analisis kemampuan generalisasi dengan … · deret aritmetika dengan menggunakan pendekatan pmr....

i

ANALISIS KEMAMPUAN GENERALISASI DENGAN PEMBELAJARAN

PMR UNTUK MATERI BARISAN DAN DERET

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan

Program Studi Pendidikan Matematika

Oleh:

Birgita

141414092

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2018

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

iv

HALAMAN PERSEMBAHAN

Dengan penuh keringat, air mata, dan banyak sekali pertolongan dari Allah Bapa.

Akhirnya selesai juga skripsi ini.

Setelah setahun penuh penundaan, rintangan, dan pertumbuhan.

Selesai pula perjalananku disini.

And this is the beginning of a million dreams that keeping me awake all this time.

Skripsi ini kupersembahkan untuk Tuhan Yesus Kristus yang telah membimbing

saya dengan penuh kasih bahkan pada saat saya tidak setia sekalipun. Karena

kuasa-Nya lah saya bisa menyelesaikan skripsi ini.

Untuk keluarga rohani maupun jasmani yang telah mendukung saya dalam jatuh

bangun dan dalam suka dan duka. Untuk Mama, Papa,koYanto, koFendy, Ka

Estu, Gita, Nia, Betsri, Ocha, Sr. Silvi, Sr. Yudith, segenap karyawan dan ibu

pengasuh Panti Asuhan PangreksoDhalem, Bu Cicik, Tante Lina, dan setiap

orang yang telah membantu saya dalam terus menjalani kehidupan. Saya tidak

pernah merasa kekurangan dan sendirian karena adanya dukungan dan doa yang

terus mengalir dari orang-orang yang saya kasihi.

Untuk segenap dosen dan karyawan prodi pendidikan matematika yang telah

memberikan bantuannya selama saya berkuliah di Universitas Sanata Dharma ini.

Pak Hongki, Pak Beny, Pak Arif, Bu Maria, Pak Yosef, Pak Gi, Bu Madha, Pak

Marpaung, Bu Haniek, Pak Yudhi, Mas Made, Mas Arif, Pak Sugeng, dan

segenap dosen dan karyawan prodi pendidikan matematika yang belum sempat

saya sebutkan satu persatu. Terima kasih karena telah memberikan kesempatan

pada saat saya jauhtdan mendukung bangkit lagi selama ini. Terima kasih atas

segala canda tawa dan motivasi yang tetap membuat saya terus maju dalam jalur

yang benar.


v

HALAMAN MOTTO

Mazmur 20-21

Kiranya TUHAN menjawab engkau pada waktu kesesakan! Kiranya nama Allah

Yakub membentengi engkau!

Kiranya dikirimkan-Nya bantuan kepadamu dari tempat kudus dan disokong-Nya

engkau dari Sion.

Kiranya diingat-Nya segala korban persembahanmu, dan disukai-Nya korban

bakaranmu. Sela

Kiranya diberikan-Nya kepadamu apa yang kaukehendaki dan dijadikan-Nya

berhasil apa yang kaurancangkan.

Kami mau bersorak-sorai tentang kemenanganmu dan mengangkat panji-panji

demi nama Allah kita; kiranya TUHAN memenuhi segala permintaanmu.

Sekarang aku tahu, bahwa TUHAN memberi kemenangan kepada orang yang

diurapi-Nya dan menjawabnya dari sorga-Nya yang kudus dengan kemenangan

yang gilang-gemilang oleh tangan kanan-Nya.

Orang ini memegahkan kereta dan orang itu memegahkan kuda, tetapi kita

bermegah dalam nama TUHAN, Allah kita.

Mereka rebah dan jatuh, tetapi kita bangun berdiri dan tetap tegak.

Ya TUHAN, berikanlah kemenangan kepada raja! Jawablah kiranya kami pada

waktu kami berseru!

TUHAN, karena kuasa-Mulah raja bersukacita; betapa besar kegirangannya

karena kemenangan yang dari pada-Mu!

Apa yang menjadi keinginan hatinya telah Kaukaruniakan kepadanya, dan

permintaan bibirnya tidak Kautolak. Sela

Sebab Engkau menyambut dia dengan berkat melimpah; Engkau menaruh

mahkota dari emas tua di atas kepalanya.

Hidup dimintanya dari pada-Mu; Engkau memberikannya kepadanya, dan umur

panjang untuk seterusnya dan selama-lamanya.

Besar kemuliaannya karena kemenangan yang dari pada-Mu; keagungan dan

semarak telah Kaukaruniakan kepadanya.


vi

Ya, Engkau membuat dia menjadi berkat untuk seterusnya; Engkau memenuhi dia

dengan sukacita di hadapan-Mu.

Sebab raja percaya kepada TUHAN, dan karena kasih setia Yang Mahatinggi ia

tidak goyang.

Tangan-Mu akan menjangkau semua musuh-Mu; tangan kanan-Mu akan

menjangkau orang-orang yang membenci Engkau.

Engkau akan membuat mereka seperti perapian yang menyala-nyala, pada waktu

Engkau menampakkan Diri, ya TUHAN. Murka TUHAN akan menelan mereka,

dan api akan memakan mereka.

Keturunan mereka akan Kaubinasakan dari muka bumi, dan anak cucu mereka

dari antara anak-anak manusia.

Apabila mereka hendak mendatangkan malapetaka atasmu, merancangkan tipu

muslihat, mereka tidak berdaya.

Ya, Engkau akan membuat mereka melarikan diri, dengan tali busur-Mu Engkau

membidik muka mereka.

Bangkitlah, ya TUHAN, di dalam kuasa-Mu! Kami mau menyanyikan dan

memazmurkan keperkasaan-Mu.


vii

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini

tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang sudah tertulis di

dalam kutipan daftar pustaka, sebagaimana layaknya sebuah karya ilmiah.

Yogyakarta, 3 Desember 2018

Penulis,

Birgita


viii

ABSTRAK

Birgita (NIM : 141414092). 2018. Analisis Kemampuan Generalisasi

dengan Pembelajaran PMR untuk Materi Barisan Dan Deret. Skripsi.

Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika

dan Ilmu Pengetahuan Alam. Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan,

Universitas Sanata Dharma.

Penelitian ini bertujuan untuk (1) menemukan bagaimana langkah-langkah

membelajarkan materi barisan dan deret aritmetika dengan menggunakan

pendekatan PMR, dan (2) menemukan pengaruh dari PMR terhadap kemampuan

generalisasi siswa pada materi barisan dan deret aritmetika.

Penelitian ini adalah penelitian deskriptif. Subjek penelitian adalah 13

siswa kelas IX SMP KaritasNgaglik. Data penelitian diambil dari catatan

lapangan, hasil tes akhir, dan hasil wawancara siswa. Catatan lapangan yang telah

dikumpulkan direduksi dengan menggunakan 6 prinsip PMR yaitu: (1) prinsip

aktivitas, (2) prinsip realitas, (3) prinsip penjenjangan, (4) prinsip jalinan, (5)

prinsip relasi,dan (6) prinsip bimbingan.Nilai siswa pada tes akhirdikelompokkan

kedalam kelompok nilai bawah, sedang, dan atas. Perwakilan dari setiap

kelompok nilai diwawancarai untuk mengkonfirmasi kemampuan generalisasi

siswa. Hasil wawancara dan jawaban siswa akan direduksi kedalam keempat

tahapan kemampuan generalisasi yaitu: (1) tahap perception of generality, (2)

tahap expression of generality, (3) tahap symbolic expression of generality, dan

(4) tahap manipulation of generality.

Hasil dari penelitian ini adalah: (1) Alur pembelajaran materi barisan dan

deret aritmetika dengan menggunakan pendekatan PMR.

(2) PMR memiliki pengaruh terhadap kemampuan generalisasi siswa sehingga

mereka dapat mencapai tahap expression of generality. Dengan kata lain, siswa

mampu mengenali suatu pola dan menerapkan pengetahuan dari pola yangtelah

diketahuinya untuk menemukan suku-suku berikutnya dari barisan aritmetika.

Kata kunci: PMR, Barisan, Deret, Aritmetika, kemampuan generalisasi matematis


ix

ABSTRACT

Birgita (NIM : 141414092). 2018. Analysis of Student’s Generalization

Ability with Realistics Mathematics Education Approach for Sequence and

Series Topics. Thesis. Mathematic Education Program. Department of

Mathematics and Science Education. Faculty of Teacher Training and

Education. Sanata Dharma University.

The aim of the research are (1) to find the learning flowin using Realistic

Mathematics Education (RME) for the topic of sequences and series, and (2) to

find the effect of RME to the student's generalization ability on the topic of

sequences and series.

The research is a descriptive research. The subjects of the research are 13

students of grade IX at Karitas Ngaglik Junior High School. The data for the

research are taken from the researcher's note, final test, and interview. The

researcher's note were reduced into 6 RME principles: (1) activity principle, (2)

reality principle, (3) level principle, (4) intertwinement principle, (5) interactivity

principle, and (6) guidance principle. Based on the score of the test, the students

are classified into low, medium, and high. Some students from each group are

chosen for interview to confirm their generalization capability. The results of the

interview were reduced into four level of generalization: (1) perception of

generality, (2) expression generality, (3) symbolic expression of generality, and

(4) manipulation of generality.

The following are the result of the research. (1) The learning flow of using

Realistic Mathematics Education (RME) for the topic of sequences and series.

(2) Realistic Mathematics Education has an effect on the generalization capability

of the students and they reach level of expression of generality. In other words,

the student can recognize a pattern and using it find the next term of an arithmetic

series.

Keywords: RME, Sequence, series, arithmetic, mathematics generalization ability


x

HALAMAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH

Yang bertanda tangan di bawah ini, saya, mahasiswa Universitas Sanata Dharma:

Nama : Birgita

NIM : 141414092

Demi mengembangkan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan

Universitas Sanata Dharma karya Ilmiah saya yang berjudul:

ANALISIS KEMAMPUAN GENERALISASI DENGAN PEMBELAJARAN

PMR UNTUK MATERI BARISAN DAN DERET

Beserta perangkat yang dibutuhkan (bila ada). Dengan demikian, saya

memberikan kepada Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan,

mengalihkan ke dalam bentuk lain, mengelolanya ke dalam pangkalan data,

mendistribusikannya secara terbatas dan mempublikasikannya ke internet atau

media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu ijin dari saya maupun member

royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis.

Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.


Penulis,

Birgita


xi

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus, sehingga penulis

dapat menyelesaikan tugas akhir dengan judul “Analisis Kemampuan Generalisasi

dengan Pembelajaran PMR untuk Materi Barisan Dan Deret”. Tugas akhir ini

merupakan salah satu mata kuliah wajib dan sebagai syarat akademik untuk

memperoleh gelar sarjana pendidikan program studi Pendidikan Matematika

Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

Pada kesempatan ini, penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada pihak-pihak

yang telah membantu penulis baik selama penelitian maupun saat mengerjakan

tugas akhir ini. Ucapkan terima kasih sebesar-besarnya penulis sampaikan kepada:

1. Tuhan Yesus Kristus atas berkat-Nya yang melimpah sehingga penulis dapat

menyelesaikan skripsi ini.

2. Bapak Dr. Yohanes Harsoyo, S.Pd.,M.Si. selaku Dekan FKIP.

3. Bapak Beni Utomo, M.Sc. selaku Ketua Program Studi Pendidikan

Matematika. Terima kasih atas dukungan motivasi dan pembelajaran yang

banyak saya dapatkan.

4. Bapak Hongki Julie, S.Pd.,M.Si. selaku dosen pembimbing tugas akhir, atas

kesabarannya dalam membimbing penulis, meluangkan waktunya, memberi

dukungan, motivasi, serta saran yang sangat membantu penulis.

5. Ibu Maria Suci, S.Pd., M.Sc. selaku dosen pembimbing akademik, atas

pengertian dan kesempatan yang telah diberikan selama penulis menjalani

aktivitas perkuliahan.


xii

6. Seluruh staf dosen Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma yang

telah memberikan bekal ilmu, arahan dan pengalaman selama penulis studi.

7. Seluruh staf Sekretariat Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam atas segala informasi dan pelayanan yang diberikan.

8. Ibu C. Suryani Poncowati, S.Si. selaku Kepala Sekolah SMP KaritasNgaglik

yang telah member izin untuk melaksanakan penelitian

9. Ibu Agatha Tri Wahyuni, S.Pd. selaku guru mata pelajaran matematika yang

telah membimbing dan mendampingi dalam pelaksanaan penelitian di

sekolah. Terima kasih banyak atas kesempatan, bimbingan, serta motivasi

yang saya dapatkan selama melakukan penelitian.

10. Siswa-siswi kelas IX SMP KaritasNgaglik, atas kerjasamanya dalam

membantu pelaksanaan penelitian. Terima kasih atas kesediaanya serta canda

tawa dalam kelas yang saya rasakan selama ini. Terima kasih karena telah

menjadi bagian dalam perjalanan saya mendapatkan gelar sarjana.

11. Kepada keluarga yang saya kasihi, kakak saya Suyanto Utomo. Atas

dukungannya sebagai kepala keluarga selama ini sehingga memungkinkan

saya untuk menyelesaikan studi saya dengan baik. Terima kasih atas support

moral dan finansial serta dukungan kasih tanpa syarat selama ini. Serta

kepada almarhum mama yang saya kasihi, Herahwati. Dan terima kasih

kepada papa, Agus Wibowo atas dukungannya dalam doa.

12. Keluarga rohani saya, kakak rohani Brigitta Shelly Zahara atas support doa

dan motivasi selama pengerjaan skripsi dan selama masa-masa saya

bertumbuh dalam Kristus. Kak Estu, KoFendy, selaku pendamping dan


xiii

penasehat dalam keluarga rohani, teman-teman angkatan 2014, Betsri dan

Nia. Serta adik-adik dalam keluarga SION Yogyakarta atas dukungan doa dan

kasih yang saya dapatkan selama ini.

13. Terima kasih untuk adik angkatan, Ana Rosari Dian Sulistyarini yang telah

memberikan kontribusi, bantuan, dan menyegarkan hari-hari saya dengan

canda tawa selama pengerjaan skripsi.

14. Semua pihak yang telah membantu baik secara langsung maupun tidak

langsung, penulis mengucapkan banyak terima kasih.

Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam penyusunan tugas

akhir ini. Saran dan kritik sangat penulis harapkan untuk perbaikan serta

pengembangan yang akan datang. Akhir kata semoga penelitian ini dapat

bermanfaat bagi perkembangan ilmu pengetahuan.


Penulis,

Birgita


xiv

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ............................................................................................ i

HALAMAN PERSETUJUAN ............................................................................. ii

HALAMAN PENGESAHAN SKRIPSI .............................................................. iii

HALAMAN PERSEMBAHAN .......................................................................... iv

HALAMAN MOTTO .......................................................................................... v

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ............................................................. vii

ABSTRAK ....................................................................................................... viii

ABSTRACT ....................................................................................................... ix

HALAMAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH ........................... x

KATA PENGANTAR ........................................................................................ xi

DAFTAR ISI .................................................................................................... xiv

DAFTAR TABEL ........................................................................................... xvii

DAFTAR GAMBAR ...................................................................................... xviii

BAB I PENDAHULUAN ............................................................................. 1

A. Latar Belakang ............................................................................ 1

B. Rumusan Masalah ....................................................................... 4

C. Batasan Masalah ......................................................................... 4

D. Batasan Istilah ............................................................................ 4

E. Tujuan Penelitian ........................................................................ 5

F. Manfaat Penelitian ...................................................................... 6

BAB II KAJIAN TEORI ................................................................................. 7

A. Penalaran Induktif ....................................................................... 7


xv

B. Kemampuan Generalisasi Matematika ........................................ 8

C. Pendidikan Matematika Realistik (PMR) .................................. 10

D. Barisan dan Deret Aritmetika .................................................... 15

E. Penelitian yang Relevan ............................................................ 16

F. Kerangka Berpikir..................................................................... 21

BAB III METODE PENELITIAN ................................................................. 25

A. Jenis Penelitian ......................................................................... 25

B. Subjek Penelitian ...................................................................... 26

C. Waktu Penelitian ....................................................................... 26

D. Teknik Pengumpulan Data ........................................................ 26

E. Instrumen Penelitian ................................................................. 29

F. Teknik Analisa Data ................................................................. 33

G. Prosedur Penelitian ................................................................... 37

BAB IV PENYAJIAN DATA, ANALISIS DATA, DAN PEMBAHASAN ... 39

A. Deskripsi Proses Pembelajaran .................................................. 39

B. Deskripsi Hasil Tes Akhir Siswa ............................................... 51

C. Deskripsi Tes dan Wawancara .................................................. 70

BAB V PENUTUP....................................................................................... 98

A. Kesimpulan ............................................................................... 98

B. Saran ...................................................................................... 103

DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................... 105

LAMPIRAN .................................................................................................... 107

Lampiran 1 Surat Ijin Penelitian ....................................................................... 107


xvi

Lampiran 2 Rencana Pelaksanaan Pembelajaran .............................................. 108

Lampiran 3 Lembar Kerja Siswa ...................................................................... 112

Lampiran 4 Tes Akhir Siswa ............................................................................ 115

Lampiran 5 Hasil Pekerjaan Siswa ................................................................... 117


xvii

DAFTAR TABEL

Tabel 3.1 Kriteria pengelompokan siswa ....................................................... 29

Tabel 3.2 Kisi-Kisi Soal Tes Akhir ............................................................... 30

Tabel 3.3 Kisi-Kisi Wawancara..................................................................... 31

Tabel 4.1 Keterlaksanaan Prinsip PMR ......................................................... 50

Tabel 4.2 Pencapaian indikator tahapan kemampuan generalisasi siswa ........ 71


xviii

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2. 1 Konsep Abstrak ............................................................................. 13

Gambar 2. 2 Konsep abstrak .............................................................................. 22

Gambar 2. 3 Kerangka berpikir .......................................................................... 24

Gambar 4. 1 LKS Hari ke 2 nomor 2 .................................................................. 44

Gambar 4. 2 LKS hari ke-2 nomor 1 .................................................................. 45

Gambar 4. 3 LKS hari ke-2 nomor 1 .................................................................. 46

Gambar 4. 4 Deret aritmetika ............................................................................. 47

Gambar 4. 5 Jawaban soal 1.b kelompok pertama .............................................. 52

Gambar 4. 6 Jawaban soal 1.b kelompok kedua.................................................. 53

Gambar 4. 7 Jawaban soal 2.a kelompok pertama............................................... 55

Gambar 4. 8 Jawaban soal 2.a kelompok pertama............................................... 56

Gambar 4. 9 Jawaban soal 2.b kelompok pertama .............................................. 57

Gambar 4. 10 Jawaban soal 2.b kelompok kedua ................................................ 58

Gambar 4. 11 Jawaban soal 2.b kelompok ketiga ............................................... 59

Gambar 4. 12 Jawaban soal 3 kelompok pertama ............................................... 61

Gambar 4. 13 Jawaban soal 3 kelompok kedua .................................................. 63

Gambar 4. 14 Jawaban soal 3 kelompok ketiga .................................................. 64

Gambar 4. 15 Jawaban soal 5 kelompok pertama ............................................... 66

Gambar 4. 16 Jawaban soal 5 kelompok kedua .................................................. 67

Gambar 4. 17 Jawaban soal 5 kelompok ketiga .................................................. 68

Gambar 4. 18 Jawaban siswa 1.1 ........................................................................ 71



xix















Gambar 5. 1 Hubungan prinsip-prinsip PMR pada pembelajaran materi barisan

dan deret aritmetika ........................................................................................... 99

Gambar 5. 2 Alur pembelajaran PMR dalam materi barisan aritmetika ............. 101

Gambar 5. 3 Alur pembelajaran PMR dalam deret aritmetika ........................... 101


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Pendidikan matematika adalah salah satu bagian penting dari proses

pendidikan yang ada di Indonesia. Hal ini dapat dilihat dari materi

pembelajaran matematika yang mulai diperkenalkan dari tingkat sekolah

dasar dan terus dipelajari hingga perguruan tinggi sesuai dengan kebutuhan

jenjang pendidikan yang ada. Pendidikan matematika sendiri tidak semata-

mata bertujuan untuk mengajari siswa bagaimana cara menghitung angka.

