bukuajarpersamaanirasional22 7-113

KONTEN DIGITAL MATEMATIKA SMA

TAHUN 2011

PENULIS :

Sigit Tri Guntoro

Muh. Tamimuddin H

PENILAI :

Julan Hernadi

Wiworo

PENGEMBANG :

Deni Saputra

Muh. Tamimuddin H

PERSAMAAN DAN

PERTIDAKSAMAAN

IRASIONAL

DAFTAR ISI Tujuan Pembelajaran

1. Persamaan Irasional

1.1 Pengertian

1.2 Landasan Teori

1.3 Metoda Penyelesaian

2. Pertidaksamaan Irasional

2.1 Pengertian

2.2 Landasan Teori

2.3 Metoda Penyelesaian

3. Aplikasi Dalam Kehidupan Sehari-Hari

4. Pemanfaatan TIK Sebagai Alat Bantu Menemukan Penyelesaian

Persamaan dan Pertidaksamaan Irasional

4.1 Pemanfaatan Wolfram Alpha

4.2 Pemanfaatan Mathematics Add In Pada Aplikasi MS Word

Persamaan dan Pertidaksamaan Irasional – PPPPTK Matematika 1

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN IRASIONAL

Tujuan Pembelajaran

1. Persamaan Irasional

1.1 Pengertian

Persamaan irasional ialah persamaan yang memuat variabel atau peubahnya berada dalam

tanda akar.

Contoh:

1. 242

+=− xx

2. 112)5( −=− xx

3. xx −=+ 551

Berikut ini bukan persamaan irasional meskipun ia mengandung tanda akar

1. 2� � 11 � √5

2. 1 � �√3 � √2

Hal ini karena tidak ada variable � di dalam tanda akar.

Secara umum persamaan irasional berbentuk

�� atau ��

dengan �� dan �� suatu polinomial.

Setiap bilangan real yang jika disubstitusikan ke dalam persamaan irasional memberikan

pernyataan yang benar disebut penyelesaian atau akar persamaan irasional.

Contoh:

Perhatikan persamaan √1 � � � 2

Tujuan dari konten pembelajaran ini adalah pembaca dapat memahami tentang

pengertian persamaan dan pertidaksamaan irasional, landasan teori serta

memahami langkah penyelesaian soal persamaan dan pertidaksamaan irasional.


Bila disubstitusikan � � �3 maka persamaan ini memberika hasil

1 � ��3 � 2 ⟷ √4 � 2 ⟷ 2 � 2, suatu pernyataan yang benar. Jadi � � �3 adalah

penyelesaiannya. Coba ambil x=1, disubstitusikan ke persamaan diperoleh

√1 � � � 2 ⟷ √1 � 1 � 2 ⟷ 0 � 2, suatu pernyataan yang salah. Jadi 1 bukan

penyelesaian.

Berkaitan dengan penjelasan ini, persamaan irasional mungkin mempunyai penyelesaian

atau mungkin juga tidak mempunyai penyelesaian. Bila ia mempunyai penyelesaian maka

penyelesaiannya dapat tunggal atau dapat juga lebih dari satu.

1.2 Landasan Teori

Secara umum untuk menyelesaikan persamaan irasional dilakukan dengan menghilangkan

tanda akar pada kedua ruas, yaitu dengan mengkuadratkan masing-masing ruas. Proses ini

dapat dilakukan beberapa kali sampai tanda akar hilang dan diperoleh persamaan aljabar

biasa yang ekuivalen. Hati-hati dengan cara ini jangan sampai salah konsep. Berikut ini

diberikan aturan main atau dalil pendukungnya

� � � → ��

Tetapi belum tentu berlaku sebaliknya �� → � � �. Yang benar adalah sebagai berikut

�� ↔ �� 0 ↔ �� 0 → � � �atau� � ��

Berkaitan dengan persamaan irasional, yaitu dalam bentuk �� atau

�� haruslah dipenuhi �� , �� ≥ 0.

1.3 Metoda

Berikut adalah beberapa aturan yang harus diperhatikan ketika menyelesaikan persamaan

irasional.

• Akar dari suatu bilangan tidak boleh negatif. Tidaklah benar jika mengatakan

√4 � ±2, yang benar adalah √4 � 2


• Bilangan di dalam tanda akar tidak boleh negatif karena akar bilangan negatif

menghasilkan bilangan imajiner, bukan bilangan real.

Mengingat persamaan irasional umumnya dalam bentuk �� atau

�� dimana �� dan �� maka untuk menyelesaikannya dicari terlebih

dahulu nilai � yang memenuhi:

(i) �� ≥ 0

(ii) �� ≥ 0

Penyelesaian dari kedua ketentuan ini biasa disebut syarat awal atau prasyarat.

