tapi menghitung peluang bagi berbagai selang peubahn acak kontinu seperti P(a<x<b)
dxen2
1)bxa(P
2x
2
1b
a
Contoh:Ad 1. Distribusi peluang bagi jumlah bilangan bila
sepasang dadu dilempar: dua buah dadu dapat mendarat dalam 62 = 36 cara
x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12P(X-x) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
Peluang
Peubah acak diskret
Ad 2. Misal distribusi normal peluang harga x antara a dan b:
Yang termasuk distribusi peluang diskret yaitu distribusi binom, multinom, hipergeometrik dan distribusi poisson.
Sedangkan peluang kontinu yaitu distribusi normal, chi-square dan distribusi F
xNxxnx )1(x
N)xX(Patauqp
x
n)p,n;x(b
)!xN(!x
!N
x
N
1. Distribusi BinomPercobaan binom: dlm pelemparan sekeping uang
logam sebayak 5 kali, hasil tiap ulangan mungkin muncul sisi G atau A, kita dapat menentukan salah satu diantara keduanya sebagai “berhasil”.
Definisi Distribusi binom: bila suatu ulangan binom mempunyai peluang keberhasilan p & kegagalan q = 1-p, maka dist peluang bagi acak binom x, yaitu banyaknya keberhasilan dlm ulangan yang bebas adalah:
Untuk x = 0, 1, 2,…, n; 0 < π < 1
032,06
5
!2!3
!5
6
5
6
1
3
5)3x(P
5
223
Dist. Binom mempunyai parameter, yaitu rata-rata μ & simpangan baku σ
)1(N
N
npq
np
atau
Contoh:Tentukan peluang memdapatkan tepat tiga bilangan 2 bila sebuah dadu setimbang dilemparkan 5 kali?
Jawab:
1859.02173.04032.0
)4.0,15;x(b)4.0,15;x(b)5x(P.c
8779.00271.09050.0
)4.0,15;x(b)4.0,15;x(b)4.0,15;x(b)8x3(P.b
0338.09662.01
4.0,15;x(b1)10x(P1)10x(P.a
4
0x
5
0x
2
0x
8
0x
8
3x
9
0x
Contoh:Peluang seekor ikan sembuh dari penyakit adalah 0,4. Bila
15 ekor diketahui menderita penyakit, berapa peluang:a. Sekurang2nya 10 ekor ikan dapat sembuhb. Ada 3 sampai 8 ekor yang sembuhc. Tepat 5 ekor yang sembuh
Jawab:
1pdannxdengan
p...ppx,..,x,x
n)n,p,..,p,p;x,..,x,x(f
k
1ii
k
1ii
xk
x2
x1
k21k21k21
k21
2. Distribusi MultinomSeandainya dalam percobaan binom tersebut tiap
ulangan menghasilkan lebih dari dua kemungkinan hasil disebut percobaan multinom
Misal – percobaan pelemparan dua dadu; muncul bilangan yang sama, total kedua bilangan = 7 atau 11 atau bukan keduanya
Defenisi: bila tiap ulangan menghasilkan salah satu dari k hasil percobaan E1,E2,…,Ek dengan peluang p1,p2,..,pk, maka dist. peluang bagi peubah acak x1,x2,…,xk yg menyatakan berapa kali E1,E2,…,Ek terjadi dalam dan ulangan yang bebas adalah
Contoh:Dalam pelemparan sebuah dadu sebanyak 12 kali, peluang munculnya mata 1, mata 2,…,mata 6 masing-masing tepat dua kali?
Jawab:
0034.06
1
!2!2!2!2!2!2
!12
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
2,2,2,2,2,2
12
)12,6
1,
6
1,
6
1,
6
1,
6
1,
6
1;2,2,2,2,2,2(f
62
222222
Contoh:Dalam pelemparan sebuah dadu sebanyak 12 kali, peluang munculnya mata 1, mata 2,…,mata 6 masing-masing tepat dua kali?
