50865485 buku ajar statistik terapan

Statistik Terapan

Sem 3 D-IV Jalan Tol 1

BAB I PENDAHULUAN

1.1 PENGERTIAN ISTILAH STATISTIK DAN STATISTIKA

Banyak sekali definisi tentang statistik, ini disebabkan karena luasnya

ruang lingkup statistik. Untuk keperluan praktis, statistik dapat diartikan

secara sempit dan luas.

Dalam arti sempit, statistik mempunyai fungsi menyajikan data

tertentu dalam bentuk table dan diagram, statistik ini termasuk statistik

deskriptif. Statistik deskriptif ialah susunan angka yang memberikan

gambaran tentang data yang disajikan dalam bentuk table, diagram,

histogram, poligon frekuensi, ogivve, ukuran penempatan (median, kuartil,

desil dan persentil), ukuran gejala pusat (rata-rata hitung, rata-rata ukur, rata-

rata harmonik dan modus), simpangan baku, kurva normal, korealsi dan

regresi linear.

Dalam arti luas, statistik berarti salah satu alat untuk mengumpukan

data, mengolah data, menyajikan data. Menganalisa data, menarik

kesimpulan dan membuat keputusan berdasarkan analisis data yang

dikumpulkan. Statistik dalam arti luas ini disebut juga dengan istilah

statistika ( statistics, statistik inferensial, statistik induktif, statistik

probabilitas).

1.2 PERANAN STATISTIK

Sejak dahulu statistika telah digunaka, dalam bidang biologi, farmasi,

geologi, industri, kedokteran, pendidikan, psikologi, sosiologi, teknik danlain-

lain. Dunia penelitian atau riset dimanapun telah memanfaatkan dan bahkan

harus menggunakan statistik untuk mendapatkan hasil yang diharapkan.

Karena begitu meluasnya penggunaan statistika maka di bidang teknik

khususunya teknik sipil dalam hal ini jalan tol menyadari pentingnya statistika

Statistik Terapan


sebagai engineering tools yang dapat dipercaya. Disini statistika sebagai

alat diantaranya :

1. Pengumpulan data yang baik baik secara poplasi maupun sampel.

2. Pengolahan data atau analisa data.

3. Penyajian data baik dalam bentuk laporan manajemen maupun teknis.

4. pengambilan keputusan atau perencanaan

5. evaluasi atau Pengawasan antara data yang dilaporkan dengan

penyimpangan di lapangan

6. Melakukan pemecahan masalah teknis maupun manajerial.

1.3 RANGKUMAN

Statistik deskriptif ialah susunan angka yang memberikan gambaran

tentang data yang disajikan dalam bentuk table, diagram, histogram,

poligon frekuensi, ogivve, ukuran penempatan (median, kuartil, desil dan

persentil), ukuran gejala pusat (rata-rata hitung, rata-rata ukur, rata-rata

harmonik dan modus), simpangan baku, kurva normal, korealsi dan regresi

linear.

Statistika induktif ialah salah satu alat untuk mengumpukan data,

mengolah data, menyajikan. menganalisa data, menarik kesimpulan dan

membuat keputusan berdasarkan analisis data yang dikumpulkan

Statistik Terapan


1.4 SOAL-SOAL

1. Apa pengertian statistik dalam arti sempit dan dalam arti luas ?

2. Apa perbedaaan statistik dan statistika.?

3. Mengapa kita perlu statistic ?

4. Bagaimana peranan statistik dalam bidang teknik terutama teknik sipil?

5. Apa yang dimaksud dengn statistik deskriptif dan statistik induktif ?

Statistik Terapan


BAB II PENGUMPULAN DAN PENGOLAHAN DATA

Untuk mendapatkan kumpulan data yang baik dan mencakup seluruh

unit yang menjadi objek penelitian maka data statistik harus dapat dipercaya

dan tepat waktu, sehingga informasi yang dikumpulkan sesuai dengan

keadaan sebenarnya dan dengan metode serta cara yang tepat. Hal-hal yang

perlu diperahatikan sebelum data dikumpulkan adalah sebagai berikut :

1. Harus diketahui untuk apa data itu dikumpulkan.

2. Harus diketahui jenis elemen atau objek yang akan diselidiki.

Elemen adalah unit terkecil dari objek penelitian, misalnya orang, organisasi

atau badan usaha, barang dan lain-lain.

Tujuan darI pengumpulan data adalah untuk mengetahui jumlah

elemen dan karakteristik elemen tersebut.

Karakteristik adalah sifat-sifat, ciri-ciri atau hal-hal yang dimiliki oleh elemen-

elemen, yaitu semua keterangan mengenai elemen. Nilai karakteristik suatu

elemen berupa nilai variabel. Untuk menunjukkan suatu variable

dipergunakan huruf misalnya: X, Y, Z dan sebagainya.

Contoh :

3 perusahaan dengan X = modal perusahaan dalam jutaan rupiah, di mana

X1 = 5, X2 = 7, X3 = 4, berarti perusahaan pertama mempunyai modal Rp 5

juta, perusahaan kedua Rp 7 juta, perusahaan ketiga Rp 4 juta.

2.1. POPULASI DAN SAMPEL

Populasi adalah kumpulan elemen baik hasil perhitungan maupun

pengukuran, baik kuantitatif maupun kualitatif mengenai karakteristik dari

sekelompok objek yang lengkap dan jelas. Sedangkan sampel adalah

sebagian dari populasi yang diambil dengan menggunakan teknik tertentu

yang disebut teknik sampling. Data yang diperoleh dari hasil sampling

Statistik Terapan


merupakan data perkiraan (estimate value). Penelitian yang menggunakan

seluruh anggota populasinya disebut sampel total atau sensus. Data yang

diperoleh sebagai hasil pengolahan sensus disebut data sebenarnya (true

value) atau parameter.

Dibandingkan dengan sensus, pengumpulan data dengan cara

sampling membutuhkan biaya lebih murah , waktu lebih cepat, tenaga lebih

sedikit dan menghasilkan cakupan data yang lebih banyak serta terperinci.

Dalam banyak hal pengumpulan data dengan cara sampling lebih disukai

dengan pertimbangan biaya, waktu dan penelitian yang bersifat merusak

objek.

Jika n adalah jumlah elemen sampel dan N adalah jumlah elemen

populasi, maka n<N ( n lebih kecil N).

Gambar 2.1 Hubungan antara Populasi dan sampel

2.2 TEKNIK PENGAMBILAN SAMPEL (TEKNIK SAMPLING)

Statistika terbagi menjadi dua yaitu statistik deskriptif dan statistik

induktif (inferensial).Statistika deskriptif dikerjakan untuk mendapatkan

statistika induktif. Statistika induktif berusaha menyimpulkan tentang

karakteristik populasi berdasarkan sampel yang diambil dari populasi yang

bersangkutan dengan menggunakan metode atau cara tertentu.

Untuk mendapatkan kesimpulan yang dapat dipertanggungjawabkan

haruslah dicari cara-cara yang benar termasuk cara-cara pengambilan

Populasi yang karakteristiknya ingin

diketahui (N)

Sambel diambil dari populasi dan dianalisis (n)

Kesimpulan dibuat diharapkan berlaku untuk populasi

Data diskrit yaitu data yang diperoleh dari

hasil menghitung atau membilang. Data

kontinu yaitu data yang diperoleh dari hasil

pengukuran.

Statistik Terapan


sampel atau sampling. Kriteria yang perlu diperhatikan dalam pengambilan

sampel adalah sebagai berkut :

1. Jelas daerah generalisasinya.

2. Batas-batas yang tegas tentang sifat-sifat populasi (karakteristiknya).

3. Sumber-sumber informasi tentang populasi.

4. Rumusan persoalan yang akan diteliti.

5. Keterangan mengenai populasi yang akan diteliti.

6. Teknik sampling dan besar anggota sampel yang sesuai dengan

tujuan penelitian.

7. Definisi unit-unit, istilah yang diperlukan.

8. Unit sampling yang diperlukan

9. Skala pengukuran yang akan dipergunakan

10. Keterangan yang ada kaitannya dengan permasalahan yang akan

dibahas

11. Ukuran sampel yang akan dianalisis

12. Prosedur sampling yang akan digunakan.

13. Teknik pengumpulan data yang akan dipergunakan

14. Metode analisis yang akan digunakan.

15. Sarana dan prasarana yang diperlukan untuk penelitian.

Alasan mengapa populasi tidak dapat dilakukan sehingga digunakan

sampel :

1. Ukuran populasi

Karena ukuran populasi terlalu besar, obyek terlalu banyak sehingga

sulit melakukan penelitian terhadap populasi tersebut.

2. Masalah biaya

Makin banyak obyek yang diteliti maka makin banyak biaya yang

dikeluarkan.

3. Masalah waktu

Statistik Terapan


Sensus memerlukan waktu yang lebih lama dibandingkan sampling.

4. Penelitian yang sifatnya merusak

Jika penelitian terhadap obyek sifatnya merusak, maka sampling harus

digunakan.

5. Masalah ketelitian

Makin banyak obyek yang diteliti maka makin kurang ketelitiannya,

sebaliknya jika jumlah obyek lebih sedikit.

6. Faktor ekonomis. Kegunaan dari hasil penelitian sepadan apa tidak

dengan biaya, waktu, dan tenaga yang dikeluarkan. Jika tidak, maka

tidak perlu penelitian dilakukan terhadap sensus.

Pada dasarnya cara pengambilan sampel ada dua cara yaitu :

1. Cara acak (sampling random)

yaitu cara pengambilan atau pemilihan elemen dari populasi untuk

menjadi sampel secara acak sehingga setiap elemen mempunyai

kesempatan yang sama (equal chance) untuk dipilih menjadi anggota

sampel. Pemilihan dapat dilakukan dengan cara lotre/undian, ordinal

atau table bilangan random atau dengan komputer.

Cara ini dianggap objektif, samplingnya disebut probability sampling

yaitu semua elemen mempunyai probabilitas (kemungkinan) yang

sama untuk dipilih.

2. Cara bukan acak (sampling non random)

yaitu cara pengambilan atau pemilihan elemen dari populasi untuk

menjadi sampel dimana setiap elemen tidak mendapat kesempatan

yang sama untuk dipilih menjadi anggota sampel.

Cara ini lebih bersifat subjektif dan samplingnya disebut

nonprobability sampling artinya setiap elemen tidak mempunyai

probabilitas yang sama untuk dipilih.

Statistik Terapan


2.3 JENIS DATA

Data adalah hasil pencatatan peristiwa atau karakteristik elemen yang

dilakukan pada tahap pengumpulan data yang jika diolah dengan baik dapat

melahirkan berbagai informasi. Data dapat berupa bilangan (data kuantitatif)

dan dapat berupa kategori (data kualitatif).

Data yang berbentuk bilangan atau data kuantitatif menurut nilainya dibagi

menjadi dua golongan yaitu :

1. Data diskrit yaitu data yang diperoleh dari hasil menghitung atau

membilang.

Contoh : a. Perusahan A mempunyai 5 anak perusahaan

b. PT. Jasa Marga sudah membangun 15 Jalan Tol tahun

2003

2. Data kontinu yaitu data yang diperoleh dari hasil pengukuran

Contoh : a. Luas daerah yang dibebaskan untuk Jalan Tol sebesar

30,5 hektar

b. Kecepatan rata-rata mobil yang melewati Jalan Tol

Jagorawi 110 km/jam.

2.4 PEMBULATAN BILANGAN

Seringkali kita menghadapi angka-angka hasil penyelesaian

perhitungan analisa atau laporan yang panjang sekali, sehingga menyuilitkan

didalam pembacaannya. Oleh karena itu banyak orang yang menghendaki

pencatatan data kuantitatif itu dalam bentuk yang paling sederhana. Salah

satu cara menyederhanakan data kuantitaif yang panjang itu, ialah dengan

cara pembulatan bilangan.

Statistik Terapan


Ada beberapa aturan yang dapat digunakan sebagai pedoman dalam

pembulatan bilangan, yaitu :

1. Bila angka terkiri yang harus dihapus adalah 4 atau kurang, maka

angka terkanan yang mendahuluinya tidak berubah.

Contoh :

Rp 49.275,42 dibulatkan hingga ribuan rupiah, menjadi Rp 49.000,-.

Dalam hal ini angka yang harus dihapus adalah mulai angka 2 ke

kanan, maka angka 2 merupakan angka terkiri yang harus dihapus,

sedangkan angka yang mendahului angka 2 adalah angka 9.

2. Bila angka terkiri yang harus dihapus lebih besar 5 atau 5 yang diikuti

oleh angka bukan nol, maka angka terkanan yang mendahuluinya

bertambah dengan satu.

Contoh :

Rp 49.275,42 dibulatkan hingga ratusan rupiah, menjadi Rp 49.300,-.

Dalam hal ini angka yang harus dihapus adalah mulai angka 7 ke

kanan, maka angka 7 merupakan angka terkiri yang harus dihapus,

sedangkan angka 2 merupakan angka terkanan yang mendahului

angka 7.

Rp 49.275,42 dibulat kan hingga puluhan rupiah, menjadi Rp 49.280,-.

Angka yang harus dihapus adalah mulai angka 5 ke kanan. Angka 5

ini diikuti oleh angka yang bulan nol.

3. Bila angka terkiri yang harus dihapus lebih besar 5 atau angka 5 yang

diikuti oleh angka bukan nol, maka terkanan yang mendahuluinya

akan tetap jika ia genap dan bertambah satu jika ia ganjil. Aturan ini

disebut aturan ”genap terdekat”.

Contoh :

27,50 dibulatkan hingga satuan menjadi 28,00


Statistik Terapan


Aturan ini dapat pula diambil kebalikannya, yaitu membuat tetap jika ia

ganjil dan bertambah satu jika ia genap. Aturan ini disebut aturan

”ganjil terdekat”

Contoh :



2.5 TEKNIK PENGUMPULAN DATA

Sumber data dibagai menjadi dua yaitu sumber data primer dan

sumber data sekunder. Sumber data primer yaitu data yang didapat dari

observasi langsung oleh peneliti. Sumber data sekunder yaitu data yang

diperoleh melalui wawancara kepada pihak lain tentang obyek atau subyek

yang diteliti. Dari kedua sumber data tersebut sumber data primer lebih dapat

dipertanggung jawabkan dibandingkan sumber data sekunder.

Teknik –tekniik pengumpulan data dapat dilakukan melalui :

1. Wawancara (Interview)

2. Angket (Questionnary)

3. Pengamatan (Observation)

4. Dokumentasi (Dokumentation)

5. Langsung (Participation)

Bagian yang penting dalam pengumpulan data adalah merancang

angket /kuesioner. Kuesioner atau angket adalah satu set pertanyaan yang

tersusun secara sistemetis dan standar sehingga pertanyaan yang sama

dapat diajukan terhadap responden. Yang dimaksud dengan sistematis

adalah bahwa item-item pertanyaan disusun menurut logika sesuai dengan

maksud dan tujuan pengumpulan data. Sedangkan standard adalah setiap

item pertanyaan mempunyai pengertian, konsep dan definisi yang sama.

Statistik Terapan


2.6 PENGOLAHAN DATA

Secara umum pengolahan data dapat dibedakan menjadi dua yaitu

pengolahan ata secara manual (manual data processing) dan pengolahan

data secara elektronik (elektronik data processing).

