a. pengenalan problem solving (penyelesaian … · 1. memahami masalah (understanding the problem)...

1

A. PENGENALAN PROBLEM SOLVING (PENYELESAIAN MASALAH)

George Polya disebut sebagai bapak problem solving modern. Beliau lahir di

Hungaria tahun 1887. Beliau menerima gelar Ph.D. nya di Universitas Budapest. Pada tahun

1940 beliau datang ke Universitas Brown dan kemudian bergabung dengan Fakultas di

Universitas Stanford tahun 1942. Dalam studinya, beliau menjadi tertarik pada proses

penemuan, yang membimbingnya menemukan empat langkah proses yang terkenal dalam

menyelesaikan masalah, yaitu:

1. Memahami masalah (Understanding the problem)

2. Memikirkan suatu rencana (Devise a plan)

3. Melaksanakan rencana (Carry out the plan)

4. Memeriksa kembali (Look Back)

Polya telah menulis lebih dari 250 makalah matematika dan tiga buku yang

mengenalkan problem solving. Buku paling terkenalnya adalah How to solve it, yang telah

diterjemahkan dalam 15 bahasa untuk memperkenalkan pendekatan empat langkah beserta

strateginya, yang mana sangat membantu dalam memecahkan masalah. Karya penting lain

dari Polya adalah Mathematical Discovery, volum I dan 2, dan Mathematics and Plausible

Reasoning, volum I dan 2.

Beliau telah meninggal pada tahun 1985, meninggalkan matematika dengan warisan

yang penting dalam mengajarkan problem solving. 10 himbauan beliau untuk para guru

adalah sebagai berikut:

1. Tertariklah pada bidangmu

2. Ketahuilah bidangmu

3. Cobalah baca wajah siswamu, cobalah mengetahui harapan dan kesulitan siswa,

tempatkan dirimu pada tempat mereka.

4. Sadarilah bahwa cara paling baik untuk belajar sesuatu adalah menemukannya

sendiri.

5. Berikan siswamu bukan hanya informasi, tetapi juga mengetahui bagaimana, sikap

mental, kebiasaan bekerja dengan metode.

6. Ajaklah mereka belajar menebak.

7. Ajaklah mereka belajar membuktikan.

8. Perhatikanlah bentuk masalah dan menguasainya yang berguna dalam menyelesaikan

masalah yang datang, cobalah tidak menutup pola umum di belakang situasi nyata

yang muncul.

2

9. Pada awalnya jangan memberikan jawabanmu secara utuh, ajak siswa menebak

sebelum kamu mengatakannya, ajak siswa menemukan jawaban sendiri sebanyak

mungkin.

10. Saran: jangan memaksa keterangan kepada mereka.

B. PENDAHULUAN

Suatu saat pada pertemuan informal, seorang ahli sosial bertanya kepada seorang

profesor matematika, “Apa tujuan utama dari pembelajaran matematika?” Jawabannya

adalah, “Problem Solving.” Sebaliknya matematikawan tersebut bertanya, “Apa tujuan utama

dari pembelajaran ilmu sosial?” Sekali lagi jawabannya adalah “Problem Solving”. Semua

peneliti sukses, ilmuwan, ahli sosial, pengacara, akuntan, dokter, manajer bisnis, dan lain-lain

adalah problem solver yang baik walaupun masalah orang-orang tersebut berbeda. Karena

pentingnya problem solving maka NCTM (National Council of Teacher of Mathematics)

merekomendasikan di agenda 1980nya bahwa “problem solving menjadi fokus matematika

sekolah pada tahun 1980-an”. Standard Kurikulum dan Evaluasi untuk Matematika Sekolah

1989 milik NCTM meningkatkan perhatian kepada pembelajaran problem solving dalam K-8

Matematika. Daerah penekanan meliputi masalah cerita, aplikasi, pola dan hubungan,

masalah open-ended, dan situasi masalah yang dinyatakan secara bahasa, secara numerik,

secara grafik, secara geometri, atau secara simbolik. Prinsip dan Standard untuk Matematika

Sekolah 2000 milik NCTM mengidentifikasi problem solving sebagai salah satu proses

dengan semua matematika akan dipelajari.

BAB ini memperkenalkan suatu proses problem solving sekalian enam strategi yang

akan membantu kita dalam memecahkan masalah.

C. PROSES DAN STRATEGI PENYELESAIAN MASALAH

1. Empat Langkah Proses Penyelesaian Masalah Polya

“Exercise” dan “problem” merupakan dua istilah yang berbeda. Untuk

menyelesaikan “exercise”, seseorang menerapkan suatu prosedur rutin untuk mendapat

suatu jawaban. Untuk menyelesaikan “problem”, seseorang harus berhenti sejenak,

mengulangi lagi, dan mungkin menggunakan beberapa langkah biasa tidak akan pernah

mendapat suatu penyelesaian. Bagi seorang anak mencari 3+2 mungkin suatu problem.

Bagi seorang anak di jenjang dasar, pertanyaan “Bagaimana kamu membagi 96 pensil

secara sama ke 16 anak?” menjadi suatu problem, tetapi untuk kita ini merupakan latihan,

“dapatkan 96:16”. Kedua contoh di atas menggambarkan contoh bagaimana perbedaan

3

antara exercise dan problem dapat bermacam-macam karena hal itu tergantung pada cara

berpikir dari orang yang menyelesaikannya. Mengerjakan exercise merupakan bantuan

yang sangat berharga dalam belajar matematika. Exercise membantu kita belajar konsep,

sifat-sifat, prosedur, dan sebagainya, yang mana kemudian kita dapat menerapkannya

ketika menyelesaikan masalah. Seorang matematikawan terkenal, George Polya,

mempersembahkan banyak hal yang pelajarinya untuk membantu siswa menjadi problem

solver yang lebih baik. Kontribusi besar Polya adalah apa yang dikenal dengan “4

langkah proses Polya” untuk menyelesaikan masalah.

Langkah I Memahami Masalah (Understand the Problem)

1. Apakah kamu memahami semua kata-kata?

2. Dapatkah kamu menceritakan problem tersebut dengan bahasamu sendiri?

3. Apakah kamu tahu apa yang diketahui?

4. Apakah kamu tahu apa tujuannya (yang ditanyakan)?

5. Apakah informasi telah cukup?

6. Apakah ada informasi tambahan?

7. Apakah masalah ini mirip dengan masalah lain yang pernah kamu

selesaikan?

Langkah II Memikirkan Suatu Rencana (Devise A Plan)

Dapatkah salah satu dari strategi-strategi berikut ini digunakan?

Strategi didefinisikan sebagai sesuatu cara yang cerdik menuju tujuan akhir.

