bab statistika

STATISTIKA

BAB

1 Standar Kompetensi

1. Membaca data dalam bentuk tabel dan diagram batang, garis, lingkaran, dan ogive.

2. Menyajikan data dalam bentuk tabel dan diagram batang, garis, lingkaran, dan ogive serta penafsirannya

3. Menghitung ukuran pemusatan, ukuran letak, dan ukuran penyebaran data, serta penafsirannya.

Kompetensi Dasar

Mengidentifikasi nilai suatu data yang

ditampilkan pada tabel dan diagram.

Menyajikan data ukuran dalam bentuk

diagram batang, garis, dan lingkaran.

Menyajikan data tunggal dalam tabel

distribusi frekuensi.

Menyajikan data tidak tunggal dalam tabel

distribusi frekuensi.

Memahami tabel distribusi frekuensi

kumulatif dan relatif.

Menyajikan data dalam bentuk histogram,

poligon, dan kurva ogive.

Menghitung mean, median, dan modus

data tunggal dan data kelompok.

Menghitung kuartil, desil, dan persentil

pada data tunggal dan data kelompok.

Menghitung jangkauan, harapan,

jangkauan semi antarkuartil, simpangan

rata-rata, varians, dan simpangan baku

pada data tunggal dan data kelompok.

Statistika

statistik

Diagram

Mean

Median

Modus

Hamparan

Simpangan rata-rata

Simpangan baku

Sampel

Populasi

Kata Kunci

2

Matematika SMA Kelas XI IPA

Bab 1 Statistika

Tahukah Kamu?

SEJARAH STATISTIKA

Penggunaan istilah statistika berakar dari istilah dalam

bahasa latin modern statisticum collegium ("dewan

negara") dan bahasa Italia statista ("negarawan" atau

"politikus").

Gottfried Achenwall (1749) menggunakan Statistik

dalam bahasa Jerman untuk pertama kalinya sebagai

nama bagi kegiatan analisis data kenegaraan, dengan

mengartikannya sebagai "ilmu tentang negara (state)".

Pada awal abad ke-19 telah terjadi pergeseran arti

menjadi "ilmu mengenai pengumpulan dan klasifikasi data". Sir John Sinclair memperkenalkan

nama (Statistics) dan pengertian ini ke dalam bahasa Inggris. Jadi, statistika secara prinsip mula-

mula hanya mengurus data yang dipakai lembaga-lembaga administratif dan pemerintahan.

Pengumpulan data terus berlanjut, khususnya melalui sensus yang dilakukan secara teratur

untuk memberi informasi kependudukan yang berubah setiap saat.

Pada abad ke-19 dan awal abad ke-20 statistika mulai banyak menggunakan bidang-bidang

dalam matematika, terutama peluang. Cabang statistika yang pada saat ini sangat luas

digunakan untuk mendukung metode ilmiah, statistika inferensi, dikembangkan pada paruh

kedua abad ke-19 dan awal abad ke-20 oleh Ronald Fisher (peletak dasar statistika inferensi),

Karl Pearson (metode regresi linear), dan (meneliti problem sampel berukuran kecil).

Penggunaan statistika pada masa sekarang dapat dikatakan telah menyentuh semua bidang

ilmu pengetahuan, mulai dari astronomi hingga linguistika. Bidang-bidang ekonomi, biologi dan

cabang-cabang terapannya, serta psikologi banyak dipengaruhi oleh statistika dalam

metodologinya. Akibatnya lahirlah ilmu-ilmu gabungan seperti ekonometrika, biometrika (atau

biostatistika), dan psikometrika.

Meskipun ada pihak yang menganggap statistika sebagai cabang dari matematika, tetapi

sebagian pihak lainnya menganggap statistika sebagai bidang yang banyak terkait dengan

matematika melihat dari sejarah dan aplikasinya. Di Indonesia, kajian statistika sebagian besar

masuk dalam fakultas matematika dan ilmu pengetahuan alam, baik di dalam departemen

tersendiri maupun tergabung dengan matematika.

http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Gottfried_Achenwall&action=edit&redlink=1

http://id.wikipedia.org/wiki/Bahasa_Jerman

http://id.wikipedia.org/wiki/Abad_ke-19

http://id.wikipedia.org/wiki/Bahasa_Inggris

http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika

http://id.wikipedia.org/wiki/Peluang

http://id.wikipedia.org/wiki/Metode_ilmiah

http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Statistika_inferensi&action=edit&redlink=1

http://id.wikipedia.org/wiki/Ronald_Fisher

http://id.wikipedia.org/wiki/Karl_Pearson

http://id.wikipedia.org/wiki/Analisis_regresi

http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Meneliti_problem_sampel_berukuran_kecil&action=edit&redlink=1

http://id.wikipedia.org/wiki/Astronomi

http://id.wikipedia.org/wiki/Linguistika

http://id.wikipedia.org/wiki/Ekonomi

http://id.wikipedia.org/wiki/Biologi

http://id.wikipedia.org/wiki/Psikologi

http://id.wikipedia.org/wiki/Metodologi

http://id.wikipedia.org/wiki/Ekonometrika

http://id.wikipedia.org/wiki/Biometrika

http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Psikometrika&action=edit&redlink=1

http://id.wikipedia.org/wiki/Ilmu_pengetahuan_alam

3


Bab 1 Statistika

Peta Konsep

STATISTIKA

Penyajian Pengolahan Pengumpulan

Diagram Tabel

Tabel distribusi frekuensi

distribusi

frekuensi

relatif

distribusi

frekuensi

kumulatif

batang

garis

lingkaran

Histogram,

poligon, &

ogive

Ukuran

Statistika

Ukuran Pemusatan

Ukuran penyebaran

Ukuran Letak

Mean Modus Median Desil Kuartil

Jangkauan

Hamparan

Simpangan

Kuartil

Varians

Simpangan

Baku

Simpangan

Rata-Rata

Persentil

mempelajari

4


Bab 1 Statistika

Untuk memperoleh

gambaran atau kesimpulan

yang benar (mendekati

benar) mengenai sebuah

populasi, sampel atau

contoh yang diambil

diupayakan dapat mewakili

(representatif) populasi itu.

Catatan Dalam kehidupan sehari-hari seringkali kita menerima atau

membaca beraneka ragam laporan dalam bentuk angka atau

diagram. Laporan dalam bentuk angka atau diagram tersebut

disebut statistik. Misalnya, sebuah penerbit melaporkan hasil

produksinya untuk lima tahun terakhir, atau sebuah sekolah

melaporkan rata-rata nilai masing-masing mata pelajaran setiap

ulangan umum.

Statistika merupakan salah satu cabang matematika yang

mempelajari:

Cara pengumpulan data, pengolahan data, dan penyajian

data dengan sistematis, agar data-data itu dapat dipahami dengan jelas (Statistika

deskriptif)

Menganalisis dan menafsirkan data-data agar dapat digunakan untuk pengambilan

keputusan, perencanaan, dan kesimpulan dengan tepat dari sifat-sirat data tersebut

(Statistika inferensial)

Dalam suatu penelitian sering melibatkan istilah populasi dan sampel. Populasi adalah seluruh

objek yang akan diteliti sedangkan sebagian dari populasi yang benar-benar diamati disebut

sampel.

A. PENGUMPULAN DATA

Menurut sifatnya, data dibagi menjadi 2 golongan, yaitu sebagai berikut.

1. Data kuantitatif

Data kuantitatif adalah data yang berbentuk angka atau bilangan. Data kuantitatif

terbagi atas dua bagian, yaitu data cacahan dan data ukuran.

a) Data cacahan (data diskrit) adalah data yang diperoleh dengan cara membilang.

Misalnya, data tentang banyak anak dalam keluarga.

b) Data ukuran (data kontinu) adalah data yang diperoleh dengan cara mengukur.

Misalnya, data tentang ukuran tinggi badan murid .

2. Data kualitatif

Data kualitatif adalah data yang bukan berbentuk bilangan. Data kualitatif berupa ciri,

sifat, atau gambaran dari kualitas objek. Data seperti ini disebut atribut. Sebagai contoh,

data mengenai kualitas pelayanan, yaitu baik, sedang, dan kurang.

