1001 soal pembahasan uts kalkulus i

Upload: anwar-edogawa

Post on 10-Oct-2015

137 views

Category:

Documents


16 download

DESCRIPTION

kalkulus

TRANSCRIPT

  • 5/20/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i

    1/80

    iii

    DDDDAFTAR ISI

    KATA PENGANTAR ......................................................................... iDAFTAR ISI ....................................................................................... iiiSOAL - SOAL ....................................................................................... 2

    UTS Genap 2009/2010 ................................................................................ 3

    UTS Ganjil 2009/2010................................................................................ 4

    UTS Genap 2008/2009 ................................................................................ 5

    UTS Pendek 2008/2009 ................................................................................ 6

    UTS 2007/2008 ............................................................................................ 8

    UTS 2006/2007 ............................................................................................ 9

    UTS 2005/2006 .......................................................................................... 10UTS 2004/2005 .......................................................................................... 11

    UTS 2003/2004 .......................................................................................... 12

    UTS 2002/2003 .......................................................................................... 13

    UTS 2001/2002 .......................................................................................... 14

    UTS 2000/2001 .......................................................................................... 15

    UTS 1999/2000 .......................................................................................... 17

    PEMBAHASAN .................................................................................. 19

    UTS Genap 2009/2010 .............................................................................. 20UTS Ganjil 2009/2010.............................................................................. 24

    UTS Genap 2008/2009 .............................................................................. 27

    UTS Pendek 2008/2009 .............................................................................. 32

    UTS 2007/2008 .......................................................................................... 39

    UTS 2006/2007 .......................................................................................... 43

    UTS 2005/2006 .......................................................................................... 49

    UTS 2004/2005 .......................................................................................... 56

    UTS 2003/2004 .......................................................................................... 60

    UTS 2002/2003 .......................................................................................... 65UTS 2001/2002 .......................................................................................... 69

    UTS 2000/2001 .......................................................................................... 71

    UTS 1999/2000 .......................................................................................... 76

  • 5/20/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i

    2/80

    1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I

    2

  • 5/20/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i

    3/80

    1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I

    3

    INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM

    UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 2009-2010

    Mata Kuliah : Kalkulus 1 MA 1114

    Jumat, 9 April 2010

    UTS Genap 2009/2010

    1. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan

    a.14

    2 2

    +

    xx

    b. 25 xx

    2. Diketahui ( ) xxf 2sin= dan ( ) 2= xxg

    a. Tentukan ggff RDRD dan,,,

    b. Periksa apakah fg o dan gf o terdefinisi ?

    c. Bila ya, tentukan fgD o dan gfD o

    3. Diketahui ( )

    >

    +x yaitu 1>x . Jadi himpunan penyelesaian yang

    dimaksud adalah { }1>xx .

    b. ( )ixx ....25

    Dengan menggunakan definisi dari nilai mutlak untuk 5x , kita

    peroleh untuk 5x pertaksamaan (i) secara berturut turut

    diselesaikan sebagai berikut

    ( ) 25 xx 252 xx

    ( ) ( ) 22252

    25 x

    ( )4332

    25 x

    3321

    25 x

    33332

    1

    2

    5

    2

    1

    2

    5 xataux

  • 5/20/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i

    21/80

    1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I

    21

    333321

    25

    21

    25 + xx

    yang memberikan penyelesaian

    ( ){ } .33533332

    1

    2

    5

    2

    1

    2

    5

    2

    1

    2

    51 +=+= xxxxxxHp

    Sedangkan untuk ,5

  • 5/20/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i

    22/80

    1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I

    22

    c. Menetukan fgD o dan gfD o

    Karena fg o tidak terdefinisi, maka fgD o tidak dapat

    ditentukan. Selanjutnya menurut definisi diperoleh

    ( ) fggf DxgDxD =o Rxx = 2),2[

    { }022 = xx { }2= xx

    3. Diberikan ( )

    >

    xf yaitu pada selang ( ) ( )1,00,1

    - f monoton turun jika ( ) 0' xf yaitu pada2

    1

    2

    1 ,0,

    - fcekung ke bawah jika ( ) 0"

  • 5/20/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i

    24/80

    1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I

    24

    PEMBAHASAN

    UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2009-2010

    Mata Kuliah : Kalkulus 1 MA 1114

    UTS Ganjil 2009/2010

    1. Menentukan himpunan penyelesaian pertaksamaan .312

  • 5/20/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i

    25/80

    1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I

    25

    Jangan terkecoh dengan kerumitan dari penampakan fungsi f.

    Perhatikan bahwa untuk 1

  • 5/20/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i

    26/80

    1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I

    26

    ( )( )21

    1'

    =

    xxf

    Karena ( ) 0' xf yaitu untuk 1>x , dan cekung ke

    bawah jika ( ) 0"

  • 5/20/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i

    27/80

    1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I

    27

    PEMBAHASAN

    UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 2008-2009

    Mata Kuliah : Kalkulus 1, MA 1114

    Jumat, 17 April 2009UTS Genap 2008/2009

    1. Menentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

    ( )ixx ......2121 +

    Menurut definisinya

    ( )

  • 5/20/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i

    28/80

    1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I

    28

    2. Menentukan persamaan garis singgung dari 3322

    =+ xxxy yang

    tegak lurus dengan garis xy+1 = 0.

    Kita tahu bahwa y merupakan gradient dari garis yangmenyinggung kurva. Karena garis singgung yang dimaksud tegak

    lurus dengan garis 01 =+yx yang memiliki kemiringan 1, maka

    gradient garis singgung yang kita cari haruslahy= -1/1 = -1.

