Download - BAB II TURUNAN FUNGSI
BAB II TURUNAN FUNGSI
TURUNAN FUNGSI(DIFERENSIAL FUNGSI)
PENGERTIAN TURUNAN FUNGSIA.LAJU PERUBAHAN NILAI FUNGSIA.1 LAJU PERUBAHAN RATA-RATA
Δt
ΔsV rata-rata
PENGANTAR ILUSTRASI
Seorang murid mengendarai motor dari rumah ke sekolah yang jaraknya 15 km. Ia berangkat dari rumah pukul 06.00 dan jarak yang ditempuh dicatat setiap 5 menit dengan cara mengamati spidometer pada motornya.Catatan jarak yang ditempuh setiap 5 menit adalah sbb:
06.00 - 06.05 2,5
06.05 - 06.10 1,25
06.10 - 06.15 2,5
06.15 - 06.20 2,5
06.20 - 06.25 3,75
06.25 - 06.30 2,5
.adalah....Sekolah keRumah dariMotor
imengendaraitu siswa rata-rataKecepatan
? Pertanyaan
Waktu Jarak
KECEPATAN RATA-RATA DALAM INTERVAL WAKTU
21 ttt
KECEPATAN RATA-RATANYARUMUSNYA SBB :
12
12rata-rata tt
)f(t)f(t
Δt
ΔsV
CONTOH 1
Gerak sebuah benda ditentukan dengan persamaan s=f(t)=4t-5 (s dalam meter dan t dalam detik). Tentukan besar kecepatan sesaat untuk waktu-waktu berikut ini :
a). t=2 detik b). t=5 detik
Jawab a
m/detik 4adalah detik 2saat t padasesaat Kecepatan
4h
4hLimit
h
34h3Limit
h
5}-8{}5h)4{8Limit
h
5}-4(2){}5h)4{(2Limit maka
5-4tf(t) aLintasanny,h
f(2)h)f(2Limit maka
2a jika,h
f(a)h)f(aLimit :sesaat Kecepatan
0 h
0 h
0 h
0 h
0 h
0 h
Jawab b
m/detik 4adalah detik 5saat t padasesaat Kecepatan
4h
4hLimit
h
154h15Limit
h
5}-20{}5h)4{20Limit
h
5}-4(5){}5h)4{(5Limit maka
5-4tf(t) aLintasanny,h
f(5)h)f(5Limit maka
5a jika,h
f(a)h)f(aLimit :sesaat Kecepatan
0 h
0 h
0 h
0 h
0 h
0 h
CONTOH 2
cm. 2r ketikar jari-jari terhadap
V volumebolaperubahan laju Tentukan
,πr3
4f(r)Vadalah itu bola volume
sehingga cmr jari-berjari bolaSebuah
3
Jawab
16adalah cm 2rsaat pada bola Volume
16 h
)34
816(Limit
h34
816Limit
h
}3
32{}
34
8163
32{
Limit
h
}3
32{}))(2(3)2(38{
34
Limit
h
}(2)34
{}h){(234
Limit maka
πr3
4f(r) aLintasanny,
h
f(2)h)f(2Limit maka
2a jika,h
f(a)h)f(aLimit :sesaat Kecepatan
2
0 h
32
0 h
32
0 h
322
0 h
33
0 h
3
0 h
0 h
hhh
hhh
hhh
hhh
SOAL LATIHAN
1 xpada,12x f(x) b).
2 xpada 2x3 f(x) a).
: disebutkan yang titik pada iniberikut
fungsi nilaisesaat perubahan laju Tentukan
3
Definisi Turunan Fungsi
,h
f(a)h)f(aLimit (a)' f
0 h
CONTOH 1.
1 xpada
2x,-3f(x) fungsirunan Carilah tu
JAWAB
-2(1)' fadalah
1 xpada2x,-3f(x) fungsi turunan Jadi
22Limith
2hLimit(1)' f
h
2(1)}-{3-h)}2(1-{3Limit(1)' f
h
f(1)-h)f(1Limit(1)' f
(1)' fadalah 1 x pada 2x,-3f(x)
0 h 0 h
0 h
0 h
CONTOH 2
a nilai hitunglah
13, nilai mempunyai a, xpada
,234x f(x) FungsiTurunan 2
x
Jawab
2a nilaiuntuk 13 nilai
mempunyai a xpada 234xf(x) fungsi turunan Jadi
2 a
168a 133-8a
38384Limit}384h{
Limit
}384{Limit
}3)48{Limit
}234{}233)48{4aLimit
}234{}233)2{4(a
Limit
}23)(4{}2)(3)(4{Limit
h
f(a)-h)f(aLimit (a)' fadalah
2 x pada,234xf(x) fungsiTurunan
2
0 h 0 h
2
0 h
2
0 h
222
0 h
222
0 h
22
0 h
0 h
2
x
aahh
ah
h
hahh
h
hhah
h
aahahah
h
aahahah
h
aahaha
x
SOAL LATIHAN
mungkin yang a nilaicarilah 19,(a)' f Jika b.
