Transcript
Page 1: Add Maths JUJ 2006 [Edu.joshuatly.com]

MATEMATIK TAMBAHAN

FORMAT | ANALISIS | SET SOALAN & JAWAPAN | LATIHAN

Sila pilih menu:-

JUJ 2006 Pahang http://edu.joshuatly.com http://www.joshuatly.com

Administrator
Administrator
Page 2: Add Maths JUJ 2006 [Edu.joshuatly.com]

FORMAT INSTRUMEN PENTAKSIRAN MATEMATIK TAMBAHAN SPM

MULAI TAHUN 2003 Bil Perkara Kertas 1 (3472/1) Kertas 2 (3472/2)

1 Jenis Instrumen Ujian Objektif Ujian Subjektif

2 Jenis Item Objektif (Respons Diberi)

Bahagian A (Respons terhad dan struktur) Bahagian B (Respons terhad dan struktur) Bahagian C (Respons terhad dan struktur)

3 Bilangan Soalan 25 soalan (JAWAB SEMUA) Bahagian A 6 soalan (Jawab SEMUA) Bahagian B 5 soalan (Pilih EMPAT) Bahagian C 4 soalan (2 soalan daripada Pakej AST, 2 soalan daripada Pakej ASS) (Pilih DUA)

4 Jumlah Markah 80 100 5 Tempoh Ujian 2 jam 2 jam 30 minit

6 Wajaran Konstruk

Pengetahuan - 20% Kem. Manipulasi - 80%

Kemahiran Mengaplikasi - 60% Menyelesaikan Masalah - 40 %

7 Cakupan Konteks Mencakupi semua B.P. T4-5 Mencakupi semua B.P. T4-5

R : S : T = 6 : 3 : 1 R : S : T = 4 : 3 : 3 8 Aras Kesukaran Rendah - R Sederhana - S Tinggi - T

Keseluruhan R : S : T = 5 : 3 : 2

9 Alatan Tambahan

a. Kalkulator Saintifik b. Buku Sifir Matematik c. Alatan Geometri

a. Kalkulator Saintifik b. Buku Sifir Matematik c. Alatan Geometri

JUJ 2006 Pahang http://edu.joshuatly.com http://www.joshuatly.com

Page 3: Add Maths JUJ 2006 [Edu.joshuatly.com]

KERTAS 1 KERTAS 2

Bahagian A Bahagian B Bahagian C

TAJUK 2003 2004 2005 2003 2004 2005 2003 2004 2005 2003 2004 2005

T 1 Fungsi 1, 2 1,2,3 1,2,3

I 2 Persamaan Kuadratik 3 4 4,5

N 3 Fungsi Kuadratik 4 5,6 6 2

G 4 Persamaan Serentak 1 1 1

K 5 Indeks dan Logaritma 5, 6 7,8 7,8,9

A 6 Geometri Koordinat 9, 11 14,15 14 2 11 9

T 7 Statistik 23 5 4 4

A 8 Sukatan Membulat 19 19 18 4 9 10

N 9 Pembezaan 15,16 20,21 19,20 3 5b 2a 9a 10a 8a

4 10 Penyelesaian Segi Tiga 15 13 12

11 Penggunaan Nombor Indeks 13 12 13

T 1 Janjang 7,8 9,10,11,12 10,11,12 6 3

I 2 Hukum Linear 10 13 13 7 7 7

N 3 Pengamiran 17,18 22 21 5a 2b 9b 10b 8b,c

G 4 Vektor 12, 13, 14 16,17 15,16 6 6 8

K 5 Fungsi Trigonometri 20, 21 18 17 3 5 8

A 6 Pilihatur dan Gabungan 22, 23 23 22

T 7 Kebarangkalian Mudah 24 24

A 8 Taburan Kebarangkalian 24, 25 25 25 10 11 11

N 9 Gerakan Pada Garis Lurus 12 15 15

5 10 Pengaturcaraan Linear 14 14 14

JUMLAH 25 25 25 6 6 6 5 5 5 4 4 4

Catatan :

Kertas 1 : Jawab semua soalan.

Kertas 2 : Jawab semua soalan dalam Bahgian A, empat soalan dalam Bahagian B dan

dua soalan dalam Bahagian C.

F.H.LAN

MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

SPM

JUJ 2006 Pahang http://edu.joshuatly.com http://www.joshuatly.com

Page 4: Add Maths JUJ 2006 [Edu.joshuatly.com]

Rumus-rumus berikut boleh digunakan untuk membantu anda menjawab soalan. . Simbol-simbol yang diberi adalah yang biasa digunakan.

ALGEBRA

1 x =a

acbb2

42 −±−

2 am × an = a m + n 3 am ÷ an = a m - n

4 (am) n = a nm 5 loga mn = log am + loga n

6 loga nm = log am - loga n

7 log a mn = n log a m

8 logab = ab

c

c

loglog

9 Tn = a + (n-1)d

10 Sn = ])1(2[2

dnan −+

11 Tn = ar n-1

12 Sn = rra

rra nn

−−=

−−

1)1(

1)1( , (r ≠ 1)

13 r

aS−

=∞ 1 , r <1

KALKULUS

1 y = uv , dxduv

dxdvu

dxdy +=

2 vuy = , 2v

dxdvu

dxduv

dydx −

= ,

3 dxdu

dudy

dxdy ×=

1 Jarak = 2

212

21 )()( yyxx −+− 2 Titik tengah

(x , y) =

+2

21 xx ,

+2

21 yy

4 Luas di bawah lengkung

= ∫b

a

y dx atau

= ∫b

a

x dy

5 Isipadu janaan

= ∫b

a

y 2π dx atau

= ∫b

a

x 2π dy

5 Titik yang membahagi suatu tembereng garis

( x,y) = ,21

++

nmmxnx

++

nmmyny 21

6.Luas segitiga =

)()(21

312312133221 1yxyxyxyxyxyx ++−++

3 22 yxr +=

4 22 yx

yjxir+

+=

GEOMETRI

JUJ 2006 Pahang http://edu.joshuatly.com http://www.joshuatly.com

Page 5: Add Maths JUJ 2006 [Edu.joshuatly.com]

SULIT 3472/2

[ Lihat sebelah 3472/2 SULIT

2

STATISTIK

1 Panjang lengkok, s = jθ

2 Luas sektor , L = θ221 j

3 sin 2A + kos 2A = 1 4 sek2A = 1 + tan2A 5 kosek2 A = 1 + kot2 A

6 sin2A = 2 sinAkosA 7 kos 2A = kos2A – sin2 A = 2 kos2A-1 = 1- 2 sin2A

8 tan2A = A

A2tan1

tan2−

TRIGONOMETRI

9 sin (A ± B) = sinAkosB ± kosAsinB

10 kos (A ± B) = kos AkosB µ sinAsinB

11 tan (A ± B) = BABA

tantan1tantan

µ±

12 C

cB

bA

asinsinsin

==

13 a2 = b2 +c2 - 2bckosA

14 Luas segitiga = Cabsin21

1 x = N

x∑

2 x = ∑∑

ffx

3 σ = N

xx∑ − 2)( =

22( ) .

xx

N−∑

4 σ = ∑

∑ −f

xxf 2)( =

22( )

fxx

f−∑

5 M = Cf

FNL

m

−+ 2

1

6 1000

1 ×=PPI

7 1 1

1

W IIW

∑=∑

8 )!(

!rn

nPrn

−=

9 !)!(

!rrn

nCrn

−=

10 P(A ∪ B)=P(A)+P(B)-P(A ∩ B)

11 p (X=r) = rnrr

n qpC − , p + q = 1

12 Min(mean) = np 13 npq=σ

14 Z = X µσ−

JUJ 2006 Pahang http://edu.joshuatly.com http://www.joshuatly.com

Page 6: Add Maths JUJ 2006 [Edu.joshuatly.com]

1

Tingkatan 4. Bab 2 (Persamaan Kuadratik) kertas 1

1. Cari nilai k supaya persamaan kuadratik k (x2 + 1) = 6x mempunyai punca-punca yang sama. [ 2 markah ]

Jawapan : _________________

2. Persamaan 3x2 + mx = - 18 mempunyai punca-punca n dan 2. Carikan nilai m dan n. [ 3 markah ]

Jawapan : m = ______________ n = ______________ 3. Diberi -1 ialah satu punca bagi persamaan kuadratik x2 – vx + 5 = 0. Carikan nilai v.

