1_projek add math 2016 (bm)

7/26/2019 1_projek Add Math 2016 (BM)

1/14

KERJA PROJEK MATEMATIK TAMBAHAN 2016

Tanpa disedari hukum-hukum Matematiksering digunakan dalam kehidupan harian kita. Sistem

linear merupakan salah satu cabang Matematik yang digunakan untuk memahami fenomena

dunia. Walau bagaimanapun, kebanyakan sistem fizikal dan fenomena alam semula jadi dalam

kehidupan kita adalah dalam sistem tak linear, seperti bentuk pelangi, struktur binaan manusia,

landasan pergerakan roket dan sebagainya. Oleh yang demikian, kajian terhadap hubungan

antara sistem tak linear dengan sistem linear adalah amat penting dalam kehidupan kita.

1


2/14

x

y

BAHAGIAN 1

! "efinisi persamaan linear dan persamaan tak linear.

#ersamaan $inear% melibatkan satu ungkapan sahaja dengan keadaan kuasa pemboleh

ubah ialah satu. &ontoh% '( ) * + -n, ( +4m

7 , ( +

#ersamaan Tak $inear% dalam satu pemboleh ubah hubungan ketaksamaan antara suatu

sebutan linear dan suatu nombor. &ontoh%p /, k *, 0 1/

! Terdapat pelbagai jenis graf.#ersamaan yang berlainan mempunyai bentuk graf yang

berlainan. Salin dan lengkapkan 2adual .

3il.#ersamaan

$akaran graf 4yatakan persamaan

linear atau persamaan

tak linear

!y=5x

#ersamaan $inear

!x

y =

y

1

x

#ersamaan $inear

! y=2x y

x

#ersamaan $inear

'! y=2x2 - #ersamaan Tak $inear

*! y=4x2

+3 - #ersamaan Tak $inear

5! x=2

1! y=8x3 - #ersamaan Tak $inear

2


3/14

6! y=2x2+x6 - #ersamaan Tak $inear

7! y=3

/! y=2x3+3x+5 - #ersamaan Tak $inear

2adual

! #ersamaan tak linear boleh ditukarkan ke persamaan linear. Salin dan lengkapkan 2adual .

3il. #ersamaan #emalar cmXY += Y X m c

. bxaxy += a,b yx + ax =

b

y

x

x a b

.xb

x

ay +=

a,b y x = ax

+ b

y x x a b

. -+= xb

a

y a,b

'. bxay= a,b

*. qxpxy ++= p,q

5. ( ) -qxqyxp =+ p,q

1. baxxy += a,b

6. ( ),v

bva

P

+=

a,b

7.,x

q

x

py +=

p, q

/.bx

ax

y-

, =

+

a,b

. ( ) mxny ' = m, n

.

knT ,=

K

3


4/14

.( ) T

b

AK = -

A,b

'.( )

'AKP +=

, A

*. ,

kfm

= K

5. ( ) ' cyxk = k, c

1. ( ) tkxy +=+ k, t

6. xay

=

//

A

7. naxy += * a,n

/.

k

aby

x

=

a,b

2adual

BAHAGIAN 2

&uba teroka hubungan persamaan tak linear apabila persamaan tersebut ditukar ke bentuk linear.

$engkapkan ketiga-tiga tugasan berikut.

Tugasan1

2adual menunjukkan nilai-nilai dua pembolehubahxdanyyang diperoleh daripada

suatu eksperimen. #embolehubahxdanydihubungkan oleh persamaany+px) qx, dengan

keadaanpdan qadalah pemalar.

x ' * 5

y * '

2adual

8a! Salin dan lengkapkan 2adual ' dan 2adual * dengan menggunakan nilai-nilai dalam 2adual .

x 1 2 3 4 5 6

y

x

-3 -1 1 3 5 7

4


5/14

2adual '

1

x

1.00 0.50 0.33 0.25 0.20 0.17

y

x2

-3 -0.5 0.33 0.75 1.00 1.17

2adual *

8b! #ada kertas graf yang sama, plot tiga graf yang berasingan. 3erdasarkan

i! 2adual , ploty mela9anx dengan menggunakan skala cm kepada unit pada paksi-x

dan cm kepada / unit pada paksi-y.

ii! 2adual ', plot

x

y

mela9anx dengan menggunakan skala cm kepada unit pada

paksi-xdan cm kepada ' unit pada paksi-x

y

.

iii! 2adual *, plot

,x

y

mela9anx

dengan menggunakan skala cm kepada /. unit pada

paksi-x

dan cm kepada unit pada paksi-

,x

y

.