Namun pendidikan matematika sendiri hakekatnya adalah untuk melatih

siswa memiliki pola pikir kritis, sistematis, logis, dan analitis.

Akan tetapi pada kenyataannya matematika seringkali dianggap

sebagai mata pelajaran yang paling tidak populer di sekolah. Hal ini peneliti

temukan pada saat melakukan wawancara pada SMP Karitas Ngaglik. Cukup

banyak faktor yang menyebabkan seorang siswa tidak menyukai pendidikan

matematika. Antara lain karena stigma pendidikan matematika yang cukup

menjengkelkan dan sulit pada saat SD. Salah satu faktor lain penghambat

yang peneliti temukan adalah karena rentang kecerdasan siswa pada SMP

Karitas cenderung sangat lebar. Sehingga cukup sulit untuk menjaga laju

materi agar tetap seimbang. Selain itu ada juga faktor dimana guru sangat

dikejar oleh waktu dalam penyelesaian materi. Sehingga guru tidak punya

banyak waktu untuk menerapkan pembelajaran yang menarik maupun

pembelajaran yang dapat melatih kemampuan berpikir siswa. Hal ini


2

dikarenakan pembelajaran seperti itu memiliki waktu yang cukup lama baik

dalam persiapan maupun dalam pelaksanaan.

Padahal pendidikan matematika sendiri sangat diperlukan bagi siswa

untuk mempersiapkan dirinya menghadapi jaman modern yang terus berubah

dengan cepat. Karena di tengah perkembangan sekarang ini. Sumber daya

manusia dituntut untuk memiliki daya saing yang kuat dalam kualitas

pemikiran. Salah satu kemampuan yang dapat dilatih melalui pendidikan

matematika adalah kemampuan generalisasi.

Kemampuan generalisasi adalah kemampuan dari seseorang untuk

menalar, memahami, dan merumuskan suatu pola maupun aturan tertentu dari

karakteristik yang ada pada beberapa anggota himpunan untuk diterapkan

kepada keseluruhan himpunan. Generalisasi adalah salah satu kemampuan

berpikir kritis dalam proses penalaran induktif yang berguna dalam proses

pembelajaran matematika (Bassham et al., 2011). Mason dan rekan-rekannya

(Hashemi et al., 2013) juga menyatakan bahwa penggunaan generalisasi perlu

untuk efektivitas belajar dan mengajar dalam semua tingkatan.

Berdasarkan hasil penelitian awal di SMP Karitas Ngaglik, ditemukan

bahwa kemampuan generalisasi siswa belum cukup baik. Hal ini diperoleh

dari hasil wawancara dengan guru tentang kemampuan generalisasi siswa

pada materi barisan. Guru menyatakan bahwa siswa perlu banyak sekali

contoh kasus dalam pembelajaran materi barisan. Dalam setiap pola barisan

yang baru, guru harus memberikan cara penyelesaiannya baru siswa dapat

mengerjakan persoalan yang diberikan. Siswa belum dapat mengidentifikasi


3

suatu pola yang baru tanpa bimbingan dari guru. Sehingga pada pembelajaran

materi barisan diperlukan banyak sekali latihan soal dan guru tidak bebas

dalam memberikan soal barisan yang memiliki pola yang berbeda dari

contoh. Karena cukup banyak siswa yang akan kesulitan dalam menangkap

pola yang baru.

Dari hasil penelitian awal yang telah dilakukan telah jelas bahwa

dibutuhkan sebuah metode pembelajaran yang dapat mengatasi kesulitan

siswa dalam menemukan sebuah pola dan menerapkannya kedalam persoalan.

Suatu metode untuk melatih siswa menggunakan kemampuan

generalisasinya. Sebuah metode yang dapat digunakan agar siswa terbiasa

untuk dapat melihat sebuah contoh kecil dan menghubungkan apa yang dia

dapatkan dengan materi yang ada. Sebuah pendekatan yang dapat menjadi

jembatan antara konteks dan konsep dari materi yang sedang dipelajari.

Untuk itu peneliti memilih pembelajaran PMR. PMR sendiri berfokus

kepada kemampuan siswa untuk menemukan kembali pengetahuan melalui

sejumlah aktivitas. Merumuskan kembali penyelesaian yang logis dari

permasalahan yang ada dan menyimpulkan hasil dari pengetahuan yang telah

didapatkan. Sehingga hal ini dapat melatih kemampuan penalaran induktif

siswa dengan lebih baik. Kemampuan generalisasi sendiri adalah salah satu

kemampuan dari penalaran Induktif, sehingga proses pembelajaran PMR

dirasa cocok untuk hal ini. Selain itu proses pembelajaran PMR sendiri

menggunakan berbagai macam media yang interaktif dan dapat menarik

perhatian siswa. Hal ini sesuai dengan permasalahan yang ada bahwa siswa


4

cenderung kurang tertarik dengan pembelajaran matematika karena dianggap

membosankan dan monoton. Serta karakteristik anak SMP masih mudah

tertarik dengan kegiatan yang menarik serta interaktif.

B. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang yang ada, dapat dirumuskan permasalahan

sebagai berikut:

1. Bagaimana proses pembelajaran untuk materi barisan dan deret

aritmetika dengan pendekatan PMR?

2. Bagaimana kemampuan generalisasi siswa setelah mengalami proses

pembelajaran dengan menggunakan PMR?

C. Batasan Masalah

Penelitian ini akan dibatasi pada pengaruh dari pembelajaran PMR dengan

menggunakan media buku cerita berisikan dongeng anak-anak pada siswa

Kelas 9 SMP. Untuk materi barisan dan deret aritmetika terhadap kemampuan

menggeneralisasi siswa.

D. Batasan Istilah

Untuk menghindari kesalahan dalam pemahaman judul Analisis

Kemampuan Generalisasi dengan Pembelajaran PMR untuk Materi

Barisan Dan Deret, peneliti akan menjelaskan batasan istilah pada judul ini:


5

1. Pendekatan PMR

Pendekatan PMR adalah suatu pendekatan dalam pembelajaran

matematika yang memiliki prinsip 1) prinsip aktivitas, 2) prinsip realitas,

3) prinsip penjenjangan, 4) prinsip jalinan, 5) prinsip relasi, dan 6)

prinsip bimbingan.

2. Kemampuan generalisasi matematis

Kemampuan generalisasi matematis adalah suatu kemampuan menarik

kesimpulan secara umum yang dihasilkan dari pengamatan struktur

pokok, pola dan prinsip – prinsip umum dan contoh – contoh khusus

sesuai dengan aturan yang melandasinya.

3. Barisan dan Deret

Barisan dan Deret yang dimaksud dalam penelitian ini adalah barisan dan

deret aritmetika.

E. Tujuan Penelitian

Adapun penelitian ini bertujuan untuk:

1. Menemukan bagaimana langkah-langkah membelajarkan materi barisan

dan deret aritmetika dengan menggunakan pendekatan PMR.

2. Menemukan pengaruh dari PMR terhadap kemampuan generalisasi siswa

pada materi barisan dan deret aritmetika.


6

F. Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah:

1. Bagi peneliti, adalah sebagai pengalaman menulis karya ilmiah dan

melakukan penelitian matematika di universitas.

2. Bagi pembaca, penelitian ini dapat digunakan sebagai referensi dalam

memahami tingkat kemampuan generalisasi matematis mahasiswa.

3. Bagi peneliti yang lain, penelitian ini dapat digunakan sebagai

pembanding penelitian yang serupa.


7

BAB II

KAJIAN TEORI

A. Penalaran Induktif

Menurut Sumarmo (2013) penalaran induktif adalah suatu proses penarikan

kesimpulan yang bersifat umum atau khusus berdasarkan data yang teramati.

Nilai kebenaran dalam penalaran induktif bisa benar atau salah. Berikut

adalah beberapa kegiatan yang tergolong pada penalaran induktif menurut

Sumarmo:

1. Transduktif: menarik kesimpulan dari satu kasus khusus atau sifat khusus

yang satu diterapkan pada kasus yang lain

2. Analogi: penarikan kesimpulan berdasarkan keserupaan data atau proses

3. Generalisasi: penarikan kesimpulan umum berdasarkan sejumlah data

yang teramati

4. Memperkirakan jawaban, solusi, atau kecenderungan: interpolasi dan

ekstrapolasi

5. Memberi penjelasan terhadap model, fakta, sifat, hubungan, atau pola

yang ada

6. Menggunakan pola hubungan untuk menganalisis situasi, dan menyusun

konjektur

Dengan demikian dapat dilihat bahwa kemampuan generalisasi adalah bagian

dari penalaran induktif.


8

B. Kemampuan Generalisasi Matematika

1. Definisi generalisasi matematika

Menurut Tall (Hashemi et al., 2013) dalam sudut pandang

matematika, generalisasi dapat didefinisikan sebagai “pencarian gambar

yang lebih besar”. Menurut Bassham et al. (2011), generalisasi adalah

sebuah pernyataan tentang semua atau kebanyakan anggota dari sebuah

himpunan. Generalisasi induktif adalah sebuah argumen yang bergantung

pada karakteristik dari sampel populasi untuk membuat pernyataan

tentang populasi secara keseluruhan. Dengan demikian generalisasi dapat

disimpulkan sebagai proses untuk mencari pola maupun aturan melalui

beberapa sampel himpunan yang ada untuk diterapkan kedalam

himpunan yang lebih besar.

2. Tahap-tahap generalisasi matematika

Ward dan Hardgrove (dalam Trisnadi, 2006) mendeskripsikan

bahwa proses generalisasi meliputi: mengobservasi data, membuat

hubungan yang mungkin, dan formulasi konjektur. Sedangkan proses

generalisasi matematika menurut Mason (dalam Rahman, 2004) terdiri

dari 4 tahap yaitu:

a. Tahap perception of generality, pada tahap ini siswa baru sampai

pada tahap mengenal sebuah aturan/ pola. Pada tahap ini siswa juga

telah mampu mempersepsi atau mengidentifikasi pola. Siswa telah

mengetahui bahwa masalah yang disajikan dapat diselesaikan

menggunakan aturan/ pola.


9

b. Tahap expression of generality, pada tahap ini siswa telah mampu

menggunakan hasil identifikasi pola untuk menentukan struktur/

data/ gambar/ suku berikutnya. Pada tahap ini siswa juga telah

mampu menguraikan sebuah aturan/ pola, baik secara numerik

maupun verbal.

c. Tahap symbolic expression of generality, pada tahap ini siswa telah

mampu menghasilkan sebuah aturan dan pola umum. Selain itu

siswa juga telah mampu memformulasikan keumuman secara

simbolis.

d. Tahap manipulation of generality, pada tahap ini siswa telah

mampu menggunakan hasil generalisasi untuk menyelesaikan

masalah, dan mampu menerapkan aturan/ pola yang telah mereka

temukan pada berbagai persoalan.

3. Kemampuan menggeneralisasi secara Matematis

Berdasarkan definisi serta tahap-tahapnya, kemampuan

generalisasi matematis adalah sebuah kemampuan untuk menyimpulkan

suatu pola tertentu atau aturan tertentu berdasarkan contoh kecil atau

himpunan bagian dari sebuah permasalahan dan menerapkannya kedalam

permasalahan yang relevan atau himpunan bagian yang lebih besar.


10

C. Pendidikan Matematika Realistik (PMR)

1. Pendidikan Matematika Realistik

Pendidikan Matematika Realistik (PMR) tidak dapat dipisahkan

dari institudeFreudenthal. Institut ini didirikan pada tahun 1971, berada

di bawah Utrecht University Belanda. Nama institut diambil dari nama

pendirinya yaitu Profesor Hans Freudenthal (1905-1990), seorang

penulis, pendidik dan matematikawan berkebangsaan Jerman-Belanda.

Sejak tahun 1971, Institut ini mengembangkan suatu pendekatan

teoritis terhadap pembelajaran matematika yang dikenal dengan RME

(Realistic Mathematics Education). RME menggabungkan pandangan

tentang apa itu matematika, bagaimana siswa belajar matematika dan

bagaimana matematika harus diajarkan (Hadi, 2005).

Pendidikan matematika realistik dikembangkan berdasarkan

pemikiran Hans Freudenthal yang berpendapat bahwa matematika

merupakan aktivitas insani (human activities) yang harus dikaitkan

dengan realitas. Berdasarkan pemikiran tersebut, PMR mempunyai ciri

antara lain bahwa dalam proses pembelajaran siswa harus diberikan

kesempatan untuk menemukan kembali (to reinvent) matematika melalui

bimbingan guru, dan bahwa penemuan kembali (reinvention) ide dan

konsep matematika tersebut harus dimulai dari penjelajahan berbagai

situasi dan persoalan “dunia riil” (Hadi, 2004). Freudenthal berkeyakinan

bahwa siswa tidak boleh dipandang sebagai penerima pasif matematika

yang sudah jadi. Menurutnya pendidikan harus mengarahkan siswa


11

kepada penggunaan berbagai situasi dan kesempatan untuk menemukan

kembali matematika dengan cara mereka sendiri. Banyak soal yang dapat

diangkat dari berbagai konteks (situasi) yang dirasakan bermakna

sehingga menjadi sumber belajar.

Konsep matematika muncul dari proses matematisasi, yaitu

dimulai dari penyelesaian yang berkait dengan konteks (context link

solution), siswa secara perlahan mengembangkan alat dan pemahaman

matematis ke tingkat yang lebih formal. Model-model yang muncul dari

aktivitas matematik siswa akan dapat mendorong terjadinya interaksi di

kelas sehingga mengarah pada level berpikir matematik yang lebih

tinggi.

2. Prinsip – prinsip (Realistic Mathematics Education) RME

Prinsip-prinsip PMR menurut Van den Huivel-Panhuizen (dalam

Marpaung, 2003).

a. Prinsip aktivitas. Prinsip ini menyatakan bahwa matematika adalah

aktivitas manusia. Matematika paling baik dipelajari dengan

melakukannya sendiri. Hal ini sejalan dengan apa yang dikatakan

oleh Silberman dalam kredonya yang tersurat pada bagian atas

makalah ini. Kredo itu merupakan penjabaran Silberman terhadap

ucapan Confusius sekitar 2500 tahun lalu yang berbunyi “Yang

saya dengar saya lupakan, yang saya lihat saya ingat, yang saya

lakukan saya mengerti”.


12

Sehingga berdasarkan prinsip ini dalam pendekatan PMR,

matematika bukanlah sekedar transfer pengetahuan namun juga

sebuah kegiatan yang aktif. Siswa perlu untuk benar-benar

melakukan sesuatu kegiatan yang nyata dalam rangka membangun

pengetahuan secara aktif. Sehingga pembelajaran akan lebih

bermakna dan terserap dengan baik oleh siswa.

b. Prinsip realitas. Prinsip ini menyatakan bahwa pembelajaran

matematika dimulai dari masalah-masalah dunia nyata yang dekat

dengan pengalaman siswa (masalah yang realitas bagi siswa). Pada

prinsip ini realitas bagi siswa diartikan tidak selalu berkaitan

dengan dunia nyata, bisa juga dari dunia lain tetapi dapat

dibayangkan oleh siswa. Jika matematika diajarkan lepas dari

pengalaman siswa maka matematika itu mudah dilupakan.

Karena itu dalam pendekatan PMR sebuah materi didasarkan pada

sebuah permasalahan yang paling real, mudah dipahami oleh siswa,

maupun sebuah permasalahan yang dapat menarik perhatian siswa.

Prinsip realitas ini juga membawa siswa untuk lebih

menkonkretkan konsep matematika yang abstrak sehingga siswa

dapat mendapatkan gambaran dan pegangan dasar dalam

memahami konsep matematika yang abstrak.

c. Prinsip penjenjangan. Prinsip ini menyatakan bahwa pemahaman

siswa terhadap matematika melalui berbagai jenjang: dari

menemukan (to invent) penyelesaian masalah kontekstual secara


13

informal ke skematisasi, ke perolehan insight dan selanjutnya ke

penyelesaian secara formal.

Berdasarkan prinsip ini maka pendekatan PMR disusun secara

bertahap mulai dari konsep permasalahan yang paling nyata

menuju kepada konsep permasalahan yang abstrak.

d. Prinsip jalinan. Prinsip ini menyatakan bahwa materi matematika di

sekolah sebaiknya tidak dipecah-pecah menjadi aspek-aspek

(learning strands) yang diajarkan terpisah-pisah.

Berdasarkan prinsip ini pembelajaran pada pendekatan PMR

memiliki alur yang mengalir dan terikat satu sama lain. Hal ini

dapat dilihat dari tingkatan pembelajaran yang ada. Meskipun

materi yang diajarkan berjenjang, namun dari satu jenjang ke

jenjang yang lain tetap memiliki relasi. Hal ini ada agar siswa dapat

memahami hubungan dari permasalahan real yang digunakan

Gambar 2. 1 Konsep Abstrak


14

sebagai dasar pembelajaran dan konsep abstrak dari materi yang

disampaikan.

e. Prinsip interaksi. Prinsip ini menyatakan bahwa belajar matematika

dapat dipandang sebagai aktivitas sosial selain sebagai aktivitas

individu. Prinsip ini sesuai dengan pandangan filsafat

konstruktivisme, yaitu disatu pihak pengetahuan adalah konstruksi

sosial (Vijgotskij) dan dilain pihak sebagai konstruksi individual

(Piaget).

Karena itu pendekatan PMR ini menggunakan model pembelajaran

yang aktif dan kreatif serta merangsang aktivitas siswa untuk

bekerjasama dan berdiskusi bersama dengan temannya. Dengan

berdiskusi dengan teman sebaya, hal ini menimbulkan efek yang

serupa dengan tutor teman sebaya dimana siswa dapat saling

membimbing sehingga diharapkan siswa dapat memahami materi

dengan lebih efektif. Serta aktivitas ini memicu serta melatih pola

pikir kritis sebagai hasil dari pertukaran pendapat antar siswa.

f. Prinsip bimbingan. Prinsip ini menyatakan bahwa dalam

menemukan kembali (re-invent) matematika siswa perlu mendapat

bimbingan. Dalam PMR prinsip ini berarti guru hanya sebagai

fasilitator, yang menjadi subjek pembelajaran adalah siswa.

Sehingga tugas guru bukanlah mengajari siswa secara langsung

namun membimbing siswa.Namun guru juga harus secara aktif

membimbing dan mengawasi siswa agar tetap berada dalam jalur


15

yang benar dalam proses pembelajaran. Salah satunya dengan

menggunakan pertanyaan yang dapat mengarahkan siswa ke

konsep yang benar.