[ 2 markah ] Jawapan : v = ______________ 4. Persamaan kuadratik (t + 5) x2 = 8x – 1 mempunyai punca nyata dan berbeza. Cari julat nilai t [ 3 markah ] Jawapan : t = _______________ 5. Jika persamaan kuadratik (h + 1)x2 + 2 = (h + 1)x mempunyai punca-punca yang sama , Carikan

nilai h.

[ 4 markah ]

Jawapan : h = ______________

JUJ 2006 Pahang http://edu.joshuatly.com http://www.joshuatly.com

Page 7: Add Maths JUJ 2006 [Edu.joshuatly.com]

2

Kertas 2

1. (a) Carikan julat nilai q jika persamaan x2 + qx = -2 - 21

q mempunyai punca-punca nyata

dan berbeza. [ 4 markah ]

(b) Carikan julat nilai k jika garis lurus 2y + x = 3 tidak bertemu dengan lengkung 4y2 + 2x2 – k = 0.

[ 4 markah ]

2. Diberi m dan n adalah punca-punca bagi persamaan x2 – x – 2 + k = 0 dan mn = -6. Cari nilai bagi k,m dan n.

[ 6 markah ]

3. Diberi α dan β adalah punca-punca bagi persamaan x2 + 6 = 4x, bentukkan persamaan

kuadratik yang mempunyai punca-punca 3−α dan 3−β . [ 4 markah ]

4. Satu daripada punca persamaan px2 + qx + r = 0 adalah tiga kali punca yang satu lagi..

Tunjukkan 3q2 = 16pr. [ 4 markah ]

5. Persamaan x2 + mx + n = 0 mempunyai punca-punca yang sama dengan persamaan 4x2 – (2 – 3m)x + n – 9 = 0. Cari

(a) nilai m dan nilai n (b) punca-punca persamaan itu.

[ 7 markah ]

JUJ 2006 Pahang http://edu.joshuatly.com http://www.joshuatly.com

Page 8: Add Maths JUJ 2006 [Edu.joshuatly.com]

1

Jawapan Tingkatan 4 Bab 2 (Persamaan Kuadratik) kertas 1

1. k (x2 + 1) = 6x.

kx2 + k – 6x = 0 b2 – 4ac = 0 → (-6)2 – 4(k)(k) = 0 36 – 4k2 = 0 k2 = 9 k = 3, k = -3.

2. 3x2 + mx + 18 = 0

H.T.P → n + 2 = 3m−

H.D.P → 2n = 3

18 = 6

n = 3

3 + 2 = 3m−

m = -15. 3. Katakan punca persamaan x2 – vx + 5 = 0 adalah -1 dan a

-1 + a = v dan -a = 5 a = -5 v = -6.

4. (t + 5) x2 – 8x + 1 = 0

b2 – 4ac > 0 → (-8) – 4(t + 5)(1) > 0 -4t > -44 t < 11.

5. (h + 1)x2 – (h + 1)x + 2 = 0

b2 – 4ac = 0 → [ - (h + 1) ]2 – 4(h + 1)(2) = 0 (h + 1)2 – 8h – 8 = 0 h2 – 6h – 7 = 0 (h – 7)(h + 1) = 0 h = 7, h = -1.

JUJ 2006 Pahang http://edu.joshuatly.com http://www.joshuatly.com

Page 9: Add Maths JUJ 2006 [Edu.joshuatly.com]

2

Kertas 2

1. (a) x2 + qx + 2 + 21

q = 0

b2 – 4ac > 0 → q2 – 4(1)(2 + 21

q) > 0

q2 – 8 – 2q > 0

(q – 4)(q + 2) > 0 q > 4 , q < -2

(b) 2y + x = 3 -----------(1) 4y2 + 2x2 – k = 0 ---------------(2)

Dari (1) y = 2

3 x−

Masukkan ke (2) 4(2

3 x−)2 + 2x2 – k = 0

9 – 6x + x2 + 2x2 – k = 0 3x2 – 6x + 9 – k = 0 b2 – 4ac < 0 → (-6)2 – 4(3)(9 – k) < 0 -72 + 12k < 0 12k < 72 k < 6.

2. x2 – x – 2 + k = 0 dan mn = -6. H.T.P → m + n = 1 H.D.P → mn = -2 + k = -6 k = -4 x2 – x – 6 = 0 (x – 3)(x + 2) = 0 x = 3, x = -2 Jika m = 3, n = -2 n = 3, m =-2.

4 -2

JUJ 2006 Pahang http://edu.joshuatly.com http://www.joshuatly.com

Page 10: Add Maths JUJ 2006 [Edu.joshuatly.com]

3

3. x2 – 4x + 6 = 0 H.T.P → βα + = 4 H.D.P → αβ = 6 H.T.P → −+− βα 3 3 = βα + - 6 = 4 – 6

= -2 H.D.P → ( 3−α )( 3−β ) = αβ - 3α - 3 β + 9 = αβ - 3( βα + ) + 9 = 6 – 3(4) + 9 = 3 Persamaan kuadratik x2 + 2x + 3 = 0.

4. px2 + qx + r = 0

Katakan punca a dan 3a

4a = -pq→ a = -

pq

4

3a2 = pr

→ 3( - p

q4

)2 = pr

p

q163 2

= r

prq 163 2 =

Tertunjuk.

5. x2 + mx + n = 0 4x2 – (2 – 3m)x + n – 9 = 0

H.T.P → -m = 432 m−

-4m = 2 – 3m m = -2

H.D.P → n = 4

9−n

4n = n – 9 n = -3. X2 – 2x – 3 = 0 (x – 3)(x + 1) = 0 x = 3 , x = -1.

JUJ 2006 Pahang http://edu.joshuatly.com http://www.joshuatly.com

Page 11: Add Maths JUJ 2006 [Edu.joshuatly.com]

1

Tingkatan 4 Bab 3(Fungsi Kuadratik) Kertas 1

1. Cari julat nilai x yang memuaskan ketaksamaan x – x2 + 94

< 0.

[ 3 markah ]

Jawapan : _________________

2. Diberi p – (x + q)2 = 6 + 4x – x2 , carikan nilai p dan nilai q. [ 3 markah ]

Jawapan : p = ______________ q = ______________

3. Cari julat nilai m supaya f(x) = x2 – (m + 2)x + 2 + m sentiasa positif bagi semua nilai nyata x.

[ 3 markah ]

Jawapan : _________________

JUJ 2006 Pahang http://edu.joshuatly.com http://www.joshuatly.com

Page 12: Add Maths JUJ 2006 [Edu.joshuatly.com]

2

4. Gambarajah di bawah menunjukkan graf bagi f(x) = 8 – 2(x – a)2.

Cari nilai a dan nilai b. [ 3 markah ]

Jawapan : a =_______________

b = ______________

5. Carikan julat nilai h supaya fungsi f(x) = -2x2 + 4x + h sentiasa negatif untuk semua nilai x.

[ 3 markah ] Jawapan : _________________

y

x

(1,8)

b

0

•y = 8 – 2(x – a)2

JUJ 2006 Pahang http://edu.joshuatly.com http://www.joshuatly.com

Page 13: Add Maths JUJ 2006 [Edu.joshuatly.com]

3

Kertas 2

1. Diberi graf g(x) = s – (3x + t)2 mempunyai titik maksimum pada (32

, 6).

