Pertanika J. Soc. ScL & Hum. 9(1): 21 - 33 (2001) ISSN,0128-7702tEl Universili Putra Malaysia Press

Algoritma Pendaraban Nombor Perpuluhan dari PerspektifPelajar Tingkatan Satu

AIDA SURAYA BT. HJ. MD.YU USJabatan Pendidikan

Pakulti Pengajian PendidilwnUniversiti Putra Malaysia

43400 UPM, SCI'dang, Selangor, Malaysia

Rata klUlci: Kaedah mengajar nombor perpuluhan l konstruktivisme l temu duga klinikal l pendidikanguru matematik

ABSTRAK

Kajian ini membincangkan algoritma pendaraban yang melibatkan nombor perpuluhan dariperspektif pelajar Tingkatan Satu. Data kualitatif dari kajian kes yang dijalankan berlandaskanleori konstruktivis dikumpul melalui dua sesi temu duga kJinikal. Temu duga melibalkan en<lmpelajar Tingkatan Sam dari pelbagai aras kebolehan dalam m<ltematik, berdasarkan pencapaianMatematik dalam Ujian Penilaian Sekolah Rendah. Fokus kajian yang berlandaskan Konstruklivismeadalah terhadap pemerihalan kefahamanan pelajar dari perspektif pelajar sendiri. Tujuh algorilmayang digunakan pelajar dalam mendarab nombor perpuluhan telah dikenal pasti. Pengenalpastianalgoritma yang digunakan pelajar membawa implikasi terhadap aktiviti pengajaran danpembelajaran dan boleh dijadikan asas oleh pendidik matematik dalam merancang stralegipengajaran pendaraban yang melibatkan nombor perpuluhan.

ABSTRACT

This study discusses the algorithms in multiplication involving decimal numbers from theperspectives of Form One students. Qualitative data gathered through two clinical imelviewsessions in a case study conducted within the constructivist theory were collected from six FormOne students of different mathematical abilities, based on their mathematics performance in theUjian Pcnilaian Sekolah Rendah. Studies based on Conslructivismc focus on describing students'understanding from their own perspectives. Seven algorithms used by students in multiplyingdecimal numbers were identified. Identification of students' algorithms has implications lowardsthe teaching and learning activities and forms a basis in planning teaching strategies ofmultiplication involving decimals for mathematics educators.

PENGENALAN

Nombor perpuluhan adalah antara tajuk yangdidapati sukar oleh pelajar (Carpenter et al.1981; Hart 1981; Hiebert dan Weame 1986).Salah satu [aktor yang menyebabkan pelajarmenghadapi kesukaran adalah kekuranganpengetahuan tentang konsep nombor perpu·luhan. Kekurangan ini menyebabkan pelajarmemilih untuk menghafal petua dan prosedurberkait dengan nombor perpuluhan (Bell et al.1981; Fishbein et al. 1985; Nesher dan Peled1986; Resnick el at. 1989) dan pelajar juga

didapati menggunakan petua dan prosedurdengan cara yang tidak betu! (Bell et al. 1981;Hiebert dan Weame 1986).

Kajian yang telah dijalankan oleh AidaSuraya et al. (1992) mendapati pelajar TahunLima menghadapi masalah dalam pendarabanyang melibalkan nombor perpuluhan. Kebanyak­an mereka tidak dapal menentukan lempat lilikperpuluhan selepas pendaraban dijalankan.Kajian lain (Bell et al. 1981; Brown 1981;Carpenter et al. 1981; Hiebert dan Weame 1986)pula melaporkan respons yang diberi pelajar

Aida Suraya Hj. MeL Yunus

tcrhOldap soalan pcndaraban yang melibatkannombor perpllilihan, adalah tidak lTIlinasabah.Hiebert dan Wearne (1986) be'lJendapat kesilapandalam pcnclaraban r.mg melibatkan nomborperpllilihan bcrpunca daripada tiga perkara.Pert..;lma, tidak dapm mengaitkan anl.ara simbalangka, simbol operasi dan konsep yang dirujuk.Kedua, tidak dapal mcmbuat pcrkaitaI1 anLarapetu<l bagi proscdur dcngan konsep. Ketiga,kurangnya kClrampilan matcmatik dalam menilaisama ada jawapan adalah munasabah.

Banyak kajian tenrang pcndaraban tertumpupada pcndaraban nombor bulat, khususnya danaspek stluktur scmantik. McmIntt Nesher (1988)dan Vergnaud (1988), situasi pendaraban bolehdiklasifikasikan berdasarkan beoLUk kuantiti danpcrkailan antara kllantiti tersebllt. Dari sudutmakna pendaraban nombor bulat, Greer (1992)mcrumuskan emp;:n model, iailu kumpulansetara, perbezaan pendaraban, susuo3n dalambenluk sisicmpat, dan hasil Cartesian. Mulligandan Mitchelmore (1997) pula membuat rumusanten tang strategi pendaraban nombor bulat yangdigunakan oleh pel~ar berdasarkan beberapakajian lepas, iaitu membilang secara terus,membilang secara berulang dengan cara yangteratuf, membilang secara melangkau, mem·bilang secara menambah berlilang-ulang danpcngiraan berdasarkan fakta pendaraban.

Pendaraban yang melibatkan nomborpcrpuluban mcmerlllkan kefahaman pelajarten tang konsep nombor perpuluhan, operasidarab yang melibatkan nombor bulat danperkaitan antara operasi darab ke atas nomborbulat dengan operasi darab kc alas nomborperpuluhan. Hakikatnya, jika pelajar telahmenguasai pendaraban yang melibatkan nomborblliat dengan nombor bulat, peralihan kepadapendaraban nombor perpuluhan denganBombor bulat atau nombor perpuluhan, hanyamemerlukan kefahaman tentang konsep nilaitempat bagi nombor perpuluhan dalam hasildarab. Bagaimanapun, dan perbincangan di alaS,peralihan daripada pendaraban nombor bulatkepada nombor perpuluhan bllkanlah perkarayang mudah bagi pel~ar.

Di Malaysia, konsep nombor perpuluhandan operasi tambah, 101ak, darab dan bahagiyang melibatkan nombor perpuluhan, diper­kenalkan secara berperingkat dan Tahun Empatsekolah rendah hingga Tingkatan Satu. PadaTahlln Enam, pendaraban nombor perpuluhandan pembahagian nombor perpuluhan dihadkan

kepada pcndaraban dan pembahagian dcngan10, 100 dan 1000 sahaja (Kementerian Pcndidi·kan 1998). Pel~ar hanya didedahkan kepadapendaraban dan pembahagian nombor perpulu~han dengan nombor perpllluhan pada TingkatanSam. Selepas Tingkatan Satu, tidak terdapattopik khuSllS bagi nombor pcrpuluhan, tetapipenggunaannya merentasi sllkatan sekolahmenengah melalui topik lain. Memandangkanpclajar sepatutnya telah didedahkan secarakhllsus dan menyeluruh ten tang pendarabannombor perpuluhan dalam Tingkatan Saw, makakajian ini bertujuan untuk mengcnal pastialgoriuna yang digunakan pel~ar tersebllt dalammendarab nombor perpuluhan.

