5. gelombang datar - hastami.blog.uns.ac.id · gambar 5.6 gelombang datar jatuh pada batas dua...

5. Gelombang Datar

Gelombang EM adalah konsekuensi dari persamaan Maxwell. Bagian ini

menguraikan perilaku gelombang EM dengan pertama-tama akan meninjau

gelombang datar dalam ruang bebas. Selanjutnya akan dijelaskan pula interaksi

antara gelombang dengan medium. Asumsi yang diambil adalah gelombang

berbentuk harmonik waktu dan bebas dari sumber.

5.1 Perambatan Gelombang EM dalam Ruang Hampa

Untuk analisa, kita perlu bentuk solusi untuk E dan H dalam ruang bebas, yang

merupakan solusi dari PDE

2 20 0E k E∇ + = (5.1)

Sebenarnya disini ada tiga persamaan, yakni

2 2 2

202 2 2 0 , ,i i i

iE E E k E i x y zx y z

∂ ∂ ∂+ + + = =∂ ∂ ∂

(5.2)

Kita menempuh prosedur standar dengan pemisahan variabel. Dengan

mengambil satu komponen, misalnya Ex, yang berbentuk

( ) ( ) ( )xE f x g y h z= (5.3)

akan diperoleh

20 0ghf fhg fgh k fgh′′ ′′ ′′+ + + =

⇒ 20 0f g h k

f g h′′ ′′ ′′+ + + = (5.4)

Masing-masing suku adalah fungsi satu variabel dan sama dengan suatu

konstanta, seperti diperlihatkan pada suku terakhir ruas kiri, dengan demikian

haruslah berlaku

2 2; ; 2x y

f g hk kf g h′′ ′′ ′′= − = − = − zk (5.5)

dan dengan 2 2 2 20 x y zk k k k+ + = 0

2kc

π ωλ

= =

Dengan demikian, kita memiliki 3 buah persamaan diferensial biasa:

2

22 0 solusinya adalah xjk x

xd f k f f edx

±+ = = (5.6.a)

2

22 0 solusinya adalah g yjk y

yd g k g edy

±+ = = (5.6.b)

2

22 0 solusinya adalah zjk z

zd h k h h edz

±+ = = (5.6.c)

Sehingga untuk Ex kita peroleh

( )x y zj k x k y k zxE A e± + += (5.7)

Ekspresi ini menyatakan komponen-x dari gelombang E yang merambat ke arah

suatu vektor perambatan dengan amplitudo A. Arah perambatan diberikan oleh:

ˆ ˆ ˆx y zk k x k y k z= + + (5.8)

Selanjutnya akan digeneralisasi ke seluruh komponen. Jika vektor (posisi)

normal 3D didefinisikan sebagai

(5.9) ˆ ˆ ˆr xx yy zz= + +r

maka x y zk r k x k y k z⋅ = + +r r , sehingga diperoleh

jk rxE Ae− ⋅=

v v

(5.10.a)

dan dengan cara yang sama diperoleh dua komponen lainnya

jk ryE Be− ⋅=

v v

dan (5.10.b)

5. Gelombang Datar - 2

jk rzE Ce− ⋅=

v v

(5.10.c)

Maka kita dapat menuliskan persamaan umum gelombang datar sebagai

0 jk rE E e− ⋅=r vr r

(5.11)

dimana . 0 ˆ ˆ ˆE Ax By C= + +v

z

Untuk perambatan tanpa sumber ∇·E = 0. Jika persyaratan ini dipenuhi,

haruslah k·E0= 0. Ini berarti E0 tegak lurus k. Persamaan yg serupa untuk H

dapat ditemukan dengan substitusi solusi untuk E kedalam persamaan ∇×E.

Hasilnya adalah :

0

0

ˆkH nωμ

= ×E (5.12)

dmana n adalah vektor satuan pada arah k. Perlu diingat bahwa H tegak lurus

k dan juga tegak lurus E, jadi gelombangnya adalah TEM (transverse electromagnetic). Fakta ini diperoleh dari persamaan H di atas. Dengan

demikian, kita bisa menggambarkan gelombang seperti diperlihatkan pada

Gambar 5.1.

Gambar 5.1 Gelombang EM dengan E dan H tegak lurus satu sama lain dan

sekaligus keduanya tegak lurus arah perambatan (TEM)


Koefisien pada ruas kanan (5.12) memiliki arti khusus dalam gelombang EM.