    Kemudian dengan menurunkan persamaan kurva yang diberikan

    secara implisit terhadapx dan menyelesaikannya untuky diperoleh

    secara berturut turut hasil berikut

    ( ) ( )332 2 xx DxxxyD =+ 034' =++ xxyy

    34' = yxxy

    x

    yxy

    34'

    =

    Karena garis singgung yang akan dicari memiliki kemiringan -1,

    maka kita memperoleh

    134

    =

    x

    yx

    xyx = 34

    35 = xy

    Substitusikan ke persamaan kurva awal memberikan

    332)35(2

    =+ xxxx

    33 2 =x 1=x

    untuk 1=x diperoleh

    2=y dan untuk 1=x diperoleh 8=y .

    Jadi kita memiliki 2 buah titik singgung yakni (1,2) dan (-1,-8).

    - Di titik (1,2) persamaan garis singgungnya adalah

    ( )12 = xy atau 3+= xy (ans)- Di titik (-1,-8) persamaan garis singgungnya adalah

    ( )18 +=+ xy atau 9= xy (ans)

  • 5/20/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i

    29/80

    1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I

    29

    ( )xf"1

    o ++++++++

    3. Diberikan fungsi ( )1

    32

    +=

    x

    xxf .

    a. Menentukan selang kemonotonan dan titik ekstrim (bila ada)

    ( ) ( ) ( )( ) ( )

    ( )

    ( )( )

    ( )22

    2

    2

    22

    2

    2

    1

    13

    1

    32

    1

    322

    1

    312'

    +=

    =

    =

    +=

    x

    xx

    x

    xx

    x

    xxx

    x

    xxxxf

    - f(x) monoton naik jika ( ) 0' >xf yaitu pada (-,-1) dan (3,)

    - f(x) monoton turun jika ( ) 0' xf yaitu pada selang (1,)

    - f(x) cekung ke bawah jika ( ) 0"

  • 5/20/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i

    30/80

    1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I

    30

    c. Menentukan Asimtot

    - Asimtot datar/miring (berbentuky = ax+b)

    x

    xfa

    x

    )(

    lim=

    xx

    x

    x )1(

    3

    lim

    2

    +=

    xx

    x

    x

    +=

    2

    2 3

    lim

    11

    1

    31

    lim1

    1

    31

    lim

    2

    2

    2

    2

    =

    +

    =

    +

    =

    x

    x

    xx

    xx

    xx

    axxfbx

    =

    )(lim x

    x

    x

    x

    +=

    1

    3lim

    2 ( )

    1

    13lim

    2

    +=

    x

    xxx

    x

    1

    3lim

    +=

    x

    x

    x

    11

    41lim =

    +=

    xx

    jadif memiliki asimtot miring ( )0a yaitu 1+=xy (ans)

    - Asimtot tegak (berbentukx= c)

    Karena ( ) =

    +=

    1

    3limlim

    2

    11 x

    xxf

    xx

    maka x = 1 merupakan

    asimtot tegak. (ans)

    d. Grafik fungsi

  • 5/20/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i

    31/80

    1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I

    31

    6

    5 x

    y

    P

    x

    y

    l

    4. Menentukan luas maksimal segi empat seperti pada gambar di

    samping.

    perhatikan gambar di samping !

    Titik P dapat bergerak sepanjang garis l .persamaan garis ladalah

    50

    5

    06

    0

    =

    xy 6

    5

    6+= xy

    Luas segi empat yang diarsir adalah

    ( ) tinggialasxL .=

    ( ) 50;65

    6

    65

    6

    .

    2+=

    +==

    xxxxxyxxL

    Nilai maksimum ( )xL terletak pada titik kritisnya, yaitu pada titik

    stasioner atau pada ujung interval domain ( )xL . Titik stasioner

    terjadi ketika ( ) 0' =xL yakni

    2

    5

    5

    12 06 ==+ xx

    Jadi sekarang kita memiliki tiga buah titik kritis, yaitu2

    5=x yang

    berasal dari titik stasioner dan x = 0,x = 5 yang berasal dari ujung

    interval domainL(x) . untuk mengetahui nilai maksimum dariL(x),

    kita evaluasi nilai L(x) pada titik - titik kritis tersebut, yakni

    ( )2

    15

    2

    5 =L ,

    ( ) 00 =L ,

    ( ) 05 =L .

    jadiL(x) mencapai nilai maksimum pada2

    5=x dengan luas2

    15 .

  • 5/20/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i

    32/80

    1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I

    32

    PEMBAHASAN

    UJIAN TENGAH SEMESTER PENDEK 2008-2009

    Mata Kuliah : Kalkulus 1, MA 1114

    Tanggal : Senin 27 Juli 2009UTS Pendek 2008/2009

    1. Menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan

    a.2

    3

    1

    1

    + xx

    02

    3

    1

    1

    + xx

    0)2)(1()1(32

    +

    +

    xx

    xx

    0)2)(1(

    52

    +

    xx

    x

    ( )ans212

    5

  • 5/20/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i

    33/80

    1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I

    33

    - Untuk2

    31 = xxx

    Jadi himpunan penyelesaian dari (i) yang dimaksud adalah

    21 HpHpHp = { }( )ans61

    67 = xxx

    o

    611

    ++++++

    x

    x

    +

    1

    16

    o

    27 1

    +++++

    x

    x

    +

    +

    1

    72+++++

  • 5/20/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i

    34/80

    1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I

    34

    Aternatif -2 (Menggunakan sifat)

    41

    23

    +

    x

    x

    22

    41

    23

    +

    x

    x

    041

    23 22

    +

    x

    x

    041

    234

    1

    23

    +

    +

    +

    x

    x

    x

    x

    01

    )1(4231

    )1(423

    +

    ++

    +

    +

    xxx

    xxx

    0)1(

    )72)(16(2

    +

    +

    x

    xx

    Jadi himpunan penyelesaian bagi (i) adalah

    { }( )ans61

    27 = xxxHp

    Alternative -3 (menggunakan sifat lain)