TEOR! KA]IAN

Kebanyakan kajian (Bell et al. 1981; Brown 1981;Carpenter el at. 1981; Hiebert dan ""carne 1986)berkaitan pendaraban nombor perpulllhan telahdibuat berasaskan perspektif PemprosesanMaklumat. Perspektif Pemprosesan Maklumatmembuat analogi antara cara otak manusia mem­proses makilimat dcngan cara komputer mem­proses maklumat. Mengikut pcrspcktif Pempro­sesan Maklumat, aktiviti mental boleh dinyatakandalam bentuk pemprosesan dan transformasimaklumat dari input (rangsangan) kepadaoutput (gerak balas). Dengan itu, kajian yangberasaskan perspektif Pemprosesan Maklumatbenujuan llntuk mengkaji proses mental yangmenghasilkan gcrak balas tertentu akibatrangsangan yang diberikan (Sternberg dan Salter1982), memerihal pola pemikiran pelajar danseterusnya membina hipotesis temang prosesyang berlaku (Putnam el al. 1990).

Dalam kajian yang berasaskan perspektifPemprosesan Maklumal, analisis dan pentafsirandata dibuat berlandaskan kaca mata orang dewasa(von Glasersfeld 1987) dan mengikut piawaipenilaian orang dewasa (NikAzis 1989). Denganitu, fokus kajian adalah terhadap aspek-aspekyang mencerminkan pandangan orang dewasaten tang pengetahuan matematik yang dipunyaipelajar, misalnya salah konsep, salah tafsir, dansalah [aham yang dipaparkan pclajar (Erlwanger1974).

Untuk mengenal pasti algoritma yangdigllnakan pelajar dalam mendarab nomborperpuluhan, analisis terperinci len tang langkah­langkah rang dibuat pelajar dalam menyelesaikanmasalah pendaraban nombor perpuluhan perludijalankan. Kebelakangan ini, kebanyakan kajian

22 Pertanikaj. Soc. Sci. & Hum. Vol. 9 No.1 2001

.Algoduna Pendarab;:m Nombor Perpuluhan da.i Perspektif Pel~aT Tingkalan SalU

tentang apa yang bcrlaku dalam bilik daljahmenunjukkan pel::~jar mcmbina pengetahuanberdasarkan pengalaman sendiri (Steffe et al.1983; Cobb 1988) dan ilmu pengetahuan bukanditerima secara pasif melalui deria alaukomunikasi (von Glasersfeld 1988). Dalamkontcks mengenal pasti konsepsi matematik yangdipunyai pelajar, Steffe dan Cobb (1988)berpendapat metodologi yang berlandaskanKonstruktivisme sesuai digunakan.

Fokus kajian yang berIandaskan Konstruk­tivisme adalah terhadap pemerihalan kefahaman­an pelajar dari perspektif pelajar sendiri (Confrey1991). Kefahaman pelajar tentang sesuatuperkara alau fenomena mcnyediakan lanclasanbagi lllcngenal pasti algoritma pendarabannombor perpuluhan yang digllnakan pelajar.Konstruktivisme menganggap pengerahuan yangdipunyai oleh seseorang individu tentang sesuatufenomena, dibina scndiri olch individu lersebutberdasarkan pengalaman yang dipunyainya danbukan didapati dengan hanya membuat replikatenw.ng apa yang diperhatikan dalam duniasebenar (Steffe et al. 1983; Cobb 1988).Penyelidikan malematik yang benlljuan untukmengenal pasti konsepsi yang dipunyai pelajaradalah berasaskan andaian bahawa terdapatpengalaman pelajar yang bersifat lazim ataumenjadi kebiasaan bagi mereka (Steffe 1991).Pola tingkah laku pelajar dalam pelbagai komeksyang disediakan dalam kajian ini menyediakanIandasan bagi mengcnal pasti algoritma yangdigunakan pelajar dalam mendarab nomborperpllluhan.

KAEDAH KAJIANRelm 13enJuh Kajian

:&~ian ini merupakan sam k~~ian kes. K.ajian kesmerupakan sam b~ian yang mendalam dan telititen tang sesuaLU fenomena dan melibatkanbilangan subjek yang kecil sahaja.Johnson (1980)menjelaskan bahawa kajian kes mempunyaipotensi yAng unik dalam mengumpul maklumatberkaitan dengan pengajaran dan pembelajaran.Menurut Mills (1984) pula, kajian kes yangmembabitkan pengumpulan data melalui temuduga mcmbolchkan pengkaji membuat inferensyang tertentll. Berdasarkan pendapat di alas dankajian lepas yang berasaskan Konstruktivismc(Cobb 1983; Nik Azis 1987; Aida Suraya 1996),pengkaji berpendapat kajian kes merupakankacdah yang paling scsuai bagi kajian yangmemheri llimpuan terhadap algoritma

pendaraban nombor perpuluhan yang digunakanpelajar.

Sampel Kajian

Lokasi kajian adalah sebuah sekolah menengahdi scbuah pekan kecil di Selangor. Seramaienam pelajar Tingkatan Saw dipilih sebagaisubjek kajian berdasarkan dua kriteria mama.Pertama, kepercayaan guru yang mengajarmatemalik bahawa mereka akan melibatkan dirisecara aktif dalam temu duga. Kcdua, preslasimalematik mereka. Dua subjek telah mem·peroleh A dalam Matematik UPSR, seorangmendapat B, dua orang mendapat C dan seorangmendapat D.

Pemilihan pelajar Tingkatan Satu dibuatkerana pada peringkat ini mereka telahdiperkenalkan kepada pendaraban nomborperpuluhan dengan nombor bula[ danpendaraban nombor perpuluhan dengannombor perpllluhan. Pemilihan subjek yangmerangkumi pelajar pada aras kebolchanmatemalik yang berbeza, dibuat kerana pengkajimengandaikan subjek yang mempunyai araskebolehan matematik yang berbeza boleh mema­parkan penggunaan algoritma pendarabannombor perpuluhan yang berbeza. K.~ian yangberlandaskan Konslfuktivisme memberi tumpuanterhadap konsepsi pelajar dan bukan bertt~uan

untuk membuat perbandingan an tara sawkumpulan subjek dengan sam kumpulan subjekyang lain.

Prosedur Kajian

Antara metodologi pengumplilan data yangdikemukakan Konslruktivisme adalah lemu dugaklinikal. Teknik temu duga klinikal memboleh·kan pengk'tii menunus dan menguji andaiantentang pengetahuan matematik yang dipunyaipelajar semasa temu duga dijalankan (Cobb danSteffe 1983). Setiap pel~ar ditemu duga sebanyakdua kali dan setiap sesi temu duga mengambilmasa lebih kurang satti jam.

Semasa scsi ternu duga, pel ajar diberimasalah unluk diselcsaikan dan diminta memberihujah dan rasional terhadap setiap langkahpenyclesaian yang dibuat. Selain percakapanpelajar, lingkah laku bukan lisan seperti menulis,melukis dan melorek juga merupakan dalakajian. Untuk memlldahkan pemerhatianterhadap tingkah laku pe1<'uar, setiap sesi temuduga dirakamkan dengan video.

PertanikaJ. Soc. Sci. 8; Hum. Vol. 9 TO. 1 2001 23

Aida Suraya Hj. Md. Yunus

Diberi 15 x 237 = 3555, nyatakanhasil darab 1.5 x 2.37.

Bahagian 3. Subjek diminta memberi jawapantanpa membuat pengiraan.Contoh:Nyatakan nombor yang 10 kali lebihbesar daripada 8.73.Nyatakan nombor yang 100 kalilebih besar daripada 8.73.