1. Guess and test (Tebak dan uji)

2. Draw a picture (Membuat gambar)

3. Use a variable (Menggunakan suatu variabel)

4. Look for a pattern (Mencari pola)

5. Make a list (Membuat daftar)

6. Solve a simpler problem (Menyelesaikan masalah yang lebih sederhana)

7. Draw a diagram (Membuat diagram)

8. Use direct reasoning (Menggunakan penalaran langsung)

9. Use indirect reasoning (Menggunakan penalaran tidak langsung)

10. Use properties of number (Menggunakan sifat-sifat bilangan)

11. Solve an equivalent number (Menyelesaikan masalah yang sama)

12. Word backward (Bekerja mundur)

13. Use cases (Menggunakan kasus)

4

14. Solve an equation (Menyelesaikan persamaan)

15. Look for a formula (Mencari rumus)

16. Do a simulation (Melakukan peragaan)

17. Use a model (Menggunakan model)

18. Use dimensional analysis (Menggunakan analisis dimensional)

19. Identify subgoals (Mengidentifikasi sub tujuan)

20. Use coordinates (Menggunakan koordinat)

21. Use symmetry (Menggunakan simetri)

Langkah III Melaksanakan Rencana (Carry Out the Plan)

Penerapan strategi yang telah kita pilih sampai masalah terselesaikan atau

sampai mendapat pencerahan.

Berikan sendiri alokasi waktu untuk menyelesaikan masalah. Jika tidak berhasil,

carilah petunjuk-petunjuk lain atau letakkan masalah untuk sesaat. (Kita

mungkin mempunyai ide ketika kita memiliki sedikit harapan).

Jangan takut untuk memulai lagi. Seringkali suatu awal yang segar dan strategi

baru akan menghantarkan ke keberhasilan.

Langkah IV Memeriksa Kembali (Look Back)

Apakah solusi kita telah benar? Apakah jawaban kita memenuhi pernyataan

masalah?

Dapatkah kita menemukan suatu solusi yang lebih mudah?

Dapatkah kita menjabarkan solusi ke suatu bentuk yang lebih umum?

Suatu masalah biasanya dinyatakan secara kata-kata, lisan maupun tulisan. Kemudian,

untuk menyelesaikan masalah seseorang menterjemahkan kata-kata tersebut menggunakan

simbol matematika kemudian menyelesaikan model matematika tersebut dan

menginterpretasikan jawaban. Proses tersebut dapat dirangkum dalam gambar 1.1

Mengecek

Menginterpretasikan

Menyelesaikan

menterjemahkan Masalah awal Model matematika masalah

Solusi dari model matematika Jawaban

masalah awal

5

Langkah awal untuk menjadi problem solver yang baik adalah belajar memanfaatkan 4

langkah Polya dan diagram dalam gambar 1.1. Khususnya, langkah memikirkan rencana

adalah sangat penting. Pada pembahasan kali ini, kita akan belajar strategi yang terdaftar

pada langkah “memikirkan suatu rencana”, yang membantu kita memutuskan bagaimana

proses menyelesaikan masalah. Pemilihan suatu strategi yang sesuai diperlukan sifat

yang kritis. Jika perlu daftar petunjuk yang dapat membantu kita memutuskan kapan

memilih suatu strategi yang cocok atau kombinasi strategi-strategi tersebut. Dengan

pengalaman akan dapat mengembangkan suatu perasaan kapan menggunakan suatu

strategi dibanding strategi lainnya dengan mengenal petunjuk-petunjuk tertentu, mungkin

dengan tanpa sadar. Dan juga, kita akan tahu bahwa beberapa masalah mungkin

diselesaikan dalam banyak cara menggunakan strategi yang berbeda.

2. Strategi-Strategi Penyelesaian Masalah

Strategi yang dibahas kali ini adalah enam strategi awal yang terdaftar pada

langkah memikirkan suatu rencana.

a. STRATEGI 1: Tebak dan Uji

Contoh Masalah:

1. Tempatkan angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, 6 dalam lingkaran-lingkaran pada gambar 1.2

sehingga jumlah tiga bilangan pada masing-masing sisi segitiga adalag 12.

Dari namanya menyarankan menggunakan strategi menebak dan mengetes,

kita menebak suatu solusi dan mengetes apakah kebenarannya. Jika kita tidak

benar, kita koreksi tebakan kita dan mengetes kembali. Proses ini diulangi hingga

tercapai suatu penyelesaian.

Langkah I Memahami masalah

Masing-masing bilangan harus digunakan satu kali ketika disusun dalam segitiga.

Jumlah tiga bilangan pada masing-masing sisi harus 12.

Pendekatan pertama: Tebak dan Uji Secara Acak

Langkah II Memikirkan Suatu Rencana

Potonglah 6 potong kertas dan tandai nomor 1 hingga 6 dan kemudian

kombinasikan hingga ditemukan suatu susunan yang benar.

Langkah III Melaksanakan Rencana

6

Susunlah potongan-potongan kertas dalam bentuk suatu segitiga sama sisi dan cek

jumlah bilangan di setiap sisi. Susunlah hingga ketiga jumlah bilangan di setiap

sisi diperoleh 12.

Gambar 1.2

Pendekatan kedua: Tebak dan Uji Secara Sistematis

Langkah II Memikirkan suatu rencana

Dari pada secara acak dalam memindah bilangan, mulailah dengan menempatkan

nomor paling kecil yaitu 1, 2, 3 pada pojok-pojok. Jika itu tidak berhasil, coba

tingkatkan bilangan menjadi 1, 2, 4, dan seterusnya.

Langkah III Melaksanakan rencana

Dengan 1, 2, 3 di pojok, jumlah sisi adalah terlalu kecil; begitu juga dengan 1, 2,

4. Untuk 1, 2, 5 dan 1, 2, 6. Jumlah sisi-sisi masih terlalu kecil. Selanjutnya coba

2, 3, 4. Kemudian 2, 3, 5, dan seterusnya hingga diperoleh penyelesaiannya.

Seseorang juga dapat memulai dengan 4, 5, 6 di pojok, kemudian coba 3, 4, 5, dan

seterusnya.

Pendekatan ketiga: Tebak dan Uji Inferensial


Mulai dengan mengasumsikan bahwa 1 harus di suatu pojok dan mengamati

akibatnya.


Jika 1 ditempatkan di suatu pojok, kita harus mendapatkan dua pasang dari sisa 5

bilangan yang mana setiap pasang jumlahnya adalah 11 (gambar 1.3).

Gambar 1.3

7

Tetapi, 2, 3, 4, 5, dan 6, hanya 6+5=11. Sehingga, kita menyimpulkan 1 tidak

dapat bertempat di pojok. Jika dua bertempat di pojok, harus ada dua pasang

bilangan yang tersisa dengan jumlah 10 (gambar 1.4).