D. Barisan dan Deret Aritmetika

Barisan Tak Hingga

Barisan Tak Hingga adalah fungsi 𝑓: ℕ → ℝ.

Barisan biasanya hanya dituliskan nilai-nilai fungsinya sebagai berikut:

𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … dengan 𝑎𝑛 = 𝑓(𝑛), 𝑛 ∈ ℕ.

Notasi lain untuk barisan : {𝑎𝑛}𝑛=1∞ , atau {𝑎𝑛}

Barisan Aritmetika

Barisan aritmetika adalah barisan dengan selisih antara dua suku yang

berurutan selalu tetap. Selisih tersebut dinamakan beda dan dilambangkan

dengan “b”.

Contoh :

Barisan diatas adalah barisan aritmetika dengan beda = 2.

Bentuk umum barisan aritmetika :

𝑎, 𝑎 + 𝑏, 𝑎 + 2𝑏, 𝑎 + 3𝑏, … , 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏

Rumus beda

𝑏 = 𝑈𝑛 − 𝑈𝑛−1

Rumus suku ke-n

3 , 5 , 7 , 9

+2 +2 +2


16

𝑈𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏 atau 𝑈𝑛 = 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1

Keterangan :

𝑎 = 𝑈1 = suku pertama

𝑏 = beda

𝑛 = banyak suku

𝑈𝑛 = suku ke-n

Deret Aritmetika

Misalkan 𝑢1, 𝑢2, 𝑢3, …adalah sebuah barisan tertentu.

𝑆1 = 𝑢1, 𝑆2 = 𝑢1 + 𝑢2, 𝑆3 = 𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3, …,

𝑆𝑛 = 𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3 + … + 𝑢𝑛

Dimana 𝑆𝑛, yang disebut jumlah parsial ke – 𝑛 , adalah jumlah 𝑛 suku dari

barisan {𝑢𝑛}. Barisan 𝑆1, 𝑆2, 𝑆3, … dituliskan sebagai

𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3, … + 𝑢𝑛 = ∑ 𝑢𝑛

∞

𝑛=1

= 𝑆𝑛

E. Penelitian yang Relevan

Berikut adalah beberapa penelitian yang menggunakan PMRI sebagai

metode pembelajaran.

1. Novianti (2016) melakukan penelitian yang bertujuan untuk mengetahui

kemampuan pemecahan masalah siswa SMA pada materi peluang

setelah pembelajaran PMRI diberikan. Penelitian ini adalah penelitian

kuantitatif.Jenis penelitian yang digunakan dalam penelitian ini adalah


17

True-Experimental Design dengan desain Pretest-Posttest Control

Group Design.

Pada penelitian ini terdapat dua kelompok belajar yang dipilih secara

random. Pada awalnya kedua kelompok diberikan pretest untuk melihat

kemampuan awal masing-masing kelompok. Hasil pretest menunjukkan

bahwa rata-rata kemampuan pemecahan masalah kedua kelompok

relatif sama. Kemudian kelompok kontrol akan menerima pembelajaran

konvensional sedangkan kelompok eksperimen akan menerima

pembelajaran PMRI.

Hasil dari penelitian tersebut adalah :

a. Tampak bahwa rata-rata nilai posttest dari kelas eksperimen jauh

lebih tinggi dibandingkan kelas kontrol dengan selisih mencapai

17.17, dengan simpangan baku yang masih relatif sama.

b. Kemampuan pemecahan masalah siswa pada kelas eksperimen

mengalami peningkatan sebanyak 21,48 poin. Dengan kesimpulan

bahwa PMRI berpengaruh terhadap kemampuan pemecahan

masalah siswa.

c. Respon siswa dalam penelitian cukup baik. Siswa merasa senang

dan aktif dalam mengikuti proses pembelajaran dengan pendekatan

PMRI.

Sehingga dari penelitian ini dapat dilihat bahwa pendekatan PMRI

memiliki pengaruh yang positif dalam proses pembelajaran siswa.

Pengaruh ini dapat dilihat dari meningkatkannya kemampuan


18

pemecahan masalah siswa dan respon siswa yang cukup baik dalam

proses penerapan pendekatan PMRI.

2. Usdiyana, dkk. (2009) melakukan penelitian eksperimen dengan

memilihdua kelas sebagai sampel dari siswa kelas 7 SMPN 12

Bandung. Nilai UN dari masing-masing kelas digunakan untuk

mengelompokkan siswa kedalam tiga kategori : tinggi, sedang, dan

rendah. Penelitian ini difokuskan pada jawaban siswa tentang cara

berpikir logis berdasarkan kelompok tinggi, sedang, dan rendah antara

kelompok eksperimen dan kelompok kontrol.

Dari penelitian ini didapatkan hasil bahwa pendekatan PMR berdampak

pada kemampuan berpikir logis siswa, terutama pada siswa kelompok

sedang dan rendah. Hal ini dapat dilihat dari hasil perbandingan antara

kelas eksperimen dan kelas kontrol. Dimana siswa kelas kontrol terlihat

kurang memaknai konsep pembelajaran dibandingkan dengan siswa

dari kelas eksperimen. Siswa memerlukan kemampuan berpikir logis

yang baik dalam memahami sebuah pola yang ada.

Dari penelitian ini dapat disimpulkan bahwa pendekatan PMR efektif

untuk meningkatkan kemampuan berpikir logis siswa dengan

kemampuan yang rendah sekalipun. Selain itu pendekatan ini juga lebih

efektif dalam membuat siswa menjadi tertarik pada pembelajaran.

3. Yunisha, dkk. (2016) melakukan penelitian yang bertujuan untuk

mengukur sejauh mana pengaruh PMR pada kemampuan komunikasi

matematis siswa SMPN 2 Pagedangan, pada pokok bahasan persegi


19

panjang dan persegi. Penelitian ini menggunakan kelas kontrol dan

kelas eksperimen dengan pretest dan posttest. Dalam penelitian ini

kedua kelas diberikan tes awal untuk mengukur kemampuan

komunikasi matematis. Komunikasi matematis yang digunakan sebagai

objek adalah kemampuan siswa dalam memahami suatu permasalahan

dan menuliskannya kembali (mengkomunikasikan secara tertulis)

bentuk matematikanya.

Kelas eksperimen menggunakan pendekatan PMR dan kelas kontrol

menggunakan pembelajaran tradisional sebagai pembanding.

Berdasarkan hasil pretest tampak bahwa nilai rata-rata dari kelas

kontrol dan kelas eksperimen tidak jauh berbeda yaitu 6,9 dan 7,5 dari

skala 0-100. Hasil yang didapatkan menunjukkan bahwa terdapat

perbedaan 0,6 poin antara kelas kontrol dan kelas eksperimen.

Kemudian dilaksanakan pembelajaran dengan pendekatan PMR pada

kelas eksperimen dan pembelajaran dengan metode tradisional pada

kelas kontrol. Setelah diadakan posttest, kelas eksperimen mendapatkan

nilai rata-rata 36,2 dan kelas kontrol dengan rata-rata 24,2. Terdapat

selisih sebesar 12,3 poin dari kedua nilai rata-rata yang didapat.

Sehingga hasil dari penelitian ini didapatkan bahwa pembelajaran

dengan metode PMR lebih efektif daripada metode tradisional dalam

meningkatkan kemampuan komunikasi matematis siswa dengan selisih

nilai sebesar 12,3. Secara umum dapat disimpulkan bahwa pendekatan


20

PMR memiliki pengaruh yang positif dalam peningkatan kemampuan

komunikasi matematis siswa.

4. Kusumaningrum (2016) melakukan penelitian yang bertujuan untuk

mengetahui pengaruh pendekatan PMR terhadap tingkat kemampuan

penalaran dan kemandirian belajar matematika pada siswa SMP.

Kemampuan penalaran yang dimaksud pada penelitian ini adalah dalam

kemampuan penalaran induktif serta deduktif. Penelitian ini dilakukan

pada kelas VII SMP. Metode penelitian yang dilakukan adalah dengan

menggunakan kelas kontrol dan kelas eksperimen dengan 12 kali

pembelajaran. Kelas kontrol menggunakan pembelajaran konvensional

sedangkan kelas eksperimen menggunakan pendekatan PMR. Data

yang akan dianalisis dalam penelitian ini adalah data pretest dan

posttest kemampuan penalaran siswa setelah memperoleh pembelajaran

secara konvensional maupun dengan menggunakan pendekatan PMR.

Guru menggunakan pendekatan PMR dengan membagi siswa kedalam

beberapa kelompok dan meminta siswa untuk mengerjakan LKS yang

telah disediakan. Pada awalnya siswa di kelas eksperimen belum

terbiasa dengan menggunakan pendekatan PMR. Kemudian guru

perlahan memotivasi siswa untuk mulai membuat model dari

permasalahan realistik yang mereka hadapi.

Berdasarkan hasil penelitian, terlihat bahwa kemampuan penalaran

matematis dari siswa yang mendapatkan pembelajaran dengan

pendekatan PMR berada pada tingkat sedang, sedangkan siswa yang


21

mendapatkan pembelajaran konvensional berada pada tingkat rendah.

Hal ini menunjukkan bahwa siswa yang mendapatkan pembelajaran

dengan menggunakan pendekatan PMR memiliki tingkat penalaran

yang lebih baik. Sehingga PMR dapat merangsang kemampuan

penalaran siswa dengan baik.

F. Kerangka Berpikir

Pembelajaran Matematika Realistik adalah sebuah pendekatan

pembelajaran yang dikembangkan pertama kali di Belanda pada tahun 1971.

PMR adalah sebuah pendekatan yang didasarkan pada filosofi

konstruktivisme dimana siswa akan dituntun untuk menyusun dan

mengkonstruksi pengetahuan yang dia dapatkan. Dasar dari konstruksi

pengetahuan tersebut menggunakan sebuah permasalahan yang realistik,

nyata, riil, atau sesuatu yang dapat dipahami dan dibayangkan oleh siswa.

Menurut van den Huivel-Panhuizen (dalam Marpaung, 2003), pendekatan

PMR memiliki enam prinsip yaitu 1) prinsip aktivitas, 2) prinsip realitas, 3)

prinsip penjenjangan, 4) prinsip jalinan, 5) prinsip interaksi, dan 6)prinsip

bimbingan.

Kemampuan menggeneralisasi adalah bagian dari kemampuan

penalaran induktif. Kemampuan generalisasi adalah sebuah kemampuan

untuk menangkap pola dari sebuah contoh kecil atau himpunan bagian dari

sebuah permasalahan dan menerapkannya kedalam permasalahan yang

relevan secara umum atau himpunan permasalahan yang lebih besar. Atau


22

dengan kata lain siswa diminta untuk mendapatkan suatu konsep abstrak

secara umum berdasarkan sampel-sampel konkret yang telah dimiliki oleh

siswa.

Dalam PMR terdapat prinsip penjenjangan. Prinsip ini menyatakan

bahwa pemahaman siswa terhadap matematika melalui berbagai jenjang: dari

menemukan (to invent) penyelesaian masalah kontekstual secara informal ke

skematisasi, ke perolehan insight dan selanjutnya ke penyelesaian secara

formal.

Berdasarkan prinsip ini maka pendekatan PMR disusun secara bertahap

mulai dari konsep permasalahan yang paling nyata menuju kepada konsep

permasalahan yang abstrak.

Pola pikir induktif sendiri memiliki pola dimana siswa diminta untuk

menyimpulkan suatu konsep umum berdasarkan kasus-kasus khusus yang

terkait. Dan generalisasi sendiri adalah salah satu dari pola pikir induktif.

Gambar 2. 2 Konsep abstrak


23

Sehingga dapat dilihat bahwa pendekatan PMR memiliki pola yang serupa

dengan pola pikir induktif dimana siswa diminta untuk membentuk konsep

abstrak dari permasalahan real yang sesuai. Sehingga pendekatan PMR dapat

diterapkan untuk melatih kemampuan generalisasi siswa.

Selain itu dalam melatih kemampuan generalisasi matematis

siswa.Diperlukan juga kemampuan berpikir logis serta kemampuan

pemecahan masalah yang baik. Hal ini dikarenakan dalam menggeneralisasi

suatu pola bilangan, siswa harus dapat berpikir dengan logis untuk

menentukan aturan-aturan yang sesuai sehingga siswa tidak asal-asalan dalam

menggeneralisasi. Kemampuan pemecahan masalah juga diperlukan agar

siswa dapat memahami dengan benar bagaimana menggunakan kemampuan

generalisasi secara tepat sasaran.

Dalam menggeneralisasi suatu barisan bilangan, siswa memerlukan

kemampuan komunikasi matematis yang baik pula. Hal ini agar siswa dapat

menuliskan dengan baik apa yang mereka kerjakan agar tidak terjadi

kesalahan dalam pemahaman bentuk matematika yang mereka tulis.

Kemampuan berpikir logis, kemampuan pemecahan masalah, serta

kemampuan komunikasi matematis sendiri telah tampak dapat terakmodasi

dengan baik dalam pendekatan PMR. Hal ini tampak dari penelitian-

penelitian yang telah dilakukan sebelumnya.

Dapat dilihat bahwa dalam pendekatan PMR, pola pikir yang diterapkan

adalah pola pikir induktif. Generalisasi adalah bagian dari pola pikir induktif.

Pendekatan PMR juga mendukung faktor-faktor dalam meningkatkan


24

kemampuan generalisasi matematis bagi siswa jika dilihat dari penelitian-

penelitian yang telah dilakukan sebelumnya. Maka dapat disimpulkan bahwa

pendekatan PMR sesuai untuk meningkatkan kemampuan generalisasi

matematis siswa.

Secara lebih ringkas akan digambarkan pada bagan berikut.

Gambar 2. 3 Kerangka berpikir


25

BAB III

METODE PENELITIAN

A. Jenis Penelitian

Penelitian ini bertujuan untuk (1) menemukan bagaimana langkah-langkah

membelajarkan materi barisan dan deret aritmetika dengan menggunakan

pendekatan PMR, dan(2) menemukan pengaruh dari PMR terhadap

kemampuan generalisasi siswa pada materi barisan dan deret aritmetika.

Hasil-hasil yang didapatkan dari penelitian ini akan dijabarkan dalam bentuk

narasi deskriptif.

Jenis penelitian yang digunakan pada penelitian ini adalah penelitian

deskriptif. Menurut Ali (2014), penelitian deskriptif merupakan penelitian

yang dilakukan dalam bidang pendidikan dengan tujuan untuk

mendeskripsikan keberadaan fenomena berdasarkan data empiris yang

didapatkan untuk menjawab suatu permasalahan. Jawaban yang didapatkan

dalam penelitian deskriptif adalah verifikasi suatu teori atau aplikasinya

berdasarkan data aplikasi suatu teori, penemuan ketepatan aplikasi teori dalam

suatu kondisi tertentu, atau upaya penemuan model atau formula baru sebagai

elaborasi suatu teori.

Penelitian deskriptif digunakan dalam penelitian ini sebab penelitian ini

pada dasarnya bertujuan untuk memverifikasiketepatan aplikasi pendekatan

PMR dalam materi barisan dan deret aritmetika serta memverifikasi

kemampuan generalisasi matematika dari siswa setelah pembelajaran PMR.


26

B. Subjek Penelitian

Subjek penelitian adalah siswa kelas IX SMP KaritasNgaglik Yogyakarta

tahun ajaran 2018/2019.

C. Waktu Penelitian

Penelitian dilaksanakan pada bulan Oktober - November 2018.

D. Teknik Pengumpulan Data

1. Tes Akhir

Tes akhir dipakai untuk mengetahui hasil dari pembelajaran

matematika dengan menggunakan pendekatan PMR pada materi barisan

dan deret aritmetika. Hasil dari tes akhir akan digunakan untuk

menentukan kelompok nilai rendah, sedang, dan tinggi. Hasil tes akhir

juga akan dibahas pada wawancara untuk mengetahui sejauh mana

kemampuan generalisasi siswa dalam materi barisan dan deret aritmetika.

Tes akhir akan disusun berdasarkan indikator soal yang telah disusun.

2. Wawancara

Wawancara digunakan sebagai salah satu teknik mengumpulkan

data karena wawancara dapat digunakan untuk mengetahui hal-hal dari

responden yang sifatnya mendalam serta dengan jumlah responden yang

sedikit. Teknik ini mendasarkan diri pada self-report serta pengetahuan

pribadi (Sugiyono, 2015). Sutrisno Hadi (dalam Sugiyono, 2015)

mengemukakan bahwa anggapan yang perlu dipegang oleh peneliti dalam

menggunakan metode wawancara adalah sebagai berikut:


27

a. Bahwa subyek (responden) adalah orang yang paling tahu dengan

dirinya sendiri.

b. Bahwa apa yang dikatakan subyek pada penelitian adalah benar dan

dapat dipercaya.

c. Bahwa interpretasi subyek tentang pertanyaan-pertanyaan yang

diajukan peneliti kepadanya adalah sama dengan apa yang dimaksud

peneliti.

Salah satu tujuan dari penelitian ini adalah untuk menemukan

pengaruh dari PMR terhadap kemampuan generalisasi siswa pada materi

barisan dan deret aritmetika. Dalam meneliti kemampuan generalisasi

siswa perlu diteliti tahap-tahap dari siswa dalam menggeneralisasi.

Sehingga peneliti harus bertanya kepada siswa secara mendalam tentang

bagaimana tahap-tahap siswa tersebut menggunakan kemampuan

generalisasinya dalam mengerjakan permasalahan generalisasi yang ada

dalam materi barisan dan deret. Karena itu metode wawancara digunakan

untuk mendapatkan data, karena data yang dibutuhkan adalah hasil

pemikiran dari subyek wawancara.

Pertanyaan wawancara akan membahas tentang hasil pekerjaan

siswa pada tes akhir. Soal yang akan digunakan dalam wawancara adalah

soal nomor 2, 3, dan 5. Soal-soal ini dipilih karena ketiga soal ini sudah

mencakup secara ringkas keempat tahap kemampuan generalisasi.

Sehingga akan tampak secara nyata kemampuan generalisasi siswa

berdasarkan soal-soal yang telah dijawabnya.


28

Subyek dari wawancara ini adalah siswa kelas IX SMP Karitas

yang telah menempuh pembelajaran matematika dengan menggunakan

metode PMR selama tiga pertemuan dalam materi barisan dan deret

aritmetika.

Dari 13 siswa akan diambil 5 siswa untuk wawancara tentang tes

akhir yang telah dikerjakan untuk melihat kemampuan generalisasi

matematis dalam materi barisan dan deret aritmetika. Pengambilan 5 siswa

tersebut ditentukan sebagai perwakilan dari siswa pada kelompok

kemampuan tinggi, sedang, dan rendah. Siswa dikategorikan ke dalam

kelompok kemampuan yang sesuai setelah siswa mengerjakan soal tes

akhir. Nilai tes akhir yang akan digunakan untuk melihat kelompok

kemampuan siswa.

Langkah-langkah untuk mengelompokkan siswa ke dalam

kelompok kemampuan tinggi, sedang, dan rendah adalah sebagai berikut :

a. Mencari nilai rata-rata (mean) dan simpangan baku dari nilai tes akhir

siswa.