Kajian Rintis

Kajian rintis yang melibatkan dua orang pelajarTingkatan Satu telah dijalankan di sekolah yangsarna. Kajian rintis ini bertujuan untuk (i)melihat kesesuaian soalan temu duga yangdisediakan dari segi isi, cara menyoal dan bahasayang digunakan; (ii) mengumpul maklumatten tang respons yang mungkin diberikan subjekterhadap soalan yang disediakan; dan (iii)menganggar masa yang diperlukan bagi setiapsesi temu duga. Berdasarkan respons subjek,soalan temu duga dikemas kini dari segi isikandungan, kepadatan isi, bahasa dan caramenyoal.

Contoh: 0.5 x 100.5 x 1002.37 x 100

o 0 5 0 00050002370

Bahagian 2. Subjek diminta meletakkan titikperpuluhan pada hasil darab. Tiadapengiraan perlu dilakukan.

Temu Duga Pertama

Bahagian 1. Soalan seperti 3 x 4.7Tujuan: Mengetengahkan konsep pem­

binaan beberapa kumpulanmengikut saiz tertentu.

Bahagian 3. Soalan seperti 0.25 x 4, 0.75 x 80,0.62 x 100

Tujuan: Mengetengahkan algoritma menu­kar perpuluhan kepada bentukpecahan untuk memudahkan pe~

ngiraan dibuat.

Instrumen Kajian

Instrumen kajian adalah berbentuk skedul temuduga separa berstruktur. Bagi setiap soalan yangdiberi, pelajar diminta membacakan soalantersebut, menyelesaikannya dan seterusnyadiminta memberi hujah dan rasional terhadaplangkah yang dUalankan.

Menentulwn Tempat Perpuluhan Berdasarhan TempatPerpuluhan Bagi Pe/wli

Dalam penggunaan algoritma menentukantempat perpuluhan berdasarkan tempatperpuluhan bagi pekali, subjek mendarab duanombor yang diberi dan menentukan tempattitik perpuluhan dalam hasH darab berdasarkanjumlah bilangan tempat perpuluhan dalam pekaliyang melibatkan nombor perpuluhan. Petikanberikut menggambarkan penggunaan algoritmaini (P merujuk kepada penemu duga, M merujukkepada pelajar, nama pelajar bukan namasebenar) .

ANALISIS DATA

Penganalisisan data melibatkan tiga peringkat.Pertama, mentranskripsi temu duga kepadabentuk bertulis. Kedua, algoritma pendarabannombor perpuluhan yang digunakan subjek,dikenal pasti berdasarkan tingkah laku yangkonsisten dalam menyelesaikan masalah yangdiberi. Ketiga, analisis antara subjek dibuat bagimengenal pasti algoritma pendaraban nomborperpuluhan yang digunakan pelajar TingkatanSam.

PERBINCANGAN

Tujuh algoritma pendaraban nomborperpuluhan yang digunakan pelajar TingkatanSatu telah dikenal pasti. Beberapa petikan daritranskripsi verbatim pelajar digunakan untukmenghuraikan setiap algoritma yang dibincang­kan. Petikan yang dipilih menggambarkantingkah laku subjek yang konsisten dalam sesitemu duga yang dUalankan.

Soalan seperti 0.5 x 28Mengetengahkan idea pengambilansebahagian dari satu kumpulan.

Bahagian 2.Tujuan:

Temu Duga Kedua

Bahagian 1. SUbjek diminta membentuk ceritaatau masalah perkataan dari ayatmatematik yang diberi. Misalnya,3 x 4.7, 3.6 x 4, 3.6 X 4.7.

Tujuan: Mentafsir makna yang dipunyai olehsubjek ten tang pendaraban yangmelibatkan nombor perpuluhan.

24 Pertanikaj. Soc. Sci. & Hum. Vol. 9 No.1 2001

Algoritma Pendaraban Nombor Perpuluhan dari Perspektif Pelajar Tingkaran Satu

Petikan I(Subjek: Sarah, mendapat C dalam

Matemalik UPSR)

P: Kira 0.5 X 0.4?M: (Membuat pengiraan panjang, mendapat

hasil 020 dan kemudiannya meletakkan titikperpuIuhan unLUk memperoleh jawapan0.20)

P: Bagaimana Sarah tentukan titik perpuluhan?M: SoaIan itu ada 0.5 dan 0.4, ada dua titik

perpuluhan. Jadi, langkau dua kali(menunjukkan cara peralihan titikperpuluhan dibuat pada jawapan).

P: Soalan ini pula, 2.37 X 10. Di mana titikperpuluhan?

M: (Membuat pengiraan. Melelakkan titik per·puluhan pada hasil darab yang diperolehi).23.70

P: Kenapa di situ?M: Sebab 2.37 ini ada dua angka sebelum titik

perpuluhan.

Pelikan 2(Subjek: Mokhtar, mendapal B dalam

Matematik UPSR)

P: Cuba soalan ini. 0.5 X 0.23?M: (Membuat pengiraan panjang, mendapat

hasil 01150, mengira lempal perpuluhandalam pekali dan meletakkan titik perpu­luhan empat tempat ke kid dad akhir).

O. 5 0x O. 2 3

I 5 0I 0 0

0 0 0o . 1 I 5 0

P: Kenapa Mokhtar buat 0.50 x 0.23?M: Saya tambah 0 untuk 0.5 ini untuk mencu­

kupkan soalannya, supaya senang didarabdengan nambar di bawah im.

P: Bila dah dapat jawapan bagaimana?M: Saya langkau dua dari kanan (merujuk

pekali) .P: Kenapa buat jawapannya empat langkau?M: Sebab dah didarab.P: Cuba soalan ini 0.23 x 0.5.M: (Mendarab 0.23 dengan 0.5 dan mengha­

silkan jawapan 0.115). 0.115.

P: Macam mana letak litik itu?M: 0.23 ada dua titik perpuluhan, 0.5 ada sam

titik perpuluhan jadi langkau tiga titikperpuluhan.

P: Kenapa Mokhtar tak letak 0.50 untuk soalan ini.M: Bila nambor yang muIa·mula kurang titik

perpuluhan dari nambor yang kedua.

Selain Sarah dan Makhtar, dalam kontekstertentu, Nadiah, Hamdan dan Zahari jugamenggunakan algorilrna ini. Algaritma ininampaknya paling kerap digunakan oleh pelajardalam mendarab nombor perpuluhan.

Mengetepikan Tilik Perpuluhan dan MendarabNombor Bulat Dahulu

AJgoritma mengetepikan titik perpuluhan danmendarab nambor bulat dahulu digunakandalam mendarab nombor perpllluhan dengannombor bulat,jllga nambor perpuluhan dengannombor perpuIuhan. Pelajar mendarab namborperpuluhan yang diberi, tanpa mengambil kiratempat perpuluhannya dan memasukkan titikperpuluhan pada hasil darab yang diperoleh.Penggunaan algoritma ini perlll digabungdengan algoritma menentukan tempat per­puluhan berdasarkan tempat perpuIuhan bagipekali. Petikan berikut menggambarkanpenggunaan algoritma ini.

Petikan 3(Subjek: Nadiah, mendapat A dalam

Matematik UPSR)

P: Kira 0.5 X 4?M: Jawapannya 2.P: Macammana dapat 2?M: Sifar itu saya ketepikan dahulu. Saya darab

5 dengan 4, dapal 20. Lepas illl saya letaktitik perpuluhan. 0.5, titik perpuluhannyaialah satu nombor perpuIuhan. Jadijawapannya 2.0.