Gambar 1.4

Tetapi hanya 6+4=10. Sehingga, dua tidak dapat di pojok. Akhirnya, misalkan 3

bertempat di pojok. Maka kita harus memenuhi gambar 1.5.

Gambar 1.5

Tetapi, hanya 5+4=9 dari sisa bilangan-bilangan tersebut. Sehingga dicapai solusi,

4, 5, dan 6 harus di pojok (gambar 1.6). Dengan menempatkan 1 antara 5 dan 6, 2

antara 4 dan 6, tiga antara 4 dan 5, kita mendapatkan solusinya.

Langkah IV Memeriksa Kembali

Catatlah bagaimana kamu menyelesaikan masalah ini dalam tiga cara yang

berbeda menggunakan strategi tebak dan uji. Tebak dan uji secara acak sering

digunakan untuk permulaan rencana, tetapi hal ini mudah untuk menghilangkan

jejak berbagai percobaan. Tebak dan uji yang sistematis lebih baik karena kita

perlu mengembangkan skema untuk memastikan telah memeriksa semua

kemungkinan. Secara umum, tebak dan uji inferensial adalah cara unggul dari

kedua cara sebelumnya karena biasanya menghemat waktu dan menyediakan

informasi lebih banyak untuk menemukan solusi yang mungkin.

Masalah Tambahan Di mana Strategi Tebak dan Uji Berguna

Masalah:

Pada cryptarithm yaitu suatu kumpulan kata-kata dimana huruf-huruf mewakili

bilangan-bilangan, sun dan fun mewakili dua bilangan, dan swim adalah jumlah 4

angka mereka. Gunakan semua angka 0, 1, 2, 3, 6, 7 dan 9 di tempat huruf-huruf di

8

mana tidak ada huruf yang mewakili dua angka berbeda, tentukan nilai masing-

masing huruf.

Sun

+fun

Swim


Masing-masing huruf di sun, fun, dan swim harus diganti dengan bilangan-

bilangan 0, 1, 2, 3, 6, 7, dan 9. Sehingga menghasilkan jumlah yang benar setelah

masing-masing huruf diganti dengan angka yang sesuai. Ketika huruf n diganti

dengan salah satu angka, maka n+n harus menjadi m atau 10 + m, di mana 1 pada

10 menempati puluhan. Karena 1 + 1 = 2, 3 + 3 = 6, dan 6 + 6 = 12, ada tiga

kemungkinan untuk n , yaitu, 1, 3, atau 6. Sekarang kita dapat mencoba berbagai

kombinasi untuk mencapai jumlah.


Gunakan strategi tebak dan uji inferensial. Ada tiga pilihan untuk n . Amati bahwa

sun dan fun adalah bilangan tiga angka dan swim adalah bilangan empat angka.

Jadi kita harus membawa puluhan ketika kita menambahkan s dan f. Sehingga,

nilai dari s dalam swim adalah 1. Hal ini membatasi pilihan untuk n adalah 3 atau

6.


Karena s = 1 dan s + f mewakili suatu bilangan dua angka, f harus 9. Jadi ada dua

kemungkinan:

a) 1 u 3 b) 1 u 6

+ 9 u 3 + 9 u 6

1 w i 6 1 w i 2

Pada (a), jika u = 0, 2, atau 7, tidak ada nilai yang mungkin untuk i di antara

angka-angka yang tersisa. Pada (b), jika u = 3, maka u + u ditambah hasil dari 6 +

6 adalah i = 7. Hal ini meninggalkan w = 0 untuk suatu solusi.

Langkah IV Memeriksa kembali

Alasan yang digunakan di sini menunjukkan bahwa ada satu dan hanya satu solusi

untuk masalah ini. Ketika menyelesaikan masalah pada tipe ini, seseorang dapat

secara acak mengganti angka-angka hingga suatu solusi ditemukan. Strategi tebak

dan uji inferensial menyederhanakan proses solusi dengan mencari aspek yang

9

unik dari masalah. Di sini, langkah untuk mengawali adalah n + n, u + u, dan

fakta bahwa s + f menghasilkan suatu bilangan dua angka.

Petunjuk Penggunaan Strategi Tebak dan Uji

Strategi tebak dan uji kemungkinan akan cocok ketika:

Ada pilihan jawaban yang terbatas yang mungkin untuk dicoba.

Kita ingin lebih baik memahami masalah.

Kita mempunyai suatu ide yang bagus untuk menjawab.

Kita dapat secara sistematis mencoba jawaban yang mungkin.

Pilihan-pilihanmu telah dipersempit dengan menggunakan strategi yang lain.

Tidak ada strategi lain yang nyata untuk dicoba.

b. STRATEGI 2: Membuat Suatu Gambar

Seringkali suatu masalah melibatkan situasi fisik. Pada situasi ini, membuat

suatu gambar dapat membantu kita memahami lebih baik masalah sehingga kita dapat

merumuskan suatu rencana untuk menyelesaikan masalah. Seperti kita menyelesaikan

masalah “pizza” berikut ini.

Contoh Masalah

Dapatkah kamu memotong pizza ke dalam 11 potongan dengan empat potongan

lurus?


Apakah potongan-potongan harus dengan bentuk dan ukuran yang sama?

Langkah II Memikirkan Suatu Rencana

Suatu permulaan yang nyata adalah membuat suatu gambar yang menunjukkan

bagaimana suatu pizza biasanya dipotong dan banyaknya potongan. Jika kita

tidak memperoleh 11 potong, kita harus mencoba suatu cara lagi (gambar 1.8).

Sayangnya, kita hanya memperoleh 8 potong dengan cara ini.

Gambar 1.8

Langkah III Carry Out the Plan

10

Lihat gambar 1.9


Apakah kamu memikirkan memotong menjadi potongan yang sama saat

memulai? Hal itu normal. Pada konteks pemotongan suatu pizza, yang menjadi

fokus biasanya memotong menjadi bagian-bagian yang sama dibandingkan

jumlah potongan. Apakah menjadi masalah jika pizza lingkaran atau persegi?

Berapa banyak potongan yang dapat kamu peroleh dengan 5 potongan lurus? n

potongan lurus?

Masalah Tambahan Di mana Strategi Membuat Suatu Gambar Berguna.

1. Suatu tetromino adalah suatu bentuk yang dibuat dari empat persegi di mana persegi-

persegi harus dihubungkan sepanjang seluruh sisi (gambar 1.10). Berapa banyak yang

mungkin terbentuk?

Bukan suatu tetromino

Suatu tetromino

Langkah I Memahami Masalah

Solusi dari masalah ini lebih mudah jika membuat kumpulan gambar dari susunan

empat persegi dengan ukuran sama yang mungkin.

