7
BAB II
KAJIAN PUSTAKA
2.1. Kajian Teori
2.1.1. Pemahaman Konsep
Pemahaman menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia adalah proses, cara,
perbuatan memahami atau memahamkan. Menurut Sudaryono (2012) pemahaman
adalah kemampuan seseorang untuk mengerti dan memahami sesuatu setelah
sesuatu itu diketahui atau diingat, yang dinyatakan dengan menguraikan isi pokok
dari suatu bacaan atau mengubah data yang disajikan dalam bentuk tertentu
kebentuk yang lain. Selanjutnya, Sanjaya (2006 : 28) pemahaman dapat diartikan
sebagai kedalaman pengetahuan yang dimiliki individu.
Jadi dapat disimpulkan bahwa pemahaman adalah bagaimana seseorang
membedakan, menduga, menerangkan, memperluas, menyimpulkan, memberikan
contoh, menuliskan kembali, dan menerangkan. Seseorang dapat dikatakan
memahami sesuatu apabila ia dapat memberikan penjelasan atau memberi uraian
lebih rincih tentang hal itu dengan menggunakan kata-katanya sendiri terhadap
materi pelajaran yang disampaikan guru bahkan siswa mampu menerapkan atau
menggunakan kedalam konsep-konsep lain.
Kemampuan pemahaman matematis adalah salah satu tujuan penting
dalam pembelajaran, memberikan pengertian bahwa materi-materi yang diajarkan
kepada siswa bukan hanya sebagai hafalan, namun lebih dari itu dengan
pemahaman siswa dapat lebih mengerti akan konsep materi pelajaran itu
sendiri. Dalam proses pembelajaran setiap siswa memiliki kemampuan yang
berbeda-beda dalam memahami apa yang sedang atau sudah siswa pelajari.
8
Menurut Sudjana (2002) bahwa pemahaman dapat dibedakan menjadi 3 kategori
yaitu: (1) Tingkat terendah adalah pemahaman terjemahan, mulai dari
menerjemahkan dalam arti yang sebenarnya, mengartikan dan menerapkan
prinsip-prinsip. (2) Tingkat kedua adalah pemahaman penafsiran yaitu
menghubungkan bagian grafik dengan kejadian atau membedakan yang pokok
dengan yang tidak pokok. (3) Tingkat ketiga merupakan ekstrapolasi.
Salah satu modal utama dalam mempelajari matematika adalah
pemahaman konsep. Pemahaman konsep merupakan salah satu aspek penilaian
dalam pembelajaran matematika. Tujuan penilaian pada pemahaman konsep
adalah untuk mengetahui sejauh mana kemampuan siswa menerima dan
memahami konsep dasar matematika yang diterima siswa dalam pembelajaran
matematika. Depdiknas (2003) menyatakan pemahaman konsep merupakan salah
satu kecakapan atau kemahiran matematika yang diharapkan dapat tercapai dalam
belajar matematika yaitu dengan menunjukkan pemahaman konsep matematika
yang dipelajarinya, menjelaskan keterkaitan antar konsep dan mengaplikasikan
konsep secara luwes, akurat, efisien dan tepat dalam pemecahan masalah. Jadi
pemahaman konsep begitu penting, karena dengan menguasai konsep akan
memudahkan siswa dalam pembelajaran matematika.
Setiap siswa memiliki pemahaman konsep yang berbeda, pemahaman
konsep tergantung pada pengalaman dan perspektif yang dipergunakan dalam
menginterprestasikan pengalaman itu (Dewi : 2006). Menurut Dubinsky (2000)
pemahaman terhadap konsep matematika merupakan hasil konstruksi atau
rekonstruksi tersebut dilakukan melalui aktivitas berupa aksi-aksi matematika,
proses-proses, objek-objek yang diorganisasikan dalam suatu skema untuk
9
memecahkan suatu permasalahan. Jadi dapat disimpulkan bahwa pemahaman
konsep pada penelitian ini diartikan sebagai kemampuan siswa dalam
mengkonsrtuksi atau merekonsrtuksi aksi, proses, objek, matematika dan
mengorganisasikannya dalam struktur skema yang dapat digunakan dalam
menyelesaikan permasalahan himpunan.
