Buku Ajar Statistika Industri

Tahun Pembuatan : 2011Dibuat oleh team dosen Statistika Industri:Ir. Wiyono MTJudi Alhilman Drs. MSIEIr. Hermita dyah MT.

FAKULTAS REKAYASA INDUSTRIINSTITUT TEKNOLOGI TELKOMKATA PENGANTARBismillaahirrohmaanirrohiim,Assalaamu’alaikum Warohmatulloohi Wabarokaatuh

Dengan ridlaNYA, Alhamdulillah penulis dapat menyelesaikan buku ajar mata kuliah Statistika Industri ini walaupun masih banyak kekurangan-kekurangannya yang harus diperbaiki di masa yang akan datang.Edisi pertama dari buku ajar mata kuliah Statistika Industri ini diperuntukan digunakan di lingkungan Fakultas Rekayasa Industri Institut Teknologi Telkom di mana penyusun mengajar.Buku ajar Statistika Industri pegangan kuliah ini ditujukan agar mahasiswa lebih dapat berkonsentrasi terhadap apa yang disampaikan dosen di kelas sehingga mahasiswa diharapkan akan lebih maksimal dalam menerima ilmu yang disampaikan oleh dosen di kelas.Buku Ajar ini ditulis dan disusun berdasarkan sumber dari beberapa buku yang telah ada dan dari pengalaman penulis selama mengajar di beberapa perguruan tinggi.Penulis sangat berterima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dan memberi semangat untuk menulis buku ajar ini dan penulis berterima kasih kepada rekan-rekan sejawat yang telah membantu dalam penulisan buku ini. Akhirnya, sangat diharapkan adanya masukan dari rekan pembaca sekalian demi perbaikan Buku Ajar ini ke depannya.

Wassalaamu’alaikum Warohmatulloohi Wabarokaatuh.

Bandung, Agustus 2011, Penulis

(team dosen Statistika Industri )

SATUAN ACARA PENGAJARAN (SAP)

Mata Kuliah: Statistika Industri (3 SKS)

Kode Mata Kuliah: IE2333 Buku Acuan: Walpole, Ronald E., et all: “Probability & Statistics for Engineers & Scientists”, Prentice Hall, 2007Hogg, Robert V., and Elliot A. Tanis: “Probability and Statistical Inference”, Pearson Education, 2006Ledolter. J, Hogg, Robert V. : “ Applied Statistics fot Engineers and Physical Scientists”, Pearson Prentice Hall, 2010.

MinggukePokok BahasanMateriTujuan InstruksionalUmum (TIU)Tujuan InstruksionalKhusus (TIK)KegiatanEvaluasiAcuan(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)1.PendahuluanTeori SamplingMahasiswa memahami tentang pengertian konsep dasar metoda sampling Mahasiswa mampu menjelaskan pengertian:samplingpopulasi dan samplestatistik dan parameterTatap mukaDiskusiTanya Jawab[1, Bab 8)2.Statistika DeskriptifUkuran pemusatan, keragaman dan letakMahasiswa memahami tentang pengertian konsep dasar Statistika Deskriptif Mahasiswa mampu menjelaskan pengertian:Ukuran pemusatanUkuran keragamanUkuran letakTatap mukaDiskusiTanya Jawab[1, Bab 8)3.Distribusi sampling rataan dan proporsiDistribusi sampling rataan dan proporsi dari satu populasi dan dua populasi ( Z dan t)Mahasiswa memahami distribusi sampling rataan dan proporsi dari satu populasi dan dua populasi Mahasiswa mampu:menjelaskan teorema “central limit”menghitung nilai probabilitas distribusi sampling rataan dan proporsi untuk satu dan dua populasiTatap mukaDiskusiTanya Jawab[1, Bab 8]4.Distribusi sampling variansiDistribusi sampling variansi ( Chi Square dan F)Mahasiswa memahami distribusi sampling Chi Square dan FMahasiswa mampu:menghitung nilai probabilitas distribusi sampling variansi dari satu populasimenghitung nilai probabilitas distribusi sampling variansi dari dua populasiTatap mukaDiskusiTanya Jawab[1, Bab 8]5.Estimasi dan uji hipotesa rataan untuk satu dan dua populasiPengertian dan sifat-sifat estimatorEstimasi rataan satu populasiEstimasi rataan dua populasiPengertian uji hipotesaJenis kesalahan dalam uji hipotesis Mahasiswa memahami pengertian dan sifat-sifat umum estimator dan pengujian hipotesa khususnya selang rataan dan pengujiannya baik satu populasi maupun dua populasiMahasiswa mampu :menjelaskan pegertian dan sifat-sifat umum estimatormenjelaskan metoda untuk menentukan estimator rataan populasimenghitung nilai estimasi selang rataan suatu populasi (satu dan dua populasi). menjelaskan kesalahan dalam uji hipotesismelakukan uji hipotesis rataan (satu dan dua populasi).Tatap mukaDiskusiTanya Jawab[1, Bab 9, 18][2, Bab 6][3, Bab 9]6.Estimasi dan pengujian hipotea proporsi populasiEstimator proporsi Pengujian dan Estimasi selang proporsi baik satu dan dua populasiMahasiswa memahami pengertian dan sifat-sifat umum estimator dan Pengujian hipotesa khususnya proporsi baik satu populasi maupun dua populasiMahasiswa mampu :menjelaskan metoda untuk menentukan estimator proporsi populasimenghitung nilai estimasi selang proporsi suatu populasi (satu dan dua populasi). Menguji proporsi satu dan dua proporsiTatap mukaDiskusiTanya Jawab[1, Bab 9][2, Bab 6]7.Estimasi dan uji hipotesa variansiEstimator variansi Estimasi selang variasi baik satu dan dua populasiPengujian hipotesa variansi satu dan dua populasi.Mahasiswa memahami pengertian dan sifat-sifat umum estimator dan pengujian hipotesa khususnya untuk variansi baik satu populasi maupun dua populasiMahasiswa mampu :menjelaskan metoda untuk menentukan estimator variansi populasimenghitung nilai estimasi selang variasni suatu populasi (satu dan dua populasi). Menguji variansi untuk satu dan dua populasiTatap mukaDiskusiTanya Jawab[1, Bab 9][2, Bab 6]8.UTS9.Uji Hipotesis Goodness of fitUji independesiMahasiswa memahami metoda uji goodness of fit dan uji independensiMahasiswa mampu :melakukan uji goodness of fitmelakukan uji independesi Tatap mukaDiskusiTanya Jawab[1, Bab 10][2, Bab 8]10.Uji variansi satu arahMetoda analisis varianCRD (complety randomize design) BRD(Bock Random design)Mahasiswa memahami metoda uji variansi satu arahMahasiswa mampu :Menjelaskan metoda uji variansimelakukan uji variansi satu arahTatap mukaDiskusiTanya Jawab[1, Bab 13][2, Bab 10]11.Regresi sederhanaRegresi sederhanaPengujian regresiMahasiswa memahami metoda regresi sederhanaMahasiswa mampu :melakukan perhitungan regresi sederhana dan pengujiannya. Tatap mukaDiskusiTanya Jawab[1, Bab 11]12.KorelasiKorelasiPengujian korelasiMahasiswa memahami konsep korelsi dan pengujiannya.Mahasiswa mampu :Menghitung nilai korelasi dan pengujiannya. Tatap mukaDiskusiTanya Jawab[1, Bab 11][3, Bab 14, 15]13.Uji Hipotesis non parametrikUji tandaRun testMahasiswa memahami metoda uji tanda dan run testMahasiswa mampu :melakukan uji tandamelakukan run testTatap mukaDiskusiTanya Jawab[1, Bab 16][2, Bab 8]14.Uji Hipotesis non parametrikUji WilcoxonUji Kruskal WallisMahasiswa memahami metoda uji Wilcoxon dan Uji Kruskal WallisMahasiswa mampu :melakukan uji Wilcoxonmelakukan uji Kruskal WallisTatap mukaDiskusiTanya Jawab[1, Bab 16][2, Bab 8]15.Tugas besarPersentasi tugas Mahasiswa mampu mengaplikasikan statistika ke dunia nyataMahasiswa mampu mengaplikasikan dan merepresantasikan materiTatap mukaDiskusiTanya Jawab16.UAS

Penilaian: UTS : 30%UAS : 30%QUIS: 25%TUGAS : 15%

DAFTAR ISIBAB ITEORI SAMPLING1I.1PENGERTIAN DASAR1I.1.1Sampling1I.1.2Sample (n) :1I.1.3Elemen / unsur2I.1.4Populasi (N)2I.1.5Kerangka sampel2I.2SYARAT SAMPEL YANG BAIK2I.3UKURAN SAMPEL5I.4TEKNIK-TEKNIK PENGAMBILAN SAMPEL7I.4.1Sampling dengan Pengembalian7I.4.2Sampling tanpa Pengembalian :8I.4.3Tipe Sampling menurut Peluang Pemilihannya8I.5TEKNIK PENYAJIAN DATA SAMPEL14I.5.1Penyajian Data14I.5.2Tabel Distribusi frekuensi14I.5.3Distribusi Frekuensi Relatif :18I.5.4Penyajian dalam Bentuk Grafik19BAB IIDISTRIBUSI SAMPLING24II.1DISTRIBUSI SAMPLING RATAAN Z24II.2DISTRIBUSI SAMPLING RATAAN T28II.3DISTRIBUSI SAMPLING PROPORSI31II.4DISTRIBUSI SAMPLING PROPORSI 2 POPULASI32II.5DISTRIBUSI SAMPLING VARIANSI34BAB IIITEORI ESTIMASI36III.1ESTIMASI RATAAN36III.1.1Selang kepercayaan mean sampel36III.1.2Selang kepercayaan untuk µ; diketahui36III.1.3Kesalahan estimasi37III.1.4Sampel sedikit38III.1.5Selang kepercayaan untuk µ; σ tidak diketahui.39III.2ESTIMASI PROPORSI40III.2.1Estimasi Selisih Dua Proporsi45III.3ESTIMASI VARIANSI48III.3.1Estimasi Nisbah Dua Variansi50BAB IVUJI HIPOTESIS54IV.1HIPOTESIS STATISTIK54IV.2ARAH PENGUJIAN HIPOTESIS55IV.2.1Uji Ekasisi55IV.2.2Uji Dwisisi57IV.3KESALAHAN DALAM PENGUJIAN HIPOTESIS57IV.4LANGKAH PENGERJAAN UJI HIPOTESIS60IV.5UJI MENYANGKUT RATAAN60IV.6UJI MENYANGKUT PROPORSI63IV.7UJI MENYANGKUT VARIANSI66BAB VUJI CHI-SQUARE72V.1GOODNESS OF FIT TEST72V.2INDEPENDENSI (UJI KEBEBASAN)76BAB VIREGRESI DAN KORELASI81VI.1REGRESI81VI.1.1Regresi Linier Sederhana81VI.1.2Regresi Linier Berganda87VI.2KORELASI89VI.2.1Definisi Korelasi89VI.2.2Koefisien Korelasi89VI.2.3Teknik Korelasi90VI.2.4Uji Hipotesis Korelasi95BAB VIIANOVA99VII.1ONE WAY ANOVA99VII.2TWO WAY ANOVA102VII.2.1Two Way Anova dengan n replikasi103

Buku Ajar Statistika IndustriFRI

200

IT TELKOM

BAB I. TEORI SAMPLING

(PENDAHULUAN)

Teori sampling didasarkan pada lima kategori sesuai dengan kondisi yang dihadapi yaitu:

a) Pengertian dasar teori sampling

b) Syarat sampel yang baik

c) Ukuran sampel

d) Teknik-teknik pengambilan sampel

e) Teknik penyajian data sampel

(TUJUAN INSTRUKSIONAL UMUM)

Setelah mempelajari materi ini mahasiswa mengetahui proses sampling dan dapat menggambarkan proses dan metode yang digunakan dalam pengumpulan data dan dapat menjelaskan proses dan metode yang digunakan dalam pengolahan data.

(TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS)

1. Mahasiswa dapat memahami konsep dasar teori sampling

2. Mahasiswa akan dapat memahami apa saja syarat sampel yang baik

3. Mahasiswa dapat memahami ukuran sample yang baik.

4. Mahasiswa diharapkan memahami teknik-teknik pengambilan sample

5. Mahasiswa dapat memahami teknik penyajian data sampel

(SKENARIO PEMBELAJARAN1………….2………….3………….4………….)

