14342198 cara membaca tabel z

Upload: kerdid-simbolon

Post on 12-Jul-2015

369 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

OUTLINE BAHAN AJAR STATISTIKA DASAR (PAF-201)Kompetensi Umum: Setelah mengikuti matakuliah inimahasiswa diharapkan mampu menyajikan data yang telah dikumpulkan dan mampu menganalisis data statistik secara benar.BAB I. PENDAHULUAN 1.1 Statistik dan Statistika 1.2 Jenis-jenis statistika 1.2.1Statistika Deskriptif 1.2.2Statistika Inferensia1.3Jenis-Jenis Data 1.3.1Data Nominal 1.3.2Data Ordinal 1.3.2Data Interval 1.3.2Data RasioBab II. TEKNIK MENYAJIKAN DATA2.1Pendahuluan2.2Statistik Lima Serangkai 2.3Diagram Dahan dan Daun (Sten-And-Leaf Plot).2.4Tabel Distribusi Frekuensi2.5Histogram2.6Boxplot Bab III. PROBABILITAS3.1Permutasi dan Kombinasi3.2 Definisi probabilitas3.3 Ruang Kejadian dan Ruang Sampel3.4 Kejadian Tunggal 363.5 Kejadian Majemuk3.6 Kejadian Saling Bebas3.7 Kejadian tidak saling bebas 3.8 Atural Bayes (Bayes Rule)Bab IV. DISTRIBUSI PROBABILITAS 4.1 Pengertian variabel random4.2 Distribusi Probabilitas4.3 Distribusi Probabilitas Diskret 4.3.1 Distribusi Binomial 4.3.2 Distribusi Poisson 4.4 Distribusi Probabilitas Kontinu 4.4.1 Distribusi Normal 4.4.2 Distribusi t-StudentBab V. DISTRIBUSI SAMPLING STATISTIK5.1 Distribusi sampling rata-rata5.2 Distribusi sampling selisih dua rata-rata5.3 Distribusi sampling proporsi5.4 Distribusi sampling selisih dua proporsi5.5 Distribusi sampling variansi5.6 Distribusi sampling rasio variansiBab VI.SELANG KEPERCAYAAN6.1 Selang kepercayaan bagi rata-rata6.2 Selang kepercayaan bagi selisih dua rata-rata6.3 Selang kepercayaan bagi proporsi6.4 Selang kepercayaan bagi selisih dua proporsi6.5 Selang kepercayaan bagi variansi6.6 Selang kepercayaan bagi rasio variansi37Bab VII. UJI HIPOTESIS7.1 Uji Hipotesis bagi rata-rata7.2 Uji Hipotesis bagi selisih dua rata-rata7.3 Uji Hipotesis bagi proporsi7.4 Uji Hipotesis bagi selisih dua proporsi7.5 Uji Hipotesis bagi variansi7.6 Uji Hipotesis bagi rasio variansi7.7 Uji Kebaikan Suai (Goodness- of-Fit)DAFTAR PUSTAKA38BAHAN AJAR STATISTIKA DASARTinjauan Mata KuliahMata kuliahStatistika Dasar mengkaji masalah1). Teknikmenyajikan data kuantitatif maupunkualitatif, 2). Kombinasi danpermutasi, 3). Variabel Random Diskret danKontinu4). Probabilitas danDistribusi Probabilitas, 5). Ekspektasi Variabel Random 6). Distribusi Sampling Statistik 7). Selang Kepercayaan dan 8). Uji Hipotesis.Setelahmenyelesaikankuliahstatistikadasar, mahasiswadiharapkanmampu menyajikan data yang telahdikumpulkan, mampu menganalisis data, mampu menarik kesimpulan berdasarkan statistik deskriptif maupun inferensia.Untuk mahamami dan mengaplikasikan materi mata kuliah ini mahasiswa harus secara aktif mengerjakan soal-soal latihan yang ada di buku acuan.39BAB IITEKNIK MENYAJIKAN DATA2.1PendahuluanKumpulandatayangberupahasil