Kita bisa menguraikannya menjadi

0

0 0 0 0 0

2 2 1k fc c

π πωμ λ ωμ ωμ μ μ= = = = 0

0

ε (5.13)

Suku ini berdimensi admittansi, dan sebenarnya

00

0 0

1 1YZ

εη μ

= = =0

(5.14)

disini Z0 disebut impedansi ruang hampa dan bernilai ≈ 377Ω. Dengan demikian,

kita bisa menuliskan (5.12) sebagai:

0

1 ˆH nη

= ×E (5.15)

5.2 Perambatan dalam Medium Penghantar

Kita telah melihat perambatan dalam ruang hampa (dielektrik sempurna dng σ

= 0). Sekarang kita tinjau perambatan dalam media menghantar (konduktif)

dimana σ bisa bernilai sampai ∞. Kita mulai dengan persamaan

2

22E JEt t

ρμε με

∂ ∂∇ − = +∇∂ ∂

(5.16)

yang telah diperoleh dari bagian sebelumnya. Dengan mengasumsikan tak ada

muatan bebas dan memilih gelombang bentuk harmonik, maka kita dapat

mengubahnya menjadi

2 2E E j Eω με ωμσ∇ + =r r r

2

⇒ (5.17) 2 2 0E Eγ∇ − =r r

dimana 2 jγ ωμσ μεω= − , yakni koefisian perambatan kompleks akibat nilai

hantaran terbatas.


Di dalam logam, arus hantaran (σE) jauh lebih besar daripada arus perpindahan

(jεω0E). Keduanya akan kurang lebih sama hanya pada daerah optik. Misalnya,

σ = 5.8×107 untuk tembaga dan εω0 = 2πx1010× 8.854×10-12 = 0.556. Jadi, untuk

kasus bahan sangat menghantar pada frekuensi dibawah cahaya tampak, kita

hanya perlu memperhitungkan jσμω. Persamaan diferensial parsial dapat

disederhanakan menjadi

20 0E j Eωμ σ∇ − = (5.18)

5.3 Gelombang Jatuh pada Penghantar

Tinjau gelombang datar menuju medium menghantar dan jatuh tegak lurus,

sepeti dilukiskan pada Gambar 5.2 berikut ini.

. Gambar 5.2 Gelombang jatuh tegaklurus pada medium menghantar

Untuk permasalahan ini, maka (5.18) mengambil bentuk berikut

2

02 0xx

E j Ez

ωμ σ∂ − =∂

(5.19)

dimana solusinya adalah

00

j zxE E e ωμ σ−= (5.20)

Eksponen disederhanakan menjadi:

( ) 00 1

2j j ωμ σγ ωμ σ= = + (5.21)


Jadi, kini γ punya bagian riil dan imajiner sama. Selanjutnya gelombang bisa

dinyatakan sebagai

00 dengan

2z j z

xE E e eα β ωμ σα β− −= = =

dan bisa juga kita tuliskan sebagai

0

jzz

xE E e eδ δ− −= (5.22)

Persamaan terakhir memberikan factor kedalaman kulit:

0

2 1δωμ σ α β

= = = 1 (5.23)

Di permukaan, pada z = 0 kita punya Ex=E0 dan pada kedalaman kulit z = δ

diperoleh Ex=E0/e. Artinya, medan meluruh sebesar 1/e atau 36.8% dari nilainya

di permukaan. Perluruhan kuat medan ini diilustrasikan pada Gambar 5.3

berikut ini

Gambar 5.3 Peluruhan kuat medan listrik saat memasuki medium menghantar

Sebagai gambaran, untuk tembaga dengan σ = 5.8x107 S/m diperoleh 2

0

2 6.61 10f

δωμ σ

−×= = . Maka pada frekuensi 60Hz tembaga memiliki

kedalaman kulit δ=8.5x10-3 m, pada f=1MHz δ=6.6x10-5 m dan pada f=30GHz,

diperoleh δ=3.8x10-7 m. Sebaliknya air laut memiliki konduktivitas σ = 4 S/m,

sehingga 22.52 10

fδ ×= . Maka pada f=1 kHz air laut memiliki δ=7.96m. inilah

alasan mengapa kapal selam memakai frekuensi gelombang EM yang sangat

rendah (ULF) untuk berkomunikasi.


Gambar 5.4 Komunikasi kapal selam dengan ULF

5.4 Impedansi karakteristik bahan

Impedansi karakteristik bahan didefinisikan seperti pada definisi impedansi

sebelumnya, yakni

0m

c

Zj

μ μσε εω

= =−

0 (5.24)

Tetaapi disini arus hantaran sangat dominan. Konsekuensinya adalah suku

kedua pada penyebut (denominator) menjadi sangat besar. Dengan pendekatan

ini diperoleh akan diperoleh

( ) 0 112m

jZ j ωμσ σδ

+= + = (5.25)

Sebagai contoh, tembaga pada frekuensi 10GHz memiliki impedansi

karakteristik sebesar Zm= 0.026(1+j) Ω.