Kegiatan perkuliahan dilaksanakan dengan skenario sebagai berikut:

1. Perkuliahan

2. Penjelasan tentang concept map (tunjukan di peta konsep dimana posisi materi yang akan dibahas), pokok bahasan, dan kompetensi yang akan dicapai (TIU dan TIK)

3. Tes pendahuluan

4. Ringkasan materi disampaikan dengan metode ceramah, critical incident, diskusi dan tanya jawab

5. Tes akhir

6. Evaluasi pencapaian

7. Penutup

(RINGKASAN MATERI)

PENGERTIAN DASARSampling

Proses pengambilan atau memilih n buah elemen/objek/unsur dari populasi yang berukuran N. Misalnya memilih sebagian murid SD Negeri di Kota Bandung, dalam sebuah penelitian yang bertujuan untuk mengetahui proporsi latar belakang tingkat pendidikan orang tua dari seluruh murid SD Negeri di Kota Bandung.

Sample (n) :

Merupakan bagian dari populasi. Elemen anggota sampel, merupakan anggota populasi dimana sampel diambil. Jika N banyaknya elemen populasi, dan n banyaknya elemen sampel, maka n < N. Artinya tidak akan ada sampel jika tidak ada populasi. Populasi adalah keseluruhan elemen atau unsur yang akan kita teliti. Penelitian yang dilakukan atas seluruh elemen dinamakan sensus. Idealnya, agar hasil penelitiannya lebih bisa dipercaya, seorang peneliti harus melakukan sensus. Namun karena sesuatu hal peneliti bisa tidak meneliti keseluruhan elemen tadi, maka yang bisa dilakukannya adalah meneliti sebagian dari keseluruhan elemen atau unsur tadi.

Berbagai alasan yang masuk akal mengapa peneliti tidak melakukan sensus antara lain adalah,(a) populasi demikian banyaknya sehingga dalam prakteknya tidak mungkin seluruh elemen diteliti; (b) keterbatasan waktu penelitian, biaya, dan sumber daya manusia, membuat peneliti harus telah puas jika meneliti sebagian dari elemen penelitian; (c) bahkan kadang, penelitian yang dilakukan terhadap sampel bisa lebih reliabel daripada terhadap populasi – misalnya, karena elemen sedemikian banyaknya maka akan memunculkan kelelahan fisik dan mental para pencacahnya sehingga banyak terjadi kekeliruan. (Uma Sekaran, 1992); (d) demikian pula jika elemen populasi homogen, penelitian terhadap seluruh elemen dalam populasi menjadi tidak masuk akal, misalnya untuk meneliti kualitas jeruk dari satu pohon jeruk

Agar hasil penelitian yang dilakukan terhadap sampel masih tetap bisa dipercaya dalam artian masih bisa mewakili karakteristik populasi, maka cara penarikan sampelnya harus dilakukan secara seksama. Cara pemilihan sampel dikenal dengan nama teknik sampling atau teknik pengambilan sampel .

Elemen / unsur

Elemen adalah setiap satuan populasi. Kalau dalam populasi terdapat 30 laporan keuangan, maka setiap laporan keuangan tersebut adalah unsur atau elemen penelitian. Artinya dalam populasi tersebut terdapat 30 elemen penelitian. Jika populasinya adalah pabrik sepatu, dan jumlah pabrik sepatu 500, maka dalam populasi tersebut terdapat 500 elemen penelitian.

Populasi (N)

Kumpulan lengkap dari elemen-elemen yang sejenis akan tetapi dapat dibedakan berdasarkan karekteristiknya. Misalnya Mahasiswa Indonesia dapat dibedakan berdasarkan variabel jenis kelamin dengan karakteristik laki-laki dan perempuan, atau variabel IPK dengan karektaristik indeks antara 0-4.

Atau dapat diartikan sebagai sekelompok orang, kejadian, atau benda, yang dijadikan obyek penelitian. Jika yang ingin diteliti adalah sikap konsumen terhadap satu produk tertentu, maka populasinya adalah seluruh konsumen produk tersebut. Jika yang diteliti adalah laporan keuangan perusahaan “X”, maka populasinya adalah keseluruhan laporan keuangan perusahaan “X” tersebut, Jika yang diteliti adalah motivasi pegawai di departemen “A” maka populasinya adalah seluruh pegawai di departemen “A”.

Kerangka sampel

Kerangka sampel adalah daftar yang memuat seluruh elemen/anggota populasi, sebagai dasar untuk penarikan sampel random Sedangkan sampel adalah suatu himpunan bagian dari populasi.

SYARAT SAMPEL YANG BAIK

Secara umum, sampel yang baik adalah yang dapat mewakili sebanyak mungkin karakteristik populasi. Dalam bahasa pengukuran, artinya sampel harus valid, yaitu bisa mengukur sesuatu yang seharusnya diukur. Kalau yang ingin diukur adalah masyarakat Sunda sedangkan yang dijadikan sampel adalah hanya orang Banten saja, maka sampel tersebut tidak valid, karena tidak mengukur sesuatu yang seharusnya diukur (orang Sunda). Sampel yang valid ditentukan oleh dua pertimbangan.

Pertama : Akurasi atau ketepatan , yaitu tingkat ketidakadaan “bias” (kekeliruan) dalam sample. Dengan kata lain makin sedikit tingkat kekeliruan yang ada dalam sampel, makin akurat sampel tersebut. Tolok ukur adanya “bias” atau kekeliruan adalah populasi.

Cooper dan Emory (1995) menyebutkan bahwa “there is no systematic variance” yang maksudnya adalah tidak ada keragaman pengukuran yang disebabkan karena pengaruh yang diketahui atau tidak diketahui, yang menyebabkan skor cenderung mengarah pada satu titik tertentu. Sebagai contoh, jika ingin mengetahui rata-rata luas tanah suatu perumahan, lalu yang dijadikan sampel adalah rumah yang terletak di setiap sudut jalan, maka hasil atau skor yang diperoleh akan bias. Kekeliruan semacam ini bisa terjadi pada sampel yang diambil secara sistematis

Contoh systematic variance yang banyak ditulis dalam buku-buku metode penelitian adalah jajak-pendapat (polling) yang dilakukan oleh Literary Digest (sebuah majalah yang terbit di Amerika tahun 1920-an) pada tahun 1936. (Copper & Emory, 1995, Nan lin, 1976). Mulai tahun 1920, 1924, 1928, dan tahun 1932 majalah ini berhasil memprediksi siapa yang akan jadi presiden dari calon-calon presiden yang ada. Sampel diambil berdasarkan petunjuk dalam buku telepon dan dari daftar pemilik mobil. Namun pada tahun 1936 prediksinya salah. Berdasarkan jajak pendapat, di antara dua calon presiden (Alfred M. Landon dan Franklin D. Roosevelt), yang akan menang adalah Landon, namun meleset karena ternyata Roosevelt yang terpilih menjadi presiden Amerika.

Setelah diperiksa secara seksama, ternyata Literary Digest membuat kesalahan dalam menentukan sampel penelitiannya . Karena semua sampel yang diambil adalah mereka yang memiliki telepon dan mobil, akibatnya pemilih yang sebagian besar tidak memiliki telepon dan mobil (kelas rendah) tidak terwakili, padahal Rosevelt lebih banyak dipilih oleh masyarakat kelas rendah tersebut. Dari kejadian tersebut ada dua pelajaran yang diperoleh : (1), keakuratan prediktibilitas dari suatu sampel tidak selalu bisa dijamin dengan banyaknya jumlah sampel; (2) agar sampel dapat memprediksi dengan baik populasi, sampel harus mempunyai selengkap mungkin karakteristik populasi (Nan Lin, 1976).

Kedua : Presisi. Kriteria kedua sampel yang baik adalah memiliki tingkat presisi estimasi. Presisi mengacu pada persoalan sedekat mana estimasi kita dengan karakteristik populasi. Contoh : Dari 300 pegawai produksi, diambil sampel 50 orang. Setelah diukur ternyata rata-rata perhari, setiap orang menghasilkan 50 potong produk “X”. Namun berdasarkan laporan harian, pegawai bisa menghasilkan produk “X” per harinya rata-rata 58 unit. Artinya di antara laporan harian yang dihitung berdasarkan populasi dengan hasil penelitian yang dihasilkan dari sampel, terdapat perbedaan 8 unit. Makin kecil tingkat perbedaan di antara rata-rata populasi dengan rata-rata sampel, maka makin tinggi tingkat presisi sampel tersebut.

Belum pernah ada sampel yang bisa mewakili karakteristik populasi sepenuhnya. Oleh karena itu dalam setiap penarikan sampel senantiasa melekat keasalahan-kesalahan, yang dikenal dengan nama “sampling error” Presisi diukur oleh simpangan baku (standard error). Makin kecil perbedaan di antara simpangan baku yang diperoleh dari sampel (S) dengan simpangan baku dari populasi (σ), makin tinggi pula tingkat presisinya. Walau tidak selamanya, tingkat presisi mungkin bisa meningkat dengan cara menambahkan jumlah sampel, karena kesalahan mungkin bisa berkurang kalau jumlah sampelnya ditambah ( Kerlinger, 1973 ). Dengan contoh di atas tadi, mungkin saja perbedaan rata-rata di antara populasi dengan sampel bisa lebih sedikit, jika sampel yang ditariknya ditambah. Katakanlah dari 50 menjadi 75.

Di bawah ini digambarkan hubungan antara jumlah sampel dengan tingkat kesalahan seperti yang diutarakan oleh Kerlinger

(besar)

(kesalahan)

(kecil)

(kecil) (besar) (Besarnya sampel)

UKURAN SAMPEL

Pertanyaan yang sering diajukan oleh peneliti ketika akan melakukan penelitian adalah ”berapa besar sampel yang harus diteliti dari sebuah populasi?”, agar hasil (berupa data perkiraan) penelitian dapat mewakili atau merepresentasikan populasi. Data perkiraan (statistik) disebut mewakili jika angkanya mendekati parameter. Jika parameter 100, 95 disebut lebih mewakili dibandingkan dengan 90.

Ukuran sampel atau jumlah sampel yang diambil menjadi persoalan yang penting manakala jenis penelitian yang akan dilakukan adalah penelitian yang menggunakan analisis kuantitatif. Pada penelitian yang menggunakan analisis kualitatif, ukuran sampel bukan menjadi nomor satu, karena yang dipentingkan alah kekayaan informasi. Walau jumlahnya sedikit tetapi jika kaya akan informasi, maka sampelnya lebih bermanfaat.

Dikaitkan dengan besarnya sampel, selain tingkat kesalahan, ada lagi beberapa faktor lain yang perlu memperoleh pertimbangan yaitu, (1) derajat keseragaman, (2) rencana analisis, (3) biaya, waktu, dan tenaga yang tersedia . (Singarimbun dan Effendy, 1989). Makin tidak seragam sifat atau karakter setiap elemen populasi, makin banyak sampel yang harus diambil. Jika rencana analisisnya mendetail atau rinci maka jumlah sampelnya pun harus banyak. Misalnya di samping ingin mengetahui sikap konsumen terhadap kebijakan perusahaan, peneliti juga bermaksud mengetahui hubungan antara sikap dengan tingkat pendidikan. Agar tujuan ini dapat tercapai maka sampelnya harus terdiri atas berbagai jenjang pendidikan SD, SLTP. SMU, dan seterusnya.. Makin sedikit waktu, biaya , dan tenaga yang dimiliki peneliti, makin sedikit pula sampel yang bisa diperoleh. Perlu dipahami bahwa apapun alasannya, penelitian haruslah dapat dikelola dengan baik (manageable).

Misalnya, jumlah bank yang dijadikan populasi penelitian ada 400 buah. Pertanyaannya adalah, berapa bank yang harus diambil menjadi sampel agar hasilnya mewakili populasi?. 30?, 50? 100? 250?. Jawabnya tidak mudah. Ada yang mengatakan, jika ukuran populasinya di atas 1000, sampel sekitar 10 % sudah cukup, tetapi jika ukuran populasinya sekitar 100, sampelnya paling sedikit 30%, dan kalau ukuran populasinya 30, maka sampelnya harus 100%.

Ada pula yang menuliskan, untuk penelitian deskriptif, sampelnya 10% dari populasi, penelitian korelasional, paling sedikit 30 elemen populasi, penelitian perbandingan kausal, 30 elemen per kelompok, dan untuk penelitian eksperimen 15 elemen per kelompok (Gay dan Diehl, 1992).

Roscoe (1975) dalam Uma Sekaran (1992) memberikan pedoman penentuan jumlah sampel sebagai berikut :

1. Sebaiknya ukuran sampel di antara 30 s/d 500 elemen

2. Jika sampel dipecah lagi ke dalam subsampel (laki/perempuan, SD/SLTP/SMU, dsb), jumlah minimum subsampel harus 30

3. Pada penelitian multivariate (termasuk analisis regresi multivariate) ukuran sampel harus beberapa kali lebih besar (10 kali) dari jumlah variable yang akan dianalisis.

