i

DITKAT KULIAH

DISUSUN OLEH

HENDRO GUNTORO, S.PD

STIPER DHARMA WACANA METRO

2013

ii

DAFTAR ISI

Kata Pengantar ................................................................................................

Daftar isi .........................................................................................................

BAB I PENDAHULUAN

1. Makna Matematika .............................................................................

2. Matematika dan Ilmu Pengetahuan .....................................................

3. Operasi Bilangan Kompleks ...............................................................

4. Himpunan Semesta .............................................................................

5. Hubungan antar Himpunan .................................................................

6. Operasi Himpunan ..............................................................................

7. Hukum Matematika dalam Operasi Himpunan ..................................

8. Himpunan Ganda ................................................................................

9. Garis bilangan dan Silang ...................................................................

BAB II BASIS BILANGAN

1. Pendahuluan ........................................................................................

2. Operasi Bilangan Basis .......................................................................

3. Mengubah Basis ..................................................................................

4. Basis Duo Desimal ..............................................................................

BAB III RELASI DAN FUNGSI

1. Pengertian ...........................................................................................

2. Macam-Macam fungsi ........................................................................

3. Fungsi Linear ......................................................................................

4. Fungsi Non Linier ...............................................................................

BAB IV KALKULUS

1. Diferensial Fungsi Turunan ................................................................

2. Integral Fungsi Anti Turunan .............................................................

iii

BAB V PENGGUNAAN INTEGRAL

1. Luas sebagai Limit suatu Jumlah ........................................................

2. Menghitung Luas Daerah di Bawah Kurva ........................................

3. Luas Daerah antara Kurva dan Sumbu x ............................................

4. Luas Daerah antara Dua Kurva ...........................................................

5. Isi Benda Putar ....................................................................................

6. Panjang Busur .....................................................................................

BAB VI VEKTOR

1. Pendahuluan ........................................................................................

2. Vektor Lajur dan Vektor Baris ...........................................................

3. Penjumlahan Dua Vektor ....................................................................

4. Penggandaan Vektor terhadap Vektor Lajur ......................................

5. Pandangan Geometrik mengenai Vektor ...........................................

BAB VII MATRIK

1. Matrik Sebagai Bentuk Umum Suatu Vektor ....................................

2. Beberapa Macam Bentuk Matrik yang Khas ......................................

3. Kesamaan Dua Buah Matrik ...............................................................

4. Penjumlahan Dua Buah Matrik ...........................................................

5. Penggandaan Matrik ...........................................................................

6. Putaran Matrik ....................................................................................

7. Teras Suatu Matrik Segi .....................................................................

8. Penggandaan Dua Buah Matrik Sekatan ............................................

BAB VIII DETERMINAN SUATU MATRIK

1. Pasangan Unsur Negatif dan Positif Suatu Matrik .............................

2. Determinan Suatu Matrik ....................................................................

3. Mmor dan Kofaktor ............................................................................

4. Sifat-sifat Diterminan .........................................................................

5. Ordo dan Pangkat Suaut Matrik ..........................................................

6. Mencari Kebalikan Matrik dengan Matrik Ajoink .............................

iv

BAB IX MATRIK KEBALIKAN

1. Transformasi Dasar terhadap Matrik, Baris, dan Lajur ......................

2. Pangkat dan Bentuk Kanonik Suatu Matrik .......................................

3. Matrik Kebalikan dan Sifat-sifatnya ...................................................

4. Mencari Matrik Kebalikan dengan Cara Penyapuan ..........................

BAB X VEKTOR DAN GUGUS DAN PERSAMAAN LINEAR

1. Gugus Persamaan Linier .....................................................................

2. Metode Doolilitle ................................................................................

3. Vektor Di ruang Dimensi Tiga ...........................................................

4. Permasalahan dalam Vektor Tiga Dimensi ........................................

LAMPIRAN-LAMPIRAN

DAFTAR KEPUSTAKAAN

1

BAB I

PENDAHULUAN

1. Makna Matematika

Istilah matematika berasal dari bahasa Yunani Mathcin yang artinya mempelajari. Ada

kaitannya dengan kata medha atau widya dalam bahasa sansekerta ya ng artinya

kepandaian, integelensia, ketahuan,. Kata pasti timbul sebagai terjemahan dari bahasa

Belanda Wiskunde.

Penggunaan kata ilmu pasti untuk matematika, seakan-akan dalam matematika semua

hal sudah pasti dan tidak pernah berubah. Pada hal tidak demikian, misalnya dalam

aproskimasi, satatistika, peluang.

Jadi istilah matematika lebih tepat digunakan daripada Ilmu Pasti, karena memang

benar bahwa dengan menguasai matematika orang akan belajar mengatur jalan

pemikirannya dan sekaligus belajar menambah kepandaiannya.

2. Matematika dan Ilmu Pengetahuan

Ilmu pengetahuan (Science) berbeda dengan pengetahuan (Knowledge).

Syarat ilmu pengetahuan :

a. Memiliki penelitian : formal dan material

b. Memiliki metoda tertentu

c. Memiliki sistematika

d. Bersifat universal

Pembagian ilmu pengetahuan

a. Ilmu pengetahuan Murni (Pure Science)

b. Ilmu Pengetahuan Terapan (Applied Science)

Matematika merupakan dasar atau landasan setiap ilmu pengetahuan (Mathematic is

basic of science).

Alasannya : Ilmu pengetahuan memerlukan bahasa untuk menyingkat logika dari

pemikiran yang abstrak, matematika adalah bahasa yang sempurna bagi Ilmu

pengetahuan. Jadi tidaklah mengherankan jika kemajuan dalam bidang ilmu

pengetahuandan teknologi selalu di barengi oleh kemajuan yang cepat dalam

matematika, merupakan alasan yang pertama.

2

Alasan kedua ialah : para ilmuwan sering membentuk model matematika Murni (Pure

Mtematic) untuk menjelaskan fenomena yang sedang diteliti. Para ilmuwan bebas

menggunakan matematika dengan tetap menghormati sistematis yang ada dalam

matematika.

Alasan ketiga ialah karena matematika tidak tergantung pada nilai-nilai ramalan bagi

kebenarannya berdasarkan hukum, matematika memiliki tingkat ke bebasan yang tinggi

daripada sebagian besar ilmu pengetahuan.

Sistem Bilangan dan Teori Gugus

a. Sistem Bilangan dalam Matematika

Dalam matematika bilangan yang kita kenal dan kita gunakan sehari-hari dapat

digolongkan sebagai berikut :

1) Bilangan Nyata dapat positif maupun negatif

2) Bilangan khayal adalah bilangan yang berupa akar pangkat genap dari suatu

bilangan negatif . 4

3) Bilangan irasional adalah hasi1l bagi dari dua bilang yang berupa pecahan dengan

desimal tak terbatas. 3, 1

3,

Unit aljabar

Unit Geometri

Unit Arithmatika

- Geometri bidang dua dimensi - Geometri tiga dimensi - Goneometri

- Geometri analis

- Statistika - Probability

- kalkulus

Matematika

Bilangan

Bilangan Khayal Bilangan Nyata

Bilangan Irrasional Bilangan Rasional

Bilangan Pecahan Bilangan Bulat

3

4) Bilangan rasional adalah hasil bagi antara dua bilangan yang berupa pecahan

desimal terbatas 4, 1

3,

3

4,

5) Bilangan bulat adalah hasil bagi dari dua bilangan yang hasilnya bulat termasuk nol

6) Bilangan pecahan adalah hasil bagi dari dua bilangan yang hasilnya pecahan dengan

desimal terbatas atau tak terbatas.

7) Bilangan asli adalah semua bilangan bulat positif tidak termasuk nol

8) Bilangan cacah adalah semua bilangan bulat positif termasuk nol

9) Bilangan prima adalah yang besarnya tidak sama dengan satu dan hanya habis

dibagi dengan dirinya sendiri dari bilangan asli.

Bilangan Khayal (Bilangan Kompleks )

a. Pengertian

Bilangan kompleks adalah bilangan ya ng berbentuk a + bi, a dan b, bilangan ral

dan i2 = -1

Jika a + bi adalah sebuah bilangan komplek, maka a dinamakan bagian real dan b

bagian imaginer.

b. Diagram bilangan komplek

Sebuah bilangan komplek x + yi dapat dianggap sebagai bilangan real terurut (x,y)

bilangan tersebut geometrik dapat dinyatakan sebuah titik pada bidang x, y yang

disebut bidang komplek atau bidang argand.

Dalam hal ini kita menggunakan nama sumbu real untuk sumbu x dan sumbu

imaginer untuk sumbu y.

3. Operasi Bilangan Kompleks

a. Nilai mutlak

Sebuah bilangan komplek 2 = x + yi dapat juga disajikan sebagai sebuah vektor

yang berpangkat di titik 0 (0,0) pada bilangan argand dan berujung pada titik (x,y).

Nilai mutlak bilangan komplek adalah panjang vektor yang menyajikan bilangan

komplek tersebut. Nilai mutlak bilangan komplek sering disebut modulus atau

panjang. Jika z = x +yi sebuah bilangan komplek maka modulus atau panjang z

dinyatakan dengan IzI dan didefinisikan sebagai IzI = 2 + 2

I

(5,4)

(-5,0) (0,-1)

(2,-3)

Gambar titik : 5,4i; 2-3i; -5+0i; -1

Dinyatakan : (5,4); (2,-3); (-5,0); (0,-1); (5,4)

4

Gambar Z1 = -3 + 4i dan Z2 = 5 -2i

I Z1I = (32) + 42

= 25

= 5

I Z1I = 52 + (2)2

= 25

b. Kesamaan bilangan komplek

Dua bilangan komplek Z1 = x1 + y1 i dan

Z2 = x2 + y2 i dikatakan sama, hanya jika bagian real dan

bagian imagernya sama

Jadi, Z1 =Z2 jika dan hanya jika X1 = X2 dan Y1 = Y2

X + Yi = 4 + 3i X = 4 dan Y = 3

c. Penjumlahan dan pengurangan bilangan komplek

Penjumlahan bilangan komplek Z1 = x1 + y1 i dan Z2 = x2 + y2 i didefinisikan

sebagai :

Z1 + Z2 = (x1 + x2 ) (y1 + y2) i

Jika Z suatu bilangan komplek maka ada satu bilangan komplek yang dinyatakan

dengan Z disebut invers aditif atau negatif dari Z

Penggunaan dua bilangan komplek Z1 = x1 + y1 i dan Z2 = x2 + y2 i didefinisikan

sebagai : Z1 - Z2 = (x1 - x2 ) + (y1 - y2) i

d. Perkalian bilangan komplek

Perkalian dua buah bilangan komplek Z1 = x1 + y1 i dan Z2 = x2 + y2 i didefinisikan

sebagai : Z1 Z2 = (x1 x2 + ) + (x1 y2 + x2 y1) i

e. Bilangan komplek yang sekalian

Dua bilangan komplek disebut sekalian apabila mereka berbeda tanda hanya pada

bagian imaginernya.

Jika Z = x + yi kawan dari Z adalah dan didefinisikan sebagai : = x yi

Kaidah :

1. Z. adalah bilangan real

2. Z. = (Z)2

3. 1 + 2 = Z1 + Z2

4. 12 = 1 + Z2 =

5. =

(-3,4)

(5,-2)

5

f. Pembagian bilangan komplek

Jika Z bilangan komplek nol maka 1 atau disebut invers perkalian.

Jika Z = x + yi 1 = 1

+

= 1

+ .