2.1.2. Teori APOS
Teori APOS adalah teori yang pertama kali diperkenalkan oleh
Dubinsky. Teori APOS merupakan akronim dari Action, Process, Object, dan
Schema. Menurut Dubinsky (2000) Pengetahuan matematika seseorang individu
adalah kecenderungan individu tersebut untuk merespon dan memahami situasi
permasalahan matematika dengan melakukan refleksi dalam konteks sosial dan
mengkonstruk. Menurut Dubinsky &McDonals (2001) teori APOS hadir diawali
dengan hipotesis bahwa pengetahuan matematika terkandung dalam
kecenderungan individu berkaitan dengan situasi permasalahan matematika yang
dihadapi dengan mengkonstruk aksi, proses, dan objek mental serta
mengorganisasikannya dalam skema untuk memahami situasi itu dalam
memecahkan masalah tersebut. Konstruksi-konstruksi mental itu disebut teori
APOS.
Menurut Dubinsky (2000) menyatakan teori APOS adalah suatu teori
konstuktivis tentang bagaimana kemungkinan berlangsungnya pencapaian atau
pembelajaran suatu konsep atau prinsip matematika yang dapat digunakan sebagai
suatu elaborasi tentang konstruksi mental dari aksi, proses, objek dan skema.
Selanjutnya, Dubinsky (2000) bahwa pemahaman suatu konsep matematika
merupakan hasil konstruksi atau rekonstruksi terhadap objek-objek matematika
10
dimana konstruksi atau rekonstruksi tersebut dilakukan melalui aktivitas berupa
aksi-aksi matematika, proses-proses, objek-objek yang diorganisasikan dalam
suatu skema untuk memecahkan suatu permasalahan.
Teori APOS dapat digunakan secara langsung dalam menganalisis data
oleh seorang peneliti (Dubinsky &McDonalad, 2001). Teori APOS dapat
digunakan untuk membandingkan kemampuan siswa dalam membangun mental
yang telah terbentuk. Contohnya ada dua siswa yang sama-sama menguasai
konsep matematika, dengan teori APOS dapat diteliti lebih lanjut siapa yang
memiliki konsep matematika yang lebih baik sehingga dapat dikatakan bahwa
teori APOS ini merupakan tahapan-tahapan siswa dalam memahami suatu konsep
matematika. Dibawah ini akan diberikan deskripsi yang lebih lengkap untuk
masing-masing tahapan konstuksi mental tersebut.
2.1.2.1 Aksi (action)
Aksi adalah transformasi dari objek-objek yang dipelajari dan yang
dirasakan oleh individu sebagai bagian eksternal dan sebagai kebutuhan, secara
eksplisit dari memori, instruksi tahap demi tahap tentang bagaimana melakukan
operasi (Dubinsky & McDonald, 2001). Selain itu, menurut Syaiful (2013)
seseorang yang memiliki pemahaman lebih mendalam tentang suatu konsep,
mungin akan melakukan aksi lebih baik ata bisa juga terjadi bahwa fokus
perhatiannya keluar dari konsep yang diberikan sehingga aksi diharapkan tidak
terjadi.
Pemahaman pada tingkat aksi terjadi pengulangan manipulasi mental
atau fisik dalam mentransformasikan objek matematika melalui beberapa cara
atau aktifitas yang mendasarkan pada beberapa algoritma secara eksplisit sehingga
11
siswa masih membutuhkan bimbingan untuk melakukan transformasi, baik secara
fisik ataupun secara mental objek. Oleh karena itu kinerja yang dilakukan pada
tingkat aksi ini merupakan kinerja berupa aktivitas prosedural.
2.1.2.2 Proses (Process)
Proses adalah struktur mental dengan melakukan operasi yang sama
dengan aksi akan tetapi sepenuhnya dipikirkan individu, individu bisa melakukan
transformasi tanpa harus melakukan setiap langkah secara eksplisit (Maharaj,
2010: 43). Ketika aksi dilakukan secara berulang dan seseorang melakukan
refleksi terhadap aksi itu, maka aksi-aksi tersebut diinteriorisasi menjadi proses,
yaitu suatu konstruksi internal yang dilakukan pada aksi yang sama tetapi
sekarang tidak perlu lagi dari rangsangan eksternal (Dubinsky & McDonald,
2001). Jadi seseorang dapat dikatakan mengalami suatu proses tentang sebuah
konsep yang tercakup dalam masalah yang dihadapi, apabila berpikirnya terbatas
pada ide matematika yang dihadapi serta ditandai dengan munculnya kemampuan
untuk membicarakan atau melakukan refleksi atas ide matematika tersebut.