Langkah II Membuat Suatu Rencana

Mari mulai dengan susunan yang paling panjang dan paling pendek dan kerjakan

ke arah yang paling mudah.

Langkah III Melaksanakan Rencana

Empat dalam satu baris

11

Tiga persegi dalam satu baris, satunya lagi di atas atau

bawah dari persegi akhir

Tiga persegi dalam satu baris, dengan yang satu persegi

di atas atau bawah dari persegi yang tengah.

Dua persegi pada satu baris, satu persegi yang lain di

atas dan satu lagi di bawah

Dua persegi pada satu baris, dua yang lain di

atasnya.


Banyak masalah yang mirip dapat diungkapkan menggunakan lebih sedikit atau

lebih banyak persegi. Masalah menjadi lebih kompleks sesuai dengan banyaknya

persegi yang meningkat.

Petunjuk Penggunaan Strategi Membuat Suatu Gambar

Strategi membuat suatu gambar mungkin cocok saat:

1. Suatu situasi fisik dilibatkan

2. Gambar geometri atau ukurannya dilibatkan

3. Kita ingin pemahaman yang lebih baik dari masalah

4. Suatu penyajian visual dari suatu masalah adalah mungkin

c. STRATEGI 3 : Menggunakan Suatu Variabel

Amati bagaimana huruf-huruf digunakan untuk menggantikan bilangan-

bilangan “sun + fun = swim” pada pembahasan sebelumnya. Huruf-huruf yang

digunakan untuk menggantikan bilangan-blangan itu disebut variabel atau tidak

12

diketahui. Strategi Menggunakan suatu Variabel, merupakan strategi yang sering

digunakan dalam menyelesaikan masalah, yaitu digunakan pada aljabar secara luas

dan matematika yang melibatkan aljabar.

Contoh Masalah

Bilangan apa yang dapat membagi rata jumlah setiap tiga bilangan cacah berurutan?

Dengan mencoba beberapa contoh, kamu dapat menduga bahwa 3 adalah bilangan

tersebut. Oleh karena itu, perlu menggunakan suatu variabel untuk menghitung semua

kemungkinan dari contoh tiga bilangan cacah berurutan.

Langkah 1 Memahami Masalah

Bilangan cacah adalah 0, 1, 2, 3, ..., sehingga bilangan cacah berurutan

dibedakan oleh 1. Sebagai contoh dari tiga bilangan cacah berurutan adalah 3, 4,

dan 5. Jumlah dari tiga bilangan cacah berurutan tersebut mempunyai faktor 3

jika 3 dikalikan dengan bilangan cacah yang lain menghasilkan jumlahnya.

Contoh pada 3, 4, dan 5, jumlahnya adalah 12 dan 3 x 4 = 12. Jadi 3 + 4 + 5

mempunyai faktor 3.

Langkah 2 Memikirkan suatu Rencana

Karena kita dapat menggunakan suatu variabel, katakanlah untuk mengganti

setiap bilangan cacah, kita dapat mengganti setiap tiga bilangan cacah berurutan

dengan : , , . Sekarang dapat dilihat apakah jumlahnya mempunyai

faktor 3.

Langkah 3 Melaksanakan Rencana

Jumlah dari , , dan adalah

+ ( ) + ( ) = =

Karena + ( ) + ( ) adalah tiga kali ( ). Oleh karena itu kita dapat

menunjukkan bahwa jumlah dari setiap tiga bilangan cacah berurutan

mempunyai faktor 3. Pada kasus = 0 menunjukkan bahwa 3 adalah bilangan

yang terbesar.

Langkah 4 Memeriksa Kembali

Apakah juga benar bahwa jumlah dari setiap lima bilangan cacah berurutan

mempunyai faktor 5? Atau lebih umum, akankah jumlah dari setiap bilangan

cacah berurutan mempunyai faktor ? Dapatkah kamu memikirkan semua

perumuman yang lain?

Masalah Tambahan di mana Strategi Menggunakan Suatu Variabel Berguna

13

1. Carilah jumlah dari 10, 100, dan 500 bilangan asli pertama.


Karena bilanagan asli adalah bilangan 1, 2, 3, 4, ...., maka jumlah dari 10

bilangan asli pertama adalah 1 + 2 + 3 + ... + 8 + 9 + 10. Dengan cara yang

sama, jumlah dari 100 bilangan asli pertama adalah 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 +

100 dan jumlah dari 500 bilangan asli pertama adalah 1 + 2 + 3 + ... + 498 + 499

+ 500.


Untuk menyelesaikan tiga masalah yang berbeda tersebut, strategi

Menggunakan suatu Variabel dapat digunakan untuk mencari suatu metode

umum menghitung jumlah dari tiga situasi. Karena itu jumlah dari bilangan

asli pertama dapat ditunjukkan dengan

. Jumlah dari bilangan tersebut dapat kita cari dengan mengingat bahwa

bilangan pertama 1 ditambahkan pada bilangan terakhin adalah hal

yang sama pada dan . Jumlah pada setiap bagian dapat

dilakukan dengan menjumlah dua kali pada setiap bilangan.


Karena setiap bilangan telah dijumlahkan dua kali, jumlah yang diinginkan

didapat dengan membagi dengan 2, menghasilkan

Bilangan-bilangan 10, 100, dan 500 sekarang dapat mengganti variabel untuk

mencari solusi yang diinginkan :


14

Karena metode untuk menyelesaikan masalah ini sangat unik, dapat digunakan

untuk menyelesaikan permasalahan yang mirip, sepeti :

i.

ii.

2. Tunjukkan bahwa jumlah dari lima bilangan cacah ganjil berurutan mempunyai faktor

3. Ukuran sudut terbesar pada suatu segitiga adalah sembilan kali ukuran sudut

terkecilnya. Ukuran pada sudut ketiga adalah selisih dari ukuran sudut terbesar dan

ukuran sudut terkecil. Berapakah ukuran sudut-sudutnya?

Petunjuk Penggunaan Strategi Menggunakan Suatu Variabel

Strategi Menggunakan suatu Variabel kemungkinan akan cocok ketika :

1. Suatu ungkapan seperti “untuk setiap bilangan” yang menunjukkan atau menyatakan

secara tak langsung.

2. Suatu masalah yang berkesan suatu persamaan.

3. Suatu bukti atau solusi umum dibutuhkan.

4. Suatu masalah yang memuat ungkapan seperti bilangan cacah “berurutan”, ”genap”,

atau “ganjil”.