Cara untuk mengumpulkan data, antara lain adalah melakukan wawancara, mengisi lembar

pertanyaan (questionery), melakukan pengamatan (observasi), atau menggunakan data yang

sudah ada, misalnya rataan hitung nilai rapor.

5


Bab 1 Statistika

B. PENYAJIAN DATA

Data yang dikumpulkan untuk laporan atau akan dianalisis lebih lanjut perlu diatur, disusun,

disajikan dengan jelas dan baik, yaitu biasanya disajikan dalam bentuk tabel/daftar dan

diagram/grafik. Penyajian data yang demikian memudahkan orang untuk membaca data itu

atau lebih dimengerti oleh pembaca atau orang yang membuat keputusan berdasarkan data

tersebut.

1. Penyajian Data dalam Bentuk Tabel

Untuk menyusun sekumpulan data yang urutannya belum tersusun secara teratur, data

tersebut disajikan dalam bentuk tabel. Sebuah tabel umumnya terdiri dari beberapa

bagian: judul tabel, judul kolom, judul baris, badan tabel, catatan dan sumber data.

Penyajian data dalam bentuk tabel mengutamakan keakuratan dan ketepatan datanya,

meskipun secara tampilan tidak menarik. Kita perhatikan contoh tabel perkiraan cuaca

berikut.

Tabel 1.1 Perkiraan Cuaca Kota-kota Besar di Indonesia

Kota Cuaca Suhu (◦C) Kelembaban (%)

Ambon Berawan 23-33 61-95

Bandung Hujan 19-29 65-95

Denpasar Hujan 25-31 73-96

Jakarta Hujan 25-33 65-93

Jayapura Hujan 24-33 60-90

Makasar Hujan 24-33 66-90

Medan Hujan 24-30 63-93

Palembang Hujan 23-32 68-98

Pontianak Hujan 24-33 65-96

Semarang Hujan 24-32 58-92

Surabaya Hujan 24-33 56-92

Djogyakarta hujan 24-33 58-93

Dari contoh table 1.1

Judul tabel : Perkiraan Cuaca Kota-kota Besar di Indonesia

Judul kolom : Kota, Cuaca, Suhu, dan Kelembaban

Judul baris : Ambon, Denpasar, Bandung,…, Djogjakarta

Badan Tabel : data cuaca (berawan, hujan), data suhu dan data kelembaban

Sumber : Seputar Indonesia, 22 Januari 2007

Sumber : Seputar Indonesia, 22 Januari 2007

Contoh 1.1

6


Bab 1 Statistika

Dengan menyajikan data seperti itu, kita dapat dengan mudah membaca table itu, sebagai

contoh; pada hari Senin, 22 Januari 2007, di kota Denpasar diperkirakan hujan, suhu 25◦C-

31◦C dan kelembaban 73%-96%.

2. Penyajian Data dalam Bentuk Diagram

a. Diagram Batang

Diagram batang adalah suatu penyajian data dengan menggunakan batang-batang

berarah vertikal atau horizontal. Pada diagram ini antara batang satu dengan yang

lainnya diberikan jarak sehingga letak tiap batang tadi tampak terpisah. Pada diagram

batang juga dilengkapi dengan skala sehingga nilai dapat dibaca dari diagram tersebut.

Data banyaknya sepeda

motor di suatu wilayah

pada tahun 2007 sampai

dengan 2011 disajikan

pada tabel 1.2 berikut.

Tabel 1.2 Data Banyaknya Sepeda Motor

dari tahun 2007- 2011

Bentuk diagram batangnya disajikan pada Gambar 1.1

Tahun Banyaknya Sepeda motor

2007 1539 2008 1970 2009 3144 2010 4405 2011 5931

(b) Diagram Batang Tegak (a) Diagram Batang Mendatar

Gambar 1.1 diagam batang

Banyaknya Sepeda Motor di sebuah Wilayah pada Tahun

2007, 2008, 2009, 2010, dan 2011

Contoh 1.2

0 2000 4000 6000 8000

2007

2008

2009

2010

2011

banyaknya sepeda motor

tah

un

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

2007 2008 2009 2010 2011

banyak-nya

sepeda motor

tahun

7


Bab 1 Statistika

0

10

20

30

40

50

60

70

Jan. Feb. Mar. Apr. Mei Juni Juli

jum

lah

(on

s)

bulan

b. Diagram Garis

Penyajian data statistik dengan menggunakan diagram berbentuk garis lurus disebut

diagram garis lurus atau diagram garis. Diagram garis biasanya digunakan untuk

menyajikan data statistik yang diperoleh berdasarkan pengamatan dari waktu ke waktu

secara berurutan.

Seperti halnya diagram batang, diagram garis pun memerlukan sistem sumbu datar

(horizontal) dan sumbu tegak (vertikal) yang saling berpotongan tegak lurus. Sumbu

mendatar biasanya menyatakan jenis data, misalnya waktu dan berat. Adapun sumbu

tegaknya menyatakan frekuensi data.

Langkah-langkah yang dilakukan untuk membuat diagram garis adalah sebagai berikut.

Hasil penjualan gula pasir di distributor Seroja pada periode Januari-Juli

2010 ditunjukan pada Tabel 1.3 berikut.

Bulan Jan. Feb. Mar. Apr. Mei Juni Juli

Jumlah (ons) 10 15 30 35 25 45 60

Data tersebut dapat ditunjukan dalam diagram garis seperti pada Gambar 1.2

Buatlah suatu koordinat (berbentuk bilangan)

dengan sumbu mendatar menunjukkan waktu dan

sumbu tegak menunjukkan data

pengamatan.

Gambarlah titik koordinat yang menunjukkan data pengamatan pada waktu

t.

Secara berurutan sesuai dengan waktu,

hubungkan titik titik koordinat tersebut dengan garis lurus.

Contoh 1.3

Gambar 1.2 diagam garis

8


Bab 1 Statistika

22,5%

12.5%

Bulutangkis 15%

Basket 20%

Lain-lain 30%

Data Anggota Ekstrakurikuler

c. Diagram Lingkaran

Diagram lingkaran adalah penyajian data statistik dengan menggunakan gambar yang

berbentuk lingkaran. Bagian-bagian dari daerah lingkaran menunjukkan bagian atau

persen dari keseluruhan. Untuk membuat diagram lingkaran, terlebih dahulu

ditentukan besarnya persentase tiap objek terhadap keseluruhan data dan besarnya

sudut pusat sektor lingkaran.

Daftar jumlah siswa kelas XI A yang mengambil pelajaran ekstrakurikuler adalah sebagai

berikut.

Menentukan besar presentase setiap objek terhadap keseluruhan data dan besar sudut

pusat sektor lingkaran sebagai berikut.

Ekstrakurikuler Jumlah persen Sudut pusat

Musik 9

Tari 5

Bulutangkis 6

Basket 8

Lain-lain 12

40

Ekstrakurikuler Banyaknya Siswa

Musik 9 Tari 5 Bulutangkis 6 Basket 8 Lain-lain 12

Gambar 1.3 diagram lingkaran

Tabel 1.3 Data Anggota Ekstrakurikuler

Contoh 1.4

Jadi, gambar dari

diagram lingkarannya

adalah seperti

gambar di samping.

9


Bab 1 Statistika

info Dengan

menggunakan tabel

distribusi frekuensi,

data akan lebih

mudah digunakan

untuk keperluan

statistika

Turus (tally) adalah cara

mudah menghitung

frekuensi. Banyak kelas

biasanya diambil paling

sedikit 5 dan paling

banyak 20.

3. Distribusi Frekuensi

Seringkali kita menjumpai sekumpulan data amatan dalam jumlah atau ukuran yang besar

untuk dianalisis. Ukuran data yang besar ini dapat disederhanakan dengan cara

menentukan banyak nilai amatan yang sama, atau banyak nilai amatan yang terletak pada

interval tertentu. Banyak nilai amatan yang sama atau banyak nilai amatan yang terletak

pada interval tertentu itu disebut frekuensi.