=

2+2

Jadi : 1 =

2+2 -

2+2 . i

g. Penyelesaian persamaan kwadrat

Jika x2 + 3x + 5 = o

X12 = 24

2

= 3 11

2

= 3 11

2

X1 = 3+ 11

2 , X2 =

3 11

2

Susun PK yang akar-akarnya 1 + Zi dan 1 Zi

X1 = 1 + Z I dan X2 = 1 Zi

x1 + x2 = Z, x1 x2 = 5

PK yang dimaksud

X2 (x1 + x2 )X + x1 x2 = 0

X2 2 x + 5 = 0

Latihan

1. Jika Z = 1-I, buktikan Z2 2Z + 2 = 0

Cari akar yang lain

2. Susun PK yang akar-akarnya sebagai berikut:

a. z + 31

b. 5 + 2 3

c. -4 + i 2

d. 1

2 +

1

2 i 2

3. Hitunghlah

a. 3

2

b. 1+

1 2

6

4. Carilah bolangna komplek (dua buah) yang jumlahnya = 4 dan hasil kalinya =

8!

5. Carilah bilangan real x dan y sedemikian, sehingga (x + y)2 = 40 + 42 i.

6. Buktikan (cos + sin )-1 = cos. - I sin )

7. Jika (a + bi)2 = i, tentukan a dan b

8. Carilah akar-akar persamaan

a. Z2

+ 2 Z + 1-i = 0

b. Z2 (i- 2) Z + (3-i) = 0

9. Jika Z = 2+3

3+4, tentukan bagreal dan imaginernya

b. Pengertian gugus atau himpunan

Dalam matematika, teori gugus atau himpunan bersifat sangat matematika.

Berkenaan dengan sifat mendasarnya itu, maka pada bagian awal terlebih dulu

diperkenalkan pengertian, gagasan, dan konsepsi teori himpunan.

Dalam kehidupan sehari-hari manusia tanpa terasa sudah sering menerapkan

konsepsi himpunan, perkumpulan HKTI, HMI, PEPI, secara tidak disadari

sebetulnya sudah merupakan penerapan konsepsi himpunan dan gugus. Bahkan

anak-anak mengelompokkan mainan yang sejenis dan membedakan kawan putra

atau putri.

Dapat disimpulkan bahwa gugus atau himpunan adalah suatu kump;ulan atau

gugusan dari sejumlah objek, berupa lambang-lambang, mahluk yang mempunyai

arti, yang dapat didefinisikan dengan jelas nama yang merupakan anggota gugus

dan yang bukan, a A, a A

Himpunan dinotasikan dengan huruf A,B,C,. Anggota himpunan ditulis

dengan huruf kecil a,b,c,..

a A dibaca a anggota himpunan A

a A dibaca a bukan anggota himpunan A

anggota himpunan ditulis dalam kurung kurawal dan dipisahkan dengan tanda

koma.

A = {a.i,u,e,o}; B = {1,2,3,4}; C = {1.2.3.4}

c. Penyajian himpunan dan banyaknya anggota himpunan

1) Penyajian himpunan ada dua cara

a) Dengan cara mendaftar (roster Method), yaitu dengan cara menuliskan

semua unsur

7

A = {a,i,u,e,o), B ={ senin, selasa, ., sabtu}

b) Dengan cara perincian/sifat keanggotaan (ruler method), yaitu :dengan

menulis sifat keanggotaannya.

A = {x/x huruf abjad Yunani}

B = {x/x nama hari dalam seminggu}

Catatan :

Nama himpunan ditulis dengan huruf kapital.

Nama anggota ditulis dengan huruf kecil

Anggota himpunan diletakkan diantara kurung kurawal

Setiap anggota dipisahkan dengan tanda koma

Tanda I sedemikian rupa sehingga

2) Banyaknya anggota himpunan

Banyaknya anggota himpunan dinamakan juga bilangan kardinal, diberi

lambang atau notasi n. jadi banyaknya anggota himpunan A ditulis n (A).

Dari segi jumlah anggota ada dua jenis, yaitu himpunan terbatas dan tak terbatas

a) Himpunan terhingga :

A = {a,b,c,d,e,f,g} => n (A) = 7

B = {x/x bilangan ganjil dan 1 < x < 12}

= {3,5,7,9,11} => n (B) = 5

b) Himpunan tak terhingga

P = {x/x bilangan asli }=> P = {1,2,3,} => n (P) =

Q = {x/x bilangan ganjil} => Q + {1,3,5.} => n (Q) =

4. Himpunan Semesta, himpunan kosong dan diagram venn

a. Himpunan Semesta Universal

Himpunan semesta atau Universal diberi lambang S atau U. himpunan semesta

adalah himpunan yang memuat semua objek yang sedang dibicarakan.

Misalnya:

A = {x/x mahasiswa STIPER DW}

S = {x/x mahasiswa PTS DW}

b. Himpunan kosong diberi lamabng atau {}.

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota.

P = {x/x bilangan negatif dan , > 1} => n (P) =0

8

c. Diagram venn

Untuk menyatakan himpunan secara visual, maka dapat dibuat diagram venn.

Istilah diagram venn berasal dari seorang ahli bangsa Inggris yang menjadi tokoh

logika matematika ialah JOHN VENN (1834-1923).

Jika A = {a,b,c,d,d,f}, S = {a,b,c,d,e,f,g,h,i} maka diagram venn nya adalah sebagai

berikut :

5. Hubungan antar Himpunan

a. Himpunan bagian atau sub set

Himpunan bagian diberi notasi atau lambang

A B, B A berarti B memuat atau mencakup A

Himpunan A disebut himpunan bagian dari himpunan B A B, jika setiap unsur

A adalah unsur B

1) Hukum tentang himpunan bagian

a) Setiap himpunan adalah himpunan bagian dari himpunan itu sendiri

b) Himpunan kosong adalah himpunan bagian dari setiap himpunan

c) Banyaknya himpunan bagian dari suatu himpunan adalah 2n, dimana n

adalah bilangan kardinal, dan sesuai dengan pola segitiga Pascal.

Dalam diagram venn

A = {a}. B = {a,b,c} => a B

Banyaknya himpunan bagian = 2 n

2) Himpunan Kuasa adalah himpunan baru yang anggotanya terdiri dari semua

himpunan yang menjadi himpunan bagian dari suatu himpunan. Notasi = 2A.

.

A=> kuasanya = 2A. pola Paskal

.i A

.g

.h

S

.a .b .c

.d .e .f

B S

.b D

.c

.a

9

A= {a,b,c} => sA = {},{a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}.

b. Himpunan berpotongan

Himpunan berpotongan A dan B disebut berpotongn adengan lambang A )( B, jika :

1) Ada anggota A saja

2) Ada anggota B saja

3) Ada anggota sekutu A dan B

A= {1,2,3,4,5,6}, B= {2,4,6,8,10} A )( B

c. Himpunan lepas

Himpunan A dan B saling lepas jika tidak ada anggota sekutu.

Antara A dan B => diberi lambang A//B

A = {1,3,6,7}, B + {2,4,5}

A//B

d. Himpunan yang sama

Himpunan A disebut sama dengan B jika setiap unsur A juga unsur B. diberi

lambang A = B

A = {x/x bilangan asli < 10}

B = {a,b,c,d}, B = {p,Q,r,s}

A = B

e. Himpunan setara

Himpunan A setara dengan himpuannB, jika n (A) = n (B)

A = {a,b,c,d}, B = {p,q,r,s}

A = B

A B

S

.1

.3

.5

.2 .8

.4

.6 .10

A B

S

.1

.3

.6 . 7

.2

.4

.5

A = B

a.

b.

c.

d.

p.

q.

r.

s.

10

6. Operasi Himpunan

a. Gabungan dua himpunan

Gabungan dua himpunan A dan B dengan lambang A B adalah himpunan baru

yang anggotanya merupakan anggota A dan B

A = {a,b,c},

B = {c,d,e}

A B = {a, b, c, d, e}

b. Irisan dua himpunan

Irisan dua himpunan A dan B dengan notasi A n B adalah himpunan baru yang

anggotanya merupakan anggota sekutu A dan B

A = {1,2,3}, B = {3,4,5,6} => A n B = {3}

A = {a,b,c}, B = {d,e f} => a n B = {}

B = {1,2,3,4}, B = {1,2,3,4,5,6}} => A n B = A

c. Selisih dua himpunan

Selisih antara dua himpunan A dan B dilambang kan A B, adalah himpunan baru

yang terdiri dari anggota A yang bukan anggota B.

A= {2,3,5,7,13]

B = {1,2,3,.,9}

A b = {13}

B a {1,4,6,8,9}

A B

.a

.b

. .d

.c

. .e

A B

.

.13

2 .1

3 .2

5 .6 .8

7 9

. .e

S

A B

2 .1

3 .2

5 .6 .8

7 9

. .e

S

. 1.

.13 4.

6

8.

.9

11

d. Komplemen

Komplemen dari himpunan A dilambangkan dengan A atau A1 dibaca bukan A,

adalah himpunan baru yang anggotanya adalah anggota S yang bukan A

Ternyata

A n A1 = n{}

A U A1 = S

7. Hukum Matematika dalam Operasi Himpunan

Dalam operasi himpunan berlaku hukum matematika sebagai berikut :

1. Hukum idempotent a. A U A = A b. A n a = a

2. Hukum Asosiatif a. (A U B) U C = A U (B U C)

b. (A n B) n C = A n (B n C)

3. Hukum komulatif a. A U B = B U A b. A n B = B n A

4. Hukum distributif a. A U (B n C) = (A U B) n (A U C)

b. A n (B U C) = (A n B) U (A n C)

5. Hukum identitas a. A U = A A U S = S

b. A n = A n S = A

6. Hukum kelengkapan a. A U A = S A = A b. A n A = U =S = =S 7. Hukum de Morgan a. (A u B = (A n B b. (A n B = (A u B

Latihan

Jika : S = {0,1,2,.9}, P = {2,4,6,8}, Q = {0,5,9}, R = {3,7,9}

Tentukan :

1. P , Q , R

2. P n Q, P u R, P u R, P n R

3. P-Q, Q-P, P-(Q-R), (P-Q)-R, P n Q

4. P u (Q n R), (P u Q) n ( P u R), P n (Q u R), (P n Q) u (P n R)

5. ( PnQ ),(P n Q) ,( PnQ , (P u Q)

6. Buatlah dengan diagram venn

8. Himpunan Ganda

Misalkan nilai ujian matematika mahasiswa STIPER berkisar antara 5 hingga 8,

sedangkan pekerjaan rumah mahasiswa berkisar antara 6 hingga 8, maka mahasiswa

yang mengikuti kuliah matematika mungkin mendapat nilai 5 untuk ujiannya dan 6

untuk pekerjaan rumah. Masalah tersebut dapat dituliskan dengan singkat dengan

menggunakan himpunan ganda cartesius.

A1

S

.

A

12

Kenyataan bahwa mahasiswa menerima atau mendapat nilai 5 untuk ujian dan 6 untuk

PR dapat ditulis sebagai (1,i) yang dinamakan susunan ganda dua. Susunan tersebut

mengandung unsur lambangkan yang khusus.

Jadi (j,1) lain artinya dengan (1,i) dan menunjukkan hasil ujian j dan i sehingga pada

umumnya berlaku (i,j) (j,i)

Untuk masalah di atas susunan nilai (i,j) yang mungkin dapat diperoleh dapat dususun

oleh himpunan yang unsurnya terdiri dari I ={5,6,7,8}dan j = {6,78} sehingga

himpunan ganda yang diperoleh adalah {(5,6), (5,7), (5,8), (6,6), (6,7), (6,8), (7,6),

(7,7), (7,8), (8,6), (8,7), (8,8)}.