Radengan (a)' fCarilah a.
}/{D asaldaerah
dengan,723
1f(x) Diketahui 2.
2 xpada,xf(x) b.
4 xpada 2x,-5f(x) a.
disebutkan yang x nilai-nilaiuntuk
berikut fungsi-fungsi darirunan Carilah tu 1.
f
23
23
Rxx
xxx
x
TEOREMA UMUM TURUNAN FUNGSI
) (Terbukti 00Limit h
k-kLimit
h
f(x)-h)f(xLimit(x)' f :BUKTI
0dx
dk atau 0.(x)' f
: maka konstank dengank f(x) Jika
KONSTAN FUNGSI 1. TEOREMA
0 h
0 h
0 h
CONTOH
0 0 Limit h
55Limit
h
f(x)h)f(xLimit (x)' f
:Jawab
5Limit Hitunglah
0 h
0 h
0 h
0 h
FUNGSI IDENTITAS
1)(dx
d atau
1(x)' f maka x, f(x) Jika
IDENTITAS FUNGSI 2. TEOREMA
x
) (Terbukti 11 Limit h
hLimit
h
x-hx Limit
h
f(x)h)f(xLimit (x)' f : BUKTI
0 h
0 h
0 h
0 h
FUNGSI PANGKAT
). Terbukti ( nxx1
n
h...hx2
nx
1
nLimit
h
xhn
n...hx
2
nhx
1
nx
0
n
Limit
h
xh)(xLimit
h
f(x)-h)f(x Limit(x)' f : BUKTI
nx)(xdx
d ataunx(x)' f
makarasional, bilangan n dan xf(x) Jika
PANGKAT FUNGSI 3. TEOREMA
1-n1-n
1n-2n1-n
0 h
nn2-2n1-nn
0 h
nn
0 h0 h
1-nn 1-n
n
CONTOH
250xx50.5nx(x)' f maka50,n,5xf(x) c.
100x100xnx(x)' f maka 100,n,xf(x) b.
3x3xnx(x)' f maka 3n ,xf(x) a. : SOLUSINYA
5xf(x) c.
xf(x) b.
xf(x) a.
: berikut fungsi-fungsi dari fungsi Turunan Carilah
491-501-n50
9911001-n100
2131-n3
50
100
3
AKTIVITAS SISWA
pecahan dan negatif bulat
bilangan nuntuk benar 3 Teorema Buktikan .2
xf(x) f. xf(x) c.
xf(x) e. xf(x) b.
xf(x) d. 4f(x) a.
: berikut fungsi-fungsi dari Turunan Tentukan 1.
413-
-25
10
HASIL KALI KONSTANTA DENGAN FUNGSI
) Terbukti ( (x)' c.f
h
f(x)-h)f(xc. Limit
h
c.f(x)-h)c.f(xLimit
h
g(x)-h)g(xLimit(x)' g : BUKTI
(x)' c.ff(x)dx
dc. c.f(x)
dx
d atau (x)' c.f(x)' g
: maka ada, (x)' f dan c.f(x)g(x) oleh kandidefinisi
yangfungsi g dan konstanta, suatu cfungsi, suatu f Jika
FUNGSI DENGAN KONSTANTA KALI HASIL 4.TEOREMA
0 h
0 h
0 h
CONTOH
66x
55x .5
6
(x)' .g5
6(x)' f ,x
5
6f(x) c.
9000x
100.90x
(x)' 100.g(x)' f ,100x f(x) b.
250x x5
6f(x) c.
5.50x 100x f(x) b.
(x)' 5.g(x)' f ,5x f(x) a. : SOLUSINYA 5x f(x) a.
: berikut f(x) fungsi Turunan Tentukan 1.
