6 pengujian

46
148 6 Pengujian hipotesis 6.1 Pendahuluan Di dalam bab 5 telah kita bahas bagaimana Statistik Inferensial digunakan untuk melakukan pendugaan terhadap parameter populasi. Dalam bab ini akan kita bahas hal-hal yang berkaitan dengan penarikan kesimpulan tentang parameter populasi melalui pengujian hipotesis. Seperti juga dalam pendugaan parameter populasi, distribusi sampling dari statistik sampel mempunyai peranan yang pen- ting dalam pengujian hipotesis. Penarikan kesimpulan tentang parameter populasi akan sangat tergantung pada sampel yang dianalisis untuk keperluan tersebut. Pengujian hipotesis yang dibahas dalam buku ini disebut pengujian parametrik karena berkaitan dengan pengujian hipotesis tentang parameter populasi. Definisi Suatu hipotesis statistik adalah suatu pernyataan atau asumsi – yang mungkin salah dan mungkin juga benar – tentang parameter populasi Kebenaran atau ketidak-benaran suatu hipotesis statistik tidak pernah diketahui secara pasti, kecuali jika kita memeriksa/meneliti seluruh populasinya. Hal ini seringkali tidak mungkin dilakukan karena berbagai kendala, baik waktu, biaya maupun tenaga yang harus dialokasikan untuk hal tersebut. Oleh karena itu, pemeriksaan terhadap kebenaran atau ketidak-benaran hipotesis tersebut umumnya dilakukan melalui pengambilan sampel dari populasi tersebut. 6.2 Konsep pengujian hipotesis Tujuan pengujian hipotesis adalah untuk memilih salah satu dari dua hipotesis tentang parameter populasi, yang keduanya saling betentangan, yaitu hipotesis nol, dinyatakan dengan H 0 , dan hipotesis alternatif atau hipotesis penelitian, dinyatakan dengan H 1 . Kedua hipotesis tersebut bersifat saling asing (mutually exclusive), artinya jika satu hipotesis ditolak, maka sebagai konsekuensinya, hipotesis lainnya diterima. Pengujian hipotesis berdasarkan pada konsep pembuktian melalui pengkon- tradiksian, yaitu, jika analisis terhadap sampel menunjukkan ketidak-konsistenan dengan hipotesis yang diuji, maka hipotesis tersebut ditolak dan disimpulkan

Upload: mei-rahmat-sanusi-legger

Post on 31-Jul-2015

63 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: 6 pengujian

148

66666666 PPeenngguujj iiaann hh iippootteessiiss

6.1 Pendahuluan

Di dalam bab 5 telah kita bahas bagaimana Statistik Inferensial digunakan untuk melakukan pendugaan terhadap parameter populasi. Dalam bab ini akan kita bahas hal-hal yang berkaitan dengan penarikan kesimpulan tentang parameter populasi melalui pengujian hipotesis. Seperti juga dalam pendugaan parameter populasi, distribusi sampling dari statistik sampel mempunyai peranan yang pen-ting dalam pengujian hipotesis. Penarikan kesimpulan tentang parameter populasi akan sangat tergantung pada sampel yang dianalisis untuk keperluan tersebut. Pengujian hipotesis yang dibahas dalam buku ini disebut pengujian parametrik karena berkaitan dengan pengujian hipotesis tentang parameter populasi.

Definisi Suatu hipotesis statistik adalah suatu pernyataan atau asumsi – yang mungkin salah dan mungkin juga benar – tentang parameter populasi

Kebenaran atau ketidak-benaran suatu hipotesis statistik tidak pernah diketahui secara pasti, kecuali jika kita memeriksa/meneliti seluruh populasinya. Hal ini seringkali tidak mungkin dilakukan karena berbagai kendala, baik waktu, biaya maupun tenaga yang harus dialokasikan untuk hal tersebut. Oleh karena itu, pemeriksaan terhadap kebenaran atau ketidak-benaran hipotesis tersebut umumnya dilakukan melalui pengambilan sampel dari populasi tersebut.

6.2 Konsep pengujian hipotesis

Tujuan pengujian hipotesis adalah untuk memilih salah satu dari dua hipotesis tentang parameter populasi, yang keduanya saling betentangan, yaitu hipotesis nol, dinyatakan dengan H0, dan hipotesis alternatif atau hipotesis penelitian, dinyatakan dengan H1. Kedua hipotesis tersebut bersifat saling asing (mutually exclusive), artinya jika satu hipotesis ditolak, maka sebagai konsekuensinya, hipotesis lainnya diterima.

Pengujian hipotesis berdasarkan pada konsep pembuktian melalui pengkon-tradiksian, yaitu, jika analisis terhadap sampel menunjukkan ketidak-konsistenan dengan hipotesis yang diuji, maka hipotesis tersebut ditolak dan disimpulkan

Page 2: 6 pengujian

149

bahwa hipotesis tersebut salah. Sebaliknya, jika analisis sampel tersebut konsisten dengan hipotesis yang diuji, maka hipotesis tersebut diterima. Namun demikian, penerimaan terhadap suatu hipotesis semata-mata sebagai akibat tidak cukupnya bukti untuk menolak hipotesis dan tidak berarti bahwa hipotesis tersebut adalah benar.

Prosedur pengujian hipotesis terdiri atas komponen-komponen berikut:

1. Hipotesis nol

2. Hipotesis alternatif atau hipotesis penelitian

3. Statistik uji

4. Daerah kritis atau daerah penolakan hipotesis

Hipotesis nol adalah asumsi atau anggapan yang berkaitan dengan nilai parameter populasi yang akan diuji. Hipotesis nol umumnya menyatakan bahwa nilai

parameter populasi tersebut sama dengan suatu nilai tertentu. Misalkan θ adalah parameter populasi, maka H0 umumnya dinyatakan dalam bentuk

H0: θ = θ0 dimana θ0 adalah suatu nilai tertentu

Hipotesis alternatif merupakan suatu pernyataan alternatif jika asumsi atau ang-gapan tentang parameter populasi tersebut ternyata salah atau ditolak. Hipotesis alternatif dapat mengambil salah satu dari ketiga bentuk berikut:

(i) H1: θ ≠ θ0, atau (ii) H1: θ < θ0, atau (iii) H1: θ > θ0

Sebagai contoh, dalam percobaan pelemparan mata uang sebanyak 50 kali, kita mungkin tertarik untuk mengetahui keseimbangan mata uang tersebut. Oleh karena itu, hipotesis nol dari percobaan ini adalah bahwa mata uang tersebut dia-sumsikan seimbang. Jika mata uang tersebut seimbang, maka proporsi timbulnya sisi muka harus sama dengan proporsi timbulnya sisi belakang, dengan kata lain p = 0,5. Maka hipotesis nol-nya dapat dirumuskan sebagai berikut:

H0: p = 0,5

Sebagai tandingan terhadap H0, hipotesis alternatif untuk percobaan tersebut dapat dirumuskan dalam tiga bentuk, yaitu bahwa mata uang tersebut tidak seimbang, H1: p ≠ 0,5, atau mata uang tersebut berat ke sisi muka, H1: p > 0,5, atau mata uang tersebut berat ke sisi belakang, H1: p < 0,5. Hipotesis alternatif

pertama, yaitu H1: p ≠ 0,5 disebut sebagai hipotesis dua arah, sedangkan hipotesis H1: p > 0,5 dan H1: p < 0,5 disebut sebagai hipotesis satu arah.

Seandainya percobaan tersebut menghasilkan timbulnya sisi muka sebanyak 23 kali, dapat kita katakan bahwa mata uang tersebut memang seimbang, karena hasil tersebut mendukung hipotesis bahwa p = 0,5. Namun demikian, hasil tersebut juga mendukung hipotesis bahwa p = 0,45. Oleh karena itu, dengan

Page 3: 6 pengujian

150

menerima hipotesis tersebut kita hanya punya keyakinan bahwa nilai proporsi tersebut terletak sekitar 0,5. Lain halnya jika percobaan tersebut menghasilkan timbulnya sisi muka sebanyak 15 kali. Maka dalam kasus ini, hasil percobaan tersebut memberikan cukup bukti untuk menolak hipotesis nol tersebut, dan dapat disimpulkan bahwa p ≠ 0,5.

Secara umum, terdapat tiga bentuk format pasangan hipotesis nol dan hipotesis

alternatif dalam pengujian hipotesis. Misalkan θ adalah parameter populasi dan θ0 adalah anggapan tentang nilai parameter tersebut, maka ketiga pasangan hipotesis tersebut adalah sebagai berikut:

(i) H0: θ = θ0 H1: θ ≠ θ0 (hipotesis dua arah)

(ii) H0: θ = θ0 H1: θ > θ0 (hipotesis satu arah)

(iii) H0: θ = θ0 H1: θ < θ0 (hipotesis satu arah)

Untuk memilih salah satu dari kedua hipotesis tersebut (H0 atau H1) diperlukan suatu kriteria pengujian yang ditentukan berdasarkan pada suatu statistik uji. Penentuan statistik uji tersebut didasarkan atas statistik sampel dan distribusi samplingnya. Dengan demikian, statistik uji merupakan suatu variabel acak yang nilai-nilainya digunakan untuk mengambil keputusan apakah menolak atau mene-rima hipotesis nol. Nilai-nilai statistik yang digunakan untuk menolak hipotesis nol disebut sebagai daerah kritis atau daerah penolakan hipotesis, sedangkan nilai-nilai yang digunakan untuk menerima hipotesis nol disebut sebagai daerah pene-rimaan. Daerah penolakan dan daerah penerimaan hipotesis dibatasi oleh suatu nilai yang disebut sebagai titik kritis. Penentuan statistik uji dan daerah kritis pengujian akan dibahas secara lebih rinci dalam bagian-bagian berikutnya dari bab ini.

Dalam setiap pengujian hipotesis, kita harus selalu memutuskan apakah menerima atau menolak H0 dan selalu ada kemungkinan bahwa kita membuat kesalahan dalam pengambilan keputusan tersebut. Kesalahan tersebut terjadi ketika kita menolak suatu hipotesis yang benar, atau menerima hipotesis yang salah. Kedua jenis kesalahan ini diberi nama secara khusus dalam pengujian hipotesis, yaitu:

Salah jenis I (Type I error): kesalahan ini terjadi ketika kita menolak H0 padahal H0

benar. Peluang terjadinya kesalahan ini dinyatakan dengan α, dan disebut sebagai taraf nyata (level of significance)

Salah jenis II (Type II error): kesalahan ini terjadi ketika kita menerima H0 padahal H0 salah dan H1 benar. Peluang terjadinya kesalahan ini dinyatakan

dengan β. Komplemen dari β, yaitu (1 – β) disebut sebagai kuasa pengujian (power of statistical test)

Hubungan antara kedua jenis kesalahan tersebut dapat dilihat dalam tabel 6.1.

Page 4: 6 pengujian

151

Tabel 6.1 Hubungan antara αααα dan ββββ

Keadaan sebenarnya

Keputusan H0 benar H0 salah

Tolak H0 Salah jenis I

(peluang = α)

Benar

(peluang = 1 – β)

Terima H0 Benar

(peluang = 1 – α)

Salah jenis II

(peluang = β)

Idealnya daerah penerimaan dan penolakan ditentukan agar meminimumkan α dan β sekaligus, tetapi hal ini tidak mungkin dilakukan, karena peluang terjadinya kedua kesalahan tersebut berkaitan satu sama lainnya. Untuk suatu ukuran sam-

pel tertentu, jika daerah penolakan dirubah agar memperkecil α, maka β secara otomatis akan bertambah besar, demikian sebaliknya, jika α diperbesar, maka β akan mengecil.

Prosedur yang umum dilakukan oleh peneliti adalah dengan menentukan taraf nyata α pada suatu nilai tertentu, hal ini akan secara otomatis menentukan nilai β bagi percobaan tersebut. Taraf nyata yang biasa digunakan adalah α sama

dengan 0,1, 0,05 atau 0,01. Untuk nilai α tertentu, nilai β dapat diperkecil dengan memperbesar ukuran sampelnya.