    41

    23

    +

    x

    x

    41

    234

    +

    x

    x

    pertaksamaan ini setara dengan

    41

    23

    +

    x

    x dan 4

    1

    23

    +

    x

    x...(iii)

    pertaksamaan sebelah kiri (iii)menjadi

    041

    23+

    +

    x

    x

    0

    1

    )1(423

    +

    ++

    x

    xx

    o

    27

    1 61

    ++++++++

  • 5/20/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i

    35/80

    1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I

    35

    01

    72

    +

    +

    x

    x

    { }12

    71 >= xxHp

    Sedangkan pertaksamaan sebelah kanan (iii)menjadi

    41

    23

    +

    x

    x

    04

    1

    23

    +

    x

    x

    01

    )1(423

    +

    +

    x

    xx

    01

    16

    +

    x

    x

    { }6

    1

    21

  • 5/20/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i

    36/80

    1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I

    36

    c. Menentukan Dgof

    Menurut definisinya

    ( ) gfgof DxfRxD = ]3,(2),0[ = xx

    { }920320 == xxxx

    { }110 = xx

    { } ( )ans110 = x

    3. a. Menghitung 386

    53lim

    +

    + x

    x

    x

    3

    86

    53

    lim

    +

    + x

    x

    x

    ( )

    ( )3 85

    6

    3

    limx

    x

    x x

    x

    +

    = +

    ( )

    ( )3 85

    6

    3

    limx

    x

    x

    +

    = + 3

    2

    1

    = (ans)

    b. Menentukan kagar ( )

    +

    +

    +

    =4,167

    4,32

    xx

    xx

    xf

  • 5/20/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i

    37/80

    1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I

    37

    Untuk mengetahuinya harus kita periksa apakah ( ) ( )44 ''+

    =ff.

    Sekarang

    ( )

    ( ) ( )

    4

    4

    lim4 4

    '

    =

    x

    fxf

    f x

    24

    )4(2lim

    4

    82lim

    4

    1132lim

    444

    =

    =

    =

    +=

    x

    x

    x

    x

    x

    x

    xxx Sedangkan

    ( ) ( ) ( )

    4

    4lim4

    4

    '

    =

    +

    +x

    fxff

    x

    4

    416

    lim4

    4

    16

    lim4

    11

    16

    7lim

    444

    =

    =

    +=

    +++ x

    x

    x

    x

    x

    x

    x

    xxx

    ( )( )

    14

    44lim

    4

    =

    =

    + xx

    x

    x

    Karena ( ) ( )44 ''+

    ff makaf tidak tidak memiliki turunan dix= 4

    5. Suatu kurva dinyatakan sebagai fungsi 1cossin =+ xy

    a. Menentukan nilai 'y

    ( ) ( )1cossin xx DxyD =+

    0sincos' = xyy

    xyy sincos' =

    ( )anscos

    sin'

    y

    xy =

    b. Menentukan persamaan garis singgung dan garis normal kurva

    di titik ( )42

    ,

    Di titik ( )42

    , 22

    1'

    21

    ==y

    Sehingga persamaan garis singgung di titik ( )42

    ,

    adalah

    ( )24 2

    = xy atau 22 21

    41

    += xy (ans)

  • 5/20/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i

    38/80

    1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I

    38

    Sedangkan persamaan garis normal di titik ( )42

    ,

    adalah

    ( )22

    14

    = xy atau( )

    4

    21

    21 2

    ++= xy .(ans)

    6. Persamaan suatu kurva dinyatakan oleh ( ) 45 5xxxf +=

    a. Menentukan selang kemonotonan dan nilai ekstrim

    ( ) ( )45205' 334 +=+= xxxxxf

    - f(x) monoton naik jika ( ) 0' >xf yaitu pada selang (-,-4)

    dan (0,)-

    f(x) monoton turun jika ( ) 0' xf

    yaitu pada selang (-3,0) dan (0,)

    -

    f(x) cekung ke bawah jika( ) 0"

  • 5/20/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i

    39/80

    1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I

    39

    PEMBAHASAN

    UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2007-2008

    Mata Kuliah : Kalkulus 1 / MA1114

    Tanggal : 29 Oktober 2007

    UTS 2007/20081. Menentukan Himpunan Pertidaksamaan :

    a.21

    3

    +

    +

    x

    x

    x

    x

    021

    3

    +

    +

    x

    x

    x

    x

    0

    )2)(1(

    )1()2)(3(

    +

    ++

    xx

    xxxx

    0)2)(1(

    632 22

    +

    +

    xx

    xxxxx

    0)2)(1(

    6

    +

    xx

    { }21 >

    x

    2

    2

    121

    >x

    0121 2

    2

    >

    x

    0121121 >

    +

    xx

    011

    31

    >

    xx

    0)1)(31(

    2 >

    x

    xx

    { }1)0()0( 31 >

  • 5/20/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i

    40/80

    1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I

    40

    2. Diketahui ,2)(2

    xxf += 1)( =xg a. Menentukan

    - )ans(RDf =

    - Untuk setiap Rx berlaku

    02 x 22 2 +x

    2)( xf Sehingga [ ) )ans(,2 =fR

    - )ans(RDg =

    - { } )ans(1=gR

    b. Memeriksa apakah gof terdefinisi dan menentukan gof jika

    terdefinisi.

    Untuk mengetahuinya kita selidiki apakah { } gf DR . Dari

    hasil pada poin sebelumnya kita memiliki

    [ ) [ ) { }== ,2,2 RDR gf yang menunjukkan bahwa

    gof terdefinisi (ans).

