Judul : Pendekatan Integral Riemann-Stieltjes pada Fungsi Fractional

Brownian Motion

Nama : Sherly Octavia Bouk

Pembimbing : 1. Luh Putu Ida Harini, S.Si., M.Sc.

2. Kartika Sari, S.Si., M.Sc.

ABSTRAK

Integral Riemann-Stieltjes merupakan bentuk umum dari Integral Riemann

dengan mengambil integratornya berupa fungsi kontinu dengan variasi terbatas.

Pada bidang finansial, data tingkat pengembalian saham (return) dalam kegiatan

investasi bersifat kontinu sehingga model Fractional Brownian Motion dapat

digunakan untuk menentukan nilai indeks saham, salah satunya dalam kegiatan

investasi bursa saham di Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG). Berdasarkan

hasil simulasi model, fungsi Fractional Brownian Motion dengan 7,0H

memberikan nilai lebih rendah dibandingkan dengan nilai simulasi menggunakan

fungsi gerak Brown biasa dimana 10 H . Apabila nilai parameter H diperkecil menjadi 5,0H , maka hasil simulasi Fractional Brownian Motion

akan menyerupai gerak Brown biasa.

Kata kunci : Integral Riemann-Stieltjes, Fractional Brownian Motion, nilai

indeks saham

vi

Title : Approach of Riemann-Stieltjes Integral to the Function of the

Fractional Brownian Motion

Name : Sherly Octavia Bouk

Supervisor : 1. Luh Putu Ida Harini, S.Si., M.Sc.

2. Kartika Sari, S.Si., M.Sc.

ABSTRACT

Riemann-Stieltjes Integral is a common form of the Riemann integral by taking

integrator the form of a continuous function with limited variation. In the

financial field, the data rate of return on stocks in investment activity is

continuous so that the Fractional Brownian Motion model can be used to

determine the value of the stock index, one of them in investment activity in the

IHSG. Based on the results of model simulations, the function of Fractional

Brownian Motion to 7,0H , provide a lower value than the value of the

simulation using Brownian motion function, where 10 H . If the parameter

value reduced to 5,0H , then the simulation results of Fractional Brownian

Motion function would resemble ordinary Brownian motion function.

Keywords : Riemann-Stieltjes Integral, Fractional Brownian Motion, the value of

stock index

vii

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena atas berkat dan

rahmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan penyusunan tugas akhir yang

berjudul “Pendekatan Integral Riemann-Stieltjes pada Fungsi Fractional

Brownian Motion”.

Penulis menyadari bahwa penyusunan tugas akhir ini tidak akan terwujud

tanpa adanya bantuan dari berbagai pihak, baik secara langsung maupun tidak

langsung. Oleh Karena itu melalui kesempatan ini penulis mengucapkan terima

kasih kepada semua pihak yang telah membantu, yaitu kepada :

1. Ibu Desak Putu Eka Nilakusmawati, S.Si, M.Si sebagai ketua Program Studi

Matematika FMIPA Universitas Udayana.

2. Ibu Luh Putu Ida Harini, S.Si., M.Sc sebagai pembimbing satu yang dengan

penuh dedikasi dan kesabaran telah banyak membantu dan membimbing

dalam penyusunan tugas akhir ini.

3. Ibu Kartika Sari, S.Si., M.Sc sebagai pembimbing dua yang dengan penuh

kesabaran memberikan bimbingan serta memeriksa dan menyempurnakan

penulisan tugas akhir ini.

4. Bapak I Wayan Sumarjaya, S.Si., M.Stats., Ibu Dra. Ni Luh Putu

Suciptawati, M.Si., dan Bapak Ir. Komang Dharmawan, M.Math., Ph.D,

selaku dosen penguji yang telah memberikan kritik dan saran yang

membangun bagi penulis.

viii

5. Segenap dosen dan pegawai di Program Studi Matematika FMIPA

Universitas Udayana yang telah meluangkan waktu dan bersedia membantu

penulis dalam penyusunan tugas akhir ini.

6. Kedua orang tuaku, adik-adikku serta keluarga besar di Belu-Malaka dan di

Dili-Timor Leste yang selalu memberikan doa, semangat dan motivasi bagi

penulis untuk menyelesaikan tugas akhir ini.

7. Sahabat-sahabat baikku : Elien, Harnas, Yandri, Reta, Pikha, Ida Geong,

Mas Adit, Afi, Oa, Ka David dan MV, para kerbau (Stefia, Mala, dan Jaime),

serta d’Mupe (Titien dan Nitta), yang telah memberikan dukungan moril

dalam penyelesaian tugas akhir ini.

