14 metode cross

Click here to load reader

Post on 18-Jan-2017

240 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • 11/24/2014

    1

    TKS 4008 Analisis Struktur I

    TM. XXII : METODE CROSS

    Dr.Eng. Achfas Zacoeb, ST., MT.

    Jurusan Teknik Sipil

    Fakultas Teknik

    Universitas Brawijaya

    Outline Metode Distribusi

    Momen

    Momen Primer

    (Mij)

    Faktor Kekakuan

    (Kij)

    Faktor Distribusi

    (FDij)

    Tabel Distribusi

    Momen (Cross)

  • 11/24/2014

    2

    Pendahuluan

    Pertama kali diperkenalkan oleh Hardy Cross (1993)

    dalam bukunya yang berjudul Analysis of Continuous

    Frames by Distributing Fixed End Moments.

    Sebagai penghargaan, metode distribusi momen juga

    dikenal dengan metode Cross.

    Salah satu metode yang digunakan dalam analisis

    struktur balok dan portal statis tak tentu.

    Pendahuluan (lanjutan)

    Metode distribusi momen didasarkan pada asumsi sebagai

    berikut :

    1. Perubahan bentuk (deformasi) akibat gaya normal dan

    gaya geser diabaikan, sehingga panjang batang-

    batangnya tidak berubah (konstan).

    2. Semua titik simpul (buhul) dianggap kaku sempurna.

  • 11/24/2014

    3

    Pendahuluan (lanjutan)

    Proses analisis dilakukan dengan distribusi momen dan

    induksi (carry over) terhadap momen primer (fixed end

    moment) sebanyak beberapa putaran (iterasi) sehingga

    diperoleh keseimbangan di setiap titik simpul.

    Hal ini dilakukan karena momen primer yang bekerja

    di setiap simpul suatu struktur tidak sama besar

    nilainya, sehingga simpul dalam keadaan tidak

    seimbang.

    Pendahuluan (lanjutan)

    Untuk mencapai kondisi seimbang, simpul melakukan

    perputaran sehingga momen primer di masing-masing

    simpul sama dengan nol.

    Proses distribusi dan induksi secara manual biasanya

    dilakukan sebanyak 4 putaran (iterasi), sehingga semua

    simpul dianggap sudah dalam keadaan seimbang atau

    mendekati nol.

  • 11/24/2014

    4

    Definisi

    Ada beberapa definisi yang digunakan dalam metode

    distribusi momen, yaitu :

    1. Momen Primer (Mij)

    2. Faktor Kekakuan (Kij) dan Momen Induksi (MIij)

    3. Faktor Distribusi (FDij)

    Mij

    1. Momen Primer

    Momen primer adalah momen yang terjadi pada

    ujung batang sebagai akibat dari beban-beban yang

    bekerja di sepanjang batang.

    Besarnya momen primer sama dengan momen jepit

    (momen reaksi) dengan tanda atau arah yang

    berlawanan (dengan kata lain, momen jepit atau

    momen rekasi merupakan kebalikan dari momen

    primer dan disebut juga dengan momen perlawanan).

  • 11/24/2014

    5

    Mij (lanjutan)

    Momen primer biasanya digambarkan melengkung ke

    luar pada bagian dalam ujung batang dengan arah

    tertentu sesuai dengan pembebanan.

    Arah momen primer didasarkan pada kecenderungan

    melenturnya batang (seolah-olah batang akan patah

    akibat momen yang bekerja di ujung batang), untuk

    lebih jelasnya dapat dilihat pada Gambar 1.

    Mij (lanjutan)

    Gambar 1. Momen Primer dan Momen Reaksi

  • 11/24/2014

    6

    Kij

    2. Faktor Kekakuan dan Momen Induksi

    Untuk mengetahui faktor kekakuan dan momen

    induksi, dapat diuraikan berdasarkan persamaan

    slope deflection (sudut kemiringan lendutan) pada

    masing-masing jenis batang seperti ditunjukkan pada

    Gambar 2 untuk kondisi jepit-jepit dan Gambar 3

    untuk kondisi jepit-sendi.

    Kij (lanjutan)

    Gambar 2. Batang Jepit-Jepit

  • 11/24/2014

    7

    Kij (lanjutan)

    Gambar 2, batang prismatis AC dengan tumpuan

    jepit-jepit.

    Di ujung A (simpul) bekerja momen distribusi momen

    sebesar MAC dengan sudut kemiringan lendutan

    sebesar A.

    Sedangkan ujung B (tumpuan jepit) berhak menerima

    momen induksi sebesar MCA dengan arah yang sama.

    Sehingga diperoleh persamaan :

    A2 - A1 = A dan C2 - C1 = 0

    Kij (lanjutan)

    Akibat pengaruh momen distribusi MAC akan

    menimbulkan rotasi dengan sudut kemiringan lendutan

    pada kedua ujung batang sebesar :

    =

    dan =

    Selanjutnya pengaruh momen induksi MCA akan

    menimbulkan rotasi dengan sudut kemiringan lendutan

    pada kedua ujung batang sebesar :

    =

    dan =

  • 11/24/2014

    8

    Kij (lanjutan)

    Dengan demikian :

    C2 - C1 = 0

    = =

    A1 - A2 = A

    =

    =

    = =

    Kij (lanjutan)

    Jika A = 1 rad, maka :

    =

    Nilai momen ini disebut kekakuan batang AC yang

    diberi notasi KAC.

