Download - ANALISIS DISKRIMINAN DISKRIT UNTUK ...pustaka.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2011/08/pustaka...SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA 2010 Kelompok Matematika Terapan

SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA 2010

Kelompok Matematika

Terapan

880

ANALISIS DISKRIMINAN DISKRIT UNTUK MENGELOMPOKKAN KOMPONEN

Bernik Maskun

Jurusan Statistika FMIPA UNPAD

[email protected]

Abstrak Untuk mengelompokkan hasil pengukuran yang diukur dengan p buah variabel dimana penilaian setiap variabel dilakukan dengan pengkategorian yang bersifat biner maka banyak susunan yang mungkin terjadi adalah 2p . Dari sampel yang diperoleh, terlebih dahulu sampel dibagi dalam dua bagian yaitu Analysis Sample sebagai sampel untuk membuat aturan pengklasifikasian dan Holdout Sample sebagai sampel untuk menguji ketepatan kalsifikasi dari aturan klasifikasi. Hair dkk (1988) mengusulkan ukuran sampel untuk sampel analysis adalah 75% dari sampel yang ada. Dari Sampel Analysis selanjutnya dikategorikan atas dua kelompok sampel yaitu kelompok yang baik dan kelompok tidak baik (perlu perbaikan) yang selanjutnya dilakukan pengujian hipotesis kesamaan proporsi dengan statistik uji berbentuk

yang berdistribusi Chi kuadrat dengan dk =2p-1 Jika hasil pengujian bersifat signifikan, selanjutnya lakukan Klasifikasi dengan aturan

1 2,D D D

Dimana : 1 jika 1 2( ) ( )g x g x ; 2 jika 1 2 ;

( )ii

N xgN

Peluang kesalahan pengklasifikasian dari Sampel analysis dapat di hitung (i) Actual Error Rate (AER) :

2 1 3 1

1 1 2 2 2( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ... ( ) ... ( )N N N

nD D D D D D

p D g x g x g x g x g x g x

(ii) Apparent Error Rate (APER) : APER dihitung dengan terlebih dahulu nilai Ni diurutkan dari nilai terbesar Ni(k) hingga terkecil Ni(1) kemudian gunakan rumus :

1(1) 1(2) 1( 1) ( 1)1( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )k n k

xp D N x N x N x N x

N

Kata kunci : Chi-Kuadrat, AER, APER


Kelompok Matematika

Terapan

881

1. PENDAHULUAN

Dalam perindusrian terutama yang menghasilkan produk yang

memerlukan ketelitian/presisis yang tinggi seperti komponen AIR BRAKE

SYSTEM (sistem pengereman kereta api) yang merupakan hasil produk dari PT.

PINDAD (Persero) Bandung untuk memenuhi pesanan khusus dari PT. KAI,

maka produk yang dihasilkan harus memenuhi standar yang telah ditentukan.

Untuk itu perlu dilakukan pengujian terhadap komponen-komponen Air Brake

yang dihasilkan antara lain dengan mengandalkan uji fungsi (tidak diuji secara

keseluruhan) yaitu pengujian yang dikerjakan oleh para pekerja dengan cara

mencelupkan komponen yang diproduk kedalam air untuk mengetahui bocor atau

tidak. Selama kurun waktu Mei 2007 sampai dengan Januari 2009 terdapat fakta

terjadinya kebocoran dari produk yang dihasilkan untuk memenuhi pemesanan

PT. KAI sebagai berikut :

Tabel 1.1

Jumlah Kebocoran Air Brake System

Produk PT. PINDAD

Waktu Sampel Pemeriksaan

Baik % Bocor %

Mei 2007 100 73 73,00 27 27,00

Agustus 2007 60 40 67,00 20 33,00

November 2007 500 370 74,00 130 26,00

Juli 2008 510 360 70,59 150 29,41

Januari 2009 336 248 73,80 88 26,20

Terlihat dalam tabel di atas, produk yang mengalami kerusakan

(kebocoran) dari waktu ke waktu cenderung meningkat. Tentunya jika hal ini

terus menerus berlangsung tidak menutup terjadinya penangguhan pemesanan

yang mengakibatkan dapat merugikan kedua belah pihak.