P: Kalau 0.03 x 0.20?M: Kena buat 20 kali 3.P: Kenapa bual 20 kali 3?M: Saya kelepikan O.P: Tapi 0 sebelum 3 itu, kenapa diketepikan?M: Sebab bila didarab, kita dapat 0 juga, jadi

tak diperlukan. Jawapannya 0.006.P: Bagaimana dapat 0.006?M: 20 kali 3, 60. Di sini (merujuk nombor 0.03

dan 0.20) ada empat titik perpuluhan, jadi

PertanikaJ. Soc. Sci. & Hum. Vol. 9 No. I 2001 25

Aida Suraya Hj. Md. Yunus

kira eli belakang empat (menunjukkanpemindahan titik perpuluhan).

P: Kenapa tak kira sifar yang akhir?M: Sebab tak ada nilai.

Pelikan 4(Subjek: Hamdan, mendapa, A dalam

Matematik UPSR)

P: Kira 0.4 x 0.3?M: Saya dapat 0.12 sebab 4 x 3 = 12, lepas itu

saya tentukan titik perpuluhan dengangerakkan ciua angka ke belakang.

penggunaan algoritma ini, pelajar perlumembuat pertimbangan sarna ada soa1an itulebih mudah diselesaikan dalam bentuk asal atauditukar kepada bentuk peeahan. Beberapa soalanlain yang baleh diselesaikan menggunakanalgoritma inijuga ditanya seperti 0.75 x 80, 0.62x 100, tetapi pel.jar tidak menggunakanalgoritIna ini untuk menye1esaikan soa1antersebut.

Petikan 7(Subjek: Nadiah, mendapat A dalam

Matematik UPSR)

Menambah Secara Berulang

Algoritma menambah seeara berulang digunakanpelajar dalam menyelesaikan masalah pendara­ban nombor perpuluhan dengan nombor bu1at.Algoritma ini adalah berasaskan pembinaanbeberapa kumpulan mengikut saiz tertentu.Dalam kajian ini, Nadiah menggunakana1goritma ini dalam beberapa konteks yangdisediakan dalam temu duga. Petikan berikutmenggambarkan penggunaan algoritma ini.

Petikan 5(Subjek: Nadiah, mendapat A dalam

Matemalik UPSR)

P: Boleh gambarkan 0.5 x 4?M: Tak pasti, saya cuma tahu wang dan pecahan.P: Pecahan macam mana?

M: 0.5 baleh juga t.P: Kenapa tu?

M: 0.5 adalah 5/10 = t (menulis persamaan

ini) .P: Macam mana dapat hasil darab bila darab

4?

1 1 1 IM: Kita tambah ajalah, '2 + 2 + '2 + 2'

Petikan 8(Subjek: Hamdan, mendapa, A dalam

Matematik UPSR)

M: 0.5 = t, kalau dibahagi dua, sama dengan

0.5.

P: 0.25 x 8?M: (Memberi jawapan secara spontan) 2.P: Cepat dapat, bagaimana Hamdan kira?

1 IM: '4 = 0.25, '4x 8 = 2.

bagaimana?I

0.25 itu Hamdan dapal '4

Satu bahagi empat, 0.25.

P:

M:

P: Selesaikan 0.5 X 4?

M: 2 sebab t kali 4.

Kenapa 1. kali 4'2 .P:Petikan 6(Subjek: Nadiah, mendapat A dalam

Matematik UPSR)

Menulwr Salah Satu Pekali Kepada Bentuk Pecahan

Algoritma menukar salah satu pekali kepadabentuk peeahan digunakan apabila pekalimelibatkan nombor perpuluhan seperti 0.5 dan0.50, yang boleh ditukarkan oleh pelajar denganmudah kepada bentuk pecahan. Dalam

P: Cuba bina masalah perkataan bagi 3.6 X 4?M: Mak suruh beIi 3.6 kg. tepung, kemudian

abang saya kata tak cukup, jadi dia beli lagi3.6 kg., ayah beli 3.6, adik beli 3.6, kemudiandijumlah kan.

P: Kenapa dijumlahkan, bukan didarab?M: Maksud darab ialah sesuatu im ditambah

seeara ulang-ulang.

P: (Merujuk soalan 0.5 x 4). Maeam manadapat hasil darab bila darab 4?

. .11 1 1M: Kita tambah aplah, '2 + '2 + '2 + 2'

26 PertanikaJ. Soc. Sci. & Hum. Vol. 9 No.1 2001

AJgoritma Pcndaraban Nombor Perpuluhan dari Perspelaif Pelajar Tingkatan SaLU

lWengalihkan Titik Perpuluhan ke Kanan BerdasarkanTempat '1,tik P<rpuluhan bagi Pelwli

Algortima mengalihkan tiLik perpuluhan kekanan digunakan apabila pekali melibatkannombor bulal dalam kuasa 10. Nadiah meng­gunakan algoritma ini dalam beberapa kontekstemu duga. Bagaimanapun, semua subjekmenggunakan algoritma ini, tanpa mengambilkira bilangan digit yang dilLllis dalam hasil darabyang disediakan, apabila dimint..a meletakkan titikperpuluhan pada hasil darab, tanpa membuatpengiraan (aktiviLi Bahagian 2, Temu DugaKedna). Dalam petikan berikut, adiahmenggunakan algoritma ini, tempi tidak dapalmenjelaskan kenapa algoritma mcngalihkan lilikperpuluhan balch digunakan dalam mendarabnombor perpuluhan.

Petikan 9(Subjek: Nadiah, mendapat A daJam

Matematik UPSR)

Fairuz menganggap nombor perpuluhan hanyaboleh didarabkan dengan nombor perpuluhandan dia memastikan titik perpuluhan adalahsebaris bagi kedua-dua pekali lersebuL Dia jugamenganggap pendaraban dua nomborperpuluhan hanya baleh dibuat sekiranya kedua­dua pekali mempunyai bilangan tiLik perpuluhanyang sarna. Dengan itu dia menambah sifar diakhir nom bar 0.6. Seterusnya, Fairuzmelaksanakan pendaraban bagi digit-digitsepadan dalam kcdua-dua 'nombor perpuluhan'yang dibentuknya.

Pelikan 10(Subjek: Fairuz, mendapat D dalam

Matemalik UPSR)

P: Okay, cuba soalan ini pula (merujuk 0.6 x10)?

M: (Membuat penyelesaian seperti berikul.Nombor 10 ditukar menjadi 0.10 dan 0.6kepada 0.60).

Enam pllluh.P: Bagaimana dapat 60?M: 2 darab dengan 0, 6 darab dengan 1.

O. 6 2x O. I 0

O. 6 0 -. I 2xO=01

"6 x 1 =61

Enam puJuh.P: Kenapa ditambahkan sifar di sini (merujuk

penukaran 0.6 kepada 0.60)?M: Nombor ini didarab 10 jadi di atasnya saya

tambah O. .P: Ini titik sebelum 1 ini (merujuk lilik sebelum

digit 1 dalam 10)?M: Bayangkan ada titik perpuluhan baru boleh

clapat jawapan (meletakkan sifar kecilsebelum titik perpuluhan yang dibual). Bagisaya kalau ada titik perpuluhan bani sayabaleh bual. Kalau tak saya kelim.

P: Cuba buat ini (merujuk 0.62 x 10).M: (Membuat penyelesaian seperti berikllt).

o Nombor dibayangkan0--+ sebagai 0.10 telapi sifar

sebelum titik per-o puluhan tidak ditulis.

