Analisis Vektor

Lingkup Bahasan Skalar dan Vektor Aljabar Vektor Sistem Koordinat Persegi Komponen-komponen Vektor dan Vektor

Satuan Medan Vektor Hasil Kali Titik/Dot Product Hasil Kali Silang/Cross Product Sistem Koordinat Silinder Sistem Koordinat Bola

Skalar dan Vektor

Perbedaan mendasar

Aspek Skalar Vektor

Besaran Ada Ada

Arah Tidak ada Ada

Skalar dan Vektor

Vektor dapat dinyatakan dalam bentuk panah. Panjang panah menyatakan besarnya vektor dan arah panah menunjukkan arah vektor

Ekor panah disebut titik awal dan ujung panah disebut titik terminal

Jika titik awal suatu vektor v adalah P dan titik terminalnya adalah Q, maka dapat dituliskan sbb:

Besaran vektor tersebut ditulis dalam bentuk:

Vektor yang mempunyai panjang dan arah yang sama disebut vektor ekivalen (sama)misalnya

Vektor nol merupakan vektor yang mempunyai besar 0

v PQ///////////// /

v PQ////////////////////////////

t x

P

Q

v

t

xt

x

v

Aljabar vektorJika A,B,C adalah vektor-vektor dan m,n skalar-skalar,maka: A+B=B+A Hukum komutatif

penjumlahan A+(B+C)=(A+B)+C Hukum asosiatif

penjumlahan mA=Am Hukum komutatif perkalian m(nA)=(mn)A Hukum asosiatif perkalian (m+n)A=mA+nA Hukum distributif m(A+B)=mA+mB Hukum distributif Hasil penjumlahan vektor juga merupakan vektor (sifat

tertutup) 1A =A Sifat identitas 0A = 0, m0 = 0. Jika mA = 0, maka m=0 atau A = 0

Jumlah atau resultan dari vektor-vektor dapat ditentukan dengan hukum jajargenjang seperti di bawah ini:

v

u

u+v

cos||||2|||||| 22 vuvuvu

Pengurangan Vektor Apabila pengurangan vektor maka

caranya sama seperti penjumlahan namun vektor yang mengurangi dibalik arahnya

B

-B

A

A-B

cos||||2|||||| 22 vuvuvu

Besar Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan

22 )()(|| dbcavu

db

ca

d

c

b

avu

d

cvdan

b

auJika

nPenguranga

22 )()(|| dbcavu

db

ca

d

c

b

avu

d

cvdan

b

auJika

nPenjumlaha

Komponen-komponen Vektor dan Vektor Satuan

Vektor komponen adalah vektor yang memiliki arah yang sama dengan salah satu sumbu koordinat

Magnitudo/ besar vektor komponen ditentukan oleh vektor yang bersangkutan namun arahnya selalu diketahui dan bersifat konstan

Vektor x, y, dan z merupakan komponen dari vektor r berturut-turut dalam arah x, y, z seperti yang terlihat pada gambar ini

z

r

y y

z

x

xr=x+y+z

Jumlah dari vektor-vektor komponen yang sejajar dengan sumbu x, y, dan z membentuk suatu vektor sehingga dapat disimpulkan bahwa vektor komponen merupakan penyusun suatu vektor

Vektor satuan Vektor satuan merupakan sebuah

vektor yang besarnya satu dan arahnya sejajar sumbu koordinat

Arah vektor satuan sejajar dengan arah sumbu koordinat pada arah bertambahnya harga koordinat

Jika A adalah sebuah vektor yang besarnya A K0 maka A/A adalah sebuah vektor satuan yang arahnya sama dengan A

Besar vektor A yang dinyatakan dalam |A| dapat dihitung dengan persamaan:

Sehingga vektor satuan a dinyatakan: a= A

|A|

2 2 2| | x y zA A A A

Terminologi:

1. Vektor posisi2. Fungsi vektor berdasar posisi3. Fungsi skalar berdasar posisi

Vektor posisi dengan titik awal di pusat koordinat O dan posisi di (x,y,z), dapat ditulis sebagai:

r xi y j zk

2 2 2r x y z

dengan magnitude sebesar:

Contoh Soal

1. Cari sebuah vektor satuan yang sejajar resultan dari vektor-vektor r1=2i+4j-5k, r2=i+2j+3k

Jawab: Resultan=r1+r2=(2i+4j-5k)+(i+2j+3k)

=3i+6j-2k2 2 2| | | 3 6 2 | 3 6 ( 2) 7

3 6 2 3 6 2

| | 7 7 7 7

R i j k

R i j kVektorsatuan i j k

R

Medan Skalar:

Jika di masing-2 titik (x,y,z) di region R koresponding terhadap Φ(x,y,z), maka Φ disebut fungsi skalar terhadap posisi.

Contoh:(1)Temperatur pada setiap titik di muka bumi pada waktu tertentu

merupakan fungsi medan skalar.

(2) Φ(x,y,z)= x3y-z2 adalah medan skalar

Medan Vektor

Jika pada tiap-tiap titik (x,y,z) dari daerah R dalam ruang dikaitkan dengan sebuah vektor V(x,y,z) maka V disebut fungsi vektor dari kedudukan.

Medan vektor V merupakan fungsi vektor dari vektor kedudukan yang telah didefenisikan dalam R.

Dot product A . B = |A| |B| cos

Hukum-hukum yang berlaku:1. A.B=B.A hukum komutatif2. A.(B+C)=A.B+A.C hukum distributif3. n(A.B) = (nA).B = A.(nB) = (A.B).n 4. i.i=j.j=k.k=1, i.j=j.k=k.i=05. Jika A.B=0, A dan B bukan vektor nol

maka A dan B tegak lurus

Cross product A X B = |A| |B| sin

Hukum-hukum yang berlaku:1. AxB=-BxA komutatif tak

berlaku2. Ax(B+C)=AxB+AxC distributif3. m(AxB)= (mA)xB= Ax(mB)= (AxB)m4. ixi=jxj=kxk=0, ixj=k, jxk=i, kxi=j5. Jika AxB=0, A dan B bukan vektor nol

maka A dan B sejajar

Perbedaan Dot dan Cross

Aspek Dot Cross

Fungsi trigonometri cos sin

Hukum komutatif berlaku Tidak berlaku

AxB=0 A dan B tegak lurus

A dan B sejajar

Contoh Soal Diketahui F=2ax-5ay-4az dan G=3ax+5ay+2az.

Carilah: (a)F.G (b)sudut antara F dan G Jawab a)F.G=(2ax-5ay-4az)(3ax+5ay+2az)

=6-25-8 =-27

b)Sudut antara F dan G F.G = |F||G| cos

2 2 2 2 2 2

1

27cos

2 ( 5) ( 4) . 3 5 2

27cos 0,65

45. 38

cos 0,65 130,54o

Sistem Koordinat dalam Analisis Vektor

Ada 3 jenis koordinat yang digunakan dalam analisis vektor yaitu:

1. Koordinat Cartesius/Cartesian

2. Koordinat silinder3. Koordinat bola

Sistem Koordinat Cartesian Koordinat Cartesian digunakan untuk

menyatakan benda yang mempunyai bentuk siku seperti garis lurus, bidang datar siku dan ruang siku-siku

Koordinat Cartesian yang digunakan dapat berupa:

1. 2 dimensi (terdiri dari sumbu x dan y saja)

2. 3 dimensi (terdiri dari sumbu x, y, z)

Sistem Koordinat Cartesian 2 Dimensi Koordinat Cartesian 2 dimensi digunakan

untuk menggambarkan objek 1 dimensi dan 2 dimensi

Obyek 1 dimensi dapat berupa garis lurus ataupun garis lengkung

Obyek 2 dimensi berupa bidang datary

x0

Sistem Koordinat Cartesian 3 dimensi

Memakai tiga sumbu koordinat yang saling tegak lurus, dan menamakannya sumbu X,Y dan Z.