Pantulan pada antarmuka logam-udara adalah 0

0

1 m

m

Z ZZ Z

ρ −= ≈ −

+karena 0 mZ Z<< .

Juga kita catat bahwa, ketika →σ ∞, Zm→ 0 dan bahwa ρ= -1 pada penghantar

sempurna. Sehingga syarat batas terpenuhi. Koefisien transmisi pada logam

diberikan oleh τ = 1+ρ.


Bahan dapat berperilaku baik sebagai dielektrik maupun sebagai penghantar,

bergantung pada frekuensi kerja. Dari persamaan Maxwell bentuk harmonik

kita dapatkan

H E j Eσ ωε∇× = +

Pada ruas kanan, suku pertama menyatakan rapat arus konduksi sedangkan

suku kedua menyatakan rapat arus perpindahan. Disini akan ada tiga

kemungkinan sifat bahan, yakni:

εω >> σ : arus perpindahan >> arus penghantar ⇒ dielektrik

εω ≈ σ : arus perpindahan ≈ arus penghantar ⇒ kuasi-konduktor

εω << σ : arus perpindahan << arus penghantar ⇒ konduktor

Untuk keperluan praktis, aturan yang bisa dipkai untuk menentukan sifat-sifat

bahan adalah sebagai berikut

Dielektrik: 1100

σωε

< (5.26.a)

Kuasi-konduktor: 1 100100

σωε

< < (5.26.b)

Konduktor: 100 σωε

< (5.26.c)

Gambar 5.5 menunjukkan batas-batas sifat ini untuk beberapa jenis bahan,

yakni: tanah, air laut, dan tembaga.

Gambar 5.5 Daerah konduktor, kuasi-konduktor dan dielektrik dari beberapa material


Kasus Umum

Dari hasil sebelumnya telah diperoleh

2 2 2 1jjσγ ωμσ μεω ω μεωε

⎡ ⎤⎢ ⎥= − =− +⎢ ⎥⎣ ⎦

Jika γ = α+jβ, kuadratkan dan samakan bagian riil/imajiner lalu dipecahkan

untuk α dan β. maka akan diperoleh:

1221 1 1 Np/m

2σα ω μεωε

⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎛ ⎞⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎟⎜= + −⎟⎨ ⎬⎢ ⎥⎜ ⎟⎟⎜⎪ ⎪⎝ ⎠⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭ (5.27)

1221 1 1 rad/m

2σβ ω μεωε

⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎛ ⎞⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎟⎜= + +⎟⎨ ⎬⎢ ⎥⎜ ⎟⎟⎜⎪ ⎪⎝ ⎠⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭ (5.28)

Dengan ekspansi binomial dan penyederhanakan, kita akan mendapatkan

pendekatan nilai α, β dan Z sebagai berikut

Besaran Dielektrik yang baik Penghantar yang baik

α 2σ μ

ε

2ωμσ

β ω με 2

ωμσ

Zw με

( )12

jωμσ+

5.5 Gelombang Datar di Perbatasan Medium

Tinjau suatu gelombang berjalan ke arah +z dengan polarisasi linier (pada arah-

x) dan (magnitude) kuat medan listrik Ei. Kita akan meninjau perilaku

gelombang di perbatasan dua buah medium dengan menganalisis medan-medan

listrik dan megnetnya, seperti yang diperlihatkan dalam Gambar 5.6.


Gambar 5.6 Gelombang datar jatuh pada batas dua medium

Ada beberapa syarat batas yang harus dipenuhi oleh medan-medan di

perbatasan tersebut, diantaranya adalah kontinyuitas medan tangensial di

perbatasan:

(5.29) i r tE E E+ =

(5.30) i r tH H H+ =

Terlebih dahulu didefinisikan impedansi berikut

1 1 i r t

i r t

E E E2Z Z

H H H= = − Z= (5.31)

Substitusi ke (5.29) dan (5.30) dan eliminasi Er akan memberikan

2

1 2

2 t

i

E ZE Z Z

τ = =+

(koefisien transmisi) (5.32)

Dengan cara sama, substitusi ke (5.29) dan (5.30) dan eliminasi dan eliminasi Et

akan menghasilkan

2

2 1

r

i

E Z ZρE Z Z

−= =

+1 (koefisien pantulan) (5.33)


Kita perhatikan bahwa τ = 1+ρ. Proses pantulan ini serupa dengan yang terjadi

pada saluran transmisi. Pengertian koefisien transmisi dan koefisien pantulan

diperjelas dengan Gb 5.7. Selanjutnya akan beberapa kasus khusus.