    Dengan demikian kekakuan batang untuk tumpuan

    jeit-jepit dapat dihitung dengan rumus :

    =

  • 11/24/2014

    9

    Kij (lanjutan)

    Gambar 3. Batang Jepit-Sendi

    Kij (lanjutan)

    Gambar 3, batang prismatis AD dengan tumpuan

    jepit-sendi.

    Di ujung A (simpul) bekerja momen distribusi momen

    sebesar MAD dengan sudut kemiringan lendutan

    sebesar A.

    Sedangkan ujung D tidak berhak menerima momen

    induksi karena tumpuan sendi atau MDA = 0.

    Sehingga diperoleh persamaan :

    A2 - A1 = A

  • 11/24/2014

    10

    Kij (lanjutan)

    Akibat pengaruh momen distribusi MAD akan

    menimbulkan rotasi dengan sudut kemiringan lendutan

    pada ujung batang A sebesar :

    =

    Jika A = 1 rad, maka :

    =

    Nilai momen ini disebut kekakuan batang AD yang

    diberi notasi KAD.

    Kij (lanjutan)

    Dengan demikian kekakuan batang untuk tumpuan

    jepit-sendi dapat dihitung dengan rumus :

    =

    Sehingga dapat disimpulkan bahwa :

    1. Kekakuan batang dengan tumpuan jepit-jepit adalah :

    =

    .

    2. Kekakuan batang dengan tumpuan jepit-sendi adalah :

    =

    .

  • 11/24/2014

    11

    FDij

    3. Faktor Distribusi

    Jika pada struktur portal bekerja momen primer

    sebesar M di simpul A (lihat Gambar 4), maka

    masing-masing ujung batang simpul A akan terjadi

    distribusi momen sebesar MAB, MAC, dan MAD

    dengan arah berlawanan dengan momen primer M.

    Hal ini akibat simpul A dianggap kaku sempurna

    (perfect rigid), sehingga batang-batang berputar

    menurut garis elastisnya untuk mendapatkan kondisi

    keseimbangan (equilibrium).

    FDij

    Untuk mencari besarnya faktor distribusi dan momen

    distribusi dapat dihitung berdasarkan Gambar 4.

    Gambar 4. Distribusi Momen

  • 11/24/2014

    12

    FDij (lanjutan)

    Dari Gambar 4 :

    Pada batang AB terjadi rotasi sebesar A akibat

    pengaruh MAB.

    Pada batang AC terjadi rotasi sebesar A akibat

    pengaruh MAC.

    Pada batang AD terjadi rotasi sebesar A akibat

    pengaruh MAD.

    Jadi keseimbangan simpul A adalah :

    M = MAB + MAC + MAD

    FDij (lanjutan)

    Jika KAB, KAC, dan KAD merupakan faktor kekakuan

    masing-masing batang AB, AC, dan AD, maka :

    MAB = KABA ; MAC = KACA ; MAD = KADA

    Jadi :

    = + +

    =

    =

  • 11/24/2014

    13

    FDij (lanjutan)

    Dengan demikian akan diperoleh :

    =

    =

    =

    FDij (lanjutan)

    Sehingga dapat disimpulkan bahwa :

    1. Faktor distribusi (FD) adalah perbandingan kekakuan

    batang (K) dengan kekakuan batang total di titik

    simpul (K).

    =

    2. Momen distribusi (MD) adalah hasil perkalian faktor

    distribusi (FD) dengan momen primer (M).

    MD = MFD

  • 11/24/2014

    14

    Prosedur

    Langkah-langkah analisis struktur dengan metode Cross :

    1. Carilah momen primer, M untuk masing-masing

    bagian batang.

    2. Tentukan faktor kekakuan, K (stiffness factor).

    3. Tentukan faktor distribusi, FD (distribution factor).

    4. Buat tabel Cross.

    5. Sebagai kontrol, momen pada satu titik berlawanan

    tanda atau jumlahnya sama dengan 0.

    Prosedur (lanjutan)

    6. Pada penggambaran bidang momen, tanda

    penggambaran berlawanan dengan hasil perhitungan

    momen untuk sebelah kiri titik dukung.

    7. Sedangkan untuk daerah momen sebelah kanan titik

    dukung , pada gambar selalu bertanda sama dengan

    hasil perhitungannya.

  • 11/24/2014

    15

    Contoh

    Diketahui struktur balok menerus 3 bentang seperti pada

    gambar berikut :

    Contoh (lanjutan)

    1. Momen Primer :

    =

    =

    =

    . = kNm

    =

    =

    +

    +

    =..

    +

    . +

    ..

    = kNm

    =

    =

    .

    .= , kNm

  • 11/24/2014

    16

    Contoh (lanjutan)

    2. Faktor Kekakuan dan Faktor Distribusi :

    Simpul B

    Kekakuan batang :

    =

    =

    = ,

    =

    =

    = ,

    =

    Faktor distribusi :

    =

    =,

    ,= ,

    =

    =,

    ,= ,

    =

    Contoh (lanjutan)

    Simpul C

    Kekakuan batang :

    =

    =

    = ,

    =

    =

    = ,

    = ,

    Faktor distribusi :

    =

    =,

    ,= ,

    =

    =,

    ,= ,

    =

  • 11/24/2014

    17

    Contoh (lanjutan)

    3. Distribusi Momen Untuk mendapatkan kondisi seimbang, dilakukan distribusi

    momen pada masing-masing simpul dengan bantuan tabel

    (Tabel Cross).

    Diusahakan Tabel Cross dibuat sedemikian rupa sesuai

    kebutuhan (penempatan titik simpul dan batang dengan posisi

    y

View more