1. Pengolahan data secara manual

Pengolahan data secara manual umumnya dilakukan untuk jumlah

observasi yang tidak terlalu banyak karena pengolahan data secara

manual memerlukan waktu yang sangat lama.

Contoh :

Volume lalu lintas bulan Desember tahun 2002 Jalan Tol Tangerang

Merak untuk Golongan Kendaraan IIA sebagai berikut :

Gerbang Cikupa = 62.060 kendaraan

Gerbang Blaraja Timur = 5.058 kendaraan

Gerbang Balaraja Barat = 23.103 kendaraan

Gerbang Ciujung = 9.380 kendaraan

Gerbang Serang Timur = 43.975 kendaraan

Gerbang Serang Barat = 5.719 kendaraan

Gerbang Cilegon Timur = 18.084 kendaraan

Gerbang Cilegon Barat = 6.501 kendaraan

Gerbang Merak = 28.504 kendaraan

Tentukan jumlah volume lalu lintas, Rata-rata volume lalu lintas per

hari dan persentase gerbang tol yang volume lalu lintasnya kurang dari

10.000 kendaraan di Jalan Tol Tangerang Merak.

Statistik Terapan


Penyelesaian :

Data tersebut dapat diolah secara manual yaitu :

Jumlah volume lalu lintas =62.060+5.058+23.103+…+ 28.504=

202.384 kendaraan

Rata-rata volume lalu lintas per hari=31

384.202

=6.258 kendaraan

Persentase gerbang tol yang volume lalu lintasnya kurang dari 10.000

kendaraan = 9

4 x 100%= 44,44 %

2. Pengolahan data secara elektronik

Pengolahan data secara elektronik dapat dilakukan dengan

menggunakan aplikasi komputer dengan program-program yang

tersedia, misalnya Microsoft Excel, SPSS, Statgraphics dan lain-lain.

2.7 RANGKUMAN

Elemen adalah unit terkecil dari objek penelitian, misalnya orang,

organisasi atau badan usaha, barang dan lain-lain.

Karakteristik adalah sifat-sifat, ciri-ciri atau hal-hal yang dimiliki oleh

elemen-elemen, yaitu semua keterangan mengenai elemen. Nilai

karakteristik suatu elemen berupa nilai variabel. Untuk menunjukkan

suatu variable dipergunakan huruf misalnya: X, Y, Z dan sebagainya.

Statistik Terapan




sekelompok objek yang lengkap dan jelas.

Sampel adalah sebagian dari populasi yang diambil dengan

menggunakan teknik tertentu yang disebut teknik sampling.

Data adalah hasil pencatatan peristiwa atau karakteristik elemen yang

dilakukan pada tahap pengumpulan data yang jika diolah dengan baik

dapat melahirkan berbagai informasi.



sekelompok objek yang lengkap dan jelas. Sampel adalah sebagian dari

populasi

Data diskrit yaitu data yang diperoleh dari hasil menghitung atau

membilang. Data kontinu yaitu data yang diperoleh dari hasil

pengukuran.

Sumber data dibagai menjadi dua yaitu sumber data primer dan sumber

data sekunder.

Sumber data primer yaitu data yang didapat dari observasi langsung

oleh peneliti.

Sumber data sekunder yaitu data yang diperoleh melalui wawancara

kepada pihak lain tentang obyek atau subyek yang diteliti.

Secara umum pengolahan data dapat dibedakan menjadi dua yaitu

pengolahan data secara manual (manual data processing) dan

pengolahan data secara elektronik (elektronik data processing).

Statistik Terapan


2.8 SOAL

1. Apa yang dimaksud dengan elemen? Berikan beberapa contoh!

2. Apa yang dimaksud dengan karakteristik? Berikan beberapa contoh!

3. Apa yang dimaksud populasi dan sampel? Berikan contohnya!

4. Apa perbedan antara sensus dan sampling?

5. Apa keuntungan menggunakan metode sampling dibandingkan

dengan metode sensus.

6. Sebutkan teknik oengambilan sampel.

7. Apa yang dimaksud dengan data kuantitatif dan data kualitatif?

8. Apa yang dimaksud dengan data deskrit dan data kontinu? Berikan

beberapa contoh!

9. Sebutkan jenis sumber data dan jelaskan!

10. Sebutkan teknik-teknik pengumpulan data!

Statistik Terapan


BAB III DISTRIBUSI FREKUENSI EMPIRIS

Distribusi Frekuensi Empiris adalah suatu daftar yang menunjukkan

penggolongan kumpulan data diamana termasuk penentuan berapa bilangan

yang termasuk ke dalam setiap golongan tersebut .

Tujuan dari penentuan Distribusi Frekuensi adalah untuk menyajikan

data dalam bentuk yang lebih teratur dan ringkas sehingga lebih mudah

untuk dipahami.

3.1 BAGIAN-BAGIAN DARI DITRIBUSI FREKUENSI

1. Variabel Penyelidikan

Variabel Penyelidikan adalah obyek yang diselidiki

2. Nilai Variabel

Nilai variable adalah nilai masing-masing penyelidikan / pengujian.

Contoh :

Apabila seorang ahli beton mengadakan pengujian tentang kekuatan

karakteristik beton dimana untuk mendapatkan kekuatan karakteristik

diperlukan nilai masing-masing pengujian beton

Dari contoh diatas yang merupakan :

Variabel penyelidikan adalah pengujian kekuatan karakteristik beton

dan Nilai variabel adalah nilai masing-masing pengujian beton

Pada Umumnya Pembuatan Distrbusi Dapat Dibagi 3 Tahap :

1. Menentukan jumlah kelas , guna memasukkan angka-angka.

2. Memasukkan angka-angka ke kelas-kelas yang sesuai serta

menghitung frekuensinya.

3. Membuat tabel distribusi frekuensi

Distribusi frekuensi dibagi 2 :

a. Distribusi Frekuensi Tunggal

Statistik Terapan


b. Distribusi Frekuensi Bergolong

DISTRBUSI FREKUENSI TUNGGAL (DFT)

Distribusi Frekuensi Tunggal (DFT) adalah suatu pencaran frekuensi

yang menunjukkan tidak adanya pengelompokkan nilai variabel.

Contoh :

Variabel Penyelidikan :

Penyelidikan tentang nilai mata kuliah Statistik Semester I

Mahasiswa Jurusan Teknik Sipil Politeknik UI tahun akademik 1993/1994 .

Nilai Variabel :

7 6 6 5 7 6 5 4 6 6

6 5 6 6 6 7 7 5 7 7

7 8 5 6 5 7 6 7 8 5

Dari angka-angak tersebut diatas kita tidak dapat memperoleh gambaran

apa-apa. Untuk mendapatkan gambaran dan kesimpulan , kita perlu

mengatur angka-angka itu menjadi suatu tabel .

Penyajian dalam bentukDistribusi Frekuensi Tunggal

Nilai Mata Kuliah Statistik Semester I Mahasiswa Jurusan Teknik Sipil

Politeknik UI tahun akademik 1993/1994 .

No.( i ) Nilai ( Xi ) Frekuensi ( f i )

1 4 1

2 5 7

3 6 11

4 7 9

5 8 2

5

1

k

i

fi 30

Statistik Terapan


k = banyaknya kelas

fi = frekuensi kelas ke i

5

1

k

i

fi = jumlah indek = 1 s/d k termasuk frekuensi ke 1 dan ke k

Dari tabel tersebut diatas kita dapat mengambil kesimpulan bahwa urutan

data yang mempunyai frekuensi dari tertinggi ke terendah adalah : 6, 7, 5, 8,

4

Jumlah kolom yang ada pada panel yang ada pada tabel bukan merupakan

syarat mutlak, jumlah kolom dalam tabel tergantung pada kebutuhan .

DISTRIBUSI FREKUENSI BERGOLONG (DFB)

Distribusi Frekuensi Bergolong (DFB) adalah suatu pencaran frekuensi

yang menunjukkan adanya pengelompokkan nilai variabel dalam satu kelas.

Istilah-istilah Yang Digunakan dalam Distribusi Frekuensi Bergolong :

1. Kelas

Kelas adalah tiap-tiap kelompok nilai variabel.

No. ( i )

Batas Kelas ( Xi ) Tanda Kelas

( Mi)

Frekuensi

( Fi) Semu Nyata

1 3 − 5 2,5 − 5,5 3 4

2 6 − 8 5,5 − 8,5 5 7

3 9 −11 8,5 -11,5 11 10

4 12 −14 11,5 −14,5 13 13

5

1

k

i

fi 34

Statistik Terapan


Contoh :

Dalam tabel diatas terdapat 4 kelas dengan masing-masing kelas yaitu

kelas pertama 3 – 5, kelas kedua 6 – 8, kelas ketiga 9 – 11 dan kelas

keempat 12 – 14.

2. Batas Kelas

Batas Kelas adalah nilai-nilai yang membatasi antara kelas yang satu

dengan kelas yang lain .

Contoh :

Nilai 3 dan 5,6 dan 8,9 dan 11,12 dan 14.

3. Batas Kelas Atas dan Batas Kelas Bawah

Batas Kelas Atas (Upper Limits) adalah nilai tertinggi dalam suatu kelas .

Contoh :

Angka-angka pada deret sebelah kanan batas kelas yaitu 5,8,11 dan 14.

Batas Kelas Bawah (Lower Limits) adalah nilai terndah dalam suatu kelas

Contoh :

Angka-angka pada deret sebelah kanan batas kelas yaitu 3, 6, 9 dan 12

4. Batas Kelas Semu dan Batas Kelas Nyata

Batas Kelas Semu adalah nilai yang terpisah antara batas kelas yang satu

dengan batas kelas yang lain.

Contoh :

Nilai 5 dengan 6, 8 dengan 9, 11 dengan 12.

Batas Kelas Nyata adalah nilai yang sama antara batas kelas yang satu

dengan batas kelas yang lain.

Contoh :

Nilai 2,5 ; 5,5 ; 8,5 ; 11,5 ; 14,5.

Nilai Batas Kelas Nyata = 2

II s bk B I s ak B

Statistik Terapan


Keterangan :

B k a s I : Batas kelas atas semu prioritas I

B k b s II : Batas kelas bawah semu prioritas II

5. Lebar Kelas / Interval Kelas ( I )

Lebar Kelas / Interval Kelas adalah jumlah nila-nilai variabel dalam tiap

kelas.

Contoh :

Kelas 3 – 5 terdiri dari nilai – nilai variabel 3, 4, dan 5. Jadi tiap – tiap

kelas terdiri dari 3 nilai variabel, sehingga interval kelas = 3

Interval Kelas ( I ) = B k a n – B k b n dalam satu kelas

atau = B k a s II – B k a s I

atau = B k b s II – B k b s I

Keterangan :

B k a n : Batas kelas atas nyata

B k b n : Batas kelas bawah nyata

B k a s II : Batas kelas atas semu prioritas II

B k a s I : Batas kelas atas semu prioritas I

B k b s II : Batas kelas bawah semu prioritas II

B k b s I : Batas kelas bawah semu prioritas II

6. Titik Tengah / Tanda Kelas / Class Mark (m i )

Titik Tengah / Tanda Kelas / Class Mark adalah nilai variabel yang

terdapat di tengah-tengah antara Batas Kelas Atas dengan Batas Kelas

Bawah atau nilai yang mewakili tiap-tiap kelas .

Contoh :

Pada tabel diatas niali 4, 7, 10 dan13 merupakan tanda kelas.

Tanda Kelas (m i) = 2

kelassatu dalams/n Bks -s/n Bkb

Statistik Terapan


Keterangan :

Bkb s/n : Batas kelas bawah semu / nyata

Bka s/n : Batas kelas atas semu / nyata

7. Jarak Pengukuran / Range ( R )

Jarak Pengukuran / Range adalah nilai variabel tertinggi dikurangi dengan

nilai variabel terendah dalam suatu pengujian . (Tidak perlu memandang

batas nyatanya).

Hal-hal Yang Perlu Diperhatikan Dalam Pembuatan Diustribusi

Frekuensi Bergolong (DFB) :

1. Menentukan jumlah kelas, guna memasukkan angka-angka atau nilai-nilai

variabel . Biasanya digunakan Aturan Sturges oleh H . A Sturges tahun

1926.

k = 1 + 3,3 log n pembulatan ( 0,0 – 0,9)

Keterangan :

k : Banyaknya kelas

n : Banyaknya data / pengamatan

2. Menentukan interval kelas , guna memasukkan angka-angka atau nila-

nilai variabel yang sesuai serta kemudian menghitung frekuensinya.

k

L-H

k

RI

Keterangan :

I : Interval Kelas

R : Range

H : Nilai Variabel Tertinggi

L : Nilai Variabel Terndah

k : Banyaknya kelas

Statistik Terapan


Contoh :

Hasil pemeriksaan keteguhan tekan beton (benda uji kubus dengan sisi 15

cm) sesudah 28 hari dengan campuran 1 : 11/2 : 21/2, yang dilaksanakan di

Laboratorium Pengujian Bahan Politekni UI Depok dalam satuan kg/cm2 .

157,4 167,8 171,2 174,7 177,4

157,7 168,4 172,4 175,1 178,8

162,2 168,7 173,2 175,5 179,2

164,2 169,9 173,6 176,0 181,3

165,8 170,2 174,7 176,1 185,7

data disusun secara acak satu angka dibelakang koma.

n = 25

H = 185,7 kg/cm2

L = 157,4 kg/cm2

Banyaknya Kelas (k)

k = 1 + 3,3 log n

= 1 + 3,3 log 25

= 5,6132

6

Interval Kelas ( I )

2kg/cm 7167.46

4.1577.185

k

L-H

k

RI

Penyajian Dalam Bentuk Distribusi Frekuensi Bergolong :


cm) sesudah 28 hari dengan campuran 1 : 2 : 3, yang dilaksanakan di


Statistik Terapan


Kelas ( i )

Batas Kelas ( Xi) (Kg/Cm2) Tanda Kelas (mi) (Kg/Cm2)

Frekuensi (fi) Semu Nyata

1 157.4 - 162.1 157.35 - 162.15 159.75 2

2 162.2 -0166.9 162.15 - 166.95 164.55 3

3 167.0 - 171.7 166.95 - 171.75 169.35 6

4 171.8 - 176.5 171.75 - 176.65 174.15 9

5 176.6 - 181.3 176.55 - 181.35 178.95 4

6 181.4 - 186.1 181.35 - 186.15 183.75 1

6

1i

fi 25

DISTRIBUSI FREKUENSI RELATIF (DFR)

Distribusi Frekuensi Relatif adalah pencaran frekuensi yang diperoleh

dengan membagi frekuensi tiap-tiap kelas dengan banyaknya data

pengamatan .

n

fFr i

i

Keterangan :

Fri = Frekuensi Relatif Kelas ke i

fi = Frekuensi Kelas ke i

n = Banyaknya Data Pengamatan

Frekuensi Relatif bisa juga dibuat dengan bentuk persentase atau disebut

juga Persentase Distribusi yang dapat diperoleh dengan mengalikan

frekuensi relatif dengan 100%.