Nilai ujian membentuk himpunan i = {5,6,7,8} dan nilai PR membentuk himpunan j =

{6,7,8}. Dengan menggunakan kedua himpunan i dan j kita telah membentuk himpunan

berunsur 12. Himpunan itu dapat pula di catat dalam bentuk :

I x j = {(i,j) / i j}

I x j dibaca i silang j, i product j}

Jika P = {4,5,6,7,8} dan Q = {5,6,7,8}

P x Q =

9. Garis bilangan dan Silang

Suatu sifat penting dalam sistem bilangan real ialah bahwa setiap bilangan real dapat

dilukiskan dengan tepat satu titik pada suatu garis lurus atau yang disebut garis

bilangan melukiskan atau mewakili suatu bilangan real tertentu sehingga titik pada

suatu garis lurus atau ya ng disebut garis bilangan. Sebaliknya setiap titik pada garis

bilangan melukiskan atau mewakili suatu bilangan real tertentu, sehingga suatu

bilangan a dapat dan sering disebut dengan titik a. pada garis bilangan dipilih satu titik

o yang disebut titik awal. Untuk menunjukkan titik nol. Kemkudian ditetapkan satuan

skala. Selanjutnya setiap bilangan positif x ditunjukkan oleh suatu titik sejauh x di

sebelah kanan 0 dan bilangan real negatif x ditunjukkan oleh suatu titik sejauh x di

sebelah kiiri 0. Jika a < b, maka a di sebelah kiri b.

Silang pada garis bilangan

a. Silang terbuka dari a ke b yang ditulis (a,b) diartikan sebagai

A(b) = {s/a

13

b. Silang tertutup dari a ke b yang ditulis (a,b) diartikan sebagai

[a,b] = {x/a < x 0, => x x < 0,8

Maka HP kasus I adalah

{x/x < 1} n {x /< 4

5}

={x/x < 4

5

Kasus II: jika x + 1 < 0 => x > 1

Kalikan ke 2 ruas dengan x + 1

Didapat : 2 x > - 8x + 8

10x > 8 => x > 0,8

HP dari kasus II adalah:

{x/x > 1} n {x/x > 0,8}

= {x/x >1

Jadi HP dari 2

+1 adalah {x/x >1} n {x/x >0,8} u {x/x >1}

= {x/x < 0,8 atau x > 1}

Soal :

Carilah HP dari (x-i) (x +5) > 0

14

Latihan

1. Dari 25 gadis terdapat 18 yang suka menjahit, 13 yang suka memasak dan 12

suka keduanya.

a. Sajikanlah fakta tersebut dengan diagram venn

b. Berapakah gadis yang tidak suka menjahit dan memasak

2. Dari sekelompok murid yang terdiri dari 16 orang, 10 murid gemar melukis, 12

murid gemar mengarang dan 8 murid gemar kedua-duanya. Gambarlah diagram

venn himpunan himpunan itu dan hitunglah banyaknya murid yang tidak

gemar melukis maupun mengarang.

3. Pada seorang agen koran dan majalah terdapat 35 orang yang berlangganan

kedua-duanya; 10 oragn yang hanya berlangganan koran dan 15 orang yang

berlangganan majalah.

a. Berapakah banyaknya langganan seluruhnya

b. Gambarlah diagram venn himpunan-himpunan tersebut

c. Berapakah banyaknya yang berlangganan koran dan berapa yang

berlangganan majalah.

4. Suatu kelas terdiri dari 40 mahasiswa. 14 orang menyukai matematika. 15 orang

menyukai fisika dan 13 orang menyukai biologi. Yang menyukai matematika

dan fisika 8 orang. Yang menyukai fisika dan biologi 7 orang. Yang menyukai

biologi dan matematika 6 orang .

a. Buatlah diagram venn

b. Berapa orang ya ng menyukai ketiganya

c. Berapa orang yang tidak menyukai ketiganya.

15

BAB II

BASIS BILANGAN

1. Pendahuluan

Angka-angka yang digunakan dalam bilangan basis adalah bilangan terdiri dari 0,1,2,

., (n-1)/ jadi sama dengan angka yang digunakan pada ilmu hitung modulus n.

dalam bahasa sehari-hari kita menggunakan basis 10 atau sistem desimal.

Misal :

234 = 2.102 + 3.10

1 + 4.10

0

7568 = 7.103 + 5.10

2 + 6 .10

1 + 8.10

0

Dalam basis 5

43 = 4.101 + 3.100 = 20 + 3 basis 10 jadi 43S = 2310

234 = 2.52 + 3.5

1 + 4.5

0 = 2.25 + 15 + 4 = 69 jadi 2345 = 6910

Catatan :

43 basis 5 jangan dibaca empat puluh tiga, tetapi empat tiga basis 5 = 435

Maka dalam basis 5

4 x 3 = 225 ( baca dua dua basis lima)

2 x 4 = 135

4 x 4 = 315

3 x 3 = 145

2 x 3 = 115

2. Operasi Bilangan Basis

a. 2345 + 4325 = 234432

(1221 )5

+

b. 2435 + 345 =

24334

21321334 +21022 5

c. 5236 + 455 =

53245

43033340

42103 6

+

16

3. Mengubah Basis

2314 dalam basis 5 akan di ubah menjadi basis 6

Ubah dahulu manjadi basis 10 23145 = 2.53 + 3.5

2 + 1 .5

1 + 4.5

0

= 1.50 + 75 + 4 = 334

Kemudian ubah menjadi basis

6 334 4

6 55 1

6 9 3

1

Maka 33410 = 1314 6

Contoh soal

Carilah basis bilangan, sehingga 123 + 32 = 221

Penyelesaian :

Misal basisnya = x 123x + 32x = 221x

1x2 + 2x + 3x

0 + 3x + 2x

0 = 2x

2 + 2x + x

0

x2 + 2x + 3+ 3x + 2 = 2x

2 + 2x + 1

x2

+ 5x + 5 = 2x2 + 2x + 1

x2

- 3x 4 = 0

(x-4) (x +1) ` = 0 x1 = 4, x2 = -1

Jadi basis bilangan = 4

4. Basis 12 Duo Desimal

Dalam basis 12 kita memiliki lambang bilangan : 0,1,2,3,4,5,7,8,9,p.b.

Misalnya 4spb12 = 2.122 + 10.12

1 + 11 .12

0= 288 + 120 + 11 = 41910

a. 25912 x 6212 = .. 25962

46126

13356 12

b. Ppb12 x 2312 = 23

2889199

20669 12

Latihan :

1. Hitunglah :

a. 2356 x 436

b. 3224 x 234

c. 4235 - 345

d. 23p12 + b45

e. Pb12 xbp12

f. 432g 287g

17

2. Selesaikanlah

a. 2345 = .4

b. 2375 = 5

c. 1000102 = 4=3

d. 12314 = 2

(bilangan dengan basis 2 disebut biner)

3. Ditentukan persamaan 45x = 35y

a. Carilah x jika y = 83

b. Carilah x min dan y min

4. Dengan basi 5 hitunglah

a. 1331 : 14 = 3

b. 5041 : 32 = ..

5. Dengan basis berapa hubungan 123 + 41 = 214

6. Ubahlah dari basis 10 menjadi basis 12

a. 594

b. 1988

7. Suatu bilangan dengan basis 12 yang berakhir dengan 00, setelah diubah menjadi

basis 10 habis dibagi dengan 122. Buktikan

8. Selesaikanlah.

a. (9o3b)12 = (..)7 = (.)2

b. (11011101011)2 = (.)5 = (.)8 = (.)12

9. (4567)8 (pb5p3)12 + (2343)5 (1011011)8 = (.)12

10. 84

84 12 +

1234

4321 5 +

110101

1110111 2 = (..)

11. (1101011)2 + (4321)5 (8pb9)12 = (..)7

12. 80 2

2345 6 = (..)2

13. Tentukan x dalam persamaan (234)x = 69

14. Tentukan basis bilangannya sehingga 434 + 43 = 1032

15. Diketahui persamaan 32x = 42 y

a. Tentukan y jika x = 8

b. Tentukan x dan y min

18

BAB III

RELASI DAN FUNGSI

1. Pengertian Relasi dan Fungsi

a. Pengertian relasi

Pengertian relasi atau hubungan sebenarnya sangat luas, apakah itu hubungan

keluarga, sahabat atau saudara, lebih tinggi dan lain sebagainya atau hubungan di

dalam matematika, misalnya >, < yang dinamakan pertidaksamaan, sama dan

sebangun.

Dalam pembicaraan ini, yang dimaksud relasi ialah himpunan bagian dari produk

cartesius atau himpunan ganda.

Jika x A dan V B maka hubungan antara x dan y ditulis sebagai xRy atau xHy

dan kalau tidak ada hubungan x R y atau x R h.

Misalkan :

X himpunan mahasiswa STIPER-DW, y jurusan yang ada pada STIPER-DW.

Pernyataan bahwa seorang x x menjadi mahasiswa STIPER-DW dengan jurusan

yy dapat ditulis dengan notasi xRy atau xHy dibaca x mahasiswa jurusan y

Catatan :

yRx pada umkumnya tidak sama dengan xRy

Misalkan: dalam hubungan saudara maka : xRy = yRx dibaca x saudara y atau y

saudara x

1) Hubungan penataan, jika dipenuhi syarat sebagai berikut

a) Untuk setiap pasang unsur x dan y ya ng berbeda hanya mungkin berlaku

xRy saja atau yRx saja

b) Unsur-unsur x,y,z yang berbeda, berlaku sifat menghantar transitip xRy dan

yRz maka xRz

Misalkan hubungan keturunan dan >, < adalah penataan.

2) Hubungan penataan tak lengkap, jika dipenuhi syarat sebagai berikut :

a) Untuk setiap unsur x y dan y y, hubunga xRy dan yRx berlaku jika dan

hanya jika x = y

Sifat anti simetri = sifat setangkup

Sifat anti simetri = sifat tolak setangkup dituliskan xRy dan yRx x = y

b) Unsur-unsur x,y,z x berlaku hubungan :

xRy dan yRz berakibat xRz sifat transitip

19

misalkan : untuk relasi himpunan bagian memenuhi sifat penataan tak

lengkap

ACU, BCU, CCU.

Maka ACB dan BCA A = B

ACB dan BCC ACC

3) Hubungan kesetaraan atau equivalensi, jika memenuhi syarat sebagai berikut :

a) Sifat memantul atau refleksi xRx

b) Sifat setangkup atau simetris xRy juga berlaku yRx x =y

c) Sifat menghantar atau transitip xRy dan yRz maka xRz

b. Pengertian fungsi

Fungsi ialah suatu hubunga matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan

(hubungan fungsional) antara suatu variabel dengan variabel lain. Unsur-unsur

pembentuk fungsi adalah variabel atau perubah, koefisien dan konstanta.

1) Variabel

Variabel adalah unsur pembentuk fungsi yang mencerminkan atau

melambangkan faktor tertentu. Berdasarkan sifatnya di dalam setiap fungsi

terdapat dua macam variabel yaitu variabel bebas dan variabel terikat. Variabel

bebas (indevndent) ialah variabel yang nilainya tidak tergantung pada variabel

lain, sedangkan variabel terikat (devendent) yang nilainya tergantung pda

variabel lain.

2) Koefisien

Koefisien adalah bilangan atau angka yang terkait pada suatu variabel dalam

sebuah fungsi

3) Konstanta

Konstanta adalah bilangan atau angka yang turut membentuk sebuah fungsi dan

tidak terkait pada suatu variabel.

Contoh :

y = f (x). y = 5 + 0,8x

y= f (x) y = 5 + 0,8 x adalah sebuah fungsi.

Bentuk di atas menyatakan nilai y merupakan fungsi x artinya besar kecilnya

nilai y tergantung pada nilai x. masing-masing x dan y adalah variabel. Dimana

C B A

U

20

x adalah variabel bebas, karena nilainya tidak tergantung pada variabel lain (y).

sedangkan y adalah variabel terikat karena nilainya tergantung pada nilai x.

bilangan 0,8 adalah koefisien variabel x karena terkait pada x. adapun bilangan

5 adalah konstanta. Baik koefisien maupun konstanta dapat berupa angka.

Bedanya ialah bahwa koefisien terkait pada suatu variabel. Sedangkan konstanta

berupa bilangan yang sama sekali terlepas atau tidak terkait pada suatu variabel.

2. Macam-Macam fungsi

Fungsi dapat digolongkan menjadi beberapa jenis sebagaimana dapat terlihat pada

bagan sebagai berikut :

a. Fungsi eksponen

Adalah fungsi yang variabel bebasnya merupakan pangkat dari suatu konstantan.

