buku matematika kelas 7

Pusat PerbukuanDepartemen Pendidikan Nasional

Hak Cipta pada Departemen Pendidikan Nasional

Dilindungi Undang-undang

Hak Cipta Buku ini dibeli oleh Departemen Pendidikan Nasional

dari Penerbit CV. Usaha Makmur

MATEMATIKAKONSEP DAN APLIKASINYAUntuk SMP/MTs Kelas VII

Penulis : Dewi Nuharini

Tri Wahyuni

Editor : Indratno

Perancang Kulit : Risa Ardiyanto

Ilustrasi, Tata Letak : Risa Ardiyanto

Ukuran Buku : 17,6 x 25 cm

410

NUH NUHARINI, Dewi

m Matematika 1: Konsep dan Aplikasinya: untuk Kelas VI SMP/MTs I/Dewi

Nuharini, Tri Wahyuni; editor Indratno. — Jakarta: Pusat Perbukuan,

Departemen Pendidikan Nasional, 2008.

viii, 299 hlm.: ilus.; 25 cm.

Bibliografi : hlm. 299

Indeks.

ISBN 978-462-998-7

1. Matematika-Studi dan Pengajaran I. Judul

II. Wahyuni, Tri III. Indratno

Diterbitkan oleh Pusat Perbukuan

Departemen Pendidikan Nasional

Tahun 2008

Diperbanyak oleh ...

KATA SAMBUTAN

iiiKata Sambutan

Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Allah SWT, berkat rahmat dan karuniaNya, Pemerintah, dalam hal ini, Departemen Pendidikan Nasional, pada tahun 2008, telah membeli hak cipta buku teks pelajaran ini dari penulis/penerbit untuk disebarluaskan kepada masyarakat melalui situs internet (website)Jaringan Pendidikan Nasional. Buku teks pelajaran ini telah dinilai oleh Badan Standar Nasional Pendidikandan telah ditetapkan sebagai buku teks pelajaran yang memenuhi syarat kelayakan untuk digunakan dalam proses pembelajaran melalui Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Nomor 34 Tahun 2008. Kami menyampaikan penghargaan yang setinggi-tingginya kepada para penulis/penerbit yang telah berkenan mengalihkan hak cipta karyanya kepada Departemen Pendidikan Nasional untuk digunakan secara luas oleh para siswa dan guru di seluruh Indonesia. Buku-buku teks pelajaran yang telah dialihkan hak ciptanya kepada Departemen Pendidikan Nasional ini, dapat diunduh (down load), digandakan, dicetak, dialihmediakan, atau difotokopi oleh masyarakat. Namun, untuk penggandaan yang bersifat komersial harga penjualannya harus memenuhi ketentuan yang ditetapkan oleh Pemerintah. Diharapkan bahwa buku tekspelajaran ini akan lebih mudah diakses sehingga siswa dan guru di seluruh Indonesia maupun sekolah Indonesia yang berada di luar negeri dapat memanfaatkan sumber belajar ini. Kami berharap, semua pihak dapat mendukung kebijakan ini. Kepada para siswa kami ucapkan selamat belajar dan manfaatkanlah buku ini sebaik-baiknya. Kami menyadari bahwa buku ini masih perlu ditingkatkan mutunya. Oleh karena itu, saran dan kritik sangat kami harapkan.

Jakarta, Juli 2008 Kepala Pusat Perbukuan

KATA PENGANTAR

Buku Matematika Konsep dan Aplikasinya 1 ini mem-bantumu belajar matemat ika dan aplikasi nya dalam kehidupansehari-hari. Buku ini disusun dengan menggunakan bahasa yangmudah kamu pahami. Di dalam buku ini kamu akan menjumpaisoal-soal yang dapat melatih keterampilanmu. Dengan harapan,kamu akan lebih tertarik dan suka belajar matematika.

Setiap awal bab di buku ini disajikan kover bab. Bagian iniberisi ilustrasi dan deskripsi singkat yang menarik berkaitan denganmateri bab yang bersangkutan. Selain itu, di awal bab juga disajikantujuan pembelajaran yang harus kamu capai dalam setiap bab.Kata-kata kunci merupakan inti dari materi. Bacalah terlebih dahulukata-kata kuncinya sebelum kamu mempelajari isi materi.

Di d alam b uku i ni d isajikan Tugas Mandiri yang akanmeningkatkan pemahaman kamu terhadap konsep yang telah kamupelajari. Diskusi akan mendorongmu untuk lebih bersemangatdalam bekerja sama. Soal Tantangan akan memotivasi kamudalam memahami konsep. Pelangi Matematika akan menambahpengetahuan dan wawasan kamu mengenai tokoh yang berjasabesar pada konsep yang sedang dipelajari. Tips akan membantumumemahami konsep yang sedang kamu pelajari. Di bagian akhirsetiap bab dilengkapi dengan soal-soal untuk mengevaluasikompetensi yang telah kamu capai setelah mempelajari satu bab.

Akhirnya, semoga buku ini bermanfaat dan jangan seganuntuk bertanya j ika kamu menemui kesulitan. Selamat belajar,semoga sukses.

Surakarta, ................. 2008

Penulis

ivMatematika Konsep dan Aplikasinya 1

SAJIAN ISI BUKU

Refleksi berisi umpan balik yang harus dilakukanoleh siswa setelah mempelajari materi satu bab.

Bagian ini berisi soal-soal pilihan ganda dan soal-soal esai sebagai bahan evaluasi untuk mengukurtingkat pemahaman siswa setelah mempelajarimateri satu bab.

Rangkuman berisi ringkasan materi dalam satu bab.Bagian ini disajikan di akhir setiap bab agar siswadapat mengingat kembali hal-hal penting yang telahdipelajari.

Soal tantangan berisikan suatu soal yang menantangsiswa untuk menguji kecerdasannya. Bagian inidapat memotivasi siswa dalam memahami konsepmateri secara total.

Bagian ini berisi tugas yang harus dikerjakan secaraberpasangan atau berkelompok. Diskusi memuattugas observasi, investigasi, eksplorasi, atauinkuiri yang dapat memacu siswa untuk berpikirkritis, kreatif, dan inovatif.

Pelangi matematika berisi tokoh-tokoh yang ber-jasa besar pada konsep yang sedang dipelajari.

Tips berisi info atau keterangan yang dapat mem-bantu siswa memahami materi yang sedangdipelajari.

Bagian ini berisi tugas yang bersifat individu.Tugas mandiri memuat t ugas observasi, i nves-tigasi, eksplorasi, atau inkuiri yang dapat memacusiswa untuk berpikir kritis, kreatif, maupuninovatif.

Uji kompetensi berisikan soal-soal latihan ber-variasi yang disajikan setiap subbab. Ujikompetensi dapat digunakan untuk mengujipemahaman siswa berkaitan dengan isi materi.

vSajian Isi Buku

viMatematika Konsep dan Aplikasinya 1

DAFTAR ISIKATA SAMBUTAN ........................................................................................................... iiiKATA PENGANTAR ....................................................................................................... ivSAJIAN ISI BUKU ......................................................................................................... vDAFTAR ISI ................................................................................................................... viPENDAHULUAN ............................................................................................................... 1

BAB 1 BILANGAN BULATA. Bilangan Bulat ............................................................................................ 4B. Operasi Hitung pada Bilangan Bulat ........................................................... 7C. Menaksir Hasil Perkalian dan Pembagian Bilangan Bulat ........................... 20D. Kelipatan dan Faktor .................................................................................. 22E. Perpangkatan Bilangan Bulat...................................................................... 27F. Operasi Hitung Campuran pada Bilangan Bulat ......................................... 33G. Penggunaan Operasi Hitung Bilangan Bulat untuk Menyelesaikan

Masalah ..................................................................................................... 34Evaluasi 1 ........................................................................................................ 37

BAB 2 PECAHANA. Bilangan Pecahan....................................................................................... 40B. Perbandingan dan Bentuk-Bentuk Pecahan ............................................... 48C. Operasi Hitung Pecahan ............................................................................ 56D. Pembulatan dan Bentuk Baku Pecahan ...................................................... 69E. Menyelesaikan Masalah Sehari-Hari yang Berkaitan dengan Pecahan ....... 72Evaluasi 2 ......................................................................................................... 76

BAB 3 OPERASI HITUNG BENTUK ALJABARA. Bentuk Aljabar dan unsur-unsurnya .......................................................... 80B. Operasi Hitung pada Bentuk Aljabar .......................................................... 83C. Pecahan Bentuk Aljabar ............................................................................. 92D. Penggunaan Aljabar untuk Menyelesaikan Masalah ................................... 98Evaluasi 3 ......................................................................................................... 101

BAB 4 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABELA. Kalimat Terbuka ........................................................................................ 104B. Persamaan Linear Satu Variabel ................................................................. 106C. Pertidaksamaan Linear Satu Variabel ......................................................... 114D. Membuat Model Matematika dan Menyelesaikan Soal Cerita yang

Berkaitan dengan Persamaan Linear Satu Variabel .................................... 122E. Membuat Model Matematika dan Menyelesaikan Soal Cerita yang

Berkaitan dengan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel ............................. 124F. Logika Matematika (Pengayaan) ............................................................... 126Evaluasi 4 ......................................................................................................... 133

BAB 5 PERBANDINGAN DAN ARITMETIKA SOSIALA. Aritmetika Sosial dalam Kegiatan Ekonomi ............................................... 136B. Rabat (Diskon), Bruto, Tara, dan Neto ..................................................... 142

viiDaftar Isi

C. Bunga Tabungan dan Pajak ....................................................................... 145D. Perbandingan ............................................................................................. 147E. Gambar Berskala ....................................................................................... 149F. Bentuk-Bentuk Perbandingan .................................................................... 152G. Memecahkan Masalah Sehari-hari yang Melibatkan Konsep

Perbandingan ............................................................................................. 157Evaluasi 5 ......................................................................................................... 161

BAB 6 HIMPUNANA. Himpunan .................................................................................................. 164B. Himpunan Kosong dan Himpunan Semesta ............................................... 169C. Himpunan Bagian ....................................................................................... 171D. Hubungan Antarhimpunan ......................................................................... 175E. Operasi Himpunan ..................................................................................... 177F. Diagram Venn ............................................................................................ 186G. Menyelesaikan Masalah dengan Menggunakan Konsep Himpunan ........... 193Evaluasi 6 ......................................................................................................... 196

BAB 7 GARIS DAN SUDUTA. Garis .......................................................................................................... 200B. Perbandingan Segmen Garis...................................................................... 205C. Sudut ......................................................................................................... 208D. Menggambar dan Memberi Nama Sudut ................................................... 211E. Jenis-Jenis Sudut ....................................................................................... 214F. Hubungan Antarsudut ................................................................................ 216G. Hubungan Antarsudut jika Dua Garis Sejajar Dipotong oleh Garis Lain.... 220H. Melukis Sudut ............................................................................................ 224I. Membagi Sudut ......................................................................................... 226Evaluasi 7 ......................................................................................................... 231

BAB 8 SEGITIGA DAN SEGI EMPATA. Segitiga ...................................................................................................... 234B. Jumlah Sudut-Sudut Segitiga .................................................................... 241C. Hubungan Panjang Sisi dengan Besar Sudut pada Segitiga ....................... 243D. Keliling dan Luas Segitiga .......................................................................... 246E. Segi Empat ................................................................................................ 250F. Melukis Segitiga ........................................................................................ 276G. Melukis Segitiga Sama Kaki dan Segitiga Sama Sisi ................................. 279H. Melukis Garis-Garis Istimewa pada Segitiga ............................................. 280I. Menyelesaikan Masalah yang Berkaitan dengan Segi Empat ..................... 284Evaluasi 8 ......................................................................................................... 288

DAFTAR PUSTAKA ......................................................................................................... 290GLOSARIUM ................................................................................................................... 291KUNCI JAWABAN SOAL TERPILIH ............................................................................ 292DAFTAR SIMBOL ........................................................................................................... 296INDEKS ............................................................................................................................. 297

1Pendahuluan

PENDAHULUANMatematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi

modern. Matematika mempunyai peran penting dalam berbagai disiplin ilmu sehinggamemajukan daya pikir manusia. Mata pelajaran matematika diberikan kepada siswamulai dari sekolah dasar untuk membekali siswa dengan kemampuan bekerja sama.

Pembelajaran matematika di buku ini dimulai dengan pengenalan masalah yangsesuai dengan situasi (contextual problem). Dengan mengajukan masalah kontekstual,siswa secara bertahap dibimbing untuk menguasai konsep matematika. Sekolahdiharapkan menggunakan teknologi informasi dan komunikasi seperti komputer, alatperaga, atau media lainnya untuk meningkatkan keefektifan pembelajaran.

Buku Matematika Konsep dan Aplikasinya 1 ini diperuntukkan bagi siswakelas VII SMP/MTs. Materi pembelajaran buku ini mengacu pada Standar Kompetensidan Kompetensi Dasar Matematika SMP/MT s tahun 2006. Kajian materi buku inimeliputi tiga aspek, yaitu aspek bilangan, aljabar, dan aspek geometri. Untukmemudahkan pembahasan, buku ini terbagi ke dalam delapan bab sebagai berikut.

Bab 1 Bilangan BulatBab ini memuat materi mengenai operasi tambah, kurang, kali, bagi, danpangkat pada bilangan bulat beserta sifat-sifatnya; cara menaksir hasilperkalian dan pembagian bilangan bulat; kuadrat dan pangkat t iga sertaakar kuadrat dan akar pangkat tiga bilangan bulat. Dengan memahami sifat-sifat operasi hitung tersebut dapat bermanfaat untuk menyelesaikan masalahdalam kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan bilangan bulat.

Bab 2 PecahanBab ini berisi materi mengenai operasi tambah, kurang, kali, bagi, dan pangkatpada pecahan beserta sifat-sifatnya; cara mengubah bentuk pecahan kebentuk pecahan yang lain; dan menggunakan sifat-sifat operasi hitung padapecahan untuk memecahkan masalah dalam kehidupan sehari-hari yangberkaitan dengan pecahan.

Bab 3 Operasi Hitung Bentuk AljabarBab ini memuat materi mengenai bentuk aljabar dan unsur-unsurnya; operasihitung tambah, kurang, kali, bagi, dan pangkat pada bentuk aljabar; sertamenerapkan operasi hitung bentuk aljabar untuk menyelesaikan soal.

Bab 4 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu VariabelBab ini berisi uraian materi mengenai persamaan dan pertidaksamaan li-near satu variabel dalam berbagai bentuk dan variabel; menentukanpenyelesaian persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel; sertamembuat model matematika dan menyelesaikannya dari suatu masalah yangberkaitan dengan persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel.

2Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

Bab 5 Perbandingan dan Aritmetika SosialBab i ni m emuat m ateri m engenai p enggunaan k onsep a ljabar d alampemecahan masalah aritmetika sosial, misalnya nilai keseluruhan, nilai perunit, laba, rugi, rabat, dan bunga tunggal; pengertian skala sebagai suatuperbandingan; faktor per besaran dan pengecila n pada gambar berska la;serta perbandingan seharga (senilai) dan perbandingan berbalik harga(berbalik nilai).

Bab 6 HimpunanBab ini berisi materi mengenai pengertian, notasi, dan penyajian himpunan;konsep himpunan bagian; operasi irisan, gabungan, kurang ( difference),dan komplemen pada himpunan; penyajian himpunan dengan diagram Venn,serta menyelesaikan masalah dengan menggunakan diagram Venn dankonsep himpunan.

Bab 7 Garis dan SudutBab ini memuat materi mengenai hubungan antara dua garis, serta besardan jenis sudut; sifat-sifat sudut yang terbentuk jika dua garis berpotonganatau dua garis sejajar berpotongan dengan garis lain; serta cara melukis danmembagi sudut.

Bab 8 Segitiga dan Segi EmpatBab ini berisi uraian materi mengenai sifat-sifat segitiga berdasarkan sisidan sudutnya; sifat-sifat persegi panjang, persegi, jajargenjang, belah ketupat,layang-layang, dan trapesium; menghitung keliling dan luas bangun segitigadan segi empat dan menggunakannya dalam memecahkan masalah dalamkehidupan sehari-hari; serta cara melukis segitiga, garis tinggi, garis bagi,garis berat, dan garis sumbu.

1 BILANGAN BULAT

Pernahkah kalian memerhatikan ter-mometer? Termometer adalah alat yang diguna-kan untuk mengukur suhu suatu zat. Padapengukuran menggunakan termometer, untukmenyatakan suhu di bawah 0 oC digunakantanda negatif. Pada tekanan 1 atmosfer, suhuair mendidih 100oC dan membeku pada suhu0oC. Jika air berubah menjadi es, suhunyakurang dari 0 oC. Misalkan, es bersuhu –7 oC,artinya suhu es tersebut 7oC di bawah nol.

Tujuan pembelajaranmu pada bab ini adalah:dapat memberikan contoh bilangan bulat;dapat menyatakan sebuah besaran sehari-hari yang menggunakan bilangan negatif;dapat menentukan letak bilangan bulat pada garis bilangan;dapat menyelesaikan operasi tambah, kurang, kali, bagi, dan pangkat bilanganbulat termasuk operasi campuran;dapat menentukan sifat-sifat perkalian dan pembagian bilangan negatif dengannegatif dan positif dengan negatif;dapat menaksir hasil perkalian dan pembagian bilangan bulat;dapat menghitung kuadrat dan pangkat tiga serta akar kuadrat dan akar pangkattiga bilangan bulat;dapat menemukan dan menggunakan sifat penjumlahan, pengurangan, perkalian,pembagian, dan perpangkatan bilangan bulat untuk menyelesaikan masalah.

Kata-Kata Kunci:

bilangan bulat positif perkalian bilangan bulatbilangan bulat negatif pembagian bilangan bulatpenjumlahan bilangan bulat perpangkatan dan akar bilangan bulatpengurangan bilangan bulat

Sumber: Kamus Visual, 2004


Sebelum kalian mempelajari materi pada bab ini, sebaiknyakalian memahami kembali mengenai bilangan cacah, garis bilangan,kuadrat, akar pangkat dua, serta KPK dan FPB dari dua bilanganatau lebih. Pemahaman materi tersebut akan sangat bermanfaatdalam mempelajari materi bilangan bulat. Konsep yang akan kalianpelajari pada bab ini merupakan dasar untuk mempelajari babselanjutnya di buku ini.

A. BILANGAN BULAT

1. Pengertian Bilangan BulatCoba kalian ingat kembali materi di tingkat sekolah dasar

mengenai bilangan cacah. Bilangan cacah yaitu 0, 1, 2, 3, .... Jikabilangan cacah tersebut digambarkan pada suatu garis bilangan,apa yang kalian peroleh?

Seseorang berdiri di atas lantai berpetak. Ia memilih satu garislurus yang menghubungkan petak-petak lantai tersebut. Ia berdiridi satu titik dan ia namakan titik 0.

0 1 2 3 4Gambar 1.1

Garis pada petak di depannya ia beri angka 1, 2, 3, 4, .... Jikaia maju 4 langkah ke depan, ia berdiri di angka +4. Selanjutnya,jika ia mundur 2 langkah ke belakang, ia berdiri di angka +2. Laluia mundur lagi 3 langkah ke belakang. Berdiri di angka berapakahia sekarang? Di angka berapa pulakah ia berdiri, jika ia mundurlagi 1 langkah ke belakang?

Perhatikan bahwa posisi 4 langkah ke depan dari titik nol (0)dinyatakan dengan +4. Demikian pula posisi 2 langkah ke depandinyatakan dengan +2. Oleh karena itu, posisi 4 langkah ke belakangdari titik nol (0) dinyatakan dengan –4. Adapun posisi 2 langkah kebelakang dari titik nol (0) dinyatakan dengan –2.

Pasangan-pasangan bilangan seperti di atas jika dikumpulkanakan membentuk bilangan bulat . Tanda + pada b ilangan bulatbiasanya tidak ditulis. Kumpulan semua bilangan bulat disebuthimpunan bilangan bulat dan dinotasikan denganB = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}.

(Berpikir kritis)Apa yang kamu keta-hui mengenai bilang-an cacah? Ceritakansecara singkat didepan kelas.

5Bilangan Bulat

Bilangan bulat terdiri atas himpunan bilangan bulat negatif{..., –3, –2, –1}, nol {0}, dan himpunan bilangan bulat positif{1, 2, 3, ...}.

2. Penggunaan Bilangan Bulat dalam Kehidupan Sehari-hari

Perhatikan G ambar 1 .2. K apal s elam d igunakan u ntukkepentingan penjagaan, perang, dan operasi-operasi penyelamatan.Oleh karena itu, para penyelam dan kapten kapal selam perlumengetahui tingkat kedalaman laut. Jika permukaan air lautdinyatakan 0 meter maka tinggi di atas permukaan laut dinyatakandengan bilangan positif dan kedalaman di bawah permukaan lautdinyatakan dengan bilangan negatif. Misalnya, kedalaman 10 m dibawah permukaan laut ditulis –10 m.

(Berpikir kritis)Diketahui suatu gedung berlantai 12. Dari gedung tersebut 3 diantaranya berada di bawah permukaan tanah. Tito berada di lantaiterbawah, kemudian naik 7 lantai dengan lift. Di lantai berapakahia berada di atas permukaan tanah?

Sumber: Ensiklopedi Matematika dan PeradabanManusia, 2003

Gambar 1.2

(Menumbuhkankreativitas)Perhatikan lingkungansekitarmu. Amatikejadian/peristiwayang merupakanpenerapan bilanganbulat dalamkehidupan sehari-hari.Catat dandeskripsikan hal itu.Hasilnya, ceritakan didepan kelas.


3. Letak Bilangan Bulat pada Garis BilanganPada garis bilangan, letak bilangan bulat dapat dinyatakan

sebagai berikut.

Gambar 1.3

Pada garis bilangan di atas, bilangan 1, 2, 3, 4, 5, ... disebutbilangan bulat positif, sedangkan bilangan –1, –2, –3, –4, –5, ...disebut bilangan bulat negatif.

Bilangan bulat positif terletak di sebelah kanan nol, sedangkanbilangan bulat negatif terletak di sebelah kiri nol.

4. Menyatakan Hubungan antara Dua Bilangan Bulat

–3 –2 –1 0 1 2 3Gambar 1.4

Perhatikan garis bilangan di atas.Pada garis bilangan tersebut, makin ke kanan letak bilangan,

makin besar nilainya. Sebaliknya, makin ke kiri letak bilangan, makinkecil nilainya. Sehingga dapat dikatakan bahwa untuk setiap p, qbilangan bulat berlakua. jika p terletak di sebelah kanan q maka p > q;b. jika p terletak di sebelah kiri q maka p < q.

Pada suatu garis bilangan, bilangan –3 terletak di sebelah kiribilangan 2 sehingga ditulis –3 < 2 atau 2 > –3. Adapun bilangan–3 terletak di sebelah kanan –5 sehingga ditulis –3 > –5 atau–5 < –3. Jika kedua kalimat di atas digabungkan maka diperoleh–5 < –3 < 2 atau 2 > –3 > –5.

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5

bilangan bulat negatif bilangan bulat positifnol

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.a. 175 meter di atas permukaan air laut.b. 60 meter di bawah permukaan air

laut.

1. Jika permukaan air laut dinyatakandengan 0 meter , tulislah letak suatutempat yang ditentukan sebagai berikut.

7Bilangan Bulat

5. Isilah titik-titik di bawah ini dengan tanda“>” atau “<“, sehingga menjadi kalimatyang benar.a. –3 ... 5 c. –8 ... –13b. 12 ... 27 d. 16 ... –24e. 0 ... –1 h. 2 ... –21f. 17 ... –15 i. –19 ... –14g. –36 ... 42 j. 39 ... –7

6. Tentukan nilai x yang memenuhia. x –1, pada S = {–6, –5, –4, –3,

–2, –1, 0, 1, 2};b. x > 2, pada S = {..., –3, –2, –1, 0, 1,

2, 3, 4, 5, 6};c. –5 < x 4, pada S = {–5, –4, –3,

–2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}.Kemudian g ambarlah m asing-masingnilai-nilai tersebut pada garis bilangan.

7. Diketahui suhu di dalam suatu ruanganlaboratorium 17 oC. Karena akan digu-nakan untuk sebuah penelitian, makasuhu di ruangan tersebut diturunkan 25oClebih rendah dari suhu semula. Berapa-kah suhu di ruangan itu sekarang?

c. 270 meter di bawah permukaan airlaut.

d. 10 meter di atas permukaan air laut.2. Dengan menggunakan garis bilangan,

tentukana. lima bilangan bulat yang terletak di

sebelah kiri 3;b. enam bilangan bulat yang terletak di

sebelah kanan –2;c. empat bilangan bulat yang lebih dari

–1;d. tujuh bilangan bulat yang kurang dari

5.3. Diketahui sebuah tangga lantai memiliki

10 a nak t angga. N yoman d an S antiberada di anak tangga ke-2, kemudianmereka naik 7 t angga ke a tas. Karenaada buku yang terjatuh, Nyoman dan Santiturun 5 tangga ke bawah. Di anak tang-ga berapakah mereka sekarang?

4. Tentukan benar atau salah pernyataanberikut.a. –4 < –8 e. –2 > –102b. 5 > –7 f. –150 < 150c. –2 > –4 g. 6 < –5d. –3 < –4 h. –75 > –57

B. OPERASI HITUNG P ADA BILANGANBULAT

1. Penjumlahan pada Bilangan Bulata. Penjumlahan dengan alat bantu

Dalam menghitung hasil penjumlahan dua bilangan bulat, dapatdigunakan dengan menggunakan garis bilangan. Bilangan yangdijumlahkan digambarkan dengan anak panah dengan arah sesuaidengan bilangan tersebut.

Apabila bilangan positif, anak panah menunjuk ke arah kanan.Sebaliknya, apabila bilangan negatif, anak panah menunjuk ke arahkiri.

(Menumbuhkaninovasi)Selain dengan garisbilangan,penjumlahan padabilangan bulat dapatdigunakan alat bantuyang lain. Cobaeksplorasilah hal inidengan temansebangkumu.Ceritakan hasilnyasecara singkat didepan kelas.


Penyelesaian:

–8 –7 –6 0 1 2

(b)(a)

(c)–3 –2 –1–5 –4

Gambar 1.6

Untuk menghitung (–3) + (–4), langkah-langkahnya sebagaiberikut.(a) Gambarlah anak panah dari 0 sejauh 3 satuan ke kiri

sampai pada angka –3.(b) Gambarlah anak panah tadi dari angka –3 sejauh 4 sa-

tuan ke kiri.(c) Hasilnya, (–3) + (–4) = –7.

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.

Hitunglah hasil penjumlah-an berikut dengan meng-gunakan garis bilangan.1. 6 + (–8)

Penyelesaian:

–3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7

(b)(a)

(c)Gambar 1.5

Untuk menghitung 6 + (–8), langkah-langkahnya sebagaiberikut.(a) Gambarlah anak panah dari angka 0 sejauh 6 satuan

ke kanan sampai pada angka 6.(b) Gambarlah anak panah tadi dari angka 6 sejauh 8

satuan ke kiri.(c) Hasilnya, 6 + (–8) = –2.

2. (–3) + (–4)

c. 6 + (–9)d. (–4) + (–7)e. 8 + (–2)f. –6 + 10

Dengan menggunakan garis bilangan,hitunglah hasil penjumlahan bilangan bulatberikut ini.a. 3 + 7 b. –8 + 5

g. (–5) + 10h. (–3) + 2i. (–6) + (–4)j. (–8) + (–3)

9Bilangan Bulat

b. Penjumlahan tanpa alat bantuPenjumlahan pada bilangan yang bernilai kecil dapat dilakukan

dengan bantuan garis bilangan. Namun, untuk bilangan-bilanganyang bernilai besar, hal itu tidak dapat dilakukan. Oleh karena itu,kita harus dapat menjumlahkan bilangan bulat tanpa alat bantu.1) Kedua bilangan bertanda sama

Jika kedua bilangan bertanda sama (keduanya bilanganpositif at au k eduanya b ilangan n egatif), j umlahkan k eduabilangan tersebut. Hasilnya berilah tanda sama dengan tandakedua bilangan.Contoh:a) 125 + 234 = 359b) –58 + (–72) = –(58 + 72) = –130

2) Kedua bilangan berlawanan tandaJika kedua bilangan berlawanan tanda (bilangan positif

dan bilangan negatif), kurangi bilangan yang bernilai lebih besardengan bilangan yang bernilai lebih kecil tanpa memerhatikantanda. Hasilnya, berilah tanda sesuai bilangan yang bernilailebih besar.Contoh:a) 75 + (–90) = –(90 – 75) = –15b) (–63) + 125 = 125 – 63 = 62

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.i. (–34) + 46 + (–28)j. 68 + (–29) + (–45)

2. Tentukan nilai p yang memenuhi, se-hingga kalimat matematika berikut inimenjadi benar.a. 8 + p = 15b. p + (–4) = 1c. (–12) + p = –3d. –p + 6 = 4e. 9 + (–p) = –5

1. Tanpa menggunakan alat bantu, hitung-lah h asil p enjumlahan b ilangan b ulatberikut ini.a. 23 + 19b. (–42) + 27c. 38 + (–53)d. (–46) + (–35)e. (–56) + 47f. 32 + (–18)g. (–15) + 62h. (–27) + (–14) + 75


b. Sifat k omutatifSifat komutatif disebut juga sifat pertukaran. Penjumlahandua b ilangan b ulat s elalu d iperoleh h asil y ang s amawalaupun kedua bilangan tersebut dipertukarkantempatnya. Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut.

Untuk setiap bilangan bulat a dan b, selalu berlakua + b = b + a.

a. 6 + 5 = 5 + 6 = 11b. (–7) + 4 = 4 + (–7) = –3

c. 8 + (–12) = (–12) + 8 = –4d. (–9) + (–11) = (–11) + (–9) = –20

c. Mempunyai unsur identitasBilangan 0 (nol) merupakan unsur identitas padapenjumlahan. Artinya, untuk sebarang bilangan bulatapabila ditambah 0 (nol), hasilnya adalah bilangan itu sendiri.Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut.

Untuk sebarang bilangan bulat a, selalu berlakua + 0 = 0 + a = a.

d. Sifat a sosiatifSifat asosiatif disebut juga sifat pengelompokan. Sifat inidapat dituliskan sebagai berikut.

Untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c, berlaku(a + b) + c = a + (b + c).

2. Sifat-Sifat Penjumlahan Bilangan Bulata. Sifat tertutup

Pada penjumlahan bilangan bulat, selalu menghasilkanbilangan bulat juga. Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut.

Untuk setiap bilangan bulat a dan b, berlaku a + b = cdengan c juga bilangan bulat.

a. –16 + 25 = 9–16 dan 25 merupakan bilangan bulat.9 juga merupakan bilangan bulat.

b. 24 + (–8) = 1624 dan –8 merupakan bilangan bulat.16 juga merupakan bilangan bulat.

11Bilangan Bulat

a. (4 + (–5)) + 6 = –1 + 6= 5

4 + ((–5) + 6) = 4 + 1= 5

Jadi, (4 + (–5)) + 6 = 4 + ((–5) + 6).

b. (–3 + (–9)) + 10 = –12 + 10= –2

–3 + ((–9) + 10) = –3 + 1= –2

Jadi, (–3 + (–9)) + 10 = –3 + ((–9) + 10).

e. Mempunyai inversInvers suatu bilangan artinya lawan dari bilangan tersebut.Suatu bilangan dikatakan mempunyai invers jumlah, apabilahasil penjumlahan bilangan tersebut dengan inversnya(lawannya) merupakan unsur identitas (0 (nol)).

Lawan dari a adalah – a, sedangkan lawan dari – aadalah a.

Dengan kata lain, untuk setiap bilangan bulat selain nolpasti mempunyai lawan, sedemikian sehingga berlakua + (–a) = (–a) + a = 0.

e. 9 + x = 0f. x + (–5) + (–9) = 0

3. Suatu permainan diketahui nilai terting-ginya 100 dan nilai terendahnya –100.Seorang anak bermain sebanyak 6 kalidan memperoleh nilai berturut-turut 75,–80, –40, 65, x, dan –50. Jika jumlah nilaianak t ersebut s eluruhnya 6 0, te ntukannilai x yang memenuhi.

1. Dengan m enggunakan s ifat-sifat y angberlaku pada penjumlahan bilangan bulat,hitunglah hasil penjumlahan berikut.a. 23 + (–19) + 37b. 32 + (–27) + (–43)c. (–51) + 75 + 51d. –38 + (–45) + (–22)e. (–49) + 56 + (–31)f. 25 + (–17) + (–28)

2. Tentukan nilai x yang memenuhi untuk xbilangan bulat.a. 4 + x = –3b. x + (–5) = 6c. –2 + x = –6d. x + (–8) = 0


(Berpikir kritis)Coba cek jawabanmu pada Uji Kompe-tensi 4 dengan menggunakankalkulator. Apakah hasilnya sama?

(Menumbuhkan krea-tivitas)Diskusikan dengantemanmu.Coba kalian ingatkembali sifat operasipenjumlahan bilangancacah. Bandingkandengan sifat penjum-lahan pada bilanganbulat. Apakah setiapbilangan cacah a me-miliki invers (lawan)?Mengapa?


3. Pengurangan pada Bilangan BulatSeperti pada penjumlahan bilangan bulat, untuk menghitung

hasil pengurangan dua bilangan bulat dapat digunakan bantuan garisbilangan. Namun sebelumnya coba kalian ingat kembali materi ditingkat sekolah dasar, bahwa operasi pengurangan merupakanpenjumlahan dengan lawan bilangan pengurang.

Perhatikan uraian berikut.

a. Pengurangan dinyatakan sebagai penjumlahan denganlawan bilangan pengurang

Bandingkan hasil penjumlahan dan pengurangan berikut.1) 4 – 3

0 1 2–2 –1 3 4 5

–34

1Gambar 1.7

2) 4 + (–3)

0 1 2–2 –1 3 4 5

–34

1Gambar 1.8

3) –5 – (–2)

0 1 2–3 –2 –1–4–5

–5 2

–3

Gambar 1.9

4) –5 + 2

0 1 2–3 –2 –1–4–5

–52

–3Gambar 1.10

Dari perbandingan di atas, diperoleh hubungan sebagai berikut.4 – 3 = 4 + (–3) = 1–5 – (–2) = –5 + 2 = –3

13Bilangan Bulat

Pada pengurangan bilangan bulat, mengurangi dengan suatubilangan sama artinya dengan menambah dengan lawanpengurangnya.Secara umum, dapat dituliskan sebagai berikut.

Untuk setiap bilangan bulat a dan b, maka berlakua – b = a + (–b).

(Berpikir kritis)Diskusikan dengantemanmu.Buktikan bahwa sifatkomutatif dan asosiatiftidak berlaku padaoperasi penguranganbilangan bulat.

(Berpikir kritis)Coba ingat kembali,bahwa bilangan 0merupakan unsuridentitas padapenjumlahan bilanganbulat. Menurutmu,apakah padapengurangan bilanganbulat terdapat unsuridentitas?Eksplorasilah hal inidengan temansebangkumu.Ceritakan hasilnyasecara singkat didepan kelas.

a. 7 – 9 = 7 + (–9) = –2b. –8 – 6 = –8 + (–6) = –14

c. 15 – (–5) = 15 + 5 = 20d. –12 – (–6) = –12 + 6 = –6

Pada contoh di atas da pat kalian lihat bahwa hasil daripengurangan dua bilangan bulat, juga menghasilkan bilangan bulat.Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa pada operasi pengu-rangan bilangan bulat berlaku sifat tertutup.

b. Pengurangan dengan alat bantuBerdasarkan penjelasan di atas, pelajarilah cara menghitung

hasil pengurangan dua bilangan bulat dengan bantuan garis bilanganberikut ini.

Penyelesaian:Untuk menghitung 4 – 7, langkah-langkahnya sebagaiberikut.(a) Gambarlah anak panah dari angka 0 sejauh 4 satuan

ke kanan sampai pada angka 4.(b) Gambarlah anak panah tersebut dari angka 4 sejauh 7

satuan ke kiri sampai pada angka –3.(c) Hasilnya, 4 – 7 = –3.

0 1 2

(b)(a)

(c)–3 –2 –1–4 3 4 5

Gambar 1.11

1. 4 – 7


2. –3 – (–5) Penyelesaian:Langkah-langkah u ntuk m enghitung – 3 – ( –5) s ebagaiberikut.(a) Gambarlah anak panah dari angka 0 sejauh 3 satuan

ke kiri sampai pada angka –3.(b) Gambarlah anak panah tersebut dari angka –3 sejauh

5 satuan ke kanan sampai pada angka 2.(c) Hasilnya, –3 – (–5) = 2.

0 1 2

(b)(a)

(c)–3 –2 –1–4 3 4–5

Gambar 1.12

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1. Hitunglah hasilnya.

a. 9 – 3 e. –15 – 9 – 13b. 5 – 8 f. 32 – 21 – 14c. –13 – 9 g. –18 – 11 – (–24)d. 16 – (–6) h. (–7 – 27) – 18

2. Jika n adalah b ilangan bulat, t entukannilai n agar menjadi kalimat yang benar.a. 7 – n = 2b. n – 4 = –3c. n – (–9) = 5

d. –8 – n = –1e. –n – (–6) = 0

3. Diketahui suhu di Pu ncak Jaya Wijaya–4oC, sedangkan suhu di Kota Mekah48oC. Hitunglah selisih suhu keduatempat tersebut.

4. Jarak Kota A dan Kota B 40 km. JikaKota C terletak di antara Kota A dan B,sedangkan jaraknya 25 km dari Kota B,berapakah jarak Kota C dari Kota A?

4. Perkalian pada Bilangan BulatKalian telah mengetahui bahwa perkalian adalah operasi

penjumlahan berulang dengan bilangan yang sama. Perhatikancontoh berikut.

4 5 = 5 + 5 + 5 + 5 = 205 4 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20Meskipun hasilnya sama, perkalian 4 5 dan 5 4 berbeda

artinya. Secara umum, dapat dituliskan sebagai berikut.

Jika n adalah sebarang bilangan bulat positif makan a =

sebanyak suku

...n

a a a a

15Bilangan Bulat

a. Menghitung hasil perkalian bilangan bulatPerhatikan uraian berikut.2 4 = 4 + 4 = 82 3 = 3 + 3 = 62 2 = 2 + 2 = 42 1 = 1 + 1 = 22 0 = 0 + 0 = 0–2 4 = – (2 4) = – (4 + 4) = –8–2 3 = – (2 3) = – (3 + 3) = –6–2 2 = – (2 2) = – (2 + 2) = –4–2 1 = – (2 1) = – (1 + 1) = –2–2 0 = – (2 0) = – (0 + 0) = 02 (–2) = (–2) + (–2) = –42 (–1) = (–1) + (–1) = –2(–2) (–3) = – (2 (–3)) = – ((–3) + (–3)) = 6(–2) (–2) = – (2 (–2)) = – ((–2) + (–2)) = 4(–2) (–1) = – (2 (–1)) = – ((–1) + (–1)) = 2

Jika kalian mengamati perkalian bilangan di atas, kalian akanmemperoleh sifat-sifat berikut.

Jika p dan q adalah bilangan bulat maka1) p q = pq;2) (–p) q = –(p q) = – pq;3) p (–q) = –( p q) = – pq;4) (–p) (–q) = p q = pq.


1. Tulislah arti perkalian berikut, kemudianselesaikan.a. 8 4b. 2 (–3)c. 3 pd. 4 (–p)e. 4 8f. 5 (–2p)

2. Hitunglah hasil perkalian berikut.a. 7 (–18)b. (–12) (–15)c. (–16) 9d. 25 0e. (–24) (–11)f. 35 (–7)

(Berpikir kritis)Buatlah kelompokterdiri atas 2 anak, 1laki-laki dan 1 perem-puan. Buktikan sifat-sifat operasi perkalianpada bilangan bulatseperti di samping.Berikan contoh-contohyang mendukung.Diskusikan hal inidengan temanmu.


b. Sifat-sifat perkalian pada bilangan bulat1) Sifat tertutup

Untuk mengetahui sifat tertutup pada perkalian bilanganbulat, salin dan tentukan hasil perkalian berikut.3 8 = .... 3 (–8) = ....(–3) 8 = .... (–3) (–8) = ....

Apakah hasil perkalian bilangan di atas juga merupakanbilangan bulat?

Jika kalian mengerjakan dengan benar , kalian akanmemperoleh sifat berikut.

Untuk setiap bilangan bulat p dan q, selalu berlakup q = r dengan r juga bilangan bulat.

2) Sifat komutatifUntuk mengetahui sifat komutatif pada perkalian bilangan

bulat, salin dan tentukan hasil perkalian berikut.2 (–5) = .... (–3) (–4) = ....(–5) 2 = .... (–4) (–3) = ....

Apa yang dapat kalian simpulkan dari perkalian pasanganbilangan bulat di atas?


Untuk setiap bilangan bulat p dan q, selalu berlakup q = q p.

3) Sifat asosiatifUntuk mengetahui sifat asosiatif pada perkalian bilangan

bulat, salin dan tentukan hasil perkalian berikut.3 (–2 4) = .... (–2 6) 4 = ....(3 (–2)) 4 = .... –2 (6 4) = ....



Untuk setiap bilangan bulat p, q, dan r selalu berlaku(p q) r = p (q r).

Dalam suatu permain-an jika menang diberinilai 3, jika kalah diberinilai –2, dan jika seridiberi nilai –1. Sebuahregu telah bermainsebanyak 47 kali,dengan 21 kalimenang dan 3 kaliseri. Tentukan nilaiyang diperoleh regutersebut.

17Bilangan Bulat

4) Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahanUntuk mengetahui sifat distributif perkalian terhadap

penjumlahan, salin dan tentukan hasil perkalian berikut.2 (4 + (–3)) = .... (–3) (–8 + 5) = ....(2 4) + (2 (–3)) = .... ((–3) (–8)) + (–3 5) = ....



Untuk setiap bilangan bulat p, q, dan r selalu berlakup (q + r) = (p q) + (p r).

5) Sifat distributif perkalian terhadap penguranganUntuk mengetahui sifat distributif perkalian terhadap

pengurangan, salin dan tentukan hasil perkalian berikut.5 (8 – (–3)) = .... 6 (–7 – 4) = ....(5 8) – (5 (–3)) = .... (6 (–7)) – (6 4) = ....



Untuk setiap bilangan bulat p, q, dan r selalu berlakup (q – r) = (p q) – (p r).

6) Memiliki elemen identitasUntuk mengetahui elemen identitas pada perkalian, tulis

dan tentukan hasil perkalian berikut.3 1 = .... (–4) 1 = ....1 3 = .... 1 (–4) = ....



Untuk setiap bilangan bulat p, selalu berlakup 1 = 1 p = p.Elemen identitas pada perkalian adalah 1.


3. Dengan menggunakan sifat distributif,tentukan nilai daria. 8 (–24)) + (8 (–16))b. ((–17 (–25)) + ((–25) (–19))c. ((–7) (–16)) – ((–2) (–16))d. (29 (–9)) – (9 (–9))

4. Salin dan lengkapilah tabel berikut.

Buatlah kesimpulan, sifat apakah yangkamu peroleh dari tabel tersebut?


Buatlah kesimpulan, sifat apakah yangkamu peroleh dari tabel tersebut?

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1. Tentukan nilai pengganti huruf-huruf

berikut sehingga menjadi kalimat yangbenar.a. 6 p = (–3) 6b. 2 (–q) 9 = 9 3 2c. 3 a (–2) = 3 (5 (–2))d. 7 (–a – b) = (7 (–8)) + (7 (–2))

2. a. Tentukan hasil perkalian berikut.(i) (5 4) (–3) dan

5 (4 (–3))(ii) (6 (–2)) 7 dan

6 ((–2) 7)(iii) (8 (–6)) (–5) dan

8 ((–6) (–5))(iv) ((–7) (–9)) (–4) dan

(–7) ((–9) (–4))b. Berdasarkan soal (a), sifat apakah

yang berlaku pada perkalian t erse-but? Apa yang dapat kalian simpul-kan?

5. Pembagian Bilangan Bulata. Pembagian sebagai operasi kebalikan dari perkalianPerhatikan uraian berikut.(i) 3 4 = 4 + 4 + 4 = 12

Di lain pihak, 12 : 3 = 4 atau dapat ditulis3 4 = 12 12 : 3 = 4.

(ii) 4 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12Di lain pihak, 12 : 4 = 3, sehingga dapat ditulis4 3 = 12 12 : 4 = 3.

Dari uraian di atas, tampak bahwa pembagian merupakanoperasi kebalikan (invers) dari perkalian. Secara umum dapatditulis sebagai berikut.

a b c a (b + c) a b a c (a b) + (a c)

22

–2–2

1–1–1–1

33

–3–3

a b c a (b – c) a b a c (a b) – (a c)

3–3–3–3

22

–2–2

444

–4

19Bilangan Bulat

Jika p, q, dan r bilangan bulat, dengan q faktor p, danq 0 maka berlaku p : q = r p = q r.

b. Menghitung hasil pembagian bilangan bulatCoba ingat kembali sifat perkalian pada bilangan bulat. Dari

sifat tersebut, diperoleh kesimpulan berikut.

Untuk setiap p, q, r bilangan bulat, q 0 dan memenuhip : q = r berlaku(i) jika p, q bertanda sama, r adalah bilangan bulat positif;(ii) jika p, q berlainan tanda, r adalah bilangan bulat negatif.

c. Pembagian dengan bilangan nolUntuk menentukan hasil pembagian bilangan bulat dengan

bilangan nol (0), ingat kembali perkalian bilangan bulat denganbilangan nol. Untuk setiap a bilangan bulat berlakua 0 = 0 0 : a = 0Jadi, dapat dituliskan sebagai berikut.

Untuk setiap bilangan bulat a, berlaku 0 : a = 0; a 0.

Hal ini tidak berlaku jika a = 0, karena 0 : 0 = tidak terdefinisi.

d. Sifat pembagian pada bilangan bulatApakah pembagian pada bilangan bulat bersifat tertutup?Perhatikan bahwa 15 : 3 = 5

8 : 2 = 42 : 2 = 1

Sekarang, berapakah nilai dari 4 : 3?Apakah kalian menemukan nilai dari 4 : 3 merupakan bilangan

bulat?Jawabannya adalah tidak ada. Karena tidak ada bilangan bulat

yang memenuhi, maka hal ini sudah cukup untuk menyatakan bahwapembagian pada bilangan bulat tidak bersifat tertutup.

Sekarang perhatikan bahwa 8 : 2 = 4. Apakah ada bilanganbulat yang memenuhi 2 : 8? Karena tidak ada bilangan bulat yangmemenuhi 2 : 8, maka pada pembagian tidak berlaku sifat komutatif.

Untuk mengetahui apakah pada pembagian bilangan bulatberlaku sifat asosiatif, perhatikan bahwa (12 : 6) : 2 = 1 tetapi12 : (6 : 2) = 4.

Dari contoh di atas, dapat diketahui bahwa pada pembagianbilangan bulat tidak berlaku sifat asosiatif .

(Berpikir kritis)Diskusikan dengantemanmu.Tunjukkan bahwa pa-da pembagian bilang-an bulat a : 0 = tidakdidefinisikan (tidakada), sebab tidak adasatupun bilanganpengganti yang me-menuhi. Eksplorasilahhal tersebut untuksebarang bilanganbulat a.

PetunjukGunakan pemisalana : 0 = x.


Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.d. m –13 = –104e. –16 m = 112f. 8 m = –136g. m 12 = 156h. m (–6) = –144

4. Jika a = 3, b = –2, dan c = 4, tentukannilai dari

a.b c

a; d.

a bb c

;

b.a b

c; e.

c ba b

;

c.acb ; f.

b c aa .

Apakah hasilnya ada yang bukan meru-pakan bilangan bulat? Mengapa?

1. Tentukan hasil pembagian bilangan bulatberikut ini.a. 90 : 5 f. –108 : (–18)b. 56 : (–8) g. –72 : 4c. –84 : 7 h. 52 : 0d. 51 : (–3) i. 0 : (–49)e. –64 : (–8) j. 128 : (–8)

2. Tentukan hasil pembagian berikut (jikaada bilangan bulat yang memenuhi).a. 72 : 6 d. –30 : (–6)b. 52 : 3 e. 82 : –9)c. –70 : 4 f. –96 : (–18)

3. Tentukan pengganti m, sehingga pernya-taan berikut menjadi benar.a. m (–4) = –88b. 9 m = –54c. m (–7) = 91

C. MENAKSIR HASIL PERKALIAN DANPEMBAGIAN BILANGAN BULA T

Sumber: Dok. P enerbit

Gambar 1.13

Pernahkah kamu berbe lanja ke superm arket? Jika pernah,apakah jumlah harga belanja kamu selalu bulat?

Misalkan, kamu berbelanja barang-barang sehargaRp18.280,00. Jika kamu memberikan uang Rp20.000,00 kepadakasir, berapa uang kembalian yang kamu terima?

21Bilangan Bulat

(Menumbuhkan krea-tivitas)Amatilah kejadian disekitarmu. Tuliskanmasalah yang terkaitdengan pembulatanatau taksiran bilanganbulat. Kemudianselesaikanlah.Hasilnya, kemukakansecara singkat didepan kelas.

Hasil pembulatan atau taksiran diperoleh dengan cara berikut.1. Untuk pembulatan ke angka puluhan terdekat.

a. Jika angka satuannya kurang dari 5, angka tersebut tidakdihitung atau dihilangkan.

b. Jika angka satuannya lebih dari atau sama dengan 5, angkatersebut dibulatkan ke atas menjadi puluhan.

2. Untuk pembulatan ke angka ratusan terdekata. Jika angka puluhannya kurang dari 5, angka puluhan dan

satuan dihilangkan.b. Jika angka puluhannya lebih dari atau sama dengan 5,

angka puluhan tersebut dibulatkan ke atas menjadi ratusan.Aturan pembulatan tersebut juga berlaku untuk pembulatan

ke angka ribuan terdekat, puluh ribuan terdekat, dan seterusnya.

1. Tentukan taksiran pa-da hasil perhitunganberikut ke angka pu-luhan terdekat.a. 37 19b. 118 : 24c. 2.463 : 31

Penyelesaian:a. 37 19 40 20 = 800b. 118 : 24 120 : 20 = 6c. 2.463 : 31 2.460 : 30 = 82

2. Tentukan taksiran pa-da hasil perhitunganberikut ke angka ratus-an terdekat.a. 225 133b. 392 1.174c. 2.548 : 481

Penyelesaian:a. 225 133 200 100 = 20.000b. 392 1.174 400 1.200 = 480.000c. 2.548 : 481 2.500 : 500 = 5

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.2. Taksirlah hasil perkalian dan pembagian

berikut ke angka ratusan terdekat.a. 121 358 c. 2.834 : 733b. 1.469 112 d. 6.273 : 891

1. Taksirlah hasil perkalian dan pembagianberikut ke angka puluhan terdekat.a. 36 : 9 c. 266 : 33b. 27 154 d. 54 88


Di bagian depan kalian telah mempelajari perkalian padabilangan bulat. Hal ini sangat bermanfaat dalam menentukankelipatan dan faktor dari suatu bilangan. Kelipatan dan faktor suatubilangan digunakan untuk menentukan Kelipatan PersekutuanTerkecil (KPK) dan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari suatubilangan. Adapun Kelipatan Persekutuan T erkecil (KPK) danFaktor P ersekutuan Terbesar ( FPB) d ari s uatu b ilangan a kanbermanfaat dalam mempelajari materi pada bab selanjutnya. Untukitu, perhatikan dan pelajari dengan baik uraian materi berikut.

D. KELIPATAN DAN F AKTOR

1. Kelipatan Suatu Bilangan Bulat PositifDi tingkat sekolah dasar, kalian telah mengetahui mengenai

kelipatan suatu bilangan. Sekarang, kalian akan mengulang danmemperdalam materi tersebut.

Jika k anggota A = 1, 2, 3, ... maka kelipatan-kelipatan dari kadalah semua hasil kali k dengan setiap anggota A.Misalnya, kelipatan 3 sebagai berikut.1 3 = 32 3 = 63 3 = 94 3 = 12...Bilangan asli kelipatan 3 dapat ditulis sebagai 3, 6, 9, 12, ...

3. Taksirlah hasil perkalian dan pembagianberikut ke angka ribuan terdekat.a. 2.383 1.564

b. 1.746 3.324c. 4.830 : 1.416d. 7.700 : 3.925

(Menumbuhkan ino-vasi)Cek hasil perhitungansoal-soal di Uji Kom-petensi 9 di atasdengan menggunakankalkulator. Kamu jugadapat menggunakankomputer jika tersediadi sekolahmu.Bandingkan hasilnya.Apakah terdapatselisih di antara keduajawaban tersebut?Mengapa? Diskusikanhal ini dengantemanmu.

a. Tentukan semua bila-ngan kelipatan 2 yangkurang dari 30;

b. Tentukan semua bila-ngan kelipatan 5 yangkurang dari 30;

Penyelesaian:a. Semua bilangan kelipatan 2 yang kurang dari 30 sebagai

berikut.1 2 = 2 6 2 = 12 11 2 = 222 2 = 4 7 2 = 14 12 2 = 243 2 = 6 8 2 = 16 13 2 = 264 2 = 8 9 2 = 18 14 2 = 285 2 = 10 10 2 = 20Semua bilangan kelipatan 2 yang kurang dari 30 adalah2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28.

23Bilangan Bulat

c. Tentukan semua bi-langan asli yang kurangdari 30 dan merupakankelipatan 2 dan 5.

b. Semua bilangan kelipatan 5 yang kurang dari 30 adalah5, 10, 15, 20, 25.

c. Semua bilangan asli yang kurang dari 30 dan merupakankelipatan 2 dan 5 adalah 10, 20.Bilangan 10 dan 20 tersebut selanjutnya disebut keli-patan persekutuan dari 2 dan 5 yang kurang dari 30.

2. Kelipatan Persekutuan T erkecil (KPK) dari DuaBilangan atau LebihBilangan kelipatan 3 adalah 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ...Bilangan kelipatan 4 adalah 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, ...Bilangan kelipatan 3 dan 4 adalah 12, 24, ...

Bilangan terkecil yang merupakan kelipatan persekutuan dari3 dan 4 adalah 12. Bilangan 12 dalam hal ini disebut KelipatanPersekutuan Terkecil (KPK) dari 3 dan 4.

Kelipatan Persekutuan T erkecil (KPK) dari p dan q, denganp, q anggota himpunan bilangan asli adalah bilangan terkecilanggota himpunan bilangan asli yang habis dibagi oleh p dan q.

Tentukan KPK dari 2, 3,dan 4.

Penyelesaian:Bilangan asli kelipatan 2 adalah 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,18, 20, 22, 24, ....Bilangan asli kelipatan 3 adalah 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24,....Bilangan asli kelipatan 4 adalah 4, 8, 12, 16, 20, 24, ....Kelipatan persekutuan dari 2, 3, dan 4 adalah 12, 24, ....Jadi, KPK dari 2, 3, dan 4 adalah 12.

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.c. Tentukan kelipatan persekutuan ter-

kecil dari 4 dan 6.2. Tentukan semua kelipatan persekutuan

dari 3 dan 5 yang kurang dari 40. Ke-mudian, tentukan KPK-nya.

1. a. Tentukan semua kelipatan 4 dan 6yang kurang dari 50.

b. Tentukan semua kelipatan perseku-tuan dari 4 dan 6 yang kurang dari50.


3. Tentukan KPK dari pasangan bilanganberikut.a. 5 dan 7 c. 12 dan 15b. 6 dan 8 d. 24 dan 32

4. Tentukan KPK dari bilangan-bilanganberikut.a. 2, 4, dan 5 c. 12, 32, dan 36b. 3, 5, dan 6 d. 18, 36, dan 42

3. Faktor Suatu Bilangan dan Faktor Persekutuan Terbesar(FPB)Perhatikan perkalian bilangan berikut.1 8 = 82 4 = 8Bilangan 1, 2, 4, dan 8 disebut faktor dari 8.Sekarang perhatikan perkalian berikut.1 2 = 21 3 = 31 5 = 51 7 = 7

Bilangan-bilangan 2, 3, 5, dan 7 masing-masing hanyamempunyai dua faktor, yaitu 1 dan dirinya sendiri. Bilangan-bilanganseperti ini disebut bilangan prima.

Bilangan prima adalah bilangan yang tepat mempunyai duafaktor, yaitu 1 dan dirinya sendiri.

Faktor dari suatu bilangan asli k adalah suatu bilangan asli yangapabila dikalikan dengan bilangan asli lain hasilnya sama dengank .

a. Tentukan semua faktordari 25.

Penyelesaian:1 25 = 255 5 = 25Semua faktor dari 25 adalah 1, 5, dan 25.

b. Tentukan semua faktordari 30.

Penyelesaian:1 30 = 30; 2 15 = 30; 3 10 = 30; 5 6 = 30Karena 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, dan 30 habis membagi 30 dantidak ada bilangan lain yang habis membagi 30 maka semuafaktor dari 30 adalah 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, dan 30.

25Bilangan Bulat

c. Tentukan semua faktorprima dari 45.

Penyelesaian:Ingat kembali cara menentukan faktor primasuatu bilangan dengan pohon faktor.

45

3 15

3 5Jadi, semua faktor prima dari 45 adalah 3 dan 5.

Dari contoh a dan b di atas diperoleh bahwa– faktor dari 25 adalah 1, 5, dan 25;– faktor dari 30 adalah 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, dan 30.

Tampak bahwa 1 dan 5 merupakan faktor dari 25 dan 30.Selanjutnya, 1 dan 5 disebut faktor persekutuan dari 25 dan 30.Karena 5 merupakan faktor terbesar , maka 5 disebut faktorpersekutuan terbesar (FPB) dari 25 dan 30.Dapatkah kamu menentukan FPB dari 25, 30, dan 45?Berdasarkan uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.

Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari dua bilangan adalahbilangan asli terbesar yang merupakan faktor persekutuan keduabilangan tersebut.

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.3. Tentukan faktor persekutuan dari bilang-

an-bilangan berikut. Kemudian, tentukanFPB-nya.a. 16 dan 24b. 30 dan 45c. 48 dan 54d. 9, 18, dan 36e. 24, 32, dan 64f. 36, 52, dan 60g. 82, 120, dan 150h. 36, 108, dan 160

1. Tentukan semua faktor dari bilanganberikut.a. 27 d. 120b. 36 e. 240c. 64 f. 320

2. Tentukan semua faktor prima dari bilang-an berikut. Kemudian, tulislah perkalianfaktor-faktor primanya.a. 24 d. 56b. 32 e. 115c. 48 f. 250

(Menumbuhkan krea-tivitas)Amatilah kejadian dilingkungan sekitarmu.Tuliskan masalahyang terkait denganKPK dan FPB.Kemudian, selesai-kanlah. Diskusikan halini dengan temansebangkumu.Hasilnya, tulislahdalam bentuk laporandan serahkan kepadagurumu.


Tentukan KPK dan FPBdari 36 dan 40 dengan caramemfaktorkan.

Penyelesaian:36 = 22 32

40 = 23 5Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari 36 dan

40 diperoleh dengan mengalikan semua faktor. Jika adafaktor dengan bilangan pokok yang sama, seperti 2 2 dan23, pilih pangkat yang tertinggi yaitu 23. Jadi, KPK dari 36dan 40 = 23 32 5 = 360.

Adapun Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari 36dan 40 diperoleh dengan mengalikan faktor dengan bilanganpokok yang sama, dengan pangkat terendah. Jadi, FPBdari 36 dan 40 = 22 = 4.

Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.– Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) diperoleh dengan cara

mengalikan semua faktor . Jika ada faktor dengan bilanganpokok yang sama, pilih pangkat yang tertinggi.

– Faktor Persekutuan T erbesar (FPB) diperoleh dengan caramengalikan faktor yang sama dengan pangkat terendah.

4. Menentukan K PK d an F PB d ari D ua B ilangan a tauLebih dengan Memfaktorkan

Di depan kalian telah mengetahui cara menentukan KPKdan FPB dari dua bilangan atau lebih dengan mencari kelipatandan faktor dari masing-masing bilangan. Selain dengan cara tersebut,kita dapat menentukan KPK dan FPB dari dua bilangan atau lebihdengan terlebih dahulu menentukan faktorisasi prima masing-masing bilangan itu.

Perkalian semua faktor-faktor prima dari suatu bilangan disebutfaktorisasi prima .


2. Tentukan KPK dan FPB dari bilangan-bilangan berikut dengan cara memfak-torkan.a. 4, 12, dan 20 c. 45, 78, dan 100b. 24, 36, dan 72 d. 64, 115, dan 230

1. Tentukan faktorisasi prima daribilangan-bilangan berikut.a. 68 c. 145b. 75 d. 225

27Bilangan Bulat

E. PERPANGKATAN BILANGAN BULA T

1. Pengertian Perpangkatan BilanganCoba kalian ingat kembali materi di sekolah dasar tentang

pengertian kuadrat suatu bilangan. Kuadrat atau pangkat dua suatubilangan adalah mengalikan suatu bilangan dengan bilangan itusendiri. Lebih lanjut, perpangkatan suatu bilangan artinya perkalianberulang dengan bilangan yang sama .Perhatikan perpangkatan bilangan pokok 2 berikut.21 = 222 = 2 2 (22 dibaca 2 kuadrat atau 2 pangkat 2)

= 423 = 2 2 2 (23 dibaca 2 pangkat 3)

= 8....

2n = kali

2 2 2 ... 2n

(2n dibaca 2 pangkat n)

Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut.Untuk sebarang bilangan bulat p dan bilangan bulat positif n,

berlaku

sebanyak faktor

...n

n

p p p p p

dengan p disebut bilangan pokok dan n disebut pangkat (eksponen).Untuk p 0 maka p0 = 1 dan p1 = p.

Pada p embahasan k ali i ni, k ita h anya a kan m embahasperpangkatan bilangan bulat dengan pangkat positif.

CatatanNanti di kelas IX, kalian akan mempelajari lebih jauh tentangperpangkatan bilangan bulat dengan pangkat positif, negatif, dannol.

Tentukan hasil perpangkat-an bilangan-bilangan beri-kut ini.a. 92 c. –54

b. (–6)3 d. (–10)4

Penyelesaian:a. 92 = 9 9

= 81b. (–6)3 = (–6) (–6) (–6)

= 36 (–6)= –216

Pada perpangkatanbilangan bulat pn, per-hatikan bilangan po-koknya. Cermati perbe-daan perpangkatanbilangan bulat berikut.

faktor

faktor

faktor

...

( ... )

( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )

n

n

n

n

n

p p p p p

p p p p p

np p p p p


c. –54 = – (5 5 5 5)= –625

d. (–10)4 = (–10) (–10) (–10) (–10)= 10.000

2. Sifat-Sifat Bilangan Berpangkata. Sifat perkalian bilangan berpangkatPerhatikan perkalian bilangan bulat berpangkat berikut.

2 3

2 faktor 3 faktor

5 faktor5

3 3 (3 3) (3 3 3)

(3 3 3 3 3)

3Jika m, n bilangan bulat positif dan p bilangan bulat maka

faktor faktor

( ) faktor

( ... ) ( ... )

... ... )

.

m n

m n

m nm n

p p p p p p p p

p p p p p p

p

pm pn = pm + n

b. Sifat pembagian bilangan berpangkatPerhatikan pembagian bilangan bulat berpangkat berikut.

5 3

5 faktor 3 faktor

2

5 : 5 (5 5 5 5 5) : (5 5 5)

5 55

Jika m, n bilangan bulat positif dan p bilangan bulat maka

faktor faktor

( ) faktor

: ( ... ) : ( ... )

( ... )

.

m n

m n

m nm n

p p p p p p p p

p p p

p

pm : pn = pm – n

29Bilangan Bulat

c. Sifat perpangkatan bilangan berpangkatPerhatikan perpangkatan bilangan bulat berpangkat berikut.

2 3 2 2 2

2 faktor 2 faktor 2 faktor

6 faktor6

(2 ) (2 ) (2 ) (2 )(2 2) (2 2) (2 2)

(2 2 2 2 2 2)

2Jika m, n bilangan bulat positif dan p bilangan bulat positif maka

faktor

faktor faktor faktor

faktor

( ) faktor

( ) ...

( ... ) ( ... ) ( ... )

( ... ... ... )

m n m m m

n

m m m

n

m n

p p p p

p p p p p p p p p

p p p p p p p p p

.m np

(pm)n = pm n

d. Sifat perpangkatan suatu perkalian atau pembagianPerhatikan uraian berikut.(5 2)3 = 103 = 10 10 10 = 1.000(5 2)3 = 53 23 = 125 8 = 1.000(2 3)2 = 62 = 36(2 3)2 = 22 32 = 4 9 = 36Berdasarkan uraian di atas, dapat kita tuliskan sebagai berikut.Jika m bilangan bulat positif dan p, q bilangan bulat maka

faktor

faktor faktor

( ) ( ) ( ) ... ( )

( ... ) ( ... )

.

( )

m

m

m mm m

m m m

p q p q p q p q

p p p q q q

p q

p q p q

(Berpikir kritis)Diskusikan dengantemanmu.Tunjukkan berlakunyasifat (p : q)m = pm : qm

dengan p, q bilanganbulat dan m bilanganbulat positif.


Sederhanakan bentukpangkat berikut.a. 44 42 : 43

b. 84 42 : 29

Penyelesaian:a. 44 42 : 43 = (44 42) : 43

= 44 + 2 : 43

= 46 : 43

= 46 – 3

= 43

b. 84 42 : 29 = (84 42) : 29

= ((23)4 (22)2) : 2 9

= (212 24) : 29

= 212 + 4 : 29

= 216 : 29

= 216 – 9 = 2 7

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1. Tentukan hasilnya.

a. 92 f. 23 24

b. 113 g. (–5)2 (–5)3

c. –63 h. ((–3)2)3

d. (–13)2 i. (–22)2

e. (–4)3 j. –(3 (–5))2

2. Sederhanakan bentuk pangkat berikut.a. 45 43 f. y5 y8 : yb. –69 : 64 g. ((–3)5)4

c. 5 (–5)4 58 h. ((–2)5 (–23))2

d. 89 : 83 : 82 i. (46 : 43)4

e. x7 : x3 x6 j. (–z3)5 (–z2)4

3. Dengan menggunakan sifat perpang-katan suatu perkalian atau pembagianbilangan bulat, sederhanakan bentukpangkat berikut.a. (3 4)5 d. (4 2)3 : 34

b. (6 : 2)4 e. (–4 : 2)2 42

c. ((–2)2 3 3)2

4. Tentukan bentuk berikut ke dalam bilang-an berpangkat dengan bilangan pokok 2.a. 4 32 64b. (128 23 22) : (256 22 2)c. 256 : 23 : (–2)2

d. 16 64 : 32

31Bilangan Bulat

3. Kuadrat dan Akar Kuadrat serta Pangkat Tiga dan AkarPangkat Tigaa. Kuadrat dan akar kuadrat bilangan bulat

Kalian telah mengetahui bahwa a2 = a a di manaa2 d ibaca a kuadrat atau a pangkat dua .

Jika a = 2 maka a2 = 2 2 = 4. Hal ini dapat ditulis2 4 2.a

4 dibaca akar pangkat dua dari 4 atau akar kuadratdari 4 .Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut.

a2 = b sama artinya dengan .b a

Tentukan nilai berikut ini.1. 16

2. 169

3. 2( 25)

4. 1.225

Penyelesaian:

1. 216 4, karena 4 4 4 16

2. 2169 13, karena 13 = 13 13 = 169

3. 2( 25) = ( 25) ( 25) = 625

4. Untuk mengetahui nilai 1.225 , tentukan letak bilang-an 1.225 terlebih dahulu. Bilangan 1.225 terletak di

antara 302 = 900 dan 402 = 1.600. Jadi, 1.225 terletakdi antara nilai 30 dan 40. Bilangan bulat antara 30 dan40 yang kuadratnya bersatuan 5 adalah 35. Jadi,

1.225 = 35, karena 352 = 35 35 = 1.225.

(Berpikir kritis)Diskusikan dengantemanmu.Misalkan a2 = b.Buktikan bahwa

a = b atau a = b .

b. Pangkat tiga dan akar pangkat tigaDi bagian depan telah dijelaskan bahwa operasi perpangkatan

merupakan perkalian berulang dengan unsur yang sama. Hal inijuga berlaku pada bilangan berpangkat tiga.

a3 = a a a

Bentuk a3 disebut pangkat tiga dari a . Jika a = 2 maka

a3 = 23 = 2 2 2 = 8. Hal ini dapat ditulis pula bahwa 3 8 = 2dan dibaca akar pangkat tiga dari 8 = 2.

a3 = b sama artinya dengan 3 b = a

Tentukan nilai dari akarberikut.

1. 75 45

2. 3 35 9 3 81

3.2 3 729

4.5 4

32

6

2

a a b

b a b

5.3 3

2 4

3

2

x x y

y x y


Tentukan nilai berikut ini.

