11/24/2014

1

TKS 4008 Analisis Struktur I

TM. XXII : METODE CROSS

Dr.Eng. Achfas Zacoeb, ST., MT.

Jurusan Teknik Sipil

Fakultas Teknik

Universitas Brawijaya

Outline Metode Distribusi

Momen

Momen Primer

(Mij)

Faktor Kekakuan

(Kij)

Faktor Distribusi

(FDij)

Tabel Distribusi

Momen (Cross)

11/24/2014

2

Pendahuluan

Pertama kali diperkenalkan oleh Hardy Cross (1993) dalam bukunya yang berjudul Analysis of Continuous

Frames by Distributing Fixed End Moments.

Sebagai penghargaan, metode distribusi momen juga dikenal dengan metode Cross.

Salah satu metode yang digunakan dalam analisis struktur balok dan portal statis tak tentu.

Pendahuluan (lanjutan)

Metode distribusi momen didasarkan pada asumsi sebagai

berikut :

1. Perubahan bentuk (deformasi) akibat gaya normal dan

gaya geser diabaikan, sehingga panjang batang-

batangnya tidak berubah (konstan).

2. Semua titik simpul (buhul) dianggap kaku sempurna.

11/24/2014

3

Pendahuluan (lanjutan)

Proses analisis dilakukan dengan distribusi momen dan induksi (carry over) terhadap momen primer (fixed end

moment) sebanyak beberapa putaran (iterasi) sehingga

diperoleh keseimbangan di setiap titik simpul.

Hal ini dilakukan karena momen primer yang bekerja di setiap simpul suatu struktur tidak sama besar

nilainya, sehingga simpul dalam keadaan tidak

seimbang.

Pendahuluan (lanjutan)

Untuk mencapai kondisi seimbang, simpul melakukan perputaran sehingga momen primer di masing-masing

simpul sama dengan nol.

Proses distribusi dan induksi secara manual biasanya dilakukan sebanyak 4 putaran (iterasi), sehingga semua

simpul dianggap sudah dalam keadaan seimbang atau

mendekati nol.

11/24/2014

4

Definisi

Ada beberapa definisi yang digunakan dalam metode

distribusi momen, yaitu :

1. Momen Primer (Mij)

2. Faktor Kekakuan (Kij) dan Momen Induksi (MIij)

3. Faktor Distribusi (FDij)

Mij

1. Momen Primer

Momen primer adalah momen yang terjadi pada ujung batang sebagai akibat dari beban-beban yang

bekerja di sepanjang batang.

Besarnya momen primer sama dengan momen jepit (momen reaksi) dengan tanda atau arah yang

berlawanan (dengan kata lain, momen jepit atau

momen rekasi merupakan kebalikan dari momen

primer dan disebut juga dengan momen perlawanan).

11/24/2014

5

Mij (lanjutan)

Momen primer biasanya digambarkan melengkung ke luar pada bagian dalam ujung batang dengan arah

tertentu sesuai dengan pembebanan.

Arah momen primer didasarkan pada kecenderungan melenturnya batang (seolah-olah batang akan patah

akibat momen yang bekerja di ujung batang), untuk

lebih jelasnya dapat dilihat pada Gambar 1.

Mij (lanjutan)

Gambar 1. Momen Primer dan Momen Reaksi

11/24/2014

6

Kij

2. Faktor Kekakuan dan Momen Induksi

Untuk mengetahui faktor kekakuan dan momen induksi, dapat diuraikan berdasarkan persamaan

slope deflection (sudut kemiringan lendutan) pada

masing-masing jenis batang seperti ditunjukkan pada

Gambar 2 untuk kondisi jepit-jepit dan Gambar 3

untuk kondisi jepit-sendi.

Kij (lanjutan)

Gambar 2. Batang Jepit-Jepit

11/24/2014

7

Kij (lanjutan)

Gambar 2, batang prismatis AC dengan tumpuan jepit-jepit.

Di ujung A (simpul) bekerja momen distribusi momen sebesar MAC dengan sudut kemiringan lendutan

sebesar A.

Sedangkan ujung B (tumpuan jepit) berhak menerima momen induksi sebesar MCA dengan arah yang sama.

Sehingga diperoleh persamaan :

A2 - A1 = A dan C2 - C1 = 0

Kij (lanjutan)

Akibat pengaruh momen distribusi MAC akan menimbulkan rotasi dengan sudut kemiringan lendutan

pada kedua ujung batang sebesar :

=

dan =

Selanjutnya pengaruh momen induksi MCA akan menimbulkan rotasi dengan sudut kemiringan lendutan

pada kedua ujung batang sebesar :

=

dan =

11/24/2014

8

Kij (lanjutan)

Dengan demikian :

C2 - C1 = 0

= =

A1 - A2 = A

=

=

= =

Kij (lanjutan)

Jika A = 1 rad, maka :

=

Nilai momen ini disebut kekakuan batang AC yang diberi notasi KAC.

Dengan demikian kekakuan batang untuk tumpuan jeit-jepit dapat dihitung dengan rumus :

=

11/24/2014

9

Kij (lanjutan)

Gambar 3. Batang Jepit-Sendi

Kij (lanjutan)

Gambar 3, batang prismatis AD dengan tumpuan jepit-sendi.

Di ujung A (simpul) bekerja momen distribusi momen sebesar MAD dengan sudut kemiringan lendutan

sebesar A.