Rumus mean : �̅� =∑ 𝑥𝑖

𝑛𝑖−1

𝑛

Keterangan :

�̅� = rata-rata nilai siswa 𝑛 = banyaknya siswa

𝑥𝑖 = data ke – i 𝑖 = 1,2,3,4, … , 𝑛

Rumus simpangan baik:

𝐷𝑆 = √∑ 𝑥𝑖

2𝑛𝑖−1

𝑛− (

∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖−1

𝑛)

2


29

b. Menentukan batas kelompok

Secara umum penentuan batas kelompok dapat dilihat pada tabel

berikut:

Tabel 3.1

Kriteria pengelompokan siswa berdasarkan nilai tes akhir

Nilai (s) Kelompok

𝑠 ≥ (�̅� + 𝐷𝑆) Atas

(�̅� − 𝐷𝑆) < 𝑠 < (�̅� + 𝐷𝑆) Sedang

𝑠 ≤ (�̅� − 𝐷𝑆) Bawah

3. Dokumentasi Pelaksanaan Penelitian

Dokumentasi pada saat pelaksanaan penelitian akan dilakukan

dengan merekam pembelajaran yang berlangsung serta merekam suara

pada saat wawancara dilaksanakan. Hal ini berfungsi untuk memudahkan

peneliti dalam melakukan pengumpulan data secara lebih mendetail dan

untuk menghindari data yang mungkin terlupakan pada saat pelaksanaan

pembelajaran maupun wawancara.

E. Instrumen Penelitian

1. Intrumen Tes Akhir

Kisi – Kisi Soal Tes Akhir

Sekolah : SMP Karitas Ngaglik Jumlah soal : 5 butir

Mata Pelajaran : Matematika Bentuk soal : uraian

Kelas/Semester : IX / I Alokasi Waktu : 40 menit

Kurikulum : KTSP Penyusun : Birgita

Materi Pokok : Barisan Aritmetika


30

Tujuan Tes Akhir :

Menemukan pengaruh dari PMRI terhadap kemampuan generalisasi siswa

pada materi barisan.

Tabel 3.2

Kisi – Kisi soal Tes Akhir

KD Indikator Soal

Tahapan

Kemampuan

Generalisasi

Soal

6.2

Menentukan

suku ke-

n barisan dan

deret aritmetika

(1)Mendefinisikan pengertian

beda dalam barisan

aritmetika, (2)mendefinisikan

pengertian barisan aritmetika,

(3)membuat contoh barisan

aritmetika.

Tahap

perception of

generality,

Soal 1

(7)mendefinisikan deret

aritmetika.

Soal 4

(4) menggeneralisasi pola

dalam barisan aritmetika dan

menemukan suku ke-n

Tahap

expression of

generality

Soal 2

6.4

Memecahkan

masalah yang

berkaitan

dengan

barisan dan

deret

aritmetika

(5) menemukan rumus suku

ke-n dari suatu barisan

aritmetikadan (6)

menyelesaikan masalah yang

terkait dengan barisan

aritmetika

Tahap

symbolic

expression of

generality

Soal 3

(9) Menyelesaikan masalah

yang terkait dengan deret

aritmetika

Tahap

manipulation

of generality

Soal 5


31

2. Instrumen Panduan wawancara

Instrumen ini berisikan pertanyaan-pertanyaan dasar yang akan ditanyakan

oleh peneliti kepada siswa. pertanyaan-pertanyaan selanjutnya

dikembangkan oleh peneliti berdasarkan situasi pada saat wawancara.

Pokok bahasan dalam wawancara adalah jawaban-jawaban yang sudah

diberikan siswa pada lembar jawab. Tentang bagaimana pemahaman siswa

akan soal yang diberikan serta tahapan-tahapan pemahaman siswa. Pola

pikir siswa dalam menjawab juga akan diteliti lebih lanjut dalam

wawancara.

Tabel 3.3

Kisi – Kisi Wawancara

Fokus Penelitian Pertanyaan Wawancara

Tahap perception of generality, pada

tahap ini siswa baru sampai pada tahap

mengenal sebuah aturan/ pola. Pada

tahap ini siswa juga telah mampu

mempersepsi atau mengidentifikasi

pola. Siswa telah mengetahui bahwa

masalah yang disajikan dapat

diselesaikan menggunakan aturan/

pola. (soal tes akhir nomor 1)

Soal Nomor 2

Bagaimana kamu dapat

menemukan pola pada soal

nomor 2?

Jelaskan cara

menemukannya!

Mengapa kamu menggunakan

cara tersebut?

Tahap expression of generality, pada

tahap ini siswa telah mampu

menggunakan hasil identifikasi pola

untuk menentukan struktur/ data/

gambar/ suku berikutnya. Pada tahap

ini siswa juga telah mampu

menguraikan sebuah aturan/ pola, baik

secara numerik maupun verbal

Soal Nomor 2


menemukan 𝑈20?

Jelaskan proses dalam

menemukan suku ke-20!


cara tersebut?

Tahap symbolic expression of Soal Nomor 3


32

generality, pada tahap ini siswa telah

mampu menghasilkan sebuah aturan

dan pola umum. Selain itu siswa juga

telah mampu memformulasikan

keumuman secara simbolis


mengerjakan soal nomor 3?

Jelaskan proses

pengerjaannya!


cara tersebut?

Tahap manipulation of generality, pada

tahap ini siswa telah mampu

menggunakan hasil generalisasi untuk

menyelesaikan masalah, dan mampu

menerapkan aturan/ pola yang telah

mereka temukan pada berbagai

persoalan

Soal Nomor 5

Dapatkah kamu mengerjakan

soal nomor 5?

Jika bagaimana caranya?

Jika tidak apa yang kamu

pahami dari soal tersebut?


cara tersebut?

3. Catatan lapangan

Menurut Bogdan dan Biklen (dalam Moloeng, 2007) catatan lapangan

adalah catatan yang berisi apa yang didengar, dialami, serta dipikirkan

dalam rangka pengumpulan data dan refleksi terhadap data dalam

penelitian kualitatif. Catatan lapangan disusun setiap kali peneliti selesai

melakukan aktivitas penelitian pada hari itu juga, sebab ingatan manusia

dapat tercampur dan menjadi bias dengan cepat.

“Catatan lapangan memiliki bagian deskriptif yang berisi gambaran

tentang latar pengamatan orang, tindakan, dan pembicaraan. Pada bagian

deskriptif semua peristiwa serta pengalaman yang ada dicatat selengkap

dan seobjektif mungkin. Pada bagian ini terdapat: gambaran diri subjek,

rekonstruksi dialog, catatan tentang peristiwa khusus, perilaku pengamat.”

(Moleong, 2007: 214)


33

F. Teknik Analisa Data

Analisa data menurut Moleong (2007) adalah proses pengorganisasian

data dan pengurutan data ke dalam pola, kategori, dan satuan uraian dasar

sehingga dapat ditemukan tema dan dapat dirumuskan hipotesis kerja seperti

yang disarankan oleh data. Teknik analisa data dikelompok menjadi dua

bagian sesuai dengan tujuan dari penelitian ini yaitu 1) Menemukan

bagaimana langkah-langkah membelajarkan materi barisan dan deret

aritmetika dengan menggunakan pendekatan PMR, 2) Menemukan pengaruh

dari PMR terhadap kemampuan generalisasi siswa pada materi barisan dan

deret aritmetika. Namun dari kedua kelompok masih memiliki keterkaitan

dalam unsur proses pembelajaran.

1. Teknik analisa data dalam proses pembelajaran PMR.

a. Tahap reduksi data

Tahap reduksi data dari catatan lapangan adalah dengan membuat

kode dan pengkodean pada bagian-bagian tertentu pada catatan

lapangan. Kode digunakan untuk mengelompokkan data-data tertentu

yang memungkinkan terjadinya analisis yang lebih mendalam.

Pembuatan kode pada proses reduksi ini menggunakan metode

grounded yang empirik, diprakarsai oleh Glaser. Pembuatan kode ini

dilakukan di akhir setelah data terkumpul. Sehingga kode-kode yang

dihasilkan akan lebih mewakili data yang ada dibandingkan dengan

kode yang disusun secara generik atau sebelum penelitian dilakukan.


34

Kode yang disusun berdasarkan keenam prinsip pendekatan PMR

yaitu: (1) prinsip aktivitas, (2) prinsip realitas, (3) prinsip penjen-

jangan, (4) prinsip jalinan, (5) prinsip relasi, (6) prinsip bimbingan.

b. Penyajian Data

Data dikelompokkan secara teratur dalam kategori-kategori yang ada

menggunakan teknik pengkodean sehingga dimungkinkan untuk

melakukan proses penarikan kesimpulan. Penyajian data dilakukan

sebagai berikut:

1) Topik-topik data

Bagian-bagian data dibandingkan dan dilihat perbedaannya untuk

menghasilkan topik-topik data. Topik data adalah rangkuman

bagian data yang mempunyai kandungan makna tertentu

2) Kategori-kategori data

Topik-topik data dibandingkan dan dilihat perbedaannya untuk

menghasilkan kategori-kategori data. Kategori data adalah

gagasan abstrak yang mewakili makna yang sama terkandung

dalam sekelompok topik data.

c. Penarikan Kesimpulan dan Verifikasi Data

Setelah data disajikan dalam kategori-kategori data yang sesuai,

proses selanjutnya adalah penarikan kesimpulan daripada data-data

yang telah diolah. Dari data yang telah dihasilkan dapat ditarik

kesimpulan berupa verifikasi metode pembelajaran PMR pada materi

barisan dan deret aritmetika.


35

2. Teknik analisa data dalam hasil tes akhir danwawancara.

a. Reduksi Data

Dalam proses reduksi data ini hasil dari jawaban siswa akan dirubah

menjadi deskripsi jawaban siswa. Data kemudian di kelompokkan

kedalam topik-topik data yaitu indikator soal yaitu, (1) mendefinisikan

pengertian beda dalam barisan aritmetika, (2) mendefinisikan

pengertian barisan aritmetika, (3) membuat contoh barisan aritmetika,

(4) menggeneralisasi pola dalam barisan aritmetika dan menemukan

suku ke-n, (5) menemukan rumus suku ke-n dari suatu barisan

aritmetika, (6) menyelesaikan masalah yang terkait dengan barisan

aritmetika, (7) mendefinisikan deret aritmetika, (8) menemukan rumus

𝑆𝑛 dari suatu deret aritmetika, (9) menyelesaikan masalah yang terkait

dengan deret aritmetika. Setelah itu data hasil jawaban siswa akan

dikategorikan kedalam empat tahap kemampuan generalisasi, yaitu (1)

tahap perception of generality, (2) tahap expression of generality, (3)

tahap symbolic expression of generality, dan (4) tahap manipulation of

generality.

b. Penyajian Data

Penyajian data dilakukan pada data yang telah teratur sehingga dapat

digunakan untuk penarikan kesimpulan. Tahap penyajian data pada

bagian ini meliputi:


36

1) Topik-topik data

Bagian-bagian data dibandingkan dan dilihat perbedaannya untuk

menghasilkan topik-topik data. Topik data adalah rangkuman

bagian data yang mempunyai kandungan makna tertentu.

2) Kategori-kategori data

Topik-topik data dibandingkan dan dilihat perbedaannya untuk

menghasilkan kategori-kategori data. Kategori data adalah gagasan

abstrak yang mewakili makna yang sama terkandung dalam

sekelompok topik data.

c. Penarikan Kesimpulan

Setelah data tes akhir dan wawancara disajikan dalam kategori yang

sesuai, langkah selanjutnya adalah melakukan proses penarikan

kesimpulan. Dari data-data yang telah dikategorisasi dapat ditarik

kesimpulan mengenai kemampuan siswa dalam menggeneralisasi pada

materi barisan dan deret aritmetika setelah mendapatkan pembelajaran

dengan pendekatan PMR.


37

G. Prosedur Penelitian

1. Penyusunan Proposal

2. Persiapan Penelitian

a. Pengurusan Ijin ke sekolah

Peneliti mengurus perijinan untuk penelitian ke sekolah disertai

dengan surat permohonan dari kampus.

b. Wawancara

Peneliti melakukan wawancara kepada guru matematika untuk

mengetahui tingkat kemampuan generalisasi siswa secara umum.

c. Penyusunan instrumen dan validasi

3. Pelaksanaan

Pelaksanaan penelitian mencakup penyusunan instrument untuk

mengajarkan materi barisan aritmetika kepada siswa dengan menggunakan

pendekatan PMR. Penelitian dilakukan untuk mengetahui cara untuk

mengajarkan materi menggunakan pendekatan PMR dan dampak dari

pembelajaran kepada kemampuan generalisasi siswa.

4. Analisis Data

Setelah dilakukan penelitian dilakukan analisa data terhadap data yang

didapatkan selama melakukan penelitian. Baik hasil wawancara, hasil tes,

serta hasil observasi. Data yang telah dikumpulkan kemudian dianalisis

menggunakan teknik analisis serta poin-poin analisa yang telah dibuat

sebelumnya.


38

5. Penarikan Kesimpulan

Setelah data-data yang ada selesai dianalisa, kemudian diakan penarikan

kesimpulan. Hal ini dilakukan untuk mengetahui apakah penelitian yang

dilakukan yaitu menggunakan pendekatan PMR untuk mengajarkan

kepada siswa materi barisan aritmetika memiliki dampak pada

kemampuan generalisasi siswa. Kesimpulan juga akan membahas cara-

cara untuk mengajarkan materi kepada siswa menggunakan pendekatan

PMR.


39

BAB IV

PENYAJIAN DATA, ANALISIS DATA,

DAN PEMBAHASAN

A. Deskripsi Proses Pembelajaran

Bagian ini akan membahas tentang proses penelitian yang telah dilakukan,

langkah-langkah pembelajaran yang telah disusun, serta pengaruh dari

pembelajaran yang telah diberikan pada kemampuan generalisasi siswa.

Pada awalnya peneliti melakukan wawancara terlebih dahulu untuk

mengetahui tingkat kemampuan awal daripada kemampuan generalisasi siswa

pada materi barisan dan deret. Selain itu wawancara juga digunakan untuk

mengetahui proses pembelajaran yang biasa digunakan oleh guru dalam

membimbing siswa.

Tahap selanjutnya peneliti menyusun instrument pembelajaran yaitu

Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP), Lembar Kerja Siswa (LKS), serta

soal Tes Akhir dengan bantuan dari guru mata pelajaran serta dosen

pembimbing. Setelah itu peneliti melakukan validasi instrument dengan

menggunakan validasi pakar (expert judgment), peneliti juga melakukan

pengujian soal Tes Akhir dengan bantuan pakar (dosen pembimbing).

Proses pelaksanaan penelitian dan pengambilan data dilaksanakan dalam 3

kali pertemuan. Tes akhir dilaksanakan pada akhir pertemuan ke-3. Setiap

jam pelajaran terdiri dari 40 menit. Pertemuan pertama dilaksanakan pada

tanggal 10-13 Oktober 2018.


40

Secara garis besar proses pembelajaran dipaparkan di bawah ini:

1. Pertemuan pertama

Pembelajaran pada pertemuan pertama berlangsung pada hari Rabu,

10 Oktober 2018. Pembelajaran terdiri dari 2 jam pelajaran (2 x 40

menit) dan dihadiri oleh 13 siswa kelas IX. Pertemuan pertama berisi

perkenalan serta penjelasan kegiatan. Kemudian siswa dibagi kedalam 4

kelompok kerja yang heterogen. Guru kemudian membagikan LKS

kepada siswa dan memberikan karton serta peralatan kerja kepada siswa.

Guru kemudian menjelaskan apa yang akan dikerjakan pada hari itu dan

siswa mulai mengerjakan bersama dengan kelompok. Guru menjadi

fasilitator dalam pembelajaran dengan mengarahkan siswa dalam

berdiskusi. Setelah siswa selesai berdiskusi, guru mempersilahkan siswa

untuk mempresentasikan hasil diskusi. Karena keterbatasan waktu hanya

ada satu kelompok yang sempat melakukan presentasi. Kemudian guru

memberikan konfirmasi atas presentasi dan menutup pembelajaran.

Prinsip PMR yang tampak pada pertemuan I:

a. Prinsip aktivitas

Prinsip aktivitas dalam pembelajaran pertama dapat dilihat dengan

cukup kentara. Karena pada pembelajaran pertama terdapat aktivitas

siswa untuk menemukan konsep barisan bilangan dengan

menempelkan korek api membentuk susunan persegi yang saling

berdampingan pada karton. Siswa bergantian menempelkan korek

api ke karton dan menuliskan penjelasan dari alasan mereka. Siswa


41

tampak berdiskusi tentang berapa jumlah korek api yang paling

sedikit yang dibutuhkan dan siswa tampak menghitung jumlah

batang korek api pada susunan persegi yang mereka buat.

b. Prinsip realitas

Prinsip ini menyatakan bahwa pembelajaran matematika dimulai dari

masalah-masalah dunia nyata yang dekat dengan pengalaman siswa

(masalah yang realitas bagi siswa). Realitas bagi siswa tidak selalu

diartikan berkaitan dengan dunia nyata, tetapi bisa juga dari konsep-

konsep yang dapat dibayangkan oleh siswa.

Pada prinsip realitas tampak pada siswa mencari jumlah korek api

yang paling sedikit untuk membentuk suatu susunan persegi.

c. Prinsip penjenjangan

Prinsip ini menyatakan bahwa pemahaman siswa terhadap

matematika melalui berbagai jenjang: dari menemukan (to invent)

penyelesaian masalah kontekstual secara informal ke skematisasi, ke

perolehan insight dan selanjutnya ke penyelesaian secara formal.

Prinsip ini tampak pada saat ada siswa yang berhasil menemukan

bahwa dalam membentuk suatu susunan persegi menggunakan korek

api ada suatu pola yang dapat diamati. Dan pola tersebut dapat

digunakan untuk menemukan berapa korek api yang dibutuhkan

pada susunan ke-100 persegi yang saling berdampingan.


42

d. Prinsip jalinan.


memiliki alur yang mengalir dan terikat satu sama lain. Hal ini dapat

dilihat dari tingkatan pembelajaran yang ada. Meskipun materi yang

diajarkan berjenjang, namun dari satu jenjang ke jenjang yang lain

tetap memiliki relasi.

Prinsip jalinan telah tampak pada saat siswa mulai mengerjakan LKS

dari nomor per nomor. Karena soal-soal dalam LKS sudah tersusun

secara sistematis untuk membimbing siswa dari konsep real ke

konsep abstrak. Akan tetapi prinsip ini masih belum dapat terlaksana

secara efektif karena guru tidak memberikan konfirmasi materi

kepada siswa karena keterbatasan waktu. Karena itu siswa tidak

mendapatkan konfirmasi atas apa yang mereka pahami sehingga

rentan terjadi kesalahpahaman dalam materi.

e. Prinsip interaksi

Prinsip ini menyatakan bahwa belajar matematika dapat dipandang

sebagai aktivitas sosial selain sebagai aktivitas individu.

Prinsip interaksi tampak pada proses interaksi siswa dalam

berdiskusi untuk memahami arti daripada perintah pada LKS. Prinsip

ini juga tampak pada saat siswa kelompok 2 melakukan presentasi

mengenai hasil yang didapatkan pada aktivitas kelompok.


43

f. Prinsip bimbingan

Prinsip ini menyatakan bahwa dalam menemukan kembali (re-

invent) matematika siswa perlu mendapat bimbingan. Dalam PMR

prinsip ini berarti guru hanya sebagai fasilitator, yang menjadi

subjek pembelajaran adalah siswa.