Tabel yang memuat nilai amatan atau nilai amatan yang terletak

pada interval tertentu bersama-sama frekuensinya disebut sebagai

tabel distribusi frekuensi. Sebagai konsekuensi dua amatan ini, maka

kita mempunyai dua macam; tabel distribusi frekuensi tunggal dan

tabel distribusi terkelompok.

a. Tabel Distribusi Frekuensi Tunggal

Untuk memahami cara membuat tabel ini, kita perhatikan hasil

ujian semester mata pelajaran Matematika 30 sisiwa:

80 30 50 70 70 70 40 80 90 50

80 90 70 70 60 60 60 70 50 60

60 60 70 60 60 80 80 80 60 70

Dari kumpulan dia atas kita dapat membaca bahwa:

1 siswa mendapat nilai 30







Carilah data yang berhubungan dengan tabel, diagram batang, diagram garis

dan diagram lingkaran dari koran, majalah atau internet.

1. Catatlah informasi apa saja yang dapat diketahui dari data tersebut.

2. Kumpulkan dalam bentuk kliping, lengkap dengan judul, keterangan, dan sumber

informasi.

3. Pilihlah salah satu dari data tersebut untuk diinformasikan kepada teman-temanmu.

catatan

Tugas kelompok

10


Bab 1 Statistika

Keterangan-keterangan ini tentu saja akan lebih praktis apabila kita sajikan seperti

dalam tabel berikut ini.

Tabel 1.4

Nilai Ujian (xi) Turus Banyak siswa/ frekuensi (fi)

30 I 1

40 I 1

50 III 3

60 IIII IIII 9

70 IIII III 8

80 IIII I 6

90 II 2

Penyajian data seperti Tabel 1.4 disebut tabel distribusi frekuensi tunggal. Dari tabel ini

dengan cepat dapat ditemukan berapa banyak frekuensi siswa yang memperoleh nilai

30, 40 dan seterusnya.

b. Tabel Distribusi Kelompok

Jika kita dihadapkan pada kelompok data amatan yang sangat besar ukurannya, maka

pembuatan tabel distribusi frekuensi tunggal juga kurang efektif. Untuk kasus demikian

akan lebih baih apabila kumpulan data tersebut kita kelompokan ke dalam beberapa

kelas interval terlebih dahulu.

Berikut ini adalah tabel berat badan siswa kelas XI IPA

Tabel 1.5

Panjang Benda (dalam cm) Turus Frekuensi (fi)

71 - 80 II 2

81 - 90 IIII 4

91 – 100 IIII IIII IIII IIII IIII 25

101 – 110 IIII IIII IIII IIII IIII IIII IIII IIII IIII II 47

111 – 120 IIII IIII IIII III 18

121 – 130 IIII 4

Dalam tabel distribusi frekuensi berkelompok ada beberapa pengertian dan aturan

yang perlu dipahami.

1. Kelas

Kelas adalah interval suatu data yang memuat beberapa data. Tabel di atas memuat

6 kelas yaitu kelas pertama 71-80, kelas kedua 81-90, kelas ketiga 91-100 dan

seterusnya.

2. Batas Kelas

Pada setiap kelas nilai terkecil disebut batas bawah dan nilai terbesar disebut batas

atas kelas. Sebagai contoh pada kelas interval 91-100 batas bawahnya 91 dan batas

atasnya adalah 100.

3. Tepi Kelas

11


Bab 1 Statistika

Tepi kelas adalah setengah dari jumlah batas atas dan batas bawah dua kelas

interval yang berurutan. Sebagai contoh, kelas pertama 71 – 80 dan kelas kedua 81

– 90 maka tepi kelas adalah

yang merupakan tepi atas(ta) kelas

pertama dan tepi bawah(tb) kelas kedua.

4. Panjang Kelas

Jika masing-masing kelas mempunyai panjang yang sama, maka panjang kelas

merupakan selisih antara tepi atas dengan tepi bawah.

Panjang kelas = tepi atas – tepi bawah

Panjang kelas disebut juga lebar kelas atau interval kelas.

5. Titik Tengah Kelas

Titik tengah sebuah kelas adalah suatu nilai yang dapat dianggap mewakili kelas itu.

Titik tengah kelas disebut juga nilai tengah kelas atau rataan kelas dan ditetapkan

sebagai berikut.

Titik tengah =

(batas bawah + batas atas)

Menyusun Tabel Frekuensi Berkelompok

Sebelum menyusun tabel distribusi frekuensi berkelompok sebaiknya terlebih dahulu

data diurutkan dari datum terkecil sampai datum terbesar.

Data yang telah diurutkan seperti itu disebut statistika jajaran atau statistika

peringkat. Dari statistika jajaran dapat ditetapkan nilai datum terkecil, disebut statistika

minimum yaitu xmin=x1 dan nilai datum terbesar, disebut statistik maksimum, yaitu

xmaks=xn. Kedua statistik ini (xmin dan xmaks) disebut sebagai statistik-statistik ekstrim.

Tabel distribusi frekuensi berkelompok dapat disusun melalui langkah-langkah sebagai

berikut.

1 •menentukan nilai data terbesar (xmaks ) dan nilai data terkecil (xmin ) kemudian tentukan rentang atau jangkauannya, yaitu: R = xmaks - xmin

2 •tentukan banyak kelas (k) dari n buah data berdasarkan aturan Sturgess, yaitu k = 1 + 3,3 log n

3 •menentukan panjang kelas atau interval kelas dengan rumus: panjang kelas= rentang/banyak kelas

4 •dengan menggunakan nilai panjang kelas yang diperoleh pada step 3, tetapkan kelas-kelasnya sehingga mencakup semua nilai amatan

5 •tentukan frekuensi setiap kelasnya dengan menggunakan sistem turus. kemudian susunlah tabel distribusi frekuensi berkelompok

12


Bab 1 Statistika

Contoh 1.5

Dalam menentukan

banyak kelas dengan

menggunakan kaidah

empiris Sturgess, nilai

k yang diperoleh nilai k

nukan bilangan bulat.

Nilai k itu harus

dibulatkan (ke bawah

atau ke atas)

sedemikian sehingga

panjang kelas yang

diperoleh merupakan

bilangan ganjil dan

tidak terlalu besar.

Catatan

Suatu data diperoleh dari 40 kali pengukuran (teliti sampai mm terdekat) sebagai

berikut.

157 149 125 144 132 156 164 138 144 152

148 136 147 140 158 146 165 154 119 163

176 138 126 168 135 140 153 135 147 142

173 146 162 145 135 142 150 150 145 128

Buatlah tabel distribusi frekuensi berkelompok untuk data tersebut!

Jawab:

Banyak data, n = 40

Nilai statistik minimum xmin = 119, dan nilai statistik maksimum xmaks = 176.

1. Rentang (R) = xmaks - xmin = 176 – 119 = 57

2. Banyaknya kelas (k) = 1 + 3,3 log n = 1+ 3,3 log 40 6,286...

Banyak kelas dibulatkan ke atas menjadi k=7 buah.

3. Panjang kelas =

=

= 8,1428...

Panjang kelas dibulatkan ke atas menjadi 9.

4. Dengan panjang kelas 9 dan nilai statistik minimum ditetapkan

sebagai batas bawah kelas pertama (tidak harus demikian),

maka diperoleh kelas-kelas dan titik-titik tengah kelas sebagai

berikut.

Kelas pertama 119-127 dengan titik tengah 123,

Kelas ketiga 128-136 dengan titik tengah 132,

Kelas kedua 137-145 dengan titik tengah 141,

Kelas keempat 146-154 dengan titik tengah 150,

Kelas kelima 155-163 dengan titik tengah 159,

Kelas keenam 164-172 dengan titik tengah 168, dan

Kelas ketujuh 173-181 dengan titik tengah 177.

Perhatikan bahwa semua nilai amatan terdistribusikan atau

tersebar dalam kelas-kelas tersebut.