pengukuranterhadapvariabel tertentupada umumnya tidak akan memiliki nilai yang persis sama satu dengan lainnya.Variasi nilai-nilai pengamatanini dapat kitalihat melalui poladistribusinnyadanpolaini dapat berguna dalam menentukan karakteristik distribusi dari data tersebut.Penciri numerik yang penting adalah ukuran pemusatan yaitu berupa nilai tempat sebgianbesar dari datatersebut mengumpul, dandistribusi datayangmenunjukkan besarnya rentangan atau jarak persebaran (distribusi) dari titik pusatnya.Dalam BAB ini akan dibahas cara pemeriksaan bentuk atau pola distribusi data dan penetuan karakteristiknya. Pertama yang akan disajikan adalah teknik mencari dan menyajikanstatistiklimaserangkai, yaitunilai minimum, nilai maksimum, median, kuartil 1dankuartil 3, membuat diagramdahan(batang) dandaun(Stem-and-leaf), diagram kotak garis (Boxplot), dan terakhir adalah mengkonstruksi Tabel frekuensi dan histogram.2.2 Statistik Lima Serangkai Statistik lima serangkai,sesuai namanya,terdiri dari serangkaian lima statistik yang terdiri dari nilai minimum, kuartil 1, median (kuartil 2), kuartil 3, dan maksimum. Dalampemahamankelimastatistiklimaserangkai ini akankitalihat dalambentuk bagan sebagai berikut :Misalkan kita mempunyai sekumpulan data, maka data tersebut dapat dipilah-pilah sesuai urutannya menurut kelima statistik lima serangkai tersebut.25% 25% 25% 25%a K1 Median (K2)K3ba =nilai yang paling kecilK1 atau kuartil 1= suatu nilai yang membagi data sedemikian sehingga sekitar 25% dari data tersebut berada di bawahnya. Jadi kuartil 1 adalah suatu nilai yang berada pada posisi dari banyaknya data setelah data tersebut diurutkanKuartil 2 (Median)40Median atau K2 = suatu nilai yang membagi data sedemikian sehingga kira-kira 50% daridatatersebutberada dibawahnya dan 50% berada di atasnya. Jadi Kuartil 2 (Median) adalah suatu nilai yang berada pada posisi dari banyaknya data setelah data tersebut diurutkanK3 atau kuartil 3 = suatu nilai yang membagi data sedemikian sehingga sekitar 25% dari data tersebut berada di atasnya.Jadi Kuartil 3 berada pada posisi dari banyaknya data setelah data tersebut diurutkanb = nilai yang paling besarcontoh 1:Tentukan statistik lima serangkai darai data berikut ini :11 6 17 9 12 4 4 14 20 10 15Jawab:Terlebih dahulu data asal diurutkan dari kecil ke besar :44 6 9 10 11 1214 15 17 20ak1 k2 k3 bBerdasarkan data yang telah terurut, maka diperoleh:nilai minimum =4, kuartil 1=6, median=11, kuartil 3=15 dan nilai maksimum=20contoh 2:Misalkan kita mempunyai sekumpulan data berikut:102 135 76 108 50 104 77 135 102 33116 95 122 130 86 114 109 64 101 3771 130 42 109 71 117 70 109 104 141132 146 138 77 109 109 89 125 109 55126 117 88 71 86 77 72 73 151 8280 105 86 96 70 83 86 88 133 97Tentukanlah statistik lima serangkai untuk kasus data pada contoh 2 di atas !Langkahawal untukmenentukanstatistiklimaserangkai