biostatistik

OUM 1

UNIT 1 TABURAN PENSAMPELAN DAN PENGANGGARAN

BAB 1 PENGENALAN

PENGENALAN

Sebelum ini dua parameter telah diperkenalkan, iaitu min dan varians yang menyukat pusat dan

ubahan sesuatu taburan kebarangkalian. Kedua-duanya adalah parameter populasi yang malar. Di

antara statistik yang penting dan akan dibincangkan dalam unit ini adalah min dan perkadaran. Selain

itu, disentuh juga berkenaan dengan kaedah menganggar parameter yang dianggar menggunakan dua

pendekatan, iaitu penganggaran titik dan penganggaran selang. Lazimnya, ciri penganggar parameter

yang baik adalah saksama dan cekap. Topik anggaran selang yang disentuh meliputi anggaran selang

bagi min, varians, perkadaran dan juga beza min.

OBJEKTIF PEMBELAJARAN

Selepas mempelajari unit ini, anda seharusnya dapat:

1. mentakrif dan menyatakan peranan statistik seperti min dan perkadaran;

2. menerangkan bahawa taburan kebarangkalian bagi suatu statistik merupakan taburan

persampelan;

3. membezakan 2 jenis penganggaran yang utama, iaitu penganggaran titik dan penganggaran

selang;

4. menyatakan ciri-ciri penganggar yang baik; dan

5. menganalisis pentadbiran atau kesimpulan mengenai ciri-ciri populasi.

2 OUM

TABURAN PENSAMPELAN DAN PENGANGGARAN UNIT 1

TABURAN PENSAMPELAN BAB 1

BAB 1 TABURAN PENSAMPELAN

PENGENALAN

Dalam bab ini, terdapat tiga perkara utama yang menjadi tumpuan, iaitu topik taburan min sampel,

taburan pensampelan perkadaran serta penggunaan teorem had memusat dalam memudahkan analisis

tadbiran lanjutan. Kupasan melibatkan keinginan mendapatkan maklumat mengenai parameter-

parameter populasi yang tidak diketahui. Adalah sukar untuk memperoleh maklumat melalui keseluruhan

populasi yang diminati berbanding dengan hanya mendapatkan sampel rawak yang sesuai bagi

menggambarkan populasi yang dipilih.

Oleh itu, bab ini akan menerangkan mengenai kebolehan kaedah masing-masing dalam menentukan

nilai parameter sebenar sesebuah populasi. Takrif penting yang harus ditekan dan dimantapkan

penggunaannya adalah statistik. Statistik ini merupakan suatu nilai yang dihitung daripada sampel dan

merupakan satu pemboleh ubah rawak lantaran banyaknya bilangan sampel rawak yang mungkin daripada

satu populasi yang sama sehingga membolehkan nilai statistiknya berubah daripada sampel kepada

sampel. Statistik juga adalah pemboleh ubah rawak yang bersandar kepada cerapan yang dicerap.

OBJEKTIF

Di akhir bab ini, anda seharusnya dapat:

1. membezakan min sampel dengan min populasi;

2. menerangkan konsep taburan pensampelan bagi X–;

3. menerangkan konsep taburan pensampelan bagi perkadaran;

4. menerangkan penggunaan taburan X– dan perkadaran di dalam kehidupan seharian; dan

5. menerangkan penggunaan teorem had memusat dalam kes-kes tertentu.

1.1 TABURAN PENSAMPELAN BAGI MIN

Taburan bagi pensampelan min sampel, X– sangat penting dan luas penggunaannya khususnya dalam

mendapatkan anggaran min populasi. Katalah satu sampel rawak dengan n cerapan diambil daripada

populasi normal dengan min dan varians . Sesuai dengan sifat kerawakan yang ada, setiap cerapan Xi,

i = 1, 2, 3, …, n daripada sampel tersebut akan mewarisi taburan normal dengan min dan varians yang

sama. Katalah min bagi sampel tersebut ialah X–

1. Sekarang jika beberapa sampel rawak yang lain dan

tipikal diambil daripada populasi yang sama, maka akan diperoleh min-min sampel

X–

2,X

–3, …, yang akan mewarisi taburan populasi induk dengan masing-masing min dan varians .

Taburan pensampelan bagi min adalah bergantung kepada sifat populasinya. Adakah

kenyataan ini benar? Berikan pandangan anda dan bincang bersama rakan sekursus

anda.



OUM 3

Diketahui bahawa akan mempunyai satu taburan normal dengan min

dan arians

, kerana Var (X1) = Var (X

2) = …= Var (X

n) = yang

memenuhi teorem berikut:

Teorem 1.1

Jika X1, X

2, …, X

n ialah pemboleh ubah rawak tak bersandar, yang masing-masingnya mempunyai

taburan normal dengan min dan varians maka pemboleh ubah

rawak mempunyai taburan normal dengan min

1 2

1. . . na a a

ndan varians

Bagi kes yang dibincangkan di atas, ,

kerana , dan , dan .

Secara umumnya, min sampel X–

dikatakan tertabur normal dengan min dan varians

. Kes di atas adalah contoh Taburan Pensampelan Min. Jika taburan

populasi tidak diketahui, teorem had memusat menjamin bahawa taburan pensampelan X–

akan

menghampiri normal dengan min dan varians , asalkan saiz sampel itu cukup besar .

Keistimewaan perkara ini akan diterangkan di dalam subtopik 12.3.

Sekiranya X pemboleh ubah rawak dengan min dan varians 2, maka jelmaan:

akan menghasilkan pemboleh ubah rawak normal piawai. Dalam jelmaan di atas (dengan > 0 ), z

boleh bernilai negatif (< 0) apabila X bernilai kurang daripada dan z boleh bernilai positif (> 0)

apabila X bernilai lebih besar daripada z juga boleh bernilai 0 bila X = . Walau bagaimanapun

dalam penghuraian masalah harian, sifir taburan normal piawai seringkali digunakan dalam membantu

pengiraan. Oleh itu, penjelmaan skor z piawai boleh juga dilakukan ke atas taburan pensampelan X–

seperti berikut:

yang akan menghasilkan pemboleh ubah rawak normal piawai.

4 OUM



Rajah 1.1

Contoh 1.1

Katalah satu sampel rawak dengan saiz, n = 36 yang dipilih daripada satu populasi tertabur normal

dengan min X = 200 dan varians 2

X = 400. Tentukan kebarangkalian bahawa min sampel lebih

besar daripada 205.

Jawapan:

Berdasarkan maklumat di atas, diperoleh:

1. Taburan populasi:

(a) Bentuk: normal

(b) Min: X = 200

(c) Sisihan piawai:

2. Taburan pensampelan daripada teorem 1.1 diperolehi:

(a) Saiz sampel besar (n > 30)

(b) Bentuk: normal, mewarisi taburan induk

(c) Min:

(d) Sisihan piawai:

Kita ingin menentukan setelah mengambil sampel rawak X1, …, X

36 daripada taburan

normal N (200, 400). Oleh kerana , maka:

X

200 205

1.50

0.4332

0.0668

Z



OUM 5

Oleh itu,

= kawasan berlorek Rajah 1.1

Dan Z ~ N(0, 1).

Menggunakan Rajah 12.1 berikut dan sifir normal piawai, diperoleh:

Maka:

atau 1 – (1.5)

= 1 – 0.93319

= 0.06681

Contoh 1.2

Sebuah firma mengeluarkan mentol elektrik yang tempoh hayatnya menghampiri taburan normal dengan

min 650 jam dan sisihan piawai 50 jam. Hitung kebarangkalian bahawa suatu sampel rawak 25 buah

mentol keluaran firma yang sama akan mempunyai purata hayatnya kurang daripada 675 jam.

Jawapan:


(a) Bentuk: normal

(b) Min: X = 650

(c) Sisihan piawai: X = 50

2. Taburan pensampelan

X

:

(a) Saiz sampel sederhana besar

(b) Bentuk: normal

(c) Min: X– = 650

6 OUM



Rajah 1.2

(d) Sisihan piawai:

(e) Taburan pensampelan untuk yang menghampiri normal dengan

Walaupun n < 30, tetapi 2 diketahui, maka andaian normal boleh diterima pakai.

Sepadan dengan , didapati bahawa:

Maka: atau F (2.5) = 0.99379

Taburan Pensampelan Min (varians tidak diketahui)

Dalam masalah harian, varians populasi 2 umumnya tidak diketahui. Lazimnya, varians sampel s2

digunakan sebagai ganti. Varians sampel yang adakalanya diberikan nilainya ataupun dihitung daripada

data sampel yang diberi.

Ada dua kes boleh dipertimbangkan.

Kes I: Saiz sampel besar

Untuk sampel bersaiz n 30, penganggar yang baik untuk adalah sisihan piawai sampel rawak s.

Dalam kes ini, taburan pensampelan adalah mengikuti taburan normal (jika populasi tertabur normal)

atau tertabur hampir normal (jika taburan populasi tidak diketahui) dengan masing masing min dan

varians, dan yang min populasi dan 2 varians populasi. Jika 2anu, ia diganti

dengan varians sampel s2. Seterusnya jelmaan skor z boleh dilakukan seperti yang telah dibincangkan.

600 675

2.5

Z

0

X



OUM 7

Contoh 1.3

Seorang pensyarah di sebuah universiti ingin menganggar purata masa yang digunakan oleh pelajar-

pelajar dalam mengulang kaji satu kursus/mata pelajaran setiap minggu. Pensyarah berkenaan

mendakwa bahawa para pelajar memperuntukkan masa ulang kaji sebanyak 6 jam seminggu. Bagi

memastikan dakwaan beliau benar, satu kajian dijalankan ke atas 36 orang pelajar dan diperoleh

purata masa belajar adalah 5 jam dengan sisihan piawai 2.3 jam. Adakah benar dakwaan pensyarah

terbabit?

Jawapan:

X merujuk kepada jumlah masa diperuntukkan untuk belajar/ulang kaji.


(a) Bentuk: normal

(b) Min: X = 6 jam

(c) Sisihan piawai: tidak diketahui

2. Taburan pensampelan X–

:

(a) Saiz sampel besar (n > 30)

(b) Bentuk: normal

(c) Min: X– = 6 jam, s = 2.3 jam

(d) Sisihan piawai: yang jadi, skor z0 bagi X

–=5

adalah:

8 OUM



Rajah 1.3

Sila lihat Rajah 1.3 berikut:

Maka:

Daripada pengiraan di atas,

Ini menunjukkan bahawa dakwaan pensyarah berkenaan tidak benar pada aras keyakinan 5%.

Oleh itu, penyataan yang sesuai adalah masa ulang kaji pelajar terhadap kursus berkenaan

mestilah kurang daripada apa yang dipertahankan.

Kes II: Saiz sampel kecil

Jika saiz sampel kecil (n < 25), nilai-nilai s dianggap turun naik daripada sampel kepada sampel.

Taburan pensampelan masih mempunyai min dan varians . Walau bagaimanapun skor piawainya

bukan lagi tertabur normal tetapi akan mengikut taburan t dengan darjah kebebasan v =n - 1 (akan

dibincangkan kemudian), iaitu:

X5 6 7

X�2.609 0 2.609

0.0045 0.0045



OUM 9

Contoh 1.4:

Sebuah syarikat pengeluar mentol lampu menguji 16 mentol lampu setiap bulan bagi mempertahankan

mutu purata hayat mentol yang dihasilkan iaitu 500 jam. Apakah kesimpulan yang dapat dibuat daripada

satu sampel yang mempunyai min = 518 jam dan sisihan piawai, s = 40 jam? Anggaplah bahawa

taburan bagi tempoh penyalaan mentol menghampiri normal dan aras keyakinan 5% dipilih.

Jawapan:

1. Taburan populasi masa hayat (X) mentol dalam jam:

(a) Bentuk: normal

(b) Min: X = 500

(c) Sisihan piawai: X = tidak diketahui

2. Taburan pensampelan .

(a) Saiz sampel, n = 16 (kecil)

(b) Bentuk: normal

(c) Min: X_ = 500

(d) Sisihan piawai:

Dalam masalah ini, ada dua persoalan yang boleh diajukan, iaitu:

(a) Min populasi X yang mutunya dipertahankan ialah 500 jam. Sampel dengan minnya 518 jam

diguna untuk membenarkan populasi tersebut.

(b) Sampel yang diambil mempunyai min 518 jam lebih besar daripada X

= 500 jam yang

dipertahankan. Oleh itu, adakah wajar untuk mempertahankan penyataan atau (kenyataan

daripada sampel) buat penyataan yang X > 500 jam lebih wajar?

Daripada kes II di atas, skor piawai:

dengan darjah kebebasan

Maka:

Daripada sifir t, dengan 15 darjah kebebasan, didapati t0.05

= 1.753. Jika X= 500, maka t = 1.8

adalah satu nilai di atas 1.753. Dengan interpolasi Kb(t > 1.8) adalah 0.0469. Jika X > 500, nilai

kiraan t daripada sampel akan lebih munasabah. Ini bermakna , menunjukkan bahawa pernyataan X

= 500 jam tidak dapat dipertahankan dengan aras keertian 5%. Dengan demikian, pengeluar lebih

cenderung untuk membuat kesimpulan bahawa mentol-mentol tersebut akan mempunyai mutu yang

10 OUM



Latihan 1.1

1. Tinggi bagi 1,000 orang penuntut adalah menghampiri taburan normal dengan

min 174.5 cm dan sisihan piawai 6.9 cm. Jika 200 sampel rawak bersaiz 25

diambil daripada populasi ini dan min direkodkan kepada per sepuluh cm

terhampir, tentukan:

(a) Min jangkaan dan sisihan piawai bagi taburan pensampelan

min tersebut.

(b) Kebarangkalian bahawa min tinggi penuntut melebihi 176 cm.

2. Purata satu kursus Q bagi pelajar di sebuah kolej swasta didakwa berjumlah

540 mata. Satu sampel rawak bersaiz 36 orang pelajar diambil dan memberi

purata skor kursus Q 535 dengan sisihan piawai skor adalah 15 mata. Apakah

dakwaan itu tepat?

3. Satu populasi normal dengan varians tidak diketahui mempunyai min 20. Adakah

sampel rawak bersaiz 9 daripada populasi ini dengan min 24 dan sisihan piawai

4.1 mampu menerangkan min populasi?

1.2 TABURAN PENSAMPELAN BAGI PERKADARAN

Dalam masalah harian, ada kalanya kita ingin mengukur/menyukat peratusan kebarangkalian/kekerapan

relatif berlakunya sesuatu peristiwa. Jika suatu peristiwa berlaku x kali daripada sejumlah n kali yang

mungkin, maka kekerapan relatif keberlakuan peristiwa ini ialah . Umpamanya, jika 200 orang

daripada 500 orang guru lebih cenderung menggunakan papan putih, maka .

Seandainya sampel tersebut bersifat rawak, angka tersebut boleh digunakan sebagai anggaran kepada

perkadaran sebenar guru yang lebih cenderung kepada pilihan tersebut.

Daripada contoh di atas, seolah-olah dalam populasi (begitu juga dalam sampel yang diambil) terdiri

daripada atribut x yang menyokong pilihan tertentu (guna papan putih sebagai peristiwa) dan atribut

yang tak menyokong. Dalam konteks ini, satu individu yang terpilih secara rawak, mungkin daripada

lebih baik daripada apa yang dipertahankan. Oleh itu, pernyataan yang lebih sesuai dan fleksibel ialah

X> 500 jam yang disokong oleh sampel.

Kes III saiz sampel sederhana besar . Ada dua kaedah analisis:

(a) Boleh guna taburan normal seperti dalam Kes I.

(b) Guna taburan t seperti dalam Kess II.

Untuk memastikan anda memahami apa yang telah dipelajari, jawab latihan yang berikut.



OUM 11

atribut menyokong, mungkin tidak. Oleh itu pemilihan individu adalah cubaan Bernoulli dengan

= Kb(kejayaan) = Kb(atribut menyokong).

Seterusnya daripada sampel rawak bersaiz n, katalah x daripadanya atribut menyokong, maka

adalah anggaran kepada p. Sekarang, katakan pemboleh ubah rawak X mewakili atribut menyokong

(jumlah menyokong adalah x), maka taburan pensampelan X ialah taburan binomial (ulangan cubaan

Bernoulli tak bersandar) dengan min = n dan varians, iaitu 2 = n (1– ) Jika n besar

taburan x menghampiri normal ialah X ~ N (n , n (1– )).

Sementara pemboleh ubah rawak mewakili perkadaran (atribut menyokong) sampel yang

juga tertabur binomial dengan min dan varians

.

Sila lihat teorem yang berikut:

Teorem 1.2

Untuk saiz sampel n yang besar, taburan pensampelan menghampiri taburan normal, dengan min

, iaitu

Walau bagaimanapun bagi populasi terhingga, faktor pelarasan digunakan bagi varians, iaitu:

yang dinamakan faktor pelarasan.

Untuk tujuan penghitungan, skor piawai bagi adalah:

Contoh 1.5

Sebuah pertubuhan sosial mempunyai 8 orang ahli yang masing-masing berumur 27, 32, 33, 26, 43,

52, 28 dan 25. Pertubuhan ini menetapkan umur presiden sekurang-kurangnya 33 tahun. Anggapkan

satu sampel rawak bersaiz 4 dipilih untuk menghasilkan anggaran p pemilihan presiden. Apakah min

dan sisihan piawai bagi taburan pensampelan ini?

12 OUM



Jawapan:

Populasi terdiri daripada dua, iaitu:

(a) Atribut menyokong dengan umur 33, iaitu {33, 43, 52}. Jadi, x = 3.

(b) Atribut tidak menyokong dengan umur < 33, iaitu {25, 26, 27, 28, 32}.

Nilai dihitung seperti berikut:

Oleh kerana p= , maka min taburan pensampelan juga 0.375. Diberi populasi adalah terhingga,

maka sisihan piawai diperoleh seperti berikut:

Contoh 1.6

Dalam satu ucapan, seorang ahli politik mendakwa bahawa satu tinjauan telah dilakukan dan beliau

mendapati 40% pengundi berdaftar akan menyokong pencalonannya. Sebuah organisasi lain

menjalankan tinjauan berasingan dan mendapati 410 daripada satu sampel rawak 1,000 pengundi

berdaftar menyatakan sokongan mereka terhadap ahli politik tersebut. Adakah maklumat sampel ini

konsisten dengan anggapan ahli politik itu?

Jawapan:

Tinjauan yang dilakukan menghasilkan satu uji kaji binomial. Cubaan itu merupakan tinjauan terhadap

seseorang pengundi dalam memberi sokongan kepada calon-calon yang bertanding. Dua jawapan

yang berkemungkinan adalah sama ada “Ya” atau “Tidak”. Cubaan adalah tidak bersandar,

memandangkan seorang pengundi tidak akan memberi kesan terhadap jawapan pengundi lain. Merujuk

kepada calon berkaitan, kebarangkalian berjaya (jawapan “Ya”) adalah p = 0.40. Berdasarkan

maklumat sampel dengan n = 1,000 cubaan, diperoleh:

Skor z merujuk kepada nilai adalah:

Didapati, dan berbeza sebanyak 0.65 sisihan piawai. Penyemakan boleh dilakukan menerusi

berikut:



OUM 13

Latihan 1.2

1. Terdapat 20 orang pelajar sekolah tinggi di daerah A yang mengikuti kursus

komputer selepas tamat sekolah di sebuah pusat komputer. Seorang guru di

pusat komputer berkenaan mengambil sampel rawak bersaiz 5 di kalangan

mereka untuk menganggar peratusan mereka yang cenderung memasuki kolej.

Anggapkan bahawa peratusan populasi pelajar yang cenderung adalah 60%.

(a) Apakah min taburan populasi bagi peratusan pelajar tersebut?

Mengapa?

(b) Tentukan nilai sp (jika faktor pelarasan/pembetulan diperlukan).

2. Sebuah kedai buku ingin menganggar peratusan buah buku tercetak

yang rosak dan tidak boleh dijual. Apakah kebarangkalian bahawa

sampel rawak 100 buah buku yang dipilih, kurang 50% daripadanya

rosak?(diketahui peratusan populasi buku rosak adalah 55%).

Apakah persamaan atau perbezaan yang terdapat antara taburan pensampelan bagi

min dan taburan persampelan bagi perkadaran

Oleh kerana, skor z berada di antara z = –1 dengan z = 1, maka boleh dinyatakan di sini bahawa

maklumat sampel adalah konsisten dengan dakwaan ahli politik bahawa p = 0.40. Ini bukan bermakna

dakwaan beliau benar, tetapi dakwaan tersebut konsisten dengan maklumat sampel.

Untuk memastikan anda memahami apa yang telah dipelajari, jawab latihan berikut.

1.3 TEOREM HAD MEMUSAT

Teorem Had Memusat menyatakan bahawa jika suatu sampel rawak bersaiz n yang cukup besar

dipilih daripada suatu populasi dengan min x–= dan varians 2, taburan pensampelan bagi

adalah menghampiri normal dengan min x–= dan varians

(untuk populasi terhingga yang n > 0.05 N).

Bentuk populasi dan saiz sampel adalah penting dalam menggunakan Teorem Had Memusat ini.

Keadaan yang berkemungkinan adalah:

1. Sekiranya saiz sampel besar , taburan pensampelan akan menghampiri normal.

2. Sekiranya saiz sampel kecil sederhana , taburan pensampelan adalah

menghampiri normal, walaupun bentuk populasi berkenaan tidaklah jauh berbeza daripada normal.

3. Taburan t dengan v = n –1 diandaikan jika n < 25.

14 OUM



Latihan 1.3

1. Sebuah syarikat kenderaan mempunyai 5 buah kereta terpakai dengan kos

pembaikan masing-masing ialah RM200, RM175, RM185, RM210 dan

RM190. Anggaran purata kos bulanan daripada sampel rawak yang telah diambil

adalah 3. Apakah min dan sisihan piawai bagi taburan pensampelan bersaiz 3?

2. Dua kumpulan pelajar di sebuah sekolah telah menjalankan satu kajian ke atas

tinggi pelajar-pelajar di sekolah berkenaan dengan saiz sampel kumpulan 1

adalah 450 orang pelajar dan kumpulan kedua 600 orang pelajar. Kumpulan

pertama memperoleh purata tinggi, = 70.3 inci dengan s = 3.1 inci tinggi.

Kumpulan kedua pula memperolehi = 68.8 inci dengan s = 2.7 inci. Sekiranya

anda berketinggian 69 inci tinggi, maka tinggi anda akan berada di atas min

kumpulan kedua dan di bawah min kumpulan pertama. Jadi, di manakah

kedudukan piawai ukuran tinggi anda yang sebenar?

Kepentingan Teorem Had Memusat ini adalah untuk menentukan nilai yang sesuai terhadap min

populasi. Topik-topik seperti pengujian hipotesis, penganggaran dan kawalan kualiti menggunakan

teorem ini bagi memudahkan taabiran dan analisis.

Contoh 1.7

Populasi 500 kanak-kanak mempunyai min skor IQ sebanyak 100 mata. Jika satu sampel rawak

bersaiz 30 orang kanak-kanak dipilih, apakah kebarangkalian min skor sampel IQ kanak-kanak

melebihi 110 dengan sisihan piawai 30 mata? Adakah dakwaan asal boleh diterima?

Jawapan:

Berdasarkan Teorem Had Memusat, sekiranya min = 100 benar, maka:

Maka:

Ini bermakna, satu uji kaji akan mendapat nilai yang berbeza dengan min sebanyak 1.83, iaitu lebih

kurang 33.6 daripada setiap 1,000 uji kaji. Oleh kerana nilai kurang

daripada aras keertian = 0.05, maka uji kaji dengan min skor IQ kanak-kanak sebanyak 110 mata

tidak menyokong bukti asal bahawa min skor IQ kanak-kanak adalah 100 mata.

Jawab latihan ini untuk menguji pemahaman anda setakat ini.



OUM 15

3. Skor calon-calon suatu peperiksaan menulis peringkat kebangsaan adalah

tertabur normal dengan min 490 dan sisihan piawai 20.

(a) Dapatkan kebarangkalian bahawa skor peperiksaan seorang calon yang

dipilih secara rawak melebihi 505.

(b) Sekiranya sampel rawak bersaiz n = 16 dipilih daripada skor peperiksaan

populasi, tentukan bentuk, min dan sisihan piawai bagi taburan

pensampelan .Teorem yang manakah yang anda akan gunakan?

(c) Dapatkan kebarangkalian bahawa sampel rawak bersaiz n = 16 akan

mempunyai skor min peperiksaan melebihi 505.

(d) Tentukan perbezaan yang wujud di antara kebarangkalian yang ditentukan

pada bahagian (a) dan (c).

4. Satu sampel rawak dipilih daripada satu populasi yang mempunyai min 1,800

dan sisihan piawai 80. Tentukan min dan sisihan piawai bagi

taburan pensampelan apabila saiz sampel 64 dan 100.

5. Sebuah syarikat pengeluar barangan diet menyatakan bahawa

menggunakan barangan berkenaan iaitu sebanyak 10.8 paun. Satu sampel rawak

bersaizn= 100 pelanggannya selepas 2 minggu menggunakan barangan tersebut

menghasilkan min sampel, = 9.9 paun dengan sisihan piawai s = 3.4 paun.

Adakah maklumat sampel ini konsisten dengan dakwaan syarikat berkenaan?

Huraikan.

6. Seorang dekan akademik dari sebuah universiti tempatan mendakwa bahawa

purata saiz kelas daripada kelas yang diajar sepanjang semester adalah 14.