8c! 3erdasarkan soalan 8b!8ii! dan 8b!8iii!, tukar persamaany+px) qxkepada dua bentuk

hubungan linear yang berlainan. Seterusnya, ungkapkan kecerunan, mdan pintasan-y, c,

dalam sebutanpdan: atau q.

8d! "aripada graf 8b!8ii! dan 8b!8iii!, cari kecerunan dan pintasan-y bagi kedua-dua graf.

;ubungkaitkan nilai-nilai tersebut dengan 8c!.

8e! "engan menggunakan setiap graf anda, cari nilai bagi i! y, apabilax+ .*,

ii! y, apabilax+ '.*


6/14

2adual 5

8a! Salin dan lengkapkan 2adual 1 dengan menggunakan nilai-nilai dalam 2adual 5.

x 5.83 8.00 10.65 13.82 17.58 21.95

log/y 0.15 0.33 0.54 0.79 1.09 1.44

2adual 1

8b! #ada kertas graf yang sama, plot dua graf yang berasingan. 3erdasarkan

i! 2adual 5, ploty mela9anx dengan menggunakan skala cm kepada /.* unit

pada paksi-xdan cm kepada * unit pada paksi-y.

8Mulakan skala pada paksi-xdengan .5!

ii! 2adual 1, plot log/y mela9anxdengan menggunakan skala cm kepada*

unit pada paksi-xdan cm kepada /.* unit pada paksi-log/y.

8c! 3erdasarkan soalan 8b!8ii!, tukar persamaan

-xpqy=

kepada bentuk hubungan linear.Seterusnya, ungkapkan kecerunan, mdanpintasan-y, c, dalam sebutanpdan: atau q.

8d! "aripada graf 8b!8ii!, cari kecerunan dan pintasan-y.

;ubungkaitkan nilai-nilai tersebut dengan 8c!, seterusnya cari nilaipdan nilai q.

8e! "engan menggunakan graf anda, cari nilai bagi

i! y, apabilax+ .*,

ii! x, apabilay+ *.


7/14

x

1.00 0.50 0.33 0.25 0.20 0.17

y

3.39 1.42 0.77 0.44 0.24 0.11

2adual 7

8b! #ada kertas graf yang sama, plot dua graf yang berasingan. 3erdasarkan

i! 2adual 6, ploty mela9anx dengan menggunakan skala cm kepada unit

pada paksi-xdan cm kepada /. unit pada paksi-y.

ii! 2adual 7, plot log/

y

mela9anx

dengan menggunakan skala cm kepada

/. unit pada paksi-x

dan cm kepada /.* unit pada paksi-y

.

8c! 3erdasarkan soalan 8b!8ii!, tukar persamaan

qxp

xy

+=

kepada bentuk hubungan linear.

Seterusnya, ungkapkan kecerunan, mdan pintasan-y, c, dalam sebutanpdan: atau q.

8d! "aripada graf 8b!8ii!, cari kecerunan dan pintasan-y.

;ubungkaitkan nilai-nilai tersebut dengan 8c!.

8e! "engan menggunakan graf anda, cari nilai bagi

i! y, apabilax+ .*,

ii! x, apabilay+ .


8/14

O

3

Y

y = 3x2 + 5

y

xO

X

x x

.

.

.

.

OO

>ajah 8a! menunjukkan lengkung

*-,

+= xy

. >ajah 8b! menunjukkan graf garis lurus yang

diperolehi apabila

*-,

+= xy

diungkapkan dalam bentuk linearcXY += *

.

>ajah 8a! >ajah8b!

?ngkapkan @ dan A dalamsebutan xdan:atauy.

Tugasan 2

y y

8, !

8w, '!

8, *! 8/, u!

>ajah 8a! >ajah 8b!

>ajah 8a! menunjukkan sebahagian daripada lengkung

qxpxy +=

, dengan keadaanp dan q

ialah pemalar.

8a! ;itungkan nilaip dan nilai q,

8b! 2ika lengkung qxpxy +=

ditukar kepada bentuk linear, garis lurus yang diperolehi adalah

seperti yang ditunjukkan dalam >ajah 8b!, hitungkan nilai u dan w.

Tugasan 3

8


9/14

.

.

y

8', ''!

8, '!

O x

>ajah

>ajah menunjukkan sebahagian grafymela9anx. "iberi baha9ax dany dihubungkan oleh

persamaan linear

hkxx

y+=

, dengan keadaan h dan k adalah pemalar.