Gambar 5.7 Koefisien pantulan dan transmisi

(1) Medium 1: udara; Medium 2: penghantar

1 21377 m

jZ Z Zσδ+

= Ω >> = = (5.34)

Jadi 2

1

2 t iZE E EZ

τ= ≈ i . (5.35)

Lalu, gunakan 2 1

2 2tt t iEH H EZ Z

= ⇒ = ≈ iH (5.36)

Persamaan ini mengatakan bahwa medan magnetik yang diteruskan hampir

bernilai dua kali yang datang sebelum akhirnya meluruh sesuai nilai kedalaman

kulit. Di sisi pantulan Hi ≈ Hr yang berarti bahwa hampir seluruh medan-H

dipantulkan dan membentuk gelombang berdiri.

(2) Medium 1: penghantar; Medium 2: udara

Situasi menjadi sebaliknya, kini gelombang datang dari sisi konduktif. Dapat

kita tunjukkan bahwa gelombang hampir seluruhnya dipantulkan didalam

konduktor, tetapi gelombang berdiri mengalami pelemahan akibat konduktivitas

medium.

(3) Medium1: dielektrik; Medium2: dielektrik


0 01 2

1 2

, Z Zμ με ε

= =

1

2

1

2

1

1

εε

ρεε

−⇒ =

+ (5.37)

Hasil ini mengatakan bahwa pantulan dapat dikendalikan dengan mengubah

nisbah konstanta dielektrik. Analogi dengan saluran transmisi dapat dipakai

untuk membuat peralatan penyesuai seperempat-gelombang.

Gambar 5.8 Penyesuaian impedansi dengan keping λ/4

Penyesuaian gelombang dapat dilakukan dengan keeping penyesuai λ/4.

Gambar 5.8 menunjukkan suatu contoh kasus penyesuaian impedansi. Menurut

teori saluran transmisi, agar terjadi matching maka haruslah 0 2pZ Z Z= .

Karena

00 2

376.7376.7 , 1882r

ZZ Zε

= Ω = = = Ω , maka

' 0

2

266 dan 2p rZZZ

ε= Ω = =

Prinsip penyesuaian λ/4 tidak hanya berlaku dalam permasalahan saluran

transmisi. Sesungguhnya prinsip yang sama dipakai untuk menghilangkan

pantulan pada berbagai peralatan optik dengan memakai lapisan coating λ/4

pada lensa dan prisma untuk meningkatkan efisiensi transmisi cahaya.

Dengan cara sama, irisan setengah gelombang dapat dipakai sebagai jendela

dielektrik. Yakni, transparansi secara penuh. Disini Z2=Z0 dan bagian penyesuai


adalah λ/2. Peralatan demikian dipakai untuk melindungi antena dari cuaca, es,

salju dsb dan disebut radome (Gambar 5.9).

Gambar 5.9 Radome harus dedesain dengan prinsip penyesuai impedansi

Perlu diingat bahwa kedua aplikasi tsb sensitif terhadap frekuensi dan bahwa

bagian penyesuai bernilai λ/4 or λ/2 pada satu nilai frekuensi saja.

5.6 Gelombang Jatuh Miring

Analogi saluran transmisi dng pantulan gelombang datar hanya terjadi pada

gelombang jatuh tegak lurus. Jika gelombang jatuh miring, maka karakteristik

pantulan dan transmisi akan bergantung pada polarisasi dan sudut datang.

Di sini harus dibedakan dua kasus polarisasi. Pertama-tama akan dijelaskan

perilaku gelombang datang, lalu perbedaan setiap jenis polarisasi. Tujuan kita

adalah menentukan koefisien pantulan. Sekali lagi perlu diingat bahwa kita

hanya berurusan dengan gelombang datar.


Gambar 5.10 Geometri untuk analisis gelombang jatuh miring

Gambar 5.10 menunjukkan geometri yang akan dipakai dalam analisis. Lebih

lanjut lagi, bidang gelombang datang adalah bidang x-y dan E dapat sejajar atau

tegak lurus bidang gelombang datang. Untuk jelasnya, kedua kasus ini

diberikan dalam Gambar 5.11.