adalahmengurutkan data tersebut:33 37 42 50 55 64 70 70 71 711 2 3 4 5 6 7 8 9 1071 72 73 76 77 77 77 80 82 8311 12 13 14 15 16 17 18 19 2086 86 86 86 88 88 89 95 96 974121 22 23 24 25 26 27 28 29 30101 102 102 104 104 105 108 109 109 10931 32 33 34 35 36 37 38 39 40109 109 109 114 116 117 117 122 125 12641 42 43 44 45 46 47 48 49 50130 130 132 133 135 135 138 141 146 15151 52 53 54 55 56 57 58 59 601. a=332. Nilai K1 berada pada posisi (60+1) = 15.25K1 = X15 + (X16-X15) = 77+ (77-77) =77. 3. Nilai Median (K2) berada pada posisi median : (n+1)/2 = 61/2=30.5Median = (X30+X31) = (97+101)=994. Nilai K3 berada pada posisi (60+1) =, 45.75K3 = 116 + (117-116)=116+ 0.75 = 116.75.3. Nilai maksimum =1512.3Diagram Dahan dan Daun (Sten-And-Leaf Plot).Diagram dahan dan daun disusun baris perbaris secara vertikal, dan cukup efektif dalam menggambarkan pola distribusi data yang berukuran kecil.Seperti dalam istilah pohon, daun melekat pada dahan (batang), jadi dalam hal ini satuan dahan adalah satuan yang terbesar sedangkan daun lebih kecil. Jika angka-angka yang kita miliki berkisar antara00sampai99, makayang dijadikan sebagai dahan adalah puluhan sedanhgkan daunnya adalah satuan.Ketika angka-angka yang kita miliki berkisar antara 0 sampai 9, maka tekni penetuan dahannya adalah sebagai berikut: Untuk angka 0 dan 1 diberi simbol o Untuk angka 2 dan 3 diberi simbol t (two, three) Untuk angka 4 dan 5 diberi simbol f (four, five) Untuk angka 6 dan 7 diberi simbol s (six, seven) Untuk angka 8 dan 9 diberi simbol *Contoh 342Buatlah diagram dahan daun untuk data pada contoh 2!Jawab:Langkah-langkah membuat diagram dahan daun adalah sebagai berikut:1. Menentukan dahan dan daun, dalam hal ini dahannya berupa puluhan dan daunnya adalah satuanDahan daun(puluhan) (satun)33 7 artinya angka 33 dan 3742 artinya angka 4250 5 dst6470 0 1 1 1 2 3 6 7 7 780 2 3 6 6 6 6 8 8 9 95 6 7101 2 2 4 4 5 8 9 9 9 9 9 9 114 6 7 7122 5 6130 0 2 3 5 5 8141 6151 artinya 1512. Menentukan deep (kedalaman)Kedalaman dahan daun 2337 342 5505 6641770011123677727802366668893095673010122445899999917114677131225610130023558 31416 1151Denganbantuandiagramdahandaun, dapat segeradiperolehinformasi tentang statistiklima serangkai. Dalamdiagramdahandaun, posisi mediandata biasanya dinformasikan melaluideep-nya yang diberi tanda ( ) .. Nilai median untuk data di atas = (X30 + X31) = (97+101)=9943contoh 4. Kembali pada soal no. 2. Anggaplah observasi 33 dihilangkan. Tentukan diagram dahan daunnya !dengan prosedur yang sama seperti pada contoh 3, maka diperoleh diagram dahan daun berikut :DeepDahan Daun1 3 72 4 24 5 055 6 416 7 0011123677726 8 023666688929 9 567(13) 10 122445899999917 11 467713 12 25610 13 00235583 14 161 15 1Perhatikan pada kolom deep, angka 13 berada ditandai dengan ( ) artinya bahwa nilai median berada pada baris ini.Posisi median = (59+1) = 30.Dengan