(a) cari nilai s dan nilai t (b) lakarkan graf g(x) untuk domain -1 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ 2.

[ 7 markah ]

2. Diberi f(x) = m – (x – n)2 menyilang paksi-x pada (-2,0) dan (4,0). Carikan (a) nilai m dan nilai n (b) nilai maksimum bagi f(x)

[ 7 markah ]

3. (a) Carikan julat nilai n jika (1 – n)(6 + n) < 10. [ 3 markah ] (b) Carikan julat nilai p jika garis lurus y + x + p = 0 tidak bersilang dengan lengkung x2 + y2 – 8 = 0. [ 4 markah ]

4. Ungkapkan g(x) = 2x2 + 6x + 5 dalam bentuk g(x) = a(x + p)2 + q dimana a,p dan q

adalah pemalar. Nyatakan nilai minimum bagi g(x) dan nilai x yang sepadan.

[ 4 markah ]

5. Diberi f(x) = 6h – 2hx – x2 mempunyai nilai maksimum 16.

(a) cari nilai-nilai yang mungkin bagi h (b) nyatakan titik maksimum bagi setiap nilai h.

[ 4 markah ]

JUJ 2006 Pahang http://edu.joshuatly.com http://www.joshuatly.com

Page 14: Add Maths JUJ 2006 [Edu.joshuatly.com]

1

Jawapan Tingkatan 4 Bab 3(Fungsi Kuadratik) Kertas 1

1. x – x2 + 94

< 0

9x – 9x2 + 4 < 0 9x2 – 9x – 4 > 0 (3x + 1)(3x – 4) > 0

x < -31

, x > 34

2. 6 + 4x – x2 = - [x2 – 4x] + 6

= - [x2 – 4x + (-2)2 – (-2)2] + 6 = - [(x – 2)2 – 4] + 6 = - (x – 2)2 + 10

Bandingkan dengan – (x + q)2 +p q = -2 dan p = 10. ATAU

q = a

b2

= )1(2

4−

= -2

p = a

bac4

4 2− =

)1(4)4()1(4 2

−−−

= 4

40−−

= 10.

3. b2 – 4ac < 0 [ - (m + 2) ]2 – 4(1)(2 + m) < 0 m2 – 4 < 0 (m – 2)(m + 2) < 0 -2 < m < 2.

4. y = 8 – 2(x – 9)2 titk maksimum (a,8) bandingkan pada gambarajah (1,8) a = 1 x = 0, b = 8 – 2(0 – 1)2 b = 6.

JUJ 2006 Pahang http://edu.joshuatly.com http://www.joshuatly.com

Page 15: Add Maths JUJ 2006 [Edu.joshuatly.com]

2

5. f(x) = -2x2 + 4x + h b2 – 4ac < 0 → (4)2 – 4(-2)(h) < 0 16 + 8h < 0 8h < -16 h < -2.

Kertas 2

1. (a) g(x) = s – (3x + t)2 3x + t = 0 t = -3x

= -3(32

)

t = -2 , s = 6 ATAU

titik maksimum ( 3t−

,s)

bandingkan ( 32

,6)

maka t = -2 dan s = 6.

(b)

2. (a) (-2,0) 0 = m – (-2 – n )2 m = (-2 – n)2 m = 4 + 4n + n2___________(1) (4,0) m = (4 – n)2 m = 16 – 8n + n2__________ (2)

(1) – (2) → 0 = -12 + 12n n = 1

m = (4 – 1)2 m = 9. (b) f(x)maksimum = 9.

(32 ,6)

2 x

0

y

y = 6 – (3x – 2)2

y = 6 – (3x – 2)2

JUJ 2006 Pahang http://edu.joshuatly.com http://www.joshuatly.com

Page 16: Add Maths JUJ 2006 [Edu.joshuatly.com]

3

3. (a) (1 – n)(6 + n) < 10 6 – 5n – n2 < 10 n2 + 5n + 4 > 0 (n + 4)(n + 1) > 0 n < -4, n > -1. y + x + p = 0

y = -x - p x2 + y2 – 8 = 0 → x2 + (-x – p)2 – 8 = 0 2x2 + 2px + p2 – 8 = 0 b2 – 4ac < 0 → (2p)2 – 4(2)(p2 – 8 ) < 0 -4p2 + 64 < 0 p2 – 16 > 0 (p - 4)(p + 4) > 0 p < -4 , p > 4.

4. g(x) = 2x2 + 6x + 5

= 2[x2 + 3x] + 5

= 2[(x + 23

)2 - 49

] + 5

= 2 (x + 23

)2 + 21

maka nilai minimum g(x) = 21

dan x = 23−

5. (a) g(x) = - [x2 + 2hx] + 6h = - [ (x + h)2 – h2] + 6h = - (x + h)2 + h2 + 6h maka h2 + 6h = 16 h2 + 6h – 16 = 0 (h + 8)(h – 2) = 0 h = -8 , h = 2 ATAU

q = a

bac4

4 2− =

4)2()6)(1(4 2

−−−− h

6h + h2 – 16 = 0 h = -8 , h = 2. (b) Jika h = -8 titik maksimum (8,16) h = 2 titik maksimum (-2,16).

JUJ 2006 Pahang http://edu.joshuatly.com http://www.joshuatly.com

Page 17: Add Maths JUJ 2006 [Edu.joshuatly.com]

1

Tingkatan 4 Bab 5 (Indeks Dan Logaritma) kertas 1

1. Selesaikan persamaan 81 x3 = 27 16 +x . [ 3 markah ]

Jawapan : _________________

2. Selesaikan persaman 5 12 −x = 9 x . [ 4 markah ]

Jawapan : _________________

3. Selesaikan log2 x = 4 + log8 x. [ 3 markah ]

Jawapan : _________________ 4. Diberi loga 2 = p dan loga 3 = q, ungkapkan loga 1.5a3 dalam sebutan p dan q.

[ 3 markah ]

Jawapan : _________________

5. Diberi log2 w + log4 v = 25

, ungkapkan w dalam sebutan v.

[ 4 markah ]

Jawapan : _________________

JUJ 2006 Pahang http://edu.joshuatly.com http://www.joshuatly.com

Page 18: Add Maths JUJ 2006 [Edu.joshuatly.com]

2

Kertas 2

1. Diberi 22x (8y) = 2 dan 9x (3y) = 27. Cari nilai x dan nilai y. [ 6 markah ]

2. (a) Selesaikan persamaan 3x+4 – 3x = 720 [ 3 markah ]

(b) Cari nilai bagi h jika (i) logh 16 = 2

(ii) log3 (h – 2) = 21

log3 81

[ 4 markah ] 3. (a) Diberi logx 5 + logx y = 0, cari nilai bagi y. [ 3 markah ]

(b) Diberi 4 logr 3 + 2 logr 2 – 2 logr 12 = 2, cari nilai bagi r.

[ 4 markah ]

4. (a) Diberi loga 3 = r dan loga 4 = s, ungkapkan (i) log4 36,

(ii) log3 274 2a

Dalam sebutan r dan s. [ 6 markah ]

(b) Selesaikan log9 ( log3 2y) = log16 4. [ 4 markah ]

5. (a) Selesaikan persamaan 4 x3log = 32. [ 3 markah ]

(b) Jika 72h = k2 (53h), tunjukkan bahawa h logk 12549

= 2.

