SISTEM PENGUKURANSISTEM PENGUKURANSISTEM PENGUKURANSISTEM PENGUKURAN

Analisis Pemodelan berdasarkan karakteristik dinamik

DISUSUN OLEH:

Dr. Yeffry Handoko Putra, ST., M.T

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

146146

� Karakteristik dinamik suatu sistem atau instrumen menyatakan perilaku respons sistem saat transien (untuk input step) dan perilaku sistem jika mendapatkan input yang berubah-ubah.

� Karakteristik dinamik sistem instrumentasi pengukuran dapat menyebabkan kesalahan pengukuran, yang terjadi saat transien atau jika yang diukur adalah sinyal yang berubah terhadap waktu (sinyal dinamis).

� Karena itu pada umumnya sistem proses dalam keadaan start-up mempunyai sistem monitoring dan pengontrol yang terpisah dari saat sistem dalam keadaan operasi.

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

147147

� Karakteristik dinamik sistem atau instrumen tergantung pada keadaan fisis sistem atau instrumen tersebut

� Contoh:

� Benda yang dimasukkan pada air mendidih bersuhu 100oC, tidak akan langsung mempunyai suhu 100oC, tetapi perlu waktu supaya temperatur benda mencapai 100oC. Waktu yang diperlukan benda mencapai suhu 100oC tergantung pada harga konstanta waktu benda (τ). Konstanta waktu benda (τ) tergantung pada ukuran dan macam bahan benda, kalor yang dapat diambil benda dan kapasitas kalor benda.� Sistem Termal

� Pegas yang ditekan dengan suatu gaya tertentu dan kemudian tekanan dilepaskan akan bergoyang naik –turun di sekitar titik kesetimbangannya, frekuensi goyangan pegas disebut frekuensi natural (ωn) yang tergantung pada konstanta pegas dan massa pegas. �Sistem Mekanik

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

148148

� Sistem termal adalah sistem orde satu, karena jika sistem termal tersebut dianalisis secara matematis, maka hubungan antara output-input dinyatakan dalam persamaan diferensial orde satu.

� Sistem orde satu lainnya adalah sistem pengisian tangki, jika pada t = 0 kran dibuka, maka tinggi cairan dalam tangki akan beranjak dari level 0, dan setelah beberapa saat barulah level cairan dalam tangki akan maksimum.

� Sistem mekanis adalah sistem orde dua, yang dikarakterisir dengan adanya osilasi pada outputnya.

� Sistem transmisi pipa pneumatik adalah contoh sistem dengan waktu mati (τdt), karena jika pada t = 0 ada perubahan tekanan pada ujung pipa, ujung pipa satunya belum akan merasakan perubahan tekanan. Perlu waktu untuk penjalaran gelombang pneumatik �

τdt = L/v

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

149149

� Hal yang terkait dengan perilaku sistem dalam keadaan transien disebut dinamika dari sistem

� Dinamika instrumen/sistem dinyatakan sebagai “orde”, yang diturunkan dari hubungan matematis antara output-input.

� Macam “orde” instrumen:� Instrumen orde nol

� Instrumen orde satu

� Instrumen orde dua

� Instrumen orde tinggi

� Orde instrumen berpengaruh pada respons instrumen tersebut jika diberi input, baik input step, input fluktuasi deterministik atau input random.

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

150150

� Karakteristik dinamik dapat dinyatakan sebagai respon sistem pada

� saat transien pada input konstan

� diberikan input yang berubah terhadap waktu.

� Karakteristik dari “orde instrumen”

� Instrumen orde nol dikarakterisir oleh sensitivitas = K (perbandingan output-input)

� Instrumen orde satu dikarakterisir oleh sensitivitas (K) dan konstanta waktu (τ)

� Instrumen orde dua dikarakterisir oleh sensitivitas dan dua macam konstanta waktu (τ1 dan τ2) atau frekuensi natural (ωn) dan perbandingan redaman (ξ)

� Instrumen orde tinggi dikarakterisir seperti pada instrumen orde nol, orde satu atau orde 2 ditambah dengan waktu mati.

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

151151

� Respons instrumen pada saat transien (untuk input konstan)� Instrumen orde nol, respon instrumen persis seperti inputnya

� Instrumen orde satu, respons instrumen perlu waktu untuk mencapai keadaan steady (harga konstan)

� Sistem orde dua, menghasilkan overshoot.