54
54
55
89
89
90
4955
4990
5050
AKTIVITAS SISWA
88
100xf(x) c.
5x
.x50xf(x) e.
2x
50f(x) b.
110x
55xf(x) d. x
3
2f(x) a.
: berikut f(x) fungsi Turunan Tentukan
32-
3
1050-
20
35-
15-3
JUMLAH DUA FUNGSI
V' U' V)(U dx
d atau
(x)V'(x)U'(x)' f' y maka
V(x),U(x)f(x) ydan diturunkan dapat yang
x dari fungsi-fungsi adalah V dan U Jika
FUNGSI DUA JUMLAH
5. TEOREMA
BUKTI
) Terbukti ( (x) v' (x)u' h
v(x)-h)v(xLimit
h
u(x)h)u(xLimit
h
v(x)-h)v(x
h
u(x)h)u(xLimit
h
v(x)u(x)h)v(xh)u(xLimit
h
f(x)-h)f(xLimit(x)' f
0 h0 h
0 h
0 h
0 h
SELISIH DUA FUNGSI
v'- u' v)(udx
d
atau (x)V'-(x)U'(x)' f' y
makaV(x),-U(x)f(x) ydan diturunkan
dapat yangx dari fungsi-fungsi adalah V dan U Jika
FUNGSI DUA SELISIH 6. TEOREMA
CONTOH 1
7-12x
07.1-6.2x
(2)dx
d(x)
dx
d7)(x
dx
d6
(2)dx
d)7(
dx
d)6(
dx
d(x)' f 276xf(x)
:SOLUSINYA
276xf(x) dari Turunan Tentukan
2
22
2
xxx
x
CONTOH 2
30x4
1
1.302.8
1
0(x)dx
d30)(x
dx
d
8
1
180dx
d30
dx
dx
8
1
dx
d
18030x8
1
dx
d(x)C'
:berlaku sehingga 1h dengan C(x)-h)C(xC Marginal Biaya
: SOLUSINYA
a.produksiny biaya dari marjinal biaya Tentukan rupiah. ribuan
18030x8
1C(x)sebesar produksi biaya dibutuhkan barang
unit x imemproduksuntuk bahwamenaksir perusahaan Sebuah
2
2
2
2
x
x
x
x
AKTIVITAS KELAS
22
2
23
x
22xf(x) c.
2x)-(6f(x) b.
524xf(x) a.
:BERIKUT FUNGSI-FUNGSI TURUNAN CARILAH
xx
PERKALIAN DUA FUNGSI
)U.(V'U'.(V)(U.V) dx
d
: atau
(x)U(x).V'(x).V(x)U'(x)' f maka
U(x).V(x),f(x) dan diturunkan dapat yang
x dari fungsi-fungsi V dan U Jika
FUNGSI. DUA PERKALIAN 7. TEOREMA
BUKTI
) Terbukti ( (x)V(x).U'(x)U(x).V' h
u(x)-h)u(x Limit v(x).Limit
h
v(x)-h)v(xLimith).u(x Limit
h
u(x)-h)u(xv(x).Limit.
h
v(x)-h)v(xh)u(xLimit
h
u(x).v(x)-h).v(x)u(xh).v(x)u(x-h)h).v(xu(xLimit
h
u(x).v(x)-h)h).v(xu(xLimit
h
f(x)-h)f(xLimit(x)' f
0 h0 h0 h0 h
0 h0 h
0 h
0 h
0 h
CONTOH
29x8x18x
6x6x23x8x12x
x)x)(6()12).(4x(3x
(x).V(x)U'(x)U(x).V'(x)' f
:didapat 7 teorema dalam ke Masukan
14x(x)V' dan 6x(x)U'
xx V(x) dan 23xU(x) Misalkan
: SOLUSINYA
x)2)(x(3xf(x) pertama turunan mencariuntuk 7 Teorema Gunakan
235
25235
432
3
42
42
x
PEMBAGIAN DUA FUNGSI
22 V
UV'VU'
V
U
dx
d atau
V(x)
(x)U(x).V'-(x).V(x)U'(x)' f
maka 0,V(x),V(x)
U(x)f(x) dan
,diturunkan dapat yangx dari fungsi-fungsi V dan U Jika
FUNGSI. DUA PEMBAGIAN
8. TEOREMA
CONTOH
9)(x
9054x40x3x-
9)(x
30x9x9054x10x6x
9)(x
)10x)(3x(3x9)10).(x(6x
9)(x
)10).(3x(3x-9)(6x)(x
V(x)
(x)U(x).V'-(x).V(x)U'(x)' f
: didapat 8 Teorema nBerdasarka
3x(x)V' 9xV(x)
6x(x)U' 103xU(x) Misalkan
:SOLUSINYA9x
103xf(x) turunan mencariuntuk 8 Teorema Gunakan
3
34
3
3434
3
223
3
223
2
23
2
3
2
AKTIVITAS SISWA
12x-x
3-4x3xf(x) d.