Gambar 5.11 Medan listrik (a) parallel dan (b) tegak lurus bidang datang

Untuk medan listrik yang tegak lurus bidang datang, analisis medannya adalah

sebagai berikut. Untuk gelombang jatuh, maka berlaku

(5.38.a) (0 1ˆ exp sin cosi iE zE j x yβ θ θ⎡= +⎣ )i ⎤⎦

( ) (01

1

ˆ ˆcos sin exp sin cosi i i iEH x y j x yZ

θ θ β θ )iθ⎡ ⎤= − + +⎣ ⎦ (5.38.b)

Sedangkan gelombang pantulnya

(5.39.a) (0 1ˆ exp sin cosr rE z E j x yρ β θ⊥⎡= −⎣ )rθ ⎤⎦


( ) (01

1

ˆ ˆcos sin exp sin cosr r r rEH x y j x yZ

ρθ θ β θ⊥ )rθ⎡ ⎤= + −⎣ ⎦ (5.39.b)

dan gelombang yang diteruskan akan berbentuk

(5.40.a) (0 2ˆ exp sin cost tE z E j x yτ β θ⊥⎡= ⎣ )tθ ⎤+ ⎦

( ) (02

2

ˆ ˆcos sin exp sin cost t t tEH x y j x yZ

τθ θ β θ⊥ )tθ⎡ ⎤= − + +⎣ ⎦ (5.40.b)

Hubungan berbagai komponen medan diperlihatkan pada Gambar 5.12.

Gambar 5.12 Hubungan berbagai komponen medan di perbatasan

Arti ekspresi matematika dalam (5.38), (5.39), dan (5.40) adalah sebagai berikut.

Argumen dalam eksponensial menyatakan arah perambatan gelombang. Jadi

untuk medan listrik/magnet dari gelombang datang Ei dan Hi

Diluar eksponensial menyatakan komponen vektor dari medan ybs misalnya

untuk Hr

Selanjutnya diterapkan syarat batas:

Medan E tangensial (Ez), match pada y=0

Medan H tangensial (Hx), match pada y=0


Maka akan didapatkan

(5.41) ( ) ( ) (1 1exp sin exp sin exp sini rj x j x j xβ θ ρ β θ τ β θ⊥ ⊥+ = )2 t

t

i

Kita tahu bahwa τ =1+ ρ, sehingga argumen dari eksponen haruslah bernilai

sama. Kadang-kadang ini disebut sebagai phase-matching dalam optika. Hal ini

ekivalen dengan menerapkan syarat batas.

(5.42) 1 1 2sin sin sini rj j jβ θ β θ β θ= =

Persamaan pertama menghasilkan

, (5.43) rθ θ=

dan dari yang kedua, karena 2πβλ

=

1 1

2 2

sin sintμ εθμ ε

= iθ (5.44)

Dengan matching komponen Hx dan menggunakan hukum Snell, kita

mendapatkan koefisien pantulan Fresnel untuk gelombang dengan medan E

tegak lurus bidang datang

2 1

2 1

cos coscos cos

i

i t

Z ZZ Z

θρθ θ⊥−=+

tθ (5.45)

Hukum Snell bisa dipakai untuk menghilangkan θt dan menuliskannya dalam

sudut datang, di saat yang sama diasumsikan medium non-magnetik (μ= μ0

untuk kedua media)

22

1

22

1

cos sin

cos sin

i i

i i

εθ θε

ρεθ θε

⊥

− −=

+ − (5.46)


Kedua bentuk akan sama dengan pada kasus saluran transmisi saat θi=0.

Bentuk terakhir inilah yang paling sering terdapat di textbook, bentuk

terdahulu bersifat lebih umum.

Dari persamaan tersebut kita dapatkan hasil-hasil pengamatan berikut ini:

• Jika ε2 > ε1 , maka akar pangkatnya positif,

• Jika ε1> ε2 , maka gelombang merambat dari medium lebih rapat ke

kurang rapat

DAN

2 2

1

sin iεθε

≥ , maka ρ kompleks dan ⊥ 1ρ⊥ = . Hal ini menyebabkan gelombang

datang mengalami pantulan total internal ke medium yang lebih rapat.

Jika kesamaan terpenuhi, kita mendapatkan sudut kritis. Dengan kata lain, jika

sudut datang lebih dari atau sama dengan sudut kritis dan gelombang

merambat dari medium yang tapat ke kurang rapat, akan terjadi pantulan total

internal.

1 2

1

sinicεθε

−= (5.47)

Untuk θi> θic , maka 1ρ⊥ = seperti sebelumnya. Kita juga mendapatkan hasil-

hasil ”aneh” berikut ini.