Prinsip ini tampak pada saat guru membimbing siswa untuk

berdiskusi mengenai berapa jumlah minimal korek api yang

dibutuhkan untuk membentuk susunan persegi yang saling

bersebelahan. Guru hanya memberikan pertanyaan pancingan dan

siswa yang menemukan jawabannya.

2. Pertemuan kedua

Pembelajaran pada pertemuan kedua berlangsung pada hari Jumat, 12

Oktober 2018. Pembelajaran kedua terdiri dari 2 jam pelajaran (2 x 40

menit). Pertemuan kedua dihadiri oleh 11 siswa. Pembelajaran dimulai

dengan apersepsi berupa kesimpulan dari pembelajaran yang lalu. Guru

kemudian membagikan LKS untuk pertemuan kedua dan menjelaskan

apa yang akan dilakukan pada pertemuan kedua. Siswa berdiskusi di

dalam kelompoknya masing-masing. Jam pembelajaran habis sebelum

siswa dapat memberikan presentasi dari pembelajaran. Guru menutup

pembelajaran.


44

Prinsip PMR yang tampak pada pertemuan II:


Terdapat prinsip aktivitas dalam pembelajaran kedua meski tidak

terlalu tampak dibandingkan dengan pembelajaran pertama karena

pada pembelajaran kedua siswa diminta untuk lebih fokus kepada

materi.

b. Prinsip realitas

Prinsip ini menyatakan bahwa pembelajaran matematika dimulai dari

masalah-masalah dunia nyata yang dekat dengan pengalaman siswa

(masalah yang realitas bagi siswa). Realitas bagi siswa tidak selalu

diartikan berkaitan dengan dunia nyata, tetapi bisa juga dari konsep-

konsep yang dapat dibayangkan oleh siswa.

Prinsip realitas pada pembelajaran tertuang pada soal-soal LKS yang

diberikan kepada siswa. Soal-soal pada LKS disusun untuk

mempermudah siswa dalam membayangkan materi dari konsep yang

abstrak kepada sesuatu yang dapat dipahami oleh siswa.

Gambar 4. 1 LKS Hari ke 2 nomor 2


45




penyelesaian masalah kontekstual secara informal ke skematisasi, ke

perolehan insight dan selanjutnya ke penyelesaian secara formal.

Prinsip ini tampak pada saat siswa mengerjakan soal LKS nomor 1.

Dalam soal LKS nomor 1 terdapat proses untuk mendapatkan rumus

jumlah deret aritmetika secara bertahap.

d. Prinsip jalinan


memiliki alur yang mengalir dan terikat satu sama lain. Hal ini dapat

dilihat dari tingkatan pembelajaran yang ada. Meskipun materi yang

diajarkan berjenjang, namun dari satu jenjang ke jenjang yang lain

tetap memiliki relasi.

Gambar 4. 2 LKS hari ke-2 nomor 1


46

Prinsip jalinan tampak pada soal LKS nomor 1. Dimana untuk

menemukan suatu jumlah suku atau untuk mengenalkan konsep

deret aritmetika, siswa diberikan suatu barisan aritmetika dan

diminta untuk menemukan jumlah dari suku-suku pertama dan

menemukan konsep deret aritmetika.


Prinsip ini menyatakan bahwa belajar matematika dapat dipandang

sebagai aktivitas sosial selain sebagai aktivitas individu.

Prinsip interaksi tampak pada proses interaksi siswa dalam

berdiskusi untuk memahami arti daripada perintah pada LKS.

Suasana diskusi cukup terasa dalam pembelajaran kedua. Hal ini

mungkin dikarenakan pada pembelajaran kedua LKS memiliki

permasalahan yang berupa soal dan bukan aktivitas. Sehingga siswa

terlihat berdiskusi dan saling menjelaskan apa yang mereka pahami.



invent) matematika siswa perlu mendapat bimbingan. Dalam PMR

Gambar 4. 3 LKS hari ke-2 nomor 1


47

prinsip ini berarti guru hanya sebagai fasilitator, yang menjadi

subjek pembelajaran adalah siswa.

Prinsip ini tampak pada saat guru berkeliling ke kelompok-kelompok

dan memberikan pertanyaan pancingan serta petunjuk agar siswa

dapat berjalan ke arah yang benar dalam pengerjaan soal. Akan

tetapi guru tidak langsung menjelaskan materi kepada siswa namun

guru hanya bertanya dan membiarkan siswa berpikir mengenai

jawaban.

Kebanyakan pertanyaan pancingan yang diberikan guru adalah

dengan menunjukkan kepada siswa bahwa pada apa yang mereka

kerjakan terdapat suatu pola, yaitu:

Kemudian siswa diminta untuk memikirkan apa yang mereka

temukan dan menerapkannya kedalam jumlah deret aritmetika yang

lebih banyak.

Gambar 4. 4 Deret aritmetika


48

3. Pertemuan ketiga

Pembelajaran pertemuan ketiga dilaksanakan pada hari Sabtu, 13

Oktober 2018. Pembelajaran pertemuan ketiga diikuti oleh 13 orang

siswa. Pertama guru meminta siswa untuk mempresentasikan hasil kerja

pada hari ke-2. Ada satu kelompok yang maju dan mempresentasikan

hasil kerja mereka. Guru kemudian menjelaskan konfirmasi materi dan

memberikan waktu kepada siswa 15 menit untuk belajar. Kemudian guru

mengadakan tes akhir.

Prinsip PMR yang tampak pada pertemuan III:


Tidak terdapat prinsip aktivitas pada pembelajaran ketiga.

b. Prinsip realitas

Prinsip ini menyatakan bahwa pembelajaran matematika dimulai

dari masalah-masalah dunia nyata yang dekat dengan pengalaman

siswa (masalah yang realitas bagi siswa). Realitas bagi siswa

tidak selalu diartikan berkaitan dengan dunia nyata, tetapi bisa

juga dari konsep-konsep yang dapat dibayangkan oleh siswa.

Tidak terdapat prinsip realitas pada hari ketiga.




penyelesaian masalah kontekstual secara informal ke skematisasi,


49

ke perolehan insight dan selanjutnya ke penyelesaian secara

formal.

Prinsip penjenjangan tampak pada saat presentasi dimana siswa

mampu menyimpulkan cara untuk menemukan jumlah 10 dan 100

suku pertama melalui apa yang sudah mereka kerjakan. Disini

siswa menunjukkan bagaimana mereka menyimpulkan cara untuk

menemukan 10 suku pertama dan menerapkannya ke dalam

jumlah suku yang lebih banyak. Akan tetapi siswa masih belum

dapat memahami konsep jumlah n suku pertama.

d. Prinsip jalinan


memiliki alur yang mengalir dan terikat satu sama lain. Hal ini

dapat dilihat dari tingkatan pembelajaran yang ada. Meskipun

materi yang diajarkan berjenjang, namun dari satu jenjang ke

jenjang yang lain tetap memiliki relasi.

Prinsip jalinan tampak pada saat guru menggunakan soal yang

sudah dipresentasikan untuk menjelaskan dan memberikan

konfirmasi materi deret aritmetika kepada siswa. Disini guru

menggunakan apa yang sudah dipahami oleh siswa untuk

mengkaitkan pembelajaran kepada materi selanjutnya. Pada

bagian ini juga tampak bahwa apa yang dilakukan guru adalah

gabungan antara prinsip penjenjangan dan prinsip jalinan.


50


Prinsip ini menyatakan bahwa belajar matematika dapat

dipandang sebagai aktivitas sosial selain sebagai aktivitas

individu.

Prinsip interaksi pada hari ketiga tampak pada saat siswa

melakukan aktivitas tanya jawab pada saat presentasi

berlangsung.Siswa tampak mulai berani untuk mengajukan

pertanyaan dan mengemukakan pendapat pada hari ini.



invent) matematika siswa perlu mendapat bimbingan. Dalam

PMR prinsip ini berarti guru hanya sebagai fasilitator, yang

menjadi subjek pembelajaran adalah siswa.

Prinsip ini tampak pada saat guru memberikan konfirmasi

mengenai apa yang telah dikerjakan oleh siswa. Pada saat siswa

melakukan presentasi guru juga membantu membimbing siswa

untuk menunjukkan apa saja yang harus dipresentasikan oleh

siswa.

Tabel 4.1

Keterlaksanaan Prinsip PMR Pembelajaran

ke-

Prinsip

aktivitas

Prinsip

realitas

Prinsip

penjenjangan

Prinsip

jalinan

Prinsip

interaksi

Prinsip

bimbingan

1 √ √ √ √ √

2 √ √ √ √ √ √

3 √ √ √ √


51

B. Deskripsi Hasil Tes Akhir Siswa

Pada bagian ini akan diberikan deskripsi mengenai hasil tes akhir siswa. tidak

semua jawaban siswa akan dibahas pada bagian ini. Pembahasan difokuskan

pada sampel soal-soal yang sesuai dengan indikator kemampuan generalisasi

siswa. Jawaban dari siswa akan dikategorikan menurut jawaban yang umum

diberikan oleh siswa.

1. Soal nomor 1

Indikator soal :

(1)Mendefinisikan pengertian beda dalam barisan aritmetika

(2)Mendefinisikan pengertian barisan aritmetika. (3) Membuat contoh

barisan aritmetika.

Indikator kemampuan generalisasi:

Tahap perception of generality, pada tahap ini siswa baru sampai pada

tahap mengenal sebuah aturan/ pola. Pada tahap ini siswa juga telah

mampu mempersepsi atau mengidentifikasi pola. Siswa telah mengetahui

bahwa masalah yang disajikan dapat diselesaikan menggunakan aturan/

pola.

Soal 1:

a. Definisikan pengertian barisan aritmetika dengan kata-katamu

sendiri!

b. Buatlah contoh barisan aritmetika!

c. Apa yang dimaksud dengan beda dalam barisan aritmetika?

Jelaskan!


52

Jawaban siswa pada soal nomor 1 akan dikelompokkan ke dalam

kelompok jawaban yang umum ditemukan pada siswa. Pengelompokkan

akan difokuskan pada soal 1.b. Dimana soal yang diberikan menfokuskan

pada kemampuan siswa untuk mengenali sebuah pola dan memberikan

contoh.

Kelompok jawaban dari soal 1.b.

a. Kelompok jawaban pertama

Kelompok jawaban ini berisi siswa yang dapat memberikan contoh

dari barisan aritmetika dengan benar.

Deskripsi :

Terdapat 12 orang siswa yang menjawab dengan benar pada poin

1.b. ini. Variasi contoh barisan aritmetika yang disajikan oleh

siswa sendiri cukup beragam. Terdapat 6 variasi barisan

aritmetika dalam contoh barisan aritmetika yang diberikan oleh

siswa. Terdapat dua contoh barisan aritmetika yang umum

dipakai oleh siswa. Ada 4 siswa yang menuliskan 1,5,9,13, … dan

ada 4 siswa yang menuliskan 1,3,5,7,9,11, … .

Kesimpulan :

Siswa tampak cukup memahami apa yang dimaksud dengan

barisan aritmetika. Hal ini tampak pada banyaknya siswa yang

berhasil memberikan contoh jawaban yang benar. Dari 12 orang

siswa terdapat 4 siswa yang memberikan contoh barisan

aritmetika yang memiliki pola yang berbeda daripada teman-

temannya. Dan ada 6 variasi jawaban yang diberikan oleh siswa.

Gambar 4. 5 Jawaban soal 1.b kelompok pertama


53

Terdapatnya variasi jawaban dapat menunjukkan bahwa siswa

memahami konsep dari barisan aritmetika dan dapat membuat

suatu barisan aritmetika baru dengan konsep yang mereka

pahami. Dapat dilihat bahwa siswa telah mampu untuk

mengidentifikasi adanya sebuah pola dalam barisan bilangan

dengan baik. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa siswa

telah memenuhi indikator soal dan indikator kemampuan

generalisasi yang diminta.

b. Kelompok Jawaban Kedua

Pada kelompok jawaban ini adalah jawaban dari siswa yang

memberikan contoh barisan aritmetika dengan tidak tepat.

Deskripsi :

Pada kelompok jawaban ini hanya terdapat satu siswa. Siswa

memberikan contoh suatu deret aritmetika. Akan tetapi dapat

dilihat bahwa deret aritmetika yang diberikan siswa benar.

Kesimpulan :

Karena siswa memberikan suatu contoh deret aritmetika, namun

dapat dilihat bahwa siswa memberikan contoh deret aritmetika

yang benar. Maka dapat disimpulkan bahwa siswa tertukar dalam

memahami deret aritmetika dan barisan aritmetika. Akan tetapi

dapat dilihat bahwa siswa tampak memahami bahwa dalam ada

Gambar 4. 6 Jawaban soal 1.b kelompok kedua


54

suatu pola yang terbentuk dalam deret yang dibuatnya. Dengan

demikian dapat disimpulkan bahwa siswa belum memenuhi

indikator soal dan indikator kemampuan generalisasi.

2. Soal nomor 2

Indikator Soal :


suku ke-n

Indikator kemampuan generalisasi:

Tahap perception of generality, pada tahap ini siswa baru sampai pada


mampu mempersepsi atau mengidentifikasi pola. Siswa telah mengetahui

bahwa masalah yang disajikan dapat diselesaikan menggunakan aturan/

pola.

Soal 2:

2,5,8,11,14, …

a. Bagaimana pola dari barisan bilangan tersebut? Jelaskan dan

gambarkan bagaimana cara menemukannya secara sederhana!

b. Carilah 𝑈20!

Kelompok Jawaban Soal 2.a.

a. Kelompok jawaban pertama:

Kelompok jawaban ini berisikan siswa yang menjawab pola dari suatu

barisan aritmetika adalah beda atau selisih yang sama dari setiap dua

suku yang berurutan.


55

Deskripsi:

Terdapat 8 siswa dalam kelompok jawaban ini. Siswa di kelompok

ini menuliskan bahwa pola barisan berarti pertambahan angka

dalam dua suku yang berurutan. Tampak bahwa siswa telah

memahami arti daripada menemukan pola dalam barisan

aritmetika.

Kesimpulan:

Siswa telah dapat menggeneralisasi dan mengidentifikasi suatu

pola dalam barisan aritmetika dengan baik. Sehingga dapat

disimpulkan bahwa siswa telah memenuhi indikator soal dan

indikator kemampuan generalisasi dengan baik.

b. Kelompok jawaban kedua:

Kelompok jawaban ini berisikan siswa yang menjawab bahwa pola

dalam barisan aritmetika adalah pola yang digunakan untuk mencari

jumlah deret aritmetika.

Gambar 4. 7 Jawaban soal 2.a kelompok pertama


56

Deskripsi:

Tampak bahwa siswa rancu mengenai pola dalam suatu barisan dan

pola dalam mencari jumlah deret aritmetika. Terdapat 3 siswa

dalam kelompok ini.

Kesimpulan:

Siswa tampak masih belum dapat menangkap perbedaan antara

barisan dan deret aritmetika dan belum dapat memahami maksud

soal dengan baik. Dalam soal dituliskan diminta untuk mencari

pola dalam barisan bilangan tersebut. Akan tetapi siswa mencari

pola dalam deret aritmetika dan mencari jumlahnya juga. Sehingga

dapat disimpulkan bahwa siswa belum memenuhi indikator soal

dan indikator kemampuan generalisasi dengan baik.

Kelompok Jawaban Soal 2.b.

Indikator Soal :


suku ke-n.

Gambar 4. 8 Jawaban soal 2.a kelompok pertama


57

Indikator Kemampuan Generalisasi:

Tahap expression of generality, pada tahap ini siswa telah mampu

menggunakan hasil identifikasi pola untuk menentukan struktur/ data/

gambar/ suku berikutnya. Pada tahap ini siswa juga telah mampu

menguraikan sebuah aturan/ pola, baik secara numerik maupun verbal.


Kelompok jawaban ini berisikan siswa yang memberikan jawaban

yang benar.

Deskripsi:

Pada kelompok jawaban ini terdapat 9 siswa. Siswa telah mampu

mengidentifikasi elemen-elemen yang ada pada barisan aritmetika

seperti beda, bilangan awal, dan suku ke-n.

Kesimpulan:

Dapat dilihat melalui jawaban siswa bahwa siswa telah mampu

menggeneralisasi pola dalam suatu barisan aritmetika dengan baik.

Gambar 4. 9 Jawaban soal 2.b kelompok pertama


58

Hal ini dapat dilihat dari siswa dapat melihat beda dari barisan

aritmetika yang diberikan dengan benar. Siswa juga telah sampai

kepada tahapexpression of generality. Hal ini tampak dari

bagaimana siswa telah dapat mengidentifikasi pola dalam suatu

barisan dan telah dapat menentukan suku selanjutnya dengan baik.

Sehingga dapat disimpulkan bahwa siswa telah memenuhi

indikator kemampuan generalisasi dan indikator soal dengan baik.


Kelompok jawaban ini berisikan jawaban dari siswa yang telah

dapat menuliskan rumus 𝑈𝑛 dengan baik dan dapat mensubstitusi

nilai 𝑎, 𝑛, dan 𝑏 dengan benar. Namun terdapat kesalahan pada

kemampuan matematis dasar siswa.

Deskripsi:

Terdapat 2 orang siswa dalam kelompok jawaban ini. Siswa

tampak telah memahami bagian-bagian dari barisan aritmetika

dengan baik dan dapat menggeneralisasi pola dalam barisan

aritmetika dengan baik pula. Namun dapat dilihat bahwa terdapat

kesalahan matematis dasar pada pekerjaan siswa. Pada baris ketiga

Gambar 4. 10 Jawaban soal 2.b kelompok kedua


59

terdapat operasi penjumlahan dan operasi perkalian dalam

persamaan yang dikerjakan siswa. Pada baris keempat tampak

bahwa siswa mengerjakan operasi penjumlahan terlebih dahulu.

Dari sini dapat disimpulkan bahwa siswa masih memiliki kesalahan

dasar yang harus diperbaiki. Terdapat dua orang siswa dalam

kelompok ini dan keduanya memiliki jawaban yang sama.

Kesimpulan:

Meskipun siswa tampak melakukan kesalahan dalam mengerjakan

persamaan, selebihnya tidak ditemukan kesalahan dalam pekerjaan

siswa di soal ini. Hal ini menunjukkan bahwa siswa memahami

dengan baik cara mengidentifikasi suatu pola dan menyimpulkan

suku berikutnya dari pola yang telah diidentifikasi. Sehingga siswa

belum dapat memenuhi indikator soal namun siswa telah

memenuhi indikator kemampuan generalisasi.

c. Kelompok Jawaban Ketiga:

Kelompok jawaban ini berisikan hasil dari pekerjaan siswa yang

tidak memenuhi standar indikator soal maupun indikator

kemampuan generalisasi yang diberikan.

Gambar 4. 11 Jawaban soal 2.b kelompok ketiga


60

Deskripsi:

Terdapat satu orang siswa dalam kelompok jawaban ini. Tampak

dari jawaban yang diberikan siswa bahwa siswa telah mengetahui

sifat dari barisan aritmetika. Akan tetapi siswa masih belum dapat

menyimpulkan suatu pola umum dan menentukan suku berikutnya

dari pola yang diketahui.