Anggap bahawa saiz kelas adalah tertabur menghampiri normal. Satu sampel

rawak diambil dengan n = 25 kelas menghasilkan min sampel = 20 dan sisihan

piawai s = 15.

(a) Berapa jauh beza sisihan piawai bagi min sampel dengan min

populasi yang didakwa?

(b) Apakah yang anda cadangkan kepada dekan berkenaan dakwaan

beliau?

7. Sebuah akhbar tempatan melaporkan bahawa purata skor ujian bagi pelajar

yang akan memasuki Institut Pengajian Tinggi Awam adalah 631 dengan sisihan

piawai 80. Apakah kebarangkalian bahawa skor min ujian daripada 40 orang

sampel pelajar terpilih terletak di antara 600 dan 650.

8. 15 orang pelajar kolej didapati mengidap selesema. Kajian ke atas pelajar

tersebut menunjukkan 4 orang pelajar terbabit terkena simptom berkenaan

selepas mengambil minuman jenis P. Tentukan min dan varians bagi taburan

perkadaran populasi yang mendapat selesema selepas mengambil minuman jenis

P.

16 OUM



9. Sebuah syarikat pengeluar cip CPU terbesar percaya bahawa kaedah

pengeluaran terkini menghasilkan 35% cip yang boleh digunakan tanpa

sebarang kecacatan. Satu sampel rawak 1,000 cip CPU baru telah

dihasilkan dengan 300 cip boleh digunakan tanpa sebarang kecacatan.

Adakah dakwaan pengeluar berkenaan konsisten dengan sampel rawak

yang dipilih?

RUMUSAN

Taburan pensampelan bagi min sampel, adalah penting untuk mendapatkan anggaran min populasi.

Taburan pensampelan bagi perkadaran pula membantu dalam mengukur atau menyukat peratusan

kebarangkalian/kekerapan relatif berlakunya sesuatu peristiwa. Teorem had memusat pula amat

berguna untuk menentukan nilai yang sesuai terhadap min populasi. Berdasarkan kaedah-kaedah ini,

jelas menunjukkan bahawa taburan pensampelan amat penting dalam menentukan parameter sebenar

populasi. Keyakinan serta kekuatan hujah dan dakwaan pengkaji boleh diuji menerusi pendekatan

taburan pensampelan ini.

Sila rujuk CD Unitem bagi Aktiviti 1 di Unit . Terdapat latihan mengenai taburan

pensampelan dalam aktiviti tersebut. Cuba aktiviti tersebut bagi memantapkan

pemahaman anda.

OUM 17


BAB 2 PENGANGGARAN TITIK


PENGENALAN

Statistik yang digunakan untuk mendapatkan satu anggaran titik dikenali sebagai satu penganggar.

Sampel-sampel rawak yang berlainan akan memberikan anggaran yang berlainan. Bab 1sebelum ini

telah pun menyentuh konsep penganggar dan dua kaedah utama untuk mendapatkan anggaran

parameter yang tidak diketahui. Ada dua cara anggaran parameter iaitu anggaran titik dan anggaran

selang. Dalam bab ini akan dibincangkan anggaran titik yang bermaksud suatu nilai anggaran yang

digunakan sebagai anggaran kepada parameter yang tidak diketahui. Ragam anggaran titik ialah

sama ada 100% tepat kepada parameter sasaran (satu hal yang mustahil) atau 100% meleset daripada

sasaran (suatu yang lazim berlaku). Dengan anggaran yang sering tersasar, maka diperlukan

penganggaran terbaik yang sifat-sifatnya akan diterangkan di bawah.

OBJEKTIF

Di akhir bab ini anda akan dapat:

1. menerangkan ciri-ciri pengangar yang baik;

2. menyatakan sama ada sesuatu penganggar itu saksama atau pincang;

3. mentakrif kecekapan penganggar; dan

4. menyatakan maksud dan kepentingan ketaksamaan Cramer-Rao.

2.1 CIRI-CIRI PENGANGGAR

Apakah sifat-sifat yang dikehendaki untuk pemilihan suatu penganggar yang baik? Matlamat tentunya

ingin memperoleh taburan pensampelan statistik yang mempunyai nilai min yang bertumpu/bertindan

dengan parameter yang dianggar. Ciri ini disebut sebagai kesaksamaan atau ketidakpincangan

penganggar. Ciri kedua yang menjamin bahawa penganggar adalah baik ialah kecekapan. Satu

penganggar dikatakan cekap sekiranya nilai serakan taburan penganggar adalah kecil. Lihat Rajah

2.1 (a) dan Rajah 2.1 (b) berikut bagi mengesahkan lagi ciri penganggar.

(i) Kesaksamaan/ketidakpincangan:

f ( )�

�

=E ( )�

(a)

18 OUM


PENGANGGARAN TITIK BAB 2

Rajah 2.1: Taburan pensampelan penganggar terpusat pada pada rajah 2.1(a)

dan taburan pensampelan penganggar tidak terpusat pada pada rajah 2.1(b)

(ii) Kecekapan:

(a)

k- k 1ˆ

Rajah 2.2: Dua jenis taburan pensampelan dengan serakan yang berbeza

� k + k

f ( ) 2

�

2�

(b)

� k + k

f ( ) 2

�

2�

(b)

OUM 19



Ulasan:

Ciri-ciri penganggar yang baik adalah saksama atau fungsi taburan pensampelan f(x) terpusat pada

parameter yang tidak diketahui dalam Rajah 2.1(a) dan cekap iaitu mempunyai serakan yang kecil

seperti dalam Rajah 2.2(b).

2.2 PENGANGGAR SAKSAMA

Takrif

KatalahY1,Y

2,...,Y

n adalah sampel rawak daripada populasi dengan fungsi ketumpatan kebarangkalian

. Satu penganggar adalah penganggar saksama bagi parameter

jika untuk semua .

Ini bermakna, nilai-nilai yang diperoleh daripada sampel akan tertabur di sekitar titik pusat yang

nilainya sama dengan nilai , iaitu parameter yang ingin dianggarkan. Sekiranya penganggar tidak

memenuhi ciri , maka penganggar dikenali sebagai penganggar pincang atau tidak

saksama.Darjah kepincangan bagi suatu penganggar ditanda dengan b( ), iaitu perbezaan antara

nilai jangkaan bagi dengan parameter sebenar .

Contoh 2.1

Sampel rawak Y1, …, Y

n diambil daripada populasi dengan min yang tidak diketahui. Tunjukkan

bahawa adalah penganggar saksama bagi .

Jawapan:

Penganggar adalah saksama sekiranya .

Oleh itu:

Penganggar saksama adalah juga penganggar yang cekap. Berikan komen anda

terhadap kenyataan ini.

20 OUM



Jadi Y–

adalah penganggar saksama bagi .

Contoh 2.2

Katalah pemboleh ubah rawak Y mengikuti taburan seragam pada selang

0 < y < dengan q tidak diketahui. Tunjukkan bahawa 2Y–


Jawapan:

Ambil sampel rawak Y1, …, Y

n dengan min sampel. Tunjukkan bahawa penganggar


Langkah 1:

Langkah 2:

Langkah 3:

Maka, penganggar 2Y– terbukti saksama bagi .

OUM 21



Contoh 2.3

Jika pemboleh ubah rawak X mempunyai taburan binomial dengan parameter n dan , tunjukkan

bahawa adalah penganggar tidak pincang bagi .

Jawapan:

Langkah 1:

Langkah 2:

Oleh kerana X mempunyai taburan binomial dengan parameter ndan , tentukan .

Langkah 3:

Maka, telah terbukti bahawa saksama bagi .

Bagaimana pemahaman anda bagi topik yang anda baru mempelajari? Dapatkah anda mengikuti dan

memahami cara kerja bagi contoh-contoh yang diberi? Jawablah soalan-soalan dalam latihan berikut

untuk menguji pemahaman anda.

22 OUM



Latihan 2.1

1. Tunjukkan bahawa statistik adalah penganggar

saksama bagi .

2. Katalah Y mempunyai taburan seragam dengan selang (0, . Adakah

penganggar saksama bagi ? Tentukan penganggar saksama bagi .

3. Diberi X1 dan X

2 adalah sampel rawak daripada taburan normal dengan min

dan varians 2 yang penganggar bagi min diberi sebagai:

Semak sama ada:

(a) Penganggar dan merupakan penganggar saksama.

(b) Tentukan penganggar yang mempunyai varians terkecil.

2.3 NISBAH VARIANS

Dalam Bahagian 14.2, penganggar saksama telah dipilih daripada pelbagai statistik yang ditakrifkan

daripada sampel rawak. Walau bagaimanapun, penganggar saksama bagi parameter yang tidak

diketahui ini tidak unik. Maksudnya, suatu parameter yang tidak diketahui boleh mempunyai lebih

daripada satu penganggar saksama. Dengan demikian, suatu ciri tambahan diperlukan untuk memilih

satu penganggar yang unggul daripada set penganggar saksama tersebut. Ciri saksama membincangkan

hal berkait dengan lokasi min taburan penganggar. Ciri berikut adalah ciri kecekapan yang berkait

dengan varians taburan penganggar. Maksudnya, semakin kecil varians taburan penganggar itu, maka

semakin cekap penganggar ini.

Takrif

Katalah W1 dan W

2 adalah dua penganggar saksama bagi masing-masing dengan varians V(W

1)

dan V(W2). W

1 dikatakan lebih cekap daripada W

2 jika:

dan

nisbah varians,

dinamakan Kecekapan relatif bagi W1 berbanding W

2

OUM 23



Contoh 14.4

KatalahY1,Y

2 dan Y

3 merupakan suatu sampel rawak daripada suatu taburan dengan fungsi ketumpatan

kebarangkalian yang diberi sebagai:

Pertimbangkan 3 penganggar bagi , iaitu:

(a) Tentukan penganggar yang saksama.

(b) Tentukan penganggar saksama yang mempunyai varians terkecil.

(c) Tentukan kecekapan relatif.

(i) berbanding .

(ii) berbanding .

(iii) berbanding .

Jawapan:

(a) Tunjukkan sama ada .

Oleh sebab Y1, Y

2 dan Y

3 sampel rawak E(Y

1) = E(Y

2) = E(Y

3)

(i) Tunjukkan

Tentukan E(Y1)

Oleh itu, 2Y1 adalah penganggar saksama bagi .

(ii) Y1 dan Y

2 adalah sampel rawak tidak bersandar daripada taburan dengan fungsi ketumpatan

yang masing-masing .

24 OUM



Oleh itu, Y1 + Y

2 adalah penganggar saksama bagi .

(iii) Y1, Y

2 dan Y

3 adalah sampel rawak tidak bersandar saiz 3, maka

Jadi,

Oleh itu, Y2 adalah penganggar saksama bagi .

Oleh kerana , ,

maka kesemuanya adalah penganggar saksama.

OUM 25



(b) Untuk mencari penganggar saksama dengan varians terkecil, tentukan varians setiap penganggar.

(i) Diketahui,

Daripada bahagian (a),

Oleh kerana Y1, Y

2 dan Y

3 adalah sampel rawak, maka:

Jadi,

(ii) adalah tidak bersandar.

(iii) Didapati

Jadi, penganggar adalah penganggar saksama dengan varians

terkecil.

26 OUM



Latihan 2.2

1. Katalah Y1, ..., Y

n adalah sampel rawak daripada taburan eksponen dengan

min . Diberi bahawa E(Yi) = dan V(Y

i) = .

(a) Cadangkan penganggar saksama bagi .

(b) Tentukan juga varians penganggar tersebut.

2. Diketahui bahawa bilangan pesakit menderma darah jenis A merupakan

pemboleh ubah rawak Y yang tertabur secara geometri. Jika p merupakan

kebarangkalian untuk setiap orang yang terpilih adalah berdarah jenis A, maka

. Tentukan bahawa adalah

penganggar saksama bagi p.

3. Y1, Y

2, …, Y

n adalah sampel rawak daripada populasi dengan min dan varians

2. Berikut adalah penganggar bagi .

(a) Tunjukkan bahawa ketiga-tiga penganggar tersebut tidak pincang.

(b) Kira kecekapan relatif

(c) Kecekapan relatif bagi:

(i) berbanding ialah:

(ii) berbanding ialah:

(iii) berbanding ialah:

Ini bermakna, tiga kali lebih kecil berbanding . Oleh itu, adalah tiga kali lebih cekap

sebagai penganggar kepada berbanding dengan .

OUM 27



Rujuk Aktiviti 2 di Unit 1 dalam CD Unitem. Terdapat latihan yang melibatkan

penganggaran titik. Cuba latihan tersebut bagi mengukuhkan pemahaman anda.

RUMUSAN

Kesukaran memilih nilai penganggar parameter terbaik mampu diselesaikan menerusi pengecaman

ke atas ciri-ciri saksama dan nilai varians paling minimum. Kedua-dua ciri ini sangat berguna dalam

membantu menentukan nilai anggaran parameter yang menepati maklumat populasi.

28 OUM


PENGANGGARAN SELANG BAB 3

BAB 3 PENGANGGARAN SELANG

PENGENALAN

Diketahui bahawa anggaran parameter populasi boleh diberikan sebagai anggaran titik atau anggaran

selang. Anggaran titik seperti yang dipelajari dalam bab lepas, boleh diperoleh menerusi dua kaedah

iaitu kaedah momen dan kaedah kebolehjadian maksimum. Sifat-sifat penting yang perlu ada pada

penganggar titik adalah saksama dan cekap. Namun, bagaimana baik sekali pun penganggur titik itu,

kita tidak dapat lari daripada hakikat ia akan meleset daripada nilai sasaran. Oleh itu, dianjurkan

anggaran selang yang lebih selamat walaupun tidak tepat. Dalam bab ini, anda akan mempelajari

dengan lebih lanjut mengenai anggaran selang dan cara penerbitan dan pengiraan anggaran selang.

OBJEKTIF


1. mentakrifkan apa yang dimaksudkan dengan penganggar selang;

2. menerbitkan penganggar selang untuk:

• min;

• varians;

• kadaran;

• min beza; dan

3. mengira anggaran selang jika diberi data.

3.1 CIRI-CIRI PENGANGGAR SELANG

Anggaran selang parameter populasi pula merupakan suatu selang lebar yang terhingga berpusatkan

di titik anggaran parameter yang dijangkakan mengandungi nilai sebenar parameter. Untuk

mendapatkan selang anggaran paramater, suatu selang dalam bentuk perlu dibina dengan

bergantung kepada sampel yang dipilih dan k ditentukan daripada taburan pensampelan statistik ,

iaitu .

Sampel-sampel yang berlainan menghasilkan nilai yang berlainan. Hasil anggaran selang bagi

parameter boleh ditunjukkan seperti dalam Rajah 3.1 berikut:

Setiap selang mempunyai lebar yang sama kerana kelebaran bersandar pada nilai-nilai k yang dipilih

setelah ditentukan. Dalam kes ini adalah min masing-masing sampel.

Daripada taburan pensampelan , k boleh ditentukan sehingga penyelidik mempunyai keyakinan

yang parameter anu berada dalam selang . Dengan pernyataan

OUM 29



Saiz biasanya 0.05, 0.01 dan 0.1.

Untuk mendapatkan anggaran selang tersebut dengan keyakinan , nilai diperolehi

daripada sampel dan k pula daripada taburan apabila diberikan/dipilih. Biasanya dua langkah

berikut dilaksana:

(i) tentukan statistik yang juga merupakan penganggar titik kepada ; dan

(ii) tentukan taburan tersebut.

Umpamanya jika , maka penyelidik akan memperolehi 95% yakin yang berada dalam

selang iaitu .

Katakan = min populasi, maka adalah penganggar titik . Bila n besar ialah

Normal dan seterusnya anggaran selang atau selang 95% bagi boleh dibina. Lihat subtopik 3.2.

3.2 ANGGARAN SELANG MIN POPULASI,

Kes I: Varians populasi diketahui

Bagi parameter anu min populasi , maka min sampel adalah X–

penganggar titik . Jika saiz

sampel besar (atau kecil), Teorem Had Memusat memastikan X– tertabur normal dengan min ,

dan varians . Sekarang anggaran selang atau selang keyakinan bagi

dibina seperti berikut:

Rajah 3.1:

Anggaran selang

bagi sampel

berlainan

kebarangkalian, hal ini boleh ditulis sebagai atau

dikatakan berada dalam selang dengan .

Sampel

x

�5

�3

�1

�2

�4

�6

30 OUM



Seterusnya:

Rajah3.2: Taburan

pensampelan

apabila varians

populasi

diketahui

Suatu sampel rawak bersaiz n dipilih daripada populasi yang varians diketahui, min x– dikira

daripada sampel oleh anggaran selang keyakinan bagi sebagai:

ba

(a)

(b)

z z0

OUM 31



Contoh 3.1

Tentukan selang keyakinan 95% dan 99% bagi min hari yang tidak dihadiri penuntut di sebuah kolej

apabila diberikan min dan sisihan piawai populasi normal bagi sampel rawak 25 orang penuntut

adalah masing-masingnya 2.6 dan 0.3.

Jawapan:

Katakan X adalah pemboleh ubah rawak hari yang tidak dihadiri penuntut yang

.

Keyakinan 95% memberikan . Jadi,

dan daripada sifir normal piawai .

Keyakinan 99% memberikan . Jadi,

dan daripada sifir normal piawai .

Daripada Rumus 15.1, selang keyakinan diberi sebagai:

Oleh itu, selang keyakinan 95% bagi adalah:

Manakala selang keyakinan 99% pula adalah:

Selang keyakinan ini akan memberikan anggaran selang bagi min populasi.

Saiz sampel perlu ditentukan untuk menganggar min satu populasi. Mengapa?

Rumus 3.1

dan dengan diberikan nilai , boleh diperoleh daripada jadual taburan normal piawai.

32 OUM



3.2.1 Saiz Ralat

Saiz ralat pula merupakan beza di antara dengan penganggaran X–

, iaitu dengan keyakinan

bahawa perbezaan ini kurang daripada kuantiti . Perhatikan Rajah 3.3 yang

berikut:

Daripada Contoh 3.1, maka dan

boleh dirumuskan bahawa:

(i) Diyakini 95% min X–

= 2.6 berbeza dengan min dalam amaun kurang daripada 0.12 .

(ii) Diyakini 99% min X–

= 2.6 berbeza dengan min dalam amaun kurang daripada 0.15 .

Teorem 3.1

Jika X– digunakan sebagai penganggar , maka diyakini bahawa ralat itu akan kurang

daripada sejumlah E yang ditentukan apabila saiz sampel adalah:

Contoh 3.2

Berapa besarkah saiz sampel yang diperlukan dalam Contoh 3.1 jika berkeyakinan 95% bahawa

beza anggaran X–

dengan kurang daripada 0.05?

Jawapan:

Diketahui . Jadi, berdasarkan Teorem 15.1, diperoleh . Ini

bermakna, diyakini 95% bahawa sampel rawak bersaiz 139 (ambil integer terbesar) dapat memberikan

beza anggaran X–

dengan adalah kurang daripada 0.05.

Rumus 3.2

Rajah 3.3

ralat = E

OUM 33



Kes II: Kes varians tidak diketahui dengan n kecil

Dalam kes-kes tertentu, sukar untuk memperoleh sampel rawak bersaiz n > 30. Kos adalah di

antara faktor yang membatasi saiz sampel yang diperlukan. Oleh kerana populasi normal dengan

tidak diketahui dan saiz sampel adalah kecil, maka taburan pensampelan T dengan darjah kebebasan

digunakan, iaitu , di mana S adalah varians sampel.

Oleh itu,

Perhatikan Rajah 3.4 berikut:

Seterusnya:

Jadi, satu sampel rawak bersaiz n dipilih daripada populasi yang varians tidak diketahui, min

dikira dengan memberikan selang keyakinan sebagai:

Rumus 3.3

Rajah 3.4

t t0

0

t (v = n�1)1 �

�

34 OUM



Contoh 3.3

Pelajar-pelajar jurusan sains di sebuah sekolah telah mengambil ukuran isipadu asid sulfurik di dalam

tabung uji bagi tujuan satu uji kaji. Berikut adalah ukuran isipadu yang mereka gunakan (dalam unit

liter):

0.098, 0.102, 0.104, 0.098, 0.102, 0.096.

Tentukan selang keyakinan 95% bagi min isipadu asid sulfurik dalam tabung uji berkenaan dengan

andaian taburan hampir normal.

Jawapan:

Melalui data, diperoleh min sampel:

dan sisihan piawai sampel:

Jadual sifir statistik T memberikan nilai .

Diketahui, selang keyakinan diberi sebagai . Oleh

itu, selang keyakinan 95% bagi min ukuran isipadu asid sulfurik pada n – 1 = 5 darjah kebebasan

ialah .

Dapatkah anda memahami bahan pelajaran ini? Jika ya, jawab soalan-soalan dalam latihan berikut.

Jika tidak, ulangkaji semula topik-topik yang anda kurang pasti sebelum menjawab soalan-soalan

berikut.

Latihan 3.1

1. Satu kajian telah dijalankan untuk mengkaji min tinggi pelajar di sebuah sekolah

dengan tinggi 150 orang pelajar diambil. Kajian tersebut mendapati min tinggi

pelajar, X–

= 174.5 cm dengan sisihan piawai, = 6.9 cm. Tentukan selang

keyakinan 99% min tinggi pelajar.

2. Satu sampel rawak bersaiz 10 diambil daripada populasi normal. Didapati min

sampel X– = 64.3 dengan sisihan piawai sampel, s = 15. Bina selang keyakinan

95% bagi min populasi.

OUM 35



3.3 MENGANGGAR VARIANS

Suatu anggaran titik saksama varians 2 daripada populasi diberikan oleh varians sampel s2. Jadi

statistikS2 adalah penganggar 2 . Suatu anggaran selang bagi 2 boleh ditentukan dengan menggunakan

statistik .

Teorem 3.2

Jika s2 adalah varians sampel rawak bersaiz n yang diambil daripada satu populasi normal yang

mempunyai varians 2 , maka pemboleh ubah rawak mempunyai taburan khi kuasa

dua dengan darjah kebebasan v = n – 1.

Oleh itu, pernyataan kebarangkalian bagi statistik boleh ditulis sebagai:

—— persamaan (1)

dan boleh dilihat gambaran kebarangkalian menerusi Rajah 3.5 berikut:

Dengan menggantikan ke dalam ketaksamaan persamaan (1) di atas, diperoleh:


Bahagikan ketaksamaan dalam persamaan (2) dengan :


Lakukan songsangan ketaksamaan dalam persamaan (3) yang menghasilkan:

Rajah 3.5

1 �

1�

36 OUM



Contoh 3.4

Kajian dijalankan untuk mengetahui varians dalam berat 10 kampit benih rumput. Didapati bahawa

varians sampel ialah 0.286. Bina selang keyakinan 95% bagi varians kampit benih rumput tersebut.

Jawapan:

Maklumat yang diberi adalah saiz sampel, n = 10 dan varians sampel, s2 = 0.286.

Diketahui, selang keyakinan 95% varians adalah . Daripada sifir statistik,

diperoleh pada darjah kebebasan:

Jadi, selang keyakinan 95% varians kampit benih rumput adalah atau

ringkasnya .

Jawablah soalan-soalan dalam latihan berikut untuk menguji taraf pemahaman anda.

Jadi, bagi sampel rawak tertentu bersaiz n dipilih, varians sampel s2 dihitung dengan memberikan

selang keyakinan sebagai:

Rumus 3.4

Latihan 3.2

1. Satu kajian dijalankan bagi mengetahui variasi dalam penggunaan minyak oleh

sebuah mesin. Sampel bersaiz 20 diambil dan didapati sisihan piawai ialah 3.3

liter. Bina selang keyakinan 95% bagi 2.

2. Berikut adalah data tentang kandungan bahan asing (dalam unit g) daripada 5

botol mentega yang dipilih secara rawak:

2.3 1.9 2.1 2.8 2.3

Bina satu selang keyakinan 90% bagi varians kandungan bahan asing di dalam

botol mentega tersebut.

OUM 37



3.4 MENGANGGAR PERKADARAN

Masalah yang berkaitan dengan perkadaran biasanya melibatkan peristiwa dengan dua kesudahan

yang mungkin iaitu berjaya atau gagal. Prinsip ini berkait rapat dengan taburan binomial yang ciri-ciri

taburannya telah pun disentuh di dalam Kursus Pengantar Statistik. Tujuannya adalah untuk menganggar

, iaitu parameter bagi taburan binomial. Andaian bahawa n cukup besar adalah perlu bagi

membolehkan penghampiran normal bagi taburan binomial dengan parameter dan n digunakan.

Anda telah mempelajari sebelum ini bahawa min bagi pemboleh ubah rawak taburan binomial ialah

n dan varians n (1– ). Oleh kerana tidak diketahui, maka nisbah sampel akan

digunakan sebagai anggaran titik bagi parameter . Taburan bagi menghampiri taburan normal

dengan min:

dan varians:

dengan penghampiran normal, pemiawaian boleh dilakukan sehingga:

Oleh itu, pernyataan kebarangkalian bagi Z boleh ditulis sebagai

Oleh yang demikian:

38 OUM



Contoh 3.5

Dalam satu sampel rawak bersaiz n = 500 orang pelajar yang mempunyai kenderaan di Universiti

Terbuka Malaysia, didapati x = 340 mempunyai motosikal. Cari selang keyakinan 95% bagi

perkadaran sebenar pelajar-pelajar di universiti tersebut yang mempunyai motosikal.