'\.I-O-x-o-=-OI

O. 6

I

O. 6x O. 1

Menyusun ·JZtik Perfrnluhaa Supaya Sebans daaMeadarab Digit pada Tempat Perpuluhaa yaagSepadan

Algoritma menyusun titik perpuluhan supayasebaris dan mendarab digit pada tempatperpuluhan yang sepadan, yang digunakanpelajar memerlukannya untuk menyusun titikperpuluhan pada pekali pert.ama dan keduasupaya sebaris. Penggunaan a]garilma inimungkin dipindah secara terus dari algaritmauntllk menambah dua nombor perpuluhan,melainkan digit-digit pada tempat perpuluhanyang sepadan dalam kedua-dua pekali didarabkandan bukan ditambah.

Dalam pelikan berikut, Fairuz menambahtitik perpuluhan pada pekali kedua, iaitu sebelumnombor 10. Apabila ditanya, dia menambah satusifar yang sangat kecil sebelum tiLik perpuluhanyang ditulisnya sebelum nombor 10 lersebuLDari tingkah laku yang dipaparkan, nampaknya

P: Cuba selesaikan 0.6 x 10?M: 6.P: Macam mana nak tentukan jawapannya 6,

bukan 60 atau 600 atau 6000?M: Saya dah biasa bila ada satu sifar, jadi gerak

satu tiLik ke belakang.P: Kenapa?M: Saya t...'\k pasti.P: Kenapa kita gerak dan dapatjawapan belu1?M: Saya lak pasti macam mana sifar ilU boleh

dikailkan dengan nombar perpuluhan.

PenanikaJ. Soc. Sci. & Hum. Vol. 9 No.1 2001 27

Aida Suraya Hj. Md. Yunus

Pelikan 13(Subjek: Fairuz, mendapat D dalam

Matematik UPSR)

P: 0.75 x 0.4?M: (Membual pengiraan seperti dalam bahagian

kiri di bawah dan kemudian membuat pen­giraan baru di sebelah kanan)

7 54

8 5 5 diturunkan

~~kerana tiadapekali dibawahnya.

ox 0

7 54 0

ox 0

2. 8 0 2

/ \17 x 4 = 281 '15-X-0-=-0

17 x 4 = 281

2.85 dan 5 diturunkan. Kalau nak tambahkano selepas 4 nanti jawapannya lain, jadi sayatak tambah sifar. 5 darab 0, 7 darab 4 sarnadengan 28. 5 diturunkan sebab bawah diatiada nombor lagi.

Petikan berikut rnemaparkan bahawaalgoritrna mendarab nombor perpuluhan yangdigunakan Fairuz lebih tertumpu kepadapenyusunan titik perpuluhan supaya sebaris danbilangan ternpat perpuluhan pacta dua nomborperpuluhan yang didarab tidak scmestinyadisamakan.

P: Buat soalan ini (merujuk 0.5 x 28)?M: Tak boleh. Saya tak dapat nak bayangkan

bagaimana nak buat.Fairuz juga tidak menganggap pendaraban324 x 567 dengan 3.24 x 5.67 sebagaiberkailan. Petikan berikul menggambarkantingkah lakunya.

Dalam kes ini, Fairuz nampaknya lidakmenganggap 10 sebagai satu nombor per­puluhan, wataupun dia menambah litik sebelumnombor tersebul. Sekiranya Fairuz menganggapalgoritma mendarab nombor perpuluhan adalahsarna dengan algoritma menambah dua nomborperpuluhan, maka fokusnya adalah unlukmenyusun lilik perpuluhan agar sebaris.Kemungkinan Fairuz menganggap dia tidakmembual sebarang perubahan pada nilai nombor10 tersebul dengan hanya menambah tilikperpuluhan sebelum nombor yang diberi. lnidapat dilihat dari petikan berikut. Dalam konteksini, Fairuz tidak menukar 28 kepada 2.8 keranadia mungkin menganggap 28 dan 2.8 sebagaiberbeza. Berdasarkan tingkah lakunya dalamkonteks lain, Fairuz akan mendarab 5 dengan 8dan 0 dengan 2 semasa mendarab 0.5 dengan2.8, tetapi dalam konleks ini dia tidak mengubah28 kepada 2.8.

Petikan 11(Subjek: Fairuz, mendapat D dalam

Matematik UPSR)

Petikan 12(Subjek: Fairuz, mendapat D dalam

Matematik UPSR)

P: Diberi 324 x 567 = 183708 (merujuk kadyang mengandungi pendaraban tersebut),cari hasil darab 3.24 X 5.67 (dinyatakansecara benulis)?

M: (Membuat penyelesaian seperti berikut).1 23 2 4

x 5 6 7

1 6 4 8

P: Bagairnan Fairuz mendarab?M: Darab terus alas ke bawah (merujuk 4 x 7,

2 x 6 dan 3 x 5).P: Titiknya bagaimana?M: Ikul turutan.

Mengalihlu", Titik Pcrpuluhan ke Kiri Dalam HasilDamb Berdasarkan Tempat Titik Pcrpuluhan Bag!Pekali

Apabila diberi konteks di mana digit~digit dalamhasH darab disenaraikan dan subjek hanya perIumenentukan tempat titik perpuluhan, semuaenam subjek pada mulanya hanya menumpukankepada bilangan tempa' perpuluhan yangdiperlukan, bermula dari kiri, dalam jawapanyang disediakan, walaupun digit-digit yang ditulisdalam jawapan melebihi bilangan yangdiperlukan. Apabila dilanya dengan lebih lanjuttentangjawapan yang diberi, empat orang subjekmenyemak jawapan menggunakan algoritmayang rnereka biasa gunakan dan rnemperolehjawapan berbeza. Bagaimanapun, dua orangsubjek berikut hanya memberi perhatianlerhadap tempat titik perpuluhan, lanpamengambil kira digit-digit yang diperlukan dalamhasil darab.

28 PertanikaJ. Soc. Sci. & Hum. Vol. 9 No.1 2001

AJgoritma Pendaraban Nombor Perpuluhan dari Perspektif Pelajar Tingkatan Satu

Petikan 14(Subjek: Zahari, mendapat C dalam

Matematik UPSR)

P: (Men~uk saalan pada kertas berikut). Kalau2.37 x 10 = 0 2 3 7 0 dan2.37 x 100 = 0 2 3 7 0, di mana nak lelaktitik perpuluhan unlukjawapanjawapan ini?

M: Yang mula-mula letak 237.0. Yang kedualelak 23.70.

2.37 x 10 = 0 2 3 7

2.37 x 100 = 0 2 3 7 0

P: Kenapa 2.37 x 10 = 237.0 dan 2.37 x 100 =

23.7?M: Sebab 100, langkau dua dari sebelah kiri.

Petikan 15(Subjek: Sarah, mendapat C dalam

Malemalik UPSR)

P: (Merujuk saalan yang ditulis pada kerlas).Kalau 0.5 x 10 = 0 0 5 0 0, di mana nak letaktitik perpuluhan (merujuk hasil darab)?

M: (Meletakkan lilik sebelum sifar akhir).P: Kenapa di situ?M: Jawapannya 0050.0 sebab selepas satu angka

(merujuk pengiraan digit dari akhir) sayaletak titik itu.

P: Kalau 0.5 X 100 (merujuk kerlas bertulis 0.5x 100 = 0 0 5 0 OJ?

M: Sarna juga.P: Jadi unluk 0.5 x lO,jawapannya sarna dengan

0.5 x 100, iailu 0050.0.M: (Angguk).P: Kalau diringkaskan jadi apa?M: 50.P: Sarna tak, 0.5 x 10 dan 0.5 x 100, dua-dua

jawapannya 50.M: Sarna sebab 0 pergi depan 5., 0 itu pergi

sebelah kiri kalau buat dalam bentuk lazim.