8a!$akarkan graf garis lurus bagi persamaan tersebut.

8b! ;itungkan nilaih dan k.

Tugasan 4

#embolehubahx dany dihubungkan oleh persamaan

qxpxy +=

,dengan keadaanpdan q

adalah pemalar. Braf garis lurus diperolehi dengan memplotkanx

y

mela9anx, seperti yang

ditunjukkan dalam >ajah '.

x

y

8, 7!

85, !

O x

>ajah '

;itungkan nilaipdan nilai q.

Tugasan 5

>ajah * menunjukkan graf garis lurusx

y

mela9anx.

x

y

8, k!

8h, !

9

.

.


10/14

.

.

.

O x

>ajah *

"iberi baha9ay+ 5xCx, kira nilai bagi kdan h.

Tugasan 6#embolah ubahx dany dihubungkan oleh persamaany+ kx', dengan keadaan k ialah satu

pemalar.

a! Tukar persamaany+ kx'ke bentuk linear.

b! >ajah 5 menunjukkan graf garis lurus log/y mela9an log/x.

log/y

8, h!

8/, !

O log/(

>ajah 5

&ari nilai bagi

8i! log/k,

8ii! h.

Tugasan 7

y

B

A

O x

>ajah 1

>ajah 1 menunjukkan graf

y

mela9an (. 8, *! dan 8, 7! ialah dua titik terletak di atas garis

lurusAB. #ersamaan garis lurusABialah

y

+px) n, dengan keadaanp dan n ialah pemalar.

a! &ari nilaip dan n.

b! &ariyjika diberix+ .

10

.8, 7!

.8, *!


11/14

.

.

.

.

Tugasan 8

a! Terangkan bagaimana satu graf garis lurus dapat dilukis dengan menggunakan persamaan

y

x

p

xqx= +

, dengan keadaanp dan qialah pemalar.

logy

8*, 5!

O 8, /! logx

>ajah 6

b! >ajah 6 menunjukkan graf logy mela9an logx. 4ilaix dan nilaiy dihubungkan dengan

persamaany+

x

k

n,

, dengan keadaan n dan k ialah pemalar. &ari nilai bagi n dan k.

Tugasan 9

log/y

Q 86, 1!

P

O log/x

>ajah 7

>ajah 7 menunjukkan graf log/y mela9an log/x. "iberi baha9aPQ+ / units dan titikP

terletak di atas paksi-logy.

a! &ari kordinat bagi tiitkP.

b! ?ngkapkany dalam sebutanx.

c! &ari nilaiyapabilax+ 5.

11


12/14

Tugasan 10

x

y

8', !

8, !

Ox

>ajah /

>ajah / menunjukkan graf garis lurus

x

y

mela9an

x

.a! &ari persamaan yang menghubungkaitkan pemboleh ubahy danx.

b! #emboleh ubahx dany dihubungkan oleh persamaany+ ax) bx, degnan keadaan a dan b

ialah pemalar.

8i! ?ngkapkan persamaan tersebut dalam bentuk linear.

8ii! 4yatakan kecerunan dan pintasan-ybagi persamaan linear dalam sebutan a dan b.

Tugasan 11

#ersamaan 'y+ 8x !) kmenunjukkan hubungan pemboleh ubahx dany, dengan k ialah

satu pemalar.

a!


13/14

#ersamaan

+=qx

pxy

menunjukkan hubungan pemboleh ubahx dany, dengan keadaanp dan q

ialah pemalar. 2ika graf diplotkany mela9anx, satu lengkung melalui titik

,

dicapai.

2ika graf tersebut diplot dengan

y

mela9anx

, satu garis lurus denagn kecerunan'

dicapai.&ari nilai bagip dan q.

3erdasarkan tugasan yang diberi, nyatakan kesimpulan anda.

PENEROKAAN ANJ!TANTugasan 1

2adual / menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah,xdany, yang diperoleh daripada

satu ujikaji. #emboleh ubahxdanydihubungkan oleh persamaan

,

kxkx

hy +=

, dengan

keadaanhdan kadalah pemalar.

2adual /

8a! Terangkan bagaimana satu garis lurus boleh dilukis untuk menentukan nilai k dan

h .

8b! Seterusnya, gunakan graf untuk mendapatkan nilai kdan h.

Tugasan 2

3erikan sekurang-kurang tiga contoh kehidupan harian yang berkaitan dengan projek anda.

RE"EK#I

Semasa menjalani projek ini, apa yang anda dapat pelajari=


14/14

14

1_projek add math 2016 (bm)

Documents