    Selanjutnya ))(()( xfgxfgo = )ans(,1)2( 2 =+= xg

    c. Menentukan Dgof

    Menurut definisinya,

    gfgof DxfDxxD = )(, }RxRxx += 2, 2 { }RxRxx = , { } )ans(Rxx =

    3. Memeriksa apakah( )

    =

    =

    1;1

    1;1

    1sin1

    )(2

    x

    xx

    xxf

    kontinu dix= 1.

    Untuk mengetahuinya harus diperiksa apakah )1()(lim1

    fxfx

    =

    .

    Sekarang perhatikan bahwa untuk sembarang nilai xkecualix =1

    berlaku

  • 5/20/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i

    41/80

    1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I

    41

    3

    + + + + - - - - - - - - - - - + + + +

    0-3

    11

    1sin1

    x

    ( ) ( ) ( )222 11

    1sin11

    xx

    xx

    ( ) ( ) ( )22 11 xxfx

    Selanjutnya ( ) 01lim2

    1

    =

    xx

    dan ( ) 01lim2

    1

    =

    xx

    , sehingga

    menurut teorema apit ( ) 0lim1

    =

    xfx

    . Jadi karena ( ),10)(lim1

    fxfx

    =

    makaf tidak kontinu dix= 1.

    4. Diketahuix

    xxxf 96)(2

    +=

    a. Menentukan selang keonotonan dan titik ekstrim

    2

    2 )96()62()('

    x

    xxxxxf

    +=

    2

    22 )9662

    x

    xxxx +=

    2

    2 9

    x

    x =

    2

    )3)(3( xx +=

    - f monoton naik jika ( )xf' > 0, yaitu pada selang

    ( ) ( ) ,33,

    - f monoton turun jika ( )xf' < 0, yaitu pada selang

    ( ) ( )3,00,3 - Karena terjadi perubahan kemonotonan di x= -3(+ -) dan

    f(-3) ada , maka titik (-3,f(-3)) = (-3,-12) merupakan titik

    maksimum lokal. Karena terjadi perubahan kemonotonan di

    x =3 (+ -), maka titik (3,f(3)) = (3,0) merupakan titik

    minimum lokal.

    b. Menentukan selang kecekungan

    22

    2 91

    9)('

    xx

    xxf =

    =

    3

    18

    )('' xxf =

  • 5/20/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i

    42/80

    1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I

    42

    - f cekung ke atas jika ( ) 0" >xf , yaitu untuk 0>x

    - f cekung ke bawah jika ( ) 0"

  • 5/20/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i

    43/80

    1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I

    43

    PEMBAHASAN

    UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2006/2007

    Mata Kuliah : Kalkulus 1/MA1114

    Senin 13 November 2006

    UTS 2006/20071. Menentukan himpunan penyelesaian dari :

    a. 512

    11

    x

    x

    { }2/101

    >

  • 5/20/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i

    44/80

    1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I

    44

    sehingga :- untuk 0x (ii) menjadi

    34

    x

    x

    ( )0

    34

    x

    xx

    ( )0

    432

    x

    xx

    ( )( )0

    14

    +

    x

    xx

    Pertaksamaan terakhir ini terpenuhi untuk

    401

  • 5/20/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i

    45/80

    1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I

    45

    [ ) [ )== ,0,,0 ff RD , RDg =

    Sekarang perhatikan bahwa untuk setiap Rx berlaku

    02 x

    02 x

    11 2 x

    ,1)( xg

    Dengan demikian ( ]1,=gR . Kemudian karena

    ( ] [ )= ,01,fg DR [ ] { }= 1,0 , makafogterdefinisi/ada.

    b. Menentukanfog danDfog

    ))(()( xgfxgfo = 22 1)1( xxf ==

    Menurut definisinya

    fgfog DxgDxRxD = )(,

    [ )}= ,01, 2xRxRx }01 2 = xRx

    1

    2=

    xRx

    { }1= xRx

    { }11 = xRx

    3. Menentukan a agar 1379 2lim =+

    xaxxx

    1379lim2

    =+

    xaxxx

    1379

    379379lim

    2

    22

    =

    +

    xaxx

    xaxxxaxx

    x

    1379

    979lim

    2

    22

    =

    xaxx

    xaxx

    x

    1

    379

    7lim

    2

    =

    xxx

    ax

    ax

    x

  • 5/20/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i

    46/80

    1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I

    46

    1

    3

    7

    9

    7

    lim

    2

    =

    xxx

    a

    x

    xax

    x

    1

    37

    9

    7

    lim

    2

    =

    xx

    a

    xa

    x

    1

    39

    =

    a 6=a

    4. Diberikan24

    2)(

    x

    xxf

    =

    a. Menentukan selang kemonotonan

    22

    2

    )4(

    2)2()4(2)('

    x

    xxxxf

    =

    22

    22

    )4(

    428

    x

    xx

    +=

    22

    2

    )4(

    82

    x

    x

    +=

    )(' xf selalu bernilai positif untuk setiap nilai x, (x 2). Ini

    berartif(x) selalu naik pada interval (-,)/{2}. Fakta ini jugamenunjukkan bahwa f(x) tidak memiliki nilai ekstrim .

    b. Menentukan selang kecekungan

    42

    2222

    )4(

    )82)(2)(4(2)4(4)(''

    x

    xxxxxxf

    +=

    32

    22

    )4(

    )82(4)4(4

    x

    xxxx

    ++=

    32

    33

    )4(

    328416

    x

    xxxx

    ++=

    33

    3

    )2()2(

    484

    xx

    xx

    +

    +=

    33

    2

    )2()2(

    )12(4

    xx

    xx

    +

    +=

    - f(x) cekung ke atas jika 0)('' >xf , yaitu pada interval

    2

  • 5/20/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i

    47/80

    1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I

    47

    - f(x) cekung ke bawah jika 0)(''

  • 5/20/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i

    48/80

    1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I

    48

    5. Perhatikan gambar 5 di atas !

    a. Menyatakan luas persegi panjang sebagai suatu peubah.