Selain algoritma pendaraban nomborperpuluhan yang telah dikenal pasti, terdapatbeberapa dapatan lain berkaitan pendarabannombor perpuluhan yang diperoleh dan kajian ini.

Pe/ajar Tidal< Dapat Membuat Pengiraan Celiap

Misalnya, bagi saalan 0.62 x 100, mengalihkantitik perpuluhan untuk mem-peroleh hasH darab

62 atau menukar 0.62 kepada bentuk pecahan62/100 untuk memudahkan pendaraban dengan100, baleh dianggap sebagai mengira dengancekap. Bagi saalan 0.75 x 80 pula, adalah lebih

Icekap untuk menukar 0.75 kepada pecahan "4untuk didarab dengan 80. Dalam kajian ini,semua pelajar mengira dalam bentuk lazjrn un tukmenyelesaikan kedua-dua soalan.

PelajaT Tidal< Dapat Membuat Anggaran Jaruapan

Misalnya, Nadiah yang menggunakan algoritmamenukar salah satu pekali kepada bentukpecahan dalam beberapa konteks yangdisediakan telah menyelesaikan 0.5 X 4 dengan

Imenambah "2 secara berulang, sebanyak empatkali (Petikan 7). Bagaimanapun, dia menganggarhasil darab 0.5 X 148 sebagai 5. Dalam konteks

Iini, dia tidak mengambil setengah atau 2

daripada 148.

Petikan 16(Subjek: Nadiah, mendapat A dalam

Matematik UPSR)

P: Anggarkan jawapan bagi 0.5 X 148.M: 5.00 sebab 5 dengan I sarna dengan 5, 4 x

5 dan 8 x 5 ada 100 kat belakang. Jadijawapannya 5.

P: Jadi 500, kemudian letak litik perpuluhanpada clua tempat perpuluhan (merujukjawapan yang ditulis)?

M: Sebab anggaran jawapan lebih besardaripada I, nambar bulat. Jadi, saya lelak 5sebab 1 x 5 = 5, kemudian ambil nomborbelakang 4 x 5 dan 8 x 5.

Saalan 0.5 x 4 dan 0.5 x 148 berbeza dariaspek saiz nombor yang digunakan. Selarasdengan dapalan Nesher (1988) dan Vergnaud(1988), bemuk kuantiti yang terbabit mungkinmempengaruhi konsepsi pelajar tentang situasipendaraban yang diberi. Jika dilihat berdasarkanpandangan Hiebert dan Wearne (1986) pula,pelajar tidak dapat membuat pertimbanganlentang saiz nombor yang dijangkakan bagi hasHdarab, sama ada lebih daripada 5, datamlingkungan 50an atau ratusan.

Anggaran Zahari pula merupakan pengiraanmental yang dibuat tanpa menulis. Dia mengiradan membayangkan algoritma pendaraban yangperlu dijalankan untuk memberikan jawapan.

PertanikaJ. Soc. Sci. & Hum. VoL 9 No.1 2001 29

Aida Suraya Hj. Md. Yunus

Walaupun jawapan yang diberi agak tepat, diasebenarnya tidak membuat anggaran, tctapisekadar membuat pengiraan tanpa menulissahaja.

Petikan 17(Subjek: Zahari, mendapat C dalam

Matematik UPSR)

P: Cuba anggar jawapan untuk 3.6 x 4?M: 14.4 tapi kalau anggar dapat 14.P: Macam mana anda anggar?M: Darab.P: Macam mana dapat 14?M: Darab. 6 X 4 = 24, ambil 2 tu naik atas, 4 X

3 ~ 12, 12 + 2 ~ 14.

Pelajar Tidah Dapat Membuat Perkaitan antaraPenyataan Pendaraban Nombor Bulat yang DibeJidengan Pendaraban Nombor Perpuluhan yang PerluDiselesaihan

Bila diberi soalan seperti :Jika 7 X 34 = 238, cari0.7 x 3.4?', semua subjek menyelesaikannyadengan menggunakan algoritma mereka sendiriyang mclibatkan penukaran soalan kepadabentuk lazim dan menjalankan pengiraanpanjang. Di sini, pclajar tidak nampak perkaitanantara algoritma pendaraban nombor bulatdengan algoritma pendaraban dengan nomborperpuluhan.

Pelajar Tida" Membuat ReJle"si Terhadap Algoritma)'ang Dijalankan

Mereka tidak dapat mem bcri rasional terhadaplangkah yang dibuat, seperti kenapa perlumengalihkan titik dua tempat perpuluhan kekanan. Misalnya dalam Pelikan 9, Nadiah lidakdapat memberi rasional lerhadap langkah yangdijalankan. Dalam kanteks ini, pelajar sebenarnyamenghafal algarilma tersebut tanpa menaakulkenapa sesuatu langkah boleh dijalankan.Menurut Nesher dan Peled (1986) dan Resnicket at. (1989), perkara ini berpunca daripadakurangnya pengetahuan pelajar ten tang konseppendaraban nombor perpuluhan dan akibatnya,mereka hanya menghafal petua yang diberi.

Mahna Pendaraban Nombor Perpuluhan TerlumJ)u"epada Model Kumpulan Setara

Kebanyakan pelajar memberi makna kepadapendaraban nombor perpuluhan denganmenggunakan model kumpulan setara

(contohnya, crupat objck, scmuanya sarna saiz).Nampaknya pelajar tidak mengaplikasikan tigamodel lain bagi pendaraban nombor bulat yangdirumuskan Greer (1992) kepada pendarabannombor perpuluhan. Subjek dalam kajian inihanya dapat memberi makna kepada penyataanyang nlelibatkan satu nambor perpuluhan dansatu nombor bulat, tetapi mereka tidak clapatmembcri makna kepada pcnyataan yangmelibatkan dua nombor perpuluhan. Antaracontoh yang diberi, apabila diminta membentukmasalah berdasarkan penyataan pcndaraban samnombar perpuluhan dcngan saW nombor bulat,subjek memberi I'espons seperti berikut:

Nadiah: Hari ini saya belanja $4.70, esok $4.70dan hari seterusnya pun $4.70.

Sarah: Jarak antara rumah Ali kc rumah Sivaialah 4.7 meter. Ali berulang-aliksebanyak tiga kali. Bcrapa jauhkahperjalanan Ali?

Fairuz: Ahmad membcli sebiji kek dan dipotong3.6 untuk diberi kepada 4 orang

Zahari: En. Ahmad membeli empat jcnis kainyang berukuran 3.6 meter setiap satti.Berapa meterkah kain yang hendakdibelinya?

Dalam kcs pcndaraban yang melibatkan duanombor pcrpniuhan, peh~jar tidak dapatmembentuk sebarang masalah berayat.

RUMUSAN DAN CADANGAN

Bcberapa rumusan dan eadangan, clalam bentukimplikasi kepada pengajaran, balch dibuatberdasarkan perlaknan pelajar semasa mendarabnombor perpuluhan dalam k<-~ian ini.

Rumusan

Tujuh algoritma pcndaraban yang melibatkannombor perpuluhan telah dikenal pasti dalamkajian ini. Dalam kebanyakan situasi pendarabanyang disediakan, pelajar menggunakan algoritmamenentukan tcrupat perpuluhan berdasarkanterupat perpuluhan bagi pekali. Algoritmamcnambah seem'a berulang digunakan pelajardalam pendaraban nombor perpuluhan dengansatu nombor bulat yang mempunyai saiz kccil.Algoritma mengetepikan titik pcrpulllhan danmcndarab nombor bulat dahulu pcrlu digunakanbersarna algoritma menentukan tcmpatperpuluhan bcrdasarkan tempat perpuluhan bagipekali.