Jawapan:

Anggaran titik bagi adalah . Daripada sifir statistik Z, didapati

. Diketahui bahawa anggaran selang keyakinan diberi sebagai .

. Dengan menggunakan maklumat di atas, diperoleh

yang diringkaskan menjadi

Ini bermakna, diyakini 95% bahawa nilai kadaran sebenar pelajar yang mempunyai

motosikal adalah di antara 64% hingga 72% orang.

3.4.1 Saiz Ralat

Apabila saiz ralat berbeza-beza di antara dengan , diyakini bahawa perbezaan ini akan kurang

daripada . Ini boleh dijelaskan melalui Rajah 3.6 berikut:

Rajah 3.6

= E

Suatu sampel rawak bersaiz n dipilih daripada populasi yang tidak diketahui, anggaran dikira

dengan memberikan selang keyakinan sebagai:

Rumus 3.5

OUM 39



Teorem 3.3

Jika digunakan sebagai penganggar , diyakini bahawa ralat itu akan kurang daripada

. Menerusi Contoh 15.5, jelas bahawa 95% diyakini kadaran sampel berbeza

daripada kadaran sebenar dengan nilai kurang daripada

yang bernilai 0.04.

3.4.2 Saiz Sampel

Kadangkala harus ditentukan saiz sampel yang diperlukan bagi memastikan bahawa ralat dalam

anggaran akan kurang daripada satu nilai tertentu. Daripada Teorem 3.3, n dipilih sehingga

.

Teorem 3.4

Jika digunakan sebagai penganggar , diyakini bahawa ralat akan kurang

daripada jumlah tertentu E apabila saiz sampel adalah:

Contoh 3.6

Berapa besarkah sampel yang diperlukan di dalam Contoh 3.5 jika mengingini keyakinan 95% bahawa

anggaran kurang daripada 0.02?

Jawapan:

Diketahui . Dengan menggunakan Teorem 3.4, diperoleh

. Oleh itu, anggaran berdasarkan saiz sampel,

n = 2,090 meyakinkan bahawa sekurang-kurangnya 95% perkadaran sampel akan berbeza

daripada perkadaran sebenar tidak lebih daripada 0.02.

Rumus 3.6

40 OUM



3.5 MENGANGGAR MIN BEZA

Sebelum ini telah disentuh penganggaran selang bagi min yang melibatkan suatu populasi. Katalah

terdapat dua sampel cerapan yang ingin dikaji dengan cerapan pada kedua-dua sampel terjadi secara

berpasangan sehingga dua cerapan tersebut saling berkaitan. Contohnya, satu ujian dijalankan ke

atas berat 15 orang individu, iaitu berat sebelum mereka mengambil sajian baru dan berat sesudah

mengambil sajian baru yang membentuk dua sampel.

Cerapan-cerapan pada kedua-dua sampel telah dijalankan ke atas individu yang sama menunjukkan

satu perkaitan dan membentuk satu pasangan. Untuk menentukan keberkesanan sajian cerapan,

harus difikirkan perbezaan daripada cerapan setiap pasangan. Perbezaan-perbezaan ini merupakan

nilai-nilai satu sampel rawak daripada satu populasi yang dianggap tertabur normal

dengan min D dan varians 2

D yang tidak diketahui.

Selang keyakinan bagi boleh diperoleh dengan menulis:

Dengan menggunakan , diperoleh:

Dengan meneruskan langkah-langkah matematik yang sepadan, akan membawa kepada suatu selang

keyakinan iaitu:

Latihan 3.3

1. Dalam suatu sampel rawak, didapati 140 daripada 400 orang yang diberikan

ubat selesema mengalami kesan sampingan. Bina selang keyakinan 95% bagi

perkadaran sebenar orang yang mengalami kesan sampingan daripada ubat

tersebut.

2. Satu kajian dijalankan bagi menganggar perkadaran suri rumah yang mempunyai

mesin pengering automatik. Berapa besarkah sampel yang diperlukan jika

seseorang berkehendak sekurang-kurangnya 95% anggaran sampel, ˆ = 0.45

berbeza daripada perkadaran sebenar dengan nilai kurang daripada 0.01?

Sila cuba latihan berikut.

OUM 41



Contoh 3.7

5 orang pelajar baru dari sebuah maktab dikehendaki mengambil kursus matematik yang menggunakan

dua pendekatan berbeza:

(i) Menggunakan komputer.

(ii) Menghadiri kuliah.

Pada akhir semester, kesemua pelajar diberi peperiksaan bagi kedua-dua pendekatan. Berikut adalah

keputusan yang diperoleh (unit dalam %).

Dengan adalah nilai taburan t dengan v = n –1 darjah kebebasan, :

dan varians sampel, .

Jadual 3.1: Markah

Peperiksaan

Mengikut Pelajar

dan Kaedah

Pengajaran

Pelajar 1 2 3 4 5

Kaedah 1 76 60 85 58 91

Kaedah 2 81 52 87 70 86

Tentukan selang keyakinan 95% bagi perbezaan sebenar dalam gred purata daripada dua tatacara

pengajaran itu.

Jawapan:

Anda perlu mencari selang keyakinan 95% bagi yang mewakili gred purata semua

pelajar melalui kaedah 1 dan mewakili gred purata semua pelajar melalui kaedah 2. Oleh kerana

cerapan berpasangan, maka titik anggaran perlu dicari.

Andaikan seorang ahli psikologi pendidikan ingin membandingkan dua kaedah

pengajaran dalam menentukan kaedah pengajaran yang berkesan. Bolehkah beliau

menggunakan kaedah penganggaran bagi membuat perbandingan tersebut?

42 OUM



Diperoleh:

dan

Oleh kerana selang keyakinan 95% dipilih, tentukan . Dengan menggantikan

ke dalam rumus:

diperoleh selang keyakinan 95%:

dan diringkaskan menjadi:

Ini bermakna 95% diyakini bahawa selang daripada –11.11% hingga 8.707% mengandungi perbezaan

sebenar gred purata markah pelajar bagi kedua-dua kaedah pengajaran tersebut. Oleh kerana selang

keyakinan 95% perbezaan sebenar gred purata markah pelajar bagi kedua-dua kaedah pengajaran

mengandungi beza yang bernilai negatif dan positif, iaitu:

Jadual 3.2

Pelajar 1 2 3 4 5

Kaedah 1 76 60 85 58 91

Kaedah 2 81 52 87 70 86

-5 8 -2 -12 5

2

i

d 25 64 4 144 25

OUM 43



Maka boleh dinyatakan bahawa kedua-dua kaedah tidak menunjukkan sebarang perbezaan gred

purata markah pelajar secara bererti.

Untuk memastikan anda memahami apa yang telah dipelajari, jawab latihan berikut.

Tahniah! Anda telah berjaya sampai ke bab terakhir dalam Unit ini! Dapatkah anda memahami semua

konsep dan topik yang penting dalam bab dan unit ini? Bincanglah dengan rakan sekursus dan tutor

anda jika anda menghadapi apa-apa masalah. Sekarang, ulang kajilah semula bahan pelajaran dalam

bab ini, dan seterusnya jawab soalan-soalan dalam bahagian latihan berikut.

Latihan 3.4

1. Adalah diakui bahawa suatu cara diet baru akan mengurangkan berat badan

seseorang sebanyak 4.5 kg purata dalam masa 2 minggu. Berat tujuh orang

wanita yang mengikuti cara diet baru ini direkodkan sebelum dan sesudah jangka

masa dua minggu. Hitung selang keyakinan 95% bagi min beza berat wanita.

Wanita 1 2 3 4 5 6 7

Berat

Sebelum58.5 60.3 61.7 69.0 64.0 62.6 56.7

Berat

Sesudah60.0 54.9 58.1 62.1 58.5 59.9 54.4

2. Sebuah syarikat teksi ingin membeli tayar sama ada jenis A atau jenis B untuk

teksi-teksinya. Untuk menganggar beza di antara dua jenis tayar itu, satu uji

kaji dijalankan ke atas 5 buah teksi dengan 10 tayar diuji. Tayar-tayar ini

digunakan hingga haus. Berikut adalah keputusan ke atas tayar berkenaan:

(unit dalam kilometer).

Teksi 1 2 3 4 5

Tayar

Jenis A34,400 45,500 36,700 32,000 48,400

Tayar

Jenis B36,700 46,800 37,700 31,100 47,800

Tentukan selang keyakinan 99% bagi beza tayar dengan menganggap populasi

tertabur normal.

44 OUM



Cuba anda masuk ke laman Web CT. Di sini, terdapat aktiviti yang disediakan bagi

menguji kefahaman anda tentang keseluruhan kandungan Unit 3. Cuba latihan yang

disediakan dan bincangkan jawapan dengan rakan sekursus anda.

2. Suatu kumpulan pelajar telah menjalankan satu kajian terhadap taburan suhu

di beberapa buah negeri di Semenanjung Malaysia. Data suhu berkenaan adalah:

Tentukan selang keyakinan 95% bagi purata suhu negeri-negeri di Semenanjung

Malaysia.

3. Seorang pakar psikologi ingin menganggar varians bagi suatu ujian IQ terhadap

pesakit yang mengalami tekanan mental yang teruk. Apabila ujian dijalankan

ke atas suatu sampel rawak 27 orang pesakit, diperoleh varians sampel ialah

63.2. Tentukan selang keyakinan 90% varians ujian pesakit tersebut.

4. Satu sampel rawak 1,625 orang pelajar di sebuah universiti swasta yang

mempunyai kenderaan, 1,003 daripada mereka adalah pelajar perempuan.

Tentukan selang keyakinan 95% peratusan pelajar yang mempunyai kenderaan

di universiti tersebut adalah pelajar perempuan.

5. Satu sampel rawak yang mengandungi 8 orang pelajar yang mengikuti kelas

pemulihan matematik di sebuah sekolah rendah diperhatikan prestasi pelajaran

mereka pada pertengahan dan akhir tahun. Jadual berikut menunjukkan purata

markah matematik pelajar terbabit.

Latihan 3.5

1. Suatu sampel rawak 100 orang pelajar di sebuah universiti swasta menunjukkan

bahawa purata pendapatan keluarga pelajar adalah RM23500 setahun dengan

sisihan piawainya RM3,900.

(a) Bina selang keyakinan 99% bagi purata pendapatan setahun keluarga

pelajar.

(b) 99% diyakini bahawa beza min sampel dengan purata pendapatan sebenar

keluarga pelajar 0.05. Tentukan saiz sampel yang mungkin.

Tentukan selang keyakinan 95% bagi beza markah yang diperoleh pelajar terbabit.

Pelajar 1 2 3 4 5 6 7 8

Markah

Pertengahan73 89 82 43 50 73 66 60

Markah

Akhir88 78 84 65 51 85 74 77

OUM 45



RUMUSAN

Penganggaran selang sangat membantu dalam menentukan julat parameter sebenar suatu populasi itu

berada. Anggaran selang amat penting terutama apabila pentadbiran atau pengujian hipotesis ingin

dilaksanakan terhadap sesuatu populasi yang diminati.

46 OUM


SOALAN TUTORIAL

SOALAN TUTORIAL 1

PENGENALAN

Tujuan aktiviti adalah untuk menguji kebolehan pelajar menggunakan data kekerapan murid-murid

ke perpustakaan yang diberi bagi menjawab persoalan-persoalan yang dikemukakan.

MASALAH

Satu kajian berkenaan dengan bilangan kehadiran murid-murid di sebuah perpustakaan ingin

dijalankan. Objektif kajian adalah untuk mengetahui purata murid-murid yang masuk ke perpustakaan

setiap hari. Data kehadiran murid-murid mengikut hari diberi seperti berikut:

TUGAS

Dengan menggunakan purata kehadiran dan varians kehadiran murid-murid:

(a) Tentukan anggaran selang 95% bagi purata kehadiran di perpustakaan dalam sehari.

(b) Tentukan juga anggaran selang 95% bagi varians purata kehadiran.

(c) Sekiranya purata kehadiran tersebut mengikuti taburan Poisson, dapatkan anggaran momen

bagi purata kehadiran itu.

(d) Hitung nilai anggaran momen purata kehadiran menggunakan data yang ada.

(e) Semak sama ada anggaran momen saksama dengan varians minimum.

SUMBER

Rujuk Bab 1, Bab 2 dan Bab 3 dalam unit ini serta buku statistik yang bersesuaian.

OUM 47


SOALAN TUTORIAL

SOALAN TUTORIAL 2

PENGENALAN

Tujuan aktiviti adalah untuk menguji kebolehan pelajar untuk menggunakan data markah bagi

menjawab persoalan yang dikemukakan.

MASALAH

Satu kajian berkenaan dengan pencapaian pelajar dalam subjek Matematik telah dijalankan. Objektif

kajian adalah untuk mengetahui purata markah yang diperoleh murid-murid pada pertengahan dan

akhir tahun serta beza purata markah kedua-duanya. Berikut adalah data tersebut:

Pencapaian Pertengahan Tahun Pencapaian Akhir Tahun

43 45

62 64

48 47

51 55

61 63

38 42

57 60

49 49

50 52

70 75

50 53

40 45

30 35

60 68

80 85

60 69

50 54

68 65

45 46

56 58

75 74

65 63

54 58

48 OUM


SOALAN TUTORIAL

TUGAS

1. Dengan menggunakan markah tersebut, hitung purata markah yang diperoleh pelajar pada

peperiksaan pertengahan dan peperiksaan akhir tahun.

2. Gunakan nilai purata markah pada (1) untuk mendapatkan:

(a) Anggaran selang keyakinan 95% bagi min beza markah pelajar.

(b) Anggap bahawa data tersebut dijangkakan tertabur normal, tentukan penganggar

kebolehjadian maksimum bagi min dan varians markah peperiksaan akhir pelajar.

(b) Hitung anggaran kebolehjadian maksimum tersebut.

(d) Semak sama ada anggaran kebolehjadian maksimum bagi min peperiksaan akhir

merupakan penganggar saksama dengan varians minimum.

SUMBER

Rujuk Bab 1, Bab 2 dan Bab 3 dalam unit ini serta buku statistik yang bersesuaian.

OUM 49


JAWAPAN LATIHAN

BAB 1: TABURAN PENSAMPELAN

Latihan 1.1

1. (a) Min populasi, . sisihan piawai populasi,

Jadi, min sampel, dan sisihan piawai taburan min sampel,

(b)


Bentuk: normal

Min,

Sisihan piawai, tidak diketahui

Taburan pensampelan:

Bentuk: normal dengan saiz sampel, n = 36

Min:

Sisihan piawai,

Rajah bagi

soalan 1b

0 1.09

176174.5

0.1379

Z

X

50 OUM


JAWAPAN LATIHAN


Bentuk: normal

Min,

Sisihan piawai, tidak diketahui

Taburan pensampelan:

Bentuk: normal dengan saiz sampel, n = 9 (kecil)

Min:

Sisihan piawai,

Skor z bagi

Kb( < 535) = Kb(z < 2) = 0.0228

Daripada pengiraan, Kb( < 535) = 0.0228 < 0.05 menunjukkan bahawa dakwaan berkenaan

tidak benar dengan aras keertiaan 5%. Oleh itu, penyataan yang sesuai adalah purata skor

kursus adalah kurang daripada yang didakwa.

Perhatikan rajah berikut:

Rajah bagi

Soalan 2

� 2

535 540

0.0228

0

Z

X

OUM 51


JAWAPAN LATIHAN

Sampel yang diambil mempunyai nilai min 24 yang lebih besar daripada min populasi 20.

Adakah wajar mempertahankan penyataan

Menggunakan statistik t0, kita perolehi:

Menggunakan kaedah interpolasi, didapati yang menunjukkan

bahawa penyataan tidak benar dengan aras keyakinan 5%. Jadi, penyataan yang

lebih sesuai ialah yang disokong oleh sampel.

Latihan 1.2

1. Populasi terdiri daripada dua atribut:

(i) attribut cenderung masuk universiti = 60%

(ii) atribut yang tidak cenderung masuk universiti = 40%

(a) Dari sampel, (mengikut teorem had memusat)

(b)

2.

Latihan 1.3

1. Min populasi adalah (200+175+185+210+190)/5 = 192. Oleh kerana min populasi sama

dengan min taburan pensampelan, maka . Sisihan piawai pila ialah:

Jadi,

52 OUM


JAWAPAN LATIHAN

2. Secara intuisi, sampel bersaiz 600 akan menghasilkan purata tinggi yang lebih baik berbanding

450 kerana lebih besar sampel, lebih banyak maklumat yang boleh kita perolehi.

Teorem Had Memusat akan memberi kita kefahaman bahawa sampel bersaiz 600 boleh

menghasilkan purata tinggi lebih baik daripada sampel bersaiz 450. Lihat sisihan piawai min

sampel masing-masing kumpulan:

Kumpulan 1 Kumpulan 2

Nilai X– daripada sampel bersaiz 600 memberikan sisihan piawai yang lebih rendah berbanding

nilai X–daripada sampel bersaiz 450. Jadi, nilai X

– daripada sampel bersaiz besar boleh

memberikan nilai yang hampir kepada purata populasi sebenar, berbanding nilai X–daripada

sampel bersaiz kecil. Ini menunjukkan purata tinggi 69 inci adalah purata sebenar bagi anda

kerana nilainya yang hampir dengan min sampel kedua 68.8 inci.

3. (a)

(b) Bentuk: normal, min, ; sisihan piawai,

Teorem Had Memusat

(c) .

(d) Kb(X > 505) = 0.2266 > 0.05 berbanding .

Ini bermakna, dakwaan terhadap min skor 490 hanya benar apabila menggunakan skor

peperiksaan secara rawak berbanding menggunakan min skor peperiksaan dengan sampel

rawak sebanyak 16.

4. Taburan populasi: min, X = 1800 dan sisihan piawai

X = 80

Taburan pensampelan: min, X

= 1800

sisihan piawai, (bila n = 64)

sishan piawai, (bila n = 100)

5. Taburan populasi: min, X = 10.8 paun dan sisihan piawai

X tidak diketahui

Taburan pensampelan: min, , sisihan piawai,

OUM 53


JAWAPAN LATIHAN

Oleh kerana , maka boleh untuk menyangkal dakwaan syarikat.

Jadi, keputusan sampel tidak konsisten dengan maklumat syarikat berkenaan.

6. Taburan populasi: min, X = 14 dan sisihan piawai

X tidak diketahui

Taburan pensampelan: min, , sisihan piawai,

(a) Beza sisihan piawai bagi min sampel dan min populasi diberi sebagai:

Jadi beza tersebut bernilai 2.

(b) Tentukan:

atau

Oleh kerana , maka dakwaan dekan tersebut tidak boleh

diterima.

7. Kebarangkalian tersebut adalah:

8. Keputusan yang diperolehi adalah seperti berikut:

(a) Min taburan pensampelan, p = 0.267

(b) Nilai varians

9. Untuk memastikan sama ada andaian boleh diterima atau tidak, maka tentukan

54 OUM


JAWAPAN LATIHAN

Oleh kerana , maka boleh diyakini bahawa dakwaan pengeluar

tersebut tidak benar. Keputusan sampel rawak yang dipilih adalah tidak konsisten dengan

dakwaan pengeluar.

BAB 2: PENGANGGARAN TITIK

Latihan 2.1

1. Diketahui, varians sampel, .

Oleh itu:

Oleh kerana , jadi:

Diketahui (a)

(b)

OUM 55


JAWAPAN LATIHAN

Jadi,

2. Y adalah penganggar saksama bagi jika E(Y) =

Diketahui .

Didapati

Oleh kerana itu, Y bukan penganggar saksama bagi . Supaya saksama, . Oleh

sebab itu, penganggar saksama bagi adalah apabila .

3. (a) adalah penganggar saksama jika

#

56 OUM


JAWAPAN LATIHAN

adalah penganggar saksama jika

(b Tentukan varians masing-masing penganggar iaitu:

Oleh kerana sampel tak bersandar, Kov (X1, X

2) = 0.

Didapati:

Oleh itu, mempunyai varians terkecil.

(c) Nisbah varians berbanding dengan ialah:

Ini bermakna, adalah penganggar saksama yang 9/10 lebih cekap daripada .

OUM 57


JAWAPAN LATIHAN

4. (a) Tunjukkan bahawa X– adalah penganggar saksama bagi .

Diketahui

Oleh itu,

Oleh itu, terbukti X–

penganggar saksama dengan varians minimum.

Latihan 2.2

1. Sekiranya saksama,

Diketahui,

(a) Jadi,

Jadi, penganggar saksama bagi ialah Y–.

58 OUM


JAWAPAN LATIHAN

(b)

2. Hendak tunjukkan adalah penganggar saksama bagi p.

Didapati, , tetapi .

Oleh itu, penganggar saksama bagi p ialah

3. (a) Supaya saksama,

OUM 59


JAWAPAN LATIHAN

(b) Tentukan

; dan

Nisbah varians berbanding .

oleh itu mempunyai varians terkecil. Dengan nisbah varians berbanding

Oleh itu, adalah kali lebih cekap sebagai penganggar kepada berbanding dengan

; dan adalah kali lebih cekap sebagai penganggar kepada berbanding dengan

.

60 OUM


JAWAPAN LATIHAN

BAB 3: ANGGARAN SELANG

Latihan 3.1

1. Diberi X–

=174.5 cm dengan sisihan piawai, = 6.9 cm dan saiz sampel, n = 150. Diketahui

selang keyakinan (1– )100% bagi ialah . Jadi, selang

keyakinan 99% memberikan sehingga menghasilkan

iaitu 173.05 < < 175.95

2. Diberi X–

= 64.3 dengan sisihan piawai, s = 15 dan saiz sampel, n = 10. Diketahui selang

keyakinan (1 )100% bagi m ialah . Jadi, selang keyakinan

95% memberikan sehingga menghasilkan

iaitu 53.57< < 75.03

Latihan 3.2

1. Maklumat yang diberi adalah saiz sampel, n = 20 dan varians sampel, s2 = (3.3)2. Diketahui,

selang keyakinan 95% varians adalah . Daripada sifir statistik,

diperolehi pada Daripada sifir statistik, diperolehi pada = n – 1 = 20 – 1 = 19 darjah kebebasan,

Jadi selang keyakinan 95% varians penggunaan minyak adalah

atau ringkasnya 6.298 < < 23.23.

OUM 61


JAWAPAN LATIHAN

2. Maklumat yang diberi adalah saiz sampel, n = 5 dan varians sampel

. Diketahui, selang

keyakinan 95% varians adalah . Daripada sifir statistik,

diperolehi dengan

= n – 1 = 5 – 1 = 4 darjah kebebasan,

2

0.05,4

2

0.95.,4

9.488

0.711

Jadi, selang keyakinan 90% kandungan bahan asing dalam botol mentega adalah

atau ringkasnya .

Latihan 3.3

1. Anggaran titik bagi adalah . Daripada sifir statistik Z, didapati

. Diketahui bahawa anggaran selang keyakinan (1 )100% diberi sebagai:

Dengan menggunakan maklumat di atas, diperolehi:

yang diringkaskan menjadi 0.30< <0.40. Ini bermakna, diyakini 95% bahawa nilai kadaran

sebenar yang mengalami kesan sampingan adalah di antara 30% hingga 40% orang.

2. Diketahui . Dengan menggunakan Teorem 4, diperolehi:

.

Oleh itu, anggaran berdasarkan saiz sampel, n = 9508 meyakinkan bahawa sekurang-kurangnya

95% perkadaran sampel surirumah yang mempunyai mesin pengering automatik, ˆ akan berbeza

daripada perkadaran sebenar tidak lebih daripada 0.01.

62 OUM


JAWAPAN LATIHAN

Latihan 3.4

1. Tujuan: mencari selang keyakinan 95% bagi – 2 = d yang

2 mewakili purata berat wanita

sebelum mengikuti cara diet baru dan 2 mewakili purata berat wanita selepas mengikuti cara

diet baru. Oleh kerana cerapan berpasangan,1 –

2 =

D, maka titik anggaran

D perlu dicari.

Diperolehi:

dan

Oleh kerana selang keyakinan 95% dipilih, tentukan . Dengan

menggantikan ke dalam rumus diperolehi selang keyakinan

95% dan diringkaskan menjadi

0.99. < D

< 6.127.

Ini bermakna, diyakini 95% bahawa selang dari 0.993 kg hingga 6.127 kg mengandungi

perbezaan sebenar berat wanita sebelum dan selepas mengambil diet cara baru itu.

2. Tujuan: mencari selang keyakinan 95% bagi m1 – m2 = d yang m1 mewakili purata jarak yang

dilalui oleh teksi setelah menggunakan tayar jenis B. Oleh kerana cerapan berpasangan, 1 –

2 =


D perlu dicari.

OUM 63


JAWAPAN LATIHAN

Diperolehi:

dan , = sD =

. Oleh kerana selang keyakinan 99% dipilih, tentukan

/ 2, 1 0.005,4 4.604nt t . Dengan menggantikan ke dalam rumus

diperolehi selang keyakinan 99% dan

diringkaskan menjadi 125.43 < D < 2565.43.

Ini bermakna, diyakini 99% bahawa selang dari 125.43 km hingga 2565.43 km mengandungi

perbezaan sebenar purata jarak yang dilalui teksi apabila menggunakan pasangan tayar jenis A

dan B.

Anggaran selang berkenaan menunjukkan wujud perbezaan diantara purata jarak yang dilalui

oleh teksi apabila menggunakan pasangan tayar jenis A dan B.

Latihan 3.5

1. Maklumat yang diberi ialah:

Saiz sampel, n = 100

Purata pendapatan keluarga pelajar, .

Sisihan piawai pendapatan keluarga pelajar, .