11 2

2

2

21

2

sin sin karena sin 1 !

cos 1 sin cos imajiner!

dimana A sin 1

t i t

t t t

i

jA

εθ θ ε ε θε

θ θ θ

ε θε

= > ⇒

= − =

= −

>

Apa arti fisis hasil ini? Untuk melihatnya, kita kembali ke ekspresi medan yang

diteruskan dan menggantikan ke hasil di atas. Sebelumnya


( )

[ ] [ ]

0 2

0 2

212 2 2

2

ˆ exp sin cos

ˆ exp sin exp

dimana sin 1

t t

t

i

E z E j x y

z E j x y

α A

tτ β θ θ

τ β θ α

εβ ω μ ε θε

⊥

⊥

⎡ ⎤= −⎣ ⎦

= −

= = −

Secara fisis, nampak bahwa medan yang diteruskan merambat sepanjang

permukaan (arah –x) tetapi melemah pada arah +y. Gelombang semacam ini

disebut sebagai medan gelombang

permukaan.

Gambar 5.13 Pantulan total

Kita mengasumsikan εr = 81, σ = 0 dan μr = 1. Mis θi = 45° tentukan

1 1sin 6.3881icθ

−= = ° . Dengan demikian i icθ θ> , yakni diperoleh pantulan total.

Selanjutnya, dengan hukum Snell

81sin sin 45 6.381tθ

°= =

2cos 81sin 45 1 6.28t jθ = ± ° − = + j (dilih tanda +untuk atenuasi pd

arah +y)

20 0

2 39.56.28 /A Nep mπα βλ λ

= = =


1τ ρ⊥= +

10.707 0.581110.707 0.581

− −= +

+ −1.42 44.6= ∠ − °

Ini berarti bahwa jika kuat medan di permukaan 1V/m, maka -11.42Vmt iE Eτ= = . Kita tentukan medan E yang diteruskan pada λ/4 diatas

permukaan

10

0

6

39.491.42exp 73.24

73.2 1020log 85.81.42

tE V

dB

λ μλ

−

−

⎡ ⎤−⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎣ ⎦⎛ ⎞× ⎟⎜ ⎟= =−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

m

Ini berarti bahwa gelombang permukaan terikat secara kuat pada permukaan

dan aliran daya pada arah tegak lurus permukaan adalah nol.

5.7 Gelombang Terolarisasi Parallel

Dengan cara yang sama seperti sebelumnya, kita bisa melakukan analisis pada

gelombang dng medan E sejajar bidang datang gelombang. Koefisien pantulan

Fresnel adalah

2 1

1 2

cos coscos cos

t

i t

Z ZZ Z

θρθ θ

−=+

iθ (5.48)

Atau, untuk bahan non-magnetik

22 2

1 1

22 2

1 1

cos sin

cos sin

i i

i i

ε εθ θε ε

ρε εθ θε ε

− + −=

+ − (5.49)

Untuk polarisasi parallel, ada kemungkinan pantulan dibuat nol. Dalam kasus

demikian, maka


22 2

1 1

cos sini iε εθ θε ε

= − , atau

2 1

2 1

sin1iε εθε ε

=+

karena 1 1

2tan sin

1xxx

− −=+

, maka

1 2

1

tani Bεθ θε

−= = (5.50)

Disini θi adalah sudut Brewster dan transmisi sempurna terjadi pada sudut ini.

Gambar 5.14 Perhatikan bahwa delombang dng polarisasi paralel

mengalami lompatan fasa sebesar π pada θBB

Kadangkala sudut Brewster ini disebut sbg sudut pemolarisasi karena

gelombang datar yang terdiri dari gelombang dengan polarisasi paralel dan

tegaklurus (mis. pada polarisasi sirkuler) yang jatuh pada sudut Brewster,

maka hanya polarisasi tegaklurus saja yang dipantulkan. Komponen gelombang

dengan polarisasi paralel akan diteruskan seluruhnya. Fenomena ini dipakai

dalam optika (atau teknik gelombang mikro) untuk mengubah radiasi sirkuler

menjadi linier.


Gambar 5.15 Gelombang datar merambat di ruang hampa

Gambar 5.15 berikut ini menggambarkan gelombang datar yang merambat di

ruang hampa, dengan kuat medan listrik sebesar 1.2π mV/m dan kuat medan

magnet 10μA/m. Perhatikan bahwa E tetap berada di bidang x-z, E terpolarisasi

pada arah-x.

5.8 Polarisasi Gelombang

Polarisasi menggambarkan perilaku berubah-waktu dari vektor E pada suatu

titik dalam ruang. Jika ˆ xE xE= , ini berarti gelombang terpolarisasi pada arah x.

Sedangkan jika ˆ ˆx yE xE yE= + dan Ex= Ey, maka gelombang

terpolarisasi linier pada sudut 45°. Perhatikan bahwa definisi lain bagi H tidak

diperlukan. Contoh diatas menunjukkan bahwa arah E konstan terhadap waktu.