5xx1
-3f(x) b.
1-10xx
3x4xf(x) c.
25
123xf(x) a.
: berikut fungsi-Fungsi Turunan Hitunglah
2
2
3
22
x
x
TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI
TanxY 3.
dan CosxY 2.
Sinx Y .1
1. TURUNAN Y=SIN X
) Terbukti ( Cosxh)Cos(xLimit
h).1Cos(xLimith
hSinLimith).Cos(xLimit
h
hh)SinCos(xLimit
h
h21
h)Sin(2x21
2CosLimit
Sinβ-Sinα Rms) (Gunakan h
Sinxh)Sin(xLimit
h
f(x)-h)f(xLimit(x)' f
: BUKTI
x Cos (x)Y' maka x, Sin Y Jika
X SINF(X)
21
0 h
21
0 h21
21
0 h21
0 h
21
21
21
0 h21
21
0 h
0 h0 h
x
2. TURUNAN Y=COS X
) Terbukti ( Sinxh)Sin(x-Limit
h).1Sin(x-Limith
hSinLimith).Sin(x-Limit
h
hh)SinSin(x-Limitx
h
h21
h)Sin(2x21
2Sin-Limit
Cosβ-Cosα Rms) (Gunakan h
Cosxh)Cos(xLimit
h
f(x)-h)f(xLimit(x)' f
: BUKTI
x Sin- (x)Y' maka x, Cos Y Jika
X COSF(X)
21
0 h
21
0 h21
21
0 h21
0 h
21
21
21
0 h21
21
0 h
0 h0 h
3. TURUNAN Y=TAN X
) Terbukti ( xSecxCos
1
xCos
xSinxCos
xCos
)Sinx(-sinx-Cosx.Cosx(x)Y'
maka -Sinx(x)V' CosxV(x) dan
Cosx(x)U' SinxU(x) dimana V(x)
(x)U(x).V'-(x).V(x)U'(x)Y'
dapat di fungsi) dua bagi Hasil Rms. (Gunakan V(x)
U(x)
x Cos
x Sinx Tan Y
: BUKTI
XSEC(X)Y' X TANY Jika
22
2
22
2
2
2
CONTOH
Tentukan Turunan dari fungsi-fungsi berikut:1. f(x) = 4sinx – 2cosx2. f(x) = 2sinxcosx
SOLUSINYA
1. f(x) = 4sinx – 2cosx f ‘ (x) = 4. dsinx-2.dcosx =4cosx+2sinx2. f(x) = 2sinxcosx = sin 2x f ‘(x) = d2x.dsin2x =2cos2x
Buktikan
Turunan dari 1. y= cosecx2. Y=secx3. Y=cotx
AKTIVITAS SISWA
4-x4cos y j. 4cos2x 2sinx y e.
xsin xcos yi. b)(ax tan yd.
12sin- y h. ax tan y c.
sin-1 y g. b)cos(ax y b.
4cos2x 3sin2x y f. b)(ax sin y a.
: berikut fungsi-Fungsi Turunan Tentukan
2
22
2
2
x
x
TURUNAN FUNGSI KOMPOSISIDENGAN ATURAN RANTAI
dx
du.
du
dy
dx
dy atau
(x)(g(x)).g'f'(f(g(x))dx
d (x) y'
: maka
diturunkan dapat yangx dari fungsi merupakan f(g(x)) yserta
diturunkan dapat yangx dari fungsi merupakan g(x)u dan
diturunkan dapat yangu dari fungsi merupakan f(u) y Jika
RANTAI DALIL 9. TEOREMA
CONTOH
52
52
525
62
62
3)5x)(4x 30-48x(
58x.3)5x6(4x
dx
du.
du
dy
dx
dy 58x
dx
du
3)5x6(4x6Udu
dy
U ymaka 35 4xU
:SOLUSINYA
)35(4x y
: dari Turunan Tentukan
x
x
CONTOH 2
43)2)(x(x y
: ini berikut fungsi dari Turunan Carilah
AKTIVITAS SISWA
23
13xf(x) b.