(a) Keyakinan 99% memberikan nilai a = 0.01 iaitu =1 – 0.99 dan

.

Diketahui bahawa selang keyakinan (1 – a) 100% diberi sebagai

. Oleh itu, selang keyakinan 99% akan menghasilkan:

(b) Diketahui = 3900. Jadi, berdasarkan Teorem 1, diperolehi:

. Ini bermakna, diyakini 99% bahawa sampel rawak

bersaiz 4.05 1010 dapat memberikan beza anggaran X–

dan adalah kurang daripada

0.05.

64 OUM


JAWAPAN LATIHAN

2. Berikut adalah maklumat yang diberi:

Saiz sampel kecil, n = 5.

Min sampel,

Varians sampel, .

Jadi sisihan piawai sampel, . Jadual sifir statistik T memberikan nilai

.

Diketahui, selang keyakinan (1 – ) 100% diberi sebagai:

Oleh itu, selang keyakinan 95% bagi purata suhu negeri-negeri di Semenanjung Malaysia pada

n 1 = 5 darjah kebebasan ialah:

iaitu .

Ini bermakna, diyakini 95% bahawa purata suhu negeri-negeri di Semenanjung Malaysia adalah

terletak di antara 27.61ºC dan 36.79ºC.

3. Maklumat yang diberi adalah saiz sampel, n = 27 dan varians sampel,

s2 = 63.2. Diketahui, selang keyakinan 95% varians adalah .

Daripada sifir statistik, diperolehi pada = n 1 = 27 1 = 26 darjah kebebasan:

Jadi, selang keyakinan 90% varians ujian pesakit adalah atau

ringkasnya .

4. Anggaran titik bagi perkadaran pelajar perempuan yang mempunyai kenderaan, adalah

. Daripada sifir statistik Z, didapati . Diketahui

bahawa anggaran selang keyakinan (1 )100% diberi sebagai

OUM 65


JAWAPAN LATIHAN

. Dengan menggunakan maklumat di atas,

diperolehi:

yang diringkaskan menjadi 0.593 < q < 0.641.

Ini bermakna, diyakini 95% bahawa nilai kadaran sebenar pelajar perempuan yang mempunyai

kenderaan di universiti swasta tersebut adalah di antara 59.3% hingga 64.1% orang.

5. Tujuan: mencari selang keyakinan 95% bagi 1 –

2 = d yang

1mewakili purata markah

pelajar pada peperiksaan pertengahan tahun dan 2 mewakili purata markah pelajar pada

peperiksaan akhir. Oleh kerana cerapan berpasangan, 1 –

2 =


D

perlu dicari.

Diperolehi:

dan

Oleh kerana selang keyakinan 95% dipilih, tentukan . Dengan

menggantikan ke dalam rumus diperolehi selang keyakinan

95% dan diringkaskan menjadi dan

diringkaskan menjadi 17.12 < D < 0.622.

Ini bermakna, diyakini 95% bahawa selang dari –17.12% hingga 0.622% mengandungi perbezaan

sebenar markah pertengahan dan markah akhir pelajar yang mengikuti kelas pemulihan

matematik.

OUM 67

UNIT 2 PENGUJIAN HIPOTESIS POPULASI TUNGGAL

PENGENALAN

PENGENALAN

Dalam Modul Statistik I, kita telah mempelajari konsep populasi serta taburannya. Begitu juga dengan

konsep sampel rawak yang diambil daripada populasi serta taburan pensampelannya.

Di antara perkara penting yang harus diberikan tumpuan ialah parameter yang mencirikan taburan

populasi itu seperti:

(a) min populasi,

(b) varians populasi, dan

(c) perkadaran populasi.

Secara praktiknya, kita sering berhadapan dengan populasi yang parameternya tidak diketahui nilainya.

Ada dua perkara yang boleh dilakukan ke atas parameter populasi yang tidak diketahui nilainya, iaitu

sama ada:

(i) menganggar parameter tersebut, atau

(ii) mengandaikan suatu nilai tertentu yang munasabah dan bersesuaian.

Untuk perkara (i):

Penyelidik hendaklah menentukan penganggar saksama parameter tersebut, kemudian mengambil

sampel rawak daripada populasi dan seterusnya dapatkan nilai penganggar itu. Umpamanya bagi

parameter min populasi, penganggar saksama adalah min sampel.

Untuk perkara(ii):

Dalam masalah harian, melalui pengalaman dan sejarah, penyelidik atau pihak tertentu boleh/dapat

mengenalpastikan suatu nilai tertentu yang munasabah untuk “diandaikan atau dihipotesiskan” kepada

parameter anu tersebut. Dalam hal ini, penyelidik masih perlu menentukan penganggar saksama

parameter populasi yang bersesuaian dan munasabah. Seterusnya sampel rawak diambil dari populasi

dan digunakan sebagai asas untuk menguji sampel pada aras keertian (akan dibincang kemudian)

tertentu sama ada menerima atau menolak nilai yang dihipotesiskan itu.

Umpamanya bagi parameter min populasi, . Sejarah mendapati, min markah suatu subjek dalam

ujian tahun satu pengajian universiti adalah 55. Satu kajian dilakukan sama ada min markah ini masih

relevan dengan pelajar baru. Ambil sampel rawak daripada populasi pelajar yang mengambil subjek

tersebut, lalu diberikan ujian yang sama dan dapatkan purata markah ujian tersebut. Dalam kes ini

nilai 55 boleh dijadikan nilai andaian kepada , dan gunakan nilai min sampel sebagai asas sama ada

menerima atau menolak 55 itu. Bagaimanapun, dalam pengujian hipotesis ini satu “petua penolakan”

harus ditentukan, seperti “ tolak nilai hipotesis 55 jika min sampel yang dikira bernilai kurang daripada

52”. Kita akan membincangkan perkara ini dengan lebih lanjut kemudian.

68 OUM

PENGUJIAN HIPOTESIS POPULASI TUNGGAL UNIT 2

PENGENALAN

Konsep pengujian hipotesis adalah saling berkaitan dengan konsep taburan pensampelan yang telah

dipelajari dalam Unit 1. Oleh itu pelajar adalah dinasihatkan supaya mempelajari serta menguasai

dengan baik topik taburan pensampelan dan beberapa keputusan berkaitan bagi membantu

pemahaman yang baik didalam topik yang akan dibincang dalam unit 2 dan 3 kelak.

Objektif Pembelajaran

Di akhir unit ini, anda seharusnya dapat:

1. menerangkan konsep hipotesis serta membuat pernyataan;

2. memahami aras keertian, statistik ujian dan boleh membina rantau penolakkan;

3. menerangkan Ralat Jenis I dan II dan juga kuasa ujian serta boleh menghitung saiznya;

4. mengetahui dan memahami jenis ujian dan rantau penolakkan hipotesis nol; dan

5. menentukan nilai p dan Rantau Penolakkan bagi pengujian hipotesis.

OUM 69


BAB 4 PENGUJIAN HIPOTESIS MIN POPULASI


PENGENALAN

Bab ini akan membincangkan pengujian hipotesis bagi dua parameter iaitu min populasi dan perkadaran

populasi. Perbincangan akan melibatkan kes di mana varians populasi tidak diketahui. Hal ini penting

kerana di dalam kebanyakan masalah harian, varians populasi tidak diketahui. Bagi kes ini,

perbincangan akan melibatkan taburan t. Oleh itu pelajar diingatkan agar mengulang kaji bab taburan

pensampelan dalam Unit I.

OBJEKTIF


1. mengenal pasti parameter min populasi yang diuji;

2. merumus hipotesis nol dan pilihan, serta jenis ujian;

3. menentukan statistik ujian serta taburanya bila H0 benar;

4. membina rantau penolakanatau menghitung nilai p; dan

5. membuat keputusan ujian, serta membuat kesimpulannya.

4.1 HIPOTESIS NOL DAN HIPOTESIS PILIHAN

Dalam kebanyakan masalah harian, parameter populasi lazimnya tidak diketahui nilainya (anu).

Bagimanapun dengan bantuan maklumat tambahan umpamanya daripada pengalaman yang lampau

berhubung dengan masalah yang sama, maka satu nilai tertentu boleh diandaikan bagi parameter

tersebut. Nilai andaian ini adalah nilai yang ‘dihipotesiskan’ kepada parameter tersebut dan perlu

diuji berasaskan maklumat sampel sama ada akan ditolak atau diterima hipotesis itu.

Jadual 4.1: Taburan Populasi

Diberikan satu populasi yang parameter minnya anu. Apakah yang anda faham

tentang nilai anggaran dan nilai andaian parameter itu?

70 OUM


PENGUJIAN HIPOTESIS MIN POPULASI BAB 4

Langkah awal dalam pengujian hipotesis adalah menulis atau merumus hipotesis nilai parameter populasi

yang lazimnya tidak diketahui (anu). Ada dua jenis hipotesis yang dinamai:

• hipotesis nol diberikan symbol H0 ;

dan

• hipotesis pilihan dengan symbol H1.

Hipotesis nol biasanya mengambil nilai tepat, sedangkan hipotesis pilihan mengambil nilai dalam julat

seperti diberikan dalam Jadual 4.2 di bawah.

Jadual 4.2:

Hipotesis Pilihan

Pemilihan H1 adalah berpandukan kepada maklumat dalam permasalahan yang diberi. Biasanya

maklumat ini dapat dilihat secara langsung atau boleh difahami dengan memerhatikan bagaimana

perubahan nilai parameter populasi yang diuji itu berlaku.

Merujuk kepada Jadual 4.2:

• untuk perubahan berarah seperti min menurun atau berkurang atau mengecil nilainya maka

hipotesis pilihan yang sesuai adalah H1: µ < 50 ;

• untuk perubahan berarah seperti min menaik atau bertambah atau membesar nilainya maka

hipotesis pilihan yang sesuai adalah H1: µ > 50 ;

• untuk perubahan yang tak berarah, atau tiada ujaran perubahan berarah, maka hipotesis pilihan

yang sesuai adalah H1: µ 50 .

Sebagai penerangan, ambil H0: µ = µ

0, yang mana µ

0 adalah satu nilai tertentu, umpamanya µ

0= 50

merujuk kepada Jadual 4.2a. Nilai ini adalah satu andaian dan perlu dibuat pengujian penerimaan ke

atasnya. Jadual 4.2a menyatakan hubungan perubahan nilai min populasi dan pemilihan H1. Hubungan

ini diterima pakai bagi parameter populasi yang lain.

Dalam membuat pengujian hipotesis, perkara-perkara berikut sebagai asas pengujian hendaklah

ditentukan dahulu:

(a) kedua-dua jenis hipotesis;

(b) aras keertian yang lazimnya diberikan symbol ; dan

(c) statistik ujian serta taburannya.

Jadual 4.2a:

Pernyataan

Hipotesis

OUM 71



Perkara-perkara (b) dan (c) akan dibincang dalam subtopik akan datang.

4.1.1 Penentuan Hipotesis

Ada dua keadaan yang melibatkan penentuan hipotesis:

(a) Pernyataan H0 dan H

1 diberikan dengan jelas dalam soalan atau permasalahan yang diberi,

seperti dalam contoh berikut:

Prestasi matematik di sebuah sekolah dikatakan telah menaik sejak diwujudkan

operasi gerak gempur oleh guru sains dan matematik.

(a) Fikirkan parameter yang sesuai untuk menyukat perubahan prestasi tersebut.

(b) Nyatakan arah perubahan nilai parameter tersebut.

(c) Nyatakan dan terangkan hipotesis nol dan pilihan sesuai untuk ditentusahkan

daripada sampel yang diambil.

Contoh 4.1

Jangkahayat lampu kalimantang yang dikeluarkan oleh sebuah syarikat dikatakan mengikuti

satu taburan dengan min µ(jam), dan sisihan piawai 100 jam. Satu sampel rawak sebanyak 100

lampu tersebut telah diambil dan didapati min jangkahayat sampel ini adalah 1,580 jam. Ujikan

hipotesis µ = 1600 jam lawan hipotesis µ 1600 jam pada aras keertian:

(i) 0.05

(ii) 0.01

Jawapan:

Dalam contoh ini,

(i) hipotesis nol H0 adalah µ = 1600; dan

(ii) hipotesis pilihan H1 adalah µ 1600.

(b) Pernyataan hipotesis tidak diberikan, seperti dalam contoh berikut:

Contoh 4.2

Untuk keluaran berikutnya, syarikat dalam Contoh 4.1, telah menggunakan kaedah yang lebih

moden serta mesin yang canggih dalam menyediakan lampu kalimantang keluarannya. Syarikat

menjangkakan/mendakwa min jangkahayat lampu kalimantang meningkat. Uji kebenaran

jangkaan/dakwaan syarikat itu pada aras keertian:

(i) 0.05,

(ii) 0.01.

72 OUM



Dalam masalah pengujian hipotesis, penentuan hipotesis pilihan sesuatu parameter lazimnya

bersesuaian dengan nilai parameter itu yang dituntut atau memerlukan pengujian kebenaran nilai itu

berasaskan sampel rawak yang diambil, seperti dalam Contoh 4.2. Tujuan asal ujian adalah untuk

membuat penerimaan atau penolakan H1. Bagaimanapun pengukuran dalam pengujian statistik

agak sukar bagi hipotesis ini yang nilainya bukan tepat tetapi dalam julat tertentu. Oleh yang demikian,

pengujian statistik dilakukan ke atas H0 yang kesannya apabila H

0 ditolak pada aras keertian tertentu,

maka ketika yang sama bermaksud menerima hipotesis H1. Oleh sebab itu perumusan H

1 dan H

0

sebagai lawannya hendaklah dibuat dengan teliti supaya keputusan yang dibuat berasaskan sampel

adalah ‘bertepatan’ dengan (seolah-olah menyokong) H1. Bagaimanapun petua penentuan H

1 di atas

bukanlah satu kemestian, ia sebenarnya bergantung kepada bagaimana “ujaran sebenar terhadap

nilai parameter itu dibuat dalam masalah yang di beri”.

Berikut diberikan tiga kategori ujaran bagi parameter min populasi sebagai contoh, dan dikaitkan

dengan pernyataan hipotesis:

(1) Ujaran melibatkan kesamaan nilai, tanda “ = ”.

H0 dinyatakan seperti dalam ujaran, dan H

1 lawannya:

Contoh: ujaran “ purata hayat mentol lampu elektrik ialah 1000jam”.

H0: µ = 1000jam; H

1: µ 1000jam;

(2) Ujaran melibatkan ketaksamaan separa nilai, tanda “ ” atau “ ”,


1 lawannya;

Contoh: ujaran “purata hayat mentol lampu elektrik sekurang-kurangnya 1000jam”.

H0: µ 1000jam; H

1: µ < 1000jam;

(3) Ujaran melibatkan ketaksamaan lengkap nilai, tanda “ < ” atau “ > ”,


0 lawannya;

Contoh: ujaran “purata hayat mentol lampu elektrik melebihi 1000jam”. (Tuliskan ujaran ini

sebagai H1, dan pelengkapnya sebagai H

0)

: µ > 1000jam; H0: µ 1000jam;

Perhatikan bahawa setiap pernyataan H0 dalam pelbagai ujaran di atas adalah memasukkan

tanda kesamaan “ = ”.

Jawapan:

Nilai andaian, µ0 adalah 1600 jam. Dalam kes ini syarikat mendakwa/menuntut yang min

taburan jangkahayat meningkat. Ia bermaksud min jangkahayat lampu keluaran barunya

melebihi 1600jam ( µ0). Perubahan nilai min berlaku secara 'meningkat atau bertambah', oleh

itu tetapkan:

(i) hipotesis pilihan sebagai H1: µ > 1600 jam, dan

(ii) sebagai lawannya, tuliskan hipotesis nol H0: µ 1600 jam.

H1

OUM 73



4.2 RANTAU PENOLAKAN, ARAS KEERTIAN DAN NILAI P

Oleh sebab penentuan rantau penolakan dan aras keertian berkait rapat dengan statistik ujian, maka

eloklah dimulakan perbincangan tentang statistik ujian. Dalam pengujian hipotesis, sample rawak

biasanya diguna sebagai asas ujian sama ada hendak menolak atau menerima hipotesis nol H0 pada

aras yang ditentukan. Ini bermakna pengujian hipotesis ini melibatkan antara lain:

• Taburan persampelan yang telah dipelajari dalam Unit 1, dan

• Statistik yang digunakan dalam pengujian yang dinamai statistik ujian.

Statistik ujian biasanya dipilih bersesuaian dengan parameter populasi yang dibincang dalam

permasalahan. Statistik ini sebenarnya adalah penganggar titik kepada parameter populasi yang

sedang dibincang itu.

4.2.1 Statistik Ujian bagi Pengujian Min Populasi, µ

• Hipotesis nol bagi ujian ini adalah H0: µ = µ

0.

• Penganggar titik bagi µ adalah min sampel X bagi sample rawak saiz n.

Ada beberapa kes taburan statistik ujian untuk dipertimbangkan:

S1: Varians populasi

2

diketahui/diberikan nilainya, dan taburan populasi dikatakan normal

atau menghampiri normal, maka:

statistik ujian adalah ujian skor Z yang:

0

/

XZ

n(4.1)

dan tertabur normal piawai, N(0, 1).

Latihan 4.1

1. Bagi setiap pernyataan masalah di bawah bentukkan hipotesis nol dan pilihan

serta nyatakan jenis ujian yang sesuai.

(a) Pelajar IPT secara sambilan lazimnya mengambil lebih masa untuk tamat

pengajian;

(b) Lazimnya pelajar PJJ menghadiri kelas tutorial 5 kali per semester.

(c) Pelajar yang kurang motivasi lazimnya hadir kurang daripada 5 kali kelas

tutorial.

74 OUM



S2: Varians populasi diketahui/diberikan nilainya, tetapi taburan populasi tidak

diketahui, jika saiz sampel besar ( n 30), maka:

statistik ujian adalah ujian skor Z yang:

0

/

XZ

n(4.1a)

dan tertabur normal piawai, N (0, 1).

S3: Varians populasi tidak diketahui/diberikan nilainya, tetapi sisihan piawai sampel s

diberikan atau boleh dihitung daripada data sampel, sedangkan taburan populasi adalah normal

atau menghampiri normal, jika saiz sampel kecil ( n < 30), maka:

statistik ujian adalah ujian T yang:

0

/

XT

s n(4.2)

dan mengikuti taburan t dengan darjah kebebasan v = n – 1.

S4: Varians populasi tidak diketahui/diberikan nilainya, tetapi sisihan piawai sampel s

diberikan atau boleh dihitung, sedangkan taburan populasi tidak diketahui, tetapi jika saiz sampel

besar ( n 30), maka:

statistik ujian adalah ujian Z yang:

0

/

XT

s n(4.2a)

dan mengikuti taburan normal piawai N(0, 1).

Bagaimanapun jika semua kes di atas tidak dipenuhi, penyelidik hendaklah menggunakan kaedah

pengujian tak berparameter.

Dengan mengetahui taburan statistik ujian, jenis ujian dan nilai , maka rantau penolakan H0 boleh

dibina.

4.2.2 Jenis Pengujian

Lazimnya jenis pengujian dipadani oleh bentuk pernyataan hipotesis pilihan. Tuliskan hipotesis nol

sebagai H0: µ = µ

0 , yang µ

0 suatu nilai ditentukan/diberikan pada aras keertian . Jenis pengujian

bagi H1masing-masing adalah seperti dalam Jadual 4.3.

Jadual 4.3: Jenis Ujian dan Perumusan H1

OUM 75



4.2.3 Rantau Penolakan dan Aras Keertian

Pengujian hipotesis ke atas suatu nilai parameter yang berasaskan sampel rawak lazimnya

berakhir dengan satu keputusan sama ada menerima atau menolak hipotesis nol H0.

Membuat keputusan yang dimaksudkan di atas biasanya berpandukan kepada satu

kaedahatau peraturan penolakan hipotesis yang ditentukan oleh penyelidik. Peraturan

ini juga dinamakan petua keputusan.

Dengan demikian apabila nilai min sampel cx yang dihitung daripada sampel rawak yang diberikan

itu memenuhi syarat RT, maka keputusan ujian adalah tolak H0, atau terima H

0 jika sebaliknya.

Bagaimanapun dalam setengah kes nilai k tidak diketahui/diberi, tetapi dengan nilai yang diberi

serta menggunakan taburan piawai statistik ujian, maka rantau penolakan dapat dibinakan. (Lihat

Contoh 4.4 dalam subbahagian 4.3 akan datang).

Diberikan satu nilai aras keertian tertentu, rantau penolakan RT dalam ruang X– iaitu:

{ : } RT X X k

adalah setara dengan RT dalam ruang skor Z:

RT = { z : z z yang statistik ujian tertabur normal.

RT ini bagi kes ujian satu hujung (kanan) dipaparkan dalam Rajah 4.1. Nilai genting z boleh diperolehi

daripada jadual normal piawai yang memuaskan persamaan:

Kb{ Z z = .

Petua keputusan pengujian H0 parameter populasi biasanya melibatkan pemetakan set nilai-nilai

penganggar parameter itu kepada dua subset iaitu RP (rantau penerimaan) dan RT(rantau penolakan)

yang saling melengkapi antara satu sama lain. Kedua-dua subset tersebut biasanya diasingkan oleh

satu nombor k yang nilainya diberikan/diketahui atau tidak tetapi boleh dihitung bila nilai diketahui

dengan menggunakan taburan statistik ujian. Contoh petua keputusan untuk pengujian diberikan

dalam Jadual 4.3a dengan:

H0: = 40=

0,

Jadual 4.3a: Contoh Keputusan Pengujian H0

76 OUM



Nilai-nilai genting bagi pelbagai jenis ujian dan diberikan dalam Jadual 4.3b. Dengan demikian,

bagi statistik ujian tertabur normal, RT boleh ditentukan bagi jenis ujian masing-masing seperti diberikan

dalam Jadual 4.3c. Sementara Rajah 1.1a memaparkan rantau penolakan H0 untuk pelbagai ujian

dan aras keertian bagi taburan normal. Untuk kes statistik ujian mengikuti taburan t, Z dalam Jadual

4.3b dan dalam Rajah 4.1, diganti dengan skor T (seperti pada subbahagian 1.2.1), dan z pula

diganti dengan t (v), yang v = n – 1, darjah kebebasan.

Merujuk kepada Jadual 4.3a, fikirkan RT dan RP serta keputusan ujian yang

sesuai bagi H1: 40.

Rajah 4.1: Kesetaraan RT

untuk ujian hujung kanan

Jadual 4.3b: Nilai Genting (NG)

Jadual 4.3c: Rantau Penolakan RT

K

RT

RT

ZZ

X

OUM 77



(a) H1: < 0

RT: zZ

(parameter ,menurun nilainya)

(b) H1: > 0 ,

RT: zZ

(parameter ,bertambah nilainya)

(c) H1: 0

RT: 2

zZ atau2

zZ

(parameter ,

tak berubah nilai)

Jadual 4.1: Rantau Penolakan H0

Rajah 4.1 (a)

Rajah 4.1 (c)

Rajah 4.1 (b)

78 OUM



Aras keertian , bermaksud berasaskan sampel rawak yang diberi, penyelidik mempunyai

95% keyakinan bahawa dia boleh menerima hipotesis nol H0. Aras keertian yang lain dan yang biasa

digunakan adalah 0.01, dan 0.1. Aras keertian kadangkala dinyatakan dalam peratus, iaitu dikatakan

"tolak H0 pada aras keertian 5% atau 1% atau 10%".

Dalam pengujian hipotesis, ada kalanya hanya aras keertian diberikan sedangkan rantau penolakanH0

tidak. Dalam kes ini, sebelum membuat keputusan pengujian, hendaklah terlebih dahulu:

• dibina rantau penolakan dengan menggunakan nilai yang diberi dan taburan pensampelan

statistik ujian;.

• berasaskan sampel rawak yang diberi, hitungkan nilai statistik ujian berkenaan

• Jika nilainya berada dalam rantau penolakan maka keputusan pengujian adalah tolak

H0 pada aras keertian yang diberi.

• Jika nilai statistik ujian berada dalam rantau penerimaan, maka keputusan pengujian

ialah terima H0 pada aras keertian yang diberi.

Bagaimanapun dalam kes yang lain, rantau penolakan mungkin diberikan, maka langkah seterusnya

dalam pengujian ialah menghitung nilai statistik ujian daripada sampel diberi, dan kemudian keputusan

pengujian boleh dibuat pada mana-mana aras keertian yang dipilih.

Aras keertian adalah satu kuantiti menyukat antara lain sejauh mana kesanggupan

penyelidik menerima sebarang risiko seandainya beliau melakukan sebarang

kesilapan dalam membuat keputusan penolakan hipotesis H0 (yang berasaskan

satu sampel rawak).

4.2.4 Nilai Kebarangkalian p dan Ciri Penolakan H0

Pertimbangkan kes statistik ujian bertaburan normal, dan pengujian hipotesis nol

min populasi adalah jenis satu hujung (kanan) pada aras keertian . Maka sistem

hipotesis adalah:

H0: µ = µ

0, H

1: µ > µ

0,

Penganggar µ adalah X– yang tertabur normal

2

0( , ) N µn

apabila H0 benar.

Katakan cx adalah nilai sebenar X– yang dihitung daripada sampel rawak yang

diberikan. Maka nilai p untuk ujian satu hujung (kanan) adalah:

0 0( ) ( ) ( )/ /

cc c

X xp Kb X x Kb Kb Z z

n n(4.4)

dimana; nilai µ0, dan n diberi dan nombor z

cdiketahui; dan seterusnya nilai p

dapat dihitung daripada jadual normal piawai.