[ 4 markah ]

JUJ 2006 Pahang http://edu.joshuatly.com http://www.joshuatly.com

Page 19: Add Maths JUJ 2006 [Edu.joshuatly.com]

1

Jawapan Tingkatan 4 Bab 5 (Indeks Dan Logaritma) kertas 1

1. 81 x3 = 27 16 +x (34)3x = (33)6x + 1 312x = 318x + 3 12x = 18x + 3

x = 21−

.

2. 5 12 −x = 9 x log 5 12 −x = log 9 x (2x – 1) log 5 = x log 9 (2x – 1) (0.6990) = x (0.9542) 0.4438 x = 0.6990 x = 1.5750.

3. log2 x = 4 + log8 x.

log2 x = log2 16 + 3

log2 x

x3 = 4096 x x = 64.

4. loga 1.5a3 = loga 1.5 + loga a3

= loga 23

+ 3

= log2 3 – log2 2 + 3 = p – q + 3.

5. log2 w + log4 v = 25

2 log2 w + log2 v = 5 w2 v = 32

w = v

32

JUJ 2006 Pahang http://edu.joshuatly.com http://www.joshuatly.com

Page 20: Add Maths JUJ 2006 [Edu.joshuatly.com]

2

Kertas 2

1. 22x (8y) = 2 22x . 23y = 2 2x + 3y = 1___________(1)

9x (3y) = 2 32x . 3y = 33 2x + y = 3___________(2)

(1) – (2) → 2y = -2 y = -1 2x – 1 = 3 x = 2.

2. (a) 3x+4 – 3x = 720 81(3x) – 3x = 720 80(3x) = 720 3x = 9 x = 2.

(b) (i) logh 16 = 2

h2 = 16 h = 4, -4

(ii) log3 (h – 2) = 21

log3 81

log3 (h – 2) = log3 9 h – 2 = 9 h = 11.

3. (a) logx 5 + logx y = 0 logx 5y = 0 5y = 1

y = 51

(b) 4 logr 3 + 2 logr 2 – 2 logr 12 = 2

2 logr 3 + logr 2 – logr 12 = 1

logr 12)2)(9(

= 1

r = 23

.

JUJ 2006 Pahang http://edu.joshuatly.com http://www.joshuatly.com

Page 21: Add Maths JUJ 2006 [Edu.joshuatly.com]

3

4. (a) (i) log4 36 = 4log

36log

a

a

= 4log

4log3log2

a

aa +

= s

sr ++++2

(iii) log3 274 2a

= log3 4a2 – log3 27

= log3 4 + 2 log3 a – 3

= rs

+ r2

- 3

= r

rs 32 −−−−++++.

(b) log9 ( log3 2y) = log16 4

log9 ( log3 2y) = 21

log3 2y = 3 2y = 27

y = 2

27.

5. (a) 4 x3log = 32 2 x3log2 = 25 2 log3 x = 5 x2 = 35 x = 243 x = 15.59

(b) 72h = k2 (53h) 49h = k2 (125h)

h

h

12549

= k2

logk ( 12549

)h = 2

h logk 12549

= 2. Tertunjuk.

JUJ 2006 Pahang http://edu.joshuatly.com http://www.joshuatly.com

Page 22: Add Maths JUJ 2006 [Edu.joshuatly.com]

JUJ 2006 5/17/2006

1

T5 Bab 1 (Janjang) Kertas 1

1. Tiga sebutan pertama suatu janjang aritmetik ialah k -3, k + 3, 2k +5. Carikan (a) nilai k, (b) hasil tambah 8 sebutan kedua bagi janjang itu. [ 4 markah ] Jawapan : (a)_____________ (b)_____________ _____________________________________________________________________________________ 2. Diberi sebutan sebutan ke-10 bagi suatu janjang aritmetik ialah 33 dan beza antara sebutan ke-8 dengan ke-3 ialah 15. Cari sebutan ke-15. [ 3 markah ] Jawapan :__________________ _____________________________________________________________________________________ 3. Diberi janjang aritmetik -23,-15, -7, … . Carikan hasil tambah bagi sepuluh sebutan berturut-turut selepas sebutan bernilai 33. [ 3 markah ] Jawapan :__________________ _____________________________________________________________________________________ 4. Pada hari pertama, isi padu minyak dalam sebuah tangki ialah 450 liter. Setiap hari berikutnya,

minyak dalam tangki itu berkurang sebanyak 8 liter. Pada hari keberapakah minyak dalam tangki itu mula kurang daripada separuh ? [ 3 markah ] Jawapan : ________________

JUJ 2006 Pahang http://edu.joshuatly.com http://www.joshuatly.com

Page 23: Add Maths JUJ 2006 [Edu.joshuatly.com]

JUJ 2006 5/17/2006

2

5. Dalam suatu janjang geometri, nisbah sepunya ialah 4 dan sebutan keempat ialah 27. Hitungkan (a) sebutan pertama, (b) hasil tambah sebutan-sebutan janjang itu hingga ketakterhinggaan. [ 4 markah ] Jawapan : (a)_____________ (b)_____________ _____________________________________________________________________________________ 6. Diberi janjang geometri 192, 144, 108,… . Cari sebutan terakhir yang nilainya melebihi 5. [ 3 markah ] Jawapan :__________________ _____________________________________________________________________________________

7. Diberi ....+0006.0+p+5=....060606.5=k2

5 . Carikan nilai k dan nilai p.

[ 3 markah ] Jawapan :__________________

JUJ 2006 Pahang http://edu.joshuatly.com http://www.joshuatly.com

Page 24: Add Maths JUJ 2006 [Edu.joshuatly.com]

JUJ 2006 5/17/2006

3

Kertas 2 : 8. Rajah menunjukkan 3 garis lurus A, B, C sebagai kumpulan pertama dan cabang- cabang sebagai kumpulan yang berikutnya. Setiap garis lurus dalam kumpulan yang berikut itu mempunyai bilangan cabang yang sama. Cari (a) bilangan garis lurus pada kumpulan ke-7, [ 2 markah ] (b) jumlah garis lurus dalam kumpulan ke-5 hingga kumpulan ke-10 [ 3 markah ] 9. Sebuah semibulatan dibahagi kepada 10 sektor dengan keadaaan setiap sudut sektor yang dicakupi pada pusat semibulatan membentuk suatu janjang aritmetik. Diberi sudut sektor terkecil ialah 4.5o. Carikan (a) sudut sektor terbesar, [ 3 markah ] (b) jumlah sudut bagi lima sektor terkecil. [ 2 markah ] 10. Rajah menunjukkan sebuah segi empat sama PQRS dengan panjang sisi 10 cm dan luasnya diwakili oleh L1. Panjang sisi segi empat sama kedua SEFG ialah separuh panjang sisi segi empat sama PQRS dan luasnya diwakili oleh L2. Panjang sisi segi empat sama yang seterusnya ialah separuh panjang sisi segi empat sama sebelumnya dan luasnya diwakili oleh L3, L4,…, Ln. Hitungkan (a) perimeter segi empat yang kelapan, [ 2 markah ] (b) hasil tambah luas segi empat sama ketiga hingga segi empat sama keenam, [ 2 markah ] (c) hasil tambah luas n segi empat sama, n meningkat sehingga ketakterhinggaan. [ 3 markah ]

QP

RS

E F

G

A

B

C

Kumpulan 1 Kumpulan 2

JUJ 2006 Pahang http://edu.joshuatly.com http://www.joshuatly.com

Page 25: Add Maths JUJ 2006 [Edu.joshuatly.com]

JUJ 2006 25/17/2006

1

B1

B1

T5 bab 1 (Janjang) Kertas 1

1. (a) (k+3) – (k-3) = (2k +5) – (k+3) 6 = k + 2 k = 4

(b) S16 - S8 = )]6(7+)1(2[28

-)]6(15+)1(2[2

16

= 736 -176 = 560 2. T10 = a + 9d = 33 T8 –T3 = 15 (a + 7d) – ( a+2d) = 15 d = 3 a + 9(3) = 33 a = 6 T15 = 6 + 14(3) = 48 3. -23 + (n-1)(8) = 33 n = 8

S18 – S8 = )]8(17+)23-(2[2

18- )]8(7+)23-(2[

28

= 810 – 40 = 770 4. 450 + (n-1)(-8) < 225 n > 29.13 Pada hari ke-30, minyak dalam tangki mula kurang daripada separuh. 5. (a) a(4)3 = 27

6427

=a

B1

B1

B1

B2

B1

B2

JUJ 2006 Pahang http://edu.joshuatly.com http://www.joshuatly.com

Page 26: Add Maths JUJ 2006 [Edu.joshuatly.com]

JUJ 2006 25/17/2006

2

(b) 4-1

6427

=S�‡

649

-=

6.