Y = nx n = konstanta

b. Fungsi logaritma

Adalah fungsi baik (invers) dari fungsi eksponen, variabel bebasnya merupakan

bilangan logaritma, y = nlog x

c. Fungsi trigonometri

Adalah fungsi dimana variabel bebasnya merupakan bilangan goneometri. Y =

sm2x

d. Fungsi siklometri

Adalah fungsi yang variabel bebasnya juga meerupakan bilangan goneometri. Y =

arc. Cos3x

Fungsi

Fungsi non aljabar

(transenden)

Fungsi aljabar

Fungsi eksponen

Fungsi logaritma

Fungsi trigonometri

Fungsi siklometri

Fungsi rasional Fungsi irasional

Fungsi palinon

Fungsi linier

Fungsi kuadrat

Fungsi kubik

Fungsi bekwadrat

Fungi pangkat

21

e. Fungsi polinom

Adalah fungsi yang mengandung banyak suku dalam variabel bebasnya.

Y = a0 + a1 + a2 x2+ a3 x

3+ ..+ an x

n

f. Fungsi linier

Adalah fungsi polinom yang variabel b ebasnya berderajat satu .

Y = ax +b

g. Fungsi kwadrat

Adalah fungsi polinom ya ng variable bebasnya berderajat 2.

Y = ax2 + bx + c

h. Fungsi kubik

Adalah fungsi yang bervariabel bebasnya berderajat tiga.

Y = ax3 + bx

2 + cx + d

i. Fungsi bekwadrat

Keduanya berderajat dua

Y2= ax

2 dan Y

2= bx

2, x

2 + y

2 = r

2, x

2 + y

2 = 1

j. Fungsi pangkat

adalah fungsi dimana variabel bebasnya berpangkat suatu bilangan real di dalam

persamaan fungsi tersebut.

Y = xn n = bilangan real

k. Fungsi irasional

Adalah fungsi dimana variabel bebasnya di bawah tanda akar

Y = + 11 + + 0

3. Fungsi Linear

Bentuk umum persamaan fungsi linear adalah y = ax + b

Dimana

a = koefisien arah = gradient = lereng garis y

b = penggal garis b pada sumbu vertikal y

a. Pembentukan persamaan linear

1) Metoda dwi koordinat.

Dari dua titik A (x1,y1) dan B (x2,y2) dapat dibentuk garis lurus.

Rumusnya adalah :

22

2) Metode koordinat lereng

Dari suatu titik A (x1,y1) dan lereng garisnya adalah 0, maka dapat dibuat garis

lurus.

Rumus :

b. Pencarian akar dengan determinan

Baik cara substitusi maupun eliminasi dapat digunakan untuk menyelesaikan n

persamaan dengan n variabel. Jika variabel lebih dari dua, penyelesaiannya agak

rumit. Maka perlu digunakan determinan.

Prinsip pengerjaan determinan adalah dengan mengalikan unsur-unsur secara

diagonal dari kiri atas menurun ke kana bawah dan dari kiri bawah ke kanan atas;

kemudian mengurangkan hasil perkalian naik dan turun.

a b = ac-db p -q = pt + sq

d c -s t

Untuk berderajat tiga

a b c a b

d e f d e

g h i g h

= aei + bfg + cdh ccg afh dbi

Contoh :

2 45 7

= (2) (7) (s) (-4)

= 14 + 20 = 34

3 6 41 2 53 2 7

3 61 23 2

= 3. (-2).7 + 6.5.3 + 4.1.2 4(-2).3 3.5.2 6.1.7

= -42 + 90 + 8 + 24 30 42

= + 8

Untuk mencari akar 2 variabel

1. Ax + by = c

2. Dx+ey = f

1

21 =

1

21

y-y1 = a (x-x1)

23

X =

= x

Y =

Untuk mencari akar tiga variabel

1. Ax + by + cz = k

2. Dx + ey + fz = 1

3. Gx + hy + lz = m

X =

=

= + +

y =

=

= + +

+ +

z =

=

= + +

c. Notasi dx, dy dan dz masing-masing lambang dari determinan variabel x, y

dan z

Contoh :

1. 2x + 3y = 21 => x = 3, y = 5

X + 4 = 23 HP = { 3,5)

2. X + 2y z = 0 => = -1, y = 2, z = 3

2x + 5y + 2z = 14 HP = {(-1,2,3)}

Y 3z = -7

4. Fungsi Non Linier

a. Lingkaran

Tingkat kedudukan semua titik P yang berjarak sama terhjadap suatu titik. Titik

tersebut dinamakan pusat.

Jarak tersebut dinamakan jari-jari/radius

Persamaan : x2 + y

2 = r

2, pusat 0 (0,0) dan jari-jari r

(x-a)2 +

(y-b)

2 = r

2, pusat 0 (a,b) dan jari-jari r

24

x2 + y

2 + ax + by + c = 0, pusat (-1/2 A, -1/2 B)

r =

+

Tentukan jari-jari : 3x2 + 3y

2 24x- 18y - 33 = 0

Lingkaran :

{(x,y)I x2 + y

2 = r

2} => 0 (0,0), jari-jari r

{(x,y)I(x-a)2 + (y-b)

2, = r

2} => 0

1 (a,b), jari-jari r

{(x,y)I x2 + y

2 + Ax + By + C = 0 }=> (-

1

2 A, -

1

2 B), r =

+

Soal

1. 2x + 3y = 21

8x 4y 4 = 0

2. a + b = c = 3

5a 9b 2c = 8

3a + 5b 3c = 45

3. p + q + r + s = 10

p q + r s = +2

p + q r s = +4

-p + q + r + s = 2

4. a b 3c 2d + 2e = -4

2a +2c + d 2c = 2

3a + 3b + 3c d c = 9

4a 2b + 4c 3d = 0

5a 2b + 4c d + e = 14

5. p + q + r + s + t = 15

p q + r s + t = 3

p + q + r s t = -9

-p + q +r + s t = +3

2p 3q + 4r 5s + 6t = 20

b. Parabola

y

0 i (p,0) x

X = -p

25

Tk titik-titk ya ng berjarak sama terhadap suatu garis dan suatu titik.

Titik disebut fokus. Garis disebut direktrik.

Persamaan : y2 = 4px

Direktriknya x = -p dan f = (p,0)

Jika F (2,0)

X = -2

y2 = 8k

Jika y2 ditranlasikan (

) => (y-b)2 = 4p (x-0)

f (a +p1b) dan direktriknya = a p

1. tentukan fokus dan direktrik dari : x = y2 + 4y + 6

x2 = 4 py => F (0, p) dan y = -p

(x-a)2 = 4p (y-b) => F (a,b+p) dan y = b - f

2. Tentukan fokus dan direktrik dari y = 1

8 x

2 + 2x -3

Parabola :

- Aljabar

{(x,y)/y = ax2

+ bx + c = 0}

X =

2, y =

4

- Geometri

{(x,y)/y2 = 4px} => fokus F (p,0), direktrik x = -p

{(x,y)/y2 = -4px} => fokus F (-p,0), direktrik x = p

{(x,y)/x2 = 4py} => fokus F (0,p), direktrik y = -p

{(x,y)/x2 = -4py} => fokus F (0,-p), direktrik y = p

Digeser : (

) => {(x,y)/ (y-b)2

= 4p (x-a) }, F (a+p,b) direktrik y = a-p

{(x,y)/ (y-b)2

= -4p (x-a) }, F (a-p,b) direktrik y = a+p

c. Ellips

Tk titik-titik P sedemikian sehingga jumlah jarak ke kedua titik tertentu tetap

- Kedua titik disebut fokus

- Garis hubung fokus = sumbu panjang

- Garis melalui tengah kedua fokus dan 1 disebut sumbu pendek

- Titik potong dengan sumbu disebut puncak

- Pusat Ellips 0 (0,0)

26

C

A B

D

C

A B

D

+

= 1 => F1 (-f,0) dan F2 (p,0)

AB = 2a, CD = 2b

A (-a,0), B (a,0), C(0,b), D(0,-b)

+

= => a

2 = 25 => a = + 5

b2 = 16 => b = + 4

p2 = a

2 b2 = 9

p = + 3

F1 (-3,0), F2 (3,0) => A,B,C,D.

A (15,0), B (5,0), C (0,4), D (0,-4)

Jika pusat titik 0 (0,0) ditranslasikan (

)

()2

2 +

()2

2 = 1 pusat 0 (, F1 (-p + k, ), F2 (p + , )

Ellips : {(x,y) /

+

= 1} => F1 (-p,0), F2 (p,0), 2 = a

2, b

2, 0 (0,0)

{(x,y) / ()2

2 +

()2

2 = 1} => F1 (-p + k, ), F2 (p + , ), 0 , )

Tentukan : fokus, puncak, sumbu panjang dan sumbu pendek

1. (3)2

45 +

(2)2

16 = 1

2. 162 + 92 32 + 18 119 = 0

2

2 +

2

2 = 1

()2

2 +

()2

2 = 1

{()2

2 +

()2

2 = 1}

C

A B

d

F1(-p,0) F2 (p,0)

F2(0,0)

F1(0,-p)

F1

F2 {(x,y) /

()2

2 +

()2

2 = 1}

F1 (-p + k, ), F2 (p + , , 0 , )

27

d. Hiperbola

Tk titik-titik P sedemikian sehingga selisih jarak p ke dua titik tertentu tetap. Kedua

titik disebut fokus .

Persamaan

2

2 -

2

2 = 1. F1 (-p,0)

F2 (p,0)

A (-a,0)

B (a,0)

Persamaan asymtut : y = +

x

Persamaan eksentrik . e =

- A, B disebut puncak

- aB = sumbu transver = 24

- CD, C(0,b) dan D (0,-b) = sumbu sekawan = konjungsi = sb

- Pusatnya ditengah transer

Y =

x Y =

x

P2 = a

2 + b

2

P2 - a

2 = b

2

1. Tentukan persamaan persamaan hiperbola yang asymtutnya :

y = + 3

5x dan melalui (-5,2)

2. Tentukan persamaan hiperbola yang sumbu transfer :

26 dan ekstentriknya = 1,5

Hiperbola {(x,y) / 2

2 -

2

2}=> F1 (-p,0), F2 (p + a), A (-a,0), B (a,0)

{(x,y) / ()2

2 -

()2

2 = 1} = F1 (-p + k, ), F2 (p + , )

e. Fungsi kubik

Bentuk umum : y =ax2 + bx

2 + ex + d

Memfaktorkan dan mencari akar

Y = x3

+ x2

14x 24 titik maksimum

-2 1 1 - 14 -24 titik minimum dan titik beloknya dipelajari

F1 A 0 B f2

28

-2 2 24

-3 1 -1 -12 0

-3 12

1 -4 0

Y = (x + 2) (x +3) (x-4)

X1 = -2

X2 = -3

X3 = +4

HP = {-3,-2,4}

Fungsi kubik dan seterusnya

1. Y = x3 - 9x2 + 20x 12

2. Y = 6x3 - 15x2 x + 6

3. Y = 2x3 + 7x2 +2x 3

4. Y = 2cos3x + 3cos2x 8cosx + 3

Derajat empat

1. X4 + 3x3 - 5x2 3x + 4 = 0

2. X4 - 15x2 - 10x + 24 = 0

3. X4 + 3x2 - 4 = 0

Derajat lima

1. X5 - 7x4 + 6x2 5x + 7 = 0

2. X8 - 7x3 + 5 = 0

3. 52x + 51+x - 6= 6

4. 5x + 51-x = 6

5. 32x+1 - 8.3x - 3= 6

f. Fungsi pangkat dan fungsi eksponen

Bentuk umum fungsi pangkat : y = xn

Bentuk umum fungsi eksponen : y = nx

Y y=x2

y=22

0 x 0 x

29

Fungsi eksponen :

1. af.a2 = af+2

2. af.a2 = af-2

3. (af.)a = af2

4. (ab)f = a2b2

5. A0 = 1

6. A-f = 1

7.