Untuk menentukan apakah produk yang dihasilkan memenuhi standar atau

tidak, tentukan dapat dilakukan dengan cara mengklasifikasikan berdasarkan uji

yang telah dilakukan untuk setiap komponen produk. Dalam mengklasifikasikan


Kelompok Matematika

Terapan

882

hasil produknya, PT. PINDAD menggunakan 5 komponen dominan dari Air

Brake System yang harus diperiksa, dimana untuk tiap komponen dikategorikan

dalam data kualitatif berskala nominal (bocor atau tidak bocor).

Berdasarkan data kualitatif untuk ke lima komponen tersebut, dapat

ditentukan komponen mana yang paling dominan untuk membedakan klasifikasi

satu kelompok dengan kelompok lainnya serta besar peluang kesalahan

pengklasifikasiannya.

2. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Pengelompokkan berdasarkan satu variabel prediktor

Pada saat kita dihadapkan pada persoalan pengelompokan dengan

memperhatikan satu variabel prediktor, maka univariate classification dapat

digunakan dengan tujuan : (i) untuk menaksir besarnya pengaruh variabel

pengelompokkan ketika terdapat dua kelompok yang sudah tersedia sebelumnya,

dan (ii) untuk menetapkan nilai pemisah variabel respon yang baik untuk

menentukan standar agar unit sampel dapat dibagi ke dalam dua kelompok untuk

mengidentifikasikan objek dengan tepat.

a. Pengelompokkan berdasarkan dua atau lebih variabel prediktor

Dalam mulivariate pengelompokan dapat dilakukan dengan beberapa

merode, diantaranya Analisis Diskriminan. Analisis ini merupakan suatu teknik

analisis statistika untuk mengelompokkan setiap objek ke dalam dua kelompok

atau lebih berdasarkan kriteria sejumlah variabel bebas (interval atau rasio dan

bersifat kuantitatif) sedangkan variabel tidak bebasnya merupakan kategori (non-

metrik, nominal atau ordinal yang bersifat kualitatif) (Hair, 1998). Untuk

melakukan analisis diskriminan, langkah pertama yang harus dilakukan adalah

melakukan pengujian hipotesis apak terdapat perbedaan antara kedua kelompok

populasi yang telah diketahui. Apabila terdapat perbedaan antara kedua kelompok

maka analisis diskriminan dapat dilakukan, jika tidak terdapat perbedaan maka

analisis diskriminan tidak perlu dilakukan.

Hipotesis statistiknya berbentuk :


Kelompok Matematika

Terapan

883

1 2:oH Melawan

1 1 2:H Statitik uji nya adalah :

yang berdistribusi Chi kuadrat dengan dk =2p-1

Menentukan Aturan Klasifikasi

Untuk menentukan aturan klasifikasi ; jika banyaknya individu yang

berasal dari populasi i pada X = x merupakan variabel acak binom Ni(x), i =

1,2, sehingga banyaknya individu yang terambil menjadi sampel dari dua populasi

1 1 dan 2 2 ( )N N x merupakan variabel acak Binom dengan

1 2 .

Peluang prior ditaksir oleh ii

NN

dan taksiran untuk peluang susunan

adalah ii

i

Sehingga taksiran untuk diskriminan adalah :

( )ii

N xgN

2.2.2 Menghitung peluang kesalahan Klasifikasi

Setelah proses klasifikasi, selajutnya dapat diketahui seberapa tepat aturan

klasifikasi yang telah ditentukan tersebut dengan menghitung nilai error rate yaitu

proporsi kesalahan kalasifikasi dari Holdout Sample. Jika Nilai eror rate kecil

maka ketepatan klasifikasi semakin tinggi.

Jika klasifikasi yang dihasilkan dari sampel telah dihitung, dapat pula dihitung

dua buah kesalahan klasifikasi yaitu

(i) Actual Error Rate (AER)


Kelompok Matematika

Terapan

884

2 1 3 1

1 1 2 2 2( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ... ( ) ... ( )N N N

nD D D D D D

p D g x g x g x g x g x g x

dan

(ii) Apparent Error Rate (APER)

1(1) 1(2) 1( 1) ( 1)1( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )k n k

xp D N x N x N x N x

N

2.2.3 Menentukan Variabel Diskriminator dan Subset variabel Terbaik

Untuk menentukan variabel diskriminator dan subset variabel terbaik dalam

analisis diskriminan diskrit dua kelompok dapat digunakan Statistik Kullback

Divergence.