%100%1 n

fFr i

Statistik Terapan


Contoh :


cm) sesudah 28 hari dengan campuran 1 : 2 : 3, yang dilaksanakan di


Kelas ( i )

Tanda Kelas (mi) (Kg/Cm2)

Frekuensi (fi)

Fri Fri (%)

1 159.75 2 0.08 8

2 164.55 3 0.12 12

3 169.35 6 0.24 24

4 174.15 9 0.36 36

5 178.95 4 0.16 16

6 183.75 1 0.04 4

256

1

i

fi 1

6

1

i

Fri

%1006

1

i

Fri

DISTRIBUSI FREKUENSI KOMULATIF (DFK)

Distribusi Frekuensi komulaitf adalah pencaran frekuensi yang

merupakan penjumlahan-penjumlahan frekuensi-frekuensi kelas secara

berurutan.

Sebagai akibat dari penjumlahan-penjumlahan antara frekuensi yang

beurutan harus diperhatikan bahwa bentuk kelasnya sudah berubah sesuai

dengan Distribusi Frekuensi Komulatif.

Distribusi Frekuensi Komulatif dibagi 2 :

a. Distribusi Frekuensi Komulatif (DFK) kurang dari

b. Distribusi Frekuensi Komulatif (DFK) lebih dari

Contoh :

a. DFK “kurang dari (<)” hasil pemeriksaan keteguhan tekan beton (benda uji

kubus sisi 15 cm) sesudah 28 hari dengan campuran 1 : 2 : 3 yang

Statistik Terapan


dilaksanakan di Laboratorium Pengujian Bahan Politeknik UI Depok dalam

satuan kg/cm2

Batas Kelas Komulatif “<” (Xki) (Kg/Cm2)

Frekuensi Komulatif “<” (Fki)

Kurang dari 157.35 0







b. DFK “lebih dari (>)” hasil pemeriksaan keteguhan tekan beton (benda uji


dilaksanakan di Laboratorium Pengujian Bahan Politeknik UI Depok

dalam satuan kg/cm2 .

Batas Kelas Komulatif “>” (Xki) (Kg/Cm2)

Frekuensi Komulatif “<” (Fki)

Lebih dari 157.35 25




Lebih dari 176.55 5

Lebih dari 181.35 1

Lebih dari 186.15 0

Statistik Terapan


PENYAJIAN DISTRIBUSI FREKUENSI DALAM BENTUK GRAFIK,

DAN DIAGRAM

Dalam laporan-laporan tertulis, brosur, majalah, buku-buku, dan lain-

lain sering kita lihat Distribusi Frekuensi disajikan dalam bentuk grafik dan

diagram. Atau disajikan bersama-sama table Distribusi Frekuensi.

Guna penyajian Distribusi Frekuensi dalam bentuk grafik dan diagram

adalah :

1. Mempertegas dan memperjelas Distribusi Frekuensi yang telah disajikan

sebagai table/daftar.

2. Sebagai pengganti bagi Distribusi Frekuensi yang berbentuk sebagai

daftar / tabel.

Grafik dan diagram yang sering dipakai untuk melukiskan distribusi

frekuensi adalah :

1. Histogram frekuensi

2. Poligon frekuensi

3. Ogive frekuensi

4. Diagram lingkaran

HISTOGRAM FREKUENSI

Histogram frekuensi adalah suatu bentuk diagram yang terdiri dari

persegi panjang dimana setiap persegi panjang tersebut mewakili/

menerangkan/ menggambarkan sebuah kelas dari distribusi frekuensi.

Contoh :

Histogram frekuensi hasil pemeriksaan keteguhan tekan beton (benda uji


dilaksanakan dilaboratorium pengujian bahan Politeknik UI Depok dalam

satuan kg/cm2.

Statistik Terapan


0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

157,35 162,15 166,95 171,75 176,55 181,35 186,15

keteguhan tekan beton (kg/cm2)

fre

ku

en

si

Skala : x = 2 : 8,72 kg/cm2

y = 1 : 1

POLIGON FREKUENSI

Poligon Frekuensi adalah suatu bentuk grafik yang digambarkan

dengan menghubungkan titik-titik tengah dari garis puncak histogram

dengan memakai garis lurus.

Contoh :

Poligon frekuensi hasil pemeriksaan keteguhan tekan beton (benda uji

kubus sisi 15 cm) sesudah 28 hari engan campuran 1 : 2 : 3 yang


satuan kg/cm2.

Statistik Terapan


1

4

9

6

3

2

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10159,75 164,55 169,35 174,15 178,95 183,75


freku

en

si

Keterangan :

Untuk melengkapi poligon frekuensi diawal dan diakhir distribusi frekuensi,

masing-masing ditambah satu kelas dengan frekuensi = “ 0/nol “ sehingga

poligon frekuensi komulatif dengan memakai garis lurus.

OGIVE FREKUENSI

Ogive frekuensi adalah suatu bentuk grafik yang merupakan bentuk

penyajian distribusi frekuensi komulatif yang digambarkan dengna

menghubungkan titik-titik dari frekuensi komulatif dengan memakai garis

lurus.

Contoh :

a. Ogive Frekuensi “kurang dari (<)”hasil pemeriksaan keteguhan tekan

beton (benda uji kubus sisi 15 cm) sesudah 28 hari engan campuran 1

: 2 : 3 yang dilaksanakan dilaboratorium pengujian bahan Politeknik UI

Depok dalam satuan kg/cm2.

Statistik Terapan


0

2

5

11

20

2425

0

5

10

15

20

25

30

157,35 162,15 166,95 171,75 176,55 181,35 186,15


freku

en

si

b. Ogive frekuensi “lebih dari (>)”hasil pemeriksaan keteguhan tekan

beton (benda uji kubus sisi 15 cm) sesudah 28 hari engan campuran 1

: 2 : 3 yang dilaksanakan dilaboratorium pengujian bahan Politeknik UI

Depok dalam satuan kg/cm2.

01

5

14

20

23

25

0

5

10

15

20

25

30

157,35 162,15 166,95 171,75 176,55 181,35 186,15


fre

ku

en

si

Statistik Terapan


Diagram lingkaran adalah suatu bentuk ddiagram yang berbentuk

lingkaran dengan jari-jari yang membagi lingkaran itu menjadi beberapa

daerah yang luasnya sesuai dengan frekuensinya, diman luas tersebut

tergantung dari besar sudut.

( io ) = Fri x 3600

keterangan : ( io ) = sudut pada kelas I

Contoh :

Diagram lingkaran hasil pemeriksaan keteguhan tekan beton (benda uji

kubus sisi 15 cm) sesudah 28 hari engan campuran 1 : 2 : 3 yang


satuan kg/cm2.

Kelas ( i )

Tanda Kelas (mi) (Kg/Cm2)

Frekuensi (fi)

Fri Fri (%) α ( i )

1 159.75 2 0.08 8 28.8

2 164.55 3 0.12 12 43.2

3 169.35 6 0.24 24 86.4

4 174.15 9 0.36 36 129.6

5 178.95 4 0.16 16 57.6

6 183.75 1 0.04 4 14.4

25

6

1

i

fi 1

6

1

i

Fri

%1006

1

i

Fri

( i ) = 360

Statistik Terapan


174,15 (36%)

178.95 (16%)

169.35 (24%)

164.55 (12%)

159.75 (8%)183.75 (4%)

`

Statistik Terapan


RANGKUMAN

Distribusi Frekuensi Empiris adalah suatu daftar yang menunjukkan

penggolongan kumpulan data diamana termasuk penentuan berapa

bilangan yang termasuk ke dalam setiap golongan tersebut.

Variabel Penyelidikan adalah obyek yang diselidiki.



pengamatan



berurutan.

Nilai variable adalah nilai masing-masing penyelidikan / pengujian.

Distribusi Frekuensi Tunggal (DFT) adalah suatu pencaran frekuensi

yang menunjukkan tidak adanya pengelompokkan nilai variabel.

Distribusi Frekuensi Bergolong (DFB) adalah suatu pencaran frekuensi

yang menunjukkan adanya pengelompokkan nilai variabel dalam satu

kelas.






pengamatan

Statistik Terapan




berurutan.

Histogram frekuensi adalah suatu bentuk diagram yang terdiri dari

persegi panjang dimana setiap persegi panjang tersebut mewakili/

menerangkan/ menggambarkan sebuah kelas dari distribusi frekuensi.




Ogive frekuensi adalah suatu bentuk grafik yang merupakan bentuk

penyajian distribusi frekuensi komulatif yang digambarkan dengna

menghubungkan titik-titik dari frekuensi komulatif dengan memakai

garis lurus.

Diagram lingkaran adalah suatu bentuk ddiagram yang berbentuk

lingkaran dengan jari-jari yang membagi lingkaran itu menjadi

beberapa daerah yang luasnya sesuai dengan frekuensinya, diman

luas tersebut tergantung dari besar sudut.

Statistik Terapan


3.8 SOAL

1. Apa yang dimaksud dengan distribusi frekuensi empiris?

2. Apa yang dimaksud dengan distribusi frekuensi tunggal?

3. Apa yang dimaksud dengan distribusi frekuensi bergolong?

4. Apa yang dimaksud dengan distribusi frekuensi relatif?

5. Apa yang dimaksud dengan distribusi frekuensi komulatif?

6. Dibawah ini disajikan Data Volume Kendaraan Pada Ruas Jalan Tol

Jakarta-Bogor-Ciawi untuk 50 Hari Kerja Pada Pukul 07.00 S/D 09.00

Pada Bulan Juli - September 2007 (Dalam Ratusan)

46.7 42.6 49.2 35.4 45.6

56.3 28.3 63.4 68.1 73.2

19.4 61.5 32.4 53.4 36.5

38.2 48.4 42.5 52.6 54.3

47.3 47.3 50.8 50.8 45.4

57.5 58.2 64.7 65.4 76.7

25.9 26.8 35.4 35.7 38.1

37.3 50.3 52.1 60.1 57.1

42.3 46.8 48.6 56.8 68.0

40.8 40.1 44.6 44.2 46.9

a. Buatlah distribusi frekuensi bergolong, relatif dan komulatif.

b. Gambarkan histogram, polygon, diagram lingkaran, ogive frekuensi

dari distribusi frekuensi diatas.

Statistik Terapan


BAB IV UKURAN-UKURAN DISKRIPTIF DALAM STATISTIK

Sebelum kita melangkah lebih jauh pada ukuran lokasi (Mean, Median,

Modus dan sebagainya), mengingat bahwa ukuran lokasi menggunakan

operasi penjumlahan, maka diperlukan cara untuk menyajikan penjulahan

dalam bentuk symbol atau Notasi Summasi ( ).

4.1 SUMMASI ( ).

Misal dalam n pengamatan yang dinyatakan sebagai x1, x2, x3 …….. xn

untuk menyatakan jumlah dapat dinyatakan dengan notasi summasi sebagai

berikut :

nxxxx

...xi 321

n

1i

Keterangan :

= Operasi Penjumlahan / Summasi

i = Indeks Summasi

n = Batas Indeks Summasi

xi = Data Pengamatan ke i

Pembacaan Notasi :

Jumlah semua data x dari indeks = 1 s/d n termasuk data ke 1dan data ke n.

Contoh :

x1 = 20 ; x2 = 25 ; x3 = 23 ; x4 = 24

9224232520xxxxx 4321

4

1i

i

Statistik Terapan


Bila n pengamatan masing-masing dikwadratkan, maka bentuk

penjumlahannya adalah sebagai berikut :

2

n

2

3

2

2

2

1

n

1i

2

i x...xxxx

Pembacaan Notasi :

Jumlah semua data x2 dari indeks = 1 s/d n termasuk data ke 1 dan ke n

Contoh :

x1 = 4 ; x2 = 3 ; x3 = 5

50534xxxx 2222

3

2

2

2

1

3

1i

2

i

Contoh-contoh diatas tidak lepas dari aturan-aturan aljabar yang digunakan

dalam summasi.

ATURAN-ATURAN ALJABAR DALAM SUMMASI :

1. ATURAN I :

Summasi suatu penjumlahan / pengurangan sama dengan jumlah / selisih

dari summasi :

n

1i

i

n

1i

i

n

1i

i

n

1i

iii zyxzyx

BUKTI :

n

1i

i

n

1i

i

n

1i

i

nnn222ii1

n

1i

iii

zyx

zyx...zyxzyxzyx

Statistik Terapan


2. ATURAN II :

Summasi perkalian antara variable dan konstanta sama dengan perkalian

konstanta dan summasi variable.

n

1i

i

n

1i

i xkkx

BUKTI :

n

1i

i

n21

n21

n

1i

i

xk

x...xxk

k.x...k.xk.xk.x

3. ATURAN III :

Summasi konstanta sama dengan konstanta dikali dengan jumlah indeks

dalam summasi.

n.CCn

1i

BUKTI

C1)C-(nn.C

C...CCC n21

n

1i

4.2 UKURAN-UKURAN LOKASI / HARGA-HARGA TENGAH

Ukuran-ukuran lokasi / harga-harga tengah adalah merupakan harga-

harga yang dapat menggambarkan distribusi frekuensi pada lokasi/letaknya.

Ukuran-ukuran lokasi meliputi :

1. Rata-rata / Mean

Statistik Terapan


2. Median, Kwartil, Desil dan Persentil

3. Modus

4. Geometric Mean

5. Harmonic Mean

4.2.1 MEAN / RATA-RATA ( )

Mean / Rata-rata adalah jumlah dari semua data dibagi dengan

banyaknya data.

1. MEAN DISTRIBUSI FREKUENSI TUNGGAL

Apabila terdapat n data pengamatan yaitu x1, x2, x3 …….. xn , maka

nilai rata-ratanya :

n

xxxx n

...x 321

atau dapat ditulis :

n

x

x

n

i

i 1

Apabila terdapat n data pengamatan dimana setiap data frekuensi

lebih dari satu, yaitu :

x1 f1, x2 f2, .... , xk fk

maka nilai rata-ratanya :

k

kk

ffff

fxfxfxx

...

......

321

2211


Statistik Terapan


n

fx

f

fx

x

k

i

ii

k

i

i

k

i

ii

1

1

1

..

k

i

ii fxn

x1

.1

Keterangan :

k = Banyaknya data yang terkelompok.

2. MEAN DISTRIBUSI FREKUENSI BERGOLONG

Mean Distribusi Data Bergolong tidak jauh berbeda dengan

Distribusi Frekuensi Tunggal, hanya nilai xi (nilai variable / data

tunggal) diganti / dirubah titik tengah / tanda kelas (mi).

Dimana tanda kelas dianggap mewakili nilai variable-variable yang

terdapat pada masing-masing kelas.

Mean di sini hanya merupakan perkiraaan terdekat saja, maka nilai

rata-rata Distribusi Frekuensi Bergolong dapat dituliskan

k

kk

ffff

fmfmfmfmx

...

.......

321

332211


n

fm

f

fm

x

k

i

ii

k

i

i

k

i

ii

1

1

1

..

Keterangan :

Statistik Terapan


= Nilai Rata-Rata

n=Banyaknya Data

mi = tanda kelas ke i

fi = frekuensi ke i

k = Banyaknya Data yang dikelompokkan / Banyaknya kelas.

Contoh:

Hasil pemeriksaan keteguhan tekan beton (benda uji kubus sisi 15

cm) sesudah 28 hari dengan campuran 1 : 2 : 3 yang dilaksanakan

di Laboraturium Pengujian Bahan Politeknik UI Depok dalam

satuan kg / cm2.