mengamati angka deepsebelumnya, yaitu29, makamakanilai mdeiandapat ditentukandenganangka pada posisi 29, 30.Jadi mediannya adalah 101.2.4 Tabel Distribusi Frekuensi dan HistogramJikadatakuantitatifdibuat menjadi kelompok-kelompok, maka akan diperoleh daftar distribusi frekuensi. Tabel distribusi frekuensi akan menjadi lebih informatif lagi ketika disajikan dalam bentuk grafik.Grafik yang menghubungan kelas interval (sumbu datar) dengan frekuensi/frekuensi relatif dinamakan Histogram. Dengan demikian penyajian tabel distribusi frekuensi akan menjadi lebih informatif jika disajikan dalam bentuk histogram. Dalam daftar distribusi frekuensi, banyak objek dikumpulkan dalam kelompok-kelompok dalam bentuk a b yang disebut kelas interval. Ke dalam kelas interval a b ini dimasukan semua data yang bernilai mulai dari a sampai dengan b. Urutan kelas dimulai dari yang terkecil sampai terbesar.Berikut ini akan disajikan bagaimana membuat tabel distribusi frekuensi dan histogram.Andaikan kita mempunyai data berikut (data pada contoh 2).44102 135 76 108 50 104 77 135 102 33116 95 122 130 86 114 109 64 101 3771 130 42 109 71 117 70 109 104 141132 146 138 77 109 109 89 125 109 55126 117 88 71 86 77 72 73 151 8280 105 86 96 70 83 86 88 133 971. Tentukan rentang, yaitu nilai terbesar dikurangi nilai terkecil.Rentang = nilai terbesar nilai terkecilnilai terbesar = 151, nilai terkecil = 33, jadi rentang=151 33 = 1182. Menentukan banyak kelas,Banyak kelas = 1+3.3 log n, n=banyaknya data.n=60, banyakkelas =1+3.3log60=1+3.3(1.778151)=6.867899=7 (dibulatkan)3. Menentukan panjang interval kelas, pHarga p diambil sesuai dengan ketelitian satuan data yang digunakan.Jika data berbentuk satuan, ambil harga p teliti sampai satuan.p=rentang/banyak kelas = 118/7 = 16,85714=17. 4. Pilihujungbawahkelasinterval pertama, untukkasusini bisadiambil sama dengan nilai terkecil atau nilai data yang lebih besar dari nilai terkecil Selanjutnyadaftar / tabel frekuensi dapat dinuat berdasarkannilai-nilai yang sudah diperoleh dari (1) sampai (4).Tabel 2.4.Distribusi frekuensi untuk data pada contoh 2.Batas bawahBatas atasNilaiTitik tengah Frekuensi (f) kelas intervalkelas interval(a+b)/232,5 49,5 33 - 49 41 349,5 66,5 50 - 66 58 366,5 83,5 67 - 83 75 1483,5 100,5 84 - 100 92 10100,5 117,5 101 - 117 109 17117,5 134,5 118 - 134 126 7134,5 151,5 135 - 151 143 6452.5HistogramHistogram adalah sebuah grafik yang dibuat dengan menghubungkan batas-batas bawah untuk setiap kelas interval dari tabel distribusi frekuensi (atau frekuensi kumulatif) dengan nilai frekuensi (atau frekuensi relatifnya). Batas-batas kelas diposisikanataudiletakanpadasumbuhorizonal sedangkanfrekuensi ataufrkuensi relatif pada sumbu vertikal.Misalkan dari contoh tabel distribusi frekuensi akan dibuat histogramnya, maka akan diperoleh :Gambar 2.5.Histogram dari tabel frekeunsi pada Tabel 