1. 3 64

2. 3 2163. (–9)3

4. 3 3.375

Penyelesaian:

1. 3 64 = 4, karena 43 = 4 4 4 = 64

2. 3 216 = –6, karena (–6) 3 = (–6) (–6) (–6)= –216

3. (–9)3 = (–9) (–9) (–9) = –729

4. Untuk mengetahui nilai dari 3 3.375 , tentukan letakbilangan 3.375 terlebih dahulu. Bilangan 3.375 terletakdi antara bilangan 103 = 1.000 dan 203 = 8.000. Bilang-an bulat antara 10 dan 20 yang nilai pangkat tiganyabersatuan 5 adalah 15. Karena 153 = 15 15 15 =

3.375 maka 3 3.375 = 15.


(Berpikir kritis)Berdasarkan contoh di atas, simpulkan mengenai pangkat tigasuatu bilangan bulat negatif. Bandingkan dengan kesimpulanberikut.Hasil pangkat tiga bilangan bulat negatif adalah bilangan bulatnegatif pula. Apakah kamu berkesimpulan sama? Diskusikandengan temanmu.

2. Tentukan nilai akar kuadrat berikut.

a. 2 2( 8 7) (11 3)

b. 2 2(5 ( 4)) ( 10 2)

c. 2 2(10 12) ( 9 ( 4))

d. 2 2( 3 4) ( 19 5)

1. Tentukan nilai akar berikut.

a. 36 g. 3 64

b. 64 h. 3 125

c. 81 i. 3 512

d. 529 j. 3 1.000

e. 1.156 k. 3 1.728

f. 7.921 l. 3 3.375

33Bilangan Bulat

3. Hitunglah nilai berikut ini.

a. 3 3 6 0x y z

b. 3 2 3 2 2( ) : ( )x y xy

c. 3 6 2 433 x y x y

d. 3 3 3 2 2 :2x x y x yy

F. OPERASI HITUNG CAMPURAN P ADABILANGAN BULAT

Dalam menyelesaikan operasi hitung bilangan bulat, terda-pat dua hal yang perlu kalian perhatikan, yaitu1. tanda operasi hitung;2. tanda kurung.

Apabila dalam suatu operasi hitung campuran bilangan bulatterdapat tanda kurung, pengerjaan yang berada dalam tanda kurungharus dikerjakan terlebih dahulu.

Apabila dalam suatu operasi hitung bilangan bulat tidakterdapat tanda kurung, pengerjaannya berdasarkan sifat-sifatoperasi hitung berikut.1. Operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–) sama k uat,

artinya operasi yang terletak di sebelah kiri dikerjakan terlebihdahulu.

2. Operasi perkalian ( ) dan pembagian (:) sama kuat, artinyaoperasi yang terletak di sebelah kiri dikerjakan terlebih dahulu.

3. Operasi perkalian ( ) dan pembagian (:) lebih kuat daripadaoperasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–), artinya operasiperkalian ( ) dan pembagian (:) dikerjakan terlebih dahuludaripada operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–).

Tentukan hasil dari operasi hitung berikutini.a. 24 + 56 42 – 384 : 12b. 28 (364 + 2.875) : (9.756 – 9.742)c. 80 : ((11 – 7) (–4))d. (–8 + 5) (36 : (6 – 9))

Penyelesaian:a. 24 + 56 42 – 384 : 12

= 24 + (56 42) – (384 : 12)= 24 + 2.352 – 32= 2.376 – 32= 2.344

b. 28 (364 + 2.875) : (9.756 – 9.742)= 28 3.239 : 14= 90.692 : 14 = 6.478


c. 80 : ((11 – 7) (–4))= 80 : (4 (–4))= 80 : (–16)= –5

d. (–8 + 5) (36 : (6 – 9))= –3 (36 : (–3))= –3 (–12)= 36


6. 168 : ((17 – 24) (–19 + 15))7. 24 (240 : ((–36 + 40) (–23 + 17))8. 360 : (15 + ((27 – 32) (–9 + 16)))9. 420 : (–7) + 70 – 30 (–8) + 15

10. 13 (140 : (–7)) + (–2) 19

Tentukan nilai dari operasi hitung berikut.1. 45 + 56 48 – 216 : 92. 15.762 : 37 – 512 + 96 723. 19 27 + 5.205 : 15 – 2694. (–9) – 6 (–72) : 16 – 205. (8.742 – 9.756) 36 : (4.356 – 4.360)

G. PENGGUNAAN OPERASI HITUNGBILANGAN B ULAT UNTUKMENYELESAIKAN MASALAH

1. Pada percobaan fisika,seorang siswa mela-kukan pengukuransuhu pada sebongkahes. Suhu es tersebutmula-mula –5 oC. Se-telah dipanaskan, esberubah menjadi airyang b ersuhu 3 oC.Berapa kenaikan suhues tersebut hinggamenjadi air?

Penyelesaian:Suhu es mula-mula adalah –5 oC. Setelah dipanaskan, esberubah menjadi air yang bersuhu 3 oC. Artinya, suhu esmengalami kenaikan, yaitu selisih suhu terakhir dengan suhumula-mula. Misalkan kenaikan suhu es tersebut = t, makakondisi ini dapat dituliskan sebagai t = 3 – (–5) = 8. Jadi,suhu es naik 8oC hingga berubah menjadi air.

35Bilangan Bulat

air.

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.Dari 100 soal, seorang peserta menjawab95 soal dan 78 di antaranya dijawab de-ngan benar. Tentukan nilai yang diper-oleh peserta tersebut.

3. Jumlah tiga bilangan bulat berurutan dike-tahui –12. T entukan bilangan-bilanganitu.

4. Dalam suatu permainan ditentukan nilaitertinggi adalah 100, dan dalam permain-an tersebut dimungkinkan seorang pe-main memperoleh nilai negatif. Untuk 6kali bermain seorang pemain memper-oleh nilai berturut-turut –75, 80, –40, 50,90, dan –35. Hitunglah jumlah nilaipemain tersebut.

1. Sebuah kantor berlantai 20 mempunyai3 lantai berada di bawah tanah. Seorangkaryawan mula-mula berada di lantai 2kantor itu. Karena ada suatu keperluan,ia turun 4 lantai, kemudian naik 6 lantai.Di lantai berapakah karyawan itu seka-rang berada?

2. Dalam suatu ujian, penilaian ditentukandengan ketentuan sebagai berikut.– Jawaban benar diberikan nilai 3.– Jawaban salah diberikan nilai –1.– Untuk soal yang tidak dijawab diberi-

kan nilai 0.

2. Dalam suatu tes, pe-nilaian didasarkan bah-wa jawaban benardiberikan nilai 2, ja-waban salah diberikannilai –1, dan untuk soalyang tidak dijawabdiberikan nilai 0. Dari30 soal, seorang siswamenjawab 25 soal dan19 diantaranya dija-wab dengan benar .Berapakah nilai yangdiperoleh siswa terse-but?

Penyelesaian:Dari 30 soal, 25 soal dijawab dengan 19 di antaranya benar.Artinya, siswa tersebut menjawab 25 soal, 19 soal dijawabbenar dan 6 soal dijawab salah. Dengan d emikian, ada 5soal yang tidak dijawab siswa.Jadi, nilai yang diperoleh siswa tersebut adalah= (jawaban benar 2) + (jawaban salah (–1)) + (tidak

dijawab 0)= (19 2) + (6 (–1)) + (5 0)= 38 + (–6) + 0= 38 – 6= 32

(Menumbuhkan kreativitas)Amatilah masalah/kejadian di lingkungan sekitarmu. Tuliskanmasalah yang berkaitan dengan penggunaan operasi hitungbilangan bulat, kemudian selesaikanlah. Hasilnya, tuliskandalam bentuk laporan dan kumpulkan kepada gurumu.


1. Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat negatif, nol, danbilangan bulat positif.

2. Sifat-sifat penjumlahan pada bilangan bulat. a. Sifat tertutup

Untuk setiap bilangan bulat a dan b, berlakua + b = c dengan c juga bilangan bulat.

b. Sifat komutatifUntuk setiap bilangan bulat a dan b, selalu berlakua + b = b + a.

c. Sifat asosiatifUntuk setiap bilangan bulat a, b, dan c selalu berlaku(a + b) + c = a + (b + c).

d. Mempunyai unsur identitasUntuk sebarang bilangan bulat a, selalu berlakua + 0 = 0 + a. Bilangan nol (0) merupakan unsur identitaspada penjumlahan.

e. Mempunyai inversUntuk setiap bilangan bulat a, selalu berlakua + (–a) = (–a) + a = 0. Invers dari a adalah –a, sedangkaninvers dari –a adalah a.

3. Jika a dan b bilangan bulat maka berlaku a – b = a + (–b).4. Operasi pengurangan pada bilangan bulat berlaku sifat tertutup.5. Jika n adalah sebarang bilangan bulat positif maka

sebanyak suku

...n

n a a a a

6. Jika p dan q bilangan bulat maka a. p q = pq; b. (–p) q = –(p q) = – pq; c. p (–q) = –( p q) = – pq; d. (–p) (–q) = p q = pq.

7. Untuk setiap p, q, dan r bilangan bulat berlaku sifat a. tertutup terhadap operasi perkalian; b. komutatif: p q = q p; c. asosiatif: (p q) r = p (q r); d. distributif perkalian terhadap penjumlahan:

p (q + r) = (p q) + (p r); e. distributif perkalian terhadap pengurangan:

p (q – r) = (p q) – (p r).

37Bilangan Bulat

8. Unsur identitas pada perkalian adalah 1, sehingga untuk setiapbilangan bulat p berlaku p 1 = 1 p = p.

9. Pembagian merupakan operasi kebalikan dari perkalian.10. Pada operasi pembagian bilangan bulat tidak bersifat tertutup.

11. a2 = b sama artinya dengan .b a

12. a3 = b sama artinya dengan 3 .b a13. Apabila dalam suatu operasi hitung campuran bilangan bulat

tidak terdapat tanda kurung, pengerjaannya berdasarkan sifat-sifat operasi hitung berikut.

a. Operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–) sama kuat,artinya operasi yang terletak di sebelah kiri dikerjakanterlebih dahulu.

b. Operasi perkalian ( ) dan pembagian (:) sama kuat ,artinya operasi yang terletak di sebelah kiri dikerjakanterlebih dahulu.

c. Operasi perkalian ( ) dan pembagian (:) lebih kuatdaripada operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–),artinya operasi perkalian ( ) dan pembagian (:) dikerjakanterlebih dahulu daripada operasi penjumlahan (+) danpengurangan (–).

Setelah mempelajari mengenai Bilangan Bulat, coba rangkummateri yang telah kamu pahami. Jika ada materi yang belum kamupahami, catat dan tanyakan pada temanmu yang lebih tahu ataukepada gurumu. Catat pula manfaat yang kamu peroleh dari materiini. Berikan contoh penggunaan bilangan bulat dalam kehidupansehari-hari beserta penyelesaiannya. Hasilnya kemukakan secarasingkat di depan kelas.

Kerjakan di buku tugasmu.A. Pilihlah salah satu jawaban yang tepat.

1. Suhu sebongkah es mula-mula 5 oC.Dua jam kemudian suhunya turun 7oC.Suhu es itu sekarang adalah ....a. –12oC c. 2oCb. –2oC d. –12oC

2. Jika x lebih besar dari 1 dan kurangdari 4 maka penulisan yang tepatadalah ....a. x > 1 > 4 c. 1 > x > 4b. x < 1 < 4 d. 1 < x < 4


B. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan singkat dan tepat.

a. 22 3 72

b. 2 32 72

c. 2 32 73

d. 24 3 72

7. Nilai dari 3 6 3 02 3 7 adalah ....a. 6 c. 15b. 12 d. 20

8. KPK dan FPB dari 72 dan 120 bertu-rut-turut adalah ....a. 40 dan 24 c. 360 dan 40b. 360 dan 24 d. 240 dan 360

9. Nilai dari 35 + 14 8 – 34 : 17 adalah....a. 145 c. 246b. 245 d. 345

10. Nilai dari –3 (15 + (–52)) = ...a. 97 c. 111b. –111 d. –201

3. Pernyataan berikut yang benar adalah....a. 17 – (–13) – 4 = 0b. –25 – (–8) – 17 = –34c. –18 + (–2) + 13 = 7d. 12 + (–7) – 6 = 1

4. Jika p = –1, q = –4, dan r = 2, nilai

daripqr adalah ....

a. –1 c. 1b. –2 d. 2

5. Nilai dari (6 : 3)2 23 adalah ....a. 22 c. 32b. 23 d. 33

6. Bentuk sederhana dari(3 4)3 (2 5 7)2 : (2 5 6)2

adalah ....

1. Suhu suatu kamar diketahui 15oC. Ke-mudian turun toC, sehingga suhunyasekarang menjadi 13oC. Hitunglah nilait.

2. Gunakan garis bilangan untuk menghi-tung nilai daria. 4 + (–6)b. –2 + (–3)c. 9 + (–5) + (–4)d. –6 – 3e. (–4) + 2 + (–1)

3. Nyatakan operasi pengurangan berikutke dalam operasi penjumlahan, kemu-dian tentukan nilainya.a. 2 – 13b. 9 – 3c. 4 – (–7)d. 6 – (–2)

e. –10 – 5 – 3f. 35 – (–9)g. –18 – 41 – (–24)h. 36 – 45 – (–16)

4. Tentukan nilai operasi hitung berikut.a. 5 [(–3) + (–12)]b. [(–20) + 11 – 5] (–2)c. (–35) : 7 (–3)d. 12 (–2) : 4 + (–5)

5. Hitunglah nilainya.a. 53 52 : 54

b. (22 32)2 : 23

c. 3 16 2 36

d. 3 3 6 22 : ( )x x y xyy

Tujuan pembelajaranmu pada bab ini adalah:dapat memberikan contoh berbagai bentuk dan jenis bilangan pecahan: biasa,campuran, desimal, persen, dan permil;dapat mengubah bentuk pecahan ke bentuk pecahan yang lain;dapat menyelesaikan operasi hitung tambah, kurang, kali, dan bagi bilanganpecahan;dapat menggunakan sifat-sifat operasi hitung tambah, kurang, kali atau bagidengan melibatkan pecahan serta mengaitkannya dalam kejadian sehari-hari.

2 PECAHAN

Sebuah gelas jika terkena getarandapat pecah berkeping-keping. Bagianpecahannya lebih kecil daripada ketikagelas masih utuh. Menurut kalian, sama-kah jumlah seluruh pecahan gelas de-ngan satu gelas utuh?

Kata-Kata Kunci:

jenis pecahan pengurangan pecahanbentuk pecahan perkalian pecahanpenjumlahan pecahan pembagian pecahan

Sumber: Jendela Iptek, 2001


Di tingkat sekolah dasar kalian telah mempelajari mengenaibilangan pecahan. Pada bagian ini, kita akan mengulangi danmemperdalam kembali materi tersebut. Pada bab sebelumnya kalianjuga telah mempelajari mengenai bilangan bulat, sifat-sifat operasihitung pada bilangan bulat serta KPK dan FPB dari dua bilanganatau lebih. Pelajari kembali materi tersebut agar kalian dapatmemahami materi pada bab ini dengan baik. Pahamilah konsepmateri ini dengan baik, karena akan sangat bermanfaat untukmempelajari konsep aljabar dalam bentuk pecahan. Hal ini akankalian temui pada bab selanjutnya.

A. BILANGAN PECAHAN

1. Pengertian Bilangan PecahanIbu mempunyai 20 buah jeruk yang akan dibagikan pada 3

orang anak. Adi memperoleh 4 buah jeruk, Fitri memperoleh 5buah jeruk, dan Ketut memperoleh 10 buah jeruk. Adapun sisanya

disimpan oleh Ibu. Dalam hal ini, Adi memperoleh 420

bagian jeruk,

Fitri memperoleh 520

bagian jeruk, dan Ketut memperoleh 1020

bagian jeruk. Apakah menurutmu sisa yang disimpan oleh Ibu 120

bagian jeruk?

Bilangan-bilangan 4 5 10 1, , , dan 20 20 20 20

yang merupakan

banyak buah jeruk dibandingkan jumlah keseluruhan buah jerukdisebut bilangan pecahan. Bilangan-bilangan pecahan sering disebutsebagai pecahan saja. Pada pecahan-pecahan tersebut, angka-angka 4, 5, 10, dan 1 disebut pembilang, sedangkan angka 20disebut penyebut.

Dari uraian di atas, dapat dikatakan bahwa pecahan meru-pakan bagian dari keseluruhan .Sekarang perhatikan Gambar 2.2 di samping.

Luas daerah arsiran pada Gambar 2.2 (a) menunjukkan

pecahan13

. Luas daerah arsiran pada Gambar 2.2 (b) menunjukkan

pecahan36

. Adapun luas daerah arsiran pada Gambar 2.2 (c) dan

(d) berturut-turut menunjukkan pecahan 3

12 dan

5 .24

(Berpikir kritis)1. Letakkan pecahan

, ,1 1

2 4dan

3

4 pada

garis bilangan.2. Tentukan dua pe-

cahan yang senilai

dengan .1

43. Nyatakan bilangan

32 dan 56 denganfaktorisasi prima,kemudian tentukanKPK dan FPB-nya.

Gambar 2.1

(a)

(b)

(c)

(d)Gambar 2.2

41Pecahan

Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan sebagai berikut.

Bilangan pecahan adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai

,pq

dengan p, q bilangan bulat dan q 0. Bilangan p disebut

pembilang dan bilangan q disebut penyebut.

2. Pecahan SenilaiPerhatikan Gambar 2.3 di samping.Luas daerah yang diarsir pada Gambar 2.3 (a) menunjukkan

14

dari luas lingkaran. Luas daerah yang diarsir pada Gambar 2.3

(b) menunjukkan 28

dari luas lingkaran. Luas daerah yang diarsir

pada Gambar 2.3 (c) menunjukkan 312

dari luas lingkaran.

Dari k etiga g ambar t ersebut, t ampak b ahwa d aerah y ang

diarsir memiliki luas yang sama. Hal ini berarti 1 2 3 .4 8 12

Selanjutnya, pecahan-pecahan 1 2 3, , dan 4 8 12

dikatakan sebagai

pecahan-pecahan senilai .

Pecahan senilai adalah pecahan-pecahan yang bernilai sama.

Untuk memperoleh pecahan yang senilai, pelajari uraianberikut.

1 1 2 23 3 2 61 1 3 33 3 3 9

2 2 : 2 16 6 : 2 33 3:3 19 9 :3 3

1 1 4 43 3 4 121 1 5 53 3 5 15

4 4 : 4 112 12 : 4 35 5:5 1

15 15:5 3

Pecahan-pecahan 1 2 3 4 5, , , , dan 3 6 9 12 15

d i a tas m empu-

nyai nilai yang sama, sehingga dapat ditulis 1 2 3 4 5 .3 6 9 12 15

(a)

(b)

(c)

Gambar 2.3

(Menumbuhkan krea-tivitas)Dengan mengalikanpembilang dan penye-but dengan bilanganyang sama, tentukanlima pecahan yang

senilai dengan .2

5


Dari u raian d i a tas, t ampak b ahwa u ntuk m emperolehpecahan-pecahan yang senilai dapat dilakukan denganmengalikan atau membagi pembilang dan penyebutnya denganbilangan yang sama .Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut.

Jika diketahui pecahan pq

dengan p, q 0 maka berlaku

ataup p a p p : bq q a q q : b

, di mana a, b konstanta positif bukan

nol.

Tentukan dua pecahanyang senilai dengan pecah-an berikut.

a. 23

b. 2842

Penyelesaian:

a. 2 2 2 43 3 2 62 2 5 103 3 5 15

Jadi, dua pecahan yang senilai dengan 23

adalah

4 10 dan .6 15

b. 28 28 : 2 1442 42 : 2 2128 28 :14 242 42 :14 3

Jadi, dua pecahan yang senilai dengan 2842

adalah

14 2 dan .21 3

3. Menyederhanakan PecahanKalian telah mengetahui cara menentukan pecahan senilai,

yaitu dengan mengalikan atau membagi pembilang dan penyebutnyadengan bilangan yang sama, kecuali nol (0).

43Pecahan

Sekarang, perhatikan cara menemukan pecahan-pecahansenilai berikut.

24 24 : 2 1236 36 : 2 1824 24 :3 836 36 :3 12

24 24 : 6 436 36 : 6 624 24 :12 236 36 :12 3

Pecahan23

pada pengerjaan di atas tidak dapat dibagi lagi

dengan bilangan lain selain nol. Dalam hal ini, pecahan 23

merupakan bentuk paling sederhana dari24 .36

Untuk memperoleh bentuk paling sederhana, pecahan 2436

harus dibagi dengan bilangan 12. Coba cek apakah 12 adalah FPBdari bilangan 24 dan 36?

Suatu pecahan , 0p qq

dapat disederhanakan dengan cara

membagi pembilang dan penyebut pecahan tersebut dengan FPB-nya. Hal ini dapat ditulis sebagai berikut.

Dalam menyederhanakan sebarang pecahan , 0,p qq

berlaku

: , :

p p aq q a

di mana a Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)

dari p dan q.

(Berpikir kritis)Temukan bentukpaling sederhana dari

pecahan .36

48

Nyatakan pecahan 1845

dalam bentuk pecahan pa-ling sederhana.

Penyelesaian:FPB dari 18 dan 45 adalah 9.18 18:9 245 45:9 5

Jadi, bentuk pecahan pal ing sederhana d ari 1845

adalah

25

.


4. Menyatakan Hubungan Antara Dua PecahanPerhatikan Gambar 2.4 di samping.

Luas daerah arsiran pada Gambar 2.4 (a) menunjukkan 13

dari luas keseluruhan. Adapun luas daerah arsiran pada Gambar

2.4 (b) menunjukkan 23

dari luas keseluruhan. Tampak bahwa

luas arsiran pada Gambar 2.4 (b) lebih besar dari luas arsiran pada

Gambar 2.4 (a) atau dapat ditulis 2 1 1 2atau .3 3 3 3

Dari uraian di atas dapat dikatakan bahwa untuk menyatakanhubungan dua pecahan, bandingkan pembilangnya, jika penyebutkedua pecahan sama. Adapun jika penyebut kedua pecahanberbeda, untuk membandingkan pecahan tersebut, samakan terlebihdahulu penyebut kedua pecahan (dengan menentukan KPK daripenyebut kedua pecahan), kemudian bandingkan pembilangnya.

Gambar 2.4

(a)

(b)


b.37

e.78

c.29

f.9

163. Sebutkan dua pecahan yang senilai

dengan pecahan berikut.

a.34 c.

49

b.25

d.58

4. Nyatakan pecahan-pecahan berikut da-lam bentuk yang paling sederhana.

a. 530

c. 2849

b.4872

d.75

145

1. Nyatakan bentuk pecahan yang ditun-jukkan oleh daerah yang diarsir padagambar berikut.

a. c.

b. d.

2. Nyatakan pecahan berikut dalam bentukgambar.

a.56

d.7

12

45Pecahan

Berilah tanda > atau < un-tuk setiap pernyataan beri-kut sehingga menjadi per-nyataan yang benar.

a. 3 2...4 3

b. 5 7...9 12

Penyelesaian:

a. 3 94 12 (KPK dari 4 dan 3 adalah 12)2 83 12

9 8 3 2 2 3Karena maka atau .12 12 4 3 3 4

b. 5 209 36 (KPK dari 9 dan 12 adalah 36)7 21

12 3620 21 5 7 7 5Karena maka atau .36 36 9 12 12 9

Coba cek penyelesaian p ada contoh di atas denganmenggunakan gambar. Apakah hasilnya sama?

5. Menentukan Letak Pecahan pada Garis BilanganPada bab sebelumnya kalian telah mempelajari letak bilangan

bulat pada garis bilangan. Coba kalian ingat kembali garis bilanganpada bilangan bulat.

0 1 2–3 –2 –1 3

Gambar 2.5

Pada garis bilangan, bilangan pecahan terletak di antara duabilangan bulat. Sebagai contoh, jika pada garis bilangan di atas,jarak antara dua bilangan bulat yang berdekatan kalian bagi duamaka garis bilangannya menjadi

0 1 2–3 –2 –1 352– 3

2– 12– 1

232

52

Gambar 2.6

Adapun untuk letak pecahan yang lain, dapat kalian tentukandengan membagi jarak antara dua bilangan bulat menurut besarnyapenyebut.

Pada garis bilangan, pecahan yang lebih besar berada disebelah kanan, sedangkan pecahan yang lebih kecil berada disebelah kiri.

(Berpikir kritis)Diskusikan denganteman sebangkumu.Manakah yang lebihbesar, pecahan

3 1 atau ?

4 4Mengapa? Jelaskanjawabanmu denganmenggunakan garisbilangan.


2. Buatlah garis bilanganpecahan. Kemudian,bandingkan pecahanberikut dengan mem-beri tanda < atau >.

a.1 2 dan 5 5

b.1 1 dan 4 4

Penyelesaian:a.

015–2

5–35–4

5– 15

25–1 4

535 1

Gambar 2.8

Karena15

terletak di sebelah kanan 25

, maka 1 2 .5 5

b.01

4–24– 1

424

Gambar 2.9

Karena14

terletak di sebelah kiri 14

, maka 1 1 .4 4

Perhatikan Gambar 2.6.Pada garis bilangan di atas, tampak terdapat pecahan negatif.

Pecahan negatif adalah pecahan yang nilainya lebih kecil daripadanol. Pecahan negatif menggunakan tanda negatif, misalnya

1 1 1 3, , , dan .2 3 4 5

Coba, letakkan pecahan 1 1 1, , ,2 3 4

dan 35

pada garis bilangan.

1. Susunlah pecahan

2 11, , dan 3 2

dalam

urutan naik, kemudiantentukan letaknya pa-da garis bilangan.

Penyelesaian:Penyebut kedua pecahan belum sama, sehingga kita sama-kan dulu penyebutnya.

616

2 4 KPK dari 1, 2, dan 3 adalah 6.3 61 32 6

Jadi, urutan naik pecahan 2 1 1 21, , dan adalah 1, , .3 2 2 3

Letak pada garis bilangan sebagai berikut.

0–1 1

–66

23

12

46

36

Gambar 2.7

47Pecahan

6. Menentukan Pecahan yang Nilainya di Antara DuaPecahan

Misalkan, kita mempunyai pecahan 1 2 dan .6 6

Menurutmu,

apakah ada bilangan pecahan yang terletak di antara pecahan

1 2 dan ?6 6

Untuk menjawabnya, perhatikan bahwa 1 2=6 12

2 4dan .6 12

Kita peroleh bahwa 2 3 4 .12 12 12

Jadi, pecahan

yang terletak di antara 1 2 3 dan adalah .6 6 12

Coba cek hal ini dengan menggambarnya pada garis bilangan.

Di antara dua pecahan yang berbeda selalu dapat ditemukanpecahan yang nilainya di antara dua pecahan tersebut.

Untuk menentukan pecahan yang nilainya di antara duapecahan, langkah-langkahnya sebagai berikut.a. Samakan penyebut dari kedua pecahan. Kemudian, tentukan

nilai pecahan yang terletak di antara kedua pecahan tersebut.b. Ubahlah lagi penyebutnya, jika belum diperoleh pecahan yang

dimaksud. Begitu seterusnya.

Tentukan sebuah pecahan

yang terletak di antara 35

dan2 .3

Penyelesaian:3 3 3 95 5 3 152 2 5 103 3 5 15

Karena belum diperoleh pecahan yang dimaksud maka ma-sing-masing penyebutnya diperbesar lagi sehingga diperoleh9 9 2 18

15 15 2 3010 10 2 20 .15 15 2 30

Di antara pecahan 1830

dan 2030

terdapat pecahan 1930

.

Jadi, pecahan yang terletak di antara 35

dan 23

adalah 1930

.

(Menumbuhkan krea-tivitas)Tentukan 4 buahpecahan yang terletak

di antara 2

3 dan .

3

7Kemudian, ujilahjawabanmu denganmeletakkan pecahan2

3 dan

3

7 pada garis

bilangan.



b.1 2 2, ,4 5 11

d.7 5 2, ,8 9 3

5. Sisipkan tepat tiga pecahan di antarapecahan berikut.

a. 1 3dan3 8

c. 2 3 dan 5 5

b. 5 3dan9 5

d. 1 2 dan 6 9

6. Bandingkan pecahan-pecahan berikutdengan memberi tanda < atau >.

a. 2 1...3 2

c. 2 5...5 7

b.1 3...4 5

d.9 4...

11 57. Tentukan sebuah pecahan yang terletak

di antara kedua pecahan berikut.

a.1 2 dan 3 3

c.4 5 dan 7 7

b.1 1 dan 2 4 d.

5 6 dan 8 8

1. Berilah tanda <, >, atau = sehinggapernyataan berikut menjadi benar.

a. 4 5 ... 7 8

c. 7 3 ... 12 8

b. 5 7 ... 6 9

d. 4 3 ... 9 5

2. Susunlah pecahan berikut dalam urutanturun, kemudian tentukan letaknya pa-da garis bilangan.

a. 3 5 3, ,5 8 4

c. 1 5 4, ,3 6 9

b.3 2 3 5, , ,4 3 5 8

d.4 7 13 5, , ,5 10 15 6

3. Urutkan p ecahan-pecahan b erikut d ariyang terkecil.

a.5 1 3, ,7 5 4

c.3 5 1, ,8 6 4

b.2 2 4, ,6 3 5 d.

3 3 5, ,11 12 13

4. Urutkan p ecahan-pecahan b erikut d ariyang terbesar.

a.2 5 1, ,7 8 3 c.

1 4 1, ,2 5 6

B. PERBANDINGAN DAN BENTUK-BENTUKPECAHAN

1. Pecahan sebagai Perbandingan Bagian dari KeseluruhanTelah kalian ketahui bahwa pecahan merupakan bagian dari

keseluruhan. Apabila terdapat dua besaran yang dibandingkan,pecahan dikatakan sebagai perbandingan bagian dari keseluruhan.Perhatikan contoh berikut.

49Pecahan

Seorang anak memiliki 12kelereng, yang terdiri atas3 kelereng warna merah,4 kelereng warna hijau, dan5 kelereng warna biru.a. Tentukan perbanding-

an kelereng warnamerah terhadap hijau.

b. Tentukan perbanding-an kelereng warnamerah terhadap biru.

c. Tentukan perbanding-an kelereng warnahijau terhadap biru.

Penyelesaian:a. Perbandingan kelereng warna merah terhadap hijau

adalah 3 4:12 12

atau 1 1: .4 3

b. Perbandingan kelereng warna merah terhadap biru

adalah 3 5: .12 12

c. Perbandingan kelereng warna hijau terhadap biru

adalah 4 5: .12 12

2. Menyatakan Bilangan Bulat dalam Bentuk PecahanPerhatikan garis bilangan berikut.

123

113

103

93

83

73

63

53

43

33

23

13

03

72

62

52

42

32

22

12

02

82

0 1 2 3 4

Gambar 2.10

Dari Gambar 2.10 tersebut diperoleh0 0 6 90 32 3 2 32 3 8 121 42 3 2 34 622 3

Berdasarkan uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.

Setiap bilangan bulat p, q dapat dinyatakan dalam bentuk

pecahan ,pq

di mana p merupakan kelipatan dari q, q 0.


1. Nyatakan pecahan be-rikut ke dalam pecahancampuran.

a. 354

b. 756

Penyelesaian:a. Cara 1

354

8354323

Hasilnya, 35 : 4 = 8 sisa 3

35 384 4

Cara 235 32 34 4 4

384

384

1. Nyatakan perbandingan berikut ke ben-tuk paling sederhana.a. 24 : 66 c. 5 km : 6.000 mb. 32 : 80 d. 1,5 kg : 25 kw

2. Uang saku Dono sebesar Rp5.000,00.

Sebanyak 35

bagian dari uang tersebut

dibelikan alat tulis. Berapa sisa uang sakuDono sekarang?

3. Tulislah bilangan bulat dari pecahan-pecahan berikut.

a.968

c.2244

b.156

3d.

30634


3. Mengubah Pecahan Biasa Menjadi Pecahan Campurandan Sebaliknya

Ibu memiliki 3 buah apel yang akan dibagikan kepada 2orang anaknya dengan sama besar. Bagian apel yang akan diperolehtiap anak adalah satu apel dan setengah apel. Hal ini dapat

dinyatakan sebagai 3 : 2 atau 112

. Bentuk pecahan 112

merupakan

bentuk pecahan campuran. Pecahan campuran 112

terdiri atas

bilangan bulat 1 dan bilangan pecahan 1 .2

Gambar 2.11

51Pecahan

b. Cara 1

756

127566015123

Hasilnya, 75 : 6 = 12 sisa 3

75 3 112 126 6 2

Cara 275 72 36 6 6

1122

1122

2. Ubahlah pecahancampuran berikut kebentuk pecahan biasa.

a. 529

b. 7312

Penyelesaian:

a. Cara 1 Cara 25 52 29 9

18 59 9239

5 2 9 529 9

18 59

239

b. Cara 1 Cara 27 73 3

12 1236 712 124312

7 3 12 7312 12

36 712

4312

Dari contoh di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.

Bentuk pecahan campuran qpr

dengan r 0 dapat dinyatakan

dalam bentuk pecahan biasa p r qr

.

Catatan: q q p r q p r qp pr r r r r

4. Mengubah Bentuk Pecahan ke Bentuk Desimal danSebaliknya

Coba kalian ingat kembali mengenai nilai tempat padabilangan pecahan desimal. Perhatikan nilai tempat pada bilangan235,674 berikut.


1. Ubahlah pecahan beri-kut ke dalam bentukpecahan desimal.

a. 34

b. 425

Penyelesaian:a. Cara 1

3 3 254 4 25

751000,75

Jadi, 3 0,75.4

Cara 20, 7 53, 0 0403 02 8

2 02 00

perseribuan, nilainya atau 0,00441.000

perseratusan, nilainya atau 0,077100

persepuluhan, nilainya atau 0,6610

satuan, nilainya 5

puluhan, nilainya 30

ratusan, nilainya 200

2 3 5, 6 7 4

Jika ditulis dalam bentuk panjang, diperoleh235,674 200 30 5 0,6 0,07 0,004

6 7 4200 30 510 100 1.000600 70 4200 30 5

1.000 1.000 1.000674235

1.000674235 .

1.000Apabila suatu pecahan biasa atau campuran akan diubah atau

dinyatakan ke dalam bentuk pecahan desimal, maka dapat dilakukandengan cara mengubah penyebutnya menjadi 10, 100, 1.000, 10.000,dan seterusnya. Dapat pula dengan cara membagi pembilang denganpenyebutnya.

Sebaliknya, untuk mengubah pecahan desimal menjadipecahan biasa/campuran dapat kalian lakukan dengan menguraikanbentuk panjangnya terlebih dahulu.

(Menumbuhkan krea-tivitas)Carilah artikel menge-nai penggunaan bi-langan desimal dalamkehidupan sehari-hari.Bacalah koran, tabloid,buku-buku iptek, ataucarilah di internet.Sajikan dalam sebuahlaporan dan kumpul-kan pada gurumu.

53Pecahan

b. Cara 14 2 5 425 5

145

14 25 228 2,810

Cara 2

4 2 5 425 5

145

2,8

2,81 451 0

40

2. Nyatakan bilangan-bilangan berikut men-jadi pecahan biasa/campuran yang palingsederhana.a. 5,82b. 0,16

Penyelesaian:

a. 8 25,82 510 10080 25

100 100825

10082 415 5

100 50b. Cara 1 Cara 2

1 60,16 010 100

10 6100 10016 4100 25

160,1610016 : 4

100 : 44

25

Perhatikan bentuk desimal 2,333...Bentuk desimal seperti 2,333... disebut bentuk desimal

berulang.Untuk mengubah bentuk desimal berulang seperti di atas ke

bentuk pecahan biasa dapat dilakukan dengan cara berikut.


Misalkan x = 2,333... maka 10x = 23,333...

219

10 = 23,333...xx = 2,333...

9 = 21xx =

x = 73

Jadi, 2,333... = 7 .3

5. Mengubah Bentuk Pecahan ke Bentuk Persen danSebaliknya

Dapatkah kalian mengubah bentuk 25 dan

34 ke bentuk

perseratus?

2 2 20 405 5 20 1003 3 25 754 4 25 100

Bentuk pecahan perseratus seperti di atas disebut bentuk per-

sen atau ditulis “%”, sehingga 2 40 40%5 100

dan 3 75 75%.4 100

Dalam mengubah bentuk pecahan ke bentuk persen dapatdilakukan dengan cara mengubah pecahan semula menjadi pecahansenilai dengan penyebut 100. Jika hal itu sulit dikerjakan makadapat dilakukan dengan cara mengalikan pecahan tersebut dengan100%. Adapun untuk mengubah bentuk persen ke bentuk pecahanbiasa/campuran, ubahlah menjadi perseratus, kemudian sederha-nakanlah.

1. Nyatakan pecahan-pecahan berikut dalambentuk persen.

a. 78

b. 125

Penyelesaian:

a. 7 7 12,58 8 12,5

87,5 87,5%100

b. 12 12 205 5 20

240 240%100

(Menumbuhkan krea-tivitas)Bacalah koran, tabloid,internet, atau sumberlainnya. Temukanpenggunaan persendalam kehidupansehari-hari. Ceritakantemuanmu di depankelas.

(Menumbuhkan ino-vasi)Diskusikan dengantemanmu.Tuliskan 5 contoh ben-tuk pecahan desimalberulang. Lalu, ubah-lah ke bentuk pecahanbiasa. Jika perlu, gu-nakan kalkulator untukmembantu pekerjaan-mu.

55Pecahan

2. Nyatakan bentuk per-sen berikut menjadibentuk pecahan biasa/campuran.a. 32%b. 120%

Penyelesaian:

a. 3232%10032 : 4

100 : 4825

b. 120120%100120 : 20100 : 2065115

6. Mengubah Bentuk Pecahan ke Bentuk Permil danSebaliknya

Pecahan dalam bentuk perseribu disebut permil atau ditulis

“‰”. Bentuk pecahan 275

1.000 dikatakan 275 permil dan ditulis

275‰.Dalam mengubah bentuk pecahan ke bentuk permil dapat

dilakukan dengan mengubah pecahan semula menjadi pecahansenilai dengan penyebut 1.000. Jika hal ini sulit dikerjakan makadapat dilakukan dengan mengalikan pecahan semula dengan1.000‰.

1. Nyatakan pecahan-pecahan berikut dalambentuk permil.

a. 1720

b. 38

Penyelesaian:

a. 17 17 5020 20 50

8501.000850‰

b.3 3 1258 8 125

3751.000375‰

2. Nyatakan bentuk per-mil berikut menjadi pe-cahan biasa/campur -an.a. 22,5‰b. 90‰

Penyelesaian:

a. 22,522,5‰1.00022,5 2

1.000 245

2.0009

400

b. 9090‰1000

90 : 101.000 : 10

9100

(Menumbuhkan krea-tivitas)Temukan penggunaanpermil dalam kehidup-an sehari-hari. Carilahdi koran, internet, ataubuku referensi lainnyauntuk mendukungkegiatanmu. Hasilnya,kemukakan secarasingkat di depankelas.


Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.5. Tuliskan bentuk persen berikut ke dalam

bentuk pe cahan b iasa/campuran y angpaling sederhana.a. 25% c. 30%

b. 124 %4

d. 133 %3

6. Nyatakan bilangan-bilangan berikutdalam bentuk persen.

a. 825

c. 48125

b. 518

d. 0,36

7. Ubahlah pecahan-pecahan berikut kebentuk permil.

a. 0,08 c. 1225

b. 1,625 d. 1520

8. Bedu mempunyai uang sebesarRp250.000,00. Jumlah uang T ika danAdang 70% dari uang Bedu, sedangkan

uang Tika diketahui 23

dari uang Adang.

Berapakah besarnya masing-masinguang Tika dan Adang?

1. Nyatakan pecahan-pecahan berikut kebentuk pecahan campuran.

a. 83

c. 21340

b. 174

d. 24621

2. Tuliskan pecahan campuran berikut kebentuk pecahan biasa.

a.223

c.267

b.549 d.

185

3. Nyatakan bilangan-bilangan berikutdalam bentuk pecahan desimal denganpendekatan sampai satu tempat desimal.

a. 45

d. 11512

b.920

e. 122 %2

c. 134

f. 266 ‰3

4. Nyatakan pecahan-pecahan desimalberikut ke bentuk pecahan biasa.a. 0,35 c. 3,666...b. 4,2 d. 4,2323...

C. OPERASI HIT UNG PECAHAN

1. Penjumlahan dan Pengurangan Pecahana. Penjumlahan dan pengurangan pecahan dengan bilang-

an bulatDalam menentukan hasil penjumlahan atau pengurangan

pecahan dengan bilangan bulat, ubahlah bilangan bulat itu ke dalambentuk pecahan dengan penyebut sama dengan penyebut pecahanitu. Kemudian, jumlahkan atau kurangkan pembilangnya

57Pecahan

sebagaimana pada bilangan bulat. Jika pecahan tersebut berbentukpecahan campuran, jumlahkan atau kurangkan bilangan bulatdengan bagian bilangan bulat pada pecahan campuran.

Tentukan hasil penjumlah-an dan pengurangan beri-kut.

1.2 35

2.12 34

Penyelesaian:

1.2 2 1535 5 5

2 155

175235

2. Cara 1 Cara 21 12 3 (2 3)4 4

1( 1)4

4 14 434

1 92 3 34 4

9 124 4

34

b. Penjumlahan d an p engurangan p ecahan d engan p ecahanDalam menentukan hasil penjumlahan atau pengurangan dua

pecahan, samakan penyebut kedua pecahan tersebut, yaitu dengancara mencari KPK dari penyebut-penyebutnya. Kemudian, barudijumlahkan atau dikurangkan pembilangnya.

Tentukan hasilnya.

1.3 47 5

2.1 322 4

Penyelesaian:1. KPK dari 5 dan 7 adalah 35, sehingga diperoleh

3 4 15 287 5 35 35

4335

8135

Diketahui jumlah duabilangan pecahan

adalah .4

215

Tentukan

salah satu bilangantersebut.Petunjuk: Soal di atasmemiliki beberapaalternatif jawaban.


2. Cara 1 Cara 21 3 1 32 22 4 2 4

2 324 4

124

8 14 47 314 4

1 3 5 322 4 2 4

10 34 474314

c. Sifat-sifat pada penjumlahan dan pengurangan pecahanCoba kalian ingat kembali sifat-sifat yang berlaku pada

penjumlahan bilangan bulat.

Untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c maka berlaku1) sifat tertutup: a + b = c;2) sifat komutatif: a + b = b + a;3) sifat asosiatif: (a + b) + c = a + (b + c);4) bilangan (0) adalah unsur identitas pada penjumlahan:

a + 0 = 0 + a = a;5) invers dari a adalah –a dan invers dari – a adalah a,

sedemikian sehingga a + (–a) = (–a) + a = 0.

Sifat-sifat tersebut juga berlaku pada penjumlahan bilanganpecahan, artinya sifat-sifat tersebut berlaku jika a, b, dan c bilanganpecahan. Coba buktikan hal ini dengan mendiskusikan bersamatemanmu.


1. Tentukan hasil penjumlahan pecahanberikut dalam bentuk paling sederhana.

a.2 23

f.5 36 4

b.42 35

g.1 225 3

c.11 52

h.2 137 6

d.3 15 4

i.2 31 25 8

e.5 28 5 j.

3 23 57 4

(Berpikir kritis)Diskusikan dengantemanmu.Pada penguranganbilangan bulat, tidakberlaku sifat komutatifdan sifat asosiatif.Coba cek apakah halini juga berlaku padapengurangan bilanganpecahan. Berikancontoh dan buatlahkesimpulannya.Kemukakan hasilnyadi depan kelas.

59Pecahan

2. Tentukan hasil pengurangan pecahanberikut dalam bentuk paling sederhana.

a.5 26 f.

3 2110 3

b.1 ( 1)3

g.7 5

12 4

c.7 26 5

h.2 13 23 4

d.3 48 5 i.

2 35 35 12

e.3 127 2

j.2 14 2

11 2

2. Perkalian Pecahana. Perkalian pecahan dengan pecahan

Untuk mengetahui cara menentukan hasil perkalian padapecahan, perhatikan Gambar 2.12 di samping.

Pada Gambar 2.12 tampak bahwa luas daerah yang diarsir

menunjukkan pecahan 38

bagian dari luas keseluruhan.

Di lain pihak, daerah yang diarsir menunjukkan perkalian

1 3 3.2 4 8

Jadi, dapat dikatakan bahwa luas daerah yang diarsir

sama dengan perkalian pecahan 1 3 .2 4

Dari uraian tersebut dapat disimpulkan sebagai berikut.

Untuk mengalikan dua pecahan pq

dan rs

dilakukan dengan

mengalikan pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan

penyebut atau dapat ditulis p r p rq s q s

dengan q, s 0.

34

12

Gambar 2.12

Tentukan hasil perkalianpecahan be rikut d alambentuk paling sederhana.

1.2 53 8

2.1 32 12 10

Penyelesaian:

1.2 5 2 53 8 3 8

102410 : 2 524 : 2 12


2. 1 3 5 132 12 10 2 10

5 132 10652065 :520 :513 134 4

b. Sifat-sifat perkalian pada pecahanIngat kembali sifat-sifat yang berlaku pada perkalian bilangan

bulat berikut.

Untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c berlaku1) sifat tertutup: a b = c;2) sifat komutatif: a b = b a;3) sifat asosiatif: (a b) c = a (b c);4) sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan:

a (b + c) = (a b) + (a c);5) sifat distributif perkalian terhadap pengurangan:

a (b – c) = (a b) – (a c);6) a 1 = 1 a = a; bilangan 1 adalah unsur identitas pada

perkalian.

Sifat-sifat ini juga berlaku pada perkalian bilangan pecahan.

c. Invers pada perkalianPerhatikan perkalian bilangan berikut.2 5 15 2

3 8 18 3

Pada perkalian-perkalian bilangan di atas, 25

adalah invers

perkalian (kebalikan) dari 52

. Sebaliknya, 52

adalah invers perkalian

(kebalikan) dari 25

.

(Menumbuhkan ino-vasi)Diskusikan dengantemanmu.Coba cek bahwa sifat-sifat operasi hitungperkalian bilanganbulat di samping jugaberlaku padaperkalian bilanganpecahan, dengan

memisalkan a = ,1

3

b = ,3

4 dan c = .

1

4

61Pecahan

Dari uraian tersebut dapat dikatakan bahwa hasil kali suatubilangan dengan invers (kebalikan) bilangan itu sama dengan 1.Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut.

– Invers perkalian dari pecahan pq

adalah qp

atau invers

perkalian dari qp

adalah .pq

– Suatu bilangan jika dikalikan dengan invers perkaliannyamaka hasilnya sama dengan 1.


g.2 12 35 2

h.1 61 44 7

i.1 105 22 13

j.2 3 22 37 11 3

2. Tentukan invers perkalian bilangan-bi-langan berikut.

a. 3 d.126

b. –4 e.32

c.49 f.

2513

1. Tentukan hasil perkalian bilangan-bi-langan berikut dalam bentuk yang palingsederhana.

a.2 75 8

b.3 54 6

c.7 29 21

d.4 125 3

e.3 137 6

f.2 129 15

3. Pembagian PecahanKalian telah mempelajari bahwa operasi pembagian pada

bilangan bulat merupakan invers (kebalikan) dari perkalian. Hal inijuga berlaku pada pembagian bilangan pecahan.

Bedakan pengertianlawan dan invers sua-tu bilangan pecahan.– Lawan dari pecah-

anp

q adalah .

p

q– Invers dari pecah-

anp

q adalah .

q

p


Perhatikan uraian berikut.3

3 7 2: 72 12123 122 7361418 427 7

4 11: 455

514

5 114 4

Dengan mengamati uraian di atas, secara umum dapat dinya-takan sebagai berikut.

Untuk s ebarang p ecahan pq

dan rs

dengan q 0, r 0,

s 0 berlaku :p r p sq s q r

di mana sr

merupakan kebalikan

(invers) dari .rs

Tentukan hasil pembagianbilangan berikut ini.

1.3 1:58 2

2.1 73 :14 8

Penyelesaian:

1.3 1 3 11:5 :8 2 8 2

3

84

21

11344

2.1 7 13 153 :1 :4 8 4 8

13

41

82

1526 11115 15

4. Perpangkatan P ecahana. Bilangan pecahan berpangkat bilangan bulat positif

Pada p embahasan k ali i ni, k ita h anya a kan m embahasperpangkatan pada pecahan dengan pangkat bilangan bulat positif.Di kelas IX nanti kalian akan mempelajari perpangkatan padapecahan dengan pangkat bilangan bulat negatif dan nol.

Pada bab sebelumnya, kalian telah mempelajari bahwa padabilangan bulat berpangkat bilangan bulat positif berlaku

faktor

... ,n

n

a a a a a untuk setiap bilangan bulat a.

(Berpikir kritis)Diskusikan dengantemanmu.Buktikan bahwa padaoperasi pembagianpecahan tidak berlakusifat komutatif, asosia-tif, dan distributif.Buktikan pula padaoperasi pembagianpecahan berlaku sifattertutup.

63Pecahan

Dengan kata lain, perpangkatan merupakan perkalianberulang dengan bilangan yang sama. Definisi tersebut juga berlakupada bilangan pecahan berpangkat.

Perhatikan uraian berikut.1

2

2

3

3

faktor

1 12 21 1 12 2 2

1214

1 1 1 12 2 2 2

1218

1 1 1 1...2 2 2 2

n

n

Dari uraian di atas, secara umum dapat dituliskan sebagai berikut.

Untuk sebarang bilangan bulat p dan q dengan q 0 dan mbilangan bulat positif berlaku

faktor

...m

m

p p p pq q q q

Dalam hal ini, bilangan pecahan pq

disebut bilangan pokok.

Tentukan hasil operasi per-pangkatan pecahan beri-kut.

a.22

3 b.33

4

Penyelesaian:

a.22 2 2

3 3 3( 2) ( 2) 4

3 3 9

b.33 3 3 3

4 4 4 43 3 3 274 4 4 64


b. Sifat-sifat bilangan pecahan berpangkatCoba kalian ingat ke mbali sifat-sifat pada bilangan bulat

berpangkat bilangan bulat positif. Sifat-sifat tersebut juga berlakupada bilangan pecahan berpangkat sebagai berikut.

Untuk sebarang bilangan bulat p, q dengan q 0 dan m, nbilangan bulat positif berlaku sifat-sifat berikut.

:

m m

m

m n m n

m n m n

nm m n

p pq q

p p pq q q

p p pq q q

p pq q

Tentukan nilai perpang-katan berikut.

1.5 22 2:

3 3

2.323

5

Penyelesaian:

1.5 2 5 2

3

2 2 2:3 3 3

232 2 2 83 3 3 27

2.32 2 3

6

3 35 5

35729

15.625

(Berpikir kritis)Diskusikan dengantemanmu.Dengan mengamatipembuktian padasifat-sifat bilanganbulat berpangkat dihalaman 28–29,tunjukkan berlakunyasifat-sifatperpangkatan padabilangan pecahanberpangkat bilanganbulat positif disamping.

5. Operasi Hitung Campuran pada Bilangan PecahanCoba ingat kembali aturan-aturan yang berlaku pada operasi

hitung campuran bilangan bulat berikut.

65Pecahan

Apabila dalam suatu operasi hitung campuran bilangan bulattidak terdapat tanda kurung, pengerjaannya berdasarkan sifat-sifatoperasi hitung berikut.a. Operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–) sama k uat,

artinya operasi yang terletak di sebelah kiri dikerjakan terlebihdahulu.

b. Operasi perkalian ( ) dan pembagian (:) sama kuat, artinyaoperasi yang terletak di sebelah kiri dikerjakan terlebih dahulu.

c. Operasi perkalian ( ) dan pembagian (:) lebih kuat daripadaoperasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–), artinya operasiperkalian ( ) dan pembagian (:) dikerjakan terlebih dahuludaripada operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–).

Aturan tersebut juga berlaku pada operasi hitung campuranpada bilangan pecahan.

Sederhanakanlah bentuk-bentuk berikut.

1.5 2 14 1 39 3 6

2.1 3 22 5 12 5 7

Penyelesaian:

1. 5 2 1 5 2 14 1 3 (4 1 3)9 3 6 9 3 6

10 12 3618 18 1816

1816

18

2.1 3 2 5 28 92 5 12 5 7 2 5 7

5 196 452 35 355 2412 351.205

70151770317

14


6. Operasi Hitung pada Pecahan Desimala. Penjumlahan d an pengurangan pecahan desimal

Penjumlahan dan pengurangan pecahan desimal dilakukanpada masing-masing nilai tempat dengan cara bersusun. Urutkanangka-angka ratusan, puluhan, satuan, persepuluhan, perseratusan,dan seterusnya dalam satu kolom.


b.34

5e.

3258

c. 3 23 2

4 3f.

3 22 23 3

4. Tentukan nilai p dan q dari persamaan-persamaan berikut.a. 8p = 64b. 216 32 = 6p – 1 2q

c. 1.331 92 = 11p + 1 32q

d.4 2 3

23 2

2 3 12 2 34 9

p q

5. Diketahui a = 13

, b = 34

, dan c = 25

.

Tentukan nilai daria. b c; d. (b – c) a;

b. abc; e. 2 13 2

b c ;

c. ab – ac; f. 2ab : c.

1. Tentukan h asil p embagian b ilanganberikut.

a.23:5

d.3 5:8 6

b.35:4 e.

1 2:6 7

c.23:9

f.3 4:7 9

2. Tentukan h asil p embagian b ilanganberikut.

a.1 14 :2 3

d.3 23 : 27 3

b.2 12 :3 6

e.1 15 : 33 5

c.1 12 :4 2 f.

1 14 : 24 2

3. Tentukan hasil perpangkatan berikut.

a.27

8d.

5 23 3:5 5

Hitunglah hasil operasihitung berikut.1. 28,62 + 2,272. 54,36 – 36,68 + 8,21

Penyelesaian:1. 2 8 , 6 2

2 , 273 0 , 8 9

+

2. 5 4 , 3 63 6 , 6 81 7 , 6 8

8 , 212 5 , 8 9

–

+

67Pecahan

b. Perkalian pecahan desimalUntuk menentukan hasil perkalian bilangan desimal, per-

hatikan contoh berikut.

Hitunglah hasil perkalianberikut.1. 1,52 7,62. 0,752 4,32

Penyelesaian:1. Cara 1

152 76 152 76 11.5521,52 7,6 11,552100 10 1.000 1.000

Cara 21,5 2

7,691 2

106411,552

+

+

(2 angka di belakang koma)(1 angka di belakang koma)

(2 + 1 = 3 angka di belakang koma)

2. Cara 1752 4320,752 4,32

1.000 100752 432100.000

324.864 3,24864100.000

Cara 20,752

4,321504

22563 0083,24864

+

+

(3 angka di belakang koma)(2 angka di belakang koma)

(3 + 2 = 5 angka di belakang koma)

Dari contoh di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.

Hasil kali bilangan desimal dengan bilangan desimal diperolehdengan cara mengalikan bilangan tersebut seperti mengalikanbilangan bulat.Banyak desimal hasil kali bilangan-bilangan desimal diperolehdengan menjumlahkan banyak tempat desimal dari pengali-pengalinya.

Hasil perkalian bilang-an desimal dengan10, 100, 1.000, danseterusnya diperolehdengan cara mengge-ser tanda koma ke ka-nan sebanyak angkanol bilangan pengali.


Hasil pembagian bi-langan desimal de-ngan 10, 100, 1.000,dan seterusnya diper-oleh dengan caramenggeser tanda ko-ma ke kiri sebanyakangka nol dari bilang-an pembagi.

c. Pembagian pecahan desimalPerhatikan contoh berikut.

Hitunglah hasilnya.1. 0,96 : 1,62. 4,32 : 1,8

Penyelesaian:1. Cara 1

96 160,96 :1,6 :100 1096 10

100 16960

1.6000,6

Cara 20,960,96 :1,61,6

0,96 1001,6 10096

1606 0,6

102. Cara 1 Cara 2

432 184,32 :1,8 :100 10432 10100 184.320 2,41.800

4,324,32 :1,81,8

4,32 1001,8 100

432 2,4180

Dari contoh di atas, diskusikan dengan temanmu caramenentukan hasil bagi dua bilangan desimal.

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.4. Selesaikanlah operasi hitung berikut.

a.1 1 0,253 4

b.3 1 : 0,052 5

c.2 0,25 1,45

d. 10,9 : 0,058

1. Selesaikanlah operasi hitung berikut.a. 0,75 + 0,83 + 1,24b. 32,5 – 5,44 + 3,62c. 9,13 – 2,04 + 1,49d. 12,3 + 6,45 – 2,87

2. Tentukan hasilnya.a. 12,5 0,3 c. 5,36 1,44b. 6,4 2,52 d. 0,45 0,73

3. Hitunglah hasilnya.a. 0,48 : 3,2 c. 1,086 : 0,3b. 26,5 : 2,5 d. 7,44 : 2,4

69Pecahan

Untuk menghindari kesalahan dalam pembulatan, janganmembulatkan b ilangan d ari h asil p embulatan s ebelumnya.Perhatikan contoh berikut.3,63471 = 3,635 (benar, pembulatan sampai 3 tempat desimal)

= 3,64 (salah, seharusnya pembulatan dilakukan dari bi-langan semula)

3,63471 = 3,63 (pembulatan sampai 2 tempat desimal)

2. Menaksir H asil O perasi H itung P ecahanPada Bab 1, kalian telah mempelajari cara menaksir hasil

perkalian dan pembagian pada bilangan bulat. Hal tersebut jugaberlaku untuk menaksir h asil perkalian d an pembagian pa dabilangan desimal.Perhatikan contoh berikut.

D. PEMBULATAN DAN BENTUK BAKUPECAHAN

1. Pembulatan PecahanPerhatikan aturan pembulatan pecahan desimal berikut ini.a. Apabila angka yang akan dibulatkan lebih besar atau sama

dengan 5, maka dibulatkan ke atas (angka di depannyaatau di sebelah kirinya ditambah dengan 1).

b. Apabila angka yang akan dibulatkan kurang dari 5, makaangka t ersebut d ihilangkan d an a ngka d i d epannya ( disebelah kirinya) tetap.

Bulatkan pecahan desimalberikut sampai dua tempatdesimal.a. 0,7921b. 6,326c. 1,739

Penyelesaian:a. 0,7921 = 0,79 (angka 2 < 5 dihilangkan)b. 6,326 = 6,33 (angka 6 > 5, maka angka 2 dibulatkan

ke atas)c. 1,739 = 1,74 (angka 9 > 5, maka angka 3 dibulatkan

ke atas)

Untuk membulatkanbilangan sampai satutempat desimal, per-hatikan angka desimalyang ke-2. Adapununtuk membulatkanbilangan sampai duatempat desimal,perhatikan angkadesimal yang ke-3,begitu seterusnya.

Diketahui harga bensinpada bulan Maret 2008adalah Rp4.500,00/liter.Apabila seorang pe-ngendara motor mem-beli di sebuah pompabensin sebesarRp10.000,00, makapada skala penunjuksatuan (liter) akanmenunjukkan angkaberapa? Berapa hasil-nya jika angka tersebutdibulatkan sampaisatuan liter terdekat?Bandingkan hasilnyadengan temanmu.


Taksirlah hasil operasi padabilangan pecahan berikut.a. 3,23 2,61b. 15,20 3,14c. 83,76 : 12,33d. 311,95 : 26,41

Penyelesaian:a. 3,23 2,61 3 3 = 9b. 15,20 3,14 15 3 = 45c. 83,76 : 12,33 84 : 12 = 7d. 311,95 : 26,41 312 : 26 = 12

3. Bentuk Baku PecahanDalam bidang ilmu pengetahuan alam, sering kali kalian

menemukan bilangan-bilangan yang bernilai sangat besar maupunsangat kecil. Hal ini terkadang membuat kalian mengalami kesulitandalam membaca ataupun menulisnya.Misalnya sebagai berikut.a. Panjang jari-jari neutron kira-kira

0,000 000 000 000 00137 m.b. Jumlah molekul dalam 18 gram air adalah

602.000.000.000.000.000.000.000.Untuk mengatasi kesulitan tersebut, ada cara yang lebih singkatdan lebih mudah, yaitu dengan menggunakan notasi ilmiahyang sering disebut penulisan bentuk baku. Dalam penulisanbentuk baku, digunakan aturan-aturan seperti pada perpang-katan bilangan. Perhatikan perpangkatan pada bilangan pokok10 berikut ini.101 = 10102 = 10 10 = 100104 = 10 10 10 10 = 10.000106 = 10 10 10 10 10 10 = 1.000.000100 = 1

10–1 =1

110

= 110

22

1 11010010

33

1 1101.00010

dan seterusnya.

(Menumbuhkankreativitas)Diskusikan dengantemanmu.Seperti kalian ketahuimatematika selaluberhubungan denganilmu atau bidang lain.Misalnya dalam ilmufisika atau biologi yangmempelajarimengenai jarak antarabumi dan matahariatau ukuran darisebuah sel. Carilahdata-data yangberkaitan dengan ilmufisika atau biologi yangpenulisannyamenggunakan bentukbaku. Carilah di buku,media massa, atau diinternet untuk mendu-kung kegiatanmu.

71Pecahan

Jika dituliskan dalam bentuk baku maka diperoleha. panjang jari-jari neutron = 0,000 000 000 000 00137 m =

1,37 10–15 m;b. jumlah molekul dalam 18 gram air

= 602.000.000.000.000.000.000.000 = 6,02 1023.Secara umum, ada dua aturan penulisan bentuk baku suatu

bilangan, yaitu bilangan antara 0 sampai dengan 1 dan bilanganyang lebih dari 10 sebagai berikut.

Bentuk baku bilangan lebih dari 10 dinyatakan dengana 10n dengan 1 a < 10 dan n bilangan asli.Bentuk baku b ilangan antara 0 sampai dengan 1 d inyatakandengan a 10–n dengan 1 a < 10 dan n bilangan asli.

1. Nyatakan bilangan-bi-langan berikut dalambentuk baku.a. 635.000b. 258.637.000c. 0,0328d. 0,00125

Penyelesaian:a. 635.000 = 6,35 105

b. 258.637.000 = 2,58637 108

= 2,59 108

(pembulatan sampai 2 tempat desimal)

c.

22

3280,032810.0003,281003,28 3,28 1010

d.

3

3

1,250,0012510001,2510

1,25 10

2. Nyatakan bilangan-bilangan berikut dalambentuk desimal.a. 3,475 105

b. 5,61 103

Penyelesaian:a. 3,475 105 = 3,475 100.000

= 347.500b. 5,61 103 = 5,61 1.000

= 5.610



4. Taksirlah hasil operasi bilangan berikutini.a. 3,65 7,348b. 34,28 2533,2c. 89,631 : 14,875d. 6143,86 : 256,34

5. Nyatakan bilangan-bilangan berikutdalam bentuk baku dengan pembulatanseperti tertulis dalam kurung.a. 456.000.000 (1 tempat desimal)b. 34.568.000 (2 tempat desimal)c. 0,00127 (1 tempat desimal)d. 0,00003245 (2 tempat desimal)

6. Nyatakan bilangan-bilangan berikutdalam bentuk bilangan bulat atau desi-mal.a. 4,17 103 c. 3,386 10–2

b. 9,263 105 d. 5,494 10–4

1. Bulatkan bilangan berikut sampai satutempat desimal.a. 2,58 c. 15,76b. 3,64 d. 55,22

2. Bulatkan bilangan berikut sampai duatempat desimal.a. 0,356 c. 4,876b. 0,015 d. 12,264

3. Nyatakan p ecahan b erikut s ebagaipecahan d esimal, k emudian b ulatkansampai dua tempat desimal.

a. 47 d. 2

17

b.56 e. 3

14

c.29 f.

813

E. MENYELESAIKAN MASALAH SEHARI-HARI YANG BERKAITAN DENGANPECAHAN

Pak Togar seorang karya-wan di sebuah perusahaan.Setiap bulan ia menerimagaji Rp840.000,00. Dari gaji

tersebut 13

bagian diguna-

kan untuk kebutuhan ru-

mah tangga, 15

b agian

untuk membayar pajak,

Penyelesaian:a. Upah seluruhnya adalah 1 bagian, sehingga bagian yang

ditabung 1 1 11 bagian3 5 4

60 20 12 15 bagian60 60 60 6060 20 12 15 bagian

6013 bagian dari gaji seluruhnya.60

73Pecahan

14

bagian untuk biaya pen-

didikan anak, dan sisanyaditabung.a. Berapa bagiankah

uang Pak T ogar yangditabung?

b. Berapa rupiahkah ba-gian m asing-masingkebutuhan?

b. Bagian masing-masing kebutuhan sebagai berikut.

Kebutuhan rumah tangga 1 Rp840.000,003Rp280.000,00

Membayar pajak 1 Rp840.000,005Rp168.000,00

Biaya pendidikan anak 1 Rp840.000,004Rp210.000,00

Sisa uang yang ditabung 13 Rp840.000,0060Rp182.000,00


b. Berapa persen siswa baru yangditerima di SMP tersebut?

2. Beti memiliki uang sebesarRp300.000,00. Jumlah uang T oni danIntan 8 0% d ari u ang B eti, s edangkan

uang Toni diketahui 57

dari uang Intan.

Berapakah be sar masing-masing uangToni dan Intan?

1. Pada penerimaan siswa baru di sebuahSMP swasta terdapat 6.000 pendaftardan hanya 75% yang memenuhi kriteriapenerimaan. D ari c alon si swa y ang

memenuhi k riteria t ersebut h anya 15

bagian yang diterima.a. Berapa jumlah siswa baru yang me-

menuhi kriteria penerimaan?

Suatu negara membuat sebuah kebijakan ekonomi yang berisibahwa harga-harga yang naik sebesar 40% akan diturunkan sebe-

sar4

28 %7

. Bagaimanakah kondisi harga barang mula-mula

dengan harga sekarang? Berikan pendapatmu dan buatlah suatukesimpulan.


3. Ayah mempunyai uang Rp270.000,00.

Kemudian 89

dari uang tersebut diba-

gikan kepada ketiga anaknya yangmasing-masing memperoleh bagian5 2 15, , dan8 7 28

dari uang yang dibagi-

kan. Tentukan jumlah uang yang diteri-ma masing-masing anak.

4. Seorang pengusaha meminjam modalRp1.000.000,00 di bank dengan bungatunggal sebesar 2%. Jika ia meminjamdalam jangka waktu 1 tahun, tentukanbesarnya pinjaman yang harus dikembali-kan tiap bulan.

1. Pecahan adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai ,pq

dengan p, q bilangan bulat dan q 0. Bilangan p disebutpembilang dan q disebut penyebut.

2. Pecahan merupakan bilangan yang menggambarkan bagiandari keseluruhan.

3. Pecahan senilai adalah pecahan-pecahan yang bernilai sama.4. Pecahan senilai diperoleh dengan cara mengalikan atau

membagi pembilang dan penyebutnya dengan bilangan yangsama.

5. Suatu pecahan ,pq

q 0 dapat disederhanakan dengan cara

membagi pembilang dan penyebut pecahan tersebut denganfaktor persekutuan terbesarnya.

6. Jika penyebut kedua pecahan berbeda, untuk membandingkanpecahan tersebut, nyatakan menjadi pecahan yang senilai,kemudian bandingkan pembilangnya.

7. Pada ga ris b ilangan, p ecahan y ang l ebih b esar b erada d isebelah kanan, sedangkan pecahan yang lebih kecil berada disebelah kiri.

8. Di antara dua pecahan yang berbeda selalu dapat ditemukanpecahan yang nilainya di antara dua pecahan tersebut.

9. Setiap bilangan bulat p, q dapat dinyatakan dalam bentuk

pecahan ,pq

di mana p merupakan kelipatan dari q, q 0.

75Pecahan

10. Bentuk pecahan campuran qpr

dengan r 0 dapat dinyata-

kan dalam bentuk pecahan biasa .p r qr

11. Untuk mengubah bentuk pecahan ke bentuk persen dapatdilakukan dengan cara mengubah pecahan semula menjadipecahan senilai dengan penyebut 100.Jika hal itu sulit dilakukan maka dapat dilakukan dengan caramengalikan pecahan tersebut dengan 100%.

12. Untuk menentukan hasil penjumlahan atau pengurangan duapecahan, samakan penyeb ut kedua pecah an tersebut, yai tudengan cara mencari KPK dari penyebut-penyebutnya,kemudian baru dijumlahkan atau dikurangkan pembilangnya.

13. Untuk menentukan hasil perkalian dua pecahan dilakukandengan cara mengalikan pembilang dengan pembilang danpenyebut dengan penyebut.

