4. fungsi vektor.ppt
DESCRIPTION
Fungsi Vektor KALKULUSTRANSCRIPT
-
Kalkulus 2-FT Unpas
Fungsi Bernilai Vektor
*
*
Kalkulus 2-FT Unpas
-
Definisi
Fungsi bernilai vektor adalah suatu aturan yang
memadankan setiap dengan tepat satu vektor
Notasi :
dengan
fungsi bernilai real
*
*
Kalkulus2-Unpas
Kalkulus2-Unpas
-
*
Kalkulus2-Unpas
*
Contoh :
Daerah Asal (DF )Daerah Hasil (RF )atau
Kalkulus2-Unpas
-
*
Kalkulus2-Unpas
*
Contoh : Tentukan Domain dari
Jawab :
Jadi
Kalkulus2-Unpas
-
*
Kalkulus2-Unpas
*
Jawab:
Kalkulus2-Unpas
-
*
Kalkulus2-Unpas
*
Latihan
Tentukan DF(daerah asal) dari fungsi vektor berikut
Kalkulus2-Unpas
-
*
Kalkulus2-Unpas
*
Persamaan Parameter
Persamaan kurva di ruang dalam bentuk parameter:
Contoh :
Persamaan kurva di bidang dalam bentuk parameter:
Kalkulus2-Unpas
-
*
Kalkulus2-Unpas
*
Garis
P0=(x0,y0,z0)
P(x,y,z)
x
z
y
Garis adalah himpunan semua titik P sehingga
Kalkulus2-Unpas
-
*
Kalkulus2-Unpas
*
Jika
Maka persamaan garis dalam bentuk parameter:
(Persamaan garis dalam bentuk vektor)
vektor yang sejajar dengan garis
Kalkulus2-Unpas
-
*
Kalkulus2-Unpas
*
Contoh
Tentukan persamaan garis yang melalui titik (4,-5,2)dan sejajar vektor
Jawab:
Persamaan parameter garis itu:
Kalkulus2-Unpas
-
*
Kalkulus2-Unpas
*
Contoh
2. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2,-3,-1)
dan (5,-1,-4)
Jawab:
Sehingga Persamaan parameter garis tersebut:
Vektor yang sejajar dengan garis tersebut adalah
Pilih titik (2,-3,-1)
Kalkulus2-Unpas
-
*
Kalkulus2-Unpas
*
Latihan
Tentukan persamaan parameter dari garis yang melalui pasangan titik yang diberikan:
(1, -2, 3), (4 , 5, 6)
(2, -1, 5), (7, -2, 3)
(4, 2, 3), (6, 2, -1)
Tuliskan persamaan parameter garis yang melalui titik yang diberikan dan sejajar terhadap vektor yang diberikan
a. (4,-6,3),
b. (2,5,-3) ,
Kalkulus2-Unpas
-
*
Kalkulus2-Unpas
*
Grafik Fungsi Bernilai Vektor
MisalkanDf=[a,b]
]
[
atb
c
y
x
Jika t berubah sepanjang [a,b] ujung-ujung
menjelajahi lengkungan (kurva) C dengan arah tertentu
disebut titik pangkal lengkungan C
disebut titik ujung lengkungan C
kurva C disebut kurva tertutup
Kalkulus2-Unpas
-
*
Kalkulus2-Unpas
*
Grafik fungsi vektor
Grafik fungsi bernilai vektor berupa lengkungan/kurva di R2(3) dengan arah tertentuCara menggambar grafik fungsi vektor :Tentukan persamaan parameter dari kurva.
Tentukan persamaan Cartesius kurva
(eliminasi parameter t ) dan gambarkan.
3. Tentukan arahnya.
Kalkulus2-Unpas
-
*
Kalkulus2-Unpas
*
Contoh
Gambarkan grafik fungsi vektor
Persamaan parameternya:
x = 3 cos t
y = 2 sin t
x/3 = cos t
y/2 = sin t
cos2 t + sin2 t =1
Arahnya
(ellips)
3
-3
2
-2
x
y
C
Kalkulus2-Unpas
-
*
Kalkulus2-Unpas
*
Persamaan parameternya:
Arahnya:
(parabola)
-4
2
x
y
C
Kalkulus2-Unpas
-
*
Kalkulus2-Unpas
*
Latihan
Gambarkan grafik fungsi vektor berikut:
Kalkulus2-Unpas
-
*
Kalkulus2-Unpas
*
Ekivalen
Fungsimenjelajahi suatu lengkungan C yang sama dengan
arah yang sama pula.
disebut ekivalen jika
Contoh:Norm
Misalkan
maka norm dari
adalah dua vektor yang ekivalen.
(tunjukkan!)
Kalkulus2-Unpas
-
*
Kalkulus2-Unpas
*
Sifat fungsi vektor
Misalkan
dan
1.
2.