    Titik Q terletak pada lingkaran dengan persamaan

    222 1616 xyyx ==+ Sehingga luas persegi panjang =L(x) = 4 luas persegi panjang

    OPQR.

    PQOPxL = 4)(

    401642

    = xxx

    b. Menentukan ukuran persegi panjang agar luasnya maksimum.

    Nilai maksimum L(x) terletak pada titik kritisnya yaitu padatitik stasioner atau pada ujung interval. Titik stasioner terjadi

    ketikaL(x) = 0 yakni

    0162

    )2(.4164

    2

    2=

    +

    x

    xxx

    016

    4164

    2

    22

    =

    x

    xx

    04164 22

    2=

    xx

    22 4464 xx =

    648 2 =x

    8=x

    Karena 40 x maka x yang mememuhi adalah 8=x .

    Sehingga sekarang kita memiliki 3 buah titik kritis yaitu 8=x

    yang berasal dari titik stasioner dan x = 0 ,x= 4 yang berasal

    dari ujung interval domain L(x). Untuk mengetahui dimanaL(x)

    mencapai maksimum, kita cukup mengevaluasi nilai L(x) pada

    titik-titik kritis tersebut yaitu 32)8( =L ,

    0)0( =L ,

    0)4( =L .

    Karena 32)8( =L merupakan luas maksimum, maka ukuran

    persegi panjang agar luasnya maksimum adalah

    8282.2.2 = PQOP ( )ans2424 = .

  • 5/20/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i

    49/80

    1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I

    49

    PEMBAHASAN

    UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2005/2006

    Mata Kuliah Kalkulus I (MA 1114)

    Senin 17 Oktober 2005

    UTS 2005/2006

    1. Menentukan persamaan garis singgung di perpotongan kurva

    ( )iyxyx .........1622 =+ dengan sumbux.

    Titik potong kurva dengan sumbu xberada pada y= 0. Sehingga

    dari (i) diperoleh 162 =x atau 4=x Dengan demikian kita memiliki dua buah titik singgung yaitu

    (4,0), dan (-4,0). Langkah selanjutnya adalah kita tentukankemiringan garis di tiap-tiap titik tersebut.

    )16()( 22 xx DyxyxD =+

    ( ) 0'2'2 =++ yyxyyx

    0'2'2 =+ yyxyyx

    0')2()2( = yyxyx

    ')2()2( yyxyx =

    yx

    yxy

    2

    2'

    =

    Di titik (4,0), 2' =y

    Di titik (-4,0), 2' =y

    Jadi persamaan garis singgung di titik(4,0) adalah ( )420 = xy

    atau ( )ans82 = xy , sedangkan Di titik (-4,0) persamaan garis

    singgungnya adalah ( )( )420 = xy atau ( ).ans82 += xy

    2. Menentukan himpunan penyelesaian pertaksamaan

    ( ) ( )iiixxx ..............4112 +++

    Menurut definisinya

  • 5/20/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i

    50/80

    1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I

    50

    Sehingga

    - untukx-1 (iii) menjadi

    ( ) ( ) 4112 +++ xxx

    422 2 +++ xxx

    232 + xx

    ( ) ( ) 22232

    23 +x

    ( )4

    172

    23 +x

    1721

    23 +x

    1717 212321 + x

    23

    21

    23

    21 1717 x

    ]17,17[),1[2

    3

    21

    2

    3

    21

    1 =Hp

    ]17,1[23

    21 =

    - sedangkan untukx< -1 (iii) menjadi

    ( ) ( ) 41)1(2 +++ xxx

    4222

    ++ xxx 062 xx

    0)2)(3( + xx

    ( )!32 periksax

    ]3,2[]1,(2 =Hp ]1,2[ =

    Jadi himpunan penyelesaian yang dimaksud untuk (iii) adalah

    21 HpHpHp = [ ]1,217,1 23

    21 = (ans)17,2

    23

    21 =

    3. a. Menentukan aagar3

    1349lim

    2=+++

    xaxxx

    3

    1

    349

    349.349lim

    2

    22

    =

    ++

    +++++

    xaxx

    xaxxxaxx

    x

    3

    1

    349

    949lim

    2

    22

    =

    ++

    ++

    xaxx

    xaxx

    x

  • 5/20/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i

    51/80

    1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I

    51

    3

    1

    349

    4lim

    2=

    ++

    +

    xaxx

    ax

    x

    3

    1

    34

    9

    4

    lim

    2

    2

    =

    ++

    +

    xxx

    ax

    xax

    x

    3

    1

    34

    9

    4

    lim

    2

    =

    ++

    +

    x

    xx

    ax

    xax

    x

    3

    1

    34

    9

    4

    lim

    2

    =

    ++

    +

    xxx

    ax

    xax

    x

    3

    1

    34

    9

    4

    lim2

    =

    ++

    +

    xx

    a

    xa

    x

    3

    1

    39=

    a

    )ans(2

    3

    1

    6

    =

    =

    a

    a

    b. Menentukan nilai adan bjika 2)cos(

    lim 20

    =+

    x

    bxa

    x

    )cos(lim0

    bxax

    +

    haruslah bernilai 0. Sebab jika hal ini tidak

    terjadi (katakanlah 0)cos(lim0

    =+

    cbxax

    ) akan berakibat

    ==+

    2

    0

    20

    lim

    )cos(lim

    x

    c

    x

    bxa

    x

    x

  • 5/20/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i

    52/80

    1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I

    52

    yang bertentangan dengan pernyataan 2)cos(

    lim 20

    =+

    x

    bxa

    x Tulis

    0)cos(lim0=+

    bxax

    00cos =+a ( )ans1,01 ==+ aa

    Kemudian karena sekarang2

    0

    )cos(lim

    x

    bxa

    x

    +

    berbentuk00 maka

    kita dapat menerapkan dalil LHospital

    2)cos(

    lim20

    =+

    x

    bxa

    x

    22

    )sin(lim

    0

    =

    x

    bxb

    x

    22

    )cos(lim

    2

    0

    =

    bxb

    x

    22

    2

    = b

    42 =b ( )ans2=b

    4. Diberikan +

    =1

    )(2x

    xxf

    a. Menentukan selang kemonotonan

    ( ) ( ) ( )

    ( )222

    1

    211'

    +

    +=

    x

    xxxxf .