5. Ada suatu bilangan besar pada kasus

6. Ada banyak hal tidak diketahui yang berhubungan dengan banyak hal diketahui.

7. Ada bilangan tak terbatas pada bilangan.

8. Kita mencoba mengembangkan suatu rumus umum.

Menggunakan Aljabar untuk Menyelesaikan Masalah

Secara efektif memanfaatkan Strategi Menggunakan suatu Variabel, siswa

butuh pengertian tentang apa itu variabel dan bagaimana menulis dan menyederhanakan

persamaan yang memuat variabel. Bagian strategi ini berbicara tentang pokok persoalan

pengenalan dasar aljabar. Hal ini akan meluas pada penyelesaian persamaan dan

pertidaksamaan di Bab 9 setelah sistem bilangan real dikembangkan.

Secara umum cara memperkenalkan menggunakan suatu variabel adalah

menentukan rumus umum suatu pola bilangan seperti : . Satu tantangan

untuk siswa adalah melihat aturan bahwa setiap bilangan dapat dibuat pernyataan.

Sebagai contoh, pola 5, 8, 11, ... serupa dengan bagian sebelumnya. Tetapi hal itu lebih

15

sulit melihat masing-masing pola 2 lebih dari kelipatan 3 dan dapat dinyatakan secara

umum dengan .

d. STRATEGI 4: Mencari suatu Pola

Ketika menggunakan strategi Mencari suatu Pola, selalu mendaftar beberapa hal

dari suatu masalah dan kemudian melihat apakah suatu pola yang muncul menunjukkan

suatu solusi dari seluruh masalah. Sebagai contoh, perhatikan jumlah yang dihasilkan

dari penjumlahan bilangan ganjil berurutan yang dimulai dengan 1: 1, 1 + 3 = 4, (= 2 x

2), 1 + 3 + 5 = 9 (= 3 x 3), 1 + 3 + 5 + 7 = 16 (= 4 x 4), 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 (= 5 x 5),

dan seterusnya. Dasar pada pola umum dari lima contoh itu, harapannya bahwa setiap

jumlah akan selalu berupa kuadrat sempurna.

Masalah

Berapa banyak cara turun dari A ke B pada jaringan di gambar 1.18? suatu lintasan

harus melewati garis.

Gambar 1.18 Gambar 1.19

Gambar 1.20 Gambar 1.21


Apa yang kita maksud dengan berbeda dan menurun? Gambar 1.19

mengilustrasikan dua lintasan. Catatlah bahwa setiap lintasan mempunyai

16

panjang 6 satuan. Berbeda berarti bahwa mereka tidak tepat sama; pada

beberapa lintasan atau lintasan berbeda.

Langakah 2 Memikirkan suatu Rencana

Lihatlah setiap titik potong pada jaringan dan lihat berapa banyak cara berbeda

kita peroleh dari setiap titik. Mungkin kita akan mencatat suatu pola (gambar

1.20). sebagai contoh, hanya ada satu cara menjangkau setiap titik pada dua sisi

tepi; ada dua cara menjangkau titik tengah di baris berlabel 1, 2, 1; dan

seterusnya.amati bahwa titik berlabel 2 pada gambar 1.20 dapat ditemukan

dengan menjumlahkan 1 diatasnya.


Untuk melihat berapa banyak lintasan pada setiap titik. Amati bahwa kamu

hanya butuh menambahkan bilangan pada lintasan sampai pada titik atau titik

diatasnya. Jangkauan suatu titik dibawah pasangan 1 dan 2, lintasan 1 dan 2

menurun menghasilkan 1 + 2 = 3 lintasan pada titik itu. Pola bilangan yang

dihasilkan ditunjukkan pada gambar 1.21. perhatian, sebagai contoh 4 + 6 = 10

dan 20 + 15 = 35 (pola ini adalah pola yang disebut segitiga pascal. Itu

digunakan lagi pada Bab 11). bagian yang dikelilingi kotak pada pola yang

dipakai memberikan jawaban dari masalah, oleh karena itu jawaban dari

masalah itu adalah 20.


Dapatkah kamu melihat bagaimana solusi dari suatu masalah serupa yang

melibatkan suatu susunan kotak lebih besar, misal 4 x 4 jaringan? Bagaimana

dengan 10 x 10 jaringan? Bagaimana dengan jaringan persegi panjang?

Suatu pola bilangan yang tersusun dalam suatu urutan tertentu disebut barisan

bilangan, dan bilangan secara sendiri pada barisan disebut suku dari barisan.

Bilangan asli 1, 2, 3, ... membangun banyak barisan. Beberapa barisan pada

bilangan asli.

Barisan Nama

2,4,6,8,... Bilangan asli genap

1,3,5,7,... Bilangan asli ganjil

1,4,9,16,.... Bilangan kuadrat asli

1,3,32,3

3,.... Pangkat dari Bilangan 3

1,1,2,3,5,8,... Barisan Fibonacci

17

Alasan secara induktif digunakan untuk menggambarkan kesimpulan atau

membuat prediksi tentang koleksi terbesar pada objek atau bilangan, berdasarkan pada

kumpulan penyajian yang kecil. Sebagai contoh, alasan secara induktif dapat digunakan

untuk menemukan angka satuan dari suku ke-400 barisan 8, 12, 16, 20, 24, ..., dengan

menghitung barisan ini untuk beberapa suku 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48,

52, 56, 60, ..., dapat diamati bahwa angka satuan suku kelima pada suku 24 adalah 4.

Oleh karena itu angka satuan pada suku ke-400 harus memuat 4.

Masalah Tambahan dimana Strategi Mencari Suatu Pola berguna

1. Carilah angka satuan dari 399

.


Bilangan 399

adalah hasil dari 99 angka tiga. Dengan menggunakan tombol

exponen pada kalkulator sains diperoleh 1.71792506547

. hal ini menunjukkan

digit pertama, tetapi tidak dengan digit terakhir, karena 47 menunjukkan ada 47

tempat dikanan desimal. Oleh karena itu kita dapat menggunakan metode yang

lain.


Perhatikan 31, 3

2, 3

3, 3

4, 3

5, 3

6, 3

7, 3

8. Mungkin angka satuan dari bilangan-

bilangan tersebut membentuk suatu pola, sehingga dapat digunakan untuk

memprediksi angka satuan dari 399

.


31

= 3, 32 = 9, 3

3 = 27, 3

4 = 81, 3

5 = 243, 3

6 = 729, 3

7 = 2187, 3

8 = 6561. Angka

satuan dari barisan 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1. Kapanpun eksponen dari 3 mempunyai

suatu faktor 4, angka satuan adalah 1. Karena 100 mempunyai suatu faktor 4,

maka 3100

harus mempunyai suatu angka satuan 1. Oleh karena itu angka satuan

dari 399

haruslah 7. Karena 399

mendahului 3100

dan 7 mendahului 1 pada barisan

3, 9, 7, 1.