5. Tabel distribusi berkelompok untuk data tersebut dapat ditampilkan dalam tabel

berikut.

Tabel 1.6

Hasil pengukuran (mm)

Titik tengah (xi) Turus Frekuensi (fi)

119 – 127 123 III 3

128 – 136 132 IIII I 6

137 – 145 141 IIII IIII 10

13


Bab 1 Statistika

146 – 154 150 IIII IIII I 11

155 – 163 159 IIII 5

164 – 172 168 III 3

173 - 181 177 II 2

4. Frekuensi Relatif dan Frekuensi Kumulatif

a. Daftar Frekuensi relatif

Daftar frekuensi relatif adalah distribusi frekuensi yang frekuensi relatif masing-masing

kelasnya dapat diperoleh dengan menyatakan persentase frekuensi kelas tersebut

terhadap jumlah seluruh frekuensi.

Sebagai contohnya, mari kita lihat lagi Tabel 1.6 dengan ukuran data atau nilai n= 40. Maka

tabel distribusi relatifnya adalah sebagai berikut.

Tabel 1.7


Frekuensi (fi)

Frekuensi relatif

119 – 127 3

128 – 136 6

137 – 145 10

146 – 154 11

155 – 163 5

164 – 172 3

173 - 181 2

b. Daftar Frekuensi kumulatif

Daftar distribusi frekuensi kumulatif dapat disusun dari daftar distribusi berkelompok.

Terdapat dua jenis tabel distribusi kumulatif, yaitu

Frekuensi kumulatif kurang dari (fk kurang dari) -> di definisikan sebagai jumlah

frekuensi semua nilai amatan yang kurang dari atau sama dengan nilai tepi atas

pada tiap-tiap kelas. Dilambangkan dengan fk .

Frekuensi kumulatif lebih dari (fk lebih dari) -> di definisikan sebagai jumlah

frekuensi semua nilai amatan yang lebih dari atau sama dengan nilai tepi bawah

pada tiap-tiap kelas. Dilambangkan dengan fk .

14


Bab 1 Statistika

info

Sebagai contohnya, mari kita lihat lagi Tabel 1.6 dengan mencantumkan batas atas dan

batas bawah dari tiap kelas intervalnya sehingga diperoleh tabel frekuensi kumulatif

sebagai berikut.

Tabel 1.8


Frekuensi (fi)

Tepi bawah

Tepi atas Frekuensi Kumulatif

fk ta fk tb

119 – 127 3 118,5 127,5 3 40

128 – 136 6 127,5 136,5 9 37

137 – 145 10 136,5 145,5 19 31

146 – 154 11 145,5 154,5 30 21

155 – 163 5 154,5 163,5 35 10

164 – 172 3 163,5 172,5 38 5

173 - 181 2 172,5 181,5 40 2

5. Histogram, Poligon, dan Ogive

Penyajian data yang dikelompokan menurut distribusi frekuensi dapat dinyatakan dengan

grafik yang disebut histogram. Histogram adalah diagram batang yang menyajikan daftar

distribusi berkelompok.

Langkah-langkah untuk membuat histogram suatu data berkelompok adalah sebagai

berikut.

1. Menggambar sumbu horizontal (untuk nilai) dan sumbu vertikal (untuk frekuensi).

2. Menggambar persegi panjang untuk setiap interval. Alas persegi

panjang menunjukan panjang kelas, yaitu dari tepi bawah kelas

sampai tepi atas kelas, sedangkan tinggi persegi panjang

menunjukan frekuensinya.

3. Di atas setiap persegi panjang dapat ditulis frekuensi masing-

masing agar histogram mudah dibaca.

Jika titik-titik tengah dari sisi atas tiap persegi panjang yang

berdekatan pada histogram dihubungkan maka akan diperoleh

grafik garis yang disebut poligon frekuensi.

Sebagai contoh, Histogram dan poligon frekuensi dari tabel daftar

distribusi kumulatif (Tabel 1.8) disajikan pada gambar berikut.

Kata Histogram

berasal dari bahasa

Yunani, yaitu histo

yang berarti kertas

dan gram yang

berarti menulis atau

menggambar

15


Bab 1 Statistika

Ogive (poligon distribusi frekuensi kumulatif) adalah bentuk kurva dari daftar distribusi

frekuensi kumulatif.

Ogive terdiri dari ogive positif (ogive kurang dari) dan ogive negatif (ogive lebih dari).

Ogive positif dibentuk dengan menghubungkan titik-titik dengan tepi atas sebagai

absis dan frekuensi kumulatif kurang dari sebagai ordinat.

Ogive negatif dibentuk dengan menghubungkan titik-titik dengan tepi bawah

sebagai absis dan frekuensi kumulatif lebih sebagai ordinat.

Dengan kata lain ogive positif adalah poligon frekuensi kumulatif kurang dari.

Sedangkan ogive negatif adalah poligon frekuensi kumulatif lebih dari.

Gambarlah ogive dari data pada Tabel 1.8!

Jawab:

a) Ogive positif

3

6

10

11

5

3

2

0

2

4

6

8

10

12

histogram

poligon

118,5 127,5 136,5 145,5 154,5 163,5 172,5 181,5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

127,5 136,5 145,5 154,5 163,5 172,5 181,5

Gambar 1.4 histogram dan poligon frekuensi

Gambar 1.5

ogive positif

16


Bab 1 Statistika

b) Ogive negatif

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

118,5 127,5 136,5 145,5 154,5 163,5 172,5

1. Data berikut diperoleh dari pencatatan banyak hewan ternak yang dipelihara oleh 40

warga dalam sebuah desa (dalam satu desa diambil 40 sampel warga).

1 4 3 5 4 2 4 3 3 2 3 4 2 5 4 4 1 5 3 4 3 4 5 2 6 4 3 5 4 1 2 4 3 6 4 1 4 3 4 2

a) Buatlah tabel distribusi frekuensi tunggal untuk data tersebut!

b) Berapa persen warga yang memiliki

(i) 2 hewan ternak atau kurang?

(ii) 3 hewan ternak atau kurang?

c) Berapa persen warga yang memiliki

(i) 4 hewan ternak atau lebih?

(ii) 5 hewan ternak atau lebih?

2. Berikut ini adalah data nilai ulangan matematika dari 40 siswa kelas XI.

67 68 69 73 66 78 60 55 63 46 51 40 72 82 38 65 62 54 69 68 61 60 52 79 54 67 62 66 87 65 72 64 60 71 75 67 91 47 53 62

Buatlah tabel distribusi frekuensi berkelompok dari data di atas!

3. Dalam tabel berikut menunjukan waktu tempuh (dalam menit) 100 peserta lomba jalan

cepat

LATIHAN 1

Gambar 1.6

ogive negatif

17


Bab 1 Statistika

Waktu (menit) Frekuensi

40-44 4

45-49 6

50-54 13

55-59 22

60-64 30

65-69 18

70-74 7

a) Gambarlah histogram dan poligon frekuensinya!

b) Gambarlah ogive kurang dari berdasarkan data tersebut!

c) Gambarlah ogive lebih dari berdasarkan data tersebut!

Berpikir Kontras

4. tentukan tabel distribusi data kelompok, lengkap dengan frekuensi kumulatifnya

berdasarkan histogram dan poligon frekuensi berikut!

5. Tentukan tabel distribusi frekuensi data kelompok lengkap dengan frekuensi

kumulatifnya berdasarkan kurva ogive berikut!

18


Bab 1 Statistika

C. PENGOLAHAN DATA

1. Ukuran Pemusatan Data

Nilai statistika yang dapat menggambarkan keadaan suatu data antara lain adalah mean

(rataan hitung), modus, dan median dengan menyatakan ukuran pemusatan data.