Selanjutnya kedua ruas dikuadratkan, dalam hal ini menentukan nilai � yang memenuhi

(iii) ��

� atau ��

��

Akhirnya, nilai � yang memenuhi (i), (ii) dan (iii) adalah penyelesaian dari persamaan

irasional yang dimaksud.

Contoh 1

Tentukan nilai x yang memenuhi 5)3( −=− xx

Penyelesaian:

Agar berlaku 5)3( −=− xx , harus dipenuhi

Prasyarat:

(i) (x – 3) ≥ 0 , diperoleh x ≥ 3.

(ii) 05 ≥−x , diperoleh 5≥x

Kedua syarat ini dapat digabung menjadi 5≥x

Selanjutnya diselesaikan persamaan,

(iii) 5)3( −=− xx ⇒ 2

)5()3( −=− xx ⇔ 251032

+−=− xxx

⇔ 251032

+−=− xxx

⇔ 0)3)(7( =+− xx


Jadi diperoleh x = 7 atau x = 3. Karena harus memenuhi x ≥ 5 (ingat (2))maka nilai yang

memenuhi adalah x = 7. Ini merupakan contoh persamaan irasional yang mempunyai

penyelesaian tunggal

Contoh 2

Tentukan penyelesaian dari 4162

+=− xx

Penyelesaian:

Prayarat:

(i) x2 − 16 ≥ 0 → x ≤ −4 atau x ≥ 4 , dan

(ii) x + 4 ≥ 0 → x ≥ − 4

Kedua syarat ini digabungkan sehingga didapat � � �4atau� ≥ 4

(iii) Kemudian kedua ruas 4162

+=− xx dikuadratkan diperoleh

x2 –16 = x + 4

↔ x2 – x – 20 = 0

↔ (x − 5)(x + 4) = 0

↔ x = 5 atau x = − 4

Dengan memperhatikan prasyarat maka himpunan penyelesaian dari persamaan di atas

adalah { − 4, 5 }. Ini merupakan persamaan irasional yang mempnyai penyelesaian tidak

tunggal.

Contoh 3

Tentukan nilai x yang memenuhi 6125 =+++ xx

Penyelesaian:

Prasyarat:

(i) 505 −≥⇒≥+ xx


(ii) 21012 −≥⇒≥+ xx

Syarat (i) dan (ii) dapat digabung menjadi 21

−≥x

(iii) 6125 =+++ xx ↔ 1265 +−=+ xx . Sesuai dengan penjelasan

sebelumnya maka 0126 ≥+− x ⇔ 126 +≥ x . Dari sini diperoleh

xx ≥⇒≤+21173632

Dari prasyarat (i), (ii) dan (iii) diperoleh interval prasyarat: 21

21 17≤≤− x

Selanjutnya persamaan diselesaikan.

6125 =+++ xx

⇔ 1265 +−=+ xx

⇒ x + 5 = 36 − 12 12 +x + (2x + 1)

⇔ 12 12 +x = x + 32

⇒ 144(2x + 1) = x2 + 64x + 1024

⇔ x2 − 224 x + 880 = 0

⇔(x − 4)(x − 220) = 0

⇔ x = 4 atau x = 220

Mengacu prasyarat, diperoleh himpunan penyelesaiannya: {4}

Seperti telah dijelaskan sebelumnya bahwa tidak semua persamaan irasional memiliki

penyelesaian.

Contoh 4

Tentukan penyelesaian dari √2 � � � � � 3

Jawab:

Prasyarat:

(i) � � 3 ≥ 0 ↔ � ≥ 3

(ii) 2 � � ≥ 0 ↔ � ≤ 2


Perhatikan bahwa tidak ada nilai � yang memenuhi � ≥ 3 sekaligus � ≤ 2

Jadi tidak ada nilai � yang memenuhi √2 � � � � � 3

2. Pertidaksamaan Irasional

2.1 Pengertian

Pertidaksamaan irasional ialah pertidaksamaan yang memuat variabel atau peubahnya

berada dalam tanda akar.

Contoh:

1. 242

+≤− xx

2. 112)5( −>− xx

Berikut ini bukan pertidaksamaan irasional

3. 551 <+ x bukan pertidaksamaan irasional meskipun ia mengandung tanda akar

4. xxx 552

<+

2.2 Landasan teori

Untuk menyelesaikan pertidaksaman irasional dilakukan dengan mengubahnya menjadi

pertidaksamaan ekuivalen yang tidak memuat tanda akar lagi. Umumnya, dengan

mengkuadratkan kedua ruas. Prosedur ini dapat dilakukan dengan menggunakan dalil atau

aturanberikut.