OUM 79



Untuk ujian jenis lain, Rumus (4.4) bagi menghitung p hendaklah disesuaikan dengan jenis ujian, dan

pelajar harus mampu menulisnya untuk jenis ujian yang lain bagi parameter min dan juga perkadaran

populasi.

Dalam era penggunaan komputer dan IT, pakej analisis statistik seperti SPSS (Statistical Package

for Social Sciences), biasanya menyediakan kemudahan menghitung nilai p.

Dengan demikian, jika p yang dihitung itu bernilai:

• < yang diberikan (Sila lihat Rajah 4.2(a)), maka keputusan ujian adalah menolak H0.

• Jika sebaliknya (Sila lihat Rajah 4.2(b)), maka keputusannya adalah menerima H0 pada aras

keertian a yang diberi.

Jadual 4.4 memberikan ciri penolakan H0 menggunakan nilai p untuk beberapa nilai . . Bagaimana

pun, untuk taburan pensampelan statistik ujian yang mengikuti taburan normal atau menghampiri

normal, nilai p boleh dihitung menggunakan jadual taburan normal piawai.

Rajah 4.2:

Hubungan p dan

Jadual 4.4:

Nilai p dan Ciri

Penolakan H0

Latihan 4.2

1. Jika H0 ditolak pada aras keertian 1%, adakah ia akan ditolak juga pada aras

keertian 5%? Terangkan.

2. Dalam satu pengujian hipotesis, H0 tidak boleh ditolak pada aras keertian 2.5%

dan 1%, tetapi ia boleh ditolak pada aras 5% dan 10%. Daripada senarai di

bawah pilih pernyataan nilai p yang sesuai dengan keputusan ujian di atas:

(a) nilai p = 0.05, (c) 0.025 < nilai p < 0.05,

(b) nilai p > 0.10, (d) 0.05 < nilai p < 0.10.

80 OUM



4.3 RALAT KEPUTUSAN PENGUJIAN DAN KUASA UJIAN

Pengujian hipotesis nol adalah berasaskan kepada sampel rawak yang lazimnya tertakluk kepada

ralat persampelan.

• Jika secara kebetulan maklumat sampel rawak tidak menyokong hipotesis nol, maka keputusan

ujian adalah menolakH0: µ = µ

0, walaupun pada hakikatnya µ

0 itu nilai yang benar sahih.

Maka keputusan tersebut adalah satu kesilapan. Dalam hal ini, penyelidik dikatakan melakukan

Ralat Jenis I.

• Sebaliknya, penyelidik mungkin menerima (gagal menolak H0) walaupun pada hakikatnya

µ0 itu satu nilai yang tak benar/sahih atau tak munasabah. Dalam hal ini pula, penyelidik dikatakan

melakukan Ralat Jenis II.

4.3.1 Saiz Ralat Jenis I,

Dapat diperhatikan daripada persamaan (4.5a) atau (4.5b) bahawa ada saling perkaitan antara RT

dan . . Ini bermakna, jika tidak diberikan, tetapi RT diketahui, maka dengan menggunakan

taburan piawai statistik ujian, saiz Ralat I, iaitu boleh dihitung menggunakan persamaan di atas.

Begitulah juga jika sebaliknya.

Seperti dinyatakan di atas, Ralat jenis I berlaku apabila penyelidik menolak H0 apabila

H0 benar. Kebarangkalian melakukan kesilapan ini adalah bersaiz , iaitu aras

keertian ujian. Oleh itu boleh disimpulkan bahawa:

= Kebarangkalian melakukan Ralat Jenis I,

= Kebarangkalian menolak H0 bila H

0 benar,

= Kb(Tolak H0 | H

0 benar), (4.5a)

= Kb(nilai statistik ujian berada dalam rantau penolakan | H0 benar),

= Kb( RTzc | H0 benar), (4.5b)

yang mana zc adalah nilai statistik ujian bagi sampel rawak yang diberi.

Contoh 4.3

Katakan sampel rawak saiz n = 16 telah diambil daripada populasi N(µ , 25) untuk menguji

hipotesis H0: µ = 10, lawan H

1: µ > 10.

Petua keputusan ujian adalah: Tolak H0 jika min sampel X

–> 12. Dapatkan saiz Ralat Jenis I.

Jawapan:

Dalam masalah ini, RT diberikan dengan nombor k = 12, dan min sampel tertabur normal

25( , )

16N .

Apabila H0: µ = 10 benar, maka min sampel X

– tertabur normal

25(10, )

16N .

OUM 81



Diberikan satu saiz sampel n, mengurangkan nilai bermakna pada ketika yang sama menaikkan

nilai , dan begitulah sebaliknya. Bagaimanapun untuk saiz sampel besar, kedua-dua nilai dan

boleh dikurangkan.

Seterusnya daripada persamaan (4.5a), saiz Ralat Jenis I adalah:

= Kebarangkalian menolak H0 bila H

0 benar

= Kb(Tolak H0| H

0 benar),

= Kb( > 12 | µ = 10), yang ,

= , yang Z~N(0, 1).

= 1 – 0.94520 = 0.0548.

Latihan 4.3

Katakan sampel rawak saiz n = 16 telah diambil daripada populasi N( µ, 25) untuk

menguji hipotesis H0: µ = 10, lawan H

1: µ < 10, pada aras keertian 0.05.

Petua keputusan ujian adalah: Tolak H0 jika min sampel X

– < k. Dapatkan nilai k,

supaya RT boleh ditakrifkan.

4.3.2 Ralat Jenis II, dan Kuasa Ujian

Ralat jenis II berlaku apabila penyelidik gagal menolak H0 apabila H

0 palsu.

Kebarangkalian melakukan kesilapan ini adalah bersaiz . Oleh itu boleh disimpulkan

bahawa:

= Kebarangkalian melakukan Ralat Jenis II,

= Kebarangkalian gagal menolak H0 bila H

0 tak benar,

= Kb(Terima H0 | H

0 tak benar), (4.6a)

= Kb(Terima H0 | H

1 benar), (4.6b)

= Kb( | H1 benar), (4.6c)

yang mana zc adalah nilai statistik ujian bagi sampel rawak yang diberi.

Kuasa Ujian

1 – = kebarangkalian menolak H0 bila H

0 tidak benar (4.7)

= kebarangkalian menolak H0 bila H

1 benar.

Nilai kebarangkalian (1.7) adalah kuasa ujian.

82 OUM



Contoh 4.5

Merujuk kepada masalah dalam Contoh 4.3, hitung saiz Ralat Jenis II apabila min sebenar

populasi adalah µ = 11, 12, 13, 14. Seterusnya hitung juga kuasa ujian bagi masing- masing

min populasi tersebut.

Jawapan:

Daripada persamaan (1.6a) & (1.6b),

= Kebarangkalian melakukan Ralat Jenis II,

= Kebarangkalian gagal menolak H0 bila H

0 tak benar,

= Kb( Terima H0| H

0 tak benar),

= Kb( Terima H0| H

1 benar),

= Kb( 12 | µ > 10), yang ;

Perhatikan bahawa µ = 11, 12, 13, 14, 15 adalah nilai-nilai min populasi yang memuaskan julat

µ > 10 iaitu membenarkan andaian H1 dan ketika yang sama memalsukan H

0.

• Tulis untuk µ = 11 sebagai (11),

(11) = Kb( 12 | µ = 11), yang ,

=

1 – (11) = 0.21186;

(12) = Kb( 12 | µ = 12), yang ,

=

• Untuk µ = 12,

1 – (12) = 0.50000;

• Untuk µ = 13,

, yang ,

=

1 – (13) = 0.78814;

• Untuk µ = 14;

(14) = Kb(X–

12 | µ = 14), yang ,

=

1 – (14) = 0.9452.

OUM 83



Rajah 4.3 memaparkan saiz dan kuasa ujian 1- bagi beberapa min sebenar populasi di atas.

4.4 PROSEDUR PENGUJIAN HIPOTESIS

Langkah-langkah berikut boleh membantu melaksanakan pengujian hipotesis.

Langkah 1: Kenal pasti parameter populasi yang hendak diuji.

Langkah2: Tentukan/camkan taburan populasi.

Langkah3: Bentukkan hipotesis pilihan H1, dan seterusnya bentuk hipotesis nol H

0 sebagai lawan

H1. Tentukan sekali jenis ujian iaitu sama ada satu hujung kiri, satu hujung kanan, atau

dua hujung.

Langkah 4: Pastikan sama ada diberikan rantau penolakan atau aras keertian , atau keduanya.

Langkah 5: Tentukan statistik ujian yang sesuai serta taburannya bila H0 benar.

Langkah 6: Keputusan ujian bila H0 benar. Berasaskan maklumat sampel yang diberi, sama ada:

Rajah 4.3: Saiz dan

kuasa ujian 1-

Latihan 4.4

Lakarkan taburan normal statistik ujian yang sesuai bagi pengujian hipotesis H0 di

bawah. Pada lakaran itu, lorekkan rantau penolakan dan nilai p yang anda kira bagi

pengujian masing-masing:

(a) H0: µ = 15; H

1: µ < 15; n = 50, = 14.5, = 4.0; = 0.05.

(b) H0: µ = 115; H

1: µ 115; n = 100, = 118.0, = 16.0; = 0.05.

84 OUM



• hitung nilai kebarangkalian p dan bandingkan dengan nilai yang diberi; atau

• hitung nilai statistik ujian dan tentukan sama ada ia berada dalam rantau penolakan

atau tidak.

Keputusannya:

• jika p maka tolak H0 pada aras keertian , atau

• Jika nilai statistik ujian berada dalam rantau penolakan maka H0 ditolak pada aras

keertian ;

• Jika sebaliknya, H0 diterima pada aras keertian .

Langkah 7: Kesimpulan pengujian dibuat dengan mentafsirkan keputusan ujian pada langkah

Langkah 6 dalam konteks masalah sebenar supaya keputusan ujian Langkah 6 boleh

difahami oleh bukan ahli statistik.

4.4.1 Contoh Pengujian Dua Hujung

Contoh 4.6

Wakil sebuah agensi kerajaan diberikan mandat penjualan komputer kepada masyarakat di kawasan

perumahan pinggir bandar. Beliau ingin mengetahui kedudukan purata pendapatan penduduk.

Mengikut kajian dua tahun yang lalu taburan pendapatan penduduk diandaikan menghampiri taburan

normal dengan purata pendapatan bulanan penduduk adalah RM2500, dan sisihan piawai RM100.

Beliau mengambil sampel rawak 25 orang penduduk dan mendapati purata pendapatan adalah

RM2450.

Jawapan:

Langkah 1: Seperti yang dimaklumkan, parameter populasi yang hendak diuji ialah min populasi

µ.

Langkah 2: Taburan populasi diandaikan normal.

Langkah 3: Perumusan hipotesis.

Dalam masalah ini tidak ada ujaran tentang perubahan berarah nilai µ daripada

nilai dulu RM2500. Sedangkan penyelidik setakat hendak tahu tentang kedudukan

µ selepas dua tahun. Oleh itu tulis:

H0: µ = RM2500, H

1: µ RM2500; ujian dua hujung.

Langkah 4: Aras keertian , dan RT tidak diberikan. Dengan demikian sebaik-baiknya hitung

nilai kebarangkalian p untuk pengujian.

Langkah 5: Walaupun saiz sampel kecil, tetapi populasi induk tertabur normal dengan diketahui

varians populasi, maka statistik ujian adalah skor Z yang:


OUM 85



4.4.2 Contoh Pengujian Satu Hujung

Berikut pula diberikan contoh pengujian hipotesis jenis satu hujung.

Langkah 6: Keputusan ujian bila H0 benar. Berasaskan maklumat sampel yang diberi, nilai p

diberi oleh:

yang mana: .

[Dalam pengiraan p di atas, rantau hujung kiri diambil kerana nilai X–

µ0]

Daripada Jadual normal piawai,

p = 2 (–2.5) = 2 (1 – (2.5)) = 0.01242

Keputusan ujian:

Oleh sebab nilai p dalam selang 0.01< p 0.05, maka H0 ditolak secara signifikan.

(Sila lihat Jadual 1.4 sub bahagian 1.2 bincangkan keputusan ujian)

Langkah 7: Kesimpulan pengujian:

Maklumat sampel memberi bukti yang kukuh bahawa min populasi telah berubah

daripada nilai dua tahun yang lalu iaitu RM2500.

Contoh 4.7

Merujuk kepada Contoh 4.6, katakan taburan pendapatan bulanan penduduk tidak diandaikan

normal serta sisihan piawai pun tidak diketahui. Sampel rawak 40 orang penduduk telah diambil

dan purata pendapatannya adalah sama serta sisihan paiwainya pula s = RM100. Ujikan pada

aras keertian 5% bahawa pendapatan bulanan penduduk adalah sekurang-kurangnya RM2500.

Jawapan:

Langkah 1: Seperti yang dimaklumkan, parameter populasi yang hendak diuji ialah min

populasi .

Langkah 2: Taburan populasi tidak diberikan.


Dalam masalah ini ujaran perubahan min populasi diberikan dan boleh diambil

sebagai H0. Sementara H

1 sebagai pelengkapnya. (Sila rujuk perumusan hipotesis

dalam Subbahagian 1.1.1).

86 OUM



Oleh itu tulis:

H0: µ RM2500, H

1: µ < RM2500; ujian satu hujung kiri.

Langkah 4: Aras keertian a = 0.05. dan RT untuk ujian satu hujung kiri (Sila lihat

Jadual 4.3b & 4.3c) adalah:

RT = {z : z z = {z : z –1.645

Langkah 5: Walaupun taburan populasi tidak dinyatakan, tetapi saiz sampel adalah besar.

Daripada Teorem Had Memusat, min sampel boleh diandaikan menghampiri

normal. Guna ujaran statistik ujian S4 (lihat subbahagian 1.2.1), maka statistik

ujian adalah skor Z yang:


Langkah 6: Keputusan ujian bila H0 benar. Berasaskan maklumat sampel yang diberi:

,

Keputusan ujian:

Oleh sebab zc = – 3.16 –1.645iaitu berada dalam RT, maka: H

0 ditolak secara

signifikan pada aras keertian 0.05.


Maklumat daripada sampel tidak menyokong jangkaan penyelidik. Ini bererti

purata pendapatan penduduk telah menurun daripada purata pendapatan dua

tahun yang lalu iaitu RM2500.

Contoh 4.8

Merujuk kepada Contoh 4.7, katakan taburan pendapatan bulanan penduduk diandaikan normal

serta sisihan piawai pula tidak diketahui. Sampel rawak 17 orang penduduk telah diambil dan

purata pendapatannya adalah sama serta sisihan paiwainya pula s = RM100. Ujikan pada aras

keertian 5% bahawa pendapatan bulanan penduduk adalah sekurang-kurangnya RM2500.

Jawapan:

Langkah 1: Seperti yang dimaklumkan, parameter populasi yang hendak diuji ialah min

populasi µ.

OUM 87





Dalam masalah ini ujaran perubahan min populasi diberikan dan boleh diambil

sebagaiH0. Sementara H

1 sebagai pelengkapnya. (Sila rujuk perumusan hipotesis

dalam Subbahagian 4.1.1).

Oleh itu tulis:

H0: µ RM2500, H

1: µ < RM2500; ujian satu hujung kiri.

Langkah 4: Aras keertian = 0.05. dan RT untuk ujian satu hujung kiri dihitung dari taburan

t dengan darjah kebebasan v = 16.

RT = {t : t t (16)}= {t : t –1.7459}

Langkah 5: Dalam masalah ini taburan populasi diandaikan normal, dan sisihan piawainya

anu disamping saiz sampel kecil. Dengan merujuk ujaran statistik ujian S3 (lihat

subbahagian 4.2.1), maka statistik ujian adalah skor T yang mana:

adalah mengikuti taburan t dengan dk. 17 – 1 = 16.

Langkah 6: Keputusan ujian bila H0 benar. Berasaskan maklumat sampel yang diberi,

.

Keputusan ujian: Oleh sebab tc= –2.061 –1.746 iaitu berada dalam RT, maka

H0 ditolak secara signifikan pada aras keertian 0.05.


Maklumat daripada sampel tidak menyokong jangkaan penyelidik. Ini bererti

purata pendapatan penduduk telah menurun daripada purata pendapatan dua

tahun yang lalu iaitu RM2500.

Latihan 4.5

Merujuk kepada Contoh 4.8, lakukan ujian bagi kes dimana pendapatan penduduk

tidak melebihi RM2500.

88 OUM



RUMUSAN

Dalam Bab 4 ini anda telah mempelajari konsep pengujian hipotesis bagi dua parameter iaitu min

populasi and perkadaran bagi kes populasi tunggal. Prosedur pengujian bagi kedua-dua parameter

adalah sama.

OUM 89


BAB 5 PENGUJIAN HIPOTESIS PERKADARAN POPULASI

BAB 5 PENGUJIAN HIPOTESIS PERKADARANPOPULASI

PENGENALAN

Di dalam bab ini kita akan membincangkan beberapa contoh aplikasi pelbagai masalah pengujian

hipotesis perkadaran populasi. Kebanyakan konsep yang telah dibincangkan dalam Bab 1 akan

digunakan dalam bab ini.

Kita telah membincangkan perumusan hipotesis bagi parameter min populasi di dalam bab 4. Dalam

bab ini, kita akan membincangkan perumusan bagi parameter perkadaran populasi.

OBJEKTIF


1. mengenal pasti parameter yang hendak diuji;

2. merumus hipotesis nol dan pilihan, serta mengenal jenis ujian;

3. menentukan statistik ujian serta taburannya;

4. menentukan nilai genting/rantau penolakkan; dan

5. membuat keputusan ujian serta membuat kesimpulannya.

5.1 PENGUJARAN HIPOTESIS PERKADARAN POPULASI

Parameter perkadaran lazimnya digunakan untuk menyatakan nisbah atau peratusan sesuatu atribut

dalam "populasi binomial".

Populasi binomial bermaksud, populasi itu mengandungi ahli daripada satu atribut tertentu dan

selebihnya bukan daripada atribut tersebut. Berikut diberikan beberapa contoh populas binomial

dengan atribut tertentu:

• P1: populasi individu pekerja yang mengalami sakit jantung daripada sebuah syarikat A dimana

ahli-ahlinya terdiri daripada individu yang menghisap rokok dan juga tidak menghisap rokok.

• P2: Syarikat pengeluar ubat-ubatan telah menguji pil nyah sakit kepala yang baru ke atas 100

orang yang mengidap sakit kepala dengan hasilnya 70% daripada mereka mengakui

keberkesanan pil baru tersebut. Sedangkan penggunaan pil yang sedia ada, hanya 62% pesakit

merasakan keberkesanannya.

Fenomena menghisap rokok boleh dianggap sebagai satu atribut dalam populasi (P1) tersebut. Apabila

kita membincangkan nisbah atau peratusan sesuatu atribut dalam populasi, seperti penghisap rokok,

maka parameter perkadaran adalah parameter yang diguna untuk tujuan pentaabiran atau lain-lain

tujuan. Dalam buku ini perkadaran populasi diberikan tanda/simbol . Sebagai parameter populasi,

90 OUM


PENGUJIAN HIPOTESIS PERKADARAN POPULASI BAB 5

nilai sebenar lazimnya tidak diketahui. Oleh itu, untuk tujuan pentaabiran, sampel rawak bersaiz n

boleh diambil dari populasi tersebut, dengan X adalah bilangan individu dalam atribut (seperti perokok)

dalam sampel tersebut. Seterusnya perkadaran perokok dalam sampel,

P = X/n

boleh digunakan sebagai penganggar saksama perkadaran populasi . Apabila suatu nilai tertentu,

0 diandaikan atau dijangkakan atau dihipotesiskan kepada parameter anu , maka disinilah satu

pengujian yang dinamakan pengujian hipotesis diperlukan dengan berasaskan sampel rawak yang

diambil. Dengan memerhatikan nilai P sampel tersebut, satu tafsiran ke atas perubahan nilai perkadaran

populasi dapat dicamkan sebagaimana dinyatakan dalam Jadual 5.1 berikut:

Dalam Bab 4, kita telah membincangkan perumusan hipotesis bagi parameter min populasi. Dalam

bab ini, kita akan membincangkan perumusan bagi parameter perkadaran populasi.

Berikut diberikan tiga kategori ujaran bagi parameter perkadaran populasi. Sebagai contoh sila rujuk

populasi binomial (P2) yang diberikan dalam pengenalan bab ini.

• Ujaran melibatkan kesamaan nilai, tanda " = ".


1 lawannya;

Contoh: Ujaran " peratusan pesakit yang reda sakit kepala ialah 62%".

H0: = 0.62; H

1: 0.62;

• Ujaran melibatkan ketaksamaan separa nilai, tanda " " atau " ",


1 lawannya;

Contoh: Ujaran "peratusan pesakit yang reda sakit kepala sekurang-kurangnya 62%".

H0: 0.62; H

1: < 0.62;

• Ujaran melibatkan ketaksamaan lengkap nilai, tanda " " atau " ",


0 lawannya;

Contoh: Ujaran "peratusan pesakit yang hilang sakit kepala melebihi 62%". (Tuliskan ujaran ini

sebagai H1), dan pelengkapnya sebagai H

0.

H1: > 0.62; H

0: 0.62;

Nota: Perhatikan bahawa setiap pernyataan H0 mempunyai/termasuk tanda kesamaan "=".

Ujaran/tafsiran perubahan nilai dicamkan Ujaran matematik

1. mengurang, mengecil, bertambah kecil, dll. < 0

2. menaik, membesar, bertambah besar, dll. > 0

3. " pasti " berlaku perubahan nilai 0

Jadual 5.1:

Nilai Perkadaran

Populasi

OUM 91



5.2 PERUMUSAN H1 DAN JENIS UJIAN

Jenis pengujian hipotesis lazimnya berkait rapat dengan perumusan hipotesis pilihan H1. Berhubung

perkara ini, Jadual 5.2 memaparkan pelbagai rumusan H1 berserta dengan jenis ujian masing-masing.

Latihan 5.1

1. Diberikan ujaran “perkadaran prestasi pelajar dalam subjek sains walaupun

telah meningkat tetapi tidak melebihi 40%”. Kajian perlu dibuat untuk

menentusahkan ujaran tersebut. Tuliskan ungkapan H0 dan H

1 yang sesuai untuk

pengujian ujaran di atas.

2. Pihak berwajib ingin mengetahui sama ada perkadaran 70% lulus dengan baik

dalam penilaian semester lepas dapat dikekalkan. Jika ujian perlu dilakukan,

tuliskan H0 dan H

1 yang sesuai.

Jadual 5.2: Jenis

Pengujian

Merujuk kepada contoh ujaran dalam Jadual 5.2, berikan jenis ujian yang sesuai

bagi setiap perumusan H1.

5.3 RANTAU PENOLAKAN, ARAS KEERTIAN, DAN NILAI P


eloklah dimulakan perbincangan tentang statistik ujian. Dalam pengujian hipotesis, sampel rawak

biasanya diguna sebagai asas ujian sama ada hendak menolak atau menerima hipotesis nol H0pada

aras yang ditentukan. Ini bermakna pengujian hipotesis ini melibatkan antara lain:

• taburan pensampelan yang telah dipelajari dalam Unit 1, dan

• statistik yang digunakan dalam pengujian yang dinamakan statistik ujian.

Statistik ujian biasanya dipilih bersesuaian dengan parameter populasi yang dibincangkan dalam

permasalahan. Statistik ini sebenarnya adalah penganggar titik kepada parameter populasi

yang sedang dibincang itu. Umpamanya, untuk pengujian perkadaran populasi seperti dalam ungkapan

hipotesis nol H0: =

0. Maka statistik ujian yang diguna adalah perkadaran sampel:

nXP /

yang mengikuti taburan tertentu seperti yang akan dibincangkan dalam subbahagian berikut.

92 OUM



5.3.1 Statistik Ujian Pengujian Perkadaran Populasi,

• Kes Saiz Sampel Besar (n 30)

Hipotesis nol bagi ujian ini adalah:

H0: =

0.

Penganggar titik bagi adalah perkadaran sampel:

ˆX

Pn

dimana X daripada n (saiz sampel rawak) adalah atribut positif atau menyokong.

Dalam kes perkadaran, taburan sebenar bagi populasi mahupun statistik ujian adalah taburan

binomial. Bagaimanapun bagi kes saiz sampel besar (n 30) dan jika syarat:

n 5 dan

n(1 – ) 5,

dipenuhi, maka taburan normal adalah penghampiran terbaik, dimana lagi besar saiz sampel n

maka lagi baiklah penghampiran ini. Adapun jika kedua-dua syarat tersebut tidak dipenuhi, nilai

kebarangkalian penolakan H0 bolehlah dihitung daripada jadual taburan binomial.

Dalam teks ini, diandaikan syarat di atas dipenuhi. Oleh itu bila H0 benar, perkadaran sampel

P tertabur normal N(µp, 2

p ) yang mana:

0P , dan 2 0 0(1 )P

n.

Maka statistik ujian adalah ujian skor Z yang mana:

0

P

PZ (5.3)

dan tertabur normal piawai.

• Kes Saiz Sampel Kecil (n < 30)

Seperti dinyatakan di atas, pemboleh ubah rawak P = X/n adalah penganggar titik bagi

perkadaran populasi , yang X tertabur binomial dengan sebagai Kb(kejayaan) dan min

taburan ialah µ = n .

OUM 93



H1, Jenis Ujian Rantau Penolakan H

0.