30 PertanikaJ. Soc. Sci. & Hum. Vol. 9 No.1 2001

Algoritma Pcndaraban Nombor Pcrpuluhan dad Perspektif Pelajar Tingkat;l.n S;l.tu

Algoritma mengalihkan titik perpuluhan kekanan berdasarkan tClllpat titik perpuillhan bagipekali diaplikasikan dalam pendaraban nOlllborpcrpuluhan dengan nombor bulat dalalll kuasala, manakala algoritrna menukar salah salU pekalikcpada bel1luk pecahan pula digunakan bagipcndaraban yang melibatkan nomborperpuillhan yang boleh ditukarkan kcpadabentuk pecahan dcngan mudah dan melibatkanpekali kedua nombor kecil. Algoriuna menyusuntitik perpuluhan supaya sebaris dan mendarabdigit pada lempat perpuluhan yang sepadanctipindahkan secara terus dari algoritma me­nambah nombor perpuluhan. Algoritmamengalihkan titik perpuluhan ke kid dalam hasildarab berdasarkan tilik perpllilihan bagi pekalipula diaplikasikan apabila digit-digit dalam hasildamb dibcri.

Hasil kajian juga mendapali, dalammendarab nombor pcrpuluhan, pel~al' tidakdapat membllat pengiraan cekap, tidak dapatmembual anggaran jawapan, tidak dapatIllcmbuat pcrkaitan antara penyataan pen­daraban nombor bulat yang diberi denganpendaraban nombor perpuluhan yang perludiselesaikan, tidak membuat refleksi terhadapalgoritma yang dijalankan dan makna yang dibedtentang pendaraban nom bar perpuluhantertumpli kepada model kumpulan sctara.

Implikasi kepada Pengajaran

Dapatan kajian ini membawa beberapa implikasiterhadap pengajaran pendaraban nom barperpuluhan. \Valaupun algoritma mencntukanlempat perpuluhan berdasarkan tcmpatperpuluhan bagi pekali sesuai dalam pelbagaikonteks pendaraban nombor perpuluhan, pelajarharus didedahkan kcpada rasional kelupapenentuan tcmpat titik perpuluhan bolch dibuatberdasarkan jumlah tempat pcrpuluhan bagikcdua-dlla pekali, Contohnya, semasa mcm­perkenalkan konscp pendaraban nomborpcrpuluhan, guru balch menggunakan bahankonkrit untuk menunjukkan makna 0.5 x 0.3,iaitu mengambil 0.5 bahagian daripada 0.3bahagian yang akan menghasilkan hanyasetengah daripada 0,3 bahagian yang ada. Guruperlu merangsang pelajar untuk menyatakanhasil yang dipcrolehi dalam bentuk pcrpuluhan.Setelah beberapa kcs mudah pendaraban danhasil darab ditunjukkan, pel~ar perlu dibimbinguntuk membuat kesimpulan secara induktiften tang hasil darab yang diperoleh dengan

penurnpuan khusus diberi kepada bilangantempat perpuluhan dalam pekali dan dalam hasHdarab. Sclepas itu, barulah guru beralih kepadapenggunaan algoritma menentukan tempatperpuluhan berdasarkan terupal perpuluhan bagipekali.

Selain menunjukkan perkaitan antaraproscdur dengan koosep, pelajar perIu dibimbinguntuk berketrampilan dalam menilai logikjawapan yang diperolchi. Misalnya, dalammendarab 6.75 x 4.35, pelajar harus dirangsanguntuk menganggar bahawa jawapannya adalahantara 24 (iaitu 6 X 4) dan 35 (7 X 5). Denganitu, pelajar yang boleh mendarab dua nomborbulat dengan tepat tidak akan mcnghadapimasalah dalam menenLukan sarna adajalYapannya adalah 2.93635, 29.3635, 293.625atau 2936.25. Melihat logik jawapan juga bo1ehmengurangkan penggunaan algo';tlTIa menyusuntitik perpull1han sl1paya sebaris dan mendarabdigit pada tempat perpllluhan yang sepadan.

Menyusur makna penambahan dan pendara­ban nombor perpuluhan menggunakan bahankonkrit mungkin mengurangkan penggunaanalgaritma menyusun titik perpuluhan supayasebaris dan mendarab digit pada tempatperpuluhan yang sepadan yang dipindahkansecara terus dari algoritma menambah nomborperpull1han. Sebelum langkah ini dijalankan,algoritma pelajar dalam menambah dan men­darab nombor bu]at perIll juga dikenal pasti.

Penekanan terhadap perkaitan an taranombar bulat, nombor pecahan dan nomborperpuluhan perIu dibuat oleh guru. Penguasaanperkaitan antara nombor memperkembangannumber sense dalam diri pelajar. Misalnya, dalamkes 0,5 x 148, lebih mudah untuk memperoleh

jalYapannya jika 0.5 diambil sebagai t. Dalam

kes 0.75 X 0.75 pula, 1ebih mudah untukmendarab ~ dcngan ;:e dan menukarkan hasilnyakepada bentllk perpuluhan. Dengan kala lain,pelajar perlu dibimbing untuk melihat sesuatusoalan dad perspektif yang berbeza danmempenimbangkan algoritma termudah untukmenyelesaikannya. Topik yang berkaitan dengannombar bulat, nombar pecahan dan nomborperpuluhan diajar secara berasingan. Maka,dalam topik nombor perpuluhan, pelajar akanhanya memfokus kcpada sesuatu nomborperpuluhan dalam bentuk yang diberi dan lidakakan mcmpcnimbangkan penukaran nombortersebut kepada bentuk lain dalam memperoleh

PCrlaoikaj. Soc. Sci. & Hum. Vol. 9 No.1 2001 31

Aida Suraya Hj. Md. Yun us

penyelesaian. Dengan itu, guru perlu menge­tengahkan pendekatan ini sebagai pengiraanyang lebih cekap.

Perkaitan antara hasil darab yang melibatkan'nombor sama' dalam bentuk nombor bulat,nombor pecahan dan nombor perpuluhan perludiperlihatkan kepada pelaJar. Kaitan antara situasipendaraban seperti 5 X 62, 5/10 x 62/100, 0.5 x0.62 dan 0.05 x 0.062 perltl dijelaskan supayapel"liar boleh menggunakan hasH darab yangdiperolch dalam satu situasi kepada situasi yanglain. Algoritma mengalihkan titik perpuluhankc kanan berdasarkan tempat titik perpuluhanbagi pekali yang di<0ar tanpa makna, mungkinmenyebabkan pelajar keliru sarna ada titikperpuluhan perlu dialihkan ke kiri atau ke kananselepas pendaraban dijalankan. Contohmenggunakan bah an konkrit seperti bahagian(l) di atas perlu diberi sebagai permulaanpengajaran algoritma ini.

Hasil kajian ini, satu algoritma bagimendarab nombor perpuluhan yang melibatkanlangkah-langkah berikut dicadangkan dalampeng~aran-pembelajaran pendaraban nomborperpuluhan.

