BEBERAPA NASKAH KUNOBEBERAPA NASKAH KUNOBEBERAPA NASKAH KUNOBEBERAPA NASKAH KUNO MATEMATIKAMATEMATIKAMATEMATIKAMATEMATIKA

Sumardyono, M.Pd.

Plimpton 322

Bangsa-bangsa yang menetap di Mesopotamia (sekarang daerah Iraq dan sekitarnya)

antara lain Sumeria, Assiria, dan Babilonia. Tetapi yang memiliki pengetahuan matematika yang tinggi adalah Babilonia, terutama masa Nebukadnezar. Tidak kurang dari 50.000

naskah-naskah kuno (kebanyakan di batu) yang tersimpan di Yale, Columbia, dan Paris berasal dari jaman Babilonia. Sebanyak 300-an di antaranya tentang matematika, yang

meliputi 200 naskah berisi tabel matematika.

Di Universitas Columbia, terdapat katalog hasil olahan naskah-naskah kuno

Mesopotamia oleh G. A. Plimpton yang berisi masalah matematika. Katalog itu bernomor 322 sehingga dikenal sebagai Plimpton 322. Naskah tersebut berisi tabel matematika dari

jaman antara 1900 SM hingga 1600 SM.

Naskah Plimpton 322 disusun kembali oleh Neugebauer dan Sache tahun 1945, dan

ternyata memiliki tabel yang menakjubkan. Tabel pada naskah itu terdiri atas tiga kolom

bilangan, yang ternyata bersesuaian dengan tripel Pythagoras, yaitu a2 – b

2 dan c

2 = a

2 + b

2 ,

di mana bilangan-bilangan a dan b yang bersesuaian merupakan bilangan-bilangan prima

relatif dan membentuk tripel Pythagoras bersama harga c. Dengan cara lain, triple yang

bersesuaian dengan tabel Plimpton ini adalah (2uv)2 + (u – v)2 = (u + v)2, yang oleh Anglin

disebut Tripel Babilonia. Sifat menarik lainnya, tabel ini ternyata menunjukkan harga yang

sangat dekat dengan nilai sec2 A, dengan A menurun dari 45

o hingga 31

o .

Selain Plimpton 322, terdapat pula prasasti yang dikenal dengan naskah Yale (200

SM), yang berisi tabel n3 + n

2 untuk menyelesaikan persamaan, termasuk persamaan kubik

bahkan persamaan simultan yang menuju ke persamaan kuartik. Juga ada prasasti Susa yang

menampilkan perbandingan luas dari segibanyak bersisi 3, 4, 5, 6, dan 7. Dari sini pula kita

temukan perbandingan segitujuh beraturan dengan lingkaran, yang menunjukkan bilangan

31/8 sebagai hampiran untuk harga π.

Papirus Ahmes atau Papirus Rhind

Kebanyakan peninggalan naskah matematika Mesir Kuno berupa papirus. Ada banyak papirus matematika, beberapa yang terpenting berkenaan dengan matematika adalah Papirus

Ahmes dan Papirus Moskow.

Ahmes adalah nama penulis sebuah papirus Mesir Kuno yang terkenal. Papirus

Ahmes yang berasal dari 1650 SM, juga dikenal dengan nama Papirus Rhind. Alexander Rhind memperolehnya di Mesir tahun 1858 dan disimpan Museum Britis tahun 1865. Papirus

ini berisi 85 soal matematika.

Kebanyakan pecahan dari naskah Mesir memiliki pembilang satu, sehingga pecahan

yang berbentuk resiprokal, n

1 kini disebut dengan Pecahan Mesir atau Pecahan Unit (Unit

Fractions). Pecahan-pecahan lain dinyatakan sebagai jumlah pecahan-pecahan berpembilang

satu. Pada Papirus Ahmes terdapat tabel bilangan berbentuk n

2 , untuk n = 5 hingga 101.

Diperkirakan penguraian diperoleh dengan menggunakan rumus:

2

)1(

2

1

2 11

+++=

nnnn

atau

22

2

.

1

.

1

qpqppqqp

+++=

. Disinyalir Bangsa Mesir Kuno juga telah mengenal bilangan negatif.

Positif dengan lambang kaki melangkah ke kiri, sedang negatif dengan kaki melangkah ke kanan.