14. Invers perkalian dari pecahan pq

adalah qp

a tau i nvers

perkalian dari qp

adalah .pq

15. Suatu bilangan jika dikalikan dengan invers perkaliannyahasilnya sama dengan 1.

16. Untuk sebarang pecahan pq

dan rs

dengan q 0, r 0,

s 0 berlaku : .p r p sq s q r

17. Untuk sebarang bilangan bulat p dan p, q 0 dan m bilangan

bulat positif berlaku

faktor

... .m

m

p p p pq q q q

Bilangan pecahan pq

disebut sebagai bilangan pokok.

18. Untuk sebarang bilangan bulat p, q dengan q 0 dan m, nbilangan bulat positif berlaku sifat-sifat berikut.

a.m m

mp pq q

b.m n m n

p p pq q q


c. :m n m n

p p pq q q

d.

nm m np pq q

19. Penjumlahan dan pengurangan pecahan desimal dilakukanpada masing-masing nilai tempat dengan cara bersusun.Urutkan angka-angka ratusan, puluhan, satuan, persepuluhan,perseratusan dan seterusnya dalam satu kolom.

20. Hasil kali bilangan desimal dengan bilangan desimal diperolehdengan cara mengalikan bilangan tersebut seperti mengalikanbilangan bulat. Banyak desimal hasil kali bilangan-bilangandesimal d iperoleh d engan m enjumlahkan b anyak t empatdesimal dari pengali-pengalinya.

21. Bentuk baku bilangan lebih dari 10 dinyatakan dengana 10n dengan 1 a < 10 dan n bilangan asli.

22. Bentuk baku bilangan antara 0 sampai dengan 1 dinyatakandengan a 10–n dengan 1 a < 10 dan n bilangan asli.

Setelah mempelajari mengenai Pecahan, materi manakahyang menarik bagimu? Mengapa? Kemukakan pendapatmu didepan kelas.


1.

Daerah arsiran pada gambar di atasmenunjukkan pecahan ....

a.58 c.

12

b.54

d.95

77Pecahan

c. invers dari 58

adalah 85

d. 22 50%3

6. Hasil dari 1 1 111 2 32 3 4

adalah ....

a. 91112

c. 71012

b. 51112

d. 51212

7. Hasil dari 1 1 12 1 :34 3 3

adalah ....

a. 1140

c. 2140

b. 1140

d. 1240

8. Nilai dari 23,51 + 8,76 – 3,44 adalah....a. 23,38 c. 28,38b. 28,83 d. 82,83

9. Hasil dari 2 33 3

4 4 = ....

a.27256 c.

2431.024

b.81

1.024d.

2431.024

10. Bentuk baku dari 0,000256 adalah ....a. 2,56 10–4 c. 25,6 102

b. 2,56 10–3 d. 2,56 10–2

2. Di antara pecahan berikut yang senilai

dengan pecahan 1830

adalah ....

a. 915

c. 106

b. 410

d. 46

3. Bentuk sederhana dari 86129

adalah

....

a. 12

c. 34

b. 23

d. 45

4. Tiga buah pecahan yang terletak di

antara 38

dan 14

adalah ....

a. 5 6 7, , dan 16 16 16

b. 9 10 11, , dan 32 32 32

c. 4 5 6, , dan 16 16 16

d. 2 3 4, , dan 8 8 8

5. Pernyataan di bawah ini benar,kecuali ....

a. 3 0,3758

b. 2 266 %3 3


1. Tulislah pecahan yang sesuai dengandaerah yang diarsir pada gambar ber-ikut. Kemudian masing-masing nyata-kan dalam bentuk desimal dan persen.a. b.

2. Selesaikan operasi hitung berikut.

a. 2 1 1 13 :1 2 13 2 2 3

b.2 11 125 13 2

c. 1 6 1:12 15 6

d.2 5 110 5 23 6 4

3. Selesaikan operasi hitung berikut.a. 0,37 + 4,45 – 0,26b. 63,5 – 3,81 + 2,4c. 18,4 0,3d. 92,6 : 0,4

4. Ubahlah pecahan berikut dalam ben-tuk desimal, kemudian bulatkan sam-pai tiga tempat desimal.

a.29 c.

917

b.1113 d.

512

5. Tulislah bilangan-bilangan berikut da-lam bentuk baku dengan pembulatansampai satu tempat desimal.a. 748.300.000b. 0,00000124c. 9.346.000.000d. 0,0000008476


Pada arena balap mobil, sebuahmobil balap mampu melaju dengankecepatan (3x + 10) km/jam selama0,5 jam. Berapakah kecepatannyajika jarak yang ditempuh mobil ter-sebut 200 km?

3 OPERASI HITUNGBENTUK ALJABAR

Tujuan pembelajaranmu pada bab ini adalah:dapat menjelaskan pengertian variabel, konstanta, faktor, suku, dan suku sejenis;dapat melakukan operasi hitung tambah, kurang, kali, bagi, dan pangkat padabentuk aljabar;dapat menerapkan operasi hitung pada bentuk aljabar untuk menyelesaikansoal;

Sumber: Ensiklopedi Umum untukPelajaran, 2005

Kata-Kata Kunci:

variabel dan konstanta operasi hitung bentuk aljabarfaktor dan suku pecahan bentuk aljabar


Sebelum kalian mempelajari materi pada bab ini, kalian harusmenguasai konsep mengenai faktor sekutu, kelipatan persekutuanterkecil (KPK), dan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari duabilangan atau lebih. Konsep mengenai bentuk aljabar dan operasihitungnya selanjutnya akan sangat bermanfaat dalam mempelajaribab berikutnya. Perhatikan uraian berikut.

A. BENTUK ALJABAR DAN UNSUR-UNSURNYA

Perhatikan ilustrasi berikut.Banyak boneka Rika 5 lebihnya dari boneka Desy. Jika banyak

boneka Desy dinyatakan dengan x m aka b anyak b oneka R ikadinyatakan dengan x + 5. Jika boneka Desy sebanyak 4 buah makaboneka Rika sebanyak 9 buah.Bentuk seperti ( x + 5) disebut bentuk aljabar.

Bentuk aljabar adalah suatu bentuk matematika yang dalampenyajiannya memuat huruf-huruf untuk mewakili bilangan yangbelum diketahui.

Bentuk aljabar dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikanmasalah dalam kehidupan sehari-hari. Hal-hal yang tidak diketahuiseperti banyaknya bahan bakar minyak yang dibutuhkan sebuahbis dalam tiap minggu, jarak yang ditempuh dalam waktu tertentu,atau banyaknya makanan ternak yang dibutuhkan dalam 3 hari,dapat dicari dengan menggunakan aljabar.

Contoh bentuk aljabar yang lain seperti 2x, –3p, 4y + 5, 2x2 – 3x +7, (x + 1)(x – 5), dan –5x(x – 1)(2x + 3). Huruf-huruf x, p, dan ypada bentuk aljabar tersebut disebut variabel.

Selanjutnya, pada suatu bentuk aljabar terdapat unsur-unsuraljabar, meliputi variabel, konstanta, faktor, suku sejenis, dan sukutak sejenis.

Agar kalian lebih jelas mengenai unsur-unsur pada bentukaljabar, pelajarilah uraian berikut.

1. Variabel, Konstanta, dan FaktorPerhatikan bentuk aljabar 5x + 3y + 8x – 6y + 9.Pada bentuk aljabar tersebut, huruf x dan y disebut variabel.Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belum

diketahui nilainya dengan jelas.Variabel disebut juga peubah. V ariabel biasanya dilam-

bangkan dengan huruf kecil a, b, c, ..., z.

Kata aljabar (aljabr)diambil dari judul bukuHisab al Jabr Wa’l Mu-qabalah (Perhitungandengan Restorasi danReduksi), karyaseorang ahli mate-matika Arab, Muham-mad Al-Khwarizmi(780–850 M).Aljabar menjadi salahsatu cabang ilmumatematika yangsangat bermanfaatdalam ilmu ekonomidan ilmu sosiallainnya. Nanti padabab selanjutnya, kalianakan mempelajaripenerapan aljabardalam kegiatanekonomi.

Al-KhwarizmiSumber: Ensiklopedi Ma-

tematika danPeradaban Ma-nusia, 2003

81Operasi Hitung Bentuk Aljabar

Adapun bilangan 9 pada bentuk aljabar di atas disebutkonstanta.

Konstanta adalah suku dari suatu bentuk aljabar yang berupabilangan dan tidak memuat variabel.

Jika suatu bilangan a dapat diubah menjadi a = p q dengana, p, q bilangan bulat, maka p dan q disebut faktor-faktor dari a.

Pada be ntuk aljabar d i atas, 5 x dapat diuraikan sebagai5x = 5 x atau 5x = 1 5x. Jadi, faktor-faktor dari 5x adalah 1,5, x, dan 5x.

Adapun yang dimaksud koefisien adalah faktor konstanta darisuatu suku pada bentuk aljabar.

Perhatikan koefisien masing-masing suku pada bentuk aljabar5x + 3y + 8x – 6y + 9. Koefisien pada suku 5x adalah 5, pada suku3y adalah 3, pada suku 8x adalah 8, dan pada suku –6y adalah –6.

2. Suku Sejenis dan Suku T ak Sejenisa) Suku adalah variabel beserta koefisiennya atau konstanta pada

bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih.

Suku-suku sejenis adalah suku yang memiliki variabel danpangkat dari masing-masing variabel yang sama.Contoh: 5x dan –2x, 3a2 dan a2, y dan 4y, ...Suku tak sejenis adalah suku yang memiliki variabel danpangkat dari masing-masing variabel yang tidak sama.Contoh: 2x dan –3x2, –y dan –x3, 5x dan –2y, ...

b) Suku satu adalah bentuk aljabar yang tidak dihubungkan olehoperasi jumlah atau selisih.

Contoh: 3 x, 2a2, –4xy, ...

c) Suku dua adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh satuoperasi jumlah atau selisih.

Contoh: 2x + 3, a2 – 4, 3 x2 – 4x, ...

d) Suku tiga adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh duaoperasi jumlah atau selisih.

Contoh: 2x2 – x + 1, 3 x + y – xy, ...

Bentuk aljabar yang mempunyai lebih dari dua suku disebutsuku banyak .

Catatan:Bentuk aljabar suku dua disebut juga binom, bentuk aljabar

suku tiga disebut trinom, sedangkan bentuk aljabar suku banyakdisebut polinom. Di kelas IX nanti, kalian akan mempelajaripemfaktoran pada bentuk aljabar suku dua.

(Menumbuhkan krea-tivitas)Buatlah sebarangbentuk aljabar.Mintalah temanmuuntuk menunjukkanunsur-unsur aljabardari bentuk aljabartersebut. Lakukan halini bergantian denganteman sebangkumu.


Tentukan koefisien dari x2

dan faktor dari masing-ma-sing bentuk aljabar berikut.a. 7x2

b. 3x2 + 5c. 2x2 + 4x – 3

Penyelesaian:a. 7x2 = 7 x x

Koefisien dari x2 adalah 7.Faktor dari 7x2 adalah 1, 7, x, x2, 7x, dan 7x2.

b. 3x2 + 5 = 3 x x + 5 1Koefisien dari x2 adalah 3.Faktor dari 3x2 adalah 1, 3, x, x2, 3x, dan 3x2.Faktor dari 5 adalah 1 dan 5.

c. 2x2 + 4x – 3 = 2 x x + 4 x – 3 1Koefisien dari 2x2 adalah 2.Faktor dari 2x2 adalah 1, 2, x, x2, dan 2x.Koefisien dari 4x adalah 4.Faktor dari 4x adalah 1, 4, x, dan 4x.Faktor dari –3 adalah –3, –1, 1, dan 3.

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1. Tulislah setiap kalimat berikut dengan

menggunakan variabel x dan y.a. Suatu bilangan jika dikalikan 2, ke-

mudian dikurangi 3 menghasilkan bi-langan 5.

b. Empat lebihnya dari keliling suatupersegi adalah 16 cm2.

c. Selisih umur Bella dan Awang adalah5 tahun, sedangkan jumlah umurmereka 15 tahun.

d. Kuadrat suatu bilangan jika ditambah1 menghasilkan bilangan 50.

2. Tentukan koefisien x dari bentuk aljabarberikut.a. 3 – 2xb. x2 – 2xy + x2 + 3c. 4x2 – 5x + 6

d. 23 1 54 2 4

x x

e. x3 + 4x2 + x – 33. Tentukan konstanta dari bentu k aljabar

berikut.a. 5x – 3b. 2y2 + y – 5c. (3x + 5)2

d. 3xy + 2x – y + 1e. 4 – 3x + 5x2


4. Tentukan suku-suku yang sejenis dantidak sejenis pada bentuk aljabar berikut.a. 3m – 2n + 9m + 15n – 6b. 9a2 – 3ab + 4a + 6ab – 18ac. 5x2 + 6xy – 8y2 – 2xy + 9y2

d. 8p2q2 – p2q + 12 pq + 5 pq + 3 p2qe. 5y2 – 3y + 4y2 + x2 – y2 + y – 1

5. Termasuk suku berapakah bentuk alja-bar berikut?a. –2x d. a2 – 2ab + b2

b. 4x2 – 3 e. 23 42

x x

c. y2 – x2

B. OPERASI HITUNG P ADA BENTUKALJABAR

1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk AljabarPada bentuk aljabar, operasi penjumlahan dan pengurangan

hanya dapat dilakukan pada suku-suku yang sejenis. Jumlahkanatau kurangkan koefisien pada suku-suku yang sejenis.

Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabarberikut.a. –4ax + 7 axb. (2x2 – 3x + 2) + (4 x2 – 5x + 1)c. (3a2 + 5) – (4 a2 – 3a + 2)

Ingat bahwa untuksebarang bilanganbulat a dan b, berlaku1) a b = ab2) a (–b) = –ab3) (–a) b = –ab4) (–a) (–b) = ab

Penyelesaian:a. –4ax + 7 ax = (–4 + 7) ax

= 3axb. (2x2 – 3x + 2) + (4 x2 – 5x + 1)

= 2x2 – 3x + 2 + 4 x2 – 5x + 1= 2x2 + 4x2 – 3x – 5x + 2 + 1= (2 + 4)x2 + (–3 – 5)x + (2 + 1)= 6x2 – 8x + 3

c. (3a2 + 5) – (4 a2 – 3a + 2) = 3a2 + 5 – 4 a2 + 3a – 2= 3a2 – 4a2 + 3a + 5 – 2= (3 – 4)a2 + 3a + (5 – 2)= –a2 + 3a + 3

(kelompokkan suku-suku sejenis)


2. PerkalianPerlu kalian ingat kembali bahwa pada perkalian bilangan

bulat berlaku sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, yaitua (b + c) = ( a b) + ( a c) dan sifat distributif perkalianterhadap pengurangan, yaitu a (b – c) = ( a b) – ( a c),untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c. Sifat ini juga berlaku padaperkalian bentuk aljabar.

a. Perkalian antara konstanta dengan bentuk aljabarPerkalian suatu bilangan konstanta k dengan bentuk

aljabar suku satu dan suku dua dinyatakan sebagai berikut.

k (ax) = kax k (ax + b) = kax + kb

Panjang sisi miring se-gitiga siku-siku adalah(2x + 1) cm, sedangkanpanjang sisi siku-siku-nya (3x – 2) cm dan(4x – 5) cm. Tentukanluas segitiga tersebut.

Jabarkan bentuk aljabarberikut, kemudian sederha-nakanlah.a. 4(p + q)b. 5(ax + by)c. 3(x – 2) + 6(7x + 1)d. –8(2x – y + 3z)

Penyelesaian:a. 4(p + q) = 4p + 4qb. 5(ax + by) = 5ax + 5byc. 3(x – 2) + 6(7 x + 1) = 3x – 6 + 42x + 6

= (3 + 42)x – 6 + 6= 45x

d. –8(2x – y + 3z) = –16x + 8y – 24z

b. Perkalian a ntara d ua b entuk a ljabarSebagaimana perkalian suatu konstanta dengan bentuk

aljabar, untuk menentukan hasil kali antara dua bentuk aljabar kitadapat memanfaatkan sifat distributif perkalian terhadappenjumlahan dan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan.

Selain dengan cara tersebut, untuk menentukan hasil kali antaradua bentuk aljabar, dapat menggunakan cara sebagai berikut.

Perhatikan perkalian antara bentuk aljabar suku dua dengansuku dua berikut.

(ax + b) (cx + d) = ax cx + ax d + b cx + b d= acx2 + ( ad + bc)x + bd

(Berpikir kritis)Diskusikan dengantemanmu.Dengan memanfaat-kan sifat distributifperkalian terhadappenjumlahan dan sifatdistributif perkalianterhadap pengurang-an, buktikan perkalianbentuk aljabar berikut.(ax + b) (ax – b) =a2x2 – b2

(ax + b)2 =a2x2 + 2abx + b2

(ax – b)2 =a2x2 – 2abx + b2


Selain dengan cara skema seperti di atas, untuk mengalikanbentuk aljabar suku dua dengan suku dua dapat digunakan sifatdistributif seperti uraian berikut.

2

2

ax+b cx d ax cx d b cx dax cx ax d b cx b dacx adx bcx bdacx ad bc x bd

Adapun pada perkalian bentuk aljabar suku dua dengan sukutiga berlaku sebagai berikut.

(ax + b) (cx2 + dx + e)

= ax cx2 + ax dx + ax e + b cx2 + b dx + b e= acx3 + adx2 + aex + bcx2 + bdx + be= acx3 + (ad + bc)x2 + (ae + bd)x + be

Tentukan hasil perkalianbentuk aljabar berikut da-lam bentuk jumlah atauselisih.1. (2x + 3) (3x – 2)2. (–4a + b) (4a + 2b)3. (2x – 1) ( x2 – 2x + 4)4. (x + 2) (x – 2)

Penyelesaian:1. Cara (1) dengan sifat distributif.

(2x + 3) (3x – 2) = 2x(3x – 2) + 3(3x – 2)= 6x2 – 4x + 9x – 6= 6x2 + 5x – 6

Cara (2) dengan skema.

(2x + 3) (3x – 2)

= 2x 3x + 2x (–2) + 3 3x + 3 (–2)= 6x2 – 4x + 9x – 6= 6x2 + 5x – 6

2. Cara (1) dengan sifat distributif.(–4a + b) (4a + 2b) = –4a(4a + 2b) + b(4a + 2b)

= –16a2 – 8 ab + 4 ab + 2 b2

= –16a2 – 4 ab + 2 b2

(Berpikir kritis)Coba jabarkanperkalian bentukaljabar(ax + b)(cx2 + dx + e)dengan menggunakansifat distributif.Bandingkan hasilnyadengan uraian disamping.



(–4a + b) (4a + 2b)

= (–4a) 4a + (–4a) 2b + b 4a + b 2b= –16a2 – 8 ab + 4 ab + 2 b2

= –16a2 – 4 ab + 2 b2

3. Cara (1) dengan sifat distributif.(2x – 1) (x2 – 2x + 4)= 2x(x2 – 2x + 4) – 1( x2 – 2x + 4)= 2x3 – 4x2 + 8x – x2 + 2x – 4= 2x3 – 4x2 – x2 + 8x + 2x – 4= 2x3 – 5x2 + 10x – 4Cara (2) dengan skema.

(2x – 1) (x2 – 2x + 4)

= 2x x2 + 2x (–2x) + 2x 4 + (–1) x2 + (– 1) (–2x) + (–1) . 4

= 2x3 – 4x2 + 8x – x2 + 2x – 4= 2x3 – 4x2 – x2 + 8x + 2x – 4= 2x3 – 5x2 + 10x – 4

4. Cara (1) dengan sifat distributif.(x + 2) (x – 2) = x(x – 2) + 2( x – 2)

= x2 – 2x + 2x – 4= x2 – 4


(x + 2) (x – 2) = x x + x (–2) + 2 x + 2 (–2)= x2 – 2x + 2x – 4= x2 – 4

Menyatakan bentuk perkalian menjadi bentuk penjumlahanseperti tersebut di atas disebut menjabarkan atau menguraikan.



c.1 2 62

x

d. 2(x + 3)e. –3(2a + 5)f. –p(p2 – 3)

4. Nyatakan bentuk aljabar berikut sebagaiperkalian konstanta dengan bentukaljabar.a. 5x – 15yb. –2p + q – 3rc. 3x2 + 9 xy – 18 xy2

d. –4p + 8 r2

5. Tentukan hasil penjabaran bentuk aljabarberikut ini.a. (x + 2) (x – 3)b. (2x – 3) (x + 4)c. (4k + 1) 2

d. (3m + 2n) (3m – 2n)e. (3 – a) (5 + a)f. (2 + a) (a2 – 2a + 1)

1. Sederhanakanlah bentuk-bentuk aljabarberikut.a. 8p – 3 + (–3 p) + 8b. 9m + 4mn + (–12m) – 7mnc. 2a2 + 3ab – 7 – 5 a2 + 2ab – 4d. 4x2 – 3xy + 7y – 5x2 + 2xy – 4ye. –4p2 + 3pq – 2 – 6 p2 + 8pq – 3f. 12kl – 20mn –5kl – 3mn

2. Sederhanakanlah bentuk-bentuk aljabarberikut.a. 4m – 5 – 6m + 8b. 9p2 – 4 pq – q2 – 4 p2 + 5 pq – 3 q2

c. 2(–8a – 3 b) –4a + 9bd. 12x3 – 9x2 – 8 – 15x3 + 7x2 + 5e. –3(4k2l + 3 kl2) + 2(–9 k2l – 4kl2)f. 5(3m3 – 5 m2 + m) – 2( m3 + 4 m2 –

9m)3. Nyatakan hasil perkalian bentuk aljabar

berikut sebagai jumlah atau selisih.a. –3(a – 2b + 5)b. xy(x2 – 4)

3. PerpangkatanCoba kalian ingat kembali operasi perpangkatan pada bilangan

bulat. Operasi perpangkatan diartikan sebagai perkalian berulangdengan bilangan yang sama. Jadi, untuk sebarang bilangan bulat a,berlaku

faktor...n

na a a a a

Hal ini juga berlaku pada perpangkatan bentuk aljabar.

Amatilah contoh soal nomor 4 di atas. Apakah kalian sepakatbahwa secara umum bentuk perkalian (x + a) (x – a) = x2 –a2?Diskusikan hal ini dengan temanmu.

Jumlah dua buahbilangan adalah 35.Jika bilangan keduaadalah lima lebihnyadari bilangan pertama,tentukan hasil kalikedua bilangan itu.


Tentukan hasil perpang-katan bentuk aljabar beri-kut.1. (2p)2

2. – (3 x2yz3)3

3. (–3p2q)2

Penyelesaian:1. (2p)2 = (2p) (2p)

= 4p2

2. – (3 x2yz3)3 = –27 x6y3z9

3. (–3p2q)2 = 9p4q2

Pada perpangkatan bentuk aljabar suku dua, koefisien tiapsuku ditentukan menurut segitiga Pascal.

Misalkan kita akan menentukan pola koefisien pada penjabaranbentuk aljabar suku dua (a + b)n, dengan n bilangan asli.

Perhatikan uraian berikut.(a + b)1 = a + b koefisiennya 1 1(a + b)2 = (a + b) (a + b)

= a2 + ab + ab+ b2

= a2 + 2ab+ b2 koefisiennya 1 2 1(a + b)3 = (a + b) (a + b)2

= (a + b) (a2 + 2ab + b2)= a3 + 2 a2b + ab2 + a2b + 2 ab2 + b3

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 koefisiennya 1 3 3 1dan seterusnya

Adapun pangkat dari a (unsur pertama) pada (a + b)n dimulaidari an kemudian berkurang satu demi satu dan terakhir a1 padasuku ke-n. Sebaliknya, pangkat dari b (unsur kedua) dimulai denganb1 pada suku ke-2 lalu bertambah satu demi satu dan terakhir bn

pada suku ke-(n + 1).Perhatikan p ola k oefisien y ang t erbentuk d ari p enjabaran

bentuk aljabar (a + b)n di atas. Pola koefisien tersebut ditentukanmenurut segitiga Pascal berikut.

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

( + )a b 0

( + )a b 1

( + )a b 2

( + )a b 3

( + )a b 4

( + )a b 5

( + )a b 6

(Berpikir kritis)Pada bentuk aljabarberikut, tentukankoefisien daria. x2 pada (2x – 5)2;b. x5 pada (x – 3)5;c. x3y pada (3x + 2y)4;d. x2y2 pada (x + 2y)4;e. a3 pada (4 – 2a)4.

(Menumbuhkan ino-vasi)Jabarkan bentukaljabar suku dua(a + b)n dengan7 n 10. Tentukanpola koefisien yangterbentuk. Kemudian,tuliskan pola koefisientersebut dalamsegitiga Pascal.Diskusikan hal inidengan temanmu.Ceritakan hasilnyasecara singkat didepan kelas.


Pada segitiga Pascal tersebut, bilangan yang berada dibawahnya diperoleh dari penjumlahan bilangan yang berdekatanyang berada di atasnya.

Jabarkan bentuk aljabarberikut.a. (3x + 5) 2

b. (2x – 3 y)2

c. (x + 3 y)3

d. (a – 4) 4

Penyelesaian:a. (3x + 5)2 = 1(3x)2 + 2 3x 5 + 1 52

= 9x2 + 30x + 25b. (2x – 3y)2 = 1(2x)2 + 2(2x) (–3y) + 1 (–3y)2

= 4x2 – 12xy + 9y2

c. (x + 3y)3

= 1x3 + 3 x2 (3y)1 + 3 x (3y)2 + 1 (3y)3

= x3 + 9x2y + 27xy2 + 27y3

d. (a – 4) 4

= 1a4 + 4 a3 (–4)1 + 6 a2 (–4)2 + 4 a(–4)3 + 1 (–4)4

= a4 – 16 a3 + 6a2 16 + 4a (–64) + 1 256= a4 – 16a3 + 96a2 – 256a + 256

4. PembagianHasil bagi dua bentuk aljabar dapat kalian peroleh dengan

menentukan terlebih dahulu faktor sekutu masing-masing bentukaljabar tersebut, kemudian melakukan pembagian pada pembilangdan penyebutnya.

Sederhanakanlah pemba-gian bentuk aljabar berikut.1. 3xy : 2y2. 6a3b2 : 3 a2b3. x3y : ( x2y2 : xy)4. (24p2q + 18pq2) : 3pq

Penyelesaian:

1. 3x y2 y

3 (faktor sekutu )2

x y

2.3 2

3 2 22

2

66 :33

3

a ba b a ba ba b

2

23

aba b

2(faktor sekutu 3 )

2

a b

ab


3.2 2

3 2 2 3

3

: ( : ) :

:

x yx y x y xy x yxy

xyx y

xyxy

3 23 2: x y xy xx y xy x

xy xy

4.2 2

2 2 24 18(24 18 ) :33

6 (4 3 )3

2(4 3 )

p q pqp q pq pqpq

pq p qpq

p q


3. Tentukan koefisien ( a + b)n pada sukuyang diberikan.a. Suku ke-2 pada (2a – 3)4.b. Suku ke-3 pada (x + 2y)3.c. Suku ke-4 pada ( a – 3b)4.d. Suku ke-5 pada (2x + 3)5.

4. Sederhanakan bentuk aljabar berikut.a. 16p2 : 4pb. 6a6b2 : a3bc. 3x2y5 : x2y2 : xy2

d. 15p4q5r3 : (6 p2qr3 : 2pqr)e. (2a2bc2 + 8 a3b2c3) : 2 abcf. (p3qr2 + p2q2r3 – p5q3r2) : p2qr2

1. Tentukan hasil perpangkatan bentukaljabar berikut.a. (2a)2 e. –3(x2y)3

b. (3xy)3 f. –(2pq)4

c. (–2ab)4 g. 21 (2 )2

xy

d. (4a2b2)2 h. a(ab2)3

2. Jabarkan perpangkatan bentuk aljabarberikut.a. (x + 2) 2 e. (4x – 2y)3

b. 3(2x – 1) 3 f. 5(3a + 2)4

c. 2(3p + q)4 g. (y + 1) 5

d. –3(–x – y)3 h. (–2x – 3 y)3

5. Substitusi pada Bentuk AljabarNilai suatu bentuk aljabar dapat ditentukan dengan cara

menyubstitusikan sebarang bilangan pada variabel-variabel bentukaljabar tersebut.


1. Jika m = 3, tentukannilai dari 5 – 2m.

Penyelesaian:Substitusi nilai m = 3 pada 5 – 2m, maka diperoleh 5 – 2m = 5 – 2(3)

= 5 – 6= –1

2. Jika x = –4 dan y = 3,tentukan nilai dari2x2 – xy + 3y2.

Penyelesaian:Substitusi x = –4 dan y = 3, sehingga diperoleh2x2 – xy + 3 y2 = 2(–4)2 – (–4) (3) + 3(3) 2

= 2(16) – (–12) + 3(9)= 32 + 12 + 27= 71

6. Menentukan KPK dan FPB Bentuk AljabarCoba kalian ingat kembali cara menentukan KPK dan FPB

dari dua atau lebih bilangan bulat. Hal itu juga berlaku pada bentukaljabar. Untuk menentukan KPK dan FPB dari bentuk aljabar dapatdilakukan dengan menyatakan bentuk-bentuk aljabar tersebutmenjadi perkalian faktor-faktor primanya.Perhatikan contoh berikut.

Tentukan KPK dan FPBdari bentuk aljabar berikut.a. 12pq dan 8 pq2

b. 45x5y2 dan 50 x4y3

Penyelesaian:a. 12pq = 22 3 p q

8pq2 = 23 p q2

KPK = 23 3 p q2

= 24pq2

FPB = 22 p q= 4pq

b. 45x5y2 = 32 5 x5 y2

50x4y3 = 2 52 x4 y3

KPK = 2 32 52 x5 y3

= 450x5y3

FPB = 5 x4 y2

= 5 x4y2


Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1. Jika a = 6 dan b = –1, tentukan nilai dari

bentuk aljabar berikut.a. a2 + 2 ab + b2

b. a2b – ab2 + a2b2

c. 2a + 2a2b2 + 3 ab2 + b3

d. a4 + 4a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4

e. 3a2 – 2 b + abf. 2a3 – 3a2 + ab – 5

2. Hitunglah nilai p2 – 2qr + 3p jikaa. p = –1, q = 2, dan r = –3;b. p = –2, q = 3, dan r = 1;c. p = 1, q = 5, dan r = –2;d. p = 3, q = 2, dan r = –5.

3. Tentukan KPK dari bentuk aljabarberikut.a. 15ab dan 20abb. 10a2b3c dan 15 b2c2dc. 24p2q, 36p3q2, dan 60 pqrd. 16pq2r, 30qr2s2, dan 36 p3r2s5

4. Tentukan FPB dari bentuk aljabarberikut.a. 2x dan –3 x2

b. 4x2y dan 12 xy2

c. 48a3b5 dan 52a2b3c2

d. 12pq, 6q2r, dan 15p2qr

C. PECAHAN BENTUK ALJABAR

Di bagian depan kalian telah mempelajari mengenai bentukaljabar beserta operasi h itungnya. Pada bagian i ni kalian akanmempelajari tentang pecahan bentuk aljabar, yaitu pecahan yangpembilang, a tau p enyebut, a tau k edua-duanya m emuat b entuk

aljabar. Misalnya 24 3 3 dan

2 7a a m x

p bc n x y, , , , .

1. Menyederhanakan Pecahan Bentuk AljabarSuatu pecahan bentuk aljaba r dikatakan paling sederhana

apabila pembilang dan penyebutnya tidak mempunyai faktorpersekutuan kecuali 1, dan penyebutnya tidak sama dengan nol.Untuk menyederhanakan pecahan bentuk aljabar dapat dilakukandengan cara membagi pembilang dan penyebut pecahan tersebutdengan FPB dari keduanya.

(Menumbuhkan inovasi)Berdasarkan contoh di atas, buatlah kesimpulan mengenai caramenentukan KPK dan FPB dari bentuk aljabar. Diskusikan hal inidengan temanmu.


Sederhanakan pecahanbentuk aljabar berikut, jikax, y 0.

a. 23

6x

x y

b.2 3

242x yzxy

Penyelesaian:a. FPB dari 3x dan 6x2y adalah 3x, sehingga

2 23 3 :3

6 6 :31

2

x x xx y x y x

xy

Jadi, bentuk sederhana dari 23

6x

x y adalah

1 .2xy

b. FPB dari 4x2yz3 dan 2xy2 adalah 2xy, sehingga2 3 2 3

2 2

3

4 4 : 22 2 : 2

2

x yz x yz xyxy xy xy

xzy

2. Operasi Hitung Pecahan Aljabar dengan Penyebut SukuTunggal

a. Penjumlahan dan penguranganPada bab sebelumnya, kalian telah mengetahui bahwa hasil

operasi penjumlahan dan pengurangan pada pecahan diperolehdengan cara menyamakan penyebutnya, kemudian menjumlahkanatau mengurangkan pembilangnya. Kalian pasti juga masih ingatbahwa untuk menyamakan penyebut kedua pecahan, tentukanKPK dari penyebut-penyebutnya.

Dengan cara yang sama, hal itu juga berlaku pada operasipenjumlahan dan pengurangan bentuk pecahan aljabar.Perhatikan contoh berikut.

Sederhanakan penjumlah-an atau pengurangan pe-cahan aljabar berikut.

1. 1 52 3p q

Penyelesaian:

1. 1 52 3

1 3 5 22 3 3 23 10

6 63 10

6

p qq p

p q q pq ppq pqq p

pq


b. Perkalian dan pembagianIngat kembali bentuk perkalian bilangan pecahan yang dapat

dinyatakan sebagai berikut.

; untuk , 0a c ac b db d bd

Hal ini juga berlaku untuk perkalian pada pecahan aljabar.

2.1 2

3 1k k3. 2 1m n

m n

2.

2 2

2

2

1 2 1( 1) 2( 3)3 1 ( 3)( 1) ( 3)( 1)

1 2 62 3 2 3

1 2 62 3

72 3

k kk k k k k k

k kk k k kk kk k

kk k

3.2 12 1

2

2

2

2

n m m nm nm n m n n m

mn mmn nmn mn

mn n mn mmn

mn mn n mmn

n mmn

Tentukan hasil perkalianpecahan bentuk aljabarberikut.

1.4

3 2ab

a

2.1 1x y

y x

3.2 1 25 3

x x

Penyelesaian:

1.4 4 2

3 2 3 2 3ab ab b

a a

2. 1 11 1

1

1

x yx yy x y x

xy y xxy

xy x yxy


3.2 2

3

2

1 2 ( 1)25 3 5 3

2 215

2 ( 1)15

x x x x

x x

x x

Kalian pasti masih ingat bahwa pembagian merupakan invers(operasi kebalikan) dari operasi perkalian. Oleh karena itu, dapatdikatakan bahwa membagi dengan suatu pecahan sama artinyadengan mengalikan terhadap kebalikan pecahan tersebut.

untuk 0, 0

1 untuk 0, 0

untuk 0, 0

b c aca a b cc b b

a a ac b cb b c bca c a d ad b cb d b c bc

:

:

:

Hal ini juga berlaku untuk pembagian pada pecahan bentuk aljabar.

Sederhanakan pembagianpecahan aljabar berikut.

1. 4 23 9

p qq p

:

2. 23

4a cb b

:

3.2ab b

c ac:

Penyelesaian:

1.

2

2

2

2

4 2 4 93 9 3 2

366

6

p q p pq p q q

pqp

q

:

2.2

2

2

3 3 44

12

12

a c a bb b cb

abbcabc

:

3.2

2

2

2

2

1 1ab b ab acc ac c b

a bcb cab

:


c. Perpangkatan pecahan bentuk aljabarOperasi perpangkatan merupakan perkalian berulang dengan

bilangan yang sama. Hal ini juga berlaku pada perpangkatanpecahan bentuk aljabar.

1

2 2

2

3 3

3

a ab ba a a ab b b ba a a a ab b b b b

sebanyak kali

...n n

n

n

a a a a a ab b b b b b

Sederhanakan perpang-katan pecahan aljabarberikut.

1.33

2x

2.2

24

5y

3.22 1a

b

4.25 3

2p

Penyelesaian:

1.3 33 3 3 3 27

2 2 2 2 8x x x x x

2.2

2 2 2 44 4 4 16

5 5 5 25y y y y

3.2

2

2 2

2 2

2 1 2 1 2 1

2 1 2 1

4 2 2 1 4 4 1

a a ab b b

a ab

a a a a ab b

4.2

2

2

5 3 5 3 5 32 2 2

5 3 5 34

25 15 15 94

25 30 94

p p p

p p

p p p

p p

(Berpikir kritis)Tunjukkan berlakunyasifat perpangkatanpecahan bentukaljabar di samping.Gunakan contoh yangmendukung.


Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.3. Tentukan h asil k ali p ecahan a ljabar

berikut.

a.3

2q

p

b.3

2 5m mn n

c.2

29 64 3mn knk m

d. 2 1 3x xy z

e.3 1 1

2x x

x y

f.2

2 23p q p q

p q4. Tentukan hasil bagi bentuk pecahan alja-

bar berikut.

a.4 12x y

: d.2 2

216 8

5 3a b abc c

:

b. 4 93 2a bb c

: e.24 3

9 8klm k m

l:

c. 28

6 15mn mn

l l: f.

2 2 2

220

3 8x y xy

z z:

5. Selesaikan operasi perpangkatan pecah-an aljabar berikut.

a.22

3x e.

24 1xy y

b.3

23

4xf.

2

22 13a

b

c.2

4 2xy

g.33

2a b

d.3

25

3yh.

223p qpq

1. Sederhanakan pecahan-pecahan bentukaljabar berikut.

a. 22 , , 04

pq p qpq

b.2 33 , , , 0

6x yz x y zxyz

c.23 15 , , , 0x y yz x y z

xyz

d.26 4 8 , , 0

2xy xy xz x z

xz

2. Sederhanakan penjumlahan dan pengu-rangan pecahan aljabar berikut.

a. 32q

p

b.23x x x

y xy

c.3

12 3p p

d.24 2a a a

b ab

e. x y x yx y

f.7 310 10

b b

g. 12 9x xy y

h. 22 4 2

9x xyy y

i.2 3 4

6 9p q

q p

j. 4 3 5 123 12m mmn n


D. PENGGUNAAN ALJABAR UNTUK MENYE-LESAIKAN MASALAH

Diketahui usia ayah empatkali u sia a naknya. L imatahun kemudian, usia ayahtiga kali usia anaknya.Tentukan masing- masingumur ayah dan anaknya.

Penyelesaian:Misalkan: umur ayah = x;

umur anak = y,sehingga diperoleh persamaanx = 4 y ..................................... (i)x + 5 = 3( y + 5) ...................... (ii)

Substitusi persamaan (i) ke persamaan (ii), diperoleh x + 5 = 3(y + 5) 4y + 5 = 3(y + 5) 4y + 5 = 3y + 15 4y – 3y = 15 – 5

y = 10Untuk y = 10, maka x = 4y

x = 4 10x = 40

Jadi, umur ayah 40 tahun, sedangkan umur anaknya 10tahun.

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.2. Tiga tahun yang lalu jumlah umur

seorang ibu beserta anak kembarnyadiketahui 35 tahun. Jika pada saat ituumur ibunya 29 tahun, berapa tahunkahumur anak kembarnya sekarang?

1. Panjang suatupersegi panjang diketahui(3x + 2) cm dan lebarnya (2 x – 3) cm.a. Tentukan keliling persegi panjang

dinyatakan dalam x.b. Jika kelilingnya 36 cm, tentukan

ukuran persegi panjang tersebut.


1. Variabel, konstanta, faktor, serta suku sejenis dan tak sejenis. – Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang

belum diketahui nilainya dengan jelas. – Konstanta adalah suku dari suatu bentuk aljabar yang

berupa bilangan dan tidak memuat variabel. – Suku-suku sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan

pangkat dari masing-masing variabel yang sama. – Suku tak sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan

pangkat dari masing-masing variabel yang tidak sama.

3. Pak Ketut melakukan suatu perjalananke luar kota. Mula-mula ia mengendaraisepeda motor selama 2 jam dengan ke-cepatan rata-rata (5 x – 2) km/jam.Kemudian Pak Ketut melanjutkan perja-lanan dengan naik bus selama 3 jamdengan kecepatan rata-rata (4 x + 15)km/jam. Tentukana. jarak yang ditempuh dalam x;b. nilai x, jika jarak yang ditempuh

239 km.4. Seekor kambing setiap hari menghabis-

kan (x + 2) kg ransum makanan, sedang-kan seekor sapi setiap hari menghabis-kan (2x – 1) kg ransum makanan.

a. Nyatakan jumlah ran sum makananuntuk seekor kambing dan seekorsapi selama 1 minggu.

b. Tentukan nilai x jika jumlah ransummakanan yang habis dalam 1 mingguadalah 70 kg.

5. Suatu model kerangka balok terbuat darikawat dengan ukuran panjang(2x + 1) cm, lebar (x + 5) cm, dan tinggix cm. Tentukana. persamaan panjang kawat dalam x;b. nilai x, jika panjang kawat seluruhnya

= 104 cm.

(Menumbuhkan inovasi)Amatilah lingkungan di sekitarmu.Buatlah contoh masalah sehari-hari yang berkaitan denganpenggunaan operasi hitung bentuk aljabar. Selesaikanlah danhasilnya ceritakan secara singkat di depan kelas.


2. Pada bentuk aljabar, operasi penjumlahan dan penguranganhanya dapat dilakukan pada suku-suku yang sejenis.

3. Perkalian suatu bilangan konstanta k dengan bentuk aljabarsuku satu dan suku dua dinyatakan sebagai berikut.

k (ax) = kax k (ax + b) = kax + kb

4. Perkalian antara dua bentuk aljabar dinyatakan sebagai berikut. (ax + b) (cx + d) = acx2 + ( ad + bc)x + bd (ax + b) (cx2 + dx + e) = acx3 + (ad + bc)x2 + (ae + bd)x + be (x + a) (x – a) = x2 – a2

5. Pada perpangkatan bentuk aljabar suku dua, koefisien suku-sukunya ditentukan dengan segitiga Pascal.

(a + b)1 = a + b (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

dan seterusnya6. Nilai suatu bentuk aljabar dapat ditentukan dengan cara

menyubstitusikan sebarang bilangan pada variabel-variabelbentuk aljabar tersebut.

7. Suatu pecahan bentuk aljabar dikatakan paling sederhana jikapembilang dan penyebutnya tidak mempunyai faktor perseku-tuan kecuali 1 dan penyebutnya tidak sama dengan nol.

8. Hasil operasi penjumlahan dan pengur angan pada pe cahanaljabar diperoleh dengan cara menyamakan penyebutnya,kemudian menjumlahkan atau mengurangkan pembilangnya.

Setelah mempelajari mengenai Operasi Hitung BentukAljabar, materi manakah yang telah kalian pahami? Buatlahrangkuman dari materi yang telah kalian pahami. Catatlah materiyang belum kalian pahami. Lalu, tanyakan pada temanmu yanglebih tahu atau kepada gurumu. Berilah contoh masalah dalamkehidupan sehari-hari beserta penyelesaiannya yang berkaitandengan operasi hitung bentuk aljabar . Susunlah dalam sebuahlaporan dan kumpulkan kepada gurumu.


1. Koefisien dari x pada bentuk aljabar2x2 – 24x + 7adalah ....a. 2 c. 24b. –7 d. –24

2. Bentuk aljabar berikut yang terdiriatas tiga suku adalah ....a. abc + pqr c. ab – pqb. ab + ac – bc d. 3ab – 3 cd

3. Bentuk paling sederhana dari2(3x +2y) – 4(x – 5y) adalah ....a. 10x – 10y c. 2x – yb. 2x + 24y d. 2x – 3y

4. Bentuk sederhana dari8x – 4 – 6x + 7 adalah ....a. 2x + 3 c. 2x – 3b. –2x + 3 d. –2x – 3

5. Jika p = 2, q = –3, dan r = 5, nilai dari2p2r – pq adalah ....a. 74 c. 86b. 46 d. 34

6. Hasil penjabaran dari (2x – 3)2 adalah....a. 4x2 + 6x + 9b. 4x2 – 12x + 9c. 2x2 + 12x + 3d. 2x2 + 6x + 3

7. KPK dan FPB dari ab2c2 dan b3c2dadalah ....a. b2c2 dan a2b2c2

b. ab3c2d dan b2c2

c. ab3c3d dan b3c3

d. b3c3 dan ab3c2d2

8. Hasil dari 7 2 43 5

x x adalah ....

a. 11 315x c. 11 23

15x

b. 11 1115x d. 11 47

15x

9. Nilai dari 9 2

3 5x x adalah ....

a. 715x

c. 3915x

b. 1915x

d. 1115x

10. Panjang sisi-sisi suatu segitiga diketa-hui berturut-turut p cm, 2p cm, dan(p + 4) cm. Keliling segitiga tersebutadalah ....a. (4p + 4) cm c. (2p + 6) cmb. (3p + 4) cm d. (2p + 2) cm



1. Sederhanakan bentuk aljabar berikut.a. –4x + 5y – 10x + yb. (5x + 7) – 3(2x – 5)c. 8x – 2(–4x + 7)d. –3(2x – 5) + 2(– x + 4)e. 2x2 – 3x + 5 – 3 x2 + x – 9

2. Tentukan hasilnya.a. (2x – 1) (–3 x + 4)b. (–3p + 1)2

c. (–5x – 3) 3

d. –2x(x + 3) (3 x – 1)


3. Tentukan KPK dan FPB dari bentukaljabar berikut.a. 5p2q3 dan 18pq2r3

b. 20pq dan –35 p2qc. 25p2qr2, 30pqr2, dan 36p3q2rd. 12pq3r, 24pqr, dan 20p2q2r

4. Sederhanakan bentuk aljabar berikut.

a.2 1 3 2

3 5x x

b.1 1

2 3x x

x x

c.32

2

26xy x

y

d. : ; , 06 12

p q pq p q

5. Sebuah yayasan sosial memberikanbantuan kepada korban banjir berupa35 dus mi dan 50 dus air mineral. Satudus mi berisi 40 bungkus dengan hargaRp900,00/bungkus. Adapun satu dusair mineral berisi 48 buah dengan hargaRp500,00/buah. Tentukan harga ke-seluruhan mi dan air mineral tersebut.

Pernahkah k alian b erbelanjaalat-alat tulis? Kamu berencanamembeli 10 buah bolpoin, sedangkanadikmu m embeli 6 b uah b olpoindengan jenis yang sama. Jika kalianmempunyai uang Rp24.000,00,dapatkah kamu menentukan hargamaksimal 1 buah bolpoin yang dapatdibeli? B agaimana m atematikamenjawabnya? Pelajari uraian materiberikut.

4 PERSAMAAN DANPERTIDAKSAMAANLINEAR SATU VARIABEL

Kata-Kata Kunci:

persamaan linear satu variabel bentuk ekuivalenpertidaksamaan linear satu variabel model matematika

Tujuan pembelajaranmu pada bab ini adalah:dapat mengenali persamaan linear satu variabel dalam berbagai bentuk dan variabel;dapat menentukan bentuk ekuivalen dari persamaan linear satu variabel dengancara kedua ruas ditambah, dikurangi, dikalikan atau dibagi dengan bilangan yangsama;dapat menentukan penyelesaian persamaan linear satu variabel;dapat mengenali pertidaksamaan linear satu variabel dalam berbagai bentuk danvariabel;dapat menentukan bentuk ekuivalen dari pertidaksamaan linear satu variabeldengan cara kedua ruas ditambah, dikurangi, dikalikan, atau dibagi dengan bilanganyang sama;dapat menentukan penyelesaian pertidaksamaan linear satu variabel;dapat mengubah masalah ke dalam model matematika berbentuk persamaanlinear satu variabel;dapat mengubah masalah ke dalam model matematika berbentuk pertidaksamaanlinear satu variabel;dapat menyelesaikan model matematika suatu masalah yang berkaitan denganpersamaan linear satu variabel;dapat menyelesaikan model matematika suatu masalah yang berkaitan denganpertidaksamaan linear satu variabel.



Sebelum kalian mempelajari materi pada bab ini, kalian harusmenguasai terlebih dahulu mengenai operasi hitung pada bentukaljabar. Kalian telah mempelajarinya pada bab yang terdahulu.Konsep materi yang akan kalian pelajari pada bab ini sangatbermanfaat dalam mempelajari aritmetika sosial dalam kegiatanekonomi yang ada pada bab selanjutnya.Perhatikan uraian materi berikut.

A. KALIMAT TERBUKA

1. PernyataanDalam kehidupan sehari-hari kita sering menjumpai berbagai

macam kalimat berikut.a. Jakarta adalah ibu kota Indonesia.b. Gunung Merapi terletak di Jawa Tengah.c. 8 > –5.

Ketiga kalimat di atas merupakan kalimat yang bernilai benar,karena setiap orang mengakui kebenaran kalimat tersebut.Selanjutnya perhatikan kalimat-kalimat berikut.a. Tugu Monas terletak di Jogjakarta.b. 2 + 5 < –2c. Matahari terbenam di arah timur.

Ketiga kalimat tersebut merupakan kalimat yang bernilai salah,karena setiap orang tidak sependapat dengan kalimat tersebut.

Kalimat yang dapat ditentukan nilai kebenarannya (bernilai benaratau salah) disebut pernyataan.

Sekarang perhatikan kalimat-kalimat berikut.a. Rasa buah rambutan manis sekali.b. Makanlah makanan yang bergizi.c. Belajarlah dengan rajin agar kalian naik kelas.

Dapatkah kalian menentukan nilai kebenaran kalimat-kalimatdi atas? Menurutmu, apakah kalimat-kalimat tersebut bukanpernyataan? Mengapa?

2. Kalimat Terbuka dan Himpunan Penyelesaian KalimatTerbuka

Dapatkah kalimat menjawab pertanyaan “Indonesia terletakdi Benua x”. Jika x diganti Asia maka kalimat tersebut bernilaibenar. Adapun jika x diganti Eropa maka kalimat tersebut bernilaisalah. Kalimat seperti “Indonesia terletak di Benua x” disebutkalimat terbuka .

(Menumbuhkan krea-tivitas)Amatilah kejadiandalam kehidupansehari-hari.Tulislah contohpernyataan, bukanpernyataan, dan kali-mat terbuka, masing-masing 3 buah.Berikan alasannya,lalu kemukakanhasilnya di depankelas.

105Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

a. 3 – x = 6, x anggota himpunan bilangan bulat.b. 12 – y = 7, y anggota himpunan bilangan cacah.c. z 5 = 15, z anggota himpunan bilangan asli.

Kalimat 3 – x = 6, x anggota bilangan bulat akan bernilaibenar jika x diganti dengan –3 dan akan bernilai salah jika x digantibilangan selain –3. Selanjutnya, x disebut variabel, sedangkan 3dan 6 disebut konstanta. Coba tentukan variabel dan konstantadari kalimat 12 – y = 7 dan z 5 = 15 pada contoh di atas.

Kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat variabel danbelum diketahui nilai kebenarannya.

Variabel adalah lambang (simbol) pada kalimat terbuka yangdapat diganti oleh sebarang anggota himpunan yang telahditentukan.

Konstanta adalah nilai tetap ( tertentu) yang terdapat padakalimat terbuka.

Sekarang perhatikan kalimat x2 = 9. Jika variabel x digantidengan –3 atau 3 maka kalimat x2 = 9 akan bernilai benar. Dalamhal ini x = –3 atau x = 3 adalah penyelesaian dari kalimat terbukax2 = 9. Jadi, himpunan penyelesaian dari kalimat x2 = 9 adalah{–3, 3}.

Himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka adalahhimpunan semua pengganti dari variabel-variabel pada kalimatterbuka sehingga kalimat tersebut bernilai benar.

(Menumbuhkan ino-vasi)Apakah setiap kalimatterbuka mempunyaihimpunan penyele-saian? Bagaimanadengan kalimat2x – 1 = 4, jika x varia-bel pada bilanganpecahan? Berapahimpunan penyelesai-annya? Eksplorasilahkalimat tersebut jika xvariabel padaa. bilangan cacah;b. bilangan bulat.Bagaimana himpunanpenyelesaiannya?Diskusikan hal inidengan temanmu danbuatlah kesimpulan-nya.

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.c. Hasil kali 3 dan 9 adalah 21.d. Arti dari 4 5 adalah 5 + 5 + 5 + 5.e. Jika p dan q bilangan prima maka

p q bilangan ganjil.

1. Tentukan nilai kebenaran kalimat beri-kut.a. Jumlah dua bilangan ganjil selalu me-

rupakan bilangan genap.b. 18 + 6 = 6 + 18 merupakan sifat aso-

siatif penjumlahan.


2. Jika x adalah variabel pada bilangan3, 6, 9, 12, dan 15, tentukan penyelesaiankalimat terbuka di bawah ini.a. x habis dibagi 3.b. x adalah bilangan ganjil.c. x faktor dari 30.d. x – 3 = 6.e. x adalah bilangan prima.

3. Tentukan himpunan penyelesaian darikalimat berikut jika variabel pada him-punan bilangan bulat.a. x + 8 = 17b. y : 5 = –12

c. 15 – p = 42d. 9 m = 108e. n + n + n + n = 52f. a a = 81

4. Tentukan himpunan penyelesaian kalimatterbuka berikut jika x adalah variabelpada himpunan A = {1, 2, 3, ..., 25}.a. x adalah faktor dari 25.b. x adalah bilangan prima.c. x adalah bilangan ganjil kurang dari

15.d. x adalah bilangan kelipatan 2.

B. PERSAMAAN L INEAR S ATU VARIABEL

1. Pengertian Persamaan dan Himpunan PenyelesaianPersamaan Linear Satu Variabel

Perhatikan kalimat terbuka x + 1 = 5.Kalimat terbuka tersebut dihubungkan oleh tanda sama

dengan (=). Selanjutnya, kalimat terbuka yang dihubungkan olehtanda sama dengan (=) disebut persamaan.

Persamaan dengan satu variabel berpangkat satu atauberderajat s atu d isebut persamaan l inear s atu va riabel.

Jika x pada persamaan x + 1 = 5 diganti dengan x = 4 makapersamaan tersebut bernilai benar. Adapun jika x diganti bilanganselain 4 maka persamaan x + 1 = 5 bernilai salah. Dalam hal ini,nilai x = 4 disebut penyelesaian dari persamaan linear x + 1 = 5.Selanjutnya, himpunan penyelesaian dari persamaan x + 1 = 5adalah {4}.

Pengganti variabel x yang mengakibatkan persamaan bernilaibenar disebut penyelesaian persamaan linear. Himpunan semuapenyelesaian persamaan linear disebut himpunan penyelesaianpersamaan linear. Coba diskusikan dengan temanmu yang disebutbukan penyelesaian persamaan linear.

Persamaan linear satu variabel adalah kalimat terbuka yangdihubungkan oleh tanda sama dengan (=) dan hanya mempunyaisatu variabel berpangkat satu. Bentuk umum persamaan linearsatu variabel adalah ax + b = 0 dengan a 0.

(Menumbuhkankreativitas)Tuliskan sebarangpersamaan sebanyak5 buah. Mintalahtemanmumenunjukkan,manakah yangtermasuk persamaanlinear satu variabel.Lakukan hal inibergantian denganteman sebangkumu.


Dari kalimat berikut, tentu-kan yang merupakan per-samaan l inear satu varia-bel.a. 2x – 3 = 5b. x2 – x = 2

c. 1 53

x

d. 2x + 3y = 6

Penyelesaian:a. 2x – 3 = 5

Variabel pada 2x – 3 = 5 adalah x dan berpangkat 1,sehingga persamaan 2x – 3 = 5 merupakan persamaanlinear satu variabel.

b. x2 – x = 2Variabel pada persamaan x2 – x = 2 adalah xberpangkat 1 dan 2. Karena terdapat x berpangkat 2maka persamaan x2 – x = 2 bukan merupakanpersamaan linear satu variabel.

c. 1 53

x

Karena variabel pada persamaan 1 53

x adalah x dan

berpangkat 1, maka 1 53

x merupakan persamaan li-

near satu variabel.d. 2x + 3y = 6

Variabel pada persamaan 2x + 3y = 6 ada dua, yaitu xdan y, sehingga 2x + 3y = 6 bukan merupakan persa-maan linear satu variabel.

2. Himpunan Penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabeldengan Substitusi

Penyelesaian persamaan linear satu variabel dapat diperolehdengan cara substitusi, yaitu mengganti variabel dengan bilanganyang sesuai sehingga persamaan tersebut menjadi kalimat yangbernilai benar.

Tentukan himpunan penye-lesaian d ari p ersamaanx + 4 = 7, jika x variabelpada himpunan bilangancacah.

Penyelesaian:Jika x diganti bilangan cacah, diperolehsubstitusi x = 0, maka 0 + 4 = 7 (kalimat salah)substitusi x = 1, maka 1 + 4 = 7 (kalimat salah)substitusi x = 2, maka 2 + 4 = 7 (kalimat salah)


substitusi x = 3, maka 3 + 4 = 7 (kalimat benar)substitusi x = 4, maka 4 + 4 = 8 (kalimat salah)Ternyata untuk x = 3, persamaan x + 4 = 7 menjadi kalimatyang benar.Jadi, himpunan penyelesaian persamaan x + 4 = 7 adalah{3}.


(Menumbuhkan kreativitas)Apakah setiap persamaan linear satu variabel dapat ditentukanhimpunan penyelesaiannya dengan cara substitusi? Diskusikanhal ini dengan temanmu, buatlah kesimpulannya. Salah satuanggota kelompok maju ke depan kelas untuk mengemukakanhasil diskusi kelompok masing-masing.

g.16 2

4 x

h.3 6

2y

i. 2 – z = z – 3j. 3a – 2 = – a + 18

k.1 4 2 32

x

l. 2a – 1 = 3a – 5m. 2(3x – 1) = 2(2x + 3)

n.15 5

3 p

o. 3q – 1 = q + 3

Catatan:Gunakan k alkulator u ntuk b ereksplorasidalam menyelesaikan soal nomor 2 di atas.

1. Tentukan yang merupakan persamaanlinear satu variabel dan berikan alasan-nya.a. x + y + z = 20b. 3x2 + 2x – 5 = 0c. x + 9 = 12d. 3x – 2 = 7e. p2 – q2 = 16f. 2x – y = 3

2. Tentukan himpunan penyelesaian persa-maan-persamaan di bawah i ni dengancara substitusi, jika peubah (variabelnya)pada himpunan bilangan bulat.a. 4 + p = 3b. q – 2 = 6c. 2a + 3 = 5d. 9 – 3r = 6e. 18 = 10 – 2mf. 1 = 9 + x


3. Persamaan-Persamaan yang EkuivalenPerhatikan uraian berikut.a. x – 3 = 5

Jika x diganti bilangan 8 maka 8 – 3 = 5 (benar).Jadi, penyelesaian persamaan x – 3 = 5 adalah x = 8.

b. 2x – 6 = 10 ... (kedua ruas pada persamaan a dikalikan 2)Jika x diganti bilangan 8 maka 2(8) – 6 = 10

16 – 6 = 10 (benar).Jadi, penyelesaian persamaan 2x – 6 = 10 adalah x = 8.

c. x + 4 = 12 ... (kedua ruas pada persamaan a ditambah 7)Jika x diganti bilangan 8 maka 8 + 4 = 12 (benar).Jadi, penyelesaian persamaan x + 4 = 12 adalah x = 8.

Berdasarkan uraian di atas tampak bahwa ketiga persamaanmempunyai penyelesaian yang sama, yaitu x = 8. Persamaan-persamaan di atas disebut persamaan yang ekuivalen .Suatu persamaan yang ekuivalen dinotasikan dengan “ ”.

Dengan demikian bentuk x – 3 = 5; 2x – 6 = 10; dan x + 4 =12 dapat dituliskan sebagai x – 3 = 5 2x – 6 = 10 x + 4 =12. Jadi, dapat dikatakan sebagai berikut.

Dua persamaan atau lebih dikatakan ekuivalen jika mempunyaihimpunan penyelesaian yang sama dan dinotasikan dengan tanda“ ”.

Amatilah uraian berikut.Pada persamaan x – 5 = 4, jika x diganti 9 maka akan bernilai

benar, sehingga himpunan penyelesaian dari x – 5 = 4 adalah {9}.Perhatikan jika kedua ruas masing-masing ditambahkan denganbilangan 5 maka

x – 5 = 4 x – 5 + 5 = 4 + 5 x = 9

Jadi, himpunan penyelesaian persamaan x – 5 = 4 adalah {9}.Dengan kata lain, persamaan x – 5 = 4 ekuivalen dengan

persamaan x = 9, atau ditulis x – 5 = 4 x = 9.

Suatu persamaan dapat dinyatakan ke dalam persamaan yangekuivalen dengan caraa. menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan

yang sama;b. mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan yang

sama.

(Berpikir kritis)Tentukan tiga persa-maan yang ekuivalendengan persamaanberikut, kemudianselesaikanlah, jika pvariabel pada bilanganreal.a. 8p – 3 = 37

b.1 2

22 3

p


a. Tentukan himpunanpenyelesaian persa-maan 4x – 3 = 3 x + 5jika x variabel padahimpunan bilanganbulat.

Penyelesaian: 4 x – 3 = 3x + 54x – 3 + 3 = 3x + 5 + 3 (kedua ruas ditambah 3)4x = 3x + 84x – 3x = 3x – 3x + 8 (kedua ruas dikurangi 3x) x = 8

Jadi, himpunan penyelesaian persamaan 4x – 3 = 3x + 5adalah x = {8}.


b. Tentukan himpunanpenyelesaian dari per-samaan 3x + 13 =5 – x, untuk x variabelpada himpunan bilang-an bulat.

Penyelesaian:3x + 13 = 5 – x3x + 13 – 13 = 5 – x – 13 (kedua ruas dikurangi 13)3x = –8 – x3x + x = –8 – x + x (kedua ruas ditambah x)4x = –8

1 × 44

x =1 84

(kedua ruas dikalikan 1

4)

x = –2Jadi, himpunan penyelesaian dari persam aan 3x + 13 =5 – x adalah x = {–2}.

d. 12 + 3a = 5 + 2ae. 3(x + 1) = 2(x + 4)f. 5(y – 1) = 4 yg. 4(3 – 2y) = 15 – 7yh. 3(2y – 3) = 5( y – 2)i. 8 – 2(3 – 4y) = 7y – 1j. 5x + 7(3x + 2) = 6(4x + 1)

1. Tentukan himpunan penyelesaian daripersamaan berikut dengan menambahatau mengurangi kedua ruas denganbilangan yang sama, jika variabel padahimpunan bilangan bulat.a. m – 9 = 13b. –11 + x = 3c. 2a + 1 = a – 3


d. 7q = 5q – 12e. 6 – 5y = 9 – 4yf. 7n + 4 = 4n – 17g. 2(5 – 2x) = 3(5 – x)h. –2x + 5 = –( x + 9)i. 18 + 7x = 2(3x – 4)j. 3(2x – 3) – 2(1 – x) – (x + 3) = 0

2. Tentukan himpunan penyelesaian daripersamaan berikut dengan mengalikanatau membagi kedua ruas dengan bilang-an yang sama, jika variabel pada himpun-an bilangan bulat.a. 2x + 3 = 11b. 7x = 8 + 3xc. 3p + 5 = 17 – p

4. Penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel BentukPecahan

Dalam menentukan penyelesaian persamaan linear satuvariabel bentuk pecahan, caranya hampir sama dengan menye-lesaikan operasi bentuk pecahan aljabar . Agar tidak memuatpecahan, kalikan kedua ruas dengan KPK dari penyebut-penye-butnya, kemudian selesaikan persamaan linear satu variabel.

Tentukan penyelesaiandari persamaan

1 125 2

xx , jika x va-

riabel pada himpunan bi-langan rasional.

Penyelesaian:Cara 1

1 25

x =1

2x

10( 15

x – 2) = 101

2x

2x – 20 = 5(x – 1)2x – 20 + 20 = 5x – 5 + 20 (kedua ruas ditambah 20)2x = 5x + 152x – 5x = 5x + 15 – 5x (kedua ruas dikurangi 5x)–3x = 15(–3x) : (–3) = 15 : (–3) (kedua ruas dibagi –3)x = –5

Jadi, himpunan penyelesaian persamaan 1 125 2

xx

adalah {–5}.

(kedua ruas dikalikan KPKdari 2 dan 5, yaitu 10)


Cara 21 125 21 1 125 2 21 1 12 2 2 (kedua ruas ditambah 2)5 2 21 1 35 2 21 1 1 3 1 1(kedua ruas dikurangi )5 2 2 2 2 2

3 310 210 3 3 10 10(kedua ruas dikalikan )3 10 2 3 3

5

xx

x x

x x

x x

x x x x x

x

x

x

Jadi, himpunan penyelesaian persamaan 1 125 2

xx adalah

{–5}.


5. 4 5 212 4

z z

6. 2 2 13 2

x x

7. 5 2 3 2 13 4

x x

8. 1 12 5(1 ) 2( 2 )4 3

y y

9. 3 5 12 2

y y

10. ( 3) ( 1)32 4

x x

Tentukan himpunan penyelesaian persama-an-persamaan b erikut j ika v ariabel p adahimpunan bilangan rasional.

1. 1 15 44 2

y y

2. 1 11 22 3

x

3. 1 56 2 72 6

y y

4. 1 13 2 5( )4 2

x x


5. Grafik Himpunan Penyelesaian Persamaan Linear SatuVariabel

Grafik himpunan penyelesaian persamaan linear satu variabelditunjukkan pada suatu garis bilangan, yaitu berupa noktah (titik).

Tentukan himpunan penye-lesaian d ari p ersamaan4(2x + 3) = 10x + 8, jika xvariabel pada h impunanbilangan bulat. Kemudian,gambarlah pada garis bi-langan.

Penyelesaian:4(2x + 3) = 10x + 88x + 12 = 10x + 88x + 12 – 12 = 10x + 8 – 12 (kedua ruas dikurangi 12)8x = 10x – 48x – 10x = 10x – 4 – 10x (kedua ruas dikurangi 10x)–2x = –4–2x : (–2) = –4 : (–2) (kedua ruas dibagi –2)x = 2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {2}.Grafik himpunan penyelesaiannya sebagai berikut.

0 1 2–3 –2 –1–4 3 4–5 5 6 7


6. 5 836 9

x

7.4 2 2 1 6 3

3 2 4x x x

8. 3 24 5m m

9. 102 7n n

10.( 4) 2 3 13

4 3 4 2n n

Gambarlah grafik himpunan penyelesaianpersamaan-persamaan berikut pada garisbilangan jika variabel pada himpunan bilanganrasional.

1. 3x – 2 = 72. 5(y – 2) = 5

3.1 3 22

x

4. 5 – (4 – 3y) = 235. 24 – 5y = 3(10 – y)


C. PERTIDAKSAMAAN LINEAR SA TUVARIABEL

Dalam kehidupan sehari-hari, tentu kalian pernah menjumpaiatau menemukan kalimat-kalimat seperti berikut.a. Berat badan Asti lebih dari 52 kg.b. Tinggi badan Amri 7 cm kurang dari tinggi badanku.c. Salah satu syarat menjadi anggota TNI adalah tinggi badannya

tidak kurang dari 165 cm.d. Sebuah bus dapat mengangkut tidak lebih dari 55 orang.

Bagaimana menyatakan kalimat-kalimat tersebut dalambentuk kalimat matematika? Untuk dapat menjawabnya pelajariuraian berikut.

1. Pengertian KetidaksamaanAgar kalian memahami pengertian ketidaksamaan, coba ingat

kembali materi di sekolah dasar mengenai penulisan notasi <, >,, , dan .

a. 3 kurang dari 5 ditulis 3 < 5.b. 8 lebih dari 4 ditulis 8 > 4.c. x tidak lebih dari 9 ditulis x 9.d. Dua kali y tidak kurang dari 16 ditulis 2y 16.

Kalimat-kalimat 3 < 5, 8 > 4, x 9, dan 2 y 16 disebutketidaksamaan.Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut.

Suatu ketidaksamaan selalu ditandai dengan salah satu tandahubung berikut.“<” untuk menyatakan kurang dari .“>” untuk menyatakan lebih dari.“ ” untuk menyatakan tidak lebih dari a tau kurang dari

atau sama dengan .“ ” untuk menyatakan tidak kurang dari a tau lebih dari

atau sama dengan .

2. Pertidaksamaan Linear Satu VariabelDi bagian depan telah kalian pelajari bahwa suatu persamaan

selalu ditandai dengan tanda hubung “=”. Pada bagian ini kalianakan mempelajari ciri suatu pertidaksamaan.

Ada tiga bilangan ca-cah yang berbeda.Bilangan pertamaadalah bilangan yangterkecil, selisihnya 3dari bilangan kedua.Bilangan ketiga adalahbilangan yang terbesar,selisihnya 5 daribilangan kedua.Jumlah ketiga bilanganadalah 74. Tentukanhasil kali ketigabilangan tersebut.

(Menumbuhkan krea-tivitas)Buatlah 10 buahketidaksamaan.Gunakan notasi<, >, , atau .Ceritakan hasilnyasecara singkat didepan kelas.