� Sistem orde tinggi sistem tidak merespons sebelum waktu mati terlewati.

� Efek dinamik pada keadaan steady state untuk input konstan� Untuk instrumen dengan semua orde, memberikan harga respons (output) yang juga konstan, dimana harga respons (eo) sama dengan perkalian antara sensitivitas (K) dan input (ei)

eo = K ei

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

152152

Parameter yang terkait pada sistem dinamis

hA

MCv=τ

� Waktu settling (settling time): waktu yang diperlukan supaya harga respons sistem mencapai kesalahan 5% dari harga steady state

� Waktu mati (dead time): waktu yang diperlukan sistem untuk mulai merespons diukur terhadap saat input yang diberikan

� Konstanta waktu (time constant): parameter pada sistem orde I, yang tergantung pada parameter fisik

sistem (pada sistem termal

� Waktu naik (rise time): waktu yang diperlukan oleh sistem suaya harga responsbya naik dari 5% sampai 95% harga steady state

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

153153

Sistem orde Nol

� Adalah sistem yang respons dinamik nya dapat diabaikan, sehingga jika mendapatkan input akan langsung respons seperti yang diharapkan

� Sistem orde nol adalah sistem teoritis, karena tidak akan terjadi pada situasi rieel.

� Persamaan sistem orde nol adalah:

eo = K ei� Dikarakterisir oleh parameter sensitivitas saja (K).

� Jika respons transien tidak menjadi perhatian, maka suatu sistem dinyatakan sebagai sistem orde nol.

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

154154

Contoh: Sistem Orde I tipe nol, Sistem Termal

� Jika suatu benda dengan volume V dan luas permukaan A, pada temperatur Tb dimasukkan dalam cairan yang temperaturnya Tc (Tc > Tb), maka temperatur benda Tb akan naik sampai terjadi kesetimbangan energi termal antara cairan dan benda.

� Persamaan energi

Energi masuk – Energi keluar = Energi Tersimpan

� Energi termal masuk ke benda dari cairan:

Q=h A(Tc-Tb) dt� Energi keluar benda = 0. jika benda tenggelam dalam cairan

� Energi tersimpan dalam benda:

Q = M Cv ∆Tb

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

155155

� Persamaan kesetimbangan Energi Termal Benda:

h A (Tc – Tb) ∆t = MCv ∆Tbh = koefisien perpindahan kalor

A = luas kontak antara benda dengan cairan

M = massa benda

Cv = kapasitas kalor benda

∆Tb = perubahan temperatur benda∆t = perubahan waktu

� Persamaan diferensial:

MCv dTb/dt + hA Tb = hA Tc� Sistem termal disebut sebagai sistem orde I tipe nol, karena orde diferensiasi input nol.

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

156156

� Persamaan diferensial Sistem Orde I tipe nol dalam bentuk umum:

� Di mana dan K = 1

� Solusi persamaan diferensial dalam domain waktu menyatakan respons sistem sebagai fungsi waktu,

� Solusi persamaan diferensial dalam domain frekuensi menyatakan respons frekuensi sistem.

io

o Keedt

de=+τ

hA

MCv=τ

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

157157

Respons Sistem Orde I dalam domain waktu.Solusi Pers differensial orde I tipe nol, untuk input Step

v b bb c b c

MC dT dTT T atau T T

hA dt dtτ+ = + =

� Solusi umum (transien):

� Input step

� Solusi Khusus

� Solusi Total

� Syarat awal: pada t = 0

eo = 0, maka

� Sehingga Solusi Total

� Jika respons transien

mati maka output

sistem mengikuti

bentuk input

00

0ˆ

ptuntuk

tuntukee

i

i

≥= ( )τt

io eeKe −−= 1ˆ

( )τto Cee −=

io eKe ˆ=

i

t

o eKCee ˆ+= − τ

ieKC ˆ−=

io eKe ˆ=

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

158158

Respons sistem orde I tipe nol pada input step dan kesalahan respons pada saat transien

� . � .