Angka satuan dari setiap bilangan yang melibatkan eksponen mungkin

ditemukan model serupa. Cek untuk beberapa bilangan dari 4 sampai 9.

2. Bilangan cacah yang mana dari 1 sampai 50 yang mempunyai suatu faktor bilangan

ganjil? Sebagai contoh 15 mempunyai 1, 3, 5, dan 15 sebagai faktornya.dan karena itu

suatu bilangan genap mempunyai faktor : empat.

18

Petunjuk Penggunaan Strategi Mencari Suatu Pola

Strategi Mencari suatu Pola mungkin tepat jika

1. Suatu daftar dari data diberikan

2. Suatu barisan bilangan dilibatkan

3. Mendaftar kasus khusus yang dapat membantu kamu menyelesaikan masalah yang

lebih komplek

4. Kamu diminta membuat suatu prediksi atau perumuman.

Informasi dapat berupa pernyataan dan pandangan pada sikap diatur seperti sutu tabel.

e. STRATEGI 5 : Membuat Daftar

Strategi membuat daftar sering dihubungkan dengan mencari suatu pola

yang mengarah ke penyelesaian masalah. Sebagai contoh, dibawah ini adalah daftar

semua bilangan kuadrat dari bilangan 1 sampai 20 dengan digit terakhir dicetak tebal.

1 4 9 16 25 36 49 64 81 100

121 144 169 196 225 256 289 324 361 400

Dari daftar tersebut kita dapat mengetahui bahwa satu digit terakhir dari bilangan

kuadrat pasti 0, 1, 4, 5, 6 atau 9. Dengan kata lain daftar tersebut menunjukkan bahwa

bilangan kuadrat sempurna tidak pernah diakhiri dengan 2, 3, 7 atau 8.

Contoh Masalah

Bilangan 10 dapat ditulis sebagai jumlah dari 4 bilangan ganjil dengan 3 cara:

(i) 10 = 7 + 1 + 1 + 1

(ii) 10 = 5 + 3 + 1 + 1

(iii) 10 = 3 + 3 + 3 + 1

Berapa banyak cara bilangan 20 dapat ditulis sebagai penjumlahan dari 8 bilangan

ganjil?

Langkah 1: Memahami Masalah

Mengingat kembali bahwa bilangan ganjil adalah bilangan yang terdiri dari 1, 3,

5, 7, 9, …. Kenyataannya bahwa 10 dapat ditulis sebagai jumlah dari 4 bilangan

ganjil, kita dapat menghubungkan berbagai bentuk dari penjumlahan itu untuk

menghasilkan 8 bilangan ganjil yang berjumlah 20. Kita akan mendaftar semua

kemungkinan.

Langkah 2: Memikirkan Rencana

Selanjutnya, mari membuat daftar dengan memulai dari kemungkinan bilangan

yang terbesar sampai ke yang terkecil.

19

Langkah 3: Melaksanakan Rencana

20 = 13 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

20 = 11 + 3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

20 = 9 + 5 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

20 = 9 + 3 + 3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

20 = 7 + 7 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

20 = 7 + 5 + 3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

20 = 7 + 3 + 3 + 3 + 1 + 1 + 1 + 1

20 = 5 + 5 + 5 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

20 = 5 + 5 + 3 + 3 + 1 + 1 + 1 + 1

20 = 5 + 3 + 3 + 3 + 3 + 1 + 1 + 1

20 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 1 + 1

Langkah 4: Memeriksa Kembali

Dapatkah kamu memikirkan masalah yang serupa untuk menyelesaikannya?

Contoh, akan lebih mudah menulis 8 sebagai jumlah dari 4 bilangan ganjil, dan

akan lebih sulit jika menuliskan 40 sebagai jumlah dari 16 bilangan ganjil. Kita

juga dapat membandingkan penjumlahan dari bilangan genap, menuliskan 20

sebagai jumlah 6 bilangan genap.

Masalah Tambahan dimana Strategi “Membuat Daftar” itu Berguna.

1. Pada permainan anak panah, tiga anak panah akan dilemparkan. Semua mengenai

sasaran (gambar 1.22). berapa banyak scor yang mungkin terjadi?

Gambar 1.22


Anggap bahwa 3 anak panah mengenai papan. Ada 4 bilangan yang berbeda

dipapan, yaitu 0, 1, 4 dan 16, dan ketiga anak panah boleh mengenai bilangan

yang sama.


20

Kita seharusnya membuat daftar sistematis dengan memulai kemungkinan

jumlah terkecil/terbesar.


0 + 0 + 0 = 0 0 + 1 + 1 = 2 0 + 4 + 4 = 8 0 +16 +16 =32

0 + 0 + 1 = 1 0 + 1 + 4 = 5 0 + 4 + 16 = 20

0 + 0 + 4 = 4 0 + 1 + 16 = 17

0 + 0 + 16 = 16

1 + 1 + 1 = 3 1 + 4 + 4 = 9 1 + 16 + 16 = 33

1 + 1 + 4 = 6 1 + 4 + 16 = 21

1 + 1 + 16 = 18

4 + 4 + 4 = 16 4 + 16 + 16 = 36

4 + 4 + 16 = 24

16 + 16 + 16 = 48

Langkah 4: Lihat Kembali

Beberapa masalah yang serupa dapat diperlakukan dengan mengubah bilangan

pada papan, banyaknya lingkaran, atau jumlah anak panah. Atau juga

menggunakan kemungkinan secara geometris, seseorang dapat menanyakan

bagaimana mendesain dan melabel seperti suatu permainan untuk membuat

permainan keterampilan yang adil. Yaitu, poin apa yang harus ditetapkan ke

berbagai daerah untuk menghargai seseorang secara adil atas suatu kerjanya

karena mengenai daerah tersebut.

2. Berapa banyak persegi, untuk semua ukuran, pada papan main ukuran 8 x 8? (lihat

gambar 1.23: sisi dari persegi adalah segaris)

Petunjuk Penggunaan Strategi Membuat Daftar

Strategi dalam pembuatan daftar akan tepat digunakan ketika:

1. Informasinya dapat dengan mudah diatur dan ditampilkan

2. Data dapat dengan mudah digeneralisasikan

3. Mendaftar hasil yang diperoleh dengan menebak dan menguji

4. Ditanyakan “berapa banyak cara?” kadang-kadang dapat dilakukan

5. Mencoba belajar tentang macam-macam bilangan yang dapat digeneralisasikan

dengan aturan atau rumus.

.

f. STRATEGI 6 : Penyelesaian dengan Penyederhanaan Masalah

21

Seperti halnya strategi membuat daftar, strategi penyelesaian dengan

penyederhanaan masalah seringkali dihubungankan dengan mencari suatu pola. Strategi

penyelesaian dengan penyederhanaan masalah berkaitan dengan mempersempit suatu

permasalahan pada pengerjaan dan membuat lebih mudah diselesaikan. Penyederhanaan

masalah itu kemudian digeneralisasikan ke permasalahn semula.

