REGRESI LINEAR BERGANDA DAN

REGRESI (TREND) NONLINEAR

Lucky Maharani Safitri 140422606628Martha Yolanda Permatadewi 140422600447Maulida Isnaini 140422604880Mustika Anggi Permono 140422603755

HUBUNGAN LEBIH DARI DUA VARIABEL REGRESI LINEAR

BERGANDA

Apabila terdapat lebih dari dua variabel, maka hubungan linear dapat dinyatakan dalam persamaan regresi linear berganda sebagai berikut :

Y’= b0 + b1X1 + b2X2 + . . . + bkXk

Disini ada satu variabel tidak bebas, yaitu Y’ dan ada k varibel bebas, yaitu X1, . . . , Xk

Untuk menghitung b0, b1, b2, . . . , bk kita gunakan metode kuadrat terkecil yang menghasilkan persamaan normal sebagai berikut :

b0 n + b1 X1 + b2 X2 + . . . + bk Xk = Yb0 X1 + b1 X1

2 + b2 X1X2 + . . . + bk X1Xk = X1Yb0 X2 + b1 X2 X1 + b2 X2

2 + . . . + bk X2Xk = X2Y . . . . . . . . . . . . . . .

b0 Xk + b1 X1 Xk + b2 X2Xk + . . . + bk Xk2 = XkY

Kalau persamaan ini dipecahkan, kita akan memperoleh nilai b0, b1, b2, . . . , bk. Kemudian dapat dibentuk persamaan regresi linear berganda.

Apabila persamaan regresi itu telah diperoleh, barulah kita dapat meramalkan nilai Y dengan syarat kalau nilai X1, X2, . . . ., Xk sebagai variabel bebas sudah diketahui.

Misalkan: k =2, maka Y’ = b0 + b1X1 + b2X2, satu variabel tak bebas(Y), dan dua variabel bebas (X1 dan X2), maka b0, b1, dan b2 dihitung dari persamaan normal berikut :

b0 n + b1 X1 + b2 X2 = Yb0 X1 + b1 X1X1

+ b2 X1X2 = X1Yb0 X2 + b1 X2 X1 + b2 X2X2

= X2YPersamaan diatas dapat dinyatakan dalam

persamaan matriks berikut :

Dengan : A = matriks (diketahui)H = vektor kolom (diketahui)b = vektor kolom (tidak diketahui)

HbA

YXYX

Y

bbb

XXXXXXXX

XXn

2

1

2

1

0

22122

212

11

21

Variabel b dapat diselesaikan dengan cara sebagai berikut :

Ab= Hb = A-1H

Dimana A-1 adalah kebalikan (invers) dari matriks A

CARA MEMECAHKAN PERSAMAAN LEBIH DARI DUA VARIABEL

2221

1211

aaaa

AMatriks

21122211 aaaaA Determinan A = det (A) =

+ -

32

22

12

31

21

11

333231

232221

131211

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaaaaaaaa

Aatauaaaaaaaaa

A

 

1251531321

941323642

BA

det(A) = 2.2.9 + 4.3.1 + 6.4.3 - 1.2.6 - 3.4.9 - 2.3.4= 36 + 12 + 72 – 12 – 108 – 24= -24

det(B) = 1.3.12 + 2.5.1 + 3.1.5 - 1.3.3 – 1.2.12 – 1.5.5= 36 + 10 + 15 – 9 – 24 – 25= 3

Contoh 8.2

3333232131

2323222121

1313212111

hbababahbababahbababa

AAb

AAb

AAb

detdet

detdet

detdet 3

32

21

1

33231

22221

11211

3

33331

23221

13111

2

33323

23222

13121

1

haahaahaa

Aahaahaaha

Aaahaahaah

A

3

2

1

3

2

1

333231

232221

131211

hhh

bbb

aaaaaaaaa

A b H

2b1 + b2 + 4b3 = 163b1 + 2b2 + b3 = 10 b1 +3b2 + 3b2 = 16

331123412

A

161016

331123412

3

2

1

bbb

163110231612

316111034162

331612104116

321 AAA

Contoh 8.3

A b H

det(A) = 2.2.3 + 1.1.1 + 4.3.3 - 1.2.4 - 3.1.3 - 2.1.3= 26

det(A1) = 16.2.3 + 1.1.16 + 4.3.10 – 16.2.4 – 10.1.3 - 16.1.3= 26

det(A2) = 2.10.3 + 16.1.1 + 4.16.3 - 1.10.4 - 3.16.3 - 2.1.16= 52

det(A3) = 2.2.16 + 1.10.1 + 16.3.3 - 1.2.16 - 3.1.16 - 2.10.3= 78

1

2626

detdet 1

1 AAb

22652

detdet 2

2 AAb

3

2678

detdet 3

3 AAb

Dalam suatu penelitian yang dilakukan terhadap 10 rumah tangga yang dipilih secara acak, diperoleh data pengeluaran untuk pembelian barang-barang tahan lama per minggu (Y), pendapatan per minggu (X1), dan jumlah anggota rumah tangga (X2) sebagai berikut :

seandainya suatu rumah tangga mempunyai X1 dan X2, masing-masing 11 dan 8. berapa besarnya nilai Y. Artinya, berapa ratus rupiah rumah tangga yang bersangkutan akan mengeluarkan untuk pembelian barang-barang tahan lama ?