    )1(

    1

    )1(

    2122

    2

    22

    22

    +

    =

    +

    +=

    x

    x

    x

    xx

    - f(x) monoton naik jika ( )xf' > 0, yaitu pada selang (-1,1).

    - f(x) monoton tutun jika ( )xf' < 0 , yaitu pada selang (-,-1)dan (1,).

    - Karena terjadi perubahan kemonotonan (- + ) dititikx= -1

    danf(-1) ada, maka (-1,- ) merupakan titik minimum lokal.

    Selain itu pada 1=x terjadi perubahan kemonotonan ( +-)

    danf(1) , maka titik (1, ) merupakan titik maksimum local.

    -1 1

    - - - - - - + + + + - - - - - - f (x)

  • 5/20/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i

    53/80

    1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I

    53

    b. Menentukan selang kecekungan

    +

    ++=

    42

    2222

    )1(

    )1)(2)(1(2)1(2)(''

    x

    xxxxxxf

    32

    22

    )1(

    )1)(2(2)1(2

    +

    +=

    x

    xxxx

    32

    33

    )1(

    4422

    +

    +=

    x

    xxxx32

    3

    )1(

    62

    +

    =

    x

    xx

    32

    2

    )1(

    )3(2

    +

    =

    x

    xx32 )1(

    )3)(3(2

    +

    +=

    x

    xxx

    - f cekung ke atas jika )('' xf >0, yaitu pada selang )0,3(dan

    ),3(

    - f cekung ke bawah jika )('' xf

  • 5/20/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i

    54/80

    1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I

    54

    +

    =1

    )(grafik2

    xxxf

    x

    y

    1,1/2

    31.0,3

    -1,-1/2

    31.0,3

    0,0

    x y

    z5m

    8m

    d. Sketsa grafik f(x)

    5. Menentukan ukuranx,y,zagar volume kotak pada gambar di bawah

    ini maksimum.

    Terlebih dahulu kita tentukan fung dari volume benda sebagai suatu

    peubah..

    xyyx ==+ 4,822

    xzzx 25,52 ==+ xzyVVolume ==

    xxxxV )25)(4()( =

    xxxx )25820(2

    +=

    xxx )21320(2

    +=

    2532

    0;21320 += xxxx

  • 5/20/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i

    55/80

    1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I

    55

    Titik maksimum )(xV terletak pada titik kritisnya yaitu pada titik

    stasioner atau pada ujung interval dari domain ).(xV Titik stasioner

    terjadi ketika V(x) = 0 yakni

    062620 2 =+ xx 062620 2 =+ xx

    010133 2 =+ xx

    0)1)(103( = xx

    3101 == xx

    Kita tolak3

    10=x Karena tidak berada pada interval250 x . Jadi

    sekarang kita memiliki tiga buah titik kritis yaitu 1=x yang

    berasal dari titik stasioner dan25,0 == xx yang berasal dari

    ujung interval domain )(xV . Untuk mengetahui dimana )(xV

    mencapai nilai maksimum, kita evaluasi nilai )(xV pada titik-

    titik kritis tersebut, yaitu 39)1( mV = ,3

    0)0( mV = dan

    .0)( 325 mV = 39)1( mV = merupakan volume maksimum,

    sehingga ukuran kotak agar volumenya maksimum adalah x=

    1 ,y= 3,z = 3 . (ans)

  • 5/20/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i

    56/80

    1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I

    56

    PEMBAHASAN

    UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2004/2005

    Mata Kuliah : Kalkulus 1 / MA-1114

    Senin 25 November 2004

    UTS 2004/2005

    1. Menetukan himpunan penyelesaian pertaksamaan ( )ixx

    ......3 4

  • 5/20/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i

    57/80

    1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I

    57

    Karena 432 + xx definit positif, maka jelas pertaksamaan

    terakhir akan terpenuhi jika dan hanya jika ,0>x sehingga

    { }302 = xxxHp { }30

  • 5/20/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i

    58/80

    1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I

    58

    3. Menghitung222

    1lim

    3

    1 +

    x

    x

    x

    222

    1lim

    3

    1 +

    x

    x

    x 222

    222

    222

    1lim

    3

    1 ++

    ++

    +

    = x

    x

    x

    x

    x

    422

    )222)(1(lim

    3

    1 +

    ++=

    x

    xx

    x

    22

    )222)(1(lim

    3

    1

    ++=

    x

    xx

    x

    )1(2

    )222)(1)(1(

    lim

    2

    1

    ++++=

    x

    xxxx

    x

    62

    )222)(1(lim

    2

    1

    =++++

    =

    xxx

    x

    4. Menentukan nilai ekstrim dari1

    )(2

    +=

    x

    xxf pada selang [- ,2].

    22

    2

    )1(

    )2()1()('

    +

    +=

    x

    xxxxf

    22

    2

    )1(

    1

    +

    =

    x

    x ( )( )

    22 )1(

    11

    +

    +=

    x

    xx

    Pada selang [- ,2] terdapat tiga buah titik kritis yaitu titik ujung

    21=x dan 2=x serta titik stasioner .1=x

    Untuk 121

  • 5/20/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i

    59/80

    1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I

    59

    5. Menentukan luas maksimum dari segitiga di bawah.

    Titik p dapat bergerak sepanjang kurva xxy 42

    +=( periksa !)