Akan tetapi, pada beberapa kasus, arah E berubah terhadap waktu.

Tinjau superposisi 2 gelombang terpolarisasi linier, satu pada arah-x dan yang

lain pada arah-y, tetapi berbeda fasa waktu (tertinggal) sebesar π/2.

(5.51) ( ) ( ) ( )1 2 10 20ˆ ˆ ˆ ˆjkz jkzE z xE z yE z xE e yjE e−= + = − −

Ekspresi sesaat untuk E(z) ditentukan dengan mengalikan dengan exp{jωt} dan

mengambil bagian riil-nya


( ) ( ) ( ){ 1 2ˆ ˆ, Re j tE z t xE z yE z e ω }⎡ ⎤= +⎣ ⎦ (5.52)

Penjabaran persamaan tersebut lebih lanjut menghasilkan

( ) ( )10 20ˆ ˆ, cos cos2

E z t xE t kz yE t kz πω ω⎛ ⎟⎜= − + − − ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝

⎞⎠ (5.53)

Perlu diperhatikan bagaimana arah E berubah terhadap t. Ambil referensi,

misalnya z=0

( ) ( ) ( )10 20ˆ ˆ, cos sinE z t xE t yE tω= + ω (5.54)

Sementara kita ambil E10 = E20, dan menggambarkan arah E untuk berbagai ωt.

Pada ωt=0, E menarah ke +x, kemudian saat ωt=π/2 E mengarah ke +y, dan

saat ωt=π E mengarah ke -x.. Terlihat bahwa medan listrik berputar

berlawanan arah jarum jam. Karena E10 = E20 gelombang terpolarisasi sirkuler. Dengan cara yang sama, jika komponen-y mendahului 90°

kita akan mendapatkan E yang berputar searah jarum jam.

(a) (b)

Gambar 5.16 Polarisasi sirkuler dengan arah putar: (a) berlawanan arah jarum jam

(CW) dan (b) searah jarum jam (CCW)


Untuk kasus lain dimana E10≠E20, atau pergeseran fasa tidak tepat sebesar π/2

(mendahului atau tertinggal), maka gelombang akan terpolarisasi secara eliptik

(Gambar 5.17).

(a) (b)

Gambar 5.17 Polarisasi eliptik (a) medan dan (b) sumbu major/minor

Dalam polarisasi eliptik dikenal faktor AR (axial ratio) yang didefinisikan

sebagai

major axis

Axial ratio (AR)minor axis

1 AR

=

≤ ≤∞

Gambar 5.17(b) menjelaskan kedua sumbu ini.

5.9 Teorema Poynting

Gelombang EM yang merambat akan membawa energi. Secara intuitif, kita bisa

memahami bahwa aliran energi ini searah dengan arah perambatan gelombang.

Vektor Poynting adalah suatu besaran yang berhubungan dengan kuantitas dan

arah energi gelombang EM. Karena gelombang EM memiliki komponen E dan H,

tentu vektor Poynting akan merlasikan kedua medan ini kedalam energinya.

Akan ditinjau terlebih dahulu kedua buah komponen medan dalam gelombang

EM. Dengan melihat satuan atau dimensinya, kita ingat bahwa medan E

berdimensi V/m sedangkan medan H berdimensi A/m. Hasil perkalian keduanya

akan berdimensi VA/m2 atau W/ m2, yakni besarnya daya persatuan luas. Lebih

lanjut lagi, persamaan Maxwell memberikan nilai pusaran E dan H (setalah

konversi melalui hubungan kuantitatif untuk B) sebagai berikut:


HEt

μ ∂∇× = −

∂

rr

(5.55)

EH Jt

ε ∂∇× = +∂

rr r

(5.56)

Dengan memakai identitas dari kalkulus vektor berikut

( ) ( ) ( )A B B A A B∇⋅ × ≡ ⋅ ∇× − ⋅ ∇× (5.57)

lalu kita substitusikan A = E dan B = H, maka

( ) ( ) ( )E H H E E H∇⋅ × ≡ ⋅ ∇× − ⋅ ∇×

H EH E J Et t

μ ε∂ ∂=− ⋅ − ⋅ − ⋅∂ ∂

( ) ( )2 2H H E E E J

t tμ ε∂ ∂=− ⋅ − ⋅ −∂ ∂

⋅

2 21 12 2E H

tε μ σ

⎛ ⎞∂ ⎟⎜=− + −⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠∂2E

Kemudian kita integrasikan hasil terakhir ke seluruh volume V

( ) 2 2 21 12 2

V V

E H dV E H dV E dVt

ε μ σ⎛ ⎞∂ ⎟⎜∇⋅ × =− + −⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠∂∫ ∫

V∫ (5.58)

Sisi kiri dari persamaan tesebut ekivalen dengan integral permukaan

( )V

E H dV∇⋅ ×∫ = ( )S

E H dS× ⋅∫

yang menyatakan menyatakan daya yang keluar dari volume melalui

permukaan S. Suku pertama ruas kanan adalah laju perubahan energi listrik

dan magnet pada medan sedangakan suku kedua ruas kana menyatakan

disipasi daya dalam volume. Secara keseluruhan, ruas kanan pada persamaan

tersebut menyatakan penurunan daya netto.