Pertimbangkan sama ada nornbor yangdiberi boleh ditukar kepada bentuk pecahandan sarna ada penyelesaian menggunakanpecahan lcbih mudah dibuat. Jika sesuai ditukarkcpada pecahan, jalankan algoritrna mendarabdengan pecahan.a. Jika salah satu pekali adalah nombar bulat

dalarn kuasa 10, gunakan algoritma rneng­alihkan titik perpuluhan, Beri rasionalkenapa pengalihan titik perpuluhan bolehdijalankan sedemikian.

b. Jika tidak, ketepikan tandaan perpuluhandahulu dan darab nombor tersebut sepertimendarab dua nombor bulat. Kira jumlahbilangan tcmpat perpuluhan bagi kedua­dua pekali. Tunjukkan kenapa bilangantersebut menentukan bilangan tempatperpulllhan bagi hasil darab.Pertimbangkan logik jawapan.

RUJUKANAIDA SURAYA MD. YUNUS. 1996. Skim nombor

perpuluhan murid Tahun Lima sekolahrendah. Disertasi Ph.D, Universiti Malaya.

AiDA SURAYA MD. YUNUS, SHARIFAH MOHD NOR danH.\BSAH ISMAIL. 1992. Analisis kesilapan masalah­masalah berkaitan nombar perpuluhan danpecahan bagi pelajar-pelajar Tahun Lima

sekolah rendah. Jurnal Pendidik dan Pendidikan12: 15-32.

BELL, A., M. SWAN dan G. TAYLOR. 1981. Choice ofoperation in verbal problems with decimaln urnbel'S. Educational Studies in Mathematics12: 399-420.

BROWN, M. 1981. Place value and decimals. DalamChildren's Understanding ofMathematics, disuntingoleh K. M. Hart, pp. 48-65. London: JohnMurray.

CARPENTER, T.P" M.K. CORBITI, H. S. KEPNER, M.M.LINQUIST dan R. E. RH'S. 1981. Decimals: resultsand implications from the second NAEPmathematics assessment. Arithmetic Teacher28(8): 34-37.

COBB, P. 1983. Children's construction of thinkingstrategies. Ph.D Dissertation, University ofGeorgia, Athens.

COBB, P. 1988. The tension benveen theories oflearning and the theories of instruction inmathematics education. t:aucational Psychologists23: 87-104.

COBB, P. dan L.P. STEFFE. 1983. The constuctivistteacher as teacher and model builder. Journalfor Research in l\1athematics Education 14(2): 83­94.

CO:-lFREY, J. 1991. Learning to listen: A student'sunderstanding of powers of ten. Dalam RadicalConstructivism in j\J[athematics Education,disunting oleh E. Von Glasersfeld, pp, 111~

138, Netherlands: KIuwer Academic Publishers.

ERLWANGER, S. H. 1974. Case studies of childrens'conceptions of mathematics. Disenasi Ph.Dyang tidak diterbitkan, University of Illinois,Urbana·Champagne.

FISHBEIN, E., M. DERl, M.S. NELLa, dan M. S. MARINO.1985. The role of implicit models in solvingverbal problems in multiplication and division.Journal for Research in Mathematics Education 16:3-17.

GREER, B. 1992. Multiplication and division as modelsof situations. Dalam Handbook of Research onMathematics Teaching and Learning, disumingoleh D. Grouws, pp. 276-295. New York:Macmillan.

HART, K. M. 1981. Children's Understanding ojMathematics. London: John Murray.

HIEBERT J. dan D. WEARNE. 1986. Procedures overconcepts: The acquisition of decimal numberknowledge. Dalam Conceptual and Procedural

32 PertanikaJ. Soc. Sci. & Hum. Vol. 9 No.1 2001

Algoritma Pendaraban Nombor Perplllllhan dari Perspektif Pelajal' Tingkatan Sam

Knowledge: The Case of Mathematics, disuntingoleh J. Hiebert, pp. 199-223. NJ: LawrenceErlbaum Assoc.

.JOHNSO~, D. C. 1980. The research process. DalamResearch in Nfathematics Education, disunting olehRJ. Shumway, pp. 29-46. Reston, Va: NCTMInc.

KBIENTERIAN PE:"lDIDIKAN. 1998. Huraian SukatanPelajaran Matematik KU1ikulwu Bersepadu SekolahRendah. Kuala Lumpur: Dewan Bahasa danPustaka.

MIUS, R. 1984. Mathematics modelling using a casestudy approach. Dalam Proceedings of the FifthInlenzalional Congress on Mathematics Education,disunting oleh M. Cons. Adelaide, Australia.

MULLlGAN,j. T. dan M. C. MITClIEL\IOItf.. 1997, Youngchildren's intuitive models of multiaplicationand division, Journal for Research in MathematicsEducation 28(3): 309-330.

NESHER, P. 1988. Multiplicative school wordproblems: Theoretical approaches andempirical findings. Dalam Number Concepts andOpemtion-s in the J\1.iddle Grades, disunting otehJ. Hiebert dan M. Behr, pp. 19-40. Hillsdale,NJ: Erlbaum.

N£.SI-IER, p, dan I. PEUD. 1986. Shifts in reasoning.Educational Studies in Mathematics 17(1}: 67-80,

NnU\zIS NIK PA, 1987. Children's fractional schemes,Ph.D Disseflation, University of Georgia,Athens,

NIK AZIS NIK PA. 1989, Satu persepsi tentangdiagnosis dan pemulihan dalum pendidikanmatematik dan sains. Masalah Pendidikan 13:91-105.

PUTNA:.\l, R, T" M. L~\tPERT dan P. L PETERSON, 1990,Alternative perspectives on knowingmathematics in elementary schools. DalamReview of Research in Education 16, disuntingoleh C. B. Cazden, pp 57-150. Washington:American Educational Research Association.

REsr\lCK, L. B., P. NESIlER, F, LEONARD, M, lvIA.CONE,S. O~IA.~SO:"l dan I. PELED, 1989, Conceptualbasis of arithmetic errors: The case of decimalfmction. Journal for Research in MathematicsEducation 20(1): 8-27.

STEFFE, L.P. 1991. The constructivist teachingexperiment: Illustrations and implications.Dalam Radical Constructivism in MathematicsEducation, disuming oteh E. Von Glasersfeld,pp. 177-194, Netherlands: Kluwer AcademicPublishers,

STEFFE, L.P. dan P. COBB, 1988, Construction ofArithmetical Meanings and Strategies. New York:Springer Verlag,

STEFFE, L.P., E. VON GLASERSFELD,j. RICHARDS. dan P,COBB. 1983. Chiltbm's Counting 1)pes: Philosophy,Theory and Application. New York: Praeger.

STERNBERG, R. j. dan W. SALTER. 1982. Conceptionsof intelligence, Dalam Handbook of HumanIntelligence, disunting oleh R. J. Sternberg, pp.102·143. New York: Camblidge University Press.

VERG~AUD.G. 1988. Multiplicative structures, DalamNumber Concepts and operatiolls in th£ MiddleGrades, disunting oleh J. Hiebert dan M. Behr,pp. 141-162. Hillsdale, NJ: Erlbaul11.

VO~ GlASERSFllD, E. 1987. Learning as a constructiveactivity. Dalam Problnns of Representation in theTeaching and Leaming ofMathematics, disuntingoleh C.Janvier, pp. 3-17. Hilisdale,1'Ij: Erlbaum.

VON GLASERSFELD, E. 1988. Environment and com­munication, Kenas kerja yang dibemangkandi Sixth International Conference on MathematicsEducation, Budapest. Hungary.

(Diterima: 14 Mac 2000)

PerranikaJ. Soc. Sci. & Hum. Vol. 9 No.1 2001 33