3.1 Pengenalan

Secara geometri, suatu vektor itu digambarkan oleh suatu tembereng garis iaitu suatu garis lurus yang menghubungkan dua titik dengan suatu tanda arah dipanggil tembereng garis berarah. Panjang tembereng garis berarah itu mewakili magnitud manakala arahnya mewakili arah vektor itu. Halaju, pecutan dan daya merupakan suatu contoh vektor yang kuantitinya mempunyai magnitud dan arah.

Isipadu, jisim, suhu, kerja dan tenaga merupakan suatu contoh skalar yang kuantitinya mempunyai magnitud tanpa arah. 3.2 Tatatanda Vektor Vektor yang bermula dari titik P dan berakhir di titik Q dinamakan vektor PQ dan begitulah sebaliknya.

BAB 3 : VEKTOR

P

Q

P

Q

PQ QP

Takrif 3.1 Vektor merupakan suatu kuantiti yang mempunyai magnitud dan arah.

Takrif 3.2 Suatu skalar terdiri daripada kuantiti-kuantiti yang mempunyai magnitud sahaja.

Suatu vektor juga boleh diwakili dengan tandaan a , b , u , v dan w . Magnitud bagi suatu vektor, katakan v ditandakan dengan || v . Suatu vektor yang bertentangan arah dengan v ditandakan v− .

3.3 Kesamaan Vektor

Contoh 1 :

3.4 Penambahan Vektor

i) Hukum segitiga

Untuk mendapatkan hasil tambah vektor u dan v, letakkan titik awal v pada titik akhir u, kemudian bina suatu segitiga.

v v−

P

Q

P

Q

Takrif 3.3 Dua vektor u dan v dikatakan sama jika dan hanya jika kedua-duanya mempunyai magnitud dan arah yang sama dan ditandakan sebagai u = v.

u u = v dan w = x v

w

x

Takrif 3.4 Jika u dan v suatu vektor, maka hasil tambah vektor u dan v ditulis sebagai u + v.

Contoh 2 :

ii) Hukum Segiempat Selari

Meletakkan u dan v pada titik awal yang sama, kemudian lukis segiempat selari dengan menggunakan u dan v sebagai sempadan.

Contoh 3 :

iii) Hasil Tambah Vektor-Vektor Bebas

Beberapa vektor bebas boleh ditambah menjadi satu vektor tunggal.

Contoh 4 :

Nota: Penambahan vektor adalah mematuhi sifat u + v = v + u (kalis tukar tertib)

u v u v

u + v

u

v

u

v

u + v

u v

a b

c x

w

1. a + b = x 2. a + b + c = w

3.5 Penolakan Vektor Contoh 5 :

Nota: Penolakan vektor tidak mematuhi hukum kalis tukar tertib tetapi

magnitudnya masih sama walaupun arahnya bertentangan. 3.6 Pendaraban Vektor Dengan Skalar

Contoh 6 : 3.7 Vektor Selari

Takrif 3.5 Jika u dan v suatu vektor, maka hasil tolak vektor u dan v ditulis sebagai u + (– v).

u

– v

v

u – v

Takrif 3.6 Jika v suatu vektor dan α suatu skalar, maka vα ialah gandaan skalar bagi v. Jika 0>α , maka vektor vα searah dengan v dan sebaliknya jika 0<α , maka vektor vα berlawanan arah dengan v.

v 2v -2v

Takrif 3.7 Dua vektor u dan v dikatakan selari jika u dan v mempunyai arah yang sama atau berlawanan arah dan v adalah setara dengan uαatau sebaliknya.

Contoh 7 :

3.8 Perwakilan Vektor Secara Berkomponen Sebarang vektor r (x, y, z) dalam ruang tiga dimensi boleh diwakili secara berkomponen seperti berikut :

kzjyixr ++= dengan i, j dan k masing-masing mewakili vektor unit pada paksi x, y dan z dalam satah. Vektor unit i, j, k.

i = (1, 0, 0) ialah vektor unit yang selari dengan paksi x. j = (0, 1, 0) ialah vektor unit yang selari dengan paksi y. k = (0, 0, 1) ialah vektor unit yang selari dengan paksi z. 3.8.1 Vektor Dalam Dua Dimensi (R2) Dua vektor unit di sepanjang paksi x dan y masing-masing ditandakan dengan i dan j.