1.2.6BoxplotBoxplot merupakan penyajian dari statistik lima serangkai.Misalkan kita ingin membuat boxplot berdasarkan data pada contoh 2.Prosedur pembuatannya adalah sebagai berikut :1. Menentukan statistik lima serangkaui; minimum, kuartil 1 (K1), median (Me), kuartil 3 (K3), dan maksimum.2. Menentukan jarak antar kuartil JAK = K3-K13. a. Menentukan batas atau pagar dalam:Batas dalam bawah,BDB = K1-1.5(JAK)Batas dalam Atas, BDA = K3+1.5(JAK)46b.Menentukan batas atau pagar luar:Batas luar bawah,BLB = K1-3(JAK)Batas luar Atas, BLA = K3+3(JAK)4. Menentukan panjang tailtail kiri ditarik dari K1 ke nilai paling kecil yang lebih besar dari BDB.dan nilai-nilai lain yang < BDB merupakan outlier.tail kanan ditarik dari K3 ke nilai paling besar yang lebih kecil dari BDA, dan nilai-nilai yang lebih besar dari BDA merupakan outlier. Contoh lihat data pada contoh:1. Statistik lima serangkai : minimum =33, maksimim = 151, K1=77, 3=116.75, Median = 99.2. JAK = 116.75-77 = 39,753. BDB=17.375, BDA=176.375, BLB=-42.25, BLA=2364. Menentukan tail, tail kiri ditarik dari K1 ke 33, tail kanan ditarik dari K3 ke 151 (Jelaskan mengapa !)Boxplot yang terbentuk adalah : Lihat Gambar 2.Gambar 2.6.Boxplot dari data pada contoh 247 BABIV.DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET DAN KONTINU4.1Pengertian Variabel RandomVariabe random adalah suatu fungsi yang memetakan setiap unsur dalam ruang sampel ke bilangan real.(dalam kasus distribusi diskret ruang sampelnya merupakan ruang sampel diskret (Countable), sehingga variabel randomnya mungkin 0,1,2,).Misalkan suatu percobaan melempar koin setimbang sebanyakn 3 kali, X menyatakan banyaknya sisi muka (M) yang muncul, dan P(X)=P(X=x) = probabilitas muncul Msebanyakx, sehingganilai-nilai variabel randomXyangmungkinadalah X=0,1,2,3. Jika dinyatakan dalam sebuah pemetaan maka akan tampak seperti terlihat pada gambar berikut :Gambar 4.1.Pemetaan dari ruang sampel (RS) ke Bilangan Riil (X)4.2 Distribusi ProbabilitasDistribusi probabilitaspadaprinsipnyamendistribusikanprobabilitaskesetiap variabelrandomyangbersesuaian. Perhatikan kembali contoh percobaan pelemparan sebuah koin seimbang sebanyak tiga kali, variabel random , X=0, 1, 2, dan 348P(X=0)=P(BBB)=1/8P(X=1)=P(MBB)+P(BMB)+P(BBM)=1/8 + 1/8 + 1/8 =3/8P(X=2)=P(MMB)+P(MBM)+P(BMM)=1/8 + 1/8 + 1/8 =3/8P(X=3)=P(MMM) =1/8Sehingga tabel distribusi frekuensinya adalah :X 0 1 2 3P(X)81838381Contohlainnya, dari percobaanyangsama, misalkanYmenyatakanbanyaknyasisi belakang (B) yang muncul, dan P(Y)=P(Y=y) = probabilitas muncul B sebanyak y kali . jika sebuah koin setimbang dilempar 3 kaliY= 0, 1, 2, 349Y 0 1 2 3P(Y)=P(Y=y)81838381Distribusi probabilitas ini dapat diringkas ke dalam suatu fungsi probabilitasa. Untuk Variabel random XP(X=x)' s e l a i n n y a x u n t u kx u n t u kx u n t u kx X P, 02 , 1 ,833 , 0 ,81) (Atau dapat diringkas50'