52x-7xf(x) a.
: berikut fungsi Turunan Tentukan .2
2xu dan 4u yb.
1-2xu dan 3u ya.
ini berikut soal padadx
dy Tentukan 1.
2
2
23-
15
x
x
PERSAMAAN GARIS SINGGUNG DISUATU TITIK PADA KURVA
P(X,f(X))
f(x+h)-f(x)h Q(x+h,f(x+h))
x x+hl
g
h
f(x)h)f(xLimit(x)' f adalah
Ptitik di kurva singgung Garis Gradien
0 h
RINGKASAN MATERI
21
21
11
11
0 h
mm makasejajar garisnya Jika.4
1m.m maka lurustegak saling garis Jika3.
)xm(xy- y: adalah m gradiennya
dengan )y,P(xtitik di singgung Garis Persamaan 2.
m h
f(x)-h)f(xLimit(x)' f
adalah y)P(x,titik di Singgung Garis Gradien 1.
CONTOH SOAL 1
9-6xy
918-6x y
3)-6(x 9-y
)x-x m(y-y
: adalah (3,9) di singgung garis persamaan
m62.3(3) ymaka(3,9),titik pada 2x y' xy
:SOLUSINYA
x ykurva pada (3,9)titik di singgung garis persamaan Tentukan
11
'2
2
CONTOH SOAL 2
)1(22
12
2
1 y )(2
2
12
2
1-y
)xm(xy-y
adalah )22
1,
4
π( di singgung garis Persamaan
22
1 cos)( y' cosx y' sinxy
: SOLUSINYA
sinx ykurva pada )22
1,
4
π(titik di singgung garis persamaan Tentukan
44
11
44
xx
m
AKTIVITAS SISWA
010x8y garis lurustegak 32x yd.
03y-2x garissejajar 3xx yc.
di(2,4),42x-x yb.
(1,-42) 40,.di-3x-x ya.
:berikut kurva pada singgung garis persamaan Carilah 2.
4dan,2
1-1,1,0,x
di tersebut kurva singgung garis gambarlah kemudian
5x5- interval pada 12xf(x)grafik Gambarlah 1.
2
2
23
2
2
x
FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN
Sifat-sifat suatu fungsi dapat diselidiki dengan menggunakan turunan.
1. Syarat fungsi naik dalam suatu interval tertentu yaitu Fungsi dikatakan naik jika seiring pertambahan nilai x ke kanan,maka nilai f(x) bertambah.atau f ‘(x)>0
2. Syarat fungsi turun yaitu jika seiring pertambahan nilai x kekanan,maka nilai f(x) berkurang.atau f ‘(x)<0
SKETSA FUNGSI NAIK DAN TURUN
1x 1x2x
y=f(x)
y=f(x)
2x
)f(x1 )f(x1 )f(x2)f(x2
Fungsi Naik
(a)
Fungsi Turun
(b)
CONTOH
barangnya? produksi penambahan
dengan seiring turun ataunaik aMarjinalny biaya Apakah
a.Marjinalny biaya n10.Tentuka50x5xx5
2C(x)
dengan diberikan barang unit x produksi total Biaya
23
Jawabannya
barang. produksi
penambahan dengan seiringnaik akan Marjinal Biaya sehingga
0 daribesar lebih selalu akan (x)M' maka 0x Karena 10x5
12
10x5
62.(x)M'
.5010x5
6 M(x)
ternyata :0xuntuk 0,(x)M' 0;(x)M' apakah yaitu
barang penambahan dengan seiring turun ataunaik marjinal biaya bahwa
menentukanuntuk Kemudian .5010x5
6 M(x) di Ja
5010x5
6
505.2x .3x5
2
(x)c'M(x) Marjinal Biaya
2
2
2
2
x
x
x
CONTOH 2
(Positif) 06612)2(33(2) (2)' f
(Negatif) 04
3-
4
6
4
3)
2
1(3)
2
13( )
2
1(' f
(Positif) 06)1(33(-1)(-1)' f
2x dan,2
1x -1,xtitik di (x)' f nilai selidiki dan bilangan garisGambar
1x atau 0x 1)-3x(x
33x(x)' f x2
3xf(x)
turun. ataunaik x2
3xf(x) fungsiagar interval Tentukan
2
2
2
223
23
x
0 1
+ + + + + +- - -
1x0 interval pada Turun
dan 1x dan 0x interval padanaik x2
3-xf(x) Jadi 23
AKTIVITAS SISWA
naik?. fungsi
merupakan amarjinalny biaya Kapankah .2xx4xC(x)
dengan dinyatakan barang unit x dari produksi biaya Misalkan .2
)x(1
x-1f(x) d). 1xxf(x) b).