Misalkan �, � ≥ 0, maka berlaku � ≤ � ↔ �� ≤ �� ↔ √� ≤ √�

Kesamaan berlaku jika � � �, yaitu � � � ↔ �� ↔ √� � √�

2.3 Metoda

Jika diberikan pertidaksamaan irasional yang berbentuk

�� ≤ ��

Maka penyelesaiannya harus memenuhi syarat berikut

(i) �� ≥ 0 sebab bilangan di dalam akar tidak boleh negatif.


�ii �� ≥ 0, sebab akar suatu bilangan tidak boleh negatif.

�iii �� ≤ ��

Syarat (i) dan (ii) biasanya disebut syarat awal atau prasyarat.

Contoh 1

Tentukan nilai x yang memenuhi �� 3 < �5 � �

Penyelesaian:

Prasyarat:

(i) (x – 3) ≥ 0 , sehingga x ≥ 3.

0)5( ≥− x , sehingga 5≤x

(ii) )5()3( xx −<− ⇔ )5()3( xx −<−

⇔ 4<x

Mengingat prasyarat (i) diperoleh penyelesaian 43 <≤ x

Contoh 2

Tentukan penyelesaian dari √�� 7 < 3

Jawab:

Prasyarat:

(i) x2 − 7 ≥ 0 ↔ �� √7 �� √7 ≥ 0 ↔ � ≤ �√7 atau � ≥ √7

Dengan menguadratken kedua ruas 372

<−x , akan diperoleh

�� 7 < 9

↔�� 16 < 0

↔ �� 4 �� 4 < 0

Dari sini diperoleh �4 < � < 4. Mengingat prasyarat (i) maka diperoleh penyelesaian

�4 < � ≤ �√7 atau �√7 ≤ � < 4


Seperti pada persamaan irasional, pertidaksamaan irasional juga belum tentu mempunyai

penyelesaian.

Contoh 3:

Tentukan penyelesaian dari √�� 4 < 0

Jawab:

Prasyarat:

(i) �� 4 ≥ 0 ↔ �� 2 �� 2 ≥ 0 menghasilkan � ≤ �2 atau � ≥ 2

Selanjutnya dengan menguadratkan kedua ruas dari √�� 4 < 0 diperoleh

�� 4 < 0 ↔ �� 2 �� 2 < 0 yang menghasilkan �2 < � < 2. Jelas bahwa tidak

mungkin berlaku � ≤ �2 tetapi �2 < � < 2. Demikian pula tidak mungkin berlaku

� ≥ 2tetapi�2 < � < 2.

Jadi √�� 4 < 0 tidak mempunyai penyelesaian.


3. Aplikasi Dalam Kehidupan Sehari-Hari

Pak Jabar ingin membuat kuda-kuda atap rumah dari kayu dengan menetapkan lebarnya 10

meter seperti gambar berikut.

Karena bahan yang tersedia untuk satu kuda-kuda ditetapkan hanya 26 meter, dia

kebingungan menentukan tinggi kuda-kuda. Dapatkah Anda membantu Pak Jabar?

Penyelesaian:

Permasalahan ini dapat dituliskan sebagai berikut.

Dari sini diperoleh persamaan yang menggambarkan permasalahan Pak Jabar di atas yaitu

menentukan nilai � yang memenuhi 5 � 5 � √5� � �� √5� � �� 26.

Kemudian disederhanakan didapatkan2√25� �� 16 � �. Bentuk terakhir ini adalah

persamaan irasional. Penyelesaiannya dengan menggunakan metoda yang telah dibahas

sebelumnya, yaitu:

225� �� 16 � �

Prasyarat:

(1) 25 � �� ≥ 0 atau �� ≥ �25. Karena �� ≥ 0 untuk setiap � ∈ & , maka setiap � ∈ &

memenuhi syarat pertama ini.

(2) 16 � � ≥ 0. Dari sini diperoleh syarat � ≤ 16.

A

B

C D

5� � ��

�5� � ��

5 5

'()��(?

5 5


(3) Prasyarat tambahan yang perlu dimunculkan adalah � ≥ 0 karena panjang kayu

tidak mungkin negatif

Ketiga syarat di atas dapt digabung menjadi 0 ≤ � ≤ 16

Selanjutnya dengan menggunakan metoda sebelumnya didapatkan

225� �� 16 � �

⟺ 4�25� �� 16� � 32� � ��

⟺ 100� 4�� 256 � 32� � ��

⟺ 3�� 32� � 156 � 0

Menghasilkan penyelesaian� � � ,-.� �√,/,

.≈ �14,3 atau � � � ,-

.� �√,/,

.≈ 3,64.