Variabel Diskriminan terbaik dilakukan dengan langkah langkah sebagai berikut :

(1) Hitung nilai j j dengan rumus :

1 1 2 1 2 1 2 21 2

1 21 1 2 2 1 2

log logj j j j j j j j

j j j j

w w w Nw w w w NwJ N N

N N N NN w w N w w

(2) tentukan nilai j yang maximum :

j = max j dengan 1 =j = p

(3) Uji signifikan Z1 Melawan

Statistik ujinya adalah j dengan kriteria tolak Ho jika j >

dengan dk = 1

3. APLIKASI

Dalam mengkategorikan apakah setiap produk ISOLATING COCK L I

dalam hal ini Air Brake yang dihasilkan oleh PT PINDAD Persero termasuk


Kelompok Matematika

Terapan

885

kategori yang baik atau harus ada perbaikan telah dilakukan pemeriksaan atas 5

komponen : Housing (X1), Flens (X2), Ventilasi (X3), Penutup(X4), dan Segmen

(X5). Masing-masing komponen dinilai atas kriteria bocor (skor 1) atau baik (

skor 0). Dari 336 sampel acak, telah dikelompokkan atas 32 kelompok

berdasarkan 5 komponen pemeriksaan sebagai berikut :

Tabel 3.2

Data Hasil Pemeriksaan Lima Komponen ISOLATING COCK L I/Air Brake Kelompok Komponen Kelompok Jumlah Hasil Pengujian

X1 X2 X3 X4 X5 Baik Jelek

1 0 0 0 0 0 47 0 47 2 1 0 0 0 0 7 2 9 3 0 1 0 0 0 6 0 6 4 0 0 1 0 2 2 14 16 5 0 0 0 1 0 1 45 46 6 0 0 0 0 1 1 5 6 7 1 1 0 0 0 2 1 3 8 1 0 1 0 0 4 12 16 9 1 0 0 1 0 1 13 14 10 1 0 0 0 1 2 2 4 11 0 1 1 0 0 2 5 7 12 0 1 0 1 0 6 4 10 13 0 1 0 0 1 0 1 1 14 0 0 1 1 0 6 21 27 15 0 0 1 0 1 1 4 5 16 0 0 0 1 1 2 8 10 17 1 1 1 0 0 5 1 6 18 1 1 0 1 0 1 3 4 19 1 1 0 0 1 4 2 6 20 1 0 1 1 0 7 6 13 21 1 0 1 0 1 2 2 4 22 1 0 0 1 1 4 2 6 23 0 1 1 1 0 1 20 21 24 0 1 1 0 1 3 5 8 25 0 1 0 1 1 1 3 4 26 0 0 1 1 1 1 12 13 27 0 1 1 1 1 0 5 5 28 1 0 1 1 1 1 9 10 29 1 1 0 1 1 2 1 3 30 1 1 1 0 1 4 0 4 31 1 1 1 1 0 0 2 2 32 1 1 1 1 1 0 0 0

Jumlah 126 210 336


Kelompok Matematika

Terapan

886

Dari 336 buah Air brake dibagi atas dua kelompok sampel yaitu sebagai

Analysis Sample sebanyak 252 buah dan sisanya 84 buah sebagai Holdout Sample

(Lampiran 1 dan Lampiran 2)

Berdasarkan data dalam Lampiran 1, selanjutnya dilakukan pengujian hipotesis

1 2:oH : Tidak terdapat perbedaan proporsi

Melawan

1 1 2:H : Terdapat perbedaan proporsi

Statistik uji nya adalah : (Lampiran 3) yang bersifat

signifikans dengan Chi-kuadrat tabel = 43,8 untuk dk = 31, ini memberikan hasil

yang menyatakan terdapat perbedaan antara kedua kelompok.