Bila H0 benar, X~b(n,

0)

H1: <

0, 1 hujung kiri Semua nilai x yang Kb(X x) < ,

H1: >

0, 1 hujung kanan Semua nilai x yang Kb(X x) < ,

H1:

0, 2 hujung x < n

0, semua nilai x yang Kb(X x)< /2,

dan

x > n0, semua nilai x yang Kb(X x)< /2.

Jadual 5.4: Rantau Penolakan, Saiz Sampel Kecil

Langkah Pengujian/Penghitungan:

Langkah 1: Tentukan parameter dan taburan populasi,

Langkah 2: Tuliskan H0 dan H

1 yang sesuai,

Langkah 3: Pilih saiz keertian, jika tidak diberikan,

Langkah 4: Berpandukan Langkah 2, pilih rantau penolakan H0 (Rujuk Jadual

5.4),

Langkah 5: Dengan nilai X yang diberi daripada sampel, hitung:

Kb(X x), X~b(n,0).

Langkah 6: Daripada Langkah 5 dan Langkah 4, buatkan keputusan ujian.

Langkah 7: Seterusnya buatkan kesimpulan pengujian.

Dalam pengujian hipotesis nol H0: =

0, nilai X yang jauh daripada min µ = n

0 akan

mendorong kepada penolakan hipotesis tersebut.

Jadual 5.4 memaparkan rantau penolakan H0 bagi setiap H

1.

5.3.2 Rantau Penolakan dan Aras Keertian

Petua keputusan pengujian H0 parameter populasi biasanya melibatkan pemetakan set nilai-nilai

penganggar parameter itu kepada dua subset iaitu RP (rantau penerimaan) dan RT(rantau penolakan)

yang saling melengkapi antara satu sama lain. Kedua-dua subset tersebut biasanya diasingkan oleh

satu nombor k yang nilainya diberikan/diketahui atau tidak tetapi boleh dihitung bila nilai diketahui

dengan menggunakan taburan statistik ujian.

Pengujian hipotesis ke atas suatu nilai parameter yang berasaskan sampel rawak

lazimnya berakhir dengan satu keputusan sama ada menerima atau menolak

hipotesis nol H0. Membuat keputusan yang dimaksudkan di atas biasanya

berpandukan kepada satu kaedah atau peraturan penolakan hipotesis yang

ditentukan oleh penyelidik. Peraturan ini dinamakan juga petua keputusan.

94 OUM



Contoh petua keputusan untuk pengujian µ diberikan dalam Jadual 5.3a dengan H0: = 0.62.

Dengan demikian; apabila nilai perkadaran sampel p = x/n yang diperolehi daripada sampel rawak

yang diberikan itu memenuhi syarat RT, maka keputusan ujian adalah tolak H0, atau terima H

0 jika

sebaliknya.

Bagaimanapun, dalam sesetengah kes, nilai k tidak diketahui/diberi, tetapi dengan nilai yang diberi

serta menggunakan taburan piawai statistik ujian, maka rantau penolakan dapat dibina. (Lihat Contoh

5.4 dalam subbahagian 5.3 akan datang).

Bagi ujian satu hujung (kanan) dan statistik ujian tertabur normal, RT adalah set nilai-nilai statistik

ujianZ yang:

RT = {z : z z .

Jadual 5.3a: Contoh Keputusan Pengujian H0 Berarah

Jenis ujian RT & RP Petua keputusan

1 hujung kanan, k = 0.70, RT: P > 0.7 Tolak H0 bila P > 0.7

H1: > 0.62 RP: P 0.7

1 hujung kiri, k = 0.60, RT: P< 0.6 Tolak H0 bila P < 0.6

H1: < 0.62 RP: P 0.6

Contoh 5.1

Daripada kajian yang lampau, didapati 85% lampu kalimantang keluaran sebuah syarikat

mencecah min jangkahayat 1600jam. Satu kaedah pemantauan telah dilaksanakan untuk

meningkatkan lagi peratus di atas. Setelah 3 bulan dilaksanakan, sampel 100 buah lampu

keluaran telah dipilih secara rawak dan disukat jangkahayatnya, didapati hanya 92 daripadanya

mempunyai min jangkahayat mencecah 1600jam. Ujikan pada aras keertian sama ada

kaedah pemantauan di atas berkesan atau tidak.

Jawapan:

Langkah 1: Parameter populasi yang diuji

Perkara yang diminati untuk dikaji ialah peratus lampu yang min jangkahayatnya

mencecah 1600jam. Ini bermaksud parameter perkadaran yang diminati. Oleh

itu penganggar titik parameter ini perkadaran sampel:

,

dimana X daripada n adalah mempunyai min di atas.

OUM 95



Langkah 2: Taburan populasi

Dalam kes perkadaran, taburan sebenar bagi populasi mahu pun statistik ujian

adalah taburan binomial. Bagaimanapun dengan saiz sampel besar (n = 100) dan

syarat:

100(0.85) = 5, dan 100(1 – 0.85) 5,

dipenuhi, maka taburan populasi dan seterusnya statistik ujian adalah dianggap

tertabur normal:

yang µp =

0 = 0.85, dan .

Langkah 3: Hipotesis ujian

• Perkadaran 0 = 0.85 adalah menjadi asas perbandingan untuk ukuran

keberkesanan pemantauan, maka tuliskan H0:

0 = 0.85;

• "keberkesanan pemantauan" "peningkatan perkadaran" 0,

seterusnya tuliskan H1: 0.85, dan ujian satu hujung kanan.

Langkah 4: Rantau penolakan dan aras keertian

Rantau penolakan tidak diberikan, tetapi aras keertian diberikan iaitu 0.05.

Dalam hal ini ada dua cara boleh dilakukan:

(a) hitung kebarangkalian p, atau

(b) binakan rantau penolakan RT.

Bagaimanapun dalam contoh ini, cara (a) dipilih.

Langkah 5: Statistik ujian

Maka statistik ujian adalah ujian skor Z yang:

dan tertabur normal piawai N(0, 1). Oleh itu bila H0 benar, Statistik ujian adalah:

yang tertabur normal piawai N(0, 1).

Langkah 6: Keputusan ujian

Nilai kebarangkalian p,

96 OUM



= 1 – (1.96) = 0.025,

p < = 0.05.

Keputusan ujian statistik adalah tolak H0:

0 = 0.85 pada aras keertian 5%, dan

terima H1:

0 > 0.85 pada aras keertian yang sama. Ini bermaksud yang

perkadaran telah terbukti meningkat.

Langkah 7: Kesimpulan ujian

Sampel yang diberi mempunyai cukup maklumat untuk menyokong dakwaan yang

kaedah pemantauan adalah berkesan.

Contoh 5.2

Merujuk kepada Latihan 5.1 Soalan 2, katakan sampel 150 orang pelajar telah dipilih secara

rawak dan didapati 92 orang lulus dengan baik. Lakukan pengujian hipotesis pada aras keertian

= 0.05.

Jawapan:


Perkara yang diminati untuk dikaji ialah % yang lulus dengan baik. Ini bermaksud

parameter perkadaran yang diminati. Oleh itu, penganggar titik parameter ini

adalah perkadaran sampel:

,

dimana X daripada n adalah mempunyai min di atas.


Dalam kes perkadaran, taburan sebenar bagi populasi mahu pun statistik ujian

adalah taburan binomial. Bagaimanapun, dengan saiz sampel besar (n = 150) dan

syarat:

150(0.7) = 5, dan 150(1 – 0.7) 5,

dipenuhi, maka taburan populasi dan seterusnya statistik ujian adalah dianggap

tertabur normal yang:

µp

= p0 = 0.70, dan .

OUM 97




• Perkadaran 0 = 0.70(70%) adalah menjadi asas perbandingan untuk

dikekalkan, maka tuliskan:

H0:

0 = 0.70;

• "mengekalkan perkadaran"

"tiada perubahan nilai perkadaran" 0, seterusnya tuliskan

H1: 0.70, ujian dua hujung.

Langkah 4: Rantau penolakan dan aras keertian

Rantau penolakan tidak diberikan, tetapi aras keertian diberikan iaitu 0.05.

Dalam hal ini ada dua cara boleh dilakukan:

(a) hitung kebarangkalian p, atau

(b) binakan rantau penolakkan RT.


Langkah 5: Statistik ujian

Maka, statistik ujian adalah ujian skor Z yang:

dan tertabur normal piawai N(0, 1). Oleh itu bila H0 benar, Statistik ujian adalah




= 2(1– (2.33)) = 0.0198,

p < = 0.05.

Keputusan ujian statistik adalah:

• tolak H0:


• terima H1: 0.70 pada aras keertian yang sama.

98 OUM



Ini bermaksud yang perkadaran telah berubah dan bukan lagi kekal sebagai 0.7.

Langkah 7: Kesimpulan pengujian

Sampel yang diberi mempunyai cukup maklumat untuk menyokong bahawa

perkadaran 70% lulus dengan baik tidak dapat dipertahankan.

Latihan 5.2

Pengurus pemasaran komputer peribadi ingin memperkenalkan sejenis modem luaran

bagi kemudahan penyambungan servis internet dengan bayaran tambahan RM125.

Daripada maklumat yang lepas, beliau percaya terdapat kira-kira 30% pelanggan

berminat kepada pembelian modem tersebut. Untuk kepastian pemasaran, beliau

membuat tinjauan kepada 200 orang pelanggan berpotensi di daerah itu dan

mendapati 80 daripadanya berminat untuk membelinya. Ujikan pada aras keertian

1% minat penduduk telah meningkat.

Contoh 5.3

Seorang ahli penembak profesional berjaya mengekalkan rekod 80% mengenai objek sasaran.

Bagaimanapun dalam satu gerakan menembak burung gagak liar, hanya 15 daripada 20 tembakan

beliau mengenai sasaran.

Ujikan pada aras keertian 5% kebenaran rekod beliau.

Jawapan:

Langkah 1: Tentukan parameter dan taburan populasi,

Dalam masalah ini parameter yang diuji adalah perkadaran. Oleh sebab saiz

sampel kecil, maka X bilangan kejayaan mengenai sasaran adalah tertabur

binomial dengan parameter n = 20 dan Kb(kejayaan) = 0.8.


1 yang sesuai,

Untuk menguji kebenaran = 0.8; tulis:

H1: 0.8; ujian 2 hujung.

H0: = 0.8 sebagai pelengkapnya.

Langkah 3: Pilih saiz keertian, jika tidak diberikan,

Dalam soalan ini, = 0.05.

OUM 99



Jika nilai diberi, maka nilai genting z boleh diperolehi daripada jadual normal piawai yang mana

Kb{Z z = . Jadual 5.3b memberikan nilai genting (NG) rantau penolakan H0 untuk pelbagai

ujian dan aras keertian bagi taburan normal.

Sementara Jadual 5.3c dan Rajah 5.1 memaparkan rantau penolakan H0 untuk pelbagai ujian dan

aras keertian bagi taburan normal.

Langkah 4: Pilih rantau penolakan H0 berpandukan Langkah 2 (Rujuk Jadual 5.4),

Bila H0 benar,

X~b(20, 0.8) dengan min µ = n0 = 20(0.8) = 16.

Daripada sampel, nilai x = 15 < µ = 16, maka rantau penolakan;

RP = { Semua nilai x yang Kb(X x ) < 0.025}.

Langkah 5: Cari nilai p

Dengan nilai X = 15 yang diberi daripada sampel, yang:

X~b(20, 0.8), nilai p:

p =Kb(X 15) =

= 1 – Kb(Y 20 – 16), Y~b(20, 0.2),

= 1 – 0.6296 = 0.3704.

Langkah 6: Keputusan ujian, (daripada Langkah 5 dan 4),

Oleh sebab p = 0.3704 > 0.025, X = 15 bukan dalam RP. Maka keputusan

ujian adalah terima H0 pada aras keertian 0.05.

Langkah 7: Kesimpulan pengujian.

Kesimpulannya, sampel yang diberikan mempunyai maklumat yang cukup untuk

menyokong kebenaran rekod penembak itu.

Latihan 5.3

Satu kaedah pembedahan penyakit kronik dikatakan hanya 35% berjaya dalam

kebanyakan kes. Satu penambahbaikan termasuk menggunakan peralatan canggih

telah dilakukan. Pihak berkuasa hospital berkeyakinan bahawa peratus kejayaan

akan meningkat. Untuk mempastikan peningkatan ini, satu sampel rawak 15 orang

pesakit yang menjalani pembedahan dengan kaedah terkini telah diambil dan didapati

hanya 9 berjaya diselamatkan. Ujikan pada aras 5% sama ada penambahbaikan itu

berkesan.

100 OUM



RUMUSAN

Pemahaman konsep pengujian bagi parameter min yang telah dibincangkan dalam Bab 1 dapat

membantu dalam memahami perbincangan pengujian perkadaran dalam Bab 2 ini.

Dalam bab ini juga anda telah diperkenalkan dengan konsep atribut yang mencirikan populasi binomial.

Pengujian perkadaran diberikan bagi kes saiz sampel kecil dan besar untuk jenis satu hujung dan dua

hujung. Pelbagai contoh telah diberikan serta latihan untuk memantapkan lagi pembelajaran.

OUM 101


SOALAN TUTORIAL

SOALAN TUTORIAL

1. Tinjauan rambang menunjukkan secara purata perjalanan 50 buah teksi awam adalah 25 300

km sebulan dengan sisihan piawai 2 500 km. Gunakan maklumat ini untuk menguji hipotesis

purata perjalanan keseluruhan teksi awam adalah 25 000 km sebulan. Ujikan pada aras keertian

5%.

2. Purata pencapaian markah matematik tingkatan 4 Sains sebuah sekolah swasta adalah 54 dengan

sisihan piawai 10 markah. Sampel rawak 200 orang pelajar di atas telah diajar dengan kaedah

pintas dan didapati secara purata pencapaian markah matematik adalah 58. Buatkan ujian

untuk mengetahui sama ada kaedah pintas itu berjaya mempertingkat pencapaian matematik

pelajar sekolah tersebut.

3. Dalam sampel 500 barangan daripada Kilang A terdapat 30 barangan yang rosak. Bagaimanapun

pihak kilang mendakwa hanya 5% sahaja barangan yang rosak. Adakah tuntutan pihak kilang

itu boleh diterima? Ujikan pada aras keertian 5%

102 OUM


JAWAPAN LATIHAN

BAB 4: HIPOTESIS I (POPULASI TUNGGAL)

Latihan 4.1

1. (a) ujian 1 hujung (kanan),

H1: pernyataan yg. diberi,

H0: pada pernyataan diberi, ujaran "lebih t

0 tahun" diganti dengan " "kurang atau sama t

0

tahun". Yang t0 sebagai tempoh pengajian, yang diandaikan.

(b) ujian 2 hujung,

H0: ungkapan yang diberikan,

H1: pada ungkapan diberi, ganti "5 kali" dengan "bukan 5 kali",

(c) ujian 1 hujung (kiri),

H1: pernyataan yang diberi,

H0: pada pernyataan diberi, ujaran "kurang dpd 5 kali" diganti dengan "sebanyak 5 kali

atau lebih".

2. Jangkahayat lampu kalimantang yang dikeluarkan oleh sebuah syarikat dikatakan mengikuti

satu taburan dengan min µ (jam), dan sisihan piawai 100 jam. Mengikut kaedah pengeluaran

yang sebelumnya, min jangkahayat lampu mencapai 1600j. Demi meningkatkan kualiti

keluarannya, syarikat telah menggunakan kaedah baru pengeluaran tetapi belum pernah dicuba

dikilang lain. Pihak syarikat merasa bimbang akan keupayaan kaedah baru dan menguji sama

ada jangkahayat keluaran baru itu sama atau melebihi min yang sedia ada. Satu sampel rawak

sebanyak 100 lampu tersebut telah diambil dan didapati min jangkahayat sampel ini adalah

1580 jam. Ujikan pada aras keertian (i) 0.05, (ii) 0.01.

Perubahan nilai min berlaku: 'sama atau melebihi min yang ada', oleh itu tuliskan hipotesis nol

H0: µ 1600jam dan tuliskan hipotesis pilihan sebagai H

1: µ < 1600jam, sebagai lawannya.

3. Jangkahayat lampu kalimantang yang dikeluarkan oleh sebuah syarikat dikatakan mengikuti satu

taburan dengan min µ (jam), dan sisihan piawai 100 jam. Mengikut kaedah pengeluaran yang

sebelumnya, min jangkahayat lampu mencapai 1600j. Demi meningkatkan kualiti keluarannya,

syarikat telah menggunakan kaedah baru pengeluaran tetapi belum pernah dicuba dikilang lain.

Pihak syarikat merasa bimbang akan keupayaan kaedah baru dan ingin membuat kepastian

melalui ujian sama ada kaedah baru itu mampu merubah nilai min yang sedia ada. Satu sampel

rawak sebanyak 100 lampu tersebut telah diambil dan didapati min jangkahayat sampel ini

adalah 1580 jam. Ujikan pada aras keertian (i)0.05, (ii)0.01.

Perubahan nilai min berlaku:

'kaedah baru mampu merubah nilai min yang ada'

min keluaran baru 1600.

Oleh itu tuliskan hipotesis pilihan sebagai H1: µ 1600 jam, dan tuliskan

hipotesis nol H1: µ = 1600 jam sebagai lawannya.

OUM 103


JAWAPAN LATIHAN

Latihan 4.2

1. Pada aras 1% H0 ditolak p < 1% yang juga < 5% p < 5% , oleh itu H

0 ditolak pada aras

5%

2. Pada aras 10% dan 5%, H0 ditolak p < 5% < 10%; tetapi tidak ditolak pada aras 1% dan

2.5% p >2.5% & > 1%; maka p dalam selang 0.05 < p < 0.1.

Latihan 4.3

Apabila H0: µ = 10 benar, maka min sampel X tertabur normal . Sekarang daripada

persamaan (1.5a),

Kb( Tolak H0

H0 benar) = = 0.05,

Kb( X–

< k µ = 10) = 0.05, yang ,

yang Z ~ N(0, 1) dan .

Daripada jadual taburan normal piawai zk yang memuaskan persamaan (i) adalah –1.645.

Oleh itu,

Dengan demikian;

RT = {X–

: X–

< 7.9},

Petua keputusan ialah Tolak H0 jika nilai X

– daripada sampel yang diberi itu berada dalam RT

tersebut.

Jika sampel yang diberi memberikan nilai min 7.0 maka keputusan ujian adalah tolak H0 pada aras

keertian 0.05. Sebaliknya jika sampel rawak itu memberikan min 8.0, maka keputusan ujian adalah

terima H0 pada aras keertian 0.05.

Latihan 4.4

(a)

p = 0.189 > 0.05

(b)

p = 0.0601 > 0.05

104 OUM


JAWAPAN LATIHAN

Latihan 4.5

Langkah 1: Seperti yang dimaklumkan, parameter populasi yang hendak diuji ialah min populasi

µ.



Dalam masalah ini ujaran perubahan min populasi diberikan adalah "purata

pendapatan penduduk tidak melebihi RM2500" iaitu setara dengan "purata

pendapatan RM2500 atau kurang" "µ RM2500", maka ujaran ini boleh

diambil sebagai H0. Sementara H

1 sebagai pelengkapnya. (sila rujuk perumusan

hipotesis dalam Subbahagian 1.1.1).

Oleh itu tulis:

H0: µ RM2500, H

1: µ > RM2500; ujian satu hujung kanan.

Langkah 4: Aras keertian = 0.05. dan RT untuk ujian satu hujung kiri dihitung daripada

taburan t dengan darjah kebebasan v = 16.

RT = {t : t t = {t : t 1.7459}

Rajah Latihan 4.6

= 0.05

118RT

P = 0.0601

X

(b)

= 0.05

14.5RT

P = 0.189

X

(a)

OUM 105


JAWAPAN LATIHAN

Langkah 5: Dalam masalah ini taburan populasi diandaikan normal, dan sisihan piawainya

anu di samping saiz sampel kecil. Dengan merujuk ujaran statistik ujian s3 (lihat

subbahagian 1.2.1), maka statistik ujian adalah skor T yang

adalah mengikuti taburan t dengan dk. 17 – 1 = 16.

Langkah 6: Keputusan ujian bila H0 benar. Berasaskan maklumat sampel yang diberi;

,

Keputusan ujian:

Oleh sebab tc = –2.061 1.746, iaitu berada dalam RP, maka H

0 diterima

secara signifikan pada aras keertian 0.05.


Maklumat daripada sampel menyokong jangkaan penyelidik. Ini bererti purata

pendapatan penduduk telah menurun daripada purata pendapatan dua tahun

yang lalu ia-itu RM2500.

BAB 5: PENGUJIAN HIPOTESIS PERKADARAN POPULASI

Latihan 5.1

1. "perkadaran pencapaian tidak melebihi 40%" 0.4

tulis H0: 0.4, dan lawannya H

1: > 0.4

2. " perkadaran 70% dapat dikekalkan" " tiada perubahan dalam "

0 = 0.7, tulis H

1: 0.7 dan lawannya H

0: = 0.7.

Latihan 5.2


Perkara yang diminati untuk dikaji ialah % pelanggan berminat kepada pembelian

modem. Ini bermaksud parameter perkadaran yang diminati. Oleh itu penganggar

titik parameter ini perkadaran sampel , di mana X daripada n adalah

mempunyai minat di atas.

106 OUM


JAWAPAN LATIHAN


Dalam kes perkadaran, taburan sebenar bagi populasi mahupun statistik ujian

adalah taburan binomial. Bagaimanapun dengan saiz sampel besar (n = 200)

dan syarat:

200(0.30) = 60 5, dan 200(1 – 0.30) 5,

dipenuhi maka taburan populasi dan seterusnya statistik ujian adalah dianggap

tertabur normal yang:

µp = 0.30, dan .


• Perkadaran 0 = 0.30 (30%) adalah menjadi asas perbandingan untuk

dikekalkan.

• "perkadaran minat penduduk telah meningkat " > 0.3,

tuliskan H1

0.30 dan lawannya tuliskan H0:

00.30;

dan kes ini adalah ujian 1 hujung kanan.

Langkah 4: Rantau penolakkan dan aras keertian

Rantau penolakan tidak diberi, tetapi aras keertian diberikan iaitu 0.05. Dalam

hal ini ada dua cara boleh dilakukan:

• hitung kebarangkalian p, atau

• binakan rantau penolakkan RT.


Langkah 5: Statistik Ujian

Maka statistik ujian adalah ujian skor Z yang:

dan tertabur normal piawai N(0, 1). Oleh itu bila H0 benar, Statistik ujian adalah:




= 1– (3.09) = 0.001,

p < = 0.01.

OUM 107


JAWAPAN LATIHAN

Keputusan ujian statistik adalah:

• tolak H0:


• terima H1:

0> 0.30 pada aras keertian yang sama.

Ini bermaksud yang perkadaran telah meningkat dan bukan lagi kekal sebagai 0.3.

Langkah 7: Kesimpulan pengujian

Sampel yang diberi mempunyai cukup maklumat untuk menyokong bahawa

perkadaran telah meningkat melebihi 30% penduduk yang berminat membeli

modem baru yang diperkenalkan oleh pengurus pemasaran.

Latihan 5.3

Langkah 1: Tentukan parameter dan taburan populasi

Dalam masalah ini parameter yang diuji adalah perkadaran. Oleh sebab saiz

sampel kecil, maka X bilangan kejayaan pembedahan adalah tertabur binomial

dengan parameter n = 15 dan Kb(kejayaan) = 0.35.


1 yang sesuai

Untuk menguji keberkesanan meningkat > 0.35,

Tuliskan:

• H1: > 0.35;

• H0: 0.35;

kes ini adalah ujian 1 hujung kanan.

Langkah 3: Pilih saiz keertian, jika tidak diberikan

Dalam soalan ini = 0.05, diberi.

Langkah 4: Berpandukan Langkah 2, pilih rantau penolakan H0 (Rujuk Jadual 1.4)

Bila H0 benar, X~b(15, 0.35) dengan:

min µ = n0 = 15(0.35) = 5.25.

Daripada sampel, nilai x = 9 > µ = 5.25, maka rantau penolakan;

RP = { Semua nilai x yang Kb(X x ) < 0.05}

Langkah 5: Cari p

Dengan nilai X yang diberi daripada sampel, yang:

X~b(15, 0.35),

p =Kb(X 9) = = 1 – Kb(X 8)

= 1 – 0.9578 = 0.0422.

108 OUM


JAWAPAN LATIHAN

Langkah 6: Keputusan ujian , (daripada Langkah 5 dan 4)

Oleh sebab p = 0.0422 < 0.05, X = 9 berada dalam RP. Maka keputusan

ujian adalah:

• tolak H0 pada aras keertian 0.05,

• dan terima H1: > 0.35.

Langkah 7: Kesimpulan pengujian.

Daripada Langkah 6, terima H1: > 0.35 program penambahbaikan berkesan.

Hal ini menunjukkan sampel yang diberikan mempunyai maklumat yang cukup

untuk menyokong kebenaran keberkesanan program penambahbaikan itu.

OUM 109

UNIT 3 PENGUJIAN HIPOTESIS DUA POPULASI

PENGENALAN

PENGENALAN

Dalam Unit 2 pelajar telah didedahkan dengan pelajaran pengujian hipotesis bagi parameter min dan

perkadaran untuk kes populasi tunggal. Dalam Unit 2, konsep yang sama dikembangkan kepada kes

dua populasi. Dalam kes ini, Bab 1 membincangkan pengujian hipotesis perbandingan min dua populasi.