Secara umum, prosedur pengujian hipotesis dilakukan melalui langkah-langkah berikut:

(i) Tentukan H0 dan H1 (ii) Dengan mengasumsikan bahwa H0 benar, tentukan statistik uji

berdasarkan atas distribusi samplingnya (iii) Tentukan daerah penolakan dan penerimaan H0 berdasarkan atas

taraf nyata α, bentuk H1 dalam (i) dan statistik uji dalam (ii) (iv) Hitung nilai statistik uji dari sampel (v) Ambil keputusan untuk menerima atau menolak H0 berdasarkan atas

(iii) dan (iv)

Langkah ke (ii) dari prosedur di atas, yaitu penentuan statistik uji, merupakan salah satu langkah yang krusial, karena statistik tersebut digunakan untuk menentukan daerah penerimaan dan penolakan hipotesis, yang pada akhirnya digunakan untuk mengambil keputusan apakah menerima atau menolak H0. Taraf nyata α digunakan untuk menentukan titik kritis dari statistik uji tersebut, sedangkan bentuk H1 digunakan untuk menentukan arah daerah kritis pengujian (lihat gambar 6.1). Jika H1 merupakan suatu hipotesis dua arah, maka daerah kritis pengujian terletak

Page 5: 6 pengujian

152

di ujung-ujung kurva distribusi sampling statistik tersebut. Jika H1 merupakan hipotesis satu arah, maka daerah kritis pengujian terletak di salah satu ujung kurva distribusi sampling yang bersesuaian dengan arah dari H1. Artinya, jika H1 mempunyai bentuk hipotesis ‘lebih kecil dari’ (<), maka daerah kritis pengujian terletak di ujung kiri kurva distribusinya, sedangkan jika H1 mempunyai bentuk hipotesis ‘lebih besar dari’ (>), maka daerah kritis pengujian terletak di ujung kanan kurva distribusinya.

Daerah

penerimaan

Daerah

kritis

Daerah

kritis

Titik

kritis

Titik

kritis

θ0 θ

Daerah kritis dan daerah penerimaan

bagi pasangan hipotesis

H0: θ = θ0

H1: θ ≠ θ0

Daerah

penerimaan

Daerah

kritis

Titik

kritisθ0 θ

α

Daerah kritis dan daerah penerimaan

bagi pasangan hipotesis

H0: θ = θ0

H1: θ > θ0

Daerah

penerimaan

Daerah

kritis

Titik

kritisθ0 θ

α

Daerah kritis dan daerah penerimaan

bagi pasangan hipotesis

H0: θ = θ0

H1: θ < θ0

Gambar 6.1 Hubungan antara daerah penolakan dan daerah penerimaan hipotesis

Page 6: 6 pengujian

153

6.3 Pengujian hipotesis tentang rata-rata populasi

Pasangan hipotesis nol dan hipotesis alternatif dalam pengujian hipotesis tentang rata-rata dari suatu populasi Normal dapat mengambil salah satu dari bentuk berikut:

(i) H0: µ = µ0 H1: µ ≠ µ0 (hipotesis dua arah)

(ii) H0: µ = µ0 H1: µ > µ0 (hipotesis satu arah)

(iii) H0: µ = µ0 H1: µ < µ0 (hipotesis satu arah)

dimana µ0 adalah suatu nilai yang merupakan anggapan atau asumsi tentang nilai rata-rata populasi.

6.3.1 Kasus 1: varians populasi, σ2, diketahui nilainya

Misalnya kita dihadapkan pada persoalan pengujian hipotesis tentang rata-rata, µ, dari suatu populasi yang berdistribusi Normal dengan varians, σ2

, yang nilainya diketahui. Dalam bab-bab sebelumnya, telah kita ketahui bahwa rata-rata sampel,

X , merupakan penduga yang paling baik rata-rata populasi. Selain itu, kita ke-

tahui pula bahwa distribusi sampling dari X mempunyai bentuk distribusi yang

Normal dengan rata-rata µµ =X

dan varians nX

22 σσ = , dimana n adalah

ukuran sampelnya. Statistik uji yang biasa digunakan untuk menguji hipotesis tentang rata-rata populasi adalah statistik uji Z, dimana

n

XZ

σ

µ−= ....................................................................................... [6.1]

Statistik uji tersebut telah kita ketahui merupakan suatu variabel acak yang berdistribusi Normal baku. Oleh karena itu, titik kritis pengujian dapat ditentukan dengan menentukan nilai kritis bagi variabel acak Z untuk taraf nyata α. Hal ini dapat ditentukan dengan menggunakan Tabel Lampiran 2. Setelah itu, daerah kritis dapat ditentukan sesuai dengan bentuk hipotesis H1.

Nilai statistik uji sampel kemudian dapat dihitung dengan

n

xzhitung

σ

µ0−= .............................................................................. [6.2]

dimana x adalah rata-rata sampel.

Page 7: 6 pengujian

154

Pengambilan keputusan ditentukan dengan memeriksa nilai zhitung dengan kriteria sebagai berikut:

� tolak H0 jika zhitung terletak di daerah kritis, dan

� terima H0 jika zhitung terletak di daerah penerimaan.

Contoh 6.1

Seorang peneliti ingin mengetahui keberhasilan produksi suatu varietas padi yang baru-baru ini diperkenalkan kepada petani di suatu daerah tertentu. Berdasarkan data sebelumnya diketahui bahwa rata-rata produksi padi di daerah tersebut adalah 2,5 ton/ha dengan simpangan baku 0,6 ton. Dari suatu sampel berukuran 20 diperoleh nilai rata-rata produksi sebesar 2,678 ton/ha. Dapatkah dia simpulkan bahwa rata-rata produksi padi di daerah itu sekarang telah lebih dari 2,5 ton/ha?

Penyelesaian:

Langkah 1: Penentuan hipotesis

Anggapan yang ada saat ini adalah bahwa rata-rata produksi padi di daerah tersebut adalah 2,5 ton/ha. Oleh karena itu, hipotesis nol dari penelitian ini adalah

H0: µ = 2,5 ton. Dengan diperkenalkannya suatu varietas padi baru, maka tidaklah berlebihan jika kita berharap bahwa rata-rata produksi padi di daerah tersebut akan mengalami peningkatan. Oleh karena itu, hipotesis penelitian kita (H1)

adalah bahwa H1: µ > 2,5 ton. Dengan demikian pasangan hipotesis yang akan diuji adalah sebagai berikut:

H0: µ = 2,5 H1: µ > 2,5

Langkah 2: Penentuan statistik uji

Statistik uji yang digunakan adalah

n

XZ

σ

µ−=

dimana Z adalah variabel acak yang berdistribusi Normal baku.

Langkah 3: Penentuan daerah kritis

Misalkan taraf nyata yang digunakan adalah α = 0,05. Hipotesis H1 dalam persoalan ini merupakan hipotesis satu arah, maka daerah kritis pengujian terletak di ujung kanan kurva distribusinya. Dengan demikian, titik kritisnya adalah zα = z0,05 = 1,645 (diperoleh dari Tabel Lampiran 2). Sehingga daerah kritisnya adalah z > 1,645 dan daerah penerimaan hipotesis nol adalah jika z ≤ 1,645

Page 8: 6 pengujian

155

Langkah 4: Penentuan nilai statistik uji sampel

Dari persoalan di atas, diketahui bahwa simpangan baku populasi adalah σ = 0,6. Dari sampel berukuran n = 20, diperoleh rata-rata sampel, 678,2=x . Maka nilai

statistik uji berdasarkan sampel tersebut adalah:

327,1206,0

5,2678,20 =−

=−

=n

xzhitung

σ

µ

Langkah 5: Kesimpulan

Karena nilai zhitung terletak di daerah penerimaan hipotesis nol, maka H0 diterima. Artinya walaupun rata-rata sampel (2,678 ton/ha) terlihat lebih besar dari ang-gapan tentang rata-rata populasi (2,5 ton/ha), kita belum mempunyai bukti yang cukup untuk menolak anggapan tersebut.

Dengan MINITAB, prosedur pengujian hipotesis tentang rata-rata populasi dimana nilai varians populasinya diketahui dapat dilakukan dengan perintah ZTest yang diaktifkan dengan memilih menu

Stat ���� Basic Statistics ���� 1-Sample z...

Gambar 6.2 Jendela 1-Sample z untuk pengujian hipotesis

(sama seperti ketika kita menentukan selang kepercayaan bagi µ). Perintah tersebut akan mengaktifkan jendela 1-Sample z (gambar 6.2). Isikan kolom

Page 9: 6 pengujian

156

dimana data tersebut disimpan ke dalam kotak Variables, lalu klik tombol Test

mean dan isikan nilai rata-rata populasi dalam H0 (dalam hal ini adalah 2,5).

Kemudian klik tanda di samping kotak Alternative untuk memilih bentuk H1

yang sesuai (untuk kasus ini pilih greater than). Isikan nilai σ dalam kotak

Sigma (dalam hal ini 0,6). Lalu klik OK.

Output MINITAB untuk persoalan dalam contoh 6.1 di atas adalah sebagai berikut:

MTB >

MTB > ZTest 2.5 .6 'prodpadi';

SUBC> Alternative 1.

Z-Test

Test of mu = 2.500 vs mu > 2.500

The assumed sigma = 0.600

Variable N Mean StDev SE Mean Z P

prodpadi 20 2.678 0.609 0.134 1.33 0.093

MTB >

Penjelasan:

Data dari ke 20 hasil pengamatan tersebut disimpan dalam satu kolom yang diberi nama ‘prodpadi’. Hasil pengujian hipotesis tercantum di bawah output berjudul Z-Test:

Test of mu = 2.500 vs mu > 2.500 menyatakan pasangan hipotesis H0

dan H1, yaitu H0: µ = 2,5 dan H1: µ > 2,5.

The assumed sigma = 0.600 menyatakan nilai simpangan baku populasi.

Z = 1.33 menyatakan nilai zhitung.

P = 0.093 menyatakan nilai peluang sebenarnya bagi nilai statistik sampel zhitung, dalam hal ini P(z > 1,33) = 0,093. Dalam kasus ini nilai

peluang tersebut lebih besar dari taraf nyata α = 0,05 sehingga kita simpulkan untuk menerima H0. Akan tetapi, jika seandainya

taraf nyata yang digunakan adalah α = 0,1, maka kesimpulan kita akan berbeda. Nilai peluang bagi zhitung (0,093) sekarang menjadi

lebih kecil dari taraf nyata α = 0,1. Hal ini berarti bahwa nilai zhitung akan terletak di daerah kritis, maka dalam kasus ini kita akan menolak H0.

Page 10: 6 pengujian

157

Seperti juga dalam penentuan selang kepercayaan, prosedur pengujian hipotesis di atas dapat juga digunakan untuk menguji hipotesis tentang rata-rata populasi dimana varians populasinya tidak diketahui nilainya, asalkan populasinya berdistribusi Normal dan ukuran sampelnya cukup besar (n > 30). Karena varians populasinya tidak diketahui, maka dalam menentukan nilai statistik uji sampel (langkah (iii) dalam prosedur pengujian hipotesis), nilai varians populasi dapat diganti dengan nilai varians sampel.

Contoh 6.2

Dari laporan Dinas Pendidikan beberapa tahun yang lalu diketahui bahwa rata-rata jumlah murid sekolah dasar di suatu daerah adalah 242 orang. Baru-baru ini, sebuah survey dilakukan terhadap 52 sekolah dasar di daerah tersebut. Data hasil survey tersebut menunjukkan bahwa rata-rata jumlah murid adalah 259,63 dengan simpangan baku 64,35. Dapatkah kita simpulkan bahwa telah rata-rata jumlah murid sekolah dasar di daerah tersebut telah berubah?

Penyelesaian:

Langkah 1: Hipotesis

H0: µ = 242 H1: µ ≠ 242

Langkah 2: Statistik uji

Walaupun varians populasinya tidak diketahui, tetapi karena ukuran sampelnya cukup besar (n = 52), maka pendekatan Z dapat digunakan untuk menentukan statistik uji yang digunakan, dalam hal ini statistik tersebut adalah

nS

XZ

µ−=

dimana S adalah simpangan baku sampel; dan Z adalah variabel acak yang berdistribusi Normal baku.