Kelas (i)

Tanda Kelas

(mi) (Kg/ Cm2)

Frekuensi (fi)

mi . fi (Kg/ Cm2)

1 92,635 2 185,27

2 101,355 5 506,775

3 110,075 9 990,675

4 118,795 7 831,565

Statistik Terapan


2

1

435.114

05.3433.30

1

.1

cmkg

fmn

xn

i

ii

Cara lain menghitung mean Distribusi Frekuensi Bergolong,

yaitu dengan cara KODING / ABRITER / TERKAAN

uxx I.0

k

i

ii fun 1

..1

Pembuktian Rumus :

Rumus diatas diambil berdasarkan rumus awal :

n

i

ii fmn

x1

.1

5 127,515 4 510,060

6 136,235 3 408,705

6

1i

if

30

3.433,05

Statistik Terapan


ii uxm I.0

ux

funxn

fufxn

fufxn

fufxn

fuxn

x

k

i

i

k

i

i

k

i

io

k

i

i

k

i

i

k

i

ii

k

i

i

I.

.I..1

.I..1

.I...1

).I..(1

).I.(1

0

1

i0

1

i

1

1

i

1

0

1

i0

1

i0

Keterangan :

= Nilai Rata-Rata

x0 = Nilai Rata-Rata terkaan yang dipilih secara abriter dengan

memilih nilai mi (tanda kelas) dengan asumsi deviasi pada mean

terkaan = 0

I = Interval kelas

ύ = Nilai rata-rata penyimpangan / Deviasi

n = Banyaknya Data pengamatan

ύi = Deviasi ke i

fi = Frekuensi ke i

k = Banyaknya data yang dikelompokkan

Statistik Terapan


Langkah-Langkah Menentukan Mean secara Koding / Abriter /

Terkaan :

1. Menyusun data dalam bentuk Distribusi Frekuensi.

2. Menentukan Mean Terkaan (x0) secara abtriter dari tanda kelas

dengan asumsi deviasi pada mean terkaan = 0.

3. Menentukan nilai deviasi masing-masing kelas mulai dari mean

terkaan. Deviasi diaatas mean terkaan diberi tanda minus (-),

sedangkan dibawah deviasi terkaan diberi tanda plus (+).

Apabila data disusun dari nilai terrendah ke tertinggi.

4. Menentukan nilai rata-rata.

Contoh :

Hasil pemeriksaan keteguhan tekan beton (benda uji kubus sisi 15

cm) sesudah 28 hari dengan campuran 1 : 2 : 3 yang dilaksanakan

di Laboraturium Pengujian Bahan Politeknik UI Depok dalam

satuan kg / cm2.

Kelas (i)

Tanda Kelas (mi) (Kg/ Cm2)

Frekuensi fi

Deviasi (ui)

ui . fi

1 92,635 2 -3 -6

2 101,355 5 -2 -10

3 110,075 9 -1 -9

4 118,795 7 0 0

5 127,515 4 1 4

6 136,235 3 2 6

6

1i

if 30 -15

uI.0 xx

Statistik Terapan


5.015.30

1..

1

1

k

i

ii fun

u

2435.11472.8).5.0(795.118 cmkgx

Catatan :

Jika :x0 > maka komponen koreksi (ύ) akan (-)

x0 = maka komponen koreksi (ύ) = 0

x0 < maka komponen koreksi (ύ) akan (+)

4.2.2 MEDIAN ( x~ )

Median adalah nilai yang membatasi 50% Distribusi Frekuensi

bagian bawah dengan 50% Distribusi Frekuensi bagian atas,

apabila data disusun menurut besarnya.

1. MEDIAN DISTRIBUSI FREKUENSI TUNGGAL

Cara menentukan Median Frekuensi Tunggal :

1. Menyususn data menurut besarnya, dari nilai terendah ke

tertinggi atau sebaliknya.

2. Menentukan harga yang terletak di tengah-tengah urutan

data.

Apabila banyaknya data ganjil nilai median merupakan satu nilai

yang berada di tengah-tengah.

Apabila banyaknya data genap nilai median merupakan data

nilai ditengah dijumlahkan dan dibagi dua.

Contoh :

a. 4, 4, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 14

x~ = 8

b. 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11

x~ = (7 + 8)/2 = 7,5

Statistik Terapan


2. MEDIAN DISTRIBUSI FREKUENSI BERGOLONG

Median Distribusi Frekuensi Bergolong dapat ditentukan dari

grafik atau diagram salah satunya adalah dengan

menggunakan ogive frekuensi kurang dari :

Contoh :

Ogive frekuensi “<” Hasil pemeriksaan keteguhan tekan beton

(benda uji kubus sisi 15 cm) sesudah 28 hari dengan campuran

1 : 2 : 3 yang dilaksanakan di Laboraturium Pengujian Bahan

Politeknik UI Depok dalam satuan kg / cm2.

Skala x = 1 : 8,72 kg / cm2

y = 2 : 5 y

f.kom.

(f ki) 30

27

25

23

20

E C

15

(1/2 n – fkbx2)

10 fx2

7

5 A D B

2

0

88,275 96,995 105,715 114,435 123,155 131,875 140,595

Statistik Terapan


Keteguhan tekan beton(kg/cm2)

Langkah-langkah menentukan x~ :

1. Menentukan letak kelas median dengan menentukan 50%

frekuensi.

fx = ½ . n = ½ . 30 = 15

Kelas median (105,715 – 14,435)

2. Membuat perbandingan A sebagai interpolasi pada kelas

median.

ADBbnx x

ADE : ABC

x

x

xx

f

fkbnIAD

f

I

fkbn

AD

BC

AB

AE

AD

).21(

.21

x

x

xf

fkbnIBbnx

).21.(

Keterangan :

x = nilai median

Bbnx = Batas Bawah Nyata Kelas Median

I = Interval Kelas

N = Banyaknya Data Pengamatan

fkbx = Frekuensi Komulatif Sebelum Kelas Median

fx = Frekuensi Kelas Median

Statistik Terapan


Contoh :

2466.113)715(72.8715.105 cmkgx

4.2.3 KWARTIL (K)

Kwartil berdasarkan rumus median adalah nilai yang membatasi

setiap kelipatan 25% distribusi frekuensi apabila data disusun

berdasarkan besarnya.

3

3

33

2

2

22

1

1

11

).43.(

).42.(

).41.(

k

k

k

k

k

k

k

k

k

f

fkbnIBbnK

f

fkbnIBbnK

f

fkbnIBbnK

4.2.4 DESIL (D)

Desil adalah nilai yang membatasi distribusi frekuensi setiap

kelipatan 10% apabila data disusun berdasarkan besarnya.

3

3

33

2

2

22

1

1

11

).109.(

).105.(

).101.(

D

D

D

D

D

D

D

D

D

f

fkbnIBbnD

f

fkbnIBbnD

f

fkbnIBbnD

4.2.5 PERSENTIL (P)

Persentil adalah nilai yang membatasi distribusi frekuensi setiap

100% apabila data disusun berdasarkan besarnya.

Statistik Terapan


25

25

2525

1

1

11

).10025.(

).1001.(

P

P

P

P

P

P

f

fkbnIBbnP

f

fkbnIBbnP

99

99

9999

75

75

7575

50

50

5050

).10099.(

).10075.(

).10050.(

P

P

P

P

P

P

P

P

P

f

fkbnIBbnP

f

fkbnIBbnP

f

fkbnIBbnP

4.2.6 MODUS ( x̂ )

Modus adalah nilai yang sering timbul dari keseluruhan pengamatan

data/ nilai yang memounyai frekuensi tertinggi.

1. MODUS DISTRIBUSI FREKUENSI TUNGGAL

Contoh :

a. 4, 8, 5, 6, 8, 7, 6, 7, 9, 7, 6, 7, 5

x = 7 f = 4

b. 4, 8, 6, 4, 7, 4, 7, 9, 7, 6, 7, 5

x = 4 & 7 f = 4 (bimodus/ modus ganda)

c. 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

tidak mempunyai modus sebab masing-masing data mempunyai

frekuensi yang sama jumlahnya.

2. MODUS DISTRIBUSI FREKUENSI BERGOLONG

Modus Distribusi Frekuensi Bergolong dapat ditentukan dengan

menggunakan histogram frekuensi.

Statistik Terapan


Contoh:

Histogram Frekuensi Hasil pemeriksaan keteguhan tekan beton

(benda uji kubus sisi 15 cm) sesudah 28 hari dengan campuran 1

: 2 : 3 yang dilaksanakan di Laboraturium Pengujian Bahan

Politeknik UI Depok dalam satuan kg / cm2.

Skala x = 1 : 8,72 kg / cm2

y = 1 : 1

y

Frek. (fi) B b

9 c

8 F E G

7

6 D

5

4 A

3

2

1

0

88,275 96,995 105,715 114,435 123,155 131,875 140,595

x=kelas modus Keteguhan tekan beton (kg/cm2)

)(

)(

)( xx

xx

fsf

fbf

bI

b

CD

AB

EG

FE

Kelas Modus (105,715 – 114,435)

bBbnx x

AEB : CED

Statistik Terapan


).2(

).(

)()(

).(

)(

.

...

xxx

xx

xxxx

xx

fsfbf

fbfI

fsffbf

fbfI

xy

xIb

xIxbyb

).2(

).(

xxx

xxx

fsfbf

fbfIBbnx

Keterangan :

x

= nilai modus

Bbnx = Batas Bawah Nyata Kelas Modus

I = Interval Kelas

fx = Frekuensi Kelas Modus

fbx = Frekuensi sebelum Kelas Modus

fsx = Frekuensi setelah Kelas Modus

Contoh :

2528,111]57)9.2[(

)59.(70.8715.105cmkgx

Statistik Terapan


4.3 RANGKUMAN

4.4 SOAL

1. Apa yang dimaksud dengan harga-harga lokasi?

2. Sebutkan macam-macam harga lokasi dan jelaskan?

3. Data volume kendaraan pada ruas jalan tol jakarta-bogor-ciawi untuk

30 hari kerja pada pukul 07.00 s/d 09.00 pada bulan agustus -

september 2007

Ukuran-ukuran lokasi / harga-harga tengah adalah merupakan harga-

harga yang dapat menggambarkan distribusi frekuensi pada

lokasi/letaknya.

Mean /Rata-rata adalah jumlah dari semua data dibagi dengan

banyaknya data.

Median adalah nilai yang membatasi 50% Distribusi Frekuensi bagian

bawah dengan 50% Distribusi Frekuensi bagian atas, apabila data

disusun menurut besarnya.

Kwartil berdasarkan rumus median adalah nilai yang membatasi setiap

kelipatan 25% distribusi frekuensi apabila data disusun berdasarkan

besarnya

Desil adalah nilai yang membatasi distribusi frekuensi setiap kelipatan

10% apabila data disusun berdasarkan besarnya.

Persentil adalah nilai yang membatasi distribusi frekuensi setiap 100%

apabila data disusun berdasarkan besarnya.

Modus adalah nilai yang sering timbul dari keseluruhan pengamatan

data/ nilai yang memounyai frekuensi tertinggi

Statistik Terapan


Kelas Tanda Kelas (dalam ratusan)

Frekuensi

1 17 1

2 28 4

3 39 11

4 50 7

5 61 5

6 72 2

a. Hitung nilaimean, median dan modus.

b. Hitung nilai kuartil 3, desil 2 dan persentil 66.

Statistik Terapan


BAB V UKURAN-UKURAN LOKASI / HARGA-HARGA DEVIASI

Rata-rata dari serangkaian nilai-nilai observasi tidak dapat

diinterpretasikan secara terpisah dari hasil variasi nilai-nilai tersebut sekitar

rata-ratanya. Bila terdapat keseragaman dalam nilai observasi (xi), maka

variasi tersebut = 0 dan x = x.

Contoh :

x1 x2 x3 x4 x5 x6

A 60 65 50 60 65 60 A = 360/60 = 60

B 30 90 50 70 60 60 B = 360/60 = 60

- variasi data A 50 s/d 65

- variasi data B 30 s/d 90

Hasil tersebut menunjukkan bahwa nilai A lebih kecil variasinya

dibandingan B, dengan kata lain nilai A lebih stabil terhadap nilai nya.

Variasi data dari harga tengah idealnya harus kecil. Apabila variasi data

terhadap harga tengah terlalu besar, maka harga tengah tersebut kurang

berguna sebagai nilai yang mewakili atau menggambarkan keadaan datanya.

Macam-Macam Pengukuran Variasi :

1. Range

2. Deviasi Kwartil

3. Deviasi Rata-Rata (Simpangan Rata-Rata)

4. Deviasi Standard (Simpangan Standard ) dan varians.

5.1 RANGE

Range adalah selisih antara data dengan nilai variable tertinggi dan

data dengan nilai variable terendah dari keseluruhan pengamatan data.

LHR

Statistik Terapan


Range merupakan pengukuran disperse (variasi) yang paling sederhana.

Apabila kita ingin memperoleh pengukuran variasi secara kasar dan cepat,

Range dapat digunakan.

Karena kesederhanaannya, maka range banyak sekali digunakan dalam

pengawasan kualitas (Quality Control)

5.2 DEVIASI KWARTIL (SIMPANGAN KWARTIL) (dk)

Deviasi Kwartil adalah pengukuran variasi atas dasar jarak inter

kwartil. Pengukuran didasarkan pada jarak K1 dan K3. Deviasi Kwartil tidak

dipengaruhi oleh dispersi dari seluruh nilai-nilai observasi/pengamatan, tapi

hanya mengikut sertakan disperse nilai-nilai observasi (xi) terhadap

mediannya (x). Jarak antara K1 dan K3 dinamakan Jarak Imter Kwartil. Makin

kecil jarak tersebut, makin tinggi tingkat konsentrasi distribusi tengah, seluas

50%. Pengukuran variasi ini tidak membawa pengauh terhadap xi yang

terdapat dibawah K1 dan xi diatas K3.

Pengukuran deviasi Kwaril dapat dirumuskan:

2

13 KKd k

Keterangan :

dk = Deviasi Kwartil

K3 = Kwartil 3

K1 = Kwartil 1

Statistik Terapan


Contoh :

2

1

111

199,106

9

)730.41.(72,8725,105

).41.(

cmkg

f

fkbnIBbnK

k

kk

2

13

167,82

109,106532,122

2

cmkg

KKd k

dk = 8,167 kg/cm2 terhadap x nya

dk digunakan untuk mengukur merata atau tidaknya distribusi pendapatan.

5.3 DEVIASI RATA-RATA ( xd )

Deviasi Rata-Rata adalah harga rata-rata penyimpangan data

terhadap rata-ratanya.

1. xd Distribusi Frekuensi Tunggal

Bila serangkaian nilai observasi x1, x2, ......, xn memiliki rata-rata .

Maka deviasi nilai-nilai observasi terhadap nya secara berturut-turut

dapat dinyatakan sebagai (x1 - ), (x2 - 1), …… (xn - n-1).

Penjumlahan deviasi nilai-nilai observasi terhadap x nya, menjadi :

n

i

i xx1

)(

Statistik Terapan


Sedangkan deviasi rata-rata :

n

i

i xxn

xd1

)(.1

ternyata rumus ini menjadi nilai xd = 0.

BUKTI :

0

].1)1.[(1

.1

.1

)(.1

11

1

xx

xnn

x

xn

xn

xxn

xd

n

i

n

i

i

n

i

i

Tujuan pengukuran deviasi adalah mengukur variasi nilai-nilai observasi

dari suatu nilai tertentu ( nya). Pengukuran seperti ini pada umumnya

menitik beratkan pada hasil besar kecilnya deviasi, bukan arah deviasi (+

atau -).