Soal-soal Papirus Ahmes menunjukkan pengetahuan bangsa Mesir Kuno akan penggunaan “the rule of three” (Aturan Tiga), yaitu penggunaan perbandingan senilai.

Dengan notasi kita, a/b=

x/c maka x =

a/b. c . Soal-soal Papirus Ahmes juga memuat

penggunaan “the rule of false position” (metode posisi salah). Suatu soal menyatakan:

Terdapat sekumpulan benda. Jumlah setengah bagian, sepertiga bagian, dan seperempat bagiannya sama dengan 26. Berapa banyak kumpulan benda itu? Soal ini diselesaikan penulis

dengan metode posisi salah. Sebut saja dulu banyak benda 12. Tetapi ini berakibat jumlah

setengah bagian, sepertiga bagian, dan seperempat bagiannya sama dengan 13. Karena 26 = 2

× 13, maka jumlah benda yang benar adalah 2 × 12 yaitu 24. Papirus Ahmes, terutama pada soal nomor 56, juga menunjukkan perhatian pada dasar-dasar trigonometri serta teori

similaritas segitiga.

Pada kebanyakan papirus, perkalian dilakukan dengan cara penjumlahan kelipatan

dua. Metode ini dengan bentuk yang lebih baik kini dikenal sebagai Metode Perkalian Petani

Rusia. Contohnya untuk perkalian 70 × 13 dikerjakan seperti di bawah ini. Bilangan kolom

pertama dikali dua, bilangan kolom kedua dibagi dua dengan mengabaikan sisa 1.

70 13 /

140 6

280 3 / 560 1 /

Maka jumlah bilangan kolom pertama yang bersesuaian dengan bilangan ganjil di kolom

kedua menunjukkan hasil perkalian: 70 × 13 = 70 + 280 + 560 = 910. Pembagian juga

dilakukan dengan cara melipatduakan seperti itu.

Bangsa Mesir Kuno, juga mengenal masalah persamaan kuadrat, dan penyelesaiannya

menggunakan Metode Posisi Salah. Dari soal-soal geometri pada Ahmes (dan Moskow) disimpulkan bahwa bangsa Mesir Kuno telah mengenal rumus-rumus menentukan luas dan

volum, walaupun ada rumus yang kurang tepat. Luas lingkaran mereka nyatakan sebagai kuadrat dari

9

8 kali diameter lingkaran.

Kebanyakan informasi matematika berasal dari Papirus Ahmes (atau Rhind) dan

Moskow. Selain itu ada beberapa sumber lain yang sering dikutip, seperti Papirus Kahun (1950 SM), Papirus Berlin (berusia sama dengan Kahun), dua Tabel dari Akhmim (Kairo)

berusia 2000 tahun SM, Gulungan kulit berisi pecahan unit, dan sebuah penanggalan dari periode Hyksos.

Sulvasutra

Bangsa Vedic memasuki India sekitar 1500 SM dari daerah yang kini dikenal sebagai

Iran. Nama Vedic diambil dari nama kumpulan catatan suci mereka yang dikenal sebagai Vedas yang berasal dari tahun 15 hingga 5 tahun SM. Naskah Sulvasutra merupakan salah

satu lampiran Vedas. Sulvasutra ditulis oleh seorang ahli tulis pada jamannya, tetapi kita tak

dapat mengetahui siapa penulisnya bahkan kapan penulisnya itu hidup. Kebanyakan naskah-

naskah lain menggunakan nama yang sama, yaitu Baudhayana Sulvasutra yang ditulis sekitar

800 SM, Apastamba Sulvasutra yang ditulis sekiar 600 SM, Manava Sulvasutra (750 SM),

dan Katyayana Sulvasutra (200 SM). Soal-soal dalam Sulvasutra ada yang tepat dan ada

yang hanya pendekatan, tetapi sayang tidak ada bukti yang mereka berikan.

Pada Baudhayana terdapat kasus khusus Teorema Pythagoas: Tali yang dihubungkan

sepanjang diagonal sebuah bujursangkar menghasilkan bujursangkar yang luasnya dua kali

bujursangkar semula. Sementara dalam Katyayana terdapat ilustrasi yang lebih umum yaitu

pada persegipanjang.