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

159159

Respons u/ Input ramp Solusi khusus � Misal eo = A t + B

� deo/dt = A

� Pada t > 0

Sehingga A = K α

τ A + B = 0 � B = - K α τSolusi khusus:

eo = K α (t – τ)

� Input ramp

� Solusi umum (transien) ( )τt

o Cee −=

te

tuntuk

tuntukte ii ∂

∂=≥

= αα

00

0

p

ei

t

αααα

ioo Keedt

de=+τ

( ) tKBAtA ατ =++

( ) tKAtBA ατ =++

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

160160

� Input ramp

� Solusi (respon) total

� Syarat awal:

pada t = 0 � eo = 0

0 = C (1) – K α τ �

C = Κ α τ

� respons sistem:

( )ταατ τ −+= − tKeKe t

o

( ) ( )τατ −+= − tKCee t

o

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

161161

Respons Sistem Orde I tipe nol untuk input Ramp

� Respons sistem ini untuk input ramp mempunyai keterlambatan respons selama τ

� Artinya pada suatu waktu t = t1 input yang masuk pada sistem seharga ei1 = α t1, seharusnya output sistem adalah eo = K α t1 , atau eo/K = α t1 tetapi kenyataanya eo/K = α (t1 – τ). Jadi pada t = t1terjadi kesalahan respons sebesar ∆ eo = α τ

� Input ramp terjadi pada saat “start-up” dari suatu sistem proses atau sistem lainnya, karena itu sistem kontrol pada saat start up dibedakan dengan saat operasi, yaitu saat telah dicapai keadaan steady dari sistem.

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

162162

Respons untuk input sinusoida

00

0sinˆ

ptuntuk

tuntuktee

i

i

≥=

ω� Input sinusoida:

� Respons umum:

� Respons khusus:

� Persamaan diferensial

.

( )τto Cee

−=

( )θω += tee oo sinˆ

( )[ ]θωω += tedt

deo

o cosˆ

( )[ ] ( ) ( )teKtete ioo ωθωθωωτ sinˆsinˆcosˆ =+++

( )ωτθωτθθθωτ 1tantan0sincos

−−=→−=→=+

( )[ ] ( )[ ]{ } ( )ωτθθωτωτθθτωω sinˆcossinsinsincoscosˆio eKte =+−++

( ) ( ) 1

cos;

1

1sin

22 +=

+

−=

ωτ

ωτθ

ωτθ

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

163163

.

� Respons pada input sinusoida, setelah transien mati:

� Dari persamaan ini dapat dilihat bahwa perbandingan

amplitudo dan beda fasa output-input merupakan modulus

dan argumen fungsi transfer sinusoida.

( )

( ) ( )( ) 1

1

1

1

ˆ

ˆˆcossinˆ

2

22

+=

++

+

−−

==+−ωτ

ωτωτ

ωτωτ

θθωτKK

e

eeKe

i

o

io

( )( )θωτ

ωτ+

+= sin

1

ˆ

2

io

eKe

( )( )ωτθ

ωτ

1

2tan;

1

ˆˆ −−=

+= i

o

eKe

( )( )

( )ωτθωτ

ω 1

2tan;

1

−−=+

=K

je

e

i

o

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

164164

� Perbandingan amplitudo

dan beda fasa sinyal

output-input dinyatakan

sebagai respons frekuensi

sistem pada input

sinusoida:

.

( )( ) 1ˆ

ˆ

2 +==

ωτω

Kj

e

e

e

e

i

o

i

o

( )ωτθ 1tan

−−=

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1 10 100 1000

Frekuensi

|eo/ei(jw)|

-100

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

1 10 100 1000

Frekuensi

Phasa

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

165165

� Perbandingan amplitudo

output-input sebagai

fungsi frekuensi input

digambarkan pada

gambar di samping.

� Sistem orde I tipe nol

dapat dinyatakan

sebagai LPF (low pass

filter).

� Jika diberikan input yang

mengandung 2 frekuensi

(frekuensi rendah dan

tinggi), maka sistem

akan memfilter frekuensi

tinggi dan melewatkan

frekuensi rendah.

.SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

166166

Contoh Soal:

� Carilah daerah frekuensi

input yang akan

memberikan kesalahan

penguatan maksimum

5% (ωco), dan cari juga beda fasa output-input

pada ω = ωco� Pada ω << 1/τ,

( )( )

( )ωτθωτ

ω 1

2tan;

1

−−=+

=K

je

e

i

o

( ) Kje

e

i

o =ω

( ) 195,0

2 +=

ωτ

KK

( ) 195,011 2 −=τ

ωco

( )ωτθ 1tan

−−=

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

167167

� Input Pulsa

� Solusi umum:

� Untuk t = 0, eo = 0

� Untuk 0 < t < T,

� Pada t = T �

� Pada t > T �

� Sehingga pada t = T

T

Ttuntuk

tuntukTA

tuntuk

ei <

>

<

<

=

0

0

00

τto Cee −=

( )τto e

T

KAe −−= 1

t = Tt = 0 t

A/T

T

( )τTo e

T

KAe −−= 1

( )τto Cee −=

( )τ

τ

T

T

e

e

T

KAC

−

−−=

1

( )ττ TT eT

KACe −− −= 1

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

168168

� Solusi total sistem orde I

tipe 0 untuk input pulsa

� Pada T � 0, maka harga

� Maka

� Respons sistem orde I

tipe nol untuk input pulsa:

� Di mana

pada t = 0 � eo = KA/τpada t = besar � eo = 0

� Output sinyal pulsa untuk

sistem orde I tipe nol

berbentuk sinyal yang

meluruh dari eo = KA/τmenuju ke harga 0 untuk t

yang besar

( ) ττ

τt

T

T

o ee

e

T

KAe −

−

−−=

1

( )

( )( ) τττ

ττ

τ

τ

τ

KA

eTe

eKA

e

e

T

KAC

TT

T

T

T

T

=−+

−−=

−=

−−

−

−

−

→

1

1

1lim

0

τ

τt

o eKA

e −=

τ

τt

o eKA

e −=

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

169169

Contoh Soal:� Carilah settling time, rise

time sistem orde I tipe

nol jika mendapatkan

input step:

Jika τ = 20 detik.

� Jawab:

Settling time

� Rise time:

( )τtio eeKe −−= 1ˆ

00

0ˆ

ptuntuk

tuntukee

i

i

≥=

( )τtii eeKeK −−= 1ˆˆ95,0

( )ikt

t

e t

det60

04,305,0ln

05,0

=

−=−=

= −

τ

τ

( )

( ) ττ

τ

τ

.....95,0ln

95,0

1ˆˆ05,0

=→=−

=

−=−

−

tt

e

eeKeK

t

t

ii

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

170170

Sistem Orde I tipe satu

� Salah satu instrumen yang mempunyai karakteristik dinamik orde I tipe satu adalah sensor piezoelektrik.

� Bahan piezoelektrik mempunyai sifat:� Jika dimensi benda

berubah, maka muatan listrik yang dapat tersimpan di dalam bahan akan berubah

� Jika muatan listrik dalam bahan, maka dimensi benda berubah

.

� Arus listrik adalah perubahan muatan listrik persatuan waktu:

� Pada bahan piezoelektrik yang dihubungkan dalam rangkaian tertutup, akan muncul arus listrik icr, jika dimensi bahan berubah oleh suatu sebab

iq xKQ =

dt

dxKi i

qcr =

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

171171

� Rangkaian pengganti

sistem piezoelektrik� Persamaan arus

listrik:

(*)

RCcr iii +=

∫ == totRC

tot

o RidtiC

e1

tot

oiRcr

otot

R

e

dt

dxKqii

dt

deC −=−=

dt

dxRKe

dt

deRC i

totqoo

tottot =+

dt

dxKe

dt

de i

o

o ττ =+

tot

q

tottotC

KKCR == ;τ

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

172172

� Persamaan fungsi

transfer:

� Persamaan diferensial

� Pada sistem orde I tipe

satu, Input xi di

deferensier oleh sistem.

� Solusi umumnya sama

seperti sistem orde I tipe

nol

� Solusi khusus tergantung pada input yang bekerja pada sistem

� Input step �mempunyai respons seperti respons sistem orde I tipe nol untuk input pulsa.

� Input ramp �mempunyai respons seperti respons sistem orde I tipe nol untuk input step

� Input sinusoida �berfungsi sebagai HPF

( )1+

=D

DKD

xi

eo

ττ

dt

dxKe

dt

de io

o ττ =+

( )τto Cee −=

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

173173

Respons frekuensi sistem orde I tipe satu

� Perbandingan amplitudo dan beda fasa output-input:

( )( )

( )ωτθωτ

ωτω 1

2tan90

1

−−=+

= o

i

o Kj

x

e

Perbandingan Amplitudo Output-Input

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1 10 100 1000Frekuensi (Hz)

|eo/ei (jw)|

Phasa Sistem Orde I tipe satu

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

1 10 100 1000Frequensi (Hz)Phasa (�� ��)