Sesuai dengan prasyarat 0 ≤ � ≤ 16 maka diperoleh penyelesaian � ≈ 3,64. Dengan

demikian Pak Jabar dapat menentukan tinggi kuda-kuda kira-kira 3,64 meter


4. Pemanfaatan TIK Sebagai Alat Bantu Menemukan Penyelesaian

Persamaan dan Pertidaksamaan Irasional

4.1 Pemanfaatan Wolfram Alpha

Saat ini banyak tersedia perangkat bantu matematika baik software yang diinstal secara

offline maupun software yang tersedia online. Wolfram Alpha merupakan salah satu

perangkat bantu online yang dapat digunakan untuk berbagai keperluan dan bidang ilmu

termasuk matematika,dan dalam hal ini dapat juga digunakan untuk menemukan

penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan irasional.

Untuk mencari penyelesaian dari persamaan atau pertidaksamaan, kita terlebih dahulu

harus mengubah persamaan menjadi kode yang dimengerti oleh komputer. Beberapa simbol

yang harus diubah misalnya adalah akar dan pangkat. Simbol akar harus diganti dengan kode

sqrt() dan pangkat diganti dengan tanda ^.

Sebagai contoh kita akan mencari penyelesaian persamaan:

�� 1 � �� 1 � 4

Langkah untuk mencari penyelesaian persamaan ini adalah:

1. Buka situs wolframalpha.com persamaan di atas menjadi kode yang dipahami

komputer, yaitu menjadi sqrt(x+1)+(x-1)=4. ke dalam textbox dan klik enter atau

tanda “=”.


2. Tunggu beberapa saat sampai Wolfram Alpha menyelesaikan perhitungan. Jika

proses perhitungan telah selesai akan ditampilkan hasilnya yang kurang lebih seperti

berikut.


Dari tampilan tersebut dapat dilihat bahwa penyelesaian dari persamaan irasional di atas

adalah � � 3.

Latihan

Ubahlah persamaan √3� � 41 � 2 menjadi kode yang dipahami komputer. (Petunjuk: Ubah

bentuk akar menjadi pangkat pecahan terlebih dahulu).

4.1 Pemanfaatan Mathematics Add In Pada Aplikasi MS Word

Salah satu perangkat bantu yang dapat digunakan untuk membantu melakukan perhitungan

matematika, dan dalam hal ini adalah persamaan irasional, adalah dengan Microsoft

Mathematics Add-in. Add In ini terintegrasi dengan aplikasi MS Word, seperti halnya

Microsoft Equation. Bedanya, Mathematics Add Ins secara default tidak terpasang di MS

Word sehingga harus dipasang terpisah sebagai add in tambahan. File installer Mathematics

add in dapat diunduh dari situs Microsoft pada alamat

http://www.microsoft.com/downloads/en/confirmation.aspx?FamilyID=ca620c50-1a56-

49d2-90bd-b2e505b3bf09. Jika Anda kesulitan menuliskan alamat URL yang panjang

tersebut Anda dapat mengakses alamat tersebut menggunakan alamat

http://tinyurl.com/wordmathaddin.

File installer Mathematics Add-in ini berukuran cukup ringan, yaitu sekitar 6.6 MB. Perlu

diperhatikan bahwa add-in ini memerlukan beberapa persyaratan. Di antaranya adalah

sudah terinstal Microsoft Word 2007 / 2010 dan Microsoft .NET Framework 3.5 SP1.


Add-in ini akan menambahkan ribbon baru di MS Word, yaitu Mathematics yang berisi

Compute dan Graph yang berada di samping menu Equation.

Untuk mencari penyelesaian dari sebuah persamaan irasional dapat dilakukan dengan

mengetikkan persamaan menggunakan equation. Setelah itu, dengan persamaan masih

tersorot, pilih menu Mathematics – Compute – Solve for x.

Penyelesaian persamaan ini otomatis akan ditambahkan pada bagian bawah persamaan

tersebut.


Selain dapat dimanfaatkan untuk mencari penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan

irasional, Mathematics Add In ini juga dapat digunakan untuk menggambar grafik dari

persamaan tersebut. Caranya adalah tuliskan persamaan atau pertidaksamaan

menggunakan equation, misalnya √3� � 4 � 21. Pastikan persamaan ini, tersorot lalu pilih

menu Mathematics-Graph-Plot Both Sides In 2D.


Grafik yang dihasilkan adalah seperti berikut.

Meskipun penggunaan perangkat bantu TIK ini sangat memudahkan, janganlah kemudahan

ini menjadikan ketergantungan serta perlu ditekankan bahwa perangkat bantu ini

hendaknya digunakan setelah adanya penanaman konsep yang benar.

bukuajarpersamaanirasional22 7-113

Presentations & Public Speaking