Jawab:
k...,,2,1,0xuntuk
n
N
xn
kN
x
k
)k,n;x(h
3. Distribusi HipergeometrikPercob. Hipergeometrik yaitu peluang terambilnya x
keberhasilan dari k benda (berhasil) & n-x kegagalan dari N-k benda (gagal), bila suatu contoh berukuran & diambil dari sebuah populasi terhingga berukuran N
Distr. Hipergeometrik yaitu distribusi peluang dari banyaknya keberhasilan x dalam percobaan di atas disebut peubah acak hipergeometrik
N
k1
N
kn
1N
nN;
N
nk
Nilai tengah ( ) dan ragam ( ) dist. Hipergeometrik
724,0
5
50
5
47
0
3
)3,50;0(h)0(P
253,0
5
50
4
47
1
3
)3,50;1(h)1(P
Contoh:Segerombolan ikan t.a. 50 ekor & 3 diantaranya ikan layang
sec. acak diambil 5 ekor. Brp peluang diantara 5 ekor tadi:a. Tidak terdapat ikan layangb. Terdapat tidak lebih dari seekor ikan layang
Jawab:a. dik: n = 5; k = 3; N = 50; & x = 0 b. dik: x = 0,1 & P(0)=0,724
Jadi peluang paling byk seekor ikan layang diantara 5 ekor ikan yg diambil adalah 0,724 + 0,253 = 0,977
1042,07851,08893,0)4;x(P)4;x(P
atau1042,0!6
4e)4;6(P
5
0x
6
0x
64
Contoh:Rata2 jmlh hari tutup krn salju selama musim dingin di suatu
kota di AS adalah 4. Brp peluang bhw sekolah2 di kota itu akan tutup selama 6 hari dalam suatu musim dingin
Jawab:a. dik: μ = 4 & x = 6
4. Distribusi PoissonPercob. Poisson: percob.yg menghslkan nilai2 yg terjd
selama selang wktu tertentu atau di daerah tertentuDist. Poisson: dist. peluang dr bil. x yg menyatakan
banyaknya hsil percob. dlm percob. Poisson.
!x
e);x(P
x
Untuk x = 1, 2, ….
μ = rata-rata
e = 2,71828
2x
2
1
e2
1),,x(n)x(f
Untuk -∞<x< ∞; π = 3,14159; e = 2,71828
5. Distribusi NormalSuatu peubah acak kontinu x yg memiliki
dist. berbentuk genta disebut peubah acak normal, dengan persamaan kurva
normal yg bergantung pada parameter μ dan σ adalah
μ x
Daftar F pada lampiran buku Sudjana medruapakan daftra distribusi normal baku rata2 μ = 0 & simpangan baku σ =1
x
z0 z
0,5 0,5
-z
μ = 0
σ =1
Luas seluruh kurva = 1
Mengubah dist. Normal umum ke dist. normal baku dengan transformasi:
Penggunaan daftar dist normal baku lihat buku Sudjana hal 140 – 141 & Walpole hal 182 - 188
Contoh:Berat bayi yg baru lahir rata2 3.750 g dg simp. baku 325 g. Jika berat
bayi berdist. normal maka tentukan:a. Brp % bayi yg beratnya lebih dari 4.500gb. Brp bayi yang beratnya antara 3.500g & 4.500g jika semuanya ada
10.000 bayi
31,2325
750.3500.4xz
Jawab:a. Dik: μ = 3.750g dan σ =325 ; x = 4.500
P(z>2,31) = 0,5 – P(z<2,31) = 0,5 – 0,4898 = 0,0104 = 1,04%
b. x1 = 3.500g & x2 = 4.500g
77,0325
750.3500.3xz
P(3.500<x<4.500) = P(-0.77<z<2,31) = 0,5 – 0,4898 = P(z>-0,77) + P(z<2,31) = 0,2794 – 0,4898 = 0,7690Jadi banyaknya bayi antara 3.500g & 4.500g diduga ada0,7690 x 10.000 = 7.690 bayi
0 2,31
0,4894
0,0104
0 2,31
0,48940,2794
-0.77
)1(N
Nxz
yasintransformaserta)1(N&Nmaka
Hubungan dist. binom dan dist. normal, jika untuk fenomena yang berdistribusi binom berlaku:
N cukup besarπ = P(A) = tidak terlalu dekat dengan nol
Contoh: Lihat Buku Sudjana hal 144 – 145 & Walpole hal 196 - 202
t
1nt
1
k)t(f
n2
12
Fungsi densitas dist t-Student :
6. Distribusi t-Student
• Bila ukuran n ∞ ; semakin menyerupai kurva normal baku
• Bila n ≥ 30 masih menghampiri
dist. normal baku
• Bila n < 30, tidak lagi berdist. normal baku, oleh karena itu berhadapan dgn dist t-Student yang nilai-nilainya adalah:
ns
x
0 t
0,5 0,5