Langkah 3: Penentuan daerah kritis

Misalkan taraf nyata yang digunakan adalah α = 0,05. Hipotesis H1 dalam per-soalan ini merupakan hipotesis dua arah, maka daerah kritis pengujian terletak di kedua ujung kurva distribusinya. Dengan demikian, titik kritisnya adalah zα/2 = z0,025 = 1,96. Sehingga daerah kritisnya adalah z < –1,96 atau z > 1,96 dan daerah penerimaan hipotesis nol adalah jika –1,96 ≤ z ≤ 1,96

Langkah 4: Penentuan nilai statistik uji dari sampel

Simpangan baku populasi untuk kasus ini tidak diketahui nilainya, tetapi dari sampel berukuran n = 52, diperoleh rata-rata sampel, 63,259=x , dan simpangan

Page 11: 6 pengujian

158

baku sampel, s = 64,35. Maka nilai statistik uji berdasarkan sampel tersebut adalah:

98,15235,64

24263,2590 =−

=−

=ns

xzhitung

µ

Langkah 5: Kesimpulan

Karena nilai zhitung terletak di daerah kritis, maka H0 ditolak. Artinya, bahwa rata-rata jumlah murid sekolah dasar di daerah tersebut tidak lagi 242 orang.

Output MINITAB untuk persoalan di atas adalah sebagai berikut:

MTB > Describe 'murid-sd'.

Descriptive Statistics

Variable N Mean Median Tr Mean StDev SE Mean

murid-sd 52 259.63 247.00 258.37 64.35 8.92

Variable Min Max Q1 Q3

murid-sd 164.00 374.00 201.50 313.75

MTB >

MTB > ZTest 242 64.35 'murid-sd';

SUBC> Alternative 0.

Z-Test

Test of mu = 242.00 vs mu not = 242.00

The assumed sigma = 64.3

Variable N Mean StDev SE Mean Z P

murid-sd 52 259.63 64.35 8.92 1.98 0.048

6.3.2 Kasus 2: varians populasi, σ2, tidak diketahui nilainya

Dalam penggunaannya, prosedur pengujian hipotesis yang dibahas dalam bagian

6.3.1 di atas mensyaratkan diketahuinya nilai varians populasi σ, atau ukuran sampel yang besar. Pada prakteknya, kedua persyaratan tersebut sering kali tidak dapat dipenuhi karena berbagai alasan. Pada keadaan demikian, prosedur pengujian hipotesis tentang rata-rata populasi dapat digunakan melalui pendekatan distribusi t. Dalam bab 4, telah kita bahas bahwa distribusi sampling dari rata-rata sampel yang berukuran kecil dari suatu populasi yang normal akan

Page 12: 6 pengujian

159

mengikuti kaidah distribusi t dengan derajat bebas ν = n – 1. Oleh karena itu, statistik uji yang biasa digunakan untuk kasus dimana varians populasinya tidak diketahui dan ukuran sampelnya relatif kecil adalah

nS

XT

µ−= ....................................................................................... [6.3]

Statistik uji T tersebut merupakan suatu variabel acak yang berdistribusi t dengan

derajat bebas ν = n – 1. Untuk taraf nyata α tertentu, titik kritis pengujian dapat ditentukan dengan menentukan nilai kritis bagi variabel acak T, dalam hal ini kita dapat menggunakan nilai-nilai dalam Tabel Lampiran 3. Prosedur pengujian hipotesis selanjutnya dapat dilakukan mengikuti prosedur dalam bagian 6.3.1, kecuali bahwa nilai statistik uji dari sampelnya dihitung dengan rumus berikut:

ns

xthitung

0µ−= ................................................................................ [6.4]

dimana x dan s masing-masing adalah rata-rata dan varians sampel.

Contoh 6.3

Ujilah kembali persoalan dalam contoh 6.1 jika seandainya varians populasinya tidak diketahui. Dari output MINITAB untuk contoh tersebut dapat kita ketahui bahwa simpangan baku sampelnya adalah 0,609 ton.

Penyelesaian:

Langkah 1: Penentuan hipotesis

H0: µ = 2,5 H1: µ > 2,5

Langkah 2: Statistik uji

Statsitik uji yang digunakan adalah

nS

XT

µ−=

Statistik uji tersebut berdistribusi t dengan derajat bebas sama dengan 20 – 1 = 19

Langkah 3: Penentuan daerah kritis

Dengan taraf nyata α = 0,05. Titik kritisnya adalah tα = t0,05 = 1,7291 (diperoleh dari Tabel Lampiran 3 dengan derajat bebas = 19). Sehingga daerah kritisnya adalah t > 1,7291 dan daerah penerimaan hipotesis nol adalah jika z ≤ 1,7291

Langkah 4: Penentuan nilai statistik uji dari sampel

Page 13: 6 pengujian

160

Dari sampel berukuran n = 20, diperoleh rata-rata sampel, 678,2=x dan sim-

pangan baku sampel s = 0,609. Maka nilai statistik uji berdasarkan sampel tersebut adalah:

307,120609,0

5,2678,20 =−

=−

=ns

xthitung

µ

Langkah 5: Kesimpulan

Karena nilai thitung terletak di daerah penerimaan hipotesis nol, maka H0 diterima. Dengan demikian, untuk kasus ini kesimpulan yang kita peroleh sama dengan sebelumnya.

Gambar 6.3 Jendela 1-Sample t untuk pengujian hipotesis

Dengan MINITAB, prosedur pengujian hipotesis tentang rata-rata populasi dimana nilai varians populasinya tidak diketahui, dilakukan dengan perintah T-Test. Perintah tersebut diaktifkan dengan memilih menu

Stat ���� Basic Statistics ���� 1-Sample t...

Pilihan tersebut akan mengaktifkan jendela 1-Sample t (gambar 6.3). Isikan nama variabel atau kolom tempat data tersebut disimpan ke dalam kota Variables, lalu klik tombol Test mean, dan isikan nilai µ dalam H0. Kemudian

klik tombol di samping kotak Alternative untuk memilih jenis H1 yang sesuai,

lalu klik OK.

Page 14: 6 pengujian

161

Output MINITAB untuk contoh 6.3 di atas adalah sebagai berikut:

MTB > TTest 2.5 'prodpadi';

SUBC> Alternative 1.

T-Test of the Mean

Test of mu = 2.500 vs mu > 2.500

Variable N Mean StDev SE Mean T P

prodpadi 20 2.678 0.609 0.136 1.31 0.10

MTB >

Seperti halnya dalam pendugaan selang kepercayaan bagi µ, maka dalam pengujian hipotesis tentang µ terdapat dua jenis pengujian. Penggunaan kedua jenis pengujian tersebut tergantung pada diketahui atau tidaknya varians populasi

σ dan ukuran sampelnya. Kriteria penentuan jenis statistik uji yang digunakan pada berbagai kasus pengujian hipotesis tentang µ disajikan dalam tabel 6.2.

Tabel 6.2 Kriteria penentuan statistik uji dalam pengujian hipotesis tentang µ

Varians populasi Ukuran sampel Statistik uji

Diketahui nilainya Tidak merupakan syarat n

XZ

σ

µ−=

Tidak diketahui nilainya n > 30 n

XZ

σ

µ−=

Tidak diketahui nilainya n < 30 nS

XT

µ−=

6.4 Pengujian hipotesis tentang proporsi

Hipotesis nol dan hipotesis alternatif dalam pengujian tentang proporsi populasi ditentukan dengan cara yang sama seperti pada pengujian tentang rata-rata

populasi µ. Dalam pengujian hipotesis tentang proporsi juga terdapat tiga jenis pasangan hipotesis, yaitu:

1. H0: p = p0 H1: p ≠ p0 (hipotesis dua arah)

Page 15: 6 pengujian

162

2. H0: p = p0 H1: p > p0 (hipotesis satu arah)

3. H0: p = p0 H1: p < p0 (hipotesis satu arah)

dimana p0 adalah suatu nilai yang merupakan anggapan atau asumsi tentang nilai proporsi populasi. Statistik uji yang digunakan dalam pengujian hipotesis tentang

proporsi populasi diturunkan dari distribusi sampling bagi proporsi sampel, p̂ , yaitu

( ) npp

ppZ

−⋅

−=

1

ˆ ............................................................................ [6.5]

Telah kita ketahui bahwa statistik uji Z tersebut akan berdistribusi Normal baku. Daerah kritis dan daerah penerimaan hipotesis ditentukan dengan cara yang sama

seperti pada pengujian hipotesis tentang µ, yaitu dengan memperhatikan taraf nyata α dan bentuk hipotesis alternatifnya. Nilai statistik uji dari sampel dihitung dengan rumus

( ) npp

ppzhitung

00

0

1

ˆ

−⋅

−= .................................................................. [6.6]

Contoh 6.4

Berdasarkan pengalamannya, seorang penangkar benih telah mengetahui bahwa persentase berkecambahnya benih suatu jenis tanaman tertentu adalah 38%. Untuk mencoba meningkatkan persentase tersebut, benih tanaman tersebut direndamnya lebih dulu dalam suatu larutan kimia. Setelah perlakuan tersebut, dari 100 benih dihasilkan 45 benih yang tumbuh berkecambah. Dapatkah kita simpulkan bahwa perlakuan tersebut telah meningkatkan persentase berkecam-bahnya benih tanaman tersebut?

Penyelesaian:

Langkah 1: Penentuan hipotesis

Respons dari penelitian ini adalah benih yang ‘tumbuh’ dan ‘tidak tumbuh’. Sehingga merupakan data dalam skala pengukuran nominal. Data yang demikian biasa dilambangkan dengan 1 dan 0 (1 untuk benih yang tumbuh dan 0 untuk benih yang tidak tumbuh). Proporsi p adalah parameter yang menjadi perhatian kita. Dalam persoalan di atas, kita ingin mengetahui apakah perlakuan perendaman benih tersebut dapat meningkatkan persentase tumbuhnya benih tanaman tersebut. Oleh karena itu pasangan hipotesis yang akan kita uji dapat diumuskan sebagai berikut:

H0: p = 0,38

Page 16: 6 pengujian

163

H1: p > 0,38

Langkah 2: Statistik uji

Statistik uji yang digunakan adalah

( ) npp

ppZ

−⋅

−=

1

ˆ

dimana statistik uji Z adalah variabel acak yang berdistribusi Normal baku.

Langkah 3: Penentuan daerah kritis

Dengan taraf nyata α = 0,05. Titik kritisnya adalah zα = z0,05 = 1,645 (diperoleh dari Tabel Lampiran 2). Sehingga daerah kritisnya adalah z > 1,645 dan daerah penerimaan hipotesis nol adalah jika z ≤ 1, 645

Langkah 4: Penentuan nilai statistik uji dari sampel

Dari sampel berukuran 100 diperoleh 45,0ˆ =p , maka nilai statistik uji berdasarkan

sampel tersebut adalah

( ) ( )44,1

10038,0138,0

38,045,0

1

ˆ

00

0 =−

−=

−⋅

−=

npp

ppzhitung

Langkah 5: Kesimpulan

Karena nilai zhitung terletak di daerah penerimaan hipotesis nol, maka H0 tidak ditolak. Kita simpulkan bahwa tidak cukup bukti untuk menyatakan bahwa perlakuan perendaman benih tersebut telah meningkatkan persentase berke-cambahnya benih tanaman tersebut. Perhatikan bahwa, walaupun percobaan tersebut menghasilkan 45% benih yang berkecambah, tetapi bukti tersebut tidak cukup kuat untuk menyatakan bahwa proporsi populasinya telah lebih dari 38%.

Untuk menganalisis data tersebut dalam MINITAB, benih yang tumbuh diberi skor 1 dan yang tidak tumbuh diberi skor 0. Dengan demikian hasil percobaan tersebut akan terdiri atas 45 data yang bernilai 1 dan 55 data bernilai 0. Pengujian hipotesis dilakukan sama seperti dalam bagian 6.2.1, yaitu dengan perintah Z-

Test. Nilai Sigma untuk kasus ini adalah ( ) ( ) 4854,038,0138,01 =−=−⋅ pp .

Output dari MINITAB untuk kasus ini adalah sebagai berikut:

Page 17: 6 pengujian

164

MTB > ZTest .38 .4854 'benih';

SUBC> Alternative 1.