Kesimpulan:

Dari pekerjaan siswa yang diberikan dapat disimpulkan bahwa

siswa masih belum mampu untuk menentukan suku selanjutnya

dari hasil identifikasi pola yang didapatkannya. Sehingga dapat

disimpulkan bahwa siswa masih belum dapat memenuhi indikator

soal dan indikator kemampuan generalisasi.

d. Kelompok jawaban keempat:

Terdapat satu siswa dalam kelompok jawaban ini. Kelompok

jawaban ini berisikan siswa yang tidak menuliskan jawabannya

dalam lembar jawaban. Tidak dapat dilakukan analisis pada

jawaban siswa karena tidak adanya data yang dapat dikumpulkan.

3. Soal Nomor 3

Indikator Soal:

(5) menemukan rumus suku ke-n dari suatu barisan aritmetikadan (6)

menyelesaikan masalah yang terkait dengan barisan aritmetika


61


Tahap symbolic expression of generality, pada tahap ini siswa telah

mampu menghasilkan sebuah aturan dan pola umum. Selain itu siswa

juga telah mampu memformulasikan keumuman secara simbolis

soal 3 :

Diberikan suatu barisan aritmetika. Jika 𝑈2 = 5 dan 𝑈4 = 11 ,maka

carilah nilai 𝑎 dan 𝑈12! Jelaskan dan gambarkan penyelesaianmu

secara sederhana!


Pada kelompok jawaban ini terdapat siswa yang menjawab soal

dengan baik dan benar.

Gambar 4. 12 Jawaban soal 3 kelompok pertama


62

Deskripsi:

Terdapat 3 siswa dalam kelompok ini. Siswa tampak telah

memahami dengan baik maksud dari soal dengan baik. Siswa

tampak dapat mencari suku yang ditanyakan dengan baik meski

barisan aritmetika yang diberikan sedikit berbeda dengan barisan

aritmetika yang biasa.

Kesimpulan:

Dapat diamati bahwa siswa telah mampu untuk memanfaatkan sifat

dari barisan aritmetika untuk mencari suku-suku yang diminta.

Siswa telah dapat merumuskan suatu pola umum dalam barisan

aritmetika, akan tetapi siswa juga belum dapatmenformulasikan

pola umum yang didapatkannya secara simbolis. Sehingga dapat

disimpulkan bahwa siswa telah memenuhi indikator soal namun

siswa belum dapat memenuhi indikator kemampuan generalisasi.


Kelompok jawaban ini berisikan siswa yang menjawab soal dengan

memanfaatkan rumus 𝑈𝑛 dan dapat mensubtitusikan nilai yang

diminta dengan benar. Hanya terdapat kesalahan matematis dasar

dalam penghitungan.


63

Deskripsi:

Terdapat 2 siswa dalam kelompok jawaban ini. Dapat dilihat bahwa

siswa salah melakukan operasi perkalian pada tanda operasi

penjumlahan. Terdapat 4 siswa dalam kelompok jawaban ini.

Kesalahan matematis yang dibuat bervariasi. Akan tetapi semua

siswa dalam kelompok jawaban ini telah dapat mensubstitusikan

nilai dalam rumus 𝑈𝑛 dengan benar.

Kesimpulan:

Siswa telah dapat menggunakan sifat barisan aritmetika dengan

baik. Siswa tampak memahami apa yang harus dilakukan meski

barisan aritmetika yang disajikan tampak berbeda daripada barisan

aritmetika yang biasa mereka ketahui. Siswa telah mampu

merumuskan pola umum dalam barisan aritmetika, namun siswa

belum dapat menformulasikannya secara simbolis.Sehingga dapat

Gambar 4. 13 Jawaban soal 3 kelompok kedua


64

disimpulkan bahwa siswa belum memenuhi indikator soal dan


c. Kelompok jawaban ketiga:

Kelompok jawaban ini berisikan siswa yang dapat menjawab

pertanyaan yang diberikan namun siswa tidak memanfaatkan

rumus 𝑈𝑛.

Deskripsi:

Tampak bahwa siswa masih belum memahami bagaimana

memanfaatkan rumus 𝑈𝑛.

Kesimpulan:

Terdapat satu siswa dalam kelompok jawaban ini. Siswa tampak

telah memahami sifat barisan aritmetika. Akan tetapi siswa belum

dapat merumuskan pola umum dalam barisan aritmetika. Tampak

siswa telah memenuhi indikator soal, namun siswa belum dapat

memenuhi indikator kemampuan generalisasi dengan baik.

d. Kelompok jawaban keempat:

Gambar 4. 14 Jawaban soal 3 kelompok ketiga


65

Kelompok jawaban ini berisikan siswa yang belum dapat

memberikan jawaban yang memberikan nilai beda yang salah dan

siswa yang tidak mengerjakan soal. Terdapat 7 siswa dalam

kelompok jawaban ini.

4. Soal Nomor 5

Indikator Soal:

(9) Menyelesaikan masalah yang terkait dengan deret aritmetika

dengan benar.


Tahap manipulation of generality, pada tahap ini siswa telah mampu

menggunakan hasil generalisasi untuk menyelesaikan masalah, dan

mampu menerapkan aturan/ pola yang telah mereka temukan pada

berbagai persoalan.

Soal 5:

Paman memiliki kawat sepanjang 30 m. kemudian paman memotong

kawat tersebut menjadi 5 bagiandan panjang kawat-kawat tersebut

membentuk deret aritmetika. Kawat terkecil memiliki panjang 2m.

a. berapakah panjang kawat terakhir? (Petunjuk : gunakan rumus

𝑆𝑛)

a. Kelompok Jawaban pertama:


66

Kelompok jawaban ini berisikan siswa yang telah menunjukkan

kemampuan untuk memahami soal dan dapat memberikan

jawaban yang baik.

Deskripsi:

Terdapat satu orang siswa dalam kelompok jawaban ini. Siswa

tampak telah memahami maksud dari soal. Siswa juga sudah dapat

mensubstitusikan nilai-nilai pada rumus 𝑆𝑛 dengan baik. Hanya

terdapat kesalahan dalam perhitungan siswa. Akan tetapi secara

keseluruhan siswa tampak telah memahami ide dari soal dan dapat

memberikan jawaban yang cukup baik.

Kesimpulan:

Gambar 4. 15 Jawaban soal 5 kelompok pertama


67

Siswa tampak telah memiliki kemampuan untuk menetapkan

peraturan atau pola yang dia ketahui untuk menyelesaikan

persoalan yang ada. Kemampuan siswa untuk memahami

simbolisasi dalam rumus 𝑆𝑛 tampak baik. Akan tetapi terdapat

kesalahan dalam perhitungan siswa. Secara umum siswa belum

dapat memenuhi indikator soal, akan tetapi siswa telah dapat

memenuhi indikator kemampuan generalisasi.


Kelompok jawaban ini berisikan jawaban siswa yang memiliki

pemahaman bahwa nilai 30m bukanlah jumlah dari deret

aritmetika akan tetapi nilai 𝑈𝑛.

Deskripsi:

Terdapat 2 siswa dalam kelompok jawaban ini. Siswa tampak

memiliki kesalahan pemahaman soal, disebutkan dalam soal bahwa

paman memiliki kawat sepanjang 30m yang dipotong menjadi 5

bagian. Akan tetapi siswa menuliskan deret aritmetika dengan 𝑈𝑛=

Gambar 4. 16 Jawaban soal 5 kelompok kedua


68

30. Tampak siswa masih belum dapat menerapkan peraturan yang

mereka pahami dalam soal yang berbeda.

Kesimpulan:

Siswa dalam kelompok jawaban ini belum dapat memenuhi

indikator kemampuan generalisasi pada tahap manipulation of

generality dengan baik. Tampak bahwa siswa masih mengalami

kesulitan untuk mengembangkan kemampuan generalisasinya

secara mandiri. Sehingga dapat disimpulkan bahwa siswa belum

dapat memenuhi indikator kemampuan generalisasi dan indikator

soal.

c. Kelompok jawaban ketiga:

Kelompok jawaban ini berisikan siswa yang menuliskan nilai 𝑛 =

30.

Gambar 4. 17 Jawaban soal 5 kelompok ketiga


69

Deskripsi:

Terdapat 2 siswa dalam kelompok jawaban ini. Tampak bahwa

siswa belum dapat memahami soal dengan benar dan langsung

mensubstitusikan nilai-nilai yang diketahuikedalam rumus 𝑆𝑛.

Kesimpulan:

Siswa belum dapat mengidentifikasi pola dalam deret aritmetika

dan menerapkannya kedalam pemecahan masalah yang

beragam.Sehingga siswa belum dapat memenuhi indikator

kemampuan generalisasi dan indikator soal.

d. Kelompok keempat:

Kelompok jawaban ini berisikan siswa yang tidak menuliskan

jawaban dari soal yang diberikan. Kebanyakan siswa hanya

mengulangi soal dan menuliskan rumus 𝑆𝑛 sehingga sulit untuk

dilakukan analisa. Terdapat 8 siswa dalam kelompok jawaban ini.

Secara ringkas, jumlah siswa yang telah mencapai indikator tahapan kemampuan

generalisasi dapat dilihat pada tabel berikut:

Tabel 4.2

Pencapaian indikator tahapan kemampuan generalisasi siswa

Tahapan generalisasi

Soal 1 Soal 2.a Soal 2.b Soal 3 Soal 5

1 12 8

2 11

3 5

4 1


70

C. Deskripsi Tes dan Wawancara

Berikut akan dipaparkan hasil dari tes dan wawancara berdasarkan 5 sampel

siswa yang telah diambil.Data hasil nilai tes akhir akan menjadi patokan

untuk mengelompokkan siswa dalam kelompok nilai rendah, sedang, dan

atas. Dari masing-masing kelompok akan diambil perwakilan siswa untuk

diwawancara. Kelompok atas 1 orang siswa, kelompok sedang 2 orang siswa,

dan kelompok bawah 2 orang siswa. Dalam bagian ini akan disajikan

transkrip wawancara dari Peneliti (P) dan Subjek (S).

1. Deskripsi Tes dan Wawancara Siswa 1

Subjek adalah salah satu-satunya siswa yang masuk ke dalam kelompok

nilai atas. Subjek sendiri tampak cukup aktif selama proses pembelajaran

dan adalah salah satu anak dengan daya tangkap yang cukup tinggi.

a. Tahap perception of generality

Indikator Soal :


suku ke-n.

Soal :

2.a. Bagaimana pola dari barisan bilangan tersebut? Jelaskan dan



71

Jawaban siswa:

Deskripsi:

Tampak bahwa siswa telah menjawab soal yang ditanyakan dengan

baik. Terlihat bahwa siswa telah dapat menjelaskan cara menemukan

pola dengan baik.

Transkrip Wawancara:

P : Bagaimana kamu dapat menemukan pola pada soal nomor

2?

S1 : Mencari bedanya terlebih dahulu, kalau bedanya sama

berarti barisan aritmetika

P : Jelaskan cara menemukannya!

S1 : Suku kedua dikurangi suku pertama, suku ketiga dikurangi

suku kedua.

P : Mengapa kamu menggunakan cara tersebut?

S1 : Karena dua angka (beda) sama, maka angka (beda)

berikutnya pasti sama. Karena barisan aritmetika.

Gambar 4. 18 Jawaban siswa 1.1


72

Deskripsi Transkrip:

Dapat dilihat bahwa siswa telah dapat menjelaskan apa yang

dikerjakannya. Siswa tampak bahwa siswa telah memahami tahapan

dalam mengidentifikasi pola dalam barisan aritmetika dan dapat

menyimpulkan pola yang telah dia temukan dengan baik.

Kesimpulan:

Siswa 1 telah memenuhi indikator soal yaitu (4) menggeneralisasi

pola dalam barisan aritmetika dan menemukan suku ke-n dengan

baik. Siswa juga telah memenuhi kemampuan generalisasi pada

tahap perception of generality dengan baik.

b. Tahap expression of generality

Indikator Soal :


suku ke-n.

Soal :

2.b. Carilah 𝑈20!



73

Deskripsi:

Tampak bahwa siswa telah dapat menggunakan hasil dari

generalisasi pola yang ditemukan dan menerapkannya ke dalam

rumus 𝑈𝑛 untuk mencari suku ke-20 dengan baik.


P : Bagaimana kamu dapat menemukan 𝑈20?

S1 : Menggunakan rumus aritmetika.

P : Jelaskan proses dalam menemukan suku ke-20!

S1 : A+(n-1)b


S1 : Karena barisan ini barisan aritmetika. Memiliki beda

yang sama dan selisih yang sama.

Deskripsi transkrip wawancara:

Tampak dari hasil wawancara bahwa siswa telah memahami

dengan baik bagaimana menggunakan rumus 𝑈𝑛.

Kesimpulan:

Siswa telah memenuhi indikator soal yaitu (4) menggeneralisasi

pola dalam barisan aritmetika dan menemukan suku ke-n. Siswa juga

tampak telah memenuhi indikator kemampuan generalisasi dengan

baik.

c. Tahap symbolic expression of generality

Indikator Soal :




74

Soal :



secara sederhana!

Jawaban siswa:

Deskripsi:

Tampak siswa telah mampu untuk mencari nilai a dan 𝑈12 dengan

baik meski barisan aritmetika yang diberikan disajikan dengan

bentuk yang berbeda dari biasa. Siswa telah mampu untuk

menggunakan keumuman daripada aturan barisan aritmetika yang

dia ketahui dan dapat menerapkannya kedalam suatu permasalahan

yang agak berbeda dari soal-soal sebelumnya.

Transkrip wawancara:

P : Bagaimana kamu dapat mengerjakan soal nomor 3?

S1 : Mencari 𝑈3 terlebih dahulu kemudian 𝑈1 lalu dihitung

menggunakan rumus aritmetika.

P : Jelaskan proses pengerjaannya!



75

S1 : Mencari 𝑈3 untuk mencari sisa bedanya berapa lalu

mencari 𝑈1.


S1 : Memiliki selisih yang sama, dari𝑈1 ke 𝑈2, dari 𝑈2ke 𝑈3

dan selanjutnya. Sehingga barisan ini barisan aritmetika.


Agak sulit untuk memahami bagaimana pola pikir siswa pada hasil

wawancara. Akan tetapi dapat dilihat bahwa siswa telah memahami

langkah-langkah yang harus dilakukannya dalam menerapkan

pengetahuannya akan pola dari barisan aritmetika dan

menggunakannya untuk mengerjakan permasalahan yang ada.

Kesimpulan :

Siswa telah memenuhi indikator soal dan indikator kemampuan

generalisasi dengan baik.

d. Tahap manipulation of generality

Indikator Soal :


Soal :




a. berapakah panjang kawat terakhir? (Petunjuk : gunakan rumus

𝑆𝑛)


76

Jawaban siswa:

Deskripsi:

Tahap manipulation of generality, pada tahap ini siswa telah

mampu menggunakan hasil generalisasi untuk menyelesaikan

masalah, dan mampu menerapkan aturan/ pola yang telah mereka

temukan pada berbagai persoalan


P : Dapatkah kamu mengerjakan soal nomor 5?

S1 : Kurang teliti di bagian penghitungan, waktu mencari 𝑆𝑛

yang diketahui kan baru nilai 𝑆𝑛 dan 𝑎. dan disitu harus

mencari bedanya dan 𝑈𝑛nya.

P : Bagaimana caranya?

S1 : Mengumpulkan yang diketahui dulu, baru mencari

bedanya dan 𝑈𝑛 nya.


Tampak bahwa siswa telah memahami dengan baik soal yang

diberikan dan siswa telah memahami bagaimana menggunakan



77

pengetahuan dalam menformulasikan pola ke dalam symbol dan

menggunakannya dengan baik dalam memakai rumus 𝑆𝑛.

Kesimpulan:

Tampak bahwa siswa telah dapat melakukan tahap manipulation

of generality pada soal dengan cukup baik. Hanya saja terdapat

sedikit kesalahan dalam perhitungan matematis dasar. Namun

secara keseluruhan siswa dapat memahami dan menggunakan

materi yang telah dia pahami untuk diterapkan dalam suatu

permasalahan dengan baik.

Kesimpulan kemampuan Generalisasi siswa 1:

Secara keseluruhan kemampuan generalisasi siswa telah mencapai

tahapan manipulation of generality dimana ini adalah tahapan terakhir

dalam kemampuan menggeneralisasi. Sehingga dapat disimpulkan

bahwa siswa memiliki kemampuan generalisasi yang tinggi.

2. Deskripsi Wawancara Siswa 2


Indikator Soal :


suku ke-n.

Soal :




78

Jawaban siswa:

Deskripsi:

Tampak bahwa siswa telah mampu untuk mengidentifikasi pola dari

barisan aritmetika yang diberikan dengan baik


P : Bagaimana kamu dapat menemukan pola pada soal nomor

2?

S2 : …

P : Kok, kamu bisa menulis dari setiap angka bertambah tiga,

bertambah tiga, dst.

S2 : Dari 5-2, dari 8-5.

P : Apa yang dapat kamu simpulkan dari hal tersebut?

S2 : Bingung mbak.


S2 : Karena di buku seperti itu.


Tampak siswa kesulitan dalam menjelaskan pekerjaannya, meski

siswa dapat mengerjakan soal dengan baik. Dari hasil wawancara

masih belum dapat ditarik kesimpulan tentang kemampuan

generalisasi siswa.

Kesimpulan:

Meski siswa tampak kesulitan untuk menjelaskan bagaimana

prosesnya dalam mencari dan mengidentifikasi pola yang ada.



79

Tampak dari pekerjaan siswa telah memenuhi indikator soal dan



Indikator Soal :


suku ke-n.

Soal :


Jawaban siswa:

Deskripsi:

Tampak siswa telah dapat mensubstitusikan nilai pada rumus 𝑈𝑛

dengan baik. Namun ada kesalahan dalam pekerjaan siswa sehingga

hasil yang didapatkan tidak benar.



S2 : Pake rumus aritmetika



80


S2 : Ini mbak.

P : Bisa dijelaskan sedikit?

S2 : (membaca ulang apa yang ditulis)


S2 : Karena ada di buku


Dari hasil wawancara dapat dilihat bahwa siswa tampak dapat

mengerjakan soal karena adanya panduan tentang permasalahan

tersebut di buku teks. Dapat dilihat bahwa siswa cenderung

menyelesaikan permasalahan dengan melihat contoh pengerjaan di

buku. Siswa masih belum tampak mengembangkan kemampuan

menggeneralisasi.

Kesimpulan:

Siswa belum dapat memenuhi indikator soal dan indikator

kemampuan generalisasi. Hal ini dapat diamati pada siswa yang

belum dapat menemukan suku ke-n dengan benar serta siswa

menjawab bahwa siswa menggunakan rumus 𝑈𝑛 karena terdapat

dibuku.


Indikator Soal:




81

Soal:



secara sederhana!

Jawaban siswa:

Deskripsi:

Siswa telah dapat menemukan nilai a, b, dan menemukan nilai 𝑈𝑛

dengan baik. Tidak terdapat kesalahan dalam pekerjaan siswa.


P : Bagaimana kamu dapat mengerjakan soal nomor 3?

S2 : lupa mbak.

P : Jelaskan proses pengerjaannya!

S2 : eh, sudah lupa.



82


Tidak dapat ditarik kesimpulan dari wawancara karena kurangnya

data yang bisa diambil.