= a

Contoh :

1. (1

27)-2/3

= (1

33)-2/3

= (3-3

)-2/3

= 32= 9

2. 22x+1+ 2x 3 = 0

21. 2

2x +2

x 3 = 0

2. (2x)2

+ 2x 3=0

Misal : 2x =a => (2x)2

= a2

2a2

= 2x - 3 = 0

(2a + 3) (a-1) = 0 => a1 = -3

2

A2 = 1

` 2x = 1

2x = 20

X = 0

Jika : F (x)f(x)

= F (x)9(x)

Maka :

a. Eksponen sama : f (x) = 9 (x)

b. Bilangan pokok sama f (x) = 1

c. Bilangan pokok sama f (x) = -1

d. Bilangan pokok sama f (x) = 0

Contoh :

(x2 7x+11)2x+5 = (x2 7x) 2x+5

{1,2,3,5, 7+

2,

7

2}

g. Fungsi logaritma

Fungsi logaritma adalah merupakan invers dari fungsi eksponen

23 = 8 =>

2log8 = 3

53 = 125 =>

5log125 = 3

30

Sifat-sifrat log

1. alog b = c => a2 = b

2. Log ab = log a + log b

3. Log a/b = log a log b

4. Lok xn = log x

5. alog b = log

log

6. alog b . blog a. clog d = alog d

7. alog b = 2log b2 = 1/alog 1/b

Contoh :

1. 2log 8 + 2log 1/8 - 2log 1 = 3 + -3 0 = 0

2. 9log 8 = a => 4log 3

4log 3 =

3

4

Pokok log 2

Log (log x) = log (3 + log x) + 2

1. (x2 9x + 19)3x +4 = (x2 9x + 19)4x+3

2. (x2 11x + 29)2x +3 = (x2 11x + 29)4x +3

3. 0,4log x + 2,5log(x +1) = 2

4. 7log (x-1) + 2(x-1log 7) = 3 mis. 7log (x-1) = y

5. 5x2 log x 47x logx 30 = 0 mis. x log x = y

6. 1

+6 +

x log (x-1) = 2 +

1

2

2 log (x+1) =

2 log 16

X + 1 = 16

X = 15

Soal :

1. Tentukan x dan y jika 5log x + 8log y = 5

2. Jika 4log 3 = a, hitung 2log v3, 8log 9, 4log 1/9

3. log 5128

log 23 + log 47 log 85

h. Fungsi invers

Jika fungsi f : A B, maka invers dari f dinyatkan f-1: B A. maka f-1 disebut

invers. A B

f

f-1

31

Contoh :

Jika f (x) = 2x + 7 => f-1

(x) =

Jawab : f (x) = 2x + 7 => 2x = f (x) 7

X = f(x) - 7

2

f-1

(x) = x - 7

2

Jika f (x) = +3

+1 => f

-1 (x) =

Contoh :

f (x) = x2 => f

-1 (x) =

f (x) = x2 => x = + ()

f-1

(x) = +

Soal:

1. f (x) = +5

3+2 => f

-1 (x) =

2. f (x) = - 2

3 x 7 => f-1 (-3) =

3. f (x) = -1 + 1

1 f

-1 (a) =

5

3 => a =.

i. Fungsi komposisi

1) Komposisi

A B C

f g

f2

Jika : f : A B

G : B C

H : A C

Maka : h (x) = gof (x)

= g (f (x))

Contoh :

F(x) x2 + 1, 9 (x) = x + 3

Tentukan :

a. Fog (x)

b. Gof (x)

c. Fof (x)

d. Gog (x)

32

Jawab :

a. (fog)(x) = f (g(x)) = f (x+3) = (x+3)2 + 1 = x2 + 6x+10

b. (gof) (x) = g (f(x)) = g (x2 + 1) = (x2 + 1)+ 3 = x2 + 4

c. (fof) (x) = f (f(x)) = f (x2 + 1) = (x2 + 1)2 +1 = x4+ 2x2+2

d. (gog) (x) = g (x+3) = (x+3) = x + 6

Soal :

1. F (x) = x2 3x +2

G (x) = 2x + 5

a. (fog) (x) =

b. (gof) (x) =

c. (fof) (x) =

d. (gog) (x) =

2) Invers fungsi komposisi

Jika f = A B dan g : B C, maka fungsi komposisi gof,

Pada gambar dapat dilihat (gof)-1

(x) = (f-1

og-1

(x)

Ada dua cara menentukan fungsi komposisi :

a) Mula-mula menentukan fungsi komposisi, kemudian diinverskan

b) Mula-mula menentuka invers masing-masing fungsi kemudian

dikomposisikan

Jika f(x) = 7x + 2 dan g (x) = 3x => fog-1

(x) =

Cara 1 : (fog) (x) = f(g(x)) = f (3x) = 3 (3x) + 2 = 21x + 2

(fog) (x) = 21 x + 2

21x = (fog) (x) 2

X = fog x 2

21

2

21

(fog)-1

(x) = x

21

2

21=

1

21

2

21

Cara 2 : (fog) (x) = 7x + 2 => 7x = f (x)-2 => f-1

(x)= 1

7 x

2

7

A B C

f2 g

f-1

g-1

(gof)

-1

33

G(x) = 3x => g-1

(x) = 1

3 => g-1(x) =

1

3

(fog)-1(x) = (g-1 of-1 (x) = g-1(f-1(k))

= g-1

( 1

7 x

2

7) =

1

3 (

1

7 x

2

7)

= 1

21

2

21

Soal :

1. F (x) = 2 x + 11,9 (x) = 1 x =>

a. (fog)-1 (x)

b. (gof)-1 (x)

2. F (x) = x + 3,9 (x) = 3

3. F (x) = x + 6,9 (x) = x3 + 1

j. fungsi hiperbolik atau fungsi siklometri

dalam lingkaran besarnya sudut pusar = busur yang bersangkutan. Kesamaan x =

sin y sekarang dapat dibaca : y adalah busur yang sinusnya x, dan ditulis : y :

arc.sin.x. arcus artinya busur

Jika sin y = x => y = arc.sin x

Busur yang bersangkutan diukur dalam radial. Misalnya : arc.sin 1

2=

1

6 =>

sin1

6 =

1

2

Pembatasan yang serupa berlaku pula untuk arc.cn x, are.tg x, dan are cotg.x.

Bentuk-bentuk tersebut disebut fungsi siklometri atau fungsi hiperbolik.

Fungsi are.sin.x dan arc.cos.x hanya ada untuk x < . untuk are.tg.x dan are.cotg.x

ada untuk setiap harga x

Busur-busur yang sinusnya = x tak berhingga bayaknya. Untuk menjadikan

siklometri tersebut berharga satu, maka diadakan kesepakatan sebagai berikut :

arcus sinus x adalah sudut yang letaknya diantara - 1

2 dan

1

2 radial. Arc.cos.x,

arc.tg.x dan arc.cotg.x adalah sudut-sudut yang letaknya diantara 0 dan radial.

Diantara interval tersebut. fungsi siklometri itu adalah inverse (kebalikan) dari

fungsi-fungsi goneometri.

Contoh :

1. Hitunglah x jika are.sin. o,6 = are. Tg.x

Jawab : mis.are.sin. 0,6 = p sin.p = 0,6

Cos2p + sin

2p = 1 => cos p = 1 0,36 = 0,8

Tg.p = sin p : cos p = 6

10

10

8=

6

8=

3

4

34

Tg p = 3

4 => are tg

3

4

Jadi sin 0,6 = are tg 0,75

2. Ubahlah bentuk are tg 2 menjadi bentuk arc.sin

Jawab :

Mis.are tg 2 => tg p = 2

Tg 2 p = 2

2 =

2 (2)

122=

4

3=

4

3

R = (+4)2 + (3)2 = 25 = 25

Sin 2p = 4

5=> sin

4

5= 2

Dalam tg2p = -4

3 ( , 2 => 2 = sin

4

5

Jadi 2 are.tg 2 = are.sin 0,8

Hitunglah :

1. Are.cos 1

2 =

2. Are.tg 1 =

3. Are sin(-1

2)

4. Are cotg 3

5. Are cps ( - 1

2 2)

Hitunglah x jika :

1. Are cos 1

3= .

2. Are tg 3 = are cotg x

3. Are sin x = 2 are sin 0,3

4. Are cos x = 2 are tg 1,5

5. Are cos x = 2 are sin 0,6

Latihan :Selesaikan

1. 2 sin2 x 5 sin x + 3 = 0

2. Cos 3 x + cos x 2 = 0

Buktikan

1. cos 3sin 6 cos 9

sin 9cos 6sin 3= 6

2. sin 6+sin 2sin 4

cos 6cos 2cos 4= 4

3. Tunjukkan bahwa 3 adalah akar dari 2x2 11x2 + 12x + 9 = 0

4. Tentukan titik potong lingkaran dan garis sebagai berikut :

a. X2 y2 + 2x + 2y + 1 = 0 dan x-y = 1

b. X2 y2 + 4x + 2y = 0 dan 2x y + 8 = 0

R +4

2p \

-3

35

BAB IV

KALKULUS

1. Diferensial Fungsi Turunan

a. Fungsi limid

Teori tentang limid merupakan konsep dasar yang sangat penting dalam cabang

matematika yang dinamakan kalkulus. Dengan teori limit dapat diketahui seberapa

jauh suatu fungsi akan berkembang apabila variabel di dalam fungsi tersebut terus

menerus berkembang mendekati suatu nilai tertentu.

Sebagai gambaran , dari y = f(x) akan dapat diketahui batas perkembangan f (x)

apabila variabel x terus berkembang mendekati suatu nilai tertentu.

Pernyataan limfx a

= L

Dibaca : limit fungsi f(x) untuk x mendekati a adalah L, dimana a dan L, masing-

masing adalah bilangan.

Artinya : jika x bertambah terus menerus mendekati a, maka f (x) mendekati nilai L

b. Kaidah limit : fungsi aljabar

1) Jika y =f(x) xn dan n > 0 maka limx a

xn = a

n

Contoh : limx 2

3 = 23 = 8

2) Lihat dari suatu konstanta = konstanta itu sendiri.

limx 2

= dimana k = konstanta .

Contoh : limx 2 5 = 5

3) Limit dari suatu penjumlahan = jumlah dari limit masing masing :

limx 2

3+ 9 (x)] = limx 2

3 + limx 2

9 (x)

Contoh :

limx 2

[(1-2x2) x

3] = lim

x 2 1 lim

x 2.2x

2 + lim

x 2 x3

= 1-2.22 + 2

3 = 1-8 + 8 = 1

4) Limit suatu perkalian fungsi = perkalian dari limit masing-masing fungsi.