4. Untuk penelitian eksperimen yang sederhana, dengan pengendalian yang ketat, ukuran sampel bisa antara 10 s/d 20 elemen.

Krejcie dan Morgan (1970) dalam Uma Sekaran (1992) membuat daftar yang bisa dipakai untuk menentukan jumlah sampel sebagai berikut (Lihat Tabel)

Tabel I.1 Tabel Penentuan Jumlah Sampel

Populasi (N)

Sampel (n)

Populasi (N)

Sampel (n)

Populasi (N)

Sampel (n)

10

10

220

140

1200

291

15

14

230

144

1300

297

20

19

240

148

1400

302

25

24

250

152

1500

306

30

28

260

155

1600

310

35

32

270

159

1700

313

40

36

280

162

1800

317

45

40

290

165

1900

320

50

44

300

169

2000

322

55

48

320

175

2200

327

60

52

340

181

2400

331

65

56

360

186

2600

335

70

59

380

191

2800

338

75

63

400

196

3000

341

80

66

420

201

3500

346

85

70

440

205

4000

351

90

73

460

210

4500

354

95

76

480

214

5000

357

100

80

500

217

6000

361

110

86

550

226

7000

364

120

92

600

234

8000

367

130

97

650

242

9000

368

140

103

700

248

10000

370

150

108

750

254

15000

375

160

113

800

260

20000

377

170

118

850

265

30000

379

180

123

900

269

40000

380

190

127

950

274

50000

381

200

132

1000

278

75000

382

210

136

1100

285

1000000

384

Sebagai informasi lainnya, Champion (1981) mengatakan bahwa sebagian besar uji statistik selalu menyertakan rekomendasi ukuran sampel. Dengan kata lain, uji-uji statistik yang ada akan sangat efektif jika diterapkan pada sampel yang jumlahnya 30 s/d 60 atau dari 120 s/d 250. Bahkan jika sampelnya di atas 500, tidak direkomendasikan untuk menerapkan uji statistik. (Penjelasan tentang ini dapat dibaca di Bab 7 dan 8 buku Basic Statistics for Social Research, Second Edition)

TEKNIK-TEKNIK PENGAMBILAN SAMPEL

Ada beberapa teknik pengambilan sampel yang sering digunakan dalam penelitian diantaranya adalah: Sampling non probabilitas dan sampling probabilitas.

Lebih detailnya dapat dilihat pada gambar dibawah ini:

Gambar I.1 Tipe Sampling menurut Proses Memilih

Sampling dengan Pengembalian

Satuan sampling yang terpilih, “dikembalikan” lagi ke dalam populasi (sebelum dilakukan kembali proses pemilihan berikutnya). Sebuah satuan sampling bisa terpilih lebih dari satu kali. Untuk populasi berukuran N=4 dan sampel berukuran n=2, maka sampel yang mungkin terambil adalah Nn = 42 = 16 buah sampel. Teknik sampling seperti ini bisa dikatakan tidak pernah digunakan dalam suatu penelitian, hanya untuk keperluan teoritis yang berkatian dengan pengambilan sampel.

Sampling tanpa Pengembalian :

Satuan sampling yang telah terpilih, “tidak dikembalikan” lagi ke dalam populasi. Tidak ada kemungkinan suatu satuan sampling terpilih lebih dari sekali. Untuk populasi berukuran N=4 (misalnya A, B, C, D) dan sampel berukuran n=3, maka sampel yang mungkin terambil ada 4 buah sampel yaitu ABC, ABD, ACD, dan BCD. Secara umum untuk menghitung banyaknya macam sampel yang mungkin jika pengambilan sampel tanpa pengembalian adalah: nCr = n!/(r!(n-r)!)

Tipe Sampling menurut Peluang PemilihannyaRandom sampling

Random sampling adalah cara pengambilan sampel yang memberikan kesempatan yang sama untuk diambil kepada setiap elemen populasi. Artinya jika elemen populasinya ada 100 dan yang akan dijadikan sampel adalah 25, maka setiap elemen tersebut mempunyai kemungkinan 25/100 untuk bisa dipilih menjadi sampel.

Syarat pertama yang harus dilakukan untuk mengambil sampel secara acak adalah memperoleh atau membuat kerangka sampel atau dikenal dengan nama “sampling frame”. Yang dimaksud dengan kerangka sampling adalah daftar yang berisikan setiap elemen populasi yang bisa diambil sebagai sampel. Elemen populasi bisa berupa data tentang orang/binatang, tentang kejadian, tentang tempat, atau juga tentang benda. Jika populasi penelitian adalah mahasiswa perguruan tinggi “A”, maka peneliti harus bisa memiliki daftar semua mahasiswa yang terdaftar di perguruan tinggi “A “ tersebut selengkap mungkin. Nama, NRP, jenis kelamin, alamat, usia, dan informasi lain yang berguna bagi penelitiannya.. Dari daftar ini, peneliti akan bisa secara pasti mengetahui jumlah populasinya (N). Jika populasinya adalah rumah tangga dalam sebuah kota, maka peneliti harus mempunyai daftar seluruh rumah tangga kota tersebut. Jika populasinya adalah wilayah Jawa Barat, maka penelti harus mepunyai peta wilayah Jawa Barat secara lengkap. Kabupaten, Kecamatan, Desa, Kampung. Lalu setiap tempat tersebut diberi kode (angka atau simbol) yang berbeda satu sama lainnya.

Di samping sampling frame, peneliti juga harus mempunyai alat yang bisa dijadikan penentu sampel. Dari sekian elemen populasi, elemen mana saja yang bisa dipilih menjadi sampel?. Alat yang umumnya digunakan adalah Tabel Angka Random, kalkulator, atau undian. Pemilihan sampel secara acak bisa dilakukan melalui sistem undian jika elemen populasinya tidak begitu banyak. Tetapi jika sudah ratusan, cara undian bisa mengganggu konsep “acak” atau “random” itu sendiri.

1. Simple Random Sampling atau Sampel Acak Sederhana

Cara atau teknik ini dapat dilakukan jika analisis penelitiannya cenderung deskriptif dan bersifat umum. Perbedaan karakter yang mungkin ada pada setiap unsur atau elemen populasi tidak merupakan hal yang penting bagi rencana analisisnya. Misalnya, dalam populasi ada wanita dan pria, atau ada yang kaya dan yang miskin, ada manajer dan bukan manajer, dan perbedaan-perbedaan lainnya. Selama perbedaan gender, status kemakmuran, dan kedudukan dalam organisasi, serta perbedaan-perbedaan lain tersebut bukan merupakan sesuatu hal yang penting dan mempunyai pengaruh yang signifikan terhadap hasil penelitian, maka peneliti dapat mengambil sampel secara acak sederhana. Dengan demikian setiap unsur populasi harus mempunyai kesempatan sama untuk bisa dipilih menjadi sampel. Prosedurnya :

· Susun “sampling frame”

· Tetapkan jumlah sampel yang akan diambil

· Tentukan alat pemilihan sampel

· Pilih sampel sampai dengan jumlah terpenuhi

2. Stratified Random Sampling atau Sampel Acak Distratifikasikan

Karena unsur populasi berkarakteristik heterogen, dan heterogenitas tersebut mempunyai arti yang signifikan pada pencapaian tujuan penelitian, maka peneliti dapat mengambil sampel dengan cara ini. Misalnya, seorang peneliti ingin mengetahui sikap manajer terhadap satu kebijakan perusahaan. Dia menduga bahwa manajer tingkat atas cenderung positif sikapnya terhadap kebijakan perusahaan tadi. Agar dapat menguji dugaannya tersebut maka sampelnya harus terdiri atas paling tidak para manajer tingkat atas, menengah, dan bawah. Dengan teknik pemilihan sampel secara random distratifikasikan, maka dia akan memperoleh manajer di ketiga tingkatan tersebut, yaitu stratum manajer atas, manajer menengah dan manajer bawah. Dari setiap stratum tersebut dipilih sampel secara acak. Prosedurnya :

· Siapkan “sampling frame”

· Bagi sampling frame tersebut berdasarkan strata yang dikehendaki

· Tentukan jumlah sampel dalam setiap stratum

· Pilih sampel dari setiap stratum secara acak.

Pada saat menentukan jumlah sampel dalam setiap stratum, peneliti dapat menentukan secara (a) proposional, (b) tidak proposional. Yang dimaksud dengan proposional adalah jumlah sampel dalam setiap stratum sebanding dengan jumlah unsur populasi dalam stratum tersebut. Misalnya, untuk stratum manajer tingkat atas (I) terdapat 15 manajer, tingkat menengah ada 45 manajer (II), dan manajer tingkat bawah (III) ada 100 manajer. Artinya jumlah seluruh manajer adalah 160. Kalau jumlah sampel yang akan diambil seluruhnya 100 manajer, maka untuk stratum I diambil (15:160)x100 = 9 manajer, stratum II = 28 manajer, dan stratum 3 = 63 manajer.

Jumlah dalam setiap stratum tidak proposional. Hal ini terjadi jika jumlah unsur atau elemen di salah satu atau beberapa stratum sangat sedikit. Misalnya saja, kalau dalam stratum manajer kelas atas (I) hanya ada 4 manajer, maka peneliti bisa mengambil semua manajer dalam stratum tersebut , dan untuk manajer tingkat menengah (II) ditambah 5, sedangkan manajer tingat bawah (III), tetap 63 orang.

3. Cluster Sampling atau Sampel Gugus

Teknik ini biasa juga diterjemahkan dengan cara pengambilan sampel berdasarkan gugus. Berbeda dengan teknik pengambilan sampel acak yang distratifikasikan, di mana setiap unsur dalam satu stratum memiliki karakteristik yang homogen (stratum A : laki-laki semua, stratum B : perempuan semua), maka dalam sampel gugus, setiap gugus boleh mengandung unsur yang karakteristiknya berbeda-beda atau heterogen. Misalnya, dalam satu organisasi terdapat 100 departemen. Dalam setiap departemen terdapat banyak pegawai dengan karakteristik berbeda pula. Beda jenis kelaminnya, beda tingkat pendidikannya, beda tingkat pendapatnya, beda tingat manajerialnnya, dan perbedaan-perbedaan lainnya. Jika peneliti bermaksud mengetahui tingkat penerimaan para pegawai terhadap suatu strategi yang segera diterapkan perusahaan, maka peneliti dapat menggunakan cluster sampling untuk mencegah terpilihnya sampel hanya dari satu atau dua departemen saja. Prosedur :

a. Susun sampling frame berdasarkan gugus

b. Tentukan berapa gugus yang akan diambil sebagai sampel

c. Pilih gugus sebagai sampel dengan cara acak

d. Teliti setiap pegawai yang ada dalam gugus sample

4. Systematic Sampling atau Sampel Sistematis

Jika peneliti dihadapkan pada ukuran populasi yang banyak dan tidak memiliki alat pengambil data secara random, cara pengambilan sampel sistematis dapat digunakan. Cara ini menuntut kepada peneliti untuk memilih unsur populasi secara sistematis, yaitu unsur populasi yang bisa dijadikan sampel adalah yang “keberapa”. Misalnya, setiap unsur populasi yang keenam, yang bisa dijadikan sampel. Soal “keberapa”-nya satu unsur populasi bisa dijadikan sampel tergantung pada ukuran populasi dan ukuran sampel. Misalnya, dalam satu populasi terdapat 5000 rumah. Sampel yang akan diambil adalah 250 rumah dengan demikian interval di antara sampel kesatu, kedua, dan seterusnya adalah 25. Prosedurnya :

· Susun sampling frame

· Tetapkan jumlah sampel yang ingin diambil

· Tentukan K (kelas interval)

· Tentukan angka atau nomor awal di antara kelas interval tersebut secara acak atau random – biasanya melalui cara undian saja.

· Mulailah mengambil sampel dimulai dari angka atau nomor awal yang terpilih.

· Pilihlah sebagai sampel angka atau nomor interval berikutnya

5. Area Sampling atau Sampel Wilayah

Teknik ini dipakai ketika peneliti dihadapkan pada situasi bahwa populasi penelitiannya tersebar di berbagai wilayah. Misalnya, seorang marketing manajer sebuah stasiun TV ingin mengetahui tingkat penerimaan masyarakat Jawa Barat atas sebuah mata tayangan, teknik pengambilan sampel dengan area sampling sangat tepat. Prosedurnya :

· Susun sampling frame yang menggambarkan peta wilayah (Jawa Barat) – Kabupaten, Kotamadya, Kecamatan, Desa.