Mengingat tujuan tersebut, maka pengukuran deviasi atas dasar nilai-nilai

absolut, sehingga perumusannya, sebagai berikut :

n

i

i xxn

xd1

)(.1

Statistik Terapan


Contoh :

(i) (xi) (xi - ) | (xi - ) |

1 24 - 1,5 1,5

2 25 - 0,5 0,5

3 26 + 0,5 0,5

4 27 + 1,5 1,5

4

1i

0 4

n

i

ixn

x1

.1

5,25

)27262524.(41

).(41 4321

xxxxx

14.41

)(.1

1

n

i

i xxn

xd

2. xd Distribusi Frekuensi Bergolong

n

i

ii fxmn

xd1

.1

Keterangan :

xd = Deviasi Rata-Rata

n = Banyaknya Data Pengamatan / Nilai Observasi

k = Banyaknya Kelas / Data yang Dikelompokkan

mi = Tanda Kelas ke i

x = Rata-Rata

fi = Frekuensi ke i

Statistik Terapan


Contoh :

Hasil pemeriksaan keteguhan tekan beton (benda uji kubus sisi 15 cm)

sesudah 28 hari dengan campuran 1 : 2 : 3 yang dilaksanakan di

Laboraturium Pengujian Bahan Politeknik UI Depok dalam satuan kg /

cm2.

Kelas (i)

Tanda kelas (mi) (kg/cm2)

Frekuensi (fi)

|mi - | - fi (kg/cm2)

1 92,635 2 43,6

2 101,36 5 65,4

3 110,075 9 39,24

4 118,795 7 30,52

5 127,515 4 52,32

6 136,235 3 65,4

6

1i

30 296,48

= 114,435 kg / cm2 rata-rata

x = 113,466 kg / cm2 median

xterhadapcmkg

fxmn

xdn

i

ii

2

1

883,948,296.30

1

.1

dalam kondisi tertentu dapat dihitung terhadap median distribusi sehingga

dapat dirumuskan :

n

i

ii fxmn

xd1

.1

Rumus tersebut digunakan apabila dengan menggunakan x dapat

menghasilkan variasi seminimal mungkin.

d merupakan pengukuran variasi yang lebih baik dibandingkan R atau

dk, karena hasil pengukuran d mencerminkan variasi tiap-tiap nilai

Statistik Terapan


observasi dari nilai nya bukan hanya tergantung pada nilai-nilai

ekstrim.

Tetapi rata-rata deviasi secara absolute tanpa menghiraukan tanda-tanda

(+) atau (-) menyulitkan manipulasi secara mateatika.

Untuk itu sebagai sarana untuk menetukan deviasi yang lebih baik

digunakan standart deviasi dan variasi.

5.4 STANDARD DEVIASI DAN VARIASI

Penggunaan nilai-nilai absolut bagi pengukuran variasi tidak

memungkinkan manipulasi secara matematis.

Berdasarkan rumus dari d , bila penjumlahan dilakukan terhadap (xi - )2 ,

maka rata-rata hasil penjumlahan diatas tidak akan = 0

n

i

i xxn 1

2)(.1

perumusan ini dinamakan deviasi kwadrat rata-

rata

KARL PERSON menamakannya pengukuran Varians dan dirumuskan

sebagai berikut :

n

i

i xxn

S1

22 )(.1

Untuk penyimpangan standard / deviasi standard merupakan akar varians :

n

i

i xxn

S1

2)(.1

Keterangan :

S2 = Varians

S = Standard Deviasi

n = Banyaknya Nilai Observasi / Data Pengamatan

xi = Nilai Observasi ke i

Statistik Terapan


= Nilai Rata-Rata

1. S2 dan S Distribusi Frekuensi Tunggal

Data populasi

n

i

i xxn

S1

22 )(.1

n

i

i xxn

S1

2)(.1

Data Sampel

n

i

i xxn

S1

22 )(.1

1

n

i

i xxn

S1

2)(.1

1

Di dalam peraturan beton bertulang Indonesia 1970 ditetapkan bahwa

keteguhan karakteristik dari beton ditentukan dengan n = 20 buah benda

uji. Hal ini adalah didasarkan pertimbangan-pertimbangan berikut :

1. Bahwa pada pangujian mutu dari beton, 20 beton uji sudah cukup

dapat memberikan gambaran yang representatif dari keteguhan

karakteristik.

2. 20 benda uji adalah jumlah terkecil dengan mana secara tepat dapat

diperhitungkan adanya hasil pemeriksaan yang tidak memenuhi syarat

(qi) = 5% yaitu 5% x 20 = 1, artinya diantara 20 hasil pemeriksaan

berturut-turut hanya ada boleh 1 hasil yang tidak memenuhi syarat.

Statistik Terapan


Dengan Rumus:

n

i

i xxn

S1

22 )(.)1(

1

n

i

i xxn

S1

2)(.)1(

1

Alasan menggunakan pembagian (n-1) bukan n adalah agar varians tidak

kabur. (n-1) biasa disebut dengan derajat kebebasan.

Bentuk Lain Rumus S2 dan S Distribusi Frekuensi Tunggal :

a. Dengan menghilangkan nilai rata-rata :

Statistik Terapan


2

1

2

22

1

2

2

1

2

2

11

2

2

11

2

1

2

11

2

1

22

1

22

1

22

.

..2

...2

..2

].1)1[(.2

.2

).2(

)()1.(

)(.)1(

1

xnx

xnxnx

xnxnxx

xnxxx

xnxxx

xxxx

xxxx

xxnS

xxn

S

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

n

i

i

n

i

i

Statistik Terapan


]).(1

.[)1(

1

]).(1

.[)1(

1

].[1

].1

.[

2

11

2

2

11

22

2

11

2

2

11

2

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

xn

xn

S

xn

xn

S

xn

x

xn

nx

b. Dengan menggunakan titik asal deviasi secara abriter / terkaan /

koding

]).(

1.[

)1(

1

]).(1

.[)1(

1

2

11

2

2

11

22

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

xn

xn

S

xn

xn

S

Keterangan :

X0 = Titik Asal Deviasi Secara Abriter Dari Data xi

Contoh :

Evaluasi pengukuran lebar block kayu yang akan digunakan sebagai

test kekuatan tekan serta dalam satuan cm.

Statistik Terapan


lebar (xi)

(cm)

(xi - )2 (cm)

xi 2

(cm2) (xi–x01) (cm)

(xi–x01) 2

(cm2) (xi–x02) (cm)

(xi–x01) 2

(cm2)

17,3 6,4009 299,29 0,7 0,49 1,9 3,61

12,4 5,6169 153,76 -4,2 17,64 -3 9

13,6 1,3689 184,96 -3 9 -1,8 3,24

15,4 0,3969 237,16 -1,2 1,44 0 0

14,8 0,0009 219,04 -1,8 3,24 0,6 0,36

16,6 3,3489 275,56 0 0 1,2 1,44

13,9 0,7569 193,21 -2,7 7,29 -1,5 2,25

12,7 4,2849 161,29 -3,9 15,21 -2,7 7,29

16,9 4,5369 285,61 0,3 0,09 1,5 2,25

14,1 0,4489 198,81 -2,5 6,25 -1,5 1,69

147,7 27,161 2208,69 -18,3 60,65 -6,3 31,1

1. Dengan Rumus 1 :

cm

xn

xn

i

i

77,147,147.10

1

.1

1

cm

xn

xn

S

cm

xn

xn

S

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

648,1161,27.10

1

]).(1

.[1

7161,2161,27.10

1

]).(1

.[1

2

11

2

2

2

11

22

Statistik Terapan


2. Dengan Rumus 2 :

]).(1

.[1 2

11

22

n

i

i

n

i

i xn

xn

S

cm

xn

xn

S

cm

n

i

i

n

i

i

648,1])7,147.(10165,60.[101

]).(1

.[1

7161,2]7,147.10169,2208.[10

1

2

2

11

2

22

3. Dengan Rumus 3 :

cm

xxn

xxn

S

cm

xxn

xxn

S

n

i

oi

n

i

oi

n

i

oi

n

i

oi

648,1])3,.18.(10165,60.[10

1

]])(.[1

)(.[1

7161,2])3,.18.(10165,60.[10

1

]])(.[1

)(.[1

2

2

1

1

1

2

1

22

2

1

1

1

2

1

2

2. S2 dan S Distribusi Frekuensi Bergolong

Data Populasi

n

i

ii fxmn

S1

22 .)(.1

n

i

ii fxmn

S1

2.)(.1

Statistik Terapan


Data sampel

n

i

ii fxmn

S1

22 .)(.1

1

n

i

ii fxmn

S1

2.)(.1

1

Keterangan :

S2 = Varians

S = Standard Deviasi

n = Banyaknya Data Pengamatan / Nilai Observasi

mi = Tanda Kelas ke i

x = Nilai Rata-Rata

fi = Frekuensi ke i

k = Banyaknya Data yang Dikelompokkan

Bentuk Lain S2 dan S Distribusi Bergolong, Yaitu Dengan Cara

KODING / ABRITER / TERKAAN :

Iuxx o .

k

i

ii fun

u1

..1

Statistik Terapan


k

i

iiii

i

i

ioioi

k

i

ii

ioi

k

i

iio

fun

uIxm

uuI

IuIu

IuxIuxxm

fxmn

S

Iuxm

Ifun

xx

1

1

22

1

..1

.()(

).(

)().(

).().().(

).(.1

.

.]..1

[

Statistik Terapan


Disubtitusikan ke rumus S2

])..(1

..[.1

1

])..(1

..[.1

1

])..1

.()..(2

..[.1

1

])..1

.(..1

..2..[.1

1

])..1

.(..1

..2.[..1

1

.)..1

..1

.2(..1

1

.)..1

(..1

1

.)..1

.(.1

1

).(.1

2

1 1

22

2

1 1

222

2

1

2

1 1

22

2

11 1

22

2

11 1

22

2

11 1

22

2

1 1

2

2

1 1

2

1

2

k

i

k

i

iiii

k

i

k

i

iiii

k

i

ii

k

i

k

i

iiii

k

i

ii

k

i

k

i

iiiiii

k

i

iii

k

i

k

i

iiiiii

i

k

i

ii

k

i

k

i

iiii

k

i

k

i

iii

i

k

i

k

i

iii

k

i

ii

fUn

fUIn

S

fUn

fUIn

S

fUn

nfUn

fUIn

fUn

nfUn

fUfUIn

fUn

ffUn

fUfUIn

ffUn

fUn

UUIn

ffUn

UIn

ffUn

UIn

fxmn

S

Contoh :

Hasil pemeriksaan kekuatan tekan beton ( benda uji kubus sisi 15 cm)

sesudah 28 hari dengan campuran 1 : 2 : 3 yang dilaksanakan di Lab

Uji Bahan Politekik Negeri Jakarta, dalam satuan kg / cm2 .

Statistik Terapan


kelas (i)

tanda kelas (mi) (kg/cm2)

frek (fi)

(mi - )2 . fi

(kg / cm2) ui

ui - fi ui2 . fi

1 92,635 2 950,48 -3 -6 18

2 101,355 5 855,432 -2 -10 20

3 101,075 9 171,0864 -1 -9 9

4 118,795 7 133,0672 0 0 0

5 127,515 4 684,3456 1 4 4

6 136,235 3 1425,72 2 6 12

6

1i

4220,1312 -15 63

Keteguhan tekan beton Rata – rata (’ bm) =

bmcmkgx

fUn

u

Iux

bmx

k

i

ii

o

2

1

435,11472,8).5,0(795,118

5,0)15.(30

1

..1

.

Statistik Terapan


STANDAR DEVIASI (S)

1. Menggunakan Rumus 1

2

1

2

2

1

22

603,121312,4220.130

1

)(.1

1

52177,1451312,4220.130

1

)(.1

1

cmkg

fxmn

S

cmkg

fxmn

S

k

i

ii

k

i

ii

2. Menggunakan Rumus 2

2

22

2

1 1

22

2

22

2

1 1

222

603,12

])15.(30

163.[)7,8.(

130

1

])..(1

..[.1

1

52177,145

])15.(30

163.[)7,8.(

130

1

])..(1

..[.1

1

cmkg

fUn

fUIn

S

cmkg

fUn

fUIn

S

k

i

k

i

iiii

k

i

k

i

iiii

Setelah ’ bm dan S didapat, dapat ditentukan ’ bk (keteguhan tekan

beton karakteristik )

Di Indonesia didalam symposium Beton bulan Januari 1970 dan didalam

seminar ke II Tertib Pembangunan Bulan April 1970 telah dsisepakati

untuk mengikuti jejak dari CEB ( Praktische Richtlynen Voor de

Statistik Terapan


Berekening En Uitvoering Van Gewapend- Beton Konstructies “, Beton

Vereniging, Den Haag 1966.

Apabila harga limit dari keteguhan tekan atau dikenal dengan keteguhan

tekan karakteristik kita menyatakan dengan ’ bk , keteguhan tekan rata

– rata dari sejumlah besar hasil pemeriksaan adalah ’ bm , deviasi

standard adalah S dan loefisien Variasi adalah .

Maka ketguhan tekan karakteristik beton ditentukan oleh persamaan

’ bk = ’ bm – 1,645 .S

’ bk = ’ bm – ( 1- 1,645 .d )

Dimana possibility ( = risk) terjadinya keteguhan yang kurang dari harga

karakteristik (qi ) terbatas pada 5% (qi = 5%) saja dengan zi = 1,645

(nilai konstanta karena kemungkinan terjadi keteguhan tekan beton

kurang dari harga karakteristik / besaran random).

CONTOH 2 :

2591,94

063,12.645,1435,114

.645,1

cmkg

Sbmbk

Statistik Terapan


RANGKUMAN

Macam-Macam Pengukuran Variasi :

1. Range

2. Deviasi Kwartil

3. Deviasi Rata-Rata (Simpangan Rata-Rata)

4. Deviasi Standard (Simpangan Standard ) dan varians.

Range adalah selisih antara data dengan nilai variable tertinggi dan

data dengan nilai variable terendah dari keseluruhan pengamatan data.

Deviasi Kwartil adalah pengukuran variasi atas dasar jarak inter kwartil.

Pengukuran didasarkan pada jarak K1 dan K3.

Standard deviasi dihitung berdasarkan Berdasarkan rumus dari d ,

bila penjumlahan dilakukan terhadap (xi - )2 , maka rata-rata hasil

penjumlahan diatas tidak akan = 0

Pengukuran Varians dan dirumuskan sebagai berikut :

n

i

i xxn

S1

22 )(.1

Untuk penyimpangan standard / deviasi standard merupakan akar

varians :

n

i

i xxn

S1

2)(.1

Statistik Terapan


5.6 SOAL

1. Sebutkan macam-macam ukuran variasi?

2. Apa yang dimaksud dengan range, deviasi rata-rata, deviasi kuartil

dan standard deviasi?

3. Apa perbedaan standard deviasi populasi dan sampel? Jelaskan!



september 2007


Frekuensi

1 17 1

2 28 4

3 39 11

4 50 7

5 61 5

6 72 2

a. Hitung deviasi kuartil distribusi frekuensi diatas.

b. Hitung deviasi rata-rata distribusi frekuensi diatas.

c. Hitung standard deviasi dan varians distribusi frekuensi diatas.