Contoh :

limx 2

[(1-2x2) (x

3)] = lim

x 2 (1-2x

2) . lim

x 2 x

2

= (1-8) (8) = -7 (8) -56

limx a

[f(x) . (x)] = limx a

f (x) . limx a

f (x)

36

5) Limit pembagian fungsi = pembagian dari masing masing fungsi dengan syarat

pembagiannya tidak = 0

limx a

=

limx a

(()

limx a

=> lim

x a 0

Contoh :

limx a

2 25

5= lim

x a

+ 5 ( 5)

5= lim

x 5 + 5 = 10

c. Kaidah fungsi limit trigonometri

1) limx 0

sin

= lim

x 0

sin = 1

2) limx 0

tg

= lim

x 0

=1

3) limx 0

cos = 1

4) limx 0

sin = 0

5) limx 0

sina

= 1

6) limx 0

tg

= 1

Contoh

1) limx 0

sin 3

= lim

x 0

sin 3

3. 3 = 1 . 3 = 3

2) limx 0

cos 2

2= lim

x 0

1(2si in 2 )

2

= limx 0

2si in 2 )

2= 2. 12 = 2

Soal :

1) limx 2

x2+ x+6

2=

2) limx 2

x3 22+ 48

2 4+4=

3) limx 3

x327

3=

4) limx 0

x3 2+ +6

5342 34=

5) limx 1

x31

2 1=

6) limx 0

5 25

=

7) limx 2

3 x3 72 8+20

52 212+ 244=

37

8) limx 0

x3

2+ =

9) limx 0

2 25x

3 9+=

Soal

1) limx 0

sin sin

=

2) limx 0

sin 3

2=

3) limx 0

1

2=

4) limx

1

2

sin +1

cos 1=

5) limx 0

1

sin =

6) limx 0

cos cos

2=

7) limx 0

sin

1cos =

8) limx 0

1=

d. Koefisien Differensi

Jika y = f(x) dan terdapat tambahan variabel x sebesar x (dibaca delata x) maka

bentuk persamaannya dapat dituliskan sebagai berikut :

Y = f (x)

Y + y = f (x+ x)

y = f (x x) y

= f (x + x) f (x) : x

y

x =

+ x f(x)

x

Bentuk y

x disebut koefisien defferensi dan mencerminkan tingkat perubahan rata-

rata variabel terikat y terhadap variabel bebas x

Contoh :

Jika y = f (x) = 3x2 x. berapa koefisien differensinya ?

Y = 3x2 x

Y + y = 3 (x + x)2 (x + x) = 3 (x2 + 2x. x + x2) (x +x)

y = 3k2 + 6x . x + 3. x2 - x (3x2 x)

= - 6x . x + 3 (x)2 - x

y

x = +6. x + 3 k 2 x x = +6x + 3k 1

38

Soal :

1. Jika f (x) = y = 4x2 3x2 + 2x +1 => y

x = ..

2. Jika y = f (x) = 2x4 3x3 + 4x2 5x + 6 => y

x = ..

e. Deferensial dan deferatif

Proses penurunan sebuah fungsi disebut proses pendiffefensialan atau diferensiasi,

pada dasarnya merupakan proses penarikan limit atas suatu kuosien differensi

dalam hal tambahan variabel bebasnya mendekati nol. Hasil yagn diperoleh dari

proses differensi tersebut dinamakan turunan atau drevatif.

Dengan demikian jika y = f (x), maka

Kuoeien differensinya : y

x=

+ x ,

x , dan

Turunan fungsinya limx 0

y

x= lim

x 0

+x f (x)

x=

f. Kaidah defferensiasi

1) Jika y = xn => y1 = n.xn-1

Y = y1 = 3x

n-1 = 3x

2

2) Jika y = k, dimana k = konstanta => y1 = 0

Y = 3 => y1 = 0

3) Jika y = u v => y1 = u1 + v1

Y = 5x2 + 10x => y

1 = 5.2.x + 10.1.

x0 = 10x + 10

4) Kola y = u v => y1 = u1 v1

Y = 5x2 - 10x => y

1 =10x - 10

5) Jika y = u.v => y1 = u1 v1

Y = (2x2 1) (3x2 + 1)

Y1 = 4x (3x

2 + 1) + (2x

2 1) (6x)

6) Jika y =

=> y1 =

1 1

2

Y = 31

1

y1 =

6 +1 1(31)

(+1) 2

7) Jika y = kv dimana k konstanta dan v = f (x)

Y1

= kv1

Y = sx3

Y1 =(5x

2) = 15 x

2

8) Jika y =

, k = konstanta v ( f (x)

39

Y1 =

1

2=> =

3

52=> 1 =

3 .10

254=

30

253=

6

53

9) Jika y = a log x => y1 = 1

y = 5 log 2 => y1

= 1

25

10) Jika y = 1 n x => y1 = 1

Y = 1 n 2 => y1

= 1

2

11) Jika y = ax => y1 = ax 1na

Y = 2z => y

1 = 2

x 1n2

12) Jika y = ex => y1 = xx

Y = 2,82x => y1

= 2,82x

Soal :

1. Y = (3y 4)2 => y1 =

2. Y = (1

2

1

3)3 => y1 =

3. Y = ( vx - 1

)2 => y1 =

4. Y = (x - 1

)3 => y1 =

5. Y = 2 sin x. cosx => y1 =

6. Y = tgx (cps x. sinx) => y1 =

7. Y = (v3x2 v3x)2 => y1 =

8. Y = (vx - 1

)5 => y1 =

Fungsi goneometri

1. Jika y = sin x => y1 = cos x

Y = sin 60 => y1 = cos 60 =

2. Jika y = cos x => y1 = -sin x

Y = cos 30 => y1 = - sin 30 = -

3. Jika = tg x => y1 = 1

2

Y = tg 45 => y1 =

1

245=

11

2245

= 1

1

2

= 2

g. Derovatif dari derivatif

Tergantung dari derajatnya, setiap fungsi dapat diturunkan lebih dari satu kali.

Dengan kata lain turunannya masih dpat diturunkan lagi.

40

Turunan pertama sebuah fungsi adalah turunan dari fungsi aslinya. Turunan kedua

sebuah fungsi adalah turunan dari turunan pertama, turunan ketiga sebuah fungsi

adalah turunan dari turunan kedua dan seterusnya.

Fungsi awal : y = f (x)

Turunan pertama = y1 =

= 1()

Turunan kedua = y11

= 2

2= 11

Turunan ketiga = y111

= 3

3= 111

Contoh :

Y = f(x) = x3 4x2 + 5

Y1 = f

1 (x) =

= 3x

2 8x

Y11

= f11

(x) = 2

2 = 6x 8

Y111

= f111

(x) = 3

3 = 6

Y1V

= f1V

(x) = 4

4 = 0

Soal :

1. f(x) = 5x6 3x3 + 2x -1

2. f(x) = 2x8 3x4 + 4x2 -5

3. f(x) = 8x10 6x8 +4x6 2x4 + x2

4.

h. Hubungan antara derevatif dan fungsinya

Pendekatan diferensiasi/defferensiasi amat berguna untuk menyelidiki grafik suatu

fungsi. Dengan mengetahui besarnya harga dari turunan pertama dan kedua sebuah

fungsi akan dapat dikenali bentuk grafik dari fungsi tersebut. Dalam hubungannya

dengan fungsi non linier ya ng mempunyai suatu nilai ekstrim dan kedua fungsi

tersebut dapat digunakan untuk mengetahui letak nilai estrimnya, minimum atau

maksimum

Berdasarkan kaidah diferensiasi kita dapat menyimpulkan bahwa turunan suatu

fungsi berderajad n adalah fungsi berderajat n-1. Dengan kata lain turunan fungsi

berderajat 2 adalah fungsi berderajat 2, turunan fungsi berderajat 1 adalah

konstanta, tutunan konstanta adlah 0. Secara grafis, turunan gunsi sebuah garis lurus

// sb x (variabel bebas)

Y = x2

- 8x + 10 fungsi parabola

41

Y1 = =

= 2x 8 fungsi linier

Y11

= f11

(x) = 2

2 = 2 garis lurus => y = 2

Soal :

Gambarkan grafik y, y1, y

11

1. Y = x2 - 5x +- 6

2. Y = x2 - 4x - 5

i. Nilai ekstrim

1) Nilai ekstrim fungsi kuadrat

Pada f(x) = x2 8x + 10 => a = 1, b = -8, c = 10

Nilai ekstrim : x =

2 , y =

2 4

4

x =

2=

8

2.1= 4, y =

82 4.1.10

4=

64 .40

4=

24

4= 6

Titik ekstrim (4,-6) adalah titik minimum, sebab a > 0

Akan dicari titik ekstrim dengan fungsi turunan :

Dapat pula dicari nilai ekstrim tersebut dengan metode diferensial. Absis dari nilai

ekstrim fungsi y = f (x) adalah x pada y1 = 0 , sedangkan ordinatnya y untuk x pada

y1 =0. Untuk mengetahui nilai ekstrim maksimum atau minimum, atau parabola

terbuka ke atas atau ke bawah dapat diselidiki dengan turunan ke dua yaitu y11

. Bila

y11

< 0 terbuka ke bawah berarti nilai maksimum. Jika y11

> 0 ke atas nilai ekstrim

minimum.

Jadi : parabola f (x) = y mencapai ekstrim pada y1 =0

Jika y11

> 0 terbuka ke atas ekstrim minimum

Y+ Y = x2 - 8x + 10

Y1 = 2x -8

Y11

= 2

0 6 7 x+

-6

-8 (+4,-6)

42

Jika y11

< 0 terbuka ke bawah ekstrim maksimum.

Contoh :

Y = f(x) =x2

- 4x + 8 => Y1 = 2 x

- 4 = 0 => x = 2

y11

= 2 >0 => min

Y = 22

- 4(2) + 8 = 4. Titik min = (2,4)

Y = f(x) = x2

- x2 + 6x 2 => Y1 = 2 x + 6 => x = 3

y11

= -2 < 0 => max

Y = -9 + 18 - 2 = 7. Titik max = (3,7)

Soal : tentukan titik ekstrim dan sketsalah parabola sebagai berikut

1. f(x) = x2 5x + 6

2. f(x) = x2 7x + 12

3. f(x) = x2 5x 4

4. f(x) = 2x2 3x + 4

5. f(x) = 3x2 8x

6. f(x) = -4x2 + 32x 17

7. f(x) = x2 4x + 15

2) Nilai ekstrim fungsi kubik

Titik maksimum, minimum dan titik belok dari sebuah fungsi kubik dapat dicari

melalui penelusuran pertama dan turunan kedua fungsi tersebut tersebut.

- Fungsi kubik

Y = f(x) , mencapai titik ekstrim pada y1 =0. Jika y

1 =0 pada x = x1 dan x =

x2. Sedamglam y11

< 0 untuk x = x1 dan y11

> 0 untuk x = x2 x1 dan x2 absis

titik maksimum dan minimum.

- Titik belok fungsi kubik

Y = f(x) adalah pada y11

= 0

Contoh : y = 1

3 3 3x2 + 8x 5

Maka : y1 x

2 6x +8 dan y11 = 2x 6

- Mencari titik ekstrim

Syarat y mencapai ekstrim y1 =0

x2 6x + 8 => (x-2) (x-4) = 0, => x1 = 2, x2 = 4

Untuk x = 2 => y11

= 2.2 6 = -2 < 0 => maksimum

Untuk x = 4 => y11

= 2.4 6 = 2 > 0 => minimum

43

Untuk x = 2 => y = 1

3 (3)3 3(2)2 + 8 (2) 5 = 1

2

3 => titik maksimum(2, 1

2

3)

Untuk x = 4 => y = 1

3 (4)3 3(4)2 + 8 (4) 5 =

1

3 => titik maksimum(4,

1

3)

- Mencari titik belok

Syarat y11

= 0=> 2x 6 = 0 => x = 3

X = 3 => y = 1

3 (3)3 3(3)2 + 8 (3) 5 = 1 => titik belok (3,1)

- Kaidah koordinat titik ekstrim dan titik b elok fungsi kubik sebagai berikut

1. y = - 2x3 + 8x2

2. y = x3 - 9x2 + 15x + 40

3. y = 2x3 - 4x2 + 7x - 5

4. y = (x2- 4) (2x 6)

j. Derivatif variabel ganda

1) Derivatif partial

Sebuah fungsi yang hanya mengandung satu variabel bebas hanya akan memiliki

satu macam turunan. Apabila y f(x) maka turunannya hanyalah turunan y terhadap

x, dengan kta lain y1 =

Sedangkan jika sebuah fungsi mengandugn lebih dari satu variabel bebas maka

turunannya akan lebih dari satu macam pula, sesuai dengan jumlah macam variabel

bebasnya. Jadi jika sebuah fungsi mempunyai n macam variabel bebas, maka ia

akan memiliki n macam turunan. Jika y = f(x,z) maka akan terdapat dua macam

turunan, yaitu turunan y terhadap x atau

dan turunan y terhadap z atau

.

