6. Pencocokan KurvaRegresi & Interpolasi

Pendahuluan

Data yang berasal dari hasil pengamatan lapangan, pengukuran atau tabel yang diambil dari buku-buku acuan.

Nilai antara, turunan, integral mudah dicari untuk fungsi polinom

Fungsi sulit perlu disederhanakan menjadi fungsi polinom )()( xpxf n

nnn xaxaxaaxp ...)( 2

210

Pendahuluan (Cont.)

Bantuan beberapa titik dicocokan dalam kurva pn(x). Metode pencocokan titik dengan sebuah kurva ada 2

macam :

X

Y

X

Y

Regresi Interpolasi

Regresi

Untuk data dengan berketelitian rendah Kurva tidak perlu melewati semua titik yang tersedia Kurva yang dibentuk merupakan kecenderungan dari

sekelompok data Dipilih kurva yang memiliki selisih antara titik data

dengan kurva hampiran sekecil mungkin Ketidaktelitian disebabkan oleh : kesalahan

mengukur, ketidaktelitian alat ukur atau kelakuan sistem yang diukur.

Regresi (Cont.)

Prinsip penting yang harus diketahui dalam pencocokan kurva untuk data hasil pengukuran :

– Fungsi mengandung sesedikit mungkin parameter bebas– Deviasi fungsi dengan titik data dibuat minimum

Manfaat Pencocokan Kurva untuk data hasil pengukuran :

– Bagi ahli sains/rekayasa : mengembangkan formula empirik untuk sistem yang diteliti

– Bagi ahli ekonomi : menentukan kurva kecenderungan ekonomi untuk meramalkan kecenderungan yang akan datang

Regresi Linier

Persamaan kurva : f(x) = a + bx dari titik-titik (xi,yi).

Karena (xi,yi) merupakan hasil pengukuran yang mengandung galat, maka dapat ditulis :

g(xi) =yi + ei, i = 1,2,…,n Deviasi persamaan kurva dengan nilai data :

ri = yi – f(xi) = yi – (a + bxi)

Regresi Linier (Cont.)

Total kuadrat deviasinya :

n

iiii bxayrR

1

22

Agar R minimum, maka haruslah :

dan 02 ii bxayaR 02

iii bxayxbR

Kedua persamaan dibagi -2, menjadi :

00

00

111

1 1 11

n

ii

n

ii

n

iiiiii

n

i

n

i

n

iii

n

iii

bxaxyxbxayx

bxaybxay

Regresi Linier (Cont.)

Selanjutnya :

n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

i

yxbxax

ybxa

11

2

1

111

n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

yxxbxa

yxbna

11

2

1

11atau

Dalam bentuk persamaan matrik :

n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

yx

y

b

a

xx

xn

1

1

1

2

1

1

xbya

xxn

yxyxnb

n

i

n

iii

n

i

n

i

n

iiiii

1

2

1

2

1 1 1

Solusinya :

Regresi Kuadratik

Persamaan kurva : f(x) = a + bx +cx2 dari titik-titik (xi,yi).

Karena (xi,yi) merupakan hasil pengukuran yang mengandung galat, maka dapat ditulis :

g(xi) =yi + ei, i = 1,2,…,n Deviasi persamaan kurva dengan nilai data :

ri = yi – f(xi) = yi – (a + bxi+cxi2)

Regresi Kuadratik (Cont.)

n

iiiii cxbxayrR

1

222 )(

0)(2 2 iii cxbxayaR

Total kuadrat deviasinya :

Agar R minimum, maka haruslah :

0)(2 2 iiii cxbxayxbR

0)(2 22 iiii cxbxayxcR

Regresi Kuadratik (Cont.)

Kedua persamaan dibagi -2, menjadi :

ii

ii

i

iii

iii

ii

iiiii

iiiii

iii

iiiiiiiii

iiiiiiiii

iiiiii

yx

yx

y

c

b

a

xxx

xxx

xxn

yxcxbxax

yxcxbxax

ycxbxa

cxbxaxyxcxbxayx

cxbxaxyxcxbxayx

cxbxaycxbxay

2432

32

2

2432

32

2

432222

322

22

)(

)(

)(

Linearisasi

Regresi linier hanya cocok untuk data yang memiliki hubungan linier antara variabel bebas dengan variabel terikatnya.

Penggambaran grafik dan pemeriksaan data secara visual untuk memastikan apakah berlaku suatu model linier

Linearisasi Pangkat Sederhana

Mencocokkan data dengan fungsi y = Cxb

)ln()ln()ln( xbCy

Cxy b

bXaY

0659.1

7139.12

2522.62447.1

2447.17

b

a

Sistem persamaan linier :

Solusinya adalah : a = 1.8515, b = 0.1981

369366.68515.1 eeC a

Jadi kurva yang dipakai :

1981.0369366.6 xy

Linearisasi Fungsi Eksponensial

Mencocokkan data dengan fungsi y = Cebx

bxCy

ebxCy

Cey bx

)ln()ln(

)ln()ln()ln(

bXaY

Sistem persamaan linier :

Solusinya adalah : a = ….., b =……..

Jadi kurva yang dipakai :

007.16

7139.12

416.1426.8

26.87

b

a

....... aa eeC

bxCey

Interpolasi

(n+1) buah titik berbeda (x0,y0),(x1,y1),…,(xn,yn). Menentukan polinom pn(x) yang menginterpolasi semua titik-

titik tersebut sedemikian rupa sehingga :

yi = pn(xi) untuk i=0,1,2,..,n Selanjutnya p(x) dapat digunakan untuk menghitung hampiran

y(x). Jika x0<xk<xn, maka p(xk) disebut nilai interpolasi. Jika xk<x0 atau xk>xn, maka p(xk) disebut nilai ekstrapolasi. Interpolasi bermanfaat untuk mencari nilai hampiran sebagai

pengisi kaitan data yang hilang.