Statistik Terapan


BAB VI SKUNES, MOMEN DAN KURTOSIS

Skunes berasal dari kata ketidaksimetrian atau tidak simetris suatu

distribusi.

Dalam hal ini distribusi yang tidak simetris disebut sebagai distribusi skued.

Pada distribusi simetris nilai mean, median dan modus adalah sama dan

membentuk satu garis.

Jika terjadi distribusi tidak simetris atau skued maka ada 2 (dua)

kemungkinan yaitu :

1. Skued positif

2. Skued negatif

6.1 DISTRIBUSI SKUED POSITIF

Yang dimaksud dengan distribusi skued positif adalah jika niali mean

terbesar, nilai modus yang terkecil dan nilai median berada diantara nilai

harga mean dan nilai modus. Dengan kata lain :

Mean = median = modus

Statistik Terapan


Modus Median Mean

Untuk mudah diingat distribusi skued positif adalah jika ekor dari kurva

landai ke arah kanan.

DISTRIBUSI SKUED NEGATIF

Yang dimaksud dengan distribusi skued negatif adalah jika nilai

modus terbesar sedangkan nilai mean yang terkecil, sedangkan nilai

median berada diantara modus dan mean

Modus Median Mean

Untuk mudah diingat skued negatif jika ekor dari kurva landai ke arah kiri.

Hasil perhitungan skunes akan memberi informasi yang biasanya merupakan

pengganti hasil perhitungan tendensi sentral dan dispersi yang tidak gagal.

Dua distribusi dapat saja memberikan harga mean dan deviasi standard yang

sama, tetapi masih tetap berbeda di dalam formasinya. Informasi ini diberikan

oleh skunes.

Mean > median > modus

Mean < median < modus

Statistik Terapan


6.3 PENGUJIAN SKUNES

Skunes ada di dalam distribusi jika memenuhi beberapa persyaratan

sebagai berikut :Nilai dari harga mean, median dan modus tidak

berdempetan. Kuartil tidak berjarak sama dari median, yang mana adalah :

Jumlah median deviasi positif tidak sama dengan jumlah median deviasi

negatif. Frekuensi modus pada kedua sisi tidak sama. Jika nilai – nilai itu

digambarkan pada kertas grafik tidak membentuk kurva distribusi normal

yang berbentuk seperti bel. Ini berarti jika dibagi dua bagian ditengah-tengah

akan menghasilkan kurva yang tidak sah.

6.3.1 KOEFISIEN SKUNES KARL PEARSON

Cara menghitung koefisien skunes menurut Karl Pearson didasar

pada fakta bahwa pada :

1. distribusi simetris, mean = modus

2. skued positif, mean > modus

3. skued negatif, mean < modus

Jika modus sulit ditemukan pada distribusi frekuensi tertentu, maka dapat

digunakan rumus modus empiris untuk rumus diatas :

(K3 – Med) tidak sama dengan (Med – K1)

Koefisien Skunes = Sd

usmean mod

Modus empiris = 3 median = 2 mean

Statistik Terapan


Dengan demikian maka ;


usmean mod =

Sd

meanmedianmean 23

=Sd

medianmean 33 =

Sd

medianmean3

Hasil perhitungan Koefisien Skunes dengan menggunakan cara ini akan

memberikan kuantiats nilai dan arah dari skunes yang diberikan di dalam

distribusi.

Secara praktis nilai dari koefisien ini akan berada pada nilai -1 (skued

negatif) dan +1 (skued positif). Untuk nilai distribusi simetris koefisien

skunes = 0.

6.4 MOMEN

Momen adalah suatu perangkat yang digunakan untuk melakukan

penelitian dalam statistik, yaitu untuk mempelajari distribusi statistik skunes

dan kurtoris.

Momen dari suatu distribusi adalah perhitungan menengah dari variasi

pangkat deviasi cacah yang berupa bilangan.

Untuk data dalam bentuk deretan individu, momen ke r di sekitar harga

rata-rata di beri lambing µr, yang dinyatakan sebagai berikut :

Dengan r = 1,2,3,…


medianmean )(3

µr = n

XXn

i

r

1

)1(

=

r

n

XX )(

Statistik Terapan


Dimana x1, x2,x3, …xn adalah nilai kuantitas variable yang memenuhi

persamaan diatas.

Untuk dalam bentuk distribusi frekuensi digunakan hubungan sebagai berikut

:

Dimana fi adalah frekuensi dari (1 < I < n)

Jika nilai variable diketahui dalam bentuk kelas maka titik menengahnya

diambil sebagai variable (x). Dari definisi maka :

Oleh karena penjumlahan cacah deviasi rata-rata adalah selamanya = 0.

Untuk setiap distribusi µ1 = 0, maka,

Pada dasarnya µ2 adalah Standard Deviasi pangkat dua (Sd2) atau =

Varians.Dengan demikian untuk setiap distribusi µ2 = Varians.

6.5 KURTOSIS

Untuk suatu distribusi walaupun sudah dapat ditentukan tendensi

sentral, dispersi dan skunes, pada dasarnya belum diperoleh gambaran

lengkap dari distribusi yang diberikan. Pada kenyataannya masih diperlukan

satu lagi perhitungan yang menurut Karl Pearson disebut sebagai Kurva

Flatness atau Kurva Convexity atau Kurva Kurtosis. Kurtosis dapat memberi

gambaran tinggi rendahnya bentuk kurva normal atau distribusi normal

apakah itu berbentuk seperti lonceng ataukah landai seperti bukit,

sehubungan dengan ini KarPearson memberi koefisien ß2.

µr = n

XXfin

i

r

1

)1(

=

r

n

XXfi )(

µ1 = = n

XX )( = 0

0

n

µr = = n

XX2

)(

Statistik Terapan


Leptokurtik ß2 > 3

Normal (Mesokurtik) ß2 = 3 Platikurtik ß2 < 3

Koefisien kurtosis =

Dimana :

m4 = momen 4

m2 = momen 2

Pengujian normalitas data dengan koefisie kurtosis persentil dihitung dengan

rumus :

Dimana =

K3 = kuartil ketiga

K1 = Kuarti kesatu

P10 = Persentil kesepuluh

P90 = Persentil ke – 90

Kriteria :

Jika K = 0,263 atau mendekati 0263 maka datanya berdistribusi

normal atau mendekati distribusi normal.

ß2 = ( m4/m22 )

K = 1090

)13(2/!

PP

KK

Statistik Terapan


6.6 RANGKUMAN

Skunes berasal dari kata ketidaksimetrian atau tidak simetris suatu

distribusi. Distribusi yang tidak simetris disebut sebagai distribusi

skued.

Distribusi skued positif adalah jika niali mean terbesar, nilai modus

yang terkecil dan nilai median berada diantara nilai harga mean dan

nilai modus.

Distribusi skued negatif adalah jika nilai modus terbesar sedangkan

nilai mean yang terkecil, sedangkan nilai median berada diantara

modus dan mean

Koefisien Skunes =

Sd

medianmean )(3

Momen adalah suatu perangkat yang digunakan untuk melakukan

penelitian dalam statistik, yaitu untuk mempelajari distribusi statistik

skunes dan kurtoris.

Kurtosis dapat memberi gambaran tinggi rendahnya bentuk kurva

normal atau distribusi normal apakah itu berbentuk seperti lonceng

ataukah landai seperti bukit, sehubungan dengan ini KarPearson

memberi koefisien ß2

Statistik Terapan


6.7 SOAL

1. Apa yang dimaksud dengan distribusi skued?

2. Bagaimanakah hubungan antara mean, median dan modus pada

distribusi skued positif dan skued negatif!



september 2007


Frekuensi

1 17 1

2 28 4

3 39 11

4 50 7

5 61 5

6 72 2

a. Hitung koefisien skunes distribusi frekuensi diatas.

b. Bagaimanakah gambaran bentuk kurva normal dari distribusi

frekuensi diatas.

Statistik Terapan


BAB VII DISTRIBUSI NORMAL

Histogram seperti ditunjukan dalam contoh-contoh terdahulu tidak

memberikan kesempatan pada kita untuk dapat mengadakan interprestasi

secara seksama, oleh sebab itu fungsi tangga tersebut direalisasikan menjadi

fungsi teoritis menurut suatu persamaan matematik tertentu.

Didalam matematik statistik dikenal berbagai fungsi distribusi hasil

pemeriksaan, dimana fungsi Distribusi Normal adalah yang sering digunakan.

Distribusi Normal atau Distribuai Gauss ditemukan oleh Gauss dan

dipublikasikan tahun 1809 hingga sekarang. Distribusi normal merupakan

hukum probabilitas yang mendasari semua Variable Kontinu. Suatu variable

random kountinu xi dikatakan berdistribusi normal dengan mean dan

varians S2. Apabila variable itu mempunyai fungsi probabilitas yang

berbentuk :

eS

xxS

dxxf

eS

xxSdxxf

i

ii

iii

..2

).(.11

)..(

..2

)..(11)..(

22

2

22

Keterangan :

xi = nilai variable ke i

S2 = variansi

S = standard deviasi

= nilai rata-rata

e = 2,718

= 3,14

Statistik Terapan


Jika fungsi probabilitas itu digambar, maka kita peroleh grafik yanng

dinamakan kurva normal, seperti dibawah ini :

f (xi)

100 %

xi

Dengan memperhatikan kurva kita peroleh sifat-sifat kurva, sebagai berikut :

1. Harga Modus, yaitu harga sumbu x dengan kurvanya, maksimum

terletak pada x = .

2. Kurva normal simetris terhadap sumbu vertikal melalui .

3. Kurva normal mempunyai titik belok pada x = S.

4. Kurva normal memotong sumbu mendatar secara ASIMITOSIS.

5. Luas daerah diantara kurva normal dan sumbu mendatar = 1 atau

100% (secara singkat dikatakan luas kurva normal = 1)

Luas bagian-bagian kurva normal merupakan harga probabilitas , yang akan

mendapatkan harga xi yang membatasi luas bagian itu.

Luas bagian-bagian kurva normal merupakan dapat dihitung dengan

menghitung harga integral f (xi) dalam batas harga-harga x.

Misalnya luas kurva normal seluruhnya, yaitu luas antara x = - dan x =

adalah: eS

xxS

dxxf

i

ii ..2

).(.11

)..(

22

Luas bagian kurva normal antara xi = a dan xi = b atau probabilitas harga x

antara a dan b yang dapat ditulis P (a x b), adalah:

Statistik Terapan


P . (a x b) = a

b

f (xi) . dxi

Kurva normalnya, sebagai berikut:

f (xi)

a b xi

Integral ini selalu dapat dihitung dengan x dan S diketahui.

Tetapi menghitung P (a x b) dengan cara integral fungsi diatas tidak

praktis.

Maka untuk itu ditemukan suatu cara lain yang lebih mudah, yaitu dengan

menggunakan tabel luas kurva normal standard yang mempunyai = 0 dan

S = 1 atau disebut “Distribusi Normal Standard ”

Apabila suatu kurva normal dengan 0 dan S 1 untuk menggunakan

tabel (Tabel A) maka skala kurva normal xi harus diubah menjadi skala zi

(besaran random variable tidak berdimensi yang mengikuti distribusi normal

dari GAUSS dengan x = 0 dan S = 1).

Rumus :

S

xxz i

i

z dapat dilihat di tabel A

Contoh :

= 114, 435 kg/cm2

S = 12,063 kg/cm2

Statistik Terapan


Pa Pb

x a = 100 b = 120 xi kg/cm2

= 114, 435

S = 12,063

P (100 xi 120) kg/cm2 = Pa + Pb

20,1063,12

435,114100

S

xaZ a

Pa = 0,3849

= 38,49%

46,0063,12

435,114120

S

xbZ b

Pb = 0,1772

= 17,72%

2.

Pa Pb

x a=120 b=135 xi kg/cm2

= 114, 435

S = 12,063

Statistik Terapan


P (120 xi 135) kg/cm2 = Pa - Pb

70,1063,12

435,114135

S

xbZ b

Pb = 0,4554

= 45,54 %

46,0063,12

435,114120

S

xaZ a

Pa = 0,1772

= 17,72%

P (120 xi 135) = 45,54 % - 17,72 %

= 27,82 %

3.

Pa

a = 100

x xi kg/cm2

= 114, 435

S = 12,063

P (xi 100) kg/cm2 = 50 % - Pa

20,1063,12

435,114100

S

xaZ a

Pa = 0,3849

= 38,49%

P (xi 100) = 50 % - 38,49 %

= 11,51%

Statistik Terapan


4.

Pa

a = 100

x xi kg/cm2

= 114, 435

S = 12,063

P (xi 100) kg/cm2 = 50 % + Pa

20,1063,12

435,114100

S

xaZ a

Pa = 0,3849

= 38,49%

P (xi 100) = 50 % + 38,49 %

= 88,49 %

7.1 CARA MEMBUAT LENGKUNG DISTRIBUSI NORMAL

Garis lengkung yang menggantikan suatu histogram dinyatakan dengan

persamaan

2

.).(

.211.1

)(

2

eS

xx

SYxf

i

i

yi = Dapat Dilihat Pada Tabel B

I = Interval Kelas

Lengkung Distribusi Normal :

Statistik Terapan


f (xi) = Yi = I / S . yi

xi = - zi . S xi = - zi . S

Menentukan ordinat lengkung Distribusi Normal dari Histogram yang

diketahui.

xi = - zi .

S

zi yi Yi = I / S . yi

0

0,5

1

1,5

2

Keterangan :

zi = Besaran random variable tak berdimensi yang mengikuti distribusi

normal dan GAUSS dengan = 0 dan S = 1 dalam urutan absis ke

i.

yi = Ordinat dari fungsi distribusi normal dalam urutan absis ke i

Yi = Dimulai dari 0 dan seterusnya, diambil dengan interval yang sama,

semakin kecil interval zi semakin kecil teliti lengkung distribusi

normal.

Sehubungan bentuk lengkung distribusi normal adalah simetris, maka

dalam pembuatan legkung distribusi normal cukup dihitung ordinatnya ½

bagian, yaitu untuk zi positif atau negative.

Statistik Terapan


=114, 435 kg/cm2, S=12,063 kg/cm2, I=8,720 kg/cm2

Contoh :

’ bi = xi

Lengkung Distribusi Normal dan Histogram hasil pemeriksaan keteguhan

tekan beton (benda uji kubus sisi 15 cm) sesudah 28 hari dengan

campuran 1 : 2: 3 yang dilaksanakan di laboraturium Pengujian Bahan

Politeknik UI dalam satuan kg/cm2.

0.01

0.04

0.09

0.017

0.25

0.29

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

114,435 120,467 126,498 132,530 138,561 144,593


freku

en

si

’ bi =T’bm + zi . S (kg/cm2 )

zi yi Yi = I / S . yi

’ b1 = 114,435 + 0 . 12,063 = 114,435

0 0,399 Y1 = 8,72 / 12,063 . 0,399 = 0,29

’ b2 = 114,435 + 0,5 . 12,063 = 120,4665

0,5 0,352 Y2 = 8,72 / 12,063 . 0,352 = 0,25

’ b3 = 114,435 + 1 . 12,063 = 126,498

1 0,242 Y3 = 8,72 / 12,063 . 0,242 = 0,17

’ b4 = 114,435 + 1,5 . 12,063 = 132,5295

1,5 0,1295 Y4 = 8,72 / 12,063 . 0,1295 = 0,09

’ b5 = 114,435 + 2 . 12,063 = 138,561

2 0,054 Y5 = 8,72 / 12,063 . 0,054 = 0,04

’ b6 = 114,435 + 2,5 . 12,063 = 144,5925

2,5 0,0175 Y6 = 8,72 / 12,063 . 0,0175 = 0,01

Statistik Terapan


Luas antara lengkung Distribusi Normal dengan garis ’ bi = 1 atau

100%.Kalau dikembalikan lagi pada rumus keteguhan tekan beton

karakteristik

’ bk = ’ bm – zi . S , dimana zi = 1,645 (dari tabel C).