Kesimpulan:

Siswa tampak telah memenuhi indikator soal dengan baik. Dari hasil

wawancara siswa sulit untuk menyimpulkan sesuatu karena siswa

menjawab lupa. Akan tetapi tampak dari pekerjaan siswa bahwa

siswa telah mampu memenuhi indikator kemampuan generalisasi

dengan baik.


Indikator Soal :


Soal :




e. berapakah panjang kawat terakhir? (Petunjuk : gunakan rumus

𝑆𝑛)


83

Jawaban siswa:

Deskripsi:

Tampak siswa mengikuti petunjuk dari soal tanpa mengetahui

makna dari pada rumus 𝑆𝑛. Siswa tampak kebingunan dalam

menjelaskan pekerjaannya.

Transrip wawancara:

P : Dapatkah kamu mengerjakan soal nomor 5?

S2 : sedikit

P : Bagaimana caranya?

S2 : Pakai rumus 𝑆𝑛


S2 : Karena…

P : Apa yang kamu pahami dari soal itu?

S2 : Jadi paman punya kawat panjangnya 30 m dipotong

menjadi 5 bagian. Yang paling kecil kan 2m. jadi awalnya

jadi 2 m, ditambah 4.

P : Dapat 4 dari mana?

S2 : Lupa mbak.



84


Tampak bahwa siswa mengerjakan soal yang diberikan tanpa

melakukan identifikasi dan menganalisa soal terlebih dahulu.

Kesimpulan:

Siswa belum dapat mengidentifikasi arti dari soal dengan baik dan

terdapat kesalahan dalam menangkap arti dari pola. Sehingga siswa

belum dapat memenuhi indikator soal dan indikator kemampuan

generalisasi dengan baik.

Kesimpulan kemampuan generalisasi siswa 2:

Dari hasil pekerjaan siswa tampak bahwa siswa telah cukup lancar dalam

menggunakan pemahamannya tentang pola dalam barisan aritmetika

untuk mengerjakan suatu permasalahan. Secara umum tampak bahwa

siswa telah sampai kepada tahap kemampuan generalisasi yang ketiga

yaitu tahap symbolic expression of generality.


Subjek adalah salah satu dari siswa dalam golongan nilai bawah. Subjek

memiliki suatu kasus khusus, yaitu pendengaran pada telinga sebelah

kanan mengalami gangguan pendengaran sehingga Subjek hanya dapat

mendengar dari telinga sebelah kiri saja. Subjek seringkali kesulitan

dalam memahami pembelajaran karena hal tersebut.


85


Indikator Soal:


suku ke-n.

Soal:



Jawaban siswa:

Deskripsi:

Tampak bahwa siswa masih belum memahami makna daripada pola.

Karena siswa menuliskan unsur-unsur dari barisan aritmetika.


P : Bagaimana kamu dapat menemukan pola pada soal

nomor 2?

S3 : …

P : Apa yang kamu pahami dari kata pola?

S3 : Suatu, apa namanya…

P : Contoh pola kira2 seperti apa?

S3 : bingung

P : Jelaskan cara menemukan jawaban yang kamu tulis.

S3 : Jawabnya karena disini di cari 𝑈20.

P : Belum sampai situ, disitu kenapa kamu bisa menuliskan

a=2, b=3?

S3 : (agak tidak jelas)



86


Tidak dapat ditarik kesimpulan yang baik dari wawancara karena

siswa tampak kebingungan dalam menjawab dan tidak dapat

memberikan data yang dapat dianalisis.

Kesimpulan:

Siswa tampak telah dapat mengidentifikasi pola dalam barisan

aritmetika. Akan tetapi siswa kesulitan dalam menjelaskan apa yang

diidentifikasinya. Siswa telah memenuhi indikator soal dan indikator

kemampuan generalisasi dengan baik.


Indikator Soal :


suku ke-n.

Soal :


Jawaban siswa:



87

Deskripsi:

Siswa telah dapat menggunakan hasil identifikasi pola untuk

diterapkan dalam proses pencarian 𝑈20.



S3 : Agak tidak jelas (siswa tampak kebingugnan dan

kesulitan untuk menjawab pertanyaan)


Tidak dapat ditarik kesimpulan apapun dari hasil wawancara.

Kesimpulan:

Dari pekerjaan siswa tampak bahwa siswa telah dapat memenuhi

indikator soal dan indikator kemampuan generalisasi dengan baik.


Indikator Soal :



Soal :



secara sederhana!

Jawaban siswa:



88

Deskripsi:

Siswa tampak kesulitan dalam mengerjakan soal, hal ini dapat dilihat

dari jawaban siswa yang tidak menuliskan proses pengerjaan dan

hanya menuliskan ulang soal dan nilai yang ditanyakan.

P : Bisa tidak mengerjakan soal nomor 3?

S3 : Bingung

P : Bingungnya dimana?

S3 : Mencari a nya.(siswa kemudian tampak terdiam sehingga

peneliti mengganti pertanyaan)


Tidak dapat ditarik kesimpulan dari wawancara.

Kesimpulan:


kemampuan generalisasi.


Indikator Soal :


Soal :




a. berapakah panjang kawat terakhir? (Petunjuk: gunakan rumus

𝑆𝑛)

Jawaban siswa:

-


89


P : Sekarang pertanyaan untuk soal nomor 5. Apa yang

kamu pahami dari soal tersebut?

S3 : Yang kawat, yang..

(terdiam lama)

Dibagi lima bagian, berarti dua ditambah berapa gitu

hasilnya 30. Ditambah…(siswa kemudian terdiam cukup

lama lagi sehingga peneliti mengakhiri wawancara)


Tidak dapat ditarik kesimpulan dari wawancara.

Kesimpulan:




Secara umum siswa tampak telah sampai kepada tahap kedua dalam

kemampuan generalisasi yaitu tahap expression of generality. Hal ini

tampak dari hasil pekerjaan siswa yang mampu mengidentifikasi pola

(pertambahan dalam barisan aritmetika) dan menggunakan rumus 𝑈𝑛

dalam mencari suku selanjutnya.



Indikator Soal :


suku ke-n.

Soal :




90

Jawaban siswa:

Deskripsi:

Tampak siswa masih belum memahami bagaimana mencari beda

dalam barisan aritmetika.

P : Kenapa banyak yang tidak kamu kerjakan?

S4 : Aku gakmudeng

P : Kamu kan disini menulis angka 2, 5, 8, 11, menurutmu

itu apa?

S4 : Itu barisan

P : Barisan apa?

S4 : (diam)

P : Itu kenapa kamu tulis u1, u2, u3?

S4 : Ya gapapa, aku juga bingung e.

P : Apa yang kamu pahami dari soal nomor 3?

S4 : Gak

P : Gak paham?

S4 : (diam)

P : Apa yang kamu pahami dari soal nomor 5?

S4 : (diam)


Siswa tampak belum dapat memahami dengan baik bagaimana cara

melakukan identifikasi pola dalam barisan aritmetika. Hal ini tampak

dari cara siswa yang kesulitan dalam menjelaskan pengertian barisan

aritmetika menurut kata-katanya sendiri.



91

Kesimpulan:

Siswa tampak belum dapat memenuhi indikator kemampuan

generalisasi serta indikator soal dengan baik.


Tampak bahwa siswa belum memiliki kemampuan generalisasi. Hal ini

dapat dilihat dari jawaban siswa yang belum dapat menemukan pola yang

sederhana dari suatu barisan aritmetika.



Indikator Soal :


suku ke-n.

Soal :



Jawaban siswa:



92

Deskripsi:

Tampak siswa menangkap bahwa pola yang dimaksud adalah pola

yang digunakan dalam deret aritmetika untuk menemukan jumlah n

deret pertama.


P : Bagaimana kamu dapat menemukan pola pada soal

nomor 2?

S5 : Soalnya kemarin bu Agatha njelasin kalau misalnya yang

kiri sama yang kanan jumlahnya sama, maka dalamnya

sama juga, jadi pola barisannya seperti itu.

P : Apa menurutmu pola itu?

S5 : Kalau pola barisannya ini semakin kecil nanti semakin

sama


Siswa tampak salah menangkap maksud daripada pola dalam

barisan aritmetika. Karena siswa menjelaskan pola dalam

menemukan jumlah dari deret aritmetika.

Kesimpulan:

Secara teknis siswa indikator kemampuan generalisasi. Karena soal

menyatakan untuk mencari pola dan jawaban siswa juga tampak

sebagai suatu pola. Dan indikator kemampuan generalisasi

terpenuhi karena apa yang ditemukan siswa juga merupakan sebuah

pola. Akan tetapi siswa belum dapat memenuhi indikator soal

karena indikator soal menyatakan pola yang dimaksud adalah

dalam barisan aritmetika.


93


Indikator Soal:

(4) menggeneralisasi pola dalam barisan aritmetika dan

menemukan suku ke-n.

Soal :


Jawaban siswa:

Deskripsi:

Tampak meski siswa menangkap pola yang dimaksud dalam soal

2.a. secara keliru, tapi siswa tampak dapat mengerjakan soal

degnan baik dan benar.



S5 : Memakai 𝑈𝑛.


S5 : Kalau a itu angka pertama, kalau b itu beda atau

selisihnya, n nya itu 20. N itu urutannya.


S5 : Karena biasanya rumus 𝑈𝑛 dipakai untuk menemukan

suku ke berapa gitu.



94


Tampak bahwa siswa kurang memahami proses generalisasi yang

dilakukannya

Kesimpulan:

Tampak bahwa siswa menggunakan dua identifikasi pola dalam

satu soal. Akan tetapi pada soal 2.b. siswa telah memenuhi

indikator soal dan indikator kemampuan generalisasi dengan baik.


Indikator Soal :

(5) menemukan rumus suku ke-n dari suatu barisan aritmetikadan

(6) menyelesaikan masalah yang terkait dengan barisan aritmetika

Soal :

Diberikan suatu barisan aritmetika. Jika 𝑈2 = 5 dan 𝑈4 = 11

,maka carilah nilai 𝑎 dan 𝑈12! Jelaskan dan gambarkan

penyelesaianmu secara sederhana!

Jawaban siswa:



95

Deskripsi:

Tampak bahwa siswa telah dapat mengerjakan soal dengan baik.


P : Bagaimana kamu menemukan jawabannya, jelaskan!

(Bagaimana caramu menemukan nilai a?)

S5 : A itu sama dengan u1, cara menemukannya itu u4-

u2=6, terus kan ada dua bilangan itu, 5 ke u3, u3 kan

belum diketahui. Terus jarak dari u4 ke u2 itu kan ada 2

bilangan. Berarti bedanya tak bagi dua. 6 bagi 2 sama

dengan 3. Berarti b=3, berarti selisihnya ada 3 setiap

angka. Berarti bilangan pertama itu kalau tak simpulkan

u2 tak kurangi bedanya aja.

Kesimpulan:

Tampak bahwa siswa telah dapat memenuhi indikator soal dan



Indikator Soal :


Soal :

Paman memiliki kawat sepanjang 30 m. kemudian paman

memotong kawat tersebut menjadi 5 bagiandan panjang kawat-

kawat tersebut membentuk deret aritmetika. Kawat terkecil

memiliki panjang 2m.


96

Jawaban siswa:

Deskripsi:

Tampak bahwa siswa masih belum mengetahui bahwa 𝑆𝑛 adalah

jumlah deret dan 𝑛 adalah jumlah suku yang ada dalam suatu deret

aritmetika.


P : Apa yang kamu pahami dari soal tersebut?

S5 : Panjang kawat yang paling besar itu 30 m, terus kawat

tersebut dipotong menjadi 5 bagian panjangnya. Terus

yang paling kecil 2m. panjang kawat yang paling akhir itu

30 nanti.

P : Mengapa kamu mengerjakan soal seperti ini?

S5 : Karena petunjuknya menggunakan Sn, terus pake un,

terus nya kan 30 bagi dua. B nya itu kan lima...

Kesimpulan:





97


Secara umum tampak bahwa siswa telah sampai pada tahap symbolic

expression of generality dengan baik. Hal ini dapat dilihat dari bagaimana

siswa dapat mengerjakan soal yang diberikan dengan baik dan dapat

menjelaskan apa yang dikerjakannya sampai pada tahap wawancara yang

ketiga.


98

98

BAB V

PENUTUP

A. Kesimpulan

Berdasarkan penyajian data dan pembahasan pada BAB IV, peneliti dapat

menyimpulkan hal-hal sebagai berikut:

1. Kesimpulan dari proses pembelajaran PMR pada materi barisan dan deret

aritmetika.

Pada proses pembelajaran yang dilaksanakan dengan menggunakan

metode pendekatan PMR pada materi barisan dan deret, tampak bahwa

tidak semua prinsip PMR dapat muncul dalam semua pertemuan. Hal ini

dikarenakan adanya kekurangan waktu serta variasi kegiatan dalam

melaksanakan kegiatan pembelajaran. Akan tetapi proses kegiatan belajar

mengajar telah berjalan dengan cukup baik. Sehingga dapat kita simpulkan

bahwa dalam melaksanakan pembelajaran dengan menggunakan

pendekatan PMR, tidak harus semua prinsip terlaksana dalam satu

pertemuan.

Melalui penelitian ini peneliti dapat membuat kesimpulan bahwa

untuk melaksanakan proses pembelajaran PMR pada materi barisan dan

deret aritmetika, prinsip-prinsip PMR yang tampak dalam pembelajaran

akan memiliki hubungan satu dengan yang lain.


99

Secara lebih jelasnya hubungan antara prinsip-prinsip PMR yang

didapatkan melalui penelitian ini adalah:

Pada proses pembelajaran materi barisan dan deret aritmetika

dengan menggunakan pendekatan PMR. Dapat disimpulkan bahwa prinsip

realitas akan efektif jika dilaksanakan bersamaan dengan prinsip aktivitas.

Hal ini tampak dari aktivitas siswa pada pembelajaran pertama dengan

menggunakan model korek api untuk membentuk konsep awal dari barisan

aritmetika.

Pada penelitian ini dapat disimpulkan pula bahwa prinsip

bimbingan dan interaksi akan efektif untuk dilaksanakan bersamaan.

Gambar 5. 1 Hubungan prinsip-prinsip PMR pada pembelajaran

materi barisan dan deret aritmetika


100

Karena pada saat guru membimbing siswa, terjadi suatu interaksi antar

guru-siswa. Dan pada saat siswa berinteraksi dalam kelompoknya, secara

sadar atau tidak sadar terjadi proses bimbingan dan interaksi antara siswa

dengan siswa.

Prinsip jalinan dan prinsip penjenjangan dalam penelitian ini juga

penting untuk dilakukan secara bersamaan. Dalam materi barisan dan deret

aritmetika, sangat penting bagi siswa untuk memahami bagaimana suatu

permasalahan real (susunan korek api) dapat dibawa kepada konsep

abstraksi yaitu materi barisan aritmetika. Karena itu dalam melakukan

prinsip penjenjangan dalam pembelajaran ini, penting sekali selalu disertai

dengan prinsip jalinan. Agar siswa memahami apa yang mereka pelajari

dengan baik.

Proses pembelajaran dengan menggunakan pendekatan PMR pada

materi barisan dan deret aritmetika yang dapat disimpulkan dari penelitian

ini adalah:


101

Gambar 5. 2 Alur pembelajaran PMR dalam materi barisan aritmetika

Gambar 5. 3 Alur pembelajaran PMR dalam deret aritmetika


102

2. Kesimpulan pada Kemampuan Generalisasi Siswa

Dari hasil analisis dan pengelompokan jawaban siswa,dapat dilihat

bahwa kemampuan generalisasi siswa dapat mencapai pada tahap kedua

kemampuan generalisasi yaitu pada tahapan expression of generality.

Tahapan expression of generality adalah tahapan dimana siswa telah

mampu untuk mengidentifikasi pola dari suatu barisan dan

menggunakannya untuk menemukan suku berikutnya.

Dari hasil wawancara yang telah dilakukan pada lima orang siswa

yang telah dipilih menjadi perwakilan dari setiap kelompok jawaban.

Dapat disimpulkan bahwa siswa telah mencapai tahap kedua dari

kemampuan generalisasi dan siswa telah dapat memanfaatkan rumus 𝑈𝑛

untuk mencari suku berikutnya. Tampak bahwa siswa telah memahami

bagaimana rumus 𝑈𝑛 didapatkan dan bagaimana mensubtitusikan nilai-

nilai yang tepat ke dalam rumus 𝑈𝑛.


103

B. Saran

1. Bagi Guru Matematika

Guru matematika hendaknya menerapkan pendekatan PMR dalam

pembelajaran untuk lebih meningkatkan pemahaman siswa akan materi

barisan dan deret aritmetika. Minimal, pendekatan ini dilakukan pada awal

pembelajaran materi untuk memberikan dasar permasalahan yang baik

bagi siswa. Pendekatan tersebut penting untuk memberikan pemahaman

bahwa matematika yang dipelajari berasal dari permasalahan riil yang ada.

Dengan demikian, siswa akan semakin memahami tujuan pembelajaran

yang ada. Pendekatan PMR juga baik untuk melatih kemampuan siswa

dalam bernalar, khususnya dalam mengembangkan kemampuan

generalisasi siswa.

2. Penelitian serupa

Kepada peneliti yang akan melakukan penelitian yang berkaitan

dengan PMR, diharapkan untuk mengalokasikan waktu lebih lama agar

dampak pendekatan PMR terhadap kemampuan belajar dan kemampuan

bernalar siswa lebih terlihat. Para peneliti juga perlu memperhatikan

kemampuan-kemampuan matematis dasar (menjumlah, mengurangi,

mengalikan, dan membagi) yang dimiliki oleh siswa. Hal itu penting untuk

diperhatikan agar peneliti dapat melaksanakan penelitian untuk mengukur

kemampuan bernalar siswa dengan lebih tepat. Peneliti dapat terhindar

dari kesalahan-kesalahan hitung yang dilakukan oleh siswa, sehingga bisa

fokus pada kemampuan bernalar mereka.


104

Dalam melakukan penelitian untuk menganalisa kemampuan

bernalar siswa, hendaknya peneliti memperhatikan kemampuan

komunikasi matematis yang dimiliki oleh siswa. Hal ini penting

diperhatikan agar wawancara untuk mengetahui kemampuan penalaran

siswa bisa berlangsung lancar. Peneliti dapat melakukan komunikasi

dengan baik untuk menggali kemampuan penalaran siswa.

Peneliti juga sebaiknya memilih siswa dengan kemampuan

komunikasi matematis yang baik dari setiap kelompok nilai. Tidak semua

siswa dapat mengkomunikasikan pemikirannya dengan baik, terlebih jika

siswa belum terbiasa untuk berkomunikasi tentang pembelajaran. Oleh

karena itu, peneliti perlu memilih siswa dengan baik, untuk menghindari

situasi siswa hanya terdiam, tidak mampu mengkomunikasikan proses

bernalar yang dimilikinya.

Akhirnya, wawancara sebaiknya dilakukan pada hari yang sama

dengan tes tertulis. Hal ini untuk menghindari faktor lupa dari siswa dalam

menjawab soal dan bagaimana proses pengerjaan soal tersebut.


105

DAFTAR PUSTAKA

Ali, M. ,&Asrori, M. (2014). Metodologi dan Aplikasi Riset Pendidikan. Jakarta,

Indonesia: Bumi Aksara.

Bassham, G., Irwin, W., Nardone, H., & Wallace, J. M. (2011). Critical

Thingking: A Student’s Introduction 4th edition. New York, NY: McGraw-

Hill.