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

174174

Respons waktu sistem orde I tipe satu

Respons waktu untuk input step, τ τ τ τ = 5dt

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 5 10 15 20 25

waktu (detik)

eo

eo tipe 0

eo tipe 1

174

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

175175

Instrumen orde II

� Contoh instrumen dg

dinamika orde II� Load cell adalah instrumen

untuk mendeteksi harga

gaya (fi) dengan output

berupa defleksi pegas

� Persamaan antara harga

gaya fi, dengan defleksi xo

adalah persamaan Hukum

Newton II:

Σ F = m a =

•

2

2

dt

xdm o

2

2

dt

xdm

dt

dxBxKf oo

osi =−−

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

176176

� Persamaan diferensial

orde II

� Bentuk Fungsi Transfer:

� Bentuk Umum:

� Respon dalam domain

waktu

� Respons umum (respon

transien)

� Respon khusus (tergan-

tung macam input)

� Respon umum:

� Solusi umum:

176

( )si

o

KBDmDD

f

x

++=

2

1

io

oso f

dt

dxBxK

dt

xdm =++

2

2

( )12

22 ++=

nni

o

DD

KD

f

x

ωξω

sKK

1=

m

K sn =ω

mK

B

s2=ξ

02

2

=++dt

dxBxK

dt

xdm o

oso

21

21

ττ tt

o eCeCx−− +=

( )11

21

−−=

ξξωτ

n

( )11

22

−+=

ξξωτ

n

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

177177

� Jika ξ <1, maka

� Respons transien

� atau

� Respons transien orde II

( ) 222111 ξξξ −=−−=− i

( )21

1

1

ξξωτ

−−=

in

( )22

1

1

ξξωτ

−+=

in

−= −−−− 22

11 ξωξωξω titit

onnn eeCex

( )θξωξω +−= − 21sin tCex n

t

on

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

178178

� Jika ξ = 0, maka respons sistem akan berosilasi

terus menerus, dengan

frekuensi = ωn

� Jika ξ = 1, maka τ1 = τ2respons sistem menjadi:

Output sistem tidak berosilasi,

dan respons transien akan

lebih cepat mati,

dibandingkan jika τ1 τ2

Respons khusus sistem tergantung pada input� Pada input step, output

sistem mempunyai harga konstan.

� Pada input ramp, output sistem juga ramp dengan kecepatan naik/ turun yang sama dengan inputnya

� Pada input sinusoida, output sistem juga sinusoida dengan frekuensi yang sama dengan frekuensi input, tetapi amplitudo dan fasanya tergantung pada perbandingan frekuensi input dengan frekuansi natural sistem (ωn)

( )txx nio ωsin=

( )tCex n

t

o ωω += −1

≠

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

179179

Ada 4 macam respons umum sistem Orde II, pada input step

� jika ξ = 0, respons berupa sinusoida murni (sistem undamped)

� jika ξ < 1, respons akan menuju ke harga steady state

dengan fluktuasi pada t ~ (sistem underdamped)

� jika ξ = 1, respons akan menuju ke harga steady state

tanpa fluktuasi pada t ~

� jika ξ > 1, respons akan menuju ke harga steady state

tanpa fluktuasi pada t ~ (sistem overdamped)

0ˆ == tuntukee ii

( )teKe nio ωsin1ˆ −=

( )θξωξ

ξω

+−−

−=−

2

21sin

11ˆ t

eeKe n

t

io

n

∞

∞

( )teeKe n

t

ion ωω +−= −11ˆ

∞21

12

2

12

11ˆ ττ

τττ

τττ tt

io eeeKe−−

−−

−+=

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

180180

� overdamped. � underdamped

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

6.5

7

7.5

8

8.5

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7

t (detik)

eo

Sistem Orde II overdamped

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 100 200 300 400

waktu (detik)

eo/ei

t1=20;t2=50

t1=20;t2=100

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

181181

Respon Frekuensi Sistem Orde II

� Seperti pada sistem orde I, respon frekuensi

sistem orde II dapat diturunkan dari harga

modulus dan argumen fungsi transfer

( )12

22 ++=

nni

o

DD

KD

e

e

ωξω

( )22

21

1

+

−

=

nn

i

o je

e

ωξω

ωω

ω( )