Dengan kata lain, pada tingkat proses siswa memiliki pemahaman prosedural.
2.1.2.3 Objek (Object)
Sebuah objek dikonstruk dari sebuah proses ketika individu sadar bahwa
proses sebagai totalitas dan menyadari bahwa transformasi dapat bertindak di
atasnya (Dubinsky & McDonald, 2001). Seseorang dapat dikatakan telah
memiliki sebuah konsepsi objek dari suatu konsep matematik ketika dia telah
mamu memperlakukan ide atau konsep tersebut sebagai sebuah objek kognitif ya
mencakup kemampuan dalam melakukan aksi atas objek tersebut serta memberi
alasan atau penjelasan tentang sifat-sifatnya.
12
Objek dikonstruksi dari proses ketika siswa telah mengetahui bahwa
proses sebagai suatu totalitas dan menyadari bahwa transformasi dapat dilakukan
pada proses tersebut. Dengan kata lain, pada tahap objek siswa memiliki
pemahaman konseptual.
2.1.2.4 Skema (Schema)
Sebuah skema dalam konsep matematika tertentu adalah kumpulan aksi,
proses, benda, dan skema lainnya yang dihubungkan oleh beberapa prinsip umum
untuk membentuk kerangka dalam pikiran individu yang digunakan untun
menyelesaikan masalah yang melibatkan konsep (Dubinsky & McDonald, 2001).
Secara sederhana, skema diibaratkan sebagai konsep-konsep atau kategori-
kategori yang digunakan untuk mengidentifikasi da mengklarifikasikan stimulus-
stimulus (pengetahuan/informasi) yang datang dari luar. Dengan kata lain, skema
merupakan suatu totalitas pemahaman siswa terhadap suatu konsep yang sejenis.
Berikut kriteria yang menunjukkan bahwa pemahaman seorang siswa
berdasarkan teori APOS tentang himpunan dapat dilihat pada Tabel 2.1 dibawah
ini.
13
Tabel 2.1 Indikator Pemahaman Siswa berdasarkan Teori APOS pada
Materi Himpunan
Kerangka kerja APOS Deskripsi APOS pada materi
himpunan
1. Aksi
Aksi adalah transformasi dari objek-
objek yang dipelajari dan yang
dirasakan oleh individu sebagai bagian
eksternal dan sebagai kebutuhan, secara
eksplisit dari memori, instruksi tahap
demi tahap tentang bagaimana
melakukan operasi
Siswa dapat:
- Menentukan anggota himpunan dari
suatu himpunan
- Menentukan apa yang diketahui
pada soal cerita
2. proses
Ketika aksi dilakukan secara berulang
dan seseorang melakukan refleksi
terhadap aksi itu, maka aksi-aksi
tersebut diinteriorisasi menjadi proses,
yaitu suatu konstruksi internal yang
dilakukan pada aksi yang sama tetapi
sekarang tidak perlu lagi dari
rangsangan eksternal
Siswa dapat:
- Menjelaskan cara mengambar
himpunan dalam satu diagram Venn
3. Objek
Sebuah objek dikonstruk dari sebuah
proses ketika individu sadar bahwa
proses sebagai totalitas dan menyadari
bahwa transformasi dapat bertindak di
atasnya
Siswa dapat:
- Menyatakan definisi irisan dan
gabungan
- Memberikan contoh dan bukan
contoh irisan dan gabungan
4. Skema
Sebuah skema dalam konsep
matematika tertentu adalah kumpulan
aksi, proses, benda, dan skema lainnya
yang dihubungkan oleh beberapa
prinsip umum untuk membentuk
kerangka dalam pikiran individu yang
digunakan untun menyelesaikan
masalah yang melibatkan konsep
Siswa dapat:
- Menentukan nilai dari gabungan dan
bukan gabungan dari tiga himpunan
- Siswa dapat merancang model
matematika dari suatu permasalahan
matematika yang berkaitan dengan
himpunan.