Interpolasi Linier

Interpolasi dua buah titik dengan sebuah garis lurus. Misal (x0,y0) dan (x1,y1).

Persamaan garis lurus yang terbentuk :

p1(x) = a0 + a1x

a0 dan a1 dicari dengan cara berikut :

1101

0100

xaay

xaay

Dengan proses eliminasi dan subtitusi didapatkan :

01

10010

01

011

xx

yxyxa

xx

yya

Setelah disubtitusi dalam persamaan dan dilakukan sedikit otak-atik aljabar didapatkan :

)()(

)()( 0

01

0101 xx

xx

yyyxp

X

Y

(x0,y0)

(x1,y1)

Interpolasi Kuadratik

Dengan metode eliminasi Gauss, didapatkan nilai a0,a1 dan a2.

2222210

1212110

0202010

yxaxaa

yxaxaa

yxaxaa

Interpolasi tiga buah titik dengan sebuah persamaan polinom kuadrat. Misal (x0,y0), (x1,y1) dan (x2,y2).

Persamaan polinom kuadrat yang terbentuk :

p2(x) = a0 + a1x + a2x2

Persamaan dari 3 titik dengan a0, a1 dan a2 adalah sebagai berikut :

Y

X

(x0,y0)

(x1,y1)

(x2,y2)

Interpolasi Kubik

Interpolasi empat buah titik dengan sebuah persamaan polinom kubik. Misal (x0,y0), (x1,y1), (x2,y2), dan (x3,y3).

Persamaan polinom kuadrat yang terbentuk :

p3(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3

Persamaan dari 4 titik dengan a0, a1, a2 dan a3 adalah sebagai berikut :

3333

232210

2323

222210

1313

212110

0303

202010

yxaxaxaa

yxaxaxaa

yxaxaxaa

yxaxaxaa

Dengan metode eliminasi Gauss, didapatkan nilai a0,a1 dan a2.Y

X

(x0,y0)

(x1,y1)

(x2,y2)

(x3,y3)

Resume

Interpolasi linier, kuadratik, kubik dan seterusnya relatif kurang disukai disebabkan persamaan yang diperoleh (terutama yang berderajat tinggi) akan berkondisi buruk.

Interpolasi Lagrange

Nama diambil dari penemunya Joseph Louis Lagrange (Perancis) Bentuk umum derajat <n untuk (n+1) titik berbeda :

))...()()...()((

))...()()...()((

)(

)()(

)(...)()()()(

1110

1110

0

11000

niiiiiii

nii

ji

jn

ijj

i

nn

n

iiin

xxxxxxxxxx

xxxxxxxxxx

xx

xxxL

xLyxLyxLyxLyxp

Contoh Kasus :

Diberikan fungsi y = f(x) dengan 3 buah titik data dalam tabel berikut :

tentukan nilai f(3.5)!

X 1 4 6

Y 1.5709 1.5727

1.5751

function Lagrange (x:real; n: integer): real;

var i, j : integer;pi, L : real;begin

L = 0;for i:=0 to n do begin pi :=1; for j:=0 to n do

if i<>j then pi:=pi*(x-x(j))/(x(i)-

x(j)); endfor L:=L+y(i)*pi;endfor;Lagrange :=L;

end.

Interpolasi Lagrange

Kurang disukai karena :– Jumlah komputasi yang

dibutuhkan untuk satu kali interpolasi besar.

– Hasil komputasi pada derajat yang lebih rendah tidak bisa digunakan untuk menghitung derajat yang lebih tinggi.

Interpolasi Newton

Bentuk umum :(i) Rekurens :

pn(x) = pn-1(x)+an(x-x0)(x-x1)…(x-xn-1)(ii) Basis :

p0(x) = f(x0) = y0

],,...,,[

...

],,[

],[

)(

011

0122

011

00

xxxxfa

xxxfa

xxfa

xfa

nnn

0

02111011

),...,,[),...,,[],,...,,[

...

][],[],,[

)()(],[

xx

xxxfxxxfxxxxf

xx

xxfxxfxxxf

xx

xfxfxxf

n

nnnnnn

ki

kjjikji

ji

jiji

Bentuk umum juga dapat ditulis :

],,...,,[))...()((

...],,[))((],[)()()(

011110

012100100

xxxxfxxxxxx

xxxfxxxxxxfxxxfxp

nnn

n

Tabel Selisih Terbagi Newton

i xi yi=f(xi) ST-1 ST-2 ST-3 …

0 x0 f(x0) f[x1,x0] f[x2,x1,x0] f[x3,x2,x1,x0] …

1 x1 f(x1) f[x2,x1] f[x3,x2,x1] …

2 x2 f(x2) f[x3,x2] …

3 x3 f(x3) …

… … …ST : Selisih Terbagi

Contoh Kasus :

Diberikan data pada tabel dibawah ini, taksirlah nilai fungsi di x = 2.5! Dengan polinom newton orde 3.

xi 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0

f(xi) 1.0000 0.5403 -0.4161 -0.9900 -0.6536

Interpolasi Spline

Tidak semua kasus semakin tinggi derajat kurva akan semakin bagus. Misal untuk kasus dimana terdapat perubahan kecekungan yang

sangat mendadak fungsi tangga. Solusi : dibuat polinom per-potong yang berderajat rendah.

(x0,y0)

(x1,y1)

(x2,y2)

(x3,y3)

(xk,yk)

(xk+1,yk+1)

(xn,yn)

y = Sk(x) dan y = Sk+1(x) masing-masing terletak

Spline Linier

Setiap pasang titik