Dengan demikian :

1. Y = f(x,z) => y1 =

a. Fx (x,z) =

b. Fz (x,z) =

Dy =

. =

. dz

2. Y = f (q, r, s) => b1 =

a. Fq (q,r,s)

b. Fr (q,r,s) =

c. Fs (q,r,s) =

Dp =

. +

. +

.

1

,

2 derefatif partial.

44

Sedangkan

. .

. .

. ,

. .

dinamakan defferensial partial.

Adapun dy dan dp dinamakan diferensial total

Contoh :

y = x3 + 5z

2 - 4x

2z 6xz2 + 8z -7

1.

= 3x2 8yz 6z2

2.

= 10z 4x2 12xz+8

- Dalam menurunkan y terhadap x yang dilambangkan

hanya suku-suku yang

mengandung variabel x yang diperhitungkan, sedangkan yang tidak

mengandung x dianggap sebagai konstanta dan turunannya = 0

- Dilain pihak dalam menurunkan y terhadap z ya ng dilambangkan dengan

hanya susku-suku yang mengandung variabel z ya ng diperhitungkan.

Sedangkan suku yang tidak mengandung variabel z dianggap konstanta dan

turunannya = 0

2) Derivatif dari derivatif partial

Seperti halnya fungsi deangan satu variabel beba, fungsi dengan lebih dari satu

variabel bebas dapat diturunkan lebih dari satu kali. Dengan kata lain, masing-

masing turunan partialnya masih mungkin diturunkan lagi. Turunan berikut dari

turunan partial tersebut tentu bisa sangat bervariasi, tergantung dari bentuk

turunan partial tadi. Apabila suatu turunan partial berbentuk suatu fungsi yang

tunggal mengandung satu macam variabel bebas, maka turunan berikutnya

hanya ada satu macam. Tetapi bila suatu turunan pertial berbentuk suatu fungsi

ya ng masih mengandung beberapa macam variabel bebas, maka tutunan

berikutnya masih dapat dipecah-pecah lagi menjadi beberapa turunan partial

pula.

Contoh :

y = x3 + 52x

2 - 4x

2z 6xz2 + 8z - 7

1.

= 3 x

2 - 8xz 6z2

2.

= 10z - 4x

2 12xz + 8

Dalam contoh di atas baik

maupaun

masih dapat diturunkan lagi secara

partial terhadap x maupun z

1.a.

terhadap x :

2

2 = 6x 8z

45

1.b.

terhadap z :

2

. = -8x 12z

2.a.

terhadap x :

2

2 . = -8x + 12z

2.b.

terhadap z :

2

2 = 10 -12k

Ternyata turunan partian kedua 1a), 1b), 2a), dan 2b) masih dapat diturunkan

lagi baik terhadap x maupun z.

1a.1) 2

2 terhadap x :

3

3 = 6

1a.2) 2

2 terhadap z :

3

2 . = 8

1b.1) 2

terhadap z :

3

2 . = - 12

2a.1) 2

terhadap x :

3

.2 = - 8

2a.2) 2

terhadap z :

3

2 = - 12

2b.1) 2

2 terhadap x :

3

2= - 12

2b.1) 2

2 terhadap z :

3

2= 0

Selanjutnya turunan partial ketiga ini tidak dapat lagi diturunkan secara partial

karena masing-masing tinggal konstanta saja

3) Nilai ekstrim variabel ganda

Nilai ekstrim dari fungsi yang mengandung variabel bebas lebih dari dua dapat

diari dengan pengujian sampai derivatif kedua.

Untuk f (x) = f (x,2)

Maka y akan mencapai titik ekstrimnya

Jika

= 0 dan

= 0

Syarat tersebut adalah syarat yang diperlukan agar fungsi mencapai titik

ekstrim. Untuk mengetahui titik ekstrim itu maksimkum atau minimum

diperlukan syarat yang mencukupkan, yakni ;

Maksimum : jika 2

2 < 0 dan

2

2 0 dan

2 >0

Dalam hal ini 2

2 dan

2 = 0 tak dapat ditegaskan nilai ekstrimnya.

Contoh :

a. Selidiki apakah titik ekstrim berfungsi berikut maksimum atau minimum

y = -x2 + 12x

2 - z

2 + 10z 45

46

= -2s + 12

= 2z + 10

-2x + 12 = 0, x = 6 -2z + 10 = 0,2 = 5

Y = - (6)2 + 12 (6) (5)2 + 10 (5) 45 = 16

Karena 2

2 = -2 < 0

2

2 = -2 0 titik ekstrim adalah minimum yaitu y min =7

Soal :

1. Untuk fungsi y = 4x2 - 6x2z + 3xz2 + 3z2 + 5. Tentukan

a. Derivatif partialnya

b. Differensi parsialnya

c. Diferensial totalnya

2. Tentukan sampai dengan derivatif keduanya fungsi-fungsi sebagai berikut :

a. y = 3x2 5z2 + 2x2z 4xz2 9z

b. y = 6x2 - 2

32 + 23

3. hitunglah y ekstrim dari fungsi y = 2x2 - 20x + z2 - 8z2 + 78

4. hitunglah p ekstrim dari fungsi p = q2 3r2 + 6q + 24r 50. Selidiki apakah

ekstrim maksimum atau minimum.

4) Ekstrimasi bersyarat : pengganda largange

Dalam kenyataan sering kali kita harus mengekstrimkan atau mengoptimalkan

suatu fungsi, yakni mencari nilai maksimal atau minimalnya. Tetapi terkekang

oleh suatu fungsi lain ya ng harus dipenuhi. Dengan kata lain fungsi ya ng

hendak dioptimumkan tadi menghadapi suatu kendala. Kasus oprimisi bersyarat

ini banyak jijumpai dalam bidang sosek. Misalnya seseorang hendak

memaksimumkan utilitas atau tingkat kepuasan tetapi terikat pada fungsi

pendapatan. Perusahaan ingin memaksimalkan laba namun terkait pada fungsi

produksi.

47

Perhitungan nilai ekstrim sebuah fungsi yang menghadapi kendala berupa funsi

lain dapat diselesaikan dengan metoda larrange. Caranya ialah dengan

membentuk sebuah fungsi baru disebut fungsi lagrange yang merupakan

penjumlahan dari fungsi ya ng hendak dioptimalkan ditambah hasil kali

pengganda lagrange dengan fungsi kendalanya. Misalnya hendak

dioptimalkan z = f(x,y) dengan syarat harus dipenbuhi u = g (x,y). maka fungsi

largange : f (x,y) = f (x,y) .g (x,y)

Nilai ekstrim f (x,y) dapat dicari dengan memformulasikan masing-masing

derevatif partial pertama sama dengan nol.

Fx (x,y) = fx gx = 0

Fy (x,y) = fy gy = 0

Pengganda lagrange adalah suatu variabel tak tentu yang hanya bersifat sebagai

pembantu dan tak perlu dihitung nilainya. Syarat tersebut di atas sebagai syarat

yang diperlukan untuk menghitung nilai ekstrim dari fungsi baru yang dibentuk

dan karena itu disebut se3bagai syarat yang diperlukan. Tetapi untuk

mengetahui nilai ekstrimnya maksimum atau minimum masih harus diselidiki

melalhui derevatif parsial keduanya yang merupakan syarat yang

mencapkupkan ekstrim tersebut adalah :

Maks : bila fxx < 0 dan fyy < 0

Min. : bila fxx > 0 dan fyy > 0

Contoh :

Tentukan nilai ekstrim z = zx + 2y daengna syarat x2 + y

2 = 8. Jelaskan jenis

ekstrimnya

Fungsi lagrange : f = 2x + 2y + (x2 + y2 8)

f = 2x + 2y + x2 + y2 8

Agar f ekstrim, f1

= 0

Fx = 2 + 2x = 0 => = - 1/x (1)

Fy = 2 + 2y = 0 => - 1/y .. (2)

Berdasarkan (1) dan (2) => - /x = - 1/y atau x = y

Dalam membentuk fungsi baru lagrang, fungsi kendala harus diempiriskan .

x2 + y

2 = 8 = x

2 + y

2 8 = 0

Menurut fungsi kendala : x2 + y

2 = 8

y2+ y

2 = 8

48

2y2 = 8

y2 = 4

y = + 2

Karena y = + 2, x = + 2

Z = 2x 2y = + 8

Jadi nilai eskstrim z = + 8

Penyelidikan nilai ekstrim

- Untuk x = 2 dan y = 2 = = -

Fxx = 2 = (- ) = -1< 0

Fyy = 2 = 2 (- ) = -1 < 0

Karena fxx dan fyy =

Fxx = 2 = 1 > 0

Fyy = 2 = 1 > 0

Karena fxx dan fyy > 0 maka zmin = -8

optimumkan z = xy dengan syarat x + 2y = 10

f = xy + (x + sy 10)

= xy + x + 2y - 10

Syarat agar fmax., f = 0

Fx = y + = 0 => = -y

Fy = x + 2 = 0 => = - x

-y = - x => 2y = x

X + 2y = 10 => 2y + 2y = 10

Y = 2,5 x = 5

Jadi zmax = xy = 5 (2,5) = 12,5

Soal :

1. Optimumkan z 4x 2y dengan syarat x2 + y2 = 20

2. Jelaskan apakah z optimum maks atau min

3. Integral Fungsi Anti Turunan

Dalam kalkulus integral dikenal dua macam pengertian integral, yaitu integral tertentu

dan integral tak tentu. Integral tertentu merupakan suatu konsep ya ng berhubungan

dengan konsep pencarian luas suatu area yang batas-batas atau limit dari area tersebut

sudah tertentu, sedangkan integral tak tentu adalah kebaikan dari deferensial, yakni

49

suatu konsep yang berhubungan dengan proses penemuan suatu fungsi asal apabila

turunan atau derivatif dari frungsinya diketahui

a. Integral tak tentu

Mengintegralkan suatu fungsi turunan f (x) berarti mencari integral atau anti

turunannya, yaitu f (x) yang bila didefferensiasikan menghasilkan f (x).

Bentuk umum integral f (x) sebagai berikut:

= +

Dimana k adalah konstanta yang nilainya tidak tertentu. Dalam rumusan di atas

tanda " " adalah tanda integral, f (x) dx adalah diferensial dari f (x), f (x) saja

disebut integran, dx saja disebut diferensial. F (x) adalah integral partikular, k

adalah konstanta pengintegralan dan f (x) + k merupakan fungsi asal. Proses

pengintegralan disebut integrasi.

Dalam diferensial kita menemukan bahwa, jika fungsi asli dilambangkan f (x) dan

fungsi turunannnya dilambangkan dengan f (x), maka :

Untuk fungsi asal : f (x) = x2 + 5

Fungsi turunannnya : f (x) = . ()

= 2

Jika prosesnya dibalik, yakni fungsi turunan f (x) diintegralkan, maka :

= + = x2 k

Karena deveratif dari setiap konstanta = 0 maka dalam mengintegralkan setiap

fungsi turunan konstanta k tetap dalam bentuk k, nilai k tak tentu, maka dikatakan

integral tak tentu.

b. Kaidah-kaidah dari integral tak tentu

Karena integrasi tak tentu pada dasarnya merupakan kebalikan dari diferensiasi

maka kaidah-kaidah integrasi tak tentu akan dapat difahami berdasarkan

pengetahuan tentang kaidah-kaidah diferensiasi.