( )

6809.136809.121

43log

1925log

1

1925log

43log1

1925

43

543192

1

1

<<−

<−

>

>

>

nn

n

n

n

n

Sebutan terakhir yang melebihi 5 ialah sebutan ke-13. 7. 5.060606… = 5 + 0.06 + 0.0006 + 0.000006 + … .

a = 0.06 01.0=06.0

0006.0=r

5.060606… = 5 + 01.0-1

06.0

= 5 + 99.006.0

= 5 + 332

= 332

5

k = 33 p = 0.06

B1

B1

B1

B1

B1

JUJ 2006 Pahang http://edu.joshuatly.com http://www.joshuatly.com

Page 27: Add Maths JUJ 2006 [Edu.joshuatly.com]

JUJ 2006 25/17/2006

3

Kertas 2 8. (a) a = 3 r = 3 Bilangan garis lurus = 3(3)6 = 2187

(b) Jumlah garis lurus � 4106 SSS −=

( )

8845212088572

13133

13)13(3 410

6

=−=

−−−

−−=S

9. (a) ]d9+)5.4(2[2

10=180 o

d = 3o T10 = 4.5o + 9(3o ) = 31.5o

(b) )]3(4+)5.4(2[25

=S oo5

= 52.5o 10. (a) Perimeter : 40, 20, 10, …

78 )

21

(40=T

= 0.3125 cm. (b) Luas : 100, 25, 12.5, …

25.0-1

))25.0(-1(100 -

25.0-1))25.0(-1(100

=S -S26

26

= 133.3 -125 = 8.3 cm2

(c) 25.0-1

100∞S

= 133.3333 cm2

K1

N1

K1 N1

K1

N1

N1

k1

N1

k1 N1

N1

k1

N1

N1

k1

N1

JUJ 2006 Pahang http://edu.joshuatly.com http://www.joshuatly.com

Page 28: Add Maths JUJ 2006 [Edu.joshuatly.com]

JUJ 2006 5/17/2006

1

T5 Bab 3 (Pengamiran) kertas 1 _____________________________________________________________________________________

1. Diberi ( )

( )∫ ++=+

cxkdxx

n1212

106 . Carikan nilai k dan n. [ 3 markah ]

Jawapan : k =____, n =____ _____________________________________________________________________________________

2. Diberi ( ) 32

1

=∫ dxxf dan ( )[ ] 1122

1

=+∫ dxkxf . Carikan nilai k. [ 3 markah ]

Jawapan :__________________ _____________________________________________________________________________________

3. Diberi 012183 =+− xdxdy

dan 5=y apabila 1=x . Ungkapkan y dalam sebutan x. [ 3 markah ]

Jawapan :__________________ _____________________________________________________________________________________

4. Nilaikan ( )( ) dx

xxx

∫−+2

14

55. [ 3 markah ]

Jawapan :__________________

JUJ 2006 Pahang http://edu.joshuatly.com http://www.joshuatly.com

Page 29: Add Maths JUJ 2006 [Edu.joshuatly.com]

JUJ 2006 5/17/2006

2

5. Rajah di ruang jawapan (a) menunjukkan lakaran sebahagian daripada suatu lengkung. [ 3 markah ]

(a) Lorekkan rantau yang diwakili oleh ∫5

0

dxy .

Jawapan : (a) (b) ____________________

(b) Seterusnya, carikan nilai ∫∫ −6

2

5

0

dyxdxy

_____________________________________________________________________________________ 6. Diberi fungsi kecerunan suatu lengkung ialah 42 +kx kx2 + 4. Cari persamaan lengkungan jika

lengkung itu melalui titik (0,1) dan (3,1), [4 markah]

Jawapan :___________________________________

y

x

(5,2)

(0,6)

0

.

.

JUJ 2006 Pahang http://edu.joshuatly.com http://www.joshuatly.com

Page 30: Add Maths JUJ 2006 [Edu.joshuatly.com]

JUJ 2006 5/17/2006

3

Kertas 2 :

7. Diberi .14 32

2

−= xdx

yd Apabila 1−=x , y =

103

, dan .5=dxdy

Carikan nilai y apabila 2−=x

[4 markah] 8. Rajah di bawah menunjukkan lengkung 43 2 += xy dan garis lurus ky = . Diberi luas rantau berlorek

ialah 32 unit2, cari nilai k. [4 markah] 9. Rajah menunjukkan lengkung ( )xxy −= 8 dan garis lurus xy 3= . Tentukan nisbah luas kawasan A

kepada luas kawasan B. [5 markah] 10. Rajah menunjukkan suatu lengkung 12 += xy yang bersilang dengan garis lurus xy 24 −= dititik A. (a) Cari koordinat titik A, [2 markah] (b) Hitungkan isi padu yang dijanakan apabila rantau berlorek dikisarkan melalui 360o pada paksi-y. [5 markah]

x

y

0

A.

y = x2 + 1

y = 4 - 2x

y = k

0

y =3x2 + 4

x

y

2 -2

y =x(8 –x)

y = 3x

x

y

0

B

A

5

JUJ 2006 Pahang http://edu.joshuatly.com http://www.joshuatly.com

Page 31: Add Maths JUJ 2006 [Edu.joshuatly.com]

JUJ 2006 5/25/2006

Skema T5 Bab 3 (Pengamiran) Kertas 1

1. ∫ =dx)1+x2(

106 ∫ dx)1+x2(10 6-

C+)5-)(2()1+x2(10

=5-

B1

= -(2x + 1)-5 + c

k = -1, n = -5

2. ∫2

111=dx]k2+)x(f[

∫ ∫2

1

2

111=dxk2+dx)x(f[

3 + = 11 2

1]kx2[ B1

= 8 21]kx2[

B2 2k = 8

k = 4

3.

( ) ( )

6436

14135

1543

46

46

2

2

2

+−=∴

=+−=

==+−=

−=

−=

xxyc

c

xdanyBilacxxy

dxxy

xdxdy

B1

B2

1JUJ 2006 Pahang http://edu.joshuatly.com http://www.joshuatly.com

Page 32: Add Maths JUJ 2006 [Edu.joshuatly.com]

JUJ 2006 5/25/2006

4. ( )( )

( ) ( )

24163

24200252412

24200

2425

22

21

325

11

2425

21

1325

11

2325

21

3251

325

1

25252555

33

2

13

2

1

1412

42

1

24

2

14

22

14

22

14

−=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −++−

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −++−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

=

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−

=

−=−=−

=−+

+−+−

−−∫∫∫∫

xxxx

dxxxdxxx

xdxx

xdxx

xx

B1

B2

5. (a)

0

y

x

(5,2)

(0,6) .

.

(b) 5 x 2 B1

= 10 unit2 6.