14
2.1.4 Materi Himpunan
2.1.4.1 Definisi Himpunan
Himpunan adalah kumpulan benda-benda atau objek yang anggota-
anggotanya dapat dikelompokkan atau ditetapkan secara jelas. Kumpulan benda-
benda yang jelas, artinya kumpulan objek yang anggota-anggotanya dapat
ditetapkan secara jelas. Sedangkan kumpulan benda-benda yang tidak jelas,
artinya kumpulan objek yang anggota-anggotanya tidak dapat ditetapkan dengan
jelas. Suatu himpunan biasanya dinyatakan dengan menggunakan tanda kurung
kurawal dan diberi nama dengan menggunakan huruf kapital, misalnya A, B, C,
dan seterusnya.
2.1.4.2 Penyajian Himpunan
(a) Mendaftarkan anggotanya
Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan menyebutkan semua anggotanya
yang dituliskan dalam kurung kurawal ({}). Manakala banyak anggotanya
sangat banyak. Cara mendaftar ini biasanya dimodifikasi, yaitu diberi tanda
tiga titik (“...”) dengan pengertian “dan seterusnya mengikuti pola”.
(b) Menyatakan sifat yang dimiliki anggotanya
Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan menyebutkan sifat yang dimiliki
anggotanya. Misal P adalah himpunan bilangan prima antara 10 dan 40,
ditulis .
(c) Menuliskan Notasi pembentuk himpunan
Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan menuliskan syarat keanggotaan
himpunan tersebut. Notasi ini biasanya berbentuk umum dimana
mewakili anggota dari himpunan, dan menyatakan syarat yang harus
15
dipenuhi oleh agar bisa menjadi anggota himpunan tersebut. Simbol
bisa diganti oleh variabel yang lain seperti , dan lain-lain. Misalnya
. Dengan notasi pembentuk
himpunan ditulis dibaca “
Himpunan , sedemikian sehingga adalah bilangan prima antara 10 dan
40 “.
2.1.4.3 Himpunan Semesta dan Kardinalitas Himpunan
(a) Himpunan Semesta
Himpunan semesta adalah himpunan seluruh unsur yang menjadi objek
pembicaraan dan dilambangkan dengan S.
Gambar 2.1 Himpunan Semesta
(b) Kardinalitas Himpunan
Kardinalitas himpunan adalah bilangan yang menyatakan banyaknya
anggota dari suatu himpunan dan dinotasikan dengan .
2.1.4.4 Diagram Venn
Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan cara menuliskan anggotanya
dalam suatu gambar (diagram) yang dinamakan dengan diagram Venn. Aturan
dalam pembuatan diagram Venn sebagai berikut:
(a) Menggambar sebuah persegi panjang untuk menunjukkan semesta dengan
mencantumkan huruf S di pojok kiri atas.
S A B C
16
(b) Menggambar kurva tertutup sederhana yang menggambarkan himpunan
(c) Membentuk noktah (titik) berdekatan dengan masing-masing anggota
himpunan
(d) Macam-macam diagram venn
Gambar 2.2 Diagram Venn
2.1.4.5 Jenis-jenis Himpunan
(a) Himpunan kosong
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota satupun
didalamnya. Dinotasikan dengan atau .
(b) Himpunan bagian (subset)
Himpunan A merupakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B atau B
superset dari A jika dan hanya jika setiap anggota himpunan A merupakan
anggota himpunan B, dinotasikan atau . Jika ada anggota
A yang bukan anggota B maka A bukan himpunan bagian dari B,
dinotasikan .
(c) Himpunan kuasa
Himpunan kuasa himpunan A adalah himpunan-himpunan bagian dari A,
dilambangkan dengan . Banyak anggota himpunan kuasa dari
himpunan A dilambangkan dengan .
B
A
S S S S
B, A A B A B
17
(d) Himpunan yang sama
Himpunan A dikatakan sama himpunan B jika dan hanya jika setiap anggota
A juga merupakan anggota himpunan B demikian pula sebaliknya.