Z-Test

Test of mu = 0.3800 vs mu > 0.3800

The assumed sigma = 0.485

Variable N Mean StDev SE Mean Z P

benih 100 0.4500 0.5000 0.0485 1.44 0.075

MTB >

6.5 Pengujian hipotesis tentang varians populasi

Ketika kita membahas pengujian hipotesis dalam bagian 6.3, pusat perhatian kita terfokus pada rata-rata populasi yang merupakan salah satu ukuran pemusatan yang penting. Dalam bagian tersebut kita mengenal dua jenis pengujian tentang rata-rata populasi yang penggunaannya tergantung pada pengetahuan kita tentang keragaman atau varians populasinya. Pada kasus-kasus tertentu kadang-kadang keragaman dalam data mempunyai peranan yang lebih penting daripada ukuran pemusatannya. Misalnya, suatu perusahaan produsen obat-obatan tentu saja harus selalu memperhatikan rata-rata kemampuan atau daya penyembuhan dari obat/tablet yang dibuatnya, akan tetapi perusahaan tersebut juga harus selalu mengawasi keragaman daya penyembuhan suatu tablet ke tablet lainnya. Daya penyembuhan yang berlebihan dapat menyebabkan kelebihan dosis bagi pemakainya, dan hal ini dapat membahayakan jiwa pasien tersebut. Oleh karena itu, perusahaan tersebut harus dapat memproduksi tablet dengan rata-rata daya penyembuhan tertentu dengan keragaman daya penyembuhan sekecil mungkin. Telah kita ketahui, bahwa salah satu ukuran keragaman atau penyebaran yang sering digunakan adalah varians.

Pasangan hipotesis yang akan diuji berkaitan dengan varians suatu populasi Normal biasanya dirumuskan sebagai salah satu dari bentuk berikut:

1. H0: σ2 = 2

H1: σ2 ≠ 2

0σ (hipotesis dua arah)

2. H0: σ2 = 2

H1: σ2 > 2

0σ (hipotesis satu arah)

3. H0: σ2 = 2

H1: σ2 < 2

0σ (hipotesis satu arah)

Page 18: 6 pengujian

165

Dalam bagian 5.7 telah kita ketahui bahwa statistik

( )2

22 1

σχ

sn −= ................................................................................ [6.7]

merupakan nilai suatu variabel acak yang berdistribusi mengikuti kaidah Distribusi Chi kuadrat dengan derajat bebas n – 1. Dalam bab 5, statistik tersebut kita

gunakan untuk menentukan selang kepercayaan bagi varians populasi σ2. Oleh

karena itu, statistik tersebut dapat juga digunakan sebagai statistik uji dalam

pengujian hipotesis tentang varians populasi σ2. Nilai statistik uji sample

ditentukan dengan

( )20

22 1

σχ

snhitung

−= ............................................................................ [6.8]

Daerah kritis dan daerah penerimaan hipotesis untuk taraf nyata tertentu dengan menggunakan bantuan tabel Chi kuadrat (Tabel Lampiran 4).

Contoh 6.5

Sebuah timbangan di suatu laboratorium dapat digunakan untuk menimbang benda sampai pada satuan miligram terdekat. Tingkat ketelitian timbangan tersebut diukur oleh simpangan bakunya. Jika simpangan bakunya lebih besar dari 1 miligram maka berdasarkan prosedur baku di laboratorium, timbangan tersebut harus segera untuk dikalibrasi. Untuk mengetahui apakah timbangan tersebut sudah saatnya dikalibrasi kembali, 5 orang laboran secara independen melakukan penimbangan dengan menggunakan suatu ukuran standar 5 gram dan hasilnya adalah sebagai berikut (gr):

5,002 4,999 5,001 5,000 5,003

Perlukah timbangan tersebut dikalibrasi? Gunakan α = 0,1.

Penyelesaian:

Pasangan hipotesis yang akan kita uji adalah

H0: σ2 = 1

H1: σ2 > 1

Untuk menguji hipotesis tersebut kita perlu menghitung varians sampel s2 lebih

dulu (perhatikan bahwa satuan pengukuran data tersebut harus diubah kedalam satuan miligram):

( )

−= ∑∑ nxxn

s222

1

1

Page 19: 6 pengujian

166

( )[ ] 5,25005.25015.050.1254

1 22 =−=s

Nilai statistik uji sampelnya adalah:

( )10

1

5,24120

22 =

×=

−=

σχ

snhitung

Hipotesis H1 dalam kasus ini menunjukkan suatu jenis pengujian satu arah, maka untuk taraf nyata α = 0,1 dengan derajat bebas ν = 4, dari Table Lampiran 4 kita

peroleh bahwa titik kritis pengujian adalah 277,1324 ;1,0 =χ . Dengan demikian,

kriteria pengujian hipotesis adalah tolak H0 jika 277,132 >hitungχ dan terima H0 jika

277,132 ≤hitungχ . Karena nilai statistik uji sampel (=10) terletak di daerah pene-

rimaan hipotesis, maka kita simpulkan bahwa alat timbangan tersebut masih cukup teliti dan belum saatnya dikalibrasi ulang.

6.6 Pengujian hipotesis tentang selisih rata-rata dua populasi independen

Sampai sejauh ini kita telah membahas pengujian hipotesis yang hanya berkaitan dengan nilai parameter dari suatu populasi. Dalam bagian ini, konsep pengujian hipotesis tersebut akan kita perluas untuk kasus-kasus yang melibatkan dua populasi Nor-mal yang independen. Namun demikian, pembahasan dalam bagian ini terbatas pada pengujian hipotesis tentang selisih rata-rata kedua populasi.

1 2

Populasi Rata-rata = 1µ Rata-rata = 2µ

Varians = 21σ Varians = 2

Sampel

Ukuran sampel = n1 Ukuran sampel = n2

Rata-rata = 1x Rata-rata = 2x

Varians = 21s Varians = 2

2s

Gambar 6.4 Notasi bagi parameter populasi dan statistik sampelnya

Page 20: 6 pengujian

167

Prosedur pengujian hipotesis dilakukan berdasarkan pada sampel yang diambil dari masing-masing populasi tersebut. Sebagai konvensi baku, notasi yang digunakan untuk parameter kedua populasi tersebut dan statistik sampelnya disajikan dalam gambar 6.4.

Pertanyaan yang seringkali harus dijawab dalam membandingkan rata-rata dua populasi adalah apakah kedua rata-rata populasi tersebut sama besar? Pertanyaan tersebut biasa dinyatakan dalam bentuk selisih antar kedua nilai rata-rata tersebut. Jika rata-ratanya sama, maka tentunya selisihnya harus sama dengan nol. Oleh karena itu, hipotesis nol dari persoalan tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut:

H0: µ1 – µ2 = 0

Sedangkan hipotesis alternatifnya dapat berbentuk

1. H1: µ1 – µ2 ≠ 0, atau 2. H1: µ1 – µ2 < 0, atau 3. H1: µ1 – µ2 > 0

6.6.1 Kasus 1: Pengujian hipotesis tentang selisih rata-rata dua populasi

independen, σ12 dan σ2

2 nilainya diketahui

Jika kita mempunyai dua populasi Normal dengan rata-rata masing-masing adalah

µ1 dan µ2 dengan varians σ12 dan σ2

2, maka penduga yang paling efisien bagi

selisih rata-rata populasi 21 µµ − adalah statistik 21 XX − (selisih rata-rata sampel

yang diambil dari masing-masing populasi). Oleh karena itu, statistik uji yang digunakan untuk menguji hipotesis tentang selisih rata-rata dua populasi (µ1 – µ2)

ditentukan berdasarkan atas selisih rata-rata sampel tersebut ( )21 XX − dan

distribusi samplingnya. Dalam bagian 4.4 telah kita ketahui bahwa statistik

2

22

1

21

2121 )()(

nn

XXZ

σσ

µµ

+

−−−= ............................................................... [6.9]

adalah variabel acak yang berdistribusi Normal baku. Oleh karena itu, statistik tersebut biasa digunakan sebagai statistik uji dalam pengujian hipotesis tentang

selisih rata-rata populasi Normal. Titik kritis untuk taraf nyata α tertentu ditentukan dengan menggunakan Tabel Normal baku (Tabel Lampiran 2) dan dengan memperhatikan jenis hipotesis alternatifnya.

Statistik uji Z tersebut dapat ditentukan jika varians kedua populasi tersebut, σ12

dan σ22, diketahui nilainya. Oleh karena itu, pengetahuan tentang nilai kedua

varians tersebut merupakan salah satu persyaratan penggunaan statistik uji Z.

Page 21: 6 pengujian

168

Harus diakui, bahwa persyaratan tersebut pada prakteknya seringkali tidak dapat dipenuhi. Pengetahuan tentang nilai kedua varians tersebut biasanya hanya semata-mata berdasarkan atas pengalaman atau hasil-hasil penelitian terdahulu tentang objek penelitian yang sama. Oleh karena itu, ketika nilai varians populasinya tidak diketahui, nilai-nilai tersebut biasa diganti dengan nilai varians sampelnya masing-masing. Hal ini tentu saja akan mempengaruhi hasil analisis, terutama tingkat kepercayaan atau taraf nyatanya tidak akan tepat seperti kalau menggunakan nilai varians populasi yang sesungguhnya. Namun demikian, pendekatan tersebut menjadi semakin baik jika ukuran kedua sampel yang dianalisis semakin besar. Pendekatan tersebut umumnya sudah cukup baik jika n1 dan n2 masing-masing lebih besar dari 30.

Nilai statistik uji kemudian dihitung berdasarkan informasi yang diperoleh dari kedua sampel independen yang diambil dari populasinya masing-masing dengan rumus berikut:

2

22

1

21

2121 )()(

nn

xxzhitung

σσ

µµ

+

−−−= ........................................................ [6.10]

atau jika n1 > 30 dan n2 > 30 statitik ujinya dapat ditentukan dengan rumus berikut

2

22

1

21

2121 )()(

n

s

n

s

xxzhitung

+

−−−=

µµ ........................................................ [6.11]

Tabel 6.3 Kriteria pengujian pada taraf nyata αααα bagi berbagai pasangan hipotesis yang diuji

Pasangan hipotesis Titik kritis Kriteria pengujian

H0: µ1 – µ2 = 0

H1: µ1 – µ2 ≠ 0 zα/2

� Tolak H0 jika zhitung < – zα/2 atau zhitung > zα/2

� Terima H0 jika – zα/2 < zhitung < zα/2

H0: µ1 – µ2 = 0

H1: µ1 – µ2 > 0 zα

� Tolak H0 jika zhitung > zα

� Terima H0 jika zhitung < zα

H0: µ1 – µ2 = 0

H1: µ1 – µ2 < 0 zα

� Tolak H0 jika zhitung < – zα

� Terima H0 jika zhitung > – zα

Kriteria pengujian untuk menerima atau menolak H0 ditentukan dengan memban-dingkan nilai zhitung dengan titik kritisnya (tabel 6.3).

Page 22: 6 pengujian

169

Contoh 6.6

Untuk meningkatkan pertumbuhan berat badan ayam pedaging, seorang peternak ayam menambahkan sejumlah tepung ikan ke dalam pakan yang biasa dia beri-kan. Pakan tambahan tersebut diberikan kepada sejumlah anak ayam selama 45 hari. Misalkan populasi 1 adalah anak ayam yang mendapat pakan tambahan dan populasi 2 adalah anak ayam yang mendapat pakan yang biasa selama periode

yang sama. Misalkan pula µ1 dan µ2 masing-masing adalah rata-rata berat badan ayam dari kedua populasi tersebut. Pasangan hipotesis yang ingin diuji adalah:

H0: µ1 – µ2 = 0

H1: µ1 – µ2 > 0

Misalkan suatu sampel acak sejumlah 100 ekor diambil dari ayam yang mendapat

pakan tambahan dan diperoleh 1x = 1,83 kg dengan 21s =0,0124 kg

2 sedangkan

dari populasi ayam yang mendapat pakan biasa diambil sampel sebanyak 130

ekor dan diperoleh 2x = 1,74 kg dengan 22s =0,0172 kg

2. Berdasarkan data

tersebut, dapatkah kita simpulkan bahwa penambahan tepung ikan terhadap makanan ayam telah meningkatkan berat ayam tersebut?

Penyelesaian:

Karena ukuran kedua sampel tersebut cukup besar, maka statistik uji digunakan adalah

2

22

1

21

2121 )()(

n

S

n

S

XXZ

+

−−−=

µµ

dimana 21S dan 2

2S masing-masing adalah varians dari kedua sampel tersebut.

Hipotesis alternatif merupakan hipotesis satu arah, sehingga untuk taraf nyata α = 0,05 titik kritis pengujiannya adalah z α = z0,05 = 1,645 (lihat tabel 6.3)

Nilai statistik uji dari kedua sampel tersebut adalah

( ) ( )( )

( ) ( )622,5

1300172,01000124,0

074,183,1)()(

2221

21

2121

=

+

−−=

+

−−−=

nsns

xxzhitung

µµ

Karena zhitung = 5,622 lebih besar dari zα = 1,645, maka hipotesis nol ditolak. Artinya, ayam pedaging yang mendapat tambahan tepung ikan dalam pakannya secara statistik lebih berat daripada ayam yang mendapat pakan biasa.