Perhatikan kalimat terbuka berikut.a. 6x < 18 c. p + 2 5b. 3p – 2 > p d. 3x – 1 2x + 4

Kalimat terbuka di atas menyatakan hubungan ketidaksamaan.Hal ini ditunjukkan adanya tanda hubung <, >, , atau .

Kalimat t erbuka yang menyatakan hubungan ketidaksamaan(<, >, , atau ) disebut pertidaksamaan.

Pada kalimat (a) dan (d) di atas masing-masing mempunyaisatu variabel yaitu x yang berpangkat satu (linear). Adapun padakalimat (b) dan (c) mempunyai satu variabel berpangkat satu, yaitup. Jadi, kalimat terbuka di atas menyatakan suatu pertidaksamaanyang mempunyai satu variabel dan berpangkat satu.

Pertidaksamaan linear satu variabel adalah pertidaksamaan yanghanya mempunyai satu variabel dan berpangkat satu (linear).

Dari bentuk-bentuk beri-kut, tentukan yang meru-pakan pertidaksamaan l i-near dengan satu variabel.a. x – 3 < 5b. a 1 – 2bc. x2 – 3x 4

Penyelesaian:a. x – 3 < 5

Pertidaksamaan x – 3 < 5 mempunyai satu variabel,yaitu x dan berpangkat 1, sehingga x – 3 < 5 merupakanpertidaksamaan linear satu variabel.

b. a 1 – 2bPertidaksamaan a 1 – 2b mempunyai dua variabel,yaitu a dan b yang masing-masing berpangkat 1.Dengan demikian a 1 – 2b bukan suatu pertidak-samaan linear satu variabel.

c. x2 – 3x 4Karena pertidaksamaan x2 – 3 x 4 mempunyaivariabel x dan x2, maka x2 – 3x 4 bukan merupakanpertidaksamaan linear satu variabel.

(Menumbuhkan inovasi)Tuliskan sebarang pertidaksamaan sebanyak 5 buah. Tunjukkanyang merupakan pertidaksamaan linear satu variabel.Kemukakan hasilnya secara singkat di depan kelas.


Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.4. Tulislah kalimat berikut dalam bentuk

ketidaksamaan.a. Jumlah x dan 4 kurang dari 6.b. Hasil pengurangan p dari 9 lebih dari

–6.c. 3 dikurangkan dari y hasilnya tidak

kurang dari 2.d. Hasil kali 5 dan x kurang dari atau

sama dengan 12.5. Dari bentuk-bentuk berikut, manakah

yang merupakan pertidaksamaan linearsatu variabel? Jelaskan jawabanmu.a. x + 6 < 9b. 8 – q2 > –1c. m + n 4

d.1 3

2p

pe. 4 – 2x – x2 0f. 3(x – 5) < 2(8 – x)g. 2p2 – 4pq + 3q2 > 0h. 4x – 4 3y + 8

1. Sisipkan lambang >, =, atau < di antarapasangan bilangan di bawah ini sehing-ga menjadi pernyataan yang benar.a. 3 ... –8 d. –2 ... –4

b. 16 ... 42 e. 3 1...4 2

c. 0,1 ... 0,5

2. Tulislah kalimat berikut dalam bentukketidaksamaan.a. 9 kurang dari 13b. 3 terletak antara –2 dan 5c. m lebih dari 4d. y tidak kurang dari 50e. n tidak lebih dari 45f. l paling sedikit 72

3. Nyatakan bentuk-bentuk berikut menja-di satu ketidaksamaan.a. 3 < 5 dan 5 < 8b. 0 > –1 dan –1 > –5c. 10 > 4 dan 10 < 15d. 2 < 6 dan 2 > –3e. 3 > –6 dan 3 < 10f. –5 < 0 dan –5 > –7

3. Penyelesaian Per tidaksamaan Linear Satu V ariabelPada bagian depan telah kalian pelajari cara menyelesaikan

persamaan linear satu variabel, salah satunya dengan substitusi(penggantian). Hal ini juga berlaku pada pertidaksamaan linearsatu variabel.

Perhatikan pertidaksamaan 10 – 3 x > 2, dengan x variabelpada himpunan bilangan asli.Jika x diganti 1 maka 10 – 3x > 2

10 – 3 1 > 27 > 2 (pernyataan benar)


Jika x diganti 2 maka 10 – 3x > 210 – 3 2 > 24 > 2 (pernyataan benar)

Jika x diganti 3 maka 10 – 3x > 210 – 3 3 > 21 > 2 (pernyataan salah)

Jika x diganti 4 maka 10 – 3x > 210 – 3 4 > 2–2 > 2 (pernyataan salah)

Ternyata untuk x = 1 dan x = 2, pertidaksamaan 10 – 3x > 2menjadi kalimat yang benar. J adi, h impunan penyelesaian dari10 – 3x > 2 adalah {1, 2}.Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut.

Pengganti variabel dari suatu pertidaksamaan, sehingga menjadipernyataan yang benar disebut penyelesaian dari pertidaksa-maan linear satu variabel.

Diskusikan dengantemanmu.Tentukan himpunanpenyelesaian perti-daksamaan berikut,jika x, y variabel padahimpunan bilanganrasional.a. 2(2y – 1) < 3(2y + 3)b. 5(5 – 3y) – (–y + 6) > 8c. 2(2 – 3x) > 2x – 12

d.2 2

1 < 2 43 3

x x

Selidikilah, bagaima-na himpunan penye-lesaian pertidaksa-maan di atas jika x, yvariabel padaa. himpunan bilangan

asli;b. himpunan bilangan

cacah;c. himpunan bilangan

bulat.

Tentukan himpunan penye-lesaian dari pertidaksama-an 4x – 2 > 3x + 5 denganx variabel pada himpunanbilangan cacah.

Penyelesaian:Cara 1Dengan mengganti tanda “>” dengan “=” diperolehpersamaan 4x – 2 = 3 x + 5.Dengan cara menyelesaikan persamaan tersebut diperolehpenyelesaiannya adalah x = 7. Selanjutnya ambillah satubilangan cacah yang kurang dari 7 dan lebih dari 7.Periksalah nilai x yang memenuhi pertidaksamaan4x – 2 > 3x + 5.Jika x diganti 6 maka 4 6 – 2 > 3 6 + 5

22 > 23 (bernilai salah)Jika x diganti 8 maka 4 8 – 2 > 3 8 + 5

30 > 29 (bernilai benar)Karena nilai x yang memenuhi adalah lebih besar dari 7,maka himpunan penyelesaian dari 4x – 2 > 3x + 5 adalah{8, 9, 10, ...}.


Cara 24x – 2 > 3x + 5

4x – 2 + 2 > 3x + 5 + 2 (kedua ruas ditambah 2)4x > 3x + 7

4x + (–3x) > 3x + (–3x) + 7 (kedua ruas ditambah –3x)x > 7

Karena x variabel pada himpunan bilangan cacah maka himpunanpenyelesaiannya adalah {8, 9, 10, ...}.

Cara 34x – 2 > 3x + 5

4x – 2 – 5 > 3x + 5 – 5 (kedua ruas dikurangi 5)4x – 7 > 3x

4x + (–4x) – 7 > 3x + (–4x) (kedua ruas ditambah –4x)–7 > –x

–7 : (–1) < –x : (–1) (kedua rua s di bagi denga n–1 tetapi tanda ketidaksamaanberubah menjadi <)

7 < x atau x > 7Karena x a nggota b ilangan c acah m aka h impunan p enye-lesaiannya adalah {8, 9, 10, ...}.

Berdasarkan contoh di atas, untuk menentukan penyelesaianpertidaksamaan linear satu variabel, dapat dilakukan dalam duacara sebagai berikut.a. Mencari lebih dahulu penyelesaian persamaan yang diperoleh

dari pertidaksamaan dengan mengganti tanda ketidaksamaandengan tanda “=”.

b. Menyatakan ke dalam pertidaksamaan yang ekuivalen.Dari uraian tersebut dapat disimpulkan sebagai berikut.

Suatu pertidaksamaan dapat dinyatakan ke dalam pertidaksa-maan yang ekuivalen dengan cara sebagai berikut.a. Menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan

yang sama tanpa mengubah tanda ketidaksamaan.b. Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan positif

yang sama tanpa mengubah tanda ketidaksamaan.c. Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan ne-

gatif yang sama, tetapi tanda ketidaksamaan berubah, dimana1) > menjadi <; 3) < menjadi >;2) menjadi ; 4) menjadi .



4. Pertidaksamaan Linear Satu V ariabel Bentuk PecahanPada bagian depan kalian telah mempelajari persamaan li-

near satu variabel bentuk pecahan dan penyelesaiannya. Konseppenyelesaian pada persamaan linear satu variabel bentuk pecahandapat kalian gunakan untuk menyelesaikan pertidaksamaan linearsatu variabel bentuk pecahan.

Tentukan himpunan pe-nyelesaian pertidaksama-

an 1 132 5

x x , dengan x

variabel pada{–15, –14, ..., 0}.

Penyelesaian:Cara 1

1 32

x 15

x

110 32

x 1 105

x

5x + 30 2x

(kedua ruas dikalikanKPK dari 2 dan 5,yaitu 10)

(Berpikir kritis)Buatlah 5 buah soal yang berkaitan dengan pertidaksamaanlinear satu variabel. Kemudian, tentukan himpunan penyelesaian-nya. Buktikan kebenaran dari kesimpulan pada uraian di atas.Eksplorasilah hal tersebut. Diskusikan hal ini dengan temansebangkumu. Hasilnya, ceritakan secara singkat di depan kelas.

Tentukan h impunan p enyelesaian p ertidaksamaan b erikut j ikapeubah pada himpunan bilangan cacah.

1. 2x – 1 < 72. p + 5 93. 4 – 3q 104. 4x – 2 > 2x + 55. 2(x – 3) < 3(2x + 1)6. 12 – 6y –6

7. 3(2t – 1) 2t + 98. 2(x – 30) < 4(x – 2)9. 6 – 2(y – 3) 3(2y –

4)

10.6 3 2( 3)

3 2x x

11. –2n < 3n – 512. 25 + 2q 3(q – 8)13. 3p – 14 < 4p + 2

14.6(2 5) 3(2 4)

5 2x x

15. 1 33 3m m


5x + 30 – 30 2x – 30 (kedua ruas dikurangi 30)5x 2x – 305x – 2x 2x – 30 – 2 x (kedua ruas dikurangi 2x)3x –303x : 3 –30 : 3 (kedua ruas dibagi 3)x –10

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalahx = {–15, –14, ..., –10}.

Cara 2

1 32

x 15

x

1 3 32

x 1 35

x (kedua ruas dikurangi 3)

12

x 1 35

x

1 12 5

x x 1 135 5

x x (kedua ruas dikurangi 15 x )

310

x –3

10 33 10

x1033

(kedua ruas dikalikan 103

)

x –10Jadi, himpunan penyelesaiannya adalahx = {–15, –14, ..., –10}.

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.3. 2 1( 1) 2

3 5p p

4. 1 3( 2) 23 2

xx

5. 1 11 ( 1)3 2

x x

6. 1 1( 5) ( 1) 32 4

x x

Tentukan himpunan penyelesaian daripertidaksamaan berikut, jika variabel padahimpunan bilangan bulat.

1. 1 11 ( 4)2 3

t t

2. 3 64

y


9. 2 4 24 6 3

t t

10. 2 3 14 03 5m m

7. 1 1(5 1) (2 1)3 2

y y

8. 2 3 3 113 2 5

x x

5. Grafik Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan LinearSatu Variabel

Grafik himpunan penyelesaian persamaan linear satu variabelditunjukkan pada suatu garis bilangan, yaitu berupa noktah (titik).Demikian halnya pada pertidaksamaan linear satu variabel.Perhatikan contoh berikut.

Tentukan himpunan penye-lesaian dari pertidaksama-an 4x – 2 5 + 3x, untukx variabel pada himpunanbilangan asli. Kemudian,gambarlah grafik himpun-an penyelesaiannya.

Penyelesaian: 4 x – 2 5 + 3x 4x – 2 + 2 5 + 3x + 2 (kedua ruas ditambah 2) 4x 3x + 7 4x + (–3x) 3x + (–3x) + 7 (kedua ruas ditambah (–3x))x 7

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {1, 2, 3, ..., 7}.Garis bilangan yang menunjukkan himpunan penyelesaiannyasebagai berikut.

0 1 2 8 9 105 6 73 4

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.5. 6 – 2(y – 3) 3(2y – 4)6. 7y > 5y + 47. x + 20 < 52 – 7x8. 4x – 2 < 2x + 5

9.1 ( 7) 13

y y

10.1 1(2 1) (5 1)3 3

y y

Tentukan himpunan penyelesaian dari perti-daksamaan berikut, kemudian gambarlahgrafik himpunan penyelesaiannya, jika pe-ubah pada himpunan bilangan bulat.

1. 2(x – 3) < 4( x – 2)2. –2 x + 3 5

3.2 1 33 3 4x x

4. 4(y – 5) < 2(4 – 3 y) + 2


x – 6

x

D. MEMBUAT MODEL MA TEMATIKA DANMENYELESAIKAN SOAL CERI TA YANGBERKAITAN DENGAN PERSAMAANLINEAR S ATU V ARIABEL

Permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang berkaitandengan persamaan linear satu variabel biasanya disajikan dalambentuk soal cerita.

Untuk menyelesaikannya, buatlah terlebih dahulu modelmatematika berdasarkan soal cerita tersebut. Kemudian, sele-saikanlah.

Untuk lebih jelasnya, pelajari contoh berikut.

1. Seorang petani mem-punyai sebidang tanahberbentuk persegipanjang. Lebar tanahtersebut 6 m lebih pen-dek daripada panjang-nya. Jika keliling tanah60 m, tentukan luastanah petani tersebut.

Penyelesaian:Misalkan panjang tanah = x maka lebar tanah = x – 6.Model matematika dari soal di samping adalah p = x danl = x – 6, sehingga

K = 2(p + l)60 = 2(x + x – 6)

Penyelesaian model matematika di atas sebagai berikut.K = 2(p + l)60 = 2(x + x – 6)60 = 2(2x – 6)60 = 4 x – 1260 + 12 = 4x – 12 + 1272 = 4 x724

= 44x

18 = xLuas = p l

= x(x – 6)= 18(18 – 6)= 18 12 = 216

Jadi, luas tanah petani tersebut adalah 216 m2.



2. Diketahui harga sepa-sang sepatu dua kaliharga sepasang san-dal. Seorang pedagangmembeli 4 pasangsepatu dan 3 pasangsandal. Pedagang ter-sebut harus membayarRp275.000,00.a. Buatlah model

matematika dariketerangan di atas.

b. Selesaikanlah mo-del m atematikatersebut. Kemu-dian, tentukanharga 3 pasangsepatu dan 5pasang sandal.

Penyelesaian:a. Misalkan harga sepasang sepatu = x dan harga

sepasang sandal = y. Model matematika berdasarkanketerangan di atas adalah x = 2y dan 4x + 3y = 275.000.

b. Dari model matematika diketahui x = 2y dan 4x + 3y =275.000. Digunakan motode substitusi, sehinggadiperoleh

4 3 275.0004 2 3 275.0008 3 275.00011 275.000

25.000

x yy y

y yy

yKarena x = 2y dan y = 25.000, maka

x = 2 25.000x = 50.000

Jadi, harga sepasang sepatu adalah Rp50.000,00 danharga sepasang sandal Rp25.000,00.Harga 3 pasang sepatu dan 5 pasang sandal dapatditulis sebagai 3x + 5y, sehingga 3x + 5y = (3 50.000) + (5 25.000)

= 150.000 + 125.000= 275.000

Jadi, harga 3 pasang sepatu dan 5 pasang sandal adalahRp275.000,00.

1. Diketahui harga 1 kg buah anggur tigakali harga 1 kg buah salak. Jika ibu mem-beli 2 kg buah anggur dan 5 kg buah salakmaka ibu harus membayar Rp38.500,00.a. Buatlah kalimat matematika dari ke-

terangan di atas, kemudian selesai-kanlah.

b. Berapakah harga 1 kg buah anggurdan 1 kg buah salak?

c. Jika seseorang membeli 3 k g buahanggur dan 4 kg buah salak, berapa-kah ia harus membayar?

2. Model kerangka sebuah balok dibuatdari seutas kawat berukuran panjang(x + 6) cm, lebar x cm, dan tinggi(x – 5) cm.a. Berdasarkan k eterangan t ersebut,

nyatakan rumus panjang kawat yangdibutuhkan dalam x.

b. Jika panjang kawat yang diperlukan100 cm, tentukan ukuran balok ter-sebut.

c. Hitunglah volume balok tersebut.


5. Sebuah persegi panjang mempunyaiukuran panjang (3x – 4) cm dan lebar(x + 1) cm.a. Tulislah rumus kelilingnya dan nyata-

kan dalam bentuk yang paling seder-hana.

b. Jika kelilingnya 34 cm, tentukan luaspersegi panjang tersebut.

3. Jumlah tiga bilangan genap yang ber-urutan adalah 108. T entukan bilangan-bilangan itu.

4. Umur Vera 4 tahun kurangnya dari umurTogar. Jika jumlah umur mereka 24 tahun,tentukan umur mereka masing-masing.

E. MEMBUAT MODEL MA TEMATIKA DANMENYELESAIKAN SOAL CE RITA YANGBERKAITAN DE NGAN PERTIDAKSAMAANLINEAR SATU VARIABEL

1. Suatu model kerangkabalok terbuat dari kawatdengan ukuran panjang(x + 5) cm, lebar (x – 2)cm, dan tinggi x cm.a. Tentukan mode l

matematika daripersamaan panjangkawat yang diper-lukan dalam x.

b. Jika panjang kawatyang digunakan se-luruhnya tidak lebihdari 132 cm, tentu-kan ukuran maksi-mum balok tersebut.

Penyelesaian:a. Misalkan panjang kawat yang

diperlukan = K, maka modelmatematikanya sebagai berikut.K = 4p + 4l + 4t

= 4(x + 5) + 4(x – 2) + 4 x= 4x + 20 + 4x – 8 + 4x= 12x + 12

b. Panjang kawat tidak lebih dari 132 cm dapat ditulisK = 12x + 12 132 cm, sehingga diperoleh 12x + 12 132

12x + 12 – 12 132 – 1212x 1201 12

12x 1120

12x 10

(x + 5) cm (x – 2) c

m

x cm

Gambar 4.1

(Berpikir Kritis)Perhatikan kejadian (peristiwa) di lingkungan sekitarmu.Tuliskan masalah yang berkaitan dengan persamaan linearsatu variabel, kemudian selesaikanlah. Ceritakan hasilnyasecara singkat di depan kelas.


Nilai maksimum x = 10 cm, sehingga diperolehp = (x + 5) cm = 15 cml = (x – 2) cm = 8 cmt = x = 10 cm.Jadi, ukuran maksimum balok adalah (15 8 10) cm.

2. Permukaan sebuahmeja berbentuk per-segi panjang denganpanjang 16 x cm danlebar 10 x cm. Jikaluasnya t idak k urangdari 40 dm 2, tentukanukuran minimum per-mukaan meja tersebut.

Penyelesaian:Diketahui panjang permukaan meja (p) = 16x, lebar (l) =10x, dan luas = L.Model matematika dari luas persegi panjang adalah

2

L16 10160

p lx x

xLuas tidak kurang dari 40 dm2 = 4.000 cm2 dapat ditulisL = 160x2 4.000, sehingga diperoleh

2

2

160 4.000255

xxx

Nilai minimum x = 5 cm, sehingga diperolehp = 16x cm = 16 5 cm = 80 cml = 10x cm = 10 5 cm = 50 cm.Jadi, ukuran minimum permukaan meja tersebut adalah(80 50) cm.


1. Persegi panjang mempunyai panjang(x + 7) cm dan lebar ( x – 2) cm. Jikakelilingnya tidak lebih dari 50 cm, tentu-kan luas maksimum persegi panjangtersebut.

2. Panjang diagonal-diagonal suatu layang-layang adalah (2x – 3) cm dan (x + 7) cm.

Jika diagonal pertama lebih panjang daridiagonal kedua, tentukan luas minimumlayang-layang tersebut.

3. Model kerangka kubus dibuat dari ka-wat yang panjang rusuknya (x + 2) cm.Jika panjang kawat yang diperlukan tidakmelebihi 180 cm, tentukan panjang rusukkubus tersebut.


5. Suatu lempeng logam berbentuk segitigadengan panjang sisi-sisinya 3 a cm,4a cm, dan 5a cm. Jika kelilingnya tidakkurang dari 72 cm, tentukan ukuran mini-mum segitiga tersebut.

4. Panjang diagonal-diagonal suatu jajargen-jang diketahui berturut-turut (3x – 5) cmdan (x + 7) cm. Jika diagonal pertamalebih panjang dari diagonal kedua, susun-lah pertidaksamaan yang memenuhi danselesaikanlah.

F. LOGIKA MATEMATIKA (PENGAYAAN)

Ketika seorang ahli matematika akan membuktikan ataumemutuskan situasi yang dihadapi, maka ia harus menggunakansistem logika. Demikian halnya dengan para programer komputer,tidak lepas dari kaidah-kaidah logika.

Logika adalah suatu metode atau teknik yang diciptakanuntuk meneliti ketepatan penalaran. Penalaran adalah suatu bentukpemikiran yang masuk akal. Untuk menyampaikan pemikirantersebut seseorang menggunakan kalimat. Dalam matematika, adatiga bentuk kalimat, yaitu kalimat pernyataan, kalimat bukanpernyataan, dan kalimat terbuka. Coba kalian ingat kembalipengertian dari kalimat-kalimat tersebut.1. Tiga adalah bilangan prima (pernyataan).2. Wah, tampan sekali pemuda itu (bukan pernyataan).3. 2x – 3 = 7 (kalimat terbuka).

Pada bagian ini kita akan mempelajari bagian-bagian darisuatu pernyataan.

1. Pernyataan Sederhana dan Pernyataan MajemukPada bagian depan telah kalian pelajari bahwa pernyataan

adalah suatu kalimat yang bernilai benar atau salah, tetapi tidaksekaligus benar dan salah. Nilai kebenaran suatu pernyataantergantung pada kebenaran atau ketidakbenaran realitas yangdinyatakannya. Kebenaran berdasarkan realitas disebut kebenaranfaktual. Adapun benar atau salahnya suatu pernyataan disebut nilaikebenaran pernyataan itu.

a. Rasa gula itu manis.b. 7 adalah bilangan genap.c. Pantai Parangtritis terletak di Pulau Jawa dan Daerah Istimewa

Jogjakarta.

(Berpikir kritis)Amatilah kejadian(peristiwa) dilingkungan sekitarmu.Tuliskan masalahyang berkaitan denganpertidaksamaan linearsatu variabel,kemudianselesaikanlah.Ceritakan hasilnyasecara singkat didepan kelas.


Contoh a dan b adalah pernyataan yang hanya menyatakanpemikiran tunggal, sedangkan contoh c adalah pernyataanmajemuk.

Pernyataan yang menyatakan pikiran tunggal disebutpernyataan sederhana, sedangkan pernyataan yang terdiri daribeberapa pernyataan sederhana dengan bermacam-macam katahubung disebut pernyataan majemuk .

Lambang-lambang yang umumnya dipakai untuk menyatakansuatu pernyataan dalam logika sebagai berikut.a. Huruf p, q, r, ... untuk menyatakan suatu pernyataan.

Contoh: p : Cuaca hari ini mendung.q : 16 – 5 = 11

b. B (benar), T (true), atau 1 untuk menyatakan nilai benar.S (salah), F (false), atau 0 untuk menyatakan nilai salah.


b. Dewi datang ketika kami sudah pu-lang.

c. Adik menyapu halaman, sedangkanTono mencuci motor.

d. Motor ayah macet karena kehabisanbensin.

e. Ibu telah menyiapkan sarapan pagiketika kami akan berangkat ke seko-lah.

1. Tentukan kalimat berikut ini, manakahyang merupakan kalimat pernyataan ataubukan pernyataan.a. (–3)3 = –9b. Ibu kota Indonesia adalah Jakarta.c. 2 + 5 13d. Ada tujuh hari dalam seminggu.e. Mari kita belajar kelompok.

2. Tentukan pernyataan-pernyataan tunggaldari pernyataan majemuk berikut ini.a. Walaupun hari masih pagi tetapi aku

tetap berangkat ke kantor.

2. Sistem Lambang Logika PernyataanLambang-lambang pernyataan tertentu, baik pernyataan

tunggal maupun majemuk, biasanya menggunakan variabelpernyataan, yaitu p, q, atau r dan seterusnya. Perhatikan contohberikut.


a. Pernyataan tunggalq : Saya berangkat ke sekolah ............................................ (i)p : Ini hari Sabtu ................................................................ (ii)

b. Pernyataan majemukIni hari Sabtu atau saya berangkat ke sekolah ................. (iii)Ini hari Sabtu dan saya berangkat ke sekolah .................. (iv)

Pernyataan majemuk (iii) dan (iv) masing-masing dapat ditulisdengan lambang sebagai berikut.

(iii) p atau q(iv) p dan qKata “atau” dan “dan” yang menghubungkan p dan q disebut

kata “perekat” atau kata hubung. Kata hubung tersebut merupakanoperator pernyataan dalam logika. Ada lima operator pernyataan.Perhatikan tabel berikut.

Pada pembahasan kali ini kalian hanya akan mempelajarimengenai operator pernyataan negasi dan konjungsi. Adapun ope-rator disjungsi, implikasi, dan biimplikasi akan kalian pelajari ditingkat yang lebih lanjut.

Agar kalian dapat memahami mengenai negasi dan konjungsicoba kalian ingat kembali pengertian kalimat terbuka dan himpunanpenyelesaian kalimat terbuka.

3. Ingkaran atau Negasi Suatu PernyataanJika p adalah suatu pernyataan maka ingkarannya dinotasikan

sebagai ~p atau –p atau p . Apabila pernyataan p bernilai benar,maka pernyataan ~p bernilai salah. Sebaliknya, apabila pernyataanp bernilai salah, maka pernyataan ~p bernilai benar.

No.Operator

Nama LambangArti Dalam Bahasa Sehari-Hari

1.2.3.4.5.

NegasiKonjungsiDisjungsiImplikasi/KondisiBiimplikasi

tidak, bukandan, tetapi, meskipun, walaupunatauJika ... maka ....Jika dan hanya jika ... maka ....


p ~p

BS

SB

a. p : Semua siswa memakai sepatu hitam.~p : Tidak benar bahwa semua siswa memakai sepatu hitam,

atau~p : Semua siswa tidak memakai sepatu hitam.Nilai kebenaran pernyataan p tergantung kenyataannya. Jikap bernilai benar maka ~p bernilai salah atau sebaliknya.

b. r : Gunung Tangkuban Perahu terletak di JawaBarat ........................................................................ (B)

~r : Gunung Tangkuban Perahu tidak terletak di JawaBarat ........................................................................ (S)


Ingkaran atau negasi suatu pernyataan p adalah pernyataan ~pyang bernilai benar jika p bernilai salah dan bernilai salah jika pbernilai benar.

Agar kalian lebih jelas, perhatikan tabel kebenaran berikut.Keterangan:B = benarS = salah

Tabel kebenaran tersebut digunakan untuk menentukan nilaikebenaran suatu pernyataan beserta negasinya.

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.2. Tentukan himpunan penyelesaian kalimat

terbuka di bawah ini agar menjadipernyataan yang benar.a. x2 – 4 = 0b. y adalah bilangan prima kurang dari

20.c. –3a – 1 = 8, a bilangan bulat.d. x adalah kelipatan persekutuan ter-

kecil dari 12 dan 35.e. p + q = 15, untuk p, q bilangan asli.

1. Tentukan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan berikut.a. Semua bilangan prima adalah ganjil.b. Hasil kali bilangan bulat negatif dan

bilangan bulat negatif adalah bilanganpositif.

c. Bandar udara Sultan Thoha terletakdi Jambi.

d. 5 (–7) = (–7) : 5.e. Australia terletak di Benua Asia.


4. KonjungsiNilai dan tabel kebenaran konjungsi

Konjungsi merupakan pernyataan majemuk dengan katapenghubung dan. Dua pernyataan p dan q yang dinyatakan dalambentuk p q disebut konjungsi. (p q dibaca: p dan q)

Pernyataan p q disebut juga sebagai pernyataan konjungtifdan masing-masing p serta q disebut komponen (subpernyataan).Kata penghubung “dan” sering kali berarti “kemudian, lantas, lalu”.Konjungsi bersifat simetrik, artinya p q ekuivalen dengan q p.

Meskipun hari hujan, ia tetap berangkat bekerja.Pernyataan tersebut sama artinya dengan:Ia tetap berangkat bekerja meskipun hari hujan.

Kata-kata yang membentuk konjungsi selain dan adalahmeskipun, tetapi, sedangkan, padahal, sambil, yang, juga,walaupun, dan lain-lain.

Nilai kebenaran konjungsi disajikan pada tabel kebenaran disamping.

Konjungsi dua pernyataan p dan q bernilai benar hanya j ikakedua komponennya bernilai benar.

a. p : Pura Tanah Lot terletak di Bali .......................... (B)q : Pura Tanah Lot berada di pantai ........................ (B)p q : Pura Tanah Lot terletak di Bali dan berada di pantai

............................................................................ (B)

b. p : Pura Tanah Lot terletak di Bali .......................... (B)q : Pura Tanah Lot tidak berada di pantai ............... (S)p q : Pura Tanah Lot terletak di Bali dan tidak berada di

pantai .................................................................. (S)

p q p x q( )

BBSS

BSBS

BSSS

3. Tentukan ingkaran pernyataan berikut iniserta tentukan nilai kebenarannya.a. (–9) 6 = –54.b. Bunga melati berwarna merah.

c. Aku mempunyai adik.d. Taj Mahal terletak di India.e. 75 habis dibagi 4.


c. p : Pura Tanah Lot terletak di Aceh ........................ (S)q : Pura Tanah Lot berada di pantai ........................ (B)p q : Pura Tanah Lot terletak di Aceh dan berada di pantai

............................................................................ (S)

d. p : Pura Tanah Lot terletak di Sulawesi .................. (S)q : Pura Tanah Lot tidak berada di pantai ............... (S)p q : Pura Tanah Lot terletak di Sulawesi dan tidak berada

di pantai .............................................................. (S)

Catatan:– Dalam pernyataan majemuk, kedua pernyataan tunggalnya

boleh tidak mempunyai hubungan.Contoh: Ibu kota Filipina adalah Manila dan 3 + 7 = 10.

– Ada pernyataan majemuk yang menggunakan kata hubung dantetapi bukan konjungsi.Contoh: Ibu pulang dari pasar dan terus memasak.Pernyataan tersebut bukan konjungsi, karena kata “dan” padacontoh tersebut mengandung pengertian waktu.

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.2. Diketahui pernyataan-pernyataan se-

bagai berikut.k : 2 adalah bilangan prima genap.

l : 5 adalah 25.m : Taman wisata Dieng terletak di

Jawa Timur.Tentukan nilai kebenaran dari pernyataanyang dinyatakan dengan notasi berikut.a. k l d. k ~lb. k m e. ~m lc. l m

1. Diketahui pernyataan-pernyataan seba-gai berikut.p : Kamboja adalah salah satu negara

anggota ASEAN.q : Ibu kota Kamboja terletak di Phnom

Penh.Tentukan pernyataan-pernyataan maje-muk yang dinyatakan dengan notasiberikut.a. p q e. ~p ~qb. q p f. ~q ~pc. ~p q g. ~(p q)d. p ~q h. ~(p ~q)

kalimat

1. Pernyataan adalah kalimat yang dapat ditentukan nilaikebenarannya (bernilai benar atau bernilai salah).


2. Kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat variabel danbelum diketahui nilai kebenarannya.

3. Himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka adalah himpunansemua pengganti dari variabel-variabel pada kalimat terbukasehingga kalimat tersebut bernilai benar.

4. Persamaan adalah kalimat terbuka yang dihubungkan olehtanda sama dengan (=).

5. Persamaan linear satu variabel adalah kalimat terbuka yangdihubungkan oleh tanda sama dengan (=) dan hanya mem-punyai satu variabel berpangkat satu. Bentuk umum per-samaan linear satu variabel adalah ax + b = 0 dan a 0.

6. Penyelesaian persamaan linear adala h pengganti var iabel xyang menyebabkan persamaan bernilai benar.

7. Dua persamaan atau lebih dikatakan ekuivalen jika mempunyaihimpunan penyelesaian yang sama dan dinotasikan dengantanda “ ”.

8. Suatu persamaan dapat dinyatakan ke dalam persamaan yangekuivalen dengan cara:

a. menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilanganyang sama;

b. mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan yangsama.

9. Suatu ketidaksamaan selalu ditandai dengan salah satu tandahubung berikut.

“<” untuk menyatakan kurang dari . “>” untuk menyatakan lebih dari. “ ” untuk menyatakan tidak lebih dari a tau kurang dari

atau sama dengan . “ ” untuk menyatakan tidak kurang dari a tau lebih dari

atau sama dengan .10. Pertidaksamaan a dalah k alimat t erbuka y ang m enyatakan

hubungan ketidaksamaan (>, <, , atau ).11. Untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan linear satu

variabel, dapat dilakukan dalam dua cara sebagai berikut. a. Mencari lebih dahulu penyelesaian persamaan yang diper-

oleh dari pertidaksamaan dengan mengganti tanda ketidak-samaan dengan tanda “=”.

b. Menyatakan ke dalam pertidaksamaan yang ekuivalen.


Setelah mempelajari mengenai Persamaan dan Pertidaksa-maan Linear Satu V ariabel, coba rangkum materi yang telahkamu pahami. Catat materi yang belum kamu pahami dan tanyakankepada gurumu. Berilah contoh masalah beserta penyelesaiannyayang berkaitan dengan persamaan dan pertidaksamaan linear satuvariabel. Hasilnya, kemukakan secara singkat di depan kelas.


4. Harga sebuah buku sama dengan duakali harga pensil. Jika 6 buku dan 15pensil harganya Rp21.600,00, hargasatu buku adalah ....a. Rp1.600,00 c. Rp800,00b. Rp1.500,00 d. Rp750,00

5. Tiga bilangan genap yang berurutanjumlahnya 108. Bilangan yang terbesaradalah ....a. 36 c. 40b. 38 d. 44

6. Jika pengurangan 2x dari 3 hasilnyatidak kurang dari 5 maka nilai x adalah....a. x 4 c. x 4b. x –1 d. x –1

7. Batas n ilai x dari pertidaksamaan

1 1( 2) ( 2)3 4

x x jika x variabel

pada himpunan bilangan bulat adalah....a. x < 2 c. x < –2b. x > 2 d. x > –2

1. Penyelesaian dari p ersamaan 6 – 2 x= 5 x + 20 dengan x variabel padahimpunan bilangan bulat adalah ....a. x = 1 c. x = –2b. x = 2 d. x = –1

2. Diketahui persamaan-persamaan ber-ikut.

(i)1 3 15

x (iii) x – 15 = 5

(ii) x – 5 = 5 (iv) 3x – 45 = 15

Dari persamaan di atas yang merupa-kan persamaan ekuivalen adalah ....a. (i), (ii), dan (iii)b. (i), (iii), dan (iv)c. (i), (ii), dan (iv)d. (ii), (iii), dan (iv)

3. Panjang si si-sisi s ebuah s egitigadiketahui 2x cm, (2 x + 2) cm, dan(3x + 1) cm. Jika kelilingnya 24 cm,panjang sisi yang terpanjang adalah ....a. 6 cm c. 10 cmb. 8 cm d. 12 cm


B. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan singkat dan tepat.1. Jika variabel pada himpunan bilang-

an rasional, tentukan himpunan penye-lesaian dari setiap persamaan berikut.

a.4 5 1

2 5x x

b. 1 322 2

x

c. 102 7x x

d.1 12 ( 1)5 2

x x

e. 12 13 122

y yf. 5(13 – y) = 9y – (2y – 5)

2. Panjang sisi-sisi suatu persegi panjangdiketahui (2x – 6) cm dan (x + 8) cm.Jika kelilingnya 28 cm, tentukan luaspersegi panjang tersebut.

3. Diketahui harga sepasang sepatu 2 kaliharga sepasang sandal. Jumlah hargakedua pasang sepatu dan sandal terse-but Rp82.500,00. Susunlah persamaandalam x dan tentukan harga sepatu dansandal tersebut.

9. Penyelesaian dari 2(3 – 3 x) > 3 x –12, jika x v ariabel p ada h impunanbilangan bulat adalah ....a. x < –2 c. x < 2b. x > –2 d. x > 2

10. Panjang sisi-sisi sebuah persegi dike-tahui (x + 2) cm. Jika kelilingnya tidaklebih dari 20 cm, luas maksimumpersegi tersebut adalah ....a. 9 cm2 c. 20 cm2

b. 16 cm2 d. 25 cm2

8. Grafik himpunan penyelesaian dari2x + 4 > 3x + 2 dengan x variabel pada{–3, –2, –1, ..., 3} adalah ....a.

0 1 2–3 –2 –1 3 4b.

0 1 2–3 –2 –1 3 4c.

0 1 2–3 –2 –1 3 4d.

0 1 2–3 –2 –1 3 4

4. Dengan peubah pada himpunan bilang-an bulat, tentukan penyelesaian perti-daksamaan b erikut, k emudian g am-barlah grafik himpunan penyelesaian-nya.a. 4(x – 3) < x + 3

b. 1 52 3x x

c.2 4 2

4 6 3x x

d.12 5 2 5( 3)2

x x

e.2 3 3 11

3 2 5x x

f. 13 2x x

5. Seorang anak mengendarai sepedadengan kecepatan (x + 3 ) k m/jamselama 1 jam 15 menit. Kemudiandengan k ecepatan ( 2x – 4) km/jamselama 1 jam 30 menit. Jika jarak yangditempuh seluruhnya tidak lebih dari19 km, susunlah pertidaksamaandalam x dan selesaikanlah.

5 PERBANDINGAN DANARITMETIKA SOSIAL

Tujuan pembelajaranmu pada bab ini adalah:dapat menghitung nilai keseluruhan, nilai per unit, dan nilai sebagian;dapat menentukan besar dan persentase laba, rugi, harga jual, harga beli, rabat,bunga tunggal dalam kegiatan ekonomi;dapat menjelaskan pengertian skala sebagai suatu perbandingan;dapat menghitung faktor perbesaran dan pengecilan pada gambar berskala;dapat memberikan contoh masalah sehari-hari yang merupakan perbandinganseharga (senilai) dan berbalik harga (nilai);dapat menyelesaikan soal yang melibatkan perbandingan seharga (senilai) danberbalik harga (nilai).

Kata-Kata Kunci:

nilai keseluruhan bunga tunggallaba, rugi, dan rabat skalaharga jual dan harga beli perbandingan senilai dan berbalik nilai

Jika kalian mempunyai peta,cobalah perhatikan angka skalanya.Tahukah kalian apakah arti skala1 : 1.020.000 pada peta di samping?Bagaimana jika angka skala bukan1 : 1.020.000? Skala sangat bergunabagi seorang perancang bangunan,mobil, atau pesawat terbang. Denganskala kalian dapat membandingkanbentuk asli suatu benda terhadapbentuk modelnya. Untuk memahamihal ini pelajarilah bab ini dengansaksama.Sumber: Atlas Indonesia dan Sekitarnya, 1990


Agar kalian dapat memahami materi pada bab ini denganbaik, kalian harus mengingat kembali materi yang terdahulumengenai pecahan. Kalian juga harus mengingat kembali mengenaioperasi hitung pada bentuk aljabar. Materi yang akan kalian pelajariberikut ini merupakan penggunaan aljabar dalam kehidupan sehari-hari.

A. ARITMETIKA SOSIAL DALAM KEGIA TANEKONOMI

Pernahkah kalian membeli buku tulis di sebuah toko bukuatau di swalayan? Di swalayan atau toko buku, biasanya barangdijual dalam jumlah banyak (grosir). Harga barang yang dijual dalamjumlah banyak biasanya lebih rendah daripada jika dijual secaraeceran. Bandingkan jika kalian membeli buku tulis dalam jumlahbanyak di toko buku dengan membeli secara eceran di toko dekatrumahmu.

1. Menghitung Nilai Keseluruhan, Nilai Per Unit, dan NilaiSebagian

Seorang pemilik toko menjual satu kotak karet penghapusdengan harga Rp8.400,00. Ternyata, dalam satu kotak terdapat 12buah karet penghapus. Seseorang membeli sebuah karet penghapusdan pemilik toko menjualnya dengan harga Rp700,00. Dalam halini, harga satu kotak karet penghapus = Rp8.400,00 disebut nilaikeseluruhan, sedangkan harga satu buah karet penghapus =Rp700,00 disebut nilai per unit.

Seorang pedagang buahmembeli 12 buah durian. Iamembayar dengan 3 lem-bar uang seratus ribuan danmendapat uang kembaliansebesar Rp30.000,00.a. Tentukan harga pem-

belian seluruhnya.b. Tentukan harga pem-

belian tiap buah.c. Jika pedagang tersebut

hanya membeli 8 buahdurian, berapakah iaharus membayar?

Penyelesaian:a. Harga pembelian = 3 Rp100.000,00 – Rp30.000,00

= Rp300.000,00 – Rp30.000,00= Rp270.000,00

Jadi, harga pembelian seluruhnya adalah Rp270.000,00.

b. Harga durian per buah Rp270.000,0012

Rp22.500,00

Jadi, harga tiap buah durian itu adalah Rp22.500,00.c. Harga 8 buah = 8 Rp22.500,00

= Rp180.000,00Jadi, harga 8 buah durian adalah Rp180.000,00.

(Berpikir kritis)Ibu membeli 5 kgberas dan 3 kg minyakgoreng. Harga 1 kgberas adalahRp5.800,00, sedang-kan harga 1 kg minyakgoreng Rp12.000,00.a. Buatlah pernyataan

tersebut dalambentuk aljabar.

b. Berapakah hargayang harus ibubayar?

Gambar 5.1

137Perbandingan dan Aritmetika Sosial

2. Harga Pembelian, Harga Penjualan, Untung, dan RugiPak Sirait membeli televisi dengan harga Rp1.250.000,00.

Sebulan kemudian televisi tersebut dijual dengan hargaRp1.400.000,00. Dalam hal ini, Pak Sirait mengalami untungRp150.000,00. Jika Pak Sirait hanya mampu menjual dengan hargaRp1.050.000,00, dikatakan Pak Sirait mengalami rugi Rp200.000,00.Dari uraian tersebut, dapat disimpulkan sebagai berikut.

Harga beli adalah har ga barang dari pabrik, grosir , atautempat lainnya. Harga beli sering disebut modal. Dalam situasitertentu, modal adalah harga beli ditambah dengan ongkos ataubiaya lainnya.

Harga jual adalah har ga barang yang ditetapkan olehpedagang kepada pembeli. Untung atau laba adalah selisih antaraharga penjualan dengan harga pembelian jika harga penjualan lebihdari harga pembelian.

Laba = harga penjualan – harga pembelian

Rugi adalah selisih antara harga penjualan dengan hargapembelian jika harga penjualan kurang dari harga pembelian.

Rugi = harga pembelian – harga penjualan

Koperasi sekolahmembeli 25 pak bukutulis dengan hargaRp350.000,00 (1 pakberisi 40 buku). Jikakoperasi sekolah men-jual buku tersebut de-ngan mengharapkanuntung Rp70.000,00,tentukan harga pen-jualan per buku.

Seorang pedagang mem-beli jeruk sebanyak 40 kgdengan harga Rp6.500,00per kg. Kemudian 30 kg diantaranya dijual denganharga Rp7.000,00 per kg,dan sisanya dijual denganharga Rp6.000,00 per kg.Hitunglaha. harga pembelian;b. harga penjualan;c. besarnya untung atau

rugi dari hasil penjual-an tersebut.

Penyelesaian:a. Harga pembelian = 40 Rp6.500,00

= Rp260.000,00Jadi, harga pembelian jeruk adalah Rp260.000,00.

b. Harga penjualan= (30 Rp7.000,00) + (10 Rp6.000,00)= Rp210.000,00 + Rp60.000,00= Rp270.000,00Jadi, harga penjualannya adalah Rp270.000,00.

c. Karena harga penjualan lebih dari harga pembelian,maka pedagang tersebut mengalami untung.Untung = harga penjualan – harga pembelian

= Rp270.000,00 – Rp260.000,00= Rp10.000,00

Jadi, besarnya keuntungan yang diperoleh pedagangtersebut adalah Rp10.000,00.


Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.b. Seorang pedagang membeli 3 kodi

pakaian dengan harga Rp325.000,00per kodi, kemudian ka rena sesuatuhal dijual dengan menderita rugiRp2.500,00 tiap potong.

4. Tentukan har ga pembelian dari hasilperdagangan di bawah ini.a. Seorang pedagang menjual 50 kg

cabe rawit dengan hargaRp312.500,00. Dengan harga ini,pedagang tersebut menderita keru-gian Rp125,00 tiap ons.

b. Dengan ongkos perbaikanRp850.000,00, sebuah sepeda motorlaku dijual dengan hargaRp8.250.000,00. Dengan harga ini,diperoleh keuntungan Rp450.000,00.

5. Seorang pedagang mempunyai modalRp500.000,00. Uang itu ia gunakan untukmembeli dua lusin pakaian anak. Jikapedagang tersebut menjual pakaian anakdengan harga Rp20.500,00 per buah,untung atau rugikah pedagang tersebut?

1. Tentukan harga per unit jik a diketahuiharga keseluruhan berikut ini.a. Harga satu kardus mi instan yang

berisi 35 buah Rp33.250.00.b. Harga satu gros jepit rambut

Rp216.000,00 (1 gros = 12 lusin).c. Harga tiga lusin buku tulis

Rp79.200,00.2. Tentukan harga keseluruhan dari barang-

barang berikut.a. 5 kardus susu 800 g jika harga per

kardus Rp87.000,00.b. 15 bungkus mi instan jika harga per

bungkus Rp1.050,00.c. 2 gros mainan anak j ika harga per

unit Rp5.500,00.3. Tentukan harga penjualan dari hasil per-

dagangan di bawah ini.a. Seorang pedagang membeli 2 kuintal

beras dengan harga Rp570.000,00,kemudian dijual dengan mengambiluntung Rp300,00 tiap kg.

Simulasi Kegiatan Ekonomi Sehari-Hari (Jual-Beli) Petunjuk untuk guru– Siswa dibagi menjadi 6 kelompok, setiap kelompok bermain

peran dalam kegiatan ekonomi berikut ini.– Tiga kelompok berperan masing-masing sebagai pemilik toko

pakaian, toko kelontong, dan toko alat tulis. Kemudian, tiapkelompok yang berperan sebagai pemilik toko, menentukanjenis, jumlah, harga beli, dan harga tiap barang yang ada ditokonya. Masukkan hasilnya pada tabel seperti berikut.

(Menumbuhkan krea-tivitas)Datanglah ke tokoelektronik yang terdekat.Tanyakan hargapembelian danpenjualan dari 5 buahbarang yang ada di tokotersebut. Kemudian,tentukan besarnya laba/rugi yang diperolehpemilik toko tersebut.Ceritakanpengalamanmu secarasingkat di depan kelas.


Tiap kelompok yang berperan sebagai pemilik toko jugamencatat barang-barang yang telah terjual beserta jumlahnya.Dengan demikian dapat dihitung harga beli keseluruhan daribarang yang terjual, untung, dan ruginya. Hasilnya, masukkanpada tabel seperti berikut.

– Tiga kelompok berperan sebagai pembeli. Tiap kelompok yangberperan sebagai pembeli menentukan modal yang dimiliki,membuat uang tiruan dari kertas, dan membelanjakan uangnyake t iga toko tersebut. Kemudian, pembeli membuat catatanjenis barang yang dibeli dan jumlahnya, serta harga keseluruhanbarang yang dibeli. Hasilnya, masukkan pada tabel sepertiberikut.

No.

1.2.3.4.5.

Harga Jual T oko/Unit

.............................

.............................

.............................

.............................

.............................

Nama.................................................................

Jumlah.................................................................

Jenis BarangHarga Beli/Unit

.............................

.............................

.............................

.............................

.............................

Tabel 5.1

Tabel 5.2

No.

1.2.3.4.5.

Jenis dan JumlahBarang yang Terjual

.............................

.............................

.............................

.............................

.............................

Jumlah

..........

..........

..........

..........

..........

Harga/Unit

...............

...............

...............

...............

...............

Harga Keseluruhan

.............................

.............................

.............................

.............................

.............................

Harga Beli KeseluruhanBarang yang Terjual

...................................

...................................

...................................

...................................

...................................

Untung

................

................

................

................

................

Rugi

...............

...............

...............

...............

...............


– Setelah melakukan simulasi kegiatan ekonomi di atas, setiapkelompok mendiskusikan hasilnya dan membuat laporan. Salahsatu wakil dari tiap kelompok mengemukakan hasil laporannyadi depan kelas.

3. Persentase Untung atau Rugia. Menentukan persentase untung atau rugi

Pada bab yang lalu, kalian telah mengetahui mengenai persen.Coba ingat kembali materi tersebut. Persen artinya per seratus.Persen ditulis dalam bentuk p% dengan p bilangan real.

Dalam perdagangan, besar untung atau rugi terhadap hargapembelian biasanya dinyatakan dalam bentuk persen.

Persentase untung untung 100%harga pembelian

Persentase rugi rugi 100%harga pembelian

Rumus di atas dapat diterapkan pada contoh soal berikut.

Seorang pedagang mem-beli 1 kuintal beras denganharga Rp6.000,00 per kg.Pedagang itu menjual be-ras tersebut dan mem-peroleh uang sebanyakRp620.000,00. Tentukanpersentase untung ataurugi pedagang itu.

Penyelesaian:Harga pembelian = 100 Rp6.000,00 = Rp600.000,00Harga penjualan = Rp620.000,00Harga penjualan lebih dari harga pembelian maka peda-gang itu mengalami untung.Untung = Rp620.000,00 – Rp600.000,00 = Rp20.000,00Persentase keuntungan pedagang itu adalah

untung 20.000100% 100% 3,33%harga pembelian 600.000

(Menumbuhkan krea-tivitas)Amatilah lingkungan disekitarmu. Carilahbarang kebutuhansehari-hari yang dijualdengan menggunakanpersen. Ceritakanhasil temuanmu didepan kelas.

No.1.2.3.4.5.

Barang yang Dibeli.................................................................................................................................................

Jumlah..................................................

Harga/Unit...........................................................................

Harga Keseluruhan........................................................................................................................................................................................................................................

Jumlah Uang yang DibelanjakanModalSisa Uang yang Dimiliki

Tabel 5.3


b. Menentukan harga penjualan dan har ga pembelian jikapersentase untung atau rugi diketahui

Jika persentase untung atau rugi diketahui, kita dapat meng-hitung harga beli atau harga jualnya.

Kalian telah mengetahui bahwa untung (laba) = harga pen-jualan – harga pembelian, maka1) harga penjualan = harga pembelian + untung;2) harga pembelian = harga penjualan – untung.

Kalian juga telah mengetahui bahwarugi = harga pembelian – harga penjualan, maka1) harga penjualan = harga pembelian – rugi;2) harga pembelian = harga penjualan + rugi.

Catatan:Dalam bentuk persen, harga beli dapat dianggap sebagai modal= 100%.

Seorang pedagang menjualsuatu barang dengan hargaRp210.000,00 dan menda-pat untung 5% dari hargabeli. Tentukan harga belibarang tersebut.

Penyelesaian:Harga penjualan = harga pembelian + untungRp210.000,00 = harga pembelian + 5% harga pembelian

= 100% harga pembelian + 5% harga pem-belian

= (100% + 5%) harga pembelian

=105 harga pembelian100

Harga pembelian 105= Rp210.000,00 : 100100= Rp210.000,00 105

= Rp200.000,00

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.b. Harga pembelian Rp75.0 00,00 dan

harga penjualan Rp67.500,00.1. Tentukan persentase untung atau rugi-

nya.a. Harga pembelian Rp60.000,00 dan

harga penjualan Rp72.000,00.

(Menumbuhkan ino-vasi)Bentuklah kelompokterdiri atas 2 orang, 1laki-laki dan 1perempuan. Pergilahke penjual pakaian disebuah pasar.Tanyakan harga belidan harga jual 5 buahpakaian yang telahterjual. Tentukanbesarnya laba/rugiyang diperolehpedagang tersebut.Kemudian, hitunglahpersentase laba(ruginya). Tuliskanhasilnya dalam bentuktabel. Ceritakanhasilnya secarasingkat di depan kelas.


Rp60.000.000,00. D engan h arga i nidiperoleh keuntungan sebesar 20%.Tentukan harga pembelian mobil itu.

4. Seekor kambing dibeli dengan hargaRp600.000,00. Berapa rupiah kambing ituharus dijual agar diperoleh keuntungan8%?

5. Risma menjual sepedanya dengan hargaRp275.000,00 dan mendapat untung 5%.Berapakah harga pembeliannya?

c. Harga pembelian Rp240.000,00 perlusin, harga penjualan Rp22.500,00per buah.

d. Harga pembelian Rp4.800,00, per kg,harga penjualan Rp600,00 per ons.

2. Pak Togar mendapat untung 8% dari har-ga pembelian seekor sapi. Jika Pak To-gar memperoleh untung Rp680.000,00,tentukan harga penjualan sapi itu.

3. Dengan ongkos perbaikan Rp50.000,00,sebuah mobil laku dijual seharga

B. RABAT (DISKON), BRUT O, TARA, DANNETO

1. Rabat (Diskon)Rabat artinya potongan harga atau lebih dikenal dengan istilah

diskon. Pernahkah kalian pergi ke swalayan menjelang hari rayaatau tahun baru? Biasanya menjelang hari raya atau tahun baru,toko-toko, supermarket atau swalayan memberikan potongan hargauntuk menarik para pembeli yang akan berbelanja. Potongan hargainilah yang d isebut r abat ( diskon). B iasanya d iskon ( rabat) i nidiperhitungkan dengan persen.

Dalam pemakaiannya, terdapat perbedaan istilah antara rabatdan diskon. Istilah rabat digunakan oleh produsen kepada grosir,agen, atau pengecer, sedangkan istilah diskon digunakan oleh grosir,agen, atau pengecer kepada konsumen.

Seseorang membeli baju diToko Anugerah sehar gaRp85.000,00. Toko terse-but memberikan diskon20% untuk setiap pembe-lian. Berapakah uang yangharus ia bayar?

Penyelesaian:Harga pembelian = Rp85.000,00

20Diskon 20% = × Rp85.000,00100

= Rp17.000,00Uang yang harus dibayar = Rp85.000,00 – Rp17.000,00

= Rp68.000,00Jadi, uang yang harus ia bayarkan sebesar Rp68.000,00.

(Menumbuhkan krea-tivitas)Datanglah ke super-market atau swalayanterdekat. Amati ba-rang-barang yangdidiskon. Tulislah 5 je-nis barang besertaharga jual dan diskon-nya. Lalu, hitunglahharga barang tersebutsetelah dipotongdiskon. Susunlahdalam bentuk tabel,hasilnya kumpulkankepada gurumu.


Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.

Harga bersih = harga kotor – rabat (diskon)

dimana: harga kotor adalah harga barang sebelum dipotong ra-bat (diskon).harga bersih adalah harga barang sesudah dipotong ra-bat (diskon).

2. Bruto, Tara, dan NetoCoba perhatikan pada saat kalian membeli makanan kecil

atau saat ibu membeli gula pasir. Berat barang yang kalian belimerupakan berat kotor, artinya berat makanan kecil ditambah beratkemasannya. Berat kemasan barang seperti plastik, karung, kertasdisebut tara. Berat barang beserta kemasannya disebut berat kotoratau bruto, sedangkan berat barangnya saja disebut berat bersihatau neto. Dengan demikian dapat disimpulkan sebagai berikut.

Bruto = neto + taraNeto = bruto – taraTara = bruto – neto

Jika diketahui persen tara dan bruto, kalian dapat mencaritara dengan rumus berikut.

Tara = persen tara bruto

Untuk menentukan harga bersih setelah memperolehpotongan berat (tara) dapat dirumuskan sebagai berikut.

Harga bersih = neto harga/satuan berat

Ibu membeli 5 kaleng susu.Di setiap kaleng itu tertulisneto 1 kg. Setelah ditim-bang ternyata berat seluruhkaleng susu tersebut 6 kg.Berapakah bruto dan tarasetiap kaleng?

Penyelesaian:Bruto setiap kaleng = 6 kg : 5 = 1,2 kgTara setiap kaleng = 1,2 kg – 1 kg = 0,2 kg

(Menumbuhkan krea-tivitas)Amatilah bekas kema-san barang-barangyang ada di rumahmu.Perhatikan berat netoyang tercantum di se-tiap kemasan barangtersebut. Timbanglahberat kemasannyauntuk memperolehtara. Lakukan hal itupada 5 buah barangyang berbeda.Hitunglah berat brutodari tiap barang.Susunlah dalamsebuah tabel, hasilnyaserahkan kepadagurumu.

Gambar 5.2


Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1. Salin dan lengkapilah tabel berikut.


3. Setiap pembelian sebuah buku matemati-ka di Toko Arum diberikan rabat 5% dariharga patokan penerbit. Jika besarnyarabat yang diterima Rp1.750,00, tentukana. harga patokan penerbit untuk sebuah

buku matematika;b. jumlah uang yang harus dibayar jika

membeli 60 buku matematika.4. Seorang pedagang membeli 8 karung be-

ras dengan bruto masing-masing 75 kgdan tara 2%. Berapakah pedagang ituharus membayar jika harga tiap kg berasRp2.500,00?

Harga Mula-mula

Rp45.000,00....Rp60.000,00....Rp95.000,00

Diskon

10%20%...%25%30%

No.

a.b.c.d.e.

Harga yangDibayar

....Rp64.000,00Rp52.500,00Rp93.750,00....

Bruto

5,5 kg8,8 kg... kg... kg500 g

Tara

0,3 kg... kg550 g450 g2%

No.

a.b.c.d.e.

Neto

....8,65 kg

349,45 kg4,55 kg

... kg

5. Seorang pedagang membeli 1 peti buahanggur dengan berat bruto 50 kg dan tara4%. Buah anggur tersebut dijual di mana30 kg dijual dengan harga Rp15.000,00per kg dan 12 kg dijual dengan hargaRp13.000,00 per kg, sedangkan sisanyadijual dengan harga Rp12.000,00 per kg.Jika dari penjualan tersebut pedagang itumemperoleh laba 25%, tentukan hargapembelian buah anggur tersebut.

6. Seorang pedagang membeli 6 karungkedelai dengan bruto masing-masing 80kg dan tara 3%. Jika harga pembeliankedelai tiap kg Rp4.000,00, tentukana. besarnya tara;b. jumlah uang yang harus dibayarkan;c. besar keuntungan yang diperoleh

apabila dijual dengan hargaRp4.300,00 per kg.

7. Sebuah sekolah membeli 120 bukumatematika dengan harga Rp4.250,00per buah. Sales buku matematikamemberikan rabat 20% kepada sekolahtersebut. Tentukan harga pembelian yangharus dibayar sekolah tersebut.

8. Koperasi “Usaha Tani” membeli pupuksebanyak 1 0 k arung d engan b ruto 7kuintal. Setiap karung pupuk mempunyaiberat yang sama. Jika taranya 3%,tentukan neto setiap karung pupuk.

(Menumbuhkan inovasi)Bentuklah kelompok terdiri atas 2 siswa, 1 laki-laki dan 1 perem-puan. Datanglah ke koperasi tani di daerahmu. Tanyakan berat brutodan tara dari tiap karung pupuk yang ada (minimal 4 jenis pupuk).Tanyakan pula harga penjualan dari pupuk tersebut. Hitunglah netodari tiap karung pupuk. Hitung pula jumlah uang yang harusdibayarkan jika membeli 5 karung pupuk (untuk tiap jenis pupuk).


C. BUNGA TABUNGAN DAN P AJAK

1. Bunga TabunganApabila kita menyimpan uang di bank, maka kita akan

mendapatkan tambahan uang yang disebut bunga. Bunga tabungandihitung berdasarkan persen nilai. Bunga tabungan dihitung secaraperiodik, misalnya sebulan sekali atau setahun sekali. Ada dua jenisbunga tabungan, yaitu bunga tunggal dan bunga majemuk. Bungatunggal adalah bunga yang dihitung hanya berdasarkan besarnyamodal saja, sedangkan bunga majemuk adalah bunga yang dihitungberdasarkan besarnya modal dan bunga. Pada pembahasan inikita hanya akan mempelajari mengenai bunga tunggal.

Iwan menabung di se-buah bank tanggal 15Desember 2007 sebe-sar Rp2.000.000,00.Bank tersebut memberibunga sebesar 12%setahun. Pada tanggal1 April 2008 tabungan-nya diambil. Tentukanbesar bunga yangditerima Iwan.

Vega menyimpan uang dibank sebesarRp2.000.000,00 dengansuku bunga 18% setahundengan bunga tunggal.Tentukana. besarnya bunga pada

akhir bulan pertama;b. besarnya b unga p ada

akhir bulan keenam;c. besarnya uang setelah

2 tahun.

Penyelesaian:Modal = Rp2.000.000,00; bunga = 18% setahun.a. Bunga akhir bulan pertama

1 18= × × Rp2.000.000,0012 100

= Rp30.000,00

b. Bunga akhir bulan keenam6 18= × × Rp2.000.000,00

12 100= Rp180.000,00

c. Bunga 2 tahun 18= 2× × Rp2.000.000,00100

= Rp720.000,00

Jumlah uang seluruhnya= Rp2.000.000,00 + Rp720.000,00= Rp2.720.000,00Jadi, jumlah uang setelah 2 tahun adalahRp2.720.000,00.

2. PajakPerhatikan setiap ibu kalian membayar pajak listrik. Pajak

tersebut biasanya dibayarkan setiap bulan. Perhatikan pula saatkalian membeli barang, di setiap kemasannya biasanya tertera


tulisan harga i ni s udah t ermasuk p ajak. Jadi, menurut kalian,apa sebenarnya pajak itu?

Pajak a dalah s uatu k ewajiban ya ng d ibebankan k epadamasyarakat untuk menyerahkan sebagian kekayaan kepada negaramenurut peraturan-peraturan yang telah ditetapkan pemerintah.Jadi, pajak bersifat mengikat dan memaksa.

Banyak sekali jenis-jenis pajak, antara lain Pajak Bumi danBangunan (PBB), Pajak Pertambahan Nilai (PPN), dan PajakPenghasilan (PPh). Perhitungan nilai pajak akan kalian pelajaripada bagian ini.

(Menumbuhkan inovasi)Bentuklah kelompok yang terdiri atas 4 siswa, 2 laki-laki dan 2 pe-rempuan. Bacalah materi mengenai pajak. Kamu dapat memper-olehnya di buku-buku referensi, media cetak, internet, atau medialainnya. Tulislah uraian mengenai jenis pajak tertentu. Berilahcontoh masalah dan cara menghitungnya. Diskusikan hal inidengan kelompokmu. Hasilnya, laporkan kepada gurumu.

Pak Putu memperoleh gajiRp950.000,00 sebulandengan penghasilan tidakkena pajak Rp380.000,00.Jika pajak penghasilan(PPh) diketahui 10%,berapakah besar gaji yangditerima Pak Putu perbulan?

Penyelesaian:Besar gaji = Rp950.000,00;Penghasilan tidak kena pajak = Rp380.000,00PPh = 10%Besar penghasilan kena pajak= Rp950.000,00 – Rp380.000,00= Rp570.000,00Besar pajak penghasilan = 10% penghasilan kena pajak

10 Rp570.000,00100Rp57.000,00

Gaji yang diterima = Rp950.000,00 – Rp57.000,00= Rp893.000,00

Jadi, besar gaji yang diterima Pak Putu per bulan adalahRp893.000,00.

(Menumbuhkan krea-tivitas)Mintalah struk pajaklistrik rumahmu bulanlalu kepada ibumu.Tanyakan hal-hal yangberkaitan denganstruk pajak tersebutkepada ibumu/kepadaorang yang lebih tahu.Ceritakanpengalamanmu didepan kelas.


Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.membayar dengan tunai. Berapakahuang yang harus dibayar oleh Pak Nyo-man?

4. Hanik menabung pada sebuah bank se-besar Rp6.000.000,00 dan mendapatbunga sebesar 12% per tahun. Jika besarbunga yang diterima HanikRp540.000,00, t entukan l ama H anikmenabung.

5. Agam menyimpan uang di bank sebesarRp800.000,00. Setelah 6 bulan ia mene-rima bunga sebesar Rp48.000,00. Tentu-kan besar suku bunga di bank tersebut.

Petunjuk:Gunakan kalkulator untuk mempermudahperhitungan soal di atas.

1. Uang sebesar Rp250.000,00 ditabung dibank dengan bunga tunggal 16% per ta-hun. Tentukana. besar bunga selama 1 tahun;b. besar bunga selama 9 bulan;c. setelah berapa lama uang tersebut

menjadi Rp340.000,00.2. Ibu membeli 3 liter minyak goreng dengan

harga Rp7.500,00 per liter dan 4 kg sabundetergen dengan harga Rp8.500,00 perkg. Jika besarnya pajak penjualan 10%,berapa rupiah ibu harus membayar?

3. Pak Nyoman membeli sebuah mesin cucidengan harga Rp1.750.000,00 dan dike-nakan pajak pertambahan nilai sebesar12%, tetapi mendapat diskon 5% karena

D. PERBANDINGAN

1. Pengertian PerbandinganUntuk m emudahkan k alian m emahami m engenai p erban-

dingan, perhatikan uraian berikut.Berat badan Riam 24 kg, sedangkan berat badan Yoga 30 kg.

Perbandingan berat badan Riam dan Yoga dapat dinyatakan dengandua cara berikut.a. Berat badan Riam kurang dari berat badan Yoga. Dalam hal

ini, yang dibandingkan adalah selisih berat badan.b. Berat badan Riam : berat badan Yoga = 24 : 30 = 4 : 5. Dalam

hal ini, yang dibandingkan adalah hasil bagi berat badan Riamdan berat badan Yoga.

Berdasarkan uraian tersebut dapat disimpulkan sebagai berikut.

Ada d ua c ara d alam m embandingkan d ua b esaran s ebagaiberikut.a. Dengan mencari selisih.b. Dengan mencari hasil bagi.

(Berpikir kritis)Ibu memberi uangsaku sebesarRp5.000,00. Sebanyak

2

5 bagian dari uang

saku itu dibelikan alattulis. Berapa sisauang saku tersebut?


2. Menyederhanakan Perbandingan Dua Besaran SejenisAgar kalian dapat membandingkan dan menyederhanakan

dua besaran sejenis, perhatikan uraian berikut.Sebuah meja berukuran 150 cm dan lebar 100 cm. Perban-

dingan panjang dan lebar meja dapat dilakukan dengan dua cara,yaitu dengan mencari selisihnya, 150 cm – 100 cm = 50 cm ataudapat pula dengan mencari hasil baginya, yaitu 150 : 100 = 3 : 2.

Panjang dan lebar meja adalah dua besaran sejenis, karenamempunyai satuan yang sama, yaitu cm. Namun, panjang mejadan luas meja adalah dua besaran tidak sejenis, karena mempunyaisatuan yang berbeda sehingga tidak dapat dibandingkan.

Dalam pembahasan ini, kita akan membandingkan duabesaran sejenis dengan cara mencari hasil bagi.

1. Nyatakan perbanding-an berikut dalam ben-tuk yang paling seder-hana.

a.1 12 :12 4

b. 400 cm3 : 1 l

Penyelesaian:

a.1 1 5 52 :1 :2 4 2 4

5 54 : 42 4

10 :5 2 :1

b. 400 cm3 : 1 l = 400 cm3 : (1 1.000) cm3

= 400 : 1.000= 4 : 10 = 2 : 5

2. Harga telurRp10.000,00 p er kg.Saat ini harga telur naik6 : 5 dari harga semula.Berapakah harga telurper kg sekarang?

Penyelesaian:Harga telur setelah naik : harga telur semula = 6 : 5.

Harga telur setelah naik 6 Rp10.000,00 5

= Rp12.000,00.

(Menumbuhkan krea-tivitas)Carilah resep mem-buat kue di koran,tabloid, majalah, ataumedia lainnya.Salinlah reseptersebut. Kemudian,tuliskan perbandinganbahan-bahan untukmembuat kue terse-but. Hasilnya, cerita-kan secara singkat didepan kelas.

(Berpikir kritis)Pada suatu kelas terdapat 25 siswa laki-laki dan 20 siswaperempuan.a. Berapakah perbandingan antara jumlah siswa laki-laki

terhadap jumlah seluruh siswa?b. Berapakah perbandingan antara jumlah siswa perempuan

terhadap jumlah seluruh siswa?



b. perbandingan panjang terhadap keli-ling dalam bentuk paling sederhana;

c. perbandingan lebar terhadap kelilingdalam bentuk paling sederhana.

3. Harga beras Rp4.800,00 per kg. Saat ini,harga tersebut naik dengan perbandingan4 : 3. Berapakah harga beras itu seka-rang?