Sedangkan ujung D tidak berhak menerima momen induksi karena tumpuan sendi atau MDA = 0.

Sehingga diperoleh persamaan :

A2 - A1 = A

11/24/2014

10

Kij (lanjutan)

Akibat pengaruh momen distribusi MAD akan menimbulkan rotasi dengan sudut kemiringan lendutan

pada ujung batang A sebesar :

=

Jika A = 1 rad, maka :

=

Nilai momen ini disebut kekakuan batang AD yang diberi notasi KAD.

Kij (lanjutan)

Dengan demikian kekakuan batang untuk tumpuan jepit-sendi dapat dihitung dengan rumus :

=

Sehingga dapat disimpulkan bahwa :

1. Kekakuan batang dengan tumpuan jepit-jepit adalah :

=

.

2. Kekakuan batang dengan tumpuan jepit-sendi adalah :

=

.

11/24/2014

11

FDij

3. Faktor Distribusi

Jika pada struktur portal bekerja momen primer sebesar M di simpul A (lihat Gambar 4), maka

masing-masing ujung batang simpul A akan terjadi

distribusi momen sebesar MAB, MAC, dan MAD

dengan arah berlawanan dengan momen primer M.

Hal ini akibat simpul A dianggap kaku sempurna (perfect rigid), sehingga batang-batang berputar

menurut garis elastisnya untuk mendapatkan kondisi

keseimbangan (equilibrium).

FDij

Untuk mencari besarnya faktor distribusi dan momen distribusi dapat dihitung berdasarkan Gambar 4.

Gambar 4. Distribusi Momen

11/24/2014

12

FDij (lanjutan)

Dari Gambar 4 :

Pada batang AB terjadi rotasi sebesar A akibat pengaruh MAB.

Pada batang AC terjadi rotasi sebesar A akibat pengaruh MAC.

Pada batang AD terjadi rotasi sebesar A akibat pengaruh MAD.

Jadi keseimbangan simpul A adalah :

M = MAB + MAC + MAD

FDij (lanjutan)

Jika KAB, KAC, dan KAD merupakan faktor kekakuan

masing-masing batang AB, AC, dan AD, maka :

MAB = KABA ; MAC = KACA ; MAD = KADA Jadi :

= + +

=

=

11/24/2014

13

FDij (lanjutan)

Dengan demikian akan diperoleh :

=

=

=

FDij (lanjutan)

Sehingga dapat disimpulkan bahwa :

1. Faktor distribusi (FD) adalah perbandingan kekakuan

batang (K) dengan kekakuan batang total di titik

simpul (K).

=

2. Momen distribusi (MD) adalah hasil perkalian faktor

distribusi (FD) dengan momen primer (M).

MD = MFD

11/24/2014

14

Prosedur

Langkah-langkah analisis struktur dengan metode Cross :

1. Carilah momen primer, M untuk masing-masing

bagian batang.

2. Tentukan faktor kekakuan, K (stiffness factor).

3. Tentukan faktor distribusi, FD (distribution factor).

4. Buat tabel Cross.

5. Sebagai kontrol, momen pada satu titik berlawanan

tanda atau jumlahnya sama dengan 0.

Prosedur (lanjutan)

6. Pada penggambaran bidang momen, tanda

penggambaran berlawanan dengan hasil perhitungan

momen untuk sebelah kiri titik dukung.

7. Sedangkan untuk daerah momen sebelah kanan titik

dukung , pada gambar selalu bertanda sama dengan

hasil perhitungannya.

11/24/2014

15

Contoh

Diketahui struktur balok menerus 3 bentang seperti pada

gambar berikut :

Contoh (lanjutan)

1. Momen Primer :

=

=

=

. = kNm

=

=

+

+

=..

+

. +

..

= kNm

=

=

.

.= , kNm

11/24/2014

16

Contoh (lanjutan)

2. Faktor Kekakuan dan Faktor Distribusi :

Simpul B

Kekakuan batang :

=

=

= ,

=

=

= ,

=

Faktor distribusi :

=

=,

,= ,

=

=,

,= ,

=

Contoh (lanjutan)

Simpul C

Kekakuan batang :

=

=

= ,

=

=

= ,

= ,

Faktor distribusi :

=

=,

,= ,

=

=,

,= ,

=

11/24/2014

17

Contoh (lanjutan)

3. Distribusi Momen Untuk mendapatkan kondisi seimbang, dilakukan distribusi

momen pada masing-masing simpul dengan bantuan tabel

(Tabel Cross).

Diusahakan Tabel Cross dibuat sedemikian rupa sesuai kebutuhan (penempatan titik simpul dan batang dengan posisi

yang tepat pada tabel), sehingga memudahkan proses

distribusi dan induksi momen.

Posisi batang yang sejenis sedapat mungkin diusahakan berdampingan agar tidak menyulitkan proses induksi.

Dalam hal ini, proses distribusi dan induksi momen cukup dilakukan hingga 4 kali iterasi dengan hasil mendekati nol.

Contoh (lanjutan)

4. Tabel Cross

11/24/2014

18

Contoh (lanjutan)

5. Bidang M, D, dan N Untuk mendapatkan gambar bidang M, D, dan N, maka perlu

dibuat diagram badan bebas (free body diagram) dari momen

reaksi yang sudah didapat.

Terima kasih atas Perhatiannya!