Page 23: 6 pengujian

170

Dalam contoh di atas diketahui bahwa secara statistik, terdapat perbedaan antara berat badan ayam yang mendapat pakan tambahan dengan ayam yang mendapat pakan biasa. Namun demikian, apakah selisih rata-rata berat ayam tersebut berbeda secara ekonomis, merupakan persoalan lain. Selisih rata-rata berat ayam sebesar 0,09 kg telah terbukti berbeda secara statistik, tetapi belum tentu meng-untungkan secara ekonomis, karena peternak tersebut harus mengeluarkan biaya tambahan untuk pembelian tepung ikan. Oleh karena itu, suatu analisis statistik harus selalu disertai dengan pertimbangan dan analisis dari berbagai aspek lain-nya agar memberikan informasi yang bermanfaat untuk keperluan praktis.

Analisis untuk data dalam contoh di atas dapat dilakukan dengan program Excel melalui prosedur berikut. Simpan data dari kedua sampel tersebut dalam dua ko-lom yang berbeda, misalnya dalam kolom A dan B. Untuk memudahkan kita, baris pertama dari ke dua kolom tersebut sebaiknya diisi dengan keterangan tentang kedua sampel tersebut (misalnya cell A1 berisi ‘sampel-1’ dan cell B1 berisi ‘sampel-2’). Pengujian hipotesis tentang rata-rata kedua populasi tersebut dilakukan dengan memilih menu

Tools ���� Data Analysis

kemudian pilih z-Test: Two Sample for Means dalam kotak pilihan

Analysis Tools dan klik OK. Rangkaian perintah tersebut akan mengaktifkan

jendela z-Test: Two Sample for Means seperti telihat dalam gambar 6.5.

Lengkapi input yang diminta dalam setiap kotak yang tersedia, lalu klik OK.

Gambar 6.5 Jendela z-Test: Two Sample for Means dalam EXcel

Page 24: 6 pengujian

171

Output dari rangkaian perintah tersebut adalah sebagai berikut:

z-Test: Two Sample for Means

sampel-1 sampel-2

Mean 1.829 1.741538

Known Variance 0.0124 0.0172

Observations 100 130

Hypothesized Mean Difference 0

z 5.46306

P(Z<=z) one-tail 2.3456E-08

z Critical one-tail 1.644853

P(Z<=z) two-tail 4.6911E-08

z Critical two-tail 1.95996

Penjelasan:

Mean = rata-rata sampel Known Variance = varians sampel (pengganti varians populasi) Observation = ukuran sampel

Hypothesized Mean Difference = H0: µ1 – µ2 = 0 z = zhitung P(Z<=z) one-tail = nilai peluang bagi zhitung untuk uji satu arah

z Critical one-tail = titik kritis zα untuk uji satu arah P(Z<=z) two-tail = nilai peluang bagi zhitung untuk uji dua arah

z Critical two-tail = titik kritis zα/2 untuk uji dua arah

Fasilitas pengujian hipotesis dengan menggunakan statistik uji Z tidak tersedia dalam program MINITAB. Namun demikian, prosedur pengujian dapat dilakukan dengan menggunakan statistik uji T yang akan dibahas pada bagian-bagian berikutnya dalam buku ini.

Selang kepercayaan bagi selisih rata-rata populasi dapat ditentukan dengan menggunakan aturan 6.1 berikut ini.

Aturan 6.1 Selang kepercayaan bagi 21 µµ − ; σσσσ11112 dan σ σ σ σ2222

2 diketahui

Selang kepercayaan (1 – α)100% bagi selisih rata-rata dari dua populasi Normal, 21 µµ − , adalah

Page 25: 6 pengujian

172

( ) ( )2

22

1

21

221212

22

1

21

221nn

zxxnn

zxxσσ

µµσσ

αα ++−<−<+−− ............. [6.12]

atau

( )2

22

1

21

221nn

zxxσσ

α +±− ........................................................................... [6.13]

dimana 1x dan 2x masing-masing adalah rata-rata dari dua sampel yang

independen yang diambil dari kedua populasi tersebut; n1 dan n2 adalah

ukuran masing-masing sampel; σ12 dan σ2

2 masing-masing adalah varians

kedua populasi tersebut; dan 2αz adalah nilai kritis dari tabel normal baku.

Jika ukuran dari kedua sampel tersebut cukup besar, kedua nilai varians populasinya dapat diganti dengan nilai varians sampelnya masing-masing.

Contoh 6.7

Tentukan selang kepercayaan 95% bagi selisih rata-rata populasi dalam contoh 6.5 di atas.

Penyelesaian:

Karena ukuran kedua sampel tersebut cukup besar dan nilai sesungguhnya dari varians populasi tidak diketahui, maka nilai varians sampel akan digunakan sebagai pengganti nilai varians populasi. Untuk tingkat kepercayaan 95%, nilai kritisnya adalah zα/2 = z0,025 = 1,96. Selang kepercayaan 95% bagi selisih rata-rata populasi ditentukan sebagai berikut:

( ) ( )2

22

1

21

221212

22

1

21

221n

s

n

szxx

n

s

n

szxx ++−<−<+−− αα µµ

( ) ( )130

0172,0

100

0124,096,174,183,1

130

0172,0

100

0124,096,174,183,1 21 +⋅−−<−<+⋅−− µµ

atau

0,0586 < µ1 – µ2 < 0,1214

Page 26: 6 pengujian

173

6.6.2 Kasus 2: Pengujian hipotesis tentang selisih rata-rata dua populasi

independen, σ12 = σ2

2 tetapi nilainya tidak diketahui

Prosedur pengujian hipotesis yang dibahas dalam bagian 6.6.1 hanya dapat diterapkan pada keadaan dimana nilai varians kedua populasinya diketahui, atau jika ukuran sampelnya cukup besar sehingga nilai varians populasi tersebut dapat diganti dengan nilai varians sampelnya masing-masing. Pada prakteknya keadaan tersebut seringkali tidak dapat dipenuhi. Nilai varians populasi pada kenyataannya sangat jarang diketahui, kecuali hanya pada kasus-kasus khusus saja. Selain itu, ada kalanya ukuran sampel dari setiap populasi tidak dapat dibuat cukup besar, karena berbagai kendala seperti waktu, biaya dan tenaga yang tersedia.

Pada kasus dimana nilai varians populasi tidak diketahui dan ukuran sampel dari masing-masing populasi kecil (n1 < 30 dan n2 < 30), maka pengujian hipotesis bagi selisih rata-rata populasi dapat dilakukan dengan menggunakan distribusi t. Prosedur pengujian ini syah asalkan kedua populasinya paling tidak mendekati distribusi Normal dan varians kedua populasi tersebut dapat diasumsikan sama, yaitu σ1

2 = σ2

2 = σ2

.

Nilai σ2 dapat diduga dengan sp

2, dimana

2

)1()1(

21

222

2112

−+

⋅−+⋅−=

nn

snsnsp ..................................................... [6.14]

Nilai s 12 dan s2

2 dalam rumus [6.4] adalah varians dari masing-masing sampel dan

n1 dan n2 adalah ukuran masing-masing sampel.

Dengan aturan 4.6, telah kita ketahui bahwa

( ) ( )21

2121

11

)()(

nns

XXT

p +

−−−=

µµ ............................................................. [6.15]

adalah variabel acak yang berdistribusi t dengan derajat bebas ν = n1 + n2 – 2. Dengan demikian, statistik T tersebut dapat digunakan sebagai statistik uji untuk menguji hipotesis tentang selisih rata-rata populasi.

Nilai statistik uji sampel kemudian ditentukan dengan rumus berikut:

( ) ( )21

2121

11

)()(

nns

xxt

p

hitung+

−−−=

µµ ........................................................ [6.16]

Kriteria pengujian untuk menerima atau menolak H0 ditentukan dengan membandingkan nilai thitung dengan titik kritisnya (lihat tabel 6.4)

Page 27: 6 pengujian

174

Tabel 6.4 Kriteria pengujian pada taraf nyata αααα bagi berbagai pasangan hipotesis tentang selisih rata-rata populasi

Pasangan hipotesis Titik kritis Kriteria pengujian

H0: µ1 – µ2 = 0

H1: µ1 – µ2 ≠ 0 tα/2

� Tolak H0 jika thitung < – tα/2 atau thitung > tα/2

� Terima H0 jika – tα/2 < thitung < tα/2

H0: µ1 – µ2 = 0

H1: µ1 – µ2 > 0 tα

� Tolak H0 jika thitung > tα

� Terima H0 jika thitung < tα

H0: µ1 – µ2 = 0

H1: µ1 – µ2 < 0 tα

� Tolak H0 jika thitung < – tα

� Terima H0 jika thitung > – tα

Contoh 6.8

Sebuah lembaga konsumen melakukan suatu percobaan untuk menguji rata-rata ketahanan ban mobil dari dua merek yang berbeda. Misalnya populasi pertama adalah ban bermerek A dan populasi kedua adalah ban bermerek B. Dari setiap populasi ban tersebut diambil sampel sejumlah ban baru dan diuji dalam sebuah mesin simulator sampai ban tersebut pecah. Karena biaya untuk percobaan tersebut relatif mahal, maka diputuskan untuk membatasi jumlah sampel ban mobil yang digunakan. Dari percobaan tersebut diperoleh data tentang jarak tempuh ban pada saat ban tersebut pecah sebagai berikut (dalam ribuan km):

Ban A: 9,4222 10,8992 10,8574 9,7521 9,4940 11,4532 10,1087 11,3314

Ban B: 9,1158 9,3067 10,1333 8,0878 11,0111 10,7948

Penyelesaian:

Hipotesis yang ingin diuji dalam percobaan ini adalah apakah kedua merek ban tersebut mempunyai rata-rata ketahanan yang sama. Hal ini dapat diformulasikan dalam pasangan hipotesis berikut:

H0: µ1 – µ2 = 0

H1: µ1 – µ2 ≠ 0

Dari kedua sampel ban diperoleh statistik sebagai berikut:

Sampel A Sampel B

Rata-rata sampel 10,4148 9,7416

Varians sampel 0,6736 1,2380

Ukuran sampel 8 6

Page 28: 6 pengujian

175

Jika varians kedua populasi ban tersebut dapat diasumsikan sama, maka statistik uji yang digunakan adalah

( ) ( )21

2121

11

)()(

nns

XXT

p +

−−−=

µµ dimana

2

)1()1(

21

222

2112

−+⋅−+⋅−

=nn

snsnsp

Statistik uji T tersebut akan berdistribusi t dengan derajat bebas ν = 8 + 6 – 2 = 12.

Maka untuk taraf nyata α = 0,05 titik kritis pengujian dapat ditentukan dengan menggunakan tabel distribusi t (Tabel Lampiran 3), yaitu tα/2 ; 12 = t0,025 ; 12 = 2,1788.

Varians gabungan bagi kedua sampel tersebut adalah

9088,0268

)2380,1(5)6736,0(72 =−+

⋅+⋅=ps

Nilai statistik uji adalah

( )( ) ( )

308,16/18/19533,0

07416,94148,10=

+

−−=hitungt

Karena nilai thitung = 1,308 lebih kecil dari t0,025 ; 12 = 2,1788 maka H0 tidak ditolak. Artinya, walaupun nilai rata-rata kedua sampel tersebut kelihatan berbeda (selisihnya lebih dari 670 km), tetapi hal ini belum merupakan bukti yang cukup untuk menyatakan bahwa kedua rata-rata tersebut berbeda secara statistik.

Prosedur pengujian hipotesis untuk kasus dimana ukuran sampelnya kecil dan kedua varians populasinya tidak diketahui, tetapi dapat diasumsikan mempunyai nilai yang sama, dapat dilakukan baik dengan program Excel maupun MINITAB. Untuk itu, data dari kedua sampel tersebut sebaiknya disimpan dalam dua kolom yang berbeda.

Dalam Excel fasilitas pengujian hipotesis dapat diakses dengan memilih menu

Tools ���� Data Analysis

kemudian pilih t-Test: Two Sample Assuming Equal Variances dalam

kotak pilihan Analysis Tools dan klik OK. Perintah tersebut akan mengaktifkan

jendela t-Test: Two Sample Assuming Equal Variances yang hampir

sama dengan jendela z-Test: Two Sample for Means pada gambar 6.5.