Contoh 8 : jiu 43 +=

u

vu =α

-u

vu −=−α

y

x 3

4

i

j u

3.8.2 Vektor Dalam Tiga Dimensi (R3)

Tiga vektor unit di sepanjang paksi x, y dan z masing-masing ditandakan sebagai i, j dan k. Contoh 9 : kjiu 53 ++=

3.9 Vektor Kedudukan Contoh 10 Dua daya D dan E bertindak dari satu titik O (asalan). Jika D = 46N, θD = 0o dan E = 17N, θE = 90o. Dapatkan paduan daya tersebut. Penyelesaian Vektor kedudukan iOD 46= dan jOE 17= Maka paduan daya tersebut ialah jiOEOD 1746 +=+ .

x

y

z

u

i

j

k

31

5

Takrif 3.8 Jika O(0,0,0) ialah titik asalan dan P(a, b, c) sebarangan titik masing-masing dalam R3, maka vektor kedudukan bagi O dan Pditulis sebagai

=OP (a, b, c) – (0, 0, 0) = (a, b, c)

3.10 Komponen Vektor Contoh 11 Diberi P(5, 2, 1) dan Q(6, 1, 7) dua titik dalam R3. Cari komponen vektor PQ . Penyelesaian

OPOQPQ −= = (6, 1, 7) – (5, 2, 1) = (1, –1, 6). 3.11 Magnitud (Panjang) Vektor Contoh 12 Cari magnitud bagi vektor-vektor berikut : i) u = (5, 2) ii) u = (5, 2, 1) Penyelesaian i) 2925|| 22 =+=u ii) 30125|| 222 =++=u

Takrif 3.10 Jika u suatu vektor yang mempunyai komponen (a, b, c), maka magnitud bagi vektor u diberi oleh

222|| cbau ++=

Takrif 3.9 Jika P dan Q dua titik dalam R3 dengan P(a, b, c) dan Q(x, y, z), maka komponen vektor bagi P dan Q ditulis sebagai

),,(),,(),,( czbyaxcbazyxOPOQPQ −−−=−=−=

Contoh 13 P dan Q masing-masing mewakili titik (5, 2, 1) dan (6, 1, 7) dalam R3. Dapatkan jarak dari dari P ke Q. Penyelesaian

386)1(1)17()21()56(|| 222222 =+−+=−+−+−=PQ 3.12 Vektor Unit

Vektor unit adalah suatu vektor yang bermagnitud satu unit. Kebiasaannya, tanda ‘^’ digunakan untuk menunjukkan vektor unit. Untuk mendapatkan vektor unit dalam arah suatu vektor u, maka vektor u perlu didarabkan dengan

||1u

dengan || u merupakan

magnitud bagi vektor u. Oleh itu, || u

u mewakili vektor unit dalam arah

u. Contoh 14 Jika u = 3i + 4j + 2k, cari vektor unit yang searah dengan u. Penyelesaian 29243|| 222 =++=u

kjiu292

294

293

++=∧

Takrif 3.12 Jika u suatu vektor, maka vektor unit bagi u ditulis sebagai

|| uuu =

∧

dengan 1|| =∧

u .

Takrif 3.11 Jika P titik dengan koordinat (a, b, c) dan Q titik koordinat dengan (x, y, z) maka jarak dari P ke Q diberi oleh

222 )()()(|| czbyaxPQ −+−+−=

3.13 Kosinus Arah Suatu Vektor

Jika OP = xi + yj + zk dengan OP membina sudut α pada paksi x, sudut β pada paksi y dan sudut γ dengan paksi z, maka kosinus arah bagi OP ditakrifkan sebagai :

kos α =

|| OPx , kos β =

|| OPy , kos γ =

|| OPz . [ 0 ≤ α, β, γ ≤ 1800]

Contoh 15 Jika u = 6i -5j + 8k, cari kosinus arah bagi u.

Penyelesaian 55125642536|| ==++=u .

kos α = 55

6 , kos β = 555− , kos γ =

558

3.14 Operasi-Operasi Vektor Secara Berkomponen

Takrif 3.13 Jika u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3) dan k suatu skalar, maka

i) u + v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3) ii) u - v = (u1 - v1, u2 - v2, u3 - v3) iii) ku = (ku1, ku2, ku3)

x

y

z

O

P

Contoh 16 Diberi u = (2, -1, 1) dan v = (1, 3, -2). Cari i) u + v ii) u – v iii) v – u iv) 3u v) 4v

Penyelesaian i) u + v = (3, 2, -1) ii) u – v = (1, -4, 3) iii) v – u = (-1, 4, -3) iv) 3u = (6, -3, 3) v) 4v = (4, 12, -8) Sifat-Sifat Vektor Jika a, b, dan c suatu vektor, k dan t suatu skalar, maka i) a + b = b + a ii) a + (b + c) = (a + b) + c iii) a + 0 = 0 + a = a iv) a + (-a) = (-a) + a = 0 v) k(a + b) = ka + kb vi) (k + t)a = ka + ta vii) k(tb) = (kt)b viii) 0c = 0 ix) 1a = a x) -1b = -b 3.15 Hasil Darab Dua Vektor