Dilambangkan dengan ditulis .
(e) Himpunan yang ekuivalen
Himpunan A dikatakan ekuivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika
kardinal kedua himpunan tersebut sama. Dilambangkan dengan ditulis
.
(f) Himpunan yang saling lepas
Himpunan A dikatakan saling lepas dengan himpunan B jika kedua
himpunan tidak memiliki anggota yang sama. Dilambangkan dengan .
2.1.4.6 Operasi terhadap Himpunan
(a) Irisan (intersection)
Irisan himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya semua anggota
S yang merupakan anggota himpunan A dan anggota himpunan B,
dilambangkan dengan . Irisan dua himpunan di notasikan :
. dalam diagram Venn disajikan sebagai daerah
yang diarsir.
Gambar 2.3 diagram Venn
A B
S
18
(b) Gabungan
Gabungan himpunan A dan B adalah jimpunan yang anggotanya semua
anggota S yang merupakan anggota himpunan A atau anggota himpunan B,
dilambangkan dengan . Gabungan dua himpunan di notasikan
. dalam diagram Venn disajikan
sebagai daerah yang diarsir
Gambar 2.4 Diagram Venn
(c) Komplemen
Komplemen himpunan A adalah suatu himpunan semua anggota himpunan
S yang bukan anggota himpunan A, di notasikan . Notasi pembentuk
himpunan adalah . Pada diagram Venn
adalah daerah yang diarsir.
Gambar 2.5 Diagran Venn
A B S
A S
19
Sifat-sifat komplement dari himpunan, misalkan A dan B adalah himpunan
maka berlaku:
1)
2)
3) Jika adalah komplemen himpunan A, maka
(d) Selisih
Selisih himpunan B terhadap himpunan A adalah himpunan semua anggota
himpunan A yang bukan anggota himpunan B, di notasikan . Notasi
pembentuk himpunan adalah
. Pada diagram Venn A-B adalah daerah yang diarsir.
Gambar 2.6 Diagran Venn
Sifat-sifat selisih dari himpunan, untuk sebarang himpunan A dan B
berlaku:
1) Jika maka dan
2) Jika , maka
2.1.4.7 Sifat-sifat Himpunan
(a) Idempoten
Untuk sebarang himpunan A berlaku:
;
A B S
20
(b) Identitas
Untuk sebarang himpunan A, berlaku:
;
(c) Komutatif
Untuk sebarang himpunan A, B dan C berlaku:
;
(d) Assosiatif
Untuk sebarang himpunan A, B dan C berlaku:
;
(e) Distributif
Untuk sebarang himpunan A, B dan C berlaku:
;
2.2 Hasil Penelitian terdahulu
Berikut ini beberapa penelitian terdahulu yang menggunakan teori APOS
untuk menganalisis pemahaman konsep siswa maupun mahasiswa yaitu:
1) Fitriastika (2014) yang berjudul “Analisis Pemahaman Siswa tentang Fungsi
Kuadrat berdasarkan Teori APOS pada Siswa Kelas X Jurusan Permesinan
SMK Negeri 2 Salatiga”, Jenis penelitian ini adalah penelitian deskriptif
kualitatif yang bertujuan untuk menggali dan mendeskripsikan tentang
analisis pemahaman siswa berdasarkan teori APOS pada materi fungsi
kuadrat. Hasil penelitian ini berupa tes uraian dan melalui wawancara
terhadap 4 subjek untuk memperoleh informasi yang mendalam tentang
tahap pemahaman siswa berdasarkan teori APOS.
21
2) Melani (2016) yang berjudul “Analisis Pemahaman Siswa Materi Bangun
Ruang Kelas VIII SMP Berdasarkan Teori APOS Di Tinjau dari Aktivitas
Belajar Siswa”, Jenis penelitian ini adalah penelitian kualitatif.