Y (ratusan rupiah) 23

7 15

17

23

22

10

14

20

19

X1 (ribuan rupiah) 10

2 4 6 8 7 4 6 7 6

X2 (orang) 7 3 2 4 6 5 3 3 4 3

Contoh 8.4

Y X1 X2 X1Y X2Y X1X2 Y2 X12 X2

2

23 10 7 230 161 70 529 100 497 2 3 14 21 6 49 4 9

15 4 2 60 30 8 225 16 417 6 4 102 68 24 289 36 1623 8 6 184 138 48 529 64 3622 7 5 154 110 35 484 49 2510 4 3 40 30 12 100 16 914 6 3 84 42 18 196 36 920 7 4 140 80 28 400 49 1619 6 3 114 57 18 361 36 9

170Y 601X 402X 26721 XX 122.11YX 7372YX 162.32Y 40621X 1822

2X

Tabel 8.2

737122.1

170

1822674026740660406010

2

1

0

bbb

b0 = 3,92 b1= 2,50 b2= -0,48

Y = b0 + b1 X1 + b2 X2

Y = 3,92 + 2,50 X1 – 0,48 X2

Y = 3,92 + 2,50 (11) – 0,48 (8) = 31,42 – 3,83 =27,58

KORELASI BERGANDA• Apabila kita mempunyai tiga variabel Y, X1, X2,

maka korelasi X1 dan Y digambarkan dengan rumus berikut :

• Korelasi X2 dan Y digambarkan dengan rumus berikut :

• Korelasi X1 dan X2 digambarkan dengan rumus berikut :

22

1

1

1

ii

iiyyx

yx

yxrr i

22

2

2

22

ii

i

yyx

yx

yxrr i

22

21

211221

ii

ixx

xx

xixrr

• Kalau kita ingin mengetahui kuatnya hubungan antara variabel Y dengan beberapa variabel X lainnya (misalnya antara Y dengan X1 dan X2), maka kita harus menggunakan suatu koefisien korelasi yang disebut koefisien korelasi linear berganda (KKLB) yang rumusnya adalah sebagai berikut :

• Apabila KKLB dikuadratkan, maka akan diperoleh koefisien penentuan (KP), yaitu suatu nilai untuk mengukur besarnya sumbangan dari beberapa variabel X terhadap variasi (naik-turunnya) Y. Kalau Y’ = b0 + b1X1 + b2X2, KP mengukur besarnya sumbangan X1 dan X2 terhadap variasi, atau naik turunnya Y.

• Apabila dikalikan dengan 100% akan diperoleh persentase sumbangan X1 dan X2 terhadap naik-turunnya Y.

212

12212

22

112. 1

2

r

rrrrrRKKLB yyyy

y

2

12.yRKP

222112

12.i

iiiiy y

yxbyxbRKP

22

22

22

222

11

111

1

1

1

ii

ii

iiii

iiii

iiii

iiii

Yn

Y

YYy

YXn

YX

YYXXyx

YXn

YX

YYXXyx

Koefisien penentuan dapat juga dihitung berdasarkan rumus berikut :

Y = 3,92 + 2,50 X1 – 0,48 X2Y = b0 + b1 X1 + b2 X2

272170101162.3

1

5717040101737

1

10217060101122.1

1

2

222

222

111

iii

iiiiii

iiiiii

Yn

Yy

YXn

YXyx

YXn

YXyx

84,08369,0272

5748,010250,2

22211

212.

KP

KP

yyxbyxb

KP

RKP

i

iiii

y

90,08369,0

212.

12.

KKLB

RKKLB

RKKLB

y

y

Contoh 8.5

KOEFISIEN KORELASI PARSIAL

• Kalau variabel Y berkorelasi dengan X1 dan X2, maka koefisien korelasi antara Y dan X1 (X2 konstan), antara Y dan X2 (X1 konstan), dan antara X1 dan X2 (Y konstan) disebut Koefisien Korelasi Parsial (KKP)

• Koefisien korelasi parsial X1 dan Y, kalau X2 konstan

• Koefisien korelasi parsial X2 dan Y, kalau X1 konstan

• Koefisien korelasi parsial X1 dan X2, kalau Y konstan

212

22

12212.1

11 rr

rrrr

y

yyy

2

12

2

1

1212

1.2 11 rrrrr

ry

yy

y

22

21

2112.12

11 yy

yyy

rr

rrrr

2.1yr Koefisien Korelasi Parsial antara biaya iklan dan hasil penjualan kalau pendapatan konstan. Jadi pengaruh pendapatan terhadap hasil penjualan tidak diperhitungkan.

Koefisien Korelasi Parsial antara biaya iklan dan pendapatan kalau hasil penjualan konstan. Jadi pengaruh hasil penjualan terhadap pendapatan tidak diperhitungkan.

Koefisien Korelasi Parsial antara pendapatan dan hasil penjualan kalau biaya iklan konstan. Jadi pengaruh iklan terhadap hasil penjualan tidak diperhitungkan.

1.2 yr

yr .12

Contoh 8.6

• Dengan menggunakan contoh 8.4, hitunglah koefisien korelasi parsial antara X1 dan Y, X2 dan Y, serta X1 dan X2.

Penyelesaian

272170101162.3

1

5717040101737

1

10217060101122.1

1

2

222

222

111

iii

iiiiii

iiiiii

Yn

Yy

YXn

YXyx

YXn

YXyx

27)40)(60(101267

1

2240101182

)(1

4660101406

)(1

212121

211

2

2

2

2

211

2

1

2

iiiiii

iii

iii

XXn

XXXX

Xn

Xn

xx

xx

80,0)85,0(1)74,0(1

)85,0)(74,0(91,0

11

22

2

12

2

2

1221

2.1

rrrrr

ry

yy

y

15,0)85,0(1)91,0(1

)85,0)(91,0(74,0

11

22

2

12

2

1

1212

1.2

rrrrr

ry

yy

y

63,0)74,0(1)91,0(1

)74,0)(91,0(85,0

11

22

2

2

2

1

2112

.12

yy

yy

y rrrrr

r

Terima kasih