Selanjutnya dapat ditentukan variabel diskriminator dan Subset variabel terbaik

dalam membedakan kelompok perlu perbaikan dan kelompok tidak perlu

perbaikan yaitu dengan menghitung nilai untuk masing-masing variabel

pengamatan Xi :

Tabel 3.3

Variabel Diskriminator

Variabel X1 0,684 X2 0,010 X3 6,717 X4 3,279 X5 0,001

Sedangkan subset variabel terbaiknya adalah :

Tabel 3.4

Subset variabel Diskriminator

Variabel Df Nilai kritis

X3 6,72 1 3,84 X4X3 12,76 3 7,81

X4X5X3 17,83 7 14,07 X2X4X5X3 42,69 15 25,00

X1X2X4X5X3 22,04 31 44,97


Kelompok Matematika

Terapan

887

Dari tabel di atas terlihat bahwa variabel X2X4X5X3 mempunyai nilai yang

terbesar, ini dapat diartikan bahwa keempat variabel tersebut merupakan subset

variabel yang terbaik untuk membedakan antara kelompok yang perlu perbaikan

dan kelompok tanpa perbaikan.

Dari Analysis Sample dapat ditentukakan aturan klasifikasi (Lampiran 4) sebagai

berikut :

Tabel 3.5

Tabel Aturan Klasifikasi

Susunan X1 X2 X3 X4 X5

Kelompok

Tidak Perlu Memperoleh Perbaikan

Perlu Memperoleh

Perbaikan 1 0 0 0 0 0 V 2 0 0 0 1 0 V 3 0 0 1 0 0 V 4 0 0 1 1 0 V 5 0 1 0 0 0 V 6 0 1 0 1 0 V 7 0 1 1 0 0 V 8 0 1 1 1 0 V 9 1 0 0 0 0 V

10 1 0 0 1 0 V 11 1 0 1 0 0 V 12 1 0 1 1 0 V 13 1 1 0 0 0 V 14 1 1 0 1 0 v 15 1 1 1 0 0 V 16 1 1 1 1 0 V 17 0 0 0 0 1 V 18 0 0 0 1 1 V 19 0 0 1 0 1 V 20 0 0 1 1 1 V 21 0 1 0 0 1 V 22 0 1 0 1 1 V 23 0 1 1 0 1 V 24 0 1 1 1 1 V 25 1 0 0 0 1 v 26 1 0 0 1 1 V 27 1 0 1 0 1 V 28 1 0 1 1 1 V 29 1 1 0 0 1 v 30 1 1 0 1 1 v 31 1 1 1 0 1 V 32 1 1 1 1 1 V


Kelompok Matematika

Terapan

888

Dari tabel di atas dapat diketahui bahwa untuk susunan : 1 yaitu susunan (0

0 0 0 0 ), 6(0 1 0 1 0), 8(0 1 1 1 0), 9(1 0 0 0 0), 12(1 0 1 1 0), 14(1 1 0 1 0 ), 25(1

0 0 0 1 ), 29(1 1 0 0 1 ), dan 30(1 1 0 1 1) berasal dari kelompok komponen yang

tidak perlu memperoleh perbaikan, maka jika terdapat komponen yang

mempunyai hasil pemeriksaan sama dengan kelompok pemeriksaan tersebut,

maka komponen tersebut dapat dikelompokan tidak perlu perbaikan.

Sedangkan untuk susunan : 2 yaitu susunan (0 0 0 1 0), 3(0 0 1 0 0 ), 4(0 0

1 1 0), 5(0 1 0 0 0 ), 7(0 1 1 0 0 ), 10(1 0 0 1 0 ), 11( 1 0 1 0 0), 13(1 1 0 0 0 ),

15(1 1 1 0 0 ), 16(1 1 1 1 0 ), 17(0 0 0 0 1), 18(0 0 0 1 1 ), 19(0 0 1 0 1), 20(0 0 1

1 1), 21(0 1 0 0 1 ), 22(0 1 0 1 1), 23( 0 1 1 0 1 ), 24(0 1 1 1 1 ), 26(1 0 0 1 1),27(1

0 1 0 1 ), 28(1 0 1 1 1), dan 31(1 1 1 0 1), 32 (1,1,1,1,1,1) sehingga jika terapat

komponen mempunya hasil pemeriksaan yang sama dengan kelompok

pemeriksaan tersebut, maka komponen tersebut dikelompokan perlu perbaikan.