Bab 2 pula membincangkan pengujian hipotsis perbandingan perkadaran dua populasi.

Pelajar hendaklah memahami maksud perbandingan bagi parameter masing-masing di atas, kemudian

membuat pelarasan yang sesuai. Prosedur pengujian adalah sama seperti bagi kes populasi tunggal.

Oleh itu, pemahaman konsep pengujian bagi kes populasi tunggal yang dibincangkan dalam Unit 1

adalah sangat penting untuk membolehkan pelajar memahami dengan baik Unit 3.

OBJEKTIF PEMBELAJARAN

Di akhir unit ini, anda seharusnya dapat:

1. menerangkan konsep hipotesis serta membuat pernyataan bagi perbandingan min dua populasi

masing-masing dan perkadaran dua populasi;

2. menyatakan aras keertian, statistik ujian dan boleh mencam rantau penolakan ujian bagi beza

min masing-masing dan beza perkadaran dua populasi;

3. menentukan jenis ujian dan rantau penolakan hipotesis nol bagi beza min masing-masing dan

beza perkadaran dua populasi; dan

4. menentukan nilai p dan rantau penolakan pengujian hipotesis bagi beza min masing-masing

dan beza perkadaran dua populasi.

110 OUM

PENGUJIAN HIPOTESIS DUA POPULASI UNIT 3

PENGUJIAN HIPOTESIS DUA POPULASI BAB 6

BAB 6 PERBANDINGAN MIN POPULASI

PENGENALAN

Di dalam Bab 4, Unit 2 kita telah membincangkan pengujian hipotesis bagi dua parameter iaitu min

dan perkadaran bagi satu populasi (kes populasi tunggal). Dalam Unit 3, perbincangan akan melibatkan

perbandingan parameter tersebut bagi dua populasi pemboleh ubah yang diminati atau dikaji.

OBJEKTIF


1. menyatakan konsep hipotesis serta membuat pernyataan;

2. memberikan aras keertian, statistik ujian dan boleh membina rantau penolakan;

3. menerangkan Ralat Jenis I dan II dan juga kuasa ujian serta menghitung saiznya;

4. menyatakan jenis ujian dan rantau penolakan hipotesis nol; dan

5. menentukan nilai p bagi pengujian hipotesis.

6.1 KONSEP PERBANDINGAN MIN

Katakan, pemboleh ubah yang ingin dikaji ialah:

• umur prasiswazah tahun 1 UNITEM sesi 2002/2003 sebagai populasi 1

• umur prasiswazah tahun 1 UKM sesi 2002 / 2003 sebagai populasi 2.

Dalam hal ini, parameter min populasi adalah parameter yang sesuai untuk digunakan sebagai alat

dalam perbandingan tersebut seperti dalam ujaran yang “min populasi 1 lebih besar daripada min

populasi 2”.

Sebagai contoh, pelbagai bentuk perbandingan min populasi diberikan dalam Jadual 6.1.

Dalam kes yang dinyatakan di bawah, apakah parameter perbandingan yang dikaji?

OUM 111


BAB 6 PENGUJIAN HIPOTESIS DUA POPULASI

Contoh 6.1

Ujaran Populasi:

Ukuran aras tekanan darah (dalam unit sistolik) sebelum rawatan berbanding dengan ukuran

aras tekanan darah (dalam unit sistolik) selepas rawatan.

Populasi:

Pemilihan populasi adalah arbitrari. Bagaimanapun dalam contoh ini:

• aras tekanan darah sebelum rawatan boleh dipilih sebagai populasi 1, dan

• aras tekanan darah selepas rawatan pula sebagai populasi 2.

Pemboleh ubah dikaji:

Katakan pemboleh ubah X mewakili aras tekanan darah (dalam unit sistolik), maka boleh ditulis:

• X1 sebagai aras tekanan darah individu dari populasi 1, dan

• X2 pula sebagai aras tekanan darah individu dari populasi 2.

Sampel rawak:

Oleh itu, jika sampel rawak saiz n1 diambil daripada populasi 1, kita akan dapat:

• n1nilai-nilai cerapan aras tekanan darah dengan x

1i adalah bagi individu i ( i = 1,2, …, n

1)

dari populasi 1.

Seterusnya, jika n2 individu diambil secara rawak daripada populasi 2, kita akan dapat:

• n2 cerapan dengan x

2i adalah aras tekanan darah individu i

( i = 1,2, …, n2) dari populasi 2.

Parameter boleh dibanding:

(i) Populasi 1: min populasi 1, varians 2

1; dan

(ii) Populasi 2: min populasi 2, varians 2

2.

Jadual 6.1: Contoh Bandingan Min Populasi

Ujaran perbandingan selepas rawatan Ungkapan matematik

(i) min aras tekanan darah menurun2 <

1

(ii) min aras tekanan darah meningkat2 >

1

(iii) min aras tekanan darah tidak berubah2 =

1

(iv) min aras tekanan darah berubah2 1

112 OUM



Perbincangan tentang perbandingan min atau parameter populasi yang lain akan melibatkan kes

dimana varians populasi tidak diketahui. Hal ini penting kerana kebanyakan dalam masalah harian,

varians populasi tidak diketahui, dan lazimnya dianggar dengan varians sampel.

Terdapat dua kes yang akan dibincangkan iaitu:

(a) varians populasi 1 ( 2

1 ) sama dengan varians populasi 2 ( 2

2),

Latihan 6.1

Berdasarkan contoh 2 ujaran populasi di atas :

(i) namakan populasi 1 dan populasi 2.

(ii) namakan pemboleh ubah yang dikaji.

(iii) berikan contoh ujaran bandingan min populasi berserta dengan ungkapan

matematik yang sesuai.

Secara umum, diberikan dalam Jadual 6.2 pelbagai bandingan yang mungkin bagi nilai parameter

2 terhadap

1, dengan subskrip 1 dan 2 masing-masing untuk populasi 1, dan 2. Adapun

penamaan populasi 1 atau 2 adalah arbitrari.

Jadual 6.2: Perbandingan Nilai Parameter

Ujaran bandingan Ujaran matematik

1. Lebih besar, menaik, melebihi, meningkat, 2 >

1

bertambah

2. Lebih kecil, mengecil, menurun, mengurang,2 <

1

menyusut

3. Sama dengan, sama nilai, tidak berubah2 =

1

4. Sekurang-kurangnya sama dengan, sama2 1

dengan atau lebih

5. Paling besar sama dengan, sama dengan2 1

atau kurang

6. Tidak sama dengan, berubah2 1

Contoh 6.2

Ujaran Populasi Markah ujian matematik sekumpulan pelajar yang diajar dengan kaedah

pintas, dibanding dengan markah ujian matematik sekumpulan pelajar yang tidak diajar dengan

kaedah pintas.

OUM 113



sesuai. Petua perumusan kedua hipotesis yang dibincangkan dalam Unit 1 masih diguna pakai. Selepas

itu barulah ditentukan pula statistik ujian yang berpadanan. Jadual 6.3 memberikan rumusan hipotesis

untuk pelbagai hubungan bagi min kedua-dua populasi. Adapun jenis ujian boleh ditentukan dengan

berpandukan kepada perumusan hipotesis pilihan, H1 seperti yang dinyatakan dalam jadual yang

sama.

6.2.1 Pelarasan Hipotesis

Pelarasan hipotesis perlu dibuat supaya dapat disesuaikan dengan statistik ujian yang sepadan, dan

seterusnya mencamkan taburan statistik ujian itu sebelum mengikuti prosedur selanjutnya dalam

pengujian hipotesis. Adapun langkah-langkah pegujian hipotesis yang telah dibincangkan dalam Unit

1 masih diguna pakai dengan perubahan pada ungkapan statistik ujian. Jadual 6.4 berikut memaparkan

pelarasan hipotesis untuk pelbagai bandingan parameter min populasi.

(b) mereka mempunyai nilai yang berbeza.

Kedua-dua kes ini akan dibincangkan satu persatu.

6.2 HIPOTESIS NOL, HIPOTESIS PILIHAN DAN JENIS UJIAN

Selepas mengenal pasti bentuk perbandingan parameter populasi seperti dalam Jadual 6.1 atau 6.2,

langkah selanjutnya adalah menulis atau merumus hipotesis nol, H0 dan hipotesis pilihan, H

1yang

Jadual 6.3: Rumusan Hipotesis

Perbandingan Min H0 & H

1Jenis Ujian

2 >

1H

1:

2 >

1;1 hujung kanan

H0:

2 1

2 <

1H

1:

2 <

1;1 hujung kiri

H0:

2 1

2 =

1H

1:

2 1;2 hujung

H0:

2 =

1

2 1H

1:

2 <

1;1 hujung kiri

H0: m

2 1

2 1H

1:

2 >

1;1 hujung kanan

H0:

2 1

2 1H

1:

2 1;2 hujung

H0:

2 =

1

114 OUM



Jadual 6.4: Pelarasan Hipotesis

H0 & H

1H

0 & H

1 terlaras-1 H

0 & H

1 terlaras-2

(1) (2), 0 = 0, (3),

0 0,

1. H1:

2>

1, H

1:

2-

1> 0; H

1:

2-

1>

0;

H0:

2=

1+

0H

0:

2-

1= 0 H

0:

2-

1=

0

2. H1:

2<

1, H

1:

2-

1< 0; H

1:

2-

1< -

0;

H0:

2=

1-

0H

0:

2-

1= 0 H

0:

2-

1= -

0

3. H1:

2 1, H

1:

2-

1 0; H

1:

2-

1 0;

H0:

2=

1+

0H

0:

2-

1= 0 H

0:

2-

1=

0

4. H1:

2<

1, H

1:

2-

1< 0; H

1:

2-

1< -

0;

H0:

2 1+

0H

0:

2-

1 0 H

0:

2-

1-

0

5. H1:

2>

1, H

1:

2-

1> 0; H

1:

2-

1>

0;

H0:

2 1+

0H

0:

2-

1 0 H

0:

2-

1 0

6. H1:

2 1, H

1:

2-

10; H

1:

2-

1 0;

H0:

2=

1+

0H

0:

2-

1= 0 H

0:

2-

1=

0

Contoh 6.3

Perbandingan parameter min populasi dimana 0

0 ialah:

(i) min aras tekanan darah telah meningkat sebanyak 5 sistolik dalam keadaan pesakit

tertekan perasaan selepas rawatan,

(ii) min aras tekanan darah telah menurun sebanyak 5 sistolik dalam keadaan biasa selepas

rawatan.

Perbincangan

Katakan:

•2 adalah min aras tekanan darah selepas rawatan, dan

•1 adalah min aras tekanan darah sebelum rawatan.

Dalam kes (i):

2melebihi

1sebanyak

0 = 5 sistolik, dan boleh ditulis:

2 =

1+5.

Dalam kes (ii):

2lebih kecil daripada

1sebanyak

0 = 5 sistolik, dan boleh ditulis:

2 =

1 - 5.

OUM 115



6.2.2 Pemilihan Ungkapan Hipotesis

Dalam masalah pengujian hipotesis yang melibatkan parameter dari dua populasi, penentuan hipotesis

pilihan lazimnya besesuaian dengan perbandingan nilai dua parameter tersebut (Sila lihat Jadual 6.3)

yang dituntut atau memerlukan pengujian kebenaran perbandingan nilai itu berasaskan sampel rawak

tak bersandar yang diambil dari populasi masing-masing. Contoh perbandingan parameter diberikan

dalam Jadual 6.1, 6.2 atau 6.3.

Tujuan asal ujian adalah untuk membuat penerimaan atau penolakan H1. Bagaimanapun

pengukuran dalam pengujian statistik agak sukar bagi hipotesis ini yang nilainya dinyatakan dalam

julat tertentu. Oleh yang demikian, pengujian statistik dilakukan ke atas H0 yang kesannya apabila H

0

ditolak pada aras keertian tertentu, maka ketika yang sama bermaksud menerima hipotesis H1. Oleh

sebab itu, perumusan H1 dan H

0seperti dalam Jadual 6.3, dan pelarasannya seperti dalam Jadual 6.4

hendaklah dibuat dengan teliti supaya keputusan yang dibuat berasaskan sampel adalah ‘bertepatan’

dengan (seolah- olah menyokong) H1.

Berikut diberikan empat kategori ujaran bagi parameter min populasi sebagai contoh, dan dikaitkan

dengan pernyataan hipotesis:

(U1) Ujaran melibatkan kesamaan nilai tanda “=”

H0 dinyatakan seperti dalam ujaran dan H

1 lawannya;

Contoh: ujaran “ purata hayat mentol lampu letrik populasi 2 adalah sama

dengan populasi 1”, atau “min populasi 1 tidak berubah”.

0 2 1 1 2 1 0 2 1 1 2 1: ; : : ; : 0H µ = µ H µ µ H µ - µ = 0 H µ - µ

(U2) Ujaran melibatkan ketaksamaan separa nilai tanda “ ” atau “ ”

H 0 dinyatakan seperti dalam ujaran dan H

1 lawannya;

Contoh: ujaran “purata hayat mentol lampu eletrik populasi 2 sekurang-

kurangnya sama dengan purata hayat mentol lampu letrik populasi

1”.

H0:

2 1; H

1:

2 <

1H

0:

2 -

1 0; H

1:

2 -

1< 0

Pada pendapat anda, apakah jenis ujian yang mungkin bagi perbincangan di atas?

116 OUM



Perhatikan bahawa setiap pernyataan H0 mengandungi tanda kesamaan “=”.

Kategori ujaran di atas adalah diterima pakai untuk parameter perkadaran populasi p.

(U3) Ujaran melibatkan ketaksamaan lengkap nilai, tanda “<”atau “>”,


0 lawannya;

Contoh: Ujaran “ purata hayat mentol lampu letrik populasi 2 melebihipurata

hayat mentol lampu eletrik populasi 1”. (Tuliskan ujaran ini sebagai

H1, dan pelengkapnya sebagai H

0).

H1:

2 >

1 ; H

0:

2 1H

1:

2 -

1 > 0; H

0:

2 -

1 0

(U4) Ujaran melibatkan ketaksamaan lengkap nilai, tanda “<” atau

“>”, dimana 0

0.


0 lawannya;

Contoh: Ujaran “ purata hayat mentol lampu eletrik populasi 2 melebihi

purata hayat mentol lampu letrik populasi 1 sebanyak0 jam”.

(Tuliskan ujaran ini sebagai H1, dan pelengkapnya sebagai H

0)

H1:

2 >

1+

0; H

0:

2 1+

0H

1:

2 -

1 >

0; H

0:

2 -

1 0

“Kategori ujaran di atas adalah diterima pakai untuk parameter perkadaran populasi

p”. Apakah yang anda faham tentang kenyataan ini?

Latihan 6.2

1. Nyatakan dua populasi cerapan yang boleh dibandingkan minnya, bagi kes 0

= 0. Pilih salah satu perbandingan dalam Jadual 3.4.

2. Berikan ujaran dua populasi cerapan yang boleh dibandingkan minnya, bagi

kes0< 0, dan

0> 0. Pilih salah satu perbandingan dalam Jadual 3.4.

OUM 117



6.3 RANTAU PENOLAKAN, ARAS KEERTIAN, DAN NILAI P


eloklah dimulakan perbincangan tentang statistik ujian. Dalam pengujian hipotesis, sampel rawak

biasanya digunakan sebagai asas ujian sama ada hendak menolak atau menerima hipotesis nol H0

pada aras yang ditentukan.

Ini bermakna pengujian hipotesis ini melibatkan antara lain:

(a) taburan pensampelan yang telah dipelajari dalam Unit 1, dan

(b) statistik yang digunakan dalam pengujian yang dinamakan statistik ujian .

Statistik ujian biasanya dipilih bersesuaian dengan parameter populasi yang dibincangkan dalam

permasalahan. Statistik ini sebenarnya adalah penganggar titik kepada parameter populasi

yang sedang dibincangkan itu. Umpamanya, untuk pengujian beza min populasi seperti dalam ungkapan

hipotesis nol:

H0:

2 -

1=

0 , yang mana

0= 0, atau

0 0

bergantung kepada keadaan masalah yang diberi. Maka, statistik ujian yang digunakan adalah beza

min sampel yang diambil daripada populasi masing-masing iaitu :

Statistik B =

6.3.1 Statistik Ujian Bagi Pengujian Beza Min Populasi, 2-

1

Bagaimanakah cara untuk membuat perbandingan min sekiranya 0 tidak dinyatakan?

Hipotesis nol bagi ujian ini adalah seperti dalam Jadual 6.4 bagi pelbagai kes perbandingan,

iaitu sama ada:

(i) H0:

2 -

1 0 ,

(ii) H0:

2 -

1 =

0 ,

(iii) H0:

2 -

1 0,

dengan kuantiti 0 boleh bernilai negatif, kosong, atau positif.

Katakan terdapat dua populasi iaitu:

(i) populasi 1 mempunyai min 1 dan varians , dan

(ii) populasi 2 pula mempunyai min 2 dan varians .

118 OUM



Maka dengan Teorem Had Memusat (Sila rujuk Unit 1) kita dapati:

(a) min sampel rawak saiz n1 ( 30) daripada populasi 1 tertabur normal atau hampir normal

, dan

(b) min sampel rawak saiz n2 ( 30) daripada populasi 2 pula tertabur normal atau hampir

normal ,

Maka, statistik tertabur normal atau hampir normal yang ,

dan dalam sebutan dan adalah tertakluk kepada beberapa keadaan seperti berikut:

(S1)

(i) Varians populasi dan diketahui dan .

(ii) Taburan kedua dua populasi adalah normal.

(iii) Tiada syarat ke atas saiz sampel.

(iv) Sampel rawak 1 dan sampel rawak 2 tak bersandar.

Maka statistik B tertabur normal dengan:

varians

Oleh itu statistik ujian adalah ujian skor Z yang mana:

(6.1)

dan tertabur normal piawai N(0, 1); yang 0= 0, atau

0 0 bergantung kepada keadaan

masalah yang diberi.

(S2)

(i) Varians populasi dan diketahui dan .

(ii) Taburan kedua dua populasi tidak diketahui/diberikan.

(iii) Jika kedua dua sampel besar (n1

30, n2

30 ),


Maka, statistik B tertabur hampir normal dengan:

OUM 119



varians

Oleh itu, statistik ujian adalah ujian skor Z yang mana:

(6.2)

dan tertabur hampir normal piawai N(0,1); dan 0< 0,

0= 0, atau

0> 0 bergantung

kepada keadaan masalah yang diberi.

(S3)

(i) Varians populasi dan tidak diketahui tetapi , sedangkan varians sampel

masing-masing dan diketahui/boleh dihitung.

(ii) Taburan kedua-dua populasi tidak diketahui/diberikan.

(iii) Jika kedua-dua sampel besar (n1

30, n2

30 ).


Maka, statistik B tertabur hampir normal dengan varians di anggar oleh:

Oleh itu, statistik ujian adalah ujian skor Z yang mana:

(6.2a)

dan tertabur hampir normal piawai N(0,1); dan 0< 0,

0= 0, atau

0> 0 bergantung

kepada keadaan masalah yang diberi.

120 OUM



(S4)

(i) Varians populasi dan tidakdiketahui tetapi , dan varians sampel masing-

masing dan diketahui/boleh dihitung;

(ii) Taburan kedua-dua populasi normal atau hampir normal;

(iii) Jika kedua-dua sampel kecil (n1 < 30, n

2< 30 );


Maka, statistik B mengikuti taburan t dengan darjah kebebasan:

v = n1 + n

2 – 2

dan bila H0 benar, varians dianggar oleh varians tergembleng:

Oleh itu, statistik ujian adalah ujian skor T yang:

(6.3)

dan mengikuti taburan t dengan darjah kebebasan:

v = n1 + n

2 – 2

(S5)

(i) Varians populasi dan tidak diketahui tetapi , dan varians sampel masing

masing dan diketahui/boleh dihitung;

(ii) Taburan kedua-dua populasi normal atau hampir normal;

(iii) Jika kedua-dua sampel kecil (n1 < 30, n

2< 30 ),


Maka, statistik B mengikuti taburan t dengan darjah kebebasan v seperti dalam (6.4) di

bawah, dan varians dianggar oleh:

Oleh itu statistik ujian adalah ujian skor T yang mana:

(6.3a)

OUM 121



dan mengikuti taburan t dengan darjah kebebasan (dibundarkan kepada integer):

(6.4)

(S6) Ujian t data berpasangan.

(i) Varians populasi 2

1 dan 2

2tidak diketahui dan 2 2

1 2;

(ii) Taburan kedua dua populasi normal atau hampir normal;

(iii) Kedua-dua sampel kecil (n1 < 30, n

2< 30 ), dan n

1 = n

2 = n ;

(iv) Sampel rawak 1 dan sampel rawak 2 berhubungan/berkait.

Di bahagian awal bab ini, telah diberikan contoh aras tekanan darah sebelum rawatan (sebagai

populasi 1) dan selepas rawatan (sebagai populasi 2) bagi individu dalam sampel rawak daripada

populasi yang sama (ini bermakna, 2 2

1 2).

Populasi 1 (sebelum rawatan/tidak diberikan rawatan) lazimnya dikenali sebagai populasi

kawalan. Dalam kes seperti ini, sampel rawak daripada “populasi 1” dikatakan bukan tak

bersandar daripada sampel rawak daripada “populasi 2”, maka adalah lebih baik jika analisis

diturunkan kepada analisis satu sampel dengan data:

D1, D

2, …, D

n,

yang mana:

Di = X

i – Y

i , i = 1,2, …, n

adalah beza pasangan cerapan pada individu ke-i (unit yang sama).

Maka ujian hipotesis beza min X Y menjadi ujian hipotesis kes satu populasi dengan statistik

ujian:

(6.5)

Yang mana:

0seperti diterangkan di sebelah;

min beza

122 OUM



sisihan piawai

Statistik T tertabur t dengan darjah kebebasan v = n – 1.

[Untuk kes taburan populasi yang bukan normal, ujian pangkat bertanda Wilcoxon adalah

lebih sesuai. Sila lihat Unit 1].

6.3.2 Rantau Penolakan, Aras Keertian dan Nilai p

Pengujian hipotesis ke atas suatu nilai parameter yang berasaskan sampel rawak lazimnya berakhir

dengan satu keputusan sama ada menerima atau menolak hipotesis nol H0. Membuat keputusan yang

dimaksudkan di atas biasanya berpandukan kepada satu kaedah atau peraturan penolakan

hipotesis yang ditentukan oleh penyelidik. Peraturan ini dinamakan juga petua keputusan.

Untuk penerangan lanjut tentang teorem had memusat sila rujuk laman web ini:

http://www.pinkmonkey.com/studyguides/subjects/stats/chap8/s0808601.asp

Petua keputusan pengujian H0 parameter populasi biasanya melibatkan pemetakan set

nilai-nilai penganggar beza parameter iaitu:

kepada dua subset iaitu:

(i) RP (rantau penerimaan); dan

(ii) RT (rantau penolakan)

yang saling melengkapi antara satu sama lain.

Kedua-dua subset tersebut biasanya diasingkan oleh satu nombor k yang nilainya diberikan/diketahui

atau tidak tetapi boleh dihitung bila nilai a diketahui dengan menggunakan taburan statistik ujian.

Rajah 6.1: Memaparkan pemetakan tersebut bagi ujian satu hujung kanan

5%(5)

5%

2

2

OUM 123



Penentuan RT dan RP bagi ujian satu hujung dan dua hujung untuk pelbagai aras keertian a telah

dibincangkan secara meluas dalam Bab 1, Unit 1 dan diguna pakai dalam bab ini. Cuma terdapat

sedikit perbezaan dengan kes populasi tunggal iaitu dalam kes sekarang, statistik yang digunakan

adalah:

Beza min populasi, 2 1B X X

Oleh yang demikian, topik nilai genting dan RT bagi sebarang tidak lagi dibincangkan dalam bab

ini. Oleh itu, pelajar dinasihatkan agar merujuk kembali Unit 2. Untuk taburan t, nilai genting diperolehi

daripada Jadual Taburan t dengan darjah kebebasan v = n – 1.

Bagaimanakah cara untuk menentukan RT dan RP?

Sila lihat laman web di bawah bagi melihat contoh interakftif satu hujung atau dua

hujung.bagi:

• statistik ujian pembezaan antara dua min populasi bila varians diketahui dan

• ujian persamaan bagi dua min populasi

Ubah nilai parameter bagi melihat perubahan rantau penolakan.

http://www.mathaid.com/products/HypthsTest/full/TwoPopltns/index.html

6.4 PERBANDINGAN MIN YANG 0

TIDAK DINYATAKAN

Dalam bahagian ini, perbandingan dua min populasi termasuk adanya perubahan berarah dan tak

berarah. Diberikan juga kes dimana lebihan min 0

0. Kes ini lazimnya membincangkan hal dimana:

(a) min populasi yang sama telah meningkat atau menurun sebanyak 0 atas sebab-sebab tertentu.

(b) min populasi-2 melebihi min populasi-1 sebanyak 0atas sebab-sebab tertentu.

Oleh sebab perumusan H0 dan H

1 adalah penting namun sukar dilaksanakan, maka kita perlu

menumpukan kepada masalah dimana kedua-dua hipotesis tidak diberikan dalam permasalahan yang

diberikan. Bagi masalah pengujian dimana H0 dan H

1 diberikan, pelajar boleh terus menggunakan

prosedur pengujian.