1) Rataan Hitung (Mean)

a. Rataan hitung (Mean) pada data tunggal

Secara umum, apabila nilai-nilai data kuantitatif dinyatakan dengan

(terdapat buah datum) dengan setiap datum mempunyai

frekuensi Maka rataan hitung ( ditentukan oleh rumus berikut.

n

i

i

n

i

i

f

x

1

1

Jika data pertama dengan jumlah mempunyai rata-rata , data kedua dengan

jumlah mempunyai rata-rata , dan seterusnya, maka rata-rata gabungan dari

data tersebut adalah

b. Rataan hitung (Mean) pada data kelompok

Untuk data yang disajikan dalam daftar distribusi frekuensi, maka rataan hitungnya

dapat ditentukan dengan rumus:

n

xn

i

i1

Definisi

Rataan hitung ( dari data tunggal adalah:

19


Bab 1 Statistika

dengan: = titik tengah kelas interval

= frekuensi dari

= banyaknya kelas interval

Selain menggunakan cara di atas, kita dapat menentukan rataan dari sekumpulan

data dengan terlebih dahulu menentukan rataan sementaranya. Rataan sementara

biasanya diambil dari nilai tengah yang mempunyai frekuensi terbesar. Terdapat

dua cara dalam menghitung rataan setelah rata-rata sementara ditentukan, yaitu

cara simpangan rataan dan cara pengkodean (coding).

1) Cara Simpangan Rataan

Rataan Hitung dengan cara simpangan rataan dapat ditentukan dengan

rumus sebagai berikut.

dengan = ratan sementara

=simpangan terhadap

2) Cara Pengkodean (Coding)

Rataan Hitung dengan cara pengkodean dapat ditentukan dengan rumus

sebagai berikut.

k

i

i

k

i

ii

f

xf

1

1

k

i

i

k

i

ii

f

df

1

1

k

i

i

k

i

ii

f

df

1

1

Cara coding

dimaksudkan untuk

menghindari

perkalian yang besar

(ii xf atau

ii df )

Catatan

dengan = panjang kelas interval

= kode

20


Bab 1 Statistika

1. Tentukan rataan hitung dari data: 4, 3, 2, 5, 6, 7, 8, 5.

Jawab:

Jadi, rataan hitungnya adalah .

2. Tiga kelas A, B, dan C berturut-turut terdiri dari 10 siswa, 20 siswa, dan 15 siswa.

Rata-rata nilai gabungan dari ketiga kelas adalah 55. Jika rata-rata nilai kelas A

dan C berturut-turut 56 dan 65, tentukan rata-rata nilai kelas B.

Jawab:

Kelas A : dan

Kelas C : dan

Kelas B : dan

2.475= +1.535

Jadi, rata-rata nilai kelas B adalah 47.

5

8

40

Contoh 1.6

2) Modus

a. Modus pada data tunggal

Definisi

Modus adalah nilai data yang paling sering muncul atau nilai data yang

mempunyai frekuensi terbesar.

21


Bab 1 Statistika

info

b. Modus pada data kelompok

Modus data berkelompok dirumuskan sebagai berikut:

dengan: tepi bawah kelas modus

= selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya

= selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya

= panjang kelas

1. Data: 4, 7, 7, 7, 5, 4, 9 mempunyai modus 7

2. Data: 2, 5, 6, 8, 9, 12, 15, 17 tidak mempunyai modus

3. Tentukan modus dari tabel di sampaing ini.

Jawab

Frekuensi modusnya 18, kelas modusnya 65-69, dan

tepi bawah frekuensi modus ( =64,5

= 18 – 6 = 12

= 18 – 9 = 9

= 69,5 – 64,5 = 5

Nilai Frekuensi

50-54 55-59 60-64 65-69 70-74 75-79 80-84

2 4 6 18 9 15 6

Kontribusi Pierre

Simon Laplace dalam

perkembangan ilmu

matematika adalah

integral, kalkulus,

peluang, dan statistik

inferensia

Contoh 1.7

22


Bab 1 Statistika

3) Median

a. Median pada data tunggal

Misalnya terdapat data dengan

Jika ganjil, maka

Jika genap, maka

b. Median pada data kelompok

Jika data yang tersedia merupakan data kelompok, artinya data itu dikelompokkan

ke dalam interval-interval kelas yang sama panjang. Untuk mengetahui nilai

mediannya dapat ditentukan dengan rumus berikut ini.

dengan: tepi bawah kelas median

= banyaknya data

= frekuensi kumulatif sebelum kelas median

=frekuensi kelas median

= panjang kelas

1. Tentukan median dari bilangan-bilangan berikut.

a) 2, 4, 3, 4, 6, 5, 8, 8, 9

b) 27, 28, 26, 21, 29, 29

Definisi

Median adalah suatu nilai yang membagi data menjadi dua bagian yang sama

banyaknya setelah data tersebut diurutkan dari yang terkecil hingga yang

terbesar.

Contoh 1.8 Kelas median adalah

kelas dengan frekuensi

kumulatif mencapai

atau lebih, bukan kelas

yang terletak di tengah.

Catatan

Dalam menentukan

median, data harus

diurutkan dari yang

terkecil.

Ingat!

23


Bab 1 Statistika

Jawab:

a) =9 (ganjil)

Data yang telah diurutkan: 2, 3, 4, 4, 5, 6, 8, 8, 9.

Jadi mediannya adalah 5

b) =6 (genap)

Data yang telah diurutkan: 21, 26, 27, 28, 29, 29

Jadi mediannya adalah 27, 5

2. Hitunglah median untuk data berkelompok berikut.

Kelas interval Frekuensi Frekuensi Kumulatif

42-48 49-55 56-62 63-69 70-76

3 10 20 13 4

3 13 33 46 50

Jumlah 50

Jawab

Karena ukuran datanya adalah 50, terletak pada kelas interval 56-62, sehingga

= 56 - 0,5 = 55,5

= 50, = 13, =20

= 62,5 – 55,5 = 7

Oleh karena itu,

24


Bab 1 Statistika

.

1. Tentukan mean, median, modus dari data berikut !

a. 4, 3, 1, 5, 3, 2, 3

b. 62, 52, 61, 44, 54, 70, 46, 46, 48, 53, 57, 50

c.

2. Perhatikan tabel berikut!

Dalam tabel diatas, nilai rata-rata matematika adalah 7. Tentukan niai a, kemudian

tentukan modus dan mediannya!

3. Nilai rata-rata ujian matematika dari 39 orang siswa adalah 45. Jika nilai seorang siswa

lainnya, yaitu Angga, digabungkan dengan kelompok tersebut, nilai rata-rat ke-40 orang

siswa menjadi 46. Tentukan nilai ujian Angga!

4. Tentukan mean, median, dan modus dari data berikut!

Nilai 40-46 47-53 54-60 61-67 68-74 75-81 82-88

Frekuensi 7 16 30 35 30 20 12

Berapa siswa yang memperoleh ilai diatas rata-rata?

5. Diketahui data dari distribusi frekuensi berikut.

Nilai 5 6 7 8 9 10

Frekuensi 2 5 12 10 4 1

Nilai Matematika 5 6 7 8 9 10

Frekuensi 2 5 12 10 a 1

Tugas Kelompok

Kerjakan bersama teman sebangkumu. Carilah informasi tentang cara menghitung

ukuran pemusatan untuk data tunggal dengan menggunakan kalkulator. Kemukakan informasi

yang kamu peroleh tersebut di depan kelas.Demonstrasikan pula cara menggunakan kalkulator

untuk menghitung mean,median, dan modus pada contoh-contoh soal pada bab ini di depan

kelas!

LATIHAN 2

25


Bab 1 Statistika

Nilai Frekuensi

10-19

20-29

30-39

40-49

50-59

3

4

x

2

1

Jika modus dari data diatas adalah 33,5, tentukan

a. Nilai

b. Mean

c. Median

6. Tentukan mean, median, dan modus dari data yang disajikan oleh histogram berikut.

2. Ukuran Letak Data

Selain ukuran pemusatan data, ukuran letak data dapat juga digunakan utuk

mendapatkan gambaran tentang data. Jika kita ingin membagi kelompok data menjadi

empat bagian yang sama, maka dapat digunakan nilai kuartil. Tetapi jika ingin membagi

kelompok data menjadi sepuluh bagian yang sama, maka dapat digunakan nilai desil,

sedangkan untuk membagi menjadiseratus bagian sama dapat digunakan niali persentil.