Emzir. (2009). Metodologi Penelitian Pendidikan: Kuantitatif dan Kualitatif.

Jakarta, Indonesia: PT Raja Grafindo Persada.

Hadi,S.,& Soedjadi, R., (2004). PMRI dan KBK dalam Era Otonomi . Buletin

PMRI Edisi III. Bandung, Indonesia: Buletin PMRI.

Hadi, S. (2005). Pendidikan Matematika Realistik dan Implementasinya.

Banjarmasin, Indonesia: Tulip.

Hashemi, N., Abu, M. S., Kashefi, H., & Rahimi, K. (2013). Generalization in the

Learning of Mathematics. Makalah dipresentasikan dalam 2ndInternational

Seminar on Quality and Affordable Education (ISQAE 2013), Johor,

Malaysia. Diunduh dari https://educ.utm.my/wp-

content/uploads/2013/11/291.pdf

Kusumaningrum, D. S. (2016). Peningkatan Kemampuan Penalaran dan

Kemandirian Belajar Matematik Melalui Pendidikan Matematika

Realistik Indonesia untuk Siswa SMP. Jurnal Buana Ilmu, Vol. 1, No. 1,

November 2016. Karawang, Indonesia: Universitas Buana Perjuangan

Karawang.

Marpaung, Y. (2003). Penyediaan Bahan Ajar dan Contoh PMRI. Indonesia,

Yogyakarta, Indonesia: Universitas Sanata Dharma.

Marpaung, Y. (2010). Karakteristik PMRI (Pendidikan Matematika Realistik

Indonesia).Yogyakarta, Indonesia: Universitas Sanata Dharma.

Moloeng, L. (2007). Metodologi Penelitian Kualitatif. Bandung, Indonesia : PT

Remaja Rosdakarya.

Novianti, A. (2016) . Pengaruh Pendekatan Pendidikan Matematika Realistik

Indonesia (PMRI) Terhadap Kemampuan Pemecahan Masalah

Matematika Siswa di Kelas X SMA Muhammadiyah I Palembang (Skripsi).

Palembang, Indonesia: Universitas Islam Negeri Raden Fatah.


https://educ.utm.my/wp-content/uploads/2013/11/291.pdf

https://educ.utm.my/wp-content/uploads/2013/11/291.pdf

106

Poncy, B.C., Duhon, G.J., Lee, S. B., & Key, A. (2010). Evaluation of Techniques

to Promote Generalization with Basic Math Fact Skills. Journal of

Behavioral Education, Vol. 19, No. 1, (76 – 92).

Rahman, A. (2004). Meningkatkan Kemampuan Pemahaman dan Kemampuan

Generalisasi Siswa SMA melalui pembelajaran Berbalik.Tesis

S.Ps.Bandung, Indonesia: Universitas Pendidikan Indonesia Bandung.

Tidak diterbitkan.

Sugiyono. (2015). Metode Penelitian Pendidikan (Pendekatan Kuantitatif,

Kualitatif, dan R&D.). Bandung, Indonesia: Alfabeta.

Sulistya, D. (2016). Peningkatan Kemampuan Penalaran dan Kemandirian Belajar

Matematika melalui Pendidikan Matematika Realistik Indonesia (PMRI)

untuk siswa SMP. Jurnal Buana Ilmu, Vol. 1, no. 1, November 2016,

ISSN: 2541-5995

Sumarmo, U. (2013). Kumpulan makalah Berpikir dan disposisi matematik serta

pembelajarannya. Bandung, Indonesia: Fakultas Pendidikan Matematika

dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Pendidikan Indonesia Bandung.

Tampomas, H. (2007). Matematika Plus 3B (SMP Kelas IX semester Kedua).

Yogyakarta, Indonesia: Yudhistira.

Trisnadi, A. (2006). Meningkatkan Pemahaman dan Generalisasi Matematika

Siswa Sekolah Menengah Pertama Melalui Pembelajaran Pertemuan

Terbimbing dalam Kelompok. Tesis S.Ps. Bandung, Indonesia: Universitas

Pendidikan Indonesia Bandung, Tidak Diterbitkan.

Usdiyana, D., Purniati, T., Yulianti, & K.,Harningsih, E. (2009). Peningkatan

Kemampuan Berpikir Logis Siswa SMP Melalui Pembelajaran

Matematika Realistik. Jurnal pengajaran MIPA Vol.13, no 1 April 2009,

ISSN: 1412-0917.

Widayanti, N. (2010). Peningkatan Kemampuan Penalaran Matematis Siswa

Kelas VII SMP Negeri 3 Banguntapan Dalam Pembelajaran Matematika

Melalui Pendekatan Pendidikan Matematika Realistik Indonesia.

Yogyakarta: Universitas Negeri Yogyakarta.

Yunisha, R., Prahmana, R., & Sukmawati, K. (2016). Pengaruh Pendekatan

Pendidikan Matematika Realistik Terhadap Kemampuan Komunikasi

Matematis Siswa Kelas VII SMP. Jurnal Elemen vol.2 no.2, Juli 2016,

(136-145).


107

LAMPIRAN

Lampiran 1 Surat Ijin Penelitian


108

Lampiran 2 Rencana Pelaksanaan Pembelajaran

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN

(RPP)

SatuanPendidikan : SMP Karitas

Mata Pelajaran : Matematika

Kelas / Semester : IX / I

AlokasiWaktu : 5 X 40 menit (3 pertemuan)

I. Standar Kompetensi :

6.

Memahamibarisandanderetbilangansertapenggunaannyadalampemecahan

masalah

II. Kompetensi Dasar

6.2 Menentukan suku ke-n barisan dan deret aritmetika

6.4 Memecahkan masalah yang berkaitan dengan barisan dan

deretaritmetika

III. Indikator

1. Mendefinisikan pengertian beda dalam barisan aritmetika.

2. Mendefinisikan pengertian barisan aritmetika.

3. Membuat contoh barisan aritmetika.

4. Menggeneralisasi pola dalam barisan aritmetika dan menemukan suku

ke-n.

5. Menemukan rumus suku ke-n dari suatu barisan aritmetika.

6. Menyelesaikan masalah yang terkait dengan barisan aritmetika

7. Mendefinisikan deret aritmetika.

8. Menemukan rumus 𝑆𝑛 dari suatu deret aritmetika.

9. Menyelesaikan masalah yang terkait dengan deret aritmetika

IV. Tujuan Pembelajaran

Setelah mengalami proses pembelajaran dengan pendekatan Pendidikan

Matematika Realistik (PMR), siswa dapat (1) mendefinisikan pengertian

beda dalam barisan aritmetika, (2) mendefinisikan pengertian barisan

aritmetika, (3) membuat contoh barisan aritmetika, (4) menggeneralisasi

pola dalam barisan aritmetika dan menemukan suku ke-n, (5) menemukan

rumus suku ke-n dari suatu barisan aritmetika, (6) Menyelesaikan masalah

yang terkait dengan barisan aritmetika , (7) mendefinisikan deret

aritmetika, dan (8) menemukan rumus 𝑆𝑛 dari suatu deret aritmetika, (9)

menyelesaikan masalah yang terkait dengan deret aritmetika.


109

V. MateriPembelajaran

Barisan dan Deret Aritmetika

VI. Model dan Metode Pembelajaran

a. Model Pembelajaran

Pendidikan Matematika Realistik

b. Metode Pembelajaran

Diskusi

Presentasi

VII. Kegiatan Pembelajaran

Pertemuan 1 (2 x 40 menit)

Indikator :





ke-n.

5. Menemukan rumus suku ke-n.

1. Kegiatan Awal (10menit)

Guru menyapa siswa

Siswa mengkondisikan diri untuk mengawali pembelajaran

dengan berdoa

Guru menanyakan kabar siswa dan melakukan presensi

Guru memberikan semangat dan motivasi kepada siswa untuk

memulai pelajaran.

Guru menjelaskan tujuan materi pembelajaran dan tujuan

pembelajaran

2. Kegiatan inti (65menit)

Langkah pembelajaran

Eksplorasi

Guru membagi siswa ke dalam kelompok kerja yang heterogen

Guru membagikan karton kepada kelompok kerja

Elaborasi (Prinsip Realitas, Prinsip Aktivitas, dan Prinsip

Interaksi)

a. Siswa diminta untuk memahami masalah yang ada di dalam LKS.

b. Siswa secara berkelompok mengerjakan pemecahan masalah

sekreatif mungkin yang dituangkan dalam karton (membuat barisan

aritmetika dari batang korek api yang disusun menjadi persegi

bersebalahan).

c. Siswa mempresentasikan hasil dari pemecahan masalah yang

didapatkan. Kelompok yang maju diundi secara acak.


110

Penarikan Kesimpulan (Prinsip Penjenjangan dan Bimbingan)

Siswa mendefinisikan pengertian barisan bilangan, barisan aritmetika,

suku pertama dan beda dalam barisan aritmetika, dan suku ke – n dari

suatu barisan bilangan sesuai dengan pemahaman siswa.

Siswa melakukan refleksi dari hasil pembelajaran

Guru memotivasi siswa yang kurang berpartisipasi dalam kegiatan

pembelajaran

3. Kegiatan akhir (5menit)

Siswa merangkum materi yang sudah dipelajari

Siswa mengumpulkan semua hasil pekerjaan dan LKS.

Guru menutup pembelajaran.


Indikator :




4. Menyelesaikan masalah yang terkait dengan deret aritmetika.

1. Kegiatan Awal (10menit)

Guru menyapa siswa

Siswa mengkondisikan diri untuk mengawali pembelajaran

dengan berdoa

Guru menanyakan kabar siswa dan melakukan presensi

Guru memberikan semangat dan motivasi kepada siswa untuk

memulai pelajaran.

Guru menjelaskan tujuan materi pembelajaran dan tujuan

pembelajaran

2. Kegiatan inti (60menit)

Langkah Pembelajaran

Eksplorasi (Prinsip Interaksi)

Siswa mengambil LKS

Siswa bekerjasama dengan teman sebangku untuk mengerjakan LKS

Elaborasi (Prinsip Aktivitas, Interaksi)

a. Siswa menggambar sebuah poster untuk menjelaskan

permasalahan yang mereka dapatkan

b. Siswa mempresentasikan poster yang sudah mereka buat

c. Siswa melakukan Tanya jawab dengan kelompok yang maju

Konfirmasi (Prinsip Bimbingan)

Guru memberikan konfirmasi materi barisan aritmetika kepada siswa

dalam bentuk lisan dan tulisan

Guru memberikan konfirmasi jawaban siswa terkait barisan aritmetika

yang sudah dicari siswa

Guru meminta siswa untuk merefleksikan materi yang telah dipelajari


111

Guru memotivasi siswa yang kurang berpartisipasi dalam kegiatan

pembelajaran

3. Kegiatan akhir (10menit)

Siswa merangkum pembelajaran dalam catatan.

Siswa mengumpulkan pekerjaan.

Guru menutup pembelajaran.


Tes Akhir Kemampuan Siswa (Tertulis)

IX. Sumber Belajar.

a. Buku Siswa : Tampomas, Husein. 2007. Buku paket siswa

Matematika Plus 3B. Bogor:Yudhistira

b. Buku Guru : Tampomas, Husein. 2007. Buku guru Matematika

Plus 3B. Bogor:Yudhistira

X. Penilaian

A. Teknik

1. Tes : Tes akhir

B. Bentuk Instrumen:

1. Soal Uraian

C. Soal / Instrumen: Terlampir

Guru mata pelajaran Matematika

Ibu Agatha Tri Wahyuni, S.Pd.

Jogjakarta, 23 September 2018

Mahasiswa

Birgita


112

Lampiran 3 Lembar Kerja Siswa

LKS I

Pertemuan I (2x40 menit)

Berkelompok (1 kelompok 2-3 siswa)

Indikator :

a. Mendefiniskan pengertian beda dalam barisan aritmetika.

b. Mendefinisikan pengertian barisan aritmetika dengan kata-kata sendiri.

c. Membuat contoh barisan aritmetika.

d. Menggeneralisasi pola dari barisan aritmetika dan menemukan suku ke-n.

e. Menemukan rumus suku ke-n.

Nama Anggota Kelompok :

1. …………………………………………………..

2. …………………………………………………..

3. …………………………………………………..

4. …………………………………………………..

Alat : Karton, Batang korek api, Lem, spidol berwarna lem kertas.

Perintah kerja: tuliskan jawaban kalian pada karton yang telah disediakan.

Diperbolehkan untuk menggunakan alat-alat yang telah disediakan secara bebas.

A. Aktivitas I :

1. Berapa paling sedikit korek api yang diperlukan untuk membuat satu

persegi? Jelaskan!

2. Berapa paling sedikit korek api yang diperlukan untuk membuat dua

persegi yang bersebelahan? Jelaskan!

3. Berapa paling sedikit korek api yang diperlukan untuk membuat tiga


4. Berapa paling sedikit korek api yang diperlukan untuk membuat empat


5. Berapa paling sedikit korek api yang diperlukan untuk membuat lima


6. Berapa paling sedikit korek api yang diperlukan untuk membuat

sepuluh persegi yang bersebelahan? Jelaskan!

7. Berapa paling sedikit korek api yang diperlukan untuk membuat

seratus persegi yang bersebelahan? Jelaskan!

8. Berapa paling sedikit korek api yang diperlukan untuk membuat n



113

LKS II

Pertemuan I (2x40 menit)

Berkelompok (1 kelompok 3-4 siswa)

Indikator:

f. Menggunakan rumus 𝑈𝑛.

g. Menemukan rumus 𝑆𝑛.

h. Menggunakan rumus 𝑆𝑛.

i. Menyelesaikan masalah yang terkait dengan deret aritmetika

Alat : LKS, Kertas Folio, Spidol berwarna, dan alat tulis

Nama Anggota Kelompok :

1. …………………………………………………..

2. …………………………………………………..

3. …………………………………………………..

4. …………………………………………………..

Tuliskan jawaban pada kertas folio yang telah disediakan.

1. Jawablah pertanyaan-pertanyaan singkat berikut!

Diberikan suatu barisan sebagai berikut1,5,9,13, …

a. Nyatakan barisan bilangan tersebut dengan gambar!

b. Apakah barisan tersebut merupakan barisan aritmetika? Jelaskan!

c. Carilah suku ke-7 dari barisan tersebut!

d. Tuliskan rumus suku ke-n dari barisan tersebut!

e. Berapakah jumlah dua suku pertama?

f. Berapakah jumlah tiga suku pertama?

g. Berapakah jumlah empat suku pertama?

h. Berapakah jumlah lima suku pertama?

i. Berapakah jumlah sepuluh suku pertama?

j. Berapakah jumlah seratus suku pertama?

k. Berapakah jumlah n suku pertama?


114

2. Suatu hari akan diadakan sebuah pertunjukkan di SMP Karitas.

Pertunjukkan tersebut akan berupa sebuah drama. Karena itu para guru dan

siswa menyiapkan sebuah panggung dan menata kursi penonton di depan

panggung tersebut. Kursi ditata seperti pada gambar di bawah.

a. Berapakah kursi yang dibutuhkan untuk mengisi baris ke-10?

b. Berapa banyak kursi yang diperlukan jika tempat duduk penonton akan

dibuat menjadi 10 baris?

c. Berapa banyak kursi yang diperlukan jika tempat duduk penonton akan

dibuat menjadi n baris?

3.

Jika kita teruskan susunan segitiga tersebut sampai pada susunan ke-7.

Berapakah segitiga yang dibutuhkan untuk membentuk susunan ke-7?

Panggung


115

Lampiran 4 Tes Akhir Siswa

Kisi – Kisi Soal Tes Akhir

Sekolah : SMP KaritasNgaglik Jumlah soal :

Mata Pelajaran : Matematika Bentuk soal : uraian

Kelas/Semester : IX / I Alokasi Waktu : 40 menit

Kurikulum : KTSP Penyusun : Birgita

Materi Pokok : Barisan Aritmetika

Tujuan Tes Akhir :

Menemukan pengaruh dari PMRI terhadap kemampuan generalisasi siswa pada

materi barisan.

Indikator tes Akhir :





ke-n.

5. Menemukan rumus suku ke-n dari suatu barisan aritmetika.




9. Menyelesaikan masalah yang terkait dengan deret aritmetika

Tahap-tahapan kemampuan generalisasi :

a. Tahap perception of generality, pada tahap ini siswa baru sampai pada


mampu mempersepsi atau mengidentifikasi pola. Siswa telah

mengetahui bahwa masalah yang disajikan dapat diselesaikan

menggunakan aturan/ pola. Indikator (1),(2),(3), (4),(7)

b. Tahap expression of generality, pada tahap ini siswa telah mampu

menggunakan hasil identifikasi pola untuk menentukan struktur/ data/

gambar/ suku berikutnya. Pada tahap ini siswa juga telah mampu

menguraikan sebuah aturan/ pola, baik secara numerik maupun verbal.

Indikator (4)

c. Tahap symbolic expression of generality, pada tahap ini siswa telah

mampu menghasilkan sebuah aturan dan pola umum. Selain itu siswa

juga telah mampu memformulasikan keumuman secara simbolis.

Indikator (5),(8)

d. Tahap manipulation of generality, pada tahap ini siswa telah mampu

menggunakan hasil generalisasi untuk menyelesaikan masalah, dan

mampu menerapkan aturan/ pola yang telah mereka temukan pada

berbagai persoalan. Indikator (6),(9)


116

Indikator :

(1)Mendefinisikan pengertian beda dalam barisan aritmetika. (2)Mendefinisikan

pengertian barisan aritmetika. (3)Membuat contoh barisan aritmetika.

Soal 1:

d. Definisikan pengertian barisan aritmetika dengan kata-katamu sendiri!

e. Buatlah contoh barisan aritmetika!

f. Apa yang dimaksud dengan beda dalam barisan aritmetika? Jelaskan!

Indikator :

(4) menggeneralisasi pola dalam barisan aritmetika dan menemukan suku ke-n

Soal 2:

2,5,8,11,14, … c. Bagaimana pola dari barisan bilangan tersebut? Jelaskan dan gambarkan

bagaimana cara menemukannya secara sederhana!

d. Carilah 𝑈20!

Indikator :



soal 3 :

Diberikan suatu barisan aritmetika. Jika 𝑈2 = 5 dan 𝑈4 = 11 ,maka carilah nilai 𝑎

dan 𝑈12! Jelaskan dan gambarkanpenyelesaianmu secara sederhana!

Indikator :

(7)mendefinisikan deret aritmetika.

Soal 4:

Tuliskan definisi deret aritmetika dengan kata-katamu sendiri!

Indikator:


Soal 5:

Paman memiliki kawat sepanjang 30 m. kemudian paman memotong kawat

tersebut menjadi 5 bagiandan panjang kawat-kawat tersebut membentuk deret

aritmetika. Kawat terkecil memiliki panjang 2m.

b. berapakah panjang kawat terakhir? (Petunjuk : gunakan rumus 𝑆𝑛)


117

Lampiran 5 Hasil Pekerjaan Siswa

Pekerjaan siswa 1:


118


119

Pekerjaan siswa 2:


120

Pekerjaan siswa 3:


121

Pekerjaan siswa 4:


122

Pekerjaan siswa 5:


123


analisis kemampuan generalisasi dengan … · deret aritmetika dengan menggunakan pendekatan pmr....

Documents