4x
xf(x) c). 3xxf(x) a).
turun ataunaik berikut fungsi-fungsiagar interval Tentukan 1.
23
22
22
2
223
Jawaban
(3)f'
(1)f'
(-1)f'
3x dan 1x -1,x di (x)f' nilai selidika
2x atau 0x 02)-3x(x
06x3x
0(x)f'naik fungsi Syarat
6x3x(x)f' 3xxf(x)
2
223
SKETSA GRAFIK DENGAN UJI TURUNAN
SKETSA GRAFIK DENGAN UJI TURUNAN PERTAMA
Stasioner.Titik 5.
turun ataunaik fungsi Interval 4.
fungsi definisi Interval 3.
koordinat sumbu-sumbu dengan potongTitik 2.
kuadrat) atau(Linear Dasar Bentuk 1.
: Syaratnya
CONTOH
dan(1,-10) (-5,98) adalah yastasionerntitik -titik i Jad
-10y
2-15.(1)-6.(1)(1) ymaka 1x a Jik
98 y
2-15.(-5)-6.(-5)(-5) ymaka -5x a Jik
1x atau 5x
01)-5)(x(x
01)-5)(x3(x
0.15123x
0y'stasioner titik Syarat .15123x y'
215x6xx ya.
: JAWAB
grafiknya. sketsa Buatlah c.
a dari diperoleh yangstasioner titik titik dari JenisTentukan b.
215x6xx yfungsiuntuk stasioner titik Carilah a.
23
23
2
2
23
23
x
x
b. LANJUTAN
turunan. tabel dalam hasilnya masukkan
0 21 y'maka 2x
dan -15 y'maka 0x
0 21 y'maka -6x
turunan. fungsi kedalam masukan
sampel sebagai 2x dan 0,x -6,x pilih kita Misalnya
stasioner.titik kanan dan kiri disebelah ujititik pakai
kita makastasioner,titik jenis menentukanUntuk
TABEL TURUNAN
X -6 -5 0 1 2
Y’Kemiringan
+/
0-
-\
0-
+/
minimum.balik titik adalah (1,-10) dan
maksimumbalik titik adalah (-5,98) demikian Dengan
c. LANJUTAN
(-7,873,0) dan ,(-0,127,0)(2,0),
adalah x, sumbu dengan potongtitik i Jad
7,873- x atau -0,127,x atau 2,x
ABC) rumus (Pakai 15-4x atau 2x
018xx atau 2x
01)8x2)(x-(x
02-15x-6xx
0 ymaka x sumbu dengan potongTitik 1.
lagititik beberapa dibutuhkan
2-15x-6xx yfungsigrafik mengsketsaUntuk
2
2
23
23
C LANJUTANTitik potong dengan sumbu y maka x=0Y=-2Jadi titik potong dengan sumbu y adalah (0,-2)Dari tabel turunan dapat disimpulkan bahwa:Grafik naik pada selang (-~,-5)dan(1,~) dan turunPada interval selang (-5,1)
LANJUTAN SKETSA GRAFIK(-5,98)
(1,-10)
(0,-2)
(-0,127,0)(-7,873,0) (2,0)
Y
X
2-15x-6xxy 23
AKTIVITAS SISWA
lain.titik beberapa bantuan dengan grafiknyaGambar d.
turunan.
tabel nmenggunaka denganbelok titik atauminimum,
maksimum, sebagaistasioner nilai jenis ikanKlasifikas c.
n.bersesuaia yang y
nilai dan 0(x) y'memenuhi yangx nilai Tentukan b.
dapat. di yangkuadratbentuk faktorkan dan y'Tentukan a.
4x-x-x yMisalkan 23
SKETSA GRAFIK DENGAN UJI TURUNAN KEDUA
CONTOH :
a dari informasi anmemanfaatk
dengan xxgrafik y sketsa Buatlah b.
xxgrafik y padastasioner
titik semua ikanklasifikas dan Tentukan a.
34
34