( )

( ) ( )

( ) ( )

1434

34

27362736

39273

134331

,311

04301

,10

43

4

3

3

3

32

++−=∴−

=−

=

=−+=

++=

===

++=

==

++=+= ∫

xxyk

kk

k

xdanyApabilac

ck

ydanxApabila

cxkxdxkxy

B1

B2

2JUJ 2006 Pahang http://edu.joshuatly.com http://www.joshuatly.com

Page 33: Add Maths JUJ 2006 [Edu.joshuatly.com]

JUJ 2006 5/25/2006

Kertas 2 :

7. c+x-x=dxdy 4

k1 5 = 1 + 1 + c

c = 3

3+x-x=dxdy 4

c+x3+2x

-5x

=y25

c+3-21

-51

-=103

N1 c = 4

4+x3+2x

-5x

=y25

N1

Apabila x = -2, 4+)2-(3+2)2-(

-5)2-(

=y25

5

12= N1

8. Luas rantau berlorek = 32 unit2

k1 32=dxy-k4 ∫2

2-

32=dx)4+x3(-k4 ∫2

2-

2

k1 N1 32=]x4+x[-k4 2

2-3

4k-[(8+8)-(-8-8)]=32 k = 16 N1

3JUJ 2006 Pahang http://edu.joshuatly.com http://www.joshuatly.com

Page 34: Add Maths JUJ 2006 [Edu.joshuatly.com]

JUJ 2006 5/25/2006

9. Luas kawasan A = 2

75=15×5×

21

P1

Luas kawasan B = 2

75 -dx)x - x8(∫

5

0

2 k1 N1

= 2

75-]

3x

-x4[ 50

32

= 2

75-]

3)5(

-)5(4[3

2

N1

= 6

125 unit2

Luas A : Luas B = 6

125:

275

= 9 : 5 N1

10. (a) x2 + 1 = 4 -2x x2 + 2x – 3 = 0

k1 (x-1)(x+3) = 0 x = 1 atau x = -3 Apabila x =-3, y = 4-2(-3) N1 =10 A(-3,10)

(b) ∫10

1

2 dyxπ=v - hrπ31 2

- ∫10

1dy)1-y(π= )6()3(π

31 2

k1 N1

= 101

2

]y-2y

[π - π18 k1

= π18-))]1(-2)1(

(( -))10(-2)10(

[(π22

N1

= π18-π5.40

N1 = unitπ5.22 2

4JUJ 2006 Pahang http://edu.joshuatly.com http://www.joshuatly.com

Page 35: Add Maths JUJ 2006 [Edu.joshuatly.com]

MODUL MATEMATIK TAMBAHAN - TAJUK : TRIGONOMETRI

1

5.1 Enam Fungsi Trigonometri bagi Sebarang Sudut – Penyelesaian persamaan Selesaikan setiap persamaan trigonometri berikut untuk 00< x < 3600. 1. sin x + kos 40o = 0

2. kos x – sin 40o = 0

3. sin( x + 10o) = 0.5

4. kos( x – 40o) = 0.5

5. sin (2x + 10o) = 0.5

6. kos(2x – 40o) = 0.5

7. =)80+x21

sin( o - 0.5

8. =− )1021( oxkos - 0.5

JUJ 2006 Pahang http://edu.joshuatly.com http://www.joshuatly.com

Page 36: Add Maths JUJ 2006 [Edu.joshuatly.com]

MODUL MATEMATIK TAMBAHAN - TAJUK : TRIGONOMETRI

2

9. 4 tan 2x = -1

10. 2 sin 3x = 1

11. sek 2x = 2

12. 4=x21

kot

13. 2 sin x kos x = sin x

14. 2 sin x kos x = kos x

JUJ 2006 Pahang http://edu.joshuatly.com http://www.joshuatly.com

Page 37: Add Maths JUJ 2006 [Edu.joshuatly.com]

MODUL MATEMATIK TAMBAHAN - TAJUK : TRIGONOMETRI

3

15. 2 tan2x + tan x – 3 = 0

16. 6 sin2 x + sin x – 2 = 0

17. 3 sin x = 2 + kosek x

18. 3 kot x = 2 tan x - 1

19. 3 kos x + 2 sek x + 7 = 0

20. 3 sin2 x = 4 kos2 x

JUJ 2006 Pahang http://edu.joshuatly.com http://www.joshuatly.com

Page 38: Add Maths JUJ 2006 [Edu.joshuatly.com]

MODUL MATEMATIK TAMBAHAN - TAJUK : TRIGONOMETRI

1

5.2 Identiti Asas Trigonometri – Penyelesaian Persamaan Selesaikan setiap persamaan trigonometri berikut untuk 00< x < 3600. 1. sin2

x + 5 kos2 x = 4

2. sek 2 x + 3 tan2 x = 5

3. 4 sin2 x - 4 kos x – 1 = 0

4. 4 kos2 x + 12 sin x – 9 = 0

JUJ 2006 Pahang http://edu.joshuatly.com http://www.joshuatly.com

Page 39: Add Maths JUJ 2006 [Edu.joshuatly.com]

MODUL MATEMATIK TAMBAHAN - TAJUK : TRIGONOMETRI

2

5. 4 sek2 x – 12 tan x + 5 = 0

6. 3 sek2 x – 5 ( tan x + 1) = 0

7. 2 kot2 x – 5 kosek x + 4 = 0

8. 2 kot2 x = 7 kosek x - 8

JUJ 2006 Pahang http://edu.joshuatly.com http://www.joshuatly.com

Page 40: Add Maths JUJ 2006 [Edu.joshuatly.com]

MODUL MATEMATIK TAMBAHAN - TAJUK : TRIGONOMETRI

3

9. 3 sin x -2 kosek x + 1 = 0

10. 6 kos x -2 sek x – 1 = 0

11. sin x - 2 kos x = 0

12. kot x – 2 kos x = 0

JUJ 2006 Pahang http://edu.joshuatly.com http://www.joshuatly.com

Page 41: Add Maths JUJ 2006 [Edu.joshuatly.com]

MODUL MATEMATIK TAMBAHAN - TAJUK : TRIGONOMETRI

1

5.3 – Sudut Majmuk dan Sudut Berganda – Penyelesaian Persamaan Selesaikan setiap persamaan trigonometri berikut untuk 00< x < 3600. 1. 3 sin 2x = sin x

2. 4 sin 2x = kos x

3. kos 2x + kos x = 0

4. 3 kos 2x – 7 kos x + 5 = 0

JUJ 2006 Pahang http://edu.joshuatly.com http://www.joshuatly.com

Page 42: Add Maths JUJ 2006 [Edu.joshuatly.com]

MODUL MATEMATIK TAMBAHAN - TAJUK : TRIGONOMETRI

2

5. 3 kos 2x + 8 sin x + 5 = 0

6. 3 kos 2x + sin x – 2 = 0

7. 3 tan 2x + 2 tan x = 0

8. tan 2x – 10 tan x = 0

JUJ 2006 Pahang http://edu.joshuatly.com http://www.joshuatly.com

Page 43: Add Maths JUJ 2006 [Edu.joshuatly.com]

MODUL MATEMATIK TAMBAHAN - TAJUK : TRIGONOMETRI

1

Jawapan Modul : Tajuk Trigonometri 5.1 5.2 1. 230o , 310o

1. 30o , 150o, 210o, 330o

2. 50o , 310o

2. 45o , 135o, 225o, 315o

3. 20o , 140o

3. 60o , 300o

4. 100o , 340o

4. 30o, 150o

5. 10o , 70o, 190o, 250o

5. 56.31o , 231.31o

6. 50o , 170o, 230o, 350o

6. 63.43o , 161.57o, 243.43o, 341.57o

7. 260o

7. 30o, 150o

8. 260o

8. 30o , 41.81o, 138.19o, 150o

9. 82.980, 172.98o, 262.98o,352.98o

9. 41.81o , 138.19o, 270o

10. 10o , 50o, 130o, 170o, 250o, 290o

10. 48.19o , 120o, 240o, 311.51o

11. 30o , 150o, 210o, 330o

11. 63.43o , 243.43o

12. 28.08o

12. 30o , 90o, 150o, 270o

13. 60o , 180o, 300o

14. 30o , 90o, 150o, 270o

15. 45o , 123.69o, 225o, 303.69o

16. 30o , 150o, 221.81o, 318.20o

17. 90o, 199.47o , 340.53o

18. 56.31o , 135o, 236.31o, 315o

19. 109.47o , 250.53o

20. 49.1o , 130.9o, 229.1o, 310.9o

JUJ 2006 Pahang http://edu.joshuatly.com http://www.joshuatly.com

Page 44: Add Maths JUJ 2006 [Edu.joshuatly.com]