Takrif 3.14 (Hasil Darab Titik) Jika u dan v sebarangan vektor, maka hasil darab titik antara vektor u dan v ditakrifkan sebagai

u · v = |u||v| kos θ ; 0 < θ < π

Contoh 17 Jika u = 4i – 5j – k dan v = i + 2j + 3k, cari sudut antara u dan v. Penyelesaian u · v = 9)31()25()14( −=×−+×−+×

42)1()5(4|| 222 =−+−+=u 14321|| 222 =++=v

Oleh kerana, u · v = |u||v| kos θ, maka

14729

14429

||||−

=−

=•

=vuvukosθ

Jadi,

01 79.11114729

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −= −kosθ .

Sifat-Sifat Hasil Darab Titik i) u . v = v . u

ii) u . ( v + w ) = u . v + u . w

iii) ( u + v ) . ( w + z ) = u . w + v . w + u . z + v . z

iv) Jika k suatu skalar, maka k(u . v) = (ku) . v = u . (kv)

v) i.i = j.j = k.k = 1

vi) Jika u dan v adalah serenjang, maka u . v = 0 (sudut 900) vii) i . j = j . k = k . i = 0 viii) u . u = |u|2

Teorem 1 Jika u = u1i + u2j + u3k dan v = v1i + v2j + v3k sebarangan vektor dalam R3, maka

u · v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3

Contoh 18 Jika u = 3i + 6j + k dan v = 4i + 5j – 2k. Cari i) vu × ii) uv × Penyelesaian i) u x v = -17i + 10j – 9k ii) v x u = 17i –10j + 9k

Vektor u, v dan

^n membentuk suatu sistem tangan kanan iaitu

Takrif 3.15 (Hasil Darab Silang) Jika u = (u1, u2, u3) dan v = (v1, v2, v3) sebarangan vektor, maka hasil darab silang antara vektor u dan v ditakrifkan sebagai

kvuvujvuvuivuvuvvvuuukji

vu )()()( 122113312332

321

321 −+−−−==×

Teorem 2 Jika u = (u1, u2, u3) dan v = (v1, v2, v3) sebarangan vektor dalam R3, maka

u x v = |u||v| sin θ ^n

dengan θ ialah sudut antara u dan v dan

^n ialah vektor unit normal

yang serenjang dengan u dan v.

^n

^n

u

u

v v

θ

θ

u x v v x u

Perhatikan : u x v = |u||v| sin θ

^n

|u x v| = ||u||v| sin θ ^n |

|u x v| = |u||v| sin θ = Luas segiempat selari yang dibentuk oleh u dan

v.

Contoh 19 Cari sudut di antara vektor u = 4i + 5j – 3k dan v = 2i + j. Penyeleaian

u x v = =−012354

kji3i – 6j – 6k

|u x v| = 9)6()6(3 222 =−+−+ |u| = 25 dan |v| = 5

sin θ = vuvu× =

5259 = 0.5692

θ = ( )5692.0sin 1− = 34.70o

Sifat-Sifat Hasil Darab Silang Jika u, v, w adalah vektor dan k adalah skalar, maka i) u x v = - v x u ii) u x (v + w) = u x v + u x w iii) u x kv = (ku) x v = k(u x v) iv) u x 0 = 0 x u = 0 v) u x u = 0 vi) |u x v| = |u||v| sin θ vii) i x i = j x j = k x k = 0 viii) i x j = k ; j x k = i ; k x i = j ix) j x i = -k ; ; k x j = -i ; i x k = -j

3.16 Penggunaan Hasil Darab Skalar dan Hasil Darab Vektor i) Unjuran

Suatu vektor u boleh dihuraikan kepada hasiltambah dua vektor w1 dan w2 dengan w1 selari dengan vektor a dan w2 berserenjang dengan a.

w1 – unjuran u ke atas a w2 – unjuran u berserenjang dengan a

Contoh 20

Diberi u = i + j + k dan a = 2i - 2j + 4k. Cari unjuran u pada a dan komponen u berserenjang dengan a. Penyelesaian

u . a = 1(2) + 1(-2) + 1(4) = 4 |a|2 = 22 + (-2)2 + (4)2 = 24

w1 = 244 (2, -2, 4) = ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

32,

31,

31

w2 = u - w1 = (1, 1, 1) – ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

32,

31,

31 = ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛31,

34,

32 .