8. Keluarga Mahasiswa Katolik (KMK) St. Albertus Agung Universitas

Udayana, keluarga besar mahasiswa Timor Leste in Udayana University, dan

keluarga besar SEKAR St. Maria Rosa Mistika khususnya angkatan XVI

yang selalu ada untuk memberikan motivasi dan semangat kepada penulis.

9. Semua pihak yang turut membantu penyelesaian tugas akhir ini, yang tidak

dapat penulis sebutkan satu persatu.

Disadari pula bahwa proposal tugas akhir ini masih mengandung banyak

kelemahan dan kekurangan. Oleh sebab itu, kritikan dan saran yang membangun

sangat penulis harapkan.

Bukit Jimbaran, November 2016

Penulis

ix

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL .............................................................................................. i

LEMBAR PERSEMBAHAN……………………………………………………...ii

LEMBAR PERNYATAAN…………………………………………………….....iii

LEMBAR PENGESAHAN………………………………………………………..iv

ABSTRAK .............................................................................................................. v

ABSTRACT .......................................................................................................... vi

KATA PENGANTAR ......................................................................................... vii

BIODATA ALUMNI ............................................................................................ ix

DAFTAR ISI ........................................................................................................... x

DAFTAR GAMBAR ........................................................................................... xii

BAB I PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang ................................................................................... 1

1.2 Rumusan Masalah .............................................................................. 3

1.3 Batasan Masalah ................................................................................ 3

1.4 Tujuan Penelitian ............................................................................... 4

1.5 Manfaat Penelitian ............................................................................. 4

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 5

2.1 Sifat Kelengkapan Bilangan Real ................................................ 5

2.2 Integral Riemann-Stieltjes ................................................................ 8

2.3 Fungsi p Variasi Terbatas ........................................................... 26

2.4 Brownian Motion ............................................................................ 27

2.5 Fractional Brownian Motion (fBm) ................................................ 28

x

2.6 Lemma ITô ..................................................................................... 29

2.7 Pasar Modal Indonesia.................................................................... 32

2.8 Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG) ........................................ 33

BAB III METODE PENELITIAN 34

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN 35

4.1 Kajian Fungsi Fractional Brownian Motion .................................. 35

4.2 Aplikasi Fractional Brownian Motion pada Simulasi Harga Saham

IHSG ..................................................................................................... 43

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN 46

5.1 Kesimpulan ..................................................................................... 46

5.2 Saran ............................................................................................... 47

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 48

Lampiran 1 Data Close Saham IHSG ................................................................... 49

Lampiran 2 Syntax Simulasi Brownian Motion .................................................... 65

Lampiran 3 Syntax Simulasi Fractional Brownian Motion .................................. 66

xii

DAFTAR GAMBAR

Gambar Halaman

2.1 Jumlahan Riemann sebagai Suatu Area ................................................... 10

4.1 Nilai Historis IHSG dan Nilai Simulasi Menggunakan Gerak Brown

biasa dengan H=0.5 .................................................................................. 44

4.2 Nilai Historis IHSG dan Nilai Simulasi Menggunakan Gerak Brown

Fraksional dengan H=0.7 ......................................................................... 44

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Teori integral merupakan salah satu konsep penting dalam matematika

yang digunakan dalam analisis matematika untuk menyelesaikan berbagai macam

persoalan yang berkaitan dengan kalkulus misalnya mengenai keterbatasan,

kekontinuan, dan pendiferensialan. Perkembangan teori integral telah

disumbangkan oleh beberapa matematikawan, di antaranya Archimedes (287-212

SM), Isaac Newton (1642-1727), Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716),

Augustin-Luois Cauchy (1789-1857), dan George Friedrich Bernhard Riemann

(1826-1866). Kemudian teori integral ini pun dikembangkan secara modern oleh

Thomas Joannes Stieltjes (1856-1894) (Burk, 2007).

Thomas Joannes Stieltjes, seorang matematikawan asal Belanda, adalah

penyusun sebuah teori integral baru yang selanjutnya dikenal sebagai integral

Riemann-Stieltjes. Integral Riemann-Stieltjes merupakan bentuk umum dari

integral Riemann dengan integratornya berupa fungsi bervariasi terbatas, sehingga

sifat-sifat integral Riemann-Stieltjes akan berlaku juga untuk integral Riemann,

tetapi tidak berlaku sebaliknya.

