TRANSFORMASI FOURIERAfief Dias Pambudi

(afb.ittelkom.ac.id/blog)

DOMAIN WAKTU VS FREKUENSI

Suatu sinyal daat direpresentasikan dalam domain waktu ataupun frekuensi

Dalam domain waktu direpresentasikan dalam bentuk tegangan atau arus dalam fungsi waktu

Dalam domain frekuensi direpresentasikan dalam bentuk magnitudo dan fasa dalam fungsi frekuensi

Transformasi fourier berfungsi sebagai pengubah representasi sinyal dari domain waktu s(t) kedalam domain frekuensi S(f)

Inverse Transformasi Fourier melakukan fungsi sebaliknya

REPRESENTASI FOURIER

Sinyal Periodik Nonperiodik

Kontinu Fourier Series (FS) Fourier Transform

(Deret Fourier) (Trasformasi Fourier)

Diskrit Discrete-Time Fourier Series (DTFS)

Discrete-Time Fourier Transform (DTFT)

Deret Fourier Waktu-Diskrit

Transformasi Fourier Waktu Diskrit

Pada kenyataannya banyak sinyal-sinyal dalam sistemkomunikasi yang bersifat random non periodik (kontinu nonpeodik)

Sehingga untuk kasus sinyal non periodik kita gunakan formula yangdisebut Transformasi Fourier

FORMULA TRANSFORMASI FOURIER

S(f) adalah hasil transformasi fourier dari sinyal dalam domain waktu s(t)

Jika Transformasi Fourier S(f) suatu sinyal diketahui maka bisa didapatkan kembali persamaan sinyal dalam domain waktu s(t) dengan formula Inverse Transformasi Fourier

CONTOH TRANSFORMASI PENTING

δ(t)

Time (t)

1. Sinyal Delta Diract

1

0

1

S(f)

f0

2. Sinyal Rectangular/ pulsas(t)

t

A

0-T/2 +T/2

S(f)

f0

AT

-1/T +1/T

|S(f)|

f0

AT

-1/T +1/T

harga modulus/ magnitude

∠ ф(f)

f0-1/T +1/T

harga fasa

л

SIFAT TRANSFORMASI FOURIER

s(t)

t0

a. Time Scaling

S(f)

f0

b. Time Shift

Jika s(t) S(f) maka s(t-to) S(f) e-j2лfto

s(t)

t

A

0-T/2 +T/2

g(t) = s(t-to)

t

A

0 to

T

to

|S(f)|

f0

AT

-1/T +1/T

harga modulus

∠ ф(f)

f0-1/T +1/T

harga fasa

л

|G(f)| = |S(f)|

f0

AT

-1/T +1/T ∠ ф(f)

f0

harga fasa

л

2лto

c. Frequency Shift

Jika s(t) S(f) maka S(f-fo) s(t) e-j2лfot

Contoh:

maka

S (f)

f-fc +fc

A/2

0

d. Transformasi Fourier Sinyal Periodik

Jika x(t) X(f) untuk sinyal nonperiodik, maka untuk sinyal priodik

, xp(t) periodik dengan periode To

Transformasi fourier dari xp(t)

e. Integrasi pada kawasan waktu `

Bila s(t) S(f), kemudian menghasilkan S(0) = 0, maka

f. Diferensiasi pada kawasan waktu

Bila s(t) S(f), Jika pada kawasan waktu dilakukan diferensiasi sekali maka:

g. Konvolusi pada kawasan waktu

Jika s1(t) S1(f) dan s2(t) S2(f), maka

h. Perkalian pada kawasan waktu Jika s1(t) S1(f) dan s2(t) S2(f), maka

TRANSMISI SINYAL MELALUI SISTEM LINIER

Contoh: perhitungan konvolusi, representasi grafis

[1]

h(t)x(t) y(t)

h(t) = respon impuls

0 t

h(t)

0 t

x(t)

λ

h(-λ)

0 λ

h(t-λ)

0 t

0 λ

x(λ)

λ

h(t-λ)

0 t

0 λ

x(λ). h(t-λ)

t

[2] h(t)

x(t) y(t)

x(t)

tM0

A

Note: N>M

h(t)

N0 t

B

x(t-λ)

λ

M

0 t

h(λ)

N0 λ

B

Untuk 0 ≤ t ≤ M, maka:

Untuk M < t ≤ N , maka:

λ

x(λ). h(t-λ)

A.B

t

Luas area = A.B.t

0

λ

x(λ). h(t-λ)

NM

M

t

Luas area = A.B.M

A.B

Untuk t ≥ N, maka:

λ

x(λ). h(t-λ)

A.B

-M+t N

Luas area = A.B. (N+M-t)

x(t)

t0

δ(t – to)

t

A

0 tox(t-to)

t0

A

to

[3] Konvolusi dengan fungsi δ (t-to)

LATIHAN SOAL[1] Perhatian gambar sinyal x(t) dibawah ini :

a. Tentukan X(f) yang merupakan transformasi fourier dari sinyal tersebut !

b. Jika sinyal z(t)= x(t).y(t), dimana y(t) = Cos ( 4π t/T ), tentukan Z(f)

x(t)

t0

A

T

Suatu sinyal memasuki sistem yang diwakili oleh LPF berikut ini :

Tentukan SA(f) , SB(f), SB(t) !

[2]

[3] Diketahui sinyal dalam domain frekuensi sebagai berikut:

a. Untuk fc > fm, Gambarkan Z(f) = X(f) . Y(f) !

b. Tentukan persamaan z(t), gambar diagram proses yang terjadi !