Di dalam Sulvasutra banyak digunakan Tripel Pythagoras, seperti: (5, 12, 13), (12, 16,

20), (8, 15, 17), (15, 20, 25), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (5/2, 6,

13/2), dan (

15/2, 10,

25/2). Di

dalam Sulvasutra juga terdapat banyak soal tentang konstruksi bangun geometri yang

memiliki luas sama dengan bangun geometri yang lain. Salah satunya adalah diberikan dua

bujursangkar berbeda, lalu diminta sebuah bujursangkar lain yang memiliki luas sama dengan

jumlah luas kedua bujursangkar tadi. Soal ini terdapat pada semua Sulvasutras yang

dikerjakan dengan menggunakan Teorema Pythagoras.

Masalah konstruksi lain adalah membuat bujursangkar yang luasnya sama dengan

persegipanjang yang diberikan. Berikut ini versi dari Baudhayana. Diberikan persegipanjang

ABCD. Tentukan L sehingga AL = AB. Lalu buat bujursangkar ABML. Kemudian tentukan

X dan Y yang membagi dua LMCD. Selanjutnya, pindahkan XYCD ke posisi MBQN.

Lengkapi bujursangkar AQPX. Masih ada yang perlu dikerjakan, yaitu rotasikan PQ dengan pusat Q hingga memotong di titik R. Nah, buatlah bujursangkar dengan panjang BR, yaitu

QEFG. Bujursangkar inilah yang dicari.

Semua Sulvasutra memuat metode membujursangkarkan lingkaran (menentukan

bujursangkar yang luasnya sama dengan lingkaran yang diberikan). Tetapi metode Sulvasutra hanya pendekatan saja, di mana ia membentuk bujursangkar dengan panjang sisi 13/15 kali

diameter lingkaran yang diberikan. Ini memberikan pendekatan π sebesar 3,004444 yang jauh dari nilai sebenarnya, bahkan lebih tepat pendekatan yang diberikan orang Babilonia.

Sebenarnya terdapat berbagai pendekatan nilai π dalam Sulvasutra bahkan dalam tulisan

yang sama. Penulisnya berpikir tentang konstruksi pendekatan, bukan pada penentuan nilai π

yang tepat, sehingga kita mendapatkan berbagai pendekatan nilai π yang berbeda-beda.

Contohnya, dalam Baudhayana Sulvasutra menggunakan nilai 676

/225, juga ada 900

/289 dan 1156/361. Sedang pada sulvastra yang lain, terdapat nilai pendekatan 2,99; 3,00; 3,004; 3,029;

3,047; 3,088; 3,1141; 3,16049; dan 3,2022. Dalam Manava sulvasutra terdapat pendekatan 25/8 = 3,125.

Apastamba maupun Katyayana menyuguhkan pendekatan akar 2, berikut ini:

Tambahkan satuan panjang dengan sepertiganya dan seperempat dari sepertiga tsb lalu

dikurangi sepertiga puluh empat dari seperempat tsb. Bila ditulis: 2 = 1 + 1/3 +

1/(3 × 4) –

1/(3

× 4 × 34) = 577

/408 = 1,414215686 (untuk 9 tempat desimal). Nilai ini tepat hingga 5 tempat

desimal.

Kita tidak mengetahui bagaimana penulis sulvasutra mendapatkan pendekatan 2 ini.

Dalam sulvasutra, terdapat pula cara membuat lingkaran yang mendekati luas sebuah

bujursangkar. Pandang bujursangkar ANCD. Titik O perpotongan diagonal-diagonal

bujursangkar. OE sejajar AD dan OE = OD. Buat titik Q di PE sehingga PQ = 1/3 PE. Maka

OQ adalah jari-jari lingkaran yang diminta.

Jiuzhang suanshu

Jiuzhang suanshu (atau Chu Chang Suansu Shu), , juga dikenal dengan terjemahan

“Nine Chapter On the Mathematical Art” merupakan buku yang terkenal dan bertahan lama (sekitar 1500 tahun) dalam sejarah matematika Cina. Tak diketahui dengan pasti kapan dan

oleh siap buku ini dibuat, tetapi kuat dugaan dibuat pada masa Dinasti Han (abad pertama masehi). Selain itu, ada buku Suan shushu (180 SM), dan Zhoubi suanshu (antara 100 SM

hingga 100 M) tetapi yang terkenal dan banyak dikomentari adalah Jiuzhang suanshu.

Banyak pengembangan yang muncul sebagai komentar terhadap buku ini. Termasuk

yang pertama adalah komentar dari Xu Yue (kira-kira 160-227 M) namun telah hilang.