    Luas pqr = )(xL = 2.Luas prs

    pppsrspsrsps

    xL '..2

    ..2)( ===

    )4)(2(2

    xxx +=

    xxxx 824 223 ++=

    42;8623

    += xxxx

    Untuk menentukan nilai maksimum L(x), terlebih dahulu harus

    ditentukan titik kritisnya. Titik stasioner diperoleh denganmenyelesaikan 0)(' =xL

    08123 2 =+ xx

    04382 =+ xx

    04)2(382 =+x

    342)2( =x

    342 =x

    Kita tolak342 =x karena tidak berada dalam selang 42 x .

    Jadi pada titik stasioner kita telah memiliki sebuah titik kritis,

    sedangkan dari ujung interval kita memiliki dua buah titik kritis

    yaitu x = 2 dan x = 4. Untuk mengetahui yang mana yang

    merupakan titik maksimum, kita evaluasi L(x) pada titik kritis yang

    kita miliki, yakni 3)2(3

    1634 =+f ,

    0)2( =f ,

    0)4( =f . Jadi

    Luas segitiga maksimum adalah )ans.(33

    16

  • 5/20/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i

    60/80

    1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I

    60

    PEMBAHASANUJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2003/2004

    Mata Kuliah : Kalkulus 1 / MA-1314

    Senin 6 Oktober 2003

    UTS 2003/2004

    1.Menetukan daerah asal suatu fungsi:

    a. 522)( = xxxf

    { }RxfxDf = )(

    Rxxx = 522

    { }0522 = xxx Kita selesaikan pertidaksamaan ( )ixx ..0522 Menurut definisinya

    ( )

  • 5/20/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i

    61/80

    1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I

    61

    - sedangkan untuk 2x (i) menjadi

    05)2(2 xx

    0542 xx

    9

    x { } { }9923 == xxxxxHp Dengan demikian himpunan penyelesaian akhir bagi (i) adalah

    { }91321 == xxxHpHpHpHp yang sekaligusmenjadi daerah asalf yaitu { }91 = xxxDf (ans)

    b.3

    6)(

    23

    +

    =

    x

    xxxxf

    Menurut definisinya

    { }RxfxDf = )(

    { }3;03

    623

    +

    = x

    xxxx

    Kita selesaikan pertidaksamaan ( )iixxx

    ....................03

    623

    +

    03

    )6(2

    +

    xxx

    03

    )2)(3(

    +

    +

    x

    xxx

    Dengan demikian himpunan penyelesaian bagi (ii) adalah

    { }3023 < xxxx yang sekaligus menjadi daerah

    asalf. (ans)

    2.a. Menghitungxx

    x

    x sin

    cos1lim 2

    +

    Karena limit berbentuk00 , maka kita dapat menerapkan

    dalil LHopital.

    xx

    x

    x sin

    cos1lim

    2

    +

    xxxx

    x

    x cossin2

    sinlim

    2+

    =

    ( )ans00

    0

    2

    =

    =

    + + + + + - - - + + + + - - - - - - - - + + + +

    -3 -2 0 3

  • 5/20/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i

    62/80

    1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I

    62

    b. Menentukan aagar 524lim2

    =++

    xaxxx

    524lim2

    =++

    xaxx

    x

    524

    2424lim

    2

    22

    =

    +

    +++

    xaxx

    xaxxxaxx

    x

    524

    44lim

    2

    22

    =

    +

    +

    xaxx

    xaxx

    x

    5

    24

    lim

    2

    =

    +

    xxax

    ax

    x

    5

    24

    lim =

    +

    xx

    ax

    ax

    x

    5

    24

    lim =

    +

    x

    x

    ax

    ax

    x

    5

    24

    lim =

    +

    x

    a

    a

    x

    524

    =

    a

    ( )ansa 20=

    3. Memeriksa apakah

    +

    +=

    ,22

    ,32)(

    2

    2

    xx

    xxxf

    1

    1

    xf . Kenyataan ini juga menunjukkan

    bahwaf tidak memiliki nilai ekstrim.

    b. Menentukan selang kecekungan dan titik belok

    3)1(

    4)("

    +

    =

    xxf

    - f(x) cekung ke atas jika )(" xf > 0, yaitu pada selang (-,-1)

    - f(x) cekung ke bawah jika )(" xf < 0, yaitu pada selang (-1,)

    - f(x) tidak memiliki titik belok. Walaupun terjadi perubahan

    kecekungan dix= -1, tetapi f(-1) tidak ada.

  • 5/20/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i

    75/80

    1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I

    75

    c. Menentukan Asimtot

    - Asimtot datar / miring (berbentuky= ax+ b)

    == x

    xfa

    x

    )(lim

    ( )0

    1

    21lim

    1

    1

    21lim =

    +

    =

    +

    xxxxx xx

    12

    21lim)(lim =

    +==

    xaxxfb

    xx

    Jadifmemiliki asimtot datar yaituy=1

    - Asimtot tegak (berbentuk x= c)

    karena ( ) =

    xfxlim

    1

    maka x= -1 asimtot tegak dari f.

    d. Sketsa Grafikf(x)

    2

    2

    )1(

    1)(Grafik

    +

    =

    x

    xxf

  • 5/20/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i

    76/80

    1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I

    76

    PEMBAHASAN

    UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 1999/2000

    Mata Kuliah Kalkulus I (DA 1314)