Pki Pka

Pi qi = ½ . (100 – Pi) qi

qi

’ bki = ’ bm – zi . S x = ’ bm ’ bka = ’ bm + zi . S

Nilai zi = 1,645 disebabkan resiko terjadinya keteguhan tekan beton yang

kurang dari harga karakteristik q = 5 %, maka prosentasi jatuhnya hasil

pemeriksaan Pi = 90 %.

Pi (’ bki ’ bi ’ bka) kg/cm2 = Pki + Pka

2591,94

063,12.645,1435,114

.

cmkg

Szbb imki

2279,134

063,12645,1435,114.

cmkg

Szbb imki

Pi (94,59 ’ bi 134,279) kg/cm2 = Pki + Pka

645,1063,12

435,114591,94

S

bbz mki

ki

Pki = 0,4505

= 45,05 %

Statistik Terapan


645,1063,12

435,1142791,134

S

bbz mka

ka

Pka = 0,4505

= 45,05 %

Pi (94,59 ’ bi 134,279) kg/cm2

%90%10,90

%05,45%05,45

ai PkPk

%5

)%90100.(21

)%100.(21

ii Pq

7.2 RANGKUMAN

Distribusi normal merupakan hukum probabilitas yang mendasari

semua Variable Kontinu. Suatu variable random kountinu xi dikatakan

berdistribusi normal dengan mean dan varians S2.

Garis lengkung yang menggantikan suatu histogram dinyatakan

dengan persamaan

2

.).(

.211.1

)(

2

eS

xx

SYxf

i

i

Statistik Terapan


7.3 SOAL

1. Apa yang dimaksud dengan distribusi normal?

2. Bagaimanakah cara membuat distribusi normal?



september 2007

Kelas Tanda Kelas (mi) (dalam ratusan)

Frekuensi

1 17 1

2 28 4

3 39 11

4 50 7

5 61 5

6 72 2

c. Gambarkan distribusi normal dari distribusi frekuensi diatas.

d. Hitung persentase distribusi

- (xi < 60)

- (xi > 60)

- (30>xi > 60)

Statistik Terapan


BAB VIII ANALISIS REGRESI

Salah satu tujuan analisa data ialah untuk memperkirakan

/memperhitungkan besarnya efek kuantitatif atau hubungan dari perubahan

suatu variable lainnya.

Contoh nyata dari hubungan tersebut dalam kehidupan sehari – hari antara

lain :

1. Besarnya biaya perawatan kendaraan sebagai akibat dari banyaknya

kilometer yang sudah dijalani.

2. Banyaknya perjalanan perhari yang dilakukan suatu rumah tangga

sebagai akibat dari pemilikan kendaraan dan jumlah orang dewasa di

dalam rumah tangga tersebut.

3. Produktifitas kerja dalam taraf tertentu tergantung pada efisiensi dan

efektivitas kerja.

Berdasarkan contoh diatas terlihat mana :

1. Variabel Bebas : yang mempengaruhi → Independent variable/variable

predictor → lambang “x”

2. Variable terikat → yang dipengaruhi → dependent variable/variable

kriterium → lambang ”y”

Untuk membuat ramalan (forecasting) x dan y diukur dengan suatu

nilai yang disebut koefisien korelasi, sedangkan besarnya pengaruh x dan y

diukur dengan koefisien regresi. Hubungan yang diperoleh antara variable-

variable tesebut dinyatakan dalam persamaan matematik yang dinyatakan

hubungan fungsional

Hubungan fungsional antara :

1. Satu variable predictor dan satu variable kriterium disebut analisis regresi

tunggal

2. Lebih dari satu variable disebut analisis regresi ganda

Fungsi analisis regresi

Statistik Terapan


1. Untuk mendapatkan hubungan fungsional antara dua variable atau lebih

atau untuk mendapatkan pengaruh antara variable predictor terhadap

variable kriterium.

2. Untuk meramalkan pengaruh variable predictor terhadap variable kriterium

8.1 PERSAMAAN ANALISIS REGRESI

Dalam statistika untuk unutk menyimpulkan data populasi biasanya

digunakan data sampel. Dalam analisis regresi hubungan fungsional yang

diharapkan berlaku untuk populasi berdasarkan data sampel yang diambil

dari populasi yang bersangkutan → hubungan fungsional tersebut dalam

persamaan matematis disebut persamaan regresi. Regresi dengan x

merupakan variable bebas dan y merupakan variable tak bebas →

dinamakan regresi y atas x, sebaliknya regresi x atas y

Dimana :

Ŷ (baca ye topi) = variable kriterium

X = variable predictor

a = bilangan konstan

b = koefisien arah regresi linier

Koefisien arah regresi dinyatakan dengan huruf b yang juga menyatakan

perubahan rata-rata variable y untuk setiap variable x sebesar satu bagian.

Bila harga b positif → variable y akan mengalami kenaikan atau pertambahan

Bila harga b negatif → variable y akan mengalami penurunan

8.2 METODE TANGAN BEBAS

Metode ini menggunakan metode kira-kira menggunakan diagram

pencar berdasarkan hasil pengamatan. Data digambarkan dengan sumbu

datar → x dan sumbu tegak → y. Bentuk regresi diperkirakan berdasarkan

xbay .ˆ

Statistik Terapan


letak titik-titik. Jika letak titik-titik sekitar garis lurus cukup beralasan menduga

regresi linier. Jika letak regresi sekitar garis lengkung cukup beralasan

menduga regresi non linier. Regresi linier ditarik secocok mungkin dengan

letak titik-titik → persamaan ditentukan dengan menggunakan 2 (dua) titik

yang dilalui.

Contoh :

y

Vol. . x kend .

. . . . . .

a . . y x

yb

. . regresi linier . .

ŷ = a + b.x

0 Kecepatan Kendaraan x

Diagram pencar menunjukkan model lengkung, regresi digambarkan

secocok mungkin dengan ketak titik-titik dengan persamaan parabola,

pangkat dua atau bentuk lain.

Regresi ini memberikan perkiraan yang berbeda sesuai dengan

pertimbangan pribadi

Statistik Terapan


y Regresi lengkung

. . . . . . . . . . . . . . . . 0 x

8.3 METODE KUADRAT TERKECIL (LEAST SQUARE METHODE)

Metode kuadrat terkecil merupakan metode persamaan regresi yang

biasanya digunakan untuk mencari hubungan garis lurus. Cara ini berpangkat

pada kenyataan bahwa jumlah pangkat 2 (kuadrat dari jarak antara titik-titik

dengan garis regresi yang sedang dicari harus sekecil mungkin.Untuk sebuah

variable bebas “x” dan variable tak bebas “y” didapat persamaan regresi

untuk model regresi linier populasi :

Akan ditaksir harga θ1 dan θ2 oleh a dan b. Sehingga didapat persamaan

regresi menggunakan model regresi data sampel :

→ regresi x atas y Data hasil pengamatan dicatat dalam susunan seperti di bawah ini.

xxy ... 21

xbay .ˆ

Statistik Terapan


Variablet ak bebas (y)

Variable bebas(x)

y1

y2

.

.

.

yn

X1

X2

.

.

.

Xn

Koefisien-koefisien regresi a dan b untuk regresi linier dapat dihitung

dengan rumus :

Koefisien regresi x atas y

Jika koefisien b dihitung terlebih dahulu, maka koefisien a dapat dihitung

dengan rumus :

Dimana :

ỹ = rata-rata variable tak bebas

x = rata-rata variable bebas

Persamaan regresi y atas x

22

2

.

.

xixin

yixixixiyia

22.

..

xixin

yixiyixinb

xbya .

ydcx .ˆ

Statistik Terapan


Koefisien regresi y atas x :

Estimasi Dari Varians “S2 Y. X”

Varians dari komponen kesalahan, S2 y. x mempunyai pengaruh

terhadap ketelitian dari parameter regresi. Besarnya varians, S2 y. x semakin

besar kesalahan prediksi parameter dan semakin tidak teliti prediksi y

sebagai fungsi variable x. Dalam kebanyakan kasus, S2 y. x tidak diketahui

besarnya, untuk mengestimasi harga tersebut maka S2 y. x dapat dihitung :

Dimana : n – 2 = derajat kebebasan untuk kesalahan

Contoh :

Tentukan nilai regresi dan nilai varians kekuatan geser sebagai fungsi linier

dari kedalaman.

22

2

.

.

yiyin

yixiyiyixic

22.

..

yiyin

yixiyixind

2

ˆ.

2

22

n

iyyiSexyS

Statistik Terapan


No. Benda uji

Kedalaman (ft) xi

Kekuatan geser (kst) yi

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

6

8

14

14

18

20

20

24

28

30

0.28

0.58

0.50

0.83

0.71

1.01

1.29

1.50

1.29

1.58

Σ = 182 9.57

1. ŷ = a + b.x

2.

22.

..

xixin

yixiyixinb

3. xbya .

4.

2

ˆ.

2

22

n

iyyiSexyS

5. 2.1818210

1x

6. 957.057.910

1y

Statistik Terapan


0516.0

1823876.10

57.918232.203.102

b

xbya .

= 0.957 – (0.0516)(18.2)

= 0.018

Persamaan regresi kekuatan geser sebagai fungsi kedalaman adalah :

Ŷ = 0.018 + 0.0516 x

0368.0210

2945.0.2

xyS → Estimasi Varians

192.0368.0. xSy → estimasi standar deviasi (simpangan baku)

Kesalahan Prediksi = 0.192

Persamaan regresi bisa digunakan untuk menaksir kekuatan geser dari

kedalaman 6 kaki sampai 30 kaki.

No. xi.yi xi2 yi2 ŷi = a + b xi (yi – ŷi) (yi – ŷi)2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1.68

4.64

7.00

11.63

12.78

20.20

25.80

36.00

36.10

47.40

36

64

196

196

324

400

400

576

784

900

0.078

0.336

0.250

0.689

0.504

1.020

1.662

2.250

1.662

2.445

0.325

0.429

0.739

0.739

0.946

1.049

1.049

1.257

1.463

1.566

-0.045

0.151

-0.239

0.091

-0.236

-0.039

0.241

0.243

-0.173

0.014

0.0020

0.0228

0.0571

0.0083

0.0557

0.0015

0.058

0.0590

0.0299

0.0002

Σ = 203.23 3876 10.946 0.2945

Statistik Terapan


Persamaan ini dapat digunakan untuk kedalaman > 30 kaki jika

kecenderungan linier dapat dipertanggungjawabkan → berdasarkan alasan

fisik (misal : jenis tanah sama)

Secara grafis, garis linier yang dapat ditunjukkan oleh garis berikut.

Jika dituluskan kisaran + Sy.x dari garis ini menghasilkan suatu pita selebar

satu deviasi standar (simpangan baku) dari setiap garis tepi garis linier.

y

k e k u a 2 t . . a 1.5 . . ŷ = 0.018 + 0.0516 n . . 1 . . g . e 0.5 . . Sy.x = 0.192 s . . e . r x

0 10 20 30 Kedalaman (ft)

8.4 TES DAN EVALUASI MODEL REGRESI

Persamaan regresi yang dihasilkan dari metode kuadrat terkecil dapat

dites terhadap beberapa keadaan :

1. Apakah variable bebas x betul mempunyai koreksi yang baik dengan

variable tak bebas y. Jika x tidak mempunyai koreksi yang dekat dengan y

maka x tidak menyumbang informasi apapun terhadap prediksi harga y →

kemiringan dari regresi b = 0, untuk melihat kemungkinan tersebut perlu

diadakan tes untuk melihat apakah b = 0.

2. Evaluasi terhadap b dapat dilakukan dengan menghitung “confidence

intervalnya”

Statistik Terapan


3. Kegunaan model regresi (goodness of fit). Dilihat dari koefisien korelasi

diantara tiap-tiap variable dan koefisien variasinya.

1. Interval Kepercayaan Sehubungan Dengan Regresi Linier /

Confidence Interval (Distribusi T / Student)

Confidence interval untuk parameter a / 100.(1- )% CI

Analisa varians 1 arah

Confidence interval untuk parameter b / 100.(1- )% CI

Analisa varians 1 arah

t didasarkan atas degree of freedom / derajat kebebasan (df) = (n-2)

dan = 5% = 0.05 taraf signifikan

Jika semua interval b positif ini berarti bahwa harga b akan positif

harga Y yang diharapkan akan bertambah besar apabila X bertambah

Contoh :

t dilihat dari table

= 5 % = 0.05

di dapat t = 2.306

df = (n-2) = (10 – 2) = 8

Jadi :

. aa t S = 0.018 2.306 . 0.16

batas bawah = 0.018 – 2.306 . 0.16 = -0.35

batas atas = 0.018 + 2.306 . 0.16 = 0.39

. bb t S = 0.0516 2.306 . 8.06 . 10-3

batas bawah = 0.0516 - 2.306 . 8.06 . 10-3 = 0.033

. aa t S

. bb t S

Statistik Terapan


batas atas = 0.0516 + 2.306 . 8.06 . 10-3 =0.07

Nilai a = 0.018 memenuhi kriteria interval batas

Nilai b = 0.0516 memenuhi kriteria interval batas

2. Menguji Independent X Dan Y, Tepatnya Pengujian Hipotesa / H0 : B

=0, Dapat Ditempuh Dengan Menggunakan Analisis Varians

Dengan Distribusi F (Flourence)

Jumlah kuadrat semua nilai individu 2Y Y , dipecah menjadi 3

bagian sumber yaitu :

22

2 ˆ. .i

i i i i i

YY b X X Y Y Y Y

n

(1) (2) (3)

..

i i

i i

X Yb X Y

n

Dimana :

2

iY = jumlah kuadrat-kuadrat total

(1) = Jumlah kuadrat-kuadrat karena regresi a

(2) = Jumlah kuadrat-kuadrat karena regresi b|a

(3) = Jumlah kuadrat-kuadrat residu / penyimpangan sekitar regresi

Rumus diatas dapat ditulis

Tiap jumlah kuadrat-kuadrat (JK) mempunyai derajat kebebasan (dk)

masing-masing yaitu :

2

Rei a sY JK JK b a JK

Statistik Terapan


n 2

iY jika tiap JK dibagi oleh dk – nya masing-

masing,

1 aJK maka dapat diperoleh kuadrat tengahnya

(KT)

1 JK b a untuk tiap sumber variasi

(n - 2) Re sJK

Untuk memudahkan perhitungan dibuat daftar analisa varians (ANOVA)

untuk regresi linier sederhana

Sumber variasi dk JK KT F

Regresi (a)

Regresi (b|a)

Residu

1

1

(n-2)