· Tentukan wilayah yang akan dijadikan sampel (Kabupaten ?, Kotamadya?, Kecamatan?, Desa?)

· Tentukan berapa wilayah yang akan dijadikan sampel penelitiannya.

· Pilih beberapa wilayah untuk dijadikan sampel dengan cara acak atau random.

· Kalau ternyata masih terlampau banyak responden yang harus diambil datanya, bagi lagi wilayah yang terpilih ke dalam sub wilayah.

Non random sampling atau nonprobability sampling

Seperti telah diuraikan sebelumnya, jenis sampel ini tidak dipilih secara acak. Tidak semua unsur atau elemen populasi mempunyai kesempatan sama untuk bisa dipilih menjadi sampel. Unsur populasi yang terpilih menjadi sampel bisa disebabkan karena kebetulan atau karena faktor lain yang sebelumnya sudah direncanakan oleh peneliti.

1. Convenience Sampling atau sampel yang dipilih dengan pertimbangan kemudahan.

Dalam memilih sampel, peneliti tidak mempunyai pertimbangan lain kecuali berdasarkan kemudahan saja. Seseorang diambil sebagai sampel karena kebetulan orang tadi ada di situ atau kebetulan dia mengenal orang tersebut. Oleh karena itu ada beberapa penulis menggunakan istilah accidental sampling – tidak disengaja – atau juga captive sample (man-on-the-street) Jenis sampel ini sangat baik jika dimanfaatkan untuk penelitian penjajagan, yang kemudian diikuti oleh penelitian lanjutan yang sampelnya diambil secara acak (random). Beberapa kasus penelitian yang menggunakan jenis sampel ini, hasilnya ternyata kurang obyektif.

2. Purposive Sampling

Sesuai dengan namanya, sampel diambil dengan maksud atau tujuan tertentu. Seseorang atau sesuatu diambil sebagai sampel karena peneliti menganggap bahwa seseorang atau sesuatu tersebut memiliki informasi yang diperlukan bagi penelitiannya. Dua jenis sampel ini dikenal dengan nama judgement dan quota sampling.

· Judgment Sampling

Sampel dipilih berdasarkan penilaian peneliti bahwa dia adalah pihak yang paling baik untuk dijadikan sampel penelitiannya.. Misalnya untuk memperoleh data tentang bagaimana satu proses produksi direncanakan oleh suatu perusahaan, maka manajer produksi merupakan orang yang terbaik untuk bisa memberikan informasi. Jadi, judment sampling umumnya memilih sesuatu atau seseorang menjadi sampel karena mereka mempunyai “information rich”.

Dalam program pengembangan produk (product development), biasanya yang dijadikan sampel adalah karyawannya sendiri, dengan pertimbangan bahwa kalau karyawan sendiri tidak puas terhadap produk baru yang akan dipasarkan, maka jangan terlalu berharap pasar akan menerima produk itu dengan baik. (Cooper dan Emory, 1992).

· Quota Sampling

Teknik sampel ini adalah bentuk dari sampel distratifikasikan secara proposional, namun tidak dipilih secara acak melainkan secara kebetulan saja. Misalnya, di sebuah kantor terdapat pegawai laki-laki 60% dan perempuan 40%. Jika seorang peneliti ingin mewawancari 30 orang pegawai dari kedua jenis kelamin tadi maka dia harus mengambil sampel pegawai laki-laki sebanyak 18 orang sedangkan pegawai perempuan 12 orang. Sekali lagi, teknik pengambilan ketiga puluh sampel tadi tidak dilakukan secara acak, melainkan secara kebetulan saja.

3. Snowball Sampling – Sampel Bola Salju

Cara ini banyak dipakai ketika peneliti tidak banyak tahu tentang populasi penelitiannya. Dia hanya tahu satu atau dua orang yang berdasarkan penilaiannya bisa dijadikan sampel. Karena peneliti menginginkan lebih banyak lagi, lalu dia minta kepada sampel pertama untuk menunjukan orang lain yang kira-kira bisa dijadikan sampel. Misalnya, seorang peneliti ingin mengetahui pandangan kaum lesbian terhadap lembaga perkawinan. Peneliti cukup mencari satu orang wanita lesbian dan kemudian melakukan wawancara. Setelah selesai, peneliti tadi minta kepada wanita lesbian tersebut untuk bisa mewawancarai teman lesbian lainnya. Setelah jumlah wanita lesbian yang berhasil diwawancarainya dirasa cukup, peneliti bisa mengentikan pencarian wanita lesbian lainnya. . Hal ini bisa juga dilakukan pada pencandu narkotik, para gay, atau kelompok-kelompok sosial lain yang eksklusif (tertutup).

4. Haphazard Sampling

Satuan sampling dipilih sembarangan atau seadanya, tanpa perhitungan apapun tentang derajat kerepresentatipannya. Misalnya ketika kita akan melakukan penelitian mengenai kompetensi dosen di sebuah Universitas, pertanyaan dapat diajukan kepada siapapun mahasiswa dari universitas tersebut (sebagai sampel) yang kebetulan datang pada saat kita berada di sana untuk melakukan penelitian.

TEKNIK PENYAJIAN DATA SAMPELPenyajian Data

Penyajian data dilakukan untuk mempermudah dalam pengambilan keputusan. Data-data yang kita ambil dari populasi atau biasa disebut sebagai data sampel, dapat diperoleh dengan berbagai cara, antara lain:

· Wawancara

· Pengamatan

· Surat menyurat

· Kuisioner

Data mentah yang diperoleh dapat disajikan sebagai statistika tataan (pengurutan data) dalam bentuk tabel distribusi frekuensi,histogram, box plot, diagram dahan daun, dan lain-lain.

Tabel Distribusi frekuensi

Tabel distribusi frekuensi adalah metode pengelompokan data ke dalam beberapa kategori yang menunjukan banyaknya data dalam setiap kategori. Setiap data tidak dapat dimasukan ke dalam dua atau lebih kategori agar data menjadi informatif dan mudah dipahami. Data yang sudah dirangkum dalam distribusi frekuensi dinamakan data berkelompok.

Tabel I.2 Contoh tabel distribusi frekuensi

Kelas interval

Frekuensi

3 – 5

2

6 – 8

5

9 – 11

7

12 – 14

1

15 - 17

1

· Langkah-langkah distribusi frekuensi:

1. Mengurutkan data dari data terkecil hingga data terbesar atau sebaliknya.

2. Menentukan banyaknya kelas dengan menggunakan kaidah Sturges, yaitu

(k = 1 + 3,3 log N)

N : banyaknya pengamatan

Banyaknya kelas sebaiknya antara 5 sampai dengan 15

3. Menentukan interval kelas (KI), dengan rumus :

KI sebaiknya kelipatan 5.

4. Melakukan penturusan atau tabulasi dengan memasukan nilai ke dalam interval kelas.

5. Untuk komposisi kelas,perhatikan bahwa kelas tidak tumpang tindih (lihat batas atas dan batas bawah tiap kelasnya kelas).

6. Bila tabel distribusi frekuensi akan digunakan untuk membuat histogram atau poligon, maka komposisinya diubah ke bentuk batas kelas, yaitu batas bawah dikurangi ( ½ x satuan pengukuran terkecil dari data) dan batas atas ditambah (½ x satuan pengukuran terkecil dari data).

Batas kelas adalah nilai terendah dan tertinggi dalam satu kelas tabel distribusi frekuensi. Batas kelas dalam suatu interval kelas terdiri dari dua macam :

· Batas kelas bawah – lower class limit, yaitu nilai terendah dalam suatu interval kelas

· Batas kelas atas – upper class limit, yaitu nilai tertinggi dalam suatu interval kelas

Contoh Batas Kelas :

Nilai tengah adalah tanda atau perinci dari suatu interval kelas dan merupakan suatu angka yang dapat dianggap mewakili suatu interval kelas. Nilai tengah kelas berada di tengah-tengah pada setiap interval kelas.

Contoh nilai tengah:

Nilai tepi kelas (Class Boundaries) adalah nilai batas antara kelas yang memisahkan nilai antara kelas satu dengan kelas lainnya. Nilai tepi kelas ini dapat dihutung dengan penjumlahan nilai atas kelas dengan nilai bawah kelas diantaranya dan di bagi dua.

Contoh nilai tepi kelas :

Kelas

Interval

Jumlah Frekuensi (F)

Nilai Tepi Kelas

1

215

2122

14

214.5

2

2123

4030

3

2122.5

3

4031

5938

1

4030.5

4

5939

7846

1

5938.5

5

7847

9754

1

7846.5

9754.5

Contoh 1 :

1.

2. N = 20

k = 1 + 3,322 Log 20

k = 1 + 3,322 (1,301)

k = 1 + 4,322

k = 5,322

3. Nilai tertinggi = 9750

Nilai terendah = 215

Interval kelas = [ 9750 – 215 ] / 5 = 1907

Jadi interval kelas 1907 yaitu jarak nilai terendah dan nilai tertinggi dalam suatu kelas atau kategori

(2123) (2122)

4. Lakukan penturusan atau tabulasi data

Kelas

Interval

Frekuensi

Jumlah Frekuensi (F)

1

215

2122

IIIII IIIII IIII

14

2

2123

4030

III

3

3

4031

5938

I

1

4

5939

7846

I

1

5

7847

9754

I

1

Distribusi Frekuensi Relatif :

Distribusi frekuensi relatif adalah frekuensi setiap kelas dibandingkan dengan frekuensi total. Tujuan pembuatan distribusi ini adalah untuk memudahkan membaca data secara tepat dan tidak kehilangan makna dari kandungan data.

Contoh Distribusi Frekuensi Relatif :

Kelas

Interval

Jumlah Frekuensi (F)

Frekuensi relatif (%)

1

215

2122

14

70

2

2123

4030

3

15

3

4031

5938

1

5

4

5939

7846

1

5

5

7847

9754

1

5

Penyajian dalam Bentuk Grafik

Manusia pada umunya tertarik dengan gambar dan sesuatu yang ditampilkan delam bentuk visual karena akan lebih mudah diingat dari pada dalam bentuk angka. Untuk itu grafik dapat digunakan sebagai laporan. Grafik juga dapat digunakan untuk menarik kesimpulan tanpa kehilangan makna yang sesungguhnya.

1. Grafik Histogram

Penyajian dalam bentuk histogram tidak lain merupakan pengembangan dari bentuk tabel frekuensi. Bentuk histogram memberikan gambaran frekuensi untuk setiap nilai atau selang nilai tertentu dari data. Gambaran ini akan lebih memudahkan pengguna dalam mengungkap informasi yang terkandung dalam data. Histogram merupakan diagram yang berbentuk balok. Histogram menghubungkan antara tepi kelas interval dengan pada sumbu horizontal (X) dan frekuensi setiap kelas pada sumbu vertikal (Y).

Contoh Histogram:

Kelas

Interval

Jumlah Frekuensi (F)

1

215

2122

14

2

2123

4030

3

3

4031

5938

1

4

5939

7846

1

5

7847

9754

1

Gambar I.2 Contoh Histogram

2. Grafik Polygon

Grafik polygon menggunakan garis yang mengubungkan titik–titik yang merupakan koordinat antara nilai tengah kelas dengan jumlah frekuensi pada kelas tersebut.

Contoh Grafik Polygon:

Kelas

Nilai

Jumlah

 

Tengah

Frekuensi (F)

1

1168.5

14

2

3076.5

3

3

4984.5

1

4

6892.5

1

5

8800.5

1

Gambar I.3 Contoh Grafik Polygon

3. Kurva Ogif

Kurva ogif merupakan diagram garis yang menunjukan kombinasi antara interval kelas dengan frekuensi kumulatif.

Contoh kurva ogif:

Kelas

Interval

Nilai Tepi Kelas

Frekuensi kumulatif

Bawah

Atas

Kurang dari

Lebih dari

1

215

2122

214.5

0

20

2

2123

4030

2122.5

14

6

3

4031

5938

4030.5

17

3

4

5939

7846

5938.5

18

2

5

7847

9754

7846.5

19

1

9754.5

20

0

Gambar I.4 Contoh kurva ogif

4. Box plot

Dalam membuat boxplot, pendekatan yang digunakan adalah dengan membagi kumpulan data yang telah diurutkan menjadi empat bagian sama banyak. Keempat bagian tersebut mempunyai lima pembatas, yaitu : data terkecil (Xmin), K1, K2 atau median, K3, dan data terbesar (Xmax) seperti terlihat di bawah ini :

25%

25%

25%

25%

Xmin K1 K2 K3 Xmax

Pembatas-pembatas tersebut biasa juga disebut dengan Statistik Lima Serangkai.