Perhitungan kesalahan klasifikasi dihitung dari Holdout Sample yang

telah dikelompokkan seperti pada Lampiran 2, dan diperoleh matriks klasifikasi

sebagai berikut :

Tabel 3.6

Matrik Klasifikasi

Alokasi

Jumlah Tdk Perlu

Perbaikan

Perlu

Perbaikan

Alokasi

Tidak perlu

Perbaikan

13

11

24

Perlu

Perbaikan

22 38 60

Jumlah 35 49 84

Dari Tabel 5 dapat dihitung APER = 0,393, atau dapat diketahui kesalahan

pengklasifikasian sebesar 39,3 persen.


Kelompok Matematika

Terapan

889

4. KESIMPULAN

1. Dalam mengelompokkan air Brake kedalam kelompok perlu perbaikan dan

tidak perlu perbaikan dengan menggunakan 5 variabel pengamatan yang

dinilai dalam skala binom di PT Pindad (Persero) menunjukkan peluang

kesalahan klasifikasi sebesar 39,3 %

2. Dari ke lima buah variabel pengamatan, variabel X3 (pemeriksaan ventilasi)

merupakan variabel diskriminator yang mempunyai kontribusi paling besar

dibandingkan dengan empat variabel lainnya.

3. Pengklasifikasian produk Air Brake, tidak perlu dengan kelima variabel, tetapi

cukup dengan 4 buah variabel pengamatan yaitu dengan menghilangkan

variabel X1 (Housing) sehingga lebih efisien.

DAFTAR PUSTAKA

Discreate Discriminant Analysis .. New York, Jonh Wiley & Sons

Hair, Joseph F., Rolph E Anderson., Roland L. tatham., and William C. Black.,

Multivariate Data Analysisinternational, Inc., Upper Saddle River, New Jersey.

Rencher., Alvin C., (1995 Methods of Multivariate Analysis

Sons, Inc, USA.

Analisis Multivariat, Arti dan InterpretasiJakarta.


Kelompok Matematika

Terapan

890

Lampiran 1

Tabel Frekuensi Observasi Sample Analysis


Kelompok

Jumlah

Tidak Perlu Memperoleh

Perbaikan

Perlu Memperoleh Perbaikan

1 0 0 0 0 0 20 0 20 2 0 0 0 1 0 2 21 23 3 0 0 1 0 0 5 18 23 4 0 0 1 1 0 5 13 18 5 0 1 0 0 0 4 7 11 6 0 1 0 1 0 6 4 10 7 0 1 1 0 0 1 2 3 8 0 1 1 1 0 1 9 10 9 1 0 0 0 0 5 1 6

10 1 0 0 1 0 1 10 11 11 1 0 1 0 0 4 5 9 12 1 0 1 1 0 2 1 3 13 1 1 0 0 0 0 1 1 14 1 1 0 1 0 3 1 4 15 1 1 1 0 0 0 1 1 16 1 1 1 1 0 5 15 20 17 0 0 0 0 1 1 6 7 18 0 0 0 1 1 1 2 3 19 0 0 1 0 1 0 5 5 20 0 0 1 1 1 0 1 1 21 0 1 0 0 1 1 2 3 22 0 1 0 1 1 2 2 4 23 0 1 1 0 1 2 2 4 24 0 1 1 1 1 0 6 6 25 1 0 0 0 1 4 0 4 26 1 0 0 1 1 3 3 6 27 1 0 1 0 1 2 11 13 28 1 0 1 1 1 2 2 4 29 1 1 0 0 1 4 3 7 30 1 1 0 1 1 4 1 5 31 1 1 1 0 1 3 4 7 32 1 1 1 1 1 0 0 0


Kelompok Matematika

Terapan

884

Lampiran 2

Tabel Distribusi Frekuensi Observasi (Holdout Sample)