1. Kuartil

a. Kuartil data tunggal

64,5 59,5 54,5 49,5 44,5 39,5 34,5 29,5 Berat (kg)

3 4

6

12

8

5

2

Frekuensi

Kumulatif

26


Bab 1 Statistika

Tentukan untuk data-data berikut.

a. 4, 8, 3, 1, 6, 9, 5, 1

b. 3, 4, 7, 8, 7, 4, 8, 4, 9, 10, 8, 3, 7, 12

Jawab:

a. Data yang telah diurutkan:

1, 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9 Jadi,

b. Data yang telah diurutkan: 3, 3, 4, 4, 4, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 10, 12

Letak

sehingga:

Letak

sehingga:

Letak

sehingga:

Jadi

Terdapat 3 buah kuartil, yaitu kuartil bawah (Q1), kuartil tengah (Q2), dan kuartil atas

(Q3). Kuartil-kuartil suatu data dapat diperoleh dengan cara sebagai berikut.

1) Mengurutkan data dari nilai yang terkecil hingga yang terbesar

2) Menentukan median atau kuartil kedua (Q2)

3) Menentukan Q1 (median dari semua data yang kurang dari Q2) dan Q3 (median

dari semua data yang lebih dari Q2)

Letak dari dirumuskan sebagai berikut

Dengan = kuartil ke- = banyak data

Definisi

Kuartil adalah nilai yang membagi data menjadi empat bagian yang sama banyak,

setelah data diurutkan dari yang terkecil hingga yang terbesar.

Letak

Contoh 1.9

27


Bab 1 Statistika

Tentukan nilai kuartil bawah , tengah , dan atas data kelompok pada tabel berikut.

Skor Frekuensi ( ) Frekuensi Kumulatif ( )

40-49 50-59 60-69 70-79 80-89 90-99

1 4 8

14 10 3

1 5

13 27 37 40

Jawab

=40,

= 10

Kelas adalah 60-69, kelas adalah 70-79, kelas adalah 80-89

Jadi,

b. Kuartil data kelompok

Menetukan letak kuartil untuk data kelompok, caranya sama dengan data

tunggal. Nilai kuartil dirumuskan sebagai berikut.

Dengan: = kuartil ke-

= tepi bawah kelas kuartil

=banyaknya data

= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil

frekuensi kelas kuartil

= panjang kelas

= 1, 2, 3

Contoh 1.10

28


Bab 1 Statistika

2. Desil

Untuk data yang tidak dikelompokkan, letak desil dapat ditentukan dengan

menggunakan rumus sebagai berikut.

Sedangkan nilai desil untuk data berkelompok dapat ditentukan dengan

menggunakan rumus berikut.

Dengan: = desil ke-

= tepi bawah kelas

=ukuran data

= frekuensi kumulatif sebelum kelas

frekuensi kelas yang memuat

= panjang kelas

=1, 2, 3, ..., 9

1. Data; 7 5 8 7 9 6 6 6 8 5 9 8 6 7 9

Tentukan a. dan b.

jawab:

Data yang telah diurutkan: 5 5 6 6 6 6 7 7 7 8 8 8 9 9 9

Banyak data,

Definisi

Desil adalah nilai yang membagi data menjadi sepuluh bagian

yang sama banyak setelah data diurutkan dari yang terkecil

hingga yang terbesar.

Contoh 1.11

29


Bab 1 Statistika

a. Desil ke-3 terletak pada nilai ke-

Jadi,

b. Desil ke-6 terletak pada nilai ke-

Jadi,

2. Tentukan desil ke-6 data berkelompok pada tabel berikut.

Skor Frekuensi ( ) Frekuensi Kumulatif ( )

40-49

50-59

60-69

70-79

80-89

90-99

1

4

8

14

10

3

1

5

13

27

37

40

Jawab

terletak pada nilai ke-

sehingga kelas adalah 70-79.

jadi,

3. Persentil

Untuk data yang tidak dikelompokkan, letak persentil dapat ditentukan dengan

menggunakan rumus sebagai berikut.

Sedangkan nilai persentil untuk data berkelompok dapat ditentukan dengan

menggunakan rumus berikut.

Definisi

Persentil adalah nilai yang membagi data menjadi seratus bagian

yang sama banyak setelah data diurutkan dari yang terkecil

hingga yang terbesar.

30


Bab 1 Statistika

Dengan: = Persentil ke-

= tepi bawah kelas

=ukuran data



= panjang kelas

=1, 2, 3, ..., 99

1. Diketahui: 9, 10, 11, 6, 8, 7, 7, 5, 4, 5, tentukan persentil ke-30 dan persentil ke-75

Jawab

Data diurutkan:4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 10, 11

Letak persentil ke-30 diurutan data ke-

Jadi, =5,3.

Letak persentil ke-75 diurutan data ke-

Jadi, =9,25.

2. Diketahui data pada tabel kelompok berikut.

41-45 46-50 51-55 56-60 61-65

3 6 16 8 7

3 9 25 33 40

Dari data tersebut tentukan:

a. Persentil ke-25

b. Persentil ke-60

Jawab

Contoh 1.12

31


Bab 1 Statistika

a. Letak

yaitu pada data ke-10 dan kelas sehingga

diperoleh:

b. Letak

yaitu pada data ke-24 dan kelas sehingga

diperoleh:

2. Ukuran Penyebaran Data

Nilai mean atau median hanya menitikberatkan pada pusat data, tetapi tidak

memberikan informasi tentang sebaran nilai pada data tersebut. Untuk membandingkan

sebaran data dari dua informasi distribusi nilai adalah salah satu alasan kita mempelajari

ukuran penyebaran data. Ukuran penyebaran data yang akan dipelajari di antaranya:

jangkauan, hamparan, jangkauan semi antarkuartil, simpangan rata-rata, varians dan

simpangan baku.

1. Jangkauan

a. Jangkauan data tunggal

b. Jangkauan data kelompok

Sedangkan untuk jangkauan data berkelompok langkah-langkah yang

ditempuh untuk mendapatkannya adalah

Mencari nilai tengah dari frekuensi .

Mencari nilai tengah dari frekuensi terbesar.

Jangkauan data kelompok adalah selisih dari nilai tengah frekuensi terbesar

dengan nilai tengah frekuensi terkecil.

Definisi

Jangkauan data atau rentang data atau range data, adalah selisih antara data

terbesar, dengan data terkecil, .

32


Bab 1 Statistika

1. Seorang peneliti mengambil masing-masing 1 kg air dari 20 sungai yang berbeda untuk

diuji kadar garamnya. Hasil pengujian (dalam mg) adalah

193 282 243 243 282 214 185 128 243 159 218 161 112 131 201 132 194 221

141 136. Dari data tersebut tentukan jangkauannya!

Jawab

Data setelah diurutkan:

112 128 131 132 136 141 159 161 185 193

194 201 214 218 221 243 243 243 282 282

Data terkecil = 112

Data terbesar ( = 282

Jangkauan =

= 282 – 112

= 170.

2. Hasil ulangan matematik kelas XII SMK sebagai berikut:

Nilai Frekuensi

1-10 0 11-20 4 21-30 7 31-40 3 41-50 1 51-60 9 61-70 4 71-80 3 81-90 5

91-100 4

Carilah jangkauan dari data tabel di atas!

Jawab

Nilai tengah kelas terendah =

Nilai tengah kelas tertinggi =

Jangkauan = 95,5 - 5,5 = 90.

Jadijangkauan nilai ulangan matematika di atas adalah 90.

Contoh 1.13

33


Bab 1 Statistika

Definisi

Hamparan atau jangkauan antarkuartil atau rentang antarkuartil, adalah selisih

antara kuartil ketiga dengan kuartil pertama.