Komentar yang terkenal dan penting adalah dari Liu Hui (220-280) pada tahun 263. Komentar penting berikutnya oleh Li Chunfeng sekitar tahun 640 ketika mengepalai tim

untuk mengumpulkan 10 buku matematika klasik Cina.

Buku ini memuat 246 soal yang dibagi ke dalam 9 bab. Untuk tiap soal terdapat kunci

penyelesaiannya, tanpa disertai metode penyelesaian. Soal-soal matematika itu berkaitan dengan kehidupan praktis sehari-hari.

Salah satu halaman Jiuzhang suanshu

Berikut ini deskripsi singkat mengenai isi setiap bab dari Jiuzhang suanshu.

Bab I (Fang tian) Bab II (Su mi) Bab III (Cui fen)

• Berisi 38 soal

• Metode menghitung luas tanah

• Berhubungan dengan komputasi bilangan

pecahan

• Terdapat algoritma

Euclid untuk

mendapatkan faktor

persekutuan terbesar dari

dua bilangan

• Soal 32 berisi pendekatan

nilai π yang akurat

• Berisi 46 soal

• Berkaitan dengan perbandingan (untuk

penukaran gandum/beras, buncis,

dan bibit)

• Berisi 20 soal

• Soal-soal mengenai distribusi proporsi

• Juga ada penggunaan barisan aritmetika dan barisan geometri

Bab IV (Shao guang) Bab V (Shang gong) Bab VI (Jun shu)

• Berisi 24 soal

• Soal menemukan panjang

sisi bila diketahui luas

atau volum (soal 1 hingga

11)

• Soal menemukan akar

kuadrat (soal 12 hingga

18) dan menemukan akar

kubik dari suatu bilangan

(soal 19 hingga 24)

• Terdapat ide mengenai

limit dan ketakhinggaan

• Berisi 28 soal

• Tentang perhitungan

untuk membangun

terusan, parit, dan lain-

lain.

• Membahas perhitungan

volum sejumlah bangun

ruang: prisma,

tetrahedron, tabung,

kerucut terpancung.

• Berisi 28 soal

• Mengenai perbandingan

• Kalkulasi tentang barang, pajak,

perjalanan, tenaga kerja, dan

berbagai masalah lain

Bab VII (Ying bu zu) Bab VIII (Fang cheng) Bab IX ('Gongu')

• Berisi 20 soal

• Penggunaan metode posisi salah (method of

false position) untuk menyelesaikan soal yang

sulit

• Berisi 18 soal

• Soal-soal sistem persamaan linier

• Penyelesaian menggunakan matriks

koefisien yang

diperluas, dengan cara

mirip Eliminasi Gauss

• Pengenalan konsep

bilangan positif dan

negatif

• Penjumlahan dan

pengurangan bilangan

positif dan negatif

• Berisi 24 soal

• Mendiskusikan Teorema Gougu (yaitu teorema Pythagoras) dan

sifat-sifat segitiga siku-siku • Soal 1 hingga 13 diselesaikan

menggunakan Teorema Pythagoras

• Dua soal menggunakan Tripel

Pythagoras dan soal-soal yang

lainnya berkaitan dengan

penggunaan segitiga-segitiga

sebangun

• Terdapat soal mengenai persamaan

kuadrat yang diselesaikan dengan

algoritma penarikan akar yang

dikenal Cina

Daftar Pustaka dan Bahan Bacaan

Anglin, W. S. 1994. Mathematics: A Concise History and Philosophy. New York: Springer-

Verlag.

Boyer, Carl B. 1968. A History of Mathematics. New York: John Wiley & Sons, Inc.

Cooke, R. 1997. The History of Mathematics. A Brief Cource. New York: John Wiley &

Sons, Inc. Dali S. Naga. 1980. Berhitung, Sejarah dan Perkembangannya. Jakarta: Gramedia

Eves, Howard. 1964. An Introduction to The History of Mathematics. New York: Holt, Rinehart, & Winston, Inc.

O`Connor, J. J. & Robertson, E. F. 1999. kumpulan esai dalam http://www-history.mcs.st-andrew.ac.uk/history/HistTopic/ & dalam http://www-history.mcs.st-

andrews.ac.uk/history/Mathematics/ Sitorus, J. 1990. Pengantar Sejarah Matematika dan Pembaharuan Pengajaran Matematika

di Sekolah. Bandung: Tarsito.