4. Perbandingan panjang sisi dua kubusadalah 2 : 5 . J ika volume kubus kecil216 cm3, tentukana. volume kubus besar;b. panjang masing-masing sisi dari ke-

dua kubus tersebut.

1. Nyatakan p erbandingan b erikut d alambentuk yang paling sederhana.a. 75 cm : 90 cmb. 200 g : 7 kgc. 5 l : 20 mld. 2 kodi : 30 bijie. 60 buah : 1 lusinf. 3 lusin : 1 gros

g. 11 jam : 35 menit4

h. 3,4 ha : 170 are2. Sebuah persegi panjang berukuran pan-

jang 12 cm dan lebar 8 cm. Tentukana. perbandingan panjang terhadap lebar

dalam bentuk paling sederhana;

E. GAMBAR BERSKALA

1. Pengertian SkalaPernahkah kalian menggambar sebuah rumah? Bandingkan

ukuran rumah pada gambar kalian dengan ukuran rumahsesungguhnya, tentu lebih kecil, bukan? Ukuran rumah padagambar kalian adalah salah satu contoh gambar berskala. Padagambar berskala digunakan perbandingan. Perbandingan antaraukuran rumah pada gambar dengan ukuran rumah sebenarnyadinamakan skala. Perhatikan Gambar 5.3.

Gambar tersebut menunjukkan sebuah rumah dengan skala1 : 100. Skala 1 : 100, artinya setiap jarak 1 cm pada gambar(model) mewakili 100 cm jarak sebenarnya. Jika lebar rumah padagambar 7 cm maka lebar rumah sesungguhnya adalah 7 100 cm= 700 cm = 7 m.

Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.Skala adalah perbandingan antara jarak pada gambar (model)

dengan jarak sebenarnya.

Sumber: Ensiklopedi M ate-matika dan Per-

adaban Manusia,2003

Gambar 5.3

Skala 1 : 100


jarak pada gambar (model)Skalajarak sebenarnya

Secara umum, skala 1 : p artinya setiap jarak 1 cm padagambar (model) mewakili p cm jarak sebenarnya.

CatatanSkala biasanya dituliskan pada bagian bawah peta, denah, modelgedung, dan gambar berskala lainnya.Penulisan skala yang baik adalah dalam bentuk perbandingan pa-ling sederhana.


menggunakan skala 1 : 1.000.000, bera-pakah jarak sebenarnya kedua kota itu?

3. Jarak antara dua kota pada peta adalah8 c m, s edangkan j arak s ebenarnyaadalah 40 km. Berapakah skala pada petaitu?

4. Jarak antara Kota A dan Kota B adalah350 km. Tentukan jarak kedua kota ter-sebut pada peta dengan skala 1 : 650.000.


2. Jarak antara dua kota kabupaten padapeta a dalah 6 c m. J ika p eta t ersebut

Ukuranpada Peta

5 cm6,5 cm2 cm....

Skala

....1 : 650.000

....1 : 1.050.000

No.

a.b.c.d.

UkuranSebenarnya

25 km....

16 km31,5 km

Diketahui skala suatu peta1 : 1.500.000. Jika jarakKota A ke Kota B pada pe-ta tersebut 6 cm, tentukanjarak sebenarnya Kota Ake Kota B.

Penyelesaian:Skala = 1 : 1.500.000Jarak pada peta = 6 cm.

jarak pada gambar (model)Skalajarak sebenarnya

1 6 cm1.500.000 jarak sebenarnyaJarak sebenarnya = 6 1.500.000 cm

= 9.000.000 cm= 90 km

Jadi, jarak sebenarnya Kota A ke Kota B adalah 90 km.


Skala 1 : 2 pada contoh tersebut menunjukkan faktor skalaperbesaran.

5. Jarak dua sungai pada peta adalah 2 cm.Hitunglah jarak sebenarnya jika digu-nakan skala 1 : 1.500.000.

6. Sebuah peta dibuat sehingga jarak 4 cmmewakili 60 km. Tentukan

a. besar skalanya;b. jarak sebenarnya, jika jarak pada

peta 12 km;c. jarak pada peta, ji ka jarak sebenar-

nya 645 km.

2. Faktor Skala pada Gambar BerskalaSkala pada peta yang sering kalian jumpai menunjukkan skala

pengecilan. Artinya, ukuran pada peta lebih kecil dari ukuransebenarnya. Hal ini disebut faktor skala. Faktor skala dapat berupaperbesaran dan pengecilan. Contohnya, foto benda. Pada fototampak kesamaan bentuk antara foto dan benda sebenarnya. Fotodapat diperbesar atau diperkecil.Pada gambar berskala selalu berlaku hal berikut.a. Mengubah ukuran tetapi tidak mengubah bentuk.b. Ukuran dapat diperbesar atau diperkecil.

Sebuah foto berukuran le-bar 8 cm dan tinggi 12 cmakan dibuat bingkai denganlebar 1 6 c m. Tentukanfaktor skala dan tinggibingkai foto tersebut.

Penyelesaian:Faktor skala = 8 cm : 16 cm = 1 : 2.Ukuran-ukuran pada foto bersesuaian dengan ukuran padabingkainya, sehingga dapat ditulis perbandingan berikut.

lebar foto tinggi fotolebar bingkai tinggi bingkai8 12

1616 12

824 cm

x

x

x

Jadi, tinggi bingkai = 24 cm.

(Menumbuhkan kreativitas)Ambillah atlas. Bukalah peta provinsi tempat tinggalmu. Lihatlahskala pada peta tersebut. Tentukan jarak sebenarnya kota tempattinggalmu dengan kota-kota lain di provinsimu (minimal 5 kota).

(Menumbuhkaninovasi)Bacalah buku, majalah,media massa, atauinternet yang berkaitandengan tata ruang(desain) rumah. Carilahgambar berskala yangada (minimal 5gambar). Tentukanskala dan faktor skalapada tiap gambartersebut. Ceritakanpengalamanmu secarasingkat di depan kelas.


Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.Tentukana. besar skalanya;b. perbandingan luas tanah pada gam-

bar dengan luas sebenarnya.4. Sebuah pesawat terbang, panjang badan

dan lebar sayapnya berturut-turut 90 mdan 40 m. Jika akan dibuat model pesa-wat dengan panjang badan 54 cm,tentukan lebar sayap pada model.

5. Panjang sebenarnya badan sebuah mobiladalah 5,6 m. Jika dibuat model mobildengan panjang 3,2 cm, berapakah skalayang digunakan dalam pembuatan mobilitu?

1. Diketahui skala suatu peta 1 : 2.000.000.Tentukan jarak pada peta, jika jaraksebenarnyaa. 60 km; c. 90 km;b. 75 km; d. 250 km.

2. Diketahui j arak sebenarnya Kota P keKota Q adalah 12 km. Tentukan skalanyajika jarak pada peta sebagai berikut.a. 12 cm c. 30 cmb. 24 cm d. 80 cm

3. Sebidang tanah berbentuk persegi ber-ukuran (64 m 6 4 m ). Tanah i tu d i-gambar dengan ukuran (16 cm 16 cm).

F. BENTUK-BENTUK PERBANDINGAN

Pada bab terdahulu kalian telah mempelajari bahwa pecahandapat dinyatakan sebagai perbandingan dua buah bilangan.

Secara umum ada dua macam perbandingan, yaitu perban-dingan senilai dan perbandingan berbalik nilai.

1. Perbandingan Senilai (Seharga)Pernahkah kalian membeli buku di toko buku?Kalian dapat membeli sejumlah buku sesuai dengan jumlah

uang yang kalian punya. Jika harga 1 buah buku Rp2.500,00 makaharga 5 buah buku = 5 Rp2.500,00

= Rp12.500,00.Makin banyak buku yang dibeli, makin banyak pula harga

yang harus dibayar. Perbandingan seperti ini disebut perbandingansenilai.

Pada perbandingan senilai, nilai suatu barang akan naik/turunsejalan dengan nilai barang yang dibandingkan.

(Menumbuhkan krea-tivitas)Bentuklah kelompokyang terdiri atas 4 sis-wa, 2 laki-laki dan 2 pe-rempuan.Amatilah kejadian dilingkungan sekitarmu.Banyak sekali kejadiandalam kehidupan se-hari-hari yang merupa-kan perbandingansenilai. Tulislah 10 halyang termasuk per-bandingan senilai.Kamu dapat jugamembaca buku-bukureferensi atau mediacetak untuk membantupekerjaanmu.Ceritakan pengalaman-mu secara singkat didepan kelas.


Sebuah mobil memerlukan3 liter bensin untuk me-nempuh jarak 24 km.Berapa jarak yang ditem-puh mobil itu jika meng-habiskan 45 liter bensin?

Penyelesaian:Cara 13 liter bensin menempuh jarak 24 km, sehingga 1 liter bensin

menempuh jarak =24 km3

= 8 km.

Jarak yang dapat ditempuh dengan 45 liter bensin= 45 8 km = 360 km.Cara 2

Banyak Bensin Jarak yang Ditempuh3 liter 24 km45 liter x

x = 45 24 km3

= 360 km

Jadi, jarak yang dapat ditempuh dengan 45 liter bensinadalah 360 km.

Dari contoh di atas, jika banyaknya bensin bertambah makajarak yang ditempuh juga bertambah. Penyelesaian seperti cara 1pada contoh di atas disebut perhitungan perbandingan senilai melaluiperhitungan nilai satuan. Adapun penyelesaian seperti cara 2 padacontoh di atas disebut perhitungan perbandingan senilai melaluiperbandingan.


4. Sebuah mobil membutuhkan 9 literbensin untuk menempuh jarak 108 km.Tentukan jarak yang ditempuh apabilamobil tersebut telah menghabiskan 12,5liter bensin.

5. Sebuah tumpukan yang terdiri atas 72buah buku beratnya 9 kg dan tiap bukusama berat. Tentukan banyaknya bukuapabila tumpukan tersebut beratnya 6 kg.

1. Harga 2 buah sabun mandi Rp3.500,00.Berapakah harga 3,5 lusin sabun mandiyang sama?

2. Harga 3 liter bensin Rp13.500,00. Jikaseseorang membeli dengan uangRp27.000,00, berapa liter bensin yangdiperolehnya?

3. Setiap 10 gram kuning telur ayam me-ngandung kolesterol 2.000 mg. Bera-pa kolesterol yang terkandung dalam150 gram kuning telur ayam?


Seorang peternak mempu-nyai persediaan makananuntuk 30 ekor kambing se-lama 15 hari. Jika peternakitu menjual 5 ekor kambing,berapa hari persediaanmakanan itu akan habis?

Penyelesaian:Cara 130 ekor kambing selama 15 hari dan (30 – 5) = 25 ekorkambing selama x hari. Hal ini dapat dituliskan sebagaiberikut.30 15 25

450 25450 1825

xx

x

Jadi, untuk 25 ekor kambing, persediaan makanan akanhabis selama 18 hari.Cara 2

Banyak Kambing (Ekor) Banyak Hari30 1525 x

30 15 1825

x

Jadi, untuk 25 ekor kambing, persediaan makanan akanhabis selama 18 hari.

7. Uang sebesar Rp24.000,00 dapat dibe-likan 3 kg apel. Berapa kg apel yangdapat dibeli dengan uang Rp40.000,00?

8. Perbandingan panjang sisi-sisi segitigaadalah 3 : 4 : 5. Jika kelilingnya 48 cm,tentukan panjang masing-masing sisisegitiga.

6. Dalam 1 minggu, sebuah toko membeli15 botol kecap dengan hargaRp127.500,00. Jika pada minggu beri-kutnya memesan 2 lusin botol kecap,tentukan uang yang harus dibayar olehtoko itu.

2. Perbandingan Berbalik Nilai (Berbalik Harga)Kalian telah mempelajari bahwa pada perbandingan senilai,

nilai suatu barang akan naik/turun sejalan dengan nilai barang yangdibandingkan. Pada perbandingan berbalik nilai, hal ini berlakusebaliknya.

Berdasarkan contoh di atas, makin sedikit jumlah kambing,makin lama persediaan makanan akan habis. Perbandingan antarabanyak kambing dengan lama hari persediaan makanan habisadalah salah satu contoh perbandingan berbalik nilai .

(Menumbuhkankreativitas)Bentuklah kelompokterdiri atas 4 siswa, 2laki dan 2 perempuan.Amatilah kejadian dilingkungan sekitarmu.Tulislah 5 hal yangtermasuk perbanding-an berbalik nilai. Ka-mu dapat juga mem-baca buku-buku refe-rensi atau media cetakuntuk membantu pe-kerjaanmu. Ceritakanpengalamanmusecara singkat didepan kelas.


Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.3. Sekeranjang jeruk dibagikan kepada 36

orang anak, masing-masing mendapat-kan 6 b uah j eruk. J ika j eruk t ersebutdibagikan kepada 24 anak, tentukanbagian masing-masing anak.

4. Suatu pekerjaan dapat diselesaikan oleh25 orang dalam waktu 60 hari. Jika ba-nyaknya pekerja ditambah 5 orang,tentukan waktu yang diperlukan untukmenyelesaikan pekerjaan tersebut.

5. Seorang pedagang dapat membeli 35buah buku tulis dengan hargaRp1.350,00 per buah. Jika dengan jumlahuang yang sama ia menghendakimembeli 45 buah buku tulis, berapakahharga tiap-tiap buku?

1. Tentukan perbandingan berikut termasukperbandingan senilai atau berbalik nilai.a. Kecepatan dengan waktu yang

ditempuh.b. Banyak pensil dengan harga pensil.c. Lama hari dengan biaya menginap.d. Waktu yang diperlukan dengan jarak

yang ditempuh.e. Lama hari dengan banyak pekerja.

2. Sebuah kereta api berjalan selama 5 jamdengan kecepatan rata-rata 56 km/jam.Jika kereta api yang lain dapat menem-puh jarak tersebut dalam waktu 4 jam,tentukan kecepatan r ata-ratanya.

Jadi, pada perbandingan berbalik nilai berlaku hal berikut.

Jika nilai suatu barang naik maka nilai barang yang dibandingkanakan turun. Sebaliknya, jika nilai suatu barang turun, nilai barangyang dibandingkan akan naik.

Seorang pemborong memperkirakan dapat menyelesaikan suatubangunan selama 45 hari dengan banyak pekerja 20 orang.Setelah 15 hari, pekerjaan terhenti selama 6 hari karena bahanbangunan habis. Tentukan banyaknya pekerja yang harusditambah agar pekerjaan selesai tepat waktu.

3. Menggambar Grafik PerbandinganPada perbandingan senilai dan perbandingan berbalik nilai,

dapat dibuat grafik perbandingannya. Menurutmu, berupa apakahgrafik perbandingan senilai dan berbalik nilai? Untuk dapatmenjawabnya, perhatikan uraian berikut.a. Grafik perbandingan senilai

Tabel berikut menunjukkan hubungan antara jarak yang dapatditempuh dan waktu yang diperlukan oleh seorang siswa yangmengendarai sepeda.


Jarak (km) 1 2 3 4 5 6

Waktu (menit) 3 6 9 12 15 18

Gambar di samping menunjukkan grafik dari tabel di atas.Tampak bahwa grafik perbandingan senilai berupa garis

lurus. Jika jarak bertambah (makin jauh), waktu yang dibutuhkanbertambah (makin lama).

b. Grafik perbandingan berbalik nilaiAgar kalian mudah dalam membuat grafik perbandingan,

buatlah tabel atau daftar terlebih dahulu.

Jarak antara dua kota da-pat ditempuh dengan mobilselama 1 jam dengan kece-patan rata-rata 90 km/jam.Buatlah tabel dari data ter-sebut, kemudian gambar-lah grafiknya.

Penyelesaian:

Waktu (jam) 0,75 1 1,5 2 2,5 3 4

Kecepatan (km/jam) 120 90 60 45 36 30 22,5

Grafik dari tabel di atas sebagai berikut.

Dari grafik di atas, dapat disimpulkan bahwa grafikperbandingan berbalik nilai berupa kurva mulus. Jika waktubertambah (makin lama), kecepatan berkurang (makinturun). Sebaliknya, jika waktu berkurang (makin cepat),kecepatan bertambah (makin naik).

0 1 2 3 4 5 6

3

6

9

12

15

18

Jarak (km)

Wak

tu (

men

it)

Gambar 5.4

1 2 3 40

30

60

90

120

20

3645

0,75 1,5 2,5

Kec

epat

an (k

m/ja

m)

Waktu (menit)

Gambar 5.5


Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.b. Tentukan banyaknya pekerja, jika

pekerjaan tersebut selesai dalamwaktu 8 hari.

3. Harga 3 kg beras Rp18.600,00.a. Buatlah grafik dari keterangan di atas.b. Berapakah harga 18 kg beras?

4. Sekotak permen dibagikan kepada 12anak. Ternyata setiap anak menerima8 buah.a. Buatlah grafik dari keterangan ter-

sebut, dengan membuat tabel terlebihdahulu.

b. Jika permen dibagikan kepada 24anak, berapakah bagian permenyang diterima setiap anak?

1. Sebuah sepeda motor memerlukan ben-sin 1 liter untuk menempuh jarak 20 km.

a. Banyak bensin (l) 1 2 3 4 5 6Jarak (km) 20 ... ... ... ... ...

Salin dan lengkapilah tabel di atas,kemudian g ambarlah g rafiknya.Kesimpulan apa yang dapat kalianambil dari grafik tersebut?

b. Dengan 2,5 liter bensin, tentukan ja-rak yang dapat ditempuh sepeda mo-tor tersebut.

2. Suatu pekerjaan dapat diselesaikan oleh2 orang dalam waktu 24 hari.a. Buatlah grafik dari keterangan di

atas.

G. MEMECAHKAN M ASALAH S EHARI-HARIYANG MELIBATKAN KONSEPPERBANDINGAN

Jika kalian amati masalah dalam kehidupan sehar i-hari,banyak di antar anya dapat diselesaikan dengan kon sep per-bandingan. Untuk menyelesaikannya, tentukan terlebih dahuluapakah perbandingan tersebut merupakan perbandingan senilai atauberbalik nilai. Kemudian, selesaikan perhitungan sesuai denganjenis perbandingannya.

Seorang pedagang mem-beli 24 kg mangga sehargaRp42.000,00. Pada hariberikutnya, ia membeli 60kg mangga dengan kualitasyang sama. T entukan be-sarnya uang yang harusdibayar oleh pedagang itu.

Penyelesaian:Soal di samping termasuk perbandingan senilai, karenamakin banyak mangga yang dibeli, harga yang harusdibayar juga makin bertambah.


Cara 1Harga 24 kg mangga = Rp42.000,00

Harga 1 kg mangga = Rp42.000,0024

= Rp1.750,00Harga 60 kg mangga = 60 Rp1.750,00

= Rp105.000,00Jadi, pedagang tersebut harus membayar Rp105.000,00.

Cara 2

Banyak Mangga Harga yang Harus(kg) Dibayar (Rp)24 42.00060 x

60 42.000 105.00024

x

Jadi, pedagang tersebut harus membayar Rp105.000,00.


3. Seorang p erantara m enerima k omisisebesar Rp35.000,00 atas penjualanbarang seharga Rp1.400.000,00. Tentu-kan harga barang yang berhasil dijual, jikaia mendapat komisi Rp24.000,00.

4. Suatu perusahaan obat-obatan herbisidamembuat aturan setiap 1 kg obat digu-nakan untuk 50 m2 tanah. Tentukan luastanah yang dapat disemprot dengan4,5 kg obat tersebut.

1. Untuk menempuh jarak dua kota dengankecepatan rata-rata 48 km/jam diperlu-kan waktu 12 jam. T entukan lamaperjalanan jika kecepatannya 60 km/jam.

2. Sebuah keluarga mempunyai persediaanberas yang cukup untuk 4 orang selama24 hari. Jika dalam keluarga itu bertam-bah 2 orang saudaranya, berapa haripersediaan beras tersebut akan habis?

(Menumbuhkan kreativitas)Amatilah kejadian (peristiwa) di lingkungan sekitarmu. Tuliskanmasalah dalam kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengankonsep perbandingan. Selesaikanlah dan ceritakan hasilnyasecara singkat di depan kelas.


5. Seorang pemborong memperkirakansebuah jembatan akan selesai dibangundalam waktu 108 hari jika dikerjakan oleh42 pekerja. Setelah berjalan 45 hari,

pekerjaan terhenti selama 9 hari karenasesuatu hal. T entukan banyak pekerjayang h arus d itambah a gar j embatantersebut selesai tepat waktu.

1. Harga pembelian, harga penjualan, untung, dan rugi. – Harga pembelian adalah harga barang dari pabrik, grosir,

atau tempat lainnya. – Harga penjualan adalah harga barang yang ditetapkan oleh

pedagang kepada pembeli. – Untung a tau l aba adalah s elisih antara harga penjualan

dengan harga pembelian jika harga penjualan lebih dariharga pembelian.Untung = harga penjualan – harga pembelian.

– Rugi adalah selisih antara harga penjualan dengan hargapembelian jika harga penjualan kurang dari harga pem-belian.Rugi = harga pembelian – harga penjualan.

2. Menentukan persentase untung atau rugi.

– Persentase untung untung 100%harga pembelian

– Persentase rugi rugi 100%harga pembelian

3. Menentukan harga pembelian dan harga penjualan jikapersentase untung atau rugi diketahui.– Jika untung maka berlaku

harga penjualan = harga pembelian + untungharga pembelian = harga penjualan – untung

– Jika rugi maka berlakuharga penjualan = harga pembelian – rugiharga pembelian = harga penjualan + rugi

4. Bruto, tara, dan netoBruto = neto + taraNeto = bruto – taraTara = bruto – neto


5. Persen tara dan harga bersihTara = persen tara brutoHarga bersih = neto harga/satuan berat

6. Ada dua jenis bunga tabungan, yaitu bunga tunggal dan bungamajemuk. Bunga tunggal adalah bunga yang dihitungberdasarkan besarnya modal saja, sedangkan bunga majemukadalah bunga yang dihitung berdasarkan besarnya modal danbunga.

7. Pajak adalah suatu kewajiban yang dibebankan kepadamasyarakat untuk menyer ahkan sebagian kekayaan kepadanegara menurut peraturan-peraturan yang telah ditetapkanpemerintah.

8. Ada dua cara dalam membandingkan dua besaran sebagaiberikut.a. Dengan mencari selisih.b. Dengan mencari hasil bagi.

9. Menyederhanakan perbandingan hanya dapat dilakukan padadua besaran yang sejenis.

10. Skala adalah perbandingan antara jarak pada gambar denganjarak sebenarnya.

11. Pada gambar berskala selalu berlaku hal berikut.a. Mengubah ukuran tetapi tidak mengubah bentuk.b. Ukuran dapat diperbesar atau diperkecil.

12. Pada perbandingan senilai, nilai suatu barang akan naik/turunsejalan dengan nilai barang yang dibandingkan. Grafikperbandingan senilai berupa garis lurus.

13. Pada perbandingan berbalik nilai, jika nilai sebuah barang naikmaka nilai barang yang dibandin gkan akan turun atausebaliknya. Grafik perbandingan berbalik nilai berupa kurvamulus.

14. Perbandingan antara dua besaran dapat dinyatakan dengantabel seperti berikut.

Variabel Pertama Variabel Keduaa pb q

(i.) Pada perbandingan senilai berlaku .a pb q

(ii.)Pada perbandingan berbalik nilai berlaku .a qb p


5. Diketahui berat bruto 3 karung gabah300 kg. Jika tara 1,5%, netonya adalah....a. 290,5 kg c. 29,5 kgb. 295,5 kg d. 297,5 kg

6. Seorang karyawan memperoleh gajisebulan Rp1.400.000,00 dengan peng-hasilan tidak kena pajak Rp480.000,00.Jika besar pajak penghasilan 10%,besar gaji yang diterima karyawan ituadalah ....a. Rp920.000,00b. Rp1.260.000,00c. Rp1.308.000,00d. Rp1.352.000,00

7. Bentuk paling sederhana dari perban-

dingan 1 34 : 32 4

adalah ....

a. 4 : 3 c. 5 : 6b. 6 : 5 d. 4 : 5

8. Diketahui suatu peta berskala1 : 40.000.000. Jika jarak kedua KotaA dan B pada peta tersebut 5 cm ,jarak sebenarnya dari Kota A dan Badalah ....a. 200 km c. 20.000 kmb. 2.000 km d. 200.000 km

1. Jika harga 1 kuintal berasRp600.000,00, dijual mengalami keru-gian Rp15.000,00 maka harga jual tiapkilogram beras tersebut adalah ....a. Rp5.775,00 c. Rp5.850,00b. Rp5.800,00 d. Rp5.900,00

2. Pak Edi membuat 8 rak buku denganbiaya Rp40.000,00/buah. Ketika dijual,dua buah di antaranya lakuRp85.000,00 per buah dan sisanyalaku Rp65.000,00 per buah. Keuntung-an yang diperoleh Pak Edi adalah ....a. 2,5% c. 50%b. 5% d. 75%

3. Harga suatu barang dengan diskon10% diketahui Rp18.000,00. Hargabarang sebelum didiskon adalah ....a. Rp20.000,00 c. Rp21.000,00b. Rp19.800,00 d. Rp22.000,00

4. Tina menyimpan uang di bank sebesarRp1.200.000,00 dengan suku bungatunggal 12% setahun. Bunga yangditerima Tina pada akhir bulan kese-belas adalah ....a. Rp144.000,00b. Rp132.000,00c. Rp160.000,00d. Rp156.000,00

Setelah mempelajari mengenai Perbandingan danAritmetika Sosial, coba carilah contoh masalah dalam kehidupansehari-hari yang berkaitan dengan materi tersebut, masing-masing3 buah. Buatlah dalam sebuah laporan lengkap beserta penyele-saiannya. Hasilnya, serahkan kepada gurumu.



10. Seorang pemborong akan mem-bangun rumah dalam waktu 48 harijika dikerjakan oleh 18 pekerja. Jikaia menghendaki selesai dalam waktu32 hari, banyaknya tambahan pekerjayang diperlukan adalah ....a. 4 pekerja c. 12 pekerjab. 9 pekerja d. 24 pekerja

9. Suatu mobil memerlukan bensin 50 li-ter untuk menempuh ja rak 450 km.Jika mobil tersebut menghabiskanbensin 5 liter, jarak yang dapat ditem-puh adalah ....a. 42 km c. 44 kmb. 43 km d. 45 km

B. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan singkat dan tepat.c. 1,5 kg : 375 gram

d. 6 14

mm : 1 dm

4. Skala denah suatu gedung diketahui1 : 600. Denah tersebut berbentukpersegi panjang dengan ukuran5,5 cm 4,5 cm.a. Berapakah ukuran sesungguhnya

gedung tersebut?b. Berapakah luas tanah yang diperlu-

kan untuk membangun gedung ter-sebut?

c. Berapakah harga tanah seluruhnya,jika harga 1 m2 tanah tersebutRp350.000,00?

5. Untuk memperbaiki jalan, diperlukanwaktu 37 hari dengan jumlah pekerja16 orang. Setelah berjalan 7 hari,pekerjaan terhenti selama 6 hari.Tentukan tambahan pekerja yang di-perlukan untuk menyelesaikan peker-jaan itu tepat waktu.

1. Setiap sak semen dengan berat bruto40 kg dibeli dengan hargaRp24.000,00. Semen ini dijual ecerandengan harga Rp800,00 tiap kilogram-nya, dan tiap sak pembungkusnyadijual laku Rp500,00. Tentukan keun-tungan pengecer tersebut, apabila se-men yang terjual 5 sak dan diketahui

tara 141 % tiap sak.

2. Seorang pedagang berhasil menjual200 buah mainan anak-a nak denganmemperoleh uang Rp623.000,00.Setelah dihitung, ternyata ia meng-alami rugi sebesar 1 1%. Tentukanharga pembelian sebuah mainan anak-anak tersebut.

3. Sederhanakan perbandingan-perban-dingan berikut.

a. 1 33 :63 4

b. 25 cm : 1,5 km

Seringkah kalian berbelanja diswalayan atau di warung dekatrumahmu? Cobalah kalian memer-hatikan barang-barang yang dijual.Barang-barang yang dijual biasanyadihimpun sesuai jenisnya. Penghim-punan jenis barang dapat memudah-kan pembeli memilih barang. Jadi,tahukah kalian apa kegu naan him-punan? Untuk memahami tentanghimpunan pelajari bab ini dengansaksama.

Sumber: Dok. Penerbit

Tujuan pembelajaranmu pada bab ini adalah:dapat menyatakan masalah sehari-hari dalam bentuk himpunan dan mendataanggotanya;dapat menyebutkan anggota dan bukan anggota himpunan;dapat menyatakan notasi himpunan;dapat mengenal himpunan kosong dan notasinya;dapat menentukan himpunan bagian dari suatu himpunan;dapat menentukan banyak himpunan bagian suatu himpunan;dapat m engenal p engertian h impunan s emesta, s erta d apat m enyebutkananggotanya;dapat menjelaskan pengertian irisan dan gabungan dua himpunan;dapat menjelaskan kurang (difference) suatu himpunan dari himpunan lainnya;dapat menjelaskan komplemen dari suatu himpunan;dapat menyajikan gabungan atau irisan dua himpunan dengan diagram Venn;dapat menyajikan kurang (difference) suatu himpunan dari himpunan lainnyadengan diagram Venn;dapat menyajikan komplemen suatu himpunan dengan diagram Venn;dapat menyelesaikan masalah dengan menggunakan diagram Venn dan konsephimpunan.

6 HIMPUNAN

Kata-Kata Kunci:

anggota himpunan himpunan semestanotasi himpunan diagram Vennhimpunan kosong operasi himpunanhimpunan bagian


Agar kalian dapat memahami materi pada bab ini denganbaik, coba kalian ingat kembali mengenai jenis bilangan.

A. HIMPUNAN

1. Pengertian HimpunanPerhatikan lingkungan sekitar kalian. Pasti dengan mudah

kalian dapat menemukan kumpulan atau kelompok berikut ini.a. Kumpulan hewan berkaki dua.b. Kumpulan warna lampu lalu lintas.c. Kelompok tanaman hias.

Kumpulan hewan berkaki dua antara lain ayam, itik, danburung. Kumpulan hewan berkaki dua adalah suatu himpunan,karena setiap disebut hewan berkaki dua, maka hewan tersebutpasti termasuk dalam kumpulan tersebut.

Kumpulan warna lampu lalu lintas adalah merah, kuning, danhijau. Kumpulan warna lampu lalu lintas adalah suatu himpunan,karena dengan jelas dapat ditentukan anggotanya.

Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang dapatdidefinisikan dengan jelas, sehingga dengan tepat dapat diketahuiobjek yang termasuk himpunan dan yang tidak termasuk dalamhimpunan tersebut.

Sekarang, perhatikan kumpulan berikut ini.a. Kumpulan lukisan indah.b. Kumpulan wanita cantik di Indonesia.

Kumpulan lukisan indah tidak dapat disebut himpunan, karenalukisan indah menurut seseorang belum tentu indah menurut oranglain. D engan k ata l ain, k umpulan l ukisan i ndah t idak d apatdidefinisikan dengan jelas.

Demikian halnya dengan kumpulan wanita cantik di Indone-sia. Wanita cantik menurut seseorang belum tentu cantik menurutorang lain. Jadi, kumpulan wanita cantik bukan termasuk himpunan.

(Menumbuhkan krea-tivitas)Amati lingkungansekitar kalian. Carilahcontoh kumpulan yangmerupakan himpunandan bukan himpunanmasing-masing 5buah. Ceritakanpengalamanmu didepan kelas.

(Berpikir kritis)Tuliskan bilanganyang termasuk dalama. bilangan asli;b. bilangan cacah;c. bilangan bulat.

Sumber: Ensiklopedi Indonesia Seri Fauna ,1992

Gambar 6.1

165Himpunan

2. Notasi dan Anggota HimpunanSuatu himpunan biasanya diberi nama atau dilambangkan

dengan huruf besar (kapital) A, B, C, ..., Z. Adapun benda atauobjek yang termasuk dalam himpunan tersebut ditulis denganmenggunakan pasangan kurung kurawal {...}.

Nyatakan himpunan beri-kut dengan menggunakantanda kurung kurawal.a. A a dalah h impunan

bilangan cacah kurangdari 6.

b. P adalah himpunanhuruf-huruf vokal.

c. Q a dalah h impunantiga binatang buas.

Penyelesaian:a. A adalah himpunan bilangan cacah kurang dari 6.

Anggota himpunan bilangan cacah kurang dari 6 adalah0, 1, 2, 3, 4, 5.Jadi, A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

b. P adalah himpunan huruf-huruf vokal.Anggota himpunan huruf-huruf vokal adalah a, e, i, o,dan u, sehingga ditulis P = {a, e, i, o, u}.

c. Q adalah himpunan tiga binatang buas.Anggota himpunan binatang buas antara lain harimau,singa, dan serigala.Jadi, Q = {harimau, singa, serigala}.

Setiap benda atau objek yang berada dalam suatu himpunandisebut anggota atau elemen dari himpunan itu dan dinotasikandengan . Adapun benda atau objek yang tidak termasuk dalamsuatu himpunan dikatakan bukan anggota himpunan dandinotasikan dengan .

Berdasarkan contoh di atas, A adalah himpunan bilangancacah kurang dari 6, sehingga A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Bilangan 0, 1,2, 3, 4, dan 5 adalah anggota atau elemen dari himpunan A, ditulis0 A, 1 A, 2 A, 3 A, 4 A, dan 5 A. Karena 6, 7, dan8 bukan anggota A, maka ditulis 6 A, 7 A, dan 8 A.

Banyak anggota suatu himpunan dinyatakan dengan n. JikaA = {0, 1, 2, 3, 4, 5} maka n(A) = banyak anggota himpunanA = 6.

Banyaknya anggota himpunan A dinyatakan dengan n(A).

(Menumbuhkan krea-tivitas)Perhatikan angka-angka dan simbol-simbol yang terdapatpada kalkulator.Apakah angka-angkadan simbol-simboltersebut dapatmewakili suatuhimpunan tertentu?Berikan pendapatmu.


Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1. Di antara kelompok atau kumpulan beri-

kut, tentukan yang termasuk himpunandan bukan himpunan, berikan alasan yangmendukung.a. Kumpulan kendaraan bermotor.b. Kelompok negara-negara di Asia

Tenggara.c. Kelompok binatang serangga.d. Kumpulan orang-orang pendek.e. Kelompok bilangan kecil.

2. Nyatakan himpunan berikut denganmenggunakan tanda kurung kurawal.a. A adalah himpunan nama-nama hari

dalam seminggu.b. M adalah himpunan binatang pema-

kan rumput.c. N adalah himpunan bilangan ganjil

kurang dari 15.d. B adalah himpunan planet-planet da-

lam tata surya.

(Menumbuhkan inovasi)Perhatikan lingkungan sekolahmu. Tuliskan 5 buah kumpulanyang merupakan himpunan. Kemudian, tentukan banyaknyaanggota tiap himpunan tersebut. Ceritakan hasilnya secarasingkat di depan kelas.

Dalam matematika, beberapa huruf besar digunakan sebagailambang himpunan bilangan tertentu, di antaranya sebagai berikut.Huruf A : lambang himpunan bilangan asli.

A = {1, 2, 3, 4, ... }Huruf B : lambang himpunan bilangan bulat.

B = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}Huruf C : lambang himpunan bilangan cacah.

C = {0, 1, 2, 3, ... }Huruf L : lambang himpunan bilangan ganjil.Huruf N : lambang himpunan bilangan genap.Huruf P : lambang himpunan bilangan prima.Huru Q : lambang himpunan bilangan rasional.

Q = / dan Aa a B bb , dibaca himpunan

ab dimana a

anggota himpunan bilangan bulat dan b anggota himpunan bilanganasli.

167Himpunan

3. Menyatakan Suatu HimpunanSuatu himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara sebagai

berikut.a. Dengan kata-kata.

Dengan cara menyebutkan semua syarat/sifat keanggotaannya.Contoh: P adalah himpunan bilangan prima antara 10 dan 40,

ditulis P = {bilangan prima antara 10 dan 40}.b. Dengan notasi pembentuk himpunan.

Sama seperti menyatakan himpunan dengan kata-kata, padacara ini disebutkan semua syarat/sifat keanggotannya. Namun,anggota himpunan dinyatakan dengan suatu peubah. Peubahyang biasa digunakan adalah x atau y.Contoh: P : {bilangan prima antara 10 dan 40}.

Dengan notasi pembentuk himpunan, ditulisP = {10 < x < 40, x bilangan prima}.

c. Dengan mendaftar anggota-anggotanya.Dengan cara menyebutkan anggota-anggotanya, menulis-kannya dengan menggunakan kurung kurawal, dan anggota-anggotanya dipisahkan dengan tanda koma.Contoh: P = {11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37}

A = {1, 2, 3, 4, 5}

3. Sebutkan anggota dan bukan anggotahimpunan berikut, tuliskan dengan notasikeanggotaan.a. Himpunan nama-nama bunga.b. Himpunan satuan berat.c. Himpunan warna pelangi.d. Himpunan ibu kota provinsi di Indo-

nesia.4. Diketahui A = {1, 2, 3, 4, 5};

B = {4, 8, 12, ..., 96};P = {s, a, k, i, t}; danQ = {k, u, c, i, n, g}.

Salin dan isilah dengan lambang atau pada titik-titik berikut sehingga men-

jadi kalimat yang benar.a. 3 ... A e. a ... Pb. 0 ... A f. u ... Qc. 72 ... B g. t ... Qd. 54 ... B h. n ... P

5. Nyatakan benar ata u sa lah setiap kali-mat berikut ini.a. 2 {0, 1, 2, 3, 4}b. 4 {1, 4, 9, 16}c. 8 {bilangan genap}d. km {satuan panjang}e. 2 {252}

6. Tentukan banyaknya anggota setiaphimpunan berikut dengan menggunakannotasi.a. A = {warna bendera Indonesia}b. B = {provinsi di Indonesia}c. C = {nama hari dalam seminggu}d. D = {bilangan ganjil kurang dari 15}e. E = {huruf pembentuk kata MA-

TEMATIKA}f. F = {bilangan asli yang merupakan

faktor dari 18}


Z adalah himpunan bilang-an ganjil antara 20 dan 46.Nyatakan himpunan Zde-ngan kata-kata, dengannotasi pembentuk himpun-an, dan dengan mendaftaranggota-anggotanya.

Penyelesaian:Z adalah himpunan bilangan ganjil antara 20 dan 46.a. Dinyatakan dengan kata-kata.

Z = {bilangan ganjil antara 20 dan 46}b. Dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan.

Z = {20 < x < 46, x bilangan ganjil}c. Dinyatakan dengan mendaftar anggota-anggotanya.

Z = {21, 23, 25, ..., 43, 45}.

4. Himpunan Berhingga dan Himpunan T ak BerhinggaPada bagian depan telah kalian ketahui bahwa banyaknya

anggota himpunan A dinyatakan dengan n(A).Jika suatu himpunan dinyatakan dengan mendaftar anggota-

anggotanya maka kalian dapat menentukan banyaknya anggotahimpunan tersebut. Jika A adalah himpunan bilangan prima kurangdari 13 maka A = {2, 3, 5, 7, 11} dengan n(A) = 5. Himpunan Adisebut himpunan berhingga, artinya banyaknya anggota Aberhingga.

Jika B = {bilangan asli yang habis dibagi 2} maka B = {2, 4,6, . ..}, d engan n(B) = tidak berhingga. Himpunan B disebuthimpunan tak berhingga , kare na banyaknya a nggota B ta kberhingga.

Himpunan yang memiliki banyak anggota berhingga disebuthimpunan berhingga. Himpunan yang memiliki banyak anggotatak berhingga disebut himpunan tak berhingga.

Diketahui A = {0, 1, 2, 3,..., 10}. Bentuklah him-punan-himpunan be-rikut dengan mendaftaranggota-anggotanya.a. Himpunan B yang

anggota-anggotanyaadalah anggota A di-tambah 2.

b. Himpunan C yanganggota-anggotanyaadalah anggota Ayang merupakanbilangan asli.

c. Himpunan D yanganggota-anggotanyaadalah anggota A

dikalikan .21

Tentukan banyak anggotadari himpunan-himpunanberikut.a. P = {1, 3, 5, 7, 9, 11}b. Q = {0, 1, 2, 3, ..., 10}c. R = {..., –2, –1, 0, 1,

2, ...}

Penyelesaian:a. Banyak anggota P adalah 6, ditulis n(P) = 6.b. Banyak anggota Q adalah 11, ditulis n(Q) = 11.c. Banyak anggota R adalah tidak berhingga atau

n(R) = tidak berhingga.

169Himpunan

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.b. C adalah himpunan bilangan cacah

kurang dari 1.001.c. M adalah himpunan bilangan bulat

kurang dari –4.d. K adalah himpunan bangun ruang

dalam matematika.3. Salin dan isilah titik-titik pada kalimat

berikut sehingga menjadi kalimat yangbenar.a. A = {bilangan prima kurang dari 25}

maka n(A) = ...b. B = {huruf pembentuk kata SURA-

BAYA} maka n(B) = ....c. C = {faktor dari 20} maka

n(C) = ....d. D = {faktor persekutuan dari 15 dan

45} maka n(D) = ....

1. Nyatakan himpunan-himpunan berikutdengan kata-kata, dengan notasi pem-bentuk himpunan, dan dengan mendaf-tar anggota-anggotanya.a. P adalah himpunan huruf pembentuk

kata SUKARELAWAN.b. Q adalah himpunan nama bulan

dalam satu tahun yang berumur30 hari.

c. R adalah himpunan bilangan genapkurang dari 10.

d. S adalah himpunan lima huruf ter-akhir dalam abjad.

2. Selidikilah himpunan-himpunan berikutberhingga atau tak berhingga, berilahalasannya.a. B adalah himpunan bilangan asli

yang habis dibagi 3.

B. HIMPUNAN KOSONG DAN HIMPUNANSEMESTA

1. Himpunan Kosong dan Himpunan NolDi b agian d epan k alian t elah m empelajari m engenai

banyaknya anggota suatu himpunan dan notasinya. Apakah setiaphimpunan pasti mempunyai anggota?

Jika P adalah himpunan persegi yang mempunyai tiga buahsisi maka anggota P tidak ada atau kosong. Himpunan P disebuthimpunan kosong (tidak mempunyai anggota), karena jumlah sisipersegi adalah empat.

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyaianggota, dan dinotasikan dengan { } atau .

Jika R = { x | x < 1, x C} maka R = {0} atau n(R) = 1.Himpunan R disebut himpunan nol. Anggota himpunan R adalah0. Jadi, himpunan R bukan merupakan himpunan kosong.

(Menumbuhkan krea-tivitas)Amatilah kejadiansehari-hari dilingkungan sekitarmu.Berikan contohhimpunan kosongsebanyak 5 buah.Ceritakanpengalamanmusecara singkat didepan kelas.


Himpunan nol adalah himpunan yang hanya mempunyai 1anggota, yaitu nol (0).

N adalah himpunan nama-nama bulan dalam setahunyang diawali dengan hurufC. Nyatakan N dalam no-tasi himpunan.

Penyelesaian:Nama-nama bulan dalam setahun adalah Januari, Februari,Maret, April, Mei, Juni, Juli, Agustus, September, Oktober,November, dan Desember. Karena tidak ada nama bulanyang diawali dengan huruf C, maka N adalah himpunankosong ditulis N = atau N = { }.

2. Himpunan SemestaPerhatikan Gambar 6.2.Gambar tersebut menunjukkan kelompok buah-buahan yang

terdiri atas pisang, jeruk, apel, dan anggur.Jika P = {pisang, jeruk, apel, anggur} maka semesta

pembicaraan dari himpunan P adalah himpunan S = {buah-buahan}.Dengan kata lain, S adalah himpunan semesta dari P. Himpunan Smemuat semua anggota himpunan P.

Himpunan semesta atau semesta pembicaraan adalah himpunanyang memuat semua anggota atau objek himpunan yang dibica-rakan. Himpunan semesta (semesta pembicaraan) biasanyadilambangkan dengan S.

Tentukan tiga himpunansemesta yang mungkindari himpunan berikut.a. {2, 3, 5, 7}b. {kerbau, sapi, kam-

bing}

Penyelesaian:a. Misalkan A = {2, 3, 5, 7}, maka himpunan semesta

yang mungkin dari himpunan A adalahS = {bilangan prima} atauS = {bilangan asli} atauS = {bilangan cacah}.

b. Himpunan semesta yang mungkin dari {kerbau, sapi,kambing} adalah {binatang}, {binatang berkakiempat}, atau {binatang memamah biak}.


Gambar 6.2

171Himpunan


2. Tentukan sebuah himpunan semestayang mungkin untuk himpunan-himpunanberikut.a. A = {1, 4, 9, 16, 25}b. B = {1, 3, 5, 7, ... }c. E = {m, dm, cm, mm}d. F = {kerucut, tabung, bola}

3. Sebutkan paling sedikit dua buah himpun-an semesta yang mungkin dari tiap him-punan berikut.a. G = {x | x = 2 n, n bilangan ca-

cah}b. H = {x | x = 2n – 1, n bilangan

cacah}c. P = {honda, yamaha, suzuki}d. Q = {merpati, dara, puyuh}

1. Di antara himpunan-himpunan berikut,tentukan manakah yang merup akanhimpunan kosong.a. Himpunan anak kelas VII SMP yang

berumur kurang dari 8 tahun.b. Himpunan kuda yang berkaki dua.c. Himpunan kubus yang mempunyai

12 sisi.d. Himpunan bilangan prima yang habis

dibagi 2.e. Himpunan bilangan asli antara 8 dan

9.f. Himpunan nama bulan dalam seta-

hun yang berumur kurang dari 30 hari.h. Himpunan penyelesaian untuk

2x = 3, x bilangan cacah.i. N = {x | x + 4 = 0, x bilangan asli}

(Menumbuhkan inovasi)Bentuklah kelompok yang terdiri atas 4 siswa, 2 laki-laki dan 2 pe-rempuan.Setiap kelompok menamakan diri dengan himpunan tertentu,misalnya himpunan buah-buahan, himpunan bangun datar, danlain-lain. Setiap dua kelompok menyebutkan anggota-anggotahimpunan dan semesta pembicaraan kelompok lain di depankelas. Lakukan hal ini secara bergantian dengan kelompok yanglain. Hasilnya, buatlah dalam sebuah laporan dan kumpulkankepada gurumu.

C. HIMPUNAN BAGIAN

1. Pengertian Himpunan BagianAgar kalian dapat memahami mengenai himpunan bagian,

perhatikan himpunan-himpunan berikut.


A = {1, 2, 3}B = {4, 5, 6}C = {1, 2, 3, 4, 6}

Berdasarkan ketiga himpunan di atas, tampak bahwa setiapanggota himpunan A, yaitu 1, 2, 3 juga menjadi anggota himpunanC. Dalam hal ini dikatakan bahwa himpunan A merupakanhimpunan bagian dari C, ditulis A C atau C A.

Himpunan A merupakan himpunan bagian B, jika setiap anggotaA juga menjadi anggota B dan dinotasikan A B atau B A.

Sekarang perhatikan himpunan B dan himpunan C.B = {4, 5, 6}C = {1, 2, 3, 4, 5}

Tampak bahwa tidak setiap anggota B menjadi anggota C,karena 6 C. Dikatakan bahwa B bukan merupakan himpunanbagian dari C, ditulis B C. (B C dibaca: B bukan himpunanbagian dari C).

Himpunan A bukan merupakan himpunan bagian B, jika terdapatanggota A yang bukan anggota B, dan dinotasikan A B.

Perhatikan perbedaanpernyataan berikut.DiketahuiS = {1, 2, 3, ..., 10}A = {1, 3, 5, 7, 9}3 A (benar){3} A (salah){1, 3, 5, 7, 9} = A S(benar){1, 3, 5, 7, 9} = A S(salah)

Diketahui K = {p, q, r, s}.Tentukan himpunan bagiandari K yang mempunyaia. satu anggota;b. dua anggota;c. tiga anggota;d. empat anggota.

Penyelesaian:Dalam menentukan himpunan bagian dari K = {p, q, r, s}yang mempunyai lebih dari satu anggota dapat digunakandiagram pohon seperti berikut.anggota pertama anggota kedua anggota ketiga

rq s

p r ss

r sq s

r sa. Himpunan bagian K yang mempunyai satu anggota ada-

lah {p} K; {q} K; dan {r} K; dan {s} K.b. Himpunan bagian K yang mempunyai dua anggota

adalah {p, q} K; {p, r} K; {p, s} K; {q, r} K; {q, s} K; {r, s} K.

173Himpunan

c. Himpunan bagian K yang mempunyai tiga anggotaadalah {p, q, r} K; {p, q, s} K; {p, r, s} K;dan {q, r, s} K.

d. Himpunan bagian K yang mempunyai empat anggotaadalah {p, q, r, s} = K.

(Berpikir kritis)Diskusikan dengantemanmu.Buktikan bahwa untuksebarang himpunan Aberlaku { } A atau

A.

Pada contoh di atas, tampak bahwa himpunan bagian K yangmempunyai 4 anggota adalah {p, q, r, s}.Jadi, {p, q, r, s} = K K.Secara umum, dapat dikatakan sebagai berikut.

Setiap himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunanA sendiri, ditulis A A.

2. Menentukan Banyaknya Himpunan Bagian dari SuatuHimpunan

Kalian telah mempelajari cara menentukan himpunan bagiansuatu himpunan yang memiliki satu anggota, dua anggota, tigaanggota, dan n anggota. Untuk mengetahui banyaknya himpunanbagian suatu himpunan, pelajari tabel berikut.

{ }{a}{ }{a}, { b}{a, b}{ }{a}, {b}, {c}{a, b}, {a, c}, {b, c}{a, b, c}{ }{a}, {b}, { c}, {d}{a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, { b, d}, {c, d}{a, b, c}, {a, b, d}, {a, c, d}, {b, c, d}{a, b, c, d}{ }{a}, { b}, ...

Himpunan BanyaknyaAnggota Himpunan Bagian

BanyaknyaHimpunan

Bagian1

2

3

4

n

{a}

{a, b}

{a, b, c}

{a, b, c, d}

{a, b, c, d, ...}

2 = 21

4 = 22

8 = 23

16 = 24

2n

Tabel 6.1


Berdasarkan tabel di atas, tampak bahwa terdapat hubunganantara banyaknya anggota suatu himpunan dengan banyaknyahimpunan bagian himpunan tersebut.Dengan demikian, dapat disimpulkan sebagai berikut.

Banyaknya semua himpunan bagian dari suatu himpunan adalah2n, dengan n banyaknya anggota himpunan tersebut.

Adapun untuk menentukan banyaknya himpunan bagian darisuatu himpunan yang mempunyai n anggota, dapat digunakan polabilangan segitiga Pascal berikut.

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

untuk { }

untuk { }a

untuk { , }a b

untuk { , , }a b c

untuk { , , , }a b c d

1 anggota

2 anggota

3 anggota

4 anggota

0 anggota

Pada pola bilangan segitiga Pascal, angka tengah yang beradadi bawahnya merupakan jumlah dari angka di atasnya.Himpunan bagian dari {a, b, c, d} yang mempunyai0 anggota ada 1, yaitu { };1 anggota ada 4, yaitu {a}, {b}, {c}, {d};2 anggota ada 6, yaitu {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d}, {c, d};3 anggota ada 4, yaitu {a, b, c}, {a, b, d}, {a, c, d}, {b, c, d};4 anggota ada 1, yaitu {a, b, c, d};

Cobalah hal ini untuk P = { a, e, i, o, u}. Kemudian, cekapakah banyak semua himpunan bagian P adalah 2n?

(Berpikir kritis)Perhatikan kembaliTabel 6.1.Banyaknya himpunanbagian yang dinyata-kan dengan 2n masihharus dibuktikan lagi.Cobalah untuk n = 5,6, 7, 8, 9, dan 10.Apakah banyaknyahimpunan bagiantetap dirumuskan 2n?Diskusikan dengantemanmu.Bukti matematismengenai hal tersebutakan kalian pelajari ditingkat yang lebihtinggi.


D = {huruf vokal}E = {a, u}F = {bilangan prima genap}G = {3, 5}

1. Tentukan hubungan himpunan bagian an-tara himpunan-himpunan berikut.A = {2, 3, 4, 5}B = {bilangan asli kurang dari 7}C = {a, i, u, e}

(Berpikir kritis)Mintalah temansebangkumumenyebutkansebarang himpunan.Tuliskan himpunanbagian dari himpunantersebut. Lakukan halini secara bergantian.Ceritakan hasilnya didepan kelas.

175Himpunan

4. Tentukan banyaknya himpunan bagi andari himpunan berikut.a. Himpunan bilangan asli kurang dari

6.b. Himpunan bilangan prima antara 4

dan 20.c. P = {huruf-huruf pembentuk kata

“stabilitas”}d. Q = {nama-nama hari dalam seming-

gu}5. Tentukan banyaknya himpunan bagi an

dari Q jika diketahuia. Q = ;b. n(Q) = 4;c. Q = {1};d. Q = {p, q, r, s, t, u}.

2. Tentukan himpunan bagian dari P = {bi-langan prima antara 2 dan 20} berikutini dengan mendaftar anggota-anggota-nya.a. Himpunan bilangan ganjil anggota P.b. Himpunan bilangan genap anggota P.c. Himpunan anggota P yang kurang

dari 10.d. Himpunan anggota P yang lebih dari

7.3. Diketahui K = {2, 3, 5, 7, 11}.

Tentukana. himpunan bagian K yang mempunyai

dua anggota;b. himpunan bagian K yang mempunyai

tiga anggota;c. himpunan bagian K yang mempunyai

empat anggota.

D. HUBUNGAN ANTARHIMPUNAN

Setelah kalian mempelajari mengenai himpunan dan caramenyatakannya, pada bagian ini kalian akan mempelajari hubunganantarhimpunan.Diketahui A = {burung, ayam, bebek} dan

B = {kucing, anjing, ikan}.Perhatikan bahwa tidak ada satupun anggota himpunan A

yang menjadi anggota himpunan B. Demikian pula sebaliknya, tidakada satu pun anggota himpunan B yang menjadi anggota himpunanA. Dalam hal ini dikatakan bahwa tidak ada anggota persekutuanantara himpunan A dan B. Hubungan antara himpunan A dan Bseperti ini disebut himpunan saling lepas atau saling asing.

Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas atausaling asing jika kedua himpunan tersebut tidak mempunyaianggota persekutuan.

Selanjutnya, perhatikan kedua himpunan berikut.K = {1, 2, 3, 4, 5}L = {2, 3, 5, 7, 11}


Perhatikan bahwa terdapat anggota himpunan K yang jugamenjadi anggota himpunan L, yaitu {2, 3, 5}. Dalam hal ini dikatakanbahwa {2, 3, 5} adalah anggota persekutuan dari himpunan K danL. Perhatikan juga bahwa terdapat anggota himpunan K yang tidakmenjadi anggota himpunan L, demikian pula sebaliknya. Keadaandua himpunan seperti ini disebut himpunan tidak saling lepas(berpotongan).

Dua himpunan A dan B dikatakan tidak saling lepas (berpotongan)jika A dan B mempunyai anggota persekutuan, tetapi masih adaanggota A yang bukan anggota B dan ada anggota B yang bukananggota A.

Sekarang, perhatikan himpunan A = {t, i, k, a} dan himpunanB = {a, t, i, k}.

Ternyata, setiap anggota A termuat dalam B, demikian jugasebaliknya. Dalam hal ini, himpunan A dan B disebut dua himpunansama, ditulis A = B.

Dua himpunan dikatakan sama, apabila kedua himpunan mempu-nyai anggota yang tepat sama.

Jika banyaknya anggota himpunan P = banyaknya anggotahimpunan Q, atau n(P) = n(Q) maka P dan Q dikatakan ekuivalen.

Dua himpunan A dan B dikatakan ekuivalen jika n(A) = n(B).

Tulislah anggota dari ma-sing-masing himpunan be-rikut. Kemudian tentukanhubungan antarhimpunantersebut.P = {x | x < 7, x A}Q = {bilangan prima ku-

rang dari 10}R = {empat huruf perta-

ma dalam abjad}S = {x | 1 x 6,

x C}

Penyelesaian:Dengan mendaftar masing-masing anggotanya, diperolehsebagai berikut.P = {1, 2, 3, 4, 5, 6}Q = {2, 3, 5, 7}R = {a, b, c, d}S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}– Perhatikan himpunan P dan Q.

Anggota persekutuan dari himpunan P dan Q adalah{2, 3, 5}. Namun masih terdapat anggota himpunan Pyang tidak menjadi anggota himpunan Q, yaitu{1, 4, 6}. Demikian pula, terdapat anggota himpunanQ yang tidak menjadi anggota himpunan P, yaitu {7}.Dengan demikian, himpunan P dan Q dikatakan tidaksaling lepas (berpotongan).

(Berpikir kritis)Berikan contohhimpunan yang salinglepas, tidak salinglepas (berpotongan),himpunan sama, danhimpunan ekuivalen.Diskusikan hal inidengan temansebangkumu.

177Himpunan

E. OPERASI HIMPUNAN

1. Irisan Dua Himpunana. Pengertian irisan dua himpunan

Cobalah kalian ingat kembali tentang anggota persekutuandari dua himpunan.Misalkan A = {1, 3, 5, 7 , 9}

B = {2, 3, 5, 7 }Anggota himpunan A dan B adalah anggota himpunan A dan

sekaligus menjadi anggota himpunan B = {3, 5, 7}.Anggota himpunan A yang sekaligus menjadi anggota

himpunan B disebut anggota persekutuan dari A dan B.Selanjutnya, anggota persekutuan dua himpunan disebut irisan

dua himpunan, dinotasikan dengan ( dibaca: i risan a tauinterseksi). Jadi, A B = {3, 5, 7}.

– Perhatikan himpunan Q dan R.Karena tidak ada anggota persekutuan antara him-punan Q dan R, maka dikatakan himpunan Q dan Rsaling lepas atau saling asing. Namun, perhatikanbahwa Q = {2, 3, 5, 7}, n(Q) = 4 dan R = {a, b, c, d},n(R) = 4. Dengan demikian, dikatakan bahwa himpunanQ dan R ekuivalen, karena n(Q) = n(R).

– Sekarang, perhatikan himpunan P dan S.Kedua himpunan mempunyai anggota yang tepat sama.Jadi, himpunan P dan S dikatakan dua himpunan sama.

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.E = {nama bulan dalam setahun yang di-

mulai dengan huruf J}F = {2, 1, 3}G = {x | 10 < x < 20, x bilangan prima}H = {bilangan cacah}I = {bilangan ganjil}J = {x | x < 9, x bilangan ganjil}

Dengan mendaftar anggota-anggotanya, ten-tukan hubungan yang mungkin antarhim-punan berikut ini.A = {x | x vokal}B = {x | x konsonan}C = {nama bulan yang berumur 30 hari}D = {1, 2, 3}


Secara umum dapat dikatakan sebagai berikut.

Irisan (interseksi) dua himpunan adalah suatu himpunan yanganggotanya merupakan anggota persekutuan dari dua himpunantersebut.

Irisan himpunan A dan B dinotasikan sebagai berikut.

A B = {x | x A dan x B}

b. Menentukan irisan dua himpunan1) Himpunan yang satu merupakan himpunan bagian yang lain

Misalkan A = {1, 3, 5} dan B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.Irisan dari himpunan A dan B adalah A B = {1, 3, 5} = A.Tampak bahwa A = {1, 3, 5} B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Jika A B, semua anggota A menjadi anggota B. Olehkarena itu, anggota persekutuan dari A dan B adalah semuaanggota dari A.

Jika A B maka A B = A.

DiketahuiA = {2, 3, 5} danB = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,

10}.Tentukan A B.

Penyelesaian:A = {2, 3, 5}B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}A B = {2, 3, 5} = A.

2) Kedua himpunan samaDi depan telah kalian pelajari bahwa dua himpunan A

dan B dikatakan sama apabila semua anggota A juga menjadianggota B dan sebaliknya semua anggota B juga menjadianggota A. Oleh karena itu anggota sekutu dari A dan B adalahsemua anggota A atau semua anggota B.

Jika A = B maka A B = A atau A B = B.

(Berpikir kritis)Diskusikan dengantemanmu.Diketahui dua buahhimpunan A dan B,dimana A B = A.Apakah A = B? Berikancontoh untuk mendu-kung jawabanmu.

(Berpikir kritis)Tuliskan dua buahhimpunan. Tentukanirisan dari duahimpunan tersebut.Ceritakan hasilnyasecara singkat didepan kelas.

179Himpunan

3) Kedua himpunan tidak saling lepas (berpotongan)Himpunan A dan B dikatakan tidak saling lepas

(berpotongan) jika A dan B mempunyai sekutu, tetapi masihada anggota A yang bukan anggota B dan ada anggota B yangbukan anggota A.

Misalkan A = {bilanganasli kurang dari 6} danB = {1, 2, 3, 4, 5}. Tentukananggota A B.

Penyelesaian:A = {1, 2, 3, 4, 5}B = {1, 2, 3 , 4, 5}Karena A = B maka A B = {1, 2, 3, 4, 5} = A = B.

Misalkan P = {bilangan aslikurang dari 11} danQ = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,16}. Tentukan anggotaP Q.

Penyelesaian:P = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}Q = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}P Q = {2, 4, 6, 8, 10}

2. Gabungan Dua Himpunana. Pengertian gabungan dua himpunan

Ibu membeli buah-buahan di pasar. Sesampai di rumah,ibu membagi buah-buahan tersebut ke dalam dua buah piring,piring A dan piring B. Piring A berisi buah jeruk, salak, danapel. Piring B berisi buah pir, apel, dan anggur. Jika isi piring Adan piring B digabungkan, isinya adalah buah jeruk, salak, apel,pir, dan anggur.

(Berpikir kritis)Diskusikan dengan temanmu.Himpunan A dan B dikatakan saling lepas jika A dan B tidakmempunyai anggota sekutu. Carilah contoh dua himpunan yang

saling lepas. Tunjukkan bahwa A B = .


Dari uraian tersebut dapat disimpulkan sebagai berikut.

Jika A dan B adalah dua buah himpunan, gabungan himpunanA dan B adalah himpunan yang anggotanya terdiri atasanggota-anggota A atau anggota-anggota B.

Dengan notasi pembentuk himpunan, gabungan A dan Bdituliskan sebagai berikut.

A B = {x | x A atau x B}

Catatan: A B dibaca A gabungan B atau A union B.

b. Menentukan gabungan dua himpunan1) Himpunan yang satu merupakan himpunan bagian dari yang

lain.Misalkan A = {3, 5} dan B = {1, 2, 3, 4, 5}.Perhatikan bahwa A = {3, 5} B = {1, 2, 3, 4, 5}, sehinggaA B = {1, 2, 3, 4, 5} = B.

Jika A B maka A B = B.

2) Kedua himpunan samaMisalkan P = {2, 3, 5, 7, 11} dan Q = {bilangan prima yangkurang dari 12}.Dengan mendaftar anggotanya, diperolehP = {2, 3, 5, 7, 11}Q = {2, 3, 5, 7, 11}P Q = {2, 3, 5, 7, 11} = P = Q

Jika A = B maka A B = A = B.

3) Kedua himpunan tidak saling lepas (berpotongan)Misalkan A = {1, 3, 5, 7, 9} dan B = {1, 2, 3, 4, 5}, makaA B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9}

c. Menentukan b anyaknya a nggota d ari g abungan du ahimpunan

Banyaknya anggota dari gabungan dua himpunan dirumuskansebagai berikut.

n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B)

Rumus di atas dapat digunakan untuk menentukan banyakanggota dari gabungan dua himpunan. Perhatikan contoh berikut.

(Berpikir kritis)Diskusikan dengantemanmu.Diketahui A sebaranghimpunan. Tentukan

hasil dari A .

(Berpikir kritis)Tuliskan dua buahhimpunan. Tentukangabungan darihimpunan tersebut.Ceritakan hasilnyasecara singkat didepan kelas.

181Himpunan

DiketahuiK = {faktor dari 6} danL = {bilangan cacah ku-

rang dari 6}.Dengan mendaftar anggo-tanya, tentukana. anggota K L;b. anggota K L;c. n(K L).

Penyelesaian:K = {faktor dari 6}

= {1, 2, 3, 6}, n(K) = 4L = {bilangan cacah kurang dari 6}

= {0, 1, 2, 3, 4, 5}, n(L) = 6a. K L = {1, 2, 3}b. K L = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}c. n(K L) = 7.

n(K L) juga dapat diperoleh dengan rumus berikut.n(K L) = n(K) + n(L) – n(K L)

= 4 + 6 – 3= 7

3. Selisih (Difference) Dua Himpunan

Selisih (difference) himpunan A dan B adalah himpunan yanganggotanya semua anggota dari A tetapi bukan anggota dari B.

Selisih himpunan A dan B dinotasikan dengan A – B atauA\B.Catatan:A – B = A\B dibaca: selisih A dan B.

Dengan notasi pembentuk himpunan dituliskan sebagai berikut.

A – B = {x | x A, x B}B – A = {x | x B, x A}

Diketahui A = {a, b, c, d} dan B = {a, c, f, g}.Selisih A dan B adalah A – B = {a, b, c, d} – {a, c, f, g} =

{b, d}, sedangkan selisih B dan A adalahB – A = {a, c, f, g} – {a, b, c, d} = {f, g}.

Diketahui S = {1, 2, 3, ...,10} adalah himpunan se-mesta. Jika P = {2, 3, 5, 7}dan Q = { 1, 3 , 5 , 7 , 9 },tentukan

Penyelesaian:a. S – P = {1, 2, 3, ..., 10} – {2, 3, 5, 7}

= {1, 4, 6, 8, 9, 10}


a. anggota S – P;b. anggota P – Q;c. anggota Q – P.

b. P – Q = {2, 3, 5, 7} – {1, 3, 5, 7, 9}= {2}

c. Q – P = {1, 3, 5, 7, 9} – {2, 3, 5, 7}= {1, 9}.

4. Komplemen Suatu HimpunanAgar kalian dapat memahami mengenai komplemen suatu

himpunan, coba ingat kembali pengertian himpunan semesta atausemesta pembicaraan.

Komplemen himpunan A adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota S tetapi bukan anggota A.

Dengan notasi pembentuk himpunan dituliskan sebagai berikut.

AC = {x | x S dan x A}

Diketahui S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} adalah himpunan semestadan A = {3, 4, 5}. Komplemen himpunan A adalahAC = {1, 2, 6, 7}.

Komplemen A dinotasikan dengan A C atau A (AC atau Adibaca: komplemen A).

Diketahui S = {1, 2, 3, ...,10} adalah himpunan se-mesta. Jika A = {1, 2, 3, 4}dan B = {2, 3, 5, 7},tentukana. anggota AC;b. anggota BC;c. anggota (A B)C.

Penyelesaian:DiketahuiS = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 10}A = {1, 2, 3, 4}B = {2, 3, 5, 7}a. AC = {5, 6, 7, 8, 9, 10}b. BC = {1, 4, 6, 8, 9, 10}c. Untuk m enentukan an ggota ( A B) C, tentukan

terlebih dahulu anggota dari A B.A B = {2, 3}(A B)C = {1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

(Berpikir kritis)Amati lingkungansekitarmu. Tuliskankumpulan yangmerupakan himpunan.Tentukan komplemendari himpunantersebut. Ceritakanpengalamanmu didepan kelas.

183Himpunan


C = {x | x 11, x bilangan prima}Dengan menyebutkan anggota-anggota-nya, tentukan masing-masing anggotahimpunan berikut ini.a. A, B, dan Cb. A Bc. B Cd. A (B C)e. A ( B C)f. B ( A C)g. C (A B)h. (A B) (B C)

4. DiketahuiS = {bilangan cacah kurang dari 15};A = {x | x < 8, x S}; danB = {x | x 5, x S}.Nyatakan himpunan-himpunan berikutdengan mendaftar anggota-anggotanya.a. AC e. A BC

b. BC f. A\Bc. (A B)C g. B\Ad. (A B)C h. S\A

1. Tentukan P Q dengan menyebutkananggota-anggotanya, kemudian tentukann(P Q) untuk himpunan P dan Q dibawah ini.a. P = {x | 0 < x 5, x A}

Q = {x | –4 x < 1, x B}b. P = {x | x < 9, x bilangan ganjil}

Q = {x | x < 9, x bilangan prima}c. P = {huruf pembentuk kata bunda}

Q = {huruf pembentuk kata ibu}2. Diketahui himpunan-himpunan berikut.

K = {x | –3 < x < 3, x bilangan bulat}L = {lima bilangan cacah yang pertama}M = {x | x < 5, x bilangan asli}Dengan menyebutkan anggota-anggo-tanya, tentukan masing-masing anggotahimpunan berikut.a. K L c. L Mb. K M d. K L M

3. Diketahui himpunan-himpunan berikut.A = {x | x < 5, x bilangan cacah}B = {empat bilangan ganjil yang per-

tama}

5. Sifat-Sifat Operasi Himpunana. Sifat-sifat irisan dan gabungan himpunan

Kalian telah mempelajari bahwa anggota irisan dua himpunanadalah anggota persekutuan himpunan tersebut.Jika A = {1, 2, 3, 4}

B = {3, 4, 5}C = {4, 5, 6}

maka A B = {3, 4} dan B A = {3, 4}.Tampak bahwa A B = B A.Sifat ini disebut sifat komutatif irisan .