,_

,_

,_

s e l a i n n y a x u n t u k lx u n t u kxnx X Px x, 03 , 2 , 1 , 0 ,21121) (3untuk variabel Y sama caranya dengan kasus variabel X (coba sendiri)Kita lihat bahwa distribusi probabilitas untuk variabel X dan Y sama, maka variabel X dan Y mempunyai distribusi identik.Fungsi Distribusi Kumulatif (Cumulatif Distribution Function, disingkat CDF) dilambangkan denganF(x).Definisi :fungsi F(x) disebut Fungsi Distribusi Kumulatif jika dan hanya jika 3 kondisi berikut terpenuhi:a.1 ) ( l i m , 0 ) ( l i m x F d a n x Fx xb. F(x) bukan fungsi yang monoton turunc. F(x) kontinu dari kananKita kembali ke contoh pelemparan sebuah koin dengan x menyatakan banyakanya sisi M muncul.x semua untuk i X P x X P x Fxi, ) ( ) ( ) (1 51'< < < < < < xxxxxx F3 , 13 2 ,872 1 ,841 0 ,810 , 0) (Dengan cara yang sama, fungsi distribusi kumulatif bagi Y dan hasilnya akan sama.Rata-rata atau nilai ekspektasi dan variansi variabel diskret dapat dicari dengan menggunakan rumus sebagai berikut : Misalkan X adalah suatu variabel random diskret dengan fungsi massa probabilitas (fmp) P(X)=P(X=x), nii inii inii iX P X X E X Harapan Nilaidardeviasi SX P X X VariansiX P X X Mean1212 2 21) ( ) (tan) () ( Penurunanrumus mean dan variansi berasal dari Nilai harapan (Expected Value),Mean = E(X) = dan Variansi dari variabel random X, atau disingkat Var(X) berasal dari definisi sebagai berikut:Var(X) =E(X-E(X))2 (di statistika lanjutan definisi ini selalu digunakan),karena E(X)= , maka VariansiVar(X) =E(X- )2 , selanjutnya dapat diuraikan52 + + + nii inii inininii i i i inii i inii iX P XX P XX P X P X X P XX P X XX P X X Var12 212 21 1 12 212 212) (2 ) () ( ) ( 2 ) () ( ) 2 () ( ) ( ) ( Untuk suatu distribusi yang probabilitas setiap titik sampelnya sama (probabilitas serba sama P(Xi)=1/n untuk semua i=1,2,n), jika ada n tindakan atau peristiwa, maka :XnXMeannii 1Sifat-Sifat Nilai HarapanMisalkan a dan b suatu konstanta, X adalah variabel random dengan mean (X) = dan Variansi (X)=Var(X)=2 , dan misalkan Y=a+bX, maka ( )( )2 2 2 2 22 22 22 22 2 2 2 2 2 2) var( )) ( ()) ( ( )) ( () ( )) ( ( ()) ( ( )) ( ( ) ( . 5) ( )) ( ( )) ( ( ( )) ( ( ) ( . 4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( . 3) ( ) ( ) ( ) ( . 2) ( ) ( ) ( . 1b X b X E X E bX E X b E X bE bX EX bE a bX a E X bE a X a EbX a E bX a E Y E Y E Y Vara X Var a X E X E a X E X a E aX E aX E aX Varb a X P X b X P a X P bX a bX a E Y Ea X aE X P X a X P aX aX Ea X P a X aP a Ei i i i ii i i ii i + + + + + + + + + 4.3 Distribusi Probabilitas Diskret534.3.1Distribusi BinomialSeperti telah diketahui bahwa distribusi bernoulli adalah sebuah percobaan yang dilakukandenganhanyaterjadi duakemungkinan, yaitusuksesataugagal. Dengan demikian dalam distribusi bernoulli ini parameter yang ada hanya satu yaitu probabilitas sukses (p).Jikadalampercobaanbernoulli ini dilakukanberulang-ulangsebanyaknkali maka akan mengikuti distribusi binomial.Jadi distribusi binomial merupakan perobaan yang hanya mempunyai dua kemungkinan, yaitu sukses dan gagal dengan probabilitas tertentu yang tetap danpercobaannya diulang sebanyak nkali. Dengan demikian parameternya ada dua yaitu banyaknya percobaan (n) dan probabilitas suskes (p).Contoh :Banyaknya percobaan ada n dan dalam setiap kali kejadian dalam satu percobaan tertentu ada dua kemungkinan kejadian yaitu sukses atau gagal. Misalkan probabilitas sukses=p. probabilitassukses(p) antar kejadiantetap(konstan) danmendekati 0.5. Misalkan Xadalah variabel randomyang berdistribusi binomdengan probabilitas suskses p dan banyaknya percobaan n, probabilitas binom atau disebut juga fungsi massa probabilitas binom didefinisikan:Cara penulisan P(X) = P(X=x) untuk distribusi diskret.P(X)='