Pengumpulan data dilakukan melalui angket aktivitas belajar siswa, lembar
tugas siswa dan pedoman wawancara terhadap 6 subjek. Hasil penelitian ini
menunjukkan 6 subjek mencapai tahap APOS yang bebeda-beda : 1. Siswa
yang berativitas belajar tinggi dalam menyelesaikan lembar tugas siswa
dapat mencapai tahap aksi, proses, objek dan skema; 2. Siswa yang
berativitas belajar sedang dalam menyelesaikan lembar tugas siswa dapat
mencapai tahap aksi, proses, dan objek; 3. Siswa yang berativitas belajar
rendah dalam menyelesaikan lembar tugas siswa dapat mencapai tahap aksi.
3) Rahmawati (2015) Skripsi yang berjudul “Analisis Pemahaman Siswa
berdasarkan Teori APOS (action, process, object dan schema) pada materi
Barisan dan Deret di Kelas XI SMK Al-Badar Kedungwaru Tulungagung.
Jenis penelitian ini adalah penelitian kualitatif, berdasarkan pembahasannya
termasuk penelitian deskriptif dengan menggunakan pendekatan studi kasus.
Metode pengumpulan data menggunakan observasi, wawancara, dan
dokumentasi. Analisa data dilakukan mulai dari reduksi data, penyajian
data, dan menarik kesimpulan. Hasil penelitiannya yaitu 1) pada tahap aksi,
siswa hanya dapat menyatakan perbedaan antara suatu barisan dan deret
dengan memperhatikan pola dari beberapa suku pada barisan dan deret. 2)
Pada tahap proses, siswa telah memiliki pemahaman prosedural, yaitu dapat
menjelaskan cara menentukan suku dari suatu barisan dan deret dengan
memperhatikan pola beberapa suku pada suatu barisan dan deret. 3) Pada
22
tahap objek, siswa telah memiliki pemahaman konseptual, yaitu siswa sudah
mengetahui karakteristik suatu barisan dan deret, dapat menyatakan definisi
suatu barisan dan deret, dapat memberikan contoh dan bukan contoh suatu
barisan, dan dapat menyatakan hubungan antara satu suku dengan suku
lainnya pada suatu barisan. 4) Pada tahap skema, siswa memiliki skema
awal tentang suatu barisan dan deret, yaitu dapat mengkonstruksi suatu
koordinasi yang mengaitkan aksi, proses, atau objek yang terpisah untuk
menyelesaikan suatu soal aplikasi barisan dan deret serta dapat mengaitkan
skema awal tentang barisan dan deret dengan skema fungsi.
4) Natalia (2016) yang berjudul “Analisis Tingkat Pemahaman Siswa
Berdasarkan Teori Apos Pada Materi Persamaan Kuadrat Ditinjau Dari
Minat Belajar Siswa Kelas X Sma Negeri 2 Surakarta”, Jenis penelitian ini
adalah kualitatif. Dari penelitian ini dapat disimpulkan sebagai berikut : (1)
subjek dengan minat belajar tinggi berada pada tingkat pemahaman skema.
Subjek mampu merancang model matematika dari suatu permasalahan
matematika yang berkaitan dengan persamaan kuadrat, kemudian mencari
pemecahannya dengan menggunakan berbagai aturan atau rumus yang perlu
dilibatkan dalam mencari penyelesaiannya. Subjek mampu mengkaitkan
hubungan antara konsep persamaan kuadrat dengan konsep-konsep yang
lain; (2) subjek dengan minat belajar sedang berada pada tingkat
pemahaman proses. Subjek mampu mencari penyelesaian persamaan yang
tidak langsung disajikan dalam bentuk umum persamaan kuadrat tanpa
harus mengubahnya ke bentuk umum persamaan kuadrat terlebih dahulu;
dan (3) subjek dengan minat belajar rendah berada pada tingkat pemahaman
23
aksi. Subjek hanya mampu menyelesaikan persamaan yang disajikan dalam
bentuk umum persamaan kuadrat.
5) Mulyono (2012) yang berjudul “Analisis Pemahaman Mahasiswa Field
Dependent dalam Mengkonstrksi Konsep Grafik Fungsi”. Hasil dari
peneliian tersebut adalah kinerja dalam tahap-tahap APOS tidak semua
dilakukan dengan sempurna. Ketidaksempurnaan tersebut terdapat pada tahp
aksi dan tahap proses, yaitu dalam hal mencari range fungsi, titik kritis, nilai
ekstrim dan titik belok.