w2

w1

u

a

u = w1 + w2

Teorem 3 Jika u suatu vektor yang diperolehi daripada hasiltambah vektor w1 dan w2 dan a selari dengan w1, maka

w1 = aa

au⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛2

. dan w2 = u – w1

ii) Luas Segitiga dan Segiempat Selari

Contoh 21 Cari luas segitiga dan segiempat selari yang dibina oleh titik A(1,-1, 0), B(2, 1, -1) dan C(-1, 1, 2). Penyelesaian

)1,2,1()0,1,1()1,1,2( −=−−−=−= OAOBAB )2,2,2()0,1,1()2,1,1( −=−−−=−= OAOCAC

=−

−=×222121

kjiACAB 6i + 6k = (6, 0, 6)

Luas segitiga ABC = ½ || ACAB ×

= ½ |6i + 6j| = ½ 22 66 + = ½ 72 = 23 Luas segiempat selari yang dibina oleh AB dan AC ialah || ACAB × = 72 .

O

A C

Bθ

a

b

Luas segitiga OBC = ½ |a| |b| sin θ = ½ |a x b|

Luas segiempat selari OBCA = |a| |b| sin θ = |a x b|

iii) Isipadu Parallelepiped dan Tetrahedron Parallelepiped dibina oleh tiga vektor a, b dan c.

Jika | b x c | adalah luas segiempat selari yang dibina oleh vektor a dan b, maka isipadu Parallelepiped diberi oleh V = | a . ( b x c ) |.

Perhatikan:

i) a . (b x c) = (a x b) . c

ii) Jika a . (b x c) = 0, maka ketiga-tiga vektor sesatah.

Isipadu Tetrahedron yang dibina oleh vektor-vektor a, b, dan c pula diberi oleh V =

61 | a . (b x c) |

a bc

a b

cO

A

B

C

iv) Persamaan Satah

Katakan P(x, y, z) adalah suatu titik pada satah S dan n adalah suatu vektor yang tegak kepada satah S. Jika P1(x1, y1, z1) adalah suatu titik tetap pada satah S, maka

PP1 . n = 0

(x – x1, y – y1, z – z1) . (a, b, c) = 0 a(x – x1) + b(y – y1) + c(z – z1) = 0

Oleh itu, persamaan satah diberi oleh ax + by + cz + k = 0; dengan k = – ax1 – by1 – cz1 Contoh 22 Cari persamaan satah yang melalui titik P(3,-1,7) dan serenjang dengan vektor n = (4, 2,5). Penyelesaian Katakan Q(x, y, z) sebarang titik pada satah S dan melalui titik P(3,-1,7) maka

PQ . n = 0 (x – 3, y + 1, z – 7) . (a, b, c) = 0 a(x – 3) + b (y + 1) + c(z – 7) = 0

Oleh itu, persamaan satah yang melalui titik P dan serenjang dengan vektor n ialah 4x + 2y + 5z – 45 = 0.

S

n = (a, b, c)

P = (x, y, z)

P1 = (x1, y1, z1)

v) Persamaan Garis Lurus Berparameter Dalam R3

Katalah l adalah suatu garis lurus dalam tiga dimensi yang melalui titik A(x1, y1, z1) dan selari dengan vektor v. Jika B(x, y, z) adalah sebarang titik pada l, maka

AB = t . v ; t pemalar iaitu (x – x1, y – y1, z – z1) = t . (a, b, c) = (ta, tb, tc) Oleh itu, persamaan garis lurus berparameter boleh ditulis sebagai

x = x1 + ta y = y1 + tb z = z1 + tc atau

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

cba

tzyx

zyx

1

1

1

Persamaan ini boleh diturunkan kepada bentuk persamaan garis Cartesan iaitu

t = .0,,,111 ≠−

=−

=−

cbac

zzb

yya

xx

Contoh 23 a) Cari persamaan garis lurus berparameter yang melalui titik P(1, 2, 3)

dan selari dengan vektor v = (1, -1, 2).

A(x1, y1, z1)

B(x, y, z)

v(a, b, c)

l

b) Cari persamaan garis Cartesan dalam soalan (a) di atas Penyelesaian a) Katakan Q(x, y, z) sebarang titik pada garis l, maka

PQ = t . v ; t pemalar (x – 1, y – 2, z – 3) = t . (1, -1, 2)

Oleh itu, persamaan garis berparameter ialah

x = 1 + t y = 2 – t z = 3 + 2t atau

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

21

1

321

tzyx

b) Daripada keputusan dalam (a) di atas, persamaan garis Cartesan

ialah

t = 2

31

21

1 −=

−=

− zyx