Susuna

n X1 X2 X3 X4 X5

Kelompok Ju

mlah

Tidak Perlu Memperoleh Perbaikan

Perlu Memperoleh

Perbaikan 1 0 0 0 0 0 2 0 2 2 0 0 0 1 0 1 2 3 3 0 0 1 0 0 2 3 5 4 0 0 1 1 0 3 2 5 5 0 1 0 0 0 1 1 2 6 0 1 0 1 0 0 2 2 7 0 1 1 0 0 1 2 3 8 0 1 1 1 0 2 0 2 9 1 0 0 0 0 1 1 2 10 1 0 0 1 0 1 1 2 11 1 0 1 0 0 0 2 2 12 1 0 1 1 0 2 1 3 13 1 1 0 0 0 0 1 1 14 1 1 0 1 0 2 1 3 15 1 1 1 0 0 1 2 3 16 1 1 1 1 0 1 2 3 17 0 0 0 0 1 1 2 3 18 0 0 0 1 1 0 3 3 19 0 0 1 0 1 1 1 2 20 0 0 1 1 1 2 1 3 21 0 1 0 0 1 1 5 6 22 0 1 0 1 1 0 2 2 23 0 1 1 0 1 2 1 3 24 0 1 1 1 1 1 2 3 25 1 0 0 0 1 1 2 3 26 1 0 0 1 1 1 1 2 27 1 0 1 0 1 0 1 1 28 1 0 1 1 1 1 1 2 29 1 1 0 0 1 2 2 4 30 1 1 0 1 1 1 1 2 31 1 1 1 0 1 1 1 2 32 1 1 1 1 1 0 0 0 Total Jumlah 35 49 84


Kelompok Matematika

Terapan

885

Lampiran 3

Perhitungan Statistik Uji


Kelompok

Tidak Perlu Memperoleh

Perbaikan

Perlu Memperoleh

Perbaikan

1 0 0 0 0 0 20 0 0.058742 0 2 0 0 0 1 0 2 21 0.043796 0.006549 3 0 0 1 0 0 5 18 0.00862 0.002052 4 0 0 1 1 0 5 13 0.002179 0.000606 5 0 1 0 0 0 4 7 0.000004 0.000001 6 0 1 0 1 0 6 4 0.005241 0.002875 7 0 1 1 0 0 1 2 0.000051 0.000016 8 0 1 1 1 0 1 9 0.016405 0.00261 9 1 0 0 0 0 5 1 0.010595 0.010129

10 1 0 0 1 0 1 10 0.020017 0.003052 11 1 0 1 0 0 4 5 0.000589 0.000235 12 1 0 1 1 0 2 1 0.002465 0.001556 13 1 1 0 0 0 0 1 0 0.000464 14 1 1 0 1 0 3 1 0.005046 0.003853 15 1 1 1 0 0 0 1 0 0.000464 16 1 1 1 1 0 5 15 0.00433 0.001124 17 0 0 0 0 1 1 6 0.007017 0.001324 18 0 0 0 1 1 1 2 0.000051 0.001556 19 0 0 1 0 1 0 5 0 0.002321 20 0 0 1 1 1 0 1 0 0.000464 21 0 1 0 0 1 1 2 0.000051 0.001556 22 0 1 0 1 1 2 2 0.000742 0.000332 23 0 1 1 0 1 2 2 0.000742 0.000332 24 0 1 1 1 1 0 6 0 0.002785 25 1 0 0 0 1 4 0 0.011748 0.001856 26 1 0 0 1 1 3 3 0.001114 0.000499 27 1 0 1 0 1 2 11 0.011431 0.002242 28 1 0 1 1 1 2 2 0.000742 0.000332 29 1 1 0 0 1 4 3 0.002892 0.001496 30 1 1 0 1 1 4 1 0.007785 0.006761 31 1 1 1 0 1 3 4 0.000291 0.000112 32 1 1 1 1 1 0 0 0 0

Total 93 159

= 44,776


Kelompok Matematika

Terapan

886

Lampiran 4

Proses Perhitungan Dalam Menentukan Aturan Klasifikasi

Dengan : ii

i

N xf x

N

jj

NN

; j = 1, 2

; i

Susunan

X1

X2

X3

X4

X5

Tidak Perlu Memperole

h Perbaikan

N1

Perlu Memperole

h Perbaikan

N2

f1(x)

f2(x)

g1

g2

1 0 0 0 0 0 20 0 0,215

0 0,079

0

2 0 0 0 1 0 2 21 0,021

0,132

0,007

0,083

3 ..

31 1 1 1 0 1 3 4 0,032

0,025

0,012

0,016

32 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 Total 93 159

Download - ANALISIS DISKRIMINAN DISKRIT UNTUK ...pustaka.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2011/08/pustaka...SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA 2010 Kelompok Matematika Terapan

Top Related