,_

s e l a i n n y a xn x p pxnx X Px n x, 0. . . 3 , 2 , 1 , 0 , ) 1 () (Sifat=sifat1.1 ) (0nxX P2. P(X) 054) 1 ) 1 (''() 1 ('') 1 () ! ' ( ) ) ! ' ' () ! ' () 1 ' ( ' 1 ' , 0 ' 1, 1 ' , 1 ' ;) 1 () ! 1 ( ) ) ! 1 ( ) 1 ( () ! 1 () 1 ( .) ! 1 ( ) ) ! 1 ( ) 1 ( () ! 1 . () 1 ( ) 1 ( t a n , ) 1 ( .) ! 1 ( ) ! (!) 1 (! ) ! (!) 1 (0 ) 0 ( . 0 ( ) () ( . . . ) 1 ( 1 ) 0 ( 0 ) ( ) ('0 '' ' ''0 '' ' ''0 '' ' '111) 1 ( ) 1 ( 1111110

,_

,_

,_

+ + + nxx n xnxx n xnxx n xnxx n xnxx n xnxx n xnxx n xnxx n xnxnxp pxnk ar e na npp pxnnpp px x nnnpn n k ar e na n n x n x unt uk x x unt ukx x n n Mi s al k anp px x nnnpp p px x nn nx n x n c at a p p px x nnp px x nnxp pxnxX P k ar e na X XPn PX n X P X P X XP X E Me an55Variansi (X)= Var(X)Var (X) = E(X2)-(np) 22 2) ( ) ( ) ( np X P X X Var perhatikan bahwa X2 = X2 X + X = X(X-1) + X, sehingga222) ( ) ( ) 1 ( ) () ( ) ( ) ( ) 1 ( ) () ( ) ( ] ) 1 ( [ ) (np np X P X X X Varnp X P X X P X X X Varnp X P X X X X Var + + + + perhatikan X(X-1)P(X), untuk x=0 dan 1, maka nilai X(X-1)P(X)=0, jadi x mulai dari 21]1