Untuk setiap himpunan A dan B berlaku sifat komutatif irisanA B = B A.

Berdasarkan himpunan A, B, dan C di atas dapat diketahui bahwaA B = {3, 4} dan B C = {4, 5}, sehingga(A B) C = {3, 4} {4, 5, 6}

= {4}A (B C) = {1, 2, 3, 4} {4, 5}

= {4}

Tampak bahwa (A B) C = A (B C).

Sifat ini disebut sifat asosiatif irisan.Jika A = {1, 2, 3, 4} maka A A = {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3, 4}

= {1, 2, 3, 4}= A

Jadi, A A = A.Sifat ini dikenal dengan sifat idempotent irisan.

Untuk se tiap h impunan A d engan s emesta p embicaraan S,berlakua. sifat identitas irisan

A S = A (himpunan S disebut elemen identitas pada irisan)b. sifat komplemen irisan

A AC = .

Coba buktikan sifat-sifat di atas dengan berdiskusi bersamatemanmu.

Selain sifat-sifat di atas, terdapat hubungan antara irisan dangabungan dua himpunan.

Jika himpunan A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5, 6}, danC = {3, 6, 7}, diperoleh B C = {3, 4, 5, 6, 7}, A B = {3}, danA C = {3}.Dengan demikian diperolehA (B C) = {1, 2, 3} {3, 4, 5, 6, 7}

= {3}(A B) (A C) = {3} {3}

= {3}Tampak bahwa A (B C) = (A B) (A C).Secara umum berlaku sebagai berikut.

Untuk setiap himpunan A, B, dan C berlakuA (B C) = (A B) (A C)

Sifat ini disebut sifat distributif irisan t erhadap gabungan .

(Berpikir kritis)Diskusikan dengantemanmu.Dengan cara yang sa-ma seperti pada sifat-sifat irisan himpunan,tunjukkan berlakunyasifat-sifat gabunganhimpunan berikut.a) Sifat komutatif

gabungan: A B =B A.

b) Sifat asosiatif ga-bungan:(A B) C = A (B C).

c) Sifat idempotentgabungan:A A = A.

d) Sifat identitas ga-bungan: A =

A. disebutelemen identitaspada gabunganhimpunan.

e) Sifat komplemengabungan:A AC = S.

Untuk setiap himpunanA, B, dan C, tunjukkanberlakunya sifat distri-butif gabungan terha-dap irisan: A (B C)= (A B) (A C).

185Himpunan

b. Sifat-sifat selisih himpunanDi depan kalian telah mengetahui bahwa selisih himpunan A

dan B adalah himpunan yang anggotanya semua anggota dari Atetapi bukan anggota dari B.Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

B = {1, 2, 3, 6}C = {1, 2, 4, 8}

maka A – A = {1, 2, 3, 4, 6, 12} – {1, 2, 3, 4, 6, 12}=

A – = {1, 2, 3, 4, 6, 12} – = {1, 2, 3, 4, 6, 12}= A.

Tampak bahwa A – A = dan A – = A.

Karena A – = A, maka adalah identitas pada selisihhimpunan.

Sekarang, perhatikan bahwa B C = {1, 2}, A – B ={4, 12}, dan A – C = {3, 6, 12}, sehingga diperolehA – (B C} = {1, 2, 3, 4, 6, 12} – {1, 2}

= {3, 4, 6, 12}(A – B) (A – C) = {4, 12} {3, 6, 12}

= {3, 4, 6, 12}Tampak bahwa A – (B C) = (A – B) (A – C).Secara umum berlaku sebagai berikut.

Untuk setiap himpunan A, B, dan C berlakuA – (B C) = (A – B) (A – C)

Sifat ini disebut sifat distributif selisih terhadap irisan .Dengan cara yang sama seperti di atas, buktikan bahwa pada

selisih dua himpunan berlaku sifat distributif selisih terhadapgabungan.

Untuk setiap himpunan A, B, dan C berlakuA – (B C) = (A – B) (A – C)

Diskusikan hal ini dengan temanmu.



c. anggota P Q;d. anggota Q P;e. anggota P (Q R);f. anggota P (Q R);g. anggota (P Q) (P R);h. anggota (P Q) (P R).Ujilah jawabanmu dengan sifat-sifat operasihimpunan yang telah kalian pelajari sebe-lumnya.

DiketahuiP = {huruf pembentuk kata PERIANG}Q = {huruf pembentuk kata GEMBIRA}R = {huruf pembentuk kata CERIA}Dengan mendaftar anggota-anggotanya,tentukana. anggota P Q;b. anggota Q P;

F. DIAGRAM VENN

1. Pengertian Diagram V ennDi bagian depan kalian telah mempelajari cara menyatakan

suatu himpunan, menentukan himpunan semesta, menentukanhimpunan bagian dari suatu himpunan, dan operasi pada himpunan.Untuk menyatakan suatu himpunan secara visual (gambar), kaliandapat menunjukkan dalam suatu diagram Venn.

Diagram Venn pertama kali diketemukan oleh John V enn,seorang ahli matematika dari Inggris yang hidup pada tahun 1834–1923. Dalam diagram Venn, himpunan semesta dinyatakan dengandaerah persegi panjang, sedangkan himpunan lain dalam semestapembicaraan dinyatakan dengan kurva mulus tertutup sederhanadan noktah-noktah untuk menyatakan anggotanya.

Agar kalian dapat memahami cara menyajikan himpunandalam diagram Venn, pelajari uraian berikut.Diketahui S = {0, 1, 2, 3, 4, ..., 9};

P = {0, 1, 2, 3, 4}; danQ = {5, 6, 7}

Himpunan S = {0, 1, 2, 3, 4, ..., 9} adalah himpunan semesta(semesta pembicaraan). Dalam diagram Venn, himpunan semestadinotasikan dengan S berada di pojok kiri.

Perhatikan himpunan P dan Q. Karena tidak ada anggotapersekutuan antara P dan Q, maka P Q = { }. Jadi, dapatdikatakan bahwa kedua h impunan saling l epas. Dalam hal i ni,

John Venn

Sumber: Ensiklopedi M ate-matika dan Peradaban

Manusia, 2003

Gambar 6.3

187Himpunan

Diketahui S = {1, 2, 3, ...,10} adalah himpunan se-mesta (semesta pembica-raan), A = {1, 2, 3, 4, 5},dan B = {bilangan genapkurang dari 12}. Gambar-lah dalam diagram V ennketiga himpunan tersebut.

kurva yang dibatasi oleh himpunan P dan Q saling terpisah.Selanjutnya, anggota-anggota himpunan P diletakkan pada kurvaP, sedangkan anggota-anggota himpunan Q diletakkan pada kurvaQ.

Anggota himpunan S yang tidak menjadi anggota himpunanP dan Q diletakkan di luar kurva P dan Q.Diagram Venn-nya seperti Gambar 6.4 di samping.

Penyelesaian:Diketahui S = {1, 2, 3, ..., 10}

A = {1, 2, 3, 4, 5}B = {2, 4, 6, 8, 10}

Berdasarkan himpunan A dan B, dapat diketahui bahwaA B = {2, 4}. Perhatikan bahwa himpunan A dan Bsaling berpotongan. (Mengapa?)Dalam diagram Venn, irisan dua himpunan harus dinyatakandalam satu kurva (himpunan A dan B dibuat berpotongan).Adapun bilangan yang lain diletakkan pada kurva masing-masing.Diagram Venn-nya sebagai berikut.

S1

3

5

2

4

68

107

9

A B

Gambar 6.5

2. Membaca Diagram VennDalam membaca diagram Venn, perhatikan himpunan semes-

ta dan himpunan-himpunan lain yang berada pada diagram Venntersebut. Anggota-anggota himpunan tertentu berada pada kurvayang dibatasi oleh himpunan tersebut. Agar kalian lebih memahamicara membaca diagram Venn, perhatikan contoh berikut.

S

5

732

9

P Q

1 64

8

0

Gambar 6.4


S

115

18

36

4

8

7

16 13

9512

17

14 11 10

2

20

19P Q

Gambar 6.6

Berdasarkan diagram V enn diatas, nyatakan himpunan-him-punan berikut dengan mendaftaranggota-anggotanya.a. Himpunan S.b. Himpunan P.c. Himpunan Q.d. Anggota himpunan P Q.e. Anggota himpunan P Q.f. Anggota himpunan P\Q.g. Anggota himpunan PC.

Penyelesaian:a. Himpunan S adalah himpunan semesta atau se-

mesta pembicaraan. Himpunan S memuat se-mua anggota atau objek himpunan yang dibicara-kan, sehingga S = {1, 2, 3, 4, ..., 20}.

b. Himpunan P adalah semua anggota himpunan Syang menjadi anggota himpunan P. Dalam dia-gram Venn, anggota himpunan P berada padakurva yang dibatasi oleh P. Jadi, P = {1, 3, 6, 9,12, 15, 18}

c. Himpunan Q adalah semua anggota himpunanS yang menjadi anggota himpunan Q. Dalamdiagram Venn, anggota himpunan Q berada padakurva yang dibatasi oleh Q. Jadi, Q = {3, 4, 5, 6,7, 8, 9}.

d. Anggota himpunan P Q adalah anggota him-punan P dan sekaligus menjadi anggota him-punan Q = {3, 6, 9}.

e. Anggota himpunan P Q adalah semua ang-gota himpunan P maupun himpunan Q = {1, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 15, 18}.

f. Anggota himpunan P\Q adalah semua anggotaP tetapi bukan anggota Q, sehingga P\Q ={1, 12, 15, 18}.

g. Anggota himpunan PC adalah semua anggota Stetapi bukan anggota P, sehingga PC = {2, 4, 5,7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20}.

3. Menyajikan Operasi Himpunan dalam Diagram V ennKalian tel ah mempelajari car a membaca diag ram Venn.

Sekarang, kalian akan mempelajari cara menyajikan suatu himpunanke dalam diagram Venn.

Misalkan S = {1, 2, 3, ..., 10}, P = {1, 3, 5, 7, 9}, dan Q = {2,3, 5, 7}. Himpunan P Q = {3, 5, 7}, sehingga dapat dikatakanbahwa himpunan P dan Q saling berpotongan. Diagram Venn yangmenyatakan hubungan himpunan S, P, dan Q, seperti Gambar 6.7.

Daerah yang diarsir pada diagram Venn di samping menun-jukkan daerah P Q.

Gambar 6.7

S

5

7

32

9

P Q

1

10 6

4

8

189Himpunan

Adapun daerah arsiran pada Gambar 6.8 di samping me-nunjukkan daerah P Q.

Berdasarkan diagram Venn di samping, tampak bahwaP Q = {1, 2, 3, 5, 7, 9}. Coba, tunjukkan dengan diagram Venn,daerah arsiran yang menyatakan himpunan P C dan Q\P darihimpunan-himpunan di atas.Diskusikan hal ini dengan temanmu.

Agar kalian lebih memahami cara menyajikan himpunandalam diagram Venn, perhatikan contoh berikut.

Gambar 6.8

S

5

7

32

9

P Q

1

10 6

4

8

(Berpikir kritis)Buatlah dua buah himpunan dimana himpunan yang satumerupakan bagian dari himpunan yang lain.Tunjukkan dengan diagram Venn, daerah yang menunjukkanirisan dan gabungan dua buah himpunan tersebut. Lakukan halini pada dua buah himpunan yang sama. Kemudian, buatlahkesimpulannya. Diskusikan dengan temanmu.

Diketahui S = {0, 1, 2, ...,15}; P = {1, 2, 3, 4, 5, 6};Q = {1, 2, 5, 10, 11}; danR = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}.Gambarlah himpunan-himpunan tersebut dalamdiagram Venn. Tunjukkandengan a rsiran d aerah-daerah himpunan berikut.a. P Q Rb. P Qc. Q Rd. P (Q R)e. QC

f. P – R

Penyelesaian:Diketahui: S = {0, 1, 2, 3, ..., 15}

P = {1, 2, 3, 4, 5, 6}Q = {1, 2, 5, 10, 11}; danR = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}.

Berdasarkan himpunan-himpunan tersebut, dapat diketahuibahwa P Q R = {2}P Q = {1, 2, 5}Q R = {2, 10}P R = 2, 4, 6}Diagram Venn-nya sebagai berikut.

S1

78 9

5

1214

3

P Q

26

410

13

11

R

15

Gambar 6.9


a. Daerah arsiran pada diagram Venn di atas menun-jukkan himpunan P Q R.

b. Daerah arsiran di sampingmenunjukkan himpunanP Q.Tampak bahwaP Q = {1, 2, 5}.

c. Daerah yang diarsir padadiagram Venn di sampingmenunjukkan himpunanQ R. Dari gambar dapatdiketahui bahwa Q R ={1, 2, 4, 5, 6, 8, 10, 11 ,12, 14}.

d. Dari soal dapat diketahuibahwa Q R = {2, 10},sehingga P (Q R) ={1, 2, 3, ..., 6} {2, 10}= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10}.Daerah arsiran pada dia-gram Venn di samping me-nunjukkan daerahP (Q R).

e. Diketahui S = {1, 2, ..., 15}dan Q = {1, 2, 5, 10, 1 1},sehingga QC = {3, 4, 6, 7, 8,9, 12, 13, 14, 15}. Daeraharsiran pada diagram Venndi samping menunjukkanhimpunan QC.

Gambar 6.12

S1

78 9

5

1214

P

26

410

13

11

R

3

Q15

Gambar 6.13

S

78 91214

P

64

13R

3

10251

11

15Q

S1

78 9

5

1214

3

P Q

26

410

13

11

R

15

Gambar 6.10

Gambar 6.11

S1

78 9

5

1214

3

P Q

26

410

13

11

R

15

191Himpunan

f. Diketahui P = {1, 2, 3, 4, 5, 6} danR = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}, sehingga

P – R = {1, 2, 3, 4, 5, 6} – {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}= {1, 3, 5}

Diagram Venn-nya sebagai berikut.S

1

78 9

5

1214

P Q

26

410

13

11

R

3

15

Gambar 6.14

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.2. Perhatikan diagram Venn berikut.

S

k

p

q

P Q

ml

h i

j

n

fg

e dcba

or

s

S = {siswa yang gemar olahraga}P = {siswa yang gemar bola voli}Q = {siswa yang gemar bola basket}Setiap a nggota h impunan d itunjukkandengan noktah. Dari diagram V enntersebut, sebutkan an ggota himpuna nberikut.a. Himpunan siswa yang gemar olah-

raga.b. Himpunan siswa yang gemar bola

voli.c. Himpunan siswa yang gemar bola

basket.d. Himpunan siswa yang gemar bola

voli dan basket.

1. Diketahui himpunan-himpunan berikut.S = {bilangan cacah kurang dari 15}A = {lima bilangan ganjil yang perta-

ma}B = {lima bilangan genap yang perta-

ma}C = {faktor dari 8}D = {tiga bilangan kuadrat yang per-

tama}a. Nyatakan himpunan-himpunan di

atas dengan mendaftar anggotanya.b. Buatlah diagram V enn untuk ma-

sing-masing himpunan berikut,dengan S sebagai himpunansemestanya.

a. Himpunan S, A, dan B.b. Himpunan S, A, dan Cc. Himpunan S, B, dan Dd. Himpunan S, A, C, dan De. Himpunan S, B, C, dan D


e. Himpunan siswa yang gemar bolavoli saja.

f. Himpunan siswa yang gemar bolabasket saja.

3. S

ab

c

ed

g

f

hi j

kl

m

npq

C A

Bo

Dari diagram Venn di atas, tentukana. anggota himpunan S;b. anggota himpunan A;c. anggota himpunan B;d. anggota himpunan C.

4. Berdasarkan diagram V enn pada soalnomor 3 di atas, tentukana. anggota himpunan A B;b. anggota himpunan A B;c. anggota himpunan B C;d. anggota himpunan A B C;e. anggota himpunan A BC;f. anggota himpunan B\C.

5. Salinlah g ambar b erikut, k emudianarsirlah daerah yang menggambarkanA B untuk setiap himpunan yangdisajikan oleh diagram Venn berikut.

a. BASc. B

AS

b. A = BSd. BA

S

6. Salinlah gambar berikut, kemudian arsir-lah daerah yang menggambarkanA B untuk setiap himpunan yang disa-jikan oleh diagram Venn berikut.

a. BASc. B

AS

b. A = BSd. BA

S

7. Diketahui himpunan-himpunan berikut.S = {bilangan cacah kurang dari 15}P = {x | x < 7, x bilangan asli}Q = {x | x 13, x bilangan prima}R = {lima bilangan genap yang pertama}Nyatakan himpunan-himpunan berikutdengan mendaftar anggota-anggotanya.Kemudian, tunjukkan daerah arsiranyang menyatakan himpunan-himpunantersebut.a. P Qb. Q Rc. P Q Rd. Q (P R)e. P (Q R)C

f. P\Qg. P QC

h. R\P8. Perhatikan diagram berikut.

S

1

15

36

4 87

13

9

5

1214

1110

2

A B

Tentukana. n(S); e. n(A B);b. n(A); f. n(AC);c. n(B); g. n(A\B);d. n(A B); h. n(A B)C.

193Himpunan

G. MENYELESAIKAN MASALAH DENGANMENGGUNAKAN KONSEP HIMPUNAN

Jika kalian amati masalah dalam kehidupan sehari-hari makabanyak di antaranya dapat diselesaikan dengan konsep himpunan.Agar dapat menyelesaikannya, kalian harus memahami kembalimengenai konsep diagram Venn. Kalian harus dapat menyatakanpermasalahan tersebut dalam suatu diagram Venn. Pelajari contohberikut ini.

1. Dalam suatu kelasyang t erdiri at as 4 0siswa, diketahui 24siswa gemar bermaintenis, 23 siswa gemarsepak bola, dan 1 1siswa ge mar k edua-duanya. Gambarlahdiagram Venn dariketerangan tersebut,kemudian tentukan ba-nyaknya siswaa. yang hanya gemar

bermain tenis;b. yang hanya gemar

bermain s epakbola;

c. yang tidak gemarkedua-duanya.

Penyelesaian:Dalam menentukan banyaknya anggota masing-

masing himpunan pada diagram Venn, tentukan terlebihdahulu banyaknya anggota yang gemar bermain tenis dansepak bola, yaitu 11 siswa.Diagram Venn-nya seperti gambar berikut.

40tenis sepak bola

11

4

13 12

Gambar 6.15

a. Banyak siswa yang hanya gemar tenis= 24 – 11 = 13 siswa

b. Banyak siswa yang hanya gemar sepak bola= 23 – 11 = 12 siswa

c. Banyak siswa yang tidak gemar kedua-duanya= 40 – 13 – 11 – 12= 4 siswa

2. Dari sekelompok anak,diperoleh data 23orang suka makanbakso dan mi ayam, 45orang suka makanbakso, 34 orang suka

Penyelesaian:a. Dalam m enentukan b anyak a nak d alam k elompok

tersebut, tuliskan terlebih dahulu banyak anak yangsuka makan bakso dan mi ayam, serta banyak anakyang tidak suka keduanya pada diagram V enn.Kemudian, tentukan banyak anggota masng-masing.Diagram Venn-nya sebagai berikut.


4. Suatu kompleks perumahan mempunyai43 orang warga, 35 orang di antaranyaaktif m engikuti k egiatan o lahraga, s e-dangkan sisanya tidak mengikuti kegia-tan apa pun. Kegiatan bola voli diikuti15 orang, tenis diikuti 19 orang, dan caturdiikuti 25 orang. Warga yang mengikutibola voli dan catur sebanyak 12 orang,bola voli dan tenis 7 orang, sedangkantenis dan catur 9 orang. Tentukan ba-nyaknya warga yang mengikuti ketigakegiatan olahraga tersebut.

5. Dari 40 siswa dalam suatu kelas, terda-pat 30 siswa gemar pelajaran matematikadan 26 siswa gemar pelajaran fisika. Jika2 siswa tid ak gemar dengan keduapelajaran tersebut, tentukan banyaknyasiswa yang gemar pelajaran matematikadan fisika.

1. Dalam suatu kelas terdapat 48 siswa.Mereka memilih dua jenis olahraga yangmereka gemari. Ternyata 29 siswa ge-mar bermain basket, 27 siswa gemarbermain voli, dan 6 siswa tidak mengge-mari kedua olahraga tersebut.a. Gambarlah diagram Venn dari kete-

rangan tersebut.b. Tentukan banyaknya siswa yang ge-

mar bermain basket dan voli.2. Dari 50 siswa di suatu kelas, diketahui

25 siswa gema r matematika, 20 siswagemar fisika, dan 7 siswa gemar kedua-duanya. Tentukan banyaknya siswayang tidak gemar matematika dan fisika.

3. Pada sebuah kelas yang terdiri atas 46siswa dilakukan pendataan pilihan eks-trakurikuler. Hasil sementara diperoleh19 siswa memilih KIR, 23 siswa memilihPMR, dan 16 siswa belum menentukanpilihan. Tentukan banyaknya siswa yanghanya memilih PMR saja dan KIR saja.

makan mi ayam, dan 6orang t idak su kakedua-duanya.a. Gambarlah dia-

gram Venn yangmenyatakan ke-adaan t ersebut.

b. Tentukan banyakanak d alam k e-lompok tersebut.

b. Dari diagram Venn, tampak bahwa banyak anak dalamkelompok tersebut = 22 + 23 + 11 + 6

= 62 anak.

22 23 11

Mi ayamBakso

6


195Himpunan

1. Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang ciri-cirinyajelas, sehingga dengan tepat dapat diketahui objek yangtermasuk himpunan dan yang tidak termasuk dalam himpunantersebut.

2. Suatu himpunan biasanya diberi nama atau dilambangkandengan huruf besar (kapital) A, B, C, ..., Z. Adapun bendaatau objek yang termasuk dalam himpunan tersebut ditulisdengan menggunakan pasangan kurung kurawal {...}.

3. Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara, yaitudengan kata-kata, dengan notasi pembentuk himpunan, dandengan mendaftar anggota-anggotanya.

4. Himpunan yang memiliki banyak anggota berhingga disebuthimpunan berhingga.Himpunan yang memiliki banyak anggota tak berhingga disebuthimpunan tak berhingga.

5. Himpunan semesta atau semesta pembicaraan adalahhimpunan yang memuat semua anggota atau objek himpunanyang dibicarakan. Himpunan semesta biasanya dilambangkandengan S.

6. a. Himpunan A merupakan himpunan bagian B, jika setiapanggota A juga menjadi an ggota B dan dinotasikanA B atau B A.

b. Himpunan A bukan merupakan himpunan bagian B, jikaterdapat anggota A yang bukan anggota B dan dinotasikanA B.

c. Setiap himpunan A merupakan himpunan bagian dari him-punan A sendiri, ditulis A A.

d. Banyaknya semua himpunan bagian dari suatu himpunanadalah 2n, dengan n banyaknya anggota himpunan tersebut.

(Menumbuhkan kreativitas)Perhatikan kejadian (peristiwa) di lingkungan sekitarmu. Tuliskankejadian yang berkaitan dengan konsep himpunan, kemudianselesaikanlah. Ceritakan hasilnya secara singkat di depan kelas.



7. a. Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepasatau saling asing jika kedua himpunan tersebut tidak mem-punyai anggota persekutuan.

b. Dua himpunan dikatakan sama, jika kedua himpunan mem-punyai anggota yang tepat sama.

c. Dua himpunan A dan B dikatakan ekuivalen jikan(A) = n(B).

8. Irisan (interseksi) dua himpunan adalah suatu himpunan yanganggotanya merupakan anggota persekutuan dari dua him-punan tersebut. Irisan himpunan A dan B dinotasikan denganA B = {x | x A dan x B}.

9. Gabungan (union) himpunan A dan B adalah suatu himpunanyang anggotanya terdiri atas anggota-anggota A atau anggota-anggota B. Gabungan himpunan A dan B dinotasikan denganA B = {x | x A atau x B}.Banyak anggota dari gabungan himpunan A dan B dirumuskandengan n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B).

10. Untuk setiap himpunan A, B, dan C berlaku sifat komutatif,asosiatif, dan distributif.

Setelah mempelajari mengenai Himpunan, menurutmu,bagian manakah yang paling menarik untuk dipelajari? Tuliskanhal-hal yang menarik tersebut dalam sebuah laporan. Tuliskan pulamanfaat yang kamu peroleh setelah mempelajari materi pada babini. Hasilnya kemukakan secara singkat di depan kelas.

1. Dari kumpulan-kumpulan berikut iniyang merupakan himpunan adalah ....a. kumpulan bilangan kecilb. kumpulan bunga-bunga indahc. kumpulan siswa tinggid. kumpulan bilangan asli antara 4 dan

12

2. Jika P = {bilangan prima ganjil}, per-nyataan berikut yang benar adalah ....a. 2 P c. 9 Pb. 5 P d. 17 P

197Himpunan

7. Diketahui himpunan semestaS = { a, b, c, d, e}, P = {b, d}, danQ = {a, b, c, d}. Anggota himpunanP Q = ....a. {a, b, c, d} c. {b, d}b. { } d. {a, b, c}

8. Jika n(X) = 10, n(Y) = 12, dann(X Y) = 7, n(X Y) = ....a. 7 c. 10b. 8 d. 15

9. Perhatikan diagram Venn berikut.

S A B

C

Pernyataan berikut yang menunjukkandaerah arsiran dari diagram V enn diatas adalah . ...a. (A B) (B C)b. (A B) Cc. (A B) Cd. (A B) (B C)

10. Pada suatu agen koran dan majalahterdapat 18 orang berlangganan korandan majalah, 24 orang berlanggananmajalah, dan 36 orang berlangganankoran. Banyaknya seluruh pelangganagen tersebut adalah ....a. 40 orang c. 60 orangb. 42 orang d. 78 orang

3. Himpunan semesta yang mungkin darihimpunan P = {0, 1, 3, 5} adalah ....a. himpunan bilangan cacahb. himpunan bilangan aslic. himpunan bilangan genapd. himpunan bilangan ganjil

4. Himpunan A = {2, 3, 4, 6, 12} jikadinyatakan dengan notasi pembentukhimpunan adalah ....a. {x | x > 1, x bilangan asli}b. {x | x > 1, x faktor dari 12}c. {x | x > 1, x bilangan cacah}d. {x | x > 1, x bilangan kelipatan

12}

5. Diketahui A = {a, b, c, d, e}.Banyaknya himpunan bagian dari Ayang terdiri a tas t iga elemen adalah....a. 8 c. 10b. 9 d. 12

6. Diketahui S = {bilangan cacah} adalahhimpunan semesta, A = {bilanganprima}, dan B = {bila ngan genap}.Diagram Venn yang memenuhi adalah....a.

BAS c.

BAS

b.A

BS d.BA

S

B. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan singkat dan tepat.1. Nyatakan himpunan-himpunan berikut

dengan cara mendaftar anggota-ang-gotanya dan dengan notasi pembentukhimpunan.a. A adalah himpunan bilangan bulat

antara –3 dan 3.

b. B adalah himpunan bilangan asli ku-rang dari 50 dan habis dibagi 5.

c. C adalah himpunan bilangan primakurang dari 31.

d. D adalah himpunan tujuh bilangancacah yang pertama.


c. A B C;d. A (B C)C;e. AC (B C);f. A\B.Kemudian, gambarlah diagram Venndari masing-masing operasi himpunantersebut.

5. Setelah dilakukan pencatatan terha-dap 35 orang warga di suatu kampung,diperoleh hasil sebagai berikut.18 orang suka minum teh,17 orang suka minum kopi,14 orang suka minum susu,8 orang suka minum teh dan kopi,7 orang suka minum teh dan susu,5 orang suka minum kopi dan susu,3 orang suka minum ketiga-tiganya.

a. Buatlah diagram V enn dari kete-rangan di atas.

b. Tentukan banyaknya war ga yanggemar minum teh, gemar minumsusu, gemar minum kopi, dan tidakgemar ketiga-tiganya.

2. Gambarlah diagram Venn dari him-punan-himpunan berikut, kemudiantentukan anggota A B.a. A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {3, 6, 9,

12, 15, 18}b. A = {a, u} dan B = {huruf pem-

bentuk kata “ sepedaku”}c. A = {huruf vokal} dan B = {huruf

pembentuk kata “ bundaku”}

3. Diketahui X = {bilangan prima kurangdari 18}. Tentukan banyaknya himpun-an bagian dari X yang memilikia. 2 anggota;b. 4 anggota;c. 5 anggota;d. 6 anggota.

4. Diketahui A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6,8}, dan C = {3, 4, 5, 6}. Denganmendaftar anggota-anggotanya, ten-tukana. A B;b. A C;

Zaman dahulu, pelaut menggu-nakan alat yang disebut backstaffuntuk mengukur tinggi mataharitanpa harus menatapnya langsung.Dengan menghitung ketinggianmatahari, pelaut dapat menentukanposisi kapal yang tepat pada garislintang. Perhatikan garis lurus yangdibentuk antara alat dengan mata-hari. Kedua garis lurus tersebutmembentuk sebuah sudut tertentuyang akan menentukan ketinggianmatahari. Adapun titik pertemuanantara kedua garis lurus tersebutdinamakan titik sudut. Agar kalianmemahami mengenai garis, sudut,dan titik sudut, pelajari uraian materiberikut ini.

Tujuan pembelajaranmu pada bab ini adalah:dapat menjelaskan kedudukan dua garis (sejajar, berimpit, berpotongan,bersilangan) melalui benda konkrit;dapat mengenal satuan sudut yang sering digunakan;dapat mengukur besar sudut dengan busur derajat;dapat menjelaskan perbedaan jenis sudut (siku, lancip, tumpul);dapat menemukan sifat sudut jika dua garis sejajar dipotong garis ketiga (garislain);dapat menggunakan sifat-sifat sudut dan garis untuk menyelesaikan soal;dapat melukis sudut yang besarnya sama dengan sudut yang diketahui denganmenggunakan busur dan jangka;dapat melukis sudut 60o, 90o, 30o, 45o, 120o, dan 150o;dapat membagi sudut menjadi dua sama besar.

7 GARIS DAN SUDUT

Kata-Kata Kunci:

kedudukan dua garis sifat sudut dan garisbesar sudut melukis sudutjenis sudut

Sumber: Jendela Iptek , 2001


Pada pembahasan kali ini, kita akan mempelajari caramembagi garis, kedudukan dua garis, dan sifat-sifat garis sejajar.Materi ini akan bermanfaat dalam mempelajari materi segitiga dansegi empat pada bab selanjutnya. Agar kalian dapat memahamimateri ini dengan baik, coba kalian ingat kembali mengenai bangunkubus dan balok.

A. GARIS

Garis merupakan bangun paling sederhana dalam geometri,karena garis adalah bangun berdimensi satu. Perhatikan garis ABpada Gambar 7.1. Di antara titik A dan titik B dapat dibuat satugaris lurus AB. Di antara dua titik pasti dapat ditarik satu garislurus. Sekarang, kalian akan mempelajari kedudukan dua garis.

1. Kedudukan Dua Garisa. Dua garis sejajar

Pernahkah kalian memerhatikan rel atau lintasan kereta api?Apabila kita perhatikan lintasan kereta api tersebut, jarak antaradua rel akan selalu tetap (sama) dan tidak pernah saling berpo-tongan antara satu dengan lainnya. Apa yang akan terjadi jikajaraknya berubah? Apakah kedua rel itu akan berpotongan?

Berdasarkan gambaran tersebut, selanjutnya apabila dua buahrel kereta api kita anggap sebagai dua buah garis, maka dapat kitagambarkan seperti Gambar 7.2 di samping.

Garis m dan garis n di samping, jika diperpanjang sampai takberhingga maka kedua garis tidak akan pernah berpotongan.Keadaan seperti ini dikatakan kedua garis sejajar . Dua garissejajar dinotasikan dengan “//”.

Dua garis atau lebih dikatakan sejajar apabila garis-garis tersebutterletak pada satu bidang datar dan tidak akan pernah bertemuatau berpotongan jika garis tersebut diperpanjang sampai takberhingga.

b. Dua garis berpotonganAgar kalian memahami pengertian garis berpotongan,

perhatikan Gambar 7.3. Gambar tersebut menunjukkan gambarkubus ABCD.EFGH. Amatilah garis AB dan garis BC.Tampak bahwa garis AB dan BC berpotongan di titik B dimanakeduanya terletak pada bidang ABCD. Dalam hal ini garis AB

m

n

Gambar 7.2

BA

D

E

C

F

GH

Gambar 7.3

Gambar 7.1

A B

201Garis dan Sudut

AC

BD

Gambar 7.4

dan BC dikatakan saling berpotongan . D apatkah k alianmenyebutkan pasangan garis lain dari kubus ABCD.EFGH yangsaling berpotongan?

Dua garis dikatakan saling berpotongan apabila garis tersebutterletak pada satu bidang datar dan mempunyai satu titik potong.

c. Dua garis berimpitPada Gambar 7.4 di samping menunjukkan garis AB dan garis

CD yang saling menutupi, sehingga hanya terlihat sebagai satugaris lurus saja. Dalam hal ini dikatakan kedudukan masing-masinggaris AB dan CD terletak pada satu garis lurus. Kedudukan garisyang demikian dinamakan pasangan garis yang berimpit.

Dua garis dikatakan saling berimpit apabila garis tersebut terletakpada satu garis lurus, sehingga hanya terlihat sebagai satu garislurus saja.

d. Dua garis bersilanganSediakan sebuah penghapus papan tulis yang terdapat di

kelasmu. Apabila penghapus tadi kita anggap sebagai bentuk sebuahbalok, maka dapat digambar seperti pada Gambar 7.5.

Gambar 7.5 menunjukkan sebuah balok ABCD.EFGH.Perhatikan garis AC dan garis HF.

Tampak bahwa kedua garis tersebut tidak terletak pada satubidang datar. Garis AC terletak pada bidang ABCD, sedangkangaris HF terletak pada bidang EFGH. Selanjutnya apabila keduagaris tersebut, masing-masing diperpanjang, maka kedua garistidak akan pernah bertemu. Dengan kata lain, kedua garis itu tidakmempunyai titik potong. Kedudukan garis yang demikian dinamakanpasangan garis yang saling bersilangan. Coba tentukan pasangangaris lain yang saling bersilangan pada balok tersebut.

Dua garis dikatakan bersilangan apabila garis-garis tersebut tidakterletak p ada s atu b idang d atar d an t idak a kan b erpotonganapabila diperpanjang.

2. Garis Horizontal dan Garis VertikalAmati Gambar 7.6 (a).Gambar tersebut menunjukkan sebuah neraca dengan bagian-

bagiannya. Perhatikan bagian tiang penyangga dan bagian lenganyang b erada d i a tasnya. K edudukan b agian t iang d an l engan

A B

E

H G

CF

D

Gambar 7.5

(Menumbuhkan krea-tivitas)Perhatikan lingkungandi sekitarmu. Temukanbeberapa peristiwayang menunjukkankedudukan dua garissejajar, berpotongan,berimpit, dan bersi-langan. Ceritakanpengalamanmu didepan kelas.


tersebut menggambarkan garis horizontal dan vertikal. Bagianlengan menunjukkan kedudukan garis horizontal, sedangkan tiangpenyangga menunjukkan kedudukan garis vertikal. Arah garis hori-zontal mendatar, sedangkan garis vertikal tegak lurus dengan garishorizontal.

3. Sifat-Sifat Garis SejajarPerhatikan Gambar 7.7.Pada gambar tersebut, melalui dua buah titik yaitu titik A dan

titik B dapat dibuat tepat satu garis, yaitu garis m.Selanjutnya, apabila dari titik C di luar garis m dibuat garis

sejajar garis m yang melalui titik tersebut, ternyata hanya dapatdibuat tepat satu garis, yaitu garis n.

Berdasarkan uraian di atas, secara umum diperoleh sifatsebagai berikut.

Melalui satu titik di luar sebuah garis dapat ditarik tepat satugaris yang sejajar dengan garis itu.

Selanjutnya perhatikan Gambar 7.8.Pada gambar di samping diketahui garis m sejajar dengan

garis n (m // n) dan garis l memotong garis m di titik P. Apabilagaris l yang memotong garis m di titik P diperpanjang maka garis lakan memotong garis n di satu titik, yaitu titik Q.

Jika sebuah g aris memotong salah satu dari dua garis yangsejajar maka garis itu juga akan memotong garis yang kedua.

Sekarang, perhatikan Gambar 7.9.Pada gambar tersebut, mula-mula diketahui garis k sejajar

dengan garis l dan garis m. Tampak bahwa garis k sejajar dengangaris l atau dapat ditulis k // l dan garis k sejajar dengan garis m,

Gambar 7.6(a)

lengan

tiang penyangga

(b)

vert

ikal

horizontal

(Menumbuhkan krea-tivitas)Diskusikan dengantemanmu.Perhatikan lingkungansekitar kalian. Benda-benda apa sajakahyang menunjukkankedudukan dua garishorizontal dan vertikal?Ceritakan temuanmudi depan kelas.

mA B

C n

Gambar 7.7

m

l

P

n

m

l

P

nQ

Gambar 7.8

m

k

l

Gambar 7.9

Sumber: Kamus V isual, 2004

203Garis dan Sudut

ditulis k // m. Karena k // l dan k // m, maka l // m. Hal ini berartibahwa garis l sejajar dengan garis m.

Jika sebuah garis sejajar dengan dua garis lainnya maka keduagaris itu sejajar pula satu sama lain.


3. Perhatikan gambar berikut.

A

BE

F

D

C

Tulislah semua pasangan garis yangsaling sejajar.

4. ml

q

r

p

k

Dari gambar di atas, sebutkana. garis yang sejajar dengan garis k;b. garis yang berpotongan dengan garis

q;c. garis yang bersilangan dengan garis

l.5. Perhatikan limas T.ABCD berikut.

Tulislah semua pa-sangan garis yangsaling berpotong-an.


mp

y

v

q

z

wx

n

Pada gambar di atas, tentukan titik po-tong antaraa. garis m dan n;b. garis m dan p;c. garis n dan q;d. garis m dan q.Pasangan garis mana sa jakah yang sa-ling sejajar, berpotongan, atau bersilang-an?


PQ

RS

N M

LK

Pada g ambar d i a tas, t entukan s emuagaris yang bersilangan dengan garisa. PR; c. KM.b. MQ;

A

B C

D

T


4. Membagi Sebuah Garisa. Membagi Garis Menja di n Bagian Sama Panja ng

Buatlah sebarang garis KL.Bagilah garis KL menjadi tiga bagian sama panjang.Langkah-langkahnya sebagai berikut.1) Buatlah garis KL.2) Dari titik K, buatlah sebarang garis KP sedemikian sehingga

tidak berimpit dengan garis KL.3) Buatlah berturut-turut tiga busur lingkaran dengan jari-jari

yang sama sedemikian sehingga KS = SR = RQ.4) Tariklah garis dari titik Q ke titik L.5) Dari titik R dan S, masing-masing buatlah garis yang sejajar

garis LQ sehingga masing-masing garis tersebut memotonggaris KL berturut-turut di titik N dan M.

6) Dengan demikian, terbagilah garis KL menjadi tiga bagianyang sama panjang, yaitu KM = MN = NL.

b. Membagi garis dengan perbandingan tertentuDiketahui garis CD sebagai berikut.

C D

Gambar 7.11

Misalkan kalian akan membagi garis CD menjadi dua bagiandengan perbandingan 1 : 3, maka langkah-langkahnya sebagaiberikut.1) Buatlah garis CD.2) Dari titik C, buatlah sebarang garis CK, sedemikian

sehingga tidak berimpit dengan garis CD.3) Dari titik C, buat busur lingkaran dengan jari-jari sama,

sehingga CP : PQ = 1 : 3.4) Tariklah garis dari titik Q ke titik D.5) Dari titik P buatlah garis yang sejajar dengan DQ dengan

cara membuat sudut yang besarnya sama dengan CQDterlebih dahulu dari titik P kemudian menghubungkannyasehingga memotong CD di titik B.

6) Terbentuklah ruas garis CB dan BD pada garis CD denganperbandingan CB : BD = 1 : 3. Garis CD telah terbagimenjadi dua bagian dengan perbandingan 1 : 3.

C DB

P

QK

Gambar 7.12

K M N L

PQ

R

S

Gambar 7.10

205Garis dan Sudut

Salinlah gambar di atas, kemudian bagi-lah masing-masing garis dengan perban-dingan 3 : 4.

3. Gambarlah sebarang garis dengan pan-jang 6 cm. Bagilah garis tersebut menjadi6 bagian sama panjang dengan menggu-nakan jangka dan penggaris. Berilahnama pada tiap titik tersebut. Uji hasilnyadengan mengukur panjang tiap titik.Apakah hasil yang kalian peroleh sudahtepat?

4. Gambarlah s ebarang garis AB denganpanjang 10 cm. Bagilah garis AB denganperbandingan 2 : 3 dengan menggunakanjangka dan penggaris. Ujilah hasilnyadengan menggunakan penggaris.

1. a. P Q

b. L

K

Salinlah gambar di atas. Kemudian de-ngan menggunakan jangka dan peng-garis bagilah masing-masing garis men-jadi 5 bagian yang sama panjang.

2. a. M N

b.

Y

X

B. PERBANDINGAN SEGMEN GARIS

Kalian telah mempelajari bahwa sebuah garis dapat dibagimenjadi n bagian yang sama panjang atau dengan perbandingantertentu. Perhatikan Gambar 7.13 di samping. Gambar tersebutmenunjukkan garis PQ dibagi menjadi 5 bagian yang sama panjang,sehingga PK = KL = LM = MN = NQ. Jika dari titik K, L, M, N,dan Q ditarik garis vertikal ke bawah, sedemikian sehingga PA =AB = BC = CD = DE maka diperoleh sebagai berikut.1. PM : MQ 3 : 2 PM : MQ PC : CE

PC : CE 3 : 2

2. QN : NP = 1 : 4 QN : NP = ED : DPED : DP = 1 : 4

3. PL : PQ = 2 : 5 PL : PQ = PB : PEPB : PE = 2 : 5

4. QL : QP = 3 : 5 QL : QP = EB : EPEB : EP = 3 : 5

P K L M N

A

B

C

D

Q

EGambar 7.13



Pada gambar di atas, dike-tahui QR // TS. JikaPR = 15 cm, PQ = 12 cm,dan PS = 10 cm, tentukana. panjang PT;b. perbandingan panjang

TS dan QR.

T

S

P

Q

RGambar 7.15

A

B

CE

D

Gambar 7.14

Berdasarkan uraian tersebut, secara umum dapat disimpulkansebagai berikut.

Pada ABC di samping berlaku perbandingan sebagai berikut.

1. AD : DB = AE : EC atau AD AEDB EC

2. AD : AB = AE : AC atau AD AEAB AC

3. BD : DA = CE : EA atau BD CEDA EA

4. BD : BA = CE : CA atau BD CEBA CA

5. AD : AB = AE : AC = DE : BC atau AD AE DEAB AC BC

Penyelesaian:

a. PS PTPR PQ10 PT15 12

10 12PT15

120 815

Jadi, panjang PT = 8 cm.

b. PT TSPQ QR8 TS

15 QR2 TS3 QR

Jadi, TS : QR = 2 : 3.

207Garis dan Sudut

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.Tentukan panjang XY.

P Q

RS

X Y

4.A B

CD

E F

x

y

5 cm

12 cm

25 cm

z

Perhatikan g ambar d i a tas. H itunglahnilai dari x, y, dan z.

5. Pada segitiga ABC berikut, DE sejajardengan AB. Jika panjang AB = 18 cm,DE = 8 cm, dan CD = 12 cm, tentukanpanjang CA.

A B

C

D E

12 cm

8 cm

18 cm


D E

A

B C

S

T

a. Jika DE = 3 cm, BC = 12 cm, danEC = 6 cm, tentukan panjang AE.

b. Jika DE : BC = 2 : 3 dan garisAT = 15 cm, tentukan panjang AS.

c. Jika AB : AD = 5 : 2 dan DE = 4 cm,tentukan panjang BC.

d. Jika AB = 6 cm, AD = 2 cm, danBC = 9 cm, tentukan panjang DE.

2. Hitunglah nilai x d an y pada gambarberikut.

4

x

y3

1

6

3. Diketahui trapesium PQRS seperti padagambar berikut. Panjang PQ = 18 cm,

SR = 33 cm, dan PX = 2PS.5

Kalian telah mempelajari mengenai kedudukan dua garis, caramembagi garis, dan perbandingan segmen garis pada sebuahsegitiga.

Sekarang, kalian akan mempelajari materi mengenai sudut,di antaranya besar sudut, jenis sudut, dan cara melukis sudut. Materiini akan bermanfaat untuk mempelajari bab selanjutnya, yaitusegitiga dan segi empat. Di tingkat yang lebih tinggi, kalian akanmemperdalam materi ini pada bagian trigonometri.


C. SUDUT

1. Pengertian SudutAgar kalian dapat memahami pengertian sudut, coba amati

ujung sebuah meja, pojok sebuah pintu, atau jendela di kelasmu,berbentuk apakah ujung tersebut? Ujung sebuah meja atau pojokpintu dan jendela adalah salah satu contoh sudut.

Perhatikan Gambar 7.17.Suatu sudut dapat dibentuk dari suatu sinar yang diputar pada

pangkal sinar. Sudut ABC pada gambar di samping adalah sudut

yang dibentuk BC yang diputar dengan pusat B sehingga BC

berputar sampai BA .Ruas garis BA dan BC di sebut kaki sudut, sedangkan titik

pertemuan kaki-kaki sudut itu disebut titik sudut . Daerah yangdibatasi oleh kaki-kaki sudut, yaitu daerah ABC disebut daerahsudut. Untuk selanjutnya, daerah sudut ABC disebut besar sudutABC.

Sudut dinotasikan dengan “ ”. Sudut pada Gambar 7.17dapat diberi namaa. sudut ABC atau ABC;b. sudut CBA atau CBA;c. sudut B atau B.Dengan demikian, dapat dikatakan sebagai berikut.

Sudut adalah daerah yang dibentuk oleh pertemuan antaradua buah sinar atau dua buah garis lurus.

2. Besar S udutBesar suatu sudut d apat diny atakan dalam satuan derajat

(o), menit ( ), dan detik ( ).Perhatikan jarum jam pada sebuah jam dinding. Untuk menun-

jukkan waktu 1 jam, maka jarum menit harus berputar 1 putaranpenuh sebanyak 60 kali, atau dapat ditulis 1 jam = 60 menit. Adapununtuk menunjukkan waktu 1 menit, jarum detik harus berputar1 putaran penuh sebanyak 60 kali, atau dapat ditulis 1 menit =60 detik. Hal ini juga berlaku untuk satuan sudut.

Hubungan antara derajat ( o), menit ( ), dan detik ( ) dapatdituliskan sebagai berikut.

A

BC

kaki sudut

daerah suduttitik sudut

kaki sudut

Gambar 7.17

Gambar 7.16

(Menumbuhkan krea-tivitas)Coba amati lingkung-an sekitar kalian.Benda-benda apa sa-jakah yang berbentuksudut? Sebutkan kakisudut, titik sudut, dandaerah sudutnya.Ceritakan di depankelas.

(Menumbuhkan krea-tivitas)Mintalah temanmumenyebutkan besarsudut dalam satuanderajat. Lalu, ubahlahdalam satuan menitdan detik. Lakukansecara bergantian didepan kelas.

209Garis dan Sudut

oo 11 60 atau 1

60

11 60 atau 160

oo 11 60 60 atau 1

36003600

Tentukan kesamaan besarsudut berikut.a. o5 ...b. 8 ...

c. o o45,6 ... ...

d. o o48 48 ...

Penyelesaian:

a. Karena o1 60 maka o5 5 60 300b. Karena 1 60 maka 8 8 60 480c. o o o

o

o

o

45,6 45 0,645 (0,6 60 )45 3645 36

d. o o

oo

o o

o

48 48 48 48484860

48 0,848,8

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.3. Perhatikan gambar berikut.

A

B C(a)

D

E F(b)

K

L

M

(c)

P

Q R(d)

Berilah nama sudut pada masing-masinggambar di atas dengan menggunakansatu huruf dan tiga huruf.

1. Gambarlah sudut-sudut yang dibentukoleh

a. sinar KL dan KM;

b. OA , OB , dan OC .Kemudian, tunjukkan titik sudut, kakisudut, dan daerah sudut masing-masingsudut yang terbentuk.


D

E

F Tentukana. titik sudutnya;b. kaki sudutnya;c. besar sudutnya.


d.o4 ...

5e. o70,4 ...

f. o o72 42 ...

g. o o84 96 ... ...h. 23 79 ... ...

i. o o68 70 56 ... ... ...

j. o o102 82 70 ... ... ...

4. Berapakah besar sudut yang terbentukoleh jarum pendek sebuah jam jika telahberputar selama 20 jam 30 menit? (dalamderajat, menit, dan detik)

5. Nyatakan satuan sudut berikut sesuaidengan perintah.

a. o9 ...b. 12 ...

c. o15 ...

3. Penjumlahan dan Pengurangan dalam Satuan SudutSeperti halnya pada besaran-besaran l ainnya, pada satuan

sudut juga dapat dijumlahkan atau dikurangkan. Caranya hampirsama seperti pada penjumlahan dan pengurangan bilangan desimal.Untuk menjumlahkan atau mengurangkan satuan sudut, masing-masing satuan derajat, menit, dan detik harus diletakkan dalamsatu lajur.

1. Tentukan hasil penjumlahansatuan sudut berikut ini.

a. o o24 46 57 35

b. o o18 56 48 29 27 36

Penyelesaian:Digunakan cara bersusun pendek sebagai berikut.a. o

o

o

o o

o o

o

24 4657 3581 8181 81 81 (60 21 )

81 1 2182 21

o o oJadi, 24 46 57 35 82 21 .b. o

o

o

18 56 4829 27 3647 83 84

o o

o o

o o

o

47 83 84 47 (60 23 ) (60 24 )47 (1 23 ) (1 24 )(47 1 ) (23 1 ) 2448 24 24

o o oJadi, 18 56 48 29 27 36 48 24 24 .

211Garis dan Sudut

2. Tentukan hasil pengurangansatuan sudut berikut ini.

a. o o49 53 46 24 38 15

b. o o64 27 32 36 42 54

Penyelesaian:Dalam mengurangkan satuan sudut digunakan carabersusun berikut.a. o

o

o

o o o

49 53 4624 38 1525 15 31Jadi, 49 53 46 24 38 15 25 15 31 .

b. o

o64 27 3236 42 54

o

o

o

63 86 9236 42 5427 44 38

o o oJadi, 64 27 32 36 42 54 27 44 38 .

Penjelasan:27 26 1 (1 ditambahkan pada

32 60 32 92 )o o o o64 63 1 (1 ditambahkan pada

26 60 26 86 )


5. o o o108 51 26 92 18 14 60 54 43

6. o o66 55 44 33 22 11

7. o o28 19 32 42 39 47

8. o o o53 43 49 24 31 58 19 27 43

9. o o o36 17 12 28 45 13 38 17 24

10. o o o42 38 17 16 21 34 23 42 38

Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangansudut berikut ini.

1. o o40 32 35 26 34 58

2. o o55 43 52 37 18 41

3. o o o86 27 13 57 46 59 23 14 33

4. o o o89 24 36 38 36 24 27 43 57

D. MENGGAMBAR DAN MEMBERI NAMASUDUT

Sediakanlah sebuah busur derajat agar kalian dapat mema-hami uraian materi berikut dengan baik.

Dalam mengukur besar suatu sudut, diperlukan suatu alatyang dinamakan busur derajat .


Perhatikan Gambar 7.18 berikut.

Gambar 7 .18 m enunjukkan s ebuah b usur d erajat y angmenggunakan derajat sebagai satuannya.

Pada umumnya, busur derajat terbuat dari mika tembuspandang berbentuk setengah lingkaran.

Pada busur derajat terdapat dua skala, yaitu skala atas danskala bawah. Pada skala atas terdapat angka-angka 0, 10, 20, ...,180 berturut-turut dari kiri ke kanan, sedangkan pada skala bawahterdapat angka-angka berturut-turut dari kanan ke kiri 0, 10, 20,..., 180.

1. Mengukur Besar Suatu SudutLangkah-langkah dalam mengukur besar suatu sudut sebagai

berikut.Perhatikan Gambar 7.19 berikut.

1) Letakkan busur derajat pada sudut AOB sehinggaa) titik pusat lingkaran busur derajat berimpit dengan titik O;b) sisi horizontal busur derajat berimpit dengan sinar garis

OA.

Gambar 7.18

(Menumbuhkan krea-tivitas)Mintalah salah satutemanmu membuat5 buah sudut yangbesarnya sebarang.Ukurlah besarmasing-masing suduttersebut, kemudianberilah nama.Lakukan bergantiandenganmu. Ujilahjawaban kalianberdua.

Gambar 7.19

B

O A

213Garis dan Sudut

2) Perhatikan angka nol (0) pada busur derajat yang terletak padagaris OA. Jika angka nol berada pada skala bawah, perhatikanangka pada skala bawa h yang ter letak pada ka ki sudut OB.Dari gambar tampak bahwa garis OB terletak pada angka75o. Jadi, besar sudut AOB = 75o.

2. Menggambar Besar Suatu SudutSetelah kita mengetahui cara mengukur besar sudut dengan

busur derajat, sekarang kita akan mempelajari cara menggambarsudut.Perhatikan uraian berikut.

Misalkan kita akan melukis sudut PQR yang besarnya 60o.Langkah-langkah untuk melukis sudut PQR yang besarnya 60 o

sebagai berikut.(i) Buatlah salah satu kaki sudutnya yang horizontal, yaitu kaki

sudut PQ.(ii) Letakkan busur derajat sehingga

– titik pusat lingkaran busur derajat berimpit dengan titik Q;– sisi lurus busur derajat berimpit dengan garis PQ.

(iii) Perhatikan angka nol (0) pada busur derajat yang terletak padagaris PQ.Jika angka nol (0) terletak pada skala bawah maka angka 60yang berada di bawah yang digunakan.Jika angka nol (0) t erletak pada skala a tas maka angka 60yang berada di atas yang digunakan. Berilah tanda pada angka60 dan namakan titik R.

(iv) Hubungkan titik Q dan R. Daerah yang dibentuk oleh garisPQ dan QR adalah sudut PQR dengan besar PQR = 60o.

(i)Q P

R atau R

Q P

(ii)

Gambar 7.20

P Q



d. KLM = 100o

e. GHI = 120o

f. DEF = 135o

3. Buatlah ruas garis KL sepanjang 3 cmdengan posisi horizontal. Jika K sebagaititik sudut dan ruas garis KL sebagaisalah satu kaki sudutnya, gambarlahsudut berikut ini.a. JKL = 65o

b. MKL = 105o

c. NKL = 135o

d. PKL = 150o

4. Gambarlah sudut-sudut berikut, kemu-dian berilah nama dari masing-masingsudut itu.a. 85o c. 220o

b. 170o d. 300o

1. Dengan menggunakan busur derajat,ukurlah besar sudut-sudut berikut ini.

A

B

C

D

E

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

2. Dengan menggunakan busur derajat,gambarlah sudut-sudut berikut ini.a. POQ = 30 o

b. PQR = 45 o

c. ABC = 70o

E. JENIS-JENIS SUDUT

Secara umum, ada lima jenis sudut, yaitua. sudut siku-siku;b. sudut lurus;c. sudut lancip;d. sudut tumpul;e. sudut refleks.

Agar k alian d apat m emahami j enis-jenis s udut t ersebut,lakukan kegiatan berikut.

Buatlah model jam dari selembar karton. Kedua jarum jamhubungkan dengan sebuah sekrup, sehingga dapat berputar denganbebas.

Perhatikan sudut yang dibentuk oleh kedua jarum jam jikajam menunjukkan pukul 9.00. T ernyata pada pukul 9.00, keduajarum jam membentuk sudut siku-siku.

Sudut siku-siku adalah sudut yang besarnya 90o.

(Berpikir kritis)Perhatikan sudut-su-dut berikut.

Manakah yangtermasuk sudut lancip,sudut suku-siku, dansudut tumpul?

215Garis dan Sudut

Sudut siku-siku dinotasikan dengan “ ” atau “ ”.Sekarang, putarlah jarum jam pendek ke angka 6, dengan

jarum jam panjang tetap di angka 12. Tampak bahwa kedua jarumjam membentuk sudut lurus. Jika kalian perhatikan, sudut lurusdapat dibentuk dari dua buah sudut siku-siku yang berimpit.

Sudut lurus adalah sudut yang besarnya 180o.

Selain sudut siku-siku dan sudut lurus, masih terdapat sudutyang besarnya antara 0o dan 90o, antara 90o dan 180o, serta lebihdari 180o.

Sudut yang besarnya antara 0 o dan 90o disebut sudut lancip.Sudut yang besarnya antara 90o dan 180o disebut sudut tumpul.Sudut yang besarnya lebih dari 180o dan kurang dari 360o disebutsudut refleks.


sudut r efleks

sudut l ancipsudut tumpul sudut siku-siku

sudut r efleks sudut r efleks

sudut lurus

Gambar 7.22

B

C

D

(b)

(c)

(e)

1. Tentukan jenis sudut pada gambar beri-kut tanpa mengukurnya.

A

E

(a) (d)

(Berpikir kritis)Bentuklah kelompok yang terdiri atas 2 siswa, 1 laki-laki dan 1 pe-rempuan. Buatlah model jam dari kertas karton. Dengan meng-ingat hubungan antara derajat dan menit, tunjukkan letak keduajarum jam yang menunjukkan sudut yang besarnya 30o, 45o, 60o,dan 120o.

Sumber: Dok. P enerbit(b)

Gambar 7.21

Sumber: Dok. P enerbit(a)


a. 1 sudut lurus4

b. 2 putaran penuh3

c. 1 putaran penuh9

d. 3 sudut lurus4

e. 1 putaran penuh8

f. 5 sudut lurus6

2. Tentukan jenis sudut yang terbentukantara kedua jarum jam pada waktu-waktu berikut ini.a. pukul 8.00 f. pukul 5.00b. pukul 11.00 g. pukul 14.30c. pukul 16.00 h. pukul 17.15d. pukul 15.00 i. pukul 6.45e. pukul 12.30 i. pukul 18.20

3. Nyatakan sudut-sudut berikut sebagaisudut lancip, tumpul, siku-siku ataurefleks.

F. HUBUNGAN ANTARSUDUT

1. Pasangan Sudut yang Saling Berpelurus (Bersuplemen)Perhatikan Gambar 7.23.

ao bo

A BO

C

Gambar 7.23

Pada Gambar 7.23 di atas, garis AB merupakan garis lurus,sehingga besar AOB = 180o. Pada garis AB, dari titik O dibuatgaris melalui C, sehingga terbentuk sudut AOC dan sudut BOC.Sudut AOC merupakan pelurus atau suplemen dari sudut BOC.Demikian p ula s ebaliknya, BOC merupakan pelurus atausuplemen AOC, sehingga diperoleh

AOC + BOC = AOBao + b o = 180o

atau dapat ditulis ao = 180o – bo dan bo = 180o – ao.Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.

Jumlah dua sudut yang saling berpelurus (bersuplemen)adalah 180o. Sudut yang satu merupakan pelurus dari sudut yanglain.

217Garis dan Sudut

Perhatikan gambar di atas.Hitunglah nilai ao dan ten-tukan pelurus dari sudut ao.

3ao 2ao

Gambar 7.24

PQ

R

S

yo

xo

Gambar 7.25

Penyelesaian:Berdasarkan gambar diperoleh bahwa

o o o

o o

oo o

3 2 1805 180

180 365

a aa

a

Pelurus sudut ao = 180o – 36o = 144o.

2. Pasangan Sudut yang Saling Berpenyiku (Berkom-plemen)

Perhatikan Gambar 7.25.

Pada gambar di samping terlihat PQR merupakan sudutsiku-siku, sehingga besar PQR = 90o.

Jika pada PQR ditarik garis dari titik sudut Q, akanterbentuk dua sudut, yaitu sudut PQS dan sudut RQS. Dalam halini dikatakan bahwa PQS merupakan penyiku (komplemen)dari RQS, demikian pula sebaliknya. Sehingga diperoleh

PQS + RQS = PQRxo + yo = 90o,

dengan x = 90 o – yo dan yo = 90o – xo.Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.

Jumlah dua sudut yang saling berpenyiku (berkomplemen)adalah 90o. Sudut yang satu merupakan penyiku dari sudut yanglain.

Penyelesaian:a. o o o

o o

ooo

3 904 90

90 1224 2

x xx

x3xo

xo

Gambar 7.26


Perhatikan gambar di atas.a. Hitunglah nilai xo.b. Berapakah p enyiku

sudut xo?c. Berapakah pelurus da-

ri penyiku xo?

b. Penyiku dari xo = o o

o 1 190 22 672 2

.

c. Pelurus dari penyiku xo adalah o o

o 1 1180 67 112 .2 2

3. Pasangan Sudut yang Saling Bertolak BelakangPerhatikan Gambar 7.27.Pada gambar di samping, garis KM dan LN saling berpo-

tongan di titik O. Dua sudut yang letaknya saling membelakangidisebut dua sudut yang saling bertolak belakang, sehingga diperoleh

KON bertolak belakang dengan LOM; dan NOM bertolak belakang dengan KOL.

Bagaimana besar sudut yang saling bertolak belakang? Agardapat menjawabnya, perhatikan uraian berikut.

KOL + LOM = 180o (berpelurus) KOL = 180o – LOM ............................. (i)

NOM + MOL = 180o (berpelurus) NOM = 180o – MOL .............................. (ii)

Dari persamaan (i) dan (ii) diperoleh

KOL = NOM = 180o – LOMJadi, besar KOL = besar NOM.

Dengan cara yang sama, t entu kalian dapat membuktikanbahwa KON = LOM.Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.

Jika dua garis berpotongan maka dua sudut yang letaknya salingmembelakangi titik potongnya disebut dua sudut yang bertolakbelakang. Dua sudut yang saling bertolak belakang adalah samabesar.

K

L M

NO

Gambar 7.27

Penyelesaian:

Diketahui SOP = 45o.a. ROQ = SOP (bertolak belakang)

= 45oP

S R

Q

O

Gambar 7.28

219Garis dan Sudut

Perhatikan Gambar 7.28.Diketahui besar SOP =45o. Tentukan besar

a. ROQ;

b. SOR;

c. POQ.

b. SOP + SOR = 180o (berpelurus) SOR = 180o – SOP

= 180o – 45o

= 135o

c. P OQ = SOR (bertolak belakang)= 135o

(Menumbuhkan kreativitas)Bentuklah kelompok yang terdiri atas 2 siswa, 1 laki-laki dan 1 pe-rempuan.Ambillah dua batang lidi. Peragakanlah posisi dua batang lidi ter-sebut yang menunjukkan sudut saling berpelurus, saling berpe-nyiku, dan saling bertolak belakang. Ukurlah besar sudut-sudutnyadan catat hasilnya. Ujilah jawabanmu dengan kesimpulan di atas.


45oeo

162o f o

(e) (f)

f o

f o

f o

f of o

4. Hitunglah n ilai xo dari masing-masinggambar berikut.

2xo

3xo

xo

6xo

14xo

(a) (b)

20xo

15x o

10xo

5xo

2xo

2xo

(c) (d)

1. Tentukan besar sudut pelurus dari sudut-sudut berikut.a. 10o c. 100o e. 153o

b. 85o d. 137o f. 166o

2. Tentukan besar sudut penyiku dari sudut-sudut berikut.a. 10o c. 45o e. 87o

b. 28o d. 63o f. 75o

3. Hitunglah nilai ao, b o, c o, do, eo, dan f o

pada gambar berikut, kemudian tentukanjenis sudutnya.

2ao ao bo

37o

co

95o

do 135o

co

co

(a) (b)

(c) (d)


6. Perhatikan gambar berikut.A

B CD

E F

G120o

55o

Tentukan besara. ABC; e. BCF;b. ACB; f. EBC;c. ACG; g. DBE.d. FCG;

5. Salinlah gambar berikut, kemudian ten-tukan besar sudut yang belum diketahui.

52o

70o

138o

100o

zo

bo

co

eo

dopo

roqo

f o yoxo

ao

G. HUBUNGAN ANTARSUDUT JIKA DUAGARIS SEJAJAR DIPOTONG OLEH GARISLAIN

1. Sudut-Sudut Sehadap dan BerseberanganPerhatikan Gambar 7.29.Pada gambar tersebut, garis m // n dan dipotong oleh garis l.

Titik potong garis l terhadap garis m dan n berturut-turut di titik Pdan titik Q.

Pada gambar di samping, tampak bahwa P2 dan Q2menghadap arah yang sama. Demikian juga P1 dan Q1,

P3 dan Q3, serta P4 dan Q4. Sudut-sudut yang de-mikian dinamakan sudut-sudut sehadap. Sudut sehadap besarnyasama. Jadi, dapat dituliskan

P1 sehadap dengan Q1 dan P1 = Q1; P2 sehadap dengan Q2 dan P2 = Q2; P3 sehadap dengan Q3 dan P3 = Q3; P4 sehadap dengan Q4 dan P4 = Q4.

Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain maka akanterbentuk empat pasang sudut sehadap yang besarnya sama.

Gambar 7.29

m

l

n

P

Q

1 24 3

1 24 3

221Garis dan Sudut

Perhatikan gambar di atas.a. Sebutkan pasangan

sudut-sudut sehadap.b. Jika besar

K 1 = 102 o, tentu -kan besar(i) L1;(ii) K2;(iii) L 2.

Penyelesaian:a. Berdasarkan gambar di samping diperoleh

K1 sehadap dengan L1




b. Jika K1 = 102o maka

(i) L1 = K1 (sehadap)= 102o

(ii) K2 = 180o – K1 (berpelurus)= 180o – 102o

= 78o

(iii) L2 = K2 (sehadap)= 78o

K

41

32

L

41

32

a b

c

Gambar 7.30

Perhatikan gambar diatas. Tentukan nilai x,lalu hitung besar sudutyang lain.

C

A

B

2xo

145o

D E

Perhatikan kembali Gambar 7.29. Pada gambar tersebut besar P3 = Q1 dan P4 = Q2. Pasangan P3 dan Q1,

serta P 4 dan Q2 disebut sudut-sudut dalam bersebe-rangan.

Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain, besar sudut-sudut dalam berseberangan yang terbentuk adalah sama besar.

Sekarang perhatikan pasangan P1 dan Q3, serta P2dan Q 4. Pasanga n sudut terseb ut adalah sudut-sudut luarberseberangan, di mana P1 = Q3 dan P2 = Q4.

Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain maka besarsudut-sudut luar berseberangan yang terbentuk adalah samabesar.


Perhatikan gambar di atas.a. Sebutkan pasangan su-

dut-sudut dalam berse-berangan.

b. Jika A1 = 75o, ten-tukan besar(i) A2;(ii) A3;(iii) B4.

Penyelesaian:a. Pada gambar di samping diperoleh

A1 dalam berseberangan dengan B3; A2 dalam berseberangan dengan B4.

b. Jika besar A1 = 75o maka

(i) A2 = 180o – A1 (berpelurus)= 180o – 75o

= 105o

(ii) A3 = A1 (bertolak belakang)= 75o

(iii) B4 = A2 (dalam berseberangan)= 105o

A4 1

3 2

ab

c

B4 1

3 2

Gambar 7.31

2. Sudut-Sudut Dalam Sepihak dan Luar SepihakPerhatikan Gambar 7.32 di samping. Pada gambar tersebut

garis m // n dipotong oleh garis l di titik P dan Q.

Perhatikan P3 dan Q2. Kedua sudut tersebut terletakdi dalam garis m dan n serta terhadap garis l keduanya terletak disebelah kanan (sepihak).Pasangan sudut tersebut dinamakan sudut-sudut dalam sepihak .Dengan demikian diperoleh

P3 dalam sepihak dengan Q2; P4 dalam sepihak dengan Q1.

Di depan telah kalian pelajari bahwa besar P3 = Q3(sehadap) dan besar P2 = Q2 (sehadap).

Padahal P2 = 180o – P3 (berpelurus), sehingga Q2 = P2 = 180o – P3

P3 + Q2 = 180 o

Tampak bahwa jumlah P3 dan Q2 adalah 180o.

m

l

n

P

Q

1 24 3

1 24 3

Gambar 7.32

223Garis dan Sudut

Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain maka jumlahsudut-sudut dalam sepihak adalah 180o.

Dengan cara yang sama, buktikan bahwa P4 + Q1 = 180o.Diskusikan hal ini dengan temanmu.

Pada Gambar 7.33 di atas,garis p // q dan garis rmemotong garis p dan q dititik R dan S.a. Tentukan pasangan

sudut-sudut dalam se-pihak.

b. Jika S1 = 120o, ten-tukan besar R2 dan

R3.