    Senin 1 November 1999

    UTS 1999/2000

    1. 32

    +x

    x

    2

    2

    32

    +x

    x

    2

    2

    32

    + xx

    032 2

    2

    +

    xx

    032

    32

    +

    ++

    xx

    xx

    02323 22

    +

    ++

    x

    xx

    x

    xx

    0)1)(2()1)(2(

    ++

    x

    xx

    x

    xx

    0)1)(2)(1)(2(

    2

    ++

    x

    xxxx

    { }( )ansxxxHp 2112 =

    2. a.52

    52lim

    2

    +

    +

    x

    xx

    x

    52

    52lim

    2

    +

    +

    x

    xx

    x

    +

    +

    =

    xx

    xxx

    x 5

    2

    521

    lim2

    2

    +

    +

    =

    xx

    xxx

    x 5

    2

    521

    lim2

    -2 -1 0 21

    + + + - - - + + + + + + - - - + + +

  • 5/20/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i

    77/80

    1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I

    77

    +

    +

    =

    x

    x

    xxx

    x 52

    521

    lim2

    +

    +

    =

    x

    xx

    x 52

    521

    lim2

    ( )2

    1=

    ( )ans2

    1=

    b. Menentukan )(lim5

    xgx

    jika diketahui .25103)( 2 + xxxg

    ,25103)( 2 + xxxg

    25103)()2510( 22 ++ xxxgxx

    2810)(2210 22 ++ xxxgxx

    Karena 32210lim2

    5

    =+

    xxx

    32810limdan2

    5

    =+

    xxx

    , maka

    menurut teorema apit ( )ansxgx

    3)(lim5

    =

    3. Diberikan 1)(2

    =xxf dan xxg += 1)(

    a. Membuktikan bahwa gofterdefinisi

    Akan ditunjukkan bahwa { } gf DR

    ,=fD

    berlaku,setiapUntuk x

    02 x

    112 x

    1)( xf

    [ ),,1demikiandengan =fR

    [ )= ,1gD

    Kemudian [ ) { }= ,1gf DR , persis seperti yang inginditunjukkan dan membuktikan bahwa gof terdefinisi

    b. Menentukan gofdan daerah asalnya

    ))(()( xfgxfgo = )1(2

    = xg )1(1 2 += x 2x= ( )ansx .=

    Menurut definisinya

    gfgof DxfDxD = )( [ )}= ,112xRx }112 = xRx

    }02 = xRx { } ( )ansRx =

  • 5/20/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i

    78/80

    1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I

    78

    4.

    +

    >

    +

    =

    3,17

    3,3

    152

    )(2

    2

    xxqx

    xx

    pxx

    xf

    Agarfkontinu dix= 3, maka haruslah ).(lim)3()(lim33

    xffxfxx +

    ==

    Kekontinuan kiri f pada x = 3 menghasilkan hubungan trivial

    ( )209209 = qq . Sedangkan kekontinuan kanan fpada x= 3

    dijabarkan sebagai berikut)3()(lim

    3

    fxfx

    =+

    ( )iqx

    pxxx

    ........2093

    152lim

    2

    3

    =

    ++

    152lim2

    3

    ++

    pxxx

    haruslah bernilai 0, sebab jika tidak (katakanlah

    0152lim2

    3

    =++

    cpxxx

    ) akan berakibat

    ( ) =

    =

    +

    +

    + x

    c

    x

    pxx

    x

    x 3lim3

    152lim

    3

    2

    3

    yang menyebabkanf gagal kontinu dix= 3.

    Tulis

    0152lim2

    3

    =++

    pxxx

    015318 =+ p

    1=p

    Dengan menyulihkan hasil ini pada (i) akan memberikan

    2093

    152lim

    2

    3

    =

    +

    qx

    xx

    x

    2093

    )3)(52(lim

    3

    =

    +

    +

    qx

    xx

    x

    ( ) 20952lim3

    =++

    qxx

    20911 = q

    1=qJadi Agar f kontinu dix= 3 maka haruslah p= -1 dan q= 1 (ans).

  • 5/20/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i

    79/80

    1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I

    79

    5. Diberikan 2)3(22

    =+ yx

    a. Menentukany

    ( ) )2()3( 22xx

    DyxD =+

    0'2)3(2 =+ yyx

    )3(2'2 = xyy

    y

    xy

    )3('

    =

    b. Menentukan garis singgung yang tegak lurus garis y = x.

    Karena tegak lurus dengan garis y= xyang memiliki gradien 1,

    maka gradient garis singgung yang dimaksud haruslah memilikigradient -1/1 = -1. Sehingga dengan melihat hasil pada poin

    sebelumnya diperoleh

    1)3(

    =

    y

    x

    3=xy

    Subtitusi ke persamaan awal memberikan 222

    =+yy atau .1=y

    - untuk y=1 menghasilkan x= 4, sehingga persamaan garis

    singgungnya adalah ( )41 = xy atau 5+= xy

    - untuk y = -1 menghasilkan x = 2, sehingga persamaan garis

    singgungnya adalah ( ) ( )21 = xy atau 1+= xy

    6. Diketahuif(x) adalah fungsi kontinu danf(0) =f(2) = 0, serta grafik

    ( )xf' sbb.

  • 5/20/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i

    80/80

    1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I

    80

    a. Menentukan selang kemonotonan

    Perhatikan grafik ( )xf' !

    f(x) monoton naik jika ( )xf' > 0, yaitu pada ( )1,0 dan ( ),3

    f(x) monoton turun jika ( )xf' < 0, yaitu pada selang (-,-1),

    (-1,0), (1,2), dan (2,3)

    b. Menentukan selang kecekungan

    f(x) cekung keatas jika ( )xf" > 0, atau dengan kata lain

    jika ( )xf' naik, yaitu pada selang (-,-1), dan (2,)

    f(x) cekung ke bawah jika ( )xf" < 0, atau dengan kata lain

    jika ( )xf' turun, yaitu pada selang (-1,0), dan (0,2)

    c. Sketsaf(x)