Lengkapi input yang diminta dalam setiap kotak yang tersedia, lalu klik OK. Output dari rangkaian perintah tersebut untuk data dalam contoh 6.8 adalah sebagai berikut:

Page 29: 6 pengujian

176

t-Test: Two-Sample Assuming Equal Variances

Ban A Ban B

Mean 10.4148 9.7416

Variance 0.6736 1.2380

Observations 8 6

Pooled Variance 0.9088

Hypothesized Mean Difference 0

Df 12

t Stat 1.3076

P(T<=t) one-tail 0.1078

t Critical one-tail 1.7823

P(T<=t) two-tail 0.2155

t Critical two-tail 2.1788

Penjelasan:

Mean = rata-rata sampel Variance = varians sampel Observation = ukuran sampel Pooled Variance = varians sampel gabungan

Hypothesized Mean Difference = H0: µ1 – µ2 = 0 Df = derajat bebas bagi t t Stat = thitung P(Z<=z) one-tail = Nilai peluang bagi thitung untuk uji satu arah

t Critical one-tail = Titik kritis tα untuk uji satu arah P(Z<=z) two-tail = Nilai peluang bagi thitung untuk uji dua arah

t Critical two-tail = Titik kritis tα/2 untuk uji dua arah

Sedangkan dalam MINITAB fasilitas pengujian hipotesis tersebut dapat diakses dengan memilih menu

Stat ���� Basic Statistics ���� 2-Sample t ...

Perintah tersebut akan mengaktifkan jendela 2-Sample t seperti terlihat dalam gambar 6.6. Karena kedua sampel tersebut disimpan dalam dua kolom yang berbeda, klik tombol disamping Samples in different columns, lalu isikan

nama kolom pertama ke dalam kotak First dan nama kolom kedua ke dalam

kotak Second. Klik tanda disamping kotak Alternative: untuk memilih hipotesis alternatif yang sesuai. Isikan tingkat kepercayaan yang diinginkan ke

Page 30: 6 pengujian

177

dalam kotak Confidence level (MINITAB secara otomatis mengisinya untuk

tingkat kepercayaan 95%). Kemudian klik kotak kecil disamping Assume equal

variances sehingga kotak tersebut bertanda , untuk menunjukkan bahwa

varians populasinya diasumsikan sama, lalu klik OK.

Gambar 6.6 Jendela 2-Sample t dalam MINITAB

Output MINITAB untuk data dalam contoh 6.8 adalah sebagai berikut:

1 MTB > TwoSample 95.0 'Ban A' 'Ban B';

2 SUBC> Alternative 0;

3 SUBC> Pooled.

4 Two Sample T-Test and Confidence Interval

5

6 Two sample T for Ban A vs Ban B

7 N Mean StDev SE Mean

8 Ban A 8 10.415 0.821 0.29

9 Ban B 6 9.74 1.11 0.45

10

11 95% CI for mu Ban A - mu Ban B: ( -0.45, 1.79)

12 T-Test mu Ban A = mu Ban B (vs not =): T= 1.31 P=0.22 DF= 12

13 Both use Pooled StDev = 0.953

Penjelasan:

Baris 1 – 3: perintah untuk MINITAB Baris 4 – 13: output dari rangkaian perintah tersebut

Page 31: 6 pengujian

178

Baris 8: nilai-nilai statistik sampel bagi ban merek A Baris 9: nilai-nilai statistik sampel bagi ban merek B Baris 11: selang kepercayaan 95% bagi µ1 – µ2 Baris 12: informasi tentang pasangan hipotesis yang diuji, dalam hal ini

adalah H0: µ1 – µ2 = 0 (dengan H1: µ1 – µ2 ≠ 0): nilai thitung = 1.31:

peluang bagi nilai thitung = 0,22: dan derajat bebas bagi thitung = 12 Baris 13: simpangan baku gabungan (sp)

Selang kepercayaan bagi selisih rata-rata populasi dapat ditentukan dengan menggunakan aturan 6.2 berikut ini

Aturan 6.6.2 Selang kepercayaan bagi 21 µµ − ; σ12 = σ2

2 tetapi tidak

diketahui nilainya

Jika dari dua populasi yang berdistribusi hampir Normal masing-masing dengan rata-rata µ1 dan µ1 dan varians yang tidak diketahui tetapi nilainya dapat dianggap sama, diambil sampel yang saling bebas, maka selang kepercayaan (1 – α)100% bagi selisih rata-rata dari populasi, 21 µµ − , adalah

2122121

21221

11)()(

11)(

nnstxx

nnstxx pp +⋅+−<−<+⋅−− αα µµ ....... [6.17]

atau

21221

11)(

nnstxx p +⋅±− α ............................................................. [6.18]

dimana 2

)1()1(

21

222

211

−+

⋅−+⋅−=

nn

snsnsp

sedangkan 1x dan 2x masing-masing adalah rata-rata dari dua sampel yang

independen yang diambil dari kedua populasi tersebut; n1 dan n2 adalah ukuran masing-masing sampel; s1

2 dan s 2

2 masing-masing adalah varians

kedua sampel tersebut; dan tα/2 adalah nilai kritis dari tabel t dengan derajat

bebas ν = n1 + n2 – 2.

Prosedur pengujian hipotesis yang dibahas dalam bagian 6.6.2 ini didasarkan atas beberapa asumsi, yaitu bahwa

(i) kedua sampel bersifat independen

Page 32: 6 pengujian

179

(ii) kedua sampel diambil dari populasi yang berdistribusi Normal, dan (iii) varians kedua populasinya dapat diasumsikan sama.

Asumsi (i) berarti bahwa kedua sampel tersebut diambil dari dua populasi yang berbeda dan setiap individu yang terdapat dalam satu sampel tidak berkaitan dengan individu dalam sampel lainnya. Jika asumsi ini dilanggar, maka metode pengujian tersebut menjadi tidak syah dan kesimpulan yang diambil akan salah serta mungkin dapat berakibat fatal. Salah satu prosedur pengujian hipotesis untuk data yang tidak independen akan dibahas dalam bagian 6.7.

Sebaliknya, pelanggaran terhadap asumsi (ii) tidak terlalu mengkhawatirkan. Jika

ukuran sampelnya cukup besar, maka distribusi sampling bagi 1X dan 2X akan

mendekati distribusi Normal (lihat Aturan 4.2 tentang Dalil limit pusat). Dengan ukuran sampel yang relatif kecilpun, pendekatan dengan statistik T tersebut sudah cukup teliti.

Prosedur pengujian hipotesis bagi data yang varians populasinya tidak dapat diasumsikan sama akan dibahas pada bagian 6.6.3 di bawah ini. Namun demikian, prosedur pengujian yang dibahas dalam bagian 6.6.2 ini masih dapat diterapkan terhadap data yang varians populasinya berbeda sampai 3 kali lipat

( )22

21 3σσ = asalkan ukuran kedua sampelnya sama (n1 = n2). Oleh karena itu,

pengambilan sampel dari suatu percobaan sangat dianjurkan untuk mempunyai ukuran sampel yang sama.

6.6.3 Kasus 3: Pengujian hipotesis tentang selisih rata-rata dua populasi

independen, σ12 ≠ σ2

2 dan nilainya tidak diketahui

Prosedur pengujian hipotesis yang dibahas dalam bagian ini adalah untuk keadaan dimana varians populasinya tidak diketahui dan tidak dapat diasumsikan sama, serta sampelnyapun kecil dengan ukurannya tidak sama. Dalam kasus yang demikian, statistik uji yang paling sering digunakan adalah

( ) ( )2221

21

2121 )()('

nsns

xxT

+

−−−=

µµ ............................................................. [6.19]

Statistik T’’ di atas mempunyai distribusi yang mendekati distribusi t dengan derajat

bebas ν, dimana ν adalah

( )( )

( )( )

−+

+

=

11 2

2

222

1

2

121

2

2

22

1

21

nns

nns

ns

ns

ν .................................... [6.20]

nilai ν tersebut dibulatkan ke bilangan bulat terdekat.

Page 33: 6 pengujian

180

Dengan diketahuinya statistik uji dan distribusi samplingnya, maka prosedur pengujian hipotesis dapat dilakukan sama seperti prosedur pada bagian-bagian sebelumnya.

Contoh 6.9

Rata-rata jumlah curah hujan pada bulan Agustus di daerah Kapuas Hulu (bagian hulu S. Kapuas) selama 8 tahun terakhir adalah 243,9 mm dengan simpangan baku 10,70 mm. Sedangkan rata-rata jumlah curah hujan pada bulan yang sama di Pontianak (±700 km dari Kapuas Hulu ke arah hilir S. Kapuas) selama 15 tahun terakhir adalah 250,1 mm dengan simpangan baku 2,13 mm. Dapatkah kita simpulkan bahwa rata-rata jumlah curah hujan pada musim kemarau di bagian hulu dan hilir S. Kapuas tersebut sama?

Penyelesaian:

Langkah 1: Penentuan hipotesis

Hipotesis yang ingin diuji dapat dirumuskan sebagai berikut:

H0: µ1 – µ2 = 0

H1: µ1 – µ2 ≠ 0

Langkah 2: Penentuan statistik uji

Dalam kasus ini terdapat perbedaan yang menyolok antar varians kedua sampel tersebut, yaitu s1

2 = (10,70)

2 = 114,49 dan s2

2 = (2,13)

2 = 4,54. Sehingga akan

sangat tidak realistis kalau kita asumsikan bahwa kedua varians populasinya sama. Selain itu, ukuran kedua sampel tersebut tidak sama dan jumlahnyapun relatif kecil, yaitu n1 = 8 dan n2 = 15. Oleh karena itu, statistik uji T yang dibahas dalam bagian 6.5.2 tidak dapat kita gunakan. Statistik uji yang dapat kita gunakan 6adalah statistik uji T’, yaitu

( ) ( )2221

21

2121 )()('

nsns

xxT

+

−−−=

µµ

yang merupakan suatu pendekataan terhadap distribusi t dengan derajat bebas ν,

dimana ν adalah

( )( ) ( )

730,7

141554,4

7849,114

854,4849,11422

2

≈=

+

+=ν

Langkah 3: Penentuan daerah kritis

Page 34: 6 pengujian

181

Untuk α = 0,05, titik kritis pengujiannya dapat ditentukan dengan menggunakan tabel t dengan derajat bebas = 7. Karena H1 merupakan hipotesis dua arah, maka

titik kritis pengujian adalah tα/2 ; 7 = t0,025 ; 7 = 2,3646 (Tabel lampiran 3). Sehingga daerah kiritisnya adalah –2,3646 < t atau t > 2,3646.

Langkah 4: Nilai statistik uji

( ) ( )2221

21

2121' )()(

nsns

xxthitung

+

−−−=

µµ

( ) ( )6218,1

1554,4849,114

0)1,2509,243(' −=+

−−=hitungt

Karena nilai terletak di daerah penerimaan (–2,3646 < t’hitung < 2,3646), maka kesimpulan kita adalah terima H0. Artinya, kita tidak mempunyai bukti yang cukup untuk menyatakan bahwa rata-rata jumlah curah hujan bulan Agustus di kedua daerah tersebut berbeda.

Kekeliruan dalam menentukan statistik uji yang digunakan dapat berakibat fatal, terutama jika nilai statistik uji yang dihitung berdasarkan informasi dari sampel tidak berterlalu jauh berbeda dengan titik kritis pengujian. Misalnya, andaikan dalam contoh 6.9 di atas kita gunakan statistik uji T seperti yang dibahas dalam bagian 6.6.2, maka kesimpulan kita akan berbeda, dalam hal ini kita akan menolak H0.

Prosedur pengujian di atas dapat dilakukan baik dengan menggunakan program Excel maupun MINITAB. Dengan program Excel, prosedur pengujian hipotesis tersebut dapat dilakukan dengan memilih menu

Tools ���� Data Analysis

kemudian pilih t-Test: Two Sample Assuming Unequal Variances dalam

kotak pilihan Analysis Tools dan klik OK. Kemudian isikan input yang diminta

di dalam jendela t-Test: Two Sample Assuming Unequal Variances

(hampir sama dengan gambar 6.5)

Untuk menganalisisnya dengan program MINITAB, lakukan sama seperti dalam bagian 6.6.2, yaitu dengan memilih menu

Stat ���� Basic Statistics ���� 2-Sample t ...

Bedanya adalah pada jendela 2-Sample t biarkan kotak di samping Assume

equal variances kosong (klik kotak tersebut jika bertanda ).