2

iY

n

JK b a

2

ˆi iY Y

regS JK b a

2

Re

ˆ

2

i

s

Y YS

n

2

Re

2

Re

g

s

S

S

Jumlah n 2

iY - -

2

Re

2

Re

g

s

SF

S

ternyata berdistribusi F dengan dk pembilang 1 dan dk

penyebut (n-2) berdasarkan hipotesa H0 : b = 0 ditolak jika F F1 (1-

) (1.n-2) dan diterima jika sebaliknya

Statistik Terapan


Contoh :

Sumber variasi

Dk JK KT F

Regresi (a)

Regresi (b|a)

Residu

1

1

8

2

iY

n

JK b a

2

ˆi iY Y

29.57

10

1.49

0.0368

2

Re

2

Re

1.4940

0.0368

g

s

SF

S

Jumlah 10 2

iY - -

Regresi (a) → n = 10 → 957.010

57,9

Regresi (b/a) →

49,110

57,918223,2030516,0

Residu → 0,0368

400368,0

49,12

2

resS

regS

Nilai F F1 (1- ) (1.n-2) dilihat dari table di dapat nilai F = 5.32

Ternyata 40 > 5.32 F F1 (1- ) (1.n-2)

Maka : H0 dengan B=0 ditolak berarti regresi linier

3. Koefisien korelasi

Untuk menentukan seberapa kuat hubungan fungsional antara variable-

variable pada persamaan regresi maka perlu ditentukan derajat

hubungan variable-variable. Studi yang membahas tentang derajat

hubungan antara variable-variable dikenal dengan nama analisis

korelasi. Ukuran yang dipakai untuk mengetahui derajat hubungan

terutama untuk data kuantitatif disebut koefisien korelasi

Statistik Terapan


Korelasi dalam regresi linier

Koefisien korelasi r berdasarkan sekumpulan data (xi, yi) berukuran n

dapat digunakan rumus :

Bentuk lain dapat digunakan

r2 = koefisien determinasi

Jika persamaan regresi linier y atas x telah ditentukan dan sudah

didapatkan koefisien arah b, maka koefisien determinasi r2, dapat

ditentukan dengan rumus sbb :

Dari rumus diatas dapat diturunkan rumus koefisien korelasi :

Koefisien korelasi r merupakan akar dari koefisien determinasi r2

Dari rumus diatas berlaku 0 < r2 < 1

Sehingga untuk koefisien korelasi -1 < r < +1

Harga r = -1 → hub. Linier sempurna tak langsung

Harga r = +1 → hub. Linier sempurna langsung

Harga r = 0 → tidak terdapat hub. Linier

Harga – harga r lainnya bergerak antara -1 dan +1

Tanda negatif → korelasi tak langsung

2222

.

yiyinxixin

yixiyixinr

ySxySr 22 .1

22

2.

yiyin

yixiyixinbr

SySxbr /.

Statistik Terapan


Tanda positif → korelasi langsung

Estimasi dari varians → ssti simpangan baku → kesalahan prediksi

Dimana :

yi = variable tak bebas hasil pengamatan

ŷi = di dapat dari regresi berdasarkan sampel

n = Ukuran sampel

S2y.x dapat ditulis :

Dimana :

S2y = Varians untuk variabel y

S2x = Varians untuk variabel x

Setelah estimasi dari varians atau rata-rata kuadrat penyimpangan

sekitar regresi / rata-rata kuadrat residu, Se2 diketahui maka-maka

varians – varians lain untuk regresi linier sederhana dapat ditentukan

Varians koefisien regresi b

Varians koefisien regresi a

2

ˆ..

2

22

n

iyyieSxyS

xSbySn

nxyS 2222

2

1.

2

22 .

xxi

xySbS

2

222 1

.xxi

x

nxySaS

Statistik Terapan


Varians ramalan rata-rata y untuk Xo yang diketahui

Varians ramalan individu y untuk Xo yang diketahui

Contoh :

Analisis regresi populasi penduduk cibubur

No

tahun (xi)

populasi (yi)

xi.yi

yi2

1 2000 58.045 116090000 3369222025

2 2001 58.165 116388165 3383167225

3 2002 58.878 117873756 3466618884

4 2003 59.160 118497480 3499905600

5 2004 59.577 119392308 3549418929

10010 293.825 588241709 17268332663

Korelasi

( ) ( )9.405=

)030.040.20.(5

) 293.825 x 10010 (-) 9588.241.70 5.(=

-

)(-)(=

222 ∑∑

∑ ∑ ∑

(10010)-ii

iiii

yxn

yxyxnb

n = 5

∑Xi.Yi = 588.241.709

∑Xi. = 10010

∑Yi = 293.825

2

2

22 1.ˆ

xxi

xx

nxySyS o

2

2

22 11.ˆ

xxi

xx

nxySyS o

i

Statistik Terapan


∑Yi² = 17.268.332.663

∑ ∑

∑ ∑ ∑

)(

..(=

2

2

2) Yi( -

Yi)Xix(-)

Yinx

YiXinbr

r² = 0.964

r = 0.9825

Harga r = +1 → hub. Linier sempurna langsung

8.5 REGRESI NON LINIER

Jika persamaan regresinya non linier maka perlu memperbaikinya

dengan persamaan regresi non linier. Beberapa model persamaan regresi

non linier :

1. Parabolik Kuadratik

Dengan menggunakan metode kuadrat terkecil maka a, b dan c dapat

dihitung dari sistem persamaan :

b. Parabolik Kubik

Untuk menentukan koefisien a, b, c dan d digunakan persamaan

sebagai berikut :

2..ˆ xcxbay

4322

32

2

.

.

.

xicxibxiayixi

xicxibxiayixi

xicxibanyi

32 ...ˆ xdxcxbay

Statistik Terapan


c. Model Exponen

Dalam logaritma, persamaannya menjadi :

Maka a dan b dapat dicari dari :

Model exponen sering pula disebut model pertumbuhan, model

persamaannya menjadi :

e = bilangan pokok logaritma = 2.7183

Persamaan diatas menjadi :

→ linier dalam x dan ln y

65433

54322

432

32

.

.

.

.

xidxicxibxiayixi

xidxicxibxiayixi

xidxicxibxiayixi

xidxicxibanyi

Xbay .ˆ

xbay .loglogˆlog

22

loglog.log

loglog

log

xixin

yixiyixinb

n

xib

n

yia

bxeay .ˆ

xbay .lnˆln

Statistik Terapan


Sehingga a dan b dapat dihitung sbb :

d. Model Geometrik

Jika diambil logaritmanya, maka :

Koefisien a dan b dapat dicari dari :

e. Model Logistik

untuk ŷ ≠ 0 maka persamaan diatas dapat ditulis :

xbay .4343.0logˆlog

bxay .ˆ

xbay loglogˆlog

22 loglog

logloglog.log

logloglog

xixin

yixiyixinb

n

xib

n

yia

xbay

.

1ˆ

xbay

.ˆ

1

Statistik Terapan


Jika diambil logaritmanya, maka :

f. Model Hiperbola

Untuk ŷ ≠ 0 maka persamaan di atas dapat ditulis :

xbay

loglogˆ

1log

xbay

..

1ˆ

xbay

.ˆ

1

Statistik Terapan


8.6 RANGKUMAN

Analisis regresi digunakan untuk mendapatkan hubungan fungsional

antara dua variable atau lebih atau untuk mendapatkan pengaruh

antara variable prediktor terhadap variable kriterium.

Persamaan regresi dengan x merupakan variable bebas dan y

merupakan variable tak bebas dinamakan regresi y atas x,

xbay .ˆ

Metode ini menggunakan metode kira-kira menggunakan diagram

pencar berdasarkan hasil pengamatan. Data digambarkan dengan

sumbu datar → x dan sumbu tegak → y. Bentuk regresi diperkirakan

berdasarkan letak titik-titik..

Metode kuadrat terkecil merupakan metode persamaan regresi yang

biasanya digunakan untuk mencari hubungan garis lurus.

xxy ... 21

Akan ditaksir harga θ1 dan θ2 oleh a dan b.

Jika persamaan regresinya non linier maka perlu memperbaikinya

dengan persamaan regresi non linier.

Persamaan regresi yang dihasilkan dari metode kuadrat terkecil dapat

dites terhadap beberapa keadaan :

1. Untuk melihat kemungkinan Apakah variable bebas x betul

mempunyai koreksi yang baik dengan variable tak bebas y. Jika x

tidak mempunyai koreksi yang dekat dengan y maka x tidak

menyumbang informasi apapun

Statistik Terapan


terhadap prediksi harga y → kemiringan dari regresi b = 0, diadakan

tes untuk melihat apakah b = 0.

2. Evaluasi terhadap b dapat dilakukan dengan menghitung “confidence

intervalnya”

3. Kegunaan model regresi (goodness of fit). Dilihat dari koefisien

korelasi diantara tiap-tiap variable dan koefisien variasinya.

Beberapa model persamaan regresi non linier.

1. Parabolik Kuadratik

2. Parabolik Kubik

3. Model Exponen

4. Model Geometrik

5. Model Logistik

6. Model Hiperbola

Statistik Terapan


8.7 SOAL

1. Apa yang dimaksud dengan analisis regresi?

2. Sebutkan fungsi analisis regresi?

3. Apa yang dimaksud dengan variabel bebas dan tak bebas?

4. Dibawah ini disajikan pertumbuhan kota Palembang :

Tahun PDRB (jutaan rp)

Penduduk PC Bus Truk

1997 4670319 1184608 3158 2409 21569

1998 6809872 1198224 3200 2417 20367

1999 7941073 1199783 1729 2428 20471

2000 8924252 1460224 2811 2475 20594

2001 10269137 1489370 3175 2791 22261

2002 12348540 1530578 3250 2901 22689

a. Tentukan persamaan regresi yang mempunyai hubungan

fungsional antara tahun pertumbuhan dengan jumlah bus.

b. Hitung kesalahan prediksi atau kesalahan residu dari persamaan

regresi tersebut.

c. Gambarkan garis persamaan regresi dengan skala yang benar,

dan bandingkan hasilnya dengan garis persamaan regresi dengan

metode tangan bebas.

d. Uji dan evaluasi persamaan regresi yang dihasilkan dengan :

- Confidence interval

- Menguji hipotesa nol (b = 0).

- Koefisien korelasi.

Statistik Terapan


DAFTAR PUSTAKA

- Anto Dajan, Pengantar Metoda Statistik Jilid I, LP3ES, Jakarta, 1972

- Alan Marino, Ar. Alvinsyah., Heddy R. Agah., Sutanto, Meng., Suyono

Dikun, Tri Tjahyono, Analiisis Statistika dalam Perencanaan Lalu

Lintas dan Transportasi, Jakarta

- Raymond, H. Myers dan Ronald, E. Wolpole, Ilmu Peluang dan

Statistika Untuk Insinyur dan Ilmuwan Terbitan Kedua, Penerbit ITB,

1986

- Sudjana, Metoda Statistik Edisi Kelima, Penerbit Tarsito Bandung,

1989.

- Sudjud, R. Karjasaputradan Wiratman Wangsadinata, Evaluasi dan

Klasifikasi Beton Sehubungan Dengan Peraturan Beton Bertulang

Indonesia, Jakarta, 1970

- Zainal Mustafa, Pengantar Statistik Deskriptif Edisi Kedua, Bagian

Penerbitan Fakultas Ekonomi Universitas Islam Indonesia Yogyakarta,

1992

Statistik Terapan


BUKU AJAR STATISTIKA TERAPAN

Untuk Mahasiswa Semester 3

D-IV Jalan Tol

Disusun oleh : Nunung Martina, ST, Msi

Statistik Terapan


PRAKATA

Penyusunan Buku Ajar Statistik Terapan untuk ini dimaksudkan untuk

membantu para mahasiswa semester 3 D-IV Jalan Tol untuk mengambil

mata kuliah Statistik Terapan. Hal ini karena penulis menyadari bahwa di

Jurusan Teknik Sipil khususnya D-IV Jalan Tol belum ada buku pegangan

tersebut.

Isi buku ini terdiri dari 8 bab yang tiap bab diakhiri dengan rangkuman

dan soal-soal latihan untuk memahamkan setiap bab yang diberikan.

Penulisan buku ini dimulai dari Pendahuluan, Pengumpulan dan Pengolahan

Data, Distribusi Frekuensi Empiris, Ukuran-ukuran Deskriptif Dalam Statistik,

Ukuran-ukuran Lokasi, Skunes, Momen dan Kurtosos, Distribusi Normal dan

Analisis Regresi.

Penyusunan buku ini telah diusahakan sedemikian rupa dimulai dari

pengertian dasar hingga pembahasan dan contoh-contoh terapan sehingga

mahasiswa dapat memperoleh manfaatnya.

Mudah-mudahan, karya kecil ini mampu menjadi sumbangsih guna

meningkatkan kualitas belajar mengajar, khususnya mahasiswa Politeknik

Negeri Jakrta.

Depok, Oktober 2007

Penyusun

Statistik Terapan


DAFTAR ISI

PRAKATA i

DAFTAR ISI ii

BAB I PENDAHULUAN 1

1.1 Pengertian istilah statistik dan statistika 1

1.2 Peranan statistik 2

1.3 Rangkuman 3

1.4 Soal latihan 3

BAB II PENGUMPULAN DAN PENGOLAHAN DATA 4

2.1 Populasi dan Sampel 5

2.2 Teknik pengambilan sampel 6

2.3 Jenis data 9

2.4 Pembulatan bilangan 9

2.5 Teknik Pengumpulan data 11

2.6 Pengolahan data 12

2.7 Rangkuman 14

2.8 Soal latihan 16

BABIII DISTRIBUSI FREKUENSI EMPIRIS 17

3.1 Bagian-bagian dari distribusi frekuensi 17

3.2 Distribusi frekuensi tunggal 18

3.3 Distribusi frekuensi bergolong 20

3.4 Distribusi frekuensi relatif 25

3.5 Distribusi frekuensi komulatif 26

3.6 Penyajian distribusi frekuensi dalam

bentuk grafik dan diagram

28

3.7 Rangkuman 34

3.8 Soal latihan 36

Statistik Terapan


BAB IV UKURAN-UKURAN DESKRIPTIF DALAM

STATISTIK

37

4.1 Summasi 37

4.2 Ukuran-ukuran lokasi/ harga-harga tengah 40

4.3 Rangkuman 53

4.4 Soal latihan 54

BAB V UKURAN-UKURAN LOKASI 56

5.1 Range 57

5.2 Deviasi kuartil 57

5.3 Deviasi rata-rata 58

5.4 Standard deviasi dan variasi 62

5.5 Rangkuman 73

5.6 Soal latihan 74

BAB VI SKUNES, MOMEN DAN KURTOSOS 76

6.1 Distribusi skued positif 76

6.2 Distribusi skued negatif 77

6.3 Pengujian skunes 78

6.4 Momen 79

6.5 Kurtosis 81

6.6 Rangkuman 82

6.7 Soal latihan 83

VII DISTRIBUSI NORMAL 84

7.1 Cara membuat lengkung distribusi normal 91

7.2 Rangkuman 96

7.3 Soal latihan 96

VIII ANALISIS REGRESI 98

8.1 Persamaan analisis regresi 99

8.2 Metode tangan bebas 100

Statistik Terapan


8.3 Metode kuadrat terkecil 102

8.4 Tes dan evaluasi model regresi 107

8.5 Regresi non linier 115

8.6 Rangkuman 119

8.7 Soal latihan 120

DAFTAR PUSTAKA 122

50865485 buku ajar statistik terapan

Documents