2. Hamparan

Untuk mencari hamparan data tunggal dan data kelompok, rumus yang digunkan adalah

seperti diatas, yaitu

3. JangkauanSemiAntarkuartil

1. Tentukannilaijangkauanantarkuartilnya

4, 4, 3, 5, 7, 9, 10, 8, 9

Jawab

Untukmenentukan , , data-datanyakitaurutkanterlebihdahulu 3, 4, 4, 5, 7, 8, 9, 9, 10

Jadi nilaijangkauanantarkuartilnya atau hamparannya adalah 5.

Definisi

Jangkauan semi antarkuartil atau simpangan kuartil adalah setengah

kali panjang hamparan.

Contoh 1.14

34


Bab 1 Statistika

Untuk mencari nilai jangkauan semi antarkuartil atau simpangan kuartil pada data

tunggal dan data kelompok, rumusnya adalah sebagai berikut:

Dengan = Jangkauan semi antarkuartil atau simpangan kuartil

= kuartil bawah

= kuartil atas

4. SimpanganRata-rata

a. Simpangan rata-rata data tunggal

Nilai simpangan rata-rata ( ) untuk data tunggal dapat ditenukan dengan

rumus:

Tentukannilaijangkauan semi antarkuartil atau simpangan kuartil

4, 4, 3, 5, 7, 9, 10, 8, 9

Jawab

Untukmenentukan , , data-datanyakitaurutkanterlebihdahulu 3, 4, 4, 5, 7, 8, 9, 9, 10

Jadi nilaijangkauan semi antarkuartil atau simpangan kuartil adalah 2,5

Definisi

Simpangan rata-rata menyatakan jarak rata-rata suatu daat terhadap

rataannya.

Contoh 1.15

35


Bab 1 Statistika

Dengan = banyaknya data

= nilai data ke-

= rataan hitung

b. Simpangan rata-rata data kelompok

Untuk data berkelompok, nilai simpangan rata-rata ditentukan dengan

rumus:

Dengan = banyaknya data

= titik tengah kelas ke-

=

1. Hitunglah simpangan rata-rata dari data nilai 6 siswa dalam kuis matematika berikut ini:

9, 8, 5, 4, 6, 7

Jawab

Rataan hitung data di atas adalah

Jadi, simpangan rata-rata dari data nilai 6 siswa dalam kuis matematika adalah 1,5.

Bentuk

dubaca “ harga

mutlak dari ”

yang selalu

menghasilkan nilai

positif.

Catatan

Contoh 1.16

36


Bab 1 Statistika

5. Varians

2. Hitunglah simpangan rata-rata data pada tabel berikut ini.

Interval Frekuensi

21-25 2

26-30 8

31-35 9

36-40 6

41-45 3

46-50 2

Jawab

Untuk menghitung simpangan rata-rata, data diwakili oleh titik tengah dari interval data. Sebelum menghitung simpangan rata-rata kita harus mencari rataan hitungnya terlebih dahulu. Perhatikan cara menghitungnya seperti dalam tabel di bawah ini.

Interval Nilai Tengah (xi)

Frekuensi (fi)

fi xi fi

21-25 23 2 46 11 22

26-30 28 8 224 6 48

31-35 33 9 297 1 9

36-40 38 6 228 4 24

41-45 43 3 129 9 27

46-50 48 2 96 14 28

Jumlah 30 1020 158

Rataan hitung : 3430

1020

1

1

k

i

i

k

i

ii

f

xf

Simpangan rata-rata

Definisi

Varians atau ragam menyatakan rata-rata kuadrat jarak suatu data

terhadap rataannya.

37


Bab 1 Statistika

Misalnya data mempunyai rataan , maka ragam atau varians

( dapat ditentukan dengan rumus:

Dengan: = banyaknya data

= nilai data ke-

= rataan hitung

Untuk data berkelompok, nilai varians dapat ditentukan dengan rumus:

Dengan: = frekuensi kelas ke-


= banyaknya kelas

= rataan hitung

=

Rumus ragam untuk data berkelompok yang lain adalah

Rumus diatas dapat diubah dengan menggunakan simpangan rataan atau pengkodean

(coding).

1) Cara Simpangan

Dengan

2) Cara Pengkodean (Coding)

38


Bab 1 Statistika

1. Hitunglah ragam dan simpangan baku dari data: 1, 3, 4, 5, 8, 10, 12, 13.

Jawab

= 8,

= 36 + 16 + 9 + 4+ 1+ 9+ 25 + 36

=136

Jadi, data tersebut mempunyai ragam, dan simpangan baku, .

Dengan

6. Simpangan Baku

Simpangan baku atau standar deviasi (S) dapat ditentukan

dengan rumus:

Dengan: : = banyaknya data

= nilai data ke-

= rataan hitung

Atau dapat disimpulakan bahwa simpangan baku (S) merupakan akar dari ragam. Oleh

karena itu, simpangan baku dirumuskan dengan .

info

Carl Friedrich Gauss

menemukan istilah

“standar deviasi“

untuk mengestimasi

akurasi pengukuran

data.

Contoh 1.17

39


Bab 1 Statistika

2. Tentukan ragam dan simpangan baku dari data pada tabel berikut

Skor Frekuensi ( )

Frekuensi Kumulatif ( )

40-49 50-59 60-69 70-79 80-89 90-99

1 4 8

14 10 3

1 5

13 27 37 40

Jawab

Telah dihitung sebelumnya rataan dan tabel tersebut dapat dilengkapi menjadi tabel

berikut:

Skor Frekuensi ( )

40-49 50-59 60-69 70-79 80-89 90-99

1 4 8

14 10 3

44,5 54,5 64,5 74,5 84,5 94,5

855,56 370,56 85,56 0,56

115,56 430,56

855,56 1482,25 684,48

7,88 1155,63 1291,69

Jumlah 40 5.477,49

Jadi nilai ragam dan simpangan bakunya adalah dan .

40


Bab 1 Statistika

1. Tentukan jangkauan, hamparan, dan simpangan kuartil untuk setiap data berikut!

a. 5 9 4 8 6 4 5 8 7

b. 23 20 18 22 20 26 24 18

2. Diberikan daftar distribusi frekuensi seperti pada tabel

disamping. Tentukan nilai hamparan dan simpangan kuartil!

3. Tentukan simpangan rata-rata, varians, dan simpangan baku untuk data berikut!

a. 50, 40, 30, 60, 70

Interval Frekuensi

21-30

31-40

41-50

51-60

61-70

71-80

6

8

15

7

9

5

Buatlah kelasmu menjadi beberapa kelompok untuk mengerjakan tugas berikut.

Tentukan ragam dari data:

a. 6, 3, 2, 11, 8, 13, 5

b. Dari tabel berikut

Nilai Frekuensi

40-48 49-57 58-66 67-75 76-84 85-93

4 12 10 8 4 2

TUGAS KELOMPOK

LATIHAN 2

41


Bab 1 Statistika

b. 7, 5, 5, 6, 6, 8, 7, 5, 8, 7, 4, 7, 4, 5, 6

4.

Data umur dari 30 orang disajikan pada tabel di atas.

Tentukan:

a. Simpangan baku

b. Varians

STATISTIKA

Statistika merupakan salah satu cabang matematika yang mempelajari:

Cara pengumpulan data, pengolahan data, dan penyajian data dengan sistematis, agar

data-data itu dapat dipahami dengan jelas (Statistika deskriptif)

Menganalisis dan menafsirkan data-data agar dapat digunakan untuk pengambilan

keputusan, perencanaan, dan kesimpulan dengan tepat dari sifat-sirat data tersebut

(Statistika inferensial)

Umur Frekuensi

1-5

6-10

11-15

16-20

21-25

2

7

5

9

6

Rangkuman

materi

42


Bab 1 Statistika

A. PENGUMPULAN DATA

Cara untuk mengumpulkan data, antara lain adalah melakukan wawancara, mengisi

lembar pertanyaan (questionery), melakukan pengamatan (observasi), atau

menggunakan data yang sudah ada, misalnya rataan hitung nilai rapor.