Output MINITAB untuk persoalan dalam contoh 6.9 adalah sebagai berikut:

Page 35: 6 pengujian

182

MTB > MTB > TwoSample 95.0 'K_Hulu' 'Ptk';

SUBC> Alternative 0.

Two Sample T-Test and Confidence Interval

Two sample T for K_Hulu vs Ptk

N Mean StDev SE Mean

K_Hulu 8 243.9 10.7 3.8

Ptk 15 250.13 2.13 0.55

95% CI for mu K_Hulu - mu Ptk: ( -15.3, 2.78)

T-Test mu K_Hulu = mu Ptk (vs not =): T= -1.64 P=0.15 DF= 7

MTB >

6.7 Pengujian hipotesis untuk data berpasangan

Prosedur pengujian hipotesis yang dibahas pada bagian 6.6 hanya dapat digunakan untuk sampel-sample yang independen. Penggunaan prosedur-prosedur tersebut untuk sampel yang tidak independen dapat menimbulkan kesalahan yang mungkin berakibat fatal, terutama dalam menyimpulkan hasil analisisnya.

Suatu sampel yang tidak independen dapat terjadi ketika pengamatan atau individu dari kedua sampel tersebut saling berpasangan, sehingga nilai-nilai pengamatannya saling berkaitan. Misalkan suatu percobaan dirancang untuk menguji pengaruh pemberian suatu jenis pakan tertentu terhadap kenaikan berat badan ayam pedaging. Pakan tersebut diberikan kepada 20 ekor ayam pedaging selama suatu periode tertentu, dimana sebelum percobaan tersebut dilaksanakan, berat awal masing-masing ayam ditimbang lebih dulu. Pada akhir penelitian berat ke-20 ekor ayam tersebut ditimbang lagi. Dalam kasus ini, kelihatannya kita mempunyai dua buah sampel yang masing-masing berukuran 20, yaitu berat sebelum percobaan dan setelah percobaan. Akan tetapi, kedua sampel tersebut diperoleh dari hasil pengamatan terhadap individu yang sama, sehingga merupakan data yang berpasangan. Dengan demikian nilai pengamatan dari kedua sampel tersebut saling berkaitan dan tidak bebas satu sama lainnya. Sebagai ilustrasi, perhatikan contoh berikut ini:

Contoh 6.10

Dalam suatu percobaan yang dirancang untuk mengamati pengaruh dua jenis obat tidur terhadap pemakainya, 5 orang pasien seorang dokter yang mengeluh susah tidur direkrut secara acak. Pada malam tertentu, setiap pasien meminum salah

Page 36: 6 pengujian

183

satu jenis obat tidur dan pada malam yang lainnya dia meminum obat tidur yang lainnya. Urutan obat yang diminum oleh setiap pasien dilakukan secara acak. Lama setiap pasien tidur setelah meminum kedua jenis obat tidur tersebut disajikan dalam tabel 6.5.

Tabel 6.5 Lamanya tidur pasien setelah minum obat tidur

Lamanya tidur (jam)

Pasien Obat A Obat B Selisih (A – B)

1 7,3 6,8 0,5

2 8,5 7,9 0,6

3 6,4 6,0 0,4

4 9,0 8,4 0,6

5 6,9 6,5 0,4

Rata-rata 7,62 7,12 0,5

Varians 1,197 0,997 0,01

Jika kita gunakan prosedur pengujian yang dibahas dalam bagian 6.6.2 untuk menguji hipotesis

H0: µA – µB = 0

H1: µA – µB ≠ 0

Maka akan kita peroleh nilai statistik uji thitung = 0,75 yang terletak di daerah

penerimaan hipotesis nol (titik kritis untuk taraf nyata α = 0,05 adalah tα/2 ; 8 = t0,025 ; 8 = 2,3060). Sehingga akan kita simpulkan bahwa kita tidak mempunyai bukti yang cukup untuk menyatakan kedua obat tidur tersebut memberikan pengaruh yang tidak sama.

Akan tetapi jika data dalam tabel 6.5 tersebut kita amati secara lebih seksama, terlihat bahwa kesimpulan tersebut tidak konsisten dengan keadaan datanya. Dari tabel tersebut terlihat bahwa lamanya tidur setiap pasien setelah meminum obat A secara konsisten selalu lebih lama dibandingkan setelah meminum obat B. Hal ini terlihat dari nilai selisih A – B yang selalu positif. Kontradiksi antara data dan kesimpulan hasil analisis tersebut terjadi karena kesalahan dalam menentukan statistik uji yang digunakan. Penggunaan statistik uji T telah kita bahas dalam bagian 6.6.2 mengasumsikan bahwa kedua sampel tersebut independen. Sedangkan dalam kasus di atas, kedua sampel tersebut tidak independen. Ketidak-independenan tersebut terjadi karena setiap pasien (individu) diamati dua

Page 37: 6 pengujian

184

kali, yaitu setelah meminum obat A dan setelah meminum obat B. Dengan demikian, pelaksanaan percobaan tersebut telah menyebabkan terjadinya perpasangan antar kedua sampel.

Metode yang sebaiknya digunakan untuk melakukan inferens, baik pendugaan maupun pengujian hipotesis, tentang rata-rata populasi dari data berpasangan adalah dengan menganalisis rata-rata selisih dari nilai pengamatan terhadap setiap individu. Untuk itu, kita hitung dulu selisih nilai pengamatan dari setiap individu, yaitu Di = X1i – X2i. Perhatikan bahwa Di dapat dianggap sebagai suatu variabel acak baru yang dibangkitkan dari pasangan data (X1i, X2i). Andaikan rata-

rata populasinya adalah µD maka dapat ditunjukkan bahwa statistik T,

ns

dT

d

Dµ−= ................................................................................... [6.21]

adalah suatu variabel acak yang berdistribusi t dengan derajat bebas ν = n – 1,

dimana d , sd, dan n masing-masing secara berturut-turut adalah rata-rata, simpangan baku dan ukuran sampel yang diambil dari populasi Di.

Statistik T tersebut dapat digunakan sebagai statistik uji untuk menguji hipotesis tentang parameter populasi µD. Untuk menentukan nilai statistik ujinya kita perlu menghitung di lebih dulu, yaitu selisih nilai pengamatan setiap individu dari sampel yang kita peroleh:

di = x1i – x2i untuk i = 1, 2, ..., n

Nilai statistik uji sampelnya kemudian dapat ditentukan dengan rumus

ns

dt

d

Dhitung

µ−= ............................................................................. [6.22]

dimana d adalah rata-rata sampel, yaitu ∑= idn

d1

dan sd adalah simpangan

baku sampel, yaitu

( ) ( )

−=−

−= ∑ ∑∑ 222 1

1

1

1

1iiid d

nd

ndd

ns .................. [6.23]

Untuk taraf nyata α tertentu, titik kritis pengujian dapat ditentukan dengan menggunakan bantuan tabel t dalam Tabel Lampiran 3.

Selang kepercayaan (1 – α) 100% bagi µD ditentukan dengan rumus berikut

n

std

n

std d

Dd

2/2/ αα µ +<<− .................................................... [6.24]

atau

Page 38: 6 pengujian

185

n

std d

2/α± ................................................................................... [6.25]

dimana tα/2 adalah nilai kritis dari tabel t dengan derajat bebas ν = n – 1.

Penyelesaian contoh 6.10:

Untuk kasus dalam contoh 6.10, di adalah nilai-nilai yang tercantum dalam kolom terakhir dalam tabel 6.5 di atas. Dari tabel tersebut kita ketahui pula bahwa

d = 0,4 dan sd = 01,0 = 0,1. Hipotesis yang ingin kita uji adalah

H0: µD = 0

H1: µD ≠ 0

Sedangkan statistik ujinya adalah ns

dT

d

Dµ−= yang berdistribusi t dengan derajat

bebas ν = 4. Sehingga untuk taraf nyata α = 0,05, titik kritisnya adalah

tα/2 ; 4 = t0,025 ; 4 = 2,7765.

Nilai statistik ujinya adalah

1803,1151,0

04,0=

−=

−=

ns

dt

d

Dhitung

µ

Karena nilai thitung jauh lebih besar dari nilai kritisnya, maka dapat kita simpulkan bahwa kedua jenis obat tidur tersebut memberikan pengaruh yang berbeda terhadap rata-rata jumlah jam tidur pemakainya.

Selang kepercayaan 95% bagi µD adalah

124,04,05

1,07765,24,02/ ±=×±=±

n

std dα

Pengujian hipotesis bagi data berpasangan dapat dilakukan dengan menggunakan program paket Excel. Hal ini dilakukan dengan memilih menu

Tools ���� Data Analysis

kemudian pilih t-Test: Paired Two Sample for Means dalam kotak pilihan

Analysis Tools dan klik OK. Kemudian isikan input yang diminta seperti pada prosedur-prosedur sebelumnya. Output program Excel untuk contoh di atas adalah sebagai berikut:

Page 39: 6 pengujian

186

t-Test: Paired Two Sample for Means

obat A obat B

Mean 7.62 7.12

Variance 1.197 0.997

Observations 5 5

Pearson Correlation 0.999604

Hypothesized Mean Difference 0

Df 4

t Stat 11.18034

P(T<=t) one-tail 0.000182

t Critical one-tail 2.131846

P(T<=t) two-tail 0.000364

t Critical two-tail 2.776451

Penjelasan untuk output tersebut sama seperti pada output program Excel untuk contoh 6.7. Dalam output di atas dihitung juga koefisien korelasi Pearson (=0,999604) yang merupakan suatu ukuran keeratan antar dua variabel. Hal ini akan dibahas lebih rinci dalam bab 7.

Soal-soal latihan

6.1 Apakah yang dimaksud dengan hipotesis statistik?

6.2 Jelaskan persamaan dan perbedaan antara konsep-konsep pendugaan parameter dan pengujian hipotesis

6.3 Sebutkan komponen-komponen prosedur pengujian hipotesis

6.4 Jelaskan apakah yang dimaksud dengan hipotesis nol? Dan apakah yang dimaksud dengan hipotesis alternatif?

6.5 Pedoman apakah yang digunakan untuk menentukan suatu statistik uji?

6.6 Sebutkan tiga jenis format pasangan hipotesis dan jelaskan konsekuensinya terhadap daerah kritis pengujian!

6.7 Jelaskan apa yang dimaksud dengan salah jenis I dan salah jenis II.

6.8 Jika peluang terjadinya salah jenis I meningkat, bagaimanakah pengaruhnya terhadap peluang terjadinya salah jenis II?

6.9 Jelaskan apa yang dimaksud dengan taraf nyata dan kuasa pengujian

Page 40: 6 pengujian

187

6.10 Jelaskan apa yang dimaksud dengan daerah penolakan atau daerah kritis pengujian

6.11 Pada keadaan bagaimanakah kita dapat menggunakan statistik uji Z dalam pengujian hipotesis tentang rata-rata populasi?

6.12 Misalkan statistik uji bagi pengujian hipotesis-hipotesis di bawah ini adalah statistik uji Z. Tentukan daerah penolakan bagi hipotesis-hipotesis berikut:

a. H0: µ = 1000 H1: µ ≠ 1000 α = 0,05

b. H0: µ = 500 H1: µ > 500 α = 0,01

c. H0: µ = 10 H1: µ < 10

α = 0,025

6.13 Misalkan dari suatu sampel berukuran n = 75 diperoleh nilai rata-rata sampel sama dengan 6,7 dengan simpangan baku sama dengan 3. Statistik uji

apakah yang akan anda gunakan untuk menguji hipotesis H0: µ = 5 dan H1: µ > 5?

6.14 Jika taraf nyata yang digunakan adalah 0,05, apakah kesimpulan pengujian anda tentang persoalan dalam contoh 6.13 di atas?

6.15 Suatu variabel diketahui beridtribusi Normal dengan simpangan baku = 6. Suatu sampel berukuran 16 diambil dari populasi tersebut dan diperoleh nilai rata-rata sampel = 53. Ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa rata-rata populasi variabel tersebut sebenarnya adalah 50.