3.
c =konstanta
adalah sudut antara dua vektor tersebut
Kalkulus2-Unpas
-
*
Kalkulus2-Unpas
*
Limit
Definisi
Ilustrasi
)
(
a
y
x
.
a+
a-
Kalkulus2-Unpas
-
*
Kalkulus2-Unpas
*
Teorema
Misalkan
, maka
mempunyai limit di a
f1(t) dan f2(t) mempunyai limit di a, dan
Contoh: Hitung limit (fungsi vektor) berikut jika ada,
(Jika tidak ada beri alasan):
Kalkulus2-Unpas
-
*
Kalkulus2-Unpas
*
Jawab
Kalkulus2-Unpas
-
*
Kalkulus2-Unpas
*
karena
(tidak ada)
Maka
tidak ada
Kalkulus2-Unpas
-
*
Kalkulus2-Unpas
*
Latihan
Hitung limit (fungsi vektor) berikut jika ada, (Jika tidak ada beri alasan):
Kalkulus2-Unpas
-
*
Kalkulus2-Unpas
*
Turunan
Definisi: Misalkan
Jadi
Kalkulus2-Unpas
-
*
Kalkulus2-Unpas
*
Contoh
. Tentukan
1. Diketahui
Jawab
i.
ii.
Kalkulus2-Unpas
-
*
Kalkulus2-Unpas
*
Contoh
Tentukan
2. Diketahui
Jawab
a.
b.
Kalkulus2-Unpas
-
*
Kalkulus2-Unpas
*
Latihan
Tentukan
1. Diketahui
dan
Tentukan
2. Diketahui
3. Tentukan
dan
a.
b.
Kalkulus2-Unpas
-
*
Kalkulus2-Unpas
*
Arti Geometris
Df=[a,b]
]
[
a t b
c
z
y
x
O
P
Vektor
searah dengan vektor
Jika h 0, maka
merupakan vektor singgung pada kurva C di titik P pada
saat
t
Arti Geometris : Vektor Singgung
Kalkulus2-Unpas
-
*
Kalkulus2-Unpas
*
Garis Singgung
Df=[a,b]
]
[
atb
c
z
y
x
O
P
Persamaan garis singgung pada kurva C pada titik P adalah
atau
Kalkulus2-Unpas
-
*
Kalkulus2-Unpas
*
Contoh
Tentukan persamaan garis singgung di titik P (1, 0, ).
Diketahui
Jawab: t0 = waktu saat P tercapai, yaitu t0 =
Persamaan parameter garis singgung di titik P (1, 0, )
adalah
x = 1, y = t , z = + t
Kalkulus2-Unpas
-
*
Kalkulus2-Unpas
*
Latihan
Tentukan persamaan garis singgung di titik P (0, 4).
1. Diketahui
Tentukan persamaan garis singgung di titik P (0, 1, 1).
2. Diketahui
Tentukan persamaan garis singgung di titik P (2, 2).
3. Diketahui
4. Diketahui
Tentukan persamaan garis singgung pada saat t = 0.
Kalkulus2-Unpas
)
3
(
2
:
R
R
f
R
t
)
3
(
2
)
(
R
t
F
-
1212
()()()(),()
tFtftiftjftft
=+=
r
rr
a
123
()()()()
tFtftiftjftk
=++
a
123
(),(),()
ftftft
1
1.()2(3)
Fttitj
-
=-+-
()cossin
2.
Fttitjk
=++
r
2
()ln6
3.
Ftitj
t
=--
r
{
}
123
|
fff
F
DtRtDDD
=
r
{
}
3
()|
FF
RFtRtD
=
rr
r
+
=
j
t
f
i
t
f
t
F
r
r
r
)
(
)
(
)
(
2
1
{
}
2
1
|
f
f
F
D
D
t
R
t
D
=
r
+
+
=
k
t
f
j
t
f
i
t
f
t
F
r
r
r
r
)
(
)
(
)
(
)
(
3
2
1
{
}
F
F
D
t
R
t
F
R
r
r
r
=
|
)
(
2
-
-
+
-
=
j
t
i
t
t
F
1
)
3
(
2
)
(
11
()2[2,)
f
fttD
=-=
1
22
()(3){3}
f
fttDR
-
=-=-
{
}
12
ff
F
DtRtDD
=
r
{
}
{
}
[2,)3
tRtR
=-
{
}
{
}
[2,)3[2,3)(3,)
t
=-=
2
2.()ln6
Ftitj
t
=--
1
2
()ln
ft
t
=
2
()6
ftt
=--
1
(0,)
f
D
=
2
(,6]
f
D
=-
{
}
12
ff
F
DtRtDD
=
{
}
(0,)(,6]
tRt
=-
(0,6]
=
()(4)
1.
Fttitj
=-+
r
2
()4
2.
Fttitj
=---
r
1
()
(4)
3.
Ftitj
t
=+
-
r
2
1
()
4
4.
Ftitj
t
=+
-
r
()cossin
1.
Fttitjtk
=++
r
123
();();(),
xftyftzfttI
===
cos,sin,
xtytzt
===
()(4)
2.
Fttitj
=-+
r
(4),
xtyt
=-=
I
t
t
f
y
t
f
x
=
=
,
)
(
;
)
(
2
1
0
w
r
w
r
v
r
0
P
Ptv
=
r
0
PPtv
=
r
0
wwtv
-+=
rr
v=
r
0
wwtv
=+
rr
>
=
=
=