Kegunaan : Secara visual, boxplots dapat menggambarkan :

· Lokasi pemusatan, yang diwakili oleh nilai median

· Rentangan penyebaran, diperlihatkan oleh panjangnya kotak yang merupakan jarak antara K1 dan K3

· Kemiringan pola sebaran data, ditunjukkan oleh letak median dalam kotak, letak median lebih dekat ke K1 mencirikan suatu sebaran dengan kemiringan positif (menjulur kekanan), dan kemiringan negatif terjadi bilaposisi median lebih dekat ke K3.

Selain itu, dengan menggunakan boxplots kita dapat pula mendeteksi ada atau tidaknya data pencilan (data ekstrim). Data pencilan dideteksi dengan menggunakan nilai-nilai Pagar Dalam (PD) dan Pagar Luar (PL). Nilai-nilai pagar tersebut dihitung menggunakan rumus :

Nilai data yang terletak antara PD dan PL dikategorikan sebagai data pencilan dekat (∗), dan nilai data yang terletak di luar PL dikategorikan sebagai data pencilan jauh (ο).

Gambar I.5 contoh boxplot

5. Diagram dahan daun

Diagram dahan daun adalah suatu cara mencatat data secara tersusun. Diagram ini sangat berguna pada saat kita ingin menyajikan data dalam bentuk gambar tentang bentuk sebarannya tanpa kehilangan informasi nilai numerik dari data. Penggunaan diagram dahan-daun memungkinkan kita untuk mengelompokkan data sekaligus memberi kita informasi visual; panjang tiap baris memperlihatkan frekuensi tiap baris. Terdapat kesamaan fungsi antara histogram dan diagram dahan-daun, yaitu mengelompokkan data, tetapi pada histogram, kita kehilangan informasi tentang nilai numerik dari data.

Diagram dahan-daun sangat mudah dibuat. Angka-angka data kita bagi menjadi dua bagian, bagian pertama menjadi dahan, dan bagian kedua menjadi daun. Angka yang menjadi daun biasanya adalah satu atau dua angka terakhir.

Gambar I.6 contoh diagram batang daun

(Stem-and-leaf of C1 N = 30Leaf Unit = 1.03 0 3335 0 45706611 0 8899(6) 1 00001113 1 22239 1 557 1 66 1 884 2 012 22 2 44)

SOAL – SOAL SAMPLING

1. Jelaskan apa yang dimaksud dengan:

a) Sampling seadanya

b) Sampling purposif

c) Sampling pertimbangan

d) Sampling kuota

e) Sampling nonpeluang

f) Sampling peluang

g) Sampling acak

h) Sampling proporsional

i) Sampling petala

j) Sampling area

k) Sampling sistematik

l) Sampling ganda

m) Sampling tunggal

n) Sampling multiple

o) Sampling sekuensial

p) Sampling klaster

2. Apa yang dimaksud dengan kekeliruan sampling? Jelaskan pula apa yang dimaksud dengan kekeliruan nonsampling!

3. Sebuah populasi berukuran N. Diambil sampel berukuran n dengan cara:

a) Pengembalian

b) Tanpa pengembalian

c) Ada berapa buah sampel yang mungkin?

4. Diberikan sebuah populasi dengan data:

23, 23, 21, 21, 22, 21, 20, 22, 23, 24

Diambil sampel berukuran dua.

a) Ada berapa buah sampel semuanya?

b) Berikan semua sampel yang mungkin!

c) Tentukan rata-rata tiap sampel!

d) Dari rata-rata yang didapat, hitunglah lagi rata-ratanya!

e) Hitunglah rata-rata populasi!

f) Bandingkan hasil poin d. dan poin e. Apa yang tampak?

5. PT Danun Jaya berlokasi di Jl. Solo Km 4 merupakan perusahaan batik sutera yang relatif besar. Pada tahun 2003 terdapat 120 desain produk yang dihasilkan. Apabila PT Danun Jaya ingin mengetahui keberhasilan dari setiap desain produk tersebut dengan mengambil 10 sampel. Dengan menggunakan tabel acak, cobalah cari nomor berapa saja yang menjadi sampel PT Danun Jaya dengan titik awal adalah baris dan kolom ke-1.

6. PT Bawasda Tunggal Perkasa (BTP) merupakan produsen sepatu. PT BTP ingin mengetahui permasalahan produksi yang dialami oleh 60 perusahaan bimbingannya. Untuk keperluan tersebut dilakukan survei terhadap 30 perusahaan dengan menggunakan metode terstruktur porporsional. Berikut adalah jumlah perusahaan masing-masing strata, tentukan berapa jumlah sampel setiap stratanya.

Kelompok/Strata

Jumlah Perusahaan

Tenaga kerja 1-5

5

Tenaga kerja 6-10

15

Tenaga kerja 11-15

20

Tenaga kerja 16-20

5

Tenaga kerja 21-25

10

Tenaga kerja >25

5

7. Diketahui populasi yang terdiri dari 4, 3, 9, 7.

Diambil sampel ukuran n=2. Jika diambil dengan pengembalian,

Carilah:

a) Rata2 dan simpangan baku populasi

b) Rata2 dan simpangan baku distribusi sampelnya.

c) Berapa prob. Rata2 sampel ukuran 2 akan akan mempunyai nilai minimal 6?

8. Diketahui data sbb:

Umur: 293337383940424345475059

Frek.: 1 13423223111

Buatlah diagram kotak garisnya /box plot

DISTRIBUSI SAMPLING

(PENDAHULUAN)

Distribusi sampling didasarkan pada lima kategori sesuai dengan kondisi yang dihadapi yaitu:

a) Distribusi sampling rataan Z

b) Distribusi sampling rataan T

c) Distribusi sampling proporsi

d) Distribusi sampling proporsi 2 populasi

e) Distribusi sampling variansi

(TUJUAN INSTRUKSIONAL UMUM)

Setelah mempelajari materi ini mahasiswa dapat menggunakan dan menghitung berdasarkan macam-macam distribusi sampling.

(TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS)

1. Mahasiswa dapat memahami konsep dasar distribusi sampling

2. Mahasiswa akan dapat mengetahui berbagai macam distribusi sampling

(SKENARIO PEMBELAJARAN1………….2………….3………….4………….)

Kegiatan perkuliahan dilaksanakan dengan skenario sebagai berikut:

1. Perkuliahan

2. Penjelasan tentang concept map (tunjukan di peta konsep dimana posisi materi yang akan dibahas), pokok bahasan, dan kompetensi yang akan dicapai (TIU dan TIK)

3. Tes pendahuluan

4. Ringkasan materi disampaikan dengan metode ceramah, critical incident, diskusi dan tanya jawab

5. Tes akhir

6. Evaluasi pencapaian

7. Penutup

(RINGKASAN MATERI)

Bidang statistika sering membahas mengenai generalisasi/penarikan kesimpulan dan prediksi/ peramalan dari suatu kasus atau penelitian terhadap suatu populasi. Tetapi Generalisasi dan prediksi tersebut sangat jarang melibatkan populasi karena keterbatasan kemampuan penelitian dan begitu besarnya jumlah populasi, sehingga lebih sering menggunakan sampel dari populasi tersebut.

Sebagai contoh, suatu mesin pelayanan minuman yang diatur rata-rata mengeluarkan 250 ml minuman per gelasnya. Kemudian seorang karyawan menghitung rataan 40 gelas minuman yang dikeluarkan dari mesin tadi dan memperoleh = 246 ml, dan berdasarkan hasil ini diberikan kesimpulan bahwa mesin tadi masih mengeluarkan minuman dengan rata-rata isi = 250 ml. ke 40 gelas minuman tadi merupakan sampel dari populasi minuman yang tak terhingga dari kemungkinan isi minuman yang akan dikeluarkan mesin tadi. Kesimpulan ini mungkin diambil karena karyawan tadi tahu dari teori sampling bahwa nilai sampel seperti itu kemungkinan munculnya besar. Tetapi apabila nilai yang didapat nantinya berbeda jauh dari 250 ml maka petugas tadi akan mengambil tindakan memperbaiki mesin tersebut. Hal ini dikarenakan statistik merupakan peubah acak yang tergantung hanya pada sampel yang diamati, maka tentulah ada distribusi peluangnya. Distribusi peluang suatu statistik disebut dengan distribusi sampel.

DISTRIBUSI SAMPLING RATAAN Z

Misalkan sampel acak n pengamatan diambil dari populasi normal dengan rataan dan variansi σ2. Tiap pengamatan i, i = 1,2,…,n, dari sampel acak tersebut akan berdistribusi normal yang sama dengan populasi yang diambil sampelnya. Jadi, berdasarkan sifat merambat distribusi normal, dapat disimpulkan bahwa

Berdistribusi normal dengan rataan

Dan variansi

Bila populasi yang diambil sampelnya dan tidak diketahui distirbusinya, berhingga atau tidak, maka distribusi sampel masih akan berdistribusi hampir normal dengan rataan dan variansi σ2/n, asalakan ukuran sampelnya besar (n > 30). Hal ini dikenal dengan Teorema Limit Pusat, yaitu bila rataan sampel acak ukuran n yang diambil dari populasi dengan rataan dan variansi σ2 yang berhingga, maka bentuk limit dari distribusi

bila n , adalah distribusi normal baku n(z;0,1)

(Contoh :Suatu perusahaan memproduksi bola lampu yang umurnya berdistribusi hampir normal dengan rataan 800 jam dan simpangan baku 40 jam. Hitunglah peluangnya bahwa suatu sampel acak dengan 16 bola lampu akan mempunyai umur rata-rata kurang dari 775 jam.)Hampiran normal untuk umumnya cukup baik jika menggunakan sampel ukuran besar (n > 30), terlepas dari bentuk populasi. Bila menggunakan sampel ukuran kecil (n < 30), hampirannya hanya akan baik bila populasinya tidak jauh berbeda dengan normal. Bila populasinya normal, maka distribusi sampel akan tepat berdistribusi normal, dan ukuran sampelnya tidak menjadi masalah.

(Jawab :Secara hampiran, distribusi sampel akan normal dengan = 800 dan = 40 / = 10. Peluang yang dicari diberikan oleh luas daerah yang dihitami pada Gambar 1.1. Nilai z yang berpadanan dengan = 775 adalahSehinggaP( < 775) = P( < -2,5)= 0,0062Gambar 1.1)Sekarang misalkan ada dua populasi, yang pertama dengan rataan 1 dan variansi σ21, dan yang kedua dengan rataan2 dan variansi σ22. Misalkanlah statistik 1 menyatakan rataan sampel acak ukuran n1 yang diambil dari populasi pertama, dan statistik 2 menyatakan rataan sampel acak ukuran n2 yang diambil dari populasi kedua, dan kedua sampel bebas satu sama lain. Maka distribusi sampel dari selisih rataan, , berdistribusi hampir normal dengan rataan dan variansi :

( )

Sehingga

Secara hampiran merupakan peubah normal baku.

(Contoh :Suatu sampel berukuran n1 = 15 diambil secara acak dari populasi yang berdistribusi normal dengan rataan 1 = 50 dan variansi σ21 = 9, dan rataan sampel 1 dihitung. Sampel acak kedua berukuran n2 = 4 diambil, bebas dari yang pertama, dari populasi lain yang juga berdistribusi normal, dengan rataan2 = 40 dan variansi σ21 = 4, dan rataan sampel 2 dihitung. Cari nilai P( < 8,2)!)Jika (n1 dan n2 > 30), maka hampiran normal untuk distribusi sangat baik tidak tergantung dari bentuk kedua populasi. Tetapi, bila (n1 dan n2 < 30), maka hampiran normal lumayan baik kecuali bila kedua populasi agak jauh dari normal. Tentu saja bila kedua populasi normal, maka berdistribusi normal terlepas dari ukuran n1 dan n2.

(Jawab :Dari distribusi sampel kita tahu bahwa distribusinya normal dengan :Rataan : Variansi : Peluang yang dicari dinyatakan oleh luas daerah yang dihitami di Gambar 1.2. berpadanan dengan nilai = 8,2, diperolehSehinggaP( < 8,2)= P( < )= 0,1401Gambar 1.2)DISTRIBUSI SAMPLING RATAAN t

Untuk ukuran sampel besar (n > 30), taksiran σ2 yang baik dapat diperoleh dengan menghitung nilai S2. Bila ukuran sampelnya kecil (n < 30), nilai S2 akan berubah cukup besar dari sampel ke sampel lainnya dan distribusi peubah acak () menyimpang cukup jauh dari distribusi normal baku. Dalam hal ini kita menghadapi distribusi statistic yang dinamakan distribusi t, dengan

Misalkan Z peubah acak normal baku dan V peubah acak khi-kuadrat dengan derajat kebebasan v. bila Z dan V bebas, maka distribusi peubah acak T, bila

Diberikan oleh

( )

Ini dikenal dengan nama distribusi t dengan derajat kebebasan v.