MODUL MATEMATIK TAMBAHAN - TAJUK : TRIGONOMETRI

2

5.3 1. 80.41o , 180o, 279.51o 2. 7.18o , 90o, 172.82o, 270o

3. 60o , 180o, 300o

4. 48.19o, 60o, 300o,311.41o

5. 221.81o , 318.19o

6. 30o, 150o, 199.47o , 340.53o

7. 63.43o, 116.57o, 180o, 243.43o , 296.57o

8. 41.81o, 138.19o ,180o, 221.81o , 318.19o

JUJ 2006 Pahang http://edu.joshuatly.com http://www.joshuatly.com

Page 45: Add Maths JUJ 2006 [Edu.joshuatly.com]

5.1 Hukum Indeks I. am x an = am + n

II. am a÷n = am – n

III (am)n = amn

Info Penting : a0 = 1 , mm

aa 1

=− , (ab)m = am bm

1. 1000 = 3– 2 = (3p)2 =

5.1 “BACK TO BASIC”

BIL am x an = am + n am ÷ an = am – n (am)n = amn

1. a3 × a2 = a3 + 2 = a5 a4 ÷ a = a5 – 1 = a 4 (a3)2 = a3x2 = a6

2.

23 × 24 = 23 + 4

= 2□

a3 ÷ a5 = a3 – 5 = a □

= 2

1a

(32)4 = 32x4 = 3

3.

p3 × p – 4 = p3 + ( – 4)

= p□

=

p – 4 ÷ p5 = p – 4 – 5

= p □

= ( )p1

(p – 5 )2 = p– 5 x2 = p□

=

4.

2k3 × (2k)3

= 2k3 × 23 × k3

= ( )□

(4a)2 ÷ 2a5 = (42a2) ÷ (2a 5)

= 5

2

216

aa

=

(3x2)3 = 33 × x2x3

=

1

JUJ 2006 Pahang http://edu.joshuatly.com http://www.joshuatly.com

Page 46: Add Maths JUJ 2006 [Edu.joshuatly.com]

5.2 PERSAMAAN INDEKS MUDAH Langkah Penyelesaian:

L1 : Gunakan hukum indeks untuk permudahkan ungkapan (jika perlu) L2 : Jadikan (dan PASTIKAN) asas SAMA L3 : Bentuk persamaan linear dengan menyamakan indeks L4 : Selesaikan persamaan linear

BIL Contoh Latihan 1 Latihan 2 1. 3x = 81

3x = 34

x = 4

2x = 32

x =

4x = 64

x = 2. 8x = 16

(23)x = 24

23x = 24

3x = 4

x = 34

4x = 32

x =

27x = 9

x = 3. 8x = 16x – 3

(23)x = 24(x – 3)

23x = 24x – 12

3x = 4x – 12

x = 12

4x+2 = 32x - 1

x =

271 – x = 92x

x = 4.

2 × 82x = 16x + 3

21 × (23)x = 24 (x + 3)

21+3x = 24x + 12

1 + 3x = 4x + 12

1 – 12 = 4x – 3x

x = – 11

16 × 42x – 3 = 322 – x

x =

251 – 3x = 5 × 125x

x =

2

JUJ 2006 Pahang http://edu.joshuatly.com http://www.joshuatly.com

Page 47: Add Maths JUJ 2006 [Edu.joshuatly.com]

5.2 LOGARITMA

Tahukah anda bahawa :

Jika satu nombor N boleh dinyatakan dalam bentuk N = ax , maka logaritma bagi nombor N pada asas a ialah x?

N = ax ⇔ loga N = x

100 = 102 ⇔ log10 100 = 2

64 = 43 ⇔ log4 64 = 3

0.001 = 10-3 ⇔ log10 0.001 = – 3

3

JUJ 2006 Pahang http://edu.joshuatly.com http://www.joshuatly.com

Page 48: Add Maths JUJ 2006 [Edu.joshuatly.com]

Menukar dari bentuk indeks kepada bentuk logaritma dan sebaliknya

BIL Bentuk Indeks Bentuk logaritma

1. 102 = 100 log10 100 = 2

2. 23 = 8 log2 8 = 3

3. pq = r logp r = q

4. 104 = 10000

5. a3 = b

6. 81 = 34

7. logp m = k

8. 2x = y

9. V = 10x

10. log3 x = y

11. loga y = 2

12. 25 = 32

13. log3 (xy) = 2

14. 10x = y3

15. log10 100y = p

4

JUJ 2006 Pahang http://edu.joshuatly.com http://www.joshuatly.com

Page 49: Add Maths JUJ 2006 [Edu.joshuatly.com]

Mencari Nilai Logaritma

PENTING :

BIL Bentuk logaritma Sebab

1. log10 1000 = 3 103 = 1000

dan log10 103 = 3

2. log2 32 = 5 25 = 32

dan log2 25 = 5

3. log10 0.01 = 10 = 0.01

dan log10 =

4 = 64 4. log 4 64 =

dan log4 =

5.

loga ax = x

log p p =

(PENGUKUHAN)

6. log p p8 = log a a2 =

7. log m m-1 = logm 2

1m =

8. log a a⅓ = log p p-5 =

9. loga 4

1a = log b bk =

10. log p (p×p2) = log p p p =

5

JUJ 2006 Pahang http://edu.joshuatly.com http://www.joshuatly.com

Page 50: Add Maths JUJ 2006 [Edu.joshuatly.com]

1

5.3 Hukum Logaritma I. loga (xy) = loga x + loga y II. loga

yx = loga x – loga y

III loga xm = m loga x

Info Penting : loga 1 = 0 (sebab 1 = a0) loga a = 1 (sebab a1 = 1) BIL Contoh Latihan 1. loga 3pr = loga 3 + loga p + loga r

(a)loga 2mn =

(b) loga 3aq =

(c) log10 10yz =

(d) log10 1000xy =

(e) log2 4mn =

2. loga qp = loga p – loga q

(a) loga rp

2 = loga p – loga 2r

= loga p – (loga 2 + loga r)

=

(b) log2 m

4 =

(c) log10

kx10 =

(d) log10

100xy =

(e) loga ma3 =

JUJ 2006 Pahang

http://edu.joshuatly.com http://www.joshuatly.com

Page 51: Add Maths JUJ 2006 [Edu.joshuatly.com]

2

Menggunakan hukum logaritma loga xn = n loga x 3. Contoh :

loga x3 = 3 loga x

(a) loga 2

1x

= loga x –2

= (b) log2 ( 4xy ) = log2 x + log2 y 4

= log2 x +

(c) log2 ( 44y ) =

=

(d) log2 xy 4

=

(e) log2 8

4y =

Latihan Pengukuhan (Hukum Logaritma) 1. Contoh :

log10 100x3 = log10 100 + log10x3

= log10 102 + 3 log10 x

= 2 + 3 log10 x

(a) log10 10000x 5 =

=

=

(b) log2 ( 8

4xy ) =

=

(c) logp ( 58 p ) =

=

(d) log2 3

2

4xk =

(e) log4 64

3y =

JUJ 2006 Pahang

http://edu.joshuatly.com http://www.joshuatly.com

Page 52: Add Maths JUJ 2006 [Edu.joshuatly.com]