6.16 Suatu sampel berukuran 20 diambil dari suatu populasi Normal dengan varians = 100. Jika rata-rata sampel tersebut adalah 115, ujilah pasangan

hipotesis H0: µ = 110 dan H1: µ > 110. Gunakan α = 0,01

6.17 Berdasarkan pengalaman diketahui bahwa rata-rata tagihan telepon per rumah tangga di negara bagian Australia Barat adalah $101,2 dengan simpangan baku $25,7. Suatu perusahaan telpon di negara bagian tersebut mempromosikan tarif yang relatif murah untuk sambungan langsung jarak jauh dengan harapan agar orang lebih sering menggunakan jasa sambungan telepon perusahaan tersebut. Setelah masa promosi tersebut, diketahui bahwa rata-rata tagihan telepon dari 57 pelanggannya adalah $109,8. Dapatkah kita simpulkan bahwa masa promosi tersebut telah berhasil

meningkatkan pendapatan perusahaan tersebut? Gunakan α = 0,1

6.18 Misalkan statistik uji bagi pengujian hipotesis-hipotesis di bawah ini adalah statistik uji Z. Tentukan nilai p (p-value) bagi pengujian hipotesis berikut:

Page 41: 6 pengujian

188

a. H0: µ = 125 H1: µ ≠ 125 z = –2,63

b. H0: µ = 50 H1: µ > 50 z = 1,99

c. H0: µ = 150 H1: µ < 150 z = –2,33

6.19 Dari suatu sampel acak berukuran 15 diperoleh nilai rata-rata sampel tersebut = 160 dan simpangan bakunya = 10. Gunakan taraf nyata 0,01 untuk menguji hipotesis berikut:

H0: µ = 150 vs H1: µ > 150

6.20 Untuk kasus-kasus di bawah ini, tentukan apakah hipotesis nol tentang rata-rata populasi ditolak atau diterima:

a. H0: µ = 125 H1: µ ≠ 125 n = 9 ; x = 135 ; s = 15 ; α = 0,05

b. H0: µ = 10000 H1: µ > 10000 n = 10 ; x = 11500 ; s = 3000 ; α = 0,05

c. H0: µ = 150 H1: µ < 150 n = 25 ; x = 135 ; s = 50 ; α = 0,10

6.21 Sampel dari suatu populasi Normal menghasilkan data sebagai berikut: 4, 8,

12, 11, 14, 6, 12, 8, 5. Dengan taraf nyata α = 0,10, dapatkah kita simpulkan bahwa rata-rata populasi tersebut lebih besar dari 7?

6.22 Jelaskan persamaan dan perbedaan prosedur pengujian hipotesis bagi rata-rata populasi dengan prosedur pengujian hipotesis bagi proporsi populasi.

6.23 Statistik uji apakah yang biasa digunakan untuk menguji hipotesis tentang proporsi populasi?

6.24 Ujilah setiap kasus pengujian hipotesis tentang proporsi pupolasi berikut:

a. H0: p = 0,45

H1: p ≠ 0,45

n = 100 ; p̂ = 0,4 ; α = 0,05

Page 42: 6 pengujian

189

b. H0: p = 0,65 H1: p > 0,65

n = 1000 ; p̂ = 0,71 ; α = 0,1

c. H0: p = 0,25 H1: p > 0,25

n = 1500 ; p̂ = 0,2 ; α = 0,1

6.25 Jika dari suatu sampel acak berukuran n = 150 diperoleh p̂ = 0,56. Dengan

taraf nyata α = 0,05, dapatkah kita simpulkan bahwa proporsi populasinya lebih besar dari 0,5?

6.26 Sebuah mata uang dilemparkan 100 kali. Jika jumlah sisi muka yang timbul adalah 60 kali, sudah cukup buktikah untuk menyatakan bahwa mata uang tersebut tidak seimbang (gunakan taraf nyata 5%)?

6.27 Sebuah mesin di suatu pabrik digunakan untuk membuat kelahar (ball bearing) berukuran ¼ inci. Mesin tersebut dinyatakan berfungsi dengan baik jika varians dari diameter kelahar hasil produksinya tidak lebih dari 0,0004. Dari suatu sampel yang terdiri dari 41 kelahar diperoleh varians sampel s

2 = 0,0007. Dapatkah kita simpulkan bahwa mesin tersebut masih berfungsi

dengan baik (gunakan taraf nyata 1%)?

6.28 Jika dari suatu sampel berukuran 12 diperoleh varians sampel s2 = 20,

dapatkah kita menolak hipotesis bahwa σ2 = 9 pada taraf nyata 5%?

6.29 Suatu pengujian dilakukan untuk mengukur tingkat ketelitian suatu teknik pengukuran tingkat radiasi. Dari pegujian tersebut diperoleh hasil pengukuran sebagai berikut:

3.6 4,2 4,0 4,1 3,8 3,9 4,0

Teknik pengukuran tersebut diharapkan mempunyai varians maksimum sebesar 0,05. Ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa varians dari teknik pengukuran tersebut lebih besar dari 0,05 dengan menggunakan taraf nyata 5%.

6.30 Rumuskan hipotesis nol dari suatu pengujian hipotesis tentang selisih rata-rata dari dua populasi.

6.31 Pada kondisi bagaimanakah kita dapat menggunakan statistik uji Z untuk menguji hipotesis tentang selisih rata-rata dua populasi?

6.32 Dapatkah kita menggunakan statistik uji Z untuk menguji hipotesis tentang selisih rata-rata dua populasi ketika ukuran sampel yang diambil kurang dari 30?

Page 43: 6 pengujian

190

6.33 Ketika varians populasinya tidak diketahui dan ukuran sampelnya kurang dari 30, distribusi sampling apakah yang seharusnya digunakan untuk menguji selisih rata-rata dari dua populasi?

6.34 Seorang petugas quality control dari sebuah perusahaan Cat terkemuka melakukan percobaan untuk melihat kecepatan mengeringnya dua jenis cat. Hasil percobaannya diringkas sebagai berikut:

1x = 320 menit ; s1 = 25 menit ; n1 = 32

2x = 350 menit ; s2 = 29 menit ; n2 = 37

Untuk dapat menguji hipotesis bahwa kedua jenis cat tersebut mempunyai rata-rata kecepatan mengering yang sama,

a. haruskah petugas tersebut mengasumsikan bahwa kedua populasi tersebut independen?

b. perlukah asumsi tentang kenormalan distribusi populasinya? c. haruskah dia mengasumsikan bahwa varians kedua populasinya sama? d. dapatkah dia menggunakan statistik uji Z untuk menguji hipotesis

tersebut? e. dengan menggunakan taraf nyata 5%, ujilah hipotesis bahwa kedua

jenis cat tersebut mempunyai rata-rata kecepatan mengering yang berbeda

6.35 Dari dua populasi Normal yang independen diambil masing-masing sebuah sampel. Diperoleh data sebagai berikut:

dari populasi 1: 1x = 47; s12 = 24; n1 = 100

dari populasi 2: 2x = 44; s22 = 20; n2 = 50

Ujilah hipotesis H0: µ1 – µ2 = 0 lawan H1: µ1 – µ2 ≠ 0 dengan menggunakan taraf nyata α = 1%.

6.36 Andaikan kedua populasi dalam soal di atas diketahui mempunyai varians yang sama, yaitu 22, ujilah hipotesis H0: µ1 – µ2 = 0 lawan H1: µ1 – µ2 ≠ 0 dengan menggunakan taraf nyata α = 5%.

6.37 Untuk menguji efektifitas suatu jenis pupuk organik di lahan pasang surut, dilakukan suatu percobaan sebagai berikut: suatu hamparan sawah pasang surut dibagi menjadi 50 petak yang berukuran sama, 25 petak digunakan sebagai petak percobaan bagi pupuk organik tersebut, sedangkan 25 petak lainnya dipupuk dengan menggunakan pupuk yang biasa dipakai petani. Dari percobaan tersebut diperoleh hasil gabah kering per petak sebagai berikut:

x (kg) 2s (kg2)

Pupuk organik 7,4 1,3

Pupuk biasa 6,8 1,1

Page 44: 6 pengujian

191

Dengan mengasumsikan bahwa kedua populasi tersebut berdistribusi normal dengan varians yang sama, dan sampelnya independen, ujilah hipotesis bahwa penggunaan pupuk organik tersebut telah meningkatkan produksi gabah per petak pada taraf nyata 5%. Tentukan selang kepercayaan 95%

bagi µ1 – µ2.

6.38 Untuk menguji efektifitas dua jenis pakan dalam meningkatkan berat badan ayam pedaging, seorang peternak melakukan percobaan sederhana sebagai berikut: 10 ekor anak ayam dipilih secara acak dan selama satu bulan lima ekor anak ayam diberi makan dengan pakan A dan lima ekor lagi diberi makan dengan pakan B. Kenaikan berat badan ayam tersebut adalah sebagai berikut (ons):

Pakan A: 8,6 8,8 9,5 8,2 9,8

Pakan B: 7,4 10,6 8,9 11,5 13,5

Dapatkah kita simpulkan bahwa kenaikan berat ayam yang diberi makan dengan pakan B lebih tinggi dari ayam yang diberi makan dengan pakan A? Apakah asumsi yang anda gunakan untuk menjawab pertanyan tersebut?

6.39 Dengan mengasumsikan bahwa variabel X1 dan X2 bersifat independen dan keduanya berdistribusi Normal, ujilah hipotesis

H0: µ1 – µ2 = 0 lawan H1: µ1 – µ2 > 0

pada taraf nyata 5%, jika diketahui hasil perhitungan sampel berikut:

dari populasi 1: 1x = 200; s12 = 20; n1 = 10

dari populasi 2: 2x = 185; s22 = 15; n2 = 10

Tentukan pula selang kepercayaan 95% bagi penduga µ1 – µ2.

6.40 Dengan mengasumsikan bahwa variabel X1 dan X2 bersifat independen dan keduanya berdistribusi Normal, ujilah hipotesis

H0: µ1 – µ2 = 0 lawan H1: µ1 – µ2 > 0

pada taraf nyata 5%, jika diketahui hasil perhitungan sampel berikut:

dari populasi 1: 1x = 200; s12 = 20; n1 = 10

dari populasi 2: 2x = 185; s22 = 15; n2 = 8

6.41 Jelaskan perbedaan antara sampel independen dan sampel yang tidak independen.

6.42 Seorang instruktur kursus mengetik di suatu lembaga mempunyai anggapan bahwa anak didiknya dapat mengetik lebih cepat dengan menggunakan komputer daripada dengan mesin tik elektronik. Dia memutuskan untuk

Page 45: 6 pengujian

192

menguji anggapan tersebut terhadap sembilan orang anak didiknya yang telah terampil. Diperoleh data sebagai berikut:

Kecepatan (kata/menit)

Anak didik Komputer Mesin tik elektronik

1 55 51

2 69 65

3 70 70

4 75 76

5 82 80

6 65 62

7 60 57

8 73 71

9 77 72

a. Tentukan hipotesis nol dan hipotesis alternatifnya

b. Dengan menggunakan taraf nyata a = 0,05 ujilah anggapan instruktur tersebut

6.43 Untuk meningkatkan volu-me penjualannya sebuah perusahaan super market mempromosikan potongan harga sampai 50% untuk barang-barang tertentu. Untuk mengevaluasi efek-tifitas promosi tersebut, managemen perusahaan mengumpulkan data ten-tang volume penjualan mingguan sebelum dan selama masa promosi tersebut.

a. Berikan penjelasan kenapa kedua sampel tersebut bersifat tidak independen.

b. Tentukan hipotesis nol dan hipotesis alternatifnya. c. Ujilah pasangan hipotesis tersebut dengan menggunakan taraf

nyata 5%. d. Apakah kesimpulan anda?

6.44 Untuk menguji kecepatan dua merek komputer dengan spesifikasi yang sama, 7 buah program yang ditulis dengan bahasa Fortran dijalankan pada

Rata-rata penjualan mingguan (juta rupiah)

Toko sebelum promosi selama promosi

1 63,458 65,496

2 48,510 52,462

3 51,203 50,864

4 75,241 79,520

5 60,123 71,145

6 55,555 55,660

7 45,456 48,654

8 57,438 60,897

Page 46: 6 pengujian

193

kedua komputer tersebut. Waktu yang digunakan oleh kedua komputer tersebut (waktu CPU) untuk mengerjakan ke 7 program tersebut adalah sebagai berikut:

Waktu CPU (detik)

Program Komputer 1 Komputer 2

1 28 32

2 52 47

3 15 12

4 72 75

5 49 55

6 62 72

7 26 30

Dapatkah kita simpulkan bahwa rata-rata waktu CPU komputer 1 lebih kecil dari rata-rata waktu CPU komputer 2? Gunakan taraf nyata 10%.