Dalam menurunkan distribusi sampel T, akan kita misalkan bahwa sampel acaknya berasal dari populasi normal. Selanjutnya :

Dengan

Berdistribusi normal baku, dan

Berdistribusi chi-kuadrat dengan derajat kebebasan v = n – 1. Jika sampel berasal dari populasi normal maka dapat dibuktikan bahwa dan bebas, oleh karena itu Z dan V juga bebas. Sekarang akan kita turunkan distribusi T.

(V = )Distribusi T mirip dengan distribusi Z, keduanya setangkup terhadap rataan nol. Keduanya berbentuk lonceng, tapi distribusi t lebih berbeda satu sama lain karena nilai T tergantung pada dua besaran yang berubah-ubah, dan , sedangkan nilai Z hanya tergantung pada perubahan dari sampel ke sampel lainnya. Distribusi T dan Z berbeda karena variansi T bergantung pada ukuran sampel n dan variansi ini selalu lebih besar dari 1. Hanya bila ukuran sampel, n , kedua distribusi menjadi sama. Gambar 1.3 di bawah memperlihatkan hubungan antara distribusi normal baku (v = ) dan distribusi t untuk derajat kebebasan 2 dan 5.

(V = 5)

(V = 2)

Gambar 1.3 Kurva distribusi t

Distribusi t setangkup terhadap rataan nol, maka , yaitu nilai t yang luas sebelah kanannya , atau luas sebelah kirinya , sama dengan minus nilai t yang luas bagian kanannya

(0)

(Contoh :Suatu pabrik bola lampu yakin bahwa bola lampunya akan tahan menyala rata-rata selama 500 jam. Untuk mempertahankan nilai tersebut, tiap bulan diuji 25 bola lampu. Bila nilai t yang dihitung terletak antara -t0,05 dan t0,05 maka pengusaha pabrik tadi akan mempertahankan keyakinannya. Kesimpulan apakah yang seharusnya dia ambil dari sampel dengan rataan = 518 jam dan simpangan baku s = 40 jam ? Anggap bahwa distribusi waktu menyala ,secara hampiran,normal.) (Jawab :Dari tabel t, diperoleh t0,05 = 1,711 untuk derajat kebebasan v = 25 – 1 = 24. Jadi pengusaha tadi akan puas dengan keyakinannya bila sampel 25 bola lampu memberikan nilai t antara -1,711 dan 1,711. Bila memang = 500, maka :Suatu nilai yang cukup jauh di atas 1,711. Peluang mendapat nilai t, dengan derajat kebebasan v = 24, sama atau lebih besar dari 2,25, secara hampiran adalah 0,02. Bila > 500, nilai t hasil perhitungan dari sampel tadi akan terasa lebih wajar. Jadi pengusaha tadi kemungkinan besar akan menyimpulkan bahwa produksinya lebih baik daripada yang didudaganya semula.)

DISTRIBUSI SAMPLING PROPORSI

Bila populasi berukuran N mengandung jenis p sebanyak X, maka proporsi p adalah X/N. Jika dari populasi tersebut diambil sampel berukuran n yang juga mengandung proporsi x/n dan sampel diambil berulang maka distribusi sampel proporsinya mempunyai :

1. Rata-rata

2. Simpangan baku jika populasi terbatas atau sampling tanpa pengembalian atau n/N >5% :

3. Simpangan baku jika populasi tidak terbatas, atau sampling dengan pengembalian atau n/N < 5%

4. Variabel random

Contoh :

Diketahui sebanyak 10% dari ibu-ibu rumah tangga di Bandung memakai detergen A untuk mencuci pakaiannya. Jika dari populasi tersebut diambil sampel berukuran 100 :

a. Tentukan rata-rata dan simpangan baku sampel dari populasi ibu-ibu rumah tangga yang memakai detergen A!

b. Bila dari sampel tersebut ternyata terdapat paling sedikit 15 ibu rumah tangga yang memakai detergen A, tentuka probabilitasnya!

Jawab:

a. Rata-rata = 0,1

b. Proporsi yang memakai detergen A adalah 15/100 = 0,15

P(Z>1,67) = 0,5-0,4525 = 0,0475

DISTRIBUSI SAMPLING PROPORSI 2 POPULASI

Terdiri dari 2 populasi.

Populasi 1 berukuran terdapat jenis dengan proporsi

Populasi 2 berukuran terdapat jenis dengan proporsi

Bila populasi 1 diambil sampel acak berukuran maka sampel ini akan mengandung jenis dengan proposi . Demikian juga dengan populasi 2 diambil sampel acak berukuran maka sampel ini juga akan mengandung jenis dengan proporsi

Smapel 1 dan 2 dapat membentuk sampel acak baru yaitu sampel beda dua proporsi.

Distribusinya mempunyai :

a) Rata-rata

b) Simpangan baku

c) Variabe random

Contoh :

5% barang di gudang timur cacat, sedangkan barang yang cacat di gudang barat sebanyak 10%. Bila diambil sampel acak sebanyak 200 barang dari gudang timur dan 300 barang dari gudang barat, tentukan probabilitas persentase barang yang cacat dalam gudang barat 2% lebih banyak disbanding gudang timur!

Jawab :

Gudang barat :

Gudang timur:

= proporsi barang yang cacat di gudang barat dalam sampel

= proporsi barang yang cacat di gudang timur dalam sampel

=

Karena barang cacat di gudang barat 2% lebih banyak daripada di gudang timur maka > 0,02 sehingga diperoleh :

Jadi probabilitasnya adalah P = P (Z > -1,3) = 0,5 + 0,4032 = 0,9032 = 90,32 %

DISTRIBUSI SAMPLING VARIANSI

Bila sampel berukuran n diambil dari populasi normal dengan variansi , dan variansi sampel dihitung maka kita peroleh suatu nilai dari statistic . Variansi sampel hasil perhitungan ini akan digunakan sebagai taksiran titik untuk . Karena itu statistic disebut penaksir .

Taksiran selang untuk dapat diturunkan dengan menggunakan statistic.

Contoh

Suatu pabrik baterai mobil menjamin bahwa baterai akan tahan rata-rata 3 tahun dengan simpangan baku 1 tahun. Bila lima baterainya tahan 1,9,2,4,3,0,3,5,dan 4,2 tahun, apakah pembuatnya masih yakin bahwa simpangan baku baterai tersebut 1 tahun?

Jawab

Mula-mula dihitung variansi sampel :

= 0,815

Kemudian

Merupakan suatu nilai distribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan 4. Karena 95% nilai dengan derajat kebebasan 4 terletak antara 0,484 dan 11.143, nilai perhitungan dengan menggunakan = 1 masih wajar,sehingga tidak ada alasan bagi pembuatnya untuk mencurigai bahwa simpangan baku baterainya bukan 1 tahun

SOAL – SOAL

1. Sebuah populasi berukuran 80 mempunyai rata-rata 69,7 dan varians 3,50. Dengan sampling pengembalian diambil 1000 buah sampel acak yang masing-masing berukuran 5. Untuk tiap sampel dihitung rata-rata dan variansnya. Berapa nilai yang kita harapkan untuk :

a) rata-rata ke 1000 rata-rata?

b) varians ke 1000 rata-rata?

c) rata-rata ke 1000 varians?

2. Misalkan bahwa tinggi rata-rata mahasiswa Indonesia 162 cm dengan simpangan baku 6,5 cm. Sebuah sampel acak akan diambil dengan syarat bahwa galat baku rata-rata maksimum 0,5 cm.

a) Berapa paling sedikit mahasiswa perlu diambil sebagai sampel?

Dengan ukuran sampel yang terkecil, tentukan peluang rata-rata tinggi mahasiswa :

a) Paling sedikit 155 cm

b) Paling besar 175 cm

c) Antara 158 cm dan 172 cm

d) Kurang dari 160 cm

3. Lihat soal nomer 2 diatas. Misalkan populasinya berdistribusi normal. Ada berapa buah sampel diharapkan akan mempunyai rata-rata :

a) antara 62 dan 72

b) paling sedikit 72,5

c) kurang dari 67

5. Diberikan dua buah populasi dengan:

data populasi I: 3,2,3,5,4,8.

data populasi II: 10,12,15,10.

a) Dari populasi I diambil semua sampel acak berukuran 3 dan dari populasi II semua yang berukuran 2. Tulislah semua sampelnya lalu :

b) Hitung rata-rata kedua populasi.

c) Hitung rata-rata distribusi sampling rata-rata dari kedua populasi itu. Sebut ini µx dan µy.

d) Hitung µx - µy dan bandingkan dengan selisih rata-rata populasi I dan populasi II. Apa yang nampak?

e) Bagaimana untuk µx + µy ?

6. Macam lampu A rata-rata menyala 1.400 jam dan macam lampu B menyala 1.300 jam. simpangan bakunya masing-masing 160 jam dan 125 jam. dari tiap populasi diambil sebuah sampel acak yang berukuran 85 dari sampel lampu A dan 100 dari sampel lampu B. Tentukan peluang rata-rata menyala lampu dalam sampel dari A paling sedikit akan 50 jam lebihnya dari rata-rata menyala lampu dalam sampel dari B.

7. Besi baja yang diproduksi perush A mempunyai rata-rata daya regang sebesar 4500 lbs dan variansi sebesar 40000 lbs. Sedangkan yang diproduksi perush. B mempunyai rata-rata daya regang sebesar 4000 lbs dan variansi 90000 lbs. Misalkan sampel random sebanyak n1= 50 diambil dari perush. B . Berapakah probabilitas rata-rata daya regang beda dua rata-rata dari dua sampel itu yang lebih besar dari 600 lbs?

8. Berikut adalah harga saham dari 5 perusahaan dalam Industri pertanian di BEJ 12 Januari 2004.

Perusahaan

Harga persaham

PT Rajawali

275

PT Bukaka Plantindo

280

PT London

500

PT Inti Boga

350

PT Surya Pangan Nusantara

575

Apabila diambil sampel berukuran 2 untuk mengetahui kinerjanya, hitunglah rata-rata hitung dan standar deviasi sampel serta populasi, dan berapa probabilitas perusahaan dengan harga diatas 400 terpilih sebagai sampel?

8. Berikut adalah hasil investasi pada 5 perusahaan reksadana untuk tahun 2003

Perusahaan

Hasil Investasi (%/tahun)

Nikko

17

Investa

15

GTF Tunai

10

Dana Investa

11

Phinis Dana Kas

14

Seorang investor ingin menanamkan modal di reksadana dengan mencoba survei pada 3 perusahaan reksadana. Hitunglah berapa nilai rata-rata dan standar deviasi dari distribusi sampel rata-rata. Berapa peluang terpilihnya perusahaan untuk disurvey dengan harapan perusahaan tersebut mempunyai hasil investasi di atas 13%.

9. PT Caraka Bumi merencanakan akan memergerkan dua perusahaan yaitu PT Indah Karya dan PT Dharma Raya. PT Caraka Bumi juga merencanakan PHK dalam rangka efisiensi yaitu pada PT Indah Karya sekitar 10% dan PT. Dharma Raya 15% dari total karyawan yang ada. Untuk keperluan tersebut, dipanggil 100 karyawan dari PT Indah Karya dan 200 dari PT Dharma Raya untuk wawancara. Berapa probabilitas beda persentase tentang PHK di PT Indah Karya 5% akan lebih kecil dari PT Dharma Raya?

10. PT PSK Jaya mempunyai dua anak perusahaan yaitu PT AYU yang bergerak dalam konveksi dan PT NANI ABADI yang bergerak dalam realestate. Kedua diharapkan mempunyai kinerja yang sama baiknya. Pengamatan selama 30 bulan PT AYU. menunjukan keuntungan rata-rata 500 juta dengan standar deviasi 75 juta. Sedangkan pengamatan terhadap PT NANI ABADI selama 50 bulan menunjukkan keuntungan rata-rata 300 juta dengan standar deviasi 52 juta. Apabila PT PSK menginginkan selisih dari kedua perusahaan kurang dari 150 juta, berapa peluang keinginan tersebut tercapai?

11. Hitunglah peluang bahwa suatu sampel acak ukuran 25 pengamatan, diambil dari populasi normal dengan variansi = 6, akan mempunyai variansi

a) Lebih besar dari 9,1;

b) Antara 3,462 dan 10,745

c) Misalkan bahwa variansi sampel merupakan pengukuran yang kontinu.