Z

Y

X

Sistem Koordinat Cartesian 3 Dimensi Biasanya dipakai sistem koordinat putar

kanan: perputaran sumbu x menuju sumbu y akan mengakibatkan sebuah sekrup berorientasi tangan kanan bergerak ke arah yang ditunjukkan oleh sumbu z positif

Koordinat Cartesian 3 dimensi digunakan untuk menggambar obyek berupa 1 dimensi, 2 dimensi, atau 3 dimensi

Sistem Koordinat Silinder

Koordinat silinder atau koordinat tabung digunakan untuk menggambarkan obyek yang berbentuk lingkaran dengan simetri yang khas

Terdapat 3 sumbu koordinat pada koordinat tabung:

1. sumbu 2. sumbu 3. sumbu z

Sistem Koordinat Silinder (cont’d)

Berikut ini gambar vektor pada koordinat silinder

Sistem Koordinat Silinder (cont’d) Peubah dalam koordinat Cartesian dan

koordinat tabung dapat ditemukan hubungan sebagai berikut:

x= cos y= sin z=z Atau sebaliknya:

2 2

1

; ( 0)

tan

x y

y

xz z

Sistem Koordinat Silinder (cont’d)

Koordinat bola digunakan untuk menyatakan suatu objek yang mempunyai bentuk simetri bola. Contoh adalah medan listrik yang ditimbulkan oleh sebuah muatan titik.

Berdasarkan rumus:

E=1/4πε0 qr2

Maka titik-titik yang berjari-jari sama akan mempunyai medan listrik yang sama.

Posisi medan yang berada di sekitar muatan titik akan sulit dijelaskan dengan koordinat Cartesius maupun tabung karena bentuk medan yang bundar. Oleh karena itu digunakan sistem koordinat bola agar mudah dibayangkan.

Untuk menyatakan besaran vektor, koordinat bola menggunakan 3 sumbu koordinat yaitu r, ø dan

Sistem Koordinat Bola

Penggambaran sistem koordinat bola

Sistem Koordinat Bola (cont’d)

Mengubah Koordinat Kartesius ke Bola dan Sebaliknya Dari kartesius ke bola: X=r sin cos Y=r sin sin Z=r cos

Dari bola ke kartesius r=x2+y2+z2 (r>0)

1

2 2 2cos

z

x y z

0(0 180 )o

1tany

x

Contoh Soal Tanya: Nyatakan medan temperatur

T=240+z2-2xy dalam koordinat tabung Jawab:Hubungan cartesian dan koordinat tabungX= cos Y= sin maka T=240+z2-2 ( cos )( sin )

=240+z2- 2sin2

Penerapan Analisa Vektor dalam Kehidupan Sehari-hari

Pengukuran yang lebih efektif dari sinyal RF seperti Bluetooth, GSM, or 802.11 wireless networking

Air traffic control untuk membantu navigasi pesawat terbang

Pembedahan cacat mata astigmatisma

Referensi

Hayt,William.H.”Elektromagnetika Edisi ke-7”.Erlangga

Spiegel, Murray R.1994.”Analisis Vektor”.Erlangga

SOAL PR, Tugas Individu, Kumpul 10

Februari 2011

Misalkan u = (1,2,3) v = (2,-3,1) w = (3,2,-1) carilah komponen vektor x yang memenuhi : 2u – v + x = 7x + w

Misalkan u,v,w adalah vektor seperti soal 1, carilah skalar c1, c2 dan c3 sehingga :c1u + c2v + c3w = (6,14,-2)

Hitunglah jarak antara P1(8,-4,2) dan P2 (-6,-1,0)

Carilah semua skalar sehingga dimana v = (1,2,4)

3kv