Dalam analisis matematika terkait dengan teori integral, salah satu topik

yang paling banyak dipelajari adalah fungsi bervariasi terbatas yang kemudian

dikembangkan lebih luas menjadi fungsi p variasi terbatas dengan 0p . Hal

ini mengakibatkan setiap fungsi bervariasi terbatas merupakan fungsi p variasi

terbatas tetapi tidak setiap fungsi p variasi terbatas merupakan fungsi bervariasi

terbatas. Suatu fungsi dikatakan bervariasi terbatas jika dan hanya jika fungsi

tersebut dapat dinyatakan sebagai selisih dari dua fungsi naik. Diketahui bahwa

setiap fungsi naik memiliki limit kiri dan limit kanan pada setiap titiknya. Oleh

karena itu setiap fungsi bervariasi terbatas memiliki limit kiri dan limit kanan

serta memiliki paling banyak titik diskontinu yang terhitung (countable)

(Azmoodeh, 2010).

Seiring dengan perkembangan ilmu pengetahuan, aplikasi teori integral

Riemann-Stieltjes ini dapat ditemukan pada beberapa bidang, antara lain di bidang

fisika, bidang asuransi, dan bidang demografi. Adapun aplikasi integral Riemann-

Stieltjes pada bidang ilmu statistika, antara lain digunakan untuk mengestimasi

parameter peubah acak kontinu (Cahyandari, 2007).

Pada kasus fungsi kontinu, digunakan fungsi Fractional Brownian Motion

yang berbentuk suatu fungsi tertentu dan digunakan untuk mendekati fenomena

pada kurva tidak mulus. Fungsi Fractional Brownian Motion merupakan salah

satu bentuk fungsi stokastik dan juga merupakan perumuman dari fungsi

Brownian Motion dengan nilai parameter Hurst H . Parameter Hurst 1,0H ,

dinamakan berdasarkan nama hidrologiwan Inggris H. E. Hurst, yang melakukan

studi statistik tahunan tentang aliran air dari sungai Nil (Skeen, 1991).

Salah satu penelitian yang digunakan sebagai acuan dalam penelitian ini

adalah penelitian Cahyandari (2012) yang menjelaskan tentang aplikasi integral

Riemann-Stieltjes pada bidang ilmu statistika, yaitu pada perhitungan nilai

ekspektasi (rataan) suatu peubah acak dan pendekatan dalam menganalisis fungsi

likelihood Poisson nonhomogen. Hasil dari penelitian tersebut adalah bahwa

perhitungan integral Riemann-Stieltjes dapat digunakan untuk menghitung

ekspektasi peubah acak diskret dan kontinu.

Menurut Brigo et al (2009) pada bidang finansial, data tingkat

pengembalian saham (return) dalam kegiatan investasi atau penanaman modal

bersifat berdistribusi normal (kontinu) sehingga model Fractional Brownian

Motion dapat digunakan untuk menentukan nilai indeks saham. Di Indonesia

sebagian besar perusahaan melakukan investasi pada bursa saham, salah satunya

adalah investasi bursa saham di Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG).

Berdasarkan uraian di atas, penulis akan mengkaji tentang “Pendekatan

Integral Riemann-Stieltjes pada Fungsi Fractional Brownian Motion”.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang tersebut, maka dapat dirumuskan

permasalahan sebagai berikut:

1. Bagaimana hasil aplikasi pendekatan integral Riemann-Stieltjes pada

fungsi Fractional Brownian Motion pada penentuan nilai indeks saham

IHSG?

2. Bagaimana mensimulasi nilai indeks saham IHSG menggunakan fungsi

Fractional Brownian Motion?

1.3 Batasan Masalah

Adapun batasan masalah dalam penelitian ini adalah:

1. Proses yang diambil didefinisikan pada himpunan bilangan real .

2. Fungsi p -variasi terbatas digunakan untuk menguji variasi terbatas fungsi

Fractional Brownian Motion yang nantinya akan digunakan sebagai

integrator di dalam penyelesaian persamaan integral Riemann-Stieljes.

3. Pada penelitian ini integral Riemann-Stieltjes digunakan untuk

menganalisis peubah acak kontinu fungsi Fractional Brownian Motion.

4. Data yang digunakan adalah data sekunder yaitu data penutupan dari

saham IHSG periode 2 Januari 2015 sampai 31 Agustus 2016.

1.4 Tujuan Penelitian

Berdasarkan rumusan masalah di atas, maka tujuan dari penelitian ini

adalah:

1. mengetahui hasil aplikasi pendekatan integral Riemann-Stieltjes pada

fungsi Fractional Brownian Motion pada penentuan nilai indeks saham

IHSG ;

2. mengetahui nilai indeks saham IHSG pada simulasi dengan fungsi

Fractional Brownian Motion.

1.5 Manfaat Penelitian

Hasil penelitian ini diharapkan dapat memberikan informasi dan

menambah ilmu pengetahuan mengenai integral Riemann-Stieltjes dalam

menganalisis peubah acak kontinu fungsi Fractional Brownian Motion.