Vektor Poynting adalah vector yang mengambarkan aliran daya , baik besar

maupun arahnya, yang diambil dari sisi persamaan, yakni

S E H= × (vektor Poynting) (5.59)

Jika kita tuliskan,

Rapat energi listrik: 21 12 2ew E Eε ε E∗= = ⋅

r r

(5.60.a)

Rapat energi magnetic: 21 12 2mw H Hμ μ H ∗= = ⋅

r r (5.60.b)

Rapat daya ohmic: 2

2 J JP E E Eσ σ σ Jσ σ

∗∗ ⋅

= = = ⋅ =r r

r r (5.60.c)

Maka persamaan (5.58) dapat dituliskan sebagai berikut

( )e mS V V

S dS w w dV P dVt σ

⎧ ⎫⎪ ⎪∂ ⎪ ⎪− ⋅ = + +⎨ ⎬⎪ ⎪∂ ⎪ ⎪⎩ ⎭∫ ∫ ∫ (5.61)

dan dapat ditafsirkan sebagai

Daya mengalir laju peningkatan daya ohmic

KEDALAM per- = energi listrik dan + yg didisipasi

mukaan saat tertentu magnet tersimpan dalam V

Sejauh ini kita hanya membahas vektor Poynting umum. Tetapi, yang akan kita

pakai adalah medan harmonik-waktu. Kita perlu mengevaluasi daya rata-rata,

dan karena medan bersifat harmonik waktu, kita bisa memperoleh harga rata-

ratanya dengan mengintegrasikannya didalam satu perioda.


Dari hasil sebelumnya, kita ingat cara mencari nilai sesaat adalah, kalikan

dengan exp{jωt) dan kemudian ambil bagian riil-nya. Tetapi, kita harus hati-hati

karena akhirnya akan diperoleh hasil berupa suku kosinus dan menangani hasil

campurannya (tdk linier). Begitu vektor Poynting berubah-waktu diperoleh,

nilai rata-ratanya ditentukan dengan integrasi paa satu perioda. Maka

hasilnya adalah

( ) {1 Re2av avP S r E H ∗= = × } (5.62)

Sebagai contoh, tinjau m,edan di suatu titik R dalam ruang yang ditimbulkan

oleh arus vertikal elementer (antena) sepanjang dl di titik pusat koordinat bola

yang diberikan oleh:

60ˆ ˆsin j RIdE E j eR

βθ

πθ θλ

−= = θ , dan

ˆ ˆsin2

j RIdH H j eR

βφφ θ

λ−= = φ

Maka vektor Poynting sesaat adalah:

( ) ( ){ } ( ){ }ˆ ˆ, Re , Re ,j t jS R t E R e H R eω ωθθ θ φ θ= × t

( )

{ }( )

22 2

22

ˆ ˆ 30 sin sin

1̂5 sin 1 cos 2

Id t RR

Idr tR

θ φ π θ ω βλ

π θ ω βλ

⎛ ⎞⎟⎜= × −⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

⎛ ⎞R⎡ ⎤⎟⎜= − −⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎟⎜ ⎣ ⎦⎝ ⎠

Diperoleh rapat daya rata-ratanya, dengan memakai ( ) { }1 Re2av avP S r E H ∗= = × ,

adalah

( )2

2 21̂5 sin W/mavIdS R rR

π θλ

⎛ ⎞⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠


Ini adalah rata-rata waktu dari S(R,t). Untuk mendapatkan daya total kita

harus mengintegrasi Sav(R) ke seluruh bola. Dengan demikian

2 22 2

0 02

2 2

Total Daya 15 sin sin

40

avS

IdS dS R d dR

d I

π π

π θ θλ

πλ

⎛ ⎞⎟⎜= ⋅ = ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

⎛ ⎞⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ θ φ

Hasil ini akan kita bahas lebih mendalam lagi dalam pembahasan antenna dan

radiasi EM.


5. gelombang datar - hastami.blog.uns.ac.id · gambar 5.6 gelombang datar jatuh pada batas dua...

Documents