−−= −

2

1

1

2tan

n

n

ωω

ωξωθ

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

182182

Respons frekuensi sistem orde II tipe nol, ωωωωn=50 rad/dt

.Respons Sistem Orde tipe nol

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0.01 0.1 1 10 100 1000

frekuensi (rad/dt)

|eo/ei(jw)|

x=0.01

x=0.2

x = 1

x = 5

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

183183

Macam sistem orde II

� Sistem orde II tipe nol: merupakan karakteristik

dinamik loadcell (detektor gaya Fi) dan

aselerometer (detektor percepatan ai)

� Sistem orde II tipe satu: merupakan

karakteristik dinamik velocitymeter (vi)

� Sistem orde II tipe satu: merupakan

karakteristik dinamik displacement meter (xi)

( )12

22 ++=

nni

o

DD

KD

F

x

ωξω

( )12

22 ++=

nni

o

DD

KDD

v

x

ωξω

( )12

22

2

++=

nni

o

DD

KDD

x

x

ωξω

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

184184

� Ketiga macam tipe karakteristik sistem orde II tersebut mempunyai penyebut yang sama, tetapi pembilang dengan orde operator D yang berbeda.

� Secara matematis, respons sistem orde dua tipe satu� sinyal input mengalami diferensiasi sekali,� jika input sistem ramp � setelah dideferensier sekali menjadi input step.

� jika input sistem step � setelah dideferensier sekali menjadi input pulsa.

� jika input sistem sinusoida � setelah dideferensier sekali menjadi input sinusoida dengan beda fasa 90o

dan amplitudo = ieK ˆω

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

185185

Respons frekuensi sistem orde II tipe satu

Respons Frekuensi Sistem Orde II tipe satu

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0.01 1 100 10000 1000000

frekuensi (rad/dt)

|eo/ei(jw)|

x=0.01

x=0.2

x = 1

x = 5

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

186186

Respons frekuensi sistem orde II tipe satu

Respons Frekuensi Sistem Orde II tipe satu

0.001

0.01

0.1

1

10

100

1000

0.01 0.1 1 10 100 1000 10000 100000

frekuensi (rad/dt)

|eo/ei(jw)|

x=0.01

x=0.2

x = 1

x = 5

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

187187

Respons frekuensi sistem orde II tipe dua

Respons Frekuensi Sistem Orde II tipe dua

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

0.1 1 10 100 1000 10000

frekuensi (rad/dt)

|eo/ei(jw)|

x=0.01

x=0.2

x = 1

x = 5

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

188188

Respons frekuensi sistem orde II tipe dua

Respons Frekuensi Sistem Orde II tipe dua

0.001

0.01

0.1

1

10

100

1000

10000

100000

1000000

0.1 1 10 100 1000 10000

frekuensi (rad/dt)

|eo/ei(jw)|

x=0.01

x=0.2

x = 1

x = 5

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

189189

Instrumen dengan orde tinggi

( )( )( )( ) ( )1111

1

321++++

=DDDD

De

e

ni

o

ττττ L

� Respons waktu sistem orde tinggi akan menampilkan waktu mati (dead time)

.

( )( )( ) ( ) ( )121121

122

11

2

1

2

1++++++

=nnnnnnnni

o

DDDDDDD

e

e

ωξωτωξωτ LL

( )1+

=−

D

KeD

x

e dtt

i

o

τ

τ

( )12

22 ++=

−

nn

t

i

o

DD

KeD

F

x dt

ωξω

τ

( )( )( )11 21 ++

=−

DD

KeD

x

e t

i

o

ττ

τ

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

190190

Sistem orde II overdamped, terlihat sbg sistem dgn waktu mati dengan waktu mati, ττττ1=20 dt, ττττ2 = 100 dt

sistem orde II overdamped

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1 10 100 1000 10000

waktu (detik)

eo/ei

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

191191

Sistem orde II underdamped, dengan ωωωωn= 50 rad/dt, dan ξξξξ = 0,2

0

0 .5

1

1 .5

2

2 .5

3

3 .5

4

4 .5

5

5 .5

6

6 .5

7

7 .5

8

8 .5

0 .1 1 1 0 1 0 0

t (d e tik )

eo

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

SIS

TEM

PENGUKURAN

192192

Pendekatan respons waktu dan respons frekuensi Instrumen Orde tinggi (dengan waktu mati)