Penyelesaian:a. Berdasarkan gambar di samping diperoleh

R2 dalam sepihak dengan S1; R3 dalam sepihak dengan S4.

b. Jika S1 = 120o maka

R2 + S1 = 180o (dalam sepihak) R2 = 180o – S1

= 180o – 120o

= 60o

R3 = S1 (dalam berseberangan)= 120o

R

41

32 S

41

32

pq

r

Gambar 7.33

Perhatikan kembali P1 dengan Q4 dan P2 dengan Q3 pada Gambar 7.32. Pasangan sudut tersebut disebut sudut-

sudut luar sepihak .

Akan kita buktikan bahwa P1 + Q4 = 180o.

P1 + P4 = 180o (berpelurus)Padahal P4 = Q4 (sehadap).

Terbukti bahwa P1 + Q4 = 180o.

Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain maka jumlahsudut-sudut luar sepihak adalah 180o.



3. Perhatikan gambar berikut ini.

P

kR

Q

g1

1

2

2

3

3

Pada gambar di atas diketahui garisg // k, P2 = P3 dan R1 = R2.

Jika P1 = 128o, tentukan besar sudutyang lain.

4.

A B

C

D

Perhatikan gambar di atas. Jika besar CBD = 120o, tentukan besar BAC.

5. Perhatikan gambar disamping. Jika dike-tahui

A 2 = (3 x + 45) o

dan B 3 = (5x + 23) o,

tentukan besar B1.

1. Pada gambar di bawah ini, diketahui garisg / / k.

P

4

1

3

2

g k

Q

3

4

2

1

a. Tulislah semua sudut yang(i) sehadap;(ii) dalam berseberangan;(iii) luar berseberangan;(iv) dalam sepihak;(v) luar sepihak.

b. Jika P 1 = 80 o, tentukan besarsudut yang lain.

2. Pada gambar berikut ini, garis AB // EC, BAC = 35o, dan DCE = 70o.

Tentukan besar semua sudut yang lain.

B

EA

C DF

A

B

1 24 3

1 24 3

H. MELUKIS SUDUT

1. Melukis Sudut yang Besarnya Sama dengan yangDiketahui

Agar kalian dapat melukis sebuah sudut yang besarnya samadengan yang diketahui, sediakan alat berupa jangka dan penggaris.

225Garis dan Sudut

Misalkan kita akan melukis KLM yang besarnya sama dengan PQR di samping.

Langkah-langkah untuk melukis KLM sebagai berikut (Gambar7.35).(i) Buatlah kaki sudut KL.

(ii) Pada PQR lukis busur lingkaran dengan pusat Q, sehinggamemotong ruas garis PQ di titik S dan memotong ruas garisQR di titik T.

(iii) Lukis busur li ngkaran berjari-jari QS dengan pusat L danmemotong KL di titik N.

(iv) Lukis busur lingkaran berjari-jari ST dengan pusat titik N,sehingga memotong busur lingkaran dengan pusat L di titik O.

(v) Hubungkan titik L dengan titik O dan perpanjanglah. Beri namaperpanjangannya titik M. Besar KLM yang terbentuk =besar PQR.

2. Melukis Sudut 60 o

Misalkan titik A terletak pada garis g. Untuk melukis sudut Ayang besarnya 60 o pada garis g, langkah-langkahnya sebagaiberikut.1) Lukislah busur lingkaran dengan pusat titik A, sehingga

memotong garis g di titik B.2) Kemudian dengan jari-jari yang sama, buatlah busur lingkaran

dengan B sebagai titik pusatnya, sehingga memotong busurtersebut di titik C.

3) Hubungkan titik A dan C, sehingga diperoleh sudut A yangbesarnya 60o. Ujilah hasil ini dengan busur derajat.

R

PQ

Gambar 7.34

(Berpikir kritis)Buatlah sebarang

ABC. Kemudian,lukislah PQR yangbesarnya samadengan ABC. Ujilahjawabanmu denganmengukur besarkedua sudut.

Gambar 7.35

L K(i) PSQ

RT

(ii)L K

(iii)N

L K(iv)

O

N L K

OM

(v)

60O

g B A

C

Gambar 7.36

g A



Cara melukis sudut yang besarnya 90o sama dengan melukisgaris tegak lurus melalui titik-titik yang terletak pada garis tersebut.

Misalkan, titik A terletak pada garis g. Untuk melukis sudutA yang besarnya 90o, langkah-langkahnya sebagai berikut.a. Lukislah busur lingkaran dengan pusat titik A, sehingga

memotong garis g di titik B dan C.b. Lukislah busur lingkaran yang berpusat di titik B dan C, sehingga

diperoleh perpotongan busur di titik D.

c. Hubungkan titik A dan titik D, sehingga terbentuk BAD = CAD = A = 90o.

I. MEMBAGI SUDUT

1. Membagi sudut menjadi dua sama besarApabila diberikan sebarang sudut, bagaimana cara membagi

sudut tersebut menjadi dua sama besar? Dengan menggunakanbusur derajat, kita dapat mengukur besar sudut itu, kemudian besarsudut itu dibagi dua. Selain cara tersebut, membagi sudut menjadidua sama besar juga dapat dilakukan dengan menggunakanpenggaris dan jangka.Perhatikan uraian berikut.

Misalkan kita akan membagi KLM menjadi dua sama besar.

Langkah-langkahnya sebagai berikut.a. Buatlah busur lingkaran dengan pusat titik L sehingga memotong

ruas garis KL di titik B dan memotong ruas garis LM di titik A.b. Dengan jari-jari yang sama, masing-masing buatlah busur

lingkaran dengan pusat titik A dan B, sehingga kedua busurberpotongan di titik C.

90o

g B A C

D

Gambar 7.37

L K

M

Gambar 7.38

(Berpikir kritis)Mintalah temansebangkumumenggambar sebuahsudut. Kemudian,bagilah sudut tersebutmenjadi dua samabesar. Lakukan hal inisecara bergantiandengan temanmu.

227Garis dan Sudut

c. Tariklah garis dari L melalui titik C, sehingga terbentuk KLC dan MLC. Sudut KLC dan MLC membagi KLM menjadi dua sama besar, sehingga besar KLC =

besar MLC. Coba, ukurlah dengan busur derajat besar KLC dan MLC. Apakah kedua sudut itu sama besar?


Agar kalian dapat melukis sudut yang besarnya 30 o, cobaingat kembali cara melukis sudut 60o. Dengan membagi sudut 60omenjadi dua sama besar, akan diperoleh sudut 30o seperti Gambar7.40.


Coba kalian ingat kembali cara melukis sudut 90o. Ingat jugacara membagi sebuah sudut menjadi dua sama besar.


Gambar 7.41 (i) menunjukkan besar CAD = A = 90o.Berdasarkan urutan langkah-langkah membagi sudut menjadi

dua sama besar, diperoleh CAG = DAG = 45o.

Coba peragakan cara melukis sudut 30o dan 45 o di atas dibuku tugas kalian masing-masing. Lalu, ujilah hasilnya denganmenggunakan busur derajat.

30o

Gambar 7.40

45o

A C

D

E

F

G

(iii)A C

D

E

F

G

(ii)A C

D

E

F(i)

Gambar 7.41

Gambar 7.39

L K

M

A

B

C

(c)

L K

M

A

B

C

(b)

M

L K

A

B

(a)



Perhatikan bahwa 150o = 90o + 60o. Oleh karena itu, untukmelukis sudut yang besarnya 150o, dapat kalian lakukan dengancara melukis terlebih dahulu sudut yang besarnya 90o, dilanjutkanmelukis sudut yang besarnya 60o.Langkah-langkahnya sebagai berikut.1) Lukislah terlebih dahulu sudut 90o dari titik O dengan meng-

gunakan langkah-langkah yang telah dipelajari sebelumnya,sehingga diperoleh POQ = 90o.

2) Kemudian dari kaki sudut OQ, lukislah sudut yang besarnya60o, sehingga diperoleh QOS = 60o.Jadi, besar POS = POQ + QOS = 90o + 60o = 150o

atau O = 150 o.Apakah kamu mempunyai cara lain untuk memperoleh

sudut yang besarnya 150 o? Bagaimana dengan 150o = 60o +60o + 30o? Peragakanlah di buku tugasmu. Menurutmu,manakah cara yang lebih mudah?

Dengan cara yang sama seperti melukis sudut 150 o,lukislah sudut yang besarnya 180o, 270o, dan 360o. Apa yangdapat kalian simpulkan dari sudut yang besarnya 360o? Apakahkalian menyimpulkan seperti berikut?

Suatu benda yang berputar sebanyak satu kali putaran penuhberarti telah menempuh jarak putar sebesar 360o.

(Menumbuhkan ino-vasi)Lukislah sudut yangbesarnya 120o. Kamudapat melukisnyadengan berbagai carayang berbeda.Eksplorasi hal ini danbuatlah kesimpulan-nya. Ceritakan hasiltemuanmu di depankelas.


c.

d.

2. Lukislah sudut PQR yang besarnya 100o.Kemudian, dengan langkah-langkahmembagi sudut menjadi dua sama besar,lukislah sudut yang besarnya 50o.

1. Lukislah sudut yang besarnya sama se-perti pada gambar berikut.

a.

b.

90o60o

150o

P

Q

R

S

gOGambar 7.42

229Garis dan Sudut

Berilah nama masing-masing sudut ter-sebut.a. 75o e. 112,5o

b. 135o f. 210o

c. 165o g. 15o

d. 22,5o h. 37,5o

3. Lukislah sudut-sudut berikut ini. Kemu-dian, bagilah menjadi dua sama besar.a. 120o c. 300o

b. 200o d. 330o

4. Dengan menggunakan jangka dan peng-garis, lukislah sudut yang besarnya beri-kut ini.

1. Suatu sudut dapat terbentuk dari suatu sinar yang diputar padapangkal sinar. Sudut dinotasikan dengan “ ”.Untuk menyatakan besar suatu sudut digunakan satuan derajat(o), menit ( ), dan detik ( ), dimana

oo

oo

11 60 atau 160

11 60 atau 160

11 3600 atau 13.600

2. Sudut yang besarnya 90o disebut sudut siku-siku.Sudut yang besarnya 180o disebut sudut lurus.Sudut yang besarnya antara 0o dan 90o disebut sudut lancip.Sudut yang besarnya antara 90o dan 180o disebut sudut tumpul.Sudut yang besarnya lebih dari 180 o dan kurang dari 360 o

disebut sudut refleks.3. – Jumlah dua sudut yang saling berpelurus (bersuplemen)

adalah 180o. Sudut yang satu merupakan pelurus dari sudutyang lain.

– Jumlah dua sudut yang saling berpenyiku (berkomplemen)adalah 90o. Sudut yang satu merupakan penyiku dari sudutyang lain.

– Jika dua garis berpotongan maka dua sudut yang letaknyasaling membelakangi titik potongnya disebut dua sudutyang saling bertolak belakang. Dua sudut yang salingbertolak belakang adalah sama besar.


4. Kedudukan dua garis– Dua garis atau lebih dikatakan sejajar apabila garis-garis

tersebut terletak pada satu bidang datar dan t idak akanpernah bertemu atau berpotongan jika garis tersebutdiperpanjang sampai tak berhingga.

– Dua g aris d ikatakan s aling b erpotongan a pabila g aristersebut terletak pada satu bidang datar dan mempunyaisatu titik potong.

– Dua garis dikatakan saling berimpit apabila garis tersebutterletak pada satu garis lurus, sehingga hanya terlihat satugaris lurus saja.

– Dua garis dikatakan bersilangan apabila garis-garis tersebuttidak terletak pada satu bidang datar dan tidak akanberpotongan apabila diperpanjang.

5. Hubungan antarsudut jika dua garis sejajar dipotong oleh garislain– Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain, akan

terbentuk em pat p asang s udut s ehadap y ang b esarnyasama.

– Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain, besarsudut-sudut dalam berseberangan yang terbentuk adalahsama besar.

– Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain makabesar sudut-sudut luar berseberangan yang terbentukadalah sama besar .

– Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain makajumlah sudut-sudut dalam sepihak adalah 180o.

– Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain makajumlah sudut-sudut luar sepihak adalah 180o.

Setelah mempelajari mengenai Garis dan Sudut , cobarangkum materi yang telah kamu pahami dan catat materi yangbelum kamu pahami. Tanyakan pada gurumu atau kepada temanmuyang lebih tahu. Buatlah dalam sebuah laporan singkat dan serahkankepada gurumu.

231Garis dan Sudut


5. Jika sudut yang besarnya po dalamsepihak dengan sudut yang besarnyaqo dan diketahui q = 11 2o makanilai po = ....a. 56o c. 78o

b. 68o d. 112o

6. Nilai xo padagambar di sam-ping adalah ....a. 10o

b. 20o

c. 30o

d. 90o

7. 60o

12xo x y + 5o o

Pada gambar di atas, nilai xo dan yo

yang memenuhi adalah ....a. 4o dan 20o c. 6o dan 23o

b. 5o dan 23o d. 8o dan 23o

8.

105o

35o

ao

Dari gambar di atas, nilai ao adalah ....a. 35o c. 110o

b. 75o d. 145o

1. Jika jarum panjang dan jarum pendeksebuah jam membentuk sudut 120o,waktu menunjukkan pukul ....a. 9.00 atau 7.00b. 4.00 atau 8.00c. 14.00 atau 7.00d. 2.30 atau 9.30

2.

7xo8xo

Nilai xo pada gambar di atas adalah ....a. 12o c. 22,5o

b. 18o d. 33,5o

3. Jika perbandingan antara sebuahsudut dengan pelurusnya adalah 2 : 3maka besar sudut tersebut adalah ... .a. 26o c. 108o

b. 72o d. 144o

4. Berikut ini yang merupakan sudut re-fleks adalah ....

a.1 putaran penuh3

b.1 sudut lurus4

c.5 sudut lurus6

d.5 putaran penuh6

A D

BE

F C

5xo

80o



P

A B

CD

Q

3 cm2 cm

8 cm

13 cm

Pada gambar di atas AB // DC // PQ.Jika AP = 8 cm, PD = 2 cm,AB = 13 cm, dan DC = 3 cm makapanjang PQ adalah ....a. 5 cm c. 5,5 cmb. 5,3 cm d. 5,7 cm

10.8

6

5

p

Pada gambar di atas, n ilai p adalah....a. 10 c. 13b. 11 d. 14


4. Pada gambar berikut AB // DC.Sebutkan tiga pasang sudut yang samabesar.

A

D

B

E

C

5. Perhatikan gambar berikut.Hitunglah nilai dari p dan r.

46 8

p 4 r

1. Berapa derajatkah sudut terkecil yangdibentuk oleh kedua jarum jam padapukula. 1.00 c. 18.30b. 3.30 d. 19.50

2. Tentukan n ilai ao, bo, dan co padagambar berikut.a. b.

3. Tentukan n ilai xo + yo + zo padagambar di bawah ini.

12xo

4zo

56o 5 + 2x yo o

108o

5ao

ao

2ao

60o ao

co

bo

30o

Hampir setiap konstruksi bangunan yangdibuat manusia memuat bentuk bangunsegitiga dan segi empat. Amatilah lingkungansekitarmu. Bentuk bangun manakah yangada pada benda-benda di sekitarmu? Apakahsetiap bangun yang kalian temukan sebagianbesar terdiri dari bangun segitiga dan segiempat? Untuk memahami lebih jauh menge-nai segitiga dan segi empat pelajarilah babini dengan saksama.

Sumber: Indonesian Heritage, 2002

Tujuan pembelajaranmu pada bab ini adalah:dapat menjelaskan jenis-jenis segitiga berdasarkan sisi-sisinya;dapat menjelaskan jenis-jenis segitiga berdasarkan besar sudutnya;dapat menjelaskan pengertian jajargenjang, persegi, persegi panjang, belah ketupat,trapesium, dan layang-layang menurut sifatnya;dapat menjelaskan sifat-sifat segi empat ditinjau dari sisi, sudut, dan diagonalnya;dapat menurunkan rumus keliling bangun segitiga dan segi empat;dapat menurunkan rumus luas bangun segitiga dan segi empat;dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan menghitung keliling danluas bangun segitiga dan segi empat;dapat melukis segitiga yang diketahui tiga sisinya, dua sisi satu sudut apitnyaatau satu sisi dan dua sudut;dapat melukis segitiga sama sisi dan segitiga sama kaki;dapat melukis garis tinggi, garis bagi, garis berat, dan garis sumbu.

8 SEGITIGA DANSEGI EMPAT

Kata-Kata Kunci:

segitiga garis bagisegi empat garis beratgaris tinggi garis sumbu


Pada pembahasan kali ini, kalian akan mempelajari mengenaisegitiga dan segi empat. Agar kalian dapat memahami bab ini de-ngan baik, coba ingat kembali mengenai materi garis dan sudut.

A. SEGITIGA

1. Pengertian SegitigaAgar k alian me mahami p engertian s egitiga, p erhatikan

Gambar 8.1 berikut.

A B

C

Gambar 8.1

Perhatikan sisi-sisinya, ada berapa sisi-sisi yang membentuksegitiga ABC? Sisi-sisi yang membentuk segitiga ABC berturut-turut adalah AB, BC, dan AC.Sudut-sudut yang terdapat pada segitiga ABC sebagai berikut.a. A atau BAC atau CAB.b. B atau ABC atau CBA.c. C atau ACB atau BCA.Jadi, ada tiga sudut yang terdapat pada ABC.Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.

Segitiga adalah bangun datar yang dibatasi oleh tiga buah sisidan mempunyai tiga buah titik sudut.

Segitiga biasanya dilambangkan dengan “ ”.Sekarang, perhatikan Gambar 8.2.Pada gambar tersebut menunjukkan segitiga ABC.a. Jika alas = AB maka tinggi = CD (CD AB).b. Jika alas = BC maka tinggi = AE (AE BC).c. Jika alas = AC maka tinggi = BF (BF AC).

Catatan: Simbol dibaca: tegak lurus.Jadi, pada suatu segitiga setiap sisinya dapat dipandang

sebagai alas, dimana tinggi tegak lurus alas.Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.

Alas segitiga merupakan salah satu sisi dari suatu segitiga,sedangkan tingginya adalah garis yang tegak lurus dengan sisialas dan melalui titik sudut yang berhadapan dengan sisi alas.

A B

C

D

E

F

Gambar 8.2

(Berpikir kritis)Perhatikan gambarberikut.

Pada gambar di atas,garis PQ // SR.a. Sebutkan pasang-

an sudut yang sa-ma besar.

b. Jika besar PSR = 65o,

tentukan besarsudut yang lain.Tentukan pula jenissetiap suduttersebut.

A B

CD

P Q

RS

T U

VW

235Segitiga dan Segi Empat

2. Jenis-Jenis SegitigaJenis-jenis suatu segitiga dapat ditinjau berdasarkana. panjang sisi-sisinya;b. besar sudut-sudutnya;c. panjang sisi dan besar sudutnya.

a. Jenis-jenis segitiga ditinjau dari panjang sisinya(i) Segitiga sebarang

Segitiga sebarang adalah segitiga yang sisi-sisinya tidaksama panjang. Pada Gambar 8.3 (i) di samping, AB BC AC.

(ii) Segitiga sama kakiSegitiga sama kaki adalah segitiga yang mempunyai dua

buah sisi sama panjang. Pada Gambar 8.3 (ii) di samping segitigasama kaki ABC dengan AB = BC.

(iii) Segitiga sama sisiSegitiga sama sisi adalah segitiga yang memiliki tiga buah

sisi sama panjang dan tiga buah sudut sama besar . SegitigaABC pada Gambar 8.3 (iii) merupakan segitiga sama sisi. Cobakalian sebutkan tiga buah sisi yang sama panjang dan tiga buahsudut yang sama besar.

b. Jenis-jenis segitiga ditinjau dari besar sudutnyaIngat kembali materi pada bab terdahulu mengenai jenis-

jenis sudut. Secara umum ada tiga jenis sudut, yaitu1) sudut lancip (0o < x < 90o);2) sudut tumpul (90o < x < 180o);3) sudut refleks (180o < x < 360o).

Berkaitan dengan hal tersebut, j ika d itinjau dari besarsudutnya, ada tiga jenis segitiga sebagai berikut.(i) Segitiga lancip

Segitiga l ancip a dalah s egitiga y ang k etiga s udutnyamerupakan sudut lancip, sehingga sudut-sudut yang terdapatpada segitiga tersebut besarnya antara 0 o dan 90 o. P adaGambar 8.4 (i) di samping, ketiga sudut pada ABC adalahsudut lancip.

(ii) Segitiga tumpulSegitiga tumpul adalah segitiga yang salah satu sudutnya

merupakan sudut tumpul. Pada ABC di samping, ABCadalah sudut tumpul.

AB

C

(i)

(ii)A B

C

(ii)

C

A

B

Gambar 8.3(iii)

A B

C

(i)A

B

C


(iii) Segitiga siku-sikuSegitiga siku-siku adalah segitiga yang salah satu sudutnya

merupakan sudut siku-siku (besarnya 90o).Pada Gambar 8.4 (iii) di samping, ABC siku-siku di titik C.

c. Jenis-jenis segitiga ditinjau dari panjang sisi dan besarsudutnya

Ada dua jenis segitiga jika ditinjau dari panjang sisi danbesar sudutnya sebagai berikut.(i) Segitiga siku-siku sama kaki

Segitiga siku-siku sama kaki adalah segitiga yang keduasisinya sama panjang dan salah satu sudutnya merupakan sudutsiku-siku (90o).

Pada Gambar 8.5 (i), ABC siku-siku di titik A, denganAB = AC.(ii) Segitiga tumpul sama kaki

Segitiga tumpul sama kaki adalah segitiga yang keduasisinya sama panjang dan salah satu sudutnya merupakan suduttumpul.

Sudut tumpul ABC pada Gambar 8.5 (ii) di sampingadalah B, dengan AB = BC.

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.a. segitiga sama kaki;b. segitiga sama sisi;c. segitiga sebarang;d. segitiga lancip;e. segitiga siku-siku;f. segitiga tumpul;g. segitiga siku-siku sama kaki;h. segitiga tumpul sama kaki.

2. Tentukan jenis segitiga-segitiga berikut.a. ABC dengan A = 60o,

B = 60o, dan C = 60o.b. PQR dengan PQ = 7 cm,

PR = 5 cm, dan RQ = 7 cm.

1.

Dari s egitiga-segitiga p ada g ambar d iatas, kelompokkan yang merupakan

a b c

d e f

gh

ij

k

l m n o

A B

C

(i)

A B

C

(ii)

Gambar 8.5

(iii)A

BC

Gambar 8.4


3. Sifat-Sifat Segitiga IstimewaSegitiga istimewa adalah segitiga yang mempunyai sifat-sifat

khusus (istimewa). Dalam hal ini yang dimaksud segitiga istimewaadalah segitiga siku-siku, segitiga sama kaki, dan segitiga sama sisi.Berikut ini akan kita bahas mengenai sifat-sifat dari segitigaistimewa tersebut.

a. Segitiga siku-sikuPerhatikan Gambar 8.6.

Bangun ABCD merupakan persegi panjang dengan A = B = C = D = 90o. Jika persegi panjang ABCD

dipotong menurut diagonal AC akan terbentuk dua buah bangunsegitiga, yaitu ABC dan ADC. Karena B = 90o, maka

ABC siku-siku di B. Demikian halnya dengan ADC. SegitigaADC siku-siku di D karena D = 90o. Jadi, ABC dan

ADC m asing-masing m erupakan s egitiga si ku-siku y angdibentuk dari persegi panjang ABCD yang dipotong menurut di-agonal AC.Dari uraian di atas, dapat disimpulkan sebagai berikut.

Besar salah satu sudut pada segitiga siku-siku adalah 90o.

b. Segitiga sa ma k akiPerhatikan kembali ABC dan ADC pada Gambar 8.6.

Impitkan kedua segitiga yang terbentuk tersebut pada salah satusisi siku-siku yang sama panjang.

c. KLM dengan K = 90o, L = 50o, dan M = 40o.

d. PQR dengan PQ = 5 cm,QR = 3 cm, dan RQ = 6 cm.

3. Pada kertas berpetak gambarlah segitigaKLM dengan K(1, 1), L(4, 1), danM(1, 4). T ermasuk segitiga apakahsegitiga KLM yang terbentuk? Berikanalasanmu.

A B

D C

A

D C

A B

C

(i) (ii) (iii)

Gambar 8.6

(Menumbuhkan krea-tivitas)Buatlah segitiga siku-siku, segitiga samakaki, dan segitigasama sisi dari kertaskarton. Tunjukkansifat-sifat dari masing-masing segitigatersebut. Lakukan halini di depan kelas.


R

SP Q

Gambar 8.8

Tampak bahwa akan terbentuk segitiga sama kaki sepertiGambar 8.7 (ii) dan 8.7 (iii). Dengan demikian, dapat dikatakansebagai berikut.

Segitiga sama kaki dapat dibentuk dari dua buah segitiga siku-siku yang sama besar dan sebangun.

Catatan:Dua buah bangun datar yang sama bentuk dan ukuran disebutsama dan sebangun atau kongruen. Materi ini akan kalian pelajaridi kelas IX mengenai kesebangunan.

Sekarang, perhatikan Gambar 8.8.Jika segitiga sama kaki PQR dilipat menurut garis RS maka

P akan menempati Q atau P Q;R akan menempati R atau R R;atau dapat ditulis PR QR.

Dengan demikian, PR = QR. Akibatnya , PQR = QPR.Jadi, dapat disimpulkan sebagai berikut.

Segitiga sama kaki mempunyai dua buah sisi yang sama panjangdan dua buah sudut yang sama besar.

Perhatikan kembali Gambar 8.8.

Lipatlah PQR menurut garis RS. Segitiga PRS dan QRS akan saling berimpit, sehingga PR akan menempati QR

dan PS akan menempati SQ. Dalam hal ini dapat dikatakan bahwaRS merupakan sumbu simetri dari PQR.Dari uraian di atas, dapat disimpulkan sebagai berikut.

Segitiga sama kaki mempunyai sebuah sumbu simetri.

A B

D C

A

C

A B/D C

C/A

B/D

A/C

AC(i) (ii) (iii)

Gambar 8.7


Pada gambar di bawahdiketahui KLM samakaki dengan LM = 13 cmdan MN = 5 cm. Jika

KLN = 20o, tentukana. besar MLN;b. panjang KL dan MK.

Penyelesaian:

a. Dari gambar dapat diketahui MLN = KLN =20o.Jadi, besar MLN = 20o.

b. Karena KLM sama kaki, maka KL = LM = 13 cm.

Pada KLM, LN adalah sumbu simetri, sehinggaMK= 2 MN (MN = NK)

= 2 5 cm= 10 cm

Jadi, panjang KL = 13 cm dan panjang MK = 10 cm.N L

K

M

5 cm13 cm

Gambar 8.9

c. Segitiga sama sisiKalian telah mengetahui bahwa segitiga sama sisi adalah

segitiga yang ketiga sisinya sama panjang.Perhatikan Gambar 8.10.Gambar di samping merupakan segitiga sama sisi ABC

dengan AB = BC = AC.

(i) Lipatlah ABC menurut garis AE. ABE dan ACE akan saling berimpit, sehingga B akan

menempati C a tau B C dengan titik A tetap. Dengandemikian, AB = AC. Akibatnya, ABC = ACB.

(ii) Lipatlah ABC menurut garis CD. ACD dan BCD akan saling berimpit, sehingga A akan

menempati B atau A B dengan C tetap. Oleh karena itu,AC = BC. Akibatnya, ABC = BAC.

(iii) Selanjutnya, lipatlah ABC menurut garis BF. ABF dan CBF akan saling berimpit, sehingga A akan

menempati C atau A C, dengan titik B tetap. Oleh karenaitu, AB = BC. Akibatnya, BAC = BCA.

Dari (i), (ii), dan (iii) diperoleh bahwa AC = BC = AB dan ABC = BAC = BCA.

A B

C

D

EF

Gambar 8.10




Segitiga sama sisi mempunyai tiga buah sisi yang sama panjangdan tiga buah sudut yang sama besar.

Sekarang, perhatikan kembali Gambar 8.10.

Jika ABC dilipat menurut garis AE, ABE dan ACEakan saling berimpit, sehingga AB akan menempati AC dan BEakan menempati CE. Dalam hal ini dapat dikatakan bahwa AEmerupakan sumbu simetri dari ABC.

Jika ABC dilipat menurut garis CD, ACD dan BCD akan saling berimpit, sehingga AC akan menempati BC

dan A D ak an m enempati B D. B erarti, C D m erupakan s umbusimetri ABC.

Demikian halnya jika ABC dilipat menurut garis BF .Dengan mudah, pasti kalian dapat membuktikan bahwa BFmerupakan sumbu simetri dari ABC.Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.

Setiap segitiga sama sisi mempunyai tiga sumbu simetri.

(Berpikir kritis)Diskusikan dengantemanmu.Tunjukkan bahwa se-gitiga sama sisia. mempunyai simetri

putar tingkat 3,b. dapat menempati

bingkainya dengan6 cara.

1. Salinlah segitiga-segitiga berikut dan se-butkan panjang setiap sisi dan besar se-tiap sudutnya.

R Q65o

25o

S

P

8 cm

3 cm

a.Z

W

45o

X

Y

7 cm

4,9 cm

b.

K

L M

N

9 cm

8,2 cmc.20

o

2. Gambar di bawah menunjukkan enamsegitiga s ama s isi y ang s ama d an s e-bangun sehingga membentuk segi enamberaturan.

A B

CF

E D

O

a. Berapakah besar AOB? Sebut-kan dua ruas garis ya ng sama pan-jang dengan AD.

b. Berapakah banyaknya garis yangsama panjang dengan AB?


4. Nyatakan benar atau salah pernyataan-pernyataan berikut.a. Segitiga sama kaki memiliki satu

sumbu simetri.b. Segitiga sama kaki memiliki dua

pasang sudut sama besar.c. Ketiga sisi segitiga sama sisi sama

panjang.d. Segitiga sama sisi memiliki dua

sumbu simetri.e. Segitiga sama sisi dapat menempati

bingkainya dalam enam cara.

3. Perhatikan gambar di bawah ini.

Gambar di atas menunjukkan pengubin-an segitiga sama sisi, dengan panjang sisimasing-masing 1 cm. Tentukan banyaksegitiga sama sisi yang panjangnyaa. 1 cm; c. 3 cm.b. 2 cm;

B. JUMLAH SUDU T-SUDUT SEGITIGA

1. Menunjukkan Jumlah Sudut-Sudut Segitiga adalah 180o

Agar kalian dapat menunjukkan bahwa jumlah sudut-sudutdalam sebuah segitiga adalah 180 o, lakukanlah kegiatan berikutini.

KEGIATAN

(a) Buatlah sebarang segitiga dari kertas karton. Namailah ABC.

(b) Potonglah masing-masing sudut segitiga tersebut menurutgaris k, l, dan m.

(c) Kemudian, letakkan masing-masing potongan sudut tersebuthingga berimpit. T ampak bahwa ketiga sudut tersebutmembentuk garis lurus.

Diskusikan dengan temanmu, berapakah jumlah ketiga suduttersebut?

BA1 2

3

C

(a)

BA1 2

3

C

k

l

m

(b)

12

3

(c)

Gambar 8.11


L

M

Kxo 2xo

3xo

Gambar 8.12

Berdasarkan kegiatan di atas, apakah kalian menyimpulkansebagai berikut?

Jumlah ketiga sudut pada segitiga adalah 180o.

2. Menghitung Besar Salah Satu Sudut Segitiga ApabilaDua Sudut Lainnya Diketahui

Besar suatu sudut segitiga dapat dicari jika besar dua sudutlainnya diketahui.

1. Diketahui pada PQR, besar P =

48o d an Q = 72o.Hitunglah besar R.

Penyelesaian:

Diketahui P = 48o dan Q = 72o.Pada PQR, berlaku P + Q + R = 180 o,sehingga 48o + 72o + R = 180o

120o + R = 180o

R = 180 – 120o

R = 60o

Jadi, besar R = 60o.

2. Perhatikan g ambarberikut.

Pada KLM, tentu-kana. nilai xo;b. besar masing-ma-

sing K, L,dan M.

Penyelesaian:

a. Pada KLM, berlaku

K + L + M = 180o

x o + 2xo + 3xo = 180o

6xo = 180o

x o =o180

6 x o = 30o

Jadi, nilai x = 30o.

b. K = xo

= 30o

L = 2xo

= 2 × 30o = 60o

M = 3xo

= 3 × 30o = 90o

Jadi, besar K, L, dan M berturut-turut adalah30o, 60o, dan 90o.



2. Tentukan nilai xo untuk se tiap segitigapada gambar berikut.

50o

xo xo

x o

5xo 2xo

(a) (b)

60o

3xo 2xo 3xo

4xo(c) (d)

3. Pada ABC diketahui A = 50o. JikaB : C = 2 : 3, tentukan besar B dan

C.

1. Nyatakan benar atau salah pernyataan-pernyataan berikut.a. Jumlah sudut-sudut suatu segitiga

sama dengan dua sudut siku-siku.b. Jika besar dua sudut segitiga adalah

88o dan 22o maka besar sudut yangketiga adalah 80o.

c. Ada kemungkinan bahwa dua sudutsegitiga adalah siku-siku.

d. Jika sebuah sudut suatu segitiga tum-pul maka dua buah sudut lainnya pastilancip.

e. Jumlah dua sudut segitiga selalu lebihbesar dari sudut yang ketiga.

C. HUBUNGAN PANJANG SISI DENGANBESAR SUDUT P ADA SEGITIGA

1. Ketidaksamaan SegitigaAgar kalian memahami mengenai ketidaksamaan segitiga

lakukan kegiatan berikut.

KEGIATAN

a. Buatlah sebarang segitiga dari kertas karton. Namailahdengan segitiga ABC. Sisi di hadapan A, berilah namasisi a. Sisi di hadapan B, berilah nama sisi b. Demikianpula dengan sisi C.

b. Ukurlah panjang masing-masing sisinya.c. Jumlahkan panjang sisi a d an b. K emudian, b andingkan

dengan panjang sisi c. Manakah yang lebih besar? Ban-dingkan pula panjang sisi a + c d engan p anjang s isi b.Demikian pula, bandingkan panjang sisi b + c dengan panjangsisi a.

A

B Ca

bc


BC

A

Gambar 8.13

Jika kalian melakukan kegiatan tersebut dengan tepat, kalianakan memperoleh kesimpulan seperti berikut.

Pada s etiap s egitiga s elalu b erlaku b ahwa j umlah d ua b uahsisinya selalu lebih panjang daripada sisi ketiga.Jika suatu segitiga memiliki sisi a, b, dan c maka berlaku salahsatu dari ketidaksamaan berikut.(i) a + b > c(ii) a + c > b(iii) b + c > aKetidaksamaan tersebut disebut ketidaksamaan segitiga .

2. Hubungan Besar Sudut dan Panjang Sisi Suatu SegitigaAgar kalian mengetahui hubungan antara besar sudut dengan

panjang sisi pada suatu segitiga, lakukan kegiatan berikut ini.Buatlah sebarang segitiga, misalnya segitiga ABC (Gambar

8.13). Bagaimana hubungan antara A denga n sisi BC, Bdengan sisi AC, dan C dengan sisi AB? Dengan menggunakanbusur derajat, ukurlah panjang setiap sudutnya, yaitu A, B,dan C. Kemudian dengan menggunakan penggaris, ukurlahmasing-masing panjang sisinya, yaitu AB, BC, dan AC. Amatilahbesar sudut dan panjang sisi dari segitiga tersebut.

Jika kalian melakukannya dengan tepat, kalian akanmemperoleh bahwaa. sudut B merupakan sudut terbesar dan sisi di hadapannya, yaitu

sisi AC merupakan sisi terpanjang;b. sudut C merupakan sudut terkecil dan sisi di hadapannya, yaitu

sisi AB merupakan sisi terpendek.Apa yang dapat kalian simpulkan dari kegiatan di atas? Jika

kalian melakukannya dengan tepat, kalian akan menyimpulkanseperti berikut.

Pada setiap segitiga berlaku sudut terbesar terletak berhadapandengan sisi terpanjang, sedangkan sudut terkecil terletakberhadapan dengan sisi terpendek.

Manakah yang lebih besar?Apa yang dapat kalian simpulkan dari kegiatan tersebut?Diskusikan dengan temanmu.


3. Hubungan Sudut Dalam dan Sudut Luar SegitigaKalian telah mengetahui bahwa jumlah sudut dalam segitiga

adalah 180o. Selanjutnya, untuk memahami pengertian sudut luarsegitiga, pelajari uraian berikut.


Pada gambar ABC di samping, sisi AB diperpanjangsehingga membentuk garis lurus ABD.Pada segitiga ABC berlaku

BAC + ABC + ACB = 180o (sudut dalam ABC) BAC + ACB = 180o – ABC ................. (i)

Padahal ABC + CBD = 180o (berpelurus) CBD = 180o – ABC ................... (ii)

Selanjutnya CBD disebut sudut luar segitiga ABC.Berdasarkan persamaan (i) dan (ii) diperoleh

CBD = BAC + ACB.Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.

Besar sudut luar suatu segitiga sama dengan jumlah dua sudutdalam yang tidak berpelurus dengan sudut luar tersebut.

A D

C

BGambar 8.14

Berdasarkan gambar beri-kut, tentukan nilai xo danyo.

Penyelesaian:80o + 60o + xo = 180o (sudut dalam segitiga) 14 0o + xo = 180o

x o = 180o – 140o

x o = 40o

x o + yo = 180o (berpelurus) 40o + yo = 180o

y o = 180o – 40o

y o = 140o

Jadi, nilai xo = 40o dan yo = 140o.

A80o

C

B

60o

xo yo

Gambar 8.15




P Qxo 80o3xo

S

R

Hitunglaha. nilai xo;

b. besar SPR;

c. besar PRQ.5. Perhatikan gambar berikut.

C

1

B2 3 4

DA

Pada gambar tersebut B 1 = B 2, C3 = C4, A = 70o, dan B = 60o. Hitunglah

a. besar C3 + C4;b. besar B2;c. besar D.

1. Selidikilah, apakah panjang sisi-sisi be-rikut dapat dibuat sebuah segitiga.a. 3 cm, 6 cm, dan 8 cmb. 4 cm, 7 cm, dan 11 cmc. 5 cm, 8 cm, dan 14 cmd. 10 cm, 10 cm, dan 12 cme. 6 cm, 9 cm, dan 16 cm

f. 3 dm, 4 dm, dan 12

m

2. Diketahui sudut suatu segitiga PQR ber-banding P : Q : R = 9 : 5 : 4.Tentukana. besar P, Q, dan R;b. sudut yang terbesar;c. sudut yang terkecil;d. sisi yang terpanjang;e. sisi yang terpendek.


yo

wo

zoxo 35o

85o

Tentukan nilai wo, xo, yo, dan zo.

D. KELILING DAN LUAS SEGITIGA

1. Keliling S egitigaKeliling suatu bangun datar merupakan jumlah dari panjang

sisi-sisi yang membatasinya, sehingga untuk menghitung kelilingdari s ebuah s egitiga d apat d itentukan d engan m enjumlahkanpanjang dari setiap sisi segitiga tersebut.


Keliling ABC = AB + BC + AC= c + a + b= a + b + c

Jadi, keliling ABC adalah a + b + c.Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.Suatu segitiga dengan panjang sisi a, b, dan c, kelilingnya

adalahK = a + b + c.

2. Luas SegitigaPerhatikan Gambar 8.17 (i).

Dalam menentukan luas ABC di samping, dapat dilakukandengan membuat garis bantuan sehingga terbentuk persegi panjangABFE seperti Gambar 8.17(ii).

Dapatkah kalian membuktikan bahwa AC dan BC membagipersegi panjang ADCE dan BDCF menjadi dua sama besar?

Jika kalian dapat membuktikannya, kalian akan memperolehbahwa ADC sama dan sebangun dengan AEC dan BDCsama dan sebangun dengan BCF, sedemikian sehingga diperoleh

luas ADC =12

luas persegi panjang ADCE dan

luas BDC =12

luas persegi panjang BDCF.

Luas ABC = luas ADC + luas BDC

1 1= × luas ADCE + × luas BDCF2 21 1= × AD × CD + × BD × CD2 21= × CD × (AD + BD)21= × CD × AB2

Secara umum luas segitiga dengan panjang alas a dan tinggit adalah

1L2

a t .

Bc

C

A

b a

Gambar 8.16

B

C

A D

B

C

A D

FE

(i)

(ii)

Gambar 8.17

(Menumbuhkaninovasi)Perhatikan lingkungandi sekitarmu. Carilahbenda-benda yangpermukaannyaberbentuk segitiga(minimal 5 benda).Ukurlah panjangsisinya. Kemudian,hitunglah keliling danluas benda-bendatersebut.Ceritakan hasilnyasecara singkat didepan kelas.


Perhatikan gambar berikut.

Pada DEF di atasdiketahui DE = 14 cm,DF = 21 cm, EG = 5 cm,dan FG = 12 cm.Hitunglah keliling dan luas

DEF.

Penyelesaian:EF2 = EG2 + FG2

= 52 + 122

= 25 + 144 = 169

EF = 169 13 cm

Keliling DEF = DE + EF + DF= 14 cm + 13 cm + 21 cm= 48 cm

2

1Luas DEF × DE × FG21= × 14 × 12 = 84 cm2

F

D GE

21 cm12

cm

14 cm 5 cm

Gambar 8.18

3. Menyelesaikan Masalah yang Berkaitan dengan Kelilingdan Luas Segitiga

a. Sebuah syal berbentuksegitiga sama kaki de-ngan panjang sisi yangsama 12 cm dan pan-jang sisi lainnya 30 cm.Jika tinggi syal tersebut9 cm, tentukani) keliling syal;ii) luas syal.

Penyelesaian:Dari keterangan pada soal di samping, dapat digambarkansebagai berikut.

9 cm

30 cm

12 cm

i) Keliling syal = 12 cm + 12 cm + 30 cm= 54 cm

ii) Luas syal = 12

alas tinggi

=12 30 cm 9 cm

= 135 cm


Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.A

CB

4 cm

5 cmD

3 cm

Jika BAC = 90o, AB = 4 cm, AC = 3cm, dan BC = 5 cm, tentukana. luas segitiga ABC;b. panjang AD.

4. Diketahui luas sebuah segitiga adalah165 cm 2 dan panjang alasnya 22 cm.Hitunglah tinggi segitiga.

5. Perhatikan gambar berikut.D 24 cm

B

C

9 cm

E A 14 cm

12 cm

Hitunglaha. luas segitiga ABD;b. luas segitiga BCD;c. luas bangun ABCD.

1. Hitunglah keliling segitiga dengan pan-jang sisi-sisinya sebagai berikut.a. 4,5 cm; 7,5 cm; dan 5,5 cmb. 8 cm; 16 cm; dan 12 cmc. 25 cm; 35 cm; dan 20 cm

2. Hitunglah luas daerah masing-masingsegitiga pada gambar di bawah ini.

A B

C

8 cm

6 cm

D E

F

12 cm

8 cm

(i) (ii)

6 cm

P Q

R

16 cm S R

U

5 cm

4 cm

3 cmT(iii) (iv)

4 cm

3. Diketahui segitiga ABC dengan garistinggi AD seperti gambar berikut.

b. Sebuah puzzle per-mukaannya berbentuksegitiga siku-siku se-perti gambar berikut.Tentukan keliling danluas permukaan puzzletersebut.

Penyelesaian:Keliling permukaan puzzle = 3 cm + 4 cm + 5 cm

= 12 cm

Luas permukaan puzzle = 12

alas tinggi

=12

3 cm 4 cm

= 6 cm

4 cm

3 cm

5 cm


Gambar 8.20

E. SEGI EMPAT

Coba amatilah benda-benda di sekitar kalian, seperti papantulis, bingkai foto, ubin/lantai di kelasmu, sampai layang-layang yangsering kalian mainkan. Berbentuk apakah benda-benda tersebut?Berapa jumlah sisinya? Benda-benda tersebut termasuk bangundatar segi empat, karena jumlah sisinya ada empat buah. PerhatikanGambar 8.19. Secara umum, ada enam macam bangun datar segiempat, yaitu(i) persegi panjang; (iv) belah ketupat;(ii) persegi; (v) layang-layang;(iii) jajargenjang; (vi) trapesium.

Pada bagian ini, kalian akan mempelajari mengenai bangundatar segi empat di atas.

1. Persegi Panjanga. Pengertian persegi panjang

Amatilah benda-benda di sekitar kalian yang berupa meja,buku, atau bingkai foto di kelasmu. Bagaimana panjang sisinya?Benda-benda tersebut berbentuk persegi panjang.

(i) (ii) (iii) (iv) (vi)(v)

Gambar 8.19

6. Sebidang tanah berbentuk segitigadengan panjang tiap sisi tanah berturut-turut 4 m, 5 m, dan 7 m. Di sekelilingtanah tersebut akan dipasang pagardengan biaya Rp85.000,00 per meter .Berapakah biaya yang diperlukan untukpemasangan pagar tersebut?

7. Permukaan sebuah kotak perhiasanberbentuk segitiga. Jika panjang sisikotak tersebut 2 cm, 3 cm, dan 4 cmdengan tinggi permukaan kotak 2,5 cm,tentukan

a. keliling permukaan kotak;b. luas permukaan kotak.

8. Sebuah taman berbentuk segitiga samakaki dengan panjang sisi yang sama 5 m,panjang sisi lainnya 12 m, dan tinggi 7 m.Jika taman tersebut akan ditanami rumputdengan biaya Rp60.000/m 2, hitunglahkeseluruhan biaya yang diperlukan.


Perhatikan persegi panjang ABCD pada Gambar 8.21.Jika kalian mengamati persegi panjang pada Gambar 8.21

dengan tepat, kalian akan memperoleh bahwa

(i) sisi-sisi persegi p anjang ABCD ada lah AB , BC , CD , dan

AD dengan dua pasang sisi seja jarnya sama panjang, yaitu

AB = DC dan BC = AD ;

(ii) sudut-sudut persegi panjang ABCD adalah DAB, ABC, BCD, dan CDA dengan DAB = ABC = BCD = CDA = 90o.

Dengan demikian, dapat dikatakan sebagai berikut.

Persegi panjang adalah bangun datar segi empat yang memilikidua pasang sisi sejajar dan memiliki empat sudut siku-siku.

b. Menempatkan persegi panjang pada bingkainyaPerhatikan persegi panjang ABCD pada Gambar 8.22.Jiplaklah persegi panjang ABCD pada selembar karton.

Kemudian, guntinglah karton itu menurut sisi AB , BC , CD , dan

AD sehingga diperoleh potongan karton berbentuk persegi panjang.Selanjutnya, jika kalian putar persegi panjang tersebut maka

ada berapa cara dapat menempati bingkainya kembali? Coba kamuperagakan Gambar 8.23.(i) Tempatkan persegi panjang pada posisi awal.(ii) Dari posisi awal, baliklah persegi panjang ABCD menurut garis

KL, t ernyata persegi panjang dapat menempati b ingkainyasecara tepat, sehingga AD menempati BC.

(iii) Dari posisi awal, baliklah persegi panjang ABCD menurut garisMN, t ernyata s isi A B d apat me nempati s isi D C, s ehinggapersegi panjang ABCD dapat menempati bingkainya.

(iv) Dari posisi awal, putarlah persegi panjang ABCD setengahputaran (180 o), t ernyata p ersegi p anjang d apat m enempatibingkainya secara tepat, sehingga sisi AB menempati sisi CD.

Persegi panjang dapat tepat menempati bingkainya kembalidengan empat cara.

Selain empat cara di atas, coba kalian cari apakah masih adacara lain persegi panjang dapat menempati bingkainya kembali.

Gambar 8.21A B

CD

Gambar 8.22A B

CD

A

CD

(i) (ii)

(iii) (iv)

B

C

BA

D C

BA

D

C

BA

D C

BA

D

C D

B AL

K

A B

CD

M N

AB

C D

O

Gambar 8.23


C

BA

DCD

A B

A

DC

BCD

A B

O O

Gambar 8.27

c. Sifat-sifat persegi panjangPerhatikan Gambar 8.24.Jika persegi panjang ABCD dibalik menurut garis k, persegi

panjang itu akan menempati bingkainya, sehingga titik A akanmenempati titik B, dan titik B akan menempati titik A, ditulisA B. Demikian halnya kita peroleh D C, sehingga

AD BC . Hal ini berarti AD = BC.Selanjutnya, jika persegi panjang ABCD dibalik menurut garis

l, persegi panjang itu akan menempati bingkainya seperti Gambar8.25.

Berdasarkan Gambar 8.25, diperoleh bahwa A D,

B C, dan AB DC . Hal ini berarti AB = DC.

Dari pengamatan tersebut dapat dikatakan bahwa jarak AD

dan BC selalu tetap. Demikian halnya dengan jarak AB dan DC.

Oleh karena itu, AD sejajar BC dan AB sejajar DC .

Sisi-sisi yang berhadapan dari suatu persegi panjang adalah samapanjang dan sejajar.

Selanjutnya, kita akan menyelidiki panjang diagonal-diagonalpersegi panjang. Baliklah persegi panjang ABCD dengan diagonalBD menurut garis k sehingga menempati bingkainya kembali sepertiGambar 8.26.

Berdasarkan Gambar 8.26, kita peroleh A B, D C,BD AC, dan BD = AC.

Sekarang, putarlah persegi panjang ABCD sejauh setengah

putaran (180o), dengan diagonal-diagonal AC dan BD berpotong-an di titik O.

Dari pemutaran tersebut, diperoleh O O, A C,

B D, sehingga OA OC dan OB OD . Hal ini berartiOA = OC dan OB = OD.

Diagonal-diagonal dari suatu persegi panjang adalah sama pan-jang dan saling membagi dua sama besar .

Untuk menyelidiki besar sudut pada persegi panjang, baliklahpersegi panjang ABCD menurut garis k, sehingga dapat menempatibingkainya.

C

BA

DCD

A B

D

AB

CCD

A B

k

Gambar 8.24

C

BA

DCD

A B

B

CD

ACD

A B

l

Gambar 8.25

C

BA

D

CD

A B

D

AB

C

CD

A B

k

Gambar 8.26


Berdasarkan Gambar 8.28, kita peroleh bahwa DAB CBA dan ADC BCD. Dengan

demikian, DAB = CBA dan ADC = BCD.Selanjutnya, jika persegi panjang ABCD dibalik menurut garis

l, persegi panjang ABCD akan menempati bingkainya seperti padaGambar 8.29.

Berdasarkan Gambar 8.29, kita peroleh bahwa DAB ADC dan ABC BCD. Dengan demikian, DAB = ADC dan ABC = BCD. Akibatnya, DAB = ADC

= BCD = CBA. Jadi, semua sudut pada persegi panjangadalah sama besar, yaitu 90o.

Setiap sudut persegi panjang adalah sama besar dan merupakansudut siku-siku (90o).

Dari uraian di atas diperoleh sifat-sifat persegi panjang seba-gai berikut.

a. Mempunyai empat sisi, dengan sepasang sisi yang berhadap-an sama panjang dan sejajar.

b. Keempat sudutnya sama besar dan merupakan sudut siku-siku (90o).

c. Kedua diagonalnya sama panjang dan berpotongan membagidua sama besar .

d. Dapat menempati bingkainya kembali dengan empat cara.

C

BA

DCD

A B

D

AB

CCD

A B

k

Gambar 8.28

C

BA

DCD

A B

B

CD

ACD

A B

l

Gambar 8.29

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.Pada gambar di atas, KLMN adalahsebuah persegi p anjang dan O adalahtitik potong kedua diagonalnya. Jika pan-jang KO = 5 cm, tentukana. panjang MO;b. panjang NO;c. panjang LO;d. panjang KM;e. panjang LN.

1. Gambarlah persegi panjang PQRS de-ngan diagonal PR dan QS. Kemudian,sebutkana. dua pasang sisi yang sama panjang;b. dua pasang sisi yang sejajar;c. lima pasang garis yang sama pan-

jang.2.

K L

MN

O


a. Tentukan besar ADO dan BAO.

b. Tentukan sudut-sudut lain yang samabesar dengan ADO.

c. Tentukan sudut-sudut lain yang samabesar dengan BAO.

3. Perhatikan persegi panjang ABCD padagambar berikut.

A B

CD

O

55o

d. Keliling dan luas persegi panjangPerhatikan Gambar 8.30.Gambar di samping menunjukkan persegi panjang KLMN

dengan sisi-sisinya KL, LM, MN, dan KN.Keliling suatu bangun datar adalah jumlah semua panjang

sisi-sisinya.Tampak bahwa panjang KL = NM = 5 satuan panjang dan

panjang LM = KN = 3 satuan panjang.Keliling KLMN = KL + LM + MN + NK

= (5 + 3 + 5 + 3) satuan panjang= 16 satuan panjang

Selanjutnya, garis KL disebut panjang (p) dan KN disebutlebar (l).

Secara umum dapat disimpulkan bahwa keliling persegi pan-jang dengan panjang p dan lebar l adalah

K = 2(p + l) atau K = 2p + 2l.

Untuk menentukan luas persegi panjang, perhatikan kembaliGambar 8.30. Luas persegi panjang adalah luas daerah yangdibatasi oleh sisi-sisinya.Luas persegi panjang KLMN = KL LM

= (5 3) satuan luas= 15 satuan luas

Jadi, luas persegi panjang dengan panjang p dan lebar l adalah

L = p l = pl.

K L

MN

Gambar 8.30


Hitunglah keliling dan luaspersegi panjang yangberukuran panjang 12 cmdan lebar 8 cm.

Penyelesaian:Panjang (p) = 12 cm,lebar (l) = 8 cm.Keliling (K) = 2(p + l)

= 2(12 + 8)= 2 20= 40

Luas (L) = p l= 12 8= 96

Jadi, keliling persegi panjang tersebut 40 cm dan luasnya96 cm2.

8 cm

12 cm

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.Hitunglah keliling dan luasnya.

4. Sebuah persegi panjang berukuranpanjang = (3 x + 4) cm dan lebar =(x + 6) cm. Jika luas persegi panjang392 cm2, tentukan panjang dan lebarnya.

5. Keliling suatu persegi panjang adalah72 cm dan lebarnya 8 cm kurang daripanjangnya. Hitunglah panjang danlebarnya.

6. Halaman r umah b erbentuk p ersegipanjang berukuran panjang 90 meter danlebar 65 meter. Di sekeliling halaman itu,akan dipasang pagar dengan biayaRp135.000,00 p er m eter. B erapakahbiaya yang diperlukan untuk pemasanganpagar tersebut?

1. Hitunglah keliling dan luas persegipanjang dengan ukuran sebagai berikut.a. panjang = 18 cm dan lebar = 12 cm;b. panjang = 25 cm dan lebar = 16 cm;c. panjang = 30 cm dan lebar 15 cm.

2. Seorang petani mempunyai sebidangtanah yang luasnya 432 m 2. Jika tanahtersebut berukuran panjang 24 m,tentukana. lebar tanah tersebut,b. harga tanah seluruhnya apabila akan

dijual seharga Rp150.000,00 per m2.3. Perhatikan gambar berikut.

5 cm

8 cm

12 c

m

18 c

m

5 cm


2. Persegia. Pengertian persegi

Kalian tentu pernah melihat bentuk-bentuk seperti papancatur, sapu tangan, atau ubin (lantai). Berbentuk apakah bangun-bangun tersebut? Bagaimana sisi-sisi bangun tersebut?

Bangun-bangun yang disebutkan di atas adalah bangun yangberbentuk persegi.

Perhatikan Gambar 8.32.Gambar 8.32 adalah sebuah persegi ABCD. Bagaimana pan-

jang setiap sisi dan besar setiap sudut persegi tersebut?Jika kalian mengamatinya dengan tepat, kalian akan mem-

peroleh bahwa(i) sisi-sisi persegi ABCD sama panjang, yaitu AB = BC = CD =

AD;

(ii) sudut-sudut persegi ABCD sama besar, yaitu ABC = BCD = CDA = DAB = 90 o.

Dari u raian t ersebut d apat k ita k atakan b ahwa p ersegimerupakan persegi panjang dengan sifat khusus , yaitu keempatsisinya sama panjang .

Persegi adalah bangun segi empat yang memiliki empat sisisama panjang dan empat sudut siku-siku.

b. Menempatkan persegi pada bingkainyaCoba kalian ingat kembali cara menempatkan persegi panjang

pada bingkainya. Dengan cara yang sama seperti pembahasanpada persegi panjang, coba tentukan dengan berapa cara persegidapat menempati bingkainya dengan tepat. Diskusikan hal inidengan temanmu. Jika hasil diskusimu tepat, pasti kalian dapatmenunjukkan bahwa persegi dapat menempati bingkainya dengandelapan cara.

c. Sifat-sifat persegiDapatkah kalian menunjukkan sifat-sifat persegi panjang yang

dimiliki oleh persegi?Pada pembahasan sebelumnya, telah disinggung bahwa

persegi merupakan persegi panjang dengan bentuk khusus, yaitusemua sisinya sama panjang. Oleh karena itu, semua sifat persegipanjang juga merupakan sifat persegi. Coba diskusikan bersamatemanmu sifat persegi berikut.

Semua sisi persegi adalah sama panjang.

A B

CD

Gambar 8.32

Gambar 8.31


Sekarang, perhatikan Gambar 8.33. Apa yang terjadi jika

persegi ABCD dibalik menurut diagonal BD ?

A B

CD

A B

CD

A B

CD

C B

AD

Gambar 8.33

Berdasarkan Gambar 8.33, kita peroleh bahwa ABD CBD, sehingga ABD = CBD dan ADB

CDB, sehingga ADB = CDB. Hal ini menunjukkan bahwa

diagonal BD membagi dua sama besar ABC dan ADC.Dengan cara yang sama, pasti kalian dapat membuktikan bahwa

diagonal AC membagi dua sama besar DAB dan BCD.

Sudut-sudut suatu persegi dibagi dua sama besar oleh diagonal-diagonalnya.

Perhatikan Gambar 8.34.Gambar tersebut menunjukkan bangun persegi dengan di-

agonal AC dan BD yang berpotongan di titik O. Kita akanmenunjukkan bahwa diagonal AC dan BD saling berpotongan tegaklurus membentuk sudut siku-siku.

A B

CD

A B

CD

A B

CD

D A

BC

O O

Gambar 8.34

Dengan pusat titik O, putarlah persegi ABCD seperempatputaran b erlawanan a rah j arum j am. K amu a kan m emperolehbahwa

(i) AOB BOC, sehingga AOB = BOC;(ii) BOC COD, sehingga BOC = COD;(iii) COD AOD, sehingga COD = AOD;(iv) AOD AOB, sehingga AOD = AOB.


P Q

RS

O

Karena persegi ABCD dapat tepat menempati b ingkainyakembali, maka dikatakan bahwa AOB = AOD = COD =

BOC. Telah kalian pelajari di bagian depan bahwa sudut satuputaran penuh = 360o.

Akibatnya, AOB = AOD = COD = BOC = o360

4= 90o.

Diagonal-diagonal persegi saling berpotongan sama panjangmembentuk sudut siku-siku.

Berdasarkan uraian di atas dapat disimpulkan sifat-sifatpersegi sebagai berikut.(i) Semua sifat persegi panjang merupakan sifat persegi.(ii) Suatu persegi dapat menempati bingkainya dengan delapan

cara.(iii) Semua sisi persegi adalah sama panjang.(iv) Sudut-sudut suatu persegi dibagi dua sama besar oleh diago-

nal-diagonalnya.(v) Diagonal-diagonal persegi saling berpotongan sama panjang

membentuk sudut siku-siku.


2. Pada persegi PQRSdi samping, sebutkana. tiga rua s garis

yang sama pan-jang dengan PQ;

b. tiga ruas garis yang sama panjangdengan OQ;

c. delapan sudut yang sama besar.3. Pada persegi EFGH diketahui panjang

diagonal EG = (3x – 4) cm danFH = 20 cm. Tentukan nilai x dan pan-jang diagonalnya.

1. Pada persegi KLMN berikut, diketahuipanjang KM = 10 cm.

K L

MN

O

Tentukana. panjang KO;b. panjang LN;c. panjang NO;d. panjang LO.


4. Perhatikan persegiKLMN pada gambardi samping.

a. Tentukan besar KOL dan LMO.

b. Tentukan sudut-sudut lain yang samabesar dengan LMO.

c. Tentukan panjang KL, LM, PO, NP,dan LQ.

5. Diketahui koordinat titik P (–4, 1) danS (–4, 5).a. Gambarlah persegi PQRS jika kedua

titik sudut yang lain terletak padasumbu koordinat.

b. Tentukan koordinat titik Q dan R.c. Tentukan panjang sisi persegi terse-

but.d. Jika titik potong kedua diagonalnya

adalah titik O, tentukan koordinat titikO.

K L

MN

O

Q

P

9 cm

d. Keliling dan luas persegiPerhatikan Gambar 8.35.Gambar di samping menunjukkan bangun persegi KLMN

dengan panjang sisi = KL = 4 satuan.Keliling KLMN = KL + LM + MN + NK

= (4 + 4 + 4 + 4) satuan= 16 satuan panjang

Selanjutnya, panjang KL = LM = MN = NK disebut sisi (s).Jadi, secara umum keliling persegi dengan panjang sisi s adalah

K = 4s

Luas persegi KLMN = KL LM= (4 4) satuan luas= 16 satuan luas

Jadi, luas persegi dengan panjang sisi s adalah L = s s= s2.

K L

MN

Gambar 8.35

1. Hitunglah keliling se-buah persegi yangpanjang sisinya 5 cm.

Penyelesaian:sisi (s) = 5 cmKeliling (K) = 4 sisi

= 4 5 cm= 20 cm

Jadi, keliling persegi 20 cm.


2. Jika diketahui kelilingsuatu persegi 48 cm,tentukan luasnya.

Penyelesaian:Keliling (K) = 48 cm K = 4 s 4 8 = 4s

s =484

s = 12 cmLuas = s s

= 12 12 = 144Jadi, luas persegi 144 cm2.

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.Tentukan banyaknya ubin yang diperlukanuntuk menutup lantai.

4. Perhatikan gam-bar di samping.Hitunglah kelilingdan luas bangunyang diarsir.

5. Sebuah taman berbentuk persegi. Disekeliling taman itu ditanami pohon pinusdengan jarak antarpohon 3 m. Panjangsisi taman itu adalah 65 m. Berapakahbanyak pohon pinus yang dibutuhkan?

1. Diketahui keliling suatu persegi sebagaiberikut.a. K = 52 cmb. K = 60 mc. K = 128 cmTentukan ukuran sisi persegi dan luasnya.

2. Diketahui luas persegi sama dengan luaspersegi panjang dengan panjang = 16 cmdan lebar = 4 cm. T entukan kelilingpersegi tersebut.

3. Sebuah lantai berbentuk persegi denganpanjang sisinya 6 m. Lantai tersebutakan dipasang ubin berbentuk persegiberukuran 30 cm 30 cm.

8 cm

8 cm

3. Jajargenjanga. Pengertian jajar genjang

Agar kalian memahami pengertian jajargenjang, lakukanlahkegiatan berikut ini.

Buatlah sebarang segitiga, misalnya ABD. Tentukan titiktengah salah satu sisi segitiga tersebut, misalnya titik tengah sisiBD dan beri nama titik O. Kemudian, pada titik yang ditentukan


(titik O) putarlah ABD sebesar 12

putaran (180 o), sehingga

terbentuk bangun ABCD seperti Gambar 8.36 (ii). Bangun segitigaBCD merupakan bayangan dari segitiga ABD. Bangun segitigadan bayangannya yang terbentuk itulah yang dinamakan bangunjajargenjang.

Jajargenjang adalah bangun segi empat yang dibentuk darisebuah segitiga dan bayangannya yang diputar setengah putaran(180o) pada titik tengah salah satu sisinya.

b. Sifat-sifat jajar genjangPerhatikan Gambar 8.37.Pada gambar tersebut menunjukkan jajar genjang ABCD.

Putarlah ABD setengah putaran (180o) pada titik O, sehinggadiperoleh AB DC dan AD BC.Akibatnya, AB = DC dan AD = BC.

Pada setiap jajargenjang sisi-sisi yang berhadapan samapanjang dan sejajar.

Pada Gambar 8.37, perhatikan sudut-sudutnya.Jika jajargenjang diputar setengah putaran (180 o) maka

diperoleh A C, ABD BDC, dan ADB CBD.

Akibatnya A = C, ABD = BDC, dan ADB = CBD, sedemikian sehingga A = C, B = ABD + CBD, dan D = ADB + BDC.

Pada setiap jajargenjang sudut-sudut yang berhadapan samabesar.

Selanjutnya, perhatikan Gambar 8.38.Pada jajargenjang ABCD tersebut AB // DC dan AD // BC.

Ingat kembali materi terdahulu mengenai garis dan sudut.Berdasarkan sifat-sifat garis sejajar, karena AB // DC, maka

diperoleh

– A dalam sepihak dengan D, maka A + D = 180o.– B dalam sepihak dengan C, maka B + C = 180o.Demikian juga karena AD // BC, maka diperoleh

– A dalam sepihak dengan B, maka A + B = 180o.– D dalam sepihak dengan C, maka C + D = 180o.

Gambarlah sebuahjajargenjang PQRSdengan diagonal PRdan QS berpotongan dititik O. Kemudian padagaris diagonal PR,tentukan titik K dan Lsedemikian sehinggaPK = LR.Tunjukkan bahwa KQ //SL dan KS // QL.

A B

CD

OB

CD

A

A B

CD

D

AB

C

O

Gambar 8.37

Gambar 8.36

B

A B

D

O

(i)

(ii)

A

C

D

O

A B

CD

Gambar 8.38


Hal tersebut dapat dituliskan sebagai berikut.

A + D = A + B = 180o

C + B = C + D = 180o

Dari uraian di atas, dapat disimpulkan sebagai berikut.

Pada setiap jajargenjang jumlah pasangan sudut yang salingberdekatan adalah 180o.

Sekarang, perhatikan Gambar 8.39 di samping.

Pada gambar di samping, jika ABD diputar setengahputaran (180 o) pada titik O, akan diperoleh OA OC danOB OD.Hal ini menunjukkan bahwa OA = OC dan OB = OD.Padahal OA + OC = AC dan OB + OD = BD.Jadi, dapat disimpulkan sebagai berikut.

Pada setiap jajargenjang kedua diagonalnya saling membagi duasama panjang.

Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan sifat-sifatjajargenjang sebagai berikut.(i) Sisi-sisi yang berhadapan pada setiap jajargenjang sama

panjang dan sejajar.(ii) Sudut-sudut yang berhadapan pada setiap jajargenjang sama

besar.(iii) Jumlah pasangan sudut yang s aling berdekatan pada setiap

jajargenjang adalah 180o.(iv) Pada setiap jajargenjang kedua diagonalnya saling membagi

dua sama panjang.

A B

CD

O

Gambar 8.39

(Berpikir kritis)Buatlah sebuah bangun jajargenjang dari kertas karton.Tunjukkan berlakunya sifat-sifat jajargenjang pada kesimpulan diatas.Lakukan hal ini di depan kelas.


Pada jajargenjang KLMNdi atas, diagonal-diagonal-nya berpotongan di titik P.Jika diketahui panjangKL = 10 cm, LM = 8 cm,dan KLM = 112o, tentu-kana. panjang MN;b. panjang KN;c. besar KNM;d. besar LKN.

Penyelesaian:KL = 10 cm, LM = 8 cm, dan KLM = 112o.a. MN = KL

= 10 cmb. KN = LM

= 8 cm

c. KNM = KLM (sudut yang berhadapan)= 112o

d. LKN + KNM = 180o (sudut yang berdekatan) LKN + 112o = 180o

LKN = 180o – 112o = 68o

K L

MN

Gambar 8.41

A

D

BE

C

(i)

K L

MN

8cm

10 cm

P

Gambar 8.40

c. Keliling dan luas jajar genjang1) Keliling jajargenjang

Telah kalian ketahui bahwa keliling bangun datar meru-pakan jumlah panjang sisi-sisinya. Hal ini juga berlaku padajajargenjang.Pada gambar di samping,keliling jajargenjang KLMN = KL + LM + MN + KN

= KL + LM + KL + LM= 2(KL + LM)

2) Luas jajargenjangAgar kalian dapat memahami konsep luas jajargenjang,

lakukan kegiatan berikut ini. (i) Buatlah jajargenjang ABCD, kemudian buatlah garis dari

titik D yang memotong tegak lurus (90o) garis AB di titikE.

(ii) Potonglah jajargenjang ABCD menurut garis DE, sehinggamenghasilkan dua bangun, yaitu bangun segitiga AED danbangun segi empat EBCD.


Penyelesaian:Alas (a) = 14 cm dantinggi (t) = 9 cm.Luas jajargenjang = a t

= 14 9= 126

Jadi, luas jajargenjang tersebut 126 cm2.