3

5.4 PERSAMAAN INDEKS (yang melibatkan LOGARITMA) I. Persamaan berbentuk ax = b BIL Contoh Latihan 1 Latihan 2 1. 3x = 18

log10 3x = log10 18

x log10 3 = log10 18

3log18log

10

10=x

x =

2x = 9

x =

7x = 20

x = 2. 5x+2 = 16

log10 5x+2 = log10 16

(x+2) log10 3 = log10 18

5log16log2

10

10=+x

x+2 =

x =

4x+1 = 28

x =

3x-2 = 8

x =

3. Cara lain:

2002 3 =+x

6439.42log25log25log2log

82002

20022 3

=

=

=

=

=•

x

x

x

x

x

71-x = 2.8

x =

63x-2 = 66

x =

Langkah Penyelesaian: L1 : Ambil logaritma (asas 10) pada kedua-dua belah. L2 : Gunakan hukum logaritma log10 ax = x log10 a. L3 : Selesaikan persamaan linear dengan bantuan kalkulator.

JUJ 2006 Pahang http://edu.joshuatly.com http://www.joshuatly.com

Page 53: Add Maths JUJ 2006 [Edu.joshuatly.com]

4

x =

JUJ 2006 Pahang http://edu.joshuatly.com http://www.joshuatly.com

Page 54: Add Maths JUJ 2006 [Edu.joshuatly.com]

1

5.5 Penukaran Asas Logaritma :

RUMUS : loga x = ax

b

b

loglog

BIL Contoh Latihan 1 Latihan 2 1. log4 8 =

4log8log

2

2

= 23

(a) log4 32 = 4log

32log

2

2

=

(b) log16 8 =

(c) log8 2 =

=

(d) log9 27 =

=

(e) log81 9 =

=

(Dengan bantuan kalkulator) – Tukar kepada ASAS 10

1. log4 9 = 4log9log

10

10

=

(a) log5 20 = 5log20log

10

10

=

(b) log4 0.8 =

(c) log7 2 =

(d) log9 77 =

(e) log3 9.6 =

(f) log6 2.54 =

(g) 35log5 =

(h)

54log12 =

JUJ 2006 Pahang http://edu.joshuatly.com http://www.joshuatly.com

Page 55: Add Maths JUJ 2006 [Edu.joshuatly.com]

2

5.6 Aplikasi Hukum-Hukum Logaritma Untuk Penyelesaian Persamaan Logaritma Mudah

CONTOH LATIHAN C1 Selesaikan log2 (x+1) = 3.

Jawapan:

( )( )( )

718

212log1log

2log31log

3

322

22

=−=

=+

=+

=+

xx

xxx

L1. Selesaikan log2 (x – 3 ) = 2. Jawapan:

C2. Selesaikan ( ) 223log4 −=−x Jawapan:

( )( )( )( )

161116333

21613

4123

423

4log23log4log223log

223log

2

2

244

44

4

=

=

+=

=−

=−

=−

−=−−=−

x

x

x

x

xxxx

L2. Selesaikan log5 (4x – 1 ) = – 1 . Ans : x = 0.3

L3. Selesaikan log3 (x – 6) = 2. Ans : x = 15

L4. Selesaikan log10 (1+ 3x) = 2 Ans : x = 33 JUJ 2006 Pahang

http://edu.joshuatly.com http://www.joshuatly.com

Page 56: Add Maths JUJ 2006 [Edu.joshuatly.com]

3

L5. Selesaikan log3 (2x – 1) + log2 4 = 5 . Ans : x = 14

L6. Selesaikan log4 (x – 2) + 3log2 8 = 10. Ans : x = 6

L7. Selesaikan log2 (x + 5) = log2 (x – 2) + 3. Ans : x = 3

L8. Selesaikan log5 (4x – 7) = log5 (x – 2) + 1. Ans : x = 3

L9. Selesaikan log3 3(2x + 3) = 4 Ans : x = 12

L10. Selesaikan log2 8(7 – 3x) = 5 Ans : x = 1 JUJ 2006 Pahang

http://edu.joshuatly.com http://www.joshuatly.com

Page 57: Add Maths JUJ 2006 [Edu.joshuatly.com]

4

Mencari Nilai Logaritma Tanpa Bantuan Kalkulator

CONTOH LATIHAN C1. Diberi log2 3 = 1.585, log2 5 = 2.322. Tanpa

menggunakan kalkulator, nilaikan (a) log2 15 = log2 (3 × 5) = log2 3 + log2 5 = 1.585 + 2.322 =

L1. Diberi log3 5 = 1.465 , log3 7 = 1.771 . Tanpa menggunakan kalkulator, nilaikan (a) log3 35 = = = =

(b) log2 25 = log2 (5 × 5) = = =

(b) log3 49 = = = =

(c) log2 0.6 = log2 ( 53 )

= log2 3 – log2 5 = =

(c) log3 1.4 = = = =

(d) log2 10 = log2 (2 × 5)

= log2 2 + log2 5 =

=

(d) log3 21 =

=

=

=

(e) log4 5 = 4log5log

2

2

= 2322.2

=

(e) log9 21 =

=

=

=

(f) log5 2 = 5log2log

2

2

= )(

1

=

(f) log5 3 =

= )(

1

=

JUJ 2006 Pahang http://edu.joshuatly.com http://www.joshuatly.com

Page 58: Add Maths JUJ 2006 [Edu.joshuatly.com]

1

Latihan Pengayaan (Soalan Bentuk SPM)

LATIHAN LATIHAN L1 Diberi mx =3log dan nx =2log .

Cari 24log x dalam sebutan m dan n. [4 markah] [SPM 2001]

+mn

Ans 13:

L2. Diberi px =3log dan qx =2log . Cari 36log x dalam sebutan p dan q. [4 markah]

+

qpAns 22:

L3. Diberi kx =3log dan qh =9log .

Cari 23log kh dalam sebutan k dan h. [4 markah]

[Klon SPM 1998] ( )hkAns 4: +

L4. Diberi log3 x = p dan log9 y = q. Cari log3 x2y3 dalam sebutan p dan q. [4 markah] ( )qpAns 62: +

L5

Diberi m=2log5 dan p=7log5 , ungkapkan 9.4log5 dalam sebutan m dan p. [4 markah]

[SPM 2004]

( )12: −−mpAns

L6. Diberi f=2log5 dan d=7log5 ,

ungkapkan 25 8.2log dalam sebutan f dan d.

[4 markah]

( )( )12: −+ mpAns JUJ 2006 Pahang http://edu.joshuatly.com http://www.joshuatly.com

Page 59: Add Maths JUJ 2006 [Edu.joshuatly.com]

2

L7 Diberi log 2 T - log4 V = 3, ungkapkan T dalam sebutan V. [4 markah] [SPM 2003] ( )VTAns 8: =

L8. Diberi log 4 T + log 2 V = 2, ungkapkan T dalam sebutan V. [4 markah]

= 216:V

TAns

L9 Selesaikan persamaan xx 74 12 =− . [4 markah] ( )677.1: =xAns

L10. Selesaikan persamaan 223 94 +− = xx [4 markah] ( )6536.3: =xAns

L11. Selesaikan persamaan ( ) 21log112log 22

2 =− xx . [4 markah]

=−= 7,23: xxAns

L12. Selesaikan persamaan ( ) 2172log 23 =+ xx

[4 markah]

−== 9,21: xxAns

JUJ 2006 Pahang http://edu.joshuatly.com http://www.joshuatly.com


Top Related