,_

1 ) 1 (! ' ) ! ' ' (! ') 1 () 1 (! ' ) ! ' ' (! ') 1 ( ) ( ) 1 (, ' ' ) 2 ( ) 2 (' 2 ' , 0 ' 2 , 2 ' , 2 ' ;) 1 () ! 2 ( ) ! () ! 2 () 1 () 1 () ! 2 ) ( 1 ( ) ! () ! 2 ) ( 1 () 1 () 1 (! ) ! (!) 1 () 1 ( ) 1 ( ) ( ) 1 (' ' ''0 '2' ' ''0 '22) 2 ( ) 2 ( 2222 2222 2x n xnxx n xnxnxx n xnxx n xnxx n xnxx n xnxnxp px x nnk a r e n a p n np px x nnp n n X P X Xs e h i n g g a x n x n x n d a nn n x n x u n t u k x x u n t u k n n x x Mi s a l k a np px x nnp n np p px x x x nn n nx xp px x nnx xp pxnx x X P X XJadiVar(X) = n(n-1)p2 + np (np)256= (n2 -n)p2 + np (np)2= n2p2- np2+ np - n2p2= - np2+ np = np(1 p) Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa jika X berdistribusi binomial maka rata-rata atau meannya=np dan Variansinya sama dengan np(1-p)4.3.2Distribusi PoissonDistribusi ini dicirikan oleh nilai probabilitas keberhasilan (probabilitas sukses) sangatkecildanbanyaknyapercobaanatautindakansangatbesar. MenurutSudjana ciri-ciri distribusi poisson ini adalah jika np < 5 untuk n minimal 50. (n 50)Fungsi Probabilitas dari X yang berdistribusi poisson:! xe) x X ( P ) X ( Px dan fungsi distribusi Kumulatif : x0 xx! xe) x X ( P ) x ( Fjadi dalam hal ini distribusi poisson hanya mempunyai 1 parameter, yaitu .Mean dan Variansi57) 1! '(! '' , 0 ' 1, 1 ' ;)! 1 ()! 1 (!0 ) 0 ( . 0 ( ) () ( ... ) 1 ( 1 ) 0 ( 0 ) ( ) (0 ''0 ''1111110 + + + xxxxxxxxxxxxxexex x untuk x x untukx x Misalkanxex xexxexX P karena X XPn PX n X P X P X XP X E Mean 2 2) ( ) ( X P X X Varperhatikan bahwa X2 = X2 X + X = X(X-1) + X, sehingga222) ( ) 1 ( ) () ( ) ( ) 1 ( ) () ( ] ) 1 ( [ ) ( + + + X P X X X VarX P X X P X X X VarX P X X X X Var58) 1! '(! '' , 0 ' 2, 2 ' ;)! 2 ()! 2 )( 1 () 1 (!) 1 () ( ) 1 () 1 0 , 0 ) ( ) 1 ( ( ), ( ) 1 ( )) 1 ( (0 ''20 ''212222 2220 xxxxxxxxxxxxxexex x untuk x x untukx x Misalkanxex x xex xxex xX P X Xx dan x untuk X P X X X P X X X X E Jadi Variansi = Var (X) = 2 + - 2 =Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa jika X berdistribusi binomial maka rata-rata atau meannya=dan Variansinya sama dengan .4.4Distribusi Variabel Random Kontinu Bahasanpadadistribusi kontinuini lebihditekankanpadadistribusi normal karena dalambeberapa kajian statistika parametrik distribusi ini sering digunakan. Dalam pengujian hipotesis, seperti uji signifikansi parameter regresi sering kita jumpai statistik uji t (t-student), oleh karena itu dalam selain distribusi normal, pada bahasan ini juga akan disinggung sedikit mengenai distribusi student.Sebagai pengantar ke distribusi normal, pada bagian awal akan diberikan kasus distribusi kontinu untuk kasus fungsi probabilitas yang sederhana.4.4.1 Distribusi Normal Distribusi Normal menjadi sangat penting dalam bidang statistika karena merupakan dasar bagi pengambilan keputusan(inferensia statistika), Grafaiknya disebutkurva 59normal.KurvaNormaladalah kurva yang berbentuk genta (lonceng) seperti terlihat pada Gambar 4.4.1Kurva normal simetrik terhadap suatu garis tegak yang melalui mean .Luas daerah di bawah kurva ini sama dengan 1.Gambar 4.4.1Kurva NormalFungsi probabilitas normal bergantung pada nilai mean ( ) dan standar deviasi ( , akar kuadrat dari variansi).Fungsinya adalah sebagai berikut :0 , ,71828 . 2 ,722, ,21) (2) (21> 2Kurva 2Kurva 1Kurva 1 Kurva 24.4.2 Distribusi Normal BakuDapat dimengerti bahwa terdapat tak hingga banyaknya distribusi normal dengan berbagai mean( )danstandardeviasi ( ), tetapi untunglahsemuadistribusi dapat diakomodasi ke dalam sebuah tabel distribusi normal baku. Pada prinsipnya untuk setiap variabel random X yang berdistribusi normal dengan mean dan standar deviasi , transformasi XZakan menghasilkandistribusi normaldenganmean0dan standar deviasi 1 yang disebut dengan distribusi normal baku. Distribusi asal dan distribusi hasil transformasi diilustrasikan dalam Gambar 4.4.Bila X berada diantara X= x1dan X=x2, maka variabel random Z akan berada diantara nilai-nilai padanannya, yaitu.2211 xz danxzLuas daerah di bawah kurva X antara x1 dan x2 sama dengan luas di bawah kurva Z antara z1 dan z2.Dengan demikianP(x1