(iii) Gabungkan/tempelkan bangun AED sedemikian sehinggasisi BC berimpit dengan sisi AD (Gambar 8.42 (iii)).Terbentuklah bangun baru yang berbentuk persegi panjangdengan panjang CD dan lebar DE.Luas ABCD = panjang lebar

= CD DEDari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa jajargen-

jang yang mempunyai alas a dan tinggi t, luasnya (L) adalah

L = alas tinggi= a t

Catatan:Alas jajargenjang merupakan salah satu sisi jajargenjang, sedangkantinggi jajargenjang tegak lurus dengan alas.

9 cm

14 cm

Gambar 8.43

A/B

D

E

C/D

A

D

E

BE

C

(ii)

(iii)

Gambar 8.42

Hitunglah luas jajargen-jang yang mempunyai alas14 cm dan tinggi 9 cm.

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.e. Dapat menempati bingkainya kem-

bali setelah diputar setengah putarandengan pusat titik potong kedua dia-gonalnya.

2. Pada jajargenjang ABCD diketahuiAB = 8 cm, BC = 5 cm, dan A = 60o.a. Gambarlah sketsa dari jajargenjang

ABCD.b. Tentukan panjang sisi-sisi yang lain.c. Tentukan besar sudut-sudut yang

lain.

1. Pada setiap jajargenjang, tentukan kali-mat-kalimat berikut benar atau salah.a. Sisi-sisi yang berhadapan sama pan-

jang.b. Besar sudut-sudut yang berhadapan

adalah 90o.c. Jumlah semua sudutnya adalah 180o.d. Kedua diagonalnya saling membagi

dua sama panjang.


T

U

V

W

9 cm 13 c

m

(iii)


K P L

MN

16cm

28 cm

18 cmQ

a. Tentukan keliling jajar genjangKLMN.

b. Hitunglah luas jajargenjang KLMN.c. Tentukan panjang NP.

6. Pada sebuah jajargenjang diketahui luas-nya 250 cm2. Jika panjang alas jajargen-jang tersebut 5x dan tingginya 2x, tentukana. nilai x;b. panjang alas dan tinggi jajargenjang

tersebut.

3.

P Q

RS

T

40o

35 o

a cm

b cm

Pada jajargenjang PQRS di atas, dike-tahui kedua diagonalnya berpotongan dititik T. Jika RT = a cm, QT = b cm,

PQT = 40 o, dan RQT = 35o,tentukana. panjang PT dan ST;b. besar PSQ, RSQ, dan S.

4. Tentukan luas dari masing-masing jajar-genjang pada gambar berikut.

A B

CD

9 cm

12 cm(i) (ii)

P

Q

R

S

5 cm 6 cm

11 cm

4. Belah KetupatDi bagian depan telah kalian pelajari bahwa persegi panjang

yang keempat sisinya sama panjang disebut persegi. Bagaimanakahjika sebuah jajargenjang sisi-sisinya sama panjang?

Pada Gambar 8.44 di bawah, segitiga ABC sama kaki denganAB = BC dan O titik tengah sisi AC. Jika ABC diputar setengahputaran (180 o) dengan pusat titik O, akan terbentuk bayangan

ABC, yaitu BCD. Bangun ABCD disebut bangun belahketupat.

// ////

// //

A

B C

D

O

A B

C

O

//

Gambar 8.44

Sebuah ruangan yangberukuran 9 m 12 makan ditutup denganubin berbentuk belahketupat dengan pan-jang sisinya masing-masing 50 cm.Dapatkah kalian mem-buat pola pengubinanpada lantai tersebut?Cobalah denganmenggunakan skala1 : 50. Berapakahbanyaknya ubin yangdiperlukan seluruhnyauntuk menutup lantaitersebut? Bandingkanhasilnya dengantemanmu yang lain.


Belah ketupat adalah bangun segi empat yang dibentuk darigabungan s egitiga s ama k aki d an b ayangannya s etelahdicerminkan terhadap alasnya.

a. Sifat-sifat belah ketupatPerhatikan Gambar 8.45.Belah ketupat pada Gambar 8.45 di samping dibentuk dari

segitiga sama kaki ABD dan bayangannya setelah dicerminkanterhadap alasnya.

Dari pencerminan tersebut AB akan menempati BC dan

AD akan menempati DC , sehingga AB = BC dan AD = DC.Karena ABD sama kaki maka AB = AD. Akibatnya AB = BC= AD = DC.Dengan demikian diperoleh sifat sebagai berikut.

Semua sisi belah ketupat sama panjang.

Selanjutnya, perhatikan diagonal AC dan BD pada belahketupat ABCD. Jika belah ketupat ABCD tersebut dilipat menurutruas garis AC, ABC dan ADC dapat saling menutupi secara

tepat ( berimpit). O leh k arena i tu, AC adalah sumbu simetri,sedemikian sehingga sisi-sisi yang bersesuaian pada ABC dan

ADC sama panjang. Demikian halnya, jika belah ketupat ABCDdilipat menurut ruas garis BD. Segitiga ABD dan segitiga BCD

akan saling berimpitan. Dalam hal ini, BD adalah sumbu simetri.

Padahal, AC dan BD adalah d iagonal-diagonal belah ketupatABCD. Dengan demikian, diperoleh sifat sebagai berikut.

Kedua diagonal pada belah ketupat merupakan sumbu simetri.

Perhatikan kembali Gambar 8.45.Putarlah belah ketupat ABCD sebesar setengah putaran

dengan pusat titik O, sehingga OA OC dan OB OD.Oleh karena itu, OA = OC dan OB = OD. Akibatnya,

AOB = COB dan AOD = COD, sedemikian sehingga AOB + BOC = 180o (berpelurus) AOB + AOB = 180o

2 AOB = 180o

AOB = 90o

Jadi, AOB = BOC = 90o.

A B

CD

O

Gambar 8.45


Kedua diagonal belah ketupat saling membagi dua sama panjangdan saling berpotongan tegak lurus.

Perhatikan kembali belah ketupat ABCD dengan diagonalAC dan BD seperti tampak pada Gambar 8.46.

Apabila belah ketupat ABCD berturut-turut dilipat menurutgaris diagonalnya, maka akan terbentuk bangun segitiga yang salingmenutup (berimpit). Hal ini berarti A = C dan B = D.Akibatnya

ACD = ACB

CAD = CAB

BDC = BDA

DBC = DBADengan demikian dapat dikatakan sebagai berikut.

Pada setiap belah ketupat sudut-sudut yang berhadapan samabesar dan dibagi dua sama besar oleh diagonal-diagonalnya.

Berdasarkan uraian di atas dapat disimpulkan sifat-sifat belahketupat sebagai berikut.(i) Semua sisi pada belah ketupat sama panjang.(ii) Kedua diagonal pada belah ketupat merupakan sumbu simetri.(iii) Kedua d iagonal b elah k etupat s aling m embagi d ua s ama

panjang dan saling berpotongan tegak lurus.(iv) Pada setiap belah ketupat sudut-sudut yang berhadapan sama

besar dan dibagi dua sama besar oleh diagonal-diagonalnya.

b. Keliling dan luas belah ketupatJika belah ketupat mempunyai panjang sisi s maka keliling

belah ketupat adalahK = AB + BC + CD + DAK = s + s + s + s

= 4 sPerhatikan kembali Gambar 8.47.

Pada gambar di samping menunjukkan belah ketupat ABCDdengan diagonal-diagonal AC dan BD berpotongan di titik O.

A B

CD

O

Gambar 8.46

A

B

C

D

O

s

Gambar 8.47

(Berpikir kritis)Diskusikan dengantemanmu.Tunjukkan bahwabangun belah ketupatdapat menempatibingkainya denganempat cara.


Luas belah ketupat ABCD = Luas ABC + Luas ADC

=12

AC OB + 12

AC OD

=12

AC (OB + OD)

=12

AC BD

=12 diagonal diagonal

Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.Luas belah ketupat dengan diagonal-diagonalnya d1 dan d2 adalah

L = 12 d1 d2

Sebuah belah ketupat dike-tahui luasnya 180 cm2. Jikapanjang salah satu diago-nalnya 24 cm, tentukanpanjang diagonal yang lain.

Penyelesaian:

L = 12

d1 d2

180 = 12

24 d2

180 = 12d2

d2 =18012

= 15

Jadi, panjang diagonal belah ketupat yang lain adalah15 cm.

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.2. Diketahui PQRS adalah belah ketupat

dengan P (–4, –2 ), Q (0, – 5), d anR (4, –2). Tentukan koordinat titik S dankoordinat titik potong kedua diagonalPQRS.

1. a. Gambarlah belah ketupat ABCD de-ngan kedua diagonalnya berpotongandi titik E.

b. Jika AE = 12 cm, BE = 9 cm, dan BAD = 50o, hitunglah panjang

semua ruas dan besar semua sudutyang lain.


a. Tentukan panjang KO.b. Tentukan panjang LO.c. Hitunglah panjang setiap sisinya.

5. Hitunglah luas belah ketupat yang pan-jang diagonal-diagonalnya sebagai berikut.a. 5 cm dan 8 cmb. 10 cm dan 12 cmc. 8 cm dan 15 cmd. 24 cm dan 32 cm

6. Diketahui ABCD adalah b elah ketupatdengan A ( –4, – 1), B ( –1, – 5), d anC (2, –1).a. Tentukan koordinat titik D.b. Hitunglah keliling dan luas belah

ketupat ABCD.7. Panjang diagonal-diagonal suatu belah

ketupat diketahui berturut-turut 18 cmdan (2x + 3) cm. Jika luas belah ketupattersebut 81 cm, tentukana. nilai x;b. panjang diagonal yang kedua.

3. Nyatakan benar atau salah pernyataanberikut, berkaitan dengan belah ketupat.a. Keempat sisinya sama panjang.b. Kedua diagonalnya sama panjang.c. Sudut-sudut yang berdekatan sama

besar.d. Kedua diagonalnya merupakan sum-

bu simetri.e. Dapat menempati bingkainya dengan

dua cara.4. Perhatikan gambar berikut.

K

L

M

N

O

KLMN adalah belah ketupat denganpanjang KM = 24 cm dan LN = 32 cm.

5. Layang-Layanga. Pengertian l ayang-layang

Kalian tentunya pernah melihat atau bermain layang-layang.Dapatkah kalian menggambarkan bentuknya? Bentuk-bentukseperti itulah yang dinamakan bangun layang-layang.Untuk mempelajari layang-layang, lakukan kegiatan berikut.

(i) Buatlah ABD sama kaki dengan AB = AD.

(ii) Buatlah CEF dengan CE = CF dan panjang EF = BD.(iii) Impitkan alas kedua segitiga tersebut, sehingga terbentuk

bangun ABCD.Bangun ABCD disebut bangun layang-layang.

Layang-layang adalah segi empat yang dibentuk dari gabungandua buah segitiga sama kaki yang alasnya sama panjang danberimpit.

A

B

C

D E F(i) (ii)

(iii)

A

B D

C

Gambar 8.48


b. Sifat-sifat layang-layangPerhatikan Gambar 8.49.Pada gambar di samping menunjukkan layang-layang ABCD.

Baliklah layang-layang ABCD menurut garis BD, sehinggadiperoleh AD CD dan AB BC. Hal ini berarti AD = CDdan AB = BC.Dengan demikian dapat disimpulkan sebagai berikut.

Pada setiap layang-layang, masing-masing sepasang sisinyasama panjang.

Perhatikan sudut-sudut pada layang-layang ABCD padaGambar 8.49.

Pada layang-layang ABCD tersebut, apabila dibalik menurutgaris BD akan diperoleh DAB DCB. Hal ini berartibahwa DAB = DCB.

Pada setiap layang-layang, terdapat sepasang sudut berhadapanyang sama besar.

Sekarang perhatikan Gambar 8.50.Apabila layang-layang ABCD dilipat menurut garis BD maka

AD akan menempati CD dan AB a kan m enempati BC ,sedemikian sehingga AD = CD dan AB = BC. Dengan kata lain,

ABD akan tepat berimpit dengan BCD. Dalam hal ini dapatdikatakan bahwa BD merupakan sumbu simetri. Perhatikan bahwaBD adalah salah satu diagonal layang-layang ABCD.

Menurutmu, apakah AC merupakan sumbu simetri padalayang-layang ABCD?

Salah satu diagonal layang-layang merupakan sumbu simetri.

Dengan melipat layang-layang ABCD menurut BD maka(i) A C, O O, dan OA OC, sehingga OA = OC =

1 AC;2

(ii) AOD COD, sehingga AOD = COD =o

o180 90 ;2 AOB BOC, sehingga AOB = BOC =

oo180 90 .

2

A

B

C

D

O

Gambar 8.49

Gambarlah sebuahlayang-layang dari duasegitiga sama kakiPQS dan RQS. Kemu-dian tunjukkan bahwajumlah besar semuasudut layang-layangadalah 360o. Apa yangdapat kalian simpul-kan?

A

B

C

D

O

x

y

x

y

Gambar 8.50


Berdasarkan (i) dan (ii) dapat dikatakan bahwa BD tegak

lurus AC dan OA = OC.

Salah satu diagonal layang-layang membagi diagonal lainnyamenjadi dua bagian sama panjang dan kedua diagonal itu salingtegak lurus.

Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan sifat layang-layang sebagai berikut.(i) Masing-masing sepasang sisinya sama panjang.(ii) Sepasang sudut yang berhadapan sama besar .(iii) Salah satu diagonalnya merupakan sumbu simetri.(iv) Salah satu diagonal layang-layang membagi diagonal lainnya

menjadi dua bagian sama panjang dan kedua diagonal itu salingtegak lurus.

c. Keliling dan luas layang-layangKeliling layang-layang ABCD pada Gambar 8.51 sebagai

berikut.Keliling (K) = AB + BC + CD + DA

= x + x + y + y= 2x + 2y= 2(x + y)

Layang-layang ABCD pada gambar di samping dibentuk daridua segitiga sama kaki ABC dan ADC.Luas layang-layang ABCD = luas ABC + luas ADC

=12

AC OB + 12

AC OD

=12

AC (OB + OD)

= 12

AC BD

Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut.Keliling (K) dan luas (L) layang-layang dengan panjang sisi

pendek y dan panj ang sisi panjang x serta diagonalnya masing-masing d1 dan d2 adalah

K = 2(x + y)

L = 12

d1 d2

A

B

C

D

O

x

y

x

y

Gambar 8.51

(Menumbuhkan krea-tivitas)Buatlah sebuahlayang-layang dengankerangka dari bilahbambu. Tunjukkanberlakunya sifat-sifatlayang-layang sepertiuraian di samping.Ukurlah panjangmasing-masingdiagonalnya.Kemudian, tentukankeliling dan luas la-yang-layang tersebut.Susunlah hasilnyadalam bentuk laporandan kumpulkankepada gurumu.


K

L

M

N

O16 cm 24 cm

12 cm

Gambar 8.52

Diketahui layang-layangKLMN dengan panjangKO = 16 cm, LO = 12 cm,dan MO = 24 cm sepertitampak pada Gambar 8.52.a. Tentukan panjang KL.b. Tentukan panjang MN.c. Hitunglah keliling

KLMN.d. Hitunglah luas

KLMN.

Penyelesaian:a. KL2 = KO2 + LO 2

= 162 + 122

= 256 + 144= 400

KL = 400 20 cmb. MN2 = NO2 + MO 2

= 122 + 242

= 144 + 576 = 720

MN = 720 12 5 cmc. Keliling KLMN = KL + LM + MN + KN

= (20 + 12 5 + 12 5 + 20) cm

= (40 + 24 5 ) cm

d. Luas KLMN

2

1 KM LN21= 40 cm 24 cm2

= 480 cm


2. Hitunglah luas layang-layang yang pan-jang diagonal-diagonalnya sebagaiberikut.a. 8 cm dan 12 cmb. 9 cm dan 16 cmc. 15 cm dan 18 cmd. 13 cm dan 21 cm

1. Perhatikan layang-layang KLMNberikut.

K

L

M

N

O

Pada gambar di atas diketahui besar LKO = 35o dan MLN = 65o.

Hitunglah besar semua sudut yang lain.


3. PQRS diketahui suatu bangun denganP(–2, 4); Q(2, 1); R(8, 4) ; dan S(2, 7),sedangkan T titik potong kedua diago-nalnya.a. Bangun apakah yang terbentuk apa-

bila PQRS dihubungkan?b. Tentukan koordinat titik T.c. Hitunglah luas bangun PQRS.

d. Jika PQT = 40o dan TSR = 65o, tentukan besar PQR dan QRS.


X

Y

ZV

W

Pada gamb ar di atas di ketahui XZ =9 cm, WZ = 9 cm, dan VZ = 24 cm.Hitunglah luas layang-layang VWXY.

5. Diketahui luas suatu layang-layang ada-lah 192 cm2. Jika diagonal d1 dan d2memiliki perbandingan d1 : d2 = 2 : 3,tentukan panjang diagonal d1 dan d2.

6. TrapesiumPerhatikan Gambar 8.53.

(i) (ii) (iii)

Gambar 8.53

Gambar tersebut adalah berbagai macam bangun trapesium.

Trapesium adalah bangun segi empat yang mempunyai tepatsepasang sisi yang berhadapan sejajar.

a. Jenis-jenis trapesiumSecara umum ada tiga jenis trapesium sebagai berikut.(i) Trapesium sebarang

Trapesium sebarang adalah trapesium yang keempat sisinyatidak sama panjang. Pada gambar di samping, AB // DC, sedangkanmasing-masing sisi yang membentuknya, yaitu AB, BC, CD, danAD tidak sama panjang.

(ii) Trapesium sama kakiTrapesium sama kaki adalah trapesium yang mempunyai

sepasang sisi yang sama panjang, di samping mempunyai sepasangsisi yang sejajar.Pada gambar di samping, AB // DC dan AD = BC.

A B

CD

(i)

(ii)A B

CD


(iii) Trapesium siku-sikuTrapesium siku-siku adalah trapesium yang salah satu

sudutnya merupakan sudut siku-siku (90o).Pada gambar di samping, selain AB // DC, juga tampak bahwa

besar DAB = 90o (siku-siku).

b. Sifat-sifat trapesiumPerhatikan Gambar 8.55.Pada gambar tersebut menunjukkan bangun trapesium

ABCD. Karena AB sejajar DC (AB // DC), maka diperoleh

– DAB dalam sepihak dengan ADC, sehingga DAB + ADC = 180o.

– ABC dalam sepihak dengan BCD, sehingga ABC + BCD = 180o.

Secara umum dapat dikatakan bahwa

jumlah sudut yang berdekatan di antara dua sisi sejajar padatrapesium adalah 180o.

Trapesium sama kaki mempunyai ciri-ciri khusus, yaitu

1) diagonal-diagonalnya sama panjang;2) sudut-sudut alasnya sama besar;3) dapat menempati bingkainya dengan dua cara.

c. Keliling dan luas trapesiumKeliling trapesium ditentukan dengan cara yang sama seperti

menentukan k eliling b angun da tar y ang l ain, y aitu d enganmenjumlahkan panjang sisi-sisi yang membatasi trapesium.

Perhatikan Gambar 8.56.Gambar di samping menunjukkan bahwa trapesium ABCD

dipotong menurut diagonal BD, sehingga tampak bahwa trapesiumABCD dibentuk dari ABD dan BCD yang masing-masingalasnya AD dan BC serta tinggi t (DE).

Luas trapesium ABCD = Luas ABD + Luas BCD

=12

AD FB + 12

BC DE

=12

AD t +12

BC t

= 12

t (AD + BC)

(iii)A B

CD

Gambar 8.54

A

B C

D

E

F

t t

Gambar 8.56

A B

CD

Gambar 8.55

(Berpikir kritis)Diskusikan dengantemanmu.Buktikan ciri-ciri khu-sus yang berlaku padatrapesium sama kakiseperti tercantum disamping.



Luas trapesium =12

jumlah sisi sejajar tinggi

Perhatikan gambar beri-kut.

K L

MN

O 8 cm 2 cm6 cm P

Gambar 8.57

KLMN adalah trapesiumdengan MNOP suatu per-segi dan OP = 8 cm. JikaKO = 6 cm, PL = 2 cm,KN = 10 cm, dan

LM = 2 17 cm, tentukan

a. panjang MN ;b. keliling trapesium

KLMN;c. luas trapesium

KLMN.

Penyelesaian:

a. Panjang MN = OP = 8 cm

b. Alas = KL = KO + OP + PL= 6 cm + 8 cm + 2 cm= 16 cm

Keliling trapesium KLMN adalahK = KL + LM + MN + KN

= 16 cm + 2 17 cm + 8 cm + 10 cm

= (34 + 2 17 ) cmc. Luas trapesium KLMN adalah

2

1L (NM KL) NO21 (8 16) 8296 cm


b.

65o

E

F G

H

1. Tentukan besar semua sudut yang belumdiketahui dari trapesium berikut.

a.

45o

110oA

B C

D


3. Gambarlah trapesium sama kaki PQRSdengan alas PQ dan PQR = 40o.a. Tentukan besar sudut yang lain.b. Sebutkan pasangan sisi yang sama

panjang.

4. Perbandingan panjang sisi sejajar padasebuah trapesium sama kaki adalah2 : 5. Diketahui besar sudut pada salahkaki trapesium adalah 60o, panjang kakitrapesium = 10 cm, tinggi = 8 cm, danluasnya 80 cm2. Tentukana. besar sudut yang belum diketahui;b. panjang sisi-sisi yang sejajar;c. keliling trapesium.


P Q

RS

M N45o

t

45o

Pada gambar di atas diketahui trapesiumPQRS sama kaki dengan PS = QR,PQ = 48 cm, SR = 26 cm, dan

SPM = RQN = 45 o.Tentukana. besar MSP dan RNQ,b. panjang MN,c. panjang PM, QN, dan t,d. luas PQRS.

c.

30o

K

L M

N

d.

P Q

RS

40o 40o

2. Hitunglah keliling dan luas trapesiumberikut.a. 8 cm

10 cm

10 cm

6 cm

b.

14 cm

10 cm

8 cm

c.3 cm

5 cm 4 cm3 cm

4

8 cm

d.

4 cm

12 c

m15

cm

9 cm

F. MELUKIS SEGITIGA

1. Melukis Segitiga Apa bila Diketahui Panjang KetigaSisinya (Sisi, Sisi, Sisi)

Apabila sebuah segitiga diketahui panjang sisi-sisinya, makasegitiga tersebut dapat dilukis dengan menggunakan jangka danpenggaris. Untuk lebih jelasnya pelajari uraian berikut.


Misalkan kita akan melukis ABC jika diketahuiAB = 7 cm, BC = 5 cm, dan AC = 4 cm.Langkah-langkahnya sebagai berikut.1) Buatlah ruas garis AB dengan panjang 7 cm.2) Dengan pusat titik A buatlah busur lingkaran dengan jari-jari

4 cm.3) Kemudian dengan pusat titik B buatlah busur lingkaran dengan

jari-jari 5 cm sehingga memotong busur pertama di titik C.4) Hubungkan titik A dengan titik C dan titik B dengan titik C,

sehingga terbentuk ABC.

Tiga buah garis dapat dibentuk menjadi sebuah segitiga j ikajumlah panjang dua garis lebih panjang daripada panjang garisyang ketiga.

2. Melukis Segitiga jika Diketahui Dua Sisi dan Sudut ApitKedua S isi Tersebut ( Sisi, S udut, S isi)

Misalkan kita akan melukis KLM jika diketahui panjangKL = 3 cm, LKM = 70o, dan panjang KM = 4 cm.Langkah-langkahnya sebagai berikut.1) Buatlah ruas garis KL dengan panjang 3 cm.2) Dengan menggunakan busur derajat, pada titik K buatlah sudut

yang besarnya 70o.3) Kemudian dari titik K buatlah busur lingkaran dengan panjang

jari-jari 4 cm, sehingga berpotongan di titik M.

4) Hubungkan titik L dan M sehingga terlukislah KLM.

3. Melukis Segitiga jika Diketahui Dua Sisi dan Satu Sudutdi Hadapan Salah Satu dari Kedua Sisi Tersebut

Misalkan ki ta akan melukis PQR dengan PQ = 5 cm;PR = 3 cm; dan PQR = 40o.Langkah-langkahnya sebagai berikut.1) Buatlah ruas garis PQ dengan panjang 5 cm.2) Lukislah sudut di titik Q sebesar 40 o dengan menggunakan

busur derajat.3) Dengan titik P sebagai pusat, buatlah busur lingkaran dengan

jari-jari 3 cm, sehingga memotong garis tersebut di titik R1 danR2.

C

A B7 cm

5 cm4 c

m

Gambar 8.58

LK 3 cm70o

4cm

M

Gambar 8.59

QP40o

R1

5 cm

3 cm

3cm R2

Gambar 8.60


4) Hubungkan titik P dengan R1 dan titik P dengan R2, sehinggadiperoleh PQR1 dan PQR2.

Berdasarkan uraian tersebut, dapat kita katakan sebagai berikut.

Jika kita melukis segitiga dimana diketahui dua sisi dan satusudut di hadapan salah satu dari kedua sisi tersebut maka akandiperoleh dua buah kemungkinan lukisan segitiga.

4. Melukis Segitiga jika Diketahui Satu Sisi dan Dua Sudutpada Kedua Ujung Sis i Tersebut (Sudut, Sisi, Sud ut)

Misalkan kita akan melukis RST apabila diketahui panjangRS = 5 cm, TRS = 45o, dan TSR = 65o.Langkah-langkahnya sebagai berikut.1) Buatlah ruas garis RS dengan panjang 5 cm.2) Dari titik R, buatlah sudut yang besarnya 45 o dengan

menggunakan busur derajat.3) Kemudian dari titik S, buatlah sudut yang besarnya 65o sehingga

berpotongan di titik T.

4) RST adalah segitiga yang dimaksud.

Berdasarkan uraian di atas dapat disimpulkan bahwa suatusegitiga dapat dilukis jika diketahui1) panjang ketiga sisinya;2) panjang dua buah sisi dan besar sudut yang mengapit kedua

sisi tersebut;3) panjang dua buah sisi dan besar sudut di hadapan salah satu

sisi tersebut;4) besar dua buah sudut dan panjang sisi di antara sudut

tersebut.

SR45o 65o

T

5 cm

Gambar 8.61

(Berpikir kritis)Diskusikan dengantemanmu.Dapatkah kalian me-lukis sebuah segitigaABC apabila diketahuipanjang AB = 10 cm,

BAC = 115o, dan BC= 8 cm?Cobalah selidiki danberilah alasannya.


c. PQR dengan PQ = QR = PR =8 cm.

2. Lukislah ABC jika diketahuia. AB = 3 cm, BC = 4 cm, dan

AC = 6 cm.

1. Lukislah segitiga-segitiga berikut ini.

a. ABC dengan AB = 6 cm,BC = 8 cm, dan B = 90o.

b. KLM dengan KL = LM = 7 cmdan KM = 5 cm.


c. DE = 7,5 cm, EDF = 105o, danDF = 12 cm.

4. Lukislah XYZ jika diketahui

a. XY = 3 cm, YXZ = 50 o, dan XYZ = 30o.

b. YZ = 8 cm, XYZ = 80 o, dan XZY = 50o.

c. ZY = 15 cm, XZY = 108 o, dan XYZ = 32o.

b. AB = 5 cm, BC = 8 cm, danAC = 10 cm.

c. AB = 9 cm, BC = 15 cm, danAC = 18 cm.

3. Lukislah DEF jika diketahui

a. DE = 5 cm, EDF = 70o, danDF = 4 cm.

b. DE = 6 cm, FDE = 50o, danDF = 5 cm.

G. MELUKIS SEGITIGA SAMA KAKI DANSEGITIGA SAMA SISI

1. Melukis Segitiga Sama KakiTelah kalian pelajari bahwa segitiga sama kaki adalah segitiga

yang mempunyai dua sisi sama panjang. Untuk melukis segitigatersebut, perhatikan contoh berikut.

Misalkan kita akan melukis ABC sama kaki denganAB = 4 cm dan AC = BC = 5 cm.Langkah-langkahnya sebagai berikut.1. Buatlah ruas garis AB yang panjangnya 4 cm.2. Dengan pusat titik A buatlah busur lingkaran dengan jari-jari

5 cm.3. Kemudian dengan jari-jari yang sama, buatlah busur lingkaran

dengan pusat titik B, sehingga berpotongan dengan busurpertama di titik C.

4. Hubungkan titik A dengan titik C dan titik B dengan titik C,sehingga diperoleh ABC yang merupakan segitiga samakaki.

2. Melukis Segitiga Sama SisiAgar kalian memahami cara melukis segitiga sama sisi, per-

hatikan uraian berikut.

Misalkan kita akan melukis ABC sama sisi dengan panjangsetiap sisinya 5 cm.Langkah-langkahnya sebagai berikut.1. Buatlah ruas garis AB dengan panjang 5 cm.

C

A B4 cm

5cm

Gambar 8.62


2. Dengan pusat titik A, buatlah busur lingkaran dengan jari-jari5 cm.

3. Kemudian dengan jari-jari yang sama, buatlah busur lingkarandengan pusat titik B, sehingga memotong busur pertama dititik C.

4. Hubungkan titik A dengan C dan titik B dengan C, sehinggadiperoleh ABC sama sisi dengan AB = BC = AC = 5 cm.

C

A5 cm

B

Gambar 8.63

P Q

R

A

B

P Q

C R

S

Gambar 8.64

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.2. Lukislah PQR sama sisi dengan

a. PQ = 4 cm, QR = 4 cm, PR = 4 cm;b. PQ = 5,5 cm, QR = 5,5 cm,

PR = 5,5 cm;c. PQ = 6 cm, QR = 6 cm, PR = 6 cm;d. PQ = 3,5 cm, QR = 3,5 cm,

PR = 3,5 cm.

1. Lukislah ABC sama kaki dengana. AB = 4 cm, BC = 3 cm, AC = 4 cm;b. AB = 5 cm, BC = 5 cm, AC = 4 cm;c. AB = 3,5 cm, BC = 2 cm,

AC = 3,5 cm;d. AB = 6 cm, BC = 4,5 cm,

AC = 4,5 cm.

H. MELUKIS GARIS-GARIS ISTIMEW A PADASEGITIGA

Pada bagian ini kalian akan mempelajari mengenai caramelukis garis-garis istimewa yang terdapat pada sebuah segitiga.

Ada empat garis istimewa yang terdapat pada suatu segitiga,yaitu garis tinggi, garis bagi, garis sumbu, dan garis berat.

1. Garis TinggiTelah kalian pelajari di bagian depan bahwa garis tinggi

segitiga selalu tegak lurus pada alasnya. Jadi, ada tiga garis tinggipada suatu segitiga.

Garis tinggi segitiga adalah garis yang ditarik dari sebuah titiksudut segitiga tegak lurus sisi di hadapannya.

Misalkan kita akan melukis garis tinggi PQR di titik Q.Langkah-langkahnya sebagai berikut.

a. Lukislah busur lingkaran dari titik Q sehingga memotong PRdi titik A dan B.


b. Dari titik A dan B, masing-masing lukislah busur lingkarandengan jari-jari yang sama sehingga berpotongan di titik C.

c. Hubungkan titik Q dan titik C sehingga memotong PR di titik

S. Garis QS adalah garis tinggi sisi PR.

Peragakanlah langkah-langkah di atas untuk melukis garistinggi sisi PQ dan QR.

Sekarang, perhatikan segitiga sama kaki ABC pada Gambar8.65. Kita akan melukis garis tinggi ABC di titik B.Langkah-langkahnya sebagai berikut.

a. Lukislah busur lingkaran dari titik B sehingga memotong ACdan perpanjangannya di titik P dan Q.

b. Dari titik P dan Q, masing-masing lukislah busur lingkarandengan jari-jari yang sama sehingga berpotongan di titik R.

c.. Hubungkan titik B dan R sehingga memotong AC di titik D.

BD adalah garis tinggi sisi AC.

2. Garis BagiPada bab terdahulu kalian telah mempelajari cara membagi

sudut menjadi dua sama besar. Konsep itu digunakan pada bagianini untuk melukis garis bagi suatu segitiga.

Garis bagi segitiga adalah garis yang ditarik dari titik sudutsegitiga dan membagi sudut menjadi dua sama besar.

Karena ada tiga titik sudut segitiga, maka pada segitiga adatiga garis bagi.

Diketahui KLM siku-siku di K. Langkah-langkah untukmelukis garis bagi L pada KLM sebagai berikut.

a. Lukislah busur lingkaran dari titik L sehingga memotong KL

di titik A dan LM di titik B.b. Dari titik A dan B, masing-masing lukislah busur lingkaran de-

ngan jari-jari yang sama sehingga saling berpotongan di titik C.

c. Hubungkan titik L dan titik C sehingga memotong KM di titik

D. LD adalah garis bagi sudut L.

C

K MD

L

B

A

Gambar 8.66

BAP

Q

D

CR

Gambar 8.65


Sekarang, coba perhatikan langkah-langkah untuk melukisgaris bagi K pada KLM berikut ini.

a. Lukislah busur lingkaran dari titik K sehingga memotong KL

di titik P dan KM di titik Q.b. Dari titik P dan Q, masing-masing lukislah busur lingkaran

dengan jari-jari yang sama sehingga saling berpotongan di titikR.

c. Hubungkan titik K dan R sehingga memotong LM di titik N.

KN adalah garis bagi K.

Dengan cara yang sama, kalian dapat melukis garis bagi M pada KLM. Coba, peragakan hal ini di depan kelas.

3. Garis Sumbu

Garis sumbu suatu segitiga adalah garis yang membagi sisi-sisisegitiga menjadi dua bagian sama panjang dan tegak lurus padasisi-sisi tersebut.

Misalkan diketahui KLM seperti Gambar 8.68.Langkah-langkah melukis garis sumbu sisi LM sebagai berikut.a. Lukislah busur lingkaran dari titik L dengan jari-jari lebih dari

12

LM.

b. Kemudian dengan jari-jari yang sama lukislah busur lingkarandari titik M, sehingga memotong busur pertama di titik P danQ.

c. Hubungkan titik P dan Q, sehingga terbentuk garis PQ. GarisPQ merupakan garis sumbu pada sisi LM.

Sekarang, perhatikan langkah-langkah melukis garis sumbusisi KM pada KLM berikut. Cermati, agar kalian paham caramelukis garis sumbu pada segitiga.Langkah-langkah melukis garis sumbu sisi KM sebagai berikut.a. Lukislah busur lingkaran dari titik K dengan jari-jari lebih dari

12

KM.

b. Kemudian, dengan jari-jari yang sama lukislah busur lingkarandari titik M, sehingga memotong busur pertama di titik A danB.

K L

M

K L

M

Q

P=

=

Gambar 8.68

(a)

(b)

B

A

KL

M

Gambar 8.69

K M

L

Q

N

R

R

Gambar 8.67


c. Hubungkan titik A dan B, sehingga terbentuk garis AB. GarisAB merupakan garis sumbu sisi KM.

Peragakanlah langkah-langkah tersebut untuk melukis garissumbu sisi KL pada KLM.

4. Garis Berat

Garis berat suatu segitiga adalah garis yang ditarik dari titiksudut suatu segitiga dan membagi sisi di hadapannya menjadidua bagian sama panjang.

Misalkan diketahui DEF sebarang seperti pada gambar disamping. Langkah-langkah untuk melukis garis berat F sebagaiberikut.

a. Lukislah garis sumbu pada sisi DE sehingga memotong DE dititik G.

b. Hubungkan titik F dan titik G. Garis FG adalah garis berat F.

Selanjutnya, kita akan melukis garis berat Q pada segitigasebarang PQR berikut.Langkah-langkahnya sebagai berikut.

a. Lukislah garis sumbu pada sisi PR sehingga memotong PR dititik S.

b. Hubungkan titik Q dan titik S. QS adalah garis berat Q.

E

F

GD

Gambar 8.70

R

P

S

KQ

L

Gambar 8.71


1. Dengan menggunakan jangka dan peng-garis, salin dan lukislah garis yang tegaklurus CD melalui titik A berikut.

C

A

D

CA

D

a. b.

C

A

Dc.

2. Gambarlah segitiga tumpul KLM, ke-mudian lukislah ketiga garis tinggi padasegitiga tersebut.


I. MENYELESAIKAN M ASALAH YANGBERKAITAN DENGAN SEGI EMP AT

1. Sebuah halaman ru-mah berbentuk persegipanjang dengan ukur-an panjang 30 meterdan lebar 20 meter. Disekeliling halaman ru-mah tersebut akandipasang pagar denganbiaya pembuatan pa-gar Rp50.000,00 permeter. Tentukan besarbiaya yang diperlukanuntuk membuat pagartersebut.

Penyelesaian:Pembuatan pagar di sekeliling halaman rumah berbentukpersegi panjang sama dengan menentukan keliling halamanrumah.K = 2 (p + l)

= 2 (30 + 20)= 2 50= 100 m

Biaya = 100 Rp50.000,00= Rp5.000.000,00

Jadi, biaya untuk pembuatan pagar tersebutRp5.000.000,00.

2. Made membuat la-yang-layang denganpanjang salah satudiagonalnya 16 cm.Hitunglah panjang di-agonal y ang l ain j ikaluas layang-layangtersebut 192 cm.

Penyelesaian:

1 2

2

2

1Luas layang-layang21192 162192 2

1624

d d

d

d

Jadi, panjang diagonal layang-layang adalah 24 cm.

3. Gambarlah ABC siku-siku di titik Adengan AB = 6 cm dan AC = 5 cm.Kemudian l ukislah k etiga g aris b eratpada ABC tersebut dan tentukan titikperpotongannya.

4. Gambarlah DEF sama kaki denganDE = DF. Lukislah ketiga garis sumbupada segitiga tersebut.

20 m

30 m

Gambar 8.72


Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.b. Jika harga 1 buah genteng

Rp1.500,00, berapakah biaya yangdibutuhkan seluruhnya?

4. Danang akan membuat sebu ah layang-layang. Ia menyediakan dua potong lidiyang digunakan sebagai kerangka de-ngan panjang masing-masing 40 cm dan24 cm. T entukan luas minimal kertasyang dibutuhkan untuk membuat layang-layang tersebut.

5. Diketahui titik O adalah titik potong dia-gonal-diagonal persegi panjang ABCDyang berukuran 8 cm 5 cm. Gam-barlah diagonal BD dan garis PQ yangmemotong sama panjang AB di P danCD di Q. Arsirlah OPB dan OQD.Jika luas seluruh daerah yang diarsirsama d engan s eperlima l uas s eluruhdaerah persegi panjang, hitunglah luasdaerah APO D.

6. Bu Nita memiliki seb idang tanah ber-bentuk trapesium, sepasang sisi yangsejajar masing-masing panjangnya 35 mdan 45 m. Jika jarak kedua sisi sejajaritu 20 m, hitunglah luas tanah Bu Nita.

1. Sebuah lapangan berukuran110 m 90 m. Di tepi lapangan itu dibuatjalan dengan lebar 3 m mengelilingi la-pangan.a. Tentukan luas jalan tersebut.b. Jika jalan tersebut akan dikeraskan

dengan biaya Rp35.000,00 tiap m 2,berapakah biaya seluruh pengerasanjalan itu?

2. Seorang petani mempunyai sebidangtanah berukuran panjang 24 m dan lebar15 m. Tanah tersebut akan dibuat sebuahkolam berbentuk belah ketupat denganpanjang diagonal-diagonalnya berturut-turut 9 m dan 12 m, sedangkan sisanyaakan ditanami pohon pisang. Berapakahluas tanah yang ditanami pohon pisang?

3. Diketahui bentuk atap sebuah rumah ter-diri atas sepasang trapesium sama kakidan sepasang segitiga sama kaki.Pada atap yang berbentuk trapesiumpanjang sisi sejajarnya masing-masing5 m dan 3 m. Adapun pada atap yangberbentuk segitiga panjang alasnya 7 m.Tinggi trapesium sama dengan tinggisegitiga = 4 m.a. Tentukan banyak genteng yang dibu-

tuhkan untuk menutup atap tersebut,jika tiap 1 m2 diperlukan 25 buah gen-teng.

(Menumbuhkan kreativitas)Amatilah kejadian (peristiwa) di lingkungan sekitarmu. Tuliskan 5masalah yang berkaitan dengan keliling dan luas segi empat,kemudian selesaikanlah. Tuliskan hasilnya dalam bentuk laporandan kumpulkan kepada gurumu.



P Q

RS3yo

(2 + 20)x o ( + 10)x o

Segi empat PQRS adalah bangun datarjajargenjang. Diketahui P = (2x + 20)o,

Q = ( x + 10) o, dan S = 3yo.

1. Segitiga siku-siku dapat dibentuk dari sebuah persegi panjangyang dipotong menurut diagonalnya. Besar salah satu sudutpada segitiga siku-siku adalah 90o.

2. Sifat-sifat segitiga sama kaki: a. dapat dibentuk dari dua buah segitiga siku-siku yang sama

besar dan sebangun; b. mempunyai satu sumbu simetri; c. mempunyai dua buah sisi yang sama panjang; d. mempunyai dua buah sudut yang sama besar; e. dapat menempati bingkainya dengan tepat dalam dua cara.

3. Sifat-sifat segitiga sama sisi: a. mempunyai tiga buah sumbu simetri; b. mempunyai tiga buah sisi yang sama panjang; c. mempunyai tiga buah sudut yang sama besar (60o); d. dapat menempati b ingkainya dengan tepat dalam enam

cara.4. Jumlah ketiga sudut segitiga adalah 180o.5. Ketidaksamaan segitiga

Jumlah dua buah sisi pada segitiga selalu lebih panjang daripadasisi ketiga.

6. Pada setiap segitiga berlaku sudut terbesar terletak berhadapandengan sisi terpanjang, sedangkan sudut terkecil terletakberhadapan dengan sisi terpendek.

7. Besar sudut luar suatu segitiga sama dengan jumlah dua sudutdalam yang tidak berpelurus dengan sudut luar tersebut.

8. Keliling segitiga yang panjang sisinya a, b, dan c adalahK = a + b + c.

Tentukana. nilai x dan y;b. besar R dan S.

8. Sebuah kamar berbentuk persegi denganpanjang sisi 4 m. Kamar itu akan dipa-sang ubin berbentuk persegi dengan luastiap ubin 400 cm2. Tentukan banyak ubinyang diperlukan.


9. Luas segitiga dengan panjang alas a dan tinggi t adalah

1L2

a t .

10. Persegi panjang adalah bangun segi empat dengan panjangsisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar.Keliling dan luas persegi panjang dengan panjang p dan lebarl adalah

K = 2(p l) dan L = p l.11. Persegi adalah bangun segi empat yang memiliki empat sisi

sama panjang dan empat sudut siku-siku.Keliling dan luas persegi dengan panjang sisi s adalah

K = 4s dan L = s2.12. Jajargenjang adalah bangun segi empat yang dibentuk dari

sebuah segitiga dan bayangannya yang diputar setengahputaran (180o) pada titik tengah salah satu sisinya.Keliling dan luas jajargenjang dengan panjang sisi alas a dansisi lainnya b, serta tinggi t dirumuskan dengan

K = 2(a + b) dan L = a t.13. Belah ketupat adalah bangun segi empat yang dibentuk dari

gabungan segitiga sama kaki dan bayangannya setelah dicer-minkan terhadap alasnya.Keliling dan luas belah ketupat dengan panjang sisi s sertadiagonal d1 dan d2 dirumuskan dengan

K = 4s dan 1 21L2

d d .

14. Layang-layang adalah segi empat yang dibentuk dari gabungandua buah segitiga sama kaki yang alasnya sama panjang danberimpit.Keliling dan luas layang-layang dengan sisi pendek a dan sisipanjang b serta diagonal d1 dan d2 adalah

K = 2(a + b) dan 1 21L2

d d .

15. Trapesium adalah bangun segi empat yang mempunyai tepatsepasang sisi yang berhadapan sejajar.Keliling dan luas trapesium dengan panjang sisi sejajar a danb, panjang sisi tidak sejajar c dan d, serta tinggi t adalah

K = a + b + c + d dan 1L ( )2

a b t .


Setelah mempelajari mengenai Segitiga dan Segi Empat ,coba rangkum kembali materi tersebut dengan kata-katamu sendiri.Jika ada materi yang belum kamu pahami, catat dan tanyakanpada gurumu. Berilah contoh masalah beserta penyelesaiannyayang berkaitan dengan segitiga dan segi empat. Buatlah dalamsebuah laporan singkat dan serahkan pada gurumu.


Pada gambar di atas garis AD meru-pakan ....a. garis bagi c. garis beratb. garis tinggi d. garis sumbu

5. Keliling sebuah persegi panjang 240 cm.Jika perbandingan panjang dan lebar-nya 7 : 5, ukuran lebarnya adalah ....a. 50 cm c. 70 cmb. 55 cm d. 75 cm

6. Diketahui suatu persegi dengan sisi(x + 3) cm dan persegi panjang denganpanjang (2 x – 3) cm serta lebar(x + 1) cm. Jika keliling persegi pan-jang = keliling persegi, panjang sisipersegi tersebut adalah ....a. 11 cm c. 9 cmb. 10 cm d. 8 cm

7. Perbandingan panjang sisi-sisi sejajarsuatu trapesium adalah 2 : 3. Jika tinggitrapesium 6 cm dan luasnya 60 cm2,panjang sisi-sisi sejajarnya adalah ....a. 6 cm dan 8 cmb. 8 cm dan 12 cmc. 4 cm dan 6 cmd. 6 cm dan 9 cm

1. Jika suatu segitiga sudut-sudutnya ber-banding 1 : 2 : 3 maka besar sudutterbesarnya adalah ....a. 108o c. 135o

b. 90o d. 120o

2. Pada sebuah segitiga ABC jika besar A = (4x + 10)o, B = (5x – 30)o,

dan C = (6x – 40)o maka sisi yangterpanjang adalah ....a. sisi AB c. sisi BCb. sisi AC d. ketiga sisi

3. 5 cm

3 cm

8 cm

Luas segitiga pada gambar di atasadalah ....a. 12 cm2 c. 5 cm2

b. 7 cm2 d. 11 cm2

4.

A

C

D

=

=

B


10.

12 c

m

3 cm4 cm

Luas layang-layang pada gambar diatas adalah ....a. 40 cm2 c. 48 cm2

b. 52 cm2 d. 60 cm2

8. Keliling belah ketupat diketahui100 cm. Jika panjang salah satu diago-nalnya 14 cm, luas belah ketupat ter-sebut adalah ....a. 336 cm2 c. 84 cm2

b. 168 cm2 d. 48 cm2

9. Pada jajargenjang PQRS diketahui P : Q = 2 : 3. Besar P dan Q berturut-turut adalah ....

a. 72o dan 108o c. 80o dan 120o

b. 72o dan 90o d. 60o dan 120o

B. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan singkat dan tepat.1. Perhatikan gambar berikut.

D A B

C

E

Diketahui ABC tumpul di titik Adengan AB = 11 cm, BC = 20 cm, AC= 13 cm, dan CD = 12 cm.Hitunglaha. luas ABC;b. panjang garis tinggi AE.

2. Diketahui PQR dengan titikP(–1, 2), Q(2, –2), dan R(–4, –2).Dari titik P ditarik garis tinggi PT.a. Gambarlah segitiga PQR tersebut

pada bidang Cartesius.b. Tentukan koordinat titik T.c. Tentukan luas segitiga PQR.

3. Lantai sebuah rumah berukuran pan-jang 8 m dan lebar 6 m. Lantai itu akanditutup dengan ubin berukuran(20 cm 20) cm.a. Hitunglah banyak ubin yang diperlu-

kan untuk menutup lantai tersebut.b. Jika harga ubin Rp5.500,00 per

buah, hitunglah biaya yang diper-lukan untuk pembelian ubin ter-sebut.

4. Sebuah halaman rumah bagian te-ngahnya berbentuk belah ketupat yangukuran diagonalnya 16 m dan 24 m.Bagian tengah halaman rumah terse-but akan ditanami rumput. Jika hargarumput Rp15.000/m2, hitunglah biayayang diperlukan untuk menanamrumput tersebut.

5. Lukislah ABC sebarang, kemudi-an lukisa. garis bagi dari titik sudut A;b. garis berat dari titik sudut B.


DAFTAR PUSTAKABaisuni, H.M. Hasyim. 1986. Kalkulus. Jakarta: Universitas Indonesia.

Friedberg, Stephen H, Arnold J. Insel, Lawrence E. Spence. 1997. LinearAlgebra Third Edition. Prentice-Hall International, Inc.

Hyatt, Herman R, Irving Drooyam, Charles C. Carico. 1979. Introductionto Technical Mathematics A Calculator Appr oach. New Y ork:John Wiley & Sons.

Keedy, Mervin L, Marvin L. Bittinger. 1986. A Problem Solving Approachto Intermediate Algebra Second Edition . Addison – W esley Pub-lishing Company.

Kerami, Djati dan Cormentyna Sitanggang. 2002. Kamus Matematika .Jakarta: Balai Pustaka.

Lafferty, Peter. 2001. Jendela Iptek . Jakarta: Balai Pustaka.

Lipschutz, Seymour, Ph.D, Marc Lars Lipson Ph.D. Alih Bahasa RefinaIndriasari, S.T., M.Sc. 2006. Aljabar Linear Edisi Ketiga . Jakarta:Erlangga.

Munir, Rinaldi, Ir. 2001. Matematika Diskrit. Bandung: CV. Informatika.

Negoro, ST. dan B. Harahap. 1999. Ensiklopedia Matemati ka. Jakarta:Ghalia Indonesia.

Rich, Barnett Alih Bahasa Irzam Harmein S.T . 2005. Geometri. Jakarta:Erlangga.

Saleh, Samsubar. 2001. Statistik Induktif. Yogyakarta: UPP AMP YKPN.

Spiegeel, M.R. 1990. Theory and Problem of College Algebra. McGraw-Hill Publishing Company.

Supranto, J, M.A. 2000. Statistik: Teori dan Aplikasi . Jakarta: Erlangga.

Tim Penyusun. 2002. Ilmu Pengetahuan Populer . Grolier International,Inc.

Tjahjono, Gunawan. 2002. Indonesian Heritage. Grolier International, Inc.

Wahyudin, DR. dan Drs. Sudrajat M.Pd. 2003. Ensiklopedi Matematikadan Peradaban Manusia . Jakarta: CV. Tarity Samudra Berlian.

. 2003. Ensiklopedi Matematika untuk SLTP. Jakarta: CV. TaritySamudra Berlian.

291Glosarium

GLOSARIUMbruto : berat kotor suatu barang atau berat benda beserta

kemasannya, 142, 143, 144bunga ma- : bunga yang dihitung berdasarkan besarnya modaljemuk dan bunga, 145bunga tung- : bunga yang dihitung hanya berdasarkan besarnyagal modal saja, 145diagonal sisi : garis yang menghubungkan antara titik sudut yang

saling berhadapan dalam suatu bangun datar, 252grosir : pedagang yang menjual barang dalam jumlah

besar, 136, 137, 142koefisien : faktor konstanta dari suatu suku pada bentuk

aljabar, 81, 82, 83konstanta : suku dari suatu bentuk aljabar yang berupa

bilangan dan tidak memuat variabel, 80, 82, 83neto : berat bersih atau berat isi yang sebenarnya (tidak

termasuk bungkusnya), 143, 144notasi ilmiah : disebut juga bentuk baku, yaitu aturan penulisan

bilangan yang dinyatakan dengan pangkat, 70pernyataan : kalimat yang dapat ditentukan nilai kebenarannya

(bernilai benar atau salah), 104, 116, 117, 126persamaan : kalimat terbuka yang dihubungkan oleh tanda

sama dengan (=), 106, 107, 108, 109, 110, 111pertidaksa- : kalimat terbuka yang menyatakan hubungan ke-maan tidaksamaan (<, >, , atau ), 114, 115, 116rabat : disebut juga diskon, yaitu potongan harga yang

dikenakan pada suatu produk (barang), 142, 144skala : perbandingan antara jarak pada gambar (model)

dengan jarak sebenarnya, 149, 150, 151, 152sudut ber- : dua sudut yang saling berpenyiku(berjumlah 90o),komplemen 217sudut bersu- : dua sudut yang saling berpelurus (berjumlah 180o),plemen 216suku : variabel beserta koefisiennya atau konstanta pada

bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlahatau selisih, 80, 81, 82, 83, 84, 88

tara : selisih antara berat bruto dan neto; potonganharga barang yang dinyatakan dengan persendengan pengganti pembungkusnya, 143, 144

variabel : lambang pengganti suatu bilangan yang belum di-ketahui nilainya dengan jelas, 80, 81, 82, 90, 104


KUNCI JAWABAN SOAL TERPILIHBAB 1

Uji Kompetensi 41. a. 41 e. –24

c. 753. x = 90

Uji Kompetensi 91. a. 4 c. 93. a. 4.000.000

c. 5

Uji Kompetensi 131. a. 81 g. –3.125

c. –216 i. 16e. –64

3. a. 35 45

c. (–2)4 36

e. 26

Uji Kompetensi 151. 2.709 7. –8.6403. 591 9. 2655. 9.126

Evaluasi 1A. 1. b 7. b

3. b 9. a5. c

B. 1. t = 2oC3. a. 2 + (–13) = –15

c. 4 + 7 = 11e. –18g. –35

5. a. 5c. 144

BAB 2

Uji Kompetensi 21. a. < c. >

3. a. 1 5 3, ,5 7 4

c. 1 3 5, ,4 8 6

5. a. 33 34 35, ,96 96 96

c. 9 10 11, ,20 20 20

7. a. 3 16 2

c. 914

Uji Kompetensi 4

1. a. 223

c. 13540

3. a. 0,8 e. 0,2c. 3,3

5. a. 14

c. 310

7. a. 80‰ c. 480‰

Uji Kompetensi 7

1. a. 152

e. 712

c. 272

3. a. 4964

c. 499576

e. 15.625262.144

5. a. 310

e. 310

c. 760

Uji Kompetensi 91. a. 2,6

c. 15,83. a. 0,57 e. 0,21

c. 0,225. a. 4,6 108

c. 1,3 10–3

Evaluasi 2A. 1. c 7. a

3. b 9. c5. d

B. 1. a. 3 0,3758

37,5%

b. 4 0,2516

25%

3. a. 4,56c. 5,52

5. a. 7,5 108

c. 9,3 109

293Kunci Jawaban Soal Terpilih

BAB 3

Uji Kompetensi 11. a. 2x – 3 = 5

c. x – y = 5; x + y = 153. a. –3 e. 4

c. –55. a. suku satu

c. suku duae. suku tiga

Uji Kompetensi 31. a. 4a2 e. –3x6y3

c. 16a4b4 g. 2x2y2

3. a. –96a3

c. –108ab3

Uji Kompetensi 5

1. a.1

2q

c.3 15 1xyz xz x

3. a.32

qp

c.39

2nm

e.23 2 1

2x x

xy

5. a.24

9x

c.2

2

16 16 4x xy

e.216 8 1x x

y

g.3 2 2 327 27 9

8a a b ab b

Evaluasi 3A. 1. d 7. b

3. b 9. c5. b

B. 1. a. –14x + 6yc. 16x – 14e. –x2 – 2 x – 4

3. a. 13c. –9

5. a.19 1

15x

c.5

4

29

xy

BAB 4

Uji Kompetensi 31. a. Hp = {22}

c. Hp = {–4}e. Hp = {5}g. Hp = {–3}i. Hp = {–3}

2. a. Hp = {4}c. Hp = {3}e. Hp = {–3}g. Hp = {–5}i. Hp = {–26}

Uji Kompetensi 71. Hp = {0, 1, 2, 3}3. Hp = {0, 1, 2, 3, 4}5. Hp = {0, 1, 2, 3, ...}7. Hp = {0, 1, 2, 3}9. Hp = {3, 4, 5, ...}

11. Hp = {2, 3, 4, ...}13. Hp = {0, 1, 2, 3, ...}15. Hp = {6, 7, 8, ...}

Uji Kompetensi 131. a. S e. S

c. B3. a. –9 6 – 54 (S)

c. Aku tidak mempu-nyai adik (tergan-tung kondisi siswa)

e. 75 tidak habis dibagi4 (B)

Evaluasi 4A. 1. c. 7. a

3. c 9. c5. b

B. 1. a. Hp = 203

c. Hp = 140

5e. Hp = {10}

3. Harga sepatu =Rp55.000,00Harga sandal =Rp27.500,00

5. Hp = {x | x 5,x R}

BAB 5

Uji Kompetensi 11. a. Rp950,00

c. Rp2.200,003. a. Rp57.030.000,00

b. Rp825.000,005. Untung = Rp8.000,00

Uji Kompetensi 31. a. Rp40.500,00

c. 12,5%e. Rp66.500,00


3. a. Rp35.000,00b. Rp1.995.000,00

5. Rp508.500,00

Uji Kompetensi 71. a. 3 cm c. 4,5 cm3. a. 1 : 400

b. 1 : 160.0005. 1 : 175

Uji Kompetensi 81. Rp73.500,003. 30.000 mg5. 48 buku7. 5 kg

Evaluasi 5A. 1. c 7. b

3. a 9. d5. b

B. 1. Rp40.500,003. a. 40 : 81

c. 2 : 55. 4 orang pekerja

BAB 6

Uji Kompetensi 41. A B, F B,

G B, F A, G A,C D, E D, E C

3. a. {2, 3}; {2,5}; {2, 7};{2, 11}; {3, 5};{3, 7}; {3, 11};{5, 7}; {5, 11};{7, 11}

c. {2, 3, 5, 7};{2, 3, 5, 11};{2, 3, 7, 11};{3, 5, 7, 11};{2, 5, 7, 11}

5. a. 1c. 2

Uji Kompetensi 61. a. P Q = { },

n(P Q) = 0c. P Q = {b, u},

n(P Q) = 23. a. A = {0, 1, 2, 3, 4}

B = {1, 3, 5, 7}C = {2, 3, 5, 7, 11}

c. B C = {1, 2, 3, 5,7, 11}

e. A (B C) ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 7}

Uji Kompetensi 8

1. a. S A B

131415

1 23 45

678

9

101112

0

c. S B D

15

1234

5

6

7

8 910

1112 1314

0

e. S B C

151

23

4 5

6

7

8

9

10

1112

1314

0

D

3. a. S = {a, b, c, d, ..., p, q }

c. B = {d, e, g, h, i, j , n}

5. a. S A B

c. SA

B

7. a. SP Q

15

1 3

4

5

6

7

8

9

10

11

1213

14

0

R

2

c. SP Q

15

1 3

4

5

6

7

8

9

10

11

1213

14

0

R

2

e. SP Q

15

1 3

4

5

6

7

8

9

10

11

1213

14

0

R

2

g. SP Q

15

1 3

4

5

6

7

8

9

10

11

1213

14

0

R

2

Evaluasi 6A. 1. d 7. b

3. a 9. d5. c

B. 3. a. {2, 3}; {2, 5};{2, 7}; {2, 11};{2, 13}; {2, 17};{3, 5}; {3, 7};{3, 11}; {3, 13};{3, 17}; {5, 7};{5, 11}; {5, 13};{5, 17}; {7, 11};{7, 13}; {7, 17};{11, 13}; {11, 17};{13, 17}

295Kunci Jawaban Soal Terpilih

5. a. S T K

23

4

56 7

S53

b. gemar minum teh =6 oranggemar minum susu =5 oranggemar minum kopi =7 orangtidak gemar ketiga-nya = 3 orang

BAB 7

Uji Kompetensi 11. a. titik v

c. titik w3. AB // DE, BC // EF,

AC // DF,AD // BE // CF

5. AB, AD, dan TAAB, BC, dan TBBC, CD, dan TCAD, CD, dan TD

Uji Kompetensi 71. a. sudut lancip

c. sudut lancipe. sudut tumpul

3. a. sudut lancipc. sudut lancipe. sudut lancip

Uji Kompetensi 81. a. 170o e. 27o

c. 80o

3. a. a = 60o

c. c = 60o

e. e = 63o

5. a = 110o p = 128o

b = 70o q = 52o

c = 110o r = 128o


3. b 9. a5. b

B. 1. a. 30o

c. 15o

3. 66o

5. p = 3, r = 2

BAB 8

Uji Kompetensi 31. a. B e. B

c. S

3. B = 52o

C = 78o

Uji Kompetensi 71. a. K = 60 cm;

L = 216 cm2

c. K = 90 cm;L = 450 cm2

3. K = 96 cm; L = 228 cm2

5. p = 22 cm; l = 14 cm

Uji Kompetensi 91. a. s = 13 cm;

L = 169 cm2

c. s = 32 cm;L = 1.024 cm2

3. 400 ubin5. 87 pohon pinus

Uji Kompetensi 113. a. B e. S

c. S5. a. 20 cm2

c. 60 cm2

7. a. 3 cmb. 9 cm

Uji Kompetensi 131. a. B = 70o

D = 135o

c. K = L = 90o

N = 150o

5. a. MSP = 45o, RNQ = 90o

c. PM = QN = t =11 cm


3. a 9. a5. a

B. 1. a. 66 cm2

b. AE = 6,6 cm3. a. 1.200 ubin

b. Rp6.600.000,00

297Indeks Istilah

INDEKS ISTILAHBbentuk aljabar, 80, 81, 82,83, 84, 86, 87, 88, 91, 92bentuk baku, 69, 70, 71, 72biimplikasi, 128bruto, 142, 143, 144bunga majemuk, 145bunga tunggal, 145busur derajat, 212, 213Ddiagonal, 252, 257, 258,262, 263, 264, 266, 267,268diagram Venn, 186, 187,188, 189, 190, 191, 192,193diskon, 142, 143, 144Eelemen himpunan, 165Ffaktor persekutuan terbe-sar, 22, 24, 25, 26, 40, 43,80, 90, 91, 92faktor skala, 151Ggabungan himpunan, 179,180, 183garis bagi, 281garis berat, 283garis berimpit, 201garis berpotongan, 200garis bersilangan, 201garis bilangan, 6, 7, 8, 45,46, 49garis horizontal, 201, 202,212garis sejajar, 200, 202, 203,204garis sumbu, 282

garis tinggi, 280, 281garis vertikal, 201, 202grosir, 136, 142Hhimpunan bagian, 171, 172,173, 174, 175himpunan berpotongan,176, 179himpunan ekuivalen, 176himpunan kosong, 169himpunan nol, 169, 170himpunan saling asing, 175,177himpunan sama, 176, 178himpunan semesta, 170,171Iimplikasi, 128invers, 11, 18, 58, 60, 61,62, 194irisan himpunan, 177, 178,183, 184, 187Kkalimat terbuka, 104, 105,124kelipatan persekutuan ter-kecil, 22, 23, 26, 40, 44, 45,57, 80, 90, 91, 92ketidaksamaan, 114, 115,118koefisien, 80, 81, 82, 88komplemen himpunan, 182konjungsi, 128, 130, 131konstanta, 80, 81, 82, 105Llaba, 137, 141Nnegasi, 128, 129, 130neto, 142, 143, 144

nilai keseluruhan, 136nilai per unit, 136nilai sebagian, 136notasi pembentuk himpun-an, 167, 168Ppajak, 145, 146pecahan desimal berulang,53pecahan senilai, 41, 42perbandingan berbalik nilai,154, 155, 156perbandingan senilai, 152,153, 155, 156permil, 55, 56pernyataan majemuk, 128,130, 131pernyataan sederhana, 128pernyataan tunggal, 128,129pernyataan, 104, 126, 127,128, 129, 130, 131persamaan linear satu va-riabel, 106, 107, 108, 111,113persamaan, 106, 109persen, 54, 55, 56, 140,141, 145pertidaksamaan linear satuvariabel, 114, 115, 116, 117,118, 119pertidaksamaan, 115, 117,120Rrugi, 137, 141Ssegitiga lancip, 235, 236segitiga Pascal, 88segitiga sama kaki, 235,236, 237, 279, 280


segitiga sama sisi, 235, 236,239, 241, 279, 280segitiga sebarang, 235, 236segitiga siku-siku samakaki, 236segitiga siku-siku, 236, 237segitiga tumpul sama kaki,236segitiga tumpul, 235, 236selisih (difference) him-punan, 181, 185sifat asosiatif, 10, 16, 19,58, 60, 105, 184sifat distributif, 17, 60, 84,85, 184sifat idempotent, 184sifat komutatif, 10, 16, 19,58, 60, 183, 184sifat tertutup, 10, 16, 19,58, 60

skala, 149, 150, 151, 152sudut berpelurus, 214, 215,216, 217, 218, 219sudut berpenyiku, 215, 216,217sudut bertolak belakang,218, 219, 222sudut dalamberseberangan, 221, 222,223, 224sudut dalam segitiga, 245sudut dalam sepihak, 222,223, 224sudut lancip, 214, 215, 216sudut luar berseberangan,221, 224sudut luar segitiga, 245sudut luar sepihak, 222,223sudut lurus, 215, 216

sudut refleks, 215, 216, 235sudut sehadap, 220, 221,222, 224sudut siku-siku, 215, 216,251, 254sudut tumpul, 215, 216, 235suku, 80, 81, 82, 83sumbu simetri, 238, 240,266, 267, 270Ttara, 142, 143, 144Uunsur identitas, 10, 17, 58,60, 184Vvariabel, 80, 82, 90, 105,106, 107, 109

299Indeks Pengarang

INDEKS PENGARANG

Barnett Rich, 200, 202, 208, 209, 215, 216, 217, 220, 221,223,242, 245, 276, 277

Herman R. Hyatt, Irving Drooyan, Charles C. Carico, 21, 54, 55,66, 67, 68, 69, 109

H.M. Hasyim Baisuni, 164, 168, 169, 181, 182, 188

Mervin L. Keedy, Marvin L. Bittinger, 6, 9, 13, 15, 16, 17, 19, 27,29, 31, 42, 49, 71, 80, 84, 88

Murray R. Spiegeel, 6, 9, 13, 17, 19, 51, 52, 58, 59, 96, 104, 105,205, 206

Samsubar Saleh, 186, 187, 188

Stephen H. Friedberg, Arnold J. Insel, Lawrence E. Spence,172, 173, 176, 178, 187


DAFTAR SIMBOLNotasi Keterangan

+ Jumlah; tambah; menambah, 4, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 18, 20, 28, 33, 34, 51, 80, 81– Kurang; mengurang; negatif, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20

Kali; mengali; penyilangan, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 27, 28, 29, 30, 33: Bagi; membagi, 19, 20, 21, 22, 28, 30, 33, 34, 41, 42, 43, 49, 51, 55, 59, 60, 64

( ) Kurung biasa, 22, 23, 34, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 94, 95, 96, 97, 98{ } Kurung kurawal, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176

Gabungan himpunan, 180, 181, 183, 184, 185, 186, 188, 189, 190Irisan himpunan, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 188, 189

> Lebih dari, 6, 7, 44, 45, 46, 47, 48, 69, 104, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120,121

< Kurang dari, 6, 7, 44, 45, 46, 47, 48, 69, 104, 114, 115, 116, 118, 119, 120, 121Lebih dari atau sama dengan, 114, 115, 116, 119, 120, 121, 125Kurang dari atau sama dengan, 114, 115, 116, 119, 120, 121, 127

= Sama dengan, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 21, 22, 24, 26Tidak sama dengan, 19, 27, 41, 42, 43, 49, 51, 59, 62, 64, 93, 94, 95, 114

an a pangkat n, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 62, 63, 64, 71, 173, 174a–n a pangkat negatif n, 71

Akar pangkat dua, 31, 32, 333 Akar pangkat tiga, 31, 32, 33

Anggota dari; elemen dari, 165, 166, 167, 168, 171, 172, 177, 178, 180, 181Bukan anggota dari, 165, 166, 172, 181, 182Himpunan bagian, 172, 173, 178, 180Bukan himpunan bagian, 172

, Himpunan kosong, 169, 170, 173, 175, 179, 180, 185Segitiga, 234, 235, 237, 238, 239, 240, 241, 242, 244, 245, 265Pendekatan; kira-kira, 21Ekuivalen; jika dan hanya jika, 18, 19, 109, 110, 111, 112, 113, 116, 119, 120Memasangkan, 239, 252, 253, 257, 261, 266, 270

% Persen, 54, 56, 140, 141, 142, 144, 146, 147‰ Permil, 55, 56

AB Garis AB, 208, 209

AB Ruas garis AB, 251, 252, 266, 281, 282, 283// Sejajar, 200, 202, 273, 274

Sudut, 208, 213, 214, 216, 217, 218, 234, 235, 236, 237, 238o Derajat, 5, 7, 14, 34, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219

Menit, 208, 209, 210, 211Detik, 208, 209, 210, 211

ISBN 979-462-998-7

HET (Harga Eceran Tertinggi) Rp. ........

Buku ini telah dinilai oleh Badan Standar Nasional Pendidikan (BSNP) dan telah dinyatakan layak sebagai buku teks pelajaran berdasarkan Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Nomor 34 Tahun 2008 tanggal 10 Juli 2008 tentang Penetapan Buku Teks Pelajaran yang Memenuhi Syarat Kelayakan untuk Digunakan dalam Proses Pembelajaran

buku matematika kelas 7

Education