12. Ada anggapan bahwa peluang usaha di Jawa untuk relatif berhasil lebih besar dibandingkan dengan di luar Jawa. Sebuah survey menunjukkan bahwa 200 UKM di Jawa, 45%-nya berhasil dan 100 UKM di luar Jawa, 30%-nya berhasil. Apabila pemerintah menginginkan perbedaan di Jawa dan Luar Jawa hanya 5%, berapa peluang keinginan tersebut tercapai.

13. Suatu perusahaan menyatakan bahwa baterai yang dipakai dalam mainan elektroniknya akan tahan rata-rata 30 jam. Untuk mempertahankan nilai ini, 16 baterai diuji setipa bulan. Bila diperoleh nilai berada antara dan maka perusahaan puas dengan pernyataannya. Kesimpulan apa yang seharusnya diambil perusahaan dari sampel acak yang mempunyai = 27,5 jam dengan simpangan baku = 5 jam? Anggap baterai berdistribusi hampiran normal.

14. Suatu perusahaan rokok mengatakan bahwa rata-rata kadar nikotin rokoknya 1,83 mg. Apakah anda setuju dengan pendapat pengusaha rokok tersebut bila suatu sampel ukuran 8 rokok dari perusahaan tersebut mengandung kadar nikotin 2.0, 1.7, 2.1, 1.9, 2.2, 2.1, 2.0, dan 1.6 mg?

15. Dari sekelompok pegawai yang terdiri atas 40.000 orang telah diambil sekelompok kecil sebanyak 100 orang . Yang menjadi perhatian disini ialah penghasilan pegawai tiap bulan. Apabila ditaksir bahwa keseluruhan pegawai pukul rata mempunyai pendapatan Rp. 27500 dengan simpangan baku Rp. 1000 maka:

a) Untuk kelompok kecil tadi , berapa rata-rata upahnya akan antara Rp.25000 dan Rp.30.000?

b) Seperti di a tapi paling rendah Rp. 20.000?

c) Apabila dikehendaki perbedaan rata-rata upah untuk tiap kelompok paling besar Rp. 500, maka setiap kelompok itu paling sedikit harus terdiri atas berapa orang pegawai yang perlu diambil secara acak?

16. Dalam setiap pengiriman gelas minum , biasanya 95% diterima dalam keadaan baik. Pada suatu waktu telah dikirimkan 100.000. buah gelas. Berapa peluangnya untuk pemeriksaan yang terdiri dari 60 buah gelas dari pengiriman itu, akan berisikan gelas yang baik:

a) Antara 90% dan 98%?

b) Paling sedikit 97,5%?

17. A dan B menghasilkan dua macam kabel, yang daya tahannya masing-masing pukul rata 4000 dan 4500 kg dengan simpangan baku berturut-turut 300 dan 200 kg. Jika dari kabel yang dihasilkan oleh A diuji 100 potong sedangkan dari yang dihasilkan B diuji 50 potong, maka tentukanlah peluangnya pukul rata daya tahan kabel B akan:

a) Paling sedikit 600 kg lebih daripada daya tahan kabel A?

b) Paling banyak 450 kg lebih daripada daya tahan kabel A?

18. Pengalaman memperlihatkan bahwa dikota A sekitar 65% dari para ibu ternyata lebih menyenangi sabun mandi XYZ bila dibandingkan dengan sabun-sabun mandi merk lain. Tentukanlah berapa peluangnya bahwa dua buah sampel acak yang terdiri atas para ibu dikota itu, tiap sampel terdiri atas 200 ibu, akan memperlihatkan perbedaan lebih dari 10% yang menyenangi sabun mandi XYZ.

19. Misalkan X peubah acak binomial dengan distribusi peluang :

x=0,1,2,3

= 0 untuk lainnya

Carilah distribusi peluang peubah acak Y = X

20. Misalkan adalah rata-rata dari sampel acak ukuran 12 dari distribusi uniform dengan interval (0,1) . Hitunglah P(1/2 ≤ ≤ 2/3)

21. Diketahui Y = x1 + x2 +....+x15 adalah jumlah dari sampel acak dengan ukuran 15 dari distribusi yang pdf nya f(x) =3/2 x2; -1< x < 1. Hitunglah P(-0,3≤Y

22. Diketahui adalah rata-rata dari sampel acak ukuran 36 dari distribusi exponensial dengan rata-rata 3. Hitunglah P(2,5 ≤ ≤ 4)

23. Hitunglah P(39,75 ) dimana adalah rata-rata dari sampel acak ukuran 32 dari distribusi dengan rata-rata µ = 40 dan var. =8

24. Sample acak ukurann n = 18 diambil dari distribusi dengan pdf

f(x) = {1-x/2 ; 0≤ x≤2

; 0 untuk yang lainnya

a) Hitung µ dan

b) Hitung P(2/3 )

9.

TEORI ESTIMASI

(PENDAHULUAN)

Teori estimasi adalah suatu ilmu yang menghususkan bagaimana caranya memperkirakan besaran-besaran populasi yang tidak diketahui yang dihitung berdasarkan suatu sample.

Dalam bab ini akan dibahas tiga kategori sesuai dengan kondisi yang dihadapi:

a) Teori estimasi berdasarkan rataan

b) Teori estimasi berdasarkan proporsi

c) Terori estimasi berdasarkan variansi

Pokok bahasan pada materi “teori estimasi” dititik beratkan bedasarkan interval estimasi baik untuk satu populasi ataupun dua populasi.

(TUJUAN INSTRUKSIONAL UMUM)

Setelah mempelajari materi ini mahasiswa dapat mengestimasi parameter populasi yang tidak diketahui berdasarkan statistik sampel.

(TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS)

1. Mahasiswa dapat memahami konsep dasar teori estimasi baik estimasi rataan, proporsi dan variansi untuk satu dan dua populasi.

2. Mahasiswa diharapkan dapat menggunakan teori estimasi pada dunia nyata.

(SKENARIO PEMBELAJARAN1………….2………….3………….4………….)

Kegiatan perkuliahan dilaksanakan dengan skenario sebagai berikut:

1. Perkuliahan

2. Penjelasan tentang concept map (tunjukan di peta konsep dimana posisi materi yang akan dibahas), pokok bahasan, dan kompetensi yang akan dicapai (TIU dan TIK)

3. Tes pendahuluan

4. Ringkasan materi disampaikan dengan metode ceramah, critical incident, diskusi dan tanya jawab

5. Tes akhir

6. Evaluasi pencapaian

7. Penutup

(RINGKASAN MATERI)

ESTIMASI RATAANSelang kepercayaan mean sampel

Estimator titik dari mean populasi µ adalah statistik . Sebaran statistik ini berpusat pada µ dan variansinya lebih kecil daripada estimator lain.

, sehingga semakin besar ukuran sampelnya akan menghasilkan variansi yang semakin kecil.

Selang kepercayaan dari populasi yang terdistribusi normal atau jika ukuran sampelnya cukup besar, dapat diturunkan sbb :

Dari gambar di atas

= 1 - α, dimana

Jadi atau

Sampel acak berukuran n dari suatu populasi dengan variansi σ2 yang diketahui dan mean yang dihitung akan menghasilkan selang kepercayaan sebesar (1-α)100%.

Selang kepercayaan untuk µ; diketahui

Bila rataan sampel acak berukuran n dari suatu populasi dengan variansi 2 yang diketahui maka selang kepercayaan (1-α)100% untuk µ ialah

zα/2 adalah nilai sebaran normal yang menghasilkan luas α/2 di sebelah kanannya.

Contoh : mean dan simpangan baku dari IPK sebanyak 36 orang mahasiswa adalah 2.6 dan 0.3. tentukan selang kepercayaan 95% dan 99% untuk nilai mean-nya.

Jawab : titik estimasi adalah = 2.6. karena sampel beukuran besar, simpangan baku σ dapat didekati dengan s = 0.3. nilai z yang memberikan luas daerah dibawah kurva sebesar 0.025 di sebelah kanan, atau 0.975 di sebelah kiri, adalah z0.025 = 1.96 (dari tabel). Oleh karena itu selang kepercayaan 95% adalah

2.6 – (1.96) (0.3)/) < µ < 2.6 + (1.96) (0.3/) atau

2.50 < µ < 2.70

Dengan cara yang sama, selang kepercayaan 99% memerlukan z0.005 = 2.575 dan selang kepercayaan ini adalah :

2.6 – (2.575) (0.3/) < µ < 2.6 + (2.575) (0.3/) atau

2.47 < µ < 2.73

Terlihat selang ini lebih lebar dari sebelumnya.

Kesalahan estimasi

Selang kepercayaan (1-α)100% memberikan ketelitian estimasi titik. Jika µ adalah titik pusat selang, mengestimasi µ tanpa kesalahan.

Pada umumnya akan ada kesalahan yang besarnya berbeda antara dengan µ, dan kita percaya (1-α)100% bahwa perbedaan ini kurang dari zα/2(σ/).

Teorema : jika digunakan sebagai estimasi dari µ, kita dapat percaya (1-α)100% bahwa nilai kesalahannya akan kurang dari zα/2(σ/).

Pada contoh soal sebelumnya, kita percaya 95% bahwa mean sampel = 2.6 berbeda sebesar 0.1 dari nilai sebenarnya dan percaya 99% bahwa nilainya berbeda sebesar 0.13.

Seringkali kita ingin tahu seberapa besar sampel yang kita inginkan untuk memastikan bahwa kesalahan estimasi dari µ kurang dari nilai tertentu e. Jadi kita harus memilih n sedemikian hingga zα/2(σ/) = e.

Teorema : jika digunakan untuk mengestimasi µ, kita dapat percaya (1-α)100% bahwa kesalahannya akan kurang dari nilai e tertentu jika jumlah sampelnya adalah

2

Teorema di atas dapat diterapkan jika variansi populasi diketahui, atau tersedia n ≥ 30 untuk melakukan estimasi variansi tersebut.

Contoh : seberapa banyak jumlah sampel yang diperlukan pada contoh sebelumnya jika kita ingin percaya 95% bahwa estimasi µ kita kurang dari 0.05?

Jawab : simpangan baku sampel s = 0.3 diperoleh dari sampel asal 36 akan dipakai untuk menentukan σ. Sebelumnya juga telah diperoleh zα/2 = 1.96,maka berdasarkan teorema di atas

n = 2 = [(1.96)(0.3)/0.05]2 = 138.3

dengan demikian, kita dapat percaya 95% bahwa sampel acak sebesar 139 akan memberikan hasil estimasi yang berbeda di bawah 0.05 dari µ.

Sampel sedikit

Bagaimana jika syarat n ≥ 30 untuk menghitung variansi populasi tidak dapat dipenuhi? Gunakan distribusi T sebagai ganti distribusi Gauss. Disini

T =

Prosedur lain sama dengan yang sebelumnya.

Mengacu pada gambar di atas, nilai peluang pada daerah diarsir

P(-tα/2

Di mana tα/2 adalah nilai t untuk derajat bebas n-1. Luas sebelah kanan nilai ini adalah α/2, dan berdasarkan simetri, luas sebelah kiri dari -tα/2 juga α/2. Substitusi untuk T menghasilkan

P(-tα/2<( )< tα/2) = 1 – α

Maka diperoleh P( ) = 1 – α

Dengan demikian, untuk n sampel, mean dan simpangan baku s, interval kepercayaan (1 – α)100% diberikan oleh

Selang kepercayaan untuk µ; σ tidak diketahui.

Suatu selang kepercayaan (1 – α)100% untuk µ adalah:

Dimana dan s adalah mean dan simpangan baku sampel berukuran n < 30 dari suatu populasi yang terdistribusi mendekati normal, dan adalah nilai distribusi-t dengan derajat bebas sebesar v=n-1 yang menghasilkan luas α/2 di sebelah kanannya.

Contoh : ada 7 kontainer serupa yang berisi asam sulfat dengan volume : 9.8, 10.2, 10.4, 9.8, 10.0, 10.2, dan 9.6 liter. Tentukan selang kepercayaan 95% untuk mean dari kontainer-kontainer tersebut juka distribusinya mendekati normal.

Jawab : dari data yang diberikan,diketahui mean sampel =10.0 dan simpangan baku sampel s=0.283. berdasarkan tabel T, kita dapatkan t0.025 = 2.447 untuk derajat bebas v=6. Karena itu, selang kepercayaan 95% dari adalah

10.0 – (2.447) (0.283 / )< < 10.0 + (2.447) (0.283 / ), atau

9.74< <10.26

Tambahan soal latihan estimasi rataan

1. Suatu mesin minuman diatur sedemikian rupa sehingga banyaknya minuman yang dikeluarkannya berdistribusi hampir normal dengan simpangan baku 0,15 desiliter. Hitunglah selang kepercayaan untuk rataan semua minuman yang dikeluarkan mesin tersebut bila:

a) sampel acak 36 cangkir minuman berisi rata-rata 2,25 desiliter.

b) sampel acak 9 cangkir minuman berisi rata-rata 2,25 desiliter.