B. PENYAJIAN DATA

Ada 2 jenis cara dalam penyajian data dalam stastistika, yaitu

1. Tabel

2. Diagram atau Grafik, yaitu

a. Diagram batang

b. Diagram garis

c. Diagram lingkaran

Penyajian data dalam bentuk tabel mengalami pengembangan terkait dengan ukuran

dari data amatan yang cukup besar, yaitu daftar distribusi frekuensi.

Daftar Distribusi frekuensi terdiri dari

1. Daftar Distribusi frekuensi tunggal

2. Daftar distribusi frekuensi berkelompok, berkembang menjadi

a. Tabel distribusi frekuensi relatif

b. Tabel distribusi frekuensi kumulatif, terdiri dari

1. Tabel distribusi frekuensi kumulatif kurang dari -> ogive positif

2. Tabel distribusi frekuensi kumulatif lebih dari -> ogive negatif

C. PENGOLAHAN DATA

1. Ukuran Pemusatan

a) Mean

Data tunggal= n

xn

i

i1

Data kelompok=

k

i

i

k

i

ii

f

xf

1

1

b) Modus

Data tunggal= nilai yang sering muncul

Data kelompok=

c) Median

Data tunggal=

(ganijl),

(genap)

43


Bab 1 Statistika

Data kelompok=

2. Ukuran Letak

a) Kuartil

Data tunggal=

Data kelompok=

b) Desil

Data tunggal=

Data kelompok=

c) Persentil

Data tunggal=

Data kelompok=

3. Ukuran Penyebaran

a) Jangkauan

Data tunggal=

Data kelompok= nilai tengah frekuensi terbesar – nilai tengah frekuensi

terkecil

b) Hamparan=

c) Simpangan kuartil=

d) Simpangan rat-rata

Data tunggal=

Data kelompok=

e) Varians

Data tunggal=

Data kelompok=

f) Simpangan baku=

Keterangan Mean: = titik tengah kelas interval = frekuensi dari

= banyaknya kelas interval

= panjang kelas

=1, 2, 3, ..., 9

Persentil:

= Persentil ke-

44


Bab 1 Statistika

Modus:

tepi bawah kelas modus

= selisih frekuensi kelas modus dengan

kelas sebelumnya

= selisih frekuensi kelas modus dengan

kelas sesudahnya

= panjang kelas

Median:

tepi bawah kelas median

= banyaknya data


median

=frekuensi kelas median

= panjang kelas

Kuartil:

= kuartil ke-

= banyak data

= kuartil ke-

= tepi bawah kelas kuartil


kuartil

frekuensi kelas kuartil

= panjang kelas

Desil:

= desil ke-

= tepi bawah kelas

=ukuran data



= tepi bawah kelas

=ukuran data



= panjang kelas

=1, 2, 3, ..., 99

Simpangan rata-rata:

= banyaknya data

= nilai data ke-

= rataan hitung

= banyaknya data


=

Varians: = banyaknya data

= nilai data ke-

= rataan hitung

= frekuensi kelas ke-


= banyaknya kelas

=

Simpangan baku:

= banyaknya data

= nilai data ke-

= rataan hitung

45


Bab 1 Statistika

Uji Kompetensi Bab Statistika

A. Pilihlah jawaban yang tepat pada soal-soal berikut!

1. Dari 400 siswa diperoleh data tentang pekerjaan orang tua/wali. Daa tersebut jika

disajikan dalam diagramlingkaran sebagai berikut.

Keterangan:

1= Wiraswasta (90 )

2= PNS (

3= TNI/Polri

4= Pedagang

Berdasar data di atas, pernyatan yang benar adalah ...

a. Jumlah PNS 12 orang d. Jumlah TNI/Polri 27 orang

b. Jumlah wiraswasta 90 orang e. Jumlah TNI 15 orang

c. Jumlah pedagang 135 orang

2.

Didaerah manakah korban meninggal dunia yang paling banyak?

a. Sleman d. Magelang

b. Klaten e. Boyolali dan Magelang

c. Boyolali

3. Dari rataan, median, modus, dan kuartil yang merupakan ukuran pemusatan adalah ...

a. Rataan, median, dan modus d. Median, modus, dan kuartil

b. Rataan, median, dan kuartil e. Rataan median, modus, dan kuartil

c. Rataan, modus, dan kuartil

1

2

3 4

46


Bab 1 Statistika

4. Seorang ayah berumur tahun dan istrinya berumur 5 tahun lebh muda. Umur anak

yang pertama

tahun dan umur anak yang kedua

tahun. Jika umur

rata-rata mereka adalah 26 tahun, maka umur anak yang kedua adalah ...

a. 11 tahun d. 14 tahun

b. 12 tahun e. 15 tahun

c. 13 tahun

5.

Median dari data tersebut adalah ...

a.

d.

b.

e.

c.

6. Diketahui data: , 2, 4, 3, 2, 5, 9, 7, 6. Nilai bila diketahui jangkauan sama dengan 8

adalah ...

a. 1 d. 1 atau 10

b. 2 e. 2 atau 5

c. 10

7. Pada suatu ulangan yang diketahui oleh 50 siswa diperoleh nilai rata-rata adalah 36

dengan simpangan baku 15. Karena nilai rata-rata masih rendah, maka nilai tiap siswa

dikalikan 2 kemudian dikurangi 10. Simpangan baku yang baru adalah ...

a.

d. 20

b. 10 e. 30

c. 15

8. Pada suatu data diketahui:

dan

. Nilai

ragam adalah ...

a. 38 d. 40, 25

b. 39,5 e. 42

Nilai Frekuensi

44-48 49-53 54-58 59-63 64-68 69-73 74-78

8 9

11 30 28 12 2

47


Bab 1 Statistika

c. 39,75

9.

Kuartil atas dari data di atas adalah ...

a. 28,16 d. 29,16

b. 88,2 e. 29,36

c. 28,5

10. Berat badan rata-rata dua kelompok anak yang masing-masing terdiri dari 5 anak adalah

40 kg dan 44 kg. Bila seorang anak dari masing-masing kelompok ditukarkan, maka berat

badan rata-rata kedua kelompok tersebut menjadi sama. Selisih berat badan anak yang

ditukar adalah ...

a. 5 kg d. 13 kg

b. 10 kg e. 15 kg

c. 12 kg

B. Kerjakanlah soal-soal berikut dengan benar!

1. Tentukanrataan(mean), median, modus untuktiapkumpulan data di bawahini!

a. 10, 11, 14, 18, 18, 20, 21 d. 4, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 11

b. 8, 9, 13, 13, 17, 18, 20 e. 2, 2, 4, 5, 6, 6, 6, 9, 12, 13

c. 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 17

2.

Berdasar data di atas, buatlah:

a. Poligon frekuensi

b. Ogive positif

Nilai Frekuensi

11-15 3

16-20 11

21-25 15

26-30 16

31-35 3

36-40 2

Jumlah 50

Nilai 52-56 57-61 62-66 67-71 72-76 77-81

Frekuensi 4 6 10 12 8 8

48


Bab 1 Statistika

3.

Tentukan:

a. Rataan hitung

b. Ragam

c. Simpangan baku

d. Desil ke-3

e. Desil ke-5

Hasil Pengukuran 10-14 15-19 20-24 25-29 30-34 35-39 40-44

Frekuensi 6 8 16 20 22 18 10

49


Bab 1 Statistika

DAFTAR PUSTAKA

Suprijanto, H. Sigit, dkk. 2009. Matematika SMA Kelas XI Program IPA.Yudhistira:Jakarta.

Soedyarto, Nugroho,dkk.2008.Matematika 2 untuk SMA atau MA Kelas XI Program IPA. Jakarta: Pusat Perbukuan,Departemen Pendidikan Nasional. Djumanta, Wahyudin. 2008.Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika 2 : untuk Kelas XI Sekolah Menengah Atas /Madrasah Aliyah . Jakarta: Pusat Perbukuan,Departemen Pendidikan Nasional. Sutrima.2009.Wahana Matematika 2 : untuk SMA / MA Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam. Jakarta : Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional. Noormandiri,B.K..2007. Matematika Jilid 2A Untuk SMA Kelas XI IPA.Jakarta:Erlangga.

bab statistika

Documents