Contoh Masalah

Ada 9 koin, berat delapan koin adalah sama dan koin kesembilan adalah koin terberat.

Diasumsikan bahwa koin mempunyai permukaan yang sama. Dengan menggunakan

panci keseimbangan, berapa banyak keseimbangan terkecil yang dibutuhkan untuk

menentukan koin terberat.


Koin-koin tersebut akan diletakkan pada panci. Jika salah satu sisi

keseimbangan lebih rendah daripada yang lain, maka sisi tersebut berisi koin

yang lebih berat. Jika sebuah koin diletakkan pada setiap panci dan terjadi

keseimbangan, maka koin yang lebih berat berada pada sisa koin yang tidak

ditimbang (pada kumpulan 7 koin). Jika kita melanjutkan cara ini terus dan

selalu terjadi keseimbangan, maka koin terakhir adalah koin yang paling berat.

Dan ini membutuhkan 4 keseimbangan. Dapatkan kita menemukan koin yang

lebih berat dengan lebih sedikit keseimbangan?


Untuk menemukan cara yang lebih efisien, mari kita menguji kasus 3 koin dan 5

koin sebelum bergerak ke kasus 9 koin.


Tiga koin: letakkan satu koin dimasing-masing panci (gambar 1.24). Jika panci

dalam keadaan seimbang, koin ketiga adalah koin yang lebih berat. Jika tidak

seimbang, panci yang lebih rendah yang terdapat koin yang lebih berat.

Dengan percobaan ini, kita hanya memerlukan 1 kali keseimbangan untuk

menentukan koin yang lebih berat.

Lima koin: letakkan 2 koin pada setiap panci (gambar 1.25). Jika panci dalam

keadaan seimbang, maka koin kelima adalah koin yang lebih berat. Jika tidak

demikian, koin yang lebih berat akan terletak pada panci yang lebih rendah.

Ganti koin pada panci yang lebih tinggi dan letakkan satu koin dari dua koin

yang terletak dipanci yang lebih rendah ke panci yang lain. Dalam keadaan ini,

kita bisa menemukan koin yang lebih berat, yaitu koin yang berada pada panci

22

yang lebih rendah. Dengan percobaan ini, kita memerlukan 2 kali

keseimbangan untuk menentukan koin yang lebih berat.

Sembilan koin: di bagian ini, pola-pola seharusnya sudah dapat diidentifikasi

untuk membuat penyelesaian yang lebih mudah. Dari permasalahan 3 koin,

kita dapat menentukan koin yang lebih berat dengan membagi kedalam 3

kelompok. Dari permasalahan 5 koin, kita mengetahui bahwa dengan

menyeimbangkan kelompok koin bersama-sam, kita dapat dengan cepat

mengurangi banyaknya koin yang diperlukan untuk diuji. Ide ini akan

dihubungkan dengan masalah 9 koin, dengan membagi kedalam 3 kelompok

dan keseimbangan 2 kelompok dari yang lain (gambar 1.26). pada

keseimbangan pertama, kelompok yang terdapat koin yang lebih berat dapat

diketahui. Setelah itu koin yang paling berat dapat diketahui lewat keseimbang

3 koin.

Minimal banyaknya keseimbangan yang diperlukan untuk menentukan koin

yang lebih berat dari 9 koin adalah 2 kali.


Dalam penyelesaian masalah menggunakan penyederhanaan masalah, tidak ada

pola bilangan yang dimunculkan. Walaupun, pola dalam proses penyeimbangan

yang dapat diulang dengan bilangan yang lebih luas dari koin yang muncul.

Masalah Tambahan dimana Strategi “Penyelesaian dengan Penyederhanaan

Masalah” Berguna.

1. Tentukan jumlah


23

Masalah ini dapat diselesaikan dengan langsung menyamakan penyebutnya,

yaitu , dan menemukan jumlah pembilangnya.

Langkah 2: Memikirkan Suatu Rencana

Selanjutnya, melakukan perhitungan langsung, mari menghubungkan berbagai

strategi. Yaitu membuat daftar dari jumlah beberapa bilangan dan mencari

polanya.


,

,

,

Pola dari penjumlahan di atas adalah

,

,

, dapat dikatakan bahwa jumlah

dari 10 bilangan pecahan tersebut adalah

atau

.


Metode ini menghubungkan strategi penyelesaian dengan penyederhanaan

masalah dengan membuat daftar dan mencari suatu pola yang penting. Contoh,

berapa jumlah

? Karena penyebutnya besar, kita tidak

ingin menambahnya secara langsung.

2. Berikut adalah anak panah pada gambar 1.27, berapa banyak jalan yang ada dari A ke

B?

Gambar 1.27

3. Ada 20 orang dalam pesta. Jika setiap orang akan berjabat tangan dengan yang

lainnya, berapa banyak jabat tangan dapat dilakukan?

Petunjuk Penggunaan Strategi Penyelesaian dengan Penyederhanaan Masalah

Strategi penyelesaian dengan penyederhanaan masalah akan tepat digunakan ketika:

1. Masalah yang perhitungannya sulit

2. Masalah yang menyangkut bilangan yang sangat kecil atau besar

3. Penyelesaian secara langsung terlalu kompleks

24

4. Kita ingin mendapatkan pemahaman dari permasalahan

5. Masalah yang menyangkut aturan atau diagram yang luas.

Tinjau kembali 3 permasalahan yang sudah kita pelajari untuk mengetahui bagaimana

petunjuk tersebut mungkin membantu kita memilih strategi penyelesaian dengan

penyederhanaan masalah untuk menyelesaikan suatu permasalahan.

3. Menghubungkan Strategi-Strategi untuk Menyelesaikan Masalah.

Seperti yang ditunjukkan sebelumnya pada 4 langkah penyelesaian, itu sering

kita gunakan untuk menggunakan beberapa stategi dalam penyelesaikan masalah.

Contoh, dibagian 1.1 masalah pizza yang akan ditunjukkan dalam pembahasan

berikut. Berapa banyaknya potongan maksimum untuk memotong pizza dengan 4

potongan lurus? pertanyaan ini dapat dijadikan sebagai pertanyaan yang umum.

Berapa banyaknya potongan maksimum yang dapat kita lakukan untuk memotong

pizza dengan n potongan lurus? Untuk menjawab ini, perhatikan rangkaian pada

gambar 1.9: 1, 2, 4, 7, 11. Untuk mengetahui pola pada rangkaian tersebut, dengan

mengamati bagaimana rangkaian pola-pola yang dihubungkan yang dapat membantu.