1. Seorang ahli dalam efisiensi ingin menentukan rata-rata waktu yan diperlukan untuk membor tiga lubang pada sejenis kepitan logam. Berapa besar sampelkah yang dia perlukan agar yakin 95% bahwa rataan sampelnya paling jauh 15 detik dari rataan sesungguhnya? Misalkan dari penelitian sebelumnya diketahui bahwa σ=40 detik.

ESTIMASI PROPORSI

Penaksir titik untuk proporsi p dalam suatu percobaan binomial diberikan oleh statistic dengan X menyatakan banyaknya yang berhasil dalam n usaha. Jadi, proporsi sampel akan digunakan sebagai taksiran titik untuk parameter p.

Bila proporsi p yang tak diketahui diharapkan tidak akan terlalu dekat dengan nol atau 1, maka selang kepercayaan untuk p dapat dicari dengan menggunakan distribusi sampel . Dengan menyatakan suatu kegagalan dalam tiap usaha binomial dengan nilai 0 dan keberhasilan dengan nilai 1 maka banyaknya yang berhasil , x, dapat ditafsirkan sebagai jumlah dari n nilai yang terdiri atas hanya nol dan satu, maka hanyalah rataan sampel dari n nilai ini. Karena itu, menurut Teorema Limit Pusat, untuk n cukup besar,distribusi hampir normal dengan rataan

Dan variansi

Dengan demikian dapat dituliskan

Dengan

dan menyatakan nilai kurva normal baku yang di sebelah kanannya terdapat daerah seluas . Gantikan Z dalam ketidaksamaan

Kalikan tiap suku dalam ketidaksamaan , kemudian kurangi dengan dan kalikan dengan -1, diperoleh

Ketidaksamaan ini sulit untuk disederhanakan untuk mendapat selang acak yang kedua ujungnya tidak mengandung p, paremeter yang tidak diketahui. Tapi bila n besar, galatnya kecil sekali bila p di bawah tanda akar diganti taksiran titik . Dalam hal demukian, maka dapat ditulis

Untuk suatu sampel acak ukuran n, hitunglah proporsi sampel , maka hampiran selang kepercayaan (1-α) 100% untuk p dapat diperoleh.

Bila n kecil dan proporsi p yang tidak diketahui diyakini dekat ke 0 atau ke 1 maka cara mencari selang kepercayaan ini tidak dapat diandalkan dan, karena itu, sebaiknya tidak digunakan. Untuk menjamin hasil yang baik sebaiknyalah usahakan agar selalu dan lebih besar atau sama dengan 5. Cara penghitungan selang kepercayaan untuk parameter binomial p juga dapat dipakai bila distribusi normal digunakan utnuk menghampiri distribusi hipergeometrik, yaitu, bila n kecil dibandingkan dengan N seperti pada contoh 1

Selang kepercayaan sampel-besar untuk p

Bila menyatakan proporsi yang berhasil dalam sampel berukuran acak ukuran n, dan

, maka hampiran selang kepercayaan (1-) 100% untuk parameter binomial p adalah

< p <

dengan menyatakan nilai z sehingga luas di sebelah kanannya α/2.

Contoh 1

Pada suatu sampel acak n = 500 keluarga yang memiliki pesawat televise di kota Hamilton, Kanada, ditemukan bahwa x = 340 memiliki tv berwarna. Carilah selang kepercayaan 95% untuk proporsi sesungguhnya dari keluarga yang memiliki tv berwarna di kota tersebut.

Jawab

Taksiran titik untuk p ialah . Dari table diperoleh . Jadi, selang kepercayaan 95% untuk p adalah

Yang, bila disederhanakan akan menjadi

0,64 < p < 0,72

Bila p berada tepat di tengah selang kepercayaan (1-) 100% maka menaksir p tanpa galat. Tapi, biasanya, tidak akan tepat sama dengan p dan taksiran titik meleset

(mempunyai galat). Besarnya galat akan smaa dengan selisih positif antara dan p, dan dengan selang kepercayaan (1-) 100% selisih ini akan lebih kecil dari .

Teorema 1

Bila dipakai sebagai taksiran p, galatnya akan lebih kecil daripada

dengan kepercayaan (1-α) 100%.

Pada contoh 1 diatas, proporsi sampel berbeda dengan proporsi p yang sesungguhnya tidak lebih dari 0,04 dengan kepercayaan 95%. Sekarang ingin ditentukan berapa besarkah sampel yang diperlukan agar terjamin bahwa galat dalam menaksir p tidak melebihi suatu besaran g. Menurut teorema 1, ini berarti n harus dipilih agar

Teorema 2

Bila dipakai sebagai taksiran p, maka dengan kepercayaan (1-α) 100% galat

akan lebih kecil dari besaran tertentu g bila ukuran sampel sebesar

Teorema 2 agak membingungkan karena untuk menentukan ukuran sampel n digunakan , padahal dihitung dari sampel. Bila p dapat ditaksir secara kasar tanpa mengambil sampel maka taksiran ini dapat dipakai untuk menentukan n. Bila ini tidak tersedia, ambil sampel pendahuluan berukuran n ≥ 30 untuk menaksir p. Kemudian, dengan menggunakan teorema 2, dapat ditentukan perkiraan besarnya sampel yang diperlukan agar derajat ketepatan yang diinginkan tercapai. Sekali lagi, semua nilai pecahan n agar dibulatkan ke bilangan bulat yang lebih besar terdekat.

Contoh 2

Berapa besarkah diperlukan sampel pada contoh 1 agar taksiran p meleset kurang dari 0,02 dengan kepercayaan 95%?

Jawab :

Pandanglah ke-500 keluarga sebagai sampel pendahuluan yang memberikan taksiran . Maka menurut teorema 3

Jadi, bila taksiran p didasarkan atas sampel acak ukuran 2090 maka proporsi sampel tidak akan berbeda lebih dari 0,02 dengan proporsi sesungguhnya, dengan kepercayaan 95%.

Terkadang tidak praktis mencari taksiran p untuk digunakan dalam menentukan ukuran sampel n untuk suatu taraf kepercayaan tertentu. Bila ini terjadi, batas atas untuk n dapat diperoleh dengan menyadari bahwa , karena terletak antara 0 dan 1. Ini dapat dibuktikan dengan melengkapi kuadrat. Jadi

,

yang selalu lebih kecil dari kecuali bila p = yang mengakibatkan . Jadi, bila dimasukkan pada rumus n di teorema 3, padahal, sesungguhnya, p cukup berbeda dengan , maka tentunya n akan melebihi dari yang diperlukan untuk taraf kepercayaan yang ditetapkan dan sebagai akibatnya taraf kepercayaan yang diperoleh akan meningkat.

Teorema 3

Bila dipakai sebagai taksiran p, maka dengan kepercayaan paling sedikit (1-α) 100% galat akan lebih kecil dari besaran tertentu g bila ukuran sampel

Contoh 3

Berapa besarkah sampel yang diperlukan pada contoh 1 agar kita yakin paling sedikit dengan kepercayaan 95% bahwa taksiran p melesat kurang dari 0,02?

Jawab

Berbeda dengan contoh2, disini kita anggap tidak ada sampel pendahuluan diambil untuk menaksir p. Karena itu, dengan kepercayaan paling sedikit 95% proporsi sampel yang kita peroleh tidak akan berbeda dari proporsi sesungguhnya melebihi 0,02 bila kita memilih ukuran sampe l

Dengan membandingkan contoh 2 dan contoh 3, terlihat bahwa keterangan (taksiran) mengenai p, yang diperoleh dari sampel pendahuluan atau pun mungkin dari pengalaman masa silam, dapat dipakai untuk menarik sampel yang lebih kecil dengan tetap mempertahankan taraf ketelitian semula.

MENAKSIR SELISIH RATA-RATA.

Dalam hal ini kita berhubungan dengan dua buah populasi yang selisih rata-ratanya

( μ1 – μ2 ) akan kita taksir.

a. Interval taksiran untuk selisih rata-rata jika σ1 dan σ2 diketahui:

Bila x1 dan x2 masing-masing adalah rata-rata sampel acak berukuran n1 dan n2 yang diambil dari populasi dengan simpangan baku σ1 dan σ2 diketahui.:

b. Interval taksiran untuk selisih rata-rata jika simpangan baku σ1 dan σ2 tidak diketahui tetapi σ1 = σ2 :

dimana Sp= dugaan simpangan baku populasi

dengan dk = ν = n1 + n2 -2

c. jika simpangan baku σ1 dan σ2 tidak diketahui dan σ1 ≠ σ2 :

dengan dk =

Contoh:

Masa pakai barang A yang dihasilkan oleh dua pengusaha akan diteliti. Dari barang yang dihasilkan oleh pengusaha 1 diteliti 150 buah dan dicatat masa pakainya. Rata-ratanya 1400 jam dean simpangan baku 80 jam.Barang yang dihasilkan pengusaha II diteliti sebanyak 100 buah. Ternyata rata-ratanya = 1300 jam dan S = 70 jam. Carilah interval taksiran selisih rata-ratanya. dengan kepercayaan 95%.

Jawab:

Asumsi σ1 = σ2

sehingga sp= 74,5

dari daftar t dengan kepercayaan 95% dan V= 248 didapat t0,05(248)= 1,96

Ditaksir bahwa selisih rata-rata masa pakai barang A yang dihasilkan oleh kedua pengusaha terletak antara 84,2 s/d 115,8 jam dgan keyakinan 95%.

Estimasi Selisih Dua Proporsi

Pandang persoalan menafsir selisih dua parameter binomial p1 dan p2 . Sebagai contoh, misalkan p1 proporsi yang merokok dan terkena kanker paru-paru dan p2 proporsi yang tidak merokok dan terkena kanker paru-paru. Persoalannya ialah menaksir selisih kedua proporsi itu. Pertama-tama, pilihlah sampel acak bebas masing-masing berukuran n1 dan n2 dari dua populasi binomial dengan rataan n1p1 dan n2p2 serta variansi n1p1q1 dan n2p2q2, kemudian tentukan jumlah x1 dan x2 dari orang yang terkena kanker paru-paru pada tiap sampel, dan tentukanlah proporsi dan . Penaksir titik untuk selisih dua proporsi p1- p2 adalah statistik . Jadi, selisih kedua proporsi sampel, , akan digunakan sebagai taksiran titik untuk p1- p2 .

Selang kepercayaan untuk p1- p2 dapat ditetapkan dengan menggunakan distribusi sampel . Dari materi menaksir proporsi diketahui dan masing-masing berdistribusi hampir normal, dengan rataan p1 dan p2 , dan variansi p1q1 / n1 dan p2q2 / n2 . Dengan mengambil kedua sampel secara bebas dari kedua populasi maka peubah akan bebas satu sama lain, dank arena distribusi normal bersifat merambat, maka dapat disimpulkan bahwa

berdistribusi hampir normal dengan rataan

= p1 – p2

dan variansi

Dengan demikian dapat ditulis

Dengan

Dan nilai kurva normal baku sehingga luas di sebelah kanannya . Ganti Z pada rumus di atas, maka dapat ditulis

Setelah melakukan perhitungan seperti biasa,ganti p1 , p2 , q1 dan q2 yang berada di bawah tanda akar dengan taksirannya , , dan , asal saja dan semuanya lebih besar atau sama dengan 5, maka diperoleh hampiran selang kepercayaan (1-α) 100% untuk .

Selang kepercayaan untuk

Bila menyatakan proporsi yang berhasil dalam sampel acak masing-masing ukuran , maka hampiran selang kepercayaan (1-α) 100% untuk selisih kedua parameter binomial, , adalah

Bila nilai kurva normal sehingga luas di sebelah kanannya

Contoh 4

Suatu perusahaan dalam cara pembuatan suku cadang sedang direncanakan. Sampel diambil dari cara lama maupun yang baru untuk melihat apakah cara baru tersebut memberikan perbaikan. Bila 75 dari 1500 suku cadang yang berasal dari cara lama ternyata cacat dan 80 dari 2000 yang berasal dari cara baru ternyata cacat, carilah selang kepercayaan 90% untuk selisih sesungguhnya proporsi yang cacat dalam kedua cara.

Jawab :

Misalkan p1 dan p2 masing-masing menyatakan proporsi yang sesungguhnya yang cacat dalam cara lama dan baru. Jadi dan , dan taksiran titi