1) Kaidah formula pangkat

=1

+ 1+

=4+1

4 + 1+ =

15

5

4

+

50

a. 2.2.1.2 = +

= 2 +

b. 2.2.1.3. = +

c. 2.2.1.4. + 1 2 = (2 + 2 + 1)

= (1

3 3 + 2 + ) +

d. 2.2.1.5 = 1

2 =

11

2

11

2

+

= 2

3 1

1

2+ =

2

3 +

2) Kaidah formula logaritma :

1

= 1 +

Contoh

a. 3

= 3 +

b. 3

+1 = 3 ln + 1

3) Kaidah formula eksponen

= +

+ + => =

Contoh :

a. +2 = +2 + 2 = +2 +

b. 2 =1

2 2 2 =

1

22 +

c. 3+2 = 1

3 3+2 3 + 2)

= 1

3 3+2 +

4) Kaidah formula penjumlahan

+ = +

Contoh :

a. (4 + 32) = 4 + 32 =1

55 + 3 +

b. ( +1

) = +

1

= + +

c. (32 10) = 3 10

51

5) Kaidah formula perkalian

= => 0

Contoh :

a. 32 = 3 2 = 3 .1

33 + = 3 +

b. 2 = 2 = 2 (1

22) + = 2 +

6) Kaidah formula substitusi

. = = + , = ,

merupakan substitusi

Contoh :

a. Selesaikan 6 32 10 =

- Dengan cara biasa atau langsung

6 32 10 = 183 60 =18

4 4

60

2 2 +

= 5

2 2 30 2 +

- Dengan cara substitusi

Misal : = 32 10 =>

= 6 => =

6 32 10 = 6. .

= =.

2

2+ = 32 10 2 + k

=1

2 (9x

2 60x2 + 100) + k1 =

9

2 x

4 30x2 + 50) + k1

= 50 + 1 = 8

2 x

4 30x2 + k

b. Selesaikan :

+ 3

2 + 6.

Misal : u = x2 6x maka

.

1

2=

1

2.

+ 3

2 + 6. =

13

.

= 1

2

. =

1

2

=

1

2

1

4 =

1

2 +

= 1

2 (x2 + 6x) + k

Soal :

1. 3 =

2. 4 =

52

3. (12

2

2 =

4. ( 5)2 =

5. =

6. ( = 1

)3 =

7. 1

=

8. (3 + 32)2 dx

9. (3 + 3 + 4)3 (2 + 3) =

10. 3+ 32

=

c. Integral tertentu

Integral tertentu adalah integral dari suatu fungsi yang nilai-nilai variabel bebasnya

memiliki batas tertentu. Integral tertentu digunakan untuk menghitung luas area

yang terletak diantara kurva y (fx) dan sumbu x dalam suatu rentangan wilayah

yang dibatasi x = a dan x = b

Dalam tingkat integral tak tentu kita temukan bahwa :

= +

Jika kita akan mengetahui hasil integrasi tersebut untuk suatu rentangan tertentu,

umpama antara x = a dan x = b sehingga ruas kanan persamaan tersebut x

disubstitusi dengan a dan b sehingga menjadi :

{f (b) + k} {f(a+ k} = f (b) f ( a)

F (b) f (a) adalah hasil inte3gral tertentu dari f (x) antara a dan b secara lengkap

dapat dituliskan :

= ()

= ()

Notasi

dibaca integral f(x) untuk rentang area x dari a ke b. a = batas

bawah dan b = b atas atas/

Jika ada dua kurva y2 = f(x),dan y2 = f(x), maka luas area antara kurva u ntuk

rentang area dari a ke b adalah :

53

d. Kaidah integral tertentu untuk z < c < b, berlaku ;

1) = ()

= ()

4 = 5

5

2

55

2

=1

5

5

2

5

=1

3 3125 32 = 618,6

2) =

0

4 = 5

5

2

22

2

=1

5 32 32 = 0

3)

=

4 = 5

5

2

55

2

= 618,6. () = 4 =1

3 32 3125 = 618,6)

5

2

5

2

4) . =

. =

= [ ]

54 = 5

2

55

2

= 3125 32 = 3093

5 4 = 5 618,6 3093

5

2

5) + =

+

(4 + 54 = 4 + 5618,6 + 3093 = 3711,6 4

5

2

5

2

5

2

6) +

=

4 + 4 = 5

5

2

35

3

3

2

+ 5

5

2

3

=1

5 243 32 +

1

5 3125 234 =

1

5 234 32 + 3125 243 = 618,6

Y +

y2 = g(x),

y2 = f(x),

0 x+

a b

L = { }

=

54

Soal :

1. 3 = 6

4

2. 2 + 5 = 4

1

3. ( + 93 = 4

6

4. 2 + 1 3 = 3

1

5. ( )2 = 4

1

6. 3

1

3 =

8

1

7. + = 2

8. + 1 2 = 1

1

e. Integral fungsi siklometri

Pada bagian akhir dari defferensial dipelajari turunan fungsi siklometri sebagai

berikut :

Jika f (x) = are.sin x => f1 (x) =

1

12

Jika f (x) = arc.cos x => f1 (x) =

1

12

Jika f (x) = arc.tg x => f1 (x) =

1

1+2

Kaidah integral fungsi siklometri

1) 1

12 = . sin +

= - are.cosx +c

2) 1

12 = . tg +

Contoh :

1.

142=

1 2 2 =

1

2

2

1 2 2=

1

2 sin 2 +

2.

1+

25

2 =

1+(

5)2

= 5 (

5)

1+(

5)2

= 5

5+

Selesaikan :

1.

1252= ..

2.

4+2=

3.

1+162=

4.

4+2=

55

5.

122= ..

6.

1+92=

f. Integral partial

Rumus turunan dari y = u.v. dimana u = g (x) dan v = h (x), adalah :

Y1 = U1V + UV1

=

. + .

Dy = V. dv + U. dv

= =

Y = . = .

Y = U.V

Jadi . = . .

Contoh :

1. sin = cos

= - (x cos x cos

= ( x cos x sin x) + c

= sin x x cos x + c

2. 2 sin = 2 cos

= 2 cos 2

= -x2 cos x + 2.

= -x2 cos x +2

= -x2 cos x +2 (x sin x sin )

= -x2 cos x +2 (x sin x + cos x) + c

= -x2 cos x +2 x sin x + 2 cos x + c

Soal :

1. Tentukan fungsi f, jika diketahui sifat-sifat sebagai berikut :

a. F1 (x) = 2x, f (4) = 10

b. F1 (x) = 1-2x, f (3) = 4

c. F1 (x) = 6x2, f (0) = 0

d. F1 (x) = x - 2

2, f (2) = 5

e. F1 (x) = 1 - 1

, f (4) = 1

f. F1 (x) = 3x2 3), f (1) = 12

56

2. 2 3 1

2

3. 2 2 + 2

4. ( 1

2)2

5. (1 )2

6. (1

2 21

2)

7. 1

2 5 + 3

8. (3+

.

9. 4+ 1

2

2

10. (2+ )

2

2

11. 2+ 2

12. 1

3 1 + 1

2

13. 1

(1 + )2

14. (2 1

3)2

15. (3)2

16. ( 3 +1

)3

57

BAB V

PENGGUNAAN INTEGRAL

1. Luas sebagai Limit suatu Jumlah

pada gambar (1) kurva tertutup c membatasi sebuah daerah pada bidang. Bagaimana

luas daerah tersebut dihitung?

Seperti telah diuraikan dalam unit aritmetika, kita dapat menemukan aproksimasi.

Aproksimasi daerah ya gn hendak dicari luasnya dengan jalan mengisi daerah tersebut

dengan bujur sangkar seperti terlihat pada gambar (ii) di atas.

dengan cara menghitung ternyata bahwa ada 41 bujur sangkar yang ada dalam daerah

sedangkan ada 66 menutupi daerah. Jika jumlah bujur sangkar itu masing- masing

adalah daerah dinamakan 41 satuan luas dan 66 satuan luas, maka jika L daerah yang

dicari luasnya, kita mendapatakan ketidaksamaan 41 < L < 66. Dengan menggunakan

bujur sangkar yang lebih kecil kita akan mendapat suatu aproksimasi yang lebih teliti.

Daerah tersebut juga dapat diaproksimasi dengan menggunakan persegi panjang.

Dengan cara demikian luas daerah tersebut dapat dicari menggunakan proses limit.

Gambar 2 (i) memperlihatkan bagian sebuah kurva dengan persamaan y = I (x) antara

titik-titik dengan koordinat x = a dan x = b kita akan menentukan suatu rumsu untuk

luas L dari daerah yang dibatasi oleh kurva tersebut, sumbu x dan garis-garis x = a dan

x = b

Interval a,b dibagi menjadi n interval dengan panjang masing-masing x1, x2, x3 .

Xn; x1 ; x3.. xn adalah koordinat x dari n. titik pada sumbu x yang masing masing

terletak dalam tiap-tiap interval itu, sehingga pada umumnya titik x1

(i) (ii)

58

Terletak dalam interval yang panjangnya x1 : kemudian dibuatlah persegi seperti

terlihat dalam gambar 2 (i). pada gambar 2 (ii) telah digambar persegi panjang yagn

pertama dengan skala yang lebih besar. Tinggi persegi panjang ini adalah f (x1), yaitu f

di x = x1

Dengan demikian maka :

Luas persegi panjang pertama = f (x1) . x1

Luas persegi panjang kedua = . f (x2) . x2

Luas persegi panjang ketiga = f (x3) . x3

Luas persegi panjang terakhir = f (xn). xn

Dengan menggunakan huruf Yunani (sigma) untuk menyingkat jumlah dari: kita

mendapat :

L = f (x1) .x11

Relasi di atas kerap kali ditulis sebagai

L = f (x ) .x==

Untuk fungsi yang dapat dideferesnialkan, dapat dibuktikan bahwa f (x ) . x=

dapat dibuat sedekat mungkin pada L dengan jalan membuat n cukup besar : ini

ekuivalen dengan membuat tiap x cukup kecil.

Kita definisikan :

L = lim f x . x ; x 0=

Sebagai penyederhanaan kita tulis u ntuk limit tersebut :

L= 1

1

Ruas kanan rumus tersebut adalah notasi formil bagi proses limit suatu jumlah untuk

daerah yang luasnya L. rumus tersebut dibaca secabai Luas S sama dengan integral f (x)

dari a

Y =f(x)

F(x1) f(xn) f(x)

0 x1 x2 x3 xn x

(i) (ii) Gambar 2

59

Catatan : Lambang adalah huruf S (sum = jumlah) yang diulur. Dengan

menggunakan lambang ini kita diingatkan kepada suatu proses limit suatu jumlah. Ini

adalah ciptaan Leibniz dalam abad ke XVII. Lambang tersebut telah kita gunakan

dalam hubungan dengan anti pendiferesialan, dalam pasal 5 kita jelaskan mengapa kita

juga menggunakan lambang untuk anti pendeferensialan.

Contoh :

Perhatikan dengan pengarsiran daerah ybs. Luas yang dirumuskan oleh masing-masing:

(1) 3

1 (ii) 3

1

1 (iii) cos

2

20

Jawab masing-masing dapat kita lihat pada gambar 3 di bawah ini :

Latihan :

1. Perlihatkan dengan mengarsir daerah yang luasnya dirumuskan oleh :

16 2 .4

0 hitunglah luas ini.

= (16 2) => y2 = 16x2 x2 + y2 = 16

2. Tulislah integral yang melukiskan daerah ya ng diarsir pada gambar dibawah ini

3. Gunakan gambar dibawah ini untuk menghitung : 1 3 1 .3

1

Y y = x y y=x2 y y=cosx

0 1 3 0 1 3 0 1 3

i ii iii Gambar 3

Y x + y = 5 y= 4-x2 y y=cosx x

2 +y

2 = 9

0 1 3 1 3 1 3

i ii iii iv

Y

0 1 2 3 4 x 2 3

60

2. Menghitung Luas Daerah di Bawah Kurva

Dalam pasal ini kita mengembangkan cara penting untuk menghitung laus, dengan

menggunakan anti turunan.

Gambar 6 menampakkan sebagian daripada kurva f. kita hendak menghitung luas

daerah yang dibatasi oleh kurva, sumbu x, dan garis garis x= a dan x = b. misalkan

luas in adalah L (b), maka :

L (b) =

(1)

L (a) =

= 0 (2)

L (c) =

L ( c + h) = +

Pada gambar 6 terlihat bahwa

Luas (PQVW) < luas (PQVW) < luas (PQVT), sehingga :

F . H < 5 (c + h) L < F (c + H