Contoh 6.4

Seorang penyelidik telah ditugaskan untuk melakukan penyelidikan ke atas gaji permulaan

pekerja bertaraf eksekutif sebuah syarikat swasta yang terdiri daripada dua kumpulan, iaitu:

(i) Kumpulan A mempunyai kelayakan akademik setakat diploma professional, dan

(ii) Kumpulan B pula mempunyai kelayakan akademik ijazah am.

124 OUM



Penyelidikan adalah bagi dua tujuan berikut:

(a) Untuk mengetahui wujudnya perbezaan gaji mula kumpulan A dan kumpulan B; dan

(b) Untuk mengetahui sama ada gaji mula kumpulan A lebih rendah daripada gaji mula kumpulan

B.

Dua sampel rawak tak bersandar telah diambil dari masing-masing populasi kumpulan:

• Sampel A: terdiri daripada 60 orang telah diambil dengan purata gaji permulaannya

adalah RM1167.00 sebulan dan sisihan piawainya RM150.00.

• Sampel B: terdiri daripada 64 orang telah diambil dengan purata gaji permulaannya

RM1200.00 sebulan dan sisihan piawainya RM100.00.

Ujikan pada aras keertian 5%.

Jawapan:

Bagi kedua-dua tujuan di atas, tidak ada dinyatakan amaun/kuantiti perbezaan min kedua

populasi. Kita boleh andaikan 0= 0 dalam membuat pelarasan hipotesis. Bagi tujuan di atas,

parameter populasi yang dikaji ialah min populasi kumpulan masing-masing.

(a) Untuk mengetahui wujudnya perbezaan gaji mula Kumpulan A dan Kumpulan B.

Langkah 1: Seperti yang dimaklumkan, parameter populasi yang hendak diuji

perbandingannya ialah min populasiA dan

B.


Langkah 3: Perumusan hipotesis: Perbandingan yang dimaksudkan adalah termasuk dalam

kes “perubahan tidak berarah” kerana beliau setakat hendak tahu wujudnya

perbezaan.

Dengan demikian, ujaran:

“wujud perbezaan” ungkapan B A

, tuliskan:

H1:

B A; dan

H0:

B =

A; (pelengkap)

Ujian di sini adalah ujian dua hujung. Pelarasan hipotesis:

H0:

B –

A = 0; H

1:

B –

A 0;

Langkah 4: Walaupun RT tidak diberikan , namun aras keertian diberikan sebagai 0.05.

Dengan demikian anda boleh menghitung nilai kebarangkalian p ATAU pun

membina RT untuk pengujian.

OUM 125



RT bagi ujian dua hujung ini (Sila lihat Jadual 6.3b & 6.3c Bab 4, Unit 2) adalah:

RT = {z : z –1.96 } {z : z 1.96 }

Langkah 5: Walaupun populasi induk tidak diandaikan tertabur normal dengan varians populasi

anu, tetapi kedua-dua saiz sampel besar, dan dengan Teorem Had Memusat,

taburan populasi boleh diandaikan menghampiri normal. Oleh itu, statistik ujian

2 1B X X adalah skor Z (lihat persamaan (6.2a) S3,dengan 0 = 0) yang

mana:.

(6.5)


Langkah 6: Keputusan ujian bila H0 benar. Berasaskan maklumat sampel yang diberi, nilai

skor B yang diberikan oleh (6.5) sebagai:

Keputusan ujian:

Oleh sebab nilai zB = 1.45 < 1.96, maka H

0 diterima secara signifikan.


Maklumat sampel memberi bukti yang kukuh bahawa gaji permulaan kedua-dua

kumpulan pekerja adalah tidak berbeza.

(b) Untuk mengetahui sama ada gaji mula Kumpulan A lebih rendah daripada gaji

mula Kumpulan B.

Langkah 1: Seperti yang dimaklumkan, parameter populasi yang hendak diuji

perbandingannya ialah min populasi A dan

B.


126 OUM




Perbandingan yang dimaksudkan adalah termasuk dalam kes “perubahan

berarah” kerana beliau hendak tahu wujudnya kelebihan min populasi B. Dengan

demikian, ujaran:

“gaji mula kumpulan A lebih rendah daripada gaji mula kumpulan B”

ungkapan B >

A, tuliskan:

• H1:

B>

A; Ujian di sini adalah ujian satu hujung kanan.

• H0:

B A; (pelengkap)

Pelarasan hipotesis:

(a) H1:

B >

AH

1:

B –

A > 0;

(b) H0:

B AH

0:

B –

A 0;

Langkah 4: Walaupun RT tidak diberikan , namun aras keertian diberikan sebagai 0.05.

Dengan demikian anda boleh menghitung nilai kebarangkalian p ATAU pun

membina RT untuk pengujian.

RT bagi ujian dua hujung ini (Sila lihat Jadual 6.3b & 6.3c Bab 4, Unit 2) adalah:

RT = {z : z 1.645 }

Langkah 5: Walaupun populasi induk tidak diandaikan tertabur normal dengan varians populasi

anu, tetapi kedua-dua saiz sampel besar, dan dengan Teorem Had Memusat,

taburan populasi boleh diandaikan menghampiri normal. Oleh itu, statistik ujian

2 1B X X adalah skor Z (lihat (6.2a) S3, dengan 0 = 0) yang mana:

(6.5)


Langkah 6: Keputusan ujian bila H0 benar.

Berasaskan maklumat sampel yang diberi, nilai skor B diberi oleh (6.5) sebagai:

OUM 127



RUMUSAN

Dalam bab ini, anda telah mempelajari konsep pengujian hipotesis bagi perbandingan parameter min

bagi sesuatu populasi. Pelbagai contoh telah diberikan. Pelajar hendaklah memerhatikan perubahan

(berarah atau tidak) parameter yang diberi dan mencamkan perbandingan yang sepadan dengannya.

Seterusnya, barulah perumusan hipotesis dibuat disertai dengan pelarasan yang sesuai.

Keputusan ujian:

Oleh sebab nilai zB = 1.45 < 1.645, maka H

0 diterima secara signifikan.

Langkah 7: Kesimpulan pengujian:Maklumat sampel memberi bukti yang kukuh bahawa gaji

mula kumpulan B tidak melebihi gaji mula kumpulan A. Adapun perbezaan purata

gaji sampel pekerja yang diperolehi adalah secara kebetulan.

Untuk melihat rumusan bagi Ujian Hipotesis ke atas dua min populasi, dalam

bentuk carta alir, sila lihat laman web ini:

http://www.stat.psu.edu/~resources/Flowcharts/mxc_03/sld001.htm

Latihan 6.3

Satu peperiksaan khas menilai kefahaman Bahasa Inggeris telah diberikan kepada

dua kumpulan pelajar daripada sebuah sekolah menengah. Kumpulan A terdiri

daripada 24 orang pelajar aliran sastera, dan kumpulan B pula 22 orang pelajar

aliran sains. Purata markah pelajar kumpulan A adalah 80 markah dengan sisihan

piawainya 8 markah, sementara kumpulan B mendapat purata markah 78 dengan

sisihan piawainya 9 markah. Dengan menganggap taburan markah bagi kedua-dua

kumpulan adalah normal dan varians populasi yang sama, ujikan pada aras keertian

5% sama ada wujud perbezaan min populasi dua populasi tersebut.

128 OUM


PERBANDINGAN PERKADARAN POPULASI BAB 7

BAB 7 PERBANDINGAN PERKADARANPOPULASI

PENGENALAN

Dalam Bab 6, kita telah membincangkan perbandingan parameter min bagi dua populasi pemboleh

ubah yang diminati. Di dalam bab ini, kita akan membincangkan tentang perbandingan perkadaran

dua populasi.

OBJEKTIF


1. menerangkan konsep hipotesis serta membuat pernyataannya;

2. mencari aras keertian, statistik ujian dan boleh membina rantau penolakan;

3. menerangkan Ralat Jenis I dan II juga kuasa ujian serta boleh menghitung saiznya;

4. menentukan jenis ujian dan rantau penolakan hipotesis nol; dan

5. menentukan nilai p bagi pengujian hipotesis.

7.1 KONSEP PERBANDINGAN PERKADARAN

Perbandingan perkadaran biasanya berlaku dalam kes “populasi binomial”. Populasi binomial

bermaksud, populasi itu mengandungi ahli daripada satu atribut tertentu dan selebihnya bukan daripada

atribut tersebut.

Contoh 7.1:

• Populasi 1 ialah populasi individu pekerja yang mengalami sakit jantung daripada sebuah

syarikat A dimana ahli-ahlinya terdiri daripada individu yang menghisap rokok dan juga tidak

menghisap rokok. Fenomena menghisap rokok boleh dianggap sebagai satu atribut dalam

populasi tersebut. Seterusnya parameter perkadaran populasi daripada atribut menghisap

rokok boleh ditanda dengan 1.

• Populasi 2 pula adalah populasi yang tipikal daripada syarikat B dengan perkadaran penghisap

rokok sebagai 2 Sebagai parameter populasi,

1dan

2 adalah parameter yang lazimnya

anu yang masing masingnya perlu di anggar dengan perkadaran sampel masing-masing 1

dan2.

Untuk tujuan ini:

• sampel rawak bersaiz n1 boleh diambil daripada populasi 1 dengan;

OUM 129


BAB 7 PERBANDINGAN PERKADARAN POPULASI

adalah bilangan perokok dalam sampel.

• Seterusnya, sampel rawak bersaiz n2boleh diambil daripada populasi 2 dengan

adalah bilangan perokok dalam sampel populasi 2.

Kedua-dua sampel diandaikan tak bersandar. Perbandingan perkadaran populasi yang boleh

dibuat adalah:

1<

2 dan

1>

2

Perbandingan lain seperti dinyatakan dalam Jadual 7.1

Pada pendapat anda apakah parameter dan atribut populasi yang di bandingkan di

dalam contoh di atas?

Jadual 7.1: Contoh Bandingan Perkadaran Populasi

Latihan 7.1

Merujuk kepada contoh yang diberikan dalam Bab 6, berkenaan umur prasiswazah

tahun 1 UNITEM sesi 2002/2003 sebagai populasi 1 dan umur prasiswazah tahun

1 UKM sebagai populasi 2.

(i) Namakan satu atribut bagi populasi 1 dan populasi 2.

(ii) Dengan atribut yang anda pilih, berikan contoh ujaran bandingan perkadaran

populasi berserta dengan ungkapan matematik yang sesuai.

130 OUM



Dapat diperhatikan bahawa ungkapan untuk H0selaluya mengandugi ujaran kesamaan lengkap

atau ketaksamaan separa.

7.2.1 Pelarasan Hipotesis

Pelarasan hipotesis perlu dibuat supaya dapat disesuaikan dengan statistik ujian yang sepadan, dan

seterusnya mencamkan taburan statistik ujian itu sebelum mengikuti prosedur selanjutnya dalam

pengujian hipotesis. Adapun langkah-langkah pegujian hipotesis yang telah dibincangkan dalam Unit

2 bagi kes satu populasi masih digunakan; dengan perubahan hanya berlaku pada ungkapan statistik

ujian. Jadual 7.4 memaparkan pelarasan hipotesis untuk pelbagai bandingan parameter perkadaran

populasi sebagai lanjutan kepada ungkapan H0 untuk pelbagai bandingan nilai .

Secara umum, diberikan dalam Jadual 7.2 pelbagai bandingan yang mungkin bagi parameter

perkadaran populasi, dengan subskrip 1 dan 2 masing-masing untuk populasi 1 dan 2.

Jadual 7.2: Perbandingan Nilai Perkadaran

7.2 HIPOTESIS NOL DAN HIPOTESIS PILIHAN

Selepas mengenal pasti bentuk perbandingan parameter populasi seperti dalam Jadual 7.1 atau 7.2,

langkah selanjutnya adalah menulis atau merumus hipotesis nol, H0 dan hipotesis pilihan, H

1yang

sesuai. Petua perumusan kedua hipotesis yang dibincangkan dalam Unit 1 masih digunapakai. Selepas

itu barulah ditentukan pula statistik ujian yang berpadanan. Jadual 7.3 memberikan rumusan hipotesis

untuk pelbagai hubungan bagi parameter perkadaran populasi .

Jadual 7.3: Ungkapan Hipotesis

OUM 131



Dalam masalah pengujian hipotesis yang melibatkan parameter daripada dua populasi, penentuan

hipotesis pilihan lazimnya bersesuaian dengan perbandingan nilai dua parameter tersebut yang dituntut

atau memerlukan pengujian kebenaran perbandingan nilai itu berasaskan sampel rawak tak bersandar

yang diambil daripada populasi masing-masing. Contoh perbandingan parameter diberikan dalam

Jadual 7.1 dan 7.2.

Tujuan asal ujian adalah untuk membuat penerimaan atau penolakan H1. Bagaimanapun

pengukuran dalam pengujian statistik agak sukar bagi hipotesis ini yang nilainya dinyatakan dalam

julat tertentu. Oleh yang demikian, pengujian statistik dilakukan ke atas H0 , yang mana kesannya

apabila H0 ditolak pada aras keertian tertentu, maka ketika yang sama bermaksud menerima hipotesis

H1. Oleh sebab itu, perumusan H

1 dan H

0seperti dalam Jadual 7.3, dan pelarasannya seperti pada

Jadual 7.4 hendaklah dibuat dengan teliti supaya keputusan yang dibuat berasaskan sampel adalah

‘bertepatan’ dengan (seolah-olah menyokong) H1.

Berikut diberikan empat kategori ujaran bagi parameter min populasi sebagai contoh, dan dikaitkan

dengan pernyataan hipotesis.

(ujaran ini boleh juga diguna pakai untuk parameter perkadaran populasi):

7.2.2 Pemilihan Ungkapan Hipotesis

Apakah yang akan terjadi sekiranya ungkapan hipotesis tidak dipilih dengan betul?

132 OUM



Perhatikan bahawa setiap pernyataan H0 mengandungi tanda kesamaan lengkap, atau ketaksamaan

separa.

Contoh 7.2

Satu kaedah baru pengajaran statistik telah direka oleh seorang professor di sebuah universiti

tempatan. Kaedah in telah diuji ke atas 150 orang pelajar sebuah kolej swasta dengan

keputusan 60% daripada pelajar tersebut memperakui bahawa kaedah di atas sungguh

berkesan dan mudah mengikuti pelajaran statistik. Untuk perbandingan, kumpulan lain terdiri

dari 120 orang pelajar dari kolej swasta yang sama telah diajar dengan kaedah biasa/tradisional

dengan keputusan hanya 40% memperakui boleh mengikuti pelajaran statistik. Tuliskan

hipotesis nol dan alternatif yang sesuai untuk menguji keberkesanan kaedah pengajaran yang

baru.

Jawapan:

Dapat diperhatikan daripada masalah yang diberi bahawa:

(a) tiada cerapan diberikan,

(b) angka 60% dan 40% menunjukkan perkadaran populasi adalah parameter yang

dibandingkan.

(c) Dalam kes ini, = 0.6 adalah anggaran perkadaran populasi 2 dan ia adalah lebih

besar daripada = 0.4, anggaran perkadaran populasi 1.

Hal ini bersesuaian dengan wujudnya keberkesanan kaedah baru pengajaran.

Andaikan:

Kumpulan 150 orang pelajar yang diberikan kaedah baru pengajaran sebagai sampel

rawak dari populasi 2.

Sementara 120 orang lagi adalah sampel rawak dari populasi 1.

Andaian di sini ialah kedua-dua sampel rawak adalah tak bersandar.

Daripada pemerhatian di atas dan kaedah pemilihan ungkapan hipotesis (u3), maka berikut

adalah hipotesis yang sesuai:

OUM 133



7.3.1 Statistik Ujian Bagi Pengujian Beza Perkadaran Populasi, 2 –

1

Latihan 7.2

Nyatakan dua populasi binomial yang mempunyai suatu atribut yang sama. Nyatakan

juga atribut itu.

Kemudian bandingkan perkadaran atribut tersebut dengan memilih salah satu ujaran

perbandingan serta ungkapan matematik perbandingan dalam Jadual 4.4.

7.3 RANTAU PENOLAKAN, ARAS KEERTIAN DAN NILAI P

Oleh sebab penentuan rantau penolakan dan aras keertian berkaitrapat dengan statistik ujian, maka

eloklah dimulakan perbincangan tentang statistik ujian. Dalam pegujian hipotesis, sampel rawak

biasanya digunakan sebagai asas ujian sama ada hendak menolak atau menerima hipotesis nol H0

pada aras yang ditentukan. Ini bermakna pengujian hipotesis ini melibatkan antara lain:

(a) taburan pensampelan yang telah dipelajari dalam Unit 1, dan

(b) statistik yang digunakan dalam pengujian yang dinamakan statistik ujian.

Statistik ujian biasanya dipilih bersesuaian dengan parameter populasi yang dibincang dalam

permasalahan. Statistik ini sebenarnya adalah penganggar titik kepada parameter populasi yang

sedang dibincang itu. Umpamanya, untuk pengujian beza perkadaran populasi seperti dalam ungkapan

hipotesis nol H0:

2 –

1= 0.

Maka statistik ujian yang digunakan adalah beza perkadaran sampel yang diambil

daripada populasi masing-masing iaitu :

Statistik

Pada pendapat anda, apakah perbezaan diantara pengujian hipotesis ke atas parameter

min dan parameter perkadaran?

Hipotesis nol bagi ujian ini adalah seperti dalam Jadual 7.4 dimana, bagi pelbagai kes

perbandingan adalah:

H0:

2 –

1= 0

134 OUM



Untuk saiz sampel besar bagi kedua-dua sampel, dan dengan Teorem Had Memusat (Sila rujuk Unit

1), maka:

Statistik tertabur normal atau hampir normal

yang mana .

Apabila H0 benar, varians diberikan oleh:

yang mana,

,

dengan:

• adalah perkadaran atribut bagi sampel 1 saiz n1, dan

• pula perkadaran atribut sampel 2 bersaiz n2.

Bagaimanapun, penghampiran taburan normal di atas adalah baik jika syarat-syarat berikut dipenuhi:

• n1 1

5, n1(1 –

1) 5, dan

• n2 2

5, n2(1 –

2) 5.

Semakin besar saiz sampel n1 dan n

2 maka semakin baik penghampiran.

Adapun, jika kedua-dua syarat tersebut tidak dipenuhi, maka nilai kebarangkalian penolakan H0

bolehlah dihitung daripada jadual taburan binomial.

Dalam bab ini hanya dibincangkan sampel rawak saiz besar sahaja.

Oleh itu apabila H0 benar, statistik ujian adalah ujian skor Z yang mana:

(7.1)

dan tertabur normal piawai N(0, 1).

OUM 135



7.3.2 Penolakan/Penerimaan Hipotesis nol H0

Kaedah dan prosedur pengujian hipotesis ke atas parameter perkadaran populasi adalah sama seperti

kes parameter min populasi khususnya bagi kes saiz sampel besar.

Oleh itu, dalam bab ini, tidak akan dibincangkan perkara berhubung dengan:

(a) Rantau Penolakan

(b) Nilai kebarangkalian p,

(c) Ralat I, dan Ralat II.

Maka, pemahaman yang baik tentang kaedah dan prosedur pengujian hipotesis perbezaan parameter

min adalah sangat penting untuk membantu para pelajar dalam mempelajari pengujian parameter

perkadaran.

Contoh 7.3

Sebanyak 200 barangan keluaran kilang A telah diperiksa dan didapati 2% daripadanya rosak.

Sementara sampel 300 barangan yang sama dari kilang B pula mengandungi 3% barangan yang

rosak. Adakah boleh disimpulkan bahawa barangan kilang A adalah lebih baik. Ujikan pada

aras keertian 0.05.

Jawapan:

Langkah 1: Perkara yang diminati adalah peratus barangan rosak. Ini menunjukkan parameter

perkadaran yang hendak diuji. Katakan 2 adalah perkadaran barangan rosak

dalam populasi barangan kilang A, dan 1 pula perkadaran barangan rosak

dalam populasi barangan kilang B.

Langkah 2: Sampel yang diambil daripada populasi masing-masing adalah bersaiz besar,

maka taburan pensampelan perkadaran boleh dianggap/ menghampiri normal.


Dalam masalah ini dinyatakan:

"Barangan kilang A lebih baik daripada kilang B"

Oleh itu tuliskan:

, dan lawannya .

Ini adalah ujian satu hujung kiri. Seterusnya dilaraskan menjadi:

.

Langkah 4: Aras keertian = 0.05, diberikan. Dengan demikian daripada jadual taburan

normal piawai, nilai genting untuk ujian satu hujung kiri:

136 OUM



Langkah 5: Statistik ujian and taburannya.

Kedua-dua sample bersaiz besar, dengan:

, dan

,

dan

Maka statistik ujian adalah skor Z yang mana:

dan tertabur normal piawai N(0, 1).

Iaitu:

Langkah 6: Keputusan ujian bila H0 benar.

Berasaskan maklumat sampel yang diberi,

Keputusan ujian:

Oleh sebab:

nilai , maka:

H0 diterima pada aras keertian 0.05.

Ini bermaksud:

ditolak pada aras 5%.

Jelasnya; dakwaan berikut ditolak:

"perkadaran barang rosak dalam populasi barangan kilang A itu lebih kecil

daripada perkadaran barang rosak dalam populasi barangan kilang B"


Maklumat sampel tidak dapat memberi bukti/sokongan yang kukuh bahawa

barangan dari kilang A lebih baik daripada kilang B.

OUM 137



RUMUSAN

Dalam bab ini, anda telah mempelajari konsep pengujian hipotesis bagi perbandingan perkadaran

sesuatu populasi. Pelbagai perbandingan telah diberikan. Pelajar hendaklah memerhatikan perubahan

parameter yang diberi (samada berarah atau tidak) dan mencamkan perbandingan yang sepadan

dengannya. Akhirnya, barulah perumusan hipotesis dibuat disertai dengan pelarasan yang sesuai.

138 OUM


SOALAN TUTORIAL

SOALAN TUTORIAL

1. Satu peperiksaan telah diberikan kepada 50 orang pelajar dari Kelas A dan 70 orang pelajar

dari Kelas B. Min markah pelajar Kelas A ialah 78 dengan sisihan piawai 8. Purata markah

pelajar Kelas B pula ialah 80 dengan sisihan piawai 7. Uji pada aras 5% sama ada prestasi

Kelas B lebih baik dari Kelas A.

2. Dalam sampel 500 orang pelajar lelaki bayaan (batch) pertama program prasiswazah 300

orang adalah menghisap rokok. Sedangkan dalam sampel 800 orang bayaan kedua program

yang sama pula 420 orang adalah menghisap rokok. Adakah terdapat perbezaan budaya merokok

bagi kedua-

OUM 139


JAWAPAN LATIHAN

BAB 6: PERBANDINGAN MIN POPULASI

Latihan 6.1

Sila bincangkan jawapannya di dalam kelas.

Latihan 6.2


Latihan 6.3

Langkah 1: Seperti yang dimaklumkan, parameter populasi yang hendak diuji perbandingannyaialah min populasi

A dan

B.

Langkah 2: Taburan populasi diandaikan normal, dengan varians kedua-dua populasi anu tetapidiandaikan sama nilainya.

Langkah 3: Perumusan hipotesis.Perbandingan yang dimaksudkan adalah termasuk dalam kes “perubahan tidakberarah” kerana beliau hanya ingin tahu wujudnya perbezaan min populasi. Dengandemikian, ujaran:

“wujud perbezaan” Û ungkapan mB ¹ m

A,

Tuliskan:H

1:

B A; dan

pelengkap, H0:

B =

A.

Ujian di sini adalah ujian dua hujung. Pelarasan hipotesis:

H0:

B –

A = 0; H

1:

B –

A 0;

Langkah 4: Walau pun RT tidak diberikan , namun aras keertian diberikan sebagai 0.05. Dengandemikian anda boleh menghitung nilai kebarangkalian p ATAU pun membina RT untukpengujian. Dalam kes ini terdapat keadaan berikut:

(a) Varians populasi 21 dan 2

2 tidak diketahui dan 2 21 2 ,

(b) kedua dua sampel kecil (n1 < 30, n

2< 30 ),

(c) Sampel rawak 1 dan sampel rawak 2 tak bersandar, maka statistik B mengikutitaburan t dengan darjah kebebasan

v = 24 + 22 – 2 = 44, dan bila H0 benar varians 2

B dianggar oleh varians

tergembleng:

140 OUM


JAWAPAN LATIHAN

2 2 2 22 1 1 2 2

1 2

( 1) ( 1) 23(8 ) 21(9 )72.11

2 44B

n S n SS

n n.

RT bagi ujian dua hujung ini adalah:

RT = {t : z – 2.0154 } {t : z 2.0154 }

Langkah 5: Seperti diterangkan dalam langkah Langkah 4, statistik ujian

2 1B X X adalah ujian skor T yang mana;

2 1

2 1

1 1B

X XT

Sn n

(1.6)

dan mengikuti taburan t dengan darjah kebebasan v = 44.

Langkah 6: Keputusan ujian bila H0 benar. Berasaskan maklumat sampel yang diberi, nilai skor B

diberi oleh (1.6) sebagai:

2 1

78 800.7979

1 1 1 1(72.11)

22 24

B AB

B

X XT

Sn n

Keputusan ujian:

Oleh sebab nilai 2.0154 0.7979 2.0154B

T , maka H0 diterima secara

signifikan.


Maklumat sampel memberi bukti yang kukuh bahawa kumpulan B dan kumpulan Atiada perbezaan min markah. Adapun perbezaan purata markah sampel murid yangdiperolehi adalah secara kebetulan.

BAB 7: PERBANDINGAN PERKADARAN POPULASI

Latihan 7.1


Latihan 7.2


biostatistik

Documents