Di kasus ini, suku kedua yaitu 2 dapat diperoleh dari suku pertama ditambah dengan 1

atau mengalihkan dengan 2. Suku ketiga, yaitu 4, dapat diperoleh dari suku kedua,

yaitu 2 dengan menambah 2 atau mengalikan dengan 2. Walaupun perkalian 2 muncul

sebagai pola, tapi itu tidak memenuhi ketika kita bergerak dari suku ketiga ke suku

keempat. Suku keempat dapat ditemukan dengan menambah 3 dari suku ketiga.

Kemudian barisan itu muncul sebagai berikut:

barisan

selisih

Memperluas barisan selanjutnya, kita memperoleh berikut:

Suku ke

Barisan

Selisih

Dapat ditulis juga sebagai berikut:

Bentuk pertama : 1 = 1

Bentuk kedua : 2 = 1 + 1

Bentuk ketiga : 4 = 1 + ( 1 + 2 )

Bentuk keempat : 7 = 1 + ( 1 + 2 + 3 )

25

Bentuk kelima : 11 = 1 + ( 1 + 2 + 3 + 4) dan seterusnya.

Kita mengetahui bahwa 1 + 2 + 3 + … + n =

. maka bentuk ke-n pada barisan

adalah 1 + [1 + 2 + 3 + … + (n-1)] = 1 +

. Catatan bahwa untuk mengecek suku

kedelapan pada barisan adalah 1 +

= 1 + 28 = 29. Karena, untuk menyelesaikan

masalah semula, kita menggunakan gambar, mencari suatu pola dan menggunakan

variabel.

Kemungkinan bahwa suatu pola tidak menjadi jelas setelah satu himpunan perbedaan.

pertimbangkan masalah berikut ini yang mana berbagai perbedaan yang dituntut

untuk menemukan pola.

Contoh Masalah

Jika ada 10 titik yang terletak pada lingkaran dan setiap titik akan dihubungkan

dengan garis, berapa banyaknya daerah maksimum yang dapat dihasilkan?


Masalah ini dapat dipahami lebih baik dengan menggunakan gambar.

Menggambar 10 titik dan semuanya dihubungkan dengan garis, lihat masalah

lebih sederhana pada lingkaran dengan 1, 2,atau 3 titik yang akan membantu

memahami masalah. Berikut akan ditunjukkan 3 kasus pada gambar 1.28.


Lebih lanjut, banyaknya daerah pada gambar di atas berturut-turut 1, 2 dan 4.

Hal ini, dapat memulai suatu pola 1, 2, 4, 8, 16, …. Mari gambar 3 bentuk lagi.

Kemudian pola dapat disimpulkan untuk masalah yang 10 titik.


Tiga gambar tersebut dapat ditunjukkan oleh gambar 1.29.

26

Membuat daftar dari banyaknya titik pada lingkaran dan kesesuaian banyaknya

daerah akan membantu kita menemukan pola.

Titik 1 2 3 4 5 6

Daerah 1 2 4 8 16 31

Sementara itu pola untuk 5 kasus pertama membuat itu memunculkan

banyaknya daerah adalah dengan menggandakan saja masing-masing titik

tambahan, pada kasus 31 daerah dengan 6 titik merusak pola.

Mempertimbangkan selisih antara bilangan-bilangan pada suatu pola dan

mencari suatu pola pada selisih-selisih..

Karena pada selisih pertama, kedua dan ketiga belum menunjukkan suatu pola

yang jelas, maka selisih keempat dihitung dan menemukan sebuah pola pada

suatu permasalahan. Hal itu dapat ditunjukkan sebagai berikut:

Dengann menemukan selisih yang diharapkan, kita dapat mengetahui bahwa

penyelesaian dari permasalahan kita adalah 256 daerah.


Dengan menggunakan gabungan membuat suatu gambar, penyelesaian dengan

penyederhanaan masalah, membuat daftar, dan mencari pola, penyelesaian dapat

ditemukan. Hal itu dapat juga mengetahui bahwa itu sangat penting ketika

mencari suatu pola, untuk menyatakan bahwa kita mungkin mencari banyak

bentuk dan banyak selisih untuk menemukan pola.

27

D. KESIMPULAN

Ketika terdapat suatu masalah, kita harus lebih teliti dalam mencari penyelesaian

dengan menggunakan pendekatan 4 langkah Polya. Walaupun tidak diperlukan untuk

melabelkan dan menunjukkan setiap 4 langkah pada setiap waktu kamu mengerjakan suatu

masalah. Dilain pihak, ini lebih baik untuk membiasakan kita dalam mengingat 4 langkah

seperti yang kita rencanakan dan seperti yang kita kerjakan suat masalah. Pada bab ini, kita

memperkenalkan beberapa strategi penyelesaian masalah yang penting. Disetiap bab

berikutnya, strategi penyelesaian masalah akan dikenalkan. Strategi-strategi itu akan

membantu ketika kita membuat suatu rencana. Seperti yang kita rencanakan untuk

menyelesaikan masalah, memikirkan strategi-strategi yang digunakan. Kemudian bagian

yang terpenting dari penyelesaian masalah dapat dipandang sebagai alat atau strategi yang

tepat.

Kita akhiri bab ini dengan mendaftar saran-saran bahwa siswa yang berhasil

menyelesaikan pembelajaran yaitu dengan menyelesaiakn masalah dengan petunjuk-petunjuk

yang membantu. Baca kembali secara teratur untuk kemajuan kita dalam melewati buku ini.

Saran-saran dari pemecah masalah yang sukses

Menerima tantangan untuk menyelesaian suatu masalah

Menulis kembali masalah dengan kata-kata sendiri

Gunakan waktu untuk menyelidiki, membayangkan berfikir.

Bicara pada diri sendiri. Menanyakan pertanyaan yang banyak

Coba memecahkan masalah dengan bilangan yang sederhana

Banyak masalah membutuhkan waktu yang lama, jika kita telah frustasi janganlah kita

menyerah. Lihatlah masalah dalam berbagai cara.

Laksanakan daftar strategimu untuk melihat apakah satu atau lebih strategi dapat

membantu kita untuk memulai

Mengubah dan menyelesaikan masalah kita

Tulislah solusimu dengan rapi dan jelas, sehingga kita akan mampu memahami solusi jika

kita membaca kembali dalm 10 tahun mendatang

Kembangkan kemampuan membantu menyelesaikan masalah saat mendampingi orang

lain dalam menyelesaikan masalah

Jangan memberi solusi bahkan memberikan petunjuk yang bermakna

Menyelesaikan masalah adalah pengalaman yang positif.

a. pengenalan problem solving (penyelesaian … · 1. memahami masalah (understanding the problem)...

Documents