Download - Bab 2 student (force vectors)

MEKANIK KEJURUTERAAN (JJ205)

BAB 2

FORCE VECTOR

Daya sebagai Kuantiti Vektor

Daya ditakrifkan sebagai sebab yang mengakibatkan pergerakan satu jasad yang berkeadaan diam atau perubahan halaju bagi jasad yang berada dalam pergerakan seragam. Untuk melengkapkan sesuatu daya kita mestilah mengetahui tiga pekara berikut :

a) Magnitud – saiz dayab) Arah - garis tindakan daya seperti menegak, mendatar dan sebagainyac) Titik atau tempat tindakan daya

Cara yang sesuai untuk mempersembahkan sifat-sifat diatas ialah dengan menggunakan anak panah yang dikenali sebagai vektor daya. Ini adalah kerana daya merupakan satu kuantiti vektor yang mempunyai mag nitud dan arah. Sebagai contoh yang ditunjukkan rajah dibawah, dua daya bertindak pada magnitud yang sama tetapi berlainan arah terhadap zarah.

Daya vektor Positif, 10kN Daya vektor negativ, -10kN

Paduan Daya Vektor

Apabila dua vektor daya bertindak pada satu zarah seperti rajah dibawah, daya-daya ini boleh digantikan dengan satu vektor daya tunggal yang mempunyai kesan yang sama dengan kedua-dua daya tadi. Daya tunggal ini dikenali sebagai daya paduan, R.

JKM,POLIMASSHAIFUL ZAMRI


Operasi Vektor

Penambahan Vektor

Jika terdapat beberapa daya bertindak pada satu zarah pada arah yang sama, paduan daya, R yang bertindak keatas zarah itu boleh dinyatakan oleh jumlah algebra vektor daya-daya yang bertindak keatasnya. Rajah dibawah menunjukkan dua daya P dan Q bertindak keatas satu zarah. Paduan Vektor daya, R yang bertindak keatas zarah tersebut adalah R = P + Q



Penolakkan Vektor

Jika terdapat beberapa daya yang berlawanan arah , paduan vektor daya,R yang bertindak keatas zarah itu dinyakan oleh perbezaan diantara vektor daya-daya tersebut seperti yang ditunjukan rajah dibawah

Kaedah Segiempat Selari Daya

Jika dua daya P dan Q yang bertindak keatas satu zarah di O, mempunyai magnitud dan arahnya diwakili oleh vektor OA dan OB,maka daya paduan R yang bertindak keatas zarah tersebut diwakili oleh vektor OC (rajah dibawah)

Jika θ ialah sudut diantara OB dan OA, maka magnitud bagi paduan daya OC boleh didapati dengan menggunakan Hukum Kosinus keatas segitiga OAC.

(OC)2 = (OA)2+(AC)2 - 2(OA)(AC)kos(180-θ)

Tetapi diketahui AC = OB = Q

OA = P

OC = R

dan kos(180-θ)= - kosθ



R2 = P2 + Q2 + 2PQ kosθ

R= √P2+Q2+2PQkosθDengan menggunakan Hukum Sinus keatas segitiga OAC,

ACsinα

= OCsin (180−θ)

ACsinα

= OCsin θ

Tetapi diketahui AC = Q dan OC = R

Qsinα

= Rsin θ

Hukum kosinus

Katakan sudut diantara daya F, F1 dan F2 diketahui. Maka

Hukum sinus


F2=F12+F2

2−2F1F2kosα

F12=F2+F2

2−2FF2 kosα

F22=F2+F1

2−2FF 1kos α

Fsinα

=F1sin β

=F2sinθ


Example 1

The screw eye is subjected to two forces F1 and F2. Determine the magnitude and direction of the resultant force.



Example 2

Resolve the 1000 N ( ≈ 100kg) force acting on the pipe into the components in the

(a) x and y directions,

(b) and (b) x’ and y directions.



Example 3

The force F acting on the frame has a magnitude of 500N and is to be resolved into two components acting along the members AB and AC. Determine the angle θ, measured below the horizontal, so that components FAC is directed from A towards C and has a magnitude of 400N.



Example 4

The ring is subjected to two forces F1 and F2. If it is required that the resultant force have a magnitude of 1kN and be directed vertically downward, determine

(a) magnitude of F1 and F2 provided θ = 30°, and

(b) the magnitudes of F1 and F2 if F2 is to be a minimum.



Penambahan sistem daya coplanar

Apabila sesuatu sistem mempunyai dua atau lebih daya yang bertindak, ia lebih mudah untuk menentukan setiap komponen daya dengan menggunakan segiempat daya melalui paksi x dan paksi y. dengan meletakan komponen algebra dan daya paduan yang terhasil

Scalar Notation

paksi x dan paksi y pada gambarajah (a) dan (b) menunjukkan arah positif dan negatif dimana Komponen pada gambarajah (a) menunjukkan dua skala positif iaitu Fx dan Fy disepanjang paksi x dan paksi y. Manakala gambarajah (b) menunjukkan Fx dan -Fy. didalan kes ini komponen y adalah negatif kerana berada pada paksi y yang negatif.

Cartesian vector Notation

Dua vektor dengan seunit magnitud di pekenalkan pada sub topik ini, yang mana dua unit vektor ini dipanggil Cartesain unit vektor i dan j. rajah (a) dan (b) menunjukkan unit vektor

F = Fxi + Fyj

F’ = F’xi + F’y(-j) F’ = F’xi – F’yj


F=Fx+F y


Contoh 5

Daya 800N dikenakan pada nat seperti gambarajah dibawah . tentukan daya pada komponen mendatar dan menegak



Contoh 6

Seorang pekerja menarik seutas tali yang di ikat pada banggunan dengan 300N seperti yang ditunjukkan dibawah, tentukan daya pada komponen mendatar dan menegak pada titik A



Coplanar Force Resultants ( paduan daya coplanar)

Didalam meyelesaikan masalah yang melibatkan beberapa daya coplanar, kita perlulah mengetahui kedudukan daya pada komponen x dan y, kemudian tambahkan komponen x dan y menggunakan skala algebra. Daya paduan diperolehi melalui parallelogram law

F1 = F1xi + F1yj

F2 = - F2xi + F2yj

F3 = F3xi – F3yj

FR = F1 + F2 + F3

= F1xi + F1yj - F2xi + F2yj + F3xi – F3yj

= (F1x - F2x + F3x)i + (F1y + F2y – F3y)j

= (FRx)i + (FRy)j

FRx = (F1x - F2x + F3x)

FRy = (F1y + F2y – F3y)


FR=√F2Rx+F2Ry

θ=tan−1|FRyFRx

|


Example 7

Determine x and y components of F1 and F2 acting on the boom. Express each force as a Cartesian vector



Example 8

The end of the boom O is subjected to three concurrent and coplanar forces. Determine the magnitude and orientation of the resultant force.



CARTESIAN VEKTOR

Right-Handed Coordinate System A rectangular or Cartesian coordinate system is said to be right-handed provided:

- Thumb of right hand points in the direction of the positive z axis when the right-hand fingers are curled about this axis and directed from the positive x towards the positive y axis

- z-axis for the 2D problem would be perpendicular, directed out of the page.

Cartesian Unit Vectors

- Vektor unit Cartesian, i, j dan k digunakan untuk menunjuk arah paksi x, y dan z

- anak panah vektor ini menunjukkan samaada positif atau negatif



Cartesian Vector Representations

- Daripada tiga komponen A positif pada arah i, j and k

A = Axi + Ayj + AZk

Magnitude of a Cartesian Vector

- Dari segi tiga berwarna

- Dari segitiga berlorek,

- Mengabungkan persamaan diatas memberikan magnitud A


A=√A ' 2+Az2

A '=√Ax2+A y2

A=√Ax2+A y2+A z2


Direction of a Cartesian Vector

- Untuk sudut α, (segitiga berlorek), kita boleh menghitung kosinus arah A

Untuk sudut β, (segitiga berlorek), kita boleh menghitung kosinus arah A

Untuk sudut γ, (segitiga berlorek), kita boleh menghitung kosinus arah A

Angle α, β dan γ dapat ditentukan oleh kosinus

- diberi A = Axi + Ayj + AZk

, uA = A /A

= (Ax/A)i + (Ay/A)j + (AZ/A)k

dimana

- uA juga boleh dinyatakan sebagai

uA = cosαi + cosβj + cosγk

- Dimana dan magnitud uA = 1,

- maka

A = AuA

= Acosαi + Acosβj + Acosγk

= Axi + Ayj + AZk


cos α=AxA

cos β=A yA

cos γ=A zA

A=√Ax2+A y2+A z2

A=√Ax2+A y2+A z2cos2α+cos2 β+cos2γ=1


Penambahan dan Penolakkan Cartesian Vectors

Contoh

Diberi: A = Axi + Ayj + AZk and B = Bxi + Byj + BZk

Penambahan Vektor

Paduan daya, R = A + B

= (Ax + Bx)i + (Ay + By )j + (AZ + BZ) k

Penolakan Vektor

Paduan daya, R = A - B

= (Ax - Bx)i + (Ay - By )j + (AZ - BZ) k

FR = ∑F = ∑Fxi + ∑Fyj + ∑Fzk



Example 9

Express the force F as Cartesian vector



Example 10

Determine the magnitude and coordinate direction angles of resultant force acting on the ring



Position Vectors (vector Kedudukan)

Vektor ini adalah penting untuk mendapatkan komponen daya pada paksi x, y, z diantara dua titik dalam ruang.

Sebelum mendapat satu rumusan bagi vector kedudukan ini, kita perlulah takrifkan dahulu koordinat x, y, z bagi satu titik dalam ruang.

Contoh

Untuk titik A, xA = +4m sepanjang paksi x ,

yA = -6m sepanjang paksi y dan

zA = -6m sepanjang paksi z

Maka , A (4, 2, -6)

B (0, 2, 0) and

C (6, -1, 4)



vektor kedudukan r ditakrifkan sebagai satu vector tetap yang menunjukkan kedudukan satu titik dalam ruang dibandingkan dengan satu titik lain.

contoh: rajah (a) dibawah menunjukkan satu titik P berada dalam ruang

antara paksi x, y, z. Jika r ialah panjang dari titik pemulaan 0 ke

titik P (x,y,z), dimana P boleh dihuraikan dalam bentuk vector sebagai

r = xi + yj + zk

Mula pada titik origin O, satu perjalanan x dalam arah + i, y di + arah j dan z dalam k + arah, tiba di titik P (x, y, z), lihat rajah dibawah



- vektor kedudukan mungkin diarahkan dari titik A ke titik B

- simbolnya adalah r or rAB

Penambahan vector memberikan

rA + r = rB

selesaikan

r = rB – rA = (xB – xA)i + (yB – yA)j + (zB –zA)k

atau r = (xB – xA)i + (yB – yA)j + (zB –zA)k



Example 11

An elastic rubber band is attached to points A and B. Determine its length and its

direction measured from A towards B.



Vektor Daya Mengarah Disepanjang Satu Garisan

Dalam masalah 3D, arah sesuatu daya biasanya dinyatakan dengan dua titik yang dilalui oleh garisan tindakan daya.

F = F u = F (r/r)

Diketahui

F = daya (N)

r = meter



Example 12

The man pulls on the cord with a force of 350N. Represent this force acting on the support A, as a Cartesian vector and determine its direction.



Example 13

The roof is supported by cables. If the cables exert FAB = 100N and FAC = 120N

on the wall hook at A, determine the magnitude of the resultant force acting at A.



Dot Product

- Dot product of Cartesian unit vectors

Eg: i·i = (1)(1)cos0° = 1 and

i·j = (1)(1)cos90° = 0

- Similarly

i·i = 1 j·j = 1 k·k = 1

i·j = 0 i·k = 1 j·k = 1

Cartesian Vector Formulation

- Dot product of 2 vectors A and B

A·B = (Axi + Ayj + Azk)· (Bxi + Byj + Bzk)

= AxBx(i·i) + AxBy(i·j) + AxBz(i·k)

+ AyBx(j·i) + AyBy(j·j) + AyBz(j·k)

+ AzBx(k·i) + AzBy(k·j) + AzBz(k·k)

= AxBx